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21 AULA Semelhança e Æreas Introduçªo N a Aula 17, estudamos o Teorema de Tales e a semelhança de triângulos. Nesta aula, vamos tornar mais geral o conceito de semelhança e ver como se comportam as Æreas de figuras semelhantes. Dizemos que duas figuras sªo semelhantes quando uma Ø ampliaçªo da outra. Mas, o que significa ampliar ? Ampliar (ou reduzir) uma figura significa obter uma outra com a mesma forma mas de tamanho diferente. Numa ampliaçªo, todos os comprimentos ficam multiplicados por um mesmo nœmero. Numa reduçªo, todos os compri- mentos ficam divididos por um mesmo nœmero. Veja abaixo o mapa do Brasil em dois tamanhos diferentes, onde estªo assinaladas as capitais dos estados. O maior Ø uma ampliaçªo do menor em 1,5 vezes. Isto significa que todas as distâncias medidas no mapa maior sªo iguais às mesmas distâncias do mapa menor multiplicadas por 1,5. VocŒ pode verificar isso com o auxílio de uma rØgua. · 1,5 ®
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Duas figuras sªo semelhantes quando todas as distâncias de uma delas sªo iguais às da outra, multiplicadas por um fator constante. Para tornar essa definiçªo mais clara, vamos mostrar inicialmente um mØtodo que nos permite ampliar uma figura. Suponha que desejamos tornar o polígono ABCDE da figura abaixo trŒs vezes maior. Escolhemos entªo um ponto O qualquer, unimos esse ponto a cada um dos outros e triplicamos todos os comprimentos: OA, OB, OC, OD e OE. O novo polígono A’ B’ C’ D’ E’ Ø o triplo de ABCDE. Na figura acima, fizemos OA’ = 3 . OA, OB’ = 3 . OB, OC’ = 3 . OC e assim por diante. Observe entªo o que acontece: os lados do polígono maior sªo paralelos aos lados do polígono menor, e cada lado do polígono maior Ø o triplo do lado correspondente ao polígono menor. Em linguagem matemÆtica: A’B’± // AB e A’B’±= 3 . AB B’C’ // BC e B’C’±= 3 . BC C’D’± // CD e C’D’ = 3 . CD e assim por diante. Repare ainda que essas relaçıes valem tambØm para outros segmentos que nªo estªo desenhados. Por exemplo, as diagonais A±D± e AD sªo paralelas e a maior Ø o triplo da menor. A figura a seguir explica por que, ao construirmos OA± = 3 • OA e OB± = 3 • OB, encontramos um segmento A±B± paralelo a AB e de comprimento trŒs vezes maior que AB. Observe que, no interior do triângulo OA±B±, existem trŒs triângulos iguais e trŒs paralelogramos tambØm iguais: Nossa aula D' E' A' B' C' D E A BC O O x B A B' A' b a b a b x a x x x x
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This note was uploaded on 04/16/2010 for the course MAT D22 taught by Professor Ramirez during the Spring '10 term at Universidad del Cauca.

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