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Somando os termos das progressıes geomØtricas 36 AULA Introduçªo Nossa aula a q + a q + a 3 q + a q + a q + a 6 q + a q Sq = a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 + a 7 q (2) (2) Β Β Β Β Β Β Β Sq = Q uando estudamos as progressões aritmé- ticas (Aula 34), encontramos uma fórmula bastante prática para calcular a soma de qualquer quantidade de termos. Vamos fazer a mesma coisa nesta aula com as progressões geométricas. Imagine, por exemplo, a soma: 8 + 24 + 72 + 216 + 648 + 1.944 + 5.832 + 17.496 + 52.488 As parcelas formam uma progressão geométrica de razão 3, começando em 8. Será possível obter o resultado sem precisar somar todas as parcelas? A resposta é sim , como veremos a seguir. Vamos representar por S a soma dos termos de uma progressão geométrica de razão q. Para facilitar a compreensão, vamos considerar uma PG com, por exemplo, sete termos. Você perceberá que a dedução da fórmula da soma é exatamente a mesma, qualquer que seja o número de termos. Seja então: S = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 (1) Agora, vamos multiplicar todos os termos dessa igualdade pela razão da PG: Observe que cada termo da PG multiplicado pela razão resulta no próximo, ou seja, a 1 q = a 2 , a a 2 3 e assim por diante. Em seguida, vamos subtrair as igualdades (2) (2) (2) e (1) (1). Veja: Sq = a 2 +a 3 4 5 6 7 7 q - S= - a 1 - a 2 - a 3 - a 4 - a 5 - a 6 - a 7 Sq - - a 1 7 q
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36 AULA Repare que os outros termos foram cancelados. Como a 7 é igual a a 1 q 6 , temos: Sq - S = a 1 q 6 q - a 1 Colocando em evidência S do lado esquerdo e a 1 do lado direito encontramos: ou Essa fórmula calcula a soma de sete termos de uma PG cujo primeiro termo é a 1 e cuja razão é q. Temos então que, no caso geral, a soma dos n termos de uma progressão é dada por: EXEMPLO 1 Calcular, com auxílio da fórmula, a soma que apareceu na introdução da aula. Solução Solução: A soma que você vê na introdução desta aula tem 9 parcelas. Essas parcelas formam uma progressão geométrica com a 1 = 8 e q = 24 8 = 3 Então, fazendo na fórmula as substituições a 1 = 8, q = 3 e n = 9, encontramos: = 4 .
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