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34 AULA Somando os termos de uma progressªo aritmØtica Introduçªo N a aula passada, mostramos como calcular qualquer termo de uma progressªo aritmØtica se conhecemos um de seus termos e a razªo. Nesta aula, vamos aprender a somar rapidamente qualquer quantidade de termos de uma PA. Deduziremos a fórmula da soma dos termos de uma progressªo aritmØtica usando a mesma idØia que um menino de 10 anos teve no ano de 1787. Esse menino, que se tornou um dos maiores matemÆticos de todos os tempos, chamava-se Carl Friedrich Gauss, e uma pequena parte de sua história Ø a que relatamos a seguir: O menino Gauss era alemªo e vivia na cidade de Brunswick, onde, aos 10 anos, freqüentava a escola local. Certo dia, para manter a classe ocupada, o professor mandou que os alunos somassem todos os nœmeros de 1 a 100. Mas, para sua enorme surpresa, o pequeno Gauss anunciou a resposta quase imediatamente: ±DÆ 5.050². Vamos mostrar como ele calculou ±de cabeça² a soma: 1 + 2 + 3 + . ....+ 100 Primeiro vamos representar pos S essa soma. Depois, escrevemos a mesma soma na ordem inversa e, em seguida, somamos as duas, termo a termo. S = 1 + 2 + 3 + . ... + 98 + 99 + 100 S =100 + 99 + 98 + . ... + 3 + 2 + 1 2S=101 + 101 + 101 + . ... + 101 + 101 + 101 Assim, duas vezes S Ø igual à soma de 100 parcelas, todas iguais a 101. Logo: 2S = 100 . 101 2S = 10.100 S = 5.050 Nªo hÆ dœvida de que esse episódio da vida do menino Gauss nos mostra uma idØia brilhante. Vamos aproveitÆ-la para deduzir a fórmula da soma dos termos de qualquer progressªo aritmØtica. Um pouco de História
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Como vimos na aula passada, podemos imaginar os termos de uma progressªo aritmØtica como os degraus de uma escada. Veja uma de sete degraus, por exemplo: Agora, como faremos para calcular a soma das alturas de todos os degraus?
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This note was uploaded on 04/16/2010 for the course MAT D22 taught by Professor Ramirez during the Spring '10 term at Universidad del Cauca.

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