mat40 - A trigonometria do triângulo retângulo H oje...

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Unformatted text preview: A trigonometria do triângulo retângulo H oje vamos voltar a estudar os triângulos retângulos. VocOE jAE sabe que triângulo retângulo Ø qualquer triângulo que possua um ângulo reto e que, para este tipo de triângulo, hAE vAErias propriedades importantes. l Dois de seus lados sªo perpendiculares entre si e sªo, portanto, alturas do triângulo, o que facilita o cAElculo de sua AErea : cateto . cateto 2 l Teorema de PitAEgoras: (hipotenusa) ² = (cateto) ² + (cateto) ² ² l Como a soma dos ângulos de qualquer triângulo Ø 180”, num triângulo retângulo um dos ângulos Ø reto (90”) e os outros dois sªo sempre agudos e complementares (soma = 90”). Nesta aula, vamos descobrir como podemos estabelecer relaçıes entre os ângulos de um triângulo retângulo (ângulos agudos) e seus lados. SerAE que existem tais relaçıes? É essa nossa primeira preocupaçªo. A seguir, caso existam, serªo respondidas perguntas naturais como: Valem sempre?; Como enunciAE-las? etc. Introduçªo 40 A U L A A = h i p o t e n u s a cateto cateto h i p o t e n u s a cateto cateto hipotenusa c a t e t o c a t e t o Construindo triângulos retângulos semelhantes Dado um ângulo agudo qualquer, Ø possível desenhar um triângulo retân- gulo? Sim, podemos desenhar, na verdade, uma infinidade de triângulos retângulos. Vamos anotar algumas observaçıes sobre esses triângulos retângulos: l Para todos eles, um dos ângulos mede x . l O outro ângulo agudo mede 90” - x , pois Ø o complemento de x . l O terceiro ângulo, como nªo poderia deixar de ser, Ø reto. l Entªo todos eles possuem os mesmos ângulos . l Lembrando a aula anterior, podemos concluir que: todos estes triângu- los retângulos sªo semelhantes l Se sªo semelhantes, entªo seus lados sªo proporcionais . Podemos entªo afirmar que, fixado um ângulo agudo, todos os triângulos retângulos, construídos com esse ângulo serªo semelhantes e, portanto, terªo lados proporcionais. Observe que acabamos de descobrir que hAE uma relaçªo entre ângulos agudos e lados de um triângulo retângulo. Precisamos agora verificar como podemos enunciar essa relaçªo mais claramente, usando linguagem matemAEtica. Observe a figura a seguir: Os triângulos ABC e APQ sªo semelhantes. Como seus lados sªo propor- cionais, podemos escrever: Nossa aula x x x A B P C Q AB AP BC PQ BC PQ AC AQ AC AQ AB AP = = = ou ou Figura 1 40 A U L A E se aumentarmos o ângulo x (ou 0 diminuirmos)? Essas proporçıes se alteram. Teríamos agora: Essas proporçıes - que se alteram conforme o ângulo varia - confirmam nossa suspeita de que hAE uma relaçªo entre lados e ângulos agudos de um triângulo retângulo. Tais relaçıes recebem nomes especiais como veremos ainda nesta aula....
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