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02_simplexe - ` Algebre lineaire Algorithme du simplexe...

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Alg`ebre lin´eaire Algorithme du simplexe R´esum´e Algorithme du simplexe Une solution `a la programmation lin´eaire Hugues Talbot Laboratoire A2SI 18 mars 2008
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Alg`ebre lin´eaire Algorithme du simplexe R´esum´e Plan Alg`ebre lin´eaire Algorithme du simplexe Formulation et forme standard Notations Recherche d’une solution optimale
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Alg`ebre lin´eaire Algorithme du simplexe R´esum´e Matrices, inverses etc Il est n´ecessaire de maˆ ıtriser un minimum d’alg`ebre lin´eaire : matrices (addition, multiplication etc), inverses etc. Pour les exercices, TD, TPs et examen, on peut vous demander d’inverser `a la main une matrice 3 × 3. Un cours complet d’alg`ebre lin´eaire : http://joshua.smcvt.edu/linearalgebra/ : 440 pages, libre, avec toutes les preuves et la solution de tous les exercices.
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Alg`ebre lin´eaire Algorithme du simplexe R´esum´e Exemple - fabrique de ceintures Une usine de ceinture en fabrique de 2 sortes : luxe et standard Chaque type demande 1 m 2 de cuir Une ceinture standard demande 1h de travail Une centure de luxe 2h Chaque semaine, on dispose de 40 m 2 de cuir et de 60h de travail. Chaque ceinture standard rapport 3 Euros Chaque ceinture de luxe 4 Euros. Maximiser le profit.
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Alg`ebre lin´eaire Algorithme du simplexe R´esum´e Formulation x 1 = nombre de ceintures de luxe produites par semaine x 2 = nombre de ceintures standard produites par semaine Maximiser z = 4 x 1 + 3 x 2 , avec x 1 + x 2 40 contrainte sur le cuir (1) 2 x 1 + x 2 60 contrainte sur le travail (2) x 1 , x 2 0 contrainte de signe (3)
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Alg`ebre lin´eaire Algorithme du simplexe R´esum´e Conversion en forme standard On souhaite convertir toute les in´egalit´es en ´egalit´es. Pour chaque variable on d´efinit une variable de “manque” s i . Toutes les s i sont positives. Ici s 1 = 40 - x 1 - x 2 (4) s 2 = 60 - 2 x 1 - x 2 (5) Le probl`eme s’´ecrit maintenant sous la forme standard : Maximiser z , avec : z = 4 x 1 + 3 x 2 x 1 + x 2 + s 1 = 40 2 x 1 + x 2 + s 2 = 60 x 1 , x 2 , s 1 , s 2 0
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Alg`ebre lin´eaire Algorithme du simplexe R´esum´e Probl`eme du r´egime On veut suivre un r´egime qui impose de manger un ´el´ement des 4 groupes de base : chocolat, cr`eme glac´ee, soda et gˆateau. Une barre de chocolat coˆute 50 centimes, une part de cr`eme glac´ee 20 centimes, chaque bouteille de soda 30 centimes et une part de gˆateau 80 centimes. Chaque jour je dois ing´erer 500 calories, 60g de chocolat, 100g de sucre et 80g de lipides. Le contenu nutritionnel de chaque type de nourriture est donn´e ainsi Cal. Choc. (g) Sucr. (g) Lip. (g) barre chocolat 400 30 20 20 cr`eme glac´ee 200 20 20 40 cola 150 0 40 10 gˆateau 500 0 40 50
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Alg`ebre lin´eaire Algorithme du simplexe R´esum´e Formulation On veut minimizer le coˆut du r´egime.
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