2mat14-b - 14 Operações com potências uando um número...

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Unformatted text preview: 14 Operações com potências uando um número é multiplicado por ele mesmo, dizemos que ele está elevado ao quadrado e escrevemos assim: quadrado, a · a = a² Se um número é multiplicado por ele mesmo várias vezes, temos uma potência. potência A UU AL A AL 14 Q Introdução { 4 fatores a · a · a = a³ (a elevado a 3 ou a ao cubo) (a elevado a 4) De uma forma geral, se o fator a aparece n vezes escrevemos an (a elevado a expoente. n). O número a é a base da potência e n é o expoente Nas ciências, para escrever números muitos grandes ou muito pequenos usamos potências. Por exemplo, um bilhão é o número 1.000.000.000, que é igual a: 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 109 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 10 Os astrônomos medem as distâncias entre as estrelas em uma unidade chamada ano-luz, que é a distância percorrida pela luz durante um ano. Essa imensa distância vale, aproximadamente, 9.500.000.000.000 km, ou seja, nove trilhões e quinhentos bilhões de quilômetros. Para facilitar, escrevemos esse número assim: 1 ano-luz = 9,5 · 1012 km 1 0 km Acontece que essa distância é ainda pequena se olharmos para o universo conhecido. A estrela mais próxima de nós (que está na constelação do Centauro) fica a 4 anos-luz de distância. Mas, existem estrelas que estão a bilhões de anosluz de distância de nós. Imagine que número gigantesco deve representar essa distância em quilômetros. Podemos então perceber que só é prático representar números desse tamanho usando potências e, além disso, é preciso saber fazer cálculos com elas. { 3 fatores a · a · a · a = a4 AULA Nossa aula O produto de potências de mesma base Começamos com um exemplo. Vamos multiplicar a4 por a 3 14 Como cada expoente representa o número de fatores então o número total de fatores é a soma dos expoentes. Concluímos então que para multiplicar potências de mesma base devemos conservar a base e somar os expoentes Esse expoentes. resultado, escrito de forma geral, fica assim: a m · a n = am + n EXEMPLO 1 Certa estrela está a 1,2 milhões de anos-luz do sol. Sabendo que 1 ano-luz é igual a 9,5 trilhões de quilômetros, determine, em quilômetros, a distância entre essa estrela e o sol. Pense um pouco antes de ver a solução. Procure exprimir os números dados usando potências de 10. Vamos exprimir os números dados usando números decimais e potências de 10. Observe que: mil milhão bilhão trilhão Então, 1,2 milhões = 1,2 · 106 10 9,5 trilhões = 9,5 · 1012 10 Para calcular a distância entre o sol e a outra estrela, devemos multiplicar esses dois números. Observe que vamos multiplicar os números decimais e as potências de 10. Veja: 1,2 · 106 · 9,5 · 1012 = 1,2 · 9,5 · 106 · 1012 = 11,4 · 106 + 12 = 1 0 9 ,5 1 0 1 ,2 9 ,5 1 0 1 0 1 1,4 1 0 = 11,4 · 1018 km 1 1,4 1 0 k m Quando representamos um número por um decimal seguido de uma potência de 10, estamos usando o que se chama de notação científica É assim que os científica. cientistas representam números muito grandes. Entretanto, eles também combinaram o seguinte: para que todos escrevam da mesma forma nunca escreverão mais de um dígito na parte inteira do número decimal. Assim, um verdadeiro cientista não escreveria a distância 11,4 · 1018 km Ele faria assim: 1 0 km. km = = = = 1.000 = 103 1.000.000 = 106 1.000.000.000 = 109 1.000.000.000.000 = 1012 11, 4 . 1018 = {{ 4 fatores 3 fatores 7 fatores { a 4 · a 3 = a · a · a · a · a · a · a = a 4 + 3 = a7 11 , 4 × × 18 = 1,14 × 19 km 10 10 10 10 Observe que 10 = 101 . Por isso, 10 · 1018 é igual a 101 + 18 , ou seja, 1019. 10 Vamos então recordar as outras operações. AULA 14 A divisão de potências de mesma base Começamos também com um exemplo para descobrir o caso geral. Vamos dividir a 6 por a2. 6 fatores a6 a.a.a.a.a.a = = a6 -2 = a4 2 a a. a 2 fatores Cada fator do denominador é cancelado com um fator do numerador. Então o número de fatores do resultado é a diferença entre o número de fatores do numerador e o número de fatores do denominador. Concluímos então que, para dividir potências de mesma base, devemos conservar a base e subtrair os expoentes. Esse resultado, escrito de forma geral fica assim: { am an =a m-n Observação: Nesta identidade existe uma restrição para a letra a : ela pode zero. representar qualquer número, exceto o zero Isso acontece porque é impossível a divisão por zero. A potência do produto e do quociente Observe as seguintes sequências de cálculos: (ab)3 =ab · ab · ab = a · a · a · b · b · b = a3 · b 3 = ab a b a b a Φ Ι3 = a ×a ×a = a ×a ×a = a3 Η Κ b b b b ×b ×b b3 b Estes resultados podem ser generalizados para um expoente qualquer (ab)n = an . bn A potência de uma potência Vamos, mais uma vez, descobrir o caso geral a partir do raciocínio usado em um exemplo. Calculemos então (a3) 4. { a Φ Ιn = an Η Κ bn b b¹0 AULA (a3) 4 = a3 · a 3 · a3 · a 3 = a3 + 3 + 3 + 3 = a3 · 4 = a12 É claro que a letra a apareceu como fator 12 vezes, que é o produto dos expoentes. Concluimos então que quando uma potência está elevada a algum expoente, devemos manter a base e multiplicar os expoentes. mn (am) n = a mn 14 Observação: O que acontece se o expoente for zero? Essa é uma pergunta freqüente, e a resposta é a seguinte. Quando definimos a n, o expoente n é o número de vezes que a letra a aparece como fator. Então, n pode ser 1, 2, 3, 4 etc, e o caso n = 0 não está incluído na nossa definição. Portanto, a expressão a 0 precisa ser definida, ou seja, precisamos dar um significado para ela. Definimos, então: a0 = 1 para todo a ¹ 0 Por que isso? Porque, com essa definição, as propriedades anteriores continuam válidas. Observe. 1= a a1 = = a1-1 = a0 a a1 Inicialmente os nossos expoentes eram inteiros positivos, e agora o zero foi incluído. O leitor curioso poderá então perguntar o que acontece se o expoente for negativo. Realmente, expoentes negativos existem; mas, como eles não estão incluídos na definição original de potência, precisamos criar um significado para eles. Isso é o que veremos a seguir. O expoente negativo Devemos definir potências de expoentes negativos, de forma que as propriedades anteriores permaneçam válidas. A definição conveniente é a seguinte: 1 1 a- n = Φ Ι = n ΗΚ a a n Observe que, com essa definição, as propriedades que vimos continuam a ser usadas. Veja: 1 a0 = n = a0 - n = a - n an a a3 = a3-5 = a-2 a5 a3 a × ×a a 1 = =2 5 a a ×a × ×a ×a a a { Nas ciências, potências de base 10 com expoente negativo são usadas para representar números muito pequenos. Observe: 0, 1 = 1 0, 01 = 10 1 = 10 -1 AULA -2 0, 001 = 100 1 = 10 14 -3 -4 0, 0001 = 1000 1 = 10 10000 = 10 Então, para representar, por exemplo, o número 0,0003 na nossa já conhecida notação científica, fazemos assim: 0, 0003 = 0, 0003 ×10 10 4 4 = 3 10 4 = 3 ×10 -4 EXEMPLO 2 Para tratar a água consumida pela população e diminuir a incidência de cáries dentárias, muitos países acrescentam flúor à água que será distribuida. A proporção recomendada é de 700g de flúor para 1 milhão de litros de àgua. Calcular: a) a quantidade de flúor em cada litro de água; b) se você tem uma cisterna com 12.000 litros de água não tratada, que quantidade de flúor você deve acrescentar? Pense um pouco antes de ver a solução. Este problema se resolve com regra de três mas, é conveniente escrever os números usando potências de 10. Isso vai facilitar os cálculos. Solução: a) Sabemos que 1 milhão é igual a 106. Se x é a quantidade de flúor contida em um litro de água, temos a regra de três abaixo: 700g xg Portanto, x = 106 litros l itros 1 litro 1.700 7.102 = = 7.102 -6 = 7.10-4 106 106 Temos, então, em cada litro de água tratada, 7 · 10-4 gramas de flúor. 10 b) Para saber a quantidade de flúor que deve ser colocada na cisternad e vemos multiplicar 7 · 10-4 por 12.000 litros. Observe o cálculo: 7 · 10-4 · 12.000 = 7 · 10-4 · 1,2 · 104 = 7 · 1,2 · 10-4+4 = 7 · 1,2 = 8,4 12.000 1,2 1,2 1,2 Então, devemos acrescentar 8,4 gramas de flúor para tratar a água dessa cisterna. AULA Exercícios 14 Exercício 1 Escreva cada uma das expressões a seguir na forma de uma única potência de base 2. a) 25 · 23 b) 29 23 c) (23)5 d) 2 ×2 5 29 Exercício 2 Escreva os números a seguir utilizando um número decimal (ou inteiro) multiplicado por uma potência de 10. b)2.000.000 c)0,04 d)0,000.015 a) 23.000 b) c) d) Exercício 3 2 3 ×4 5 Simplifique 86 Atenção: observe que 4 = 22 e 8 = 23 Exercício 4 Simplifique 1005 · 10007 · (1002)-4 · 10000-3 Exercício 5 Escreva cada uma das expressões a seguir usando uma única potência de base 3. a)3 a) -2 · 3-5 b) 36 3 -4 c) c) δι 3 1 -2 5 5 d) 3 ×9 27 6 Exercício 6 Calcule 2,4 · 10-6 · 5 · 10-3 Exercício 7 O planeta Plutão, o mais afastado do sistema solar, está a 5900 milhões de quilômetros de distância do Sol. Escreva essa distância: a) em quilômetros usando um número decimal com 1 dígito na parte inteira e uma potência de 10; b) em anos-luz. Exercício 8 Muitas fábricas lançam na atmosfera uma substância chamada dióxido de enxofre. A Organização Mundial de Saúde estabeleceu que a quantidade máxima dessa substância no ar que respiramos deve ser de 4 · 10-5 gramas em cada metro cúbico de ar. Acima desse valor o ar é considerado poluído. Certo dia, em uma amostra de 2,5m3 de ar de Sorocaba (SP) havia 0,135 · 10-3 gramas de dióxido de enxofre. O ar de Sorocaba estava poluído ou não? ...
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This note was uploaded on 04/16/2010 for the course MAT D22 taught by Professor Ramirez during the Spring '10 term at Universidad del Cauca.

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