hw_03_sol - ÈÖÓ Ð Ñ Ë Ø ¿ ÐÐ ¼ Ù Ì ÙÖ× Ý...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ÈÖÓ Ð Ñ Ë Ø ¿ ÐÐ ¼ Ù Ì ÙÖ× Ý Ç Ø ¾¾ Ø ½½ ¼¼ Å Ò Ð ×× ´ º º¸ ÊÓÓÑ ½¼¿ Ì Ð ÓØ Ä µ ÈÐ × ÓÐÐÓÛ Ø ÓÑ ÛÓÖ ÓÖÑ Ø Ù Ð Ò × ÔÓ×Ø ÓÒ Ø Ð ×× Û Ô ØØÔ »»ÛÛÛº ׺٠٠º Ù» Ð ××» ¼ » ׿ ¿» ½º ÈÓ ÒØ× ¿¼ ÓÒ×ØÖÙ Ø Ö ÑÑ Ö ÛÓÖ × Ò Û Ø B C D E × ÓÖ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ð Ò Ù ÒÓÒØ ÖÑ Ò Ð ×Ø Ò × ÓÖº ׺ Ú Ö ÜÔÐ Ò Ø ÓÒ Ó ÓÛ ÝÓÙÖ A ={ai bj | i = j } ={ai bj ck | i ≤ j ÓÖ j ≤ k } ={x ∈ {0, 1}∗ | x × ÒÓØ Ó Ø ÓÖÑ ww} ∗ ={x ∈ {a, b} | x ÓÒØ Ò× ØÛ × Ñ ÒÝ a³× ∗ ={x ∈ {a, b} | x × ÒÓØ Ô Ð Ò ÖÓÑ Ò x Ø Ò b³×} × Ú Ò} F ={ai bj | 2i + 3 ≤ j ≤ 4i + 5} ËÓÐÙØ ÓÒ •A Sa=b Ò Ö Ø × ÕÙ Ð ÒÙÑ Ö Ó a³× Ò b³× Ò Ø Ò Û Ò Ö × Ý ÓÒ Ø Ò Ø Ò Û Ø A ÓÖ B Ò ÔÖÓÔ Ö ÓÖ Öº S → Sa=b B | ASa=b Sa=b → aSa=b b | ε A → Aa | a B → Bb | a Sa≤b Ò Ö Ø × ÐÐ ×ØÖ Ò × Ø Ø × Ø × Ý Ø Ø × ÓÒ Ò ÕÙ Ð Øݺ Ø Ö Ø ÒÙÑ Ö Ó a³× ÓÖ b³× •B Ö×Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ò Sb≤c Ò Ö Ø × ÐÐ Ø Ó× Ø Ø × Ø × Ý S → Sa≤b C | ASb≤c Sa≤b → Sa=b B Sa=b → aSa=b b | ε Sb≤c → Sb=c C Sb=c → bSb=c c | ε A → Aa | ε B → Bb | ε C → Cc | ε ½ •C S0 Ò Ö Ø × ÐÐ ×ØÖ Ò × Ó Ó ÒØ Öº Ð Ò Ø ÛØ 1 ÒØ Ð Ò Ø ÛØ 0 ÒØ ÒØ Ö Ò S1 Ò Ö Ø × ÐÐ ×ØÖ Ò × Ó Ó S → S 0 | S1 | S0 S1 | S1 S0 S0 → BS0 B | 0 S1 → BS1 B | 1 B→0|1 •D Ý × ÑÔÐ Ò Ù Ø ÓÒ Ø × Ð Ö Ø Ø Ú ÖÝ ×ØÖ Ò Ø Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÑÑ Ö Ò Ö Ø × × Ø Ö ÕÙ Ö ÔÖÓÔ ÖØݺ Ø ÓÖ ÓÖÑ Ð ÔÖÓÓ Ó ÓÖÖ ØÒ ×× ´Ø × ÔÖÓ Ð Ñ Ó ×Ò³Ø × ÓÖ ×Ù ÔÖÓÓ µ ÛÒ Ø Ò ÕÙ × Ñ Ð Ö ØÓ Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ Ó ÔÖÓ Ð Ñ ¿ ÓÒ Ø × ×× ÒÑ Òغ S → aSaSb | aSbSa | bSaSa | ε •E Se Ò Ö Ø × ×ØÖ Ò Ó Ú Ò Ð Ò Ø º S → ASA | aSe b | bSe a Se → ASe A | ε A→a|b •F B Ò Ö Ø × ÐÐ Ø ×ØÖ Ò × Ó Ø ÓÖÑ aibj Û Ö 2i ≤ j ≤ 4iº S → Bbbb | Bbbbb | Bbbbbb B → aBbb | aBbbb | aBbbbb | ε ¾º ÈÓ ÒØ× ½ Ï Ø ×Ø Ð Ò Ù ÓØ ÓÐÐÓÛ Ò S → A1B A → 0A | B → 0B | 1B | ÂÙ×Ø Ý ÝÓÙÖ Ò×Û Öº ËÓÐÙØ ÓÒ Ä Ø L1 Ø × Ø Ó Ò ÖÝ ×ØÖ Ò × Ø Ø ÓÒØ Ò Ø Ð ×Ø ÓÒ ½º Ö×Ø Ó × ÖÚ Ø Ø Ú ÖÝ ×ØÖ Ò Ò L1 Ò Ö Ú ÖÓÑ S º Ä Ø x ∈ L1 º Ý Ò Ø ÓÒ Ó L1 ¸ x ÓÒØ Ò× Ø Ð ×Ø ÓÒ ½¸ ÓÒ× Ö Ø Ð ØÑÓ×Ø ½ Ò x Ò Ð Ø w Ø ÔÖ Ü Ó x ØÓ Ø Ð Ø Ó Ø Ø ½ Ò z Ø ×Ù Ü Ó x ØÓ Ø Ö Ø Ó Ø Ø 1¸ Ø Ø × x = w1zº ÆÓØ Ø Ø w Ò ÒÓØ ÓÒØ Ò ½ ´× Ò Ø ½ Û Ú × Ð Ø × Ø Ð ØÑÓ×ص Ø Ö ÓÖ w ∈ L(0∗ )º Ë Ò ¾ z× Ò ÖÝ ×ØÖ Ò z ∈ L((0 + 1)∗)º w ∈ L(A) Ò z ∈ L(B )º Ì × Ñ ∗ B → z µº ÆÓÛ Û Ú Ï Û ÐÐ ÔÖÓÚ Ø Ø L(A) = L(0∗ ) Ò L(B ) = L((0 + 1)∗)º Ì Ö ÓÖ ∗ Ò× Ø Ø Û Ò Ö Ú w ÖÓÑ A ´ º º A → wµ Ò z ÖÓÑ B ´ º º S → A1B → w 1B → w 1z = x. ∗ ∗ Ì Ö ÓÖ x ∈ L(S ) Ò Ò L1 ⊆ L(S )º ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò × Ò Ø ÓÒÐÝ Û Ý ØÓ ÔÖÓ Ù Ò S × ØÓ Ù× S → A1B ¸ Ú ÖÝ ×ØÖ Ò Ò L(S ) Û ÐÐ Ú Ø Ð ×Ø ÓÒ ½¸ Ø Ö ÓÖ L(S ) ⊆ L1 º Ï ÓÒ ÐÙ Ø Ø L1 = L(S )º ÆÓÛ Û ÔÖÓÚ L(A) = L(0∗ )º Ë Ò A → 0A | ε¸ Û Ú L(A) ⊆ L(0∗)º Ì Ò Û ÔÖÓÚ ÓÖ ÒÝ k¸ ∗ 0k × Ò L(A) Ý Ò Ù Ø ÓÒ ÓÒ kº ÓÖ × × k = 0¸ Û Ú A → εº Á A → 0k ¸ Ø Ò Û Ú ∗ A → 0A → 00k = 0k+1 Ø Ù× 0k+1 ∈ L(A)º Ì Ö ÓÖ L(0∗ ) ⊆ L(A) Ò × ×Ù L(A) = L(0∗ )º Ò ÐÐÝ Û ÔÖÓÚ L(B ) = L((0 + 1)∗)º Ï ÔÖÓÚ ÒÝ Ò ÖÝ ×ØÖ Ò x × Ò L(B ) Ý Ò Ù Ø ÓÒ ÓÒ |x|º ÓÖ × × Û Ö |x| = 0¸ Û Ú x = ε Ò B → ε Ò × × Ø ÔÖÓÓ º ÆÓÛ ××ÙÑ B Ö Ú × ÐÐ ×ØÖ Ò × Ó ∗ Ð Ò Ø kº ××ÙÑ |x| = k + 1º Ï Ú x = 0y ÓÖ x = 1y Û Ö |y | = kº Ý Ò Ù Ø ÓÒ ÝÔÓØ × × B → y º ∗ ∗ Á x = 0y ¸ Ø Ò Û Ú B → 0B → 0y = x¸ Ò x = 1y ¸ Ø Ò Û Ú B → 1B → 1y = xº ËÓ x ∈ L(B )º ¿º ÈÓ ÒØ× ¿¼ ×Ö ×Ö L(G) ÓÒ× Ö Ø ÓÒØ Üع Ö Ö ÑÑ Ö S → 0S 1S | 1S 0S | G Ò Ò Ð × ¸ Ò ÔÖÓÚ Ø Ø ÝÓÙÖ Ò×Û Ö × ÓÖÖ Ø¸ º º Ò ÓÒÐÝ Ø Ó× ×ØÖ Ò ×º Ò Ö Ø × ÐÐ ×ØÖ Ò × ÝÓÙ³Ú ËÓÐÙØ ÓÒ ÄØ L0=1 Ø × Ø Ó ÐÐ Ò ÖÝ ×ØÖ Ò × Ø Ø Ú ÕÙ Ð ÒÙÑ Ö Ó Þ L0=1 = L(S )º Ö×Ø Û ÔÖÓÚ L(S ) ⊆ L0=1 º Ä Ø w ×ØÖ Ò Ò L(S ) Ø k ×Ø Ô׺ Ï Ù× Ò Ù Ø ÓÒ ÓÒ k º ÓÖ × × ¸ k = 0¸ Ø ÓÒÐÝ ÔÓ×× Ð ε ∈ L0=1 ¸ Ø × × × ØÖÙ º ÆÓÛ ××ÙÑ Ø Ø Ð Ñ × ØÖÙ Û Ò Ø k Ò ÓÒ× Ö ×ØÖ Ò w Ø Ø ÓÙÐ Ö Ú ÖÓÑ S Ò k + 1 ×Ø Ô׺ Ö Ú Ø ÓÒ¸ Ø × ÓÙÐ Ö×Ø × Ò ÓÒ Ó Ø × ØÛÓ ÓÖÑ× ∗ ÖÓ× Ò ÓÒ ×º Ï × ÓÛ Ø Ø Ø ÓÙÐ Ö Ú ÖÓÑ S Ò Ö Ú Ø ÓÒ × S → ε Ò × Ò Ð Ò Ø Ó Ö Ú Ø ÓÒ × Ø ÑÓ×Ø ÓÒ× Ö Ø Ö×Ø ×Ø Ô Ó Ø × S → 0S 1S → 0w 1 1w 2 = w ÓÖ S → 1S 0S → 1w 1 0w 2 = w ∗ ÁÒ Ø Ú w1 Ò w2 Ö Ö Ú ÖÓÑ S Ò Ø ÑÓ×Ø k ×Ø w1 , w2 ∈ L0=1 º ÙØ Ø × ÑÔÐ × Ø Ø w = 0w1 1w2 Ð×Ó w ∈ L0=1 º × Ñ Ð Ö Ö ÙÑ ÒØ ÔÖÓÚ × Ø Ø Ò Ø × ÓÒ × × ÓÑÔÐ Ø Ò L(S ) ⊆ L0=1 º Ô× Ò Ø Ö ÓÖ Ý Ò Ù Ø ÓÒ ÝÔÓØ × × Û × ÕÙ Ð ÒÙÑ Ö Ó ¼ Ò ½³× Ò Ø Ö ÓÖ Û Ð×Ó Ú w ∈ L0=1 º Ì Ù× Ø Ò Ù Ø ÓÒ ÆÓÛ Û ÔÖÓÚ Ø Ø L0=1 ⊆ L(S )º Ä Ø x ∈ L0=1 º Ï ÔÖÓÚ Ý Ò Ù Ø ÓÒ ÓÒ Ø |x| Ø Ø x ∈ L(S )º ÓÖ × × |x| = 0¸ Û Ú x = ε Ò Ø ÖÙÐ S → ε Ó × Ø Ó º × Ø Ò Ù Ø ÓÒ ÝÔÓØ × × ××ÙÑ ∗ Ø Ø |x| ≤ k¸ Ø Ò S → xº ÆÓÛ ××ÙÑ Û Ú ×ÓÑ x Û Ö |x| = k + 1º ËÙÔÔÓ× Ø Ø x ×Ø ÖØ× Û Ø 0º Ä Ø y Ø × ÓÖØ ×Ø ÔÖ Ü Ó x Ø Ø × ÕÙ Ð ÒÙÑ Ö Ó 0 Ò 1³× y Ò × Ò 1 ´ÓØ ÖÛ × Ø Ö × × ÓÖØ Ö ÔÖ Ü Ó y Û Ø Ø × Ñ ÔÖÓÔ ÖØÝ Û ÓÒØÖ Ø× Ø Ó Ó y µ¸ ×Ó y = 0w1 Û Ö w × ÕÙ Ð ÒÙÑ Ö Ó 0 Ò 1³×º Ì Ö ÓÖ Û Ú x = yz = 0w1zº Ë Ò x, w ∈ L0=1 ¸ Û ÑÙ×Ø Ú z ∈ L0=1 ¿ ØÓÓº Ë Ò ÓØ w Ò ∗ z Ö × ÓÖØ∗ Ö Ø Ò x¸ ÓØ Ú Ð Ò Ø Ø ÑÓ×Ø k Ò Ø Ö ÓÖ Ù× Ò Ò Ù Ø ÓÒ ÝÔÓØ × × Û Ú S → w Ò S → zº ÆÓÛ Û Ú ÓÙÒ Û Ý ØÓ Ö Ú x S → 0S 1S → 0w 1S → 0w 1z = x. ∗ ∗ Á ×Ø ÖØ× Û Ø 1¸ Û Ò ÔÔÐÝ × Ñ Ð Ö Ö ÙÑ ÒØ Ù× Ò ÖÙÐ S → 1S 0S ØÓ Ö Ú xº Ò ÐÐݸ × Ò L(S ) ⊆ L0=1 Ò L0=1 ⊆ L(S )¸ Û Ú L(S ) = L0=1 º x º ÈÓ ÒØ× ¼ ÐÔ ´ µ ÓÒ×ØÖÙ Ø È Û Ø ÒÔÙØ ÐÔ Ø Σ = {a, b, c, d} Ò ×Ø r ∗ ØØ ÔØ× Ø Ð Ò Ù {wdw | w ∈ {a, b, c} }º ÜÔÐ Ò ÓÛ ÝÓÙÖ È Ø Γ = {A, B, C, $} ÛÓÖ ×º È ÛÓÖ × Ò ØÛÓ ×Ø ×º ÁÒ Ø Ö×Ø ÓÒ ÓÖ Ú ÖÝ ×ÝÑ ÓÐ ÖÓÑ Ø ÒÔÙØ ×ØÖ Ò Û ÔÙ× ÓÖÖ ¹ d ×ÔÓÒ Ò ×Ø ×ÝÑ ÓÐ ÓÒ Ø ×Ø Û ÙÑÙÐ Ø Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÖ × ÓÒ ×Ø º Ï Ò Û × Ö Ø Ö Û × Ø ØÓ Ø × ÓÒ ×Ø º Ë Ò Ø ×ÝÑ ÓÐ× ÖÓÑ Ø ×Ø Û ÐÐ ÓÑ Ò Ø Ö Ú Ö× ÓÖ Ö¸ Û Ò ÒÓÛ ×Ø ÖØ ÔÓÔÔ Ò Ø Ñ Ò ÓÑÔ Ö ØÓ Ø ×ÝÑ ÓÐ× ÖÓÑ Ø ÒÔÙØ ×ØÖ Ò ´A × ÓÙÐ Ñ Ø a¸ B Ñ Ø b¸ Ø ºµº Á ËÓÐÙØ ÓÒ x, ε → X ε, ε → $ x, X → ε ε, $ → ε d, ε → ε À Ö ¸ (x, X ) ÐÓÒ × ØÓ {(a, A), (b, B ), (c, C )}º ´ µ ÓÒ×ØÖÙ Ø È Û Ø ÒÔÙØ ÐÔ Ø Σ = {a, b, c, d} Ò ×Ø ÐÔ Ø Γ = {E, F } Ø Ø ÔØ× Ø Ð Ò Ù {wdwr | w ∈ {a, b, c}∗}º ÜÔÐ Ò ÓÛ ÝÓÙÖ È ÛÓÖ ×º Ï Ò Ò Ó Ú ÖÝ ×Ø ×ÝÑ ÓÐ Ó Ø ÔÖ Ú ÓÙ× È Û Ø ØÛÓ ×ÝÑ ÓÐ× Ò Ø Ò Û ÐÔ Øº $ ¹ ÓÑ × EE ¸ A ÓÑ × EF ¸ B ÓÑ × F E Ò C ÓÑ × F F º Ì Ò Ó Ø × Ò Ó Ò ×Ø ×ÝÑ ÓÐ Ò Ò ÖÝ ´E Ò 0 Ò F Ò 1µº ØÖ Ò× Ø ÓÒ Ó ÓÖ Ò Ð È Ò × ÑÙÐ Ø Û Ø ØÛÓ ØÖ Ò× Ø ÓÒ× Ò ØÛÓ¹×ÝÑ ÓÐ È º Ö×Ø Û ØÖ Ò× ÓÖÑ ÐÐ ØÖ Ò× Ø ÓÒ׸ Ø Ø ÔÙ× Ò ÔÓÔ × ÑÙÐØ Ò ÓÙ×Ðݸ Û Ø ØÛÓ ØÖ Ò¹ × Ø ÓÒ׸ ÓÒ Ó Û ÔÙ× ×¸ Ò ÓÒ ÔÓÔ× ´Û Ð×Ó ÓÒ ×Ø Ø µº Ì Ò¸ Û Ö ÔÐ ØÖ Ò× Ø ÓÒ Ø Ø ÔÙ× × ×ÓÑ ×ÝÑ ÓÐ X ØÓ Ø ×Ø Û Ø × ÕÙ Ò Ó ØÖ Ò× Ø ÓÒ× Ø Ø ÔÙ× × ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò E × Ò F × ÖÓÑ Ø ³ Ó ³ Ó Ø ×ÝÑ ÓÐ X Ò Ö Ú Ö× ÓÖ Ö ´×Ó¸ ÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ Û ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÔÙ× Ò Ó A ØÓ ÔÙ× Ò F Ö×Ø Ò Ø Ò E µ Ò ØÖ Ò× Ø ÓÒ Ø Ø ÔÓÔ× X ÖÓÑ ×Ø Û Ø × ÕÙ Ò Ø Ø ÔÓÔ× Ø ³ Ó ³ Ó X º Á ËÓÐÙØ ÓÒ x, ε → X2 ε, ε → E ε, ε → E ε, ε → X1 x, X1 → ε ε, X2 → ε ε, E → ε ε, E → ε d, ε → ε X 1 X2 = X º À Ö ¸ (x, X ) ÐÓÒ × ØÓ {(a, A), (b, B ), (c, C )}¸ Ò ´ µ ÈÖÓÚ Ø Ø P × È ¸ Ø Ò Ø Ö Ü ×Ø× ÒÓØ Ö È ×Ù Ø Ø L(P ) = L(P )º ¸ × Ý P ¸ Û Ø ÓÒÐÝ ØÛÓ ×Ø ×ÝÑ ÓÐ× ËÓÐÙØ ÓÒ Ì ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ ÔÔÐ ØÓ È × Ü ØÐÝ Ø × Ñ × ÓÖ ´ µ Ê ÔÐ ØÖ Ò× Ø ÓÒ (qi , x, A) → (qj , B ) Ý ØÛÓ ØÖ Ò× Ø ÓÒ× (qi, x, A) → (qij, ε) Ò (qi j, ε, ε) → Ò Ò Û ×Ø Ø × q × Ò µº (qj , B ) ´ ´µ ÒÓ ×Ø ×ÝÑ ÓÐ X ∈ Γp Ò P Û Ø log2 (|Γp|) ¹Ð Ò Ø Ò ÖÝ ³ Ó ³ Ó X ´ µ Ê ÔÐ ÔÙ× ØÖ Ò× Ø ÓÒ (qi , x, ε) → (qj , A) Û Ø × ÕÙ Ò Ó ØÖ Ò× Ø ÓÒ× Ø Ø ÔÙ× ÓÓ A ØÓ Ø ×Ø ¸ Ò Ö Ú Ö× ÓÖ Ö¸ Ò ×Ø Ø × × Ò ´ µ Ê ÔÐ ÔÓÔ ØÖ Ò× Ø ÓÒ (qi, x, A) → (qj , ε) Û Ø × ÕÙ Ò Ó ØÖ Ò× Ø ÓÒ× Ø Ø ÔÓÔ Ó Ó A ÖÓÑ Ø ×Ø ´ Ò ×Ø Ø × × Ò µ º ÈÓ ÒØ× ¿¼ Ä Ø L Ø ÐÒÙ ÒÖØ ÝØ Ö ÑÑ Ö G ÐÓÛ S → XY | Y Y Y X → Yb | Y → aY | X ´ µ Ð Ñ Ò Ø ÐÐ ¹ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ× ÖÓÑ G ´Ó Ø Ò Ò Ö ÑÑ Ö G1 ÓÖ L − { }µº ËÓÐÙØ ÓÒ G1 × S → X | Y | XY | Y Y | Y Y Y X → b | Yb Y → a | aY | X ´ µ Ð Ñ Ò Ø ÐÐ ÙÒ Ø ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ× ÖÓÑ G1¸ Ó Ø Ò Ò G2 º ËÓÐÙØ ÓÒ Ì ÙÒ Ø ÖÙÐ × Ò G1 Ö S → X¸ S → Y Ò Y → Xº Ø Ö Ð Ñ Ò Ø ÓÒ Û Ø G2 S → b | Y b | a | aY | XY | Y Y | Y Y Y X → b | Yb Y → a | aY | b | Y b ´ µ ÈÙØ G2 ÒØÓ ÓÑ× Ý ÆÓÖÑ Ð ÓÖѸ Ó Ø Ò Ò G3 º ËÓÐÙØ ÓÒ ÌÓ ÓÒÚ ÖØ G2 ØÓ Æ Û ÒØÖÓ Ù ÖÙÐ × A → a Ò Ò Z → Y Y º G3 × S→ X→ Y→ Z→ A→ B→ B → b¸ Û Ð×Ó Ö ÔÐ S → YYY ÛØ S → YZ b | Y B | a | AY | XY | Y Y | Y Z b | YB a | AY | b | Y B YY a b º ÈÓ ÒØ× ¿¼ Ö Ú Ø ÓÒ × × ÕÙ Ò Ó ×Ù ×Ø ØÙØ ÓÒ× Ø Ø Ò Ö Ø ×ØÖ Ò ÖÓÑ ×ÓÑ ÒÓÒ¹ Ø ÖÑ Ò Ð Ó G¸ ÓÖ Ü ÑÔÐ S =⇒ SaSB =⇒ bbaSB =⇒ bbaaB =⇒ bbaaa ÓÙÐ Ö Ú Ø ÓÒ ×Ø Ô Ó Ö Ú Ø ÓÒ Û ÓÖ ×ØÖ Ò bbaaa ÖÓÑ ÒÓÒ¹Ø ÖÑ Ò Ð S Ò ×ÓÑ Ö ÑÑ Öº ÆÓØ Ø Ø Ò Ù×Ø ×Ù ×Ø ØÙØ ÓÒ ÒÓÒ¹Ø ÖÑ Ò Ð¸ ÓÖ Ü ÑÔÐ Ò Ø × ÓÒ ×Ø Ô Ó Ö Ú Ø ÓÒ× ÓÚ ¸ Ø Ö×Ø S × Ò ×Ù ×Ø ØÙØ Ý bbº Ì ÓÙØ ÓÑ Ó ×Ø Ô Ò Ö Ú Ø ÓÒ¸ × ÐÐ × ÒØ ÒØ Ð ÓÖÑ Ó Ø Ø Ö Ú Ø ÓÒ¸ ÓÖ Ü ÑÔÐ SaSB ¸ bbaSB ¸ bbaaB ¸ Ò bbaaa Ö ÓÙÖ × ÒØ ÒØ Ð ÓÖÑ× Ó Ø Ö Ú Ø ÓÒ ÓÚ º Ì Ò ÜÓ Ö Ú Ø ÓÒ × Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÒÙÑ Ö Ó ÒÓÒØ ÖÑ Ò Ð× Ò ÒÝ × ÒØ ÒØ Ð ÓÖÑ Ó Ø Ø Ö Ú Ø ÓÒº Ì Ò Ü Ó ×ØÖ Ò w Ò Ö Ø Ý Ö ÑÑ Ö G¸ ÒÓØ Ý idxG(w)¸ × Ø ×Ñ ÐÐ ×Ø Ò Ü Ó ÒÝ Ö Ú Ø ÓÒ Ø Ø Ö Ú × w ÖÓÑ Ø ×Ø ÖØ ×ÝÑ ÓÐ Ó Gº Ì Ò Ü idx(G) Ó Ö ÑÑ Ö G× Ò × idx(G) = maxw {idxG(w) | w ∈ L(G)}º Ë ÓÛ Ø Ø Ø Ò Ü Ó G ÓÚ Ö {a, b} Û Ø ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ× S → aSb | SS | × Ò Ò Ø º ËÓÐÙØ ÓÒ ´µ × ÑÔÐ Ò Ù Ø ÓÒ ÔÖÓÚ × Ø Ø Ú ÖÝ ÔÖ Ü Ó ×ØÖ Ò Ò L(G) ÑÙ×Ø Ú Ø Ð ×Ø × Ñ ÒÝ a³× × b³×¸ Ò Ø Ø Ú ÖÝ × ÒØ ÒØ Ð ÓÖÑ Ö Ú Ù× Ò G × ÑÙ×Ø ÓÒØ Ò Ò ÕÙ Ð ÒÙÑ Ö Ó a³× Ò b³×º ´ µ ÓÒ× Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò × ÕÙ Ò Ó ×ØÖ Ò × Ò L(G) w0 = ε wi+1 = awi bawi b, i ≥ 0 Ï Û ÐÐ ÔÖÓÚ Ø Ø ÐÐ wi ÐÓÒ ØÓ L(G) Ý × ÓÛ Ò ÓÛ ØÓ Ö Ú Ø Ñ ×Ø ÖØ Ò ÖÓÑ S º Ï Û ÐÐ Ð×Ó ÔÖÓÚ Ø Ø idxG (wi) = i + 1º ÈÖÓÓ Ý Ò Ù∗ Ø ÓÒ × Ë Ò S → ε Ò w0 = ε¸ idxG (w0) = 1º ÁÒ Ù Ø Ú ×Ø Ô Ä Ø Ù× ××ÙÑ Ø Ø ÓÙÖ Ð Ò ÓÐ × ÓÖ ×ÓÑ Ü iº Ì ×Ù ×ØÖ Ò wibawi × ÒÓØ Ò L(G)¸ × Ò ÔÖ Ü wi b ÓÒØ Ò× ÑÓÖ b³× Ø Ò a³× ´ Ù× Ø ÒÙÑ Ö Ó a³× Ò b³× Ò wi Ö Õ٠еº Ì Ö ÓÖ ÒÓ Ö Ú Ø ÓÒ Ó wi+1 Ò Ò Û Ø ÖÙÐ S → aSb ´Û Ø S ÓÒ Ø Ö Ø Ò × ÖÚÒ wibawi µº ËÓ¸ Ö Ú Ø ÓÒ Ó wi+1 Ü ×Ø׸ Ø ÑÙ×Ø Ò Û Ø Ø ÖÙÐ S → SS º Ì Ø × Û ÑÙ×Ø Ð ØÓ ×ÔÐ Ø Ø ×ØÖ Ò Ò ØÛÓ Ô ÖØ× ´ÔÖ Ü Ò ×٠ܵ¸ ×Ù Ø Ø ÓØ ÐÓÒ ØÓ L(G)º Ì ÓÒÐÝ ÔÖÓÔ Ö ÔÖ Ü Ó wi+1 Ø Ø ÐÓÒ × ØÓ L(G) × awib ´× Ò Ò Ú ÖÝ ÓØ Ö ÔÖ Ü Ø ÒÙÑ Ö Ó a³× × Ö Ø Öµº ÙÖØ ÖÑÓÖ ¸ ÒÝ Ö Ú Ø ÓÒ Ó awib ÑÙ×Ø Ò Û Ø Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó S → aSb ´ Ô ÖØ ÖÓÑ Ø ØÖ Ú Ð Ö Ú Ø ÓÒ ÒÒ Ò Û Ø S → SS Ò Û Ø × ÓÒ ÓÖ Ø Ö S × Ð Ø Ö Ö Ù ØÓ εµ Ð× ¸ Û × ÓÙÐ Ð ØÓ ÜÔÖ ×× awib = aawi−1bawi−1 bb × xy ÓÖ ×ÓÑ x, y ∈ L(G)/{ε}º ÀÓÛ Ú Ö¸ × Ò Ú ÖÝ ÔÖ Ü Ó wi−1 ÓÒØ Ò× Ø Ð ×Ø × Ñ ÒÝ a³× × b³×¸ ÒÓ ÔÖÓÔ Ö ÔÖ Ü Ó awib ÓÒØ Ò× Ò ÕÙ Ð ÒÙÑ Ö Ó a³× Ò b³×º ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ ×¸ ÒÓ ÔÖÓÔ Ö ÔÖ Ü Ó awib × ×ØÖ Ò Ò L(G)º ÌÓ ×ÙÑÑÙÖ Þ ¸ Û Ú × ÓÛÒ Ø Ø Ø Ö×Ø ÖÙÐ ÔÔÐ Ò ÒÝ Ö Ú Ø ÓÒ Ó wi+1 ÑÙ×Ø S → SS ¸ Û Ö Ó S ³× ÓÒ Ø Ö Ø Ò × Ò Ö Ø × awi bº Ý ÓÙÖ Ò Ù Ø ÓÒ ÝÔÓØ × ×¸ idxG (wi ) = i + 1º ÙÖØ ÖÑÓÖ ¸ Ø S Ø Ø Ö Ú × Ø ÓØ Ö awib ÑÙ×Ø Ð×Ó ÔÖ × ÒØ Û Ð Ø Ö×Ø awib × Ò Ö Ú º Ì Ö ÓÖ ¸ idxG (wi+1) = (i +1)+1¸ ÔÖÓÚ Ò ÓÙÖ Ò Ù Ø ÓÒ ÝÔÓØ × ×º ´ µ ËÙÔÔÓ× ÒÓÛ¸ Ø Ø Ò Ò Ü Ó G × ×ÓÑ Ò Ø kº Ì Ò Û Ò ÓÒ×ØÖÙ Ø ×ØÖ Ò idxG (wk ) = k + 1¸ ÓÒØÖ Ø ÓÒº À Ò ¸ Ø Ò Ü Ó G × Ò Ò Ø º º ÈÓ ÒØ× ¾¼ ÈÖÓÚ A = {0j 1k | k > j 2 } wk ¸ ×Ù Ø Ø × ÒÓØ ÓÒØ Üع Ö º ËÙÔÔÓ× ØÓ Ø ÓÒØÖ ÖÝ Ø Ø A × ÓÒØ Üع Ö º Ä Ø p Ø ÔÙÑÔ Ò Ð ÑÑ ÓÒ×Ø ÒØ ÓÖ A Ò Ð Ø s = 0p 1p +1 º Ý Ø Ä ÔÙÑÔ Ò Ð ÑÑ ¸ s = uvwxy ¸ ×Ù Ø Ø |vwx| ≥ p Ò |vx| > 0¸ Ò uviwxiy ∈ A ÓÖ ÐÐ i ≥ 0º Á vx × ÒÓ 0³×¸ Ø Ò Ý × ØØ Ò i = 0¸ Û Ö × Ø ÒÙÑ Ö Ó 1³× Û Ø ÓÙØ Ò Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó 0³× Ò Ø × Ó Ú ÓÙ×ÐÝ Ú × Ù× ×ØÖ Ò ÒÓØ Ò Aº ÇÒ ÓØ Ö Ò ¸ vx × ÒÓ 1³×¸ Ý ÔÙÑÔ Ò Ø ÒÓÙ ÒÙÑ Ö Ó Ø Ñ ×¸ ÓÒ Ò Ñ Ø ÒÙÑ Ö Ó 0³× ÖÓÛ Û Ø ÓÙØ Ò Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó 1³× Ò Ø Ù× Ö ×ÙÐØ Ò Ò ×ØÖ Ò × ÒÓØ Ò Aº ËÓ¸ ××ÙÑ Ø Ø vx × Ø Ð ×Ø ÓÒ 1 Ò ÓÒ 0º ÆÓØ Ø Ø Ò Ø Ö Ó v Ò x Ò Ú ÓØ 1³× Ò 0³× × Ò ÓØ ÖÛ × Û Ø ÓÒ ÔÙÑÔ Ø ×Ø Ö Ò Û Ø Û ÐÐ ÒÓØ Ó Ø ÓÖÑ 0∗1∗ ÁØ ÓÐÐÓÛ× Ø Ø v = 0r Ò x = 1s ÓÖ ×ÓÑ r, s > 0º Ì Ù׸ uviwxiy = 0p+(i−1)r 1p +1+(i−1)s º ÁÒ ÓÖ Ö ÓÖ Ø × ×ØÖ Ò ØÓ Ò A ÓÖ ÐÐ i ≥ 0¸ Ø Ò ÕÙ Ð ØÝ p2 + 1 + (i − 1)s > [p + (i − 1)r]2 Ò × ØÓ ÓÐ ÓÖ ÐÐ i ≥ 0º ÓÖ i > 1¸ Û Ú 2p(i − 1)r > 1 Ò Ø Ù× Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÑÙ×Ø ÓÐ 2 2 ËÓÐÙØ ÓÒ p2 + 1 + (i − 1)s > [p + (i − 1)r ]2 = p2 + (i − 1)2 r 2 + 2p(i − 1)r > p2 + 1 + [(i − 1)r ]2 . Ë ÑÔÐ Ý Ò ¸ Ø Ò ÕÙ Ð ØÝ (i − 1)s > [(i − 1)r]2 × ØÓ ÓÐ ÓÖ ÐÐ i > 1¸ Û Ð Ö i × Ò × ÙÒ Ø ÓÒ× Ó i¸ (i − 1)s = o((i − 1)2r2)º º ÈÓ ÒØ× ¿¼ Ú Ò A = {(0i1j )k | 1 ≤ i < j, k < 2i}¸ Ó Ú ÓÙ×ÐÝ Ð× ÓÖ ×Ù ÓÖ Ø ÒØÐÝ ÓÒ×ØÖÙ Ø È ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ó Aº Ï Ð ×Ø ÒÙÑ Ö Ó ×Ù ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ× Ø Ø Ò ×ØÖ Ò w × Ø × × ÒÝ Ó Ø Ñ¸ Ø ÐÓÒ × ØÓ Ac º ÁØ Û ÐÐ ×Ý ØÓ Ø Ø ÒÝ ×ØÖ Ò Ò A × Ø × × Ø Ð ×Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒ Ø ÓÒ׺ ÅÓÖ ÓÖÑ ÐÐݸ Û Ò6 c Ð Ò Ù ×¸ A1, . . . , A6 ×Ù Ø Ø A = A1 ∪ . . . ∪ A6 º Ï Ø Ò Ñ È ÓÖ Ó Ø Ð Ò Ù ×º c È ÓÖ A Ò × ÐÝ ÓÒ×ØÖÙ Ø Ý Ø Ò Ø ÙÒ ÓÒ Ó Ø È ×º Ö×ظ Û Ò ×ÓÑ ÒÓØ Ø ÓÒº Ý 0¹ÖÙÒ Ó w¸ Û Ñ Ò Ñ Ü Ñ Ð ×Ù ×ØÖ Ò Ó 0³×º ½¹ÖÙÒ × Ò × Ñ Ð ÖÐݺ Ý wi0 Ò wi1¸ Û ÒÓØ Ø iØ 0¹ÖÙÒ Ò iØ 1¹ÖÙÒ Ó w Ö ×Ô Ø Ú ÐÝ ´ÓÖ w × Ð ×× Ø Ò i 0¹ÖÙÒ× ÓÖ 1¹ÖÙÒ×µº Ï ÒÓØ Ý w 0 Ò w 1 Ø ÒÙÑ Ö Ó 0¹ÖÙÒ× Ò 1¹ÖÙÒ× Ó w¸ Ö ×Ô Ø Ú Ðݺ Ò ÐÐݸ Ý ÐÓ Ó w Û Ñ Ò ×Ù ×ØÖ Ò Ó w ÓÒ× ×Ø Ò Ó 0¹ÖÙÒ ÓÐÐÓÛ Ý 1¹ÖÙÒ¸ Ò Û Ð Ø w ÒÓØ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÐÓ × Ò wº Ì × Ü ÓÒ Ø ÓÒ× Ö × ÓÐÐÓÛ× ½º w ×Ø ÖØ× Û Ø 1º º ¸ A1 = 1(0 + 1)∗º ¾º w Ò × Û Ø 0º º ¸ A2 = (0 + 1)∗0º ¿º w ×Ø ÖØ× Û Ø 0¸ Ò ÓÖ ×ÓÑ i¸ Ø iØ 0¹ÖÙÒ Ó w × ÒÓØ Ø × Ñ Ð Ò Ø × Ø (i + 1)Ø 0¹ÖÙÒº º ¸ A3 = {w|w = 0w Ò |wi0 = |wi0+1 ÓÖ ×ÓÑ i < w 0}º º w ×Ø ÖØ× Û Ø 0¸ Ò ÓÖ ×ÓÑ i¸ Ø iØ 1¹ÖÙÒ Ó w × ÒÓØ Ø × Ñ Ð Ò Ø × Ø (i + 1)Ø 1¹ÖÙÒº º ¸ A4 = {w|w = 0w Ò |wi1 = |wi1+1 ÓÖ ×ÓÑ i < w 1}º º w ×Ø ÖØ× Û Ø 0¸ Ò Ø Ð Ò Ø Ó Ø Ö×Ø 0¹ÖÙÒ × Ö Ø Ö Ø Ò ÓÖ ÕÙ Ð ØÓ Ø Ð Ò Ø Ó Ø Ö×Ø 0 1 1¹ÖÙÒº º ¸ A5 = {w |w = 0w Ò |w1 | ≥ |w1 |}º º w ×Ø ÖØ× Û Ø 0¸ Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó ÐÓ × Ò w × Ö Ø Ö Ø Ò ÓÖ ÕÙ Ð ØÓ ØÛ Ø Ð Ò Ø Ó Ø 0 Ö×Ø 0¹ÖÙÒº º ¸ A6 = {w|w = 0w Ò w ≥ 2|w1 |}º ÁØ × ÛÓÖØ ÒÓØ Ò Ø Ø ÓÖ A5 ¸ Û ÓÒÐÝ Ò ØÓ ÐÓÓ Ø Ø Ö×Ø ÐÓ º Á Ø Ö×Ø ÐÓ × Û Ö 0³× Ø Ò 1³×¸ ÙØ ×ÓÑ Ð Ø Ö ÐÓ Ó × ÒÓظ Ø Ò Ø ÒÔÙØ ×ØÖ Ò Û ÐÐ Ò A3 ÓÖ A2 ÒÝÛ Ýº Ï ÓÒ×ØÖÙ Ø È ÓÖ Ai º A1 Ò A2 Ö ×ØÖ Ø ÓÖÛ Ö º ¿º Ï Ù× ÒÓÒ Ø Ö ØÖ ÒØ ×Ø ÓÖ 1¹ÖÙÒ ÓÑ × Û ÖÑ Ò ×Ñ ØÓ Ù ×× Û 0¹ÖÙÒ ØÓ ×Ø ÖØ Ò×Ô Ø Ò º Ï ÔÙ× 0³× ØÓ Ø ×Ø ÓÖ 0¹ÖÙÒ¸ Ø Ò Ö ÓÚ Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò 1¹ÖÙÒº ÓÖ Ø Ò ÜØ 0¹ÖÙÒ¸ Û ÔÓÔ 0 ÖÓÑ Ø Ö Ø Öº Û ÔØ Ø ×Ø ÓÑ × ÑÔØÝ Û Ð ÑÓÖ 0³× Ö Ñ Ò¸ ÓÖ Ø Ò ÜØ Ð Ø ×Ø × ÒÓÒ ÑÔØÝ ËÓÐÙØ ÓÒ 1, Z/Z 0, 0/ 00 1, 0/ 0 0, Z/ 0Z 1, 0/ 0 0, 0 0, 0 1, Z/Z 0, Z/Z 0 ,Z/Z 1, 0/ 0 0, Z/Z º × ÐÐÝ Ø × Ñ × A3 ¸ Ü ÔØ ÓÑÔ Ö Ò ÓÒ× ÙØ Ú 1¹ÖÙÒ× Ò×Ø ÓÖ Ö ØÖ ÒØ º ËØÖ Ø ÓÖÛ Ö º Ï ÔÙ× 0 ØÓ Ø ×Ø ÓÖ Ö Ø Ö Ò Ø Ö×Ø 1¹ÖÙÒº Ï ÔØ Ø 1¹ÖÙÒ Ò × Ü Ù×Ø Ò Ø ×Ø º 0 , 0 / 00 0 ,Z/ 0 Z Ó 0¹ÖÙÒ׺ Ö×Ø 0¹ÖÙÒº Ì Ò Û ÔÓÔ 0 ÓÖ ´ÓÖ Ø Ø × Ñ Ø Ñ ×µ 1, 0 1, 0 0 ,Z/Z 0, 0/ 0 * º Ë Ñ Ð Ö ØÓ ´ µº Ï ÔÙ× ØÛÓ 0× ØÓ Ø ×Ø ÓÖ Ö Ø Ö Ò Ø Ö×Ø 0¹ÖÙÒº Ì Ò ØÑ Û Ò ÐÓ ´× 0 Ø Ö × Ò 1µ¸ Û ÔÓÔ 0 ÖÓÑ Ø ×Ø º × ×ÓÓÒ × Ø ×Ø × ÑÔØ ¸ Û ÔØ ÐÐ Ö Ñ Ò Ò ÒÔÙغ º ÈÓ ÒØ× ¿¼ ÚÒ X = (V, Σ, R, S ) ×Ù Ø Ø ÓÖ ÐÐ v ∈ V ¸ Ø Ö × × Ò Ð ÓÒ Ø Ð Ø × ¸ × ÓÛ Ø Ø L(X ) × ÔØ Ý ×ÓÑ º r∈R ÛØ v Ï ××ÙÑ Ø Ø Ø Ö Ö ÒÓ Ù× Ð ×× ×ÝÑ ÓÐ× Ò X º ÆÓØ Ø Ø Ø ÒÙÑ Ö Ó ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ× Ò X × ÕÙ Ð ØÓ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÒÓÒ¹Ø ÖÑ Ò Ð× × Ò ÓØ ÖÛ × Ø Ö Ö ÑÓÖ ÒÓÒ¹Ø ÖÑ Ò Ð× Ø Ò Ø Ö Ö ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ׸ ×ÓÑ ÒÓÒ¹Ø ÖÑ Ò Ð ÑÙ×Ø ÔÔ Ö ÓÒ Ø Ð Ø × Ó ÑÓÖ Ø Ò ÓÒ ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ Ò Ø Ö Ö ÑÓÖ ÒÓÒ¹Ø ÖÑ Ò Ð× Ø Ò Ø Ö Ö ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ׸ ×ÓÑ ÒÓÒ¹Ø ÖÑ Ð× Ö Ñ Ò ÙÒ Ò Ò Ø Ö ÓÖ Ù× Ð ×׺ Ï ÒÓÛ × ÓÛ Ø Ø Ø Ð Ò Ù Ó Ø × Ö ÑÑ Ö× Ö Ö ÙÐ Ö Ý Ò Ù Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÒÓÒØ ÖÑ Ò Ð׺ Á Ø Ö × Ü ØÐÝ ÓÒ ÒÓÒ¹Ø ÖÑ Ò Ð S ´ Ò Ø Ö ÓÖ ÓÒÐÝ ÓÒ ÔÖÓ Ù Ø ÓÒµ¸ Ø Ò Ø× Ö Ø × ÑÙ×Ø ÓÒ× ×Ø ÓÒÐÝ Ó Ø ÖÑ Ò Ð× Ò Ø Ö ÓÖ L(X ) Û ÐÐ ÓÒ× ×Ø Ó ÓÒÐÝ ÓÒ ÛÓÖ Ò Ò Û ÐÐ Ö ÙÐ Öº ËÙÔÔÓ× Ø ×Ø Ø Ñ ÒØ Ó Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÓÐ × ÓÖ ÐÐ Ö ÑÑ Ö× × Ø × Ý Ò Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ó ÓÙÖ ÔÖÓ Ð Ñ ×Ø Ø Ñ ÒØ Û Ø Ð ×× Ø Ò k ÒÓÒ¹Ø ÖÑ Ò Ð× Ò Ð Ø X ×Ù Ö ÑÑ Ö Û Ø Ü ØÐÝ k ÒÓÒ¹Ø ÖÑ Ò Ð׺ Ì Ò Ø Ö ÑÙ×Ø Ü ×Ø Ø Ð ×Ø ÓÒ ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ A → α Û Ø ÒÓ ÒÓÒ¹Ø ÖÑ Ò Ð× Ò Ø× Ö Ø Ò × × Ò ÓØ ÖÛ × ¸ ÒÓ ÒÓÒ¹Ø ÖÑ Ò Ð Û ÐÐ Ù× Ùк Ë Ò Ø Ö × Ø ÓÒÐÝ ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ Û Ø A ÓÒ Ø× Ð Ø Ò × ¸ Û Ò Ö ÔÐ ÐÐ Ó ÙÖÖ Ò × Ó A Ò Ø Ö Ø Ò × Ó ÓØ Ö ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ× Û Ø αº Ì × Ú × Ù× Ö ÑÑ Ö X ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ X Û Ø ÓÒ Ð ×× ÒÓÒ¹Ø ÖÑ Ò Ðº Ý Ò Ù Ø ÓÒ ÝÔÓØ × ×¸ L(X ) = L(X ) × Ö ÙÐ Ö¸ Ø Ö ÓÖ Ø Ö Ü ×Ø× Ø Ø ÔØ× Øº ËÓÐÙØ ÓÒ ...
View Full Document

Ask a homework question - tutors are online