ë³µì�� - ¤ Ÿè3† 4™K$< Æ ñ sð r 2000¸...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ¤ Ÿè3† 4™K$< Æ ñ sð r 2000¸ 2 21{ 4  Z 9 ´ â V 1 * ¡šÊ  × ¿Á ‘´ 1 1.1 4™Ã_ ß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¤ Ÿèº – ƒí 1 1.2 Gýð< ½~ñ” Fa³ü 2 †½&d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ÓÓ  8  × 7Á V 2 * B„ÁÊ ‘ þ 19 2.1 ¤ ¨ ò  Ÿè  i 4™î€_ %% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Ê 4™Ã_ <à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¤ Ÿèº †º 23 2.3 Ç Fô G .............................. 25 2.4 Åí q ƒ5$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.5 r p$ p0í . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ì x 37 2.6 Ê 3<º K$†Ã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 V 3 * ee† ´šÁÊ  × Ô\ê ¡¿þÁ ‘ µ>   57 3.1 Ê tÆà ez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ƒº<º  57 3.2 ™•< ŒŒ†º yÊà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3 ©Bþ<º Š/+†Ã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . œGAÊ 64 3.4 Ъ†º<  –Õ<Ãü t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ê 66 3.5 ¤ Ÿè º 4™ tà 73 3.6 ™•Ê iŒŒ<º< iŠB<º %y†Ãü %œ/†Ã ©GÊ ........................... .................. ‘ ´   * ¿ \P V 4 × ¡š †& 76 79 4.1 H< ¤ ¯¦ Ÿèú`  †º 4™° t Êà w(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.2 1d‚õ 1”& . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x xr p” pd‚hì 85 4.3 & Cauchy-Goursat ño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.4 Cauchy &r/õ 66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 N” xx hìBd £ 4.5 ¤  Ÿèhr Ò¹ ñ 4™&ì_ ů &o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 i ii q l 3  × ³Á V5* ;Ê ‘¹ 5.1 PL  Ã\õ /Ã_ ç . . º åº º4 5.2 L 4åº "/à . . . . . . . . . 5.3 Ê 3<º 4åºð& K$†Ã_ "/ó‰ L ³ 5.4 /à ³‰_ Ä{$ . . L åº ð& »9í ³  . . . . 127 . 127 . 133 . 143 . 161 . . . . 165 . 165 . 172 . 176 . 186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‘ ;  × ÂÁ?  V 6 * ËÊÿ ³ 6.1 ¤ £hõ »º :s& Äà . . . . . . . . . . . . . 6.2 ¤ £hõ G :s& F . . . . . . . . . . . . . . 6.3 H ½ ÄÃ\ ½  ÓZ . . . . . . . . . . »º ¨ ~O ¦ 6.4 »º   ô h – ÄÃ&o\ s6 s©&ì_ >í ñ ¦ xÇ œr ß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . × V1* ‘ ´¿Á šÊ ¡ ‰ â V1 ¡ >5 ´¿Á+ oñ šÊ˜ ¥Ñ 4™Ã zÃ\ z”_ &ܖ Òyô õ °s f“ ý³ x < y _ 4 ¤ Ÿèº º ‚ h¼Ð qŒ  ú ”§ að ü  Ÿ H ´ ¦ ´f  ¤ t•Ç ¯   x H´ t H œ ¼Ð ñÉ º ”  è ¨€/ h¼Ð /£& ºþ f© ™ î?_ &ܖ @6÷ zÃ[_ í"Š (x, y ) ܖ &_½ à e.  + zà x \ û0_ & (x, 0) ܖ  ?€ 4™Ã zÃ\ Âì9ËÜ ¦´ ¤  H ´ ¦ r+ ´ º  zº¡A h ¼Ð / Ÿèº º Ò|½¼ ¤ x H ¦ –" Ÿ†ô. y »0_ &[\ @6  & (0, y ) _ +I_ 4™Ã\ ' Ðf í<Ç ¡A hþ /£ h Ê ¤ t  þ Ÿèº K A ¤ ¤` Ç ‡Á¦  ¡¦ ‡Á´  )Ê“ ô. y » )Ê s ô. Ç  ¦  4™Ã (x, y ) \ z “ æ ¤ Ÿèº  ¦ ¼€ (1.1) z = (x, y )  : º < ¦ ŒŒ  ™ÁÙ< ‡ÁÙ ¦ s. sM zà x ü y \ yy z _ ÊÉü )ÊÉ “ ´  •• (1.2) Re z = x, Im z = y > Ð · ªË –  (Õa 1.1). p ¤   º Ÿèº â Ò ¯¦  ¼ ¹ ǘ 1.1 zj = (xj , yj ), j = 1, 2 s . ¿ 4™Ã_ žn, T, œ`  + a 6õ °s &_Ç. § ô £ ú ñ (i) z1 = z2 ⇐⇒ x1 = x2 , y1 = y2 . (ii) z1 + z2 = (x1 + x2 , y1 + y2 ) (iii) z1 z2 = (x1 x2 − y1 y2 , y1 x2 + x1 y2 ). ƒß r´ É zº ºÐ jÇ  Ô Ç§ ½” 1.1 ñ_ 1.1 \" – (ii) < (iii) “ Ã_ âĖ ]ô  & f  í ü € (x1 , 0) + (x2 , 0) = (x1 + x2 , 0) = (x1 + x2 , 0) 1 1 œ 4™Ã j © Ÿèº ¤ 2 (x1 , 0)(x2 , 0) = (x1 x2 , 0) sٖ 4™Ã>H zÃ>_ Û Sœs. ¼Ð Ÿèº º ƒ¼Qr X ¤ î ‰© ´  e__ 4™Ã z = (x, y ) = (x, 0) + (0, y ) – j à eÜ9 &_ 1.1 \  ” Ÿèº Ð þ º ”¼ ñ  t   ¤  _ €  (0, 1)(y, 0) = (0, y ) ” ú º  f Ÿèº e ¤ ¦ e` · à ”. " 4™Ã\ ¦ ˜ z = (x, 0) + (0, 1)(y, 0)  РҌ¦  H‡º ¼Ð þ º  j º ¸H ܖ j à ”. s] zÃ\ x ¢ (x, 0) – ty “ i \ í)à (0, 1) t e ´¦ q• ¦ Ð / Ÿèº –  ?€ 4™ÃH ¤  (1.3) z = x + iy – j à e. Äo Y z 2 = zz, z 3 = zzz, · · · ܖ  ?€ Ð þ º ” º þj  ¼Ð / t vL  i2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) H ¸ ¢ i2 = −1 ¦ ˜ e ú º e ³` x  & ”` · à . (1.3) _ ³‰ s6 € ñ_ 1.1 (ii) < (iii) “ ”  ð&¦    ü r É (1.4) (x1 + iy1 ) + (x2 + iy2 ) = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ) (1.5) (x1 + iy1 )(x2 + iy2 ) = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 ) Ð þ º e – j à ”.  t £ ñ Ÿèº ºü úÉ ‰ $9` ¦ e£¦ p 6 &o 4™Ã zÃ< °“ ^_ í| t“ ”6 >ô. H´ ¦ § H¤ r §` wÇ tr § r í¦  ¤ ŸèºþÉ £ úÉ $|`   ah 1.1 4™Ã[“ 6õ °“ 9 ”. Ç (i) z1 + (z2 + z3 ) = (z1 + z2 ) + z3 (ii) z1 + z2 = z2 + z1  ”Œ (iii) ”__ 4™Ã z \ @K" †1" 0 = (0, 0) s >F #  Ÿèº  /f ½p¶ e ¤ Óxé r z + 0 = 0 + z = z. 1 X 4™Ã_ í j ] Ÿèº ƒ– ¤ ß 3 (iv) y 4™Ã z = (x, y ) \ @K" %¶ −z = (−x, −y ) s ”F # •¤ Œ Ÿèº  /f i" r é  >Œ z + (−z ) = (−z ) + z = 0. (v) z1 (z2 z3 ) = (z1 z2 )z3 (vi) z1 z2 = z2 z1 (vii) ”__ 4™Ã z \ @K" †1" 1 = (1, 0) s rF # ½xé > e ¤  ”Œ  Ÿèº  /f Óp¶ z 1 = 1z = z. x   Œ Ÿèº •¤  /f i¶ é (viii) 0 s  y 4™Ã z = (x, y ) \ @K" %" z −1 = ( x2 +y2 , x2−yy2 ) + r  ”Œ s >F # zz −1 = z −1 z = 1. (ix) (z1 + z2 )z3 = z1 z3 + z2 z3 «Ë  Ö_ í| ”ã $9 (iv) ü (viii) ¦ ]@ô Qt $9“ &_– Â' ” 7"  ` jü   í|É ñÐ Ò £î Ç fX x < r ).  a (iv) z = (x, y ) { M »l\ aô %" −z = (−x, −y ) “ 1d z +(−z ) = 9 : ! ›Ç ié  r ' ¶ r x É p” 0  ß7ô. ¦ –¤Ç ` ëá  /f ! ' i" (viii) z = (x, y ) = (0, 0) \ @K" Yl\ ›ô %¶ z −1 = (u, v ) “ Lr aÇ é ¦  ªQ€ p” . Õ 1d (x, y )(u, v ) = (1, 0) ܖ Â' ptà u, v \ aô ƒw ¼Ð Ò º  x  ›Ç n '  Óñ ½&” ~ d xu − yv = 1, yu + xv = 0 Û Ç ¦   3H f <  'Œ ¦ »9  ` %. " u ü v \ › # € Ä{ô K a u= x2 x , + y2 v=− x2 y + y2 ¦ H  3 f Yl a iéÉ \ %. " L!\ 'ô %"“ r ›Ç ¶r z −1 = y x ,− x2 + y 2 x2 + y 2 < /f < ⦠Ä` ¿ 4™Ã z1 ü z2 \@K" ü  º Ÿèº ¤ (1.6) z1 − z2 = z1 + (−z2 ) (1.7) z1 − = z1 z2 1 z2 . 1 œ 4™Ã j © Ÿèº ¤ 4 ¼Ð ñ ܖ &_ô. Ç – ß9 ë{ z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 s (1.7) ü ño 1.1 (viii) –Â'  <  & € ÐÒ x2 −y 2 z1 = (x1 , y1 ) 2 + y 2 , x2 + y 2 z2 x2 2 2 2 x1 x2 + y1 y2 y1 x2 − x1 y2 , = 2 2 2 x2 + y2 x2 + y 2 2 y1 x 2 − x 1 y2 x1 x2 + y1 y2 = +i 2 + y2 2 x2 x2 + y2 2 2 (1.8) (z2 = 0). ` 3 £ BÉ èA P¿+ ª¦ ÒÔ Œ 1  ¦ H  %. 6 /”“ ™0 &˜˜ Ëh“ ÂØ9 €l l ~. § Ndr ™  z1 (x1 + iy1 )(x2 − iy2 ) = . z2 (x2 + iy2 )(x2 − iy2 ) (1.9) (i) z1 z2 = 0 s z1 = 0 s z2 = 0 s.  €   ÃV 1.1  Z (ii) z1 +z2 2 z3 = z1 z3 + z2 z3 , z3 = 0 . (iii) z1 z2 (iv) 1 z1 z2 = 1 z1 1 z2 z1 = 0, z2 = 0. (v) z1 z2 z3 z4 = z1 z3 z2 z4 z3 = 0, z4 = 0. = z1 1 z2 z2 = 0. × ™e 1.1 6 4™Ã_  4™Ã +dܖ  ?r¯. §¤ ¦ ¤ A” £ Ÿèº ]` Ÿèº þ¼Ð /¹ (2 − 3i)(1 − i) −1 − 5i 15 2 − 3i = = = − − i. 1+i (1 + i)(1 − i) 2 22 4™Ã z = (x, y ) \ 4™ ¨?_ 7'– Òy € 4™Ã_ Us\ ¤ Ÿèº ¦ ¤   Ÿè î€/ ˜Ð tŒ Ÿèº ¦ ´ q•  ¤ 7'_ Us– &_  s ƒÛX. 4™Ã z = x + iy _ l |z | \ ˜ Ð   ¼O Ÿèº ´ ñ   ™  ¦ H¯ ¤ |z | = (1.10) x2 + y 2 – &_ô(ÕË 1.2). ¿ 4™Ã z1 ü z2 _ h\ |z1 − z2 | – &_ Ð ñ ª> a ¤ Ç º Ÿèº   ¦ Ð ñô < Ç – < €  ªË (Õa 1.3). ë{ z1 = x1 + iy1 ü z2 = x2 + iy2 s > ß9  |z1 − z2 | = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 s. 4™Ã z = x + iy _ œb ´šÊ\ x − iy – &_ “ z – (Õ  Ÿèº  ¯Ë ¡¿Á¦ ¤ »c   Ð ¦ ¯ Ð  ª ñ H Ë 1.4). a > 1 X 4™Ã_ í j ] Ÿèº ƒ– ¤ ß 5  Z ÃV 1.2 4™Ã z ü zk , (k = 1, 2) \ @K" 6s nÇ.  /f £ íwô ¤ Ÿ èº < § $ (i) Re z = z +¯ z 2 , Im z = ¯¯ (iii) z1 z2 = z1 z2 z −z ¯ 2i (ii) z1 ± z2 = z1 ± z2 ¯ ¯ (iv) z1 z2 z1 ¯ z2 ¯ z2 = 0 |z1 | | z2 | z2 = 0 = (v) Re z ≤ |Re z | ≤ |z |, Im z ≤ |Im z | ≤ |z | (viii) ¯ (vi) |z |2 = z z z1 z2 = (ix) |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | (vii) |z1 z2 | = |z1 ||z2 | (x) ||z1 | − |z2 || ≤ |z1 − z2 | «Ë Ö_ ”ã î rr f x a j /ÒÉ ñÐ Ò X £î) "]_ @Âì“ &_– Â' ”] 7". |z1 + z2 |2 = (z1 + z2 )(z1 + z2 ) = (z1 + z2 )(¯1 + z2 ) ¯ z = z1 z1 + (z1 z2 + z1 z2 ) + z2 z2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = |z1 |2 + (z1 z2 + z1 z2 ) + |z2 |2 ª< ÕX  ¯ z1 z2 + z1 z2 = 2Re(z1 z2 ) ≤ 2|z1 z2 | = 2|z1 ||z2 | ¯ ¯ ¯ ¼Ð sٖ |z1 + z2 |2 ≤ |z1 |2 + 2|z1 ||z2 | + |z2 |2 = (|z1 | + |z2 |)2 s. ¢ 0_ 7" 6 €  ¸ô A £îz¦   Ç x ´` x  |z1 | = |(z1 + z2 ) + (−z2 )| ≤ |z1 + z2 | + | − z2 | ¼Ð sٖ |z1 | − |z2 | ≤ |z1 + z2 |  s. z1 õ z2 _ %` Ë "  Â1”` %H.  ¸¦  iÖ ¨ ¶ Òp 3 € é H xd¦  ìø7< Å©Ã ŽFØg § ߦ –– 1. 6 >í` ßéy #. £ – çß Œ √ √ (a) ( 2 − i) − i(1 − 2i) (b) (2, −3)(−2, 1) (c) (3, 1)(3, −1) 11 5 , 10 (d) (e) 1+2i 3−4i + 2−i 5i 5 (1−i)(2−i)(3−i) (f) (1 − i)4 1 œ 4™Ã j © Ÿèº ¤ 6 £` й § 2. 6¦ ˜sr¯.  ½ ” ¦ –¤Ç  ßá (a) z = 1 ± i s ~ñd z 2 − 2z + 2 = 0 ` ë7ô. Ó& (b) (1 + z )2 = 1 + 2z + z 2 (d) Re (iz ) = −Im z (c) Im (iz ) = Re z (e) 1 1/z =z (z = 0) (f) (−1)z = −z (g) z1 z2 z3 = 0 s [ “Ãæ &#• H 0 s. € j º× hQ¸       (h) i = (0, 1) ü y = (y, 0) s j M −(iy ) = (−i)y = i(−y ) s. <  þ : t  (i) Re (iz ) = −Im z , Im (iz ) = Re z . 3. z = (x, y ) \ ›ô ~&d z 2 + z + 1 = 0 `  ' ½ñ” aÇ Ó  ¦  (x, y )(x, y ) + (x, y ) + (1, 0) = (0, 0) s æ“ x < y \ aô w~&d` Û# K ½ r¯.  ¼¦ ü  › ƒn½ñ” Q \ ¨¹ ¦ 'Ç Ó ¦ ¦ 4. a  zÃs“ z  4™Ã . Re (az ) = aRe z s“ Im (az ) = ¤ Ÿèº  ¦ º¦ ´ aIm z ” ˜#. {ì&ܖ †Ã Re : C → R “ +†Ãe ¦ e` Ќ 9øh¼Ð ʺ Í < r ‚A<  É þʺ” ¦ Ќ £ º ` ˜#. 7 zà a, b ü 4™Ã z , w \ @K" Re (az + bw) = < Ÿèº ¤  /f  ¤´ aRe z + bRe w s.  ¦ ) Ÿèº < Ð &) Aʺ a þ† 5. (a) “ñ 4™Ã z = x + iy ü ϕz (w) = zw – ñ_ ‚+<à &a ¤ 2 → R2  Òy . R2 _ ³ïl$ (1, 0), (0, 1) \ @K r ϕz : R ¦ t• \ qŒ  ð  / " ϕz _ '=s f  § Ÿ> x −y yx ”¦ Ð ÒQ Ќ – Å#f` ˜#. (b) ϕz1 z2 = ϕz1 ◦ ϕz2 e` ˜#.  Ќ ”¦ – ë{  6. ß9 |a| = 1 s |b| = 1 s€   a−b =1 1 − ab ¯ e¦ ˜#. |a| = |b| = 1 s€ Á s ]÷# ? ” Ќ  º% j&Q  Á ` H 7. z \ ›ô Ó d az + bz + c = 0 s  ô>_ K t 0ô ›|  a ~&” 'Ç ½ñ ¯  = Çh ¦  A ¸ G \ Ç  ¨Œ ª¦  ¨Œ ¦ ` ½ #. Õo“ K\ ½ #. ¦ 1 X 4™Ã_ í j ] Ÿèº ƒ– ¤ ß 7 ½p” 8. 4™þd_ Lagrange †1d ¤ A Ÿè+” Óx 2 n ak bk k=1 n n 2 = k=1 |ak | k=1 |b|2 − 1≤i<j ≤n |ai¯j − aj ¯i |2 b b ¦ £ Œ ` 7î #.  x" 9. √ ¦ x \ £îŒ 2|z | ≥ |Re z | + |Im z |  7" #. 10. |z3 | = |z4 | { M 9:  z1 + z2 |z1 | + |z2 | ≤ z3 + z4 ||z3 | − |z4 || ¦ Ќ  ˜#. \ 11. 6 › ` ë7  &[_ |½` Õ. £ ¸| ßá hþ 9+ ª9 § ¦ –¤ H t ˦ z (c) Re (¯ − i) = 2 (a) |z − 1 + i| = 1 (d) |2z − i| = 4 (b) |z + i| ≤ 3  9: 12. |z | < 1 { M |Im (1 − z + z 2 )| < 3 ¯ ` ˜#. ” Ќ e¦ – ¦ 13. ë{ |a| < 1 s“ |b| < 1 s€ ß9   a−b <1 ¯ 1 − ab ”` Ќ e¦ ˜#.  {:   /f ¦ 14. i = 1, 2, . . . , n \ @K" |ai | < 1, λ≥ 0 s“ λi + · · · + λn = 1 9M |λ1 a1 + · · · + λn an | < 1 ” e` ˜#. ¦ Ќ 15. 1” xd p |z − a| + |z + a| = 2|c|  ßá Ÿèº ¦ –¤ H ¤ ” ` ë7  4™Ã z  >F l 0Ç 9¯æì› “ |a| ≤ |c|  r Aô €¹Ø¸|É ”   r r e ¦ Ќ –{  ¸ ßáÉ : ` ˜#. ß9 s ›|s ë7½ M |z | _ œ ° “ °` ë  –¤+   H úõ ŒÉ ú ©  ¯ •r ¯¦ ½ #. ¨Œ 1 œ 4™Ã j © Ÿèº ¤ 8  º h  ½ ¼Ð ºrŒ ß9 ¦ Ód  – 16. z 4 − 4z 2 + 3 ` ¿ >_ 2 †” ܖ “ÃìK # ë{ z  ¶ é " |z | = 2 0_ &s€ A h  1 1 ≤ 4 − 4z 2 + 3 z 3 e` 7" #. ” £îŒ ¦ x £` £"Œ 17. 6¦ 7 #. § xî (a) z  zà ⇐⇒ z = z H º ´ ¯ º H‡º ´ z (b) z  zÃs í)à ⇐⇒ (¯)2 = z 2  18. ×ds z0 s“ øt2s R  "_ ~&d |z − z0 | = R “ æ”  é ½ ”  ¦ ì£ “ ¶ Óñ ͧ r É |z |2 − 2Re (z z0 ) + |z0 |2 = R2 ¯ t Ð þ º ”£¦ Ќ – j à e6 ˜#. §` ü  / d¦  Œ ŠB ©G r É 19. Re z < Im z \ @ô ` 6 # œ/‚ x2 + y 2 = 1 “ Ç ” x z2 + z2 = 2 ¯ t – j à e6 ˜#. Ð þ º ”£` Ќ §¦ £ ¸þ ¸œ ª¦ OîŒ 20. 6 •+_ —ª` Õo“ [" #. §A €¦  (a) |z − 4i| + |z + 4i| = 10 â V2 ‰ (b) |z − 1| = |z + i| ³ Ø? ‘×aРבÏ ;Œ¸ÿ 2 /'Ç  p&†\" î0_ & (x,y) \ ¨ hr<f €A h ¨  8 ìÆ  ¦ Š (1.11) x = r cos θ, y = r sin θ   Œ Gað ` s6 # Fý³ (r, θ) – ¨ # Å#” ë]\ K %. ð Š H ¦   Í ¦x Ð 8Œ ÒQ j i ø t– 4™¨€©_ 4™Ã z = x + iy • ¨ (1.11) ` s6  ;ÌÐ Ð Ÿèîœ Ÿèº Š ¦ x  C ¤  ¤ ¸ 8   € ³fÏ (1.12) z = r(cos θ + i sin θ)  ŠÉ – ܖ 8½ à e(ÕË 1.5). ë{ z = 0 s a³ θ “ &_÷t · ¼Ð ¨+ º ” ª>  a ß9 € ýð É ñ& ú  r §H  . 2 X Fý³ü 2 Ó½&” j ] Gað< ½Óñ  †~ d 9 r Š f º É 8 zà r “ ¨ (1.11) \" r = x2 + y 2 sٖ ›> (1.12) \ _ ´ ¼Ð ad '”   ¦ ˜ r Š Œ # r = |z | e` · à . zÃ θ “ ¨ (1.11) \" ~ ” ” ú º e º É 8 ” ´ f ½& Óñd tan θ = y/x (1.13) \ –á ñ¸Œ ª< ½& &º ¦ ߤ H  ë7  •ys. ÕX ~ ” (1.12) ¦ ß7  y\ 2π ñÃC •  Óñd  ë¤ H • ` –á Œ Ó  \  € —¿ ë7 ٖ ~&d (1.12)  ë7  θ  ÁÇy ´s ” ¦  8 ¸º ßá¼Ð ½ñ”  –¤ ¦ ßáH  ºô ú > ` –¤  H  § r Fô. θ _ yy_ °` z _ ôs “ s >´ž˜ T` arg z Ç  ŒŒ ú  >Ç ¦ QÇ ÃÇæ+ ™Ò  •• ¯¦ ô ¡Ð· ¼¦ ¡Ð · • æ  ō Œ   ÁÃÇ ¦ –  p. ¼y  (−π, π ] \ 5  y Θ ` arg z _ Ì>´s “ Ð  #Œ × q H• ¦ ¡Ð Arg z –  p. " 6 '>” Ð  f £ › §a d · (1.14) arg z = Arg z + 2nπ (n = 0, ±1, ±2, . . .)  %. z  6_ Ãs Arg z  −π s  π \ ”. ¦ H ` 3 §´ £ zº €  ¦ H      ” zº  /f e__ à θ \ @K" Euler œÐ eiθ ¢H exp(iθ) ` ´ ¦  »Ï ¯ ¸  eiθ = cos θ + i sin θ (1.15) ܖ ñ_ô. Õ 4™Ã z _ Fþ” (1.12) “ mÊf ¼Ð & ªQ Ÿèº  GA +d ÌÏ Ç €¤ r É ÁCÐ z = reiθ (1.16) ܖ j à . ¼Ð þ º e t ” ZV 1.3 ¿ 4™Ã z1 = r1 eiθ1 < z2 = r2 eiθ2 \ @K" º Ÿ èº ü  /f  Á ¤  A ¹Ør¸É (i) z1 = z2 sl 0ô 9¯ì› “ Ç € æ |r ¦ r1 = r2 s“ θ1 = θ2 + 2nπ,  Œf É h©Ç &º s. #l" n “ &{ ñÃs. r œô (ii) z1 z2 = r1 r2 ei(θ1 +θ2 ) (iii) z1 z2 = r1 i(θ1 −θ2 ) r2 e Çh 1.1 4™Ã z = reiθ \ @K" ¸a Ÿ ¤ Ÿèº  /f (i) z −1 = 1 z = 1 e−iθ r (z = 0) (ii) z n = rn einθ n “ €_ &à rœ É ª ñº 1 œ 4™Ã j © Ÿèº ¤ 10 ¤   º /f ò ¼Ð ñ ƒ3 ò  Ÿè ǯ  %s  zà x \@K" x0 = 1 ܖ &_ô %! %s  4™ ´ º  /f à z \ @ K" z0 = 1 ñ § & s“ &_ . n s 6_ ñÃ9 M ¦   £ º{ : z n = (z −1 )m , m = −n = 1, 2, . . . s“ &_ . Õ€ 2 o 1.1 (ii) “ —Ž &à n \ @K $w ¦ ñ ªQ £&  §ñ r H É ¸ ñº  / ín Ç . 7 £ ¤ z n = rn einθ (1.17) n = 0, ±1, ±2, . . . :y (1.17) \" r = 1 s ¿ ¤ £  f  º€ (eiθ )n = einθ (1.18) n = 0, ±1, ±2, . . . H ¢ de Moivre œÐ ¸ » ¯Ï (cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ (1.19) n = 0, ±1, ±2, . . . ¦ %.  H ` 3 ¤ ü  /f  Z ÃV 1.4 ¿ 4™Ã z1 = r1 eiθ1 < z2 = r2 eiθ2 \ @K" º Ÿèº (i) arg(z1 z2 ) = arg z1 + arg z2 (ii) arg z1 z2 = arg z1 − arg z2  ¤ Ÿèº 4™Ã z = reiθ _ &Ã"\ @ d z n = rn einθ “ e__ 0 s   º4 /Ç ” r” É    ñ ô iθ0 _ n ]Y ¹X Ä6 . z = reiθ ` 0 s  ¤ Ÿèº 4™Ã z0 = r0 e  jH` 1H< »  L¦ ԍ x     ¦ n = z ¢ z0 _ n ]Ls“ . Õ z  jY¦  ªQ€ H   0 ¸H rn einθ = r0 eiθ0 . î  Œ f j " "] 1.3 (i) \ _ # rn = r0 s“ nθ = θ0 + 2kπ, ¦ k = 0, ±1, ±2, . . . √ Œf ñ ª º H Hœ ´ YH¦  »9 ª jL` Ç œ " r = n r0 (#l"   €_ zà r0 _ Ä{ô €_ n ] f · p ¦  ) s“ θ= θ0 2kπ θ0 + 2kπ = + n n n (k = 0, ±1, ±2, . . .). 2 X Fý³ü 2 Ó½&” j ] Gað< ½Óñ  †~ d 11 ¤ f Ÿèº " 4™Ã z= √ n r0 exp i θ0 2kπ + n n (k = 0, ±1, ±2, . . .)   jY Q H ¸ªÉ º†º\ ¦ ¼¼Ð s z0 _ n ]LHs. sô _ —€“ tÃ<à t“ eÜٖ z0 ”  Ç œr ʦ √ n r “ "0\ ¼y θ /n \ é •   jÉ ¶h¦ d¼Ð ¦ ø£ _ n ]YH“ "& הܖ “ ìt2s Lr é` æ ͧ 0  ¶ A # Œ 0 " r # 2π/n  “Ø> #4 ” &[_ 0u\ (Õ> 1.6). ì f ŒŒ ” eH t ” Ë  r • m ¦Ô QR  hþ A e ªa b "y, "–   ^H k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 { M %#t“ k _  ° r„  î fÐ É H ‰  9 : 3Q¦  É ú  r¯ ¼Ð Ò 8  É  ú j ܖ Â'  sœ_ H“  t ·. s] ck (k = 0, 1, 2, . . . , n − 1) © r §H  r¦   Qô fÐ É  /€ \ sÇ "–  K\  ? ¦ ck = (1.20) √ n r0 exp i θ0 2kπ + n n (k = 0, 1, 2, . . . , n − 1) √ r É h þ / Œ Í ˜ \ p Í t¦ H • ìâ · º à n r0 “ n >_ H[`  ? y ø7'_ Us  . ' ´¦ √ nr  ` ¦  9 : º h É é Hr ¶ P c0 “ ¼y θ0 /n ¦ t“ n = 2 { M ¿ >_ “ " |z | =  r • É #Œ :H 0 § Í#  e    £ fÐ ø/ ~Œ ¦ º : H` _ t2_ "– [email protected]\ Z# ”“ ¿ P ¦ −c0 –  . n ≥ 3 Ð p · 9 : þÉ ¶A ¦  ñ Œþ =hA Œ  { M H[“ "0_ n  t & n y+_ t&0\ Z# e.  ` tr é H •A G  ~” 1/n ¦ ¹9· ¼¦ ¤ œ ª z0 ` z0 ˜ n VœFž˜ T`  ?l– . :y z0  €_  + ¯Dæ+ ™Ò /Ð  £ 1/n 1  .  (1.20) zà r0 s l r0 “ n ]Y[_ „^|+ ¦ p d  Lt  Ë ” º ´ € ñ r É jHþ ‰9½ ` · √ €H ·  H H r É ô h œ¼Ð  d  ”  \ e n r0 “ Ç >_ ªܖ  p. ” (1.20) \ e θ0 s arg z0  ”  Ò¹ú _ ů° (−π < θ ≤ π ) { M à c0  ̳Fs ´ô. " z0   9:º 9 ¯ ¦ ` ÁÀD ú f ˜Ç √  ª  º €_ zà r0 9 M ů H“ n r0 s. œ´ { : Ò¹ É r  ” (1.20) ` ’~> €l  ~Zs e. $ z0 \ 9ì&“ tÆ  ¦ H ™  ¦ Í Ê d  <1 Œ H ½O ” €  {øh º<  Ó  à +I º þ A z0 = r0 exp[i(θ0 + 2kπ )] (k = 0, 1, 2, . . . , n − 1) Ð ¼¦ º<º 캺 A”h – – æ“ tÆÃ_ ÃtÃ_ þd&“ >í r Ê + ß 1/n z0 = {r0 exp[i(θ0 + 2kπ )]}1/k √ i(θ0 + 2kπ ) = n r0 exp n √ θ0 2kπ + = n r0 exp i n n (k = 0, 1, 2, . . . , n) ` :K %¦ à e.  Ÿ 3` º ”  ¦ x  × ™e 1.2 1 _ n ]YH` ½  €$  j¦ ¨9€   L 1 = 1 exp[i(0 + 2kπ )] √  ¦ Dx  ¥l ú   +¦ ê 9+ ô éè V þ ˜ ¯ „  |Ë  Ë Ç ¶ õ n r0 ` ™1 t ´ . H 9½s“ ÊH |½_  "™s. \\ [ ¦t √ √ 1/n   ¸Ç  r ¤ H¦ ÊÉ É Ÿè í†+ º¸ ” = { 3, − 3} s. ¢ô r0 “ 4™` Ÿ<½ Õ e. 1 1/n r0 1/2 #3 Q (k = 0, ±1, ±2, . . .) 1 œ 4™Ã j © Ÿèº ¤ 12  ¼¦ A”h –¦   æ“ +d&“ >ß € þ í`  (1.21) 2kπ 0 2kπ √ = exp i 11/n = n exp i + n n n (k = 0, 1, 2, . . . , n − 1) n = 2 { M s “ ±1 s. n ≥ 3 9 M é0" |z | = 1 \ ?] H  –é   { : ßA¶ /X  9 : Qô HÉ Ç r Œþ =hf H  y+_ Gt&\" ` ”. •A   ¦  ë –{ ß9 (1.22) ωn = exp i 2π n  s€ eiθ _ í|–Â'  9ÐÒ $  k ωn = exp i 2kπ n (k = 0, 1, 2, . . . , n − 1) Hr –# ` ú º e f Ð f ¨Ç  fÐ É jLÉ ç¼ ¦ · à . " ˜l 1.2 \" ½ô 1 _ "–  n ]Y“ ß ˜ ”  r >  2 n 1, ωn , ωn , . . . , wn−1 s. ωn = 1 ”\ Ä_ .  n  » e   Ÿèº  ” £> j  –{ ë9 c  0 s  4™Ã z0 _ e__ :Zô n ]YH s € n ß ¤  ¤Ç L  jLþ ‰9½É[_ „^|˓ YHt  +r 2 n c, cωn , cωn , . . . , cωn −1 – j à . s¯“ __ 0 s  4™Ã\ ωn  L  ¯“ 4™ Ð þ º e  É e   Ÿèº t ¤ ¦  H r ¤ \ Y É Ÿè ” r ” §¤ ¦ •– ª ½¾ € ~†¼Ð r  º  ¨ ú¦ Ÿèº\ Œë Ã_ Us Ët ·“ 4™Ã yß 2π/n œ_ ÓÓܖ „rvl ´H H Mës. : H¦ ¹ × ™e 1.3 (−8i)1/3 _ —H ° ¢H −8i _ 3 ]Y` 1.  ¸Ž ú ¸ ¯   jL Ô I þT Ú €$   −8i = 8 exp i − π + 2kπ 2 (k = 0, ±1, ±2, . . .)  é H Hr Ð ¼ " É – æ€ ¶  “ (1.23) ck = 2 exp i − π 2kπ + 6 3 (k = 0, 1, 2)  ¯É " s. s“ ¶ |z | = 2 \ ?] H ñyþ_ t&\ Z#e“ ů r é  /X &ŒŒA Gh Œ”¦ Ò¹H   ™•+ =  ~   √ π π π = 2 cos − i sin = 3−i c0 = 2 exp i − 6 6 6 2 X Fý³ü 2 Ó½&” j ] Gað< ½Óñ  †~ d 13 Ò Œ&Q Œ π A p ZŒe úÉ í`  ú¦ Ð Â' r÷# y 23 0u\ ç1y ~#. ´“ >–¦ t ·“ – • • Hx  ” §r ß § c1 = 2i e` · à e. ÕX c2  )û\ @K" c0 \ @gsٖ  ¦ ˜ ” ú º ” ª<  H ‡º¡ /f  ¤  /A¼Ð √ ` ú º ” ¸Ç Qô þÉ  Ç tr e¦ ˜ ô c2 = − 3 − i ” · à e. ¢ s H[“ 2 c0 , c0 ω3 , c0 ω3 π ܖ j à e. #l" ω3 = exp i 23 s. ¼Ð þ º ” Œf  t  Å©Ø ìFÃ< Žø7g 1. 6 4™Ã_ Å#y Arg z \ ½ #. £ Ÿèº Ò¼Œ §¤ • ¦  ¨Œ (a) z = −2 √ 1+ 3i (b) z = √ (c) z = ( 3 − i)6 i −2−2i 2. 6 ˜#. £¦ Ќ §` (b) eiθ = e−iθ (a) |eiθ | = 1 (c) eiθ1 eiθ2 · · · eiθn = ei(θ1 +θ2 +···+θn ) (n = 2, 3, . . .)  'ô Ó  ¦¦  ¦ h¼Ð ”¦  ` 3. θ (≤ θ < 2π ) \ ›Ç ½&d |eiθ − 1| = 2 \ ۓ l &ܖ Ke a ~ñ” 7" #. x £îŒ N”¦ x B`  Œ £ ŒŒp »¸Œ 4. de Moivre /d 6 # 6 y1”` ĕ #. § ™•xd¦ (a) cos 3θ = cos3 θ − 3 cos θ sin2 θ (b) sin 3θ = 3 cos2 θ sin θ − sin3 θ € <  5. Re z1 > 0 ü Re z2 > 0 s Arg (z1 z2 ) = Arg z1 + Arg z2 ¯ ¦ ” Ќ Œf e` ˜#. #l" Arg (z1 z2 ) “ arg(z1 z2 ) _ ů°s. r É  Ò¹ú 6. ¿>_ "–  4™Ã[_ z1 − z2 “ 7'– "c à ”. ºh fÐ É Ÿèºþ  r¤ t É ˜Ð [î| º  r e O ¨ (Õa ‚›. #l" θ “ z − z0 `  ? 7'_ lÖl ys.)  /H ˜  Œ ¦  ª> ø Œf É ËÐ r ¦• ¯ ú z − z0 s Í7' ÷•2 7' 's1 # arg(z − z0 ) _ °  ì☠&¸Ÿ ˜¦ ¨lŒ ø \ îŸ x ¤ ¯ §¦ r Ó¦ x  úõ ú£ Ќ úÉ ½O  Œ  s − arg(z − z0 ) _ ° °6` ˜#. °“ ~Z` 6 # Arg (z − z0 ) = −Arg (z − z0 ) $ Ç  Ør r §´ s íw l 0ô 9¯ì›|“ z − z0 s 6_ zà _` ˜#  n A €¹æ¸ É  £ º ” Ќ ¦ .  1 œ 4™Ã j © Ÿèº ¤ 14  ÒQ’ : ¦ 7. z1 z2 = 0 s Å#&` M (a) 1d x p” Re (z1 z2 ) = |z1 ||z2 | ¯  ínAÇ 9¹æì¸|É s $w l0ô €¯Ør›“ θ1 −θ2 = 2nπ (n = 0, ±1, ±2, . . .)     r ` ˜#. #l" θ1 = arg z1 s“ θ2 = arg z2 s.(˜à : z1 e¦ Ќ Œf ¦ ”  ³Ô 2 õ z2 _ tÃ+d` 6)  ºþ”  A¦ x  (b) 1” x pd ¯ |z1 + z2 | = |z1 | + |z2 |  ínAÇ 9¹¸É s $w l0 €¯Øì›|“ θ1 −θ2 = 2nπ (n = 0, ±1, ±2, . . .)  ô  ær r ”¦ Ќ Œf  ¦  2Ô e` ˜#. #l" θ1 = arg z1 s“ θ2 = arg z2 s.(˜à : (a) ³  < ŒŒÒp /ºh »¸õñ º& _ õü yÂ1d_ @Ã&“ ĕ&` Ãñô)  ™• x”  ¦ Ç ¦ 8. ¿ >_ 0 s  4™Ã z1 õ z2  °“ ßl tl 0ô €¯ º h   Ÿèº ¤  r úÉ ¼\  AÇ 9¹  < ¸|É Ÿèº r ¯  Ø웓 4™Ã c1  c2  ”F # z1 = c1 c2 ü z2 = c1 c2 s í ær r ¤ õ >Œ $ n< Ќ 2Ô p ʦ ³ x” w†` ˜#.(˜à : 1d exp i θ1 + θ2 2 exp i θ1 − θ2 2 = exp(iθ1 ) exp i θ1 + θ2 2 exp i θ1 − θ2 2 = exp(iθ2 ) < ü x ¦ s6) `  x pd 9. 1” 1 + z + z2 + · · · + zn = 1 − z n+1 1−z (z = 1) ¦ xî ` 7" “ s` s6 # Lagrange º´Ð  £ ¦ ¯  Œ ¦ x ÔÐ  ÇÇžÏ 1 + cos θ + cos 2θ + . . . + cos nθ = 1 sin[(2n + 1)θ/2] + 2 2 sin(θ/2) (0 < θ < 2π ) 2  º¦  \ ¦  »¸Œ ˜Ô \ ĕ #.(³à : S = 1 + z + z 2 + · · · + z n  ¿“ S − zS  ¦ iθ \ @{ # ÃÂ\ t•Ç  xr ' d qŒô º: pdÉ :f Òy. ¿P 1”“ Í P”\" z = e  /9Œ zºÒ¦ ¦ ´   §ô q“Ç) 10. Æ& )±Z` 6 # 6 ” 7" #. § d¦ x º<h úO  Œ £ ` £îŒ Æ š¦ x 2 X Fý³ü 2 Ó½&” j ] Gað< ½Óñ  †~ d 15 ‘Ç × (a) (l/ah) n (z1 + z2 )n = k=0 n n− k k z2 z k1 (n = 1, 2, . . .) #l" Œf n k = n! k !(n − k )! (k = 0, 1, 2, . . . , n) s“ 0! = 1 s. ¦  (b) (de Moivre œÐ) » ¯Ï n cos nθ + i sin nθ = k=0 n cosn−k θ(i sin θ)k k ( n = 1 , 2 , . . .) (c) à m ` &º ¦ ñ  n/2, m= (n − 1)/2, ¦ &É : “ _½ M ñ+ m cos nθ = k=0 n s ‹Ã{ M  Œº9 : •  ˺9 : . n s fÃ{ M n (−1)k cosn−2k θ sin2k θ 2k (n = 1, 2, . . .). ´ r¦ (˜à : (b) _ ÃÂ` q“) ³Ô 2  zºÒì § (d) x = cos θ  æ“ 0 ≤ θ ≤ π  & . y †Ã  ñ Œ <º •Ê  ¼¦ Tn (x) = cos(n cos−1 x) (n = 0, 1, 2, . . .)  º  ›Ç  †”` Ќ 2Ô s Ã x \ a n Ӕe¦ ˜#.(˜à : (c) _ õ s ½d ³   'ô    6) x 11. 6 ”_ H` ½ “ f“dܖ  ?#. £   ¨¦ ”§”¼Ð /Q § d ¦  (a) 2i _ ]  jLH Y √ (b) 1 − 3i _ ]  jLH Y (c) (−1)1/3 (d) (−16)1/4 (e) 81/6 √ (f) (−8 − 8 3i)1/4 12. z = reiθ s e__ òs  4™Ã “ n s 6_ &à .  ¤ §  ”   Ÿèº ¦  £ ñº  % n < z 1/n ` yy z n = (z −1 )m ü z 1/n = (z −1 )1/m ܖ _ Õ€ z ü ªQ ¦ •• <   ŒŒ ¼Ð & ñ .  1 œ 4™Ã j © Ÿèº ¤ 16 ¦ x  ú /f  £îŒ f (a) m _ °\ @K" (z m )−1 = (z −1 )m ` 7" #. " z n = ¯ m )−1 s.  (z (b) m _ °\ @K" (z 1/m )−1 = (z −1 )1/m  ˜eܖ+ z 1/n =  ú /f ` мЋ ¯ ¦” 1/m )−1 ”` 7" #. e¦ xî (z  £ Œ  ³Ô 2 H 9:  Œf #l" m = −n s.(˜à : (a)  z = reiθ { M z m = rm eimθ ü  < −1 = 1 e−θ e` s6É ) z ¦ x+ ¯ ”  ½ r 13. (a) a \ e__ “&) à . a + i _ ¿ ]YHs  º jL  ¦ ” ¦ña zº   ´ √ π ± A exp(i ) 2 √  Ќ Œf ”` ˜#. #l" A = a2 + 1 s“ α = Arg (a + i) s. e¦ ¦  (b) y †1d ™• Óx ŒŒ ½p” cos2 α 1 + cos α = , 2 2 sin2 α 1 − cos α = 2 2 ¦x  s6 # (a) Â\" %“ ]Ls `  Œ Òrf 3É jYH ì r  √ 1√ ±√ A+a+i A−a 2 ܖ j à e. ¼Ð þ º ” t  2 ¼Ð þ º  Œ t 14. 0 s  4™Ã _ Y“ c0 , c0 ω3 , c0 ω3 ܖ j à e. #l LHr ”   Ÿèº  jjÉ ¤ f " c0  z0 _ ů Hs“ H   Ò¹ jjY¦ L √ 2π −1 + 3i ω3 = exp i = 3 2 √ √ √   < É º jjY r s. ë9 z0 = −4 2 + 4 2i s€ c0 = 2(1 + i) ü  ¿   ß{ – L HÉ “ r √ √ √ √ −( 3 + 1) + ( 3 − 1)i ( 3 − 1) − ( 3 + 1)i 2 √ √ c0 ω3 = , c0 ω 3 = , 2 2  º\  ñŒ+ £` Ќ H •þ ”§ “ æ t &yA\ e6¦ ˜#.  ¦ Ô ¦ x ´  15. z 4 + 4 = 0 _ W >_ ` ¹“ s s6 # zÃ>Ã\ t  1 h H 1¦ ¯\  Œ ºº¦  H s “Ã[_ “ÃrK\ ½ #. ºþ ºì¦ ¨Œ t  16. c  1 s  1 _ ”__ n ]Ys€     jH  e L  1 + c + c2 + · · · + cn−1 = 0 ¦ Ќ ”` ˜#. e 2 X Fý³ü 2 Ó½&” j ] Gað< ½Óñ  †~ d 17 x N  17. (a) ˜:_ /ds >à a, b, c  4™Ã{ M s ~&d П B” º ¤ Ÿèº9 : ½ ” Óñ az 2 + bz + c = 0  ɍ ¯` 7" #. :Zy ¢A` a„]Yܖ ë[# ¤> a¤¦ - L ¦ H ¦ x ` Ò  £îŒ £ ,á ¢j¼Ð ßþQ –t  N  Bd H_ /” −b + (b2 − 4ac)1/2 z= 2a { : º h j ¦   ĕ #. #l" b2 − 4ac = 0 9 M ¿ >_ ]Ys “ \ »¸Œ Œf LH ¦ a. 9 ) Ò   Œ Ó ” r ¦ x   H¦ (b) (a) Âì_ õ\ 6 # ~ñd z 2 + 2z + (1 − i) = 0 _ ` ½& 1 ¹. Ô 18. Ó1d ½x †p” sin π sin n 2π n · · · sin (n − 1)π n = n 2n−1  ”¦ ˜#.(˜à : Å#” Ys ½d (1 − z )n − 1 _ òs  H ³  †  e` Ќ 2Ô ÒQ L Ӕ     % n−1 _ ܖ sÀ#f ˜#.)  Y¼Ð ÒQ”¦ Ќ L ` [_ Lõ 1/2 t þ Y 18 1 œ 4™Ã j © Ÿèº ¤ × V2* ‘ 7Á B„ÁÊ þ  V1‰ â ´¿^¢+ Æ]  > Z ¡šËˆ˜ …  f Ÿè  ' Ah í| /f úRÐÐ  s ]\" 4™î€\ ›ô 0©& $9\ @K" ¶(˜l– ô. X ˜ H ¤ ¨ aÇ œ  Ç \ Ÿè ©  h¦  HÓ    ½  a+  ¤ ¨œ e  ǘ 2.1 z0 ¦ 4™î€_ ”__ &s“ δ > 0 s . z0 _ δ -~ D(z0 , δ ) ` ¦  D(z0 , δ ) = {z ∈ C : |z − z0 | < δ }  ܖ &_ “ z0 _ ” δ -H½ D (z0 , δ ) ` ¼Ð ñ¦ ¦   Ó  ~ D (z0 , δ ) = {z ∈ C : 0 < |z − z0 | < δ } ¼Ð ô ܖ &_Ç. ñ a˜ 2.2 & z0  9½ S _ 6†(interior point)s †“ &© δ > 0 +  h  ÊÉ hœô |+ <r {Ç Ç Ë  \  ”Œ s >F # r D(z0 , δ ) ⊂ S  wô ªa s $n(ÕË 2.1). S _ ?&[_ |½¦ 6É(interior) Âؓ S o íÇ >  /hþ 9Ë Ù t +`  ÒÔ¦ ~> ¼ Êr –  p. S  æT(open set) s †“ S _ —Ž &s S _ ? Ð  · á™Ò  <É  ¸ h  / H &s.  h ½ 9Ë S _ ? S o  P 9½s“, ; |½[_ —e {Sα }α∈Λ _  ; |+¦ \ 9+þ ¸”  |+  /Ò H \2 Ë P2 Ët  o  S \ Ÿ†÷ — ½|+ α∈Λ Sα  P|Ës. |½ S _ ? S   í<& ¸ ˽ H \;+ ÊH +9Ë  29½ 9+  /Ò Ë H o “ S \ ŸÊ÷ œ H 9  P;9½þ ½|+ f Ž \|Ë[_ +9½s. " S É  í†&  \;| r < H ©  P2 H 2+t ËË + ½ Ës. £ HœÉ ¸º l § ©r  ÃV 2.1 6 끓 —¿ 1us. Z x 19 2 © K$<à j  3ʺ œ † 20 (i) S  P|½s.  \2Ë H ;9+ (ii) S = S o . (iii) y z ∈ S \ @K" &{ δ > 0  ”F # D(z, δ ) ⊂ S . • Œ  /f h©ô >  Œ r œÇ + H  Ë 9+  ø\ a˜ 2.3 & z0  |½ S _ ;5†(limit point)[¢ 9&&(accumulation Ç  h ³ ¸ |hh †r Ž  / point)]  <“ —H δ > 0 \ @K  ÊÉ ¸ D (z0 , δ ) ∩ S = ∅  Ghþ 9Ë ¿™Ò Çt ½¦  $nô s w. S _ Fô&[_ |+` ˖T(derived set)s “ S íÇ  ¦ ¼ ¼Ð ô ñ H Ð  9+  {ï –  p. |Ë S _ Z (closure) S  S = S ∪ S ܖ &_Ç. S · ½  c  |½s. Êr  ¶ðT (closed set) s <“ S Ò> ¼ Ç™Ò  †É P2+ \;9Ë |+  9hhÉ ß >ô × ™e 2.1 9Ë S = { i/n : n ∈ N } _ |&&“ 0 ë ”F. ½ r – r Ç e Œ³ 9Ëþ §9ËÉ Œ³ 9½ f  íÊH  ”__ {˜ |½[_ “|½“ {˜ |+s. " S \ Ÿ†  —2 +t +r —2 Ë ¦ <  ¦ <  œ •r H —2Ët + —2½ H  íÊH © ŒÉ ¸ Œ³|+þ §9˸ Œ³|Ë —Ž {˜9½[_ “|½• {˜9+s. S  S \ Ÿ†   “ {˜|Ës. —2+ Œ³9½  § ëœr Z ÃV 2.2 6 “ —¿ 1us. £ H©É ¸º l x H —2 |Ë  Œ˜ + (i) S  {³ 9½s. (ii) S ⊂ S . (iii) S = S + ǘ 2.4 z0 s |½ S _ RN†(boundary point)s †“ — δ > 0 + Êr H a  9Ë  \ ¿  <É ¸Ž \ @K"  /f D(z0 , δ ) ∩ S = ∅ s“ D(z0 , δ ) ∩ S c = ∅ ¦ íô s wÇ. S _ — >&[_ |½` S _ ¿N(boundary) “  $n  ¸Ž âhþ 9Ë  R H t +¦  ¦  “ ∂S –  p(Õ> 2.2). ¦ Ð  ªË a · ¦ e ú º  ” ñ_– Â' S = S o ∪ ∂S s“ ∂S = S ∩ S c ”` · à e. &Ð Ò ¦ ˜ é " r • + É Œ |Ë ™e 2.2 ¶ |z | = 1 “ y 9½ × < |z | < 1 ü |z | ≤ 1 _ >s.  â 1 X 4™¨_ ò% j ] Ÿèî€ i  ¤  %  21 Ç P;9½ \2Ë o ¼ ¥r™Ò  <É / ” Êr  ˜ 2.5 |+ S  >ÚT(connected set) 1 s †“ S ?_ e a+  __ ¿ & z1  z2 s S ?\ ¢„y Ÿ< =õ = ƒ  Äô >  º h õ  / - í†) å å¦ H » h Êa Q Q`   Ç a >  •A  ` \ ˜Ç  r¼Ð ÒQ Œ+ ì¼Ð | º e¦ :¦ úô ªa _ ìܖ sÀ#” yþ ‚rܖ ƒ¨ à ” M ´.(ÕË ‚ c 2.3) H ¸º 9+ ªQ Ë ™e 2.3 "ó |z | < 1 x "8 1 < |z | < 2  —¿ |½s. Õ × ¶Í éŠ 9 ¶¨€  éø  9+  |½ Ë S = {z ∈ C : 0 < |z | < 2, |z | = 1} r ½ É ƒ9Ë  “ |+s m. Ç  +] ˜ 2.6 a˜…(domain)sø ƒ ;|½` ´. " e__ H a+ Ç Í  \9+ úÇ f    ê  P2˦ ˜ô ” ӓ _%s. _%\ â> O 9 ¢ „^\ t |Ë ½r ñ  ~É &i ñi  \ Ò ¸ ‰¦  9½ &   { H  H +  ô ªa  > ¦ Æ] ` Z…(region) s Ç(ÕË 2.4).   ò%“ {ì&ܖ ñ_%` Ÿ†  V“ _p– 6&9 {ì&Ü %r Í ¦ Ê H r iÉ 9øh¼Ð &i í< ,É Ð  ÷ 9øh¼ x Í – > ) °t · Âì& ¢  | à . Р⦠€ ú ú Òrh ¸ Ò 9 º e  \„  §  H „ ” + 9Ë Â  †É Q" œ zº  > r ǘ 2.7 |½ S  ËN(bounded)  ʓ #‹ €_ à R s ”F  a+ <r  ª ´ # Œ S ⊂ D(0; R) ¦ ß7ô. Ä>  9+¦ ËN ä(unbounded) 9½s Ç ` –¤Ç  |Ë |Ë  + ô  ëá »  ½`   > .(Õa 2.5)  ªË > × ™e 2.4 ˜l 2.1–2.3 _ 9+“ Ä>|½stë 4™ Íî€ Im z ≥ 0 Ð  |ËÉ »9+– Ÿè ©ì¨ Ë ½r ß ¤ œø  “ Ä> m. r É »  4™ ¨\ Èø†s ÂØ & ∞ ¦  # †*¡šË¢(extended ¤  Ÿè  Á5\ ÒÔH h \ 8Œ „׿^ˆ    ȑ´ > complex plane) C∞ = C ∪ ∞ ¦ ҕ  qy . ÕX s S4™¨“ R3 ?_ é0 ½ –  ` tŒ ª<  X©Ÿèî€É  ‰œ¤ r / ßA ¨€ 1 2 2 S = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x2 + x2 + x3 = 1 } 1 ô ˜: |½s“ . {Í&ܖ 0/ç\" ƒ|½, –(pathwise П ñ9+¦ Ç 9ìh¼Ð AœB߁f 9+ âЃ x ƒË ø ©N– Ë  connected)|½, ƒ(arcwise connected)|½“ ½Z÷9 ƒ9½s€ â–| 9Ë ñ +  Ër > 9+É ¨& ñË Ѓ9 |+    Ë +¦ Ѓ½€ ½ ínÇ AÆþ ½s“, –9Ës ƒ9Ës $wô. 0©†[_ Sine / {(x, 0) : x ≤ â |+  |+  œ< t G B‚ 1 r Ë É 9+– âÐË  ª< ë ƒ|½  N B 0} ∪ x, sin x : x > 0 “ ƒ|½stß –9+s m. ÕX Hausdorff / –fH Ð 9+ ñ9+ l  ⠃Ë ƒË x ß\" – |½õ |½s 1us. Rn _ \ ƒÂ|½“ – ç  P; Òì9+É âÐ 2  rËr ƒ H x  f º ñ ¸º l s. " Äo_ &_ —¿ 1us. 2 © K$<à j  3ʺ œ † 22 ¼Ð tŒ+ º  jРܖ Òy½ à e. z]– N = (0, 0, 1)  ¸. C  S _ &•Âì¦ ” ¦ ú  q•É ´ `š  h¸Òr`   /f ¸Ÿ t•2 C ü {(x1 , x2 , 0) | x1 , x2 ∈ R } ` 19. z ∈ C \ @K" ¤ ¦ x ô  l{oÇ < 3 ?_ f‚ Òyô. Õ€ s f‚“ Z = N “ z < N ` tH R / ”¦ qŒÇ ªQ  ”É ¦   ü   ` t•   r  –– ß  H ¤ø  ¡ì¨ h¦ ¨A ¸f Çhf ßß ë9 ½€0_ š” ô&\" ëè. –{ |z | > 1 s€ Z  ·Í½_ &s“      |z | < 1 s€ Z  zì½_ &s. ¢ô |z | = 1 { M z = Z s. ë{   ™Í   H Œø¨ h ¸ Ç 9 : H  –9 ß |z | → ∞ s Z  N ܖ H†` · à ”. " N õ C∞ _ & € H  ¼Ð ]< ú º e f  h   Xʦ ˜  ∞ “ 1{ . " C∞ “ ½€ S –  è. S _ & z õ C∞ _ & r x É l9 f r É ¨ Ð –  ß h  h  õ_ sô @6'>\ ™W (Stereographic Projection) s  Q /£a …ªß Æ Ç x› ¦ Z  2 s ô.(Õ> 2.6) Ç  Ë “ ½€ S ¦ Riemann Ä¢   ªa ¦ ¨ \ ©ˆ > ¦ ߤ H H þ 9½ t ˦  ”__ €Ã ε \ @K" |z | > 1 \ ë7  —Ž z [_ |+` ∞ _ e ª  œº  /f ε  –á ¸ 1 1 ε-~s . |z | < ε s w l 0 €¯ì›|“ | z | < ε s. HÓ Ç  $n AÇ 9¹ær¸ É í  ½ ô ô  Ø r ìøØ ÅF7g Ž©Ã< 1. 6 |Ë` Õo“ ñ_%“t\ & #.  ¦  £ 9½ ª¦ &i ñŒ § +¦ (a) |z − 2 + i| ≤ 1 (b) |2z + 4| > 4 (f) |z − 4| ≥ |z | (g) −π < arg z < π (z = 0) (c) Im z > 1 (h) |Re z | ≤ |z | (d) Im z = 1 (i) Re (e) 0 ≤ arg z ≤ π/4(z = 0) (j) Re (z 2 ) > 0 1 z ≤ 1 2 2. ƒ_ë] 1 _ yy_ 9½\ @K 6 Ó6\ ² #. v •• Ë þHj  ŒŒ |+ / £ ü£ úŒ § t§ š t (a) |+“t {³9½t m Ñ  t #Â\ & P2Ë —2+ \;9½ Œ˜|˓ € ü   ŒÒ    ¦ ñ Œ #. (b) Ä>t t óé #. »“ ¦ øߌ   \ ͖ (c) `Ÿ\ ½ #. ‚í ¨Œ ¦ (d) >\ ½ #. ⦠ ¨Œ (e) &_%“t %%“t øé #. ñ   \ ó– i òi¦ Íߌ 3. 6 y |+_ Fô& ½ #. – n “ —Ž Ãs. £ Œ 9Ë Gh` ¨Œ é É ¸ º § • ½ Ǧ ßrHƒ (a) zn = in (b) zn = in /n 2 (c) 0 ≤ arg z < π/2(z = 0) (d) zn = (−1)n (1 + i)(n − 1)/n sô >¥` S # Alexandroff Øঠë[%. X  ²™& (Øà HausQ h ‰©Œ  –t G  Ž˜ Dèh þÔ Ç Æ¦ Xœ Ž˜ (þÔo\ ßþ3 ¦ ˜ ¤ œ¦ & É N– Bç¦  ŽþÔ N– Bç &¸Ÿ A© + º ”  dorff /ßs“ X ∗ = X ∪ {∞} ` (Øà Hausdorff /ßs ÷•2 0` ñ_½ à e. ÕÊ Stone-Cech, Wallman, Hewitt 1\ _ ŽØ  z.[11] ªê x p Ç þo Œ ô (˜ ¤ 2 X 4™Ã_ <à j ] Ÿèº †º ¤ Ê 23 r ¤  É ŸèîA h¦  H  ¨ € 4. z = x + iy “ 4™¨€0_ &s“ Z = (x1 , x2 , x3 )  Riemann ½ A  h9 : 0_ &{ M     ~ r (a) z ü N \ t R3 ?_ f_ ½ñd“ < ¦ H / ”‚ Ó&”É tN + (1 − t)z −∞<t<∞  ”` ˜#. e¦ Ќ \  Œ  ýð \  Œ /Œ ¦¦x (b) (a)  s6 # Z _ a³\ z  6 #  ?#. ¦x `x ¦x   Œ  ¦  Œ /Q (c) (a) \ s6 # z \ x1 , x2 , x3  6 #  ?#. ¦ ‰ V2⠁ þ ´š£Ê˜ ÁÊ > ¡¿oÁ+ Á a+ ǘ 2.8 S \ 4™Ã[_ 9+s . S 0\" &_a ÁÊ f ê S  ¦¤  Ÿèºþ ½  t |Ë Af ñ Á ø )þ Í _ y "™ z \ @K" 4™Ã w  @6rvH ½g s. 4™Ã w \ z  Œ éè  /f Ÿèº \ /£ ©Ë  Ÿèº  ¦ •¶ ¤ ¦x : ¤ ± \" f _ Gs Âؓ f (z ) –  . 7 w = f (z ) s. |½ S ¦ f  ê ÒÔ¦ Ð · £ p ¤  9+  Ë \ 3 s . f _ a˜…(domain of definition)  ÒÉ r  Ç+]  r ˜É :Zô /s \  †Ã_ ñ_%“ ×½ à e œ 9½s ¤Ç L H Ç Ê £> ƒå O ô <º &iÉ þ+ º ”  H |+ H ©  Ë . \\ [# f (z ) = 1/z _ &_%“ z = 0 “ — 4™Ã ^_ 9Ës  V þQ ñ r  Ž¤ ¦t  iÉ  ¸H Ÿèº „‰ |½  + .  f †º  ú ñ ªQ Ê  w = u + iv  z = x + iy \" <à f _ °s & . Õ€ ¯ u + iv = f (x + iy ) •´ >Ç  º H ´ s. y zà u < v  zÃ x ü y \ _r." f (z )  zÃ  Œ º ü  º <  ”ô f H ´ <  ºú <º  © ´ ¯Ê x ü y _ zð †Ã_ ô Š ǜ (2.1) f (z ) = u(x, y ) + iv (x, y ) ¼Ð ð&¨ º e ß9 ü / Gýð  \   ܖ ³‰| à ”. ë{ x < y @’ Fa³ r õ θ  6 € ³c  ¦ x –  u + iv = f (reiθ ). #l" w = u + iv s“ z = reiθ s. s Ä Œf   ⺠¦ (2.2) f (z ) = u(r, θ) + iv (r, θ) ܖ j à e. ¼Ð þ º ”  t 3 s¯õ P ƒ9Ë_ _p_ _% ½Z # ô. s \ š @Âì  \; ½  &iõ ¨>Œ   © ¸ /Ò œ H r 2 |+ ñH  Ç  iÉ þÁ+ a+] _ &_%“ Áʘ ǘ…(domain of definition)` ´ô. ñ r   ¦ ú  ˜Ç 2 © K$<à j  3ʺ œ † 24 × ™e 2.5 f (z ) = z 2 { M  9: f (z ) = (x + iy )2 = x2 − y 2 + i2xy ¼Ð sٖ ¦ u(x, y ) = x2 − y 2 s“ v (x, y ) = 2xy. x  Gað  ÷3` : Fý³ 6&%¦ M f (reiθ ) = (reiθ )2 = r2 ei2θ = r2 cos 2θ + ir2 sin 2θ sٖ ¼Ð u(r, θ) = r2 cos 2θ s“ v (r, θ) = r2 sin 2θ. ¦ ¸  ½œ ò º H ½© ´  Ӝ zº  d (2.1) ¢H (2.2) \" †Ã v  † %s€ à f (z )  † Ãs ” f <º Ê Ó©  . š£Ê˜ ™ÊG ÁÊ_ \H  ¡¿>Á+ Á± Á V êþ ´o  f (z ) = |z |2 = x2 + y 2 + i0. ¤ ¯¦ ´ ¯ sü °s 4™Ã_ 4™° t †Ã 4™Ã_ zð¦  < ú Ÿèº Ÿèú` H <º Ÿèº ºú` ¤ Ê H¤  Í ¤ r é ´  t †Ã_ {ìs. 4™¨€“ 2 " zèܖ çŽ à eÜ  <º 9øo ŸèîÉ ¶ ºî€¼Ð ßÒ+ º ”¼ HÊ –É  ' Ê Ù– s]Â' †Ã_ &_%_ Ã\ a>Os †Ã_ u%\ _K Äo ¼Ð jÒ ʺ ñi º ›\ <º i  º <    4 , zÃs€ z<à ÂØ. H œ  ¤  #© i Ÿèº Ÿè†º ´  ¼_ u%s 4™Ãs€ 4™Êà º †º ÒÔ ¤ <  ´Ê – ß9  ¸H ª ñº¦ œ ¤œ Ÿè©º ë{ n s 0 ¢ €_ &Ãs“ a0 , a1 , a2 , . . . , an , (an = 0) 4™Ãs €Ê  <º  †Ã P (z ) = a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n r É  ×Ï Œf ËÉ »ôh ¦ ñiÉ î ‰ “ n /Ðs. #l" ½“ ÄÇ>\ t“ &_%“ z ¨€ „^s ‘ r   +r  ¦ ¦ •  †”þ  . ½d[_ ] P (z )/Q(z ) ` ËhÊ “ Q(z ) = 0 “ y & z \ Ót   ÂÁÁ ¦ þ Œh  f a †” »ʺ :†ºß Ÿèº †ºæ ¹ " ñ_). ½dõ Äo†ÃH l‘<Ãstë, 4™Ã ÊÃ× ×¯ & Ó <  rÊ – ¤  < æ Ç< ô †Ãs.  ʺ †Ã >¥_ {ø _%_  & z \ @K"  >_ s °¦ ʺ hÆ 9ìo &i Ç h  /f ô h © ú`  Í H ñ  ô  Ç œ ¯ < 5  4™ †Ã x : /£ ©Ë Q  @6rvH ½gs. sô (multiple-valued) ÁÊ H Ÿè <º Ç  þÁ  ¤ Ê r f –  †º ÒQ’` : Ÿ© ‰h ~O¼Ð Œ h è Ê  • :\"  ß. <à Å#&¦ M : ^>&“ ÓZܖ y & xœ  ½ \ @6  0Ç °× = ô >_ °` þ # ß(single-valued)Êà  /£ pô ú G  h ú ˜Œ – < †º x H x ¯æ  Ç ¯¦ × é \ †Ã– Â' ߎ.  Ê –H ¦  <ºÐ Ò ë 4 5 MM– 4™†Ã f : R2 → R2 – ÒyÉ Ã e. ::Ð Ÿèʺ ¤<H  Ð qŒ½ º ” t•+ z<Ã\" sin−1 x “ †Ãs. r É  <º Ê ´Ê †ºf 3 X Fô j ] GÇ   25 e ¤ × ™e 2.6 z  ”__ 0 s  4™Ã z = reiθ  ñ . z 1/2  ¿    Ÿèº  & H º 1/2 = ±√reiθ/2  f¦ ·“ e. #l" θ H arg z _ ů° ¯ ¦ ”` ˜  `  ú¦ ” Œf    Ò¹ú ¯ ú °z √ –  ªQ ë9  œ úë ˜¦ € ¯– × (−π < θ ≤ π ) s. Õ ß{ ± r _ ª_ °ß þ “ f (z ) = √ iθ/2 re (r > 0, −π < θ < π ) “ æ s ߆à f  Å#” _%\" ¸ &_a. 0 “ 0 _ ¦ ¼€  é ʺ  ÒQ &if ú ñ H r É ñ  ˜ )  –<  < H § ´ ¤ Ä9ô ]Ysٖ f (0) = 0  . Õ †Ã f  6_ zû“ »{Ç jLH¼Ð    H ªQ€ ʺ  £ º¡ Ç  ¤ î  θ = π  ]üô —Ž 4™ € &_%\" ¸ ñ_. ¦ ` j@ ¸H Ÿè ¨“ ñif ú &a ˜ ) ì©7 ÅFÃ< ŽøØg 1. 6 †Ã_ ñ_%` ½ #. §Ê £ <º &i ¨Œ ¦ (a) f (z ) = 1 z 2 +1 (b) f (z ) = Arg (c) f (z ) = z z +¯ z (d) f (z ) = 1 z 1 1−|z |2  ¦ 2. <à f (z ) = z 3 + z + 1 ` f (z ) = u(x, y ) + iv (x, y ) “ +”Ü– æ. Ê  þ¼Ð ¼  Ad †º 3. †Ã f (z ) = x2 − y 2 − 2y + i(2x − 2xy )  . #l" z = x + iy s ʺ <   Œf   . ¯ z+z ¯ z−z , y= x= 2 2i ` 6 # z _ †Ü– f (z ) ¦ ³& #. ³ ` ð‰Œ   Œ  ӼР¦x ½ 4. <Ã Ê †º f (z ) = z + 1 z (z = 0) ` f (z ) = u(r, θ) + iv (r, θ)  +I–  ?#. ¦  A “ þÐ /Q V3 â ‰  ³ø ;5 H¤  Ê Ç'  Xf Ÿèº<º Gô ›Œ ÒÐ ô ¦phr< s ]\" 4™ÆÃ_ F\ a # Àl– . “1p&†  Ç x ìÆ < f  º †º G ' $9 / Ò3 < » \" sp sÃ ÊÃ_ Fô\ ›ô í|\ @K À%. sü Ä Ç aÇ   ¤Ê ¦ ô  Ÿè<º GÇ &Ç > 4™†Ã_ Fô` ñ_. 2 © K$<à j  3ʺ œ † 26   ½ H a˜ 2.9 <à f  z0 _ #‹  H~ N (z0 ) _ —Ž & z \" _& Ç †  Q" ” Ó  ¸ h f ñ÷ & + ʺ 9:   ñÐ € %“ . z → z0 { M f (z0 ) → w0 s l –  3¦  lim f (z ) = w0 (2.3) z →z0 – . ε − δ HZ` 6  (2.3) “ 6õ 1us. Ð H  ¦   r§x É £ l 7O x € ” e œ zº __ €_ à ª´ H   /f Ž z \ @K" > 0 \ @K" ªÃ δ > 0 s ”F # _%_ —  /f œº € > ñ  rŒ &i ¸ 0 < |z − z0 | < δ s€ |f (z ) − w0 | <   (2.4) ô s íwÇ.  $n ʺ Gô † Ç  ”€ »9 >  Ô Ç§ ½” 2.1 <Ã_ F (2.3) s rF  Ä{ . ”ã «Ë Ö_ ¿ >_ Fô º h G Ç lim f (z ) = w0 z → z0 lim f (z ) = w1 z →z0  ”¦ ñ ªQ ” œº s >Fô“ & . Õ€ e__ €Ã > 0 \ @K" ¿ ªÃ δ0 , δ1 rÇ ª   /f º €º œ s ”F #  rŒ >   0 < |z − z0 | < δ0 s€ |f (z ) − w0 | < ü <  € 0 < |z − z0 | < δ1 s |f (z ) − w1 | < s $nÇ. δ = min(δ0 , δ1 )  ¿. ß{ 0 < |z − z0 | < δ s  íwô   º ë9 –  € |w0 − w1 | = |w0 − f (z ) + f (z ) − w1 | ≤ |f (z ) − w0 | + |f (z ) − w1 | < 2  £  ©º¦ § Õ |w0 − w1 | s 6s  Ãs“ ªQ œ ¼¼Ð f Üٖ " w0 = w1 s.  “ __– > ‚˜| à ” r” É eÐ Œ ר º  • þc e × ™e 2.7 f (z ) = iz/2 s \;¶ó |z | < 1 \" &_) †Ã . Õ  P"ø f ñ <º  ªQ 2éÍ aÊ   € (2.5) lim f (z ) = z →1 i 2   Œf #l" z = 1 “ f _ ñ_%_ â>&s. r É  &i h 3 X Fô j ] GÇ   IT þ Ú 27 z  |z | < 1 “ &{ M    h9 : f ” " e__  K" f i i |z − 1| iz |f (z ) − | = | − | = 2 2 2 2  º i > 0 \ @K" δ = 2 s ¿€ ñ_% |z | < 1 “ &\ @  /f &    h / 0 < |z − 1| < δ s |f (z ) − w0 | < €  Ç  $n s íwô.   Ç  ñi /h¦ Gô  >€ Òpd Ô Ç§ ½” 2.2 z0  f _ &_%_ ?&s“ F (2.3) s ”F  Â1” (2.4) r  x / ¸ h /f Œ H $w  º:  H½ _ ¿P ” ~ 0 < |z − z0 | < δ ?_ —Ž &\ @K" ín #  H  Ó Ç ô . Øì r ”¦ w Ô Ç§ ½” 2.3 z → z0 _ >“ z  z0 _ y  &` >Ç. z  z0  pÉ  ær î he pô wr ¤> ½Ó H<¦  r ܖ :ZÇ ~¾Ü– ]Ê`  ? “ m. ¼Ð £ô ӆ¼Ð X† /H ¯É  –  × ™e 2.8 ë{ f (z ) = z/z s€ ß9 ¯  (2.6) lim f (z ) z →0 § “ ”F t ·H. rr É > ú IT ë9 Fôs ”F€ s“ & z = (x, y ) s ”__ ½Zܖ þ ß{ G >Ç  É h  e ~¼Ð Ú – Ç r ô  ¯r   ÓO ¶&ܖ ]†Ü–+ µ|¨ à ”. z = (x, 0) s zû0_ 0 s  é "h¼Ð XʼЋ 1 | º e H< Ïc ´¤   º¡A    &s€    h x + i0 f (z ) = =1 x − i0 s“ z = (0, y ) s )û0_ 0 s  &s ¦  ‡º¡A   h  € ¤ f (z ) = 0 + iy = −1 0 − iy s. " z  û` " "&ܖ ]  ½  Fô“ 1 s  f zº¡ f ¶h¼Ð XH€ ¨ GÉ  ´ ¤¦   é H Çr Ǽ ¤ Ð Œ   ‡º¡¼Ð € GÉ . ô# )ûܖ X  Fô“ −1 s. ÕX ‚“ 2.1 \_ #H  Çr  ª< æ GÉ »9¼Ð G Fô“ Ä{ ٖ Fô (2.6) “ >F t ·. Çr  Ç rr É ” ú §H  a Çh 2.1 f (z ) = u(x, y ) + iv (x, y ), z = x + iy , w0 = u0 + iv0 “ & ¦ ñ . Õ  ªQ € lim f (z ) = w0 (2.7) z →z 0 sl0ô €¯Øì›|“ A 9¹¸ É Ç  ær r (2.8) lim (x,y )→(x0 ,y0 ) u(x, y ) = u0 s“ ¦ lim (x,y )→(x0 ,y0 ) v (x, y ) = v0 . 2 © K$<à j  3ʺ œ † 28 «Ë  Ö_ € ”ã $ (2.8)  $nô“ & . e__ €Ã ε \ @K" €Ã Ç íw¦ ñ ” œº  /f œº ª  ª õ r ”Œ δ1  δ2  >F # (2.9) 0<  € (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ1 s |u − u0 | < ε 2 0<   (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ2 s€ |v − v0 | < ε 2 < ü (2.10)  º €  $wô. δ = min(δ1 , δ2 )  ¿ ín Ç |(u + iv ) − (u0 + iv0 )| = |(u − u0 ) + i(v − v0 )| ≤ |u − u0 | + |v − v0 | s“ ¦ (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = |(x − x0 ) + i(y − y0 )| = |(x + iy ) − (x0 + iy0 )| ¼Ð sٖ (2.9) < (2.10) –Â' ü ÐÒ 0 < |(x + iy ) − (x0 + iy0 )| < δ  s€  |(u + iv ) − (u0 + iv0 )| < εε + =ε 22  ínÇ s $wô.   íwô¦   œº  /f ªº ” œ  i¼Ð %ܖ (2.7) s $nÇ“ & . e__ ªÃ ε \ @K" €Ã δ  ñ € ”Œ  rF # > (2.11) 0 < |(x + iy ) − (x0 + iy0 )| < δ s€   |(u + iv ) − (u0 + iv0 )| < ε (2.12) íÇ  n ª< s $wô. ÕX  |u − u0 | ≤ |(u − u0 ) + i(v − v0 )| = |(u + iv ) − (u0 + iv0 )|, |v − v0 | ≤ |(u − u0 ) + i(v − v0 )| = |(u + iv ) − (u0 + iv0 )| s“ ¦ |(x + iy ) − (x0 + iy0 )| = |(x − x0 ) + i(y − y0 )| = (x − x0 )2 + (y − y0 )2 3 X Fô j ] GÇ   29 ¼Ð sٖ (2.11)< (2.12) – Â' ü Ð Ò 0< (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ s€   ¦ |u − u0 | < ε s“ |v − v0 | < ε s wô.  $n íÇ a+  ǘ 2.10 4™Êà f ü g _ gí` 6 °s _ô. z  ¿ :–¦ § & Ç ¤< Ÿè†º <  ˃ß £õ ú ñ º †Ã_ ñ_%_ &9 M (f ± g )(z ) = f (z ) ± g (z ), (f g )(z ) = f (z )g (z ), Ê <º &i h{ :   g (z ) = 0 { M (f /g )(z ) = f (z )/g (z ). 9:  †Ã_ Äü °s 4™†Ã\"• <Ã_ FÇ\ ›Ç &o $w zʺ âº< ú Ÿèʺf¸ ʺ Gô 'ô ñ ín ´< ¤< †  a  Ç  ô. Gô  Çh 2.2 FÇ a  (2.13) lim f (z ) = w1 s“ lim g (z ) = w2 ¦ z →z0 z →z0 s ”FÇ“ & . Õ  >ô¦ ñ ªQ r € lim (f ± g )(z ) = w0 ± w1 (2.14) z →z 0 lim (f g )(z ) = w0 w1 (2.15) z →z0 s“ ß{ w1 = 0 s€ ¦ ë9 –   (2.16) lim (f /g )(z ) = w0 /w1 z → z0 «ã Ê ÖË <º ”_ †Ã f (z ) = u1 (x, y ) + iv1 (x, y ), g (z ) = u2 (x, y ) + iv2 (x, y )  ¿“  º¦  º & < & ñ  h & z0 = x0 + iy0 , w1 = u1 + iv1 , w2 = u2 + u2  ¿. ñ (2.13) ü o 2.1 \ _ # & (x, y ) → (x0 , y0 ) { M j = 1, 2 \ @K" uj (x, y ) → uj s  Œ h  9:   /f  ´Ê Ç aÇ :–  ¦ “ vj (x, y ) → vj sٖ z†Ã_ F\ 'ô gƒí_ $|\  & ¼Ð <º Gô › Ëß í9  h  (x, y ) → (x0 , y0 ) { M i, j = 1, 2 \ @K" 9:   /f (u1 ± u2 )(x, y ) → u1 ± u2 , (v1 ± v2 )(x, y ) → v1 ± v2 , (u1 u2 )(x, y ) → u1 u2 , (v1 v2 )(x, y ) → v1 v2 , ui (x, y )vj (x, y ) → ui vj ` x   9: ¦ 6 € &o 2.1 \_ # y †Ã (x, y ) → (x0 , y0 ) { M    ñ Œ Œ <º •Ê H (f ± g )(z ) = (u1 ± u2 )(x, y ) + i(v1 ± v2 ) → (u1 ± u2 ) + i(v1 ± v2 ) = w1 ± w2 2 © K$<à j  3ʺ œ † 30 (f g )(z ) = (u1 u2 − v1 v2 )(x, y ) + i(v1 u2 + u1 v2 )(x, y ) f g → (u1 u2 − v1 v2 ) + i(v1 u2 + u1 v2 ) = w1 w2 u1 (x, y ) + iv1 (x, y ) (z ) = u2 (x, y ) + iv2 (x, y ) (v1 u2 − v2 u1 )(x, y ) (u1 u2 + v1 v2 )(x, y ) +i = u2 (x, y )2 + v2 (x, y )2 u2 (x, y )2 + v2 (x, y )2 w1 v1 u2 − v2 u1 u1 u2 + v1 v2 +i = → 2 2 w2 u2 + v2 u 2 + v2 2 2 s $wô.  ín Ç ¸ ŸÇh 2.1 a e ¤© (i) ”__ 4™à c = a + ib \ @K"  Ÿèœº  /f lim c = c z →z0 (ii) ”__ 4™à  e Ÿè©º ¤œ n lim z n = z0 z → z0 (n = 1, 2, . . .) ¤ ¹s P (z ) = a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n { M 8¡ 9:  (2.17) lim P (z ) = P (z0 ) z →z0 Ô Ç§ ½” 2.4 yÂ1 ™• x” ŒŒÒpd ||f (z )| − |w0 || ≤ |f (z ) − w0 | ¦ x ô ” €  s6  F limz →z0 f (z ) = w0 s rF  `  € GÇ  > lim |f (z )| = |w0 | z →z0  n ªQ iÉ $ ú s íwô. Õ %“ n t ·. $Ç §H r íw  9 : ʺ < × ™e 2.9 z = x + iy { M †Ã 1 , − 1 , f (z ) = i, −i, |y | ≤ x, x ≥ 0 |y | < x, x < 0 |x| ≤ y, y ≥ 0 |x| > y, y < 0 ß  GÉ r ú §H “ limz →0 |f (z )| = 1 stë limz→0 f (z ) _ Fô“ ”F t ·. r É – Çr > 3 X Fô j ] GÇ   31  9 : GÇ  z0 ü w0 s 9 ¢ —¿ ∞ { M Fô <  {Ò ¸H ¸º   lim f (z ) = w0 z →z 0 ` Òy l– ô. ¦ qŒÐ   t• Ç Ç˜ 2.11 (i) limz →z0 f (z ) = ∞ H ”__ œÃ ε \ @K" ªÃ δ s  a+  e €º  /f €º  œ  ª > ”Œ rF # €  0 < |z − z0 | < δ s |f (z )| > (2.18) 1 ε H”   ªº  /f œº  >Œ œ r (ii) limz →∞ f (z ) = w0  e__ €Ã ε \ @K" ªÃ δ s ”F # € (2.19) |z | > 1  s |f (z ) − w0 | > ε € δ (iii) limz →∞ f (z ) = ∞  e__ €Ã ε \ @K" €Ã δ s >F # H œ œ  ” ªº  /f ªº  ”Œ r |z | > (2.20) Ô Ç§ ½” 2.5 1 1 s |f (z )| >  € δ ε ëœ H r É (i) © (2.18) “ 1 −0 <ε f (z )   0 < |z − z0 | < δ s€ ü l f < 1us. " x (2.21) lim f (z ) = ∞ ⇐⇒ lim z → z0 z →z0 1 =0 f (z ) (ii) H© (2.19) “ œ ë r É 0 < |z − 0| < δ s€ f   1 z − w0 < ε ü l f < 1us. " x (2.22) 1 lim f (z ) = w0 ⇐⇒ lim f ( ) = 0 z →0 z z →∞ (iii) ëœ (2.20) “ H©  r É €  0 < |z − 0| < δ s 1 −0 <ε f (1/z ) ü l f x < 1us. " (2.23) lim f (z ) = ∞ ⇐⇒ lim z →∞ z →0 1 =0 f (1/z ) 2 © K$<à j  3ʺ œ † 32 GÇ × ™e 2.10 (i) F limz →−1 ô  0 s. Gô  (ii) FÇ limz →∞ 2z +i z +1 z +1 iz +3 = 0 sٖ (2.21) \ _ # limz →−1 ¼Ð  Œ iz +3 z +1 r É “ (2.22)  6  `  € ¦ x (2/z ) + i 2 + iz =2 = lim z →0 (1/z ) + 1 z →0 1 + z lim sٖ ½  Fô“ 2 s. ¼Ð ¨H GÉ   Çr (iii) Fô limz →∞ G Ç 2z 3 −1 z 2 +1 “ (2.23)  6 € r É ¦ x `   z + z3 (1/z 2 ) + 1 = lim =0 z →0 2 − z 3 z →0 (2/z 3 ) − 1 lim ¼Ð ¨ GÉ sٖ ½  Fô“ ∞ s. H Çr  ÅøÃ< ìF7g Ž©Ø 9 ¤© Ÿèœº  Gô ñ¦  Œ £ £ Ç  x 1. a, b, c x z0  4™Ã . F_ &_\ 6 # 6¦ 7 §` x " #. îŒ (a) limz →z0 c = c (b) limz →z0 (az + b) = az0 + b (a = 0) 2 (c) limz →z0 (z 2 + c) = z0 + c (d) limz →z0 Re z = Re z0 (e) limz →z0 z = z0 ¯¯ (f) limz →1−i [x + i(2x + y )] = 1 + i (z = x + iy ) z (g) limz →0 (¯2 /z ) = 0 2. n s €_ &Ãs“ P (z ) < Q(z ) “ †s . #l" Q(z0 ) = œ  ª ñº¦ ü É ½d  Œf r Ӕ 0 s. 6 Fô` ½ #.  £ G ¨Œ § Ǧ 1 z n (z0 3− limz →i iz +i1 z P limz →z0 Q(z ) (z ) (a) limz →z0 (b) (c) = 0) ¯  GÇ > ú£¦ Ќ §§` 3. z → 0 { M †Ã f (z ) = (z/z )2 _ Fs ”F t ·6 ˜# 9 : <º  Ê ôr 2  < .(³à: 0 s  z = (x, 0) ü z = (x, x) s "&ܖ X½ M_  ˜Ô    ¶h¼Ð ]H+ : é É Ç` t•  ) –H ü ¶ é F qy € a.) Å_: é > z = (x, 0) < z = (0, y ) s " Gô¦ Ҍ  Ò ßí  h¼Ð + : G §H É r ú &ܖ X½ M_ Fô` q“  “ Ø t ·.HÉ § Ǧ  ¯r æì = 3 X Fô j ] GÇ   33 4. ∆z = z − z0  æ“  ¼¦ lim f (z ) = w0 ⇐⇒ lim f (z0 + ∆z ) = w0 z →z0 ∆z →0  ”¦ Ќ e` ˜#. ß9 – œ Ó 5. ë{ limz →z0 f (z ) = 0 s“ €_ ©Ã M s ”F # z0 _ H~_ ¦ ª œº  >Œ r  ½ H   ¸ h  /f —Ž & z \ @K" |g (z )| ≤ M s $n €  íw lim f (z )g (z ) = 0 z →z0 ”¦ 7" #. e xî ` £ Œ 6. Fô_ í|` 6 # 6 7" #. G $9  Œ £¦ £îŒ §` x Ç ¦ x (a) limz →∞ (b) limz →1 4z 2 (z −1)2 =4 1 (z −1)3 =∞ z 2 +1 z −1 =∞ (c) limz →∞ G í9  Œ £ <º Ç ¦ x 7. Fô_ $|` 6 # 6 †Ã §Ê T (z ) = az + b cz + d (ad − bc = 0) ` x  7" #. ¦ £îŒ (a) limz →∞ T (z ) = ∞ (c = 0) (b) limz →∞ T (z ) = a c s“ limz →−d/c T (z ) = ∞ (c = 0) ¦ ºôh¦ í< G &  Œ  Ê H Ç ¦ x 8. ÁÇ&` Ÿ†  Fô_ ñ_\ 6 # 1 = ∞, z →0 z lim lim z →∞ 1 =0 z ` yy ˜#.  •• ¦ ŒŒ Ќ |Ë + »  A 9¹¸|É ºôh ¸H ~É Ž HÓr 9. 9½ S  Ä> ml 0ô €¯Øì› “ ÁÇ&_ — ½“ Ç  ær r  S _ &` &#•  Ÿ†< ˜#. ¦   h hQ¸  íʆ¦ Ќ <Ê` 2 © K$<à j  3ʺ œ † 34 ‰ V4â >´Å ¥4] o¢ Ê  h f o¢ ÊÉ £ j  ¸ >´ <r §  a˜ 2.12 <à f  & z0 \" ¥4s †“ 6 [t ›| Ç+ †º  > (i) F limz →z0 f (z ) s ”F GÇ ô  r > (ii) f (z0 ) s ”F  r (iii) limz →z0 f (z ) = f (z0 ) ¦ –7. ë{ †Ã f  %% R _ — &\" ƒ5s€ f  …  ß¤Ç ` ëáô ß9 <º – Ê  òi  ¸H hf Å  Æ] Ž q  H Z Ç R €U" ¥¢s ô. Dc >´     o4 ½” 2.6 Ô Ç§ (i) ñ_ 2.12 (iii) “ (i), (ii) ` Ÿ<ô. & r É ¦ ÊÇ  í† (ii) _ 2.12 (iii) “ e__ œÃ ε \ @K" €Ã δ  ”F # ñ r É ” ªº  /f ªº € œ rŒ > & |z − z0 | < δ s |f (z ) − f (z0 )| < ε €  (2.24) ü 1us. < l x Ð Ò Åʺ Ë߁ 'Ç í9 3 :– a ¦ H ñ &o 2.2 – Â' ƒ5†Ã_ gƒí\ ›ô $|` %. q< ÃV 2.3 f ü g  & z0 \" ƒ5s f ± g , f g 9 g (z0 ) = 0 s f /g  Z <  h f Å x €  q € ƒq ¸ • z0 \" 5s. f Å ¸ ½dÉ Ÿèf Å H Ӕr ¤  q ¸a ŸÇh 2.2 —Ž †“ 4™¨€„^\" ƒ5s.    ƒq  Ë ZV 2.4 f (z )  z0 \" ƒ5s“ g (w)  w0 = f (z0 ) \" 5s + à H  H f Å€ ½ f Ŧ q < $†º íÊà g ◦ f  z0 \" 5s. H  f ƒÅ q «_ Öã ”Ë w = f (z ) \ & z0 _ H½ N (z0 ) \" &_ †Ã“ “ g  h ¦  ~ Ó f ña <º¦ ¦  )Ê H &  í< <º  ªQ ½í<º ¦ Ê HÊ  Ë Ê r É i ñ_%s f (N (z0 )) ` Ÿ†  †Ã . Õ€ +$†Ã g [f (z )] “ Ó z0 _ ~ N (z0 ) _ —Ž & z \" &_. g  w0 \" ƒ5sٖ e  H½  ¸ h f ñ) H q  H a  f żР” __ €Ã ε \ @K" €Ã γ s ”F #  œº  /f ªº  >Œ ª r œ (2.25) |f (z ) − f (z0 )| < γ s€ |g [f (z )] − g [f (z0 )]| < ε   ` –¤ô f żР /f ªº q œ r ¦ ßáÇ  ë7. f  z0 \" ƒ5sٖ γ \ @K" €Ã δ  >F # ”Œ (2.26) |z − z0 | < δ s€ |f (z ) − f (z0 )| < γ   ” ÐÒ ½$<º + Ê H ¦ –¤Ç  ëá  ` ß7ô. d (2.25) ü (2.26) –Â' Ëí†Ã g ◦ f  z0 \" ƒ5s <  f Å q  . <à f (x)  & x0 \" f (x0 ) > 0 s€ &{ x0 _ ~ I (x0 ) s ´Ê f z†º  h  ½ HÓ  hœô  ©Ç  ”F # —Ž x ∈ I (x0 ) \ @K" f (x) > 0 e` ·“ ”. 4™†Ã\" H  /f ”¦ ú¦  Ÿè<ºf ¤Ê >Œ ¸ r  ˜ e r  Ç • sü °“ í|s $nô. ¸ < úÉ $9 íw 4 X 5$ j ] Å  ƒqí 35 q V 2.5 ß9 f  z0 \" ƒ5s“ f (z0 ) = 0 s€ z0 _ HÓ N (z0 ) s Á ë{ – f Ŧ   ½  Z  ~ rŒ ¸ > Ž ”F # —H z ∈ N (z0 ) \ @K" f (z ) = 0 s.  /f  ”ã «Ë Ö_ ε = |f (z0 )|/2  ¿€ €Ã δ  ”F # œ >Œ  º ªº r |f (z0 )| 2  n ß9 s íwô. ë{ |z − z0 | < δ _ #‹ & z1 \" f (z1 ) = 0 s $n € $Ç  Q" h  f   –  íw ¼Ð ¸ H |f (z0 )| < |f (z0 )|/2 sٖ —ís.   |z − z0 | < δ s€ |f (z ) − f (z0 )| < f = u+iv { M 4™Ã ¨0_ &ܖ qy  f  f (x, y ) = (u, v ) ¤ 9 : Ÿèº\ î€A h¼Ð tŒ€  ¦   ҕ  H 2 – Òy½ à e. zÊà f  5sl 0ô € ña <º Ç &_) †Ã f : D → R Ð qŒ+ º  †º Ê t•É ” ´< Å A 9 ƒq ¹¸ É ¯Øì›|“ u, v ”` ·“ e. ¢ô ño 2.1 – Â' 6 î]\ % æ r r e ú¦ ” ¸ & Ç Ð Ò £ j 3 § " ¦ H ¦ ˜   . ¤< Ÿè†º  h f Å€ ʺ q  ír< Á  ZV 2.6 4™Êà f = u + iv  & z0 = (x0 , y0 ) \" ƒ5s $ì†Ã  q u ü v  z0 \" ƒ5s. <H f Å † ™e 2.11 Êà × <º f (z ) = cos(x2 − y 2 ) cosh 2xy − i sin(x2 − y 2 ) sinh 2xy • “ y $r†Ã y & (x, y ) \" ƒ5sٖ "] 2.6 \ _ # ƒ5s r • Ê É Œ íì<º Œ h f żРj q  Œ Å q î .  q ¤ < ƒÅ“ Ÿèʺ ŒQ  í9É Å <º í9õ º p r q ´Ê 5 4™†Ã_ #t $|“ ƒ5“ z†Ã_ $| BÄ q5  w  . »¦ Œ³òi  Å  ª —2  f (z ) = u(x, y ) + iv (x, y )  Ä>s“ {˜%% R \ ƒ5s . Õ q Q <º  †Ã €Ê [u(x, y )]2 + [v (x, y )]2 ¯¦  s R \" 5s“ " R ?_ #‹ &\" [email protected]` ”. 7 f “  f Ŧ f / Q" hf j/ú  £ É ƒq  ¤r f ¦ r É / Q‹ hf j/ú  £  §  R \" ËNs“ |f (z )| “ R ?_ # &\" [email protected]` ”. 6s  " ¯¦  r H zà M s >F # — z ∈ R \ @K" ´ º  ”Œ ¸Ž  /f (2.27) |f (z )| ≤ M  ín s $wô. Ç a+  ǘ 2.13 †Ã f  _% R \" ”Ò>¢(uniformly continuous) s Ê <º ñ &i f §R¥4 o´   <É  ªº  /f œº  †“ e__ €Ã ε \ @K" ªÃ δ  >F # |z − w| < δ ¦ ë7 Êr ” œ r ”Œ ` ߤ €  –á  /  º h H R ?_ ”__ ¿ & z, w \ @K" e    / f |f (z ) − f (w)| < ε ¦ ëá  ß7Ç. ` –¤ô 2 © K$<à j  3ʺ œ † 36 Ô Ç§ ½” 2.7 z0 \" >¢ê RË €Ã δ “ & z0 ü ε \ _> të ”Ò¥ f ¥´ ¿Á ªº É h o4>  œ r <  r– §Ro ” ß > 4ê ¿Ë ét ε \ß _”. ´ RÁ – ë >ô ¢>  ß – rÇ —2ò f œ zʺH ¦ÉÅ` ú¦ ” Ä>s“ {³%% R \" ƒ5 <Í “ƒ5e¦ ·“ e. »¦ Œ˜ i q ´†  rq” ˜  4™<Ã\ @K"• 6 &o $n. ¤† Ÿèʺ /f¸ £  wÇ § ñ H íô ah 2.3 Ä>s“ {˜ò% R \" ƒ5 4™Êà “5s. Ç q ¤ <  rƒq  —2% »¦ Œ³ i f œ Ÿè†ºH ¦ÉÅ ÅøØg Ž©Ã ìF7 < H 1. f   1 1 + n2 z ¼Ð &) <º  ªQ H 9½ ܖ _ †Ã . Õ f  |Ë {0} 0_ :$<Ãe` ñ aÊ A £íʺ” ¤ † ¦ €  + ˜#. Ќ f (z ) = lim n→∞ 2. |z | = 1 \ @K" 6 F §Ç  /f £ Gô f (z ) = lim n→∞ zn − 1 zn + 1  >< Ќ s ”F†` ˜#. |z | = 1 0\" f  5s ÷•2 f (z )  &_ r ʦ q Af ƒÅ &¸Ÿ ¤ ¦  \ñ É º ” + H ½ à e? Ê †º 3. <à zn n→∞ z n + 1 f (z ) = lim    . (a) f _ &_%` ½ #.  ñi ¨Œ ¦  i ŒQ  /ô †ºú ñ ¦ (b) f _ &_%_ # z \ @Ç Êð f (z ) ` ½ #. < ¯  ¨Œ Ê <º ‰œ¤  4. †Ã f  S©4™¨€\" XŸèîf 1/z, f (z ) = ∞, 0, z=0 z=0 z=∞ – &_÷%“ . ÁÇ&\" 5$¦ &_\ 6 # f  S Ð ñ&3¦  ºôhf Åí` ñ  Œ   ƒq  ¦ x ‰ X ©4™¨€„^\" 5t\ í" #. œ¤  q ¦ Ÿèf ƒÅ“ $îŒ –é éA" /f <º  j/ú jèú` úH ¯ 5. ß0¶ |z | ≤ 1 ?\" †Ã f (z ) = |z | _ [email protected] þ™° ° z Ê ¯¦  ¦ ¨Œ \  ½ #. 5 X pì0$ j ]  p  r xí â V5‰ 37  P æ] i&Å  ¦   HÓ¦ í< ñif ñ) <º  aÊ f \ z0 _ ~ Ÿ†  &_%\" &_ †Ã . ½` Ê H  + a˜ 2.14 z0 \" f _ •<à f (z0 )  Fôs >F  Ç f  ¸Êº †  GÇ r€ H”  f (z0 ) = lim (2.28) z →z 0 f (z ) − f (z0 ) z − z0 ß  Ç Ü– &_ô. ë{ f (z0 ) s >F € f  z0 \" i& “ ô ¼Ð ñ –9 Ç  ” H r  f P æ¦   .  Ã º ∆z = z − z0   r É ` •{ € (2.28) “ ¦ ¸9 f (z0 ) = lim (2.29) z →z0 f ( z + ∆z ) − f ( z 0 ) ∆z  ær • t  H½f ‰f ñ&3¼¼Ð Ø Œ Ó  ¼Ð þ º e ܖ j à ”. f  z0 _ ~\" „^\" &_÷%Üٖ ìy   “ |∆z | \ @K" à r É  /f º f (z0 + ∆z ) r ½  É †œ ña º “ Ó© &_). à ∆w = f (z + ∆z ) − f (z ) ` – ¦ Ð ¼ pd € x  ¦ ¸9 ß{  •{ . ë9 f (z0 ) ` dw/dz – æ 1” (2.29)   H dw ∆w = lim ∆z →0 ∆z dz (2.30)   a s ). × ™e 2.12 f (z ) = z 2  . ”__ & z \" e    h f  ∆w (z + ∆z )2 − z 2 = lim = lim (2z + ∆z ) = 2z ∆z →0 ∆z ∆z → 0 ∆ z →0 ∆z lim f " dw/dz = 2z ¢H f (z ) = 2z s. ¸     × ™e 2.13 f (z ) = |z |2  . (2.31) ∆z ∆w ¯ |z + ∆z |2 − |z |2 (z + ∆z )(¯ + ∆z ) − z z z = = = z + ∆z + z ¯ ∆z ∆z ∆z ∆z 2 © K$<à j  3ʺ œ † 38 ë{  ¯r  f ” ½Z¼Ð   – s. ß9 lim∆z →0 ∆w s ”F € s “ ∆z ¨\" e__ ~ܖ r ÓO ∆z  > É • & ∆z = (∆x, ∆y ) s "&ܖ ]  ¹¦ à ”. :Zy ∆z  ¸h   ¶h¼Ð XH 1` º e £>  ¤ é  € Ô   î  ¦  º h¼Ð ¶h¼Ð H é  û0_ & (∆x, 0) `  è&ܖ "&ܖ X € ∆z = ∆z zº¡A h ´¤ sٖ (2.31) s >F  Fô“ z + z s# ô. Õ ∆z  à ¼Ð € r ´º  r GÇÉ ¯ ” Q  ªQ Ç z ¤ ¡A h »0_ & (0, ∆y ) `  Ãf&ܖ "&ܖ ]H  ∆z = −∆z sÙ   º”h¼Ð ¶h¼Ð X€ ¦ é   ¼   >  Çr Q Ç ª< GôÉ »¼  – (2.31) s rF € F“ z − z s# ô. ÕX FǓ Ä9 Ù Ð  ” GôÉ ¯  r { Я – z + z = z − z s z = 0 s.  ¯  zjÐ  f > Ê – dw/dz s z = 0 \" ”F<` ˜s€ z = 0 \" ∆w/∆z = ´ f r†¦ Ð9   ¯r ∆z sٖ Fô dw/dz “ z = 0 \"– >F “ FÇ °“ 0 s. r É fë ”¦ Gô úÉ  ßr ¼Ð G Ç " –  Ó Ð ˜l 2.13 “ Êà #‹ &\" pì0 të Õ &_ e__ ~\ r< É †º Q hf r pß ª h ” H½ x 2 _ zà x Q¼ hf¸ ì p úÉ Êº”¦ p #Ö &\"• pr0 t ·“ <Ãe`  . f (z ) = |z |  º  §r †  · ´ Âü )àyy Ò< ‡ºÒ ŒŒ H •• u(x, y ) = x2 + y 2 (2.32) v (x, y ) = 0 sٖ s“ 4™Ã_ <Ã_ zÃ$ìõ )Ã$ì“ Ç &\" —Ž ¼Ð ¯É Ÿèº ʺ ºí ‡ºíÉ ô hf ¸ r ¤  † rr   H ´ r º œ ¸†º 9 º ”ë Ÿèʺ ª hf  p >Ã_ 5 •<Ã\ | à etß 4™†Ã Õ &\" pì0 ƒq Ê ¦   –¤ < H rx  §¦  ú º¸ ” t ·` Õ e.  <à f (z ) = |z |2 “ íì<à (2.32) s y &\" 5sٖ ¨€?_ †º r † É $rʺ q Ê  Œ hf ƒÅ¼Ð î/ •  • Œ hf Å f  hf <º ƒÅíÉ ª hf  y &\" ƒ5s. " ô &\" †Ã_ 5$“ Õ &\" pì Ê q r  q Ç r x ¦ pí` »¸ ú ªQ ª iÉ nÇ 0$ ĕ t ·. Õ Õ %“ íw. §H r $ô Z r ÃV 2.7 f (z0 ) s ”F  f H z0 \" ƒ5s.   >€   f Å q «ã Ö_ ”Ë 1” x pd lim [f (z ) − f (z0 )] = lim z →z 0 z →z0 f (z ) − f (z0 ) lim (z − z0 ) = f (z0 ) · 0 = 0 z →z0 z − z0 q x"a ¼Ð Ò Åí £ ) ܖ Â' ƒ5$s 7î. & z \" †Ã f _ •†Ã\  h f <º  ¸<º¦ Ê Ê d ¸H  f (z ) ¢ f (z ) dz ܖ  ?. Õ 6 /` %. ¼Ð / ªQ £ Bd 3 € § N”¦ H  ÃV 2.8 f < g  pì0Ç †Ã9 M ü r pô <º{ :  x Ê  Z (i) (ii) d dz c = 0, c  4™ Ã. H Ÿè œº ¤ © dn dz z = nz n−1 , n “ &Ã. r É º 5 X pì0$ j ]  p  r xí (iii) d dz (f (z ) (iv) d dz (cf (z )) + g (z )) = f (z ) + g (z ) ¤ ©  Ÿè œº = cf (z ), c H 4™ Ã. d dz (f (z )g (z )) (v) d dz (vi) f (z ) g (z ) 39 = = f (z )g (z ) + f (z )g (z ) f (z )g (z )−f (z )g (z ) [g (z )]2 (vii) F (z ) = g [f (z )] s“ f “ z0 \" pr0 “ g  w0 = f (z0 ) \ ¦ É r H  f  p¦  ìx f r p¦ " pì0É M F H z0 \" pì0 “ f  p½ :   x r x+ F (z0 ) = g [f (z0 )]f (z0 ). (2.33) ”ã «_ ÖË @“ ~> 7îa. (v) ` 7 . /ÒìÉ 1 £  ¦ xî  £" rr  x") f (z + ∆z )g (z + ∆z ) − f (z )g (z ) = f (z )[g (z + ∆z ) − g (z )] +[f (z + ∆z ) − f (z )]g (z + ∆z )   Œ ª Ð º¦ € "  3 Œ ` 6 # €` ∆z – ¾“ ∆z → 0 s ¶  õ\ %. # ¦x œ¦  é H  ¦ H l" g  ƒ5”¦ 6 %. f Åe`  i q x  (vii) f (z0 ) s ”F  :Zô z0 ` ˜ . w0 = f (z0 ) s æ“  > £> r ¦ þ  ‚× H ¤Ç  ¼¦ ¸ ¢ô g (z0 ) s ”Fô“ & . Õ w0  #‹ H~ |w − w0 | < ε  >¦ ñ ªQ rÇ Q" ½ Ç €  Ó Ž s ”F # H½_ — & w \ @K" †Ã  rŒ ~ ¸H h  /f <º > Ó Ê g(w)−g(w0 ) − g (w ), w = w0 0 w−w0 (2.34) Φ(w) = 0, w = w0 ¦ É ” ` &_½ à . †Ã_ &_– Â'  ñ+ º e <º ñÐ Ò Ê (2.35) lim Φ(w) = 0 w→w0 q ” H f ƒÅ  Ò f  e\ Å_ . " Φ  w0 \" 5s. ð& ³‰ (2.34) “ ³ r É (2.36) g (w) − g (w0 ) = [g (w0 ) + Φ(w)](w − w0 ) (|w − w0 | < ε) íÇ  >¦ f żРª œ w = w0 9 M• wô. f (z0 ) s ”F “ f  z0 \" ƒ5sٖ € { :¸ $n  r q º ¦ ‚þŒ à δ  × # \ ˜ |z − z0 | < δ s€ |f (z ) − w0 | < ε   2 © K$<à j  3ʺ œ † 40  nÇ f ” s íw. " d (2.36) \ w @’ f (z ) ` @{ € 0 < |z − z0 | < δ $ô   /   /9 ¦  {M 9:  (2.37) f (z ) − f (z0 ) g [f (z )] − g [f (z0 )] = {g [f (z0 )] + Φ[f (z )]} z − z0 z − z0 Œf ¼Ð ` º ú¸Ÿ #l" 0 ܖ d ¾t ·•2 z = z0 e` ¯½ # ô. f  z0 \ ”¦ §¤ ” ¹¨Œ  Ç ¦  " ƒ5s“ Φ “ & w0 = f (z0 ) \" ƒ5”\ Å_ . Õٖ +í† f Ŧ É h q r f Åe Ò ªQ¼Ð Ë$Ê q ½ < r É ¼Ð º à Φ[f (z )] “ z0 \" ƒ5s. ÕX Φ(w0 ) = 0 sٖ f Å ª< q  lim Φ[f (z )] = 0. z →z0  r É " d (2.37) “ z → z0 9 M F f ” { : Gô  Ç F (z0 ) = g [f (z0 )]f (z0 )  ) s . a ´ ¤< Ÿèʺ ì p$É 4™†Ã_ pr0 “ f = u + iv { M f _ zàx )à†Ã  xír 9 :  ºÒ 9 ‡ºÒ <º  Ê  'd` 3 º ” Q ⺠ÒQ” Ÿè<º ì p$ _ ›>”¦ %` à e. sô Ä Å# 4™†Ã_ pr 0 `  Ç  xí¦ a  ¦ ¤ Ê øߍ< º  ½ ¯ óé HX BÄ ¼o É s. # + ͖   €$  (2.38) f (z ) = u(x, y ) + iv (x, y )  & z0 = (x0 , y0 ) \" pì0 “ & . 7 f  p¦ ñ £ rx  h ¤ (2.39) f (z0 + ∆z ) − f (z0 ) ∆ z →0 ∆z f (z0 ) = lim s ”F“ ñ . z0 = x0 + iy0 s“ ∆z = ∆x + i∆y ܖ æ. &  >ô¦  & rÇ ¦ ¼Ð ¼ ñ o 2.1 \ _ #   Œ (2.40) Re [f (z0 )] = (2.41) Im [f (z0 )] = lim Re f (z0 + ∆z ) − f (z0 ) ∆z lim Im f (z0 + ∆z ) − f (z0 ) ∆z (∆x,∆y )→(0,0) (∆x,∆y )→(0,0) “ d` %. #l"  ¦ H  ” 3 Œf (2.42) f (z0 +∆z )−f (z0 ) ∆z = u(x0 + ∆x, y0 + ∆y ) − u(x0 , y0 ) ∆x + i∆y i[v (x0 + ∆x, y0 + ∆y ) − v (x0 , y0 )] + ∆x + i∆y 5 X pì0$ j ]  p  r xí 41  r    þÇ \  d s. ” (2.39)  ”F ٖ d (2.40) õ (2.41) H Äo ‚˜ – >¼Ð ”  º ×ô âЦ  (∆x, ∆y ) → (0, 0) { M $wô.  9 : ínÇ   ¤ ´ ¤¦ £ º¡`  h :y zû  & (∆x, 0)  (∆x, ∆y ) → (0, 0) s€ d (2.42) \ ¦ `  ”    f " ∆y = 0 sٖ ¼Ð u(x0 + ∆x, y0 ) − u(x0 , y0 ) ∆x→0 ∆x v (x0 + ∆x, y0 ) − v (x0 , y0 ) Im [f (z0 )] = lim ∆x→0 ∆x Re [f (z0 )] = lim ¦   3 £ ` %H. 7 ¤ f (z0 ) = ux (x0 , y0 ) + ivx (x0 , y0 ) (2.43) s.  ¢ô )û`  & (0, ∆y ) ` (∆x, ∆y ) → (0, 0) s d (2.42) \ ¸Ç ‡º¡  h   ¤¦  ¦ € ”   f " ∆x = 0 sٖ °“ ~Zܖ ¼Ð úÉ ½O¼Ð r Ó (2.44) f (z0 ) = vy (x0 , y0 ) − iuy (x0 , y0 )  3 A ”É ` %. 0 d“ ¦ H r f (z0 ) = −i[uy (x0 , y0 ) + iv (x0 , y0 )] e  ”\ Å_ . d (2.43) õ (2.44) ` q“  f _ pì0$ܖÂ'  Ò ”  ¦  §€   pí¼ÐÒ  r x #r~  ¼p½&d  ìÓñ” (2.45) ux (x0 , y0 ) = vy (x0 , y0 ) uy (x0 , y0 ) = −vx (x0 , y0 ) ¦  ` 3H  : 9# ½ñd   r Ó  ×Ï ‘Ç  %. s M {>¼pì ~&” (2.45) ¦ Cauchy-Riemann 'aÐ  \  ÒÉ f £  3H s . " 6 õ\ %. r §  ¦  –{ ß Çh 2.4 ë9  a f (z ) = u(x, y ) + iv (x, y ) h s & z0 = x0 + iy0 \" pì0 “ & . Õ€ (x0 , y0 ) \" u  f  p¦ ñ ªQ rx  f < H 9 ¸†º ¦  # Ê \ Óñ ü v  {> ¼•<æ t“ Cauchy-Riemann ~&d ½ ” (2.46) ux = vy uy = −vx  r É ¦ ë7ô. ¢ô f (z0 ) “  ß¤Ç ` –á ¸Ç (2.47)  þ º  ` j à e. ¦t ” f (z0 ) = ux (x0 , y0 ) + ivx (x0 , y0 ) 2 © K$<à j  3ʺ œ † 42 Ê × ™e 2.14 †Ã f (z ) = z 2 = x2 − y 2 + i2xy s — &\" p0s“ <º  ¸H hf r p¦ ìx Ž HM f (z ) = 2z ”` ˜%. " ño 2.3 \ _ # 4™î€_ —Ž /\" ¦  e Ði f  &  Œ Ÿè  ¸ Bf ¤ ¨ 2 − y 2 s“ v (x, y ) = 2xy Ó&` –¤Ç ~ d ßáô ¦ Cauchy-Riemann ½ñ”¦ ë7. u(x, y ) = x sÙ – ¼Ð ux = 2x = vy , uy = −2y = −vx s“ (2.47) \ _ # ¦  Œ f (z ) = 2x + i2y = 2(x + iy ) = 2z. ño 2.4 “ Cauchy-Riemann ~ñds pì0$_ €¯› e` ´ ¦ ˜ & r É Ó ”  pí 9¹¸|” ú ½& r x   ¦xx §r † ¦ Í  § “ ”. Õ @Ä s6  pr0 t ·“ <Ã\ óZ HX •¹ ¦ e ª /º\  € ì p úÉ Êº ø>< ¸¡ s ).  a  × ™e 2.15 f (z ) = |z |2 { M u(x, y ) = x2 + y 2 s“ v (x, y ) = 0 s. ë{ 9:  ¦ ß  – 9 f Ó&` ߤô  ~ d¦ –áÇ  h & (x, y ) \" Cauchy-Riemann ½ñ” ë7€ ux (x, y ) = 2x = 0, uy = 2 y = 0 s $w # . " f (z ) “ "& ]üô —Ž /\" ”F t  nŒ Ç f í Ç M > ô r ¶` É éh¦ j@ ¸H Bf r ·. Õ ño 2.4 “ f (0) _ rF  ˜ t 3. § úH ªQ  & r É ” $` œ  >í¦ Ð© lÇ wô   h & z0 = (x0 , y0 ) \" Cauchy-Riemann ~ñ”_ ë7“ Õ &\" †Ã f Ó  ßáÉ ª hf ʺ ½&d –¤r <  ¸Êº ”í¦ Ð© l þj † Q Å$ " q f (z ) _ •<Ã_ >F$ ˜ t 3ô(ƒ_ë] 6, 12). #‹ ƒ5í r ` œ wÇ vH ›|ܖ Â' 6 &o\ %. ¸ ¼Ð Ò £ ñ 3H  § ¦  Ç  ah 2.5 <Ã Ê †º f (z ) = u(x, y ) + iv (x, y )  r Éh “ & z0 = x0 + iy0 \" # ε-Ó^\" _÷%“ . x < y f Q‹ H~„‰f ñ&3¦  " ½ & ü ›Ç < {#† HM > \ 'ô †Ã u < v _ 9>•<Ã Õ Ó?_ — /\" ”F “  a ʺ ü  ¼¸Êº ª H~/ ¸Ž Bf r¦ ½ 6 s . Õ –{ s ¼•ÊÃ[s (x , y ) q  ß f Å ô † t (x0 , y0 ) \" ƒ5   ªQ€ ë9 QÇ #¸<ºþ 0 0 f \" Cauchy-Riemann ~  Óñ” ½&d ux = vy , uy = −vx  >Ç  ë7  •†Ã f (z0 ) s ”F. ` ߤ  Ê rô ¦ –ဠ¸<º 6 Looman-Menchoff &o\ _ € s›“ \#• )[7]. 7 D  \;|½s“  r O a ñ  ¸|É Q¸  ¤ £ H P9+¦  2Ë  ¸H hf f : D → C  ƒ5, f = u + iv  . D _ — &\" ux , vx , uy , vy  ”F “ q Å   Ž r¦ > Cauchy-Riemann ~ñd` ß7 € f  pì0 . Ó& –¤  H r x ½ ”¦ ëá   p 5 X pì0$ j ]  p  r xí «Ë Ö_ ”ã 43  ¼ Œf ∆z = ∆x + i∆y  æ. #l" 0 < |∆z | < ε s“ ¦ ∆w = f (z0 + ∆z ) − f (z0 ). f " ∆w = ∆u + i∆v #l" Œf (2.48) ∆u = u(x0 + ∆x, y0 + ∆y ) − u(x0 , y0 ) ∆v = v (x0 + ∆x, y0 + ∆y ) − v (x0 , y0 ). & (x0 , y0 ) \" u ü v _ {> #•†Ã_ 5$ܖ Â'  h f <  9 ¸Êº ƒÅí¼Ð Ò  ¼< q ∆u = ux (x0 , y0 )∆x + uy (x0 , y0 )∆y + ε1 (∆x)2 + (∆y )2 ∆v = vx (x0 , y0 )∆x + vy (x0 , y0 )∆y + ε2 (2.49) (∆x)2 + (∆y )2 . Œf #l" ε1 õ ε2 H ∆z ¨€?\" (∆x, ∆y ) → (0, 0) 9 M 0 ܖ çô { : ¼Ð º4  Ç     î/f . "  f (2.50) ∆w = ux (x0 , y0 )∆x + uy (x0 , y0 )∆y + ε1 +i[vx (x0 , y0 )∆x + vy (x0 , y0 )∆y + ε2 (∆x)2 + (∆y )2 (∆x)2 + (∆y )2 ]. –¤Ç f ßᦠñ pd x” Cauchy-Riemann Óñds (x0 , y0 ) \" ë7ô“ & . 1 (2.50) ½  ~&” ¦ ¨¦ f \" uy (x0 , y0 ) ` −vx (x0 , y0 )  ˓ vy (x0 , y0 ) ¦ ux (x0 , y0 ) ܖ Ë ¦  `  ` ¼Ð ¨ “ ∆z ܖ ¾ ¦ ¼Ð º € (2.51) Õ ªQ (∆x)2 + (∆y )2 ∆w = ux (x0 , y0 ) + ivx (x0 , y0 ) + (ε1 + iε2 ) . ∆z ∆z (∆x)2 + (∆y )2 = |∆z | s“ ¦ (∆x)2 + (∆y )2 = 1. ∆z ¢ ε1 + iε2 “ (∆x, ∆y ) → (0, 0) 0 ܖ çô. 1d (2.51) _ šA ¸ô ¼Ð º4 p” Ç x r¤ Ç r É  ¸Éá r Óñ t} †“ ∆z = ∆x + i∆y → 0 { M 0 ܖ çô. s“ ½ ” Œ ½É • Ór 9 : ¼Ð º4 ¯É ~&d  Ç (2.51) _ aAFôs rF “ ,¤ Ç >  ¢áG ”¦ (2.52) f (z0 ) = ux (x0 , y0 ) + ivx (x0 , y0 ). 2 © K$<à j  3ʺ œ † 44 Ê × ™e 2.16 †Ã <º f (z ) = ex (cos y + i sin y )   Œf H ñ¸Œ ªQ€  ñ . #l" y  •ys. Õ &   • u(x, y ) = ex cos y, v (x, y ) = ex sin y  HM s. ÕX —Ž /\" ux = vy s“ uy = −vx s“ •†Ã[“ —H  ª< ¸ Bf ¦ ¦ ¼¸<ºþÉ ¸Ž # Ê tr   ¸` –á f r HM É ¸ B q |¦ ë¤Ç /\" ƒ5sٖ o 2.5 _ ›  ß7ô. " f (z ) “ —Ž / M Bf żР& ñ f >¦ \" ”F “ r f (z ) = ux + ivx = ex (cos y + i sin y ) = f (z ). × ™e 2.17 <à f (z ) = |z |2 _ íì †º Ê  $r  u(x, y ) = x2 + y 2 , v (x, y ) = 0 r M É ¸Ž Bf ¼¸†º r¦ Å ªQ "hfë “ —H /\" •<à ”F “ ƒ5s. Õ ¶&\"– Cauchy#Ê > é q ß Riemann ~ d ß7 ٖ &o 2.5 \_ # f (0) “ >FÇ. z] Óñ` ë¤ ½&”¦ –á¼Ð ñ Œ ´ rr ô É ” j –, f (0) = 0 s. ¶&sü_ &\" Cauchy-Riemann Ó d ë7 Ð  "h@ hf é H ~ñ”` –¤  ½&¦ ßá † H r x  ú¼¼Ð ÒQ” ʺ ì p ú t ·Üٖ Å# <Í p0 t ·. § § ³ ¤ < :Ð GaðÐ ð‰a Ÿè†º r p$ ¸ Af M– Fý³– ³&) 4™ÊÃ_ p0í` › l 0K" H ì x ¦ H f“ý³– Å#” ~ñ` F~&dܖ  ? ô. Fý³ (r, θ) –  Ó ” Ó  Ç Ð  ”§aðÐ ÒQ ½&d¦ G½ñ”¼Ð /  Gað  Š Å# ý³\ “ý³ (x, y ) – Ël 0K" u¨ ÒQ” að f§a𠦔 Ð ¨ AfH 8 (2.53) x = r cos θ, y = r sin θ  6. $ u ü v _ x, y \ 'ô {>¼•Êà ”F“ & € aÇ  # < rô ¦  ô  <  ` xÇ  › 9¸†º >Ǧ ñ  . x, y  (2.53) \ _ # r, θ _ ÊÃsٖ u, v  r, θ _ †Ãs. H  <   Œ  †º¼Ð H  <º Ê f WO: " ƒZg  Ë ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y = + , ∂r ∂x ∂r ∂y ∂r ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y = + ∂θ ∂x ∂θ ∂y ∂θ ur = ux cos θ + uy sin θ, uθ = −ux r sin θ + uy r cos θ ¦ x    ` s6 € (2.54) r ÓO ` %H. °“ ~ܖ ¦   3 úÉ ½Z¼Ð (2.55) vr = vx cos θ + vy sin θ, vθ = −vx r sin θ + vy r cos θ. 5 X pì0$ j ]  p  r xí 45 –{  aÇ #¸<º ß9 x, y \ › ¼•†Ã z0 \" Cauchy-Riemann ~ñ ë 'ô  Ê f ½ d Ó&” u x = vy , (2.56) uy = −vx ¦ –¤   ` ßá ” r É f  ë7 € d (2.55) “ z0 \" (2.57) vr = −uy cos θ + ux sin θ, vθ = uy r sin θ + ux r cos θ s a. d (2.54) ü (2.57) – Â' z0 \"   ”  < Ð Ò f ) 1 ur = vθ , r (2.58) 1 uθ = −vr r %ܖ z0 \" Ó ” (2.58) s íwÊ` ·€€ (2.56) “ z0 \" í  i¼Ð f ~&d ½ñ <¦ ˜¤   $n† úŒ r É f $ n # ô. Õٖ (2.58) “ Cauchy-Riemann Ó d_  þIs  r É ~&” É + wŒ Ç ªQ¼Ð  ½ñ rA ô ¤ . " Fý³– ³³ ÊÃ\ @ Cauchy-Riemann ~ñ”Ü– 4  f GaðÐ ð‰) †º /Ç &a < Ó&d ½ ¼Ð Ÿ < r x † É ™ÊÃ_ pì0$ 9 Õ •<Ã\ ½½ à e. 膺  pí x ª ¸Êº¦ ¨+ º  ” < ʺ Çh 2.6 †Ã  a f (z ) = u(r, θ) + iv (r, θ) s 0 s  & z0 = r0 exp(iθ0 ) _ #" ε-½^\" _÷%“    h   Q HÓ‰f &&3¦  ‹ ~„ ñ     ' <  {¼¸<º ª HÓ ¸ Bf r . r õ θ \ ›ô u ü v _ 9>#•†Ã Õ ½_ —Ž /\" >F Ê HM aÇ ~ ”  q  – “ ¢ô (r0 , θ0 ) \" ƒ5s ñ . Õ€ ë9 s ¼•†Ã ¦ ¸Ç f Å & ªQ ß{ QÇ #¸<º ô Ê  (r0 , θ0 ) \" Cauchy-Riemann ~ñd_ Fý³þd (2.58) ` ß7 € +” f Ó& ½ ” GaðA ¦ –¤   ëá r  ¦ ¸<º •†Ã f (z0 )  ”F “ > Ê f (z0 ) = e−iθ (ur + ivr ) (2.59) (r0 ,θ0 )  s. ™e 2.18 †Ã × Ê <º f (z ) =  qy . ¦ t• ` Ҍ u(r, θ) = cos θ , r 1 1 = iθ z re v (r, θ) = − sin θ r  f &  ¸¦ ëáÇ  ߤ sٖ î0_ 0 s  & z = reiθ \" ño 2.6 _ ›|` –7ô. ¼Ð €A   h ¨ f  ¸†ºH r¦ " f _ •<Í >F “ Ê ” f (z ) = e−iθ − ì©7g ŽFÃ< ÅøØ cos θ sin θ +i 2 r2 r =− 1 1 =− 2 (reiθ )2 z 2 © K$<à j  3ʺ œ † 46 1. 2.8 _ p/d` 6 # 6 †Ã_ •<à f (z ) ¦ ½ # "j §Ê \ ¨Œ î  ìB”  Œ £ <º ¸†º rN¦ x Ê   . (a) f (z ) = 3z 2 − 2z + 4 (b) f (z ) = (1 − 4z 2 )3 (c) f (z ) = z −1 2z +1 (d) f (z ) = (1+z 2 )4 z2 z = −1 2 (z = 0) îj  B”¦  Œ £  £ Œ rN` x § ´¦ x" 2. "] 2.8 _ pì/d 6 # 6 z` 7î #.  ½ (a) n(≥ 1) †d Ӕ P (z ) = a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n (an = 0) rÊ É ¸<º “ •†Ã P (z ) = a1 + 2a2 z + · · · + nan z n−1 ¦  ¤ î  ” 4™¨^\" pr0 . x `  Ÿè €„‰f ì p (b) (a) \" † P (z ) _ >à  f ½d Ӕ  ºH a0 = P (0), a1 = P (z ) P (z ) P (n) (0) , a2 = , · · · , an = 1 2! n! ¼Ð þ º ” ܖ j à e. t   9 : ¸†º 3. ñ_\ 6 # f (z ) = 1/z (z = 0) { M •<à f (z ) = −1/z 2   Œ &¦ x Ê  ˜#. ”¦ e` Ќ ¦ ¦  >¦ 4. f (z0 ) = g (z0 ) = 0 s“ f (z0 ) õ g (z0 ) s ”F “ g (z0 ) = 0 s“  r ñ ¸Êº &\  Œ < & . •†Ã_ ñ_ 6 # ¦ x lim z →z0 f (z ) f (z0 ) = g (z ) g (z0 ) e` ˜#. ” Ќ ¦ Ð Ç 5. ˜l 2.13  °“ ~O` 6 # f (z ) s #* z \ @K"• > õ úÉ ½  Œ r ÓZ¦ x  Q‹ô  /f¸ r ” F t ·6 ˜#.  ú£¦ Ќ §§` (a) f (z ) = z ¯ (b) f (z ) = Re z (c) f (z ) = Im z 5 X pì0$ j ]  p  r xí 47 < 6. Êà f  †º f (z ) = z (¯)2 , z 0, z=0 z=0  – ¸ îf  Ð ñ&3¦  ß9 – &_÷%“ . ë{ z = 0 s€ ∆z ¢H (∆x, ∆y ) ¨€\"    •• ò  ¦ Ќ Ã< )û0_ yy_ %s  &\" ∆w/∆z = 1 ” ˜# zºü ‡º¡A ŒŒ   hf ´ ¤ e`  î ”  ª¦ . Õo“ ∆z ¢ (∆x, ∆y ) €\" ‚ ∆y = ∆x 0_ yy_ ¸H ¨f f A ŒŒ •• %s  &\" ∆w/∆z = −1 e¦ ˜#. " s z– ` Ќ f Qô Ð ” ò  hf  Ç´ Â' f (0) s ”F t ·.(Å_: "&\" Å#” †Ã_ pì Ò  > ú Ò ¶hf ÒQ <º  é Ê r r §H xí¦ p  ¸Af 0$` › l0K" ∆z ¢ (∆x, ∆y ) î€\" Ãü )û0 ¸ f zº< ‡º¡A ¨ H ´ ¤ •• %   – q• H r  ŒŒ   hf ¼Ð º4 Gôß tŒ ¯É _ yy_ òs  &\" 0 ܖ ç H FÇë Òy  “  Ør ú”¦  §` · ì t ·e  p.) æ 7. &o 2.4 ` 6 # 6 †Ã_ pr0$` › #. ¦x ñ   Œ £ <º ì pí ¸Œ §Ê  x ¦ (a) f (z ) = z ¯ (b) f (z ) = z − z ¯ (c) f (z ) = 2x + ixy 2 (d) f (z ) = ex e−iy ¦  Œ £ ʺ r pí x ¸†º `x §< ì x < 8. ño 2.5  6 # 6 †Ã_ p0$ 9 •Êà f (z ), f (z ) &  ¨Œ ` ½ #. ¦ (a) f (z ) = iz + 2 (b) f (z ) = z 3 (c) f (z ) = cos x cosh y − i sin x sinh y (d) f (z ) = e−x e−iy 9. o 2.4 õ 2.5 \ 6 # f (z ) s ”F t\ & “ Õ °` & ¦x   Œ  >H ñ¦ ª ú r  ¦  ñ  ¯¦ ¨Œ ½ #. (a) f (z ) = 1/z (b) f (z ) = x2 + iy 2 (c) f (z ) = z Im z 10. ño 2.6  6 # 6 y <à Å#” ñ_%\" pr0† & &  ¦x \  Œ £ Œ ʺ ÒQ if ì p< §•†  xÊ  ˜s“ /” (2.59) \ s6 # •<Ã\ ½ #. ` Nd ʦ ¦ Ц B ¦x   Œ ¸†º ¨Œ (a) f (z ) = 1/z 4 (z = 0) 2 © K$<à j  3ʺ œ † 48 (b) f (z ) = √ reiθ/2 (r > 0, −π < θ < π ) (c) f (z ) = e−θ cos(ln r) + ie−θ sin(ln r) (r > 0, 0 < θ < 2π ) 11. f (z ) = x3 + i(1 − y )3 { M z = i \"ë 9:  – fß f (z ) = ux + ivx = 3x2 ”¦ Ќ e` ˜#.  12. u < v  6 Êà ü H £ †º  §< f (z ) = z (¯)2 , z 0, z=0 z=0 _ zÃÂ< )Ó . "& (0, 0) \" Cauchy-Riemann ux =  ºÒü ‡ºÒ¦  ¶h ´ é f vy < uy = −vx s ß7† ˜#.(_H] 6 ‚›) ü –¤Ê` ƒv  ëá<¦ Ќ þëj ø Ð GAd + Ó ¦ x 13. Fþ” Cauchy-Riemann ~&d` 6 # †Ã f (z ) = u + iv _ • ½ñ”  Œ <º Ê ¸ Ê <º †Ã −i (uθ + ivθ ) f (z0 ) = z0 ¦ e Ќ  `  Œ <º ´¦ x Ê Ê ”` ˜#. s z s6 # †Ã f (z ) = 1/z (z = 0) _ •†Ã  ¸<º 2 ”¦ ˜#.  f (z ) = −1/z ` Ќ e ë9  14. (a) ß{ z = x + iy s€ –  z+z ¯ z−z ¯ y= 2 2i ”  CÏ\¼Ð WO:  Œ º†º e` ©l . ÌІܖ ƒZË` 6 # 2 ÃÊà F (x, y ) ¦ œ f  g¦ x < #Ê  ¸<º _ ¼•†Ã x= ∂F ∂x ∂F ∂y 1 ∂F = + = ∂z ¯ ∂x ∂ z ¯ ∂y ∂ z ¯ 2 ∂F ∂F +i ∂x ∂y  »¸Œ ` ĕ #. ¦ (b) (a) \" ƒí – f ß 1∂ ∂ ∂ = +i ¯ ∂z 2 ∂x ∂y ¦& – † ` ñ_ . ë{ <à f (z ) = u(x, y ) + iv (x, y ) _ ÃÂü )   ß9 ʺ  zºÒ< ‡ ´ ºÒ 9 #¸†º ÃÂ_ {> ¼•<à Cauchy-Riemann ½&” ë7 € Ó ¦ ߤ  ~ñd` –á  Ê ∂f 1 = [(ux − vy ) + i(vx + uy )] = 0 ∂z ¯ 2  Ќ f ”` ˜#. " Cauchy-Riemann ~&d_ 4™+” e¦ Ó  ŸèA ½ñ” ¤ þd ¦ »¸i   ĕ %. ` ∂f ∂z ¯ =0 6 X K$†Ã j ] 3<º  Ê ‰ V6â 49 7Á B„ÁÊ þ ǘ 2.15 4™Ã z _ <à f  \9½?\" B„†s †“ f  P2|Ë/f 7\ <É ;+  + a ¤ Ÿèº  †º Ê Êr Ê P2|+ 9½?_ y &\" •†Ã\ ”. †Ã f  9½s  9 P2|Ë \;+/ Œ hf ¸Êº  <º • \;Ë  |  <¦  ½ /f 3h †É H \ í<H ;9½/f 3  H Êr  ¦ Ê  P2Ë  Ë S ?\" K$&s <“ f  S  Ÿ†  \|+?\" K$ + ¤ \ c 7\ ÊÉ  &s. :y f  † z0 U" B„†s <“ f  z0 _ H½\" K$&  h £ ~  †r  Ӂf 3h – Ê ¤ €  •   >þ  ß{ †º Ÿèî „‰ Œ hf 3h ‡Á s. ë9 <à 4™¨ ^_ y &\" K$&s€ ¦ÁÊ(entire   ô function)  Ç. ʺ × ™e 2.19 (i) †Ã f (z ) = < $&s.  3h 1 z “ Äô ¨€?_ 0 s  y &\" K r Ç î É » /   Œ hf  • (ii) f (z ) = |z | “ #*ô &\"• K$&s m. r É Q‹Ç hf¸ 3h    Ódr „< (iii) 4™ ½“ †Ãs. ¤ Ÿè †”É ʺ  a+ f 3h –  ¸ H½/ Q" H Ó  ǘ 2.16 f  & z0 \" K$&s mtß z0 _ —Ž ~?_ #‹  h  ë ´ r  hf 3h &\" K$&s z0 \ f _ §l†s . ¦ H  €   \ ÒÉ × ™e 2.20 z = 0 “ f (z ) = r É ¦   ú ` tt ·H. § 1 z ¤ r¤  É £h  £h ªQ _ :s&s. Õ f (z ) = |z |2 “ :s& Ê º <  i † /f 3h  ªQ  V 2.9 <à f ü g  ñ_% D ?\" K$&s . Õ€ Z Á H&   f + g, f − g, f g  “ D \" K$&s. ë{ g  D \" 0 s m r É f 3h –9  ß f  € f g ¸ 3h • K$&s.  r É ñ ¤ £Z º ½”  :>y ¿ †d_  P (z )/Q(z ) “ Q(z ) = 0 “ e__ &_%\" Ó ]  ” if  3h K$&s.  º 3<º Ë$ʺ¸ 3ʺ ¿ K$†Ã_ ½í<Õ K$†Ãs. + † < Ê Ê ñ  Z ÃV 2.10 †Ã f (z )  _% D \" K$&s“ ¨ w = f (z ) \" <º &i f 3h¦ 8  f Š œ D _ ©s K$†Ã g (w) _ &_%\ ŸÊ÷€ ½í†Ã g ◦ f • D \"   3<º Ê  i í†& +$<º <  Ë Ê ¸ f ñ 3h¦ ª ¸†ºH K$&s“ Õ •Êà <  d g [f (z )] = g (f (z ))f (z ) dz  s.   Çh 2.7 &_% D _ —Ž &\" f (z ) = 0 s f (z ) H D _ ^\" a  ñi  ¸ hf H €    „ ‰f  º<º ©Ã†Ãs. œÊ 2 © K$<à j  3ʺ œ † 50 «Ë Ö_ ”ã f (z ) = u(x, y ) + iv (x, y )  ¿. D \" f (z ) = 0 s . f    º ¦ Ó  ½ñ”¼Ð Ò   ux + ivx = 0 s“ Cauchy-Riemann ~&dܖ Â' vy − iuy = 0 s.  " D _ y &\" f •  Œ hf ux = uy = vx = vy = 0 s. D _ —Ž &\" u(x, y ) = (ux (x, y ), uy (x, y )) = (0, 0) s“ v (x, y ) =   ¸H hf ¦  (vx (x, y ), vy (x, y )) = (0, 0) sٖ e__ ÓÓ7' u \ @ô ~¾•<à ¼Ð ” ~†˜  / ½†¸Êº  ½¾ Ç ÓÓ †  ëá f < H ¦ –¤Ç  /f ”  Du u(x, y ) = Du v (x, y ) = 0 ` ß7ô. " u ü v  D ?\" e_  f‚Af ©º _ 0\" Ãs. D ?_ e__ ¿ &“ Äô>_ rܖ ƒ r Ç  ” œ / ” º hÉ »h ‚ì¼Ð    s 0 ٖ ¿ &\"_ Ê𓠗¿ °. " u < v  D ?\  p¼Ð º hf †ºúÉ ¸º ú f ü H x < ¯r /   f ©º ªQ¼Ð H " Ãs. Õٖ f  D ?\" ÆÃs. œ  ©Ê /f œº<º ǘ 2.17 ¿ à x < y _ z<à u(x, y )  xy î_ Å#” &_% + º  º ü   ʺ ´† ¨€   a   ÒQ ñi f ¿ªÁÁ <É ñi ‰f  ƒÅ  9  ¸†º \" œÊ †“ &_% „^\" u _ 5“ 1 > x 2 > ¼•Êà q þ Êr   #<  >F “ Laplace ½ñd r Ó&” ~  ”¦ uxx (x, y ) + uyy (x, y ) = 0 (2.60) ¦ –¤Ç  ßáô ` ë7. ë9 4™†Ã f = u + iv  ô &\" K$&s †Ã f _ zàÇ   < ´ ß{ Ÿè<º – ¤ Ê  hf 3h€ ʺ  ºÒ u ü )àv  Õ &\" — >Ã_ ƒ5“ #•Êà (&o < ‡ºÒ H ª hf ¸H º Å ¼¸†º\ ” ñ  q  < ¦   Ž 4.10). s ` s6 € o 2.8 ` 7 ½ à e.  z¦   & ´ x  ñ ¦ £"+ º ”  xîÉ  ™œah 2.1 D  R2 ?\" ;|½, (a, b) ∈ D, u : D → R s . ׿ Ç /f \9+ P2Ë H    ∞ s“ u _ ™½ 2 > ¼•<Ã ×  ”F “ (a, b) r Af ¥Ë Ê  f  D 0\" C ¦  D+  #¸†º æ  >¦ \" ƒ5s€ (a, b) \"  _ ™Ë 2 > •<à ”F “ f Å q  f É  ¥½  #¸†º r¦ D+ ¼Ê > r ∂2u ∂2u (a, b) = (a, b). ∂y∂x ∂x∂y «Ë Ö_ ”ã uyx  D 0\" ”F “ & (a, b) \" ƒ5s“  . r > 0  f Ŧ & q Af >¦ h r ñ r  ‚× # Br (a, b) ⊂ D ` ß7 > “ |h|, |k | < √2 \ @K" ¦ ˜ ¦ ë¤  –á ¦  /f `  þ Œ ∆(h, k ) = u(a + h, b + k ) − u(a + h, b) − u(a, b + k ) + u(a, b) H¯ñ  ¦ ˜ Ð º îú ¦ º    ¼ú – ¿. ¨ç°&o\ ¿  6 € Ûº s, t ∈ (0, 1) \ ‚þ #  x ˜  ׌ ∆(h, k ) = k ∂u ∂2u ∂u (a + h, b + tk ) − k (a, b + tk ) = hk (a + sh, b + tk ). ∂y ∂y ∂x∂y ª< Œ DË ¸†º h ÕX t} ™½ ¼•Êà & (a, b) \" 5sٖ ƒq  • ¥+ # < H  f żР(2.61) ∂2u ∆(h, k ) = (a, b). k→0 h→0 hk ∂x∂y lim lim 6 X K$†Ã j ] 3<º  Ê 51 Ç çúñ   ¼ú ¼ îH°&o\ 6 € Ûº u ∈ (0, 1) s ”F #  rŒ ô# ¨¯ ¦ x  ˜ > ∆(h, k ) = u(a + h, b + k ) − u(a + h, b) − u(a, b + k ) + u(a, b) ∂u ∂u = h (a + uh, b + k ) − h (a + uh, b) ∂x ∂x f " (2.61) –Â' ÐÒ 1 k→0h→0 k lim lim ∂u ∂u (a + uh, b + k ) − (a + uh, b) ∂x ∂x ∂2u ∆(h, k ) = (a, b). = lim lim k→0 h→0 hk ∂x∂y ª< ÕX ux  Br (a, b) \" ƒ5sٖ 'P \" h = 0 s Ñ Ã   t H f żР: df q Í ”  ü º e ñ  . &_\ _K ” 1 ∂2u (a, b) = lim k →0 k ∂y∂x ∂u ∂u (a, b + k ) − (a, b) ∂x ∂x = ∂2u (a, b). ∂x∂y a –9 ʺ ß †  &i /f 3h  Çh 2.8 ë{ <à f (z ) = u(x, y ) + iv (x, y ) s ñ_% D ?\" K$&s    $r†Ã u ü v  D ?\" ›<Ãs.  Ê € íì<º <  H /f ¸oʺ † ”ã f  D ?\" K$&s“  . Õ€ $r†Ã_ {> ¼ «Ë Ö_ ñ  Ê /f 3h¦ & ªQ íì<º 9 #   ÊH Óñ •<Í D ? „^\" Cauchy-Riemann ~ d ¸†º / ‰f  ½&” (2.62) u x = vy , uy = −vx ¦ –¤Ç  ë7. u < v  —Ž >Ã_ ¼•†Ã\ tٖ (2.62) _ €` ` ßáô ü H ¸ º #¸<º¦ ¼Ð H Ê  ª œ¦  /f  x \ @K" pì  r€ (2.63) uxx = vyx , uyx = −vxx s“ y \ @K" pì € ¦  /f r  (2.64) uxy = vyy , uyy = −vxy ¦ %. ˜›&o 2.1 \ _ # uxy = uyx s“ vxy = vyx sٖ (2.63) ` 3 иñ  H  Œ ¦ ¼Ð < ü (2.64) “ r É < uxx + uyy = 0 ü vxx + vyy = 0 H <  f <  s. " u ü v  D ?\" ›ÊÃs. /f ¸o†º 2 © K$<à j  3ʺ œ † 52 Ê × ™e 2.21 †Ã <º f (z ) = e−y sin x − ie−y cos x ü “ „†Ãs. " u(x, y ) = e−y sin x < v (x, y ) = −e−y cos x “ xy ¨ r Ê É <º f r É î  €‰f ¸oʺ † „^\" ›<Ãs. Ê <º × ™e 2.22 †Ã g (z ) = z 2 = x2 − y 2 + i2xy “ †Ãsٖ Y f (z )g (z ) • †Ãs. #l" f (z ) H ˜l 2.21 _ r „Ê É <º¼Ð L  ¸ „ʺ Œf <    Ð < †Ãs. " †Ã < ʺ f ʺ Re [f (z )g (z )] = e−y [(x2 − y 2 ) sin x + 2xy cos x] €‰f ¸oʺ † r É “ xy î„^\" ›<Ãs. ¨ < ñ &i f ) <º  ñ a ´Ê ¿ a+ ǘ 2.18 u ü v  _% D \" &_ z†Ã . v  u _ œ  ª¯ËÁ œbÁÊ(harmonic conjugate) †“ u, v  D \" ›ÊÃs“ u »cþ  <É f ¸o<º¦ † Êr { ¼Êt Óñ¦ ß¤Ç ~ ” –áô <   ¸†ºþ ü v _ 9> #•<Ã[s Cauchy-Riemann ½&d` ë7.  Çh 2.9 †Ã f (z ) = u(x, y ) + iv (x, y )  _% D \" K$&sl 0 < &  Ç a ʺ ñi f 3h Aô  æ |r 9¹r¸ É  ¸oBӆº NÊ €¯Ø웓 v  u _ ›/o<Ãs. «Ë – Öã ß9 ”_ ë{ v  D \" u _ ›/Ós€ &o 2.5 \ _ # f  D \  Œ H f  ¸oB ñ No    f 3h ñ ÐÒ f 3†º i¼Ð ë{ " K$<Ãs. %ܖ, –9 f  D \" K$&s &o 2.8 –Â' u Ê  ß  € H f ¸oʺ¦ ñ † < v  D \" ›<Ãs“ &o 2.4 \_K" Cauchy-Riemann Ó&d ü f ½  ~ñ” r ë¤) É –áa “ ß7. ½” 2.8 ß{ v  #‹ &_%\" u _ ›/†Ãs u  v _ Õ Ô Ç§ Q" ñif  ¸oBo<º   ë NÓÊ ª –9 € ´  òif ¸oBÓÉ 9øh¼Ð z  %%\" ›/o“ {Í&ܖ s m. Nr ì Ê †º ™e 2.23 <à × u(x, y ) = x2 − y 2 , v (x, y ) = 2xy “ „†Ã f (z ) = z 2 _ yy zÃÂü )ÃÂs. " &o 2.9 \_ r < É ʺ  •• ´ ñ  ŒŒ ºÒ< ‡ºÒ f  NoÊ ¨ Œ H  ¸oB<ºß   ¸oB<º c º  # v  u _ ›/ӆÃstë u  v _ ›/oÊà | à O.  –H Nӆ \ jРʺ z]– † à ´ < 2xy + i(x2 − y 2 ) r É Qf¸ 3h  “ #n\"• K$&s m.  No<  º Ô Ç§ ½” 2.9 (i) –9 ¿ <à u, v  "–_ ›/ÊÃs u, v  ©Ã ß{ ë º ʺ † fÐ ¸oBӆº € Hœ Ç Q ô s# . 6 X K$†Ã j ] 3<º  Ê 53 NÓ<  – "ñ  ªò (ii) ß9 v  #‹ &_%\" u _ ›/oÊÃs€ −u  v _ Õ % ë{ Q if  ¸oB†º %\" ›/s“ Õ %• $wô.  if ¸oBo¦ ª i¸ ín NÓ  Ç  ò (iii) ›<Ã_ ›/ӆÃ_ rF %7 \ _>ô. sô % † NoÊ > H ò ¸oʺ ¸oB<º ” %i  r QÇ %i ”Ç f ¸ ¸oʺH 3†º ºÒ \" —Ž ›<Í K$ÊÃ_ zÃÂs. H †  < ´ (iv) ›/Ó<Í ”F  œÃ ]@  Ä{ . ¸oBoʺH r€ º¦ jü€ »9  N†  > © \ «_ Öã ”Ë Ê †º\ (ii) <æ f (z ) = u(x, y ) + iv (x, y ), −if (z ) = v (x, y ) − iu(x, y ) ¼Ð / ܖ  ?€ f (z ) s D \" K$&sl0ô €¯Øì›|“ −if (z ) s Ç  ær r   f 3hA 9¹¸É   3h K$&s.  §  †  ~ £ ÐH ÒQ ¸oʺ ¸oBoʺ\ ¨ ÓO¦ j 6 ˜l Å#” ›<Ã_ ›/<æ ½ H ½Z` ]r  Nӆ  “ ”. ¦  e ʺ < × ™e 2.24 †Ã (2.65) u(x, y ) = y 3 − 3x2 y  ¸oʺeÉ 1 ú º ” \  ¸oB<º¦  s ›<Ó ~> · à e. v ¦ u _ ›/o†Ã“ . Cauchy NÓÊ † ”r  ˜  Riemann ~ñ”Ü– Â' Ó&d¼Ð Ò ½  vy = ux = −6xy ¦ 3 A ”` \ ¦ñ¦  'Œ hì ` %. 0 d¦ x  “& “ y \ › # &   H  ¦ a r € (2.66) v = −3xy 2 + φ(x) ¦   3 Œf É   › <º ` %H. #l" φ “ ”__ x \ 'ô †Ãs. vx = −uy sٖ (2.65) aÇ Ê ¼Ð re Ð Ò ü < (2.66)– Â' 3y 2 − 3x2 = 3y 2 − φ (x) ¦ 3 f ` %H. " φ (x) = 3x2 s“ &r € φ(x) = x3 + c, c  ©Ãs   Hœ  º ¦ hì    f ¨ ¸oB<º . " ½  ›/ӆÍ H NoÊ H v (x, y ) = x3 − 3xy 2 + c 7 –H ƒ% ˜ é ò%` ´ô. 7 — ßí {˜/‚`  &ܖ »™r~ à e ò% ßí  i¦ úÇ £ ¸Ž – Œ2B¦ ô h¼Ð ¡è º ” i¦ ¤ H éH —³G Ç  ¤ ´ H %` í H ¶Í x t•+ ” ´ô. \\ [# ½"s \ "øs ½€1¦ ÒyÉ Ã . ˜Ç ú V þQ ¨  O éó ¨p` qŒ½ º e ¦t 2 © K$<à j  3ʺ œ † 54 ¦ /£ 3<º s“ @6  K$†Ã x H Ê H f (z ) = (y 3 − 3x2 y ) + i(x3 − 3xy 2 + c) (2.67)  8¡  ʺH s. ¹s s <à ¤ † f (z ) = i(z 3 + c) s.  ÅFÃg Ž©7< ìøØ §Ê 1. 6 †Ã <Ãe¦ ˜#. £ <º „†º` Ќ Ê ” (a) f (z ) = 3x + y + i(3y − x) (b) f (z ) = sin x cosh y + i cos x sinh y (c) f (z ) = e−y sin x − ie−y cos x (d) f (z ) = (z 2 − 2)e−x e−iy §< 2. 6 Êà #Ö /\"• K$&s _ ˜#. £ †º Q¼ Bf¸ 3h ”¦ Œ M  ` (a) f (z ) = xy + iy (b) f (z ) = 2xy + i(x2 − y 2 ) (c) f (z ) = ey eix £ †º £h` 1¦ Q h j@ Bf 3h ÷ ÇM 3. 6 <Ã_ :s&¦ ¹“ sô &` ]üô /\" K$&s & §Ê ¤  Ô Ç ¦   sĦ O" #.  [ H »\ îŒ  (a) f (z ) = 2z +1 z (z 2 +1) (b) f (z ) = z 3 +1 z 2 −3z +2 (c) f (z ) = z 2 +1 (z +2)(z 2 +2z +2) Ê 4. <à †º g (z ) = √ iθ/2 re (r > 0, −π < θ < π ) r< É ¸†º “ •Êà g (z ) = 1/[2g (z )] ` ” K$†Ãs. sM + <à   3<º : Ë$†º ½íÊ ¦  Ê g (2z − 2 + i) “ •<à 1/g (2z − 2 + i) ` ” 쨀 x > 1 \" K r† É ¸Êº f  ¦  Í    øî 2 9:   ”` Ò+ É $&e` ˜#.(˜à : x > 1 { M Re (2z − 2 + i) > 0 e¦ Å_½ ¦ 3h” Ќ ³Ô  ¯.) 6 X K$†Ã j ] 3<º  Ê 55 † 5. <à ʺ g (z ) = ln r + iθ (r > 0, 0 < θ < 2π ) s •†Ã g (z ) = 1/z `  Å#” &_%\" K$&e¦ ˜#  ¸<º ¦  ” ÒQ ñif 3h”` Ќ Ê    2 + 1) “ 1 ì€ x > 0, y > 0 \" •†Ã f ¸<º  ªQ + <º . Õ€ ½í†Ã g (z  Ë$Ê r É  r Ê 2 + 1) `  z _ K$†Ãe ˜#.(˜à : x > 0, y > 0 { Ê ` 2 2z/(z ¦  ”  3<º”¦ Ќ ³Ô  9 2 + 1) > 0 e` Å_½ ¯.) : M Im (z ¦ ” Ò+  É 6. f (z ) s &_% D ?\" K$<à . ë{  i ñ /f 3ʺ  ß9 † – (a) f (z ) s D ?\ —Ž z \ @K" ðs.  / ¸  /f zºú H ´¯  /f 3h (b) f (z ) s D ?\" K$&s.   /f ©º œ (c) |f (z )| s D ?\" Ãs. ¦ ßá  ë7 € f (z ) “ D ?\" œÃe ˜#. (˜à : Cauchy` –¤  /f º”¦ Ќ 2Ô ³ r É © ` ¦  Ð Riemann ~ñ” &o 2.7 ` 6 # (a) ü (b) ` ˜“. (c) ½ dõ ñ Ó& ¦x   Œ < ¦ x ¦   £î Af ß{ \ 7" l 0K" ë9 |f (z )| = c, (c = 0) s f (z ) = c2 /f (z ) ` – €  \  Ç Å_ . Õo“ (b) ¦ 6ô.) Ò ª¦  x Ê †º Q‹ if ¸o†º¦ ¸oBo<º Ê NÓÊ 7. <à u(x, y )  #" &_%\" ›<Ãs“ ›/†Ã v (x, y ) ñ  ¦  ¨Œ ` ½ #. (a) u(x, y ) = 2x(1 − y ) (b) u(x, y ) = 2x − x3 + 3xy 2 (c) u(x, y ) = sinh x sin y (d) u(x, y ) = y/(x2 + y 2 ) £¦ £îŒ §` x 8. 6 7" #. (a) v ü V  ñ_% D \" u _ ›/ӆÃs v (x, y ) = < H   &i f  ¸oB<º€ NoÊ  V (x, y ) + C, C  Ã, s. H ©º  œ H ñi f  ¸oB<º¦ ¸   ¸o ÇH (b) v  &_% D \" u _ ›/ӆÃs“ ¢ô u  v _ ›   NoÊ /ӆÃs€ u(x, y ) ü v (x, y )  D ^\" Ãs# ô. NoÊ B<º  H„  ‰f œºQ  © < Ç Ê § &  9. †Ã f (z ) = u(r, θ) + iv (r, θ) “ "&` Ÿ† t ·H ñ_%\" K <º r é Ê É ¶h¦ í< ú if  a ½ñd  ¦  3h  Gýð 'Ç $&s . Fa³\ ›ô Cauchy-Riemann ~&` 6 “ Ó ”¦ x #Ê ¼¸<º Å  ñŒ qí¦  r É •†Ã_ ƒ5$` & # D „^\" †Ã u(r, θ) “ Laplace ‰f <º Ê ×Ð C  ì~  ‘Ç+ ³ÌÏ #rÓñ” 'aϘ ;fГ ¼p½&d r2 urr (r, θ) + rur (r, θ) + uθθ (r, θ) = 0 ¦ ë7†` ˜#. <à v (r, θ) s $n<¦ ˜#.  ߤʦ ` –á< Ќ †º  íwÊ` Ќ Ê † 2 © K$<à j  3ʺ œ † 56 10. ƒ_H] 9 \ s6 # Laplace ~ñd_ Fþ” ë7†` s6 ¦x Ó&” GAd` ßá<¦   ½  þëj   Œ v +¦ –¤Ê x # †Ã u(r, θ) = ln r “ &_% r > 0, 0 < θ < 2π \" ›ÊÃe Œ ʺ < r  É ñ i f ¸o<º” † ` ˜#. ˜l 2.24 _ ½O 6 # ›/ӆà v (r, θ) = θ ¦  Ќ Ð  ÓZ`  Œ ¸oB<º ~¦ x NoÊ ` e¦ »¸Œ ³Ô G+” ” ĕ #. (˜à: Fþd_ Cauchy-Riemann ~&` s6½ 2 A Óñ” xÉ ½ d¦  + .) ¯ 11. †Ã f (z ) = u(x, y ) + iv (x, y ) “ _% D \" K$&s “ 1 ʺ < f 3h ¦ p x rñ  É &i  ¦ “‚ u(x, y ) = c1 ü v (x, y ) = c2 _ —e Òy . c1 ü c2 “   ¸”` qŒ ¦ t• < r É < ” z©º Qô ¸”É ”§ á 8 ñX –9 e__ Ãs. s —e“ f“s. 7  &S > ë{  ´œ Ç r  § ‰ ß z0 = (x0 , y0 ) s ¿ >_ :ZÇ /‚ u(x, y ) = c1 ü v (x, y ) = c2 _ ¤ G <   º h £>ô B / BŸh¦ N x  f  B XÉ G‚ ‚r D ?_ /:&s“ f (z0 ) = 0 s & (x0 , y0 ) \" s /_ ]“ € h ”§ ³Ô ½& f“ô. (˜à: ~ñ” u(x, y ) = c1 ü v (x, y ) = c2 – Â' 2 Ç Ó d < Ð Ò ∂u ∂u dy ∂v ∂v dy ü + =0< + =0 ∂x ∂y dx ∂x ∂y dx `  ¦ ” É ¦ QG 3 º eH Ò+ ¯  #b> %` à t Å_½ .)  r< t x ‚ 9 : íʺþ p¦ < rœ É© 12. f (z ) = z 2 { M $ì†Ã[_ 1“ u(x, y ) = c1 ü v (x, y ) = c2 “ Š G B‚ þëj Œ Q B‚É f§ B‚ /s. _H] \_ # sô /“ “s. / u(x, y ) = ƒv Ç Gr ” G – §§ 0 ü v (x, y ) = 0 “ "&\" ëtß f“ t ·6¦ ˜. s < r é É ¶hf ß– ”§ ú£` Ð Q ë ô zs ƒ_ë] 11 _ õü {u  sÄ\ " #. Ç ´ vH   þj  < 9H » [îŒ   ¦ O  Ê x t 13. f (z ) = 1/z { M ír<à u ü v _ 1“‚[_ —e` Õo“ f“ 9 : $솺 <  p¦þ ¸”¦ ª¦ §   ” í µŒ Gað¦  Œ [îŒ \x  ¦ ß $` 1#. Fý³ 6 # O" #. 14. Êà < †º f (z ) = z−1 z+1 9 : ír<º <  p¦þ ¸” ª¦ ”§í¦ 1Œ  Ê x ‚t ¦   ß { M $ì†Ã u ü v _ 1“[_ —e` Õo“ f“$` µ# .  × V3* ‘ Ô\ ´¿Á ee†ê ¡šÁÊ µ>  þ í   N Äo p&ì<\" l:&“ z†Ã_ $| x pì, &r\ @K" / ºH hrƁf rh <º 9 9 r hì /f BÒ  † ‘ ´Ê ¦ %. s \" # t l‘&“ 4™†Ã_ | pì_ $  ©  r ¤ Ê r \ i  œfH ŒQ  :h Ÿè<º $9õ  í í 9\ @K ¶(˜l– Ç.  ˜  | / úRÐÐ ô V1⠁‰ > ¥mÊÁÊ ez oÁþÁ  ´  H rÆ º9 : h<f ê  ¤ Ÿèº 4™à z = x + iy _ Êà z  zÃ{ M p&ì†\"  ƒ  †º < r tÆÖ ÷€ —Ž zà x \ @K" ºÊºÐ &9 ¸ º  /f  H´ < (3.1) f (x + i0) = ex Q ô ¸ô º ʺ s# . ¢ zÃ <à ex “ —Ž zà x \ @K" Ç Ç ´ † r H´ É ¸ º  /f dx e = ex dx §| ¼Ð º ¶ Ÿèº º<º £ ¸ sٖ Äo "  4™Ã_ tÆÃ\ 6 › é H¤  Ê (3.2) f  „†Ã s“ —H z \ @K" f (z ) = f (z ) H Ê  <º ¦ ¸Ž  /f  H  f Ҍ ¯ ƒ¼O ª< Ð Â#  s ÛX. ÕX ˜l 2.16 \"  (3.3) f (z ) = ex (cos y + i sin y )  <º¦ s „†Ãs“ f (z ) = f (z ) ` 7î %. ½ (3.1) õ (3.2) \ ß7 Ê  ¦ –¤ ” x"  e¦ £ i 8¨  ëá r Ç vH ¦  †º »9 >ô ƒþëj  <Í Ä{ > ”F(_ 14). " (3.3) ` HÊ H  f  (3.4)  f (z ) = ez ¢ f (z ) = exp z ¸H ¼Ð ¼Ð Ç f Ÿè º<º\ £ ú ñ½ º e ܖ æl– ô. " 4™ ƒtÆæ 6õ °s &_É Ã   ¤  Ê § + ”  . 57 j  :h“ Ÿè<º 3 © l‘& 4™†Ã œ r ¤ Ê 58 Ç+ ¸Ž Ÿèº H¤  /f  a˜ 3.1 — 4™Ã z = x + iy \ @K" ez = ex (cos y + i sin y ). (3.5) &_ 3.1 – Â' y = 0 9 M zÃ tÆÃ_ Ė +H` · à ñ Ð Ò < þd ˜ { : º ºÊº âºÐ A†¦ ú º  ´ e. ¢Ç z = iθ 9 M Euler /d { : N B”  ¸ô ”  H eiθ = cos θ + i sin θ  ” ¦ N` x B”¦  Œ  ¼ Ð A†` ú º ” f d – þH · à e. "  (3.5) \ Euler /d s6 # r æ +d¦ ˜    € ez = ex eiy (3.6) √ r É Ð ß þ º ” hì<f  œ j – ç# > j à e. p&†\" e _ ª_ n ]Y n e “ x = 1/n –¼ € LH t  rÆ x \ @6  °s. " ñ_ 3.1 \ _ € z = 1/n { M ez { M e  /£ ú f   9: x H¯    9: &  √ 1/n “ z n = e ` ë7  4™[_ |+  n r É  –á Ÿèþ 9½¦   Œf _ °“ e s. #l" e  úÉ ¯r ¦ ߤ H ¤ Ht Ë`  ?l– %. /Ð i ¤ Ÿèº9 : £ ínÇ § ô ZV 3.1 z1 , z2 , z  4™Ã{ M 6s $w. à   (i) dz dz e = ez (ii) |ez | = ex s“ arg(ez ) = y + 2nπ n “ &à ¦ rñ É º ” ¤ (iii) e__ 4™Ã z \ @K" ez = 0  Ÿèº  /f (iv) exp(z1 ) exp(z2 ) = exp(z1 + z2 ) (v) exp(z1 ) exp(z2 ) = exp(z1 − z2 ) (vi) exp(z + 2πi) = exp z ñ ”_ (i) &_ 3.1 õ ˜l 2.16 ܖ Â' íwô. (ii) ez = ρeiφ s «ã ÖË  Ð ¼Ð Ò n $Ç   z = ex eiy sٖ   € (3.6) ܖÂ' e ¼ÐÒ ¼Ð (3.7) ρ = ex s“ φ = y + 2nπ ¦  s. ρ = |ez | s“ arg(ez ) = φ sٖ (3.7) – Â' õ %. (iii) Ð Ò ¦ 3  \ H ¦ ¼Ð z | = ex > 0 sٖ —Ž 4™Ã z \ @K ez = 0 s. (iv) z = x + |e ¼Ð ¸H Ÿèº  / ¤  j j ¼Ð Ò iyj , j = 1, 2  ¿. d (3.6) ܖ Â'  º ”  ez1 ez2 = (ex1 eiy1 )(ex2 eiy2 ) = (ex1 ex2 )(eiy1 eiy2 ) 1 X ƒtÆà E Z j ] ºÊº   < 59 : º ´  /f ºOg  n¦ N B zà x1 , x2 \ @K" tÃZË ex1 ex2 = ex1 +x2 s $w “ deMoivre / í iy1 eiy2 = ei(y1 +y2 ) s n .  d¼ÐÒ ܖÂ' e ”  $wô " (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ) = í Ç f z1 + z2 sٖ ¼Ð ez1 ez2 = ex1 +x2 ei(y1 +y2 ) = ez1 +z2 . ` /{  f / ¦  (v) d (iv) \" z1 @’ z1 − z2  @9 € ”  ez1 −z2 ez2 = ez1 `  ¼Ð A ” ª¦ º€ ÒQ” \ 3  œ     H ¦ %. ez2 = 0 sٖ 0 d_ €` ¾ Å# õ¦ %.  3H 2πi = 1 ` (v) d\ @{  ½ H d` %` à ”. ” /9 ¨ ” 3 º e €  ¦ ¦   ¦  (vi) e "] 3.1 (vi) “ ez s Ål 2πi “ ÌeÊe`  ?“ e. r É  Ò  ÁÁÁ” /¦   þ ¦ ” j î (i) e0 = 1 ¸a Çh 3.1 Ÿ (ii) 1/ez = e−z (iii) (exp z )n = exp(nz ), rñ É º n “ &Ã. «Ë Ö_ ”ã (i) Euler /d\ @{ € % à ”. (ii) (i) _  "] 3.1(v) N B” /9 3` º    ¦ e  õ¦ îj  \  a  ª º9 : "j ¦  /9€ ) \ @{  . (iii) n s €_ &Ã{ M 3.1 (iv) _ z1 = z2 = z ` œ ñ î      ¦ ¦   9: § @9 € õ\ %` à e. n = 0 { M (i) \ _K íwÇ. n s 6 /{  3 º ”   nô $ £  º9 : _ &Ã{ M (ii) _ ` s6 € 7".  z   £î) ´¦ x  x a ñ z ƒº †º ´ Ê r Ž´ É ¸ zº  /f œ †º €< ½” 3.1  tà <à ex “ —H à x \ @K" ª_ ÊÃs. Ô Ç§ z  ÕXt ·. ªQ Ÿè ƒº<º Õ 4™ tÆà e  ªO ú ¤  Ê H§ ¦ ߤ H ¤ ` ë፠Ÿèº \ ¨¹ ¦ ™e 3.1 ez = −1  –7  4™Ã z  ½ r¯. × I Ú þT ¼Ð îj  Œ −1 = eπi sٖ "] 3.1 (ii) \ _ # ex = 1 s“ y = 2nπ + π (n = 0, ±1, ±2, . . .) ¦ H Hr  f s. " x = 0 sٖ ½  “ ¼Ð ¨ É z = (2n + 1)πi (n = 0, ±1, ±2, . . .)  s. ìø7g ŽFÃ< Å©Ø 1. 6¦ ˜#. £` Ќ § j  :h“ Ÿè<º 3 © l‘& 4™†Ã œ r ¤ Ê 60 (a) exp(2 ± 3πi) = −e2 (b) exp 2+π 4 = e 2 (1 + i) (c) exp(z + πi) = − exp z Ê Ê  ¦ O 2. <à 2z 2 − 3 − zez + e−z s „<Ó sÄ [" #. †º  †º »\ îŒ ¯  Q‹ Bf¸ 3h ” £îŒ ÇM  3. †Ã exp z s #*ô /\"• K$&s _` 7" #. ʺ < ¦ x Ê †º  ʺ” º  ~O¼Ð £î¦ ¸<º ¨ < ¦ x 4. <à exp(z 2 ) s „†Ãe` ¿t ½Zܖ 7" “ •†Ã\ ½ Ó ʦ Œ #. ¦ 5. | exp(2z + i)| ü | exp(iz 2 )|  x < y – ³‰ #. ¢ < ` ü Ð ð&Œ ¸Ç ³ ô | exp(2z + i) + exp(iz 2 )| ≤ e2x + e−2xy ` Ќ e ”¦ ˜#. 6. | exp(z 2 )| ≤ exp(|z |2 ) e` ˜#.  ”¦ Ќ ô  Ør r 7. | exp(−2z )| < 1 sl 0 9¯ì› “ Re z > 0 e` ˜#.  AÇ €¹æ¸|É ¦ ” Ќ 8. 6 ½&d` ß7  z \ ½ #. £ ~ñ”¦ ëá  ¨Œ § Ó  –¤ H ¦ (a) ez = −2 (b) ez = 1 + √ 3i (c) exp(2z − 1) = 1 9. exp(iz ) = exp(iz ) sl 0ô 9¯Ø›|“ z = nπ (n “ ñà ) e r& É º ”  ¯  AÇ €¹ì¸ É   ær r  ˜#. ¦ Ќ ` 10. (a) ë{ ez s zÃs€ Im z = nπ (n “ &Ã) e ˜#.  r É ñº ”` Ќ ¦ –9 ß  º ´ H € (b) ß{ ez s )Ãs z \ @Ç ›|“ Á%“? – ë9  퇺  /ô ¸ É º   r Á 11. exp(x + iy ) _ 1` æ.  l ¼ x¦ (a) x → −∞ 9 M  {: (b) y → ∞ { M  9: 12. Re (e1/z ) ` x ü y _ Óܖ æ. s †Ã ¶&¦ Ÿ< t · ¦ ½ Ê é Ê  <  †¼Ð ¼  <º "h` í† ú §H ¸  %if 3h »¦ ¼¹ —Ž P; %\" K$&“ sÄ\ ær¯. H \2 ò   2 X y†Ã j ] ŒŒ<º  ™•Ê 61 <º  Q ; %if 3h  13. †Ã f (z ) = u(x, y ) + iv (x, y ) s #" P ò%\" K$&s Ê ‹ \2   < . Êà  †º U (x, y ) = eu(x,y) cos v (x, y ), V (x, y ) = eu(x,y) sin v (x, y )  f ¸o“ » ¼¦ s D \" › sÄ\ æ“ V (x, y ) s U (x, y ) _ ›/o sÄ ¦  N   ¸oBӓ »  ¦ ¼ \ æ. 14. †Ã f (z ) = u(x, y ) + iv (x, y ) s ›| (3.1) õ (3.2)  ë7ô“  Ê  ¸ ¦ ßᦠ\ –¤Ç <º   –\ ñ  é¦  & . A_ ß>  f (z ) “ r É f (z ) = ex (cos y + i sin y ) e ˜#. ` Ќ ”¦ Óñd ¦ x  £î¦ ¯  Œ zº (a) ½& ux = u, vx = v ` 7" “ s` s6 # à y ~ ” ¦ x ´  zº ú † º ü _ ð <à φ < ψ  >F # r ´ ¯Ê ”Œ u(x, y ) = ex φ(y ), v (x, y ) = ex ψ (y ) ¦ ” Ќ e` ˜#. (b) u  ›”` s6 # pì½ñd ¸o  Œ ~ ” e¦ x rÓ& φ (y ) + φ(y ) = 0 ¦  ´  3¦ ` %“ φ(y ) = A cos y + B sin y ¦ ˜#. #l" A ü B  z \ Ќ Œf < H  œ ©º Ãs.  » O"¦ e (c) ψ (y ) = A sin y − B cos y “ sÄ\ [ “ φ(0) + iψ (0) = 0 ”  ¦ î  \ Å_ # A ü B ¦ ½ô. Õ€  ÒŒ < \ ¨ ªQ Ç  u(x, y ) = ex cos y, v (x, y ) = ex sin y  3 \ %. ¦ H ‰ V2â º´ÁÊ ÇǝÁ ÔÐþ Euler /d\_ € —H à x \ @K" N B” ¸Ž zº  /f  ´ (3.8) cos x = eix + e−ix , 2 sin x = eix − e−ix 2i Ç ™•Ê  ” ´ ¤ s. " 4™Ã\ @ y†Ã  (3.8) _ zà x @’ 4™Ã  f Ÿèº /ô ŒŒ<ºH d ¤  º / Ÿèº z ¦ u8 # ñ_  s Û. ¨ \ ŠŒ  ¯ ƒ¼X & H O j  :h“ Ÿè<º 3 © l‘& 4™†Ã œ r ¤ Ê 62 Ç+ ¤ Ÿèº  /f  a˜ 3.2 4™Ã z \ @K" (3.9) eiz + e−iz , 2 cos z = sin z = eiz − e−iz 2i ܖ ñ_. Ít–  y<Õ y<Ã< °“ +I– ñ ¼Ð &ô ð Ð É ŒŒ†º¸ ´ŒŒÊºü úÉ þÐ Ç ø r ™•Ê z™•† r A & _Ç.  ô (3.10) tan z = (3.11) sin z , cos z sec z = cot z = 1 , cos z csc z = cos z sin z 1 sin z  Z ¤ Ÿèº{ : ÃV 3.2 z  4™Ã9 M  (i) cos(−z ) = cos z, sin(−z ) = − sin z (ii) sin2 z + cos2 z = 1, 1 + tan2 z = sec2 z , 1 + cot2 z = csc2 z 1 + cot2 z = csc2 z (iii) 1 + tan2 z = sec2 z, (iii) sin z + π 2 = cos z, sin z − (iv) sin(z + π ) = − sin z, π 2 = − cos z sin(z + 2π ) = sin z (v) cos((z + π ) = − cos z, cos(z + 2π ) = cos z (vi) tan(z + π ) = tan z y†Ã< °s 4™y†Ã• >°“ »!/d` ë7ô. zŒŒ<ºü ú ŸèŒŒ<º¸ áúÉ lB” –á ´™•Ê ¤ ™•Ê ¤ r rN¦ ß¤Ç V 3.3 Á Z (i) sin(z1 + z2 ) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2 (ii) cos(z1 + z2 ) = cos z1 cos z2 + sin z1 sin z2 (iii) sin 2z = 2 sin z cos z, cos 2z = cos2 z − sin2 z zº9 : ŠB‚ <º y  Ã{ M ©/ †Ã ´ œG Ê sinh y = ey − e−y , 2 cosh y = ` s6 € 6 "]\ %. ¦ x  § ¦ H    £ îj 3 Z ÃV 3.4 x, y  zÃs“ z = x + iy { M  9:  ´ º¦ (i) sin(iy ) = i sinh y, cos(iy ) = cosh y ey + e−y 2 2 X y†Ã j ] ŒŒ<º  ™•Ê 63 (ii) sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y (iii) cos z = cos x cosh y − i sin x sinh y (iv) | sin z |2 = sin2 x + sinh2 y (v) | cos z |2 = cos2 x + sinh2 y † Ê H œ ŒŒ<º ʺ ï<º º  » ´™•† ½” 3.2 zyÊÃ_ “<à “†Ã ©Ã 1 \_K Ä>s. Ô Ç§ ¤ ™•†  Í ªQ  î j Õ "] 3.4 \ _ # 4™yÊÃH {ì&ܖ Ä> m.  Œ ŸèŒŒ<º 9øh¼Ð »  < \ 3 "] 3.4 (iv) ü (v) ` s6  2ño 3.2 ¦ %. îj ¦  € £   x  §&  H Ÿ ah 3.2 z H 4™Ã{ M ¤  ¸Ç  Ÿèº9 : (n “ &Ã) r É ñº 1. sin z = 0 ⇐⇒ z = nπ 2. cos z = 0 ⇐⇒ z = π 2 + nπ rñ É º (n “ &Ã) ¤ ™•Ê ŸèŒŒ<º rB”¸ ŒŒ†º ºü ú 4™y†Ã_ pì/d• zyÊÃ_ âÄ< °. N ´™•< Á  ZV 3.5 z  4™Ã{ M H¤    Ÿèº9 : 1. d dz sin z = cos z, 2. d dz tan z = sec2 z, 3. d dz sec z = sec z tan z, d dz cos z = − sin z d dz cot z = − csc2 z d dz csc z = − csc z cot z †  9˼Рʺ ªQ  +  Ê sin z ü cos z  „<à ez ü e−z _ { ½sٖ „<Ãs. Õ < H †º <   y†Ã[“ ì— 0 s  &\" K$†Ãe` · à ”.  É ŒŒ<ºþÉ ¸   hf 3<º” ú º   e r ™•Ê tr r Ê ¦ ˜ ÅFÃ< ì©Ø Žø7g †º  1. <à f (z ) s &_% D \" K$&s . †Ã sin f (z ) ü cos f (z ) Ê  ñi f 3h  <º  Ê <  D \" K$&“ sÄ\ " “ w = f (z )  ½ M f 3h » [î¦  ¦ O +: É d dw sin w = cos w , dz dz d dw cos w = − sin w dz dz ” îŒ e` O" #. ¦ [ 2. 6 1d` ˜#. £ p”¦ Ќ § x ¸Ž Ÿèº /f H¤ (a) — 4™Ã z \@K" eiz = cos z + i sin z . (b) 2 sin(z1 + z2 ) sin(z1 − z2 ) = cos 2z2 − cos 2z1 . j  :h“ Ÿè<º 3 © l‘& 4™†Ã œ r ¤ Ê 64 (c) sin z = sin z ¯ (d) cos z = cos z ¯ 3. 6¦ ˜#. £` Ќ § ¸ Ÿèº  /f (a) —Ž 4™Ã z \ @K" cos(iz ) = cos(iz ) H¤ ¯ ¯ Œf É &º (b) sin(iz ) = sin(iz ) ⇐⇒ z = nπi #l" n “ ñÃs. r Ê ¦ Ó x 4. 6 <à —Ž /\" ›<Ãe` ¿ t ~Zܖ 7" # £ †º ¸ Bf ¸o†º” º  ½O¼Ð £îŒ §Ê HM  . (a) sin x sinh y . (b) cos 2x sinh 2y . 5. 6 Â1”` ˜#. £ Òpd Ќ § x¦ (a) | sin x| ≤ | sin z | (b) | cos x| ≤ | cos z | (c) | sinh y | ≤ | sin z | ≤ cosh y (d) | sinh y | ≤ | cos z | ≤ cosh y 6. 4™~&”` Û#. ¤ Ó d¦ ¦ Ÿè½ñ Q (a) sin z = cosh 4 (b) cos z = 2 V3‰ â ×CÁÁ 3œÌÊ ‘¯fþ ©Gþ Ê ¦ º  /f ŠB+ <º zà x \ @K" œ/A †Ã\ ´ sinh x = ex − e−x , 2 cosh x = ex + e−x 2 Ð ñi Ÿèº 'ô ©BAʺ¸ < úÉ AÐ ñ – &_ %. 4™Ã\ › Š/þ<Õ sü °“ +I– &_ô. ¤  aÇ œG+† r þ Ç ¤ Ÿèº{ :   a+ ǘ 3.3 z  4™Ã9 M (3.12) sinh z = ez − e−z , 2 cosh z = ez + e−z 2 3 X ©/+<à j ] œBAʺ  ŠGþ† 65 ¼Ð ñ   ŒŒ<º¸ z†º âºü úÉ ~Z¼Ð & ܖ &_ô. Qt y†Ã• ÊÃ_ Ä< °“ Óܖ ñ_ Ç r ½O ™•Ê ´< )  a € . (3.13) tanh z = sinh z , cosh z coth z = cosh z sinh z (3.14) sech z = 1 , cosh z csch z = 1 sinh z H´   zº¦ ¤ Ÿèº9 :  Z ÃV 3.6 x, y  Ãs“ z = x + iy  4™Ã{ M (i) sinh(iz ) = i sin z, cosh(iz ) = cos z (ii) sin(iz ) = i sinh z, cos(iz ) = cosh z (iii) sinh(−z ) = − sinh z, cosh(−z ) = cosh z (iv) sinh(z + 2πi) = sinh z, cosh(z + 2πi) = cosh z (v) cosh2 z − sinh2 z = 1 (vi) sinh(z1 + z2 ) = sinh z1 cosh z2 + cosh z1 sinh z2 (vii) cosh(z1 + z2 ) = cosh z1 cosh z2 + sinh z1 sinh z2 (viii) sinh z = sinh x cos y + i cosh x sin y (ix) cosh z = cosh x cos y + i sinh x sin y (x) | sinh z |2 = sinh2 x + sin2 y (xi) | cosh z |2 = sinh2 x + cos2 y j î] 1.6 (iv) –Â' sinh z ü cosh z “ Ål 2πi “ Ål†Ã   Ò<ºe`  Ê ”¦ " ÐÒ < r É Ò   ü /¦ e îj ?“ ”. "] 1.6 (x) < (xi) – Â' 2ño 1.3 ` %H. Ð Ò £  §&  3 ¦  ¸Ç Ÿah 3.3 z  4™Ã9 M  { ¤ Ÿèº : (n “ Ã) rñ É &º (i) sinh z = 0 ⇐⇒ z = nπi (ii) cosh z = 0 ⇐⇒ z =  Z ÃV 3.7 (ii) d dz (i) d dz π 2 + nπ i sinh z = cosh z, tanh z = sech 2 z, d dz (n “ Ã) rñ É &º d dz cosh z = sinh z coth z = −csch 2 z j  :h“ Ÿè<º 3 © l‘& 4™†Ã œ r ¤ Ê 66 (iii) d dz sech z = −sech z tanh z, d dz cschz = −csch z coth z sinh z < cosh z  &_ 3.3 ܖ Â' „†Ãe¦ · à ”. Õ Ê ” ˜  ü H ñ  ¼Ð Ò <º` ú º e ªQ Ê H   <º rÐ Qt †Ã ì˜ 0 s  /\" K$<Ãs.   Bf 3†º M Ê ÅFØg Žø7< ì©Ã 1. —H 4™Ã z \@K" 6 ˜#. ¸Ž Ÿèº /f £¦ Ќ ¤ §` (a) | sinh x| ≥ | cosh x| ≤ cosh x. (b) sinh(z + πi) = − sinh z (c) cosh(z + πi) = − cosh z . (d) tanh(z + πi) = tanh z . 2. 6` ˜#. £ Ќ §¦ ¯ (a) —H z \ @K" cosh z = cosh z . ¸Ž  /f  (b) —Ž z \ @K" sinh z = sinh z .  ¸H  /f ¯ (c) cosh z = 0 “ z \ @K" tanh z = tanh z .   /f  ¯ Ê  Ê ¦´ 3. sinh(ez ) s „†Ã sÄ [î “ s †Ã\ zÃÂü )Ö  <º“ »\ O ¦  <º ºÒ< ‡ºÒÐ ¦ " ¾# æ. y Âìs ›<Ãe¦ ˜#. ºQ ¼ Œ Òr ¸o†º”` Ќ • Ê  £ ŒŒ~ñ” ¸ H¦ ¨Œ 4. 6 y½&d_ —Ž ` ½ #. § ™•Ó  H  (a) cosh z = 1 2 (b) sinh z = i. (c) cosh z = −2. V4⠁‰  ׫þÁÿ  —ÜÁÊ? m x > 0, y  zÃ{ M –ՆÍ º9 : Ъʺ ´ <H (3.15) ¼Ð i ܖ &_ %. ñ  x = ey ⇐⇒ y = ln x 4 X –Õ†Ãü t j ] Ъ<º<   Ê 67 a ǘ 3.4 w, z = 0  4™Ã{ M zÃ_ Ä< °s + ¤ Ÿèº9 : º âºü ú  ´ z = ew ⇐⇒ w = log z (3.16) ܖ ñ_ . ¼Ð & ¦x j  ºÒ< ‡ºÒ ¦  Œ ¨Œ ÐÐ  s] w _ zÃÂü )ÃÂ\ z \ s6 # ½ # ˜l– . ´ (3.17) z = reiΘ (−π < Θ ≤ π ) s“ w = u + iv ¦  ¦  ñ “ & ew = z (3.18)   'Œ ÛÐ  ªa a Ë   /9 '” ` w \ › # ¦l– (Õ> 3.1). (3.17) ` (3.18) \ @{ € ›>d ¦  ¦  a  eu eiv = reiΘ (3.19) ¦ %“ (3.19) –Â'  ` 3¦ ÐÒ ¦ eu = r s“ v = Θ + 2nπ n “ &à rñ É º ` 3 Œf  Œ ¦ H  %. #l" r, u  zÃsٖ (3.15) \ _ # u = ln r s.  H´  º¼Ð   f " (3.16) s –7 l 0 €¯Ø웓 w   ëá Aô 9¹¸|É  ߤ Ç  ær r H w = ln r + i(Θ + 2nπ ) (n = 0, ±1, ±2, . . .) ¦ ßáô f &  –7. " ñ_ 3.4 \_ # \ ë¤Ç Œ (3.20) log z = ln r + i(Θ + 2nπ ) (n = 0, ±1, ±2, . . .) H   <º”` ú º  ë{  Ê  ˜ – j à e. #l" log z  †Ãe¦ · à e. –9 θ \ Θ + 2nπ , Ð þ º ” Œf t  ” ß ¦ æ ” (n = 0, ±1, ±2, . . .) × ¦ t  (3.20) “  \ € d  É r log z = ln r + iθ (3.21) ¼Ð þ º ” £ ܖ j à e. 7 t  ¤ (3.22) log z = ln |z | + i arg z. :y n = 0 { M log z \ Log z –  ?“ –Õ<Ã_ ̳G(pricipal ¤ £ Ê ± 9:   ¦ Ð /¦ Ъ†º ÁÀê value)s . "  ÒÉ f r (3.23) Log z = ln |z | + iArg z (z = 0). † H˜  ú ñ÷Q ”¦ ß Œf #l" Arg z = Θ, −π < Θ < π s. <à Log z  ¸ &_&# e“ é  ʺ – ÊÃs(ÕË 3.2). d (3.22) < (3.23) ܖ Â' †º ª>  ü < a ” ¼Ð Ò log z = Log z + 2nπi (n “ &à ). r É ñº j  :h“ Ÿè<º 3 © l‘& 4™†Ã œ r ¤ Ê 68 Á {:  ZV 3.8 z = x + iy 9 M  Ž¤ (i) — 4™Ã z \ @K" elog z = z . ¸H Ÿèº  /f ¸H Ÿèº  /f (ii) —Ž 4™Ã z \ @K" ¤ (3.24) log(ez ) = z + 2nπi (n “ ñà ). r É &º (iii) z = r, r “ œ_ à 9 M, rª ´ { É € z º  : Log r = ln r. (3.25) rd É < & ñ í< ˜ ”ã (i) “ ” (3.16) ü _ 3.4 \ _K wÊ` · à e. «Ë Ö_   $n†¦ ú º ”  (ii) z = x + iy \ @K"  /f |ez | = ex s“ arg(ez ) = y + 2nπ ¦ r É ñº (n “ &Ã) ¼Ð ” sٖ d (3.22) \_ #  Œ log(ez ) = ln |ez | + i arg(ez ) = x + i(y + 2nπ )  nô f s íwÇ. " (ii) s ín. $  wÇ $ô (iii) œ_ zà r \ @K" r = rei0 sٖ (3.23) \_ # ª´ € º  /f ¼Ð Œ Log r = ln r. d ” Œ ™e 3.2  (3.22) \_ # × (n “ & à ) rñ É º log 1 = 2nπi ¦ s“ log(−1) = (2n + 1)πi (n “ &à ) r É ñº  £ s. :y, Log 1 = 0 s“ Log (−1) = π s. ¤  ¦ H ¤ œ  K Ÿèî© h tFt 4™¨€_ & z = reΘ  r ≥ 0, −π < Θ ≤ π  º /f úRЌ j 9øh º /f úRÐÐ ô “ âÄ\ @K" ¶(˜€. s] {ì&“ Ä\ @K" ¶(˜l–   ˜ Í â Ç ¤ ˜ H” ´ Ê  . α  e__ zÓ  (Õa 3.3). Õ <à   º¦ & ªË ñ > ªQ€ †º (3.26) log z = ln r + iθ (r > 0, α < θ < α + 2π ) 4 X –Õ†Ãü t j ] Ъ<º<   Ê 69 “ $ì r r É í (3.27) u(r, θ) = ln r, v (r, θ) = θ  ß † ` ” – ʺ¦ ÒQ òi   f Å ¦  é<Ãs“ Å#” %% r > 0, α < θ < α + 2π \" ƒ5s. q – † ½” 3.3 ë9 <à (3.26) s ½‚ θ = α \" ñ_÷% s ÊÍ Ô Ç§ ß{ ʺ ~ f &&3€  †º  <H  Ó θ = α \" 5s m. f ƒÅ  q  ½A h  d¼Ð ¦ ì£   ¦ æ” Í§ ”_ ë{ z  s ~‚0_ &s€ z \ ×ܖ “ øt2s δ > 0 «ã – ÖË ß9 Ó  qŒ ªQ  ŒÉ  / ½‚ ,á Ó  a¤ “ ¶ó D(z, δ ) \ Òy . Õ€ Øìy “ δ \ @K ~ ¢A\  "ø  éÍ ¦ t•  ær •r e ¶ø[_ &“ v _ °s α %\ e“ ~‚šA_ "ø_ &[ H éÍt r ¯  ” "óþ hÉ  ú Hƒ ”¦ ½¸Éá ¶Í hþ  Ó  r¤ éó t ¯  r É  ú “ v _ °s α + 2π H%\ e. ƒ ”  ½” 3.4 Êà (3.26)“ ñ_% α < θ < α + 2π \" K$&s“ Ô Ç§ < †º r&  É i f 3h¦  d 1 log z = (|z | > 0, α < arg z < α + 2π ) dz z (3.28)  s. ”㠆à (3.26) _ zàu(r, θ) = 1/r ü )àv (r, θ) = θ _ {> ¼ «_ Ê ÖË <º   ºÒ ´  < ‡ºÒ  9 # <t > •ÊÃ[s ”F “ FA”_ Cauchy-Riemann Ó& ¸†ºþ r¦ G+ þd ½ ” ~ñd 1 ur = vθ , r 1 uθ = −vr r ¦ ß7 ٖ  ë¤ ` –á¼Ð d log z = e−iθ (ur + ivr ) = e−iθ dz 1 + i0 r = 1 . reiθ ¤ £ :y (3.29) d 1 Log z = (|z | > 0, −π < Arg z < 2π ). dz z ͕ ø Œ hf ú Ç  <º   Ê ¯  ú ¯ ˜ 3.5 †Ã f _ m(branch)ê y &\" ° F (z ) s f (z ) _ ° a+ ßÊ  æ Q" %if 3h ” – †º × “ #‹ ò%\" K$&“ e__ é<à F (z ) s.        ¦ ‚ þ` H + ǘ 3.6 ÊÃ_ K$í_ ¯½ F \ f _ °[ e_– ˜¦  a < †º 3  ¹¨H $   úþ¦ ”Ð ×  ¯t`  ~ a X ½K . < Ó ) j  :h“ Ÿè<º 3 © l‘& 4™†Ã œ r ¤ Ê 70 • a Œ ¦ñ)  /f – †º y “& α \ @K" ß<à (3.26)  †Ã (3.21) _ te\ éÊ   <º  ” H Ê  ÒÇ ʺ Å_. †Ã ô < (3.30) Log z = ln r + iΘ  ÁÀ  ¦  Ç ô ` ̳m(principal branch) . ‰  a+ ǘ 3.7 mâí(branch cut)sê Êà f _ ô t F  _  5 ø  <º    \ & Í † Ç ¦ñ {a ” l 0K •9 ‚s /‚_ Âs.  A ¸) f B Òì G r Ç é tr  /ô XßA hþÉ  £hþ ¤ t ½” 3.5 F \ @ t]–0_ &[“ F _ :s&[s. Ô Ç§ a  ¸Ž Xé /Ç BŸ  h \  ß  Nx ” ǘ 3.8 f _ —H t]–\ @ô /:“ e__ &` m†(branch + ¦ point) s .  ô Ç "& ½‚ θ = α “ –Õ†Ã_ t (3.26) \ @ô tXé` þ é ~  r É ÐªÊº  <  / – + Ç ¶hõ Ó ߦ A  $ô. ůt (3.30) \ @ tXé“ ¶&õ ½‚ Θ = π – sÀ –r é ~  íÇ Ò¹   /ô ßÉ "h Ó Ç Ð Ò  ér t QR e ¶hÉ  Ъ<º þ h #4 ”. "&“  –Õ†Ã_ t[_ t&s. Ê  ò ¤   ah 3.1 z1 ü z2 s s  4™Ã 9 M <  %  Ÿèº { : Ç (i) log(z1 z2 ) = log z1 + log z2 , (ii) log z1 z2 = log z1 − log z2 (iii) log(1/z ) = − log z , z = 0 \ wÇ  Œf pñ Ë ¦ p s. #l" 1 H 9½_ _p >ô. x  |+ ”ã «Ë Ö_ % ¤   Ÿèº òs  4™Ã z1 ü z2 \ @K" 9Ë&ܖ <  /f |½h¼Ð + (3.31) arg(z1 z2 ) = arg z1 + arg z2 , arg z1 z2 = arg z1 − arg z2 s“ 1 ¦ pd x” ln |z1 z2 | = ln |z1 | + ln |z2 |, ln z1 = ln |z1 | − ln |z2 | z2 ܖ Â' " . ¼Ð Ò î  h   ß{ – × ™e 3.3 & z1 = z2 = −1 s . Õ€ z1 z2 = 1 s. ë9 log z1 =   ªQ \×   r íÇ É $n πi ü log z2 = −πi ¦ þ “ log(z1 z2 ) = 0 s€ &o 3.1 (i) “ wô. <  ˜¦ ñ Õ °“ 4™Ã z1 < z2 \ @K" ªQ úÉ Ÿèº ü  /f r ¤ ¦ Log (z1 z2 ) = 0 s“ Log z1 + Log z2 = πi + πi = 2πi ¼Ð ñ sٖ &o 3.1(i) “ n t ·. r $ É íw ú §H 4 X –Õ†Ãü t j ] Ъ<º<   Ê 71 9øh¼Ð Í < †º /  Ê †ºÐ  € ñ  r í É n ú {ì&ܖ log Êà @’ Log <Ö 7 &o 3.1 “ $w t · § H .   ah 3.2 n “ ñÃ, z  %s  4™Ã{ M r É &º ¤  Ç ò  Ÿèº9 : (i) z n = en log z , (ii) z 1/n = exp 1 n log z . «Ë Ö_ ”ã z = r exp(iΘ)  . #l" Θ “ arg z _ ů°s. log z \ @ r  Œf É  Ò¹ú ¯ / Ç ô d (3.20) ` 6  ” ¦ x€    exp 1 log z n = exp 1 i(Θ + 2kπ ) . ln r + n n #l" k “ ñÃs. " Œf É &º f r (3.32) exp 1 log z n = √ n r exp i Θ 2kπ + n n Hñ (k  &à ).  º exp(i2kπ/n) “ k = 0, 1, . . . , n − 1 9 Më "–  ° tٖ 1d r É { :ß fÐ É ú` ¼Ð p – r ¯¦ x” (3.32) _ šA“ n > °ë ”. – šA“ z _ n H \ 'ô  ¸ÉáÉ h úß  zjÐ ¸ÉáÉ  ñ aÇ r¤r  ¯–  ´ r¤r › 1/n ܖ j à ”. 1d (3.32) “ n s 6_ ñÃ9 M•  ”¦ ¯É ds“ s“ z ¼Ð þ º e p” t  x r É  £ &º{ :¸ r §  Ç ín $wô. ǯ ñ &  ºÉ h fÐ É ú¦ ¦ Qô ú r r ¯` ½” 3.6 o 3.2(ii) _ Ä“ n >_ "–  ° t“ s ° Ô Ç§ r É  j ú “ z _ n ]YH_ °s. L ¯ ÅFØ ì© Ã g Žø7< 1. 6 ˜#. £¦ Ќ §` (a) Log (−ei) = 1 − π i 2 (b) Log (1 − i) = 1 2 ln 2 − π i 4 (c) Log (1 + i)2 = 2Log (1 + i) (d) Log (−1 + i)2 = 2Log (−1 + i)  ñº9 : £ Ќ §` 2. n s &Ã{ M 6¦ ˜#.  (a) log e = 1 + 2nπi (b) log i = 2n + 1 π i 2 √ (c) log(−1 + 3i) = ln 2 + 2 n + 1 3 πi j  :h“ Ÿè<º 3 © l‘& 4™†Ã œ r ¤ Ê 72 3. 6 ˜#. £¦ Ќ §` (a) log z = ln r + iθ r > 0, π < θ < 4 9π 4 π (b) log z = ln r + iθ r > 0, 34 < θ < 9 M log(i2 ) = 2 log i.  {: 11π 4 { M log(i2 ) = 2 log i.  9: ¯t +r  úþ |ËÉ r É &º ¦ (c) log(i1/2 ) _ °[_ 9½“ (n + 1 )πi (n “ ñÃ) s“ 4 /f¸ ínô @K"• $w. Ç 1 2 log i \  ¯t Ë §  úþ 9ËÉ ¯t ½r  úþ 9+ ú ú (d) log(i2 ) _ °[_ |+“ 2 log i _ °[_ |½õ °t ·. (e) Re z1 > 0, Re z2 > 0 { M  9: Log (z1 z2 ) = Log z1 + Log z2 . (f) ”__ ¿ >_ òs  4™Ã z1 , z2 \ @K"  º h %  Ÿèº e ¤  /f Log (z1 z2 ) = Log z1 + Log z2 + 2N πi. r É  ú  ¯æ Œf #l" N “ 0, ±1 _ °× s. L) 4. –Õ†Ã_ t log z = ln r + iθ(r > 0, α < θ < α + 2π ) s ƒ/ ò Ъ<º  Ê  åa %  i/ Œ h f 3h¼Ð ÒQ’ : pd %?_ y & z \" K$&ܖ Å#&` M 1” exp(log z ) = z _ •  x ¦  ƒ :¦ x ʦ y ` p “ OË` 6 # •†Ã\ ½ #. • ¦ r Œ  ì¦ WZg  Œ ¸<º ¨Œ  ¸  ¨Œ H ¦ 5. 1” log z = (π/2)i _ —Ž H` ½ #. x pd 6. & z = x + iy s è{ α < y < α + 2π \ Z#e“ & . –  h î   º   ~Œ”¦ ñ Ð ª†º  Õ<Ã_ t log z = ln r + iθ (r > 0, α < θ < α + 2π ) s 6¨ M Ê   | : xc z ) = z e¦ ˜#. log(e  ”` Ќ 7. 6 ˜#. £¦ Ќ §` (a) †Ã Log (z − i) “ øf y = 1 (x ≤ 0)  ]@ô —Ž /\" ¦ jüÇ ¸ Bf ` Ê <º r Í É ì”‚  HM K$&s. 3h  Ê (b) †Ã <º Log (z + 4) z2 + i √ “ & ±(1 − i)/ 2 ü zû x ≤ −4 Âì` ]ü —Ž /\ r Éh < º¡ ´¤ Ò¦ [email protected] ¸ B r ô HM " K$&e` ˜#. f 3h Ќ ”¦ 8. †Ã ln(x2 + y 2 ) “ "&` Ÿ† t · —Ž &_%\" ›e` <º §H  ñ  Ê r é¦ Ê É ¶h í< ú ¸H if ¸o” ¦ ¿ t ~Oܖ ˜#. º  ½¼Ð Ќ ÓZ 5 X 4™ tà j ] Ÿè º ¤ 73 9. 6 d` ˜#. £  Ќ § ”¦ Re [log(z − 1)] = 1 ln[(x − 1)2 + y 2 ] 2 (z = 1) Ê Ó ”¦ –¤  z = 1 {M s †Ã Laplace ½&d` ë7K  sč?  9 :  <º ~ñ ßá  »H H 10. z  %s  4™Ã, z = reiΘ (−π < Θ ≤ π )  æ“ n “ ”__  ¼¦ É e H  ò  Ÿèº ¤ r 1/n ) _ — °“ ~&d H ¯r Ó ” “ñ ª_ &à . log(z ¦&) œ ñº  a €  ¸Ž úÉ ½ñ log(z 1/n ) = Θ + 2(pn + k )π 1 ln r + i , n n ¦ ” Ќ Œf e` ˜#. #l" p = 0, ±1, ±2, . . . s“ k = 0, 1, 2, . . . , n − 1. Õ ¦ ª  Q € 1 1 Θ + 2qπ H ñº  log z = ln r + i , q  &à n n n  ú 9+ ¯ Ë  ú 9+õ ¯ Ë  ¼¦ è ê  æ“ – Ê\ log(z 1/n ) _ °_ |½s (1/n) log z _ °_ |½ ß 1/n ) = (1/n) log z e` ˜#. #l" , °6 ˜#. " log(z §` ú£¦ Ќ f ¦ Ќ Œf a ” ¢ 1/n ) _ °\ @6 # log z _ &{ô °“ šA ˜Ç  ú /£Œ x A\" ×ô log(z ¤ áf þ ¯  h© úÉ ¸Éá œÇ ¯r r¤ þ  ³ \" ‚˜&%“ Õ %• ínô. (˜à: €_ à n \_K ¾ f ×÷3¦ ª i¸ $w 2Ô œ &º  º  Ç ªñ #” &Ã_ Qt 0 õ n − 1 s_ Ãs. n s Å#& M Q ñº  H    ÒQ’` :   º ¦ e__ &à q  q = pn + k ܖ æ#”. #l" p  &à k H  ” ñº   H  H ¼Ð ¼Œ Œf  ñº  k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 × s. æ   ‰ V5â ´ ¡š mÊ ¿ Á x > 0, a  zÃ{ M zÃ_ tà xa  ´  ´ º9 : º º H (3.33) xa = exp(a ln x) & : x + ¼Ð i ªQ º º 'Ç ºO˸ £"½ º ”  ܖ ñ_ %. Õ zà tÃ\ ›ô tÃZg• 7îÉ Ã e. s  €´ a  ü ðt– 4™Ã_ 4™tÃ\ @K"• sü Ä > &_ô. Í < ø Ð Ÿèº Ÿèº /f¸ < » ñ ¤ ¤ Ç ¤  ü  e Ÿèº{ : †º Ê r É  a+ ǘ 3.9 z = 0 < c  ”__ 4™Ã9 M <à z c “ (3.34) z c = exp(c log z ) H <   Ъ†º  & Œf s ñ_ô. #l" log z   –ÕÊÃs. Ç Œ & ½” 3.7 (i) c = n ¢ c = 1/n 9 M &o 3.2 \_ # ñ_ 3.9  Ô Ç§ ¸ H { H  : ñ Ê ˜ e íw†` ú¦ ” $n<¦ ·“ . j  :h“ Ÿè<º 3 © l‘& 4™†Ã œ r ¤ Ê 74 (ii) z c  {ì&ܖ s. H Í  9øh¼Ð   × ™e 3.4 i−2i _ ° ½ .  ú¦ ¨ ¯` & ™e 3.5 ñ_ 3.9 \ _ # ×   Œ i−2i = exp(−2i log i) = exp −2i 2n + 1 2 π i = exp[(4n + 1)π ]. #l" n “ ñÃs. Œf É º r& + Ô Ç§ ½” 3.8 tÆÍ 1/ez = e−z sٖ ¿ |Ë 1/z c ü z −c “ °.  º<º ÊH ¼Ð º 9½ < r É ú  " f 1 = z −c zc (3.35) t e ¼Ð þ º ”  – j à . ” Ð Ò d (3.35) – Â'  1 = exp[(4n + 1)π ] n “ à . rñ É &º i2i ¦ ˜  e` · à e. ” ú º ”  iθ s“ α “ e__ à . –Õ<Ã_ t z = re ¦ É ” zº  Ъ†º  ´ Ê r log z = ln r + iθ ( r > 0, α < θ < α + 2 π ) –Ê < r É j) if ß <º¦ 3h    c : ʺ “ ]r &_%\" é†Ãs“ K$&s. s t 6¨ M †Ã añ   x| c = exp(c log z ) “ 0 &_%\" és“ K$&s. " z c _ s z ñ – r É A if ß ¦ 3h f   Qô  ¸<º ¨É º  Ç t_ •†Ã\ ½½ à e. ʦ +  ” c = exp(c log z ) _ ª` pì €  €¦  z œ r  dc dz z c d exp(c log z ) = [exp(c log z )] dz z exp(c log z ) =c = c exp[(c − 1) log z ] = cz c−1 exp(log z ) = ¤ £ 7, (3.36) dc z = cz c−1 (|z | > 0, α < θ < α + 2π ) dz z c _ Ì³ê“ ñ_% |z | > 0, −π < Arg z < π 0\"  ÁÀGÉ &i ±r  Af (3.37) ¼Ð ñÇ ܖ &_. ô z c = ecLog z 5 X 4™ tà j ] Ÿè º ¤ 75 × ™e 3.6 (−i)i _ ů°“  Ò¹úÉ ¯r exp[iLog (−i)] = exp i − pi i 2 π = exp . 2  Ò¹  H ™e 3.7 z 2/3 _ ůt × exp 2 Log z 3 = exp 2 2 ln r + iΘ 3 3 = √ 3 r2 exp i 2Θ 3  – j à ”. s †Ã ñ_% r > 0, −π < Θ < π \" K$&s. Ð þ º e  <º i t Ê H&  f 3h  > þ a ¤ © %  Ÿèœº    ÁÁ ˜ 3.10 c  òs  4™Ã . ™ c ê mÊÁÊH Ç+ cz = ez log c (3.38) ¼Ð þ º  ܖ j à e. t ” Ê  &  Œ Ÿ   <º9¸ Ъ<º Ò ¤ Ê Ô Ç§ ½” 3.9 ñ_ 3.10 \ _ # q2 ez s †Ã{t• –Õ†Ã_ Å z _ 9©& ["s 0 . ¹ú [9 : ¯°s 2K| M e  {h“ O  p  œ î x ¯ log c _ °s &Kt€ cz “ z _ „<Ãs“ Õ •†ÃH ¯ñ r É  ʺ¦ ª ¸<º †  ú   Ê dz c = cz log c. dz (3.39) ìøÃ< Å©Øg ŽF7 1. n s &Ã{ M 6 ˜#.  ñº9 : £¦ Ќ  §` (i) (1 + i)i = exp − π + 2nπ exp 4 i 2 ln 2 (ii) (−1)1/π = e(2n+1)i § 2. 6_ ů°¦ ½ #. £ Ò¹ú` ¨Œ ¯ (i) ii (ii) e 2 (−1 − √ 3i) 3πi (iii) (1 − i)4i 3. &_ 3.9 \ 6 #    Œ ñ ¦x √ √ (i) (−1 + 3i)3/2 = ±2 2 ` ˜#. ”¦ e Ќ √ √ 3/2 = [(−1 + 3i)1/2 ]3 – j à e6 t ¦x Ð þ º ”£ § (ii) (i)  s6 # (−1 + 3i) `  Œ √ ¦ ` Ц  ˜s“ −1 + 3i _ 'P ] ½ #.  ́: jLH¦ ¨Œ  Y` j  :h“ Ÿè<º 3 © l‘& 4™†Ã œ r ¤ Ê 76 √ √ (iii) (i)  s6 # (−1 + 3i)3/2 = [(−1 + 3i)3 ]1/2 – j à ”6 ¦x Ð þ º £ `  Œ t e§ √ ¦ Ц ` ˜s“ −1 + 3i _ P Y` ½ #.  ́: jj ¨Œ ' LH¦  4. ë9 z = 0 s“ a  zÃs€ |z a | = exp(a ln |z |) = |z |a e` ˜#. ¦  º H´ –{ ß   ”¦ Ќ a _ ů°s 2 # &. Œf #l" |z |  Ò¹ú [Œ ’  ¯ 5. c = a + ib  “ ) 4™Ãs“ c H ñà m“ “ ic     ¦&a Ÿèº¦  &º ¦ ¦ ñ ¤ c | s —¿ °“ °s ÷l0K" à c  #* r ¯ œ H e\ Å_ . |i  ¸º úÉ ú &Af ©º  Q‹ô  ” Ò ǀs €¯ô? j 9¹ • Ç H¤   ß9 íÊa 4þ ¸H ú 6. c, d ü z  4™Ãs“ z = 0 s . ë{ Ÿ< "[_ —Ž ° <  Ÿèº¦ – †) t ¯  Ò¹ú £ º ZË n< Ќ s ů°s€ 6 tà Ogs íw†` ˜#. ¯ § : $ʦ (i) 1/z c = z −c (ii) (z c )n = z cn r É º (n “ ƒÃ) (iii) z c z d = z c+d (iv) z c /z d = z c−d 7. f (z )  ”F+ M d[cf (z ) ]/dz \ @ô pì/` æ. >É : r½  / Bd ¼ Ç rN”¦ ‰  V6â …º´ÁÊÿ …לÊ ÔÐþÇǝÁ? ]3¯ÁÁ ‘þ &   ¼ %“†Ã sin−1 z ¦ ñ_ l 0K z = sin w 9 M w = sin−1 z  æ.  Ê i<º \  A {: ¤ £ 7 eiw − e−iw z= 2i −1  A d & ”¦ ñ €  ›  ½ ” aÇ  9: { M w = sin z s. 0 ` o  eiw \ 'ô 2 ~&d Óñ (eiw )2 − 2iz (eiw ) − 1 = 0  3 ¦ H ` Û ` %. eiw ¦ ¦€   (3.40) eiw = iz + (1 − z 2 )1/2 r É   †º ” < œ  %. #l" (1 − z 2 )1/2 “ z _ sÊÃs. d (3.40) _ €¦ – ¦  ` 3H Œf   ª` Ð ª\ [ Õ 2 € ¦  (3.41) sin−1 z = −i log[iz + (1 − z 2 )1/2 ]  3 úÉ ½Z¼Ð £ & 3H r Ó ¦ H ` %. °“ ~Oܖ 6 o\ %. § ñ ¦  6 X %y†Ãü %Š/†Ã j ] iŒŒ<º< i©Bʺ  ™•Ê œG< 77 Çh 3.3 z  4™Ã { M a   ¤ Ÿèº 9 : (i) sin−1 z = −i log[iz + (1 − z 2 )1/2 ] = −i log i[z + (z 2 − 1)1/2 ]. (ii) cos−1 z = −i log[z + i(1 − z 2 )1/2 ] = −i log[z + (z 2 − 1)1/2 ]. (iii) tan−1 z = log i+z = i−z i 2 1 2i log 1+iz . 1−iz (iv) sinh−1 z = log[z + (z 2 + 1)1/2 ]. (iv) cosh−1 z = log[z + (z 2 − 1)1/2 ]. (iv) tanh−1 z = 1 2 1+ log 1−z . z ½” 3.10 %y†Ã †Ãs. ¢ô ]H< –Õ†Ã_ :Zô Ô Ç§ ™•< H iŒŒÊº  <º ¸ jLü Ъ<º £ Ç Y Ê ¤>Ç Ê ¯ ú  ¨ : ¸Ž iŒŒÊº é †º °s 6| M — %y<Í –ÊÃs. xc H ™•† H ß < d ™e 3.8  (3.41) \ _ # × ”  Œ sin−1 (−i) = −i log(1 ± ¦ s“ log(1 + ü < log(1 − √ 2) √ √ 2) = ln(1 + 2) + 2nπi (n “ ñÃ) r É &º √ √ 2) = ln( 2 − 1) + (2n + 1)πi (n “ ñÃ) r& É º Ð Ò ºÇ úÉ ú¦   <º ª< – Â' Áy ´“ ° t †Ãs. ÕX ô §r ¯` Ê  H √ √ ln( 2 − 1) = − ln(1 + 2) ¼Ð º sٖ à (−1)n ln(1 + √ 2) + nπi (n “ &Ã) É ñº r √ r É “ log(1 ± 2) _ °[_ |½` sê. "  úþ 9+  f ¯t ˦ r sin−1 (−i) = nπ + i(−1)n+1 ln(1 + ñ &o 3.3 _ d¦ pì €  ”` r    Çh 3.4 a  (i) d dz sin−1 z = (ii) d dz cos−1 z = −1 , (1−z 2 )1/2 (iii) d dz tan−1 z = 1 , (1+z 2 ) 1 , (1−z 2 )1/2 √ 2) (n “ &Ã). r É ñº j  :h“ Ÿè<º 3 © l‘& 4™†Ã œ r ¤ Ê 78 ŽFÃg Å©7 ìøØ< 1. 6 1d 7" #. § x¦ x £ p”` £îŒ (i) sec−1 z = 1 i log 1+(1−z z (ii) csc−1 z = 1 i log i+(z (iii) cot−1 z = 1 2i (i) coth−1 z = log 1 2 2 )1/2 2 −1)1/2 z z +i z −i z +1 log z −1 §† 2. 6 <Ã_ °` ½ #. £ ʺ ú ¨Œ ¯¦ (i) tan−1 (2i) (ii) tan−1 (1 + i) (iii) cosh−1 (−1) (iv) tanh−1 0 3. z \ ›ô ~&d sin z = 2 ` 6 ~Oܖ Ér¯.  a Óñ” ¦ £ ÓZ¼Ð Ò¹ 'Ç ½   § ½ Óñ ´ (i) ~ d_ ÃÂü )àq“ # ½+ ¯. ½&” zºÒ< ‡ºÒ\ §Œ ¨É ¦ ½ (ii) sin−1 z _ /d` s6 # ½½ .  B  Œ ¨+ ¯ É N”¦ x 4. 9_ ~O` 6 # z \ 'ô ~&” cos z = 2 ` Ér¯.  ½¦ x  ÓZ  Œ  aÇ ½ñd › Ó  ¦  Ò¹ × V4* ‘ ´¿ \ P š †& ¡  V1⠁‰  ¡šG£ mÐ ÁÊ w(t) ´ ±· ¿ê M þÁ 4™†Ã f (z ) _ &ì` •{ l 0K"H €$ zÃ_ &{ ½ç [a, b] ¤Ê Ÿè<º r¦   ´ œÇ ß  h ¸9 Af  º h©ô ¨– Ê f ña Ÿè<º \" &_) 4™†Ã w(t) _ pì &` qy # . †Ã ¤ Ê  õ hì tŒŒ Ç <º r r¦ ҕ ô w(t) = u(t) + iv (t) (4.1) ü  ¨–   Œf  . #l" u(t) < v (t)  ½ß [a, b] \" &_ zÊÃs. Hç f ña †º ) ´<  a˜ 4.1 u < v  & t \" p0½ M †Ã (4.1) _ •Êà w (t)(¢ Ç+ ü  ¸†º < Ê  h f r p+ : <º ì xÉ ¸ dw H  ¦   dt (t))\ w (t) = u (t) + iv (t) (4.2) ¼Ð &Ç ܖ ñ_. ô ñ_ 4.1 – Â' 6 z % à . & Ð Ò £ ¦ 3` º e ”  § ´` ¦ Á ¤ © < ¨ß – Af ñ) Ÿè< a¤ †  ZV 4.1 z0  4™Ã, f (t) ü g (t)  ½ç [a, b] 0\" &_ 4™Ê H Ÿèœº  º{: Ã9M (i) (f + g ) (t) = f (t) + g (t). (ii) (z0 f ) (t) = z0 f (t). (iii) d z0 t dt e = z0 ez0 t . 79 j œ Ÿè hr 4  4™ & © ¤ ì 80 «Ë Ö_ ”ã (i) f (t) = u(t)+ iv (t), g (t) = r(t)+ is(t)  . Õ€ (f + g )(t) =   ªQ  ¼Ð f (t) + g (t) = u(t) + r(t) + i[v (t) + s(t)] = (u + r)(t) + i(v + s)(t) sٖ & ñ  Œ  _ 4.1 \ _ # (f + g ) (t) = (u + r) (t) + i(v + s) (t) = u (t) + r (t) + i[v (t) + s (t)] = f (t) + g (t)  ñ ªQ  (ii) 4™ æ z0 = x0 + iy0  & . Õ€ ¤ œ Ÿè ©º\ (z0 f )(t) = z0 f (t) = (x0 + iy0 )(u(t) + iv (t)) = (x0 u(t) − y0 v (t)) + i(x0 v (t) + y0 u(t)) sٖ t – pr  ¼Ð Ð ì€  (z0 f ) (t) = (x0 u(t) − y0 v (t)) + i(x0 v (t) + y0 u(t)) = (x0 u (t) − y0 v (t)) + i(x0 v (t) + y0 u (t)) = (x0 + iy0 )(u (t) + iv (t)) = z0 f (t)  s. (iii) ez0 t = ex0 t+iy0 t = ex0 t cos(y0 t) + iex0 t sin(y0 t) sٖ pì  ¼Ð  r€ d z0 t e = (ex0 t cos(y0 t) + iex0 t sin(y0 t)) dt = (ex0 t cos(y0 t)) + i(ex0 t sin(y0 t)) = x0 ex0 t cos y0 t − y0 ex0 t sin(y0 )t + i[x0 ex0 t sin y0 t + y0 ex0 t cos(y0 t)] = ex0 t [(x0 + iy0 ) cos y0 t + i(x0 + iy0 ) sin(y0 t)] = ex0 t (x0 + iy0 )(cos(y0 t) + i sin(y0 t)) = z0 ez0 t Ô Ç§ ½” 4.1 p&ì<_ —H &o 4™ÊÃ\ @K" íw t ·. h† ¸ ñ Ÿè†º /f $nH úH Ž ¤<   § rÆ – w(t)  ½ç [a, b] 0\" 5†Ãs“ w(t) s ½ç (a, b) 0\" p ¨ß  ¨ß Af ì r – Af ƒÅʺ¦ q<  çú ñ¦ ßá ú 0 “ . Õ w(t) H ¨H° &o –7 t ·. x p¦  ªQ  î¯ ` ë¤ §H × ™e 4.1 w(t) = eit  ½ç [0, 2π ] 0\" ƒ5s“ (0, 2π ) \" p H ¨ß – q r Af Ŧ f ì it | = 1 s. Õ x p ¸Ç ¸H 0 . ¢ — t ∈ [a, b] \ @K" |w (t)| = |ie  ªQ ôŽ  /f ¼Ð w(2π ) − w(0) = 0 sٖ w(2π ) − w(0) = w (c) 2π − 0 ” ` ë7 H c ∈ (0, 2π )  >F t ·.  –¤  H r úH § ¦ ß፠1 X 4™°` t †Ã W (T ) j ] Ÿèú H <º  ¤ ¯¦ Ê 81 ß9 < r x½ a+ ǘ 4.2 –{ u ü v  ½ç [a, b] 0\" &ì0É M (4.1) _ &ì` ë ¨ß – Af h p+ :  hr¦   b (4.3) b w(t) dt = a b u(t) dt + i v (t) dt a a  â ܖ &_ô. ¢Ç s Ä w(t)  ½ç [a, b] 0\" †& “ ´ ¼Ð ñ ¸ô  º Ç ¨ß – Af \P æ¦ ú  ˜ ô Ç .  Ð Ò  x hì p¦ ñ &_ 4.2 – Â' f, g ; [a, b] → C  &r0 “ z0  4™Ã{ M ¤œ Ÿè©º9 : (i) (ii) b a [ f ( t) + g (t)] dt = b a z0 f (t) dt b a f (t) dt b a g (t) dt + b a f (t) dt = z0 ¦ 3 º   ¦ ” ` %` à e.  ÃV 4.2 4™†Ã w  ½ç [a, b] 0\" &0+ M Z ¤Ê Ÿè<º – Af hì pÉ : ¨ß r x½ (i) Re b a w (t) dt b a Re = b a w (t) dt = b a Im w(t) dt b c w (t) dt (ii) b a w (t) dt = (iii) b a w (t) dt = W (b) − W (a), #l" W (t) = w(t). Œf (iv) b a w (t) dt c a w (t) dt w(t) dt, Im ≤ + b a |w (t)| dt, a ≤ b. «Ë Ö_ ”ã (i) “ &_\ _ # " . rñ É  Œ î r ´Ê É <º h í9 r  (ii), (iii)“ z†Ã_ &ì_ $| b c b u(t) dt + u(t) dt = a a u(t) dt c b a u(t) dt = U (b) − U (a) #l" U (t) = u(t) Œf Ç \ _ # íwô.  Œ $n (iv) a = b { M î . a < b “ & . ¦ ñ  9 : " ³ Ãsٖ F+ܖ ³‰ € º¼Ð GAd¼Ð ð& þ” b (4.4) w(t) dt = r0 eiθ0 a ¼Ð ­ º e Œf ܖ  è à . #l" q ” b (4.5) w(t) dt r0 = a b a w (t) dt _ °s 4™  ú Ÿè ¯¤ j œ Ÿè hr 4  4™ & © ¤ ì 82 ¦ s“ θ0 “ r É b a w (t) dt   'Œ  ¦ _ #ys. d (4.4) \" r0 \ › # ۀ  Œ ” ¼• f a b (4.6) e−iθ0 w(t) dt r0 = a s. ” (4.6) _ ,A“ zÃsٖ šA ¢ô zÃs# Ç. (i) \  d   aáÉ º¼Ð ¸Éá ¸Ç ºQ ô   ¢¤r ´ r¤  ´  Œ _ # (4.6) _ šA“  ¸ÉáÉ r¤r b b eiθ0 w dt = Re Re(eiθ0 w) dt a a a b eiθ0 w dt =  r É – j à e. " ” (4.6) “ Ð þ º ” f d t  b (4.7) r0 = Re(eiθ0 w) dt a “ þI\ ”. ÕX + ¦   A  ª<  Re(eiθ0 w) ≤ |eiθ0 | = |eiθ0 ||w| = |w| ¼ Ð sٖ (4.7) \_ # Œ b ro ≤ |w| dt a    ¢á¼Ð £î ¢ía a¤ x - ) s. &ì°s 0 s m€ r0  (4.5) _ ,Asٖ 7"s a$.  hrú   ¯ H 4™ s&` 6õ °s ñ_ . –{ 6 Fô ¤ Ÿè ©hr¦ £ ú  ë9 £ G œì § & ß § Ç b (4.8) lim b→∞ a  > Gô s ”F  F (4.8) ` €Ç  r ¦ ∞ w(t) dt w(t) dt a r¦ ´ ‘ Ç wÇ ½O Ð /¦  h ¡¿ (\P   p ~¼Ð –  ?“ s &ì` š l׆& s ô. q5ô ÓZܖ ¦ É  &+ º ” \ ñ_½ à e.   Ÿè ©hì /f¸ ín œr Ç "] 4.2(iv)  4™ s&\ @K"• $wô. îj H¤ º hr r ©ì >  Ÿah 4.1 ¿ sœ&s ”F €  ¸Ç ∞ a  íÇ s $nô. w Å©Ø ìFÃg Žø7< w(t) dt ≤ ∞ a |w(t)| dt b −∞ w (t) dt 1 X 4™°` t †Ã W (T ) j ] Ÿèú H <º  ¤ ¯¦ Ê 83 1. 6 &r` >í #. £ hì ߌ § ¦ – 2 (a) 2 1 (c) ∞ −zt dt 0e 1 t −i dt (b) π /6 i2t e dt 0 Rez > 0 2. m õ n s ñÃ{ M   º9 : & 2π 0  Ќ ”` ˜#. e¦ 0, imθ −inθ ee dθ = 2π, m = n, m=n £¦ Ќ §` 3. 6 ˜#.  zº  Ÿè<º¦ ´ ¤Ê rÉ (a) w(t) = u(t) + iv (t) s à t _ 4™†Ãs“ w (t) s ”F½  >+ : M d [w(t)]2 = 2w(t)w (t). dt  ¨– (b) w(t) = u(t) + iv (t) s ½ß [a, b] 0\" 5s€ ç Af ƒÅ q  −a −b b w(−t) dt = w(t) dt. a (c) w(t) = u(t) + iv (t) s ½ß [−a, a] 0\" ƒ5“ 4™<Ã{ M  ¨– q ¤ †  ç Af Å Ÿèʺ9 : i. ë{ w(−t) = w(t), 7 w  ĆÃs€ – ß9 Ê  ¤ £ º<º a a w(t) dt = 2 −a w(t) dt. 0 –9 ë ¤ £ < ii. ß{ w(−t) = −w(t), 7 w  lÊÃs€ †º  a w(t) dt = 0. −a 4. w(t) s ½ç [a, b] 0\" &_a 5 4™Êà . Õ€ ½ç  ¨ß – Af ñ ƒÅ Ÿè†º  ªQ ¨ß ) q ¤ < – it \ Òy # &r_ ¨ç° o $ [0, 2π ] \" &_ w(t) = e  qŒŒ hì îú & í f ) ña ¦ t•  H¯ ñ w ú£¦ Ќ £ ¤ n t ·6 ˜#. 7  §§` b a w(t) dt = w(c)(b − a) \ ßáH – / > ú£¦ Ќ r ¦ –¤   ë7  c  ½ß [a, b] ?\ ”F t ·6 ˜#. ¨ç §§` j œ Ÿè hr 4  4™ & © ¤ ì 84 5. C  r>ì@~Ó_ " |z | = 2 _ šAì"  “ . ¦ Í Ó¾ ¶  ¸ÉáͶ¦ ·¦  r¤øé` p \ ø/½† é  Õ€ C  ¿ t B>ó& ªQ H º  hºð‰  ³ z = z (θ) = 2eiθ − π π ≤θ≤ 2 2 < ü 4 − t2 + it z = Z (t) = (−2 ≤ t ≤ 2).  £¦ Ќ s. 6 ˜#. §` (a) Z (t) = z [φ(t)]. #l" Œf t φ(t) = arctan √ 4 − t2 (b) φ (t) > 0, (c) − π π . < arctan θ < 2 2 t ∈ (−2, 2). π /2 −π/2 z (θ ) dθ = 2 −2 Z (t) dt. 6. †Ã f (z ) s Bãî z = z (t) (a ≤ t ≤ b)0_ & z0 = z (t0 ) \" r  f Ê <º  ¼Q ñ A h K$&s“ ñ . ß{ w(t) = f [z (t)] s€ t = t0 { M 3h¦  ë9 & –  9:    w (t) = f [z (t)]z (t) 2 ¦ e¦ ˜#. (˜à : f (z ) = u(x, y ) + iv (x, y ) s“ z (t) = x(t) + iy (t)  ”` Ќ ³Ô   º  ¿€ w(t) = u[x(t), y (t)] + iv [x(t), y (t)]. ¦ º zº <ºf WOg  € s“ ¿ Ã_ z†Ã\"_ ƒZ:` 6  ´ ´Ê  ˦ x  w (t) = (ux x + uy y ) + (vx x + vy y ) `  \ x   %H. Õo“ Cauchy-Riemann &o 6 € ).) ¦ 3 ª¦ ñ¦   a 7. y = y (x)  ½ç 0 ≤ x ≤ 1 0\"  ¨ß H– Af x3 sin π , x y (x) = 0, 0 < x ≤ 1, x=0 ܖ &_a zð†Ãs . ¼Ð ñ ºú<º  ) ´ ¯Ê ~ñ (a) ½&d Ó ” z = x + iy (x) (0 ≤ x ≤ 1) 1  f º¡ ß ñ  ` s z = 0 õ z = n (n = 1, 2, . . .) \" zûõ ë C1 ¦  ´¤ –H  Í` ˜#. Ç Ќ r¦ 2 X 1d 1”&ì j ] p”õ pdhr  x‚ x‚ 85 (b) (a) _ C1 s Bãî e` ˜#. (˜à : x = 0 \" y (x) ñ  ¼Q ñ” Ќ ³Ô 2 f r ¦ _ ƒ5$ ˜sl 0K" x > 0 { M  Åí` Ð Af q ¦  9: 0 ≤ x3 sin π x ≤ x3 ”` ‚“ô. y (0)  ½ “ x = 0 \" y (x) s ƒ5” ˜ e¦ æ f  Ð Ç ¦ ` ¨¦  Åe¦ Ð q`   “.) â V2‰ Ïnø Ðn\P žÐ> ž ¤†& ¤ Ï> 1 X\"H zýç0\" ñ_ 4™†Ã_ & &_ %. 4™ f º¨–Af &) Ÿè<º hr¦ ñi Ÿè ß a¤ Ê ì` ¤ ´  º Ÿè†º hÉ º ¨çf && Ð Ÿèî€A Ã_ 4™ÊÃ_ &ì“ zÃ_ ½ß\" ñ_÷l ˜ 4™¨0_ ¤< rr ´ – H ¤  /0\" ñ_. " sô +I_ &ì ½ X €¯ô / G B‚Af &) f Q þ h` ¨H< 9¹Ç B‚ ÇA    G a r¦  ½>+ €¯ e. ¦ ZÉ  ` ¨½ 9¹ ”  + ǘ 4.3 4™ €_ & z = (x, y ) [_ 9½ C  ¡(arc) <“ a õ †r ¤ î  Ÿè ¨ h t Ë þ |+  ÊÉ (4.9) x = x(t), y = y (t) (a ≤ t ≤ b), H´  º hº  Å<º  ` º   qÊ Œf #l" x(t) ü y (t)  zà B>Ã t _ ƒ5†Ãs. s¯¦ zà B <  ´  ¤Ê >à t _ 4™†Ã hº  Ÿè<º (4.10) z = z (t) (a ≤ t ≤ b), ¦  Œ  9+¦ ð‰Ç Œf x \ 6 # C _ |½ ³&. #l" Ë` ³ô (4.11) z (t) = x(t) + iy (t)  õ ÊÉ { s. C  í'¡ ¢ Jordan ¡ <“ t1 = t2 9 M z (t1 ) = z (t2 )  ñ 5Kõ ¸H  †r : ª Q € åh f 9€ £ ¤  ñ s. C  œ =& a, b \" {u , 7 z (a) = z (b) s€ ¶ð œ¤   Ç n  Ò> ¯> – ¦ Ç  é — ¦  ß9 s“ ô. ë{ C  ª =& a, b \ ]ü Qt Âì\" ßH { Ç œ Q € åh  [email protected]   Òrf –í“ Œ > ô ³ B‚ íK Çœn ¸ ˜ /` 5' ¶ð¤ ¢ Jordan œ¤s Ç. 2 G¦  Ò>¯> H ¯n  ÓG ½B‚ ™e 4.2 †/ × (4.12) “ ßí s. r – É éHñ  x + ix z= x + i 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ x ≤ 2, j œ Ÿè hr 4  4™ & © ¤ ì 86 ß é × ™e 4.3 "&` ×ܖ  –0¶ ¶h¦ æd¼Ð H éA" é ” (4.13) z = eiθ (0 ≤ θ ≤ 2π ) †  é —³G “ r> [email protected] ¾  ßí {˜/s. & z0 ` ×dܖ “ r É  ì/~¾¼Ð ÓH –H Œ2B‚ h Í ½Ó  ¦ æ  ”¼Ð ¦ Ít2 R ܖ H ¶“ ø§ ì £ ¼Ð  " É  ér (4.14) z = z0 + Reiθ (0 ≤ θ ≤ 2π ) s.  e r ß ¶ úÉ éAé¸ É ñ ëþ º  °“ –0"•  \ ß[ à ”. r ¦ –t ™e 4.4 × ñ (4.15) z = e−iθ (0 ≤ θ ≤ 2π ) – “ |½Ü– (4.13) ü °të r> ~Óܖ Ó  é {³/‚s. r + É 9˼Ð H < úß  ½†¼Ð ¾ ßH Œ˜B Ó¾ † H –í —2G ¸ ñ ¢ô Ç (4.16) z = e2iθ (0 ≤ θ ≤ 2π ) ü úë  ø/~†¼Ð º' H Ž r + É 9½¼Ð “ |Ëܖ (4.13), (4.15) < °t– r> [email protected] ¿3 7. H ß ì ½Ó < a ñ C : z = z (t) = x(t) + iy (t) _ $ì[_ •†Ã x (t), y (t) s &_  íþ ¸Êº rt  ñ) – Af >¦ Å É :  P æ5 õ ô q ½ ¦  ¨ß ½ç [a, b] 0\" ”F “ ƒ5s + M C \ i&ø ¡ . r Ç  xô ʍ pr0 z (t) = x(t) + iy (t), a ≤ t ≤ b _ •†Ã ì pÇ ñ  ¸<ºH z (t) = x (t) + iy (t) (4.17) ¦ z<º s“ †Ã ´Ê (4.18) |z (t)| = [x (t)]2 + [y (t)]2 rß É ¨– “ ½ç [a, b] 0\" ƒ5sٖ &r0 . ÕX p&r†\" ¨€  x  Af żРhì p ª< hì<f î q Æ  © r pÇ B   œ _ p0ô /‚ r(t) = (x(t), y (t)), a ≤ t ≤ b _ Us ì x G ´H b (4.19) [x (t)]2 + [y (t)]2 dt L= a sٖ d (4.18) _ ³‰` 6  pì0ô z (t) = x(t) + iy (t) _ ¼Ð ”   ð&    p ñ ³¦ x € r xÇ  ´  UsH b (4.20) L= a s.  |z (t)| dt 2 X 1d 1”&ì j ] p”õ pdhr  x‚ x‚ 87 Ô Ç§ ½” 4.2 / C _ B>³& ½O“ Ä{ t ·Ü /‚_ Us B G B‚  hð³ ÓÉ »9 ú¼ B   ‰ ~Zr  G ´ H § >³&\ ›>Os Ôs. h𳁠'\  ‰ a  ¦ «_ Öã ”Ë  /f α ≤ τ ≤ β \ @K" t = φ(τ ) (4.21) – f ¨ß – s ñ . #l" φ H ½ç α ≤ τ ≤ β \" ½ç a ≤ t ≤ b 0–  & Œf  ¨ß AÐ _ z†Ãs. φ \ 5 •<Ã\ t 5†Ã“ . ¢ô y τ  <º ´Ê  ƒÅ ¸†º H ƒÅ<º¦  ¸Ç Œ ¦ q Ê ¦  qÊ • ¦  ñ   ºŠd ´ H  8”  /f \ @K" φ (τ ) > 0 s“ ñ . C _ Us Ã¨ (4.21), & d(4.20)õ ½$†Ã_ pì z (t) = z [φ(τ )]φ (τ )  6   ” Ë Ê   +í<º r ¦  € ` x β L= α |z [φ(τ )]|φ (τ ) dτ. – ¦ f ß{  " ë9 C \ (4.22) z = Z (τ ) = z [φ(τ )] (α ≤ τ ≤ β ) , ¼Ð / ½$<º O Œ ܖ  ?€ Ë †Ã_ pìZ\ _ #  +íÊ r (4.23) Z (τ ) = z [φ(τ )]φ (τ ) ¼Ð sٖ β (4.24) L= α |Z (τ )| dτ “ (4.20)õ 1{ +I\ ”. ë{ C  (4.22) ü °s ³‰&%܀ C r É  l9 þ¦  ß9 x A   – < ú ð&÷3¼ ³  °“ Us %#& ¯s.  ` H r ´  úÉ  3Q’¦  p&ì†\" ¨€_ / r(t) = (x(t), y (t)) s 9ê( œ¤` r(t) h<f î© B‚ rÆ œ G  «aP n  ¯>¦ rx H s 5&ܖ pì0 “ —Ž t ∈ [a, b] \" r (t) = (x (t), y (t)) = (0, 0)  Åh¼Ð  p¦ ¸ ƒq f s ñ_ %. " Bã /‚_ ] 7'  &i f ¼Qr B X‚ ˜  î G  T(t) = r ( t) |r (t)|  ñ_0 %. °“ ~Zܖ 4™ ¨_ \ › # Bãr & pi úÉ ½O¼Ð Ÿè  ñ 'Œ ¼Qî ñ a  x r Ó ¤ ©  &_É Ã e. \ ñ½ º ”  ¦ + ǘ 4.4 C : z = z (t)  ½ç [a, b] 0\" 5&ܖ pì0 “ ñ ¨ß Af Åh¼Ð r p¦ ƒq x + a –  Ç (a, b) \" z (t) = 0 9 M C \ 9ê( ¡“ ô. ÄÇ >_ B㠁f {:ñ  ¦  «aP õ¦  »ô h ¼  rt ƒ eH  Ðn ¸ ¿Ç\Ã× H Ð î [s "– ÷# ” \ žÏ¤(Contour) ¢ œ´†ã— Q ñþ fÐ &Q  ñ¦  > 9ê( ¡(piecewise smooth arc)  . ß9 1”‚_ r&õ = «aP õ  • Q  ô ë p Œh å Ç –{ xd §   Ò> Ï> &s {u “  &\" –t ·Ü s` í'¶ðžÐ¤(simply  h 9¦ É hf ë ú¼€ ¯¦ 5KÇ n r ß closed contour) .  Ç ô j œ Ÿè hr 4  4™ & © ¤ ì 88 \¦ [# ~¾ ” ", y+ ¢ y+_ >1s. V\ þQ ½Ó`  ¶ ŒŒþ ¸ ŒA âp  t ӆ¦  é ™•A H •þ x – ë9 € H qÊ  ƒÅ<º¦ Ô Ç§ ½” 4.3 ß{ z = z (t), a ≤ t ≤ b,  1ds z (t)  5†Ãs“ x‚ p” q z (t) “ ›y&ܖ ƒ5s. 1” ¢ éí{³1d_ Us 1d r • É ¸Œh¼Ð Å pd‚ ¸ ߌ˜p” H p” x H –H—2x‚ ´  x H ••  Ò ŒŒ ¼Qî ñ þ Ë ` sÀ yy_ Bã _ Us[_ +s. ‚¦ r ´t ½ § ñ H ßH—2G ›  ” 6 &o éí{˜/\ 'ô $|¦  ?“ e. £  –Œ³B‚ aÇ í9` /¦   Ç ne Ÿè €/ é팳B ¸ éHŒ˜p –—2G H ßí—2x ah 4.1 (Jordan œ¤Ò)1 4™¨?_ ßH{˜/‚(¢ –{³1 ¯>µ ¤ î ‚ ” d) C  î€` ?Â< @ ÂØ /:â> C ¦ t ¿ >_ H ¦ H  ¨ /Òü üÒ Òԍ BŸ  H Nx  \  º h H |Ë  \|+ܖ è. s Ñ× ? Ä>9½s“, @ Ä> H tæ H  2½ ƒ P;9˼Р  ü /ҍ »+¦ üÒ »  +  9½s.  |Ë H¤  ¤ œ f  4™Ã z _ 4™†Ã“ . 4™ ¨€_ ¿ & ƒ  Ÿèº  Ÿèʺ¦  Ÿè î© º h`  ¤< ¦   p” t• Ç H x  1d‚ C 0\" ñ_ †Ã_ &ì\ ' # Òy l– . s Af &a <º h ›Œ qŒÐ ô Q )Ê r a  &ì` Ç r¦ ô h f (z ) dz (4.25) C ¼Ð /¦ Qô hr >\P ¸ žÏ> \P ô º ܖ  ?“ s &` n†& ¢ Ðn †&s . zé Ç ì¦ ¤ H ¤  Ç ´œ rr  f hÉ º h` ƒ ½O »9ß Ÿè¨€ º h \"_ &ì“ ¿ &   ~Zs Ä{ të 4™ œ_ ¿ &` ¦  H Ó – ¤ î© ¦ ƒ BÉ »{ ú f hìÉ pd r ) rr x”   /‚“ Ä9 t ·. " ‚&“ 1‚\ _> > .  H Gr  § ” a ë{ ‚&ìs 1d‚\ 75&st · ‚&ì (4.25) ¦ §  r  ` –  x xq ß9 hr p” áÅh ú€ h z2 f (z ) dz (4.26) z1 ¼Ð p ܖ  . · Ó& ~ñd ½ ” z = z ( t) (4.27) (a ≤ t ≤ b)   p”   x‚   r Éh “ & z1 = z (a) ܖ Â' & z2 = z (b) t ƒ H 1d C  . ¼Ð Ò h  <º †Ã f (z ) “ C 0\" ›y& ƒ5s . 7 f [z (t)] “ ½ç a ≤ t ≤ b Ê r É Af ¸Œh Å  £ ¤ • q r– É ¨ß Af ¸ŒÅ 0\" ›y5s. •ƒq  a˜ 4.5 1d C   4™<à f _ &ì ¢H 1d &ì` Ç+ ‚r  x r¦ x” \ r ¤ Ê p‚ ¦ É Ÿè†º  h ¸ p”‚ h b (4.28) f (z ) dz = C f [z (t)]z (t) dt a ܖ &_. ¼Ð ô ñÇ 1 s &o 1892 ¸ Jordan \_K ]l÷%Ü9 @Ã& 0Æ_ •½\ 6 #  ñ   j&3¼ /ºh A©º< ¸¨  Œ   œÆ H  ¦x   1905  Oswald Veblen\ _ # K÷%. ¸  Œ &3 2 X 1d 1”&ì j ] p”õ pdhr  x‚ x‚ 89 • q Ô Ç§ ½” 4.4 C  1”‚sٖ z (t) “ ½– a ≤ t ≤ b 0\" ›y& ƒ5 xd p¼Ð rç É ¨ß Af ¸Œh Å s“ &ì (4.28) s >Fô. ¦ hr   ” rÇ  º¨9: hrÉ  8 ‚r ½” 4.5 C : z = Z (τ ) = z (φ(τ )), α ≤ τ ≤ β s ÁŠ{M &ì“ Ô Ç§ xd p hº8 / ¦ 1”‚_ B>Ã¨\ @K ԁs.  Š  ”ã «Ë Ö_ 1d‚ C : z = z (t), a ≤ t ≤ b \ › &ì“ &_\ _ € x p”  'Ç hÉ ñ  aô ‚rr  b f [z (t)]z (t) dt f (z ) dz = C a β = f [z (φ(τ ))]z [φ(τ )]φ (τ ) dτ α β f [Z (τ )]Z (τ ) dτ = α f  [a, b] \" &_ &ì0 zÊà . Õ f ) h p †º  ªQ ñ a r x ´< € a (4.29) b b f (x) dx = − f (x) dx a rr  ÓÓ s íw. sü °s {ì&ܖ &ì“ &r_ ~¾\    ²  $nô < ú 9øh¼Ð hÉ hì ½†  Òñ ú Ç Í ˜ ”. " &_ 1d_ ½† ñ_K ô.  f ‚hì p” ÓÓ` &   r x‚ ~¾¦ Ç  p  ¦ xd  ì/½¾¦  Í ÓÓ C : z = z (t) (a ≤ t ≤ b) \ 1”‚s . C _ ø@~†` t H p  x”¦ Ç > ¦ \ hºÐ ¨  1d‚` −C   ?l– ô(ÕË 4.1). −C  B>Ö ˀ  /Ð  ªa   −C : z = z (−t) (−b ≤ t ≤ −a) s.  f  [a, b] \" &_ &ì0 z†Ã . c  ½– [a, b] _ e_ f ña hr p ʺ  \ ¨ç )  x ´< ¦ß   ”   _ &s . Õ  h  ªQ€ a (4.30) c f (x) dx = b b f (x) dx f (x) dx + a c r – +Ë r • –  n ü ú º hì¨ß Ë9½f hrÉ Œ ¨ßf s íwô. s< °s ¿ &½ç_ ½|+\" &ì“ y ½ç\"_ $Ç  r &ì_ ½” · à e. " &ì\"• ¿ 1”_ Ë` &_ r Ëe¦ ˜ h +` ú º ” f ‚hf¸ º pd ½ ñ x‚ +¦ Œ  # ô. Ç ¿ 1” C1 õ C2 _ ½ C = C1 + C2 “ C1 _ =& C2 _ r&` º pd‚ x •¦  Ë r É  åhõ Q  Œh + H xd ± p ªa > ü e 1”‚s(ÕË 4.2). 7 C1 : z = z (t), a ≤ t ≤ c < C2 : z = z (t), c ≤ ¤ £ t ≤ b { M C1 õ C2 _ ½ C = C1 + C2 : z = z (t), a ≤ t ≤ b “  9:  r É Ë + z (t), a ≤ t ≤ c, 1 (4.31) z = z (t) = z (t), c≤t≤b 2 j œ Ÿè hr 4  4™ & © ¤ ì 90 ¼Ð ñ ܖ &_ô. Ç  h  ‚hf¸ < úÉ í9 r  †Ã_ $9 (4.29), (4.30) ` &6 € &ì\"• sü °“ $| z<º í| ´Ê  ¦ x  r s wô.  $n  íÇ  a Çh 4.2 (ii) (iii) (iv) (i) z0 s 4™©Ã9 M  Ÿèœº{ : ¤ C [ f (z ) −C + g (z )] dz = f (z ) dz = − C1 +C2 f (z ) dz = C C C z0 f (z ) dz f (z ) dz + C = z0 C f (z ) dz . g (z ) dz . f (z ) dz. C1 f (z ) dz + C2 f (z ) dz Af ¦   9 : ´ (v) C 0\" |f | ≤ M s“ L s C _ Us{ M (4.32) C f (z ) dz ≤ M L. &ü Ÿèʺ ¤< x a ”ã (i) (ii) : _< 4™†Ã w(t) _ &ì |– Â' 7"). «Ë Ö_ ñ  h$9Ð Ò £î rí (iii) C : z = z (t), a ≤ t ≤ b   −C : z = z (−t), −b ≤ t ≤ −a s.  €   Õ€ (4.29) \ _ # ªQ   Œ −a f (z ) dz = −b −C f [z (−t)][−z (−t)] dt b f [z (t)]z (t) dt =− a =− C f (z ) dz ¦ ¼Ð ð‰&3  ¦ x (iv) C \ (4.31) ܖ ³&÷% . (4.30) ` s6   ³   € c b f [z (t)]z (t) dt + f (z ) dz = a C1 +C2 f [z (t)]z (t) dt c = f (z ) dz + C1 f (z ) dz C2 (v) î] 4.2(iv) ¦ s6  j "  x \  € C f (z ) dz ≤ −a −b ≤M ≤ ML |f [z (−t)]z (−t)| dt −a −b |z (−t)]| dt 2 X 1d 1”&ì j ] p”õ pdhr  x‚ x‚ 91 q Ô Ç§ ½” 4.6 f  C 0\" ›y&ܖ ƒ5s• (4.32)  ín. Af ¸Œh¼Ð Ÿ • $Ç wô ™e 4.5 &r ×  hì z dz ¯ I= C ¦ ¨Œ Œf  ` ½ #. #l" C  z = −2i –Â' z = 2i t_ šA Í"(Õ  H ÐÒ  ¸Éá ø¶ ª r¤ ìé a > 4.3) Ë π π C : z = 2eiθ (− ≤ θ ≤ ) 2 2 s.  I þT Ú _\ _ # ñ & Œ π /2 I= 2eiθ (2eiθ ) dθ −π/2 s“ ¦ eiθ = e−iθ s“ (eiθ ) = ieiθ ¦ ¼Ð sٖ π /2 I= π /2 2e−iθ 2ieiθ dθ = 4i −π/2 dθ = 4πi. −π/2 Ô Ç§ ½” 4.7 & z s " |z | = 2 0\ e M z z = 4 ¢H z = 4/z – Â' é  h ¶ A ”¦ : ¯ ` ¸ ¯  Ð Ò I = 4πi “ r É dz = πi. Cz £ Ð p”‚ hÉ p” ”Ê Ð 6 ˜l 1d &ì“ 1d\ _r†` ˜“. § ><¦  H x rr x‚ ™e 4.6 f (z ) = y − x − i3x2 , z = x + iy { M ×  9: f (z ) dz j = 1, 2 Cj r ¶ É éh f ü _ °` yy ½ #. #l" C1 “ "& O \" A(i) < A(i) \" B (1+i)  ú ŒŒ ¨Œ Œf ¯¦ •• f \ ¼Ð e pd¦  ”‚ H x H é ¦ ¼Ð \ ” e ¦ fܖ ± 1”‚s“ C2  ¶& O \" B (1 + i)  f‚Ü– ±  "h f  ì ª> H rs(ÕË 4.4).  ‚ a IT Ú þ 1. €$   f (z ) dz = (4.33) C1 f (z ) dz + OA f (z ) dz AB j œ Ÿè hr 4  4™ & © ¤ ì 92  ß ` íÇ  ‚r ¦ hºÐ ð&   ¦ >–ô. ì OA \ B>Ã– ³‰ € z = 0 + iy (0 ≤ y ≤ 1 s“ ³ ¦ Af OA 0\" x = 0 sٖ f (z ) = y (0 ≤ y ≤ 1 s. " ¼Ð  f 1 1 iy dy = i f (z ) dz = 0 0 OA 1 y dy = . 2  AB \ B>Ã–  ? z = x + i (0 ≤ x ≤ 1) s“ " ì ‚r ¦  ¦ f  hºÐ /€  1 f (z ) dz = AB 0 (1 − x − i3x2 ) · 1 dx = 1 0 1 1 − x dx − 3i 0 x2 dx = 1 − i. 2 " (4.33) ܖÂ' f ¼ÐÒ f (z ) dz = (4.34) C1 1−i . 2 r  ” H  A h¼Ð ì  ¦ hð&  ³€ 2.  OB  f‚ y = x 0_ &sٖ ‚r C2 \ B>³‰  ‚ì  z = x + ix (0 ≤ x ≤ 1) s. "  f 1 (4.35) f (z ) dz = C2 0 −3ix2 (1 + i) dx = 3(1 − i) 1 0 x2 dx = 1 − i. a ´ Ê º†ºf • Q zÃ<Ã\" a f (x) dx = 0 ü °s &ì_ r&õ =&s °Ü < ú h Œh åh ú¼ r  r¯  hú  ªQ Ÿè hf 9ìh¼Ð ª ú H Í € &ì°s 0 s. Õ 4™ ‚&ì\" {ø&ܖ ÕOt ·. ¤ r X§ Ð f r É  ì/½¾ éí Œ³B‚e ø ÓÓ ßH —2G ½” 4.8 ˜l 4.6 \" C = C2 − C1 “ r> Í@~†_ – {˜/” Ô Ç§ ¦ ú º e ˜  ` · à ” . f (z ) dz = C C2 f (z ) dz − f (z ) dz = C1 1 2 ™e 4.7 C \ “&& z1 ܖ Â' z2 t ± e__ Bã z = × ¼Ð Ò  H ” ¼Qr ñ e  î   ¦ ¦ñh z (t) (a ≤ t ≤ b)  .   I= z dz C ` ¦ ¨  ½ . IT þ Ú &_ 4.5 \ _ #  Œ ñ b z (t)z (t) dt I= a  s. ÕX  ª< d [z (t)]2 = z (t)z (t) dt 2 ¼Ð sٖ I= [z (t)]2 2 b a = 2 [z (b)]2 − [z (a)]2 z 2 − z1 =2 2 2 2 X 1d 1”&ì j ] p”õ pdhr  x‚ x‚ 93 r § ª Q – Ô Ç§ ½” 4.9 ˜l 4.7 “ ‚&_ °s 1”‚\ _> t ·“ € =&\ß Ð r ì ¯ x É hr ú pd ” ú¦ œ åhë > ¯¦ ú º ” f ß{ _” H ` · à . " ë9 C  & z1 , z2 , · · · , zn+1 ¦ yy ƒ e r   ˜ –  ••  ` ŒŒ   h   x H pd‚   1” Cj , j = 1, · · · , n ܖ sÀ#& ¼Ð ÒQ’ € n n z dz = C z dz = j =1 Cj j =1 2 2 2 zj +1 − zj z 2 − z1 = n+1 2 2 ¼Ð s. " C  {˜ 1d‚s€ zn+1 = z1 sٖ  f —2 x”  Œ³ p z dz = 0. C × ™e 4.8 C ` & z = 3 \" z = −3 t ø"– ¦ Íé h f  ì¶âÐ z = 3eiθ (0 ≤ θ ≤ π )  ¦  “ (Õa 4.5). s M &ì ` p¦  ª> ·  : hr  Ë z 1/2 dz I= (4.36) C ¦ ¨ ` ½ .  I þT Ú Ê  †Ã z 1/2 _ t  <º f (z ) = (4.37) √ iθ/2 re ( r > 0, 0 < θ < 2π ) ¦š  ú ªQ \ ¸. Õ€ f (z )  C _ r& z = 3 \" &_÷t ·të C 0\  H   Œh f ñ& úß §– A • iθ { M f ¸ŒÅ f húÉ >ô " ›yƒ5s. " &찓 ”FÇ. z (θ) = 3e 9 :  •q r¯r r  f [z (θ)] = √ iθ/2 √ √ θ θ 3e = 3 cos + i 3 sin 2 2 (0 < θ ≤ π ) √ f  ºÒü ‡ºÒ ¸ÉáGÉ ŒŒ r¤ Çr •• ¼Ð sٖ θ = 0 \" f [z (θ)] _ zÃÂ< )ÃÂ_ šAFô“ yy 3, 0 ´ √  f s. " f [z (θ)] “ θ = 0 \" f _ °` 3 ܖ &_½ M {³ ½ß r É f  ú —2 ç ¯¦ ¼Ð ñ+ : Œ˜ ¨– É Af Å ªQ¼Ð [0, π ] 0\" ƒ5s. Õٖ q π I= 0 √ iθ/2 iθ √ 3e 3ie dθ = 3 3i √ = 2 3 e3θ/2 π 0 √ = −2 3(1 + i) π 0 e3iθ/2 dθ j œ Ÿè hr 4  4™ & © ¤ ì 94 × ™e 4.9 CR s Ͷ  ì" øé z = Reiθ (0 ≤ θ ≤ π ) ¦  p¦  ªË · > `  “ (Õa 4.6). sM : (4.38) lim R→∞ CR z 1/2 dz = 0 z2 + 1 e¦ ”` ˜#.  Ќ «_ ÖË ”ã 9:  |z | = R > 1 { M √ √ |z 1/2 | = | Reiθ/2 | = R ¦ s“ |z 2 + 1| ≥ | |z |2 − 1| = R2 − 1 sٖ – CR 0\" x&rÊÍ ¼Ð âÐ Af h솺H <  √ R z 1/2 ≤ MR #l" MR = 2 Œf 2+1 z R −1 s. ¢ CR _ Us L = πR sٖ ño4.2(v) \_ #  ¸ô  H ´ Ç ¼Ð & Œ √ π/ R z 1/2 dz ≤ MR L = (4.39) 2 1 − (1/R)2 CR z + 1    ¸Éá ¼Ð GÇ \ H s. R → ∞ s€ (4.39) _ šAs 0 sٖ F (4.38)  %.  r¤ ô ¦ 3 r ¯r ¦  H x” ì 9Íh¼Ð h úÉ º h` ƒ pd > ªQ {ø&ܖ ‚&ì_ °“ ¿ &   1‚\ _”ô. Õ rÇ  ˜l 4.7  °s #" †Ã 1d‚\ _” t ·“ p&r<_ l‘  Ð ‹ Ê  x” r § r õ ú Q <ºH p > ú¦ hìÆ : † &oü °s 1d‚_ ª =&\ë _”Ç. 6 &o s< °s ‚& ñ < ú p” € åh– >ô £ ñH ü ú h x œ Q ß r §   r hr âЁ r ú¦ p € åh >H †º ìs &_ –\ _” t ·“ 1”‚_ œ =&\ _”  ÊÃ_ â >   ì § xd ª Q r <  §x \  º j¦ ”  £ Q¦ ¸{ Ä\ ]r “ e. €$ 6 6# •9 . ¦  a+  ǘ 4.6 f  % D \" ñ_a 5<à . D ?_ —H z \ @ H %i  ò / ¸Ž  / &  q†  f ) ƒÅʺ  ¦ ë¤ H †  K" F (z ) = f (z ) \ –7  <à F ¦ f _ Édž&s ô. f  ß፠ʺ   Ùa\P  \ Ç ½” 4.10 Ô Ç§ Ò hÉ 3ʺ 1. Â&&r“ K$†Ãs. ñìr < 2.  &ìs rF€ 4™æ ]@  Ä{ . Ò&h ”Ç Ÿè©º\ jü€ »9 ñr > ô  ¤ œ   a  ) q< – § Hœ Çh 4.3 f  %% D \" &_ 5Êà & . ë{ 6  H   òi f ña ƒÅ†º ñ ß9 £ ë©  #Ö  íw € Qt H• $nô. æ × Q¼  n   멸 í $  œ wÇ 2 X 1d 1”&ì j ] p”õ pdhr  x‚ x‚ 95 (i) f H D \" Â&&r` ”.  f Òñhì  ¦   / e º ¦ñh / ¢ í† - Ê (ii) D ?_ ”__ ¿ “&& z1 õ z2 \  H D ?\ a„y Ÿ<    ¦ ƒ    a xd¦ r r ¯¦  ) 1”‚`  f (z ) _ &ì“ —¿ °“ °` .  p É  ‚hÉ ¸º úÉ ú ” rr (iii) D ?\ „y Ÿ† {˜ 1‚¦  f (z ) _ &r“ —¿ ° / * í<a Œ³ pd É Ê) —2 x”` r  hìÉ ¸º ú ‚r a š 0  . ¦ ` ” ”_ (i) ⇒ (ii). ë{ 1” C  D \ Ÿ† z1 õ z2 \  H B «ã ÖË  í<) Êa  ¦    ƒ  –9 pd  ß x‚ H r  +$ʺ r  Ëí† ì ã  “ B>Ãds z = z (t) (a ≤ t ≤ b) s€ ½ <Ã_ p ¼Qî ñ ¦ hº ” O¼Ð Ò Zܖ Â'  d F [z (t)] = F [z (t)]z (t) = f [z (t)]z (t) (a ≤ t ≤ b). dt † : H ´ ” ƒvH p&r<_ lr&o zÃ_ 4™<Ã\ &6½ à Üٖ(_ë hìÆ ‘ñ º Ÿè†º h É º e¼¼Ð þ ¤Ê x+ 2) j b f (z ) dz = C a f [z (t)]z (t) dt = [F [z (t)]]b = F [z (b)] − F [z (a)]. a ¼Ð  húÉ ¯ ÕX z (b) = z2 , z (a) = z1 sٖ s ‚&찓 F (z2 ) − F (z1 ) s“ s ° ª<  r¯r ¦  ú \  H x r § r É “ z1  z2  ƒ  1”‚ C \ _” t ·H. 7 õ ¦  pd  > ú £ ¤ z2 (4.40) z1 f (z ) dz = [F (z )]z2 = F (z2 ) − F (z1 ). z1 – ß{ C  BãOt ·“ e__ 1d‚s€ C  Äô>_ Bãî x  H  »h ¼Q ë9 ¼ úÉ ” p” X §r  Ç r tË þ + ñ C1 , . . . , Cn [_ ½ C = C1 + · · · + Cn ¦    H ¼Qî ñ r  < ܖ ³‰½ à e. #l" Ck  & zk ü zk+1 ` ƒ  B㠼Рð&É º ” Œf ³+ Hh   ªQ s. Õ€  n n f (z ) dz = f (z ) dz = C k=1 Ck k=1 z [F (z )]zk+1 = F (zn+1 ) − F (z1 ). k f " (i) – Â' (ii)  $wô.  Ð Ò ínÇ / Œ eH Œ2 p” ~ ” —³ x‚ A ~Œ  (ii) ⇒ (iii). z1  z2  D ?\ Z#  {˜ 1d C 0\ Z# õ H  Q  ¦ e   H Œh  •  åh ¦   e h  ”H ”__ &s . C1 õ C2  r& z1 õ =& z2 ` ƒ “  C = C1 − C2  ë7 H 1”‚s . (ii)  $w ٖ \ –¤  xd  ín¼Ð ¦ ß፠p  (4.41) f (z ) dz = C1 f (z ) dz C2 j œ Ÿè hr 4  4™ & © ¤ ì 96 ¸ ¢ H f (z ) dz = 0 f (z ) dz + (4.42) −C2 C1 t  Ð þ º ” f – j à e. " C f (z ) dz = 0 s.   £î Af < ¼Ð  (iii) ⇒ (i). s¯` 7" l 0K"H (iii) ⇒ (ii) ü (ii) ⇒ (i) ܖ  ¦ x  ºQ £îô ¾# 7"Ç. (iii) ⇒ (ii) “ î > $wÇ. (ii)  íw ٖ 1d x    r É " ínô $n¼Ð p x” ‚ &ì“ 1d\ _” t ·Üٖ †Ã  rr x‚ r  hÉ p” > ú¼¼Ð <º § Ê z f (s) ds F (z ) = z0 ñ½  r”¦ – &_+ à e. s] F (z )  D ?\" f _ Â&&ìe` ˜s. z +∆z Ð É º ” j /f  Òñh Ð H  Ê H æ •r HÓ ª  D ?\ Ÿ†÷ Øìy “ z _ ½?_ &s ô(ÕË 4.7). Õ / í<& r ŒÉ  ~/ h  ª>  Ç a Q€   f (s) ds − z0 z +∆z z z +∆z F (z + ∆z ) − F (z ) = f (s) ds f (s) ds = z0 z s. #l" z ü z + ∆z \ fܖ ô –– ×(Õa 4.7). Õ  Œf < ¦ ”‚¼Ð ƒ âÐÐ ˜Ç ªË Ç þô >   ª  € Q z +∆z ds = ∆z z sÙ – ¼Ð f (z ) = 1 ∆z z +∆z f (z ) ds z – j à e. Õٖ Ð þ º  ªQ¼Ð ” t F ( z + ∆z ) − F ( z ) 1 − f (z ) = ∆z ∆z z +∆z z [f (s) − f (z )] ds  h f żРÒQ q  /f  ”Œ >  s. f  & z \" ƒ5sٖ Å#” ε > 0 \ @K" δ > 0 s rF #  |s − z | < δ s€ |f (s) − f (z )|ε.    f ß9 h " ë{ & z + ∆z  |∆z | < δ s ÷•2 z \ ìy Ā –   &¸Ÿ  Ø º ¤ ær F (z + ∆z ) − F (z ) 1 ε|∆z | = ε. − f (z ) < ∆z |∆z | ªQ¼Ð Õٖ F (z ) = f (z ). ñ  íÇ  Ô Ç§ ½” 4.11 &o 4.3 “ e__ †Ã f < ”__ ò%\" wô   r” É  <º ü e %if $nH ¯ Ê  ë ë œ   r  œ Ç   w “ m. ß _ ©s $w €  H• ¢ô íwôH > r É  –  H ín É ë©¸ ¸ $nǍ p  s. 2 X 1d 1”&ì j ] p”õ pdhr  x‚ x‚ 97  Ÿèf Ò h ñr × ™e 4.10 5†Ã f (z ) = z 2  4™¨€„^\" Â&&ì F (z ) = z 3 /3 q< ƒÅʺ H ¤   ¦  ¸ pd /f ¦ ¼Ð ` tٖ z = 0 \" z = 1 + i \ ƒ  —H 1”\ @K" f   H Ž x‚ 1+i z 2 dz = 0 z3 3 1+i 0 2 1 = (1 + i)3 = (−1 + i). 3 3 × ™e 4.11 ¶& ]ü 4™ €„^\" ƒ5 †Ã 1/z 2  %% ô ¤ î q Ê  ò é` "h¦ [email protected] Ÿè ¨‰f œ <º H i |z | > 0 \" Â&&ì −1/z \ ”. " ¶&` tt · z1  f Ò h ñr ¦  f "h¦  ú é Ò  §H   e pd‚ /f ƒ H  ' z2 t   ”__ 1”\ @K"  x z2 z1 dz 1 = z z z2 = z1 1 1 − z2 z1 (z1 = 0, z2 = 0). H ¶ ה ø§ é  9 ¤ £>  éh æ¦ Í£ “ ¶ :Zy C  "&s ds“ ìt2s 2  " z = 2eiθ (−π < θ < π ) { M : dz = 0. 2 Cz 1 r é Ê Ð fü úÉ "f †º  ‚hÉ p rr w ½” 4.12 ˜l 4.11 \"< °“ ¶\" <à f (z ) = z _ &ì“ q5 Ô Ç§  íÉ º \ =€ > >ß+ à .   log z _ e__ t F (z ) _ •†Ã 1/z O     ¸Êº < –½  ” 9¸  – ¦ {t• F (z )  t]é(branch cut) `  &_“ K• p Xß   ñ)¦ ¸ r a ì ß éß € 0 t ·.:y, ë9 "&\" r÷ Ó‚ θ = α  tXés x p ú £ –{ ¶hf Œ&H ~ §¤ • ½  – H½  ¶ H F (z )  Ó‚ " C  ëH &\" ”F t ·. ÕA" C   ~õ é –  ߍ hf > ú ªf r §H   i/ ~Œ” ú Ò hrÓO`  ½ º Z § F (z ) = 1/z “ %%?\ #et ·. Â&&~ ”X 6É Ã  ò ñì½Z¦ f x+  \ O. Õ &©ô t ‚þ € t?_ e__ ¿ & ± ‚&ì ªQ hœ \ ˜ / ” º h¦ e h  {Ç ¦ ×  ` H r “ Â&&Z 6½ à e. r r¦ xÉ É ÒñhìO`  + º ”  ™e 4.12 D = {z ∈ C : |z | > 0, −π < Arg z < π } { M <à 1/z _  ×  9 : †º Ê Ò &hìÉ ñrr Ò   f h Ð râ Ò  &“ log z _ Å t Log z s. " &ì– −2i Â' 2i   9 : ªË t { M(Õa 4.8)  > 2i −2i dz π π = [Log z ]2i2i = Log(2i) − Log(−2i) = (ln 2 + i ) − (ln 2 − i ) = πi. − z 2 2 × ™e 4.13  &r 6 # Ò&hì¦  Œ ñ` x √ z 1/2 = 2eiθ/2 (r > 0, 0 < θ < 2π ) (4.43) {: 9M  z 1/2 dz C1 ¦  ½ #. #l" C1 “ x » 0A\ #e z = −3 Â' z = 3 t ` ¨Œ Œf r ¤ ¤ Z ”H É ¡ Aၠ~Œ Ò    ƒ “ ª =&¦ ]üÇ e__ 1”s. ¦ œ åh [email protected] ” p‚ € Q` xd j œ Ÿè hr 4  4™ & © ¤ ì 98 I þ •q r¯ ÚT (i) q2 x&†Ã C1 0\" ›yƒ5{t•(", &° Ÿ hr<º ¤ ìÊ Af ¸ŒÅ9¸ f hìú 1/2 _ t (4.43) “ ~ θ = 0 (:y & z = 3) 0\" “ ”Fô), z rr Ç É > rÓ  É ½‚  ¤ £ h Af ñ& ú ªQ É  &_÷t ·. Õ  t §H r f1 (z ) = √ 2eiθ/2 (r > 0, − π 3π <θ< ) 2 2  Af ñ&¦ ƒÅ ¦ jü Ç A ¸H hf “ C1 0\" &_÷“ 5s. z = 3  ]@ô C1 0_ —Ž &\" r É q ` ¯r r Ê rÊ  f1 (z ) _ °“ x&ì <à (4.43) _ ° {uÇ. " x&ì<æ  úÉ h †º  úõ 9ô f h†º\ ¯  f1 (z ) – @^½ à e. ÕX f1 (z ) _ Â&&ì“ <à rr † É    ÒñhÉ Êº Ð /‰+ º ” ª< 2 2√ F1 (z ) = z 3/2 = r rei3θ/2 3 3 ( r > 0, − π 3π <θ< ) 2 2 sٖ ¼Ð 3 z 1/2 dz = −3 C1 √ √ f1 (z ) dz = [F1 (z )]3 3 = 2 3(ei0 − ei3π/2 ) = 2 3(1 + i). −  ¦ ª ƒ œ (ii) C2 “ x » AA\ #e z = −3 Â' z = 3 t  “ € r¤ É ¡ ၠ~Œ” ¤ Z H Ò =& ]ü e__ 1”‚{ M Q` åh¦ [email protected] ” p9 : xd Ç z 1/2 dz C2 “  °` ”. s Ä x&ì†Ã AA ì¨ ?\" t r r ¯¦  É É ú   ⺠hr<º á Íî€ /f  Ê H ¤ ø  < 9  (4.43) ü {u  t  H f2 (z ) = √ iθ/2 π 5π ( r > 0, < θ < 2e ) 2 2 ½  Ê Ü– @^+ à e. K$†Ã ¼Ð /‰É º ” 3<º 2√ 2 F2 (z ) = z 3/2 = r rei3θ/2 3 3 (r > 0, 5π π <θ< ) 2 2  Ò hì f ñr r É “ f2 (z ) _ Â&&s. " z 1/2 dz = C2 3 −3 √ √ f2 (z ) dz = [F2 (z )]3 3 = 2 3(ei3π − ei3π/2 ) = 2 3(−1 + i). −  ¦ Ë  —³ x ` É <º  (iii) (i) õ (ii) \ ½ € {˜ 1d‚ C2 − C1 ¦  †Ã (4.43)_  + Œ2 p”  rÊ &찓 r¯r húÉ √ √ √ 2 3(−1 + i) − 2 3(1 + i) = −4 3. ŽFØ Åø7g ì©Ã< 2 X 1d 1”&ì j ] p”õ pdhr  x‚ x‚ 99 1. Å#” <à f ü 1”‚ C \ @K" ‚&r ÒQ ʺ < p  /f hì xd  † f (z ) dz C – ¦ >í #. ` ߌ ¦  H (a) f (z ) = (z + 2)/2 s“ C  iθ (0 ≤ θ ≤ π ); Ͷ i. ì" z = 2e øé iii. " z = 2eiθ (0 ≤ θ ≤ 2π ); ¶ é ii. ø" z = 2eiθ (π ≤ θ ≤ 2π ); Íé ì¶ (b) f (z ) = z − 1 s“ C  6õ °s z = 0 Â' z = 2 t ƒ ¦  £ ú H§    Ò  { M a ) ñ9 : ø¶ º¡  r ´ ¤ ©  i. ì" z = 1 + eiθ (π ≤ θ ≤ 2π ); ii. zû œ_ ‚ì 0 ≤ x ≤ 2; Íé (c) f (z ) = π exp(π z ) s“ C  & 0, 1, 1 + i, i \ t&ܖ “ r   Gh¼Ð¦  ¦=  ¯ ¦ H h Í/~¾  Œþ  >[email protected]` t y+_ >s. ø ÓÓ¦ H •A â  p (d) f (z )  1d H x” f (z ) = 1 , 4y, y < 0, y>0 ܖ _÷# e“ C  /‚ y = x3   z = −1 − i Â' ¼Ð &&Q ”¦ ñ   G ¦  ` Ò H B  ñ z = 1 + i t_ s. ¦ H œ   î ” ¦ñh  ” (e) f (z ) = 1 s“ C  ¨€©_ e__ “&& z1 Â' e__ “ Ò  ¦ ñ& z2 t __ 1ds. &h  e p”‚ x  ”  (f) f (z )  "†Ã z −1+i _ t H 4<º  Ê z −1+i = exp[(−1 + i) log z ] (|z | > 0, 0 < arg z < 2π ) s“ C  €_ ~¾_ ß0" |z | = 1 s. ¦ H ª ½† –A¶   œ ÓÓ é é H ¨– + É 2. f (t)  ½ß [a, b] 0\" &_ 4™†Ã “ F (t) = f (t)  ½ ç Af ñ) Ÿè<º ¦ a¤ Ê M : b a f (t) dt = F (b) − F (a) ¦ ”` ˜#. e Ќ  Í ÓÓ é ¶ 3. m, n “ &Ãs“ C  r>ì@~†_ ß0"{ M &ì r É ñº¦ H ø/½¾ –Aé9 : h r z m z n dz ¯ C ¦ ¨Œ  ½ #. ` j œ Ÿè hì 4  4™ & © ¤ r 100 4. &r` >í t ·“ 6 Â1d` 7" #. ¦ – hì ß ú¦ £ Òp” £ Œ § x¦ xî § (a) C “ ] 1 €\ ~#eH z = 2 Â' z = 2i t "_ ô  r    ¶  Ò éÇ r É j ì ZŒ” Ò { : ª> r ì9 M(ÕË 4.9) a dz π ≤. z2 − 1 3 C (b) C  z = i Â' z = 1 t_ ì9 M Ò r  ‚{ : C √ dz ≤ 4 2. z4 Gh \ ú¦ ø/ ½Ó ŒŒ+9 : (c) C  =t& 0, 3i, −4  °“ r>ì@ ~¾_ yþ{ M  ¦ Í Ó† ™•A C (ez − z ) dz ≤ 60. ¯ (d) CR “ r>ì@~†_ ©ì¶ |z | = R (R > 2) s . r É ø/½Ó ø" Í Ó¾ œÍé   CR πR(2R2 + 1) 2z 2 − 1 dz ≤ . z 4 + 5z 2 + 4 (R2 − 1)(R2 − 4) (e) CR “ r>ì@~†_ ¶ |z | = R (R > 1) s . r É ø/Ó¾ "   Í ½Ó é CR Log z dz ≤ 2π z2 π + ln R R . (f) Cρ “ r>ì@~†_ " |z | = ρ (0 < ρ < 1) s “ f (z )  r É ø/½Ó ¶ Í Ó¾ é  ¦ H  −1/2 s z _ /f 3h¦ ñ –{ ¶ø "ó |z | ≤ 1 ?\" K$&s“ & . ë9 z éÍ  ß   r "_ :Z ts€ ρ ü Á›ô 6s  ©Ã M s ”F  ¤Ç 4 £>ô  < ºa £  œº 'Ç §   > Œ # √ z −1/2 f (z ) dz ≤ 2πM ρ. Cρ (g) CN “ f‚ r  É ” x=± N+ 1 2 π üy=± N+ < 1 2 π t rœ É ª   üQ ŒA â · Œf \ _K Ñ“ y+_ >\  . #l" N “ €_  •þ ¦ p ñº¦  ÓÓÉ ø/½¾ ½¾r Í ÓÓ &Ãs“ CN _ ~†“ r>ì@~†s. xd i. Â1” Òp | sin x| ≤ | sin z | ü | sinh y | ≤ | sin z | <   Œ Œ+ ºÒf ¦x •A ”r r ` 6 # yþ_ Ãf‚ìÂì\" | sin z | ≥ 1 s“ à ¦ º   r îҁfH ¨Âì\" | sin z | > sinh(π/2) e` ˜#. " N \  ”¦ Ќ f Á›ô €Ã A  >F # 1d‚ CN 0\ #” — º' ªº rŒ p” x A ZŒ ¸H ~ eH Ž aÇ œ ”  h  / & z \ @K | sin z | ≥ A e` ˜#.  ”¦ Ќ 3 X CAUCHY-GOURSAT ño j]  &  101 ii. (i) \ 6 # ¦  Œ x CN dz 16 . ≤ z 2 sin z (2N + 1)πA < 5. C ü C0 “ yy ¶ z = Reiθ (0 ≤ θ2π ) ü z = z0 + Reiθ (0 ≤ θ ≤ 2π ) r •• é É ŒŒ " <   Qô hº ð&¦  Œ s . sÇ B>Ã ³‰` 6 # f  C 0\" ›y&  Af ¸Œh •  ³ x Å<º qÊ ƒ5†Ãs€  f (z ) dz = C0 C f (z − z0 ) dz e¦   Ð Œ ”` ˜#. ‰ V3â Cauchy-Goursat ah  Ç f Å<º qÊ %i f Òñh` 9 : / - r¦  a ñ &o 4.3 \" ƒ5†Ã f  % D \" Â&&ì | M D ?\ ¢„ ò y # __ Å#” {˜1d C ¦  &ì  ~ŒeH e ÒQ Œ³p”‚ \ É hr  —2x  r ‚ Z ” ” (4.44) f (z ) dz = 0 C  3+ ¯  Xf éH Œ˜p” A ‚hr ì ”` l%½ s. s ]\" ßí {³1d‚ C 0_ &s (4.44) e¦ É  H – —2x ` ë7  †Ã_  ›|` ¹Ü ô. ¢ô  +I_ ò%\" r ¦ Ô  Ç rA %  –áH <º É ¸  1¼9 Ç ¸ É þ if ¦ ߤ  Ê &r\ ›ô ?6• ¢ r.  aÇ x ‚hì ' / ¸ ¸Ç ê ô C H ør>~¾(€_ ~¾) ov éí {˜1‚ z = z (t) (a ≤ ì ÓÓ ª Ó † ¦  –H —2x”  ͽ† œ ½Ó ` H ß Œ³pd t ≤ b) s “ f  C 0ü ?Â_ —Ž &\" K$&s  . &  ¦  A< /Ò ¸ hf 3h & ñ H H  ñ  _ 4.5 \ _ #  Œ b (4.45) f (z ) dz = C f [z (t)]z (t) dt a ¦ ß9 s“ ë{ f (z ) = u(x, y ) + iv (x, y ) s“ z (t) = x(t) + iy (t) s€ (4.45) _ – ¦    šA x&Êà ¸Éá h솺 r¤ r< f [z (t)]z (t) = u(x(t), y (t))x (t) − v (x(t), y (t))y (t) +i(u(x(t), y (t))y (t) + v (x(t), y (t))x (t)) H ´  º  ' Ÿèʺ¼Ð &  zÃ t \ ›ô 4™†Ãsٖ ñ_ 4.2 \ 6  aÇ ¤ <   € ¦ x b (4.46) f (z ) dz = C a b (ux − vy ) dt + i (vx + uy ) dt a j œ Ÿè hì 4  4™ & © ¤ r 102 s. ¿ >_ Ã\ 6 # z<Ã[_ &ܖ  ?€  º h zº  Œ †ºþ ‚hì¼Ð / ´Ê t r ´ ¦ x  (4.47) f (z ) dz = C C u dx − v dy + i v dx + u dy. C  d (4.47) “ +d&“ >–Ü– f (z ) @’ u + iv , dz @’ dx + idy – /  ” r A ß É þ”h í¼Ð /  Ð L   ` Ç r É – —2xd‚ ˓ ` „> € % à . ¢ (4.47) “ C  ßH {³1” ¨¦ Y¦ h 3¦ º e ¸ô ” éí Œ˜p s  e__ 1‚s“ f [z (t)]  C 0\" ›y5{ M• $wô.    pd¦ Af ¸ŒƒÅ9 :¸ n •q ” x” íÇ r É â  ø/~¾¼Ð Í ÓÓ  Çh 4.4 (Green Çh) R ⊂ R2 “ > C = ∂R  r> [email protected] a a  ¸Œh ¼Qr B¦  îœ i  ªË ›y& Bã /‚` ” ¨©_ %%s (Õa 4.10). –{ • î G  € ò ß > ë9 q  xÇ Ê  P, Q : R → R s ƒ5&ܖ pì0 <Ãs  Åh¼Ð r pô †º€ (4.48) P dx + Q dy = C R (Qx − Py ) dA. Ê Af Å f ʺ f  R 0\" K$ †Ãsٖ R 0\" ƒ5s. " z<à u Af 3 <º¼Ð q ´† <  ¸ô Af Å ë9  ¸†º ü v  ¢ R 0\" ƒ5s. ß{ f _ •<à f  R 0\" 5s – Af ƒÅ q HÇ q Ê  u ü v  R 0\" ƒ5&ܖ pr0s. Տ o\ 6 € € <  Af Åh¼Ð ì p ª;&¦   x 2ñ  x   H q f (z ) dz = (4.49) C R (−vx − uy ) dA + i R (ux − vy ) dA ` %` à . f  K$ÊÃsٖ Cauchy-Riemann ~&d ¦ 3 º e 3†º¼Ð  ¦ ” < ½ ” Óñ ux = vy , uy = −vx  ë7ô. " (4.49) _ šA x&r†Ã R „^\" 0 s. Õ ` ßá f  ¸Éá hì<º ‰f  ª r¤ Ê H  ¦ –¤Ç §  ¦ H Q¼Ð £  3 ٖ 6 õ\ %. a Çh 4.5 (Cauchy) f  % R \" K$†Ãs“ f  R \" 5s  < q % f ƒÅ òi f 3ʺ¦ €   (4.50) f (z ) dz = 0 C r¯ hú   ½ÓÉ º –9  Ó¾r ë Ô Ç§ ½” 4.13 &ì°s 0 s€ C _ ~†“ Á_p . ß{ C  r>½¾ ~Ó Ó† s€   C f (z ) dz = − f (z ) dz −C ¼Ð sٖ (4.50) “ ¢ $nô. r Ç íÇ É ¸ô w Cauchy ño\" f _ 5“ Ԁ¯ô  s. s ñ“ Goursat &f  ƒÅÉ 9¹ &  É qr ¦ Ç ñ &r   j&3 \ _K ]÷%.  3 X CAUCHY-GOURSAT ño j]  &  103  a Çh 4.6 (Cauchy-Goursat) C  é {˜1s . f  C 0 –í —³x” ßH Œ2pd‚  A ü /ҁf 3h  € < ?Â\" K$&s f (z ) dz = 0. C ¤Ç L HÇ –H —³x‚  £> å O ßí Œ2p”   ø/½† / :Zô ƒ/s \ô é {˜1d C H r> ì@~Ó`  ?l Í Ó¾¦ – . R “ C _ 0< ?Â&ܖ sÀ#” ò%s . R ¦ x » Ð  ¤ r É  Aü /Òh¼Ð ÒQ i    % ` ¡õ y »õ ê > °“ çܖ è. sO>K" %“ Âr %% çé ø r –  r  ¦ –ß ¤ ¡ Í úÉ ß¼Ð H Xf 3É Òì òi` ߖ  Ðf –  ÇC  ŒþÉ ¦ í<Œ /Ò h ú ß9 y ´Ìs . y+“ > Ÿ† # ?Â_ &` ´ô. ë{ •Ar â \ Ê ¦ ˜Ç  §r  † € :ô y+s R \ et ·“ &` Ÿ<ô s &[` ] “  ¤>Ç •þ £Z ŒA  ” úÉ h¦ íÊÇ  hþ j¦  t¦ Qt É&´Ìs ô. %% R “ Äô>_ yþõ Âìy+[ \  Ðf Ç  r Ç •A ¦ ÙPÇC  òi É »h Œ+ ÒŒþþ r •At Ð =³ – W˜. 2  ™œÇh 4.1 f  {˜ò% R „^\" K$&s . ”__ €Ã ε ׿ a —³% Œ2 i ‰f 3h   ªº  e œ r •A  /f %i É »ôh Œ+ ÒìŒþ \ @K" ò% R “ Ä>_ yþõ Ây+ σ1 , · · · , σn \ _ #  r Ç •A  Œ =¦ Œ • /f Òp” Wy“ y σj ?\ “ & zj  ”F # —Ž z ∈ σj \@K" Â1d  / ¦&h ñ r >Œ ¸ H x (4.51) f (z ) − f (zj ) − f (zj ) < ε z − zj (z = zj )  ëá) s –7. ߤa  Òpd  x / ¸ É h  /f w $ ”ã 1. €$ Â1” (4.51) s σj ?_ —Ž  & z \ @K" ín «Ë Ö_  H r §H •A H r •A  >+ p  r É xí h r ú Œþ¸ Òì Œ+ ”  & zj  >F t · y+¢  yþ σj s ”F½ 0$\ H @K Òy . / qŒ t• –  Œþ  prŒ h ŒÉ ŒA ßH •A  Ǧ xì ß9 ë{ σj s y+s€ ô` 2 1 # 4 >_ “ y+` ë •r •þ¦ –Ž ì •A  A •r •A . ë{ σj s Ây+s€ +õ °s “ y+ܖ ¾“ R  ß9 –  ÒrŒþ  þ ú ŒÉ Œþ¼Ð º¦ Ç •r Aæ úҁ ZŒ ÒÉ j ë{ Q ŒÉ  þ Q¼ ¾Âì\ ~#” Âì“ ]ô. ß9 sô “ +× #Ö r  eH rr Ç – •A Ž r x  ín h   Œþ/ ¸H É h  /f Òp”  s y+?_ —  & z \ @K" Â1d (4.51) s $w  &  H  zj  ”F t ·Ü s þ 7 [ì` >5. sÇ &s r ú¼   A¦ á8 jr ÅÇ Qô õñ  > §€ +` § ¦ qô Ç ͤ y  %%\ @K ¯½Ç @– —¿ -«÷% M Äô ì4Ê R “ • r  Œ Òì òi / ¹¨ô /Ð ¸º aÑ&3¦ : » øŸê É  ¢ ` r  H Ç •A  ˜› o ín  Äô>_ y+õ Ây+[– = à e. и& $w »h Œþ ÒrŒAþÐ Wn º ” ñ ì •þt = 2. ¶A_ Âì ò%[æ \ Ä r½ Ê 9¯ô &[ zj  r é " Ò %iþ×  »Ç ì+ô ê €¹ hþ r t ¦ ô ÉÇ  Ç t > ”  ú¦ ¸í ɦ ñ F t ·“ —\ s“ & . H § r ß9 ªQÇ Òròi Œ+€ ª i¦ ô   •A  ò ¼Ð /¦ Ò ë{ Õ Âì%%s yþs Õ %%\ σ0 ܖ  ?“ Âì – r y+s€ s Âìyþ_ ^ y+¦ σ0 ܖ  ?. σ0 ` r Œþ  ÒrŒA „‰ Œþ` •A  •A ¼Ð /  •+    ¦ rÉÇ •r •þ× ¤ H ¦ < ì½ô Ê\ 4 >_ “ y+ 7#•  R _ &` Ÿ† tß & + ê h ŒÉ ŒAæ áQ¸   h íÊë h –  ¦ rÉ  콦  {ô zj  O ¦ σ1 – ³r (Õa 4.11). r σ1 ` + “ s  ` \H ¯ Ð ð ªË > © œÇ   ͟ Œ+ õ&` ì4 . yþ σk−1 (k = 1, 2, · · · )  r+ô Ê\ sܖ ë[ •A ¦ ìÉÇ ê  ¼Ð ßþ ¯ ñ¦ ø ¤ ` ½ –t •þ× ©r ˜c Q” h Œ+æ  œÉ þ| º  £Ç þ A # 4 >_ yA  s“ ‚ר à ”. :>ô ‚×` l0  e ¤Z ˜¦ j œ Ÿè hì 4  4™ & © ¤ r 104 K σk   AA ¢A\"  € A_ ¯` ×ô. s ~d  \œ ©  ¤ ¦ ˜Ç ô Ӕ ¦ © áõ ,áf œ  á  þ QÇ ½ ¤ a¤ ¼Ð þ ŒA ¡ º 9+P ܖ ×ô y+ » Áô |½\ ˜Ç •þH ¤ Ç Ë (4.52) σ0 , σ1 , σ2 , . . . , σk−1 , σk , . . .  Ò ¼Ð Œ ¦  BŸ h Nx  ” ¸ Q ŒAþ Ç •þt ` sÀٖ y σk \ /:“ & z0  rFô. ¢ô sô y+[_ • >Ç Ç < É  hþ¦ íÊ 9+P ŒAþ ¼ t` †Ç Ë yy“ 0ô z0 ü  R _ &[ Ÿ<ô. |½\_ yþ[_ ß ••r x ŒŒÉ pÇ r •+t Ó H Œ+ /Œ   •þ • ´  e H½ ”  Œè¦ lH y™ “ z0 _ __ δ -~ |z − z0 | < δ  yA_ @y‚_ U ™ Ð Œ¦ : ªQô Œþ` íÊ ªË > ªQ¼Ð ¸ H  s δ ˜ ` M Õ y+¦ Ÿ†ô(Õa 4.12). Õٖ —Ž • Ç •A <Ç δ -H~ |z − z0 | < δ “ z0 ü  R _ &[` Ÿ<ô. " zo  R _ r É < É  hþ í† f t¦ ÊÇ H ½ Ó r  |&&s.  9hh <º ‰f 3¼Ð f 3¦ f   r †Ã f  R „^\" K$sٖ z0 \" K$s“ " f (z0 ) s > Ê  ”  ¸<º Œ Œ Fô. •†Ã_ ñ_\_ # y ε > 0 \ @K" δ -½ |z − z0 | < δ s HÓ Ç Ê & •  /f ~  < É ¸ h /f >Œ H~/ ”F # ½?_ z0 ü  —Ž &\ @K" r Ó r H f (z ) − f (z0 ) − f (z0 ) < ε z − z0 (z = z0 ) s $wô. yþ σK _ @y‚_ Us δ ˜ •2 K  Øy 9  ín ŒA Ç •+  /Œ  Ð Œ¸Ÿ •¤ • ´  ì þ ær t ¦ í<ô f H •+  ŒA M δ -~ |z − z0 | < δ “ y+ σK  Ÿ†. " z0  yþ σK : ½ HÓ r •A É Œþ ` ÊÇ ¢ σK _ Âìܖ sÀ#” Â%%\ @K Â1d (4.51) ?_ zj ü ¸ H  ҼРÒQ Òìòi / Òp” r x  r  / < ¯r ËP¦ ß ½ r ¸¦ Ç úÉ i`  ª<  É 9+` ëH ~O ¸í °“ %Ö ô. ÕX s“ |½\ –Ž ÓZ\ —s.  H ”ã (Cauchy-Goursat) Å#” ”__ €Ã ε \ @K" ˜›&o 4.1 «Ë Ö_ e ÒQ  ªº  /f иñ œ  e  =h\ tŒ : Œ+ ÒŒþAf £ \ ” R _ W> qy . j P yAs Âìy+0\" 6  ¦ ҕ  •þ § H r •A Ê <º †Ã f (z )−f (zj ) − f (zj ) z = zj , z −z j (4.53) δj (z ) = 0 z=z j #l" zj s Â1d (4.51) s $w  j P yAs Âìy+?_ Œf  Òp x”  ínH : Œ+ ÒŒþ/    •þ r •A  &&H òi/ ¸H h f ¦ñh “&&s. (4.51) \ _ # δj (z )s ñ_÷ %%?_ —Ž & z \"   Œ    (4.54) |δj (z )| < ε. ¢ô f (z )  Âò%\" ƒ5s“ ¸ Ç H ì%  Òr if Ŧ q lim δj (z ) = f (zj ) − f (zj ) = 0 z → zj ƒq § sٖ δj (z ) “ Â%%„^\" 5s. 6ܖ Cj (j = 1, . . . , n) ¼Ð r ì  É Òròi‰f Å £¼Ð r É “ R  WH 0_ y+õ ÂìyA[_ œ½¾_ >  ?. •A r •þt ª~† ¦ ¦  A Œþ ÒŒ+þ €ÓÓ â\ / ` =   Œ e £>Ç &  ¤ô A hf  úÉ ¯r (4.53)_ ñ_\ _ # ”__ :Z Cj 0_ &\" f _ °“  f (z ) = f (zj ) − zj f (zj ) + f (zj )z + (z − zj )δj (z ) 3 X CAUCHY-GOURSAT ño j]  &  105   ܖ j à e. 0 d_ €` Cj \" ‚&` 2 € ¼Ð þ º ” A  œ¦ t ” ª f hr [ ì¦ (4.55) Cj f (z ) dz = [f (zj ) − zj f (zj )] + Cj dz + f (zj ) Cj z dz Cj (z − zj )δj (z ) dz. Õ †Ã 1  z  Äô î?\_ —Ž /\"  &ì` tٖ ªQ ʺ õ  » €/ ¸ Bf Ò&h ¼Ð < H Ç ¨ HM ñr¦ dz = Cj z dz = 0. Cj f " (4.55)  H  (4.56) f (z ) dz = Cj Cj (z − zj )δj (z ) dz ( j = 1 , 2 , . . . , n) ¼Ð ¡è) ” ܖ »™. d (4.55) _ ,A\ e — n >_ &r[_ ½“ "–   aၠ” ¸H h hìþ +É fÐ ¤a ¢¤ H Ž t Ër H œ Nx  Ç Ò iþ ¸Ž © BŸ \  º hrÉ  òi  sÖ Âì%%[_ — Š_ /: â>¦  ¿ &ì“ ô %%_ ‚ ©ô ròt r Ç   ì f Ç áÓÓ hì É áf Í/~Ó hì¼Ð fÐ ` "  A½¾_ &õ  A\" [email protected]_ &rܖ "– r¦ ô ¤~† r r¤ H ø ½†  œW&¼Ð ÷ٖ © n f (z ) dz = j =1 f (z ) dz C Cj ‚rtß ™H ܖ j à ”(ÕË 4.13). šf C 0_ &[ë z. Õٖ ¼Ð þ º  ªa t e > ¸ ” A hìþ– Œ ªQ¼Ð (4.56) õ 0 d\ _ #  A ” Œ  n f (z ) dz = C j =1 Cj (z − zj )δj (z ) dz Cj (z − zj )δj (z ) dz . ¦ f s“, " n (4.57) f (z ) dz = C j =1 s] (4.57) _ šA\ eH &ì_ ©> ½ . y Cj  yA_  j  Œ+ â H •þ  ¸Éၠ” h ¦ ¨ Œ r¤  r œ \ • ¦ ŒA ǁ   Ò ¸ Òh¼Ð 9 º º >\ ” „ ¢H Âì&ܖ {uô. ¿ Ä, sj  yþ_ ô_ \ •+  ¦   r Ç â  r  ¸º  ŒA/  Us“ . j -P &\" Ã z < & zj  —¿ s y+?\ Z ´ ¦  : hìf º ü h  •þ ~ Œ¼¼Ð #eÜٖ ” √ |z − zj | ≤ 2sj . Òp” Â1d (4.54) \_K" Â1” (4.57)_ šA\ e y x&ì<à › x f Òp xd  ¸Éၠ”H Œ h†ºH ¸ r¤  • rÊ   | √ (4.58) |(z − zj )δj (z )| < 2sj ε j œ Ÿè hì 4  4™ & © ¤ r 106  ßá ` ë7ô. Cj  yþ_ >{ M –_ UsH 4sj s“ y+_ •+  ¦ –¤Ç ŒA â9 : âÐ  ´ ¦ Œþ •A Vs\ Aj  €  ,¦    (4.59) Cj (z − zj )δj (z ) dz < √ √ 2sj ε4sj = 4 2Aj ε.   ú Œ ß9 Cj  Âì y+_ â>s€ s Us 4sj + Lj ` t ·H. # –{ ¦ Å § ë H r •A  Ò Œþ     ´H l" Lj  C _  Âr“ Cj _ Õ Âì_ Uss. r Aj ¦ Cj  Ÿ f H  ª Ò   ¦ \í   Ç Òì ô  r´  \ Ê H •A < Œþ‰ ¦  †  y+„^_ ,s“  € V (4.60) Cj (z − zj )δj (z ) dz < √ √ √ 2sj ε(4sj + Lj ) < 4 2Aj ε + 2SLj ε. #l" S  R ` WX 6 "A_ y[ r ë m 1”‚ „^ Œf   =<  ) ¶ Œþ ÷ ß  p ‰ xa é H ¦ H •t  – xd  C  э #‹ yA_ _ Uss. Aj „^_ ½“ S 2 ¦  ¦ üQ Q" Œ+ Ç   ‰ +É Å \t H  •þ ô ´ Ër `  ú£ Ò t ·6\ Å_ . §§ – ` ë{ L  C _ Us“  Â1d (4.57), (4.59), (4.60) ܖ Â' ´ ¼Ð Ò ß9 ¦  ¦  Òp” € x √ √ f (z ) dz < (4 2S 2 + 2SL)ε. C r É e ªº¼Ð A Òp” ¸ÉáÉ ¶H –p Œ+ º ” œ r¤r é  ßu • É  ε “ ”__ €Ãsٖ 0 Â1d_ šA“ "  ë >½ à e x .   ò  < tFtH ßí {˜1d‚Ü– Ñ“ %\" K$&“ †Ã_ K –H Œ³p¼Ð üQ %if 3h ʺ  é —2x” t ¦ x  h ú ”` £îi jH Ð œ òi¼Ð ‚&ì_ °s 0 e 7" %. s] ˜ ªô %%ܖ Cauchyr ¯  €Ç  ¦ X¸Ÿ  ¤Ç Goursat &o\ S© •2 ô. ñ  ‰œ Ç+ 5KorÆ] > Z  a˜ 4.7 í'¥Ú…(simply connected domain) D  %% D ?_ H   òi / ¸H éíŒ2p /f ƒÅh¼Ð ô h¼Ð –¡| º ”H ò —Ž –H{˜1”‚s D ?\" 5&ܖ Ç &ܖ ß»¨ à e %  é¤c   ß—³xd q –  %s. éH%%s  %%¦  ¥ÚZ…(multiply connected  i ßíƒòi  òi` äor   »> Æ Ç  ô domain) s . ™e 4.14 ßH{˜1”ܖ Ñ“ ò%“ éHò%s. Õ × é—2x t –팳pd‚¼Ð üQ %iÉ ßíƒ%i ªQ  r –  ¶  é¨r –H   ºh é¼Ð üQ ¶ŠÉ ßòi   ¿>_ "ܖ Ñ“ "8“ éíƒ%%s m. t ñ H ßHò Cauchy-Goursat &o – %ܖ S©½ à e.  éíƒ%i¼Ð X+ º ” ‰œÉ  –H%   a ß9 <º – † é i ‰f 3h€ / ~ Z Çh 4.7 ë{ Êà f  ßíƒò% D „^\" K$&s D ?\    H Ž —2x”‚ #e — {³1 C \ @K" Œ” ¸H Œ˜pd  /f f (z ) dz = 0. C 3 X CAUCHY-GOURSAT ño j]  &  107 –H —2x‚  ß Œ˜p” ñ Œ œ © ”ã ë{ C  éí {³1ds€ Cauchy-Goursat &o\ _ # { «Ë – Ö_ ß9  – > »  ß{ ƒ . ë9 C  Äô ë {³ 1d“ Ä(Õa 4.14) C  Ä » ߍ Œ˜ p”‚ ⺠ªË ǁ – H —2 x H h éí Œ³p”‚þ ½¼Ð ð&+ º e ŒŒ éHŒ2p” Ç ³É  •• –í—³x ô>_ –H {˜1d[_ Ëܖ ³‰½ à ”. yy_ ß{˜1d ß —2xt +   ‚\ Cauchy-Goursat &o\ &6 € C \ @K "  õ\ 7"+ à  h   / éH ¦ £ É º ñ ¦ x  ¶    xî½ e. ë9 {³1ds Áô ëè ēX ˜ [ô 7"“ s Õ  ˜ ” –{ Œ˜p”‚ º ߖ âº< Ð jÇ £ É  þ ß —2x Ç –ß   xîr 2 ¦ H  ºr  _ Ãï` ō. ŸÇh 4.2 –%% D ^\" K$& †Ã f H D ?\"  a ¸ „  Ê ‰f 3h“ <º  ßH  éíƒòi  /f Ò &`  ñ&r¦ ”. hì  «_ Öã ”Ë ñ &o 4.3 õ ño 4.7 \_K ín.  &  $wÇ ô  ½” 4.14 ë{ f  –íƒò%\" K$&s m€ Cauchy-Goursat Ô Ç§ – ß9 ßH  é%if 3h   H  § ñ $n úH &o íw t ·. × ™e 4.15 Êà 1/z − a “ z = a ¦ ]@ — &\" K$&s. Õ  ` jüô ¸Ž hf 3h ªQ Ç H  <º † r É   z = a ¦ dܖ  __ " C \"  ה¼Ð H e ¶ f ” é \ æ C 1 dz = 2πi. z−a IT ¶ C  B>Ã–  ?€ z − a = reiθ , 0 < r < ∞, 0 ≤ θ ≤ 2π þ " \ hºÐ / é¦  Ú  t  Ð þ º ” f ñ – j à e. " &_ 4.5 \ _ #  Œ C 1 dz = z−a 2π 0 1 iθ ie dθ reiθ 2π =i dθ = 2πi 0 0_ ˜l 4.5 \" C : |z | = r, A Ð f (4.61) C 0<r<∞{M  9: 1 dz = 2πi. z Çîr – »ô¨É ßHƒ¼Ð ‡ÁÁM ¥ ÙÇ\P£  V\ Ä €“ éísٖ ¦ÊÐ >V Ɇ&· ë. \ >þ  U a > ¦ z 1“  Â&&ì . xr  `  [# ½†Ã, sin z , cos z , e pÉ ƒj Òñhr¦ ” t þQ Ó<º †Ê Cauchy-Goursat ño %%\"• &6½ à ”. H æòif¸ h + º e &  ׃  xÉ   a Çh 4.8 1‚ C < Ck  x” pd ü H  2 s¯\ @ô [ô 7"“ Markushevich[5]_ Õ 1  63 X - 65 X` ˜.  /Ç ©j £îÉ  œ Ç x r ˜¶   Ц þ Ý j œ Ÿè hì 4  4™ & © ¤ r 108 (i) C H ør> ~Ó_ ß {˜1d‚s. ì  Í ½† éH Œ2p Ó¾ –í —³x” (ii) Ck (k = 1, 2, . . . , n) H C _ ?Â\ eÜ9 "– –t · r>~   ë §H Ó   /ҁ ”¼ fÐ ß ú ½ ¾ ßH —³x” Ó_ éí {˜1ds. † – Œ2p‚ ` ëáǦ ñ ß9 ʺ  –¤ – † ¦ ß7ô“ & . ë{ <à f  Ck , k = 1, 2, . . . , n _ ?Â\ ]  /Ò¦ j   @Ç A< /҄‰f 3<º üô C 0ü ?Â^\" K$ÊÃs  € † n (4.62) f (z ) dz = 0. f (z ) dz + C k=1 Ck ” (4.61) \" &ì_ y –_ Ó¾“ {˜ %%_ ?Â Õ â–_  d f h Œ Ð ~ÓÉ Œ³ òi /Ò ª Ð r • â ½†r —2   àX\ Z#e6\ Å_ . s ~¾` ט '/s“ Ç. S®  § Ö´ ~Œ”£ Ò QÇ ½† )+ ג¦ ô ô ÓÓ¦ ’ ‘× ”_ ¾ 1‚ C \" ? 1d‚ C1 `   =õ =  «ã ÖË ú pd f /Ò p” x” x ¦  H Q Q`   ƒ å å¦ ƒ  r   ¦  H »ô h ¼Ð ÒQ † Ц  ÄÇ >_ ‚ìܖ sÀ#” Ó â–\ L1 s . C1 õ C2 \ ƒ  ½   Ç Ó   † –\ L2  ô. sô ~dܖ >5 € Cn+1 õ C \   Q ½”¼Ð Å Ç q   H Ó ¦  ½ âÐ  ¦   Ó  H ½ âЦ ƒ  † –\ Ln+1  . ÕË 4.15 < °s Aܖ ov   ª> a ü ú ôá¼Ð  Ǥ H   þ Ç ŒŒÉ  ••r ½¾`  ¸ º h ߌ2p ~†¦  • ¿ >_ éí{˜1”‚ Γ1 õ Γ2 \ +$ô. yy“  H ¦ Aí ÓÓ –H—³xd ÓG ½B   †/‚ Lk ¢ −Lk ü C x Ck _ 9– sÀ#” ?Â_ &s ¢A\ ¸H  < 9  {ÒÐ ÒQ /Ò h ,ၠ a¤ ”•2 ӆ ×ô 1d‚s. #_œ 1d‚ Γ1 õ Γ2 \ e ¤ ½Ó` þÇ x  © x” ¦  ¸Ÿ ~¾¦ ˜ p” ¼ p  Γ1 = U +L1 +U1 +· · ·+Un +Ln+1 , ¼Ð ܖ † Ó_ ¾  H  f \" Γ2 = D +(−L1 )+D1 +· · ·+Dn +(−Ln+1 ) / Œf ü  ?. #l" U < D  C = U + D ¦ ë7  yy ør>½ H   ߤ  •• Í \ –áH ŒŒ ìÓ ~ C _ 0Aõ AA 1ds“, Uk < Dk  Ck = Uk + Dk \ ë7  Aá á p”‚¦ ¤ ü H ¤ x   –á ¦ ߤ ¤ x” õ A ~¾  Aá á pd j ¤ •• ŒŒ ÓÓ yy r>½†_ Ck _ 0Aõ AA 1‚s. s] Γ1  Γ2 0 f \ Cauchy-Goursat &o\ &6 € ¦ x   ñ h  f (z ) dz = 0= Γ1 f (z ) dz + U + ··· + 0= f (z ) dz f (z ) dz + f (z ) dz, Ln+1 f (z ) dz f (z ) dz + − L1 D + ··· + U1 Un f (z ) dz + f (z ) dz = Γ2 f (z ) dz + L1 D1 f (z ) dz + Dn f (z ) dz. −Ln+1 0_ ¿ ”` ½ € y k \ @K" Lk f (z ) dz + −Lk f (z ) dz = 0, Uk f (z ) dz + A º d + Œ  /f ¦ Ë  • ¦ ¼Ð Dk f (z ) dz = Ck f (z ) dz s“ U f (z ) dz + D f (z ) dz = C f (z ) dz sٖ n f (z ) dz + C )   s a. f (z ) dz = 0 k=1 Ck 3 X CAUCHY-GOURSAT ño j]  &  109 ŸÇh 4.3 (¿—£fxh) C1 õ C2  œ_ ~Ó_ –í{˜ 1”  ¸a  >ÌS R×oCj  H € ӆ éH—2 xd‚  ª ½¾ ߌ³ p    s . C2 H C1 _ ?Â\ ”(Õa 4.16). ë{ †Ã f  sô 1   /ҁ e ªË  > ß9 <º Q p – Ê Çx dõ Õ s_ &[– sÀ# {³ ò%?\" K$&s  t   ”‚ ª  hþÐ ÒQ” Œ˜ i/f 3h€  —2 % f (z ) dz. f (z ) dz = (4.63) C1 C2 §& 3h òi/f   2ño 4.3 “ f  K$&“ %%?\" C1 s 5&ܖ C2 –  £  r É  Åh¼Ð Ð  ƒq Ac º ” : þ¨ +| à e` M C1 0_ &r°s  t ·6¦ ˜#œ e. 6 ˜ ¦ A ‚hìú  ú£` ЌҦ ” £ Ð  § ¯  §§  ¯ £  ¯ l s` 66ô s. H ¦ xxÇ × ™e 4.16 C  "& Å0\ ª_ ~¾Ü–   ßí {³ 1ds H éh ÒA¦ œ ½†¼Ð r„ – Œ˜ p  ¶  H éH —2 x”‚  € ÓÓ r  . s M &ì    : ‚h 1 dz Cz  ¦ ¨Œ ` ½ #. I þT C _ ßA\ ¶&` ×dܖ “ øs y “ €_ ~¾ Ú  –ၠ"h 攼Р¦ ìâ Øì ŒÉ ª ½† î¤ é¦  Í ær •r œ ÓÓ _ ¶ C0  V à e(Õ> 4.17). Õ z  "&` ]@Ç —Ž % " ` ,` º  ªa Ë ªQ€ 1  ¶h jüô ¸ ò  H é¦  H é ¦ ¦ ”  if 3<º¼Ð < %\" K$†Ãsٖ C ü C0 – Ñ# ò%_ ?Â\" K$&s. Ð üQ“ %i /ҁf 3h    Ê t §&  Œ 2ño 4.3 \ _ # £  C 1 dz = z C0 1 dz. z  ª< ÕX (4.61) \_ # Œ C0 1 dz = 2πi z H r¯r ¼Ð ¨ húÉ sٖ ½  &찓 2πi s.  s\" 6) " C0  C \ ¢y Ÿ†½ à e "s• ° ¦ ہf  a ¶ H ¦ a   -„ í<+ º ” H ¶¸ ú x é ÊÉ H  é “ õ %H. r  ¦  É \ 3 ÅFÃg ì©7 ŽøØ< 1. & z1 Â' z2 t  —Ž 1d C \ @K" Â&&ì 6  h  ƒ) ¸ p”  /f Òñh¦  a H x‚ r` x Ò # Œ 1 n z n dz = (z n+1 − z1 +1 ) (n = 0, 1, 2, . . .). n+1 2 C ”¦ e ˜#. ` Ќ Ò&hì` Ô £ hr¦ ¨Œ – ÐH hr œ åh` § ì` 2. Âñ& ¹ 6 & ½ #. é â– &_ ª =& r¦ 1 ß  ì € Q¦ e __ 1”s.  ” ±H e pd‚ x (a) i/2 πz e i dz (b) π +2i cos 0 z 2 dz j œ Ÿè hì 4  4™ & © ¤ r 110 (c) 3 1 (z − 2)3 dz § ”   `  úH  Œ˜ pd‚{ : —2 x 3. C0 s & z0 ¦ tt · e__ {³ 1”9 M h C0 (z − z0 )n−1 dz = 0 (n = ±1, ±2, . . .) ` ¦ Ќ  ˜# . 4. C “ €Ó¾\ 'ô " |z | = 1 { M Cauchy-Goursat o\ &6 9:  ñ  x r œ½Ó ›Ç ¶ É ª~† a é &¦ h  §< 9 6 †Ã £ ʺ (b) f (z ) = (c) f (z ) = (d) f (z ) = sech z z3 z −3 ze−z 1 z 2 +2z +2 (a) f (z ) = (e) f (z ) = tan z (f) f (z ) = Log(z + 2)  / \ @ô Ç f (z ) dz = 0 C ¦ x  £îŒ ` 7" #.  Ç ‚ 5. C1 s €_ ½¾ " |z | = 4 `  ?“ C2 H ôs f x = ±1, y =  ª ~Ó é œ ӆ ¶  /¦   ” ¦ > §Ê ±1 \ ~# e €_ ½¾_ yþs (Õa 4.18). 6 <à  ZŒ ” ª ÓÓ ŒA  ªË  H œ ~† •+ £ †º (a) f (z ) = (c) f (z ) = 1 3z 2 +1 z (1−ez ) (b) f (z ) = z +2 sin(z/2) \ @K  / f (z ) dz = C1 f (z ) dz C2 í   w » O Œ s $n H sÄ\ [" #. ¦ î  / €  € ½Ó ¶ ¦ 6. C0 s œ_ ~¾ " |z − z0 | = R `  ? ª ӆ é 0 n = ±1, ±2, . . . , (z − z0 )n−1 dz = 2πi C0 n=0  ë9  ª ½¾ Œþ s. ß{ C s €_ ~†_ y+ 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2 _ â>s – œ ÓÓ •A    €  0 n = ±1, ±2, . . . , (z − 2 − i)n−1 dz = 2πi C n=0 s.  3 X CAUCHY-GOURSAT ño j]  &  111 ñì Ê 7. (a) 1/z _ Â&&ܖ" –Õ†Ã_ t  Ò hr¼Ðf Ъ<º  Logz = ln r + iθ ( r > 0, 0 < θ < 2π ) ` xÊ Ò r a ¦ 6†Ü–+ −2i Â' 2i t &ì– ¶ |z | = 2 _ ,   <¼Ð‹  hâÐ " é ¢ A Ͷ9 M ¤ øé á ì"{ : 2i dz = −πi −2i z ”¦ Ќ e ˜#. ` ª ӆ é {: (b) C  €_ ~¾_ " |z | = 2 9 M œ ½Ó ¶  C dz = 2πi z ¦ e Ќ ”` ˜#. Ò 8. z i  Åt z i = exp(iLogz ) (|z | > 0, −π < Argz < π ) œQ¦ Ç´ ¤ ¤  ` ”¦ /¦ hr Ð ªåh j@ º¡ AၠZŒ e  ?“ &â– €=&` ]üô zû_ 0A\ ~#” ì z = −1 Â' z = 1 t ”__ 1d{ M Ò  e p”9 :  x‚ 1 z i dz = −1 1 + e−π (1 − i) 2 ” Ќ ˜Ô Q" 4†º  e` ˜#. (³à : #‹ "<Ã_ t ¦ 2  Ê z i = exp(i log z ) | z | > 0, − 3π π < arg z < 2 2 _ Â&&ì` 6.)  Ò h  Ç ñr¦ xô  € ~Ó ‰  ¦ œ ӆ   9. C  Ͷó 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π _ ª_ ½¾_ „^â> “ øéÍ ì"ø H  ¦ n¼Ð‹ ªQô ͶóAf ña ÅÊ u ) q† f (z )  f (0) = 0 “ ´Ü–+ Õ ø"Í0\" &_ ƒ5< Ç ìéø 1/2 _ t à . †Ã z º   <º Ê  f (z ) = √ iθ/2 re r > 0, − π 3π <θ< 2 2 ¦ 6. C ¦ sÀ ¿>_ ì õ ì"0\" f (z ) _ &ì` `  ô  Íâ Íé r¦  xÇ \ ҍ ºh ø ø¶Af H  h •• – ŒŒ íŒ yy >ß # f (z ) dz = 0 C e¦ ˜#.  #l" Cauchy-Goursat &o\ 6½ à O`? ¦ xÉ \¦ ”` Ќ = Œf  ñ  + º  j œ Ÿè hì 4  4™ & © ¤ r 112 10. ë9 C  €_ Ó¾_ –í{˜ 1d‚s C – Ñ %%_ ª ~† 錳 p€ Ð üQ“ òi – ß{ œ ½Ó ßH—2 x”  t   s , VH 1 z dz ¯ 2i C e` ˜#.(˜à : Տño s6ô.) ” Ќ ³Ô ª2 \   ¦ 2 ;& ¦ xÇ 11. C1 “ zûõ Á – Bãî Ó&d Ç ß H r ½ñ r´ ¤ É º¡ ºô ë ¼Q ~ ” x3 sin π 0<x≤1 x y (x) = 0 x=0 Ð ñ) †º ªÔ¦  ¶hf h – &_ <Ã_ ÕAá\  "&\" & z = 1 t_ –s“ é   Ц â aÊ  C2  z = 1 Â' "&t û`  ‚ì`  ?“ C3 “ Õ H Ò ¶h zº¡ É  /¦ é ´ ¤¦ r r¦  r ɪ ’ ß ú¦ ñ õ ët ·“ C1  C2 _ ª=&\"ß /:& t õ – §  €åhf– BŸh`  œQ ë Nx¦ H ¶&\" z = 1 t_ e__ Bãî  . Cauchy-Goursat  ” ¼Qr ñ  é "hf   ñ¦ x ß Ê <º€ Ê o\ s6 # ë{ †Ã f (z )  „†Ãs &  Œ –9 <º  f (z ) dz s“ ¦ f (z ) dz = C1 C3 C2 f (z ) dz = − f (z ) dz C3 ¤ —2x” Ç  ßß e` ˜#. q2 {³1‚ C = C1 + C2  Áô ’õ ––  ”¦ Ќ Ÿ Œ˜pd º  ëè ɸ ª> ½t•(ÕË 4.19) + a f (z ) dz = 0 C e · à e. ” ”` ú º  ¦ ˜ V4⠁‰ Cauchy †&œÐø ££ » \P¯Ï  s \" Cauchy _  &o\ ¶(˜l– ô.  ]fH X  É ñ¦ úRÐÐ Ç r ˜   H œ ½Ó éH Œ˜p”A< /  € ~† ß —2x‚  Çh 4.9 (Cauchy †&œÐ) f  ª_ Ó¾_ –í {³1d0ü ? » \P¯Ï a Ž  –  /Ò  h Â_ — &\" K$&s . ë{ z0  C _ ?Â_ e__ &s€ Ò ¸H hf 3h  ß9 ”  (4.64) ”ã «Ë Ö_ f (z0 ) = 1 2πi C f (z ) dz. z − z0 f  z = z0 \" ƒ5sٖ Å#” ε > 0 \ @K" f żРÒQ q  /f  |z − z0 | < δ s€ |f (z ) − f (z0 )| < ε   4 X CAUCHY &/” 66 j]  ìNd xx hrBõ £ 113  –7  δ > 0 s ”Fô. s] €Ã ρ < δ \ €_ ~¾_ " C0 :  > j ªº rÇ œ ¦ œ ӆ ¶ ¦ ߤ H ` ëá  ª ½Ó é   /ҁ í<÷¸Ÿ Œ þÇ ªË ¤ • ˜ > ªQ |z − z0 | = ρ s C _ ?Â\ Ÿ†&•2 > ‚×ô(Õa 4.20). Õ Ê € |z − z0 | = ρ s€ |f (z ) − f (z0 )| < ε.   (4.65) r x É p” ü ʺ †   òif 3h¼   <à f (z )/(z − z0 ) “ 1d‚ C < C0 _ s_ %%\" K$&sÙ – 2&o 4.3 \_ # Ð £ñ § Œ C 0 ”_ € f (z0 ) A d ª`  œ¦ (4.66) C f (z ) dz = z − z0 dz C0 z −z0 C0 f (z ) dz. z − z0 ¦ S€ ` N  f (z ) dz − f (z0 ) z − z0 C0 dz = z − z0 C0 f (z ) − f (z0 ) dz. z − z0  ª< ÕX C0 sٖ ” (4.66) “ ¼Ð  d r É (4.67) C dz = 2πi z − z0 f (z ) dz − 2πif (z0 ) = z − z0 C0 f (z ) − f (z0 ) dz. z − z0 ño 4.2 (v)  (4.65) \ s6 € & õ ¦ x    C f (z ) ε dz < 2πρ = 2πε. z − z0 ρ (4.67) \ _ #  Œ C f (z ) dz − 2πif (z0 ) < 2πε. z − z0 ¦  \ 3 ε “ e__ €Ãsٖ (4.64)  %H. r É ” œº¼Ð ª H œ ½¾ é  ª ~† " r × ™e 4.17 C  €_ ÓÓ_ ¶ |z | = 2 s . &ì   h C z dz (9 − z 2 )(z + i) ¦ ¨Œ  ` ½ #. H  /ҁf 3h l w «_ Öã h<º ”Ë x&ì†Ã z/[(9 − z 2 )(z + i)]  C _ ?Â\" K$&st 3 rÊ   . Õٖ Cauchy-Goursat &o¦ 6+ à \. ÕX x&ì †Ã  ªQ¼Ð ñ\  É º  ª< hr <º  Ê  x½ O   ¸\ ¼Ð  ú æ _ ì— 0 ܖ  °  z0 = −i ßs C _ ?Â\ e. s & ]ü r¦ ë  /ҁ   h` j@ ¦ H¯× – ”  †Ã ô ʺ Ç< z f (z ) = 9 − z2 j œ Ÿè hì 4  4™ & © ¤ r 114 “ C ?Â\" K$&sٖ Å#” &` r ³‰ € r É /ҁf 3h¼Ð ÒQ hì  ð&  r¦ ³  C f (z ) dz z − (−i) ¦ x ܖ ³‰. Cauchy &ì/” (4.64) \ s6  0 ”“ 2πif (−i) = ¼Ð ð&) ³a rN hBd   € A dÉ r  s. π 5  ³¦ ¤ ”   Œ  hìð&` ¨Œ иŸ  d (4.64) s6 # f (z ) _ &r³‰ ½ # ˜•2 . 0 < |∆z | < x   d, #l" d H z ü 1” C 0_ & s ü_ o×  “ os. Œf  < pd‚ A h <  © úÉ  x æ œ ªr f (z + ∆z ) − f (z ) 1 = ∆z 2πi 1 = 2πi C C 1 f (s) 1 − dz s − z − ∆z s − z ∆z f (s) ds (s − z − ∆z )(s − z ) Af Å ¦  Œ q H ´ x {:  f  C 0\" ƒ5s z` s6 # ∆z → 0 9 M 1 2πi C f (s) 1 ds → (s − z − ∆z )(s − z ) 2πi C f (s) ds (s − z )2 ¦ Ð \ Af ”`  e ˜s. s¦ 0K" C 1 1 − f (s) ds = ∆z (s − z − ∆z )(s − z ) (s − z )2 C f (s) ds (s − z − ∆z )(s − z )2 ¦– ` >í . M = maxC |f (z )| s“ L ¦ 1d C _ Us“ . ¦  ß  x‚ ` p”  ¦  ´ |s − z | ≥ d s“ ¦ |s − z − ∆z | ≥ | |s − z | − |∆z | | ≥ d − |∆z | sٖ ¼Ð ∆z C |∆z |M L f (s) ds ≤ → 0 (|∆z | → 0) 2 (s − z − ∆z )(s − z ) (d − |∆z |)d2 " f 1 f ( z + ∆z ) − f ( z ) = ∆z →0 ∆z 2πi lim C s“ ² ¦ D G (4.68) f (z ) = 1 2πi C f (s) ds. (s − z )2 f (s) ds. (s − z )2 d `x  (4.68)  s6 # °“ ~Z` 6 € ” ¦  Œ úÉ ½O   r Ó¦ x  (4.69) f (z ) = 1 πi C f (s) ds. (s − z )3 4 X CAUCHY &/” 66 j]  ìNd xx hrBõ £ 115  %` à e. )±& ½Z` 6 €  š ~¦ x  ¦ ¦ ` 3 º ” úh“ ÓO   (4.70) f (n) (z ) = n! 2πi C f (s) ds (s − z )n+1 n = 0, 1, 2, . . . . ¦ 3 º ” Œf  %` à e. #l" f (0) = f s. ` ¦    eH •  < Ê d (4.70) “ C _ ?Â\ ” y & z \" †Ã f _ 2 >•†Ã_ r ” r É  /ҁ  Œ h f ʺ  ¸<º ” > í úô jÐ ë9 †º  ô hf 3h  ¸Êº F$` ´Ç. z]– –{ Êà f   &\" K$&s€ f _ •<à ¦ ˜ ´ ß < HÇ   † H  –  h f 3h   f  Õ &\" ¢Ç K$&s.   ß{ f  & z \" K$&s€  ª hf ¸ô 3h =€ ë9    z \ aô "s rF # f  ¶ 0< ?Â\" K$&s. Õ (4.70)  › é ”Œ 'Ç ¶ > é " Aü /ҁf 3h ªQ€   ¼Ð Ò ܖ Â' f (z )  ?Â_ y &\" >F “ Õ€ •<à f  z \" • r H  /Ò Œ hf ”¦ ªQ ¸†º  f Ê H  r Ó¦ Ê  h  ª ¸†º x €  K$&s. °“ ~Z K$†Ã f \ &6  Õ •Êà f • K$& 3h úÉ ½O` 3<º < ¸ 3h e¦  ¦ q  § ñ  ¦  Ð{ º e  Å £ ¦ 3` º ” ”` ˜9 à ”. s\ >5 € 6 &o\ % à e.   H  †t <º  h f 3h  ¸Ž º ¸Êºþ   a Çh 4.10 †Ã f  & z0 \" K$&s€ f _ —H >Ã_ •<Ã[  Ê (n) “ ¢ô & z \" K$<Ãs. f r Ç É ¸ h 0 f 3†º Ê Êº <à † f (z ) = u(x, y ) + iv (x, y ) s & z = (x, y ) \" K$&s€ f _ K$ “ f _ ƒ5$` ˜ô. h  f 3h    3$É  Åí ЩÇ q ¦ œ ír  ª< ÕX f (z ) = ux (x, y ) + ivx (x, y ) = vy (x, y ) − iuy (x, y )   ¼¸†º ª hf Å £  ¤  < º ¼Ð sٖ u, v _ 1 > #•<Í Õ &\" ƒ5s. 7 u, v  C 1 †Ãs ÊH q H Ê  8¨ . ½ f • z \" K$&s“ 5s9 ¸ f 3h¦ Å ƒq  f (z ) = uxx (x, y ) + ivxx (x, y ) = vyx (x, y ) − iuyx (x, y ) q ¤  ¼Ð sٖ u, v _ s> ¼•Êà %r Õ &\" ƒ5s. 7 u, v  C 2 †Ã   #¸†º i ª hf Å £ <   H Ê <º s. s &` >5  2 o 4.4 \ %H.  Qô õñ Å £&  3 Ç ¦ q € §ñ ¦  ¸  h  ŸÇh 4.4 †Ã f (z ) = u(x, y ) + iv (x, y )  & z = x + iy \" K$& a Ê <º f 3h  íì<  Ž q Ê  H s€ f _ $†Ã u, v  Õ &\" — >Ã_ 5 •†Ã¦ °   rʺ H ª hf ¸H º ƒÅ“ ¸<º\ ú   . {: ™e 4.18 C  ª_ Ó¾_ ß0¶ |z | = 1 9 M × ¦ œ ½Ó é é \ € ~† –A"  C _ &ì°` ½ #.  hú ¨Œ r¯¦ e2z dz z4 j œ Ÿè hì 4  4™ & © ¤ r 116 I þT C _ ?Â\ z = 0 s eÜٖ s &` ]üô Qt f (z ) = e2z  ¼¼Ð  h j@  ¦ ” ¦ Ú  /ҁ Ç \  ¿ f  C 0ü ?Â\" K$&s. " Cauchy &ì/” (4.70)  º  A< /ҁf 3h f €H rNd hB   s6 € ½ H &ì“ ` x ¦   ¨ hÉ  rr C e2z dz = z4 C f (z ) 2πi 8πi dz = f (0) = . 3+1 (z − 0) 3! 3 H ª ~† H ” éH p” ¦  – x‚  ™e 4.19 C  €_ ½Ó` t e__ ßí 1ds “ z0  C ×  œ Ó¾¦ H  /Òh  _ ?Â&s .  2πi, n = −1 1 (4.71) dz = n 0, C (z − z ) n = −1. þT †Ã f (z ) = 1 s Z܀ Cauchy &ì/d (4.70) – Â' (4.71)  ¼ ~ rN hB” Ú <º I Ê Ð Ò  3` º  ` % à e. ” ¦ ¦ 6 &o_ 7"“ K$<Ã_ •ÊÍ Õ ^ K$&sH z £ ñ £îÉ 3ʺ ¸†º ª ‰ 3h  § <H  x r † ´ \ _” “ e.  >¦ ” r  ~ / ZŒ  a  ‰f ƒÅ¦ q i % Çh 4.11 (Morera) –{ f  ò% D „^\" 5s“ D ?\ # ß ë9  Ž —2x e ¸H Œ³p” /f ”H — {˜1d‚\ @K" (4.72) f (z ) dz = 0 C s f  D ^\" K$&s. €   H „‰f 3h  ”ã ë9 &o_ &s íwÇ . Õ &o 4.3 \_ # f  «Ë – Ö_ ß{ ñ ñ $nô  ªQ€ ñ    Œ H Òñhr ¦  ª< Â&&ì F  ”. ÕX F = f sٖ F  K$†Ãs. Cauchy ¼Ð  3<º H Ê  \    < rN hìBd Œ 3†º ¸Êº¸ i 3ʺ¼Ð H 3† &/”\ _ # K$<Ã_ •†Ã• %r K$<Ãsٖ f  K$Ê Ê <  † º Ãs. ½” 4.15 –{ D  éíƒò%s€ D 0\" ƒ5“ †Ã[_ 9½ Ô Ç§ ßH i ß ë9 –%  Af Å <ºþ |+ q Ê t Ë ñ ñ i` ú¦ ”   /f \ @K" Morera &o Cauchy-Goursat o_ %¦ ´ “ e. H &  ˜ Å©Ã Žø7< ìFØg  1 ” ü  ª ½† Œþ üU  œ ÓÓ 1. C  Ws f x = ±2 < y = ±2 “ €_ ~¾_ y+_ ÑY H  ‚ •A t  \ ¦  £ Œ hú ¨Œ · ¦  p“ . 6 y &ì°` ½ #. § • r¯¦ (a) (b) e−z dz C z −(πi/2) cos z C z (z 2 +8) dz (c) zdz C 2z +1 (d) C cosh z z4 dz 4 X CAUCHY &/” 66 j]  ìNd xx hrBõ £ (e) tan(z/2) C (z −x0 )2 dz 117 (−2 < x0 < 2) œ Ó¾ é ª ½Ó ¶ ¦ 2. €_ ~†_ " |z − i| = 2 `  6 †Ã   £ <º §Ê (a) g (z ) = 1 z 2 +4 (b) g (z ) = 1 (z 2 +4)2 r _ &ì  h g (z ) dz |z −i|=2  >í #. ¦ ߌ `– 3. C \ €_ ÓÓ_ " |z | = 3 s . ß{  ª ~† ¶   ë9 ¦ œ ½¾ é – g (w) = C 2z 2 − z − 2 dz z−w (|w| = 3),  ”¦ e Ќ ¯r  s€ g (2) = 8πi ` ˜#. |w| > 3 { M g (w) _ °“?  9:  úÉ 4. C  z î€?\" €_ ~¾“ ”__ éH {˜ 1d‚s “ H ¨  /f ª ½† e ßí Œ2 p” ¦ œ ÓÓ  – —³ x g (w) = C z 3 + 2z dz (z − w)3 Ð ¼ – æ. w  C _ ?Â\ eÜ g (w) = 6πiw s“ w s C _ ü  /ҁ ”¼€ ¦   @ Ò  ¦ \ e܀ g (w) = 0 e` ˜#.  ”¼  ” Ќ 5. f  éí{˜ 1d‚ C 0ü ?Â\" K$&s“ z0 s C 0_ & ߌ³ p”  –H—2 x A< /ҁf 3h¦   A h s m€    f (z )dz f (z )dz = 2 C z − z0 C (z − z0 )  Ќ e` ˜#. ”¦   € ” º ©º ´œ 6. C  é0" z = eiθ (−π ≤ θ ≤ π )  . $ e__ zà à a  H –Aé ß ¶ \ @K"  /f eaz dz = 2πi Cz ¦  ˜s“ θ _ Óܖ &`  ?# &ì/” r rNd \ Ц  †¼Ð hì¦ /Q hB ½ π ea cos θ cos(a sin θ) dθ = π 0  »¸Œ \ ĕ #. ¦ Óñ ¦ x ½   Œ  Œ ú /f <º •¯ Ê 7. (a) 2 †&o\ s6 # n _ y °\ @K" †Ã Pn (z ) = 1 dn 2 (z − 1)n n!2n dz n “ n ½de ˜#. r É  †”¦ Ќ Ó”` (n = 0, 1, 2, . . .) j œ Ÿè hì 4  4™ & © ¤ r 118 (b) C \ “&& z \ э __ œ_ ~†_ ßí{³ 1 ¦   t H” ª ÓÓ –H—2 x”  ¦ñh ¦ üQ e € ½¾ 錘 pd s . Cauchy &ì/d` s6 # (a) _ †d` rN x hB”¦  Œ  ½”¦ Ó  ‚  Pn (z ) = 1 2n+1 πi C (s2 − 1)n ds (s − z )n+1 ( n = 0 , 1 , 2 , . . .) – ³&É Ã e6 ˜#. Ð ð³½ º ”£¦ Ќ ‰+ §` (c) ë9 z = 1 s€ (b)_ Pn (z ) \ @ô &ì ³³\" x&ì† ß{ rÊ –     / h ð‰f h< Ç r & n /(s − 1) ܖ #b> j à ”t\ t& #. ¼Ð Q þ º H hŒ Gt e ¦  º ÃH (s + 1)  Cauchy &/d` 6 # Pn (1) = 1 (n = 0, 1, 2, . . .) s“ rN¦ x hìB”  Œ ¦ n (n = 0, 1, 2, . . .) ` ˜#. Pn (−1) = (−1) ”¦ e Ќ 8. f \ éH {˜/‚ γ 0ü ?Â\" K$†Ã . γ 0\" f = 0  – —³G Ê ¦ ßí Œ2B A< /ҁf 3<º  Af   ªQ€ /ҁf  ñ . Õ γ ?Â\" f = 0 e` ˜#. &  ¦ ” Ќ 9. f (z ) “ |z | < 1 0\" K$&s“ |f (z )| ≤ 1  . Õ€ |f (0)| r É Af 3h¦    ªQ  Ç ¯¦  / ú` ÒñŒ \ @ô ° Æ& #. ʺ ¦ q•  Ҍ 10. <à f (z ) = 1/z 2 \ ty . † (a) f  ¶&¦ tt · —Ž {˜1” γ \@K" γ f (z ) dz = é "h`  ú ¸ Œ2pd‚ /f §H H —³x 0 stë z = 0 \" K$&s m. s s Morera o<  ñ &ü ß – f 3h   Hœ ë© H ¸H& —í÷ ? (b) z → ∞ { M f  Ä>stë ©Ã m. s s Liouville  9 : H »ß œºH   Hœ –   ë© ñü ¸H ÷ &o< —s &H?  í 11. C : |z | = 2  . &ì   hr  C |z |ez dz z2 `– ¦ >í #.  ߌ V5 â ‰ ¡   š†&˜ ̳ Çh ´¿\P+ ÁÀ a s X\" 4™&ì/”¦ s6ô o[ ¶(˜l– .  fH ŸèhrBd`  Ç &þ` úRÐÐ ô  ¤ N x ñ t¦ ˜ Ç   ׼Р¦ Í£ “ œ ì§ ª  Ç Ù Ï H ` æ” ah 4.12 (Cauchy ɞÐ) C  z0 ¦ dܖ “ øt2s R  € ÓÓ é > H  Aü /ҁf 3ʺ †  ½† " ¦ ªË _ ~¾_ ¶s “(Õa 4.21) f  C 0< ?Â\" K$<à MR  j/ú  ªQ  ¦  Af ` C 0\" |f (z )| _ [email protected] . Õ€ ¯ (4.73) |f (n) (z0 )| ≤ n!MR , n = 1, 2, . . . Rn 5 X 4™&ì_ ů ño j ] Ÿèh Ò¹   ¤ r & 119 ¤ £ :y n = 1 { M  9: (4.74) |f (z0 )| ≤ MR . R ìN hrB”  x  H ¦ \   "  3 ”ã Cauchy &/d (4.70) ü &o 4.2 ¦ s6 € ¶  õ\ % «Ë Ö_ < ñ  à e. ¦  ` º ” Cauchy Â1d s6 € 6 &o\ %` à e.  Òp”`   £ ñ 3 º ” x¦ x  § ¦ ¦  Çh 4.13 (Liouville) ß9 f  4™î^\" „<Ãs“ Ä>s a – Ê  ë{ ¤ €„ Ÿè¨‰f †º¦ »€ f (z )  î^\" Ãs.  „ œ H ¨€‰f ©º <  þ ”ã f  †Ãsٖ z0 ü R _ e__ ‚×\ @K" Â1d (4.74) «Ë Ö_ „ʺ¼Ð <  ” ˜ /f Òp” x  $w. f  Ä>sٖ —Ž z \ @K" |f (z )| ≤ M ` ß7  © nÇ íô »¼Ð ¸  /f ¦ ë¤ H œ H  –á  rÇ  º ¼Ð à M s ”F. (4.74) _ œÃ MR “ † MR ≤ M sٖ º  >ô © r Ó© É ½œ (4.75) |f (z0 )| ≤ M . R H î© e ¦& h¦  ”  º Òp  H x  œ  a  #l" z0  ¨€_ ”__ “ñ) &s“ R s e__ Ãs. Â1 Œf d (4.74) _ à M s ‚˜ô R _ °\ Á› ٖ Â1“ ìy H  ” þÇ ¯ a  ©º œ  ×  ú º'¼Ð ÒpdÉ æ x”r Ør  H ¨œ ”  /f¸ nô ¯¼Ð Ò íÇ  € e R \ @K"• $w. sܖ Â' f (z0 ) = 0 s. z0  î©_    h¼Ð € ¸Ž hf __ &sٖ ¨©_ —H &\" f (z ) = 0 s. " f  Æà  îœ   f  ©º<º Hœ Ê s.  Ô Ç§ ½” 4.16 Liouville ño z†Ã\" íw t ·. z]– f (x) = & ʺf n ú jÐ H $ §H ´ H ´< ” ´ ʦ sin x “ Ä>s“ e__ Ã&\" —Ž >Ã_ •†Ã tt– à r É »¦  zºhf ¸H º ¸<º\ ß œº  ë© < †º  ÊÃH m. Liouville &o\ s6 € Gauss  7"ô @Æ_ l‘ño\ 7î ¦ x :&  x ñ   xîÇ £  /º< r ¦ £" Æ É Ã e. ½ º ”  +  Ó  ah 4.14 (7ÊÁ˜ eeÇh)3 n ≥ 1 _ e__ ½d Áš+ Ôa  ” †” Ç þ µ P (z ) = a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n (an = 0) %¦  ” ¤  “ h Q¸  h r É hQ¸  h`  £ “ &#•  ò& ”. 7, P (z0 ) = 0  &#• ô & z0 s >F  r Ç Ç  ô . 3 s ño Gauss _ ~†0 Hܖ \ Gauss H s o¦ 4t "–  Ó  &H æ   &\ r½   Ã<A 7ë¼Ð ׁ Ì Æ H  ñ  fÐ É ~ Z¼Ð £îi  Oܖ 7" %. x  j œ Ÿè hì 4  4™ & © ¤ r 120 ”ã )ÀZ` 6 # 7". P (z )  #*ô z \ @K"• %&` «Ë Ö_ ÓO  Œ £îÇ ¦ x x ô Q‹  /f¸ òh Ç ¦ tt ·H“ & . Õ€ §   ú¦ ñ ªQ f (z ) = 1 P (z ) “ ì"y „†Ãs. Liouville &o\ s6 l 0K f  4™ €\" r rî Ê É   <º ñ   A ¦ x ¤ î Ÿè ¨f »e¦ Ð  Ä>` ˜s. €$  ” (4.76) w= a0 an−1 a1 a2 + + ··· + + z n z n−1 z n−2 z a  9: “ æ P (z ) = (an + w)z n s . |z | ≥ R { M ¦ ¼€   ) ak−1 n−k+1 z < |an | 2n k = 1, 2, · · · , n ¤  H \ ˜É  s ÷•2 Øry à R  ×+ à e. yÂ1d\ _ # |z | ≥ R  &¸Ÿ æì  º ¦ þ½ º ” ŒŒÒp” Œ ™• x  f  9:  /f \ @K" |w| < |an |/2 s. " |z | ≥ R { M |an + w| ≥ | |an | − |w| | > |an | 2 s“ " |z | ≥ R { M ¦ f 9:  (4.77) |P (z )| = |an + w| |z n | > |an | n |an | n |z | ≥ R. 2 2 € Õ |z | ≥ R 9 M ªQ {:  |f (z )| = 1 2 < . |P (z )| |an |Rn  éø  @Ò if » ª<  Œ2 % H  f  "ó " f H ¶Í |z | ≤ R _ ü ò%\" Ä>s. ÕX f  {˜ H —³ ¶Í éø "ó |z | ≤ R _ ? ò%\" 5sٖ |f | • ¢ô ƒ5“ z†ÃsÙ Ç q ´Ê  /Ò if żР% ƒq ¸ ¸ Å <º¼ Ø Ë f j/ ú ” f  Ÿè¨€  – (þà |+ |z | ≤ R \" þ@ °` . " |f | H 4™   Ð Ž˜Ô 9½ ¯¦   ¤ î „ ‰f » ^\" Ä>s.  Œ H© Ê ¸ º†º œ< Liouville ño\ _ # f (z )  ÆÃsٖ P (z ) • ©ÃÊÃs. &  œº<º¼Ð ªQ Õ P (z )  ©Ã†Ã mٖ s“ —ís. H º<º ¼Ð ¯É ¸H œ Ê r  Æ :& ¦ q x  ½” 4.17 @Ã<_ l‘ño\ >5 &6  Ô Ç§ /º† r  Å h € (4.78) P (z ) = an (z − α1 )(z − α2 ) · · · (z − αn ) r É fÐ  9¹ O ¦ H ܖ ìK+ à ”. #l" α1 , α2 , . . . , αn “ "– \ €¯ \. ¼Ð ½ º e Œf rÉ  ׿ ™œah 4.2 f (z ) “ & z0 _ ½ |z − z0 | < ε „^\" K$&s  r Éh  HÓ ~ ‰f 3h  Ç   Œ h  /f   ë9 Ó & . ß{ H~ |z − z0 | < ε _ y & z \ @K" |f (z )| ≤ |f (z0 )| s€ ñ – ½ •  HÓ  ½ „‰f ~ ^\" f (z ) = f (z0 ) s.  5 X 4™&ì_ ů ño j ] Ÿèh Ò¹   ¤ r & 121 ¦  ÒQ ½/ ”ã f  Å#” › ë7“ & . z1 ` Å#” H~?_ z0 «Ë Ö_ ÒQ ¸|¦ –áǦ ñ  ` ߤô  Ó ü  &s . ρ ¦ & z0 ü z1 _ o“ . ë9 Cρ  z0  r < É h  \ h < õ ¦  ß{  ¦ \ – H œ ÓÓ ¶ ¦   ª ½¾ é ª> a  ¦ ×ds“ z1 ` t €_ ~†_ " |z − z0 | = ρ(ÕË 4.22)s€ Cauchy æ”  &ì/d\ _ # N hrB” Œ f (z0 ) = (4.79) 1 2πi Cρ f (z ) dz z − z0 Ç & Cρ \ @ô B>Ã ³³  / hº ð‰  z = z0 + ρeiθ (0 ≤ θ ≤ 2π ) ¦ x    ` 6 € (4.79) “ r É (4.80) f (z0 ) = 1 2π 2π f (z0 + ρeiθ ) dθ. 0 d (4.80) ܖÂ' Â1d  ¼ÐÒ Òp” ” x (4.81) |f (z0 )| ≤ 1 2π 2π 0 |f (z0 + ρeiθ )| dθ. ` %. ô   Ç# ¦ 3H ¼ |f (z0 + ρeiθ )| ≤ |f (z0 )| (4.82) (0 ≤ θ ≤ 2π ) sٖ ¼Ð 2π 0 |f (z0 + ρeiθ )| dθ ≤ 2π 0 |f (z0 )| dθ = 2π |f (z0 )|. f " (4.83) |f (z0 )| ≥ 1 2π 2π 0 |f (z0 + ρeiθ )| dθ. Õٖ Â1d (4.81)  (4.83) – Â' ªQ¼Ð Òp” x õ Ð Ò |f (z0 )| = 1 2π 2π 0 |f (z0 + ρeiθ )| dθ. H ¢ ¸ (4.84) 1 2π 2π 0 [|f (z0 )| − |f (z0 + ρeiθ )|] dθ = 0. r h &ì (4.84) _ x&ì†Ã  hr<º Ê |f (z0 )| − |f (z0 + ρeiθ )| j œ Ÿè hì 4  4™ & © ¤ r 122  º  /f Ŧ  à θ \ @K" ƒ5s“ (4.82) \ _ # „^½ç 0 ≤ θ ≤ 2π \"  Œ ‰¨ß f H q  – 0 ˜ ß °. &°s 0 sٖ x&ì†Ã 0 s# ô. 7 r¯ ¤ Ð ¼ ú hìú ¼Ð h<º Q  £ rÊ H Ç (4.85) |f (z0 )| = |f (z0 + ρeiθ )| (0 ≤ θ ≤ 2π ). r ¶ ¯É é s“ " |z − z0 | = ρ 0_ —Ž & z \ @K" |f (z0 )| = |f (z )| s. A ¸ h  /f H  ÕX z1 “ ”~ 0 < |z − z0 | < ε ?\" e_– ‚þô &sٖ ª<  r Ó É H½ ×  /f ”Ð ˜Ç h¼Ð  ” ¶ e__ " |z − z0 | = ρ, 0 < ρ < ε 0_ —Ž & z \ @K" |f (z0 )| = |f (z )| é  A ¸H h  /f   f H~ s. " ½ 0 < |z − z0 | < ε ?_ — /\" |f (z0 )| = |f (z )| s. Ó / ¸H Bf ŽM  3<º  ¼ K$†Ã f _ ßl |f (z )|  %\" Ãs †Ã f • œÃsٖ  Ê œ  ò %if ©º <º ¸ º¼Ð H €Ê © Ó Œ h /f ½ •  ~_ y & z \@K" f (z ) = f (z0 ) s. Ê ÒQ” &i   f œº    Ç ah 4.15 (;7æexh) †Ã f  Å# ñ_%4 D \" ©Ã   «j <º ³ S 3†º K$<Ãs€ |f (z )| “ D ?\" [email protected] tt ·. 7 ñ_% D ?  r É /f j/ú¦  úH £ i / § ¤&  Ê ¯`  ¸Ž h  /f _ — & z \ @K" |f (z )| ≤ |f (z0 )| ¦ ß7  & z0  D ?\ >F H ` –¤   / ” r  ëáH h H   ú t ·. §H «Ë Ö_ ”ã |f (z )| s D ?_ #" & z0 \" [email protected]` °H“ ñ . Õ  / Q h f j/ú¦ ú¦  ª ‹ ¯  & Q€ H  f  D „^\" Ãs# <` ˜s .  ‰f ©ºQ †¦ Ð )  œ Ê €a H  2Ë  ƒ \;|+¼Ð D   P9½sٖ z0 Â' D ?_ e__  & P t D Ò  / ” É h r  ?\ -y Z#” ì_ =&õ =&` ƒ H Äô>_ ‚ì[ / a„ ~Œe ‚r åh åh  »h þ ¢  H  Q Q¦   Ç rt   Ç \  ¦ Ð ÒQ Ó – sÀ#” †‚ L s ”Fô. D  ¨€^ ô d  L 0  ½  > rÇ A t   þß  ªQ € _ &[– Â' D _ â>t_ jéo . Õ L ¦  &  hþÐ Ò –  `  h  z0 , z1 , z2 , . . . , zn _ Äô> Ã\ s. #l" zn = P s“ y &s Ç  »h ºP` ê Œf ¦ r ¦ Œ h • |zk − zk−1 | < d (k = 1, 2, . . . , n) &¸Ÿ Ö hþ r ú  Œ ½ ¤ ©Ç t æì ÷•2 sô &[s Øy ¾> ô. y ~ Nk “ zk s ds šÇ • HÓ r É  × æ” Ç Ë¦ –  » |+P ߎ “ Ít2s d ÷>  H~[ N0 , N1 , . . . , Nn _ Äô 9½\` ëH ¦ ì£ &  ½þ ø§ H Ót  ½tr  • H~  ª> (Õa 4.23). sô ~[“ —¿ D _ ?Â\ Ÿ<÷# e“ y ½ Ë QÇ HÓþÉ ¸º  /ҁ í†&Q ”¦ Œ Ó Ê ~ §  æ ×d r ¡ Ó É ú ½  ZŒ”£ Ò Nk k = 1, 2, . . . , n) _ ” zk “ ·_ H~ Nk−1 \ #e6\ Å_ .  f j/ ¦ i¼¼Ð ¯¦  & |f (z )| s z0 ∈ D \" [email protected]` ”“ ñ %Üٖ |f (z )| “  r É f j/ú  ªQ¼Ð и  & Œ ‰ ¦ ¯¦  z0 ∈ N0 \" [email protected]` ”. Õٖ ˜›ño 4.2 \_ # N0 „^\ : # f (z ) = f (z0 ) s. :y f (z1 ) = f (z0 ) s. s“ y z ∈ N1 \ @ x ŸŒ  £ ¤ r •  ¯É Œ / K" |f (z )| ≤ |f (z1 )| \ >ô. ˜›&o 4.2 \ r &6 € z ∈ N1 { f ¦ w  pÇ иñ   h  ¦ x   9 M : f (z ) = f (z1 ) = f (z0 ) 4 †Ã_ &_%(domain of definition)_ _p   \;|Ë_ _ps.    ƒ P9½    2+ <º ñi Ê  5 X 4™&ì_ ů ño j ] Ÿèh Ò¹   ¤ r & 123 z2 ∈ N1 sٖ f (z2 ) = f (z0 ). " z ∈ N2 { M |f (z )| ≤ |f (z2 )|. ˜› ¼ Ð f  9: и  &o 4.2 \ r &6 € z ∈ N2 9 M ñ ¦   h  x  {:  f (z ) = f (z2 ) = f (z0 ). ˜  s ~Z` >5 € Nn \ •² > ÷“ f (zn ) = f (z0 ) s.  ÓO Å ½¦ q   ¸ú &¦ ¼Ð ¸  /f  f  zn = P sٖ —Ž z ∈ D \ @K" f (z ) = f (z0 ) s. " f (z )  H H ò % D „^\" ©Ã†Ãs. %i ‰f œº<º  Ê <º Ê »¦ Œ³%i f Ŧ  /ҁ q Çh 4.5 †Ã f  Ä>s“ {˜ò% R \" ƒ5s“ R _ ?Â\ Ÿa —2  ¸ " ÃÊà m“  . Õ R ?\" |f (z )| _ [email protected] R f ©º<º ¦ & ªQ€ /f œ† ñ   þ/úÉ ¯r _ >_ #Ö&\" {#“ R _ ?Â\" {#t ·. 7  â Q¼hf 9Q¦  /ҁfH 9Q úH £    ¤ §  max |f (z )| = max |f (z )|. z ∈R z ∈∂R ”ã R _ ?Â_ y &\" K$&“ †Ã f  ¢ô R ^\" ƒ «Ë Ö_ •  Ê   /Ò Œ hf 3h <º  ¸Ç H  „‰f  5sٖ |f (z )| “ R _ #Ö &\" [email protected]` ”. 7 œÃ M > 0 q żР Q¼ hf j/ú  £ º ¤© r É  ¯¦  > H s ”F # — z ∈ R \ @K" |f (z )| ≤ M s“ &#• _ & z0  rŒ ¸Ž  /f ¦ hQ¸  h   \" |f (z0 )| = M s. ë{ f  œÃ<Ãs€ — z ∈ R \ @K" f  ß9 – ºÊº ¸H Ž ©†  /f – é |f (z )| = M . Õ ß{ f (z ) s Æà m [email protected]"o\ _ ªQ ë9  ©º<º  G/¼¶  œÊ €  f   /Ò ” h  / K R _ ?Â_ e__ & z \ @K |f (z )| = M s. "   max |f (z )| = max |f (z )|. z ∈R z ∈∂R ™e 4.20 R  y+ % 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ 1 s . 2&o × ¦ •A ò ` Œþ %i   £  §ñ ¯r 4.5 \ _ € †Ã f (z ) = sin z _ ßl |f (z )| _ [email protected] R _ ?   „<º  Ê  ¼  þ/úÉ  /Ò â –  R _ >0_ #Ö /\" {#ß. s “   A Q¼ Bf 9Qè É  M ¯r |f (z )| = sin2 x + sinh2 y ¼¦ ”X– + º e æ“ f]>ß ½ à . R ?\" x = π/2 9 M sin2 x  [email protected] 7 {:  í É ” /f  H j/¦ £  x 2 r É ) †Ã sinh y “ y = 1 { M þ@ a. Õٖ R ?\" |f (z )| _ 9 : j/  ªQ¼Ð  /f  Ê <º [email protected] â>& z = (π/2) + i \" 9#“ R ?_  &\" 9# r  j/úÉ h ¯r   f {Q¦ / É hf {Q  t ·.  úH § ½” 4.18 2&o 4.5 ?_ <à f ¦ f (z ) = u(x, y ) + iv (x, y ) – j M Ô Ç§ £ñ § / †º \ Ê  Ðþ: t írÊ $<º ¸Ç ¸o<º B † M  /Ò  â ì†Ã u(x, y ) ¢ u(x, y )  ›ÊÓ /\ R _ ?  > ô  0\" &) R ?\" [email protected] ”. Af ñ /f j/ú`  a ¯¦  j œ Ÿè hì 4  4™ & © ¤ r 124 Ëíʺ ½” 4.19 ½$†Ã g (z ) = exp[f (z )] “ R ?\" ƒ5s“ K$&s“ ? Ô Ç§ + < r É /f Ŧ 3h¦ / q  ҁf œº†º  f f Å ¼ Â\" ÃÊà m. " R \" ƒ5“ ßl |g (z )| = exp[u(x, y )] ©< q † r É âAf / þ/ú` R ô º<º £ í|:ë “ >0\" R ?_ [email protected] 4 . tÃÊÃ_ 7$9M\ ¯¦ Ç x  H  j/úÉ ¸Ç f 1q  Ït Ç u(x, y ) _ [email protected] ¢ô >\" µÒK ô. ¯r  â ¯ ¯â & ü £  §ñ f þ/ú/’ þèú f ñ ½” 4.20 o 4.15 < 2&o 4.5 \" [email protected]@ j™°s >\" Ô Ç§ 1qÇ µÒô. Ït G/¼ñH zº<ºf ín úH jÐ ¨   § Ô Ç§ ½” 4.21 [email protected]&o ÆÃ\"H $w t ·. z]– ½  ´ Ê ´ 2 “ p0 tß ?Â_ & x = 0 ë  – ß [−1, 1] \" ñ_) f (x) = 1 − x É ì p– /Ò h a ç f & r rx \" [email protected]` . f þ/ú¦ ” ¯  Ž©7 ÅFØg ìøÃ< 1. f  —H z \ @K" |f (z )| ≤ A|z |  ß7  †Ã . #l \ ë¤ H < H  ¸Ž  /f ¦ –á „ʺ  Œ f  ¦ñ €º " A  “&) œÃs. f (z ) = a1 z  ˜#. #l" a1  4™ H a ª ”¦ e` Ќ Œf H¤  Ÿè œ Ãs.(˜à : Cauchy Â1d` 6 # „^\" f (z ) = 0 2 x x î ©º ³Ô Òp”¦  Œ ¨€‰f  Ð e` ˜“. Cauchy Â1”_ à MR “ A(|z0 | + R) ˜  Òpd ©º x œ r É ”¦  Ð Œ • °6\ Å_½ .) § ú£ ÒÉ ¯ + 2. f  „†Ãs“ limz →∞ f (z )/z = 0  ñ . Õ f  ©Ã ¦ Ê \ <º¦   ªQ  œº & € H ”` Ќ e ˜#. ¦ 3. f  ÊÃs“ 4™ ^\" |f (z )| ≥ 1   . Õ f ¦ < \ „†º¦ Ÿè¨„‰f ñ  ¤ î€  & ªQ€ H Ãe ˜#.  © `  œº”¦ Ќ <º¦ ¸o†º Ê   ¦ 4. f (z )  „†Ãs“ ›<à u(x, y ) = Re [f (z )] s ©>\ ”“ Ê œ¦  & . 7 xy ¨€_ —Ž &\ @K" u(x, y ) ≤ u0 . Õ u(x, y ) ñ £ ¤  ªQ € î ¸H h /f  H  2 \Ê ñ¦ <  ‰f ©ºQ † Ќ ³Ô  ¨^\" Ãs# Ê` ˜#.(˜à : Liouville &o † œ <¦ à g (z ) = exp[f (z )] \ &6.) º  h ô xÇ 5. Øìy R \ @K" †d P (z ) = a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n (an = r H  /f ½” æ  Ó r É  9 : Òpd 0) “ |z | ≥ R { M Â1” x |P (z )| < 2|an ||z |n ¦ ß7† ˜#. ` ëá<` Ќ  –¤Ê¦ 6. (išæeGÇh) Êà f  Ä>s“ {˜%% R ?\" 5s ¦¿«ê †º  »¦ Œ³òi < H —2  ±a /f ƒÅ q   ¦ ¸Ç “ ¢ô R _ ?„^\" K$&s“ ©Ã m“ . R  /Ò‰f 3h¦ œº ¦    _ — /\" f (z ) = 0 s  . |f (z )|  R _ >\" i  ¸H Bf ŽM  &  ñ H  âf ¦ ¿«G šæeê m ` t“ ?Â\" tt ·6 ˜#. (˜à: † ¦  §§` Ê ±  ¦ /ҁfH  ú£¦ Ќ ³Ô < 2 ¯  x à g (z ) = 1/f (z ) \ [email protected] &o\ 6Ç.) º  j/¼ú ñ¦  ô 5 X 4™&ì_ ů ño j ] Ÿèh Ò¹   ¤ r & 125  H 7. j™ßl°&o¦ %l0K" R _ —Ž /\" f (z ) = 0 s  þè¼úñ\ 3Af  ¸ Bf ¯   HM ¦x   Œ Ќ £ ¤  jèú ¯ &s €¯†¦ f (z ) = z \ 6 # ˜#. 7 |f (z )| s þ™°s 0  < ñ 9¹Ê`  9 : /ҁf þèú | º ” { M ?Â\" j™°` 9 à e. ¯¦   8. †Ã f (z ) = (z + 1)2 ü =t& z = 0, z = 2, z = i  t {˜  < Gh  ¦  Œ2 Œ Ê <º ` H —³ ™ y % R  Òy . |f (z )| s [email protected] þ5°` t & ¹ •ò Œ%i  j/ú jÅú  h¦ 1 q¯¦ H ` Ô ¦ qŒ ` t• ¯ 2 \   jL¼Ð qŒ Y  ³Ô . (˜à: |f (z )|  z ü −1 s_ o_ ]ܖ Òyô.) ¦< t•Ç 9. †Ã f (z ) = u(x, y ) + iv (x, y ) H Ä>s“ {˜ %% R \" 5s <º Ê  —2  f Å ƒq  »¦ Œ³ òi ¦  /ҁf œº  <º  톺 “ R _ ?Â\" à  †Ã . $ìÊà u(x, y )  R r< H© Ê  H ¯¦  _ â>\" þ™° t“ ?Â\"H tt ·6 ˜#.  f jèú` ¦ /ҁf  ú£¦ Ќ §§` 10. f (z ) = ez s“ R “ y % 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ π  . $ì< r •ò † ¦ É Œ%i   írÊ  j/ú þèú  h¦ Ô¼¹ ¯¦ H  ¹ à u(x, y ) = Re [f (z )] s [email protected] j™°` t &` 1Ür¯. º ¯ < †º —2 ò 11. Êà f (z ) = u(x, y ) + iv (x, y ) “ Ä>s“ {˜ % R \" ƒ5s“ r É »¦ Œ³ %i f Ŧ q R _ ?Â\" K$&s“ à  †Ã . $ì†Ã v (x, y )  /ҁf 3h¦ ©º  <º  <º írÊ  œ Ê  v  ›“ %% R _ >\" [email protected] j™°` t“ ?  ¯ ¯¦ H ¸o òi    âf j/ú þèú ¦ /Ò f  ú£¦ Ќ 2Ô Êº \"H tt ·6 ˜#.(˜à : †Ã g (z ) = −if (z ) ` Òyô  §§` ³ ¦ qŒ  t•Ç < .)  12. z0 “ n ≥ 1 † r É  ½d Ӕ P (z ) = a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n (an = 0) _ %&s . 6õ °“ ~Zܖ  òh  £ úÉ ½O¼Ð  § r Ó P (z ) = (z − z0 )Q(z ) ¦ ˜#. #l" Q(z )  n − 1 ½”s. ` Ќ Œf   H  †d Ó k k k (a) z k −z0 = (z −z0 )(z k−1 +z k−2 z0 +· · ·+zz0 −2 +z0 −1 ) (k = 2, 3, . . .) ¦ x  £"Œ ` 7î #. (b) (a) _ “ÃK\ 6 #  ºì¦  Œ r x P (z ) − P (z0 ) = (z − z0 )Q(z ) ¦ Ќ Œf  Ӕ  ¼Ð Ò  ˜#. #l" Q(z ) “ n − 1 ½ds. s¯Ü– Â' ` r É †  ¶  \ ĕ. é H ¦ " õ »¸ô Ç H Ê  „<º¦ Ør H  /f æ  13. f  †Ãs“ ìy z \ @K" |f (z )| < |z |n ` ë7 € f  –á ¦ ߤ   †” H Óde¦ Ќ  ½”` ˜#. j œ Ÿè hì 4  4™ & © ¤ r 126 14. f (z )  —Ž z \ @K" |f (z )| ≤ |ez |  ë7  †Ãs€ f (z ) = \ ßá „<º HH  ¸  /f ¦ –¤ H Ê  z e ˜#. #l" |K | < 1 s. Ke ”` Ќ Œf ¦    15. f (z ) s |z | < 1 \" K$&s“ |f (z )| ≤ 1/(1 − |z |) s Cauchy   f 3h¦ € Ò (n) (0)| _ [email protected]` ½ #.  þ/ú ¨Œ ¯¦ 1ds $n  |f x  H p” íw 16. K$<Ã_ ƒ5•<Ã[“ |f (n) (z )| > n!nn  ë7 t ·6` ˜ † ¦ –á ú£ Ð 3ʺ ŸʺþÉ q † tr ` ߤ §§¦ r Œ ü úÉ 8 ñ9 ñ ëþQ #. s< °“  &xô &o\ –[#. Ç ¦ ßt H 3†º¦ òi Af  ¦ 17. f  K$ÊÃs“ %% R 0\" f (z ) = 0 s . z0 ∈ R s“  <   f (z0 ) = 0 s . Å#” ε > 0 \ @K" z ∈ R ü ζ ∈ R  ”F  /f >   ÒQ  < r # |z − z0 | < ε, |ζ − z0 | < ε ü Œ < |f (z )| > |f (z0 )|, |f (ζ )| < |f (z0 )| ¦ ”` Ð9 e ˜. – ´Ê 18. 4™†Ã\" $n tß z†Ã\" w t · ño Ô ¤< Ÿèʺf íwë <ºf $n úH \ ¹  H í § & ¦ 1 Oî #.  [" Œ × V5* ‘ ³Ê ;Á ¹ V1⠁‰ Ê~ ;ʘ ʁ Á ø ³Á+ Á] á¹ ¤ Ÿèºþ ºô º\ P  ³5  <É  œ Ç+ t  · > Êr ” ª  a˜ 5.1 4™Ã[_ ÁÇ Ã {zn } s ;ø z Ÿ 놓 e__ € à ε > 0 \ @K" à N s ”F # º r  /f ƒº   >Œ n > N s€ |zn − z | < ε.   (5.1)  r½ Pr ˜ Fôs >FÉ M Ã\“ z – ʁø“ ´Ç. s âÄ l – GÇ ”+ : ºÉ Ð Á]5¦ úô  º ñÐ   lim zn = z (5.2) n→∞ H ¢ ¸ 9:  n → ∞ { M zn → z (5.3) ¦  < °s  . ë{ ÃPs FÇ` tt ·Ü€ Lñø“ Ç. ü ú p –9 º Gô  ú¼ Ó55¦ ô · ß \ §  ±Ñ Ã\_ ç$¦ l &ܖ [î € ε > 0 s Å#t “ ) ε ` ºP º4 ` h¼Ð O   "   ÒQ ¦&  € ña ¦  í  ߤ H  ` ëá ¸Ž Íܖ “ ds z “ "ø D(z ; ε) ?\ n > N ¦ –7  —H zn øâ ì ¼Ð ¦ æ”  ¶Í ×  éó / <H  r †¦ wÇ > ß9    &  í†÷ º s ŸÊ& ƒÃ N s >F<` >ô(ÕË 5.1). ë{ ε s 7> ÷  ”Ê p ªa – ¦ –¤  H  íÊ÷H †  ¶ø ø  éó ìâ  ¦ f € "Í_ Ís 7“ " n > N ` ß7 H —Ž zn s Ÿ<&  ë፠¸ ƒÃ N s 7> . ² à N “ ε \ _”  Ãs. " º    a D º ) >H  G ƒ r É  r º f Ô Ç§ ½” 5.1 (i) ƒÃ N “ ε \ _>ô. º r É  r ”Ç  ôr § rô (ii) F“ ´  >F. GÇÉ ú  ”Ç ”ã «Ë Ö_ (ii) ß{ n → ∞ { M – ë9  9: zn → z s“ zn → w ¦ 127 5© /à j  åº œL 128 –   /f º  õ ¦ ñ ß9 “ & . ë{ z = w s€ ε = |z − w| > 0 \ @K" ƒÃ N1   r >Œ N2  ”F # ε n > N1 s€ |zn − z | <   2 ¦ s“ ε n > N2 s€ |zn − w| <   2  º¦  € s. N = max{N1 , N2 }  ¿“ n > N s  |z − w| ≤ |zn − z | + |zn − w| < εε + = ε = |z − w | 22  É ¸ f s. s “ —ís. " z = w s. ¯r H    ªQ€   Ç ¦ ah 5.1 zn = xn + iyn (n=1, 2, . . . ) s“ z = x + iy  . Õ (5.4) lim zn = z n→∞ sl 0 €¯›|“  Aô 9¹Øì¸ É Ç  ær r lim xn = x s“ lim yn = y. ¦ (5.5) n→∞ n→∞  /f º ƒ «ã Ö_ ”Ë (⇐) (5.5)  wô“ & . Å#” ε > 0 \ @K" à íÇ $n¦ ñ ÒQ  N1 õ N2  ”F #  >Œ r n > N1 s |xn − x| < €  ε 2 s“ ¦ ε 2 s ínô. N = max{N1 , N2 }  ¿“ n > N { M  w $Ç  º¦ 9:   n > N2 s€ |yn − y | <  |xn − x| < ε ε ¦ s“ |yn − y | < . 2 2 ªQ¼Ð Õٖ n > N { M 9:  |zn − z | = |(xn − x) + i(yn − y )| ≤ |xn − x| + |yn − y | < εε + = ε. 22 (⇒) (5.4)  nô“  . Å#” €Ã ε > 0 \ @K" ƒ $w¦ & ÒQ ªº ñ œ  /f  íÇ   >Œ à N s ”F # º r {: n > N 9 M |(xn + iyn ) − (x + iy )| < ε  s $nô. ÕX  íw ª< Ç  |xn − x| ≤ |(xn − x) + i(yn − y )| = |(xn + iyn ) − (x + iy )| = |zn − z | 1 X Ã\õ /Ã_ ç j ] ºP åº º4  L  129 ¦ s“ |yn − y | ≤ |(xn − x) + i(yn − y )| = |(xn + iyn ) − (x + iy )| = |zn − z | ¦ s“ n > N 9 M {:   |xn − x| < ε s€ |yn − y | < ε.  ǘ 5.2 4™Ã[_ Áô/à L a+  ¤ Ÿèºþ ºÇåº t ∞ (5.6) zn n=1 s ½ S – ʁ5ʓ ÂìË[_ Ã\  + Ð Á]ø†É Ò½þ ºP Ë  <r r+t  N (5.7) SN = n=1 zn = z1 + z2 + · · · + zN  Ð º4ô  º s S – çÇ. s âÄ   ∞ (N = 1, 2, . . .) zn = S n=1 H – . Ð  ½” 5.2 /à ´ ô >_ Ë 9 à e. ǧ Ô  +¦  L H§ 庍 ú Ç h ½` | º ”  /à ç t ·¦ M /à Lñø“ ´. L åº º4 ú` : 庍 Ó55¦ úô § ˜Ç  L H ±Ñ   Çh 5.2 zn = xn + iyn (n = 1, 2, . . .) s“ S = X + iY  . Õ€ ¦   ªQ a ∞ (5.8) zn = S n=1  ínAÇ 9¹r¸É s $w l0ô €¯Ø› “   æì |r  (5.9) ∞ n=1 «Ë Ö㠔_ (5.10) ¦ xn = X s “ ∞ yn = Y. n=1 SN ` /à (5.8) _ Âì½s . Õo“  Òr+  ª¦  åº ¦L Ë SN = XN + iYN 5© /à j  åº œL 130   º€  ¿ N N xn s“ YN = ¦ XN = yn n=1 n=1  ¸| s. › (5.8) s $w l 0ô €¯Øì›|s   ín A 9¹¸  Ç  ær lim SN = S. N →∞ ' < ñ ô æ sٖ a> (5.10) ü &o 5.1 \_ # s ›|s $w l 0 €¯Ø ¼Ð › Œ  ¸  ín AÇ 9¹   r r  ¸|É ì› “ ¦ lim XN = X s“ lim YN = Y. (5.11) N →∞ N →∞ ªQ¼Ð ¸ Õٖ ›| (5.9)  ë7÷ ›| (5.11) s ín “ ¢ô Õ %s $ –¤ €  ßá& ¸  w¦ ¸ ª i í  $ Ç   ” åº Ò+¼Ð  £ rË xî wÇ. XN õ YN s ›| (5.9) \ e /Ã_ Âì½sٖ ño 7"  nô    ¸ H L & ÷3   &%. ǘ 5.3 4™ /à a+  ¤L Ÿè åº ∞ n=1 zn s â7ʁô <“ /à  Á]Ç ÊÉ åº ‰  †r L ∞ n=1 |zn |  º4 s çô. Ç  H  ½” 5.3 6“ zÃ_ Áô/Ã{ M $w  í9s. Ô Ç§ £É º ºåº9 : ín $| §r ´ ÇL  ÇL (i) Áô/à ºåº ∞ n=1 an  º4 s ç  € lim an = 0. (5.12) n→∞ ∞ ∞ (ii) (j¬ah) ÁÇ/à  ôL ü •† ¨Ç ºåº  /f Œ ½ n=1 bn \ @K" y Ós 0 ≤ n=1 an < ∞ ∞  ñ ë9  ¸ º4  –  º4 an ≤ bn s & . ß{ n=1 bn s ç € n=1 an • ç ∞ ∞ Ç  –9 ë  µí 1ß  ¸ 1í ÏßÇ ô. ß{ n=1 an s ϖ € n=1 an • µ–ô. (iii) Áô/à ÇL ºåº ∞ n=1 an X  L s @ç  /à  ]/º4€ åº ∞ n=1 an H º4  çô.  Ç ñ &o 5.2 < ‚“ 5.3(i) \_K 4™/Ã\ @K"• sü °“ $9s ü æ  Ÿè庁 /f¸ < úÉ í| Ð ¤L r  ínô  $wÇ.   ah 5.3 4™/à ¤L Ÿèåº Ç (5.13) ∞ n=1 zn 1 X Ã\õ /Ã_ ç j ] ºP åº º4  L  131 s ç   º4€  (5.14) lim zn = 0 n→∞ s.   Ÿah 5.1 4™/à (5.13) s ç  y † zn “ Ä>s. 7, €_ ¤L Ÿèåº  º4€ Œ Ó  •½ ¤œ r É » £ ª ¸Ç œº à M s ”F # y ƒÃ n \ @ # |zn | ≤ M s. r • ©  >Œ Œ º  /Œ  zn = xn + iyn s€ Â1d  Òp”  x |xn | ≤ |zn | s“ |yn | ≤ |zn | ¦ (5.15) Ð Ò £  3 – Â' 6 z` %. § ´¦ H  ʦ  X/ º4 åº n=1  H ´L H º4< 3@ ç  z/à ∞ an  ç†` l% .   Çh 5.4 a 1. 4™/à (5.6) s [email protected]  (5.6)“ ç.  /º4 € r Ç É º4ô ¤L Ÿèåº   2. 4™/à (5.6) s ç l 0 9¯ì›|“ N → ∞ 9 M  ¤L Ÿèåº  º4 Aô €¹æ¸ É Ç  Ør r {: ∞ Qt[_ /à n=N zn → 0 s. tL  þ åº ”Ë «_ Ö㠼РÒ zåº ´L (i) Â1” (5.15) ܖ Â' /à Òpd x ∞ n=1 < |xn | ü ∞ n=1 |yn | “ ‚“ 5.3(ii) [z/Ã_ q“ño]– Â' yy çô. ‚“ 5.3(i) \ _ rÐ É Ã¦ & •• Ç Ð ´L åº §  Ð Ò ŒŒ º4 æ  # z/à Œ åº ´L ∞ xn ü < n=1 ∞ yn n=1 ¤ L H  “ çô. " &o 5.2 \_ # 4™/Í çÇ. r Ç É º4 f ñ Œ Ÿèåº º4ô ∞     ½ Ó (ii) S = n=1 zn s . Qt † (5.16) ρN = S − SN   ªQ s . Õ€ S = SN + ρN s“ |SN − S | = |ρN − 0| s“ N → ∞  ¦ ¦ { M SN → S sl 0 9¯Ø웓 ρN → 0 s. &_ 5.2 \ _ # 9:   Aô €¹¸|É Ç  ær r   ñ  Œ ¼Ð ¶  3 é H  ¦ H SN → S sٖ "  õ\ %. ŽFØ Å©7g ìøÃ< 1. Ã\ ºP  (−1)n (n = 1, 2, . . .) n2 Ð º4Ê º Ð £îŒ x  s −2 – ç†` ¿t– 7" #. <¦ zn = −2 + i 5© /à j  åº œL 132  ½ : + r É º4   ¦ 2. ë] 1 \" rn = |zn | s “ Θn = Argzn s É M rn “ ç Hj f ß të Θn “ ç t ·6 ˜#. r É º4 ú£` Ќ §§¦ – ` 3. ë9 limn→∞ zn = z s€ limn→∞ |zn | = |z | e ˜sr¯.   ”¦ й ß{ – 4. Qt† ρN (z ) ` Òy # |z | < 1 { M  ½ Ó ¦ qŒŒ  t•  9: ∞ zn = n=0 z 1−z 2 x  £îŒ ˜Ô p” \ 7" #. (³à : 1d ¦ x 1 + z + z2 + · · · + zN = 1 − z N +1 1−z (z = 1) ¦  й  6 # ρN (z ) = z N +1 /(1 − z ) ` ˜sr¯. `x ¦  Œ  9 : p” 5. 0 < r < 1 { M 1d x ∞ n=1 r cos θ − r2 rn cos nθ = < ü 1 − 2r cos θ + r2 ∞ rn sin nθ = n=1 r sin θ 1 − 2r cos θ + r2 s $wÊ` ˜#. (³à : ë] 4 _ ½1dõ o 5.2¦ s6Ç.)  ín† Ќ ˜Ô j  Óp” & <¦ 2 H †x ñ  x \  ô 6. ∞ n=1 zn ∞ n=1 wn = S, (a) ∞ ¯ n=1 zn (b) ∞ n=1 czn (c) ∞ n=1 (zn = T 9 M 6¦ 7" #. { : £ £îŒ  §` x ¯ = S. = cS , c  e__ 4™Ã.  ” Ÿèœº ¤© H ± wn ) = ST .  ” º\  º Ð º4ô¦  ªQ ªº œ  rŒ ¸ 7. ÃP zn s à z – çÇ“ . Õ€ €Ã M s >F # —   $nÊ` £ úÉ Ó¼Ð í† § r ½Z Ž n \ @K" Â1d |zn | ≤ M s w<¦ 6õ °“ ~Oܖ H   /f Òp” x ˜sr¯. й (a) ª_ ñà n0 s ”F # n > n0 { M € º  >Œ  9: œ& r |zn | = |z + (zn − z )| < |z | + 1. (b) zn = xn + yn  æ“ zÃ\ xn , yn \ @K" &{ô ©Ã M1  ¼¦ ºP  /f h© º œÇ œ ´ rŒ ¸Ž ƒº  /f ”  ¦ õ M2  >F # —H à n \ @K" |xn | ≤ M1 s“   nô |yn | ≤ M2 s $wÇ. í 2 X "/à j ] 4åº  L V2⠁‰ 133 ¹ ”³Á ‚;Ê ˜ 5.4 ‚;Êê a Ç+ ¹ Í ”³Áø (5.17) ∞ n=0 an (z − z0 )n = a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 + · · · + an (z − z0 )n + · · · H  A 4åº pô Œf “ þI_ "/Ã\ >Ç. #l" z0 < >à an  4™Ãs. z  + L ¦ w ü º ¦¤ © ` Ÿèœº  z0 \ Ÿ† H &{ %%?_ &s.  í< hœô òi/ h ¦ Ê  ©Ç    Çh 5.5 ë{ "/à (5.17) s z = z1 (z1 = z0 ) \" ç  s“ P a –  L ß9 4åº  f º4€ ¯É \   r  ;éó X ô 2"Í ¶ø |z − z0 | < R1 ?_ y &\" ]@ç. #l" R1 = |z1 − z0 | / Œ hf /º4Ç Œf •  ª> s(Õa 5.2). Ë «ã ÖË ”_ ¦ x Ç €  9 : ñ £î åº L (i) $ z0 = 0 { M &o\ 7"ô. /à  ∞ n an z1 (z1 = 0) n=0 n É » £ ©º ½ r ¤œ  s ç“ & . Õ€ Ó an z1 “ Ä>s. 7 à M > 0 s  º4ô¦ ñ ªQ † Ç >F # r ”Œ n |an z1 | ≤ M (n = 0, 1, 2, . . .). ß ¦   ë{ |z | < |z1 | s“ ρ = |z/z1 | s€ –9 n |an z n | = |an z1 | z z1 n ≤ M ρn #l" ρ < 1 s. /à Œf  åº L ∞ (n = 0, 1, 2, . . .). ρn n=0 r É “ ρ < 1 { M ç  l /Ãsٖ ‚“ 5.3(ii)[/Ã_ q“&o]\  9 : º4 庼Рæ zåº §ñ  ´L H L Ð L _ # /à Œ åº ∞ n=0 |an z n | /f º4 Ç “ P"ó |z | < |z1 | ?\" çô. r ;éÍ É \2¶ø f º4ô  L   ” h9 : åº   (ii) z0 s e__ &{ M /à (5.17) s z = z1 (z0 = z1 ) \" çÇ –  ¼€ r É ¦ & ß{ “ ñ . ë9 w = z − z0  æ (5.17)“  (5.18) ∞ n=0 an wn 5© /à j  åº œL 134 f º4Ç f ñ ¶hf $w  é  ¦ s“ (5.18) “ w = z1 − z0 \" ç. (i) \" &oH "&\" ín r É ô r 2éÍ É P¶ø ¼Ð åº Ù– /à (5.18) “ \;"ó |w| < |z1 − z0 | \" ]@çô. /à (5.18) L f X/º4 åº  L Ç ¦  /9¦  ¼ ñ  3  ¦ \" w @ z − z0 \ @{ “ R1 = |z1 − z0 | s æ€ &o_ õ\ % f /’   H .   r s &o "/à (5.17) s z0    &\" ç  z0 \ ×  ñ 4åº H L  É hf º4€  ¦æ   ”Ü– H #‹ ì?_ —Ž &[_ |Ës "/Ã_ ç%%` ˜ d¼Ð  Q" øâ/ ¸ hþ 9½ 4åº º4òie Ð    Í H t + L  ”¦ Œ Ò¦  ªQ¼Ð 4åº # œ ”. Õٖ "/à (5.17) s z0  ה  "?_ —H &\ e L  ¦ d ¶/ ¸Ž h \ æ H é  f º4 j/ " ø£¦ åº " ç  þ@ ¶_ ìt2 /à (5.17) _ ʁð¿ s ô. H é Í §` L  Á]5R  Ç   ß º4ìâ "ú ÅH hf 4åº Í é q   –{  L Ô Ç§ ½” 5.4 ë9 z2  çø_ ¶¾\ 5  &\"H "/à (5.17)  H ½ r É º4 ú ¸ô º4 Íâ é A hf º4É º¸ º4 “ ç t ·. ¢Ç ç ø_ " 0_ &\" ç+ Õ ç   ì ¶  §H  ú º¸  t ·` Õ ”. e §¦ – çø“ 6õ °s ½+ à e. ´ ì r § zjÐ º4ÍâÉ £ ú ¨½ º ” É   a Çh 5.6 R s "/à (5.17) _ çø s   º4ìâ  €  4åº L Í (5.19) 1 = lim sup |an |1/n . R n→∞ ß ë9  » ¦ pô ë9 ”` w –  –{ R = 0 s€ ÃP {|an |1/n } s Ä> _ >Ç. ß{ R = ∞ s  º \ 1/n = 0 ` >Ç.   € lim sup |an | ” p e¦ wô   ñ ÒQ  ”Ë t = lim sup |an |1/n  . $ t = 0, ∞  & . Å#” ε > 0 «_ Öã   €  /f »Ç h j@ ¸Ž  /f \ @K" Ä >\ ]üô —H n \ @K" ô¦ Ç  ¸H |an |1/n ≤ t + ε ¢ |an | ≤ (t + ε)n  nÇ f åº< §ñ Œ s íwô. " l /Ãü q“&o\ _ # |z − z0 | < 1/(t + ε) s $ L  ∞ r É X/ º4 ªQ¼Ð º4øâ É ¸ Ç L  åº Í r H € /à n=0 an (z − z0 )n “ ]@ çô.Õٖ çì R “ —Ž  /f ¦ –¤ô ε > 0 \ @K" R ≥ 1/(t + ε)  ë7. " R ≥ 1/t. ` ßáÇ f   i¼Ð ÒQ  /f º úÉ  >Œ %ܖ Å#” ε \ @K" Áôy ´“ n s ”F # |an | ≥ t − ε s  Ç §r r $n. Õٖ ô íwÇ ªQ¼Ð |an | ≥ (t − ε)n . €  ¼Ð åº f ß9 " ë{ |z − z0 | = 1/(t − ε) s |an (z − z0 )n | ≥ 1 sٖ /à – L ∞ n “ ç t ·. Õٖ çì R “ —Ž ε > 0 §H ø É ¸ rH r n=0 an (z − z0 ) É º4 ú ªQ¼Ð º4Í⠁ /f \ @K" R ≤ 1/(t − ε) ` ë7ô. " R ≤ 1/t. ¦ ߤ  –áÇ f rq É l Œ t = 0 ü t = ∞ “ 1\> z|. < ™ Ÿ ¸ah 5.2 –{ limn→∞ |an | = t s ”F  R = 1/t. Ç ë ß9  > r € 2 X "/à j ] 4åº  L 135  º4ìâ ø ¦  L 4åº "/à (5.17) s çÍ |z − z | = R ` “ & . Õo“ "  ”¦ ñ ª¦ 4 L åº /à (5.17) _ + S (z ) ü Âì½ SN (z ) ` 6 °s  ?. Ë < Ò+ § ½ rË ¦ £õ ú / S (z ) = ∞ n=0 n an (z − z0 ) , SN (z ) = N −1 n=0 an (z − z0 )n (|z − z0 | < R). ªQ   †º Õ€ Qt <à  Ê (5.20) ρN (z ) = S (z ) − SN (z ) (|z − z0 | < R) H ø ¼Ð  º4Íâ/ ¸ hf 4åº Ü– . çì?_ —Ž &\" "/à (5.17) s ç ٖ N → ∞ H L  º4¼Ð  {M  9: ρN (z ) → 0 (|z − z0 | < R). ¤e £  7, ”__ ε > 0 \ @K" à Nε s ”F #  /f ƒº   >Œ r  N > Nε s |ρN (z )| < ε € s $wô.  ín Ç {ì&ܖ ƒÃ Nε “ çì?_ & z õ ε \ _”. sô 9øh¼Ð º Í  r Í É º4øâ/ h   >Ç Q rô  Ç âº H   \ßÁ]5¦ ú¦ º4Í / £> i/ ¸ H Ä S (z )  †~ʁø“ ´ “, çø?_ :Zô %%?_ —Ž ˜ ìâ ¤Ç ò  h /f ºa¦ ß  ”  º &\ @K" Á' “ ét ε \ _>  Ä S (z )  ”ßN ʁ5 – r Hâ  › H §Ã Á]ø  “ ´ô. ¦ ú ˜Ç – ë9 L  º4Í   4åº ø / h€ a Çh 5.7 ß{ z1 s "/à (5.17) _ çìâ |z − z0 | = R ?_ &s  (5.17) “ {˜"ó |z − z | ≤ R1 ?\" “Ø> çô(Õa 5.3). #l /f ¦Ô º4 ªË Ç > r —³éÍ É Œ2¶ø Œ  f " R1 = |z1 − z0 | s. ”ã «Ë Ö_ (5.21) ¦ x z0 = 0 { M &o\ 7î . z1 s "/à  9 : ñ £"  4åº L ∞ an z n n=0   º4Íâ/ h¼Ð _ çì?_ &s . z1 s çì?_ &sٖ |z1 | < |z | < R  º4øâ/ h  Í ø  > L Ê   & z s ”F # "/à (5.20) s ç†\ Å_ . Õ€ &o 5.5  “ h  rŒ 4åº  º4< Ò ªQ ñ \ _ # "/à  Œ 4åº L (5.22) ∞ n=0 n |an z1 | “ çô. m, N ` m > N “ à . Õ€ /à (5.20) ü r Ç É º4  ƒ L < ¦  º  ªQ åº (5.21) _ Qt†“ yy Ór ••   ½É ŒŒ m (5.23) an z n ρN (z ) = lim m→∞ n=N 5© /à j  åº œL 136 ¦ s“ m (5.24) σN (z ) = lim m→∞ n=N s. ÕX  ª<  n |an z1 | m |ρN (z )| = lim m→∞ an z n n=N  s“ |z | ≤ |z1 | 9 M ¦ {: m m n=N an z n ≤ m m n= N |an ||z |n ≤ n=N |an ||z1 |n = n=N n |an z1 |. {:   f s. " |z | ≤ |z1 | 9 M (5.25) |ρN (z )| ≤ σN  r  L É º4H åº  ӼР† {:  ÕX σN “ ç  /Ã_ Qt½sٖ N → ∞ 9 M σN → 0 s ª<  r ¤  ”Œ  £ ” . 7 e__ ε > 0 \ @K" à Nε s >F #  /f º ƒ (5.26)  € N > Nε s σN < ε ¸ ›| (5.24) ü (5.25) \_ # "ó |z | < |z1 | _ — & z \ @K" (5.25)  <  ¸Ž h  /f Œ ¶ø éÍ H s $wÇ. ¢ Nε “ z _ ‚˜\ Á› . " /à (5.20) “ “Ø  ínô ¸Ç  ' L r É ¦Ô ô r É  ׁ ºa f åº þ Ç  º4 > çô.  L z0 s e__ &{ M. /à (5.20) \ w = z − z0 – æ€ o_ &\  ” h9 : åº  ¦  Ð ¼ & ñ ñ /f @K" z1 − z0 “ /à rL É åº ∞ an wn n=0 øâ / h  åºH Œ˜éø _ çÍ |w| = R ?_ &s. s /Í {³"ó |w| ≤ |z1 − z0 | ?\  º4ì  L  —2¶Í / f ¦Ô º4 f ñ  ínÇ " “Ø> çô. " &o_ õ $w. Ç  H ô ŸÇh 5.3 "/à (5.17) “ çÍ |z − z0 | = R ?\ y &\" ƒ5 ¸a  L 4åº r ø É º4ìâ / Œ hf Å • q p Êà S (z ) ¦  . 7 ë9 S (z )  çì |z − z1 | = R ?\" / < †º  \ · £ ß ¤ –{ º4ø Íâ /f å L  ½ /¦ +¦ / h Œ  • à (5.17)_ Ë`  ?“ z1 s |z − z1 | = R ?_ &s€ y ε > 0 \ @ º /  K" ªÃ δ > 0 s ”F # f œº  rŒ € > (5.27)  € |z − z0 | < δ s |S (z ) − S (z1 )| < ε.  ñ i  ~ ¤ Ør • Œf  #l" δ H z  S (z ) _ &_% |z − z0 | < R ?\ s•2 æìy >  / Z¸Ÿ  Œ ô  Ç . 2 X "/à j ] 4åº  L ”ã «Ë Ö_ 137 ¦  ÒË ¦ r½ SN (z ) ` (5.17)_ Âì+s “  S (z ) = SN (z ) + ρN (z ) Ð ¼ Œf – æ. #l" ρN (z ) “ /Ã_ Qt½s. Õ Ó rL É åº  † ªQ € |S (z ) − S (z1 )| = |SN (z ) − SN (z1 ) + ρN (z ) − ρ(z1 )| ¢ ¸ H (5.28) |S (z ) − S (z1 )| ≤ |SN (z ) − SN (z1 )| + |ρN (z )| + |ρ(z1 )|. ß H  —2¶Í Z e  € > ë{ z  #‹ {˜"ó |z − z0 | ≤ R0 \ #”H e__ &s(ÕË 5.4) –9  Q" Œ³éø  ~Œ ” h ªa  Œ ¦Ô º4¼Ð º   >Œ r ñ &o 5.6 \ _ # “Ø> ç ٖ ƒÃ Nε s ”F #  (5.29) ε  N > Nε s |ρN (z )| < . € 3 r éó É ¶Í :y ›| (5.28) “ "ø |z − z0 | ≤ R0 \ ŸÊ&•2 Øìy >ô z1 _ ¤ £ ¸  í†÷¸Ÿ  ŒÇ < ¤ ær •   / Œ h  / $wô #‹ H~ |z − z1 | < δ ?\ y & z \ @K ín. Q" ½  Ó • Ç rË •  /f j Ò½ s] Âì+ Sn (z ) “ †dsٖ y N \ @K" z1 \" 5s. r Ó É ½”¼Ð Œ f ƒÅ q  9: ¤ £ :y N = Nε + 1 { M (5.30)  |z − z1 | < δ s€ |SN (z ) − SN (z1 )| <  ε 3 ¤ ¦ • ˜É  x s ÷•2 δ \ > ×+ à e. Â1” (5.29) \" N = Nε + 1  æ“  &¸Ÿ  Œ þ½ º ” Òpd f  ¼¦ N = Nε + 1 9 M (5.28) ü (5.29) s íwô z` 6 €  <  nH ¦   {: $Ç  ´ x  |z − z1 | < δ s |SN (z ) − SN (z1 )| < €  εεε ++. 333  x  x zÃ †Ã_ “ ç$“ <Ã\_ 5, pì0, &ì0$ º <ºP ¦É º4íÉ ÊºP ƒÅ r p hr pí ´ Ê \ r  r †  q ` Ät†` ·“ ”. 6 ño 4™†ÃP_ “ ç$|` ˜s“  §& H¤ Ê \ ¦ »< ú¦  £  Ÿè<º ¦É º4í9 Ц ʦ ˜ e r  ¦  ” e. Çh 5.8 (Weierstrass) †Ã fn (z ) s %% Ωn \" K$&s“ a  f 3h¦   <ºP  òi  Ê\ \  %if G <º ÇÊ Ð º4¦  ¸ ŽØÔ  ¦ º “ ÃP {fn (z )} s %\" Fô †Ã f (z ) – ç “ Ω _ —Ž ˜à ò H (þ ñ  Ò|½Af ¦Ô º4Ǧ  ªQ€ Âì9+0\" “Ø> çô“ & . Õ f (z )  Ω \" K$ rË   H f 3  &s. ¹s fn (z ) “ Ω _ —Ž (Øà Âì9Ë0\" f (z ) – “Ø  h 8¡ ¤ r É  ¸H ŽþÔ Ò½Af Ð ¦Ô  ˜ r|+   º4ô > çÇ. 5© /à j  åº œL 138 ¦ Êa —2 «ã Ö_ ”Ë |z − a| ≤ r ` Ω ?\ Ÿ† {˜ nÛß . &\ _ #  / í<) Œ³ ¼¼   Œ ñ H s nÛߍ #" n0 ˜ H —Ž n \ @K" Ωn \ Ÿ†). ë9 γ s  ¼¼ Q‹ Ð ¸  /f H  í<a ß{  ʝ – |z − a| < r \ Ÿ† e__ {˜ /‚s Cauchy &o\ _ # n > n0  í<a  Œ2 B€ Ê) ” —³ G  ñ Œ \ @K"  / f fn (z ) dz = 0. γ γ 0\" “ ç$` s6  r í x € Af ¦É º4 ¦   f (z ) dz = lim n→∞ γ γ fn (z ) dz = 0, ñ Œ  s“ Morera &o\ _ # f (z )  |z − a| < r \" K$&s. ¦ H f 3h  ( 7") fn s K$&sٖ Cauchy &ì/d\ _ #  3h¼Ð  rN hB” Œ É £î r x fn (z ) = 1 2πi C fn (ζ ) dζ. ζ −z ¦ € ¦Éº4í  #l" C  " |ζ − a| = r s“ |z − a| < r. n → ∞ s “Ã§$\ _ Œf  ¶ Hé  r  # Œ f (ζ ) 1 f (z ) = dζ. 2πi C ζ − z N”r ”`  ¦  BÉ s“ s /d“ f (z )  nÛß\" K$&e ˜#œ e. pr/ ¼¼f 3h¦ ЌҦ ” ìBd N” fn (z ) = 1 2πi C fn (ζ ) dζ. (ζ − z )2 – Â' °“ ~O` 6 € Ð Ò úÉ ½Z¦   r Ó x  lim f (z ) n→∞ n = 1 2πi C f (ζ ) dζ = f (z ) (ζ − z )2 s“ °“ ¨H çs |z − a| ≤ ρ < r \ @K" “Ø> çÊ ˜“ ¦ úÉ î  º4 r    /f ¦Ô º4†` Ð <¦  ˜ +r  —2 t  . Ω _ e__ ŽØà |˓ Õô {³ nÛß[_ Ä >\ _K"  ” (þÔ 9½É ªQÇ Œ˜ ¼¼þ »ô h f  Ç = º e¼¼Ð º4 É ¸Ž ŽþÔ Ò9½Af ¦Ô º4Ç  ír  ˜ Wn à ”Üٖ ç$“ —H (Øà Âì|+0\" “Ø> çô. = rË  (k ) 0_ 7îõñ` >5  €_ à k \ @K" fn (z ) “ Ω 0_ — A £ & Å ª &º  /f x" ¦ q € œ ñ r É A ¸ Ž (Øà Âì|½0\" “Ø> çô. H ˜ Ç  ŽþÔ Òr9ËAf ¦Ô º4 + ŸÇ ah 5.4 K$†Ã[_ /à < t L ¸ 3ʺþ åº f (z ) = ∞ n=1 fn (z ) 2 X "/à j ] 4åº  L 139  òi  ¸ (˜Ô Ò9ËAf ¦Ô º4€ Ë s %% Ω _ —Ž þà Âì|½0\" “Ø> ç  + f (z ) “ Ω  H ŽØ r +  ½ r É f 3h¦ \" K$&s“  ∞ f (z ) = fn (z ) n=1  s. • Œ y n = 0, 1, 2, . . . \ @K" fn (z ) = an (z − a)n “ K$<Ãsٖ "/  /f r Ê É 3†º¼Ð 4å L r Íâ É º4ø /f 3ʺ < º à (5.17) “ çì?\" K$†Ãs. L 4åº ¸ a ŸÇh 5.5 "/à ∞ f (z ) = n=0 an (z − z0 )n  º4øâ  úH ¶ø s çì R ¦ ° "ó |z − z0 | < R ?\" ç“ & . Õ Í `  éÍ /f º4Ǧ ñ ª ô  f (z )  ¶ó |z − z0 | < R \" K$<Ãs“ Q€ H "ø  éÍ  f 3ʺ¦ † ∞ f (z ) = n=1 nan (z − z0 )n−1  s. ʺ < × ™e 5.1 †Ã 1 1 = = z 1 + (z − 1) ∞ (−1)n (z − 1)n n=0 (|z − 1| < 1) sٖ œ` pì  2&o 5.5 \_K ¼Ð € € £   ª¦ r  §ñ − ∞ 1 (−1)n n(z − 1)n = z2 n (|z − 1| < 1) =1  ¢H ¸ 1 = z2 ∞ (−1)n (n + 1)(z − 1)n n=0 (|z − 1| < 1).  ah 5.9 C  "/à Ç H L  4åº (5.31) S (z ) = ∞ n=0 an (z − z0 )n (|z − z0 | < R)  º4ø/ҁ   pd ¦ _ Ã§Í ?Â\ ”H e__ 1s “ g (z ) H C 0\" ƒ5“ e ” x”‚  q ìâ  Af Å  __ Êà . Õ€ e < ” †º  ªQ (5.32) g (s)S (z ) dz = C ∞ n=0 an C g (z )(z − z0 )n dz. 5© /à j  åº œL 140 «ã Ö_ ”Ë q Ê <º †Ã g (z ) ü S (z ) s C 0\" 5sٖ <  Af ƒÅ¼Ð N g (z )S (z ) = g (z )SN (z ) + g (z )ρN (z ) = n=0 an g (z )(z − z0 )n + g (z )ρN (z ) ¯ _ C 0\" &ì°  Af hrú g (z )S (z ) dz C < r •• É ŒŒ  ÒËõ  ½ ª “ >Fô. #l" SN ü ρN “ yy S _ Âì½ Qt†s. Õ r” Ç É r Œf r+ Ó  r É Af żРq < X g (z )SN (z ) “ C 0\" ƒ5sٖ N g (z )SN (z ) dz = C an C n=1 g (z )(z − z0 )n dz rr Ç É > f “ ”Fô. " g (z )ρN (z ) dz C “ ”F # ô. " rr É >Œ  f Ç N g (z )S (z ) dz = (5.33) C an C n=1 g (z )(z − z0 )n dz + g (z )ρN (z ) dz C  ¦ ´ ¼Ð þ º e ܖ j à ”. M ` C 0\" |g (z )| _ [email protected] “ L ` C _ Us t ¦ Af   j/ú ¦    ¯  Œ H     ñ  . &o 5.7 \ _ # S (z )  C 0\" “Ø> ç ٖ __ Af ¦Ô º4¼Ð e ” ε > 0 \ @K" €_ &à Nε s >F # C 0_ — z \ @K  / f ª  ñ º Ž œ  rŒ A ¸H  / ”  N > Nε s€ |ρN (z )| < ε  íÇ a  w s $nô. Nε “ z \ Á› ٖ r É  º'¼Ð N > Nε s€   g (z )ρN (z ) dz < M Lε C  f s. " lim N →∞ C g (z )ρN (z ) dz = 0. Ð Ò 1d (5.33) – Â' x p” N g (z )S (z ) dz = lim C N →∞ an n=1 C g (z )(z − z0 )n dz. 2 X "/à j ] 4åº  L 141  ½” 5.5 ño 5.9 \" g (z ) = 1 s ¿“ Morera &o\ s6  S (z ) Ô Ç§ & f  º ¦ ¦ x ñ  € ” Ç  çì ?\" K$ÊÃe¦ · à e. ¢ô º4Í/f 3<º”` ú º  ¸ øâ †  ˜ g (s) = 1 1 · 2πi (s − z )2  x  §ñ ¦ £îÉ º ”  \   £   x ½ º¦  ¿“ ño 5.9 ¦ 6 € 2&o 5.5 \ 7"+ à e. & < ™e 5.2 †Ã × ʺ r † ” É <º` Ќ “ „ÊÃe¦ ˜#. Ú þ IT (sin z )/z, f (z ) = 0, z=0 z=0 Maclaurin /Ä> L åºh sin z = ∞ n=0 (−1)n z 2n+1 (2n + 1)! ¦ s — z °\ @K sin z   ?ٖ /à  ¸Ž ú / H¯ \ /¼Ð åº L ∞ (5.34) (−1)n n=0 z 2n z2 z4 =1− + − ··· (2n + 1)! 3! 5! r É “ z = 0 { M f (z ) – çÇ. Õ (5.34)  z = 0 { M f (0) – ç  9: Ð º4ô ªQ Ð º4  H   9:  Ç f . " f (z )  —Ž z \ @K ç  "/à (5.34) – ³&a. ô HH  ¸  / º4 4åº  H L Ð ð‰ ³) ªQ¼Ð H <º Õٖ f  „†Ãs.  Ê ÅøÃ< ìF7g Ž©Ø L åº 1. /à 1 = 1−z ∞ zn n=0 (|z | < 1) \ p # ¦ ìŒ r 1 = (1 − z )2 ∞ 1 (n + 1)z , = (1 − z )3 n n=0 ∞ (n + 1)(n + 2)z n (|z | < 1) n=0 \ ½ .  ¦ ¨ 2. /à L åº sin z = ∞ (−1)n n=0 z 2n+1 (2n + 1)! (|z | < ∞) 5© /à j  åº œL 142 ½ ¦ L _ ÓZ pì # /à  †> r` Œ åº cos z = ∞ (−1)n n=0 z 2n (2n)! (|z | < ∞) ¦ »¸+ º e£¦ Ќ ` ĕ½ à ”6 ˜#. É  §` L¦ x åº\  Œ £ ʺ †º” й §† Ê ¦ 3. /à s6 # 6 <à „<Ãe` ˜sr¯. (a) f (z ) = (b) f (z ) = (ez − 1)/z, z = 0, 1, z=0 cos z , z 2 −(π/2)2 − 1 , π z = ±π/2, z = ±π/2 4. z0 ` dܖ  "¨ò%\" ç  ¿ /à  ה¼Ð H ¶8 if º4H º åº ¦ æ  éŠ%  L S1 (z ) = ∞ n=0 an (z − z0 )n , S2 (z ) = ∞ n=0 bn (z − z0 )n ¦ ҕ ` tŒ  ¶Š  ~ H  \ é8%i Œ” ” pd ¦  qy . C ¦ "¨ò%\ Z#e e__ 1”s “ g (z ) x‚ ¦ Af Å<º  ªQ€  C 0\" ƒ5†Ã . Õ qÊ  \ ∞ S (z ) = S1 (z ) + S2 (z ) = n=−∞ cn (z − z0 )n 9: {M  g (z )S (z ) dz = C ∞ cn C n=−∞ g (z )(z − z0 )n dz  Ќ ³Ô ñ xî½ x e¦ ˜#.(˜à : &o 5.9 _ 7"~Z s6 # ”` 2  £ ÓO  Œ g (z )S2 (z ) dz = C ¦ x   £îô \ 7"Ç.) ∞ n=1 bn C bn dz (z − z0 )n 3 X K$†Ã_ "/ó‰ j ] 3<º 4åºð&  L ³ Ê ‰ V3â 143 Å 7ÁÁ+ ”;ÁØ« B„Ê˜ ‚³Ê¸› þ ¹ § f  4åºH º4Í /f 3†º` L  ìâ 5.2 X 2&o 5.5 \" ”__ "/Í çø?\" K$<Ãe¦  £ñ e Ê ”    ³ xÊ` Ði  ]fH ” 3<º 4åºÐ ð& p<¦ Ц ˜%. s X\" e__ K$†Ã "/Ö ³‰0† ˜s“ Ê L ô. Ç  Ç Ê <º æ” × ͧ  \2éø  ah 5.10 (Taylor) †Ã f  ds z0 s“ ìt2 R0 “ P"ó |z − ¦ ø£  ;¶Í  z0 | < R0 _ ^\" K$s“ & (ÕË 5.5). Õ€ "ø_ y  ¶ó •  „‰f 3¦  ªa  ñ > ªQ éÍ Œ & z \" f (z ) “ "/à ³&  h f ‰ r L É 4åº ð³ (5.35) f (z ) = ∞ n=0 an (z − z0 )n (|z − z0 | < R0 ) ¦ ` ” Œf  . #l" (5.36) an = f (n) (z0 ) n! (n = 0, 1, 2, . . .) ¤ 9 : 4åº  L   £ s. 7 |z − z0 | < R0 { M "/à (5.35) H f (z ) – çÇ.   Ð º4ô  ¸Éá  a ¹ ³Á¦   庍 Ç L (5.35) _ šA` f _ z0 \ 'ô Taylor ;Ê“ ô. s /ÃH r¤¦  ›Ç p&ì†\" †Ã_ Taylor /Ã< q5 . h<f z<º L åºü p w rÆ ´Ê ”_ «ã ÖË (5.37)  €$ z0 = 9 M &o 7" . /à (5.35) “  \ x L r É  { : ñ¦ £î åº f (z ) = ∞ n=0 f (n) (0) n z n! (|z | < R0 ) Ç œ L¦ ;Á  Ç ¼Ð +a Qô ¸ª åº ܖ þ. (s —€_ /Ã\ Maclaurin ³Ê ô.) A) ¹ C0  "ó |z | < R0 ?\ Ÿ†÷“ ìy &" & z  ?Â\ e e ¦ ¶Í \ éø / í<&¦ ær f h Ê Ø /ҁ ” ”  H   ` / ªa >  € ½Ó ¶ __ œ_ ~†_ " |z | = r0 ¦  ?(ÕË 5.6). Cauchy &&o\ ª Ó¾ é r ¦ hìñ &6  x  h € (5.38) f (z ) = 1 2πi C0 f (s) ds. s−z #l" x&<Ã_ 1/(s − z ) “ Œf hrʺ ì† r É (5.39) 1 1 1 =· s−z s 1 − (z/s) 9:  ܖ j à . Õo“ z = 1 { M ¼Ð þ º e ª¦ t ” (5.40) 1 = 1−z N −1 n=0 zn + zN 1−z 5© /à j  åº œL 144 ¦ 6 # (5.40)_ z @’ z/s \ Ë# 6 € (5.39) “   Œ  ¨Q   ¦ r É `x  /  x 1 = s−z (5.41) N −1 1 sn+1 n=0 1 (s − z )sN zn + zN  f h`  r  ¦Y  L¦ ¦ (5.41) _ €` f (s) \  “ C0 \ " &ì¦ €  œ¦ ª (5.42) C0 f (s) ds = s−z N −1 C0 n=0 f (s) ds z n + z N sn+1 C0 C0 f (s) ds. (s − z )sN Cauchy &ì/d (4.70) \ _ # rN hB”  Œ 1 2πi C0 f (s) f (n) (0) ds = sn+1 n! ¦ 3 ` %. (5.42) \ € `  ª  œ ¦  H (5.43) 1 2πi ¦ Y € 0 dܖÂ' L  \  A ”¼ÐÒ  N −1 f (z ) = (n = 0, 1, 2, . . .) n=0 f (n) (0) n z + ρN (z ) n!  3H Œf ` %. #l" ¦  (5.44) ρN (z ) = zN 2πi C0 f (s) ds (s − z )sN (5.35) ` ˜sl 0K" ¦  Ð Af (5.45) lim ρN (z ) = 0 N →∞ ` ˜s€ . (5.45) \ ˜sl0K |z | = r s ñ . ß{ s  C0 ¦ ¦  & –9 ë  Ð ) a  ÐA 0_ &s€ A h  |s − z | ≥ |, |s| − |z | | = r0 − r.  j/ú " ß9 M s C0 0\" |f (s)| _ [email protected] f –{ ë Af ¯  |ρN (z )| ≤ M r0 M rN · 2πr0 = N 2π (r0 − r)r0 r0 − r r r0 N .  /Òh¼Ð  ¼Ð G  ínô  z  C0 _ ?Â&sٖ (r/r0 ) < 1 sٖ Fô (5.45) s $wÇ. Ç  z0  e__ &s . f  " |z − z0 | < R0 \" K$s & ” h   ¶ô éÇ f 3 ñ   ªQ + ʺ . Õ€ ½$†Ã f (z + z0 ) “ |(z + z0 ) − z0 | < R0 \" K$<Ãs  Ëí< f 3ʺ r É †  f . " g (z ) = f (z + z0 )  ¿€ g (z ) H |z | < R0 \" K$<Ãsٖ  º   f 3ʺ¼Ð †  (5.37) \ _ # Maclaurin /à  Œ L åº g (z ) = ∞ g (n) (0) n z n! n=0 (|z | < R0 ) 3 X K$†Ã_ "/ó‰ j ] 3<º 4åºð&  L ³ Ê 145 ¦ H  3 £ \ %. 7 ¤ ∞ f (z + z0 ) = n=0 f (n) (z0 ) n z n! (|z | < R0 )  /{ ¦ H  ¦  L åº  3 0 \" z @’ z − z0 \ @9 € Taylor /à (5.35) ` %. A df / ” Ô Ç§ ½” 5.6 Êà f  & z0 \" K$&s f H z0 \" Taylor /æ  <º  h    † f 3h€  f L\ åº .  ” ”Ë †Ã f  & z0 \" K$&s€ f H z0 _ ε-½ |z − z0 | < ε ? Öã ʺ «_ < f 3h  Ó /  h     H~ \" K$&s. ε ` R0 ü °s qy € Taylor &o\_K Taylor /à f 3h  ¦  ҕ  L åº < ú tŒ ñ  H ¦ 3 \ %.  ˜É f  „†Ãs R0 “ e_– ß> þ½ à ” " (5.35) “ <º€ Ê r” É Ð ¼ ‚×+ º e f  r É |z − z0 | < ∞ s. Õ /Í Äô ¨?\ y &\" f (z ) ܖ ç € L  Ç € ¼Ð º4   ªQ åºH » î/ Œ hf • Ç  ô.  <º Ê  H  <º¼Ð ¸Ž  / ín Ê ™e 5.3 †Ã f (z ) = ez s „†Ãsٖ —H z \ @K $w  Maclau× (n) (z ) = ez s“ f (n) (0) = 1 sٖ s¯ rin /à ³‰` ”. #l" f L åº ð&  Œf ¦ ¼Ð   ³¦  ܖ Â' ¼Ð Ò ∞ z e= (5.46) n=0 zn n! (|z | < ∞). –9 ß{ z = x + i0 s€ /à „> (5.46) “ ë  åº h r É L  ∞ ex = n=0 xn n! (−∞ < x < ∞). ) ܖ . ¼Ð a ™e 5.4 –9 f (z ) = sin z s × ß ë{  €   f (2n) (0) = 0 s€ f (2n+1) (0) = (−1)n ( n = 0 , 1, 2 . . .) . " f (5.47) sin z = ∞ (−1)n n=0 z 2n+1 (2n + 1)! (|z | < ∞). Ê H´ r ›| |z | < ∞ “ †Ã f (z ) = sin z s †Ã z– Â' :. ¸  rÊ É <º  „<º Ð Ò “ x”  œ sinh z = −i sin(iz ) sٖ 1d (5.47) _ z @’ iz – ˓ €\ ¼Ð p  / Ð ¨¦ ª −i ¦ Y  \  L € (5.48) sinh z = ∞ n=0 z 2n+1 (2n + 1)! (|z | < ∞). 5© /à j  åº œL 146 ë   × ™e 5.5 –{ f (z ) = cos z s€ ß9 f (2n+1) (0) = 0 s f (2n) (0) = (−1)n  € (n = 0, 1, 2 . . .). " s <Í Maclaurin /Ä> f  †ºH „Ê  L åºh (5.49) ∞ cos z = (−1)n n=0 z 2n (2n)! (|z | < ∞). x”  / € s“ cosh z = cos(iz ) sٖ 1 (5.49) _ z @’ iz – Ë ¦ ¼Ð pd  Ð ¨ (5.50) cosh z = ∞ n=0 z 2n (2n)! (|z | < ∞).    \ x  / ›>” cosh(z + 2πi) = cosh z ¦ s6 € (5.50) _ z @’ z + 2πi – ad '  Ð  L¦ + åº ¨½ º ”  ˀ z0 = −2πi \"_ cosh z _ Taylor /Ã\ ½É à e. ¨ f  cosh z = ∞ n=0 (z + 2πi)2n (2n)! (|z + 2πi| < ∞). × ™e 5.6 †Ã f (z ) = 1/(1 − z ) “ z = 1 \" K$<Ãs. •†Ã ʺ < r É f 3ʺ ¸<ºH † ʍ f (n) (z ) = n! (1 − z )n+1 (n = 0, 1, 2, . . .) sٖ f (n) (0) = n! s. " f _ Maclaurin /Í ¼Ð  f  L åºH 1 = 1−z (5.51) ∞ zn n=0 (|z | < 1). Qô þ åº s +I_ /à (5.51) \ e ;Ê Ç. ÇA L  ³Á  ¦ ¹ ô ß9 (5.51) \ z @ −z ¦ @{  | − z | < 1 { M – ë{  /’    \ /9€  9: 1 = 1+z ∞ (−1)n z n n=0 (|z | < 1). –{ \   /’  ¦ /9 9:  ë9 (5.51) \ z @ 1 − z  @{ € |1 − z | < 1 { M ß 1 = z ∞ n=0 (−1)n (z − 1)n (|z − 1| < 1). 4½&“ †Ã_ Ä\ ÂìÃþI– ¾# ˜l 5.6 \ s6Ç ¤Ë Ê Ÿ+h <º ⺁ Òrº+Ð ºQ Ð ¦ x H rì A   ô  . 3 X K$†Ã_ "/ó‰ j ] 3<º 4åºð&  L ³ Ê 147 × ™e 5.7 †Ã <º Ê f (z ) = 1 2(1 + z 2 ) − 1 1 1 + 2z 2 = 3· =3 3 + z5 2 z z 1+z z 2− 1 1 + z2 “ z = 0 \" K$†Ã mٖ Maclaurin /Ã> 0 t– r É f 3<º ¼Ð L 庄h ¦ pß Ôx ë Ê L &É ”  z _ "/Ö ³³½ à e. d (5.51) \"  4åºÐ ð‰+ º  ” f 1 = 1 + z2 ∞ (−1)n (z − 1)2n n=0 (|z | < 1). sٖ 0 < |z | < 1 { M ¼Ð  9: 1 f (z ) = 3 z 2− ∞ n=0 (−1)n (z − 1)2n = 1 1 + − z + z3 − z5 + · · · z3 z r Ô Ç§ ½” 5.7 4™&\" 1/z 3  1/z < °“ z _ 6_ "s :y ׯ õ ¤ ì Ÿèhrf ü úÉ  £ 4 £ ¹ §¤æ  . L 4åº "/à (5.52) f (z ) = ∞ n=0 an (z − z0 )n ü g (z ) = < ∞ n=0 bn (z − z0 )n é Ç ¶ s " |z − z0 | = R ?\" ç“ & . 2 o 5.5 \_ # f /f º4ô¦ ñ £& §ñ Œ ü g  "ó |z − z0 | ≤ R \" K$†Ãs. " f (z ) ± g (z ), f (z )g (z ) < H ¶Í  éø f 3ʺ f < x f (z )/g (z ) (g (z ) = 0) • ¢ K$<Ãs. " Taylor _ &o\ _ Ç † 9 ¸ ¸ô 3ʺ f  ñ  t Ê  L Œ þ <º¦ 4åºÐ h # s[ †Ã\ "/Ö „> 0 .  x p Ç L 4åº  ah 5.11 "/à (5.53) f (z ) = ∞ n=0 an (z − z0 )n ü g (z ) = < ∞ n=0 bn (z − z0 )n /f º4Ǧ  ªQ€ ñ  s ¶ó |z − z0 | < R ?E" ç“ & . Õ  "ø éÍ ô (i) f (z ) ± g (z ) = (ii) f (z )g (z ) = (iii) f (z )/g (z ) = ∞ n=0 cn (z ∞ n=0 dn (z − z0 )n , − z0 )n , ∞ n=0 hn (z − z0 )n . ¦  Œf s. #l" cn = an ± bn s“ n dn = k=1 an−k bk . 5© /à j  åº œL 148 «ã Ö_ ”Ë   £  ñº  /f €§ Taylor &o\ _  6s  &à k \ @K" ñ  ak = 1 (k ) 1 f (z0 ), bk = g (k) (z0 ) k! k! ô  $wÇ s ín. 1 (f + g )(n) (z0 ) n! cn = ¼Ð  n íÇ s“ (f ± g )(n) (z0 ) = f (n) (z0 ) ± g (n) (z0 ) sٖ cn = an ± bn s $wô. ¦ Leibniz /d N B” n (f · g )(n) (z0 ) = k=1 n (k ) f (z0 )g (n−k) (z0 ) k ¦    s6 € ` x dn = 1 (f · g )(n) (z0 ) n! n = k=0 ak bn−k ” ¼Ð f 3†º¦ e¦ · à . g (z ) = 0 sٖ f /g • ¢ô z0 \" K$<Ãs“ Taylor  ˜ ”` ú º e  ¸ ¸ Ç Ê  x p ñ Œ 4åºÐ „h &o\ _ # "/Ö > 0 . L ½” 5.8 ño 5.11 (iii) \" >à hn ` Taylor ño\ s6 # ½ H Ô Ç§ &  Œ ¨  & f º ¦  ¦ x “ BÄ 4¸ . Õ 6õ °“ ½O` 6  . ¯r É º Ÿú ªQ £ úÉ ~  € ) ¤š § r ÓZ¦ x  a × ™e 5.8 †Ã Ê <º f (z ) = 1 1 = 2 /2! + z 4 /4! + · · · cosh z 1+z 3 X K$†Ã_ "/ó‰ j ] 3<º 4åºð&  L ³ Ê 149 “ |z | < π/2 ?\" 0 s mٖ K$<Ãs. " "/à „> r É /f  ¼Ð 3†º f 4åº h H Ê L  0 . s¦ 0K" Ð!` # ½Ç. x p \ Af ”ül Œ ¨ fX wr¦  ô 1 − z 2 /2! + 1 − (2!)2 1 4! z4 + · · · −−−−−−−−−−−−−−−− 1 + z 2 /2! + z 4 /4! + · · · )1 1 + z 2 /2! + z 4 /4! + · · · −−−−−−−−−−−−−−−− − z 2 /2! − z 4 /4! + · · · − z 2 /2! − z 4 /(2!)2 + · · · −−−−−−−−−−−−−−−− 14 1 − z + ··· 2 (2!) 4! 14 1 z + ··· − 2 (2!) 4! −−−−−−−−−−−−−−−− . . . " f s.  1 1 1 14 z + ··· = 1 − z2 + − 1 + z 2 /2! + z 4 /4! + · · · 2! (2!)2 4! f< ú †º < ¤ Ç  £ñ hf 3h lÉ :   ˜l 5.7 \"ü °s Êà f  :&ô &\" K$&st 3+ M z _ Ð w½ 6_ "/Ã+I  z` · à e. 6 &o sô ‰\ @ § L A £ 4åºþ Œ ú º ” £ ñH QÇ &œ /Ç ™¦ ˜ ô  §   ³© ²s. š ú  Ê ¶¨%i é8ò a Çh 5.12 (Laurent) †Ã f  "Š %(annular domain) R1 < |z − z0 | < <º R2 ^\" K$&s“ ñ . C \ z0  Å0– ¶¨ò%?\" ¦ é8   „‰f 3h¦  & ¦  \ ÒAÐ "Š%i/f  ª_ ~†Ü– • ”__ éí {˜1”‚s (Õa 5.7). Õ œ ÓÓ € ½¾¼Ð ¸H e – Œ³p  ª>  ßH —2xd Ë  ªQ€ i/ Œ h f ò%? y & z \" f (z ) “ /ó‰ rL É åºð³ & % •  (5.54) f (z ) = ∞ n=0 an (z − z0 )n + ∞ n=1 bn (z − z0 )n (R1 < |z − z0 | < R2 ) ¦    Œ f ` ”. #l" (5.55) an = 1 2πi C f (z ) dz (z − z0 )n+1 (n = 0, 1, 2, . . .) 5© /à j  åº œL 150 ¦ s“ (5.56) bn = 1 2πi C f (z ) dz (z − z0 )−n+1 (n = 1, 2, . . .)  s. xd p 1” (5.54) “ ß > r ç# É – ¼  (5.57) ∞ f (z ) = n=−∞ cn (z − z0 )n (R1 < |z − z0 | < R2 ) ܖ j à ”. #l" ¼Ð þ º e Œf t  (5.58) cn = 1 2πi C f (z ) dz (z − z0 )n+1 (n = 0, ±1, ±2, . . .). ³  ¹ ³Á¦ ô /ó‰ (5.54) õ (5.57)  Laurent ;Ê“ Ç. L åºð& ¦ \  –{ € Ô Ç§ ½” 5.9 ß9 f  |z − z0 | < R2 ?\" K$ÊÓ . Õ (5.54) ë /f 3†º¦  ªQ < r É “ Taylor /à (5.35) – þ). L åº Ð A +a ¸ ¸ô úÉ ò  r ”ã (5.56) \" x&ì<à f (z )(z − z0 )n−1 , n = 1, 2, . . . • ¢Ç °“ % «Ë Ö_ f hʺ r† %\" K$ÊÃsٖ Cauchy-Goursat &o\ _ # bn = 0, n = 1, 2, . . .  if 3†º¼Ð < ñ Œ ¦ s“ Cauchy &r/\ _ # N” hìBd Œ an = f (n) (z0 ) n!  s.   ”ã (Laurent). €$ z0 = 0 { M &o 7 . s âÄ Å#” % «Ë Ö_  9 : ñ\ £"  º ÒQ ò ¦ xî   %“ R1 < |z | < R2 s. %% R1 < |z | < R2 \ Ÿ†÷ {˜ "Š%% r iÉ   ò i  í<& Œ³ ¶¨òi Ê H —2 é8  r1 ≤ |z | ≤ r2  ë[“ Õ ?Â\ & z < 1d C  Ÿ†÷•2 r1  r2 ¦ –t ` ßþ¦ ª /ҁ h ü p”  í<&¸Ÿ õ Ê x‚ ¤  ŒŒ ær  ¦ •• ü \ ŒŒ   ú ×ô š ˜Ç  yy R1 õ R2 \ Øìy ¾> þ. C1 õ C2 \ yy |z | = r1 < ¦ ••  A< ª  H  |z | = r2 “ “ €_ ӆܖ ¸. Õ f  C1 õ C2 0ü Õ  ¦ ¦ ª ~¾¼Ð úH ªQ€  œ ½Ó š  if 3h s_ %%\" K$&s. ò  s] γ ¦ z  ×ܖ “ "¨%% r1 ≤ |z | ≤ r2 \ -„y Ÿ† j \ ¦ d¼Ð ¦ é8 i  \ æ” ¶Šò ¢  a í< Ê &¸Ÿ Ø ŒÉ ª ~¾ ¶ ß ª> ÷•2 æìy “ €_ ½†_ "` ëŽ(ÕË 5.8). Õ€ Cauchy¤ r •r œ ÓÓ é¦ –H a ªQ  Ê Goursat &o\ ׃ %_ ~†`  >\ K$†Ã_ &ì` ¦ æ ò ÓÓ¦  â ñ  %i ½¾ ”  3<º h r¦ x  h € &6  f (s) f (s) f (s) ds − ds − ds = 0. C2 s − z C1 s − z γ s−z 3 X K$†Ã_ "/ó‰ j ] 3<º 4åºð&  L ³ Ê 151 ªQ Õ Cauchy &ì&o\ _  € r hñ  (5.59) f (z ) = 1 2πi C2 f (s) γ s−z r ds = 2πif (z ) sٖ 0 d“ ¼Ð A ”É f (s) 1 ds + s−z 2πi C1 f (s) ds. z−s & Taylor o\" 6 1/(s − z ) d` ñf  ) xa ¦ ” N −1 1 = s−z (5.60) n=0 1 sn+1 zn + zN 1 (s − z )sN ü (5.60) \" z ü s ¦ “Š # ³‰ € < f < \ §¨Œ ð& 8 ³ 1 = z−s = N −1 n=0 N −1 n=0 1 z n+1 sn + sN 1 1 s−n z n+1 + 1 (z − s)z N 1 sN zN z − s Ð ¨€ s. 0 ”_ +l _ ғ n ` n − 1 – Ë  A d Ëñ ¦ ¦ ½ o`   1 = z−s (5.61) N n=1 1 1 sN +N s−n+1 z n z z − s 1 ÒAÐ   œ ª ¦L < d (5.60) ü (5.61) _ €\ f (s)/2πi \  “ yy C2 ü C1 Å0– s ” <  Y¦ ŒŒ •• ' • ¦ r  aŒ <º Œ  h€ \› # †Ã_ y ` &ì  (5.59) ܖÂ' Ê ¼ÐÒ f (z ) = (5.62) N −1 N n an z + ρN (z ) + n=0 n=1 bn + σN (z ) zn < r É ¦ H  3 Œf ` %. #l" an (n = 0, 1, 2, . . .) ü bn (n = 1, 2, . . .) “ (5.63) an = 1 2πi C2 f (s) ds sn+1 bn = 1 2πi C1 f (s) ds s−n+1 s“ ¦ ρN (z ) = zN 2πi C2 f (s) ds, (s − z )sN σN (z ) = 1 2πiz N C1 sN f (s) ds. z−s  N →∞9M {: (5.64) lim ρN (z ) = 0 s“ lim σN (z ) = 0 ¦ N →∞ N →∞ / L åº )  s€  (5.62) “ %% R1 < |z − z0 | < R2 ?_ Laurent /à . s  ” d r  É òi a (5.64) s íw† ˜s. s “ Taylor /Ã\"_ 7"~Zõ Ä j L 庁f £î½O »  $nʦ Ð É <` ¯r x Ó 5© /à j  åº œL 152 õ ¦ x Ç `  & ¸Ÿ Ç  ¤ ` A  £î > 7"ô. |z | = r  r1 < r < r2 s ÷•2 ô. M  C1  C2 0\ ¦   f " |f (z )| _ [email protected] . ë{ s s C2 0_ &s€ |s − z | ≥ r2 − r s A h  j/ú  ß9  ¯ – &  f   ¦ ß9  “ ë{ s s C1 0_ &s€ |s − z | ≥ r − r1 s. " ño 4.2(v) \ – A h  _ # Œ |ρN (z )| ≤ M r2 r2 − r N r r2 s“ |σN (z )| ≤ ¦ M r2 r − r1 r r1 N . ª< ÕX (r/r2 ) < 1 s“ (r1 /r) < 1 sٖ N → ∞ 9 M ρN (z ) ü σN (z ) s  ¦ ¼Ð {:  <   —¿ 0 ܖ çÇ. ¸º ¼Ð º4ô §ñ f   p” pd Ð  xa x¦ x‚ 2 o 4.3 \ s6 € (5.63) \" 6) 1d‚` 1” C –  £& ¦ x    J ã º e¦ Ü Ã ”“ (5.63) _ &rÃ s @’ z – Ë ” (5.55) ü (5.56) s °   hìº / Ð ¨   < ú  €d 9 : ñ £î å–  x Qè . " z0 = 0 { M &o_ 7"s =ß.  f » / ” h 9øh º{ : z0  Äôî€?_ e__ &“ {ì&“ âÄ9 M. Taylor &o\ 7 Ǩ   Í   ¦x ñ £ "ô ~Zõ 1{ > g (z ) = f (z + z0 ) “ æ f (z )  "¨ % R1 < Ç Ó x î ½O l9  éŠ %i ¦ ¼€ ¶8 ò |z − z0 | < R2 ?\" K$&sٖ g (z )  R1 < |z | < R2 \" K$&s. f 3h  /f 3h¼Ð  H  –H—2 x &¦ j  ߌ³ p” s] &o_ éí{˜ 1d‚ C _ B>à ³‰` z = z (t) (a ≤ t ≤ b) ñ  hº ð³   ¦  Œf ¸  /f ¦ ` ”“ . #l" —Ž t ∈ [a, b] \ @K" H (5.65) R1 < |z (t) − z0 | < R2 . " ë{ Γ s – f ß9  Ð – â z = z (t) − z0 (a ≤ t ≤ b) (5.66) € s Γ  éí{˜ 1d‚{ ÷ë m Â1” (5.65) \_ # %%  ߌ2 p”9 ß  Òpd x Œ òi  H –H—³ x r–  R1 < |z | < R2 ?\ #e. " g (z )  Laurent /ó& H  / ~Œ f Z” L åºð‰ ³ (5.67) ∞ g (z ) = n an z + ∞ bn zn n=0 n=1 1 2πi Γ g (z ) dz z n+1 Γ g (z ) dz z −n+1 (R1 < |z | < R2 ) Œf #l" (5.68) an = bn = (5.69) 1 2πi (n = 0, 1, 2, . . .), ( n = 1 , 2 , . . .) . – ë{ g (z ) @’ f (z + z0 ) ` æ“ Õ 6 d\ z @’ z − z0 ` @ / ß9  ¦  ¼¦ ª £ õ” / §   ¦/  ” ¤ 9 € (5.54) ¦ %` à . ¹s {   ¦ ` 3 º e 8¡ Γ g (z ) dz = z n+1 b a f [z (t)]z (t) dt = [z (t) − z0 ]n+1 C f (z ) dz (z − z0 )n+1 3 X K$†Ã_ "/ó‰ j ] 3<º 4åºð&  L ³ Ê 153 ¼Ð º sٖ >à an \ @Ç (5.68)  (5.55) < 1{ . q5 > (5.69) •  /ô   ü l9 p x w ¸ H (5.56) ü 1{† ˜9 à e. xʦ   < l9<` Ð{ º ” L åºh × ™e 5.9 Maclaurin /Ä> ez = ∞ n=0 z z2 z3 zn =1+ + + + ··· n! 1! 2! 3! (|z | < ∞), ¦ € \ /9 L åº  \" z @’ 1/z  @{  Laurent /à f / (5.70) e1/z = ∞ n=0 1 1 1 1 + + + ··· =1+ n 2 n!z 1!z 2!z 3!z 3 (0 < |z | < ∞). ¦ 3 \ %H  .    ½” 5.10 e1/z _ Laurent /Ã> (5.70) \" Laurent /Ã>/` Ô Ç§ L 庄h f L „ Nd¦ åºhB”   6 € x 1 e1/z dz b1 = 2πi C  "h`  ú e ª ~Ó – Œ2 p §H ”  Œf s. #l" C H ¶&¦ tt · __ €_ Ó¾_ ßí {˜ 1  é œ ½† éH —³ x d  ¼Ð ‚s. ÕX b1 = 1 sٖ ” ª< e1/z dz = 2πi C r –í —2 x‚` e¦ ˜   r` – H ”` · à ”. s¯“ é {³ 1”  #‹ &ì¦ >ß X  ú º e É ßH Œ˜ pd¦  Q" h í< x pd‚ /Ò h aÇ Êº 1” ?Â_ &\ ' <Ã_ Laurent /Ã> €¯ “ sM >à  ›ô †  L 庄h 9¹¦ : º ¦ ¨H Hj   b1  · &r°¦ ½½ à e6 >Ç. " b1  ½  ë] B ¦ ˜€ ¯ + ”§ w ` ` ú hìú` ¨É º £ pô f Ä ×¯ . s“ 6 ©\" ¦ \ s. º ¹  É £ œf  V& æ ¯r §  Òñ :s&s ¿ >s“ Ä\ %% ¾#" y %%\ @ Lau¤ £h º hœ ⺁ òi¦ ºQf Œ òi /Ç ô © H ` •  rent /Ã\ ½K ô. L¦ åº ¨  Ç ™e 5.10 Êà × < †º (5.71) f (z ) = − 1 1 1 − = (z − 1)(z − 2) z−1 z−2 H z = 1 õ z = 2 \" :s&` tٖ f  K$&s ÷ ò% ¤     f £h¦ ¼Ð 3h &H i   % |z | < 1, 1 < |z | < 2, 2 < |z | < ∞ ¼Ð ºQ ŒŒ %if åº h¦  Ç ܖ ¾# yy_ ò%\"_ /à „> K . L \ ô ••  5© /à j  åº œL 154 9:   %i /ҁf 3h¼Ð    (i) |z | < 1 { M. f  s ò%_ ?Â\"H K$&sٖ Maclaurin L 庄h /Ã> 0 . ¢ô |z | < 1 { M x p ¸ Ç  9: 1 = 1−z (5.72) ∞ zn n=0 ¦ s“ |z/2| < 1 sٖ ¼Ð 1 1 1 1 =· = 2−z 2 1 − (z/2) 2 ∞ z 2 n=0 n  9 : A º”¼ÐÒ s. " |z | < 1 { M 0 ¿dܖÂ'  f  f (z ) = − =− 1 1 1 +· 1 − z 2 1 − (z/2) ∞ 1 z+ 2 n=0 ∞ = n=0 ∞ n n=0 1 2n+1 z 2 n zn −1 9 :  if  H ¦ ¼Ð % (ii) 1 < |z | < 2 { M. s ò%\" |1/z | < 1 s“ |z/2| < 1 sٖ f /   ŒŒ /9€ (5.72) \" z @’ 1/z x z/2 ¦ yy @{  9 ` ••   1 1 1 1 =· = z−1 z 1 − (1/z ) z ∞ n 1 z n=0 = ∞ 1 n=0 z n+1 |z | > 1 < ü 1 1 1 1 =− · =− z−2 2 1 − (z/2) 2 ∞ z 2 n=0 n =− ∞ z n=0 2n+1 |z | < 2 ¦   3H f A º ”¼ÐÒ   9: ` %. " 0 ¿ dܖÂ' 1 < |z | < 2 { M f (z ) = = = 1 1 1 1 · +· z 1 − (1/z ) 2 1 − (z/2) ∞ n=0 ∞ n=0 1 z n+1 z 2n+1 ∞ + + n=0 ∞ n=1 z 2n+1 1 zn  :  if ò  { ¦ ¼Ð (iii) |z | > 2 9 M. s %%\"H |1/z | < 1 s“ |2/z | < 1 sٖ (5.72) \" z @’ 1/z x 2/z ¦ yy @{ € f / 9 ` ŒŒ /9   ••   1 1 1 1 =· = z−1 z 1 − (1/z ) z ∞ n=0 1 z n = ∞ n=0 1 z n+1 |z | > 1 3 X K$†Ã_ "/ó‰ j ] 3<º 4åºð&  L ³ Ê 155 < ü ∞ 1 1 1 1 =· = z−2 z 1 − (2/z ) z n 2 z n=0 = ∞ n=0 2 |z | > 2 z n+1    ` 3 f A º ”¼ÐÒ 9:  ¦ %H. " 0 ¿ dܖÂ' 2 < |z | { M f (z ) = = = 1 1 1 1 · −· z 1 − (1/z ) z 1 − (2/z ) ∞ n=0 ∞ n=0 1 + z n+1 ∞ 2n z n+1 n=0 ∞ n 2 1− = z n+1 n=1 1 − 2n−1 zn `  ¦ 3H  %. Å©7 ìøØ< ŽFÃg £ <º §Ê L\ 度 ¨Œ 1. 6 †Ã_ Maclaurin /à ½ #. (a) 2 z cosh(z ) = (b) f (z ) = ∞ z 4n+1 (2n)! n=0 z z4 + 9 (|z | < ∞) (|z | < √ 3) (c) sinh(z 2 ) (d) tanh z 2. 6 †Ã_ Å#” &\" Taylor /à ½ #. £ <º ÒQ hf §Ê  L¦ åº\ ¨Œ (a) z e =e ∞ n=0 (b) 1 = 1−z (c) cos z, z = π/2 (d) sinh z, z = πi 9:  3. z = 0 { M ∞ n=0 (z − 1)n n! (z − i)n (1 − i)n+1 (|z | < ∞) (|z − i| < √ 2) 5© /à j  åº œL 156 (a) (b) (c) 2 ez 1 1 z = z12 + z + 2! + 3! + z + · · · 4! z2 2 6 10 sin(z 2 ) = z12 − z + z − z7! + · · · 3! 5! z4 sinh z 1 z 2n+1 = z + ∞ (2n+3)! + · · · n=0 z2 (d) z 3 cosh 1 z = z 2  4. 0 < |z | < 4 9 M {: ∞ 1 n=1 (2n+2)!) + z3 + 1 1 = + 2 4z − z 4z ∞ n=0 · 1 z 2n−1 zn 4n+2  ”` Ќ e¦ ˜#. £ ʺ L¦ åº ¨Œ 5. 6 <Ã_ Laurent /Ã\ ½ #. §† (a) 2 z sin 1 z2 ∞ =1+ n=1 1 (−1)n · 4n (2n + 1)! z (0 < |z | < ∞) (b) ez 1 = 2 (z + 1) e ∞ n=0 (z + 1)n 1 1 + + (n + 2)! z + 1 (z + 1)2 (c) 1 = 1+z ∞ n=1 (−1)n+1 zn £ †º §< 6. 6 Êà f (z ) = (0 < |z +1| < ∞) (1 < |z | < ∞) 1 z 2 (1 − z ) ¦ L¦ åº\ ¨Œ \ Å#” %\"_ Laurent /à ½ #.  ÒQ %if  ò (a) 0 < |z | < 1 (b) 1 < |z | < ∞ §Ê 7. 6 †Ã £ < º f (z ) = \ ¦  z+1 z−1 L\ (a) Maclaurin /à „>0Ç %%¦ ´ “ /Ã> ½ L åº h pô òi` ú¦ 庄h¦ ¨  x  ˜ .  3 X K$†Ã_ "/ó‰ j ] 3<º 4åºð&  L ³ Ê 157 L¦ åºh\ ¨ (b) %% 1 < |z | < ∞ \" Laurent /Ä> ½ .  òi f {:  8. 0 < |z − 1| < 2 9 M z = −3 (z − 1)(z − 2) ∞ n=0 (z − 1)n 1 − 2n+2 2(z − 1) ¦ e ˜#. ”` Ќ 9. 6 †Ã £ <º §Ê f (z ) = 1 z (1 + z 2 )  º h _ ¿ >_ Laurent /Ãü ò%` ½ #. L åº< i ¨Œ %¦ 10. (a) a  −1 < a < 1 “ zà . Laurent /à  ´ L åº H  º  a = z−a ∞ n=1 an zn (|a| < |z | < ∞) ¦ £"Œ  xî ` 7 #. (b) (a) \" %“ ”\ z = eiθ ` @9 # ÃÂü )ÃÂ\ q“ f 3É   /{Œ zºÒ< ‡ºÒ § ¦ r d ¦ ´ # Œ ∞ n=1 a cos θ − a2 < ü a cos nθ = 1 − 2a cos θ + a2 n ∞ an sin nθ = n=1 a sin θ 1 − 2a cos θ + a2  Ќ ¦ ` ˜#. 11. /à L åº ∞ x[n]z −n n=−∞ ¼Ð º4 Ç s #‹ ¶¨%% R1 < |z | < R2 ?\" K$Êà X (z ) ܖ çô  Q" "8òi /f 3†º <  éŠ  Ë ¦  “ & . ½ X (z ) ` x[n], (n = 0, ±1, ±2, . . .) _ z -o» s ¦ ñ +  >É  £. – éŠ  ß ¶ ¦ íÊ  ] >. Ç ß9 ¶8%i –Aé . ë{ "¨ò%s é0" |z | = 1  Ÿ† € X (z ) _ … z -o» ô ` <  £É ¦  ` π 1 x[n] = X (eiθ )einθ dθ 2π −π e Ќ ˜Ô 2 a N   ¦ ”` ˜#.(³à : Laurent /Ã_ >Ã\ ›ô /d (5.58) ` s6) L åº º 'Ç B” ¦x   Ÿèº¦  îf –Aé ¤ H  é¶ 12. z  e__ 4™Ãs“ C  w ¨€\" ß0" H” w = eiφ ¦ ·   p ªQ€ `  . Õ (−π ≤ φ ≤ π ) 5© /à j  åº œL 158 (a) z 2 exp 1 s w− = ∞ Jn ( z ) w n (0 < |w| < ∞) n=−∞ ¦ Ќ Œf ”` ˜#. #l" e Jn ( z ) = π 1 2π exp[−i(nφ − z sin φ) dφ −π (n = 0, ±1, ±2, . . .) L åº º a B” 'Ç N `x  ˜Ô s. (³à : Laurent /Ã_ >Ã\ ›ô /d (5.58)  s6) 2 ¦  (b) (a) _ >Í  º H Jn (z ) = π 1 π cos(nφ − z sin φ) dφ 0 (n = 0, ±1, ±2, . . .) t þ º e£` Ќ j à ”6¦ ˜#. § ¦ í< ¶8òif  Ê H éŠ  13. (a) f (z )  ¶&\ ›ô é0" z = eiφ ` Ÿ†  "¨%%\" é aÇ – é "h ' ßA¶ < éŠò  3ʺ  K$†Ã . z  "¨ %_ e__ &{ M ¶8%i ” h9 :  f (z ) = 1 2π π f (eiφ ) dφ+ −π 1 2π ∞ π f (eiφ ) n=1 −π z eiφ n + eiφ z n dφ dφ ¦ ”` ˜#. e Ќ (b) u(θ) = [f (eiθ )] { M (a) _ >– Â'  9:  „hÐ Ò  u(θ) = 1 2π π u(φ) dφ + −π 1 π ∞ π n=1 −π u(φ) cos[n(θ − φ)] dφ ¦ Af <º  Ќ É ¨ç \ ˜#. s “ ½– −π ≤ θ ≤ π 0\" z†Ã u(θ) _ ¯r ß ´Ê  Fourier ³Ê „>_ ô +Is. u(θ) _ ]€“ s¯s Fourier ÇA  jÉ  •r ;Á h  þ ¹ /Ã\ _K ³‰÷l 0K ˜  dô ]€s e. L 庁  ð&& A Ð 8  j ” ”Ç •  ³ f <º Ê  2 x 14. (a) & z0 = 2 \" †Ã 1/z _ Taylor /Ã\ ½ #. ( ³à : 1  h L¦ åº ¨Œ ˜Ô p  ” d 1 1 1 =· z 2 1 + (z − 2)/2 ¦ Òyô.) ` qŒÇ  t• (b) (a) \ ÓZ pì # ¦ ½ r  †> Œ 1 1 = 2 z 4 ¦ ˜#.  \ Ќ ∞ (−1)n (n + 1) n=0 z−2 2 n (|z − 2| < 2) 3 X K$†Ã_ "/ó‰ j ] 3<º 4åºð&  L ³ Ê 15. /à L åº 1 = (1 − z )2 159 ∞ (n + 1)z n n=0 (|z | < 1) \" z @’ 1/(1 − z ) \ uŠ # Laurent /Ä> f / ¦ ¨Œ 8  L åºh 1 = z2 ∞ n=2 (−1)n (n − 1) (z − 1)n (1 < |z − 1| < ∞)  ¦ »¸Œ \ ĕ #. L åºh 16. (a) w €\" Taylor /Ä> î ¨f 1 = w ∞ (−1)n (w − 1)n n=0 (|w − 1| < 1) \ w = 1 Â' w = z t çì ?Â_ 1”`  &   º4ø/Ò pd  hr ì ¦ Ò Íâ x‚¦ L„ # /Ã> Œ åºh Logz = ∞ n=1 (−1)n+1 (z − 1)n n (|z − 1| < 1) ¦  ½ #. ` ¨Œ (b) (a) _ õ s6 #  ¦  Œ \ x Log z , f (z ) = z − 1 1, z=1 z=1 s % 0 < |z | < ∞, −π < Argz < π ^\" K$&e` ˜#  %i ¦ ò  „‰f 3h” Ќ .   – ß9  17. ë{ f  z0 \" K$&s“ f (z0 ) = f (z0 ) = · · · = f (m) (z0 ) = 0 s f 3h¦   € f (z ) , z = z0 m+1 g (z ) = (z −z0 ) (m+1) (z ) 0 f , z=z (m+1)! 0 ¦ x s z0 \" K$&”` 7î #.  f 3he £"Œ ¦ x 18. /Ã_ Y` 6 # L åº L  Œ ez 1 1 5 = + 1 − z − z2 + · · · 2 + 1) z (z z 2 6 ”¦ Ќ  e` ˜#. (0 < |z | < 1) 5© /à j  åº œL 160 L åº ül  Œ £îŒ x 19. /Ã_ Ð!` 6 # 7" #. wr¦ x (a) csc z = (b) (c) 1 z + 1 3! z + 1 (3!)2 1 1 1 1 ez −1 = z − 2 + 12 z 1 1 = z13 − 1 · z 6 z 2 sinh z − + − 1 5! z3 + · · · 13 720 z + · · · 7 360 z + · · · (0 < |z | < π ) (0 < |z | < 2π ) (0 < |z | < π ) ø/½¾ ßA¶9 : Í ÓÓ – é 20. C  r>ì@~†_ é0"{ M dz C z 2 sinh z =− πi 3 ¦ x  £îŒ ³Ô ëj ` 7" #.(˜à : H] 19(c) ¦ s6 # †>& € ).) 2 x ÓZì    \  Œ ½hr a  ßÐ åº ül ¹ L 21. A_ é>– /Ã_ Ð!` r¯. – wr¦ (a) 1+ z 2 /3! 1 = d0 + d1 z + d2 z 2 + d3 z 3 + d4 z 4 + · · · + z 4 /5! + · · ·  æ“ ª` ì—Âì¦ Y #  ¼¦ œ ¸Ò` Œ €¦ r r L 1= 1+ 12 1 z + z4 + · · · 3! 5! (d0 + d1 z + d2 z 2 + d3 z 3 + d4 z 4 + · · · ) ª¦ L  €` Y # „> € |z | < π œ Œ h  1 1 d 0 z 2 + d3 + d1 z 3 3! 3! 1 1 + d4 + d 2 + d0 z 4 + · · · = 0 3! 5! (d0 − 1) + d1 z + d2 + e¦ ˜#. ” ` Ќ (b) (a) _ —Ž >Ã[ 0 ܖ ¿# y d0 , d1 , d2 , . . . \ ½ .  ¸ ºþ¦ ¼Ð ºQ Œ H t` • ¦ ¨  22. f (z ) “ /Ä> rL  É åºh f (z ) = z + a2 z 2 + a3 z 3 + · · · (|z | < ∞) ¦ t „†Ã .   <º  H Ê ` (a) +íÊà g (z ) = f [f (z )] ¦ >5 pì # g (z ) _ Maclaurin / ½$< qr  L å Ë †º \ Å Œ º ƒ£ j Ó¦ ¹ ¸ Ã_ %6 [ ½` 1. ¢ô § † Ô Ç 2 f [f (z )] = z + 2a2 z 2 + 2(a2 + a3 )z 3 + · · · e¦ ˜sr¯. ” ` й (|z | < ∞) 4 X /à ³&_ Ä{$ j ] åº ð³ »9í L ‰  161 ¦  /9Œ þdh¼Ð A (b) /Ã\" z @’ f (z ) \ @{ # +”&ܖ L 庁f /  f [f (z )] = f (z ) + a2 [f (z )]2 + a3 [f (z )]3 + · · · ¦ ¼¦  úÉ º Ó¦ ¸ “ æ“ z _ °“ Ã_ ½` — (a) _ õ\ %Ür¯. r  ¦ †   3¼¹ (c) f (z ) = sin z < (a) \ s6 # ¦x   Œ ü 1 sin(sin z ) = z − z 3 + · · · 3 (|z | < ∞) ”` ˜#. e¦  Ќ 23. Euler ÊH Maclaurin /à Á  L åº 1 = cosh z ∞ n=0 En n! (|z | < π/2)   åºð³ j ¶Íf ín & Ç éó L  _ à En (n = 0, 1, 2, . . .) s. s /ó‰s ]rô "ø\" $w º  sĦ [“ E2n+1 = 0 (n = 0, 1, 2, . . .) \ [î #. Õo“ H »\ þ¦  t ¦ "  O Œ ª¦ E0 = 1, E2 = −1, E4 = 5, E6 = −61 ¦ e` ˜#. ” Ќ < †º L 24. Êà f (z )  #‹ ¶ |z − z0 | = R ?Â\" "/à ³& Q" " é /ҁf 4åº ð‰ ³ f (z ) = ∞ n=0 an (z − z0 )n  9 :  åº ½ rŒ ºÆ L ¦ ÓZ  < ¦ “ . |z − z0 | < R { M s /Ã\ †> pì # Æ  ` ”¦   š h úZ¼Ð & )±Oܖ f (n) (z ) = ∞ k=0 (n + k )! an+k (z − z0 )k k! (n = 0, 1, 2, . . .) ¦ ¦  /{Œ º e` ˜s“ z = z0 ` @9 # >à an (n = 0, 1, 2, . . .) s z = z0 \ ” Ц   " f _ Taylor /Ã_ >Ãü {u† ˜#. f  ʦ L åº º< 9<` Ќ V4 â ‰ › ;Ê ¸«˜ Ë ¹ ³Á ØÅ+ ™Š  – L Çh 5.13 ß{ /à a ë 9 åº (5.73) ∞ n=0 an (z − z0 )n "é s #‹ " |z − z0 ) = R _ ?Â_ — &\" f (z ) – ç € s“  Q ¶  /Ò ¸H hf Ž Ð º4 ¯É   r z = z0 \"_ f \ @Ç Taylor /Ã>s. f  / ô L„ åºh 5© /à j  åº œL 162 «ã Ö_ ”Ë ‰ /ó& L åºð³ ∞ f (z ) = (5.74) m=0 am (z − z0 )m (|z − z0 | < R) ` &o 5.9 \ &6 € x  ¦  ñ  h  g (z )f (z ) dz = (5.75) C ∞ am C m=0 g (z )(z − z0 )m dz ¦   3 Œ f  æ ”  ` %H. #l" C  ×ds z0 s“ ìs r(< R) “ "s. Êà  é †º < H  ¦ øâ Í ¶ g (z ) = 1 1 · 2π (z − z0 )n+1 (n = 0, 1, 2, . . .) ¦ pd  /9 ìN hrBd  \ 1 (5.75) \ @{ € Cauchy &/”\ _K  x”  1 2πi g (z )f (z ) dz = (5.76) C C f (n) (z0 ) f (z )dz = (z − z0 )n+1 n! ¦ s“ C g (z )(z − z0 )m dz = 1 2πi C Ð Ò – Â' ∞ (5.77) am C m=0 0, dz = (z − z0 )n−m+1 1, m=n m=n g (z )(z − z0 )m dz = an . Ð Ò r É 1d (5.76) ü (5.77) – Â' (5.75) “ x p” < f (n) (z0 ) = an n! s“ " (5.73) “ & z0 \" f \ @ô Taylor /Ãs. ¦ f r Éh f  / Ç L åº ñ & ß L  " H½ ½” 5.11 o 5.13 ܖ Â' ë{ /à (5.73) s z0 _ # ~\" 0 Ô Ç§ ¼Ð Ò –9 åº  Q‹ Ӂf ܖ ç  >à an “ —¿ 0 s# Ç. ¼Ð º4€ º   r É ¸º Q ô – L Ç ß{ åº  ah 5.14 ë9 /à (5.78) ∞ n=−∞ n c n (z − z0 ) = ∞ n=0 n an (z − z0 ) + ∞ n=1 bn (z − z0 )n s z0 \ @ô #" "8%%_ —H &\" f (z ) – ç € s“ s %   /Ç Q ¶Šòi ¸Ž hf Ð º4 ¯É  ò   r  ‹ é¨   %\" z = z0 \" f \ ' Laurent /Ãs.  if f  ›ô aÇ L åº 4 X /à ³&_ Ä{$ j ] åº ð³ »9í L ‰  «Ë Ö_ ”ã 163 <º Ê †Ã f (z ) = ∞ cm (z − z0 )m m=−∞ x   ¿“ &o 5.9 \ &6 €  º¦ ñ   h  g (z )f (z ) dz = (5.79) C ∞ cm C m=−∞ g (z )(z − z0 )m dz  éŠò é Ê ¦ 3 Œf  ¶8 i/ " <º  %. #l" C H "¨%%?_ ¶s. †Ã ` H g (z ) = 1 1 · 2π (z − z0 )n+1 (n = 0, ±1, ±2, . . .)  1 (5.79) \ @{ €  /9 ¦ pd \ x”  ∞ (5.80) C f (z ) dz = cm (z − z0 )n+1 m=−∞ C (z − z0 )n+m+1 dz ¦ ¸ ñº s“ —Ž &à m, n \ @K" H  /f 1 2πi – Â' Ð Ò (5.81) C 0, dz = (z − z0 )n−m+1 1, ∞ m=0 am C m=n m=n g (z )(z − z0 )m dz = cn . f " (5.78) “ & z0 \" f \ @ô Laurent /Ãs. r Éh f  / L åº Ç 164 5© /à j  åº œL × V6* ‘ ÂÁ? ³ ËÊÿ ;  V1‰ â \ø ÂÁ ´ §l† ËÊ s \" <Ã_ :s&[_ 7À\ › “ :s&[\ ›ô $|  ]fH †º £hþ áÓ ¸¦ £hþ a í9¦ X ¤ t x ¦ Ê ¤ t 'Ç ` ›ô. ¸ Ç Ê a˜ 6.1 & z0 s <à f _ l†s <“ z0 \" K$&s mtë +  h  †º  §\ ÊÉ f 3h –  ß Ç ´ †r z0 _ —H ~_ #‹ &\" K$&s. :s& z0 s ”§l†s ¤ ´  ¸Ž HÓ Q hf 3h £h  ½   §™\ " Êr †É 3h“  rô   ½  Ó <“ f  K$& z0 _ ” H~ 0 < |z − z0 | < ε s ”F.  >Ç †º < ™e 6.1 Êà × z+1 + 1) z 3 (z 2 r É jh ¦n£h “ [>_ “w:s& z = 0, z = ±i \ ”. ¦   ¤  × ™e 6.2 "&“ Log z _ :s&s. Õ "&_ — ” ~s 6 ¶hÉ ér  £h ªQ ¶h ¸Ž  HÓ £ ¤ é H  ½ § Ç 3h ú¼¼Ð ¶hÉ _ z»` Ÿ† “ sô &\" Log z  K$&st ·Üٖ "&“  ¡ íʦ Q hf ´¤¦ <  § ér “n:s&s m. ¦w£h  ¤  Ê †º ™e 6.3 <à × 1 sin(π/z ) “ à ½– [−1, 1] 0\" :s& z = 0, z = 1/n(n = ±1, ±2, . . .) ¦ ° r´ É zº ¨ç Af £h  `ú ß ¤ . "&` ]üô y &“ “w:s&s. ¶&_ —Ž ”½“ † H  ¶h j@ Œ hÉ ¦n£h "h ¸H H~É < é¦ Ç • r ¤  é  Ór Ê r ¤  Ê º É £h¦ í<¼Ð ¦w£h  Ã_  :s&` Ÿ† ٖ “n:s&s m. ¤  Ê ª r H <º  ¦w£h9 : œº  ”Œ  ¤  z0  †Ã f _ “n:s&{ M €Ã R s >F # f  0 < |z − z0 | < / Œ hf 3h f •  H R ?_ y &\" K$&s. " Laurent &o\_ # f  Laurent ñŒ  165 j œ »º< G 6  ÄÃü F © 166 L åº /à (6.1) f (z ) = ∞ n=0 ∞ n an (z − z0 ) + n=1 bn (z − z0 )n (0 < |z − z0 | < R) Ð ð³½ º  Œf – ³&É Ã e. #l" an  bn “ z0  ” "ó 0 < |z − z0 | < R ? ‰+ ” õ r É  ¶Í  éø /  –H —2 x‚ Â\ Z# e z0  ª_ ½†Ü– • é {˜ 1”0_ &ìÜ Ò Œ ”H ~  ¦ œ ~Ó \ € Ó¾¼Ð ¸H ßí Œ³ pdA ‚h¼ r –   Ãs. :y Ð  ©º £ Hœ ¤ b1 = (6.2) 1 2πi f (z ) dz C  ¦nh s. “w& z0 \" f _ Laurent /Ä>\" >à b1 ` ·€ (6.2) \ L åºhf º ¦ ú  ˜   f  ¦ ¨É º ” f  ` r +  f –HŒ³ pd‚ A hì " ßí{˜ 1” C 0_ & C f (z ) dz ` ½½ à e. " b1 ¦ é—2 x f  ÂÁ¦ Ò ½  s ׯ . sÇ b1 ` “w:s& z0 \" f _ ËÊ“  ¨H ¯ ¹ Qô  æ ¦ ¤   ¦n£h  ؓ l – Ô¦ ñÐ b1 = Res(f ; z0 ) p –  . Ð · × ™e 6.4 C  ª_ ӆ_ " |z − 2| = 1 9 M &ì œ  ½ Ó é € ~¾ ¶   { : hr (6.3) C dz z (z − 2)4 ¦ ` ¨Œ  ½ #. Ú hì<ºH h I Ê   < ¦ Ç Ç î þT x&r†Ã & z = 0 ü z = 2 ` ]üô Äô ¨?_ —Ž &  j@ » €/ ¸ h H  ¶ø \" K$&sٖ ” "Í 0 < |z − 2| < 2 \" Laurent /Ã\ ”. f 3h¼Ð  éó  f L¦  åº  f " (6.3) _ &°“ 2πiRes(f ; z = 2) s. s] z = 2 \" x&ì<  hrúÉ ì¯r  j f h† rÊ ¦ ¦ º »º ¨  A Ã_ ÄÃ\ ½ . s\ 0K Maclaurin /à L åº 1 = 1−z ∞ n=0 zn (|z | < 1) ` 6 # ¦x   Œ 1 z (z − 2)4 1 1 · (z 2)4 2 + (z − 2) 1 1 = · 2(z − 2)4 1 − − z −2 2 = = ∞ n=0 (−1)n (z − 2)n−4 2n+1 (0 < |z − 2| < 2) 1 X :s&õ Äà j ] £h »º ¤ 167 A 0_ Laurent /Ã\" 1/(z − 2) _ >Ã\ ¹Ü€ "  ÄÃ, 7 −1/16  º 1¼ éH »º £ ¦Ô ¶  ¤ L 庁f  f s. " (6.4) C dz 1 = 2πi − 4 z (z − 2) 16 =− πi . 8 – ¶ × ™e 6.5 C  é0"{ M ßAé9 : 1 z2 exp (6.5) C dz = 0 ¦ Ќ ”` ˜#. e Ú IT 1/z 2 “ ¶& ]üô — /\" K$†Ãsٖ x&ì†Ã• r é` É "h¦ j@ ¸H Bf 3<º¼Ð hr<º¸ Ê þ Ç ŽM Ê éh¦ jü ¸ Bf 3†º ¦n£h "& ]@ô —Ž /\" K$ÊÃs. “w:s& z = 0 “ C _ ?Â Ç HM < ¤  ¶` r É  /Ò  L åº \ e“ Maclaurin /à  ”¦ ∞ ez = n=0 zn n! (|z | < ∞), \ 6 € Laurent /à    L åº ¦ x 1 z2 exp = ∞ n=0 1 n!z 2n (0 < |z | < ∞) `  f h†º »º ¼Ð   ¦ %. “w:s& z = 0 \" x&ì<Ã_ ÄÃH 0 sٖ (6.5)_  3H ¦n£h ¤  rÊ °“ 0 s. ¯r úÉ  Ô Ç§ ½” 6.1 \ 6.5  –H{˜1‚ C 0ü ?Â\" x&ì†Ã_ K$  ß—³x” V H éíŒ2pd A< /ҁf hrʺ 3 <  Ç æì |  x” ¯  |r h íÉ Af p‚ hìú  A r¸  9¹¸ & $9“ C 0\"_ 1d &r°s 0 sl 0ô Ø›st €¯› r ¦  É ” ЌҦ ” |“ _` ˜#œ e. K ßípd /ҁ <º  ¦n£h h ” tFt é1” C ?Â\ †Ã f _ “w:s&s 1 > e` Ê H –Hx‚ ¤  ¦ ºß qŒi ß9 ¦n£h ŒQh ¦ : âÄ\ë Òy %. ë{ “w:s&s #> ” M C f (z ) dz _ e`  – t•  –  ¤   ½ ¯ Ç š Ç ¯ G ú¦ Q ¨É  °` #b> ½+ “? 6 ño s\ @ô ²` ]rô. £ H  / ú¦ j §&  ah 6.1 (ËÊah) C  €_ ½Ó_ éí {˜1s . ë{  Ç   œ ӆ ß Œ³pd‚  ß9 H ª ~¾ –H —2x” – ÂÁÇ Ç <º †Ã f  C _ ?Â\ Äô>_ :s& z1 , · · · , zn ` ]@Ç C 0ü ?Â Ê  /ҁ »h £h ¤ ¦  jü A< /Ò ô \" K$&s f 3h  € n f (z ) dz = 2πi (6.6) C Res(f ; z = zk ) k=1 j œ »º< G 6  ÄÃü F © 168 «Ë  Ö_ h ”ã & zk (k = 1, . . . , n) ` C _ ?Â\ 5 “ > Õ" "– ët ¦ q • –   /ҁ Ŧ Œ ª9f fÐ ß · €_ ~†_ " Ck _ ×ds (Õa 6.1). Õ€ C1 , · · · Cn x §H ª ÓÓ é ú œ ½¾ ¶ 9    ªË > æ” ªQ  C – Ñ“ %%\" K$&s“ Õ ?“ æƒò%s. Cauchy   Ð üQ òif 3h¦ ª /ÒÉ ×%i t r    h  ñ ¦ x  Goursat &o\ &6 € n C f (z ) dz − f (z ) dz = 0. Ck k=1 ª < ÕX  n f (z ) dz = 2πi Ck Res(f ; z = zk ) k=1 ¦ ¦ ” ¼Ð sٖ (6.6) ` % à .  3` º e Í/½¾ ¶ ø ÓÓ é  9 : h r ™e 6.6 C  r>ì@~†_ " |z | = 2 { M &ì × C 5z − 2 dz z (z − 1) ¦  ¨Œ ` ½ #. þT x&† ¿ >_ “w:s& z = 0 õ z = 1 ` t“ Ñ  C Ú rʍ ¤   ¦ ü  I hì<H º h ¦n£h  ¦ t  _ ?Â\ ”. s] Maclaurin /à  /ҁ e j L åº 1 = 1−z ∞ zn (|z | < 1) n=0 x € ` 6 # y “n:s&\"_ ÄÃ\ ½ . $ 0 < |z | < 1 { M ¦  Œ Œ ¦w£hf »º¦ ¨  • ¤   9:  5z − 2 −1 5z − 2 = · = z (z − 1) z 1−z 5− 2 z (−1 − z − z 2 − · · · )  ¸ Ç  sٖ „> # 1/z _ >Ã\ ½ € Res( z5z −2 ; z = 0) = 2 s. ¢ô ¼Ð hŒ  º¦ ¨   (z −1) 0 < |z − 1| < 1 { M  9: 5z −2 z (z −1) 1 5(z − 1) + 3 · z−1 1 + (z − 1) 3 = 5+ [1 − (z − 1) + (z − 1)2 − · · · ] z−1 = z −2  ¦ ¼Ð hŒ sٖ „> # 1/(z − 1) _ >Ã\ ½ € Res( z5z −1) ; z = 1) = 3 s.  º ¨   ( ñ " ÄÃ&o\ _ # f »º  Œ 5z −2 C z (z −1) dz = 2πi Res = 10πi. 5z − 2 ; z = 0 + Res z (z − 1) 5z − 2 ;z = 1 z (z − 1) 1 X :s&õ Äà j ] £h »º ¤ 169 • – Ê ß{ <º ë9 †Ã f  C _ üÂ\ eH Ä ¨€?_ y &\" K$&s  @ҁ ” »Ç î/ Œ hf 3h  ô   € #" ›º †Ã_ ô>_ Äà ¹" C 0\"_ f _ & ½  Q‹ ') <º h »º\ 1f Af  hì` ¨ r¦ H  aa Ê Ç ¦Ô s ˜ ´&s.  ¯ Ð òõh h 6.2 ë9 <à f  €_ ~† éH{˜ 1 C ?Â\ Ä >_ Ç ß{ †º – Ê ª ½¾ ß팳 pd‚ /ҁ »ô h Ç œ ÓÓ –—2 x” a ¤  £h¦ j@¦ »ô î/ ¸Ž hf 3h :s&` ]ü “ Ä ¨€?_ —H &\" K$&s€ Ç     f (z ) dz = 2πiRes (6.7) C 1 f z2 1 z ;z = 0 . ` Ø ¼Œ p” x ¶/ҁ þQ  ú é t š «_ é Öã ¶ ”Ë " |z | = R  ìy ß> # 1d‚ C  "?Â\ [#> ¸ ¦ ær (Õa 6.2). Õ€ ë{ C0  €_ ӆ_ " |z | = R0 , (R0 > R) s  ªË > ª ~¾ ¶ €  ªQ –9  ß œ ½Ó é & Œ Laurent o\ _ # ñ (6.8) ∞ f (z ) = cn z n (R1 < |z | < ∞) n=−∞  %. #l" ¦ H ` 3 Œf (6.9) cn = 1 2πi C0 f (z ) dz z n+1 (n = 0, ±1, ±2, . . .) f ¦  ` /{€ s. (6.9) \" n = −1  @9   (6.10) C0 f (z ) dz = 2πic−1  ín+ ¸É ¦ ˜ ” ú º ” e` · à e. (6.8) s $w½ ›|“ 0 < |z | < R2  þI mٖ  É r A “ + ¼Ð ¤ ¤ º >à c−1 “ & z = 0 \" f 0 Äà m. ¹s z = 0 “ f _ :s r Éh f A »º  8¡ r É  £ ´   ¦  /9  h  º¸ e ªQ / &s u Õ ”. Õ z @’ 1/z \ (6.8) \ @{   € 1 f z2 1 z = ∞ n=−∞ cn z n+2 = ∞ cn−2 zn n=−∞ 0 < |z | < 1 R1 ¦ f s“ " (6.11) c−1 = Res 1 f z2 1 z ;z = 0 . ªQ Õ€ (6.10) ü (6.11) ܖÂ'  ¼ÐÒ < f (z ) dz = 2πiRes C0 1 f z2 1 z ;z = 0 . f  C ü C0 – Ñ“ {˜%%„^\" K$&sٖ –þ_ " < Ð üQ Œ2òi‰f 3h¼Ð âÐA ¶  —³  + é t  o\ _K "  õ\ %.   ¶  3 é H  ¦ H j œ »º< G 6  ÄÃü F © 170 × ™e 6.7 ˜l 6.6 \" x&†Ã Ð f hì<º rÊ f (z ) = 5z − 2 z (z − 1)  "  úf 3h ª< s ¶ C _ ¾\" K$&s. ÕX   é 1 f z2 1 5 − 2z 5 − 2z · = z (1 − z ) z 1−z 5 = − 2 (1 + z + z 2 + · · · ) z 5 = + 3 + 3z + · · · (0 < |z | < 1) z 1 z = x)  ¼Ð p” sٖ 1d (6.7) \ 6 Äà 5 s. " x   a »ºH  f C 5z − 2 dz = 2πi × 5 = 10πi. z (z − 1) ŽøÃ< ìFØ Å©7g §Ê 1. 6 †Ã_ z = 0 \" ÄÃ\ ½ #. £ <º f »º ¨Œ ¦ (a) (b) z cos (e) (c) 1 z +z 2 1 z z −sin z z (d) cot z z4 sinh z z 4 (1−z 2 ) 2. ño 6.1 \ 6 # œ_ ½†_ " |z | = 3 0_ 6 †Ã_ ‚& ¦x A £ <º h &   Œ € Ó¾ é ª ~Ó ¶ §Ê  ì ¨Œ r` ½ #. ¦ (a) (b) exp(−z ) z2 exp(−z ) (z −1)2 1 z (c) z 2 exp (d) z +1 z 2 −2z ñ ¦x \  Œ ª ~¾ ¶ œ ½Ó é A £ †º ‚h  3. &o 6.2  6 # €_ ӆ_ " |z | = 2 0_ 6 ÊÃ_ &  §< ¦ r ¨Œ ì` ½ #. (a) (c) z5 1−z 3 1 z (b) 1 1+z 2 4. 6 <Ã_ “n:s&\"_ ůÂì æ“ “n:s&s F& £ ʺ ¦w£hf Ò¹Òr` ¼¦ ¦w£h Gh ¦  §† ¤  ¤    j p £h :9h£h\ ¨>¹ “t, ]0ô :s&“t, ‘|&:s&“t ½Z r¯. r¤  ¦  xÇ ¤  (a) (b) (e) z2 1+z sin z z 1 (2−z )3 (c) z exp (d) cos z z 1 z 1 X :s&õ Äà j ] £h »º ¤ 171 5. 6 <Ã_ :s&s F&e¦ ˜s“ F&_ 0Ã< @6  Äà §†  £ ʺ £h Gh”` Ц Gh Aºü /£H »º ¤  x  ¨¹ \ ½ r¯. ¦ (a) (c) 1−cosh z z3 exp(2z ) (z −1)2 (b) 1−exp(2z ) z4 6. †Ã f  z0 \" K$&s  “  f 3h &¦ ]  ñ  Ê <º g (z ) = f (z ) z − z0 §` ` qy . 6 ˜sr¯. ¦ t•  Ҍ £¦ й (a) ß{ f (z0 ) = 0 s€ z0 “ g _ éíF&s“ @6  ÄÍ –9 ë   r É  ßHGh¦ /£H »º x H –   f (z0 ) s.   ë r É  j p £h (b) ß{ f (z0 ) = 0 s€ z0 “ g _ ]0ô :s&s. –9 xÇ ¤  7. †” ½d Ó P (z ) = a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n (an = 0) Q(z ) = b0 + b1 z + b2 z 2 + · · · + bn z m (bm = 0) < ü  º _ à m ≥ n + 2  .   (a) ¿ †d_ ] Ó ¦ º ½” ` 1 P (1/z ) · z 2 Q(1/z ) (z = 0)   j pô £h » ¼¹ xÇ ¤  ¦  æ“, z = 0 s ]_ ]0 :s&“ sÄ\ ×r¯.  ¼¦  (b) (a) _ õ< &o 6.2  6 #, ß{ Q(z ) _ —Ž &[s  ü ñ  ¦x \  Œ –9 ë  ¸ %hþ H òt Å#” éH{³1‚_ ?Â\ e܀ ÒQ ß팘pd /ҁ ¼  –—2x” ” C P (z ) dz = 0 Q( z ) ” ` Ќ e¦ ˜#. 8. C \ r>[email protected]_ " |z | = 1 `  “ . 6 õ&¦   ì/~† ¶ ¦ ø ½¾ é ¦ ·¦  £ ñ`  p §     ∞ 1 1 exp z + dz = 2πi z n!(n + 1)! C n=0 e¦ Ќ ` ” ˜#. j »º< G 6  ÄÃü F © 172 (a) ez \ Maclaurin /Ã\ 6 “ † &` 6 # 0_ & ¦   L¦ x åº  ¦ ½Z hr  Œ A h Ó> ì¦ x r¦  ì` ∞ 1 1 z n exp dz n! C z n=0 – j à e. Ð þ º ” t   h Œ ҁ è hr¦ ߌ ¶ r ß  – (b) o 6.1 \ &6 # (a) Âì\  – &ì` >í # " H ñ & ¦ x é   H õ¦ 3 \ %. < 9. †Ã ʺ 8 a3 z 2 (z 2 + a2 )3 f (z ) = (a > 0) ` ¦  f (z ) = φ(z ) 8a3 z 2 #l" φ(z ) = Œf 3 (z − ai) (z + ai)3  f ܖ æ. φ(z ) s z = ai \" Taylor /Ä>\ tH sĦ @ ¼Ð ¼ L¦ åºh  »\ /   ¹ ¯`  Œ r¯. s¦ 6 # z = ai \" f _ ů  x f  Ò¹Ò φ (ai) i/2 a/2 φ (ai)/2 φ(ai) a2 i + =− − + − z − ai (z − ai)2 (z − ai)3 z − ai (z − ai)2 (z − ai)3 ”¦ ˜sr¯. ` й e V2‰  â l† ; ´  §\ø ³ ¤   x € x”  1 ]\" “n:s&\"_ ÄÃ\ ·€ ÄÃ&o¦ s6  1‚_ & Xf ¦w£hf »º¦ ú »ºñ\   pd h   ˜ ì` ~> ½½ à ”%. s X\" “w:s&_ 7À\ ¶(˜“ “ +  1 ¨É º 3  ]f ¦n£h áÓ¦ úRЦ ¦ r¦  e  H ¤  x  ˜ n£hf »º\ ¨H ~O úÐÐ  ¤   w:s&\"_ Äæ ½  ½Z` ·˜l– ô.  Ó¦ ˜ Ç f – ß9 ë{ f  “w:s& z0  t€ ” "ó 0 < |z − z0 | < R2 \" ¦n£h `   ¶ø   éÍ ¤  ¦  f (z )  Laurent /à H L åº (6.12) f (z ) = ∞ n=0 an (z − z0 )n + b1 b2 bn + + ··· + + ··· 2 z − z0 (z − z0 ) (z − z0 )n `   - ZŒ” 錘 p” ¦ ”. C \ 0 < |z − z0 | < R2 \ ¢„y #eH ßí{³ 1d‚s   ¦ a ~  –H—2 x  œ¦ h Af åº €` r   ¦  “ (6.12) _ ª &ì € C 0\" /à L ∞ n=0 an (z − z0 )n 2 X :s&õ F j ] £h G ¤ 173 r Ê É 3<º¼Ð “ K$†Ãsٖ Cauchy &o\ _ # ñ Œ ∞ C n=0  f s. " C an (z − z0 )n dz = 0 f (z ) dz “ /à (6.12) _  rL É åº b2 bn b1 + + ··· + + ··· 2 z − z0 (z − z0 ) (z − z0 )n (6.13) _ &ì°\ _”. #l" /à (6.13) ` z0 \" f _ ̳É&s   hú >Ç Œf åº r¯ L Ç rô ¦  f  ÁÀÙP ô   .  œ A ÄoH f _ ůÂì_ —ª\ " [ t þI– ìÀÇ. º  Ò¹Ò ¸€ f j  +Ð Óô r r \ ; I. ³†(Pole) –9 ß{ z0 \" f _ ůÂìs &#•  0 s m“ ÄÇ>_ ½ ë   f  Ò¹Òr hQ¸   ¦ »ôh † Ó ¼Ð å º £ € ñº ܖ = âÄ, 7 ª_ &à m s ”F # Q H ¤œ  >Œ r bm = 0 s“ bm+1 = bm+2 = · · · = 0 ¦ s $w  âÄ (6.12) “  ín º  H r É (6.14) f (z ) = ∞ n=0 an (z − z0 )n + b1 z − z0 + b2 (z −z0 )2 bm (z − z0 )m (0 < |z − z0 | < R2 ) +··· + ¦ s. #l" bm = 0 s. s Ä “w:s& z0 \ €Ê m ˜ ³† s  Œf   ⺠¦n£h ¤   DÁ + ;\   Ç. :y m = 1 “ Ä í';†s ô. ô £ ¤   º 5K\   â ³ Ç Ê <º ™e 6.8 †Ã × 3 z 2 − 2z + 3 = 2 + (z − 2) + z−2 z−2 (0 < |z − 2| < ∞) r É “ z0 = 2 \" –HF&¦ t“ Äà 3 s. f ßíGh ¦ »º  H é ` ™e 6.9 †Ã × Ê <º sinh z z4 z3 z5 z7 1 z+ + + + ··· z4 3! 5! 7! 11 1 z z3 = 3+ · + + + · · · (0 < |z | < ∞) z 3! z 5! 7! = f Aº  G` ¦ »º ¦  “ z0 = 0 \" 0à 3 “ F t“ ÄÃH 1/6 s. r É  j œ »º< G 6  ÄÃü F © 174 II. V ø l†  æ5 §\ ´ ë{ — bn s 0 s€ (6.12) “ – Ž ß9 ¸H    r É (6.15) f (z ) = ∞ n=0 an (z − z0 )n = a0 + a1 (z − z0 ) +a2 (z − z0 )2 + · · · (0 < |z − z0 | < R2 ) þa ¦ Ç Ð + : – A). sM z0 ` Vø §l† s ô. " ]0ô   æ5 \   f j p ´ xÇ f  ú¦ ¯` ¤ £hf »º Ó©  –9 :s&\"_ Äà ½ 0 s. ë{ z0 \" f _ ° f (z0 ) = a0 “ ¦ H †œ ß Fñ_  /à (6.15) “ |z − z0 | < R2 \" íw. ÕX "/Ö  € åº & f nÇ ª< 4åºÐ $ô  L L r É ³‰ <Í çÍ?\" K$†Ãsٖ f  z0 \" F&_¨ M ð&) †ºH º4ìâ/f 3<º¼Ð ³a Ê  ø Ê | f ñc : f 3h ªQ¼Ð ¤ r a z0 \" K$&s. Õٖ z0 \" :s$“ V.  f £íÉ )  h r† É Êº ™e 6.10 & z0 = 0 “ <à × 1 − cos z z2 z4 z6 1 + − + ··· = 2 1− 1− z2 z 2! 4! 6! 1 z2 z4 + + · · · (0 < |z | < ∞) =− 2! 4! 6! f (z ) = ¦ ñ H †º _ ]0ô :s&s. f (0) = 1/2 s“ F&_ € f  „Êà  j p £h xÇ ¤    <  ) a. a  †  h  ½ Çh 6.3 (Riemann) <à f  & z0 _ #" ”HÓ 0 < |z − z0 | < ε ʺ  Q‹ ~  ñ f 3h  \" K$&s“ Ä>s & . ß9 f  z0 \" K$&s m€ f 3h¦ »  –{ ë   f j pô £h  xÇ ¤ `  f H z0 \" ]0 :s&¦ ”.    r É ¦ f 3h ¦ & ªQ h  ”ã f  z0 \" K$&s m“ ñ . Õ€ & z0 “ f _ “ «Ë Ö_ ¤  n£h ¸   HÓ w:s&s. ¢ô f H ” ~ 0 < |z − z0 | < ε \" Laurent /Ã Ç   ½ f L åº (6.16) ∞ f (z ) = n=0 an (z − z0 )n + ∞ bn (z − z0 )n n=1 ¼Ð ð&a ß9 ܖ ³‰. ë{ C  ª_ Ó¾_ " |z − z0 | = ρ, ρ < ε(Õa 6.3)\ ³) – œ ~† ¶ € ½Ó é > ªË  ¦   /€  ? (6.16) _ >à bn H  º  (6.17) bn = 1 2πi C f (z ) dz (z − z0 )−n+1 (n = 1, 2, . . .) ¼Ð þ º ” ܖ j à e. f  Ä>sٖ 0 < |z − z0 | < ε 9 M |f (z )| ≤ M  € {: œ “ª t  »¼Ð  º à M s ”Fô. " (6.17) – Â'  > f rÇ Ð Ò |bn | ≤ M 1 · −n+1 2πρ = M ρn 2π ρ (n = 1, 2, . . .). 2 X :s&õ F j ] £h G ¤ 175 ª< ÕX bn “ œÃs“ ρ  e_– > ×+ à eÜٖ Laurent /à r© É º¦ H ”Ð Œ ˜½ º ”¼¼Ð   • þÉ  L åº (6.16) _ —Ž >à bn = 0 s ½ à ”. " z0 “ ]0 :s +  ¸ º H  É º  f e r É j pÇ £ xô ¤  h &s. I II. Ô† §l† µ™\ \ e  ´   : ¦   µ \ ´ \ Ô   ´ /à (6.12) _ —Ž >à bn  0 s u M z0 ` f _ e™† §l† L åº  ¸ º H Ç s ô.   < ™e 6.11 Êà × †º exp 1 z = ∞ n=0 11 11 1 · n =1+ + · 2 +· n! z z 2! z (0 < |z | < ∞) r ¤   H r É “ z0 = 0 \" :9& :s&` . #l" ÄÍ b1 = 1 s. f ‘|h £h¦ ” Œf »º  r ¤  :9h £h / ƒ¨H ‘|& :s&\ @ô ½ Picard(1879) _ ׯô õ e. Ç   æ¹  ”  Ç  f r9h £h¦ ” ¦ ¦  & H : ¤ `  Ç  ah 6.4 (Picard) f  z0 \" ‘|& :s& “ ñ “ U  z0 _ __ “ ” Ós . Õ  _ ° ]@Ç e   ” ŒÉ  H~  ªQ€   ú¦ jüô • r  ½  ¯` H  / ~ d r É /f ºô úÉ ¦ ”  §r \  — w ∈ C \ @K Óñ f (z ) = w “ U ?\" ÁÇy ´“ K  ¸Ž ½&”  . s 7"“ 7 Z“ Ãï_ s:s 9¯ [7]. Õ 6 &o ~  £îÉ á É º r €¹  § H x r § }r r ªQ £ ñ 1 x   £îa > 7"). a Çh 6.5 (Cassorati-Weierstrass) z0 s †Ã f _ :|& :s&s    ʺ  ‘9h £h < r ¤  ª ¦” ñ¦ ”   Ÿèº  ªQ€ e œº  /f Òp ¤ & “ w0 \ e__ 4™Ã . Õ __ €Ã ε \ @K" Â1 x ” d  |f (z ) − w0 | < ε (6.18)  “ z0 _ yy ” ½ 0 < |z − z0 | < δ _ #‹ & z \" –7Ç. r É  ŒŒ  Ó  Q" h f ëá ß ¤ô ••  H~ ”ã z0  f _ “w :s&sٖ f  K$& ” ~ 0 < «Ë Ö_ H  ¦na £h¼Ð ) ¤  3h“  HÓ    ½  > ¸   H~ |z − z0 | < δ s ”Fô. ›| (6.18) s ” ½ 0 < |z − z0 | < δ _ # rÇ   Ó Q  ߤ  9: ‹Ç hf¸ –á ú¦ & ªQ€ *ô &\"• ë7 t ·“  . Õ 0 < |z − z0 | < δ { M §H ñ  |f (z ) − w0 | ≥ ε s“ †Ã ¦ ʺ < (6.19) g (z ) = 1 f (z ) − w0 (0 < |z − z0 | < δ )  r É  j r É »¦ ñif 3h ñ “ Ä>s“ _%\" K$&s. &o 6.3 \_ # z0 “ g _ ] & Œ xÇ ¤  p £h 0ô :s&s. z0 \" g  K$&s ÷•2 &_¦ . f 3h &¸Ÿ ñ\   ¤  j œ »º< G 6  ÄÃü F © 176 ß9 ë{ g (z0 ) = 0 s€ 0 < |z − z0 | < δ { M †Ã  –   9 : <º Ê f (z ) = 1 + w0 g (z ) f (z0 ) = (6.20) 1 + w0 g (z0 )  H  ܖ _ € z0 \" K$†Ã ). " z0 “ f _ ]0Ç : ¼Ð & Ê r É  j pô £ x ¤ ñ  f 3<º a f  h¼Ð ¸ s&sٖ —ís.  H ß{ g (z0 ) = 0 s€ <à g  ~ |z − z0 | < δ \" †1&ܖ 0 s  –9 ë H Ó f ½ph¼Ð   Óx  ʺ  H½ † mٖ z0 \" #‹ 0à m _ %&¦ 4 Ç(ño 6.7 ‚›). (6.20) ¼Ð f Q" Aº     òh` R ô & Рø  ¦  r   Œ  f Aº “ G` úH ªQ É ¸H \ _ # f  z0 \" 0à m  F °. Õ s¯“ —ís. H V3⠁‰ ËÊ· Ä Ð 'ß ÂÁŸ ©M ‘  ×  < ¦n) £h ¦ £h` üQ– ߌ³ p” a ¤ ¦ ¤ ¦ t ø –H—2 x †Ã f  “w :s&` t“ :s& Ñß éí{˜ 1d‚ C  ʺ ÒQ’` : hr Å#&¦ M &ì   f (z ) dz C ¦  ¨ Af »º&  € † ú¦ ” f £h H ` ½ l 0K" ÄÃño\ s6  H` ·“ e. " :s&\ ¦ x  d¦ ˜  ¤ f †º »º ¨Œ  9Íh¼Ð †º " <Ã_ ÄÃ\ ½ # ô. {ø&ܖ <Ã_ Laurent /æ : ¦ Ê Ç ì Ê L x åº\ Ÿ ˜ ¹  # · à ”të ˜ –¼† ~Z` : # ÄÃ\ 1l– ô. s ]\" Œ ú º eß Ð ç#< ½O ŸŒ »º¦ ÔÐ Ç  Xf – ßÊ Ó¦ x   ¦w £hf ʺ »º ¨ ½Z úÐÐ  ¦ H Ó¦ ˜  “n) :s&\" <Ã_ ÄÃ\ ½  ~O` ·˜l– ô. H a ¤  † Ç  I. ;†U" ËÊPe ³\c ÂÁ± Ø <à f  0à m “ F& z0 \ ”“ & . Õ€ f  ” †   ¦ ñ ªQ   H ʺ Aº  Gh ¦ ½ 0 < |z − z0 | < R2 \" Laurent /à HÓ ~ f L åº f (z ) = ∞ n=0 an (z − z0 )n + b1 b2 bm + + ··· + 2 z − z0 (z − z0 ) (z − z0 )m ¼Ð ð&) ʺ ܖ ³‰. †Ã φ(z ) ` ³a <  ¦ (z − z )m f (z ) 0 φ(z ) = b m (bm = 0) z = z0 z = z0 ܖ ñ_  "ó |z − z0 | < R2 \" ¼Ð & ¶ø € éÍ f φ(z ) = bm +bm−1 (z −z0 )+· · ·+b2 (z −z0 )m−2 +b1 (z −z0 )m−1 + ∞ n=0 an (z −z0 )n+m 3 X ÄÃ\ ½  ~O j ] »º ¨H ½Z  ¦  Ó 177 ¤ £  ¼Ð åºh  f ܖ /Ä>\ ”. " φ(z ) “ "Í |z − z0 | < R2 , :y z = z0 \ L¦  r éø É ¶ó  " K$&s. φ(z0 ) = bm = 0 sٖ f 3h ¼Ð (6.21) f (z ) = φ(z ) (z − z0 )m  t  r É f 3h¦  “ þdܖ j à e. φ(z ) “ z0 \" K$&s“ φ(z0 ) = 0 s.  A”¼Ð þ º ”  +  i¼Ð %ܖ f (z ) \ (6.21) ܖ j à ”“ & . φ(z ) “ K$†Ãs ¦ ¼Ð þ º ¦ ñ r < É 3ʺ  t e ¼Ð ٖ z0 _ ~ |z − z0 | < ε s€ Taylor /à „>  HÓ ½ L åº h   φ (z0 ) (z − z0 )2 + · · · 2! ∞ φ(m−1) (z0 ) φ(n) (z0 ) + (z − z0 )m−1 + (z − z0 )n (m − 1)! n! n=m φ(z ) = φ(z0 ) + φ (z0 )(z − z0 ) + x p p” x ¼ÐÒ  0 . 1d (6.21) ܖÂ' 0 < |z − z0 | < ε { M  9: (6.22) f (z ) = φ(z0 ) φ (z0 ) φ (z0 )/2! + + + ··· m m−1 (z − z0 ) (z − z0 ) (z − z0 )m−2 ∞ φ(n) (z0 ) φ(m−1) (z0 )/(m − 1)! + (z − z0 )n−m + z − z0 n! n= m φ(z0 ) = 0 sٖ f  z0 \" 0à m “ F&` ”. H f Aº  ¦  ¼Ð   Gh  d (6.22) ܖ Â' z0 \" f _ ÄÍ ”  ¼Ð Ò f  »ºH  φ(z ) m=1 0 (6.23) Res(f ; z = z0 ) = φ(m−1) (z0 ) m≥2 (m−1)! ` ˜ ”¦ ú º e  & ¦  e · à . s\ ño € ” ah 6.6 Êà f _ “n :s& z0 s 0à m “ F&sl 0ô €¯ < †º  ¦w) £h  Ç Ø  Ç a ¤   Aº  Gh A 9¹æ t r r  AÐ þ º ” Œf þ   f  ¸ É ì›|“ f (z )  (6.21) _ +I– j à e. #l" φ(z ) s z0 \" K  3h¦   8¡ $&s“ 0 s m. ¹s z0 \" f _ Äà (6.23)  AIs. ¤ f  »ºH  + “ þ ” d Ô Ç§ ½” 6.2  (6.21) ܖÂ' ¼ÐÒ lim z → z0 1 0 (z − z0 )m = lim = =0 f (z ) z →z0 φ(z ) φ(z0 ) – Ê <º  Gh s. " ß{ z0  †Ã f _ F&s€  f ë9  (6.24) í  wô s $nÇ. lim f (z ) = ∞ z →z0 j œ »º< G 6  ÄÃü F © 178 Ê × ™e 6.12 <à †º z+1 z2 + 9 f (z ) = “ z = 3i \" “w :s&` t“ r É f ¦n £h ¦  ¤ ¦ φ(z ) z − 3i f (z ) = t ¼Ð þ º  Œf ܖ j à ”. #l" e z+1 z + 3i s. φ(z ) “ z = 3i \" K$&s“ φ(3i) = (3 − i)/6 = 0sٖ & z = 3i  r É f 3h¦  ¼Ð h  ßH   s –íF&s. " Res(f ; z = 3i) = (3 − i)/6 s. & z = −3i • f  éGh f  h ¸ _ –F&s“ ÄÍ (3 + i)/6 s.  ßHGh¦ »ºH éí    φ(z ) = †º < ™e 6.13 Êà × f (z ) = r É “ z = i \" “w :s& t“  ¤ ¦ f ¦n £h` ¦ f (z ) = z 3 + 2z (z − i)3 φ(z ) (z − i)3 t ܖ j à ”. #l" ¼Ð þ º e Œf  φ(z ) = z 3 + 2z s. φ(z ) “ „†Ãs“ φ(i) = i = 0sٖ &o 6.6 \ _ # f  &  r Ê É <º¦ Ð ñ  Œ H h  z = i \" 0à 3 “ F&` ”. /d (6.23) \ _ # Äà f Aº  Gh¦  B” N     Œ »º Res(f ; z = i) = φ (i) = 3i 2!  s. /d (6.23) ¦ 6  ¯s BÄ ´õ&stß M– Å_ # &6 N” B  ë x  x H `    º òh– :Ð ÒŒ h H  Œ   # ô. Ç Ê ™e 6.14 †Ã × <º sinh z z4  _ z = 0 \" Äà o  6½ à . –9 f »ºH & ¦  + º O ë{  ñ ` xÉ \ ß f (z ) = φ(z ) Œf #l" φ(z ) = sinh z z4 ¦ h  d ) = ܖ Òy # m = 4  Ä\ /d (6.23) ` &6 € o> a.  ¼Ð qŒŒ t• ⠓ º B” N  x  ¦    / (6.23) ¦ 6 l 0K"H φ(z0 ) = 0 sH › s ì×r € Bd  N” `   Af x  ¸| ø¼ Í  €  ¦ x½ O ¹ ª< 9¯ . ÕX φ(0) = sinh 0 = 0 sٖ /” (6.23) ` &6+ à \. ¼Ð B  h É º  Nd r É Aº  Gh¦ »º  H  jÐ z]– z = 0 “ 0à 3 “ F&s“ ÄÍ 1/6 s. ´  f (z ) = 3 X ÄÃ\ ½  ~O j ] »º ¨H ½Z  ¦  Ó 179 Q" ⺁H 庄h ~É ñ #‹ Ä\ /Ã> ÓO“ &o 6.6 < ½ € ¹ ´õ&s.  L  ½Zr Ë  ¤  ü + 8¡ òh  r „Ê É <º¦ hÉ òr  ™e 6.15 z (ez − 1) “ †Ãs“ %&“ z = 2nπi (n = 0, ±1, ±2, . . .) s ×  Ù – & z = 0 “ †Ã ¼Ð h rÊ É <º 1 f (z ) = z − 1) z (e  ¦n£h _ “w:s&s. Maclaurin /à ¤  L åº ez = 1 + z + z2 z3 + + ··· 2! 3! (|z | < ∞) Ð Ò – Â' z (ez − 1) = z 2 1 + z z2 + + ··· 2! 3! (|z | < ∞) e` ú º  f ¦ ˜ ” · à e. " ” (6.25) f (z ) = #l" Œf φ(z ) = φ(z ) z2 1 1+ z 2! + z2 3! + ··· f 3h¦  s. φ(z ) “ z = 0 \" K$&s“ φ(0) = 1 = 0 sٖ & z = 0 “ 0  r É  ¼Ð h r ÉA à 2  F&s. /d (6.23) \ _ # ÄÍ b1 = φ (0) s. ÕX º “ Gh B”    ª<  N  Œ »ºH é ½ "h ~f ¶&_ HÓ\" −(1/2! + 2z/3! + · · · ) φ (z ) = 2 z (1 + 2! + z + · · · )2 3! ¼Ð sٖ b1 = −1/2 s.  z − 1) _ /ó³` 1 õ ”XÐ!¦ # ½É à  + »º ÄÍ z (e H  åºð&¦  fül` Œ ¨½ º e L ‰ wr ” z − 1) _ Laurent /Ã\ 1/z   # %¦ à .   1/(e  L 庁 \L ” ¦ YŒ 3 º e ` II. †U ˜5 ' Æ\c +ø ‘ß  ׁ Z & z0 \" K$& †Ã f  ty . —Ž •†Ã f (n) (z ) (n =  h f 3h“ ʺ  < \ Ҍ ¸ ¸<º HÊ ¦ q• (k) (z ) = 0 (k = 0, 1, 2, . . . , m − 1) s r É f rÇ ß{  1, 2, . . .) “ z0 \" ”F. ë9 f >ô – 0 (m) (z ) = 0 ` –7  €_ &à m s ”F  f  z \" €Ê  ëáH ª ñº €H ¦ ߤ  œ  >  0 f DÁ r ¦ “f 0 m ˜ Ɔ£ GГ . + Z\ ØM¦ Ç  · ± ô ™œah 6.1 & z0 \" K$& Êà f  z0 \" 0à m  %&¦  ׿ Ç “ h`  ò f 3h“ †º f Aº  h  <  <  Aô 9¹æ¸ É tl 0 €¯r›|“ z0 \" K$&s“ 0 s  †Ã g  ”F Ç  Ø ì r f 3h¦   ʺ r >  # Œ (6.26) ` ߤ  ë7Ç. ¦ –áô f (z ) = (z − z0 )m g (z ) j œ »º< G 6  ÄÃü F © 180 «Ë  Ö_ ” ”ã d (6.26) s $nô“ & . g (z )  z0 \" K$&sٖ z0 f 3h¼Ð  wǦ ñ í  _ #‹ ~ |z − z0 | < ε \" Taylor /Ã>  Q" H½ f L„ åºh  Ó g (z ) = g (z0 ) + g (z0 )(z − z0 ) + g (z0 ) (z − z0 )2 + · · · 2! r É ` ”. Õٖ (6.26) “ |z − z0 | < ε \" ¦   ªQ¼Ð f f (z ) = g (z0 )(z − z0 )m + g (z0 )(z − z0 )m+1 + g (z0 ) (z − z0 )m+2 + · · · 2! A ¦   r  / Ç  þ ” ª< ¯É “ +I\ . ÕX s“ f (z ) \ @ô Taylor /Ã>sٖ L„ åºh¼Ð f (z0 ) = f (z0 ) = f (z0 ) = · · · = f (m−1) (z0 ) = 0 (6.27) ¦ s“ f (m) (z0 ) = m!g (z0 ) = 0. " z0 “ f _ 0à m _ %&s. f r É  Aº  òh  ß{ – ë9 f  z0 \" 0à m  %& t“, z0 \" K$ ` t f Aº  ¦ “ òh` ¦ í f 3$¦  ô  ínô¦ € Q" H~  &   ½ f ¦ ¸Ç ¸ “, ¢ ›| (6.27) s $wÇ“ ñ  #‹ Ó |z − z0 | < ε \" Taylor /à L åº f (z ) = ∞ f (n) (z0 ) (z − z0 )n n! n=m = (z − z0 )m f (m) (z0 ) f (m+1) (z0 ) f (m+2) (z0 ) + (z − z0 ) + (z − z0 )2 + · · · m! (m + 1)! (m + 2)! " f (z ) “ +I (6.26) ` ”. #l" |z − z0 | < ε \" f rA É þ   Œf ¦ f g (z ) = f (m+2) (z0 ) f (m) (z0 ) f (m+1) (z0 ) + (z − z0 ) + (z − z0 )2 + · · · m! (m + 1)! (m + 2)! { f   : Œ åº º4$É É •L ír r  s. |z − z0 | < ε 9 M t} /Ã_ ç “ g “ |z − z0 | < ε \" K $&s“ :y z0 \" K$&e¦ ˜©Ç. ¹s  3h¦ £ ¤ f 3h”` Ёô 8¡  œ ¤ g (z0 ) = f (m) (z0 ) = 0. m!  <º „Ê ™e 6.16 †Ã f (z ) = z (ez − 1) “ × r É f (0) = f (0) = 0 s“ f (0) = 2 = 0 ¦ %¦  ¼Ð sٖ z0 = 0 \" 0à m = 2 _ ò&` ”. f Aº  h    h f 3h¦  Ç º †º ü < ¦ & ah 6.7 ¿ Êà p < q  & z0 \" K$&s“ p(z0 ) = 0 s“ ñ ß  òh  ] `  €  f Aº r É  .–{ q  z0 \" 0à m _ %&¦ ”  p(z )/q (z ) “ z0 \  ë9 f Aº " 0à m _ F&` ”.  Gh  ¦  3 X ÄÃ\ ½  ~O j ] »º ¨H ½Z  ¦  Ó 181 «Ë Ö_ ”ã z0 s q _ 0à m  &s“ & . q (z ) = 0 “ z0 _    Aº  ò “ %h¦ ñ   ”   H~s ”F. s “ z0  ] p(z )/q (z ) _ “w:s&e >ô. ¢ Ó r ô ½ >Ç É ¯r   ¦n£h”` p ¸  ¤ ¦ wÇ Ç  ô q (z ) = (z − z0 )m g (z ) H s. #l" g  z0 \" K$&s“ 0 s m. s z–Â'  Œf  f 3h¦    ÐÒ  ´ p(z )/g (z ) p(z ) = q (z ) (z − z0 )m (6.28) t ¼Ð þ º e ª< ܖ j à ”. ÕX p(z )/g (z ) “ z0 \" K$&s“ 0 s mٖ z0   r É f 3h¦  ¼Ð   p(z )/g (z ) _ 0à m “ F&s.  Gh   H  Aº Ð f ʺ < h f Aº  %  ™e 6.17 ˜l \" †Ã f (z ) = z (ez − 1) s & z0 = 0 \" 0à 2 “ ò ×   ` h¦ ¼Ð iº & tٖ %à 1 1 = z − 1) f (z ) z (e f Aº  Gh`  r Éh “ & z0 = 0 \" 0à 2 “ F&¦ ”.    r –  É ßHGh /£ »º 1< » ô & o 6.7 “ éíF&õ @6  ÄÃ\ ¹X Ä6 ños. ñ & xH ¦ ÔH xÇ ŸÇh 6.1 ¿ <à p ü q  & z0 \" K$&s . ë9 a º †º <  h H ¸ Ê f 3h  ß  –{ p(z0 ) = 0, q (z0 ) = 0, s“ q (z0 ) = 0 ¦ s z0 “  p(z )/g (z ) _ éíF&s“ € r] Ɂ –H    ßGh¦ (6.29) Res p(z ) ; z = z0 q (z ) = p(z0 ) . q (z0 ) «_ ÖË ”ã p, q  Å# ›|` ë7ô“ & . q _ ›|\ _K z0 s ÒQ” ¸ ßᦠ  ¸    ¦ –¤Ç ñ   q _ éíF&s. ˜›ño 6.1 \   ßGh и  –H  &   q (z ) = (z − z0 )g (z ) (6.30) Œf #l" g (z )  z0 \" K$&s“ 0 s m. ¹s ño 6.7 \ _  H  f 3h¦   8¡ &    € ¤ z0  p(z )/q (z ) _ ßíF&s. ño 6.7 _ 7"\" 1d (6.28) “ H  –Gh & éH   £îf p” x x  r É p( z ) p(z )/g (z ) = q (z ) z − z0 r É s ÷“ p(z )/g (z ) “ z0 \" K$&s“ 0 s m. " &o 6.6 \  &¦ f 3h¦   f    ñ f _K" (6.31) Res p(z ) ; z = z0 q (z ) = p(z0 ) . g (z0 ) Õ g (z0 ) = q (z0 ) sٖ (6.29) \ %. ªQ ¼Ð ¦ H  3 j œ »º< G 6  ÄÃü F © 182 Ê × ™e 6.18 <à †º cos z sin z <  ò “ Êà p(z ) = cos z ü q (z ) = sin z _ s. _ :s&“ q _ %& r < É „ †º  ] ] £hÉ  h  ¤ r f (z ) = cot z = z = nπ (n = 0, ±1, ±2, . . .) \" ÏÒ. ÕX f 1qô ª< µtÇ  p(nπ ) = (−1)n = 0, q (nπ ) = 0, s“ q (nπ ) = (−1)n = 0 ¦ sٖ f _ y :s& z = nπ “ éíF&s“ Äà ¼Ð  Œ £h r ßH  É –Gh¦ »º H •¤  Res(cot z ; z0 = nπ ) = p(nπ ) (−1)n = =1 q (nπ ) (−1)n  s. ¤  ™e 6.19 p(z ) = z < q (z ) = z 4 + 4 \ 6 # “w:s& × ü ¦x   Œ ¦n£h z0 = √ iπ/4 2e =1+i f †º \" <Ã Ê f (z ) = z z4 + 4 _ ÄÃ\ ¹Ür¯.  »º Ô¼¹ ¦1 þT Ú I  ÕX ª< 3 p(z0 ) = z0 = 0, q (z0 ) = 0, s“ q (z0 ) = 4z0 = 0 ¦ H sٖ f  z0 \" ßF&¦ t“ ÄÍ ¼Ð  H f éíGh` ¦ »º –H  Res(f ; z0 ) = z0 1 p(z0 ) i = 3 = 2 =− . q (z0 ) 8 4z0 4z0 ÅFÃg Ž©7 ìøØ< §Ê ¤ ¦ • xH 1. 6 †Ã_ :s&s F&e` ˜s“ y F&_ 0Ãü @6  £ <º £h Gh” Ц Œ Gh Aº< /£ ¦ ÄÃ\ ½ #. »º ¨Œ (a) (b) z 2 +2 z −1 z 2z +1 (c) tanh z 3 (d) exp z z 2 +π 2 3 X ÄÃ\ ½  ~O j ] »º ¨H ½Z  ¦  Ó 183 2. & z = 0 s †Ã f (z ) = csc z _ éí F&e` ˜s“ @6  Ä  ʺ < –H ¦ xH  h  ß Gh” Ц /£ » e £ ~Z¼Ð й à 1 ` 6 ½Oܖ ˜sr¯. º ”¦ § Ó  (a) csc z \ @ô Laurent /à  /Ç L åº £ñ § (b) 2&o 6.1 _ s6   x 3. (a) Res (b) Res z 1/4 z +1 ; z = −1 = Log z ;z (z 2 +1)2 =i = 1+i √ 2 (|z | > 0, 0 < arg z < 2π ) π +2i 8 (c) Res(z sec z ; z = −1) = (−1)n+1 zn #l" zn = Œf 0, ±1, ±2, . . .) (d) Res exp(zt) sinh z ; z = πi + Res exp(zt) sinh z ; z π 2 + nπ (n = = −πi = −2 cos πt 4. yy_ Ä\ @K 6 & •• ŒŒ ⺁ / £ hì § r C 3z 2 + 2 dz (z − 1)(z 2 + 9)  ú ¨Œ Œf  ª ½¾ ¶ _ °` ½ #. #l" C  €_ ~†_ " ¯¦ H œ ÓÓ é (a) |z − 2| = 2 (b) |z | = 4 5. yy_ Ä\ @K 6 & •• ŒŒ ⺁ / £ hr § ì C 1 dz z 3 (z + 4)  ú ¨Œ Œf H œ ~¾ ¶ _ °` ½ #. #l" C  €_ ½†_ " ¯¦  ª ÓÓ é (a) |z | = 2 (b) |z + 2| = 3 œ  Ó † ¶  § r 6. C  ª_ ½¾_ " |z | = 2 9 M 6 &ì¦ ½ #. € ~Ó é { : £ h` ¨Œ tan z dz (a) C (c) cosh πz C z (z 2 +1) (b) dz C sinh 2z dz  / £ <º 7. &o 6.2 ¦ 6 # €_ ~†_ " |z | = 3 \ @ô 6 †Ã f (z ) ñ x \  Œ ª ½¾ ¶ œ ÓÓ é Ç §Ê _ &ì >ß #.  hr¦ íŒ ` – (a) f (z ) = (c) f (z ) = (3z +2)2 z (z −1)(2z +5) (b) f (z ) = z 3 (1−3z ) (1+z )(1+2z 4 ) z 3 e1/z 1+z 3 8. CN “ —"o f‚ r É ¸f  ” 1 1 ¦ x = ± N + )π π s“ y = ± N + )π π 2 2 j œ »º< G 6  ÄÃü F © 184  ñ •þ œ ÓÓ ¦  &Œ+ ª ½¾ â / Œf “ yA_ €_ ~†_ >\  ?. #l" N “ €_ ñà rª & É œ º s .  N dz (−1)n 1 = 2πi +2 2 6 n2 π 2 CN z sin z n=1 ¦ 9 : A hìú ¼Ð º4 z  r¯ ” Ќ e` ˜#. N → ∞ { M 0_ &°s 0 ܖ ç  `  H ´¦  Œ s6 # x ∞ (−1)n+1 π2 = n2 12 n=1  ĕH` Oî #. »¸† [ Œ d¦ " 1  ”‚  •A œ Ó¾ “ Œ+ ª ½†  9. C  W s f x = ±2, y = 0, y = 1  yþ_ €_ ~Ó_ ⠁   + : > ½ M É dz π =√ (z 2 − 1)2 + 3 22 C  1 h %hÉ  òr e` ˜#. (˜à : †d q (z ) = (z 2 − 1)2 + 3 _ W >_ &“ ”¦ Ќ ³Ô ½ 2 Ӕ √ 1 ± 3i _ ]”\ Å_ # %à 1/q (z ) s &  jLHe ÒŒ iº Y   h √ √ 3+i − 3+i √ z0 = √ ü < − z0 = 2 2 ¦  [email protected] Aü /ҁf 3h¦ Ќ ª £ £   § §& ` ]üÇ C 0< ?Â\" K$&”` ˜#. Õ 6 2ño 6.1 e ` &6ô.) ¦ xÇ  h   < 10. q  z0 \" K$&, q (z0 ) = 0, q (z0 ) = 0 9 M Êà H  f 3h  { : †º f (z ) = 1 [q (z )]2 ¦ q•  tŒ ` Òy . z0 s †Ã f _ 0à 2 “ F&s“ @6  Äà  <º  Aº  Gh¦ /£ »º Ê  xH B0 = − q (z0 ) [q (z0 )]3 x e¦  †º  Aº  h¼Ð f p Ê  ò ` Ќ 2Ô ” ˜#. (˜à : z0 s <à q _ 0à 1 “ %&sٖ " 1 ³ ”  ô d (6.30) s $w. Õ  ínÇ ªQ€  f (z ) = 1 φ(z ) Œf #l" φ(z ) = 2 (z − z0 ) [g (z )]2  éH þ ¶ A H ü  ¼ »º  æ. Äà B0 = φ (z0 ) _ "  +I q (z0 ) = g (z0 ) < q (z0 ) = 2g (z0 ) ` ˜eܖ+ %#| à e.) ¦  Д¼Ð‹ 3Q9 º ”   f £ <º »º 1 ¦Ô 11. H] 10  s6 # z = 0 \" 6 †Ã_ ÄÃ\ ¹.  ëj ¦x `  Œ §Ê 3 X ÄÃ\ ½  ~O j ] »º ¨H ½Z  ¦  Ó 185 (a) f (z ) = csc2 z (b) f (z ) = 1 ( z +z 2 ) 2 <  †º¦  ¦ <  f 3h¦ 12. p ü q H z0 \" K$&s“ p(z0 ) = 0 s“ q (z0 ) = 0 “ ÊÃs“   Gh   H –  f Aº  ¦  ë9  . ß{ ] p(z )/q (z )  z0 \" 0à m “ F&` t€ z0  q  Aº _ 0à m  %&s.(˜à : ño 6.6 \ _K <Ã_ ]`   “ òh ³Ô    †º ¦  2 & Ê p(z ) φ(z ) = q (z ) (z − z0 )m e  – j à ”. #l" φ(z ) “ z0 \" K$&s“ 0 s m. Õ Ð þ º  Œf t r É f 3h¦   ªQ   r € q (z ) \ @K" ó.)  /f  ʺ f 3h¦ òh` ß  ¦  Q‹ H~ Ç ½ 13. <à f (z )  z0 \" K$&s“ %& ttë z0 _ #*ô Ó † H  – f¸ ½ph¼Ð  ¦ ñ \"• †1&ܖ 0 s m“ & . z0 s #‹ Äô 0à m Óx   Q" »Ç Aº    Œ _ ò&s#  sÄ @r¯. Õ ˜›ño 6.1 ` 6 #  hQ  »\ /¹ ªQ€ и& % H ¦  ¦x  ‰f z0 _ # ” ½ 0 < |z − z0 | < ε „^\" f (z ) = 0 e` ˜#  Q‹  Ó "  H~ ¦ ” Ќ . " z0  f _  %&ܖ Â' ”÷%6 ˜#.(˜à  f   É òh¼Ð Ò §™&3£¦ Ќ ³Ô H r  §` 2 Ê f Ŧ  €  Q" ½‰f  ӄ : <à & z0 \" ƒ5s“ 0 s m z0 _ #‹ H~^\" 0 †º h  q  _¦ x s ”` s6ô.)    Ç  <r  Œ ” H~É  hQ •  ½r 14. & z0  |Ë S _ ™††s †“ z0 _ y  ӓ S _ &#  h + 9½  \\ ÊÉ  ÊÇ ñ  + £ ú •  Ÿ†ô. Bolzano-Weierstrass &o_ ô þI 6õ °s ¸  í< ÇA H § t þ º  j à ”. e § Ç Z] ËNl” ¶ð ƅ R 6U #ÑÐ Èø™TR R 6U †#– Ò>  c âbÏM Á5ÒÖ Á   ¼ c \a¿   + ™\\  ˜ ††£ ë.  · >  ¦  Œ ß9 <º  ñü ëj s &o< H] 13  6 #, ë{ †Ã f  é{˜ 1d‚ C _ \x – Ê –í—³ x ßHŒ2 p”  /ҁ Gh j@¦ A< /Ò ¸Žh¼Ð ÒQ i ?Â\ F&` ]ü “ C 0ü ?Â_ —H&ܖ sÀ#” %% R  ò ¦  f 3h¦ f  ¸ %h  /ҁ ¦ »Ç A \" K$&s“ R \" f _ —Ž &s C _ ?Â\ ”“ Äô 0 e  H ò   <` Ãs€ sÇ ò&“ Ä>s#† ˜#. º Qô hÉ »ôhQʦ Ќ  %r Ç  ߌ2p A< /Ò ¸H h¼Ð ÒQ i   ò 15. R s éí{˜1”‚ C 0ü ?Â_ —Ž &ܖ sÀ#” %%s –H—³xd . Bolzano-Weierstrass ñoü F&s “w:s&e` s6 #,  < Gh ¦n£h”  Œ &  ¤ ¦ x ß9 / Gh jüô %i f 3h Qô G  ò Ç ë{ f  C ?_ F&` ]@Ç % R \" K$&s€ s F – ¦   <¦ &“ ÄÇ>s# †` ˜#. r  hÉ »ôhQ Ê Ќ j œ »º< G 6  ÄÃü F © 186 ‰ V4â ËÊh l£ø l׆&˜ Nñ ÂÁÇ· 5 (\P+ 5 aŸ  ‘ Ñ  ]fH »º \  Œ zº ¨–f ña ´Êº © s X\" ÄÃño¦ s6 # Ã_ ½ß\" &_ †Ã_ s  ) z<  & x ´ ç œ &ì` ½  ÓO` Àl– . p&ì†\" ½ß [0, ∞) " &_) r h¦ ¨ ~ ÒÐ Ç h<f ¨– H ½Z¦ ç a ô rÆ f ñ q ´Ê Å †º  ‘\P × ƒ5 z<à f _ l(†& ∞ (6.32) R f (x) dx = lim R→∞ 0 0 f (x) dx ∞  ¸Éá G r€ ©h r¤ Ç > ܖ ñ_ô. ë9 (6.32) _ šA Fôs ”F  s&ì 0 f (x) dx ¼Ð & –{ Ç ß  œr “ ʁø“ ô. ë{ f  à „^\" &_) 5 z†Ãs€ ½ r  É Á]5¦ Ç ß9  – ´ a ƒq ´< zº ‰f ñ Å ʺ ¨  – (−∞, ∞) 0\" s©&“ ç Af hìÉ œrr ß ∞ (6.33) 0 f (x) dx = lim R2 R1→∞ −R1 −∞ f (x) dx + lim R2 →∞ 0 f (x) dx ¼Ð & G º † ¸º ” h ܖ _ô. Fô_ ¿ ½s —¿ rF € &ì (6.33) s Õ +ܖ à ñÇ Ç Ë Ó >  r  ª ½¼Ð º x Ç ô 4Ç ª< §. ÕX (6.33) \ @6÷  AI_ +s Å 6a. Fô   /£& É þ Ë Ò  ) G x H r+ ½ R lim R→∞ −R f (x) dx s >F½ M (6.33) _ Cauchy ̳G(Principal Value) `  r+ : ± ¦ ”É  ÁÀê  (6.34) P.V. ∞ R f (x) dx = lim R→∞ −R −∞ f (x) dx ܖ ñ_. ß{ (6.33) s ”F € Cauchy ů° (6.34) “ ”F “ ¼Ð &a ë9 –  > r  Ò¹ú ¯ rr É >¦ ) §H º (6.33) s ç  °s. Õ %“ $w t ·. Õ f  Ä  º4 ú ªQ iÉ ín ú ªQ  H¯ r  †Ãs Ê <º € R R f (x) dx f (x) dx = 2 0 −R ¦ hr s“ &ì (6.32) “ °s ”F½ M Cachy ů° (6.34) _ 1/2 – ç r¯ r É É ú >+ : ¯  Ò¹ú  Ð º4ô Ç  8¡ h . ¹s &ì (6.32)  ç “ ¤ r º4¦  0 R1 f (x) dx f (x) dx = −R1 0 ¯ ¼ Ð sٖ (6.34)  &ì (6.32) _ °_ 2 C– çô. " H r  h  ú Ð º4 f Ç Ê ¨ß – f ºÊº¦ † Ò¹ú ¯ <º ÃV 6.1 †Ã f  ½ç (−∞, ∞) \" Ä<Ãs“ Cauchy ů° (6.34) Z    > hr s ”F € &ì (6.32) õ (6.33) —¿ ç “ r   ¸º º4¦  (6.35) ∞ 2 0 f (x) dx = ∞ −∞ f (x) dx = P.V. ∞ −∞ f (x) dx. 4 X ÄÃ&o\ s6 s&ì_ >í j ] »ºñ¦  ô ©h –   xÇ œr ß 187 I. &ÊÁʘ ¿Ë  PÁþÁ+ RÁ   ¦ H †” s]\" p(x) ü q (x)  z>Ã\ t ½ds“ /:Ã\ t Xf < H º  Ó¦ BŸ“º  ´ Nx ¦ H´ ¯ ò  ú¼ t ·Ü9, q (x) _ à p(x) _ Ø 2 ˜ ߓ, q  zð_ §  º  ºÐ Ð ¼¦  ºú % §¦ & tt ·` M, 6 ˜l Äo†Ã ¦ h`  ú : £ ÐH »ʺ §  < (6.36) f (x) = p(x) q (x) _ s&ì >í l 0K 6& ~ Oî s.  ©h` ß A  ÷H ÓZ¦ ["ô ¯ œr¦ – x  ½O`  Ç ™e 6.20 &ì × r h ∞ 0 x2 dx x6 + 1  º4¦ » ú ”¦ Ќ s ç “ ÄÇ °` f` ˜#.  ô ¯¦   IT Ú þ Ê <º †Ã f (z ) = z2 z6 + 1  –¤    r É “ z 6 = −1 ` ë7 H H\" “w:s& t“ Õ sü_ &\" ¦ ß፠f ¦n£h` ¦ ª @ hf ¤ ¦ H 3h QÇ HÉ K$&s. sô “  r  ck = exp i (2k + 1)π 6 (k = 0, 1, 2, · · · 5), ´¤ ~ § § s“ #Ö • »0\ Z#”t ·. %6 [  ¦ Q¼ ¯¸ z¡A Œe ú ƒ£ j H  c0 = eiπ/6 , c1 = i, c2 = ei5π/6 “ ø¨€\ “ Qt ø¨€\ Z# ”(Õa 6.4). R > 1 { r œìî ” É ©Í  e¦  H Íî Œ e ªË  9  ì  ~  > :  £h M f _ :s& ck (k = 0, 1, 2) “ z»0_  z = x (−R ≤ x ≤ R) ü < ¤ r ´¤ É ¡A ‚ì r f  é z = R \" z = −R t " |z | = R _ ø" CR \ _K Ñ“ ì¶ ¶  ©ì¶ œÍé   üQ ø" t  Íé ~e %% _ ?Â\ Z#”. s ø"%%_ >  r>[email protected] f  òi  /ҁ Œ  ìéòi ¦  ø/~†¼Ð Ͷ  â \ Í ½Ó \ &ì € ÄÃ&o\ _ #  r  ¦ h »ºñ Œ R (6.37) f (z ) dz = 2πi(B0 + B1 + B2 ) f (x) dx + −R CR f  Œf s. #l" Bk  ck (k = 0, 1, 2) \" f (z ) _ ÄÃs.  H  »º s] Äæ ½ l 0K 2&o 6.1  6 € & ck “ —¿ f _ j »º\ ¨ A £ñ  ¦   h ` x  r É ¸º  § éíF&s“ ßH  –Gh¦ Bk = Res z2 ; z = ck z6 + 1 = c2 1 k 5 = 6c 6ck k (k = 0, 1, 2). j œ »º< G 6  ÄÃü F © 188 f " 2πi(B0 + B1 + B2 ) = 2πi 1 1 1 − + 6i 6i 6i = π 3 s“ 1” (6.37) “ ¦ pd x r É R f (x) dx = (6.38) −R π − 3 f (z ) dz. CR ¯É s“ R > 1 “ —Ž R \ @K" $w.  ¸  /f ínô Ç r H s] R → ∞ 9 M 1d (6.38)_ šA &ì° j { : p”  x r¤ r¯  ¸Éá hú ˜s. |z | = R { M Ð  9: |z 2 | = |z |2 = R2 CR f (z ) dz → 0 ”`  e¦ s“ ¦ |z 6 + 1| ≥ | |z |6 − 1| = R6 − 1. – ªQ¼Ð ß{ Õٖ ë9 z  CR 0_ e__ &s€ A  h ”  |f (z )| = R2 |z 2 | ≤ MR #l" MR = 6 Œf |z 6 + 1| R −1 ¦ s“ CR _ UsH πR sٖ   ¼Ð ´ (6.39) CR f (z ) dz ≤ MR πR.  ÕX à ª< º lim MR πR = 0 R→∞ sٖ Â1 (6.39) – Â' ¼Ð Òpd x” Ð Ò lim R→∞ CR f (z ) dz = 0. Ó ” Ð Ò ½ñ ~&d (6.37) – Â' R lim R→∞ −R ¢ ¸ H ∞ P.V. −∞ π x2 dx = 6+1 x 3 x2 π dx = . 6+1 x 3 ÕX x&r†Ã Ä<Ãsٖ "] 6.1 \ _ # ª< hì<º º†º¼Ð îj  Ê Ê  Œ ∞ (6.40) 0 x2 π dx = . 6+1 x 6 4 X ÄÃ&o\ s6 s&ì_ >í j ] »ºñ¦  ô ©h –   xÇ œr ß 189  ó þÁŸ ïM (\P > I I. êø žê ÁÊ Á Ð l׆& >  · þ  ‘  XfH s ]\"   ∞ (6.41) f (x) sin ax dx ¢ ¸ H −∞ ∞ f (x) sin ax dx −∞ œr¦ – H ÓO¦ r < úÉ þ ©hì ß ½Z  Œf  € œ ü °“ AI_ s&` >í  ~` ê. #l" a  œ_  r + Hª © H fü ú Ãs“ f (x)  (I) \"< °s (6.36) +I_ ÆÃs. y → ∞ { M º¦  þ rº<º A ìÊ  9: ay ü °s 7 ٖ (I) _ ~Zܖ ¸  ½O¼Ð | sin az | < | cos az | “ sinh ay ¢H e < ú £ ¼Ð ü r É  x Ó  ½½ à O. " (6.41) ` ½ l 0K  HÉ  ¨+ º \ f ¦  ¨ A R R f (x) cos ax dx + i R f (x) sin ax dx = −R −R f (x)eiax dx −R ü |eiaz | = e−ay “ øî€ y ≥ 0 \" Ä>“ z¦ s6 . r œì  É ©Í¨ f » `    ´ x < × ™e 6.21 6¦ 7" #. £` £ Œ § xî ∞ (6.42) −∞ cos 3x 2π dx = 3 2 + 1)2 (x e ”ã x&ìÊà ĆÃsٖ &ì_ Cauchy ů°s >F “ " «Ë Ö_ h†º º<º¼Ð h r< Ê r Ò¹ú ”¦ ¶ ¯r é H ¯¦ a Ê  °”` ˜s . <à  úe Ѐ ) †º (6.43) f (z ) = 1 (z 2 + 1)2  r Éh  jüô º¡ ©Í¨ ¸ ¦ Ç ´ ¤ œì  ¦ ¸9¦ †ºY ` •{ “ ÊÃL f (z )ei3z “ & z = i \ ]@ zûõ øî€_ — <  Bf 3h £h  r HM Ž /\" K$&s. :s& z = i  z»0_ ‚ì z = x (−R ≤ x ≤ R) ¤ H ´¤  ¡A  t f  é   ü < z = R \" z = −R t " |z | = R (R > 1) _ ©ì" CR \ _K Ñ ü ¶  œø¶ Íé Q Ͷ i  /ҁ ~Œe ªË “ ì"ò% _ ?Â\ Z#(Õa 6.5). s ì"%%_ >\   øé% ” >  ø¶òi   Íé  â ¦ i3z \ &  ÄÃño\ _ #  ø/ÓӼР r>ì@~†Ü– f (z )e  hì€ »º  Œ Í ½¾ ¦ r  & R (6.44) −R ei3x dx = 2πiB1 − (x2 + 1)2 f (z )e3iz dz CR #l" Œf B1 = Res[f (z )ei3z ; z = i]. s] Äæ ½ . ÕX j »º ¨ ª< \  f (z )ei3z = φ(z ) ei3z #l" φ(z ) = Œf (z − 1)2 (z + i)2 j œ »º< G 6  ÄÃü F © 190 ¼Ð h sٖ & z = i “ f (z )ei3z _ 0à 2 “ F&s. "  Aº  Gh f   r É B1 = φ (i) = 1 . ie3 x pd 1” (6.44) _ zàq“ € ´  ºÒ\ § ¦  R (6.45) −R 2π cos 3x dx = 3 − Re (x2 + 1)2 e f (z )ei3z dz. CR s] j (6.46) f (z )ei3z dz = 0 lim Re R→∞ CR ”¦ Ð  e ˜s. z s CR 0_ &{ M ` A h9 :  |f (z )| ≤ MR #l" MR = Œf (R 2 1 − 1)2 s“ |ei3z | = e−3y ≤ 1 s. " ¦  f (6.47) Re CR f (z )ei3z dz ≤  R→∞9M {: MR πR = CR f (z )ei3z dz ≤ MR πR. πR →0 (R2 − 1)2 ”  3 sٖ d (6.45) “ "  õ (6.42) ` %. ¼Ð  ré H É ¶  ¦ H õ úÉ þ h – Af r¦ í x¦ xÉ (6.41)  °“ +I_ &ì` >ß l 0K" Jordan Â1d` 6½ r A Òp”  + 9¯ .  €¹ e ” ׿Ç ™œh 6.2 (Jordan ɞÏ) R > 0 { M a Ù Ð  9: π (6.48) e−R sin θ dθ < 0 «Ë Ö㠔_ π . R  ¼Ð  0 ≤ θ ≤ π/2 9 M sin θ ≥ 2θ/π (ÕË 6.6)sٖ R > 0 s€ {: ª> a  e−R sin θ ≤ e−2Rθ/π 0≤θ≤ π 2 " f π /2 0 e−R sin θ dθ ≤ π /2 e−2Rθ/π dθ = 0 π (1 − e−R ). 2R ªQ¼Ð Õٖ π /2 (6.49) 0 e−R sin θ dθ < π 2R (R > 0). 4 X ÄÃ&o\ s6 s&ì_ >í j ] »ºñ¦  ô ©h –   xÇ œr ß 191 r ç Af º”  / Õ s“ y = sin θ  ½ß 0 ≤ θ ≤ π 0\" Ãf‚ θ = π/2 \ @K ªQ ¯É ¨–  @gsٖ (6.48) _  AIs. /A¼Ð  É + rþ Íé  Œ ì  ~ ”H ©Íî s] †Ã f (z ) s ì" z = R0 eiθ (0 ≤ θ ≤ π ) s Z#e œø¨€\ j <º Ê  ø¶ Íé r É ” ì¶  —Ž &\" K$&s ñ “ CR “ e__ ø" z = Reiθ (0 ≤ ” H  eH ¸ hf 3h ¦  & Œf  Òp¦   θ ≤ π ) s (Õa 6.7). #l" R > R0 s. Jordan Â1d` 6   ªË > x” x  §¦  € £` Ð{ º e  6 ˜9 à . ”  Z ÃV 6.2 (Jordan ™œÇh) ë{ CR 0_ —H & z \ @K" |f (z )| ≤ ׿a ß9  – A ¸ h  /f Ž  ßáH € ©º ¦ –¤  ª œ ”   >€ MR ` ë7  œ_ à MR s rF  (6.50) lim R→∞ CR f (z )eiaz dz = 0 (a > 0). #l" Œf lim MR = 0 R→∞ s.  ”ã «_ ÖË (6.50) _ 7 “  £" É xî r π f (z )eiaz dz = f (Reiθ exp(iaReiθ )iReiθ dθ 0 CR ¦ xô   Ç ª< ` s6. ÕX  |f (Reiθ )| ≤ MR s“ | exp(iaReiθ )| ≤ e−aR sin θ ¦ Òp”    ¦ x€ sٖ Jordan Â1d (6.48) ` s6  ¼Ð x CR f (z )eiaz dz ≤ MR R π e−aR sin θ dθ < 0 R → ∞ { M MR → 0 sٖ (6.50) s $wô.  9: ¼Ð  ínÇ  × ™e 6.22 & r hì ∞ −∞ x sin x dx x2 + 2x + 2 _ Cauchy ů°` ½ #.  Ò¹ú ¨Œ ¯¦ þT Ú I Êà †º < f (z ) = z2 z z = + 2z + 2 (z − z1 )(z − z2 ) MR π . a j œ »º< G 6  ÄÃü F © 192  æ. #l" z1 = −1 + i s. ìî\ e & z1 “ <à f (z )eiz `  ©ø¨€ ”H h œÍ    r† É Êº ¦ ¼ Œf  –HGh¦ »ºH _ ßF&s“ ÄÍ éí   B1 = (6.51) " R > f : ªË M(Õa 6.8) > z1 eiz1 . z1 − z1 ¯ √ q 2 s“ CR “ ª_ ½†_ " |z | = R _ ©ø"  è ¦ r € ~Ó é É œ Ó¾ ¶  œÍ¶` ­ ìé¦ R −R xeix dx = 2πiB1 − x2 + 2 x + 2 f (z )eiz dz CR A p ‡ºÒì` § 0 1”_ )àq“ € xd r¦  R (6.52) −R x2 x sin x dx = Im (2πiB1 ) − Im + 2x + 2 f (z )eiz dz. CR j s] (6.53) Im CR f (z )eiz dz ≤ f (z )eiz dz CR z s CR 0_ &{ M,  A h9 :  |f (z )| ≤ MR #l" MR = Œf R √ R− 2 2 ¦ s“ CR 0_ &\ @K" |eiz | = e−y ≤ 1 ` ë7ô. \ \" Ç ~”@ A h /f  ¦ –¤Ç  ßá V f ô ½d/  Ó x r¤ – '  Äo R → ∞ 9 M Â1d (6.53) _ šA, " ¢A, Ð ”Ÿ€ º   H { : Òp”   ¸Éá f ,á a¤ s 0 ܖ ¾  ` ˜{ à \.  R → ∞ 9 M  ¼Ð †  Ð9 º O = Ó H ¯¦   {:   MR πR = πR2 √ R− 2 2 Ó §H Ç “ 0 ܖ † t ·. Õ Fô (6.50) “ ¶ H õ\ ]/. r É ¼Ð ¾ ú ªQ G r é   ¦ NÇ É "  jBô jÐ Òpd z]– Â1” (6.53) ܖ Â' R → ∞ { M ¢A“ 0 ܖ ¾.  ´ Óô x ¼Ð Ò  9 : ,áÉ ¼Ð †Ç  a¤r r É »º a ” Ê x f p” " 1d (6.52) “ ÄÃ\ ›ô d (6.51) õ †a 6  x 'Ç   <  € (6.54) P.V. ∞ −∞ x2 π x sin x dx = Im (2πiB1 ) = (sin 1 + cos 1) + 2x + 2 e I II. êø žê£  Рdž& >  ó ïÁM a\P >· þ   2π (6.55) F (sin θ, cos θ) dθ 0 4 X ÄÃ&o\ s6 s&ì_ >í j ] »ºñ¦  ô ©h –   xÇ œr ß 193 r A íÉ < úÉ + hìÉ »º \  Œ – + º e  Ò ü °“ þI_ &“ ÄÃño¦ 6 # >ß ½ à ”. θ  0 Â' rr & x  H  ¼Ð  ¶h 攦 éA ¶ A h  #Œ¼Ð –é  2π t  ٖ θ \ "&s ×ds“ ß0 " C 0_ & z _ ¼yܖ  ¦ é  • iθ (0 ≤ θ ≤ 2π )  æ. 1” Òyô. " z = e t•Ç qŒ f  ¼ pd x (6.56) sin θ = z − z −1 z + z −1 dz , cos θ = , dθ = 2i 2 iz ¦  Œ ` 6 # (6.55) \ @{ € (6.55)  €_ ~†_ ¶ C ` " z \ x   /9  œ ½¾ "  f  H ª ÓÓ é ¦ a <º p” h 'ô †Ã_ 1d‚ &ì ›Ç Ê x r 2π (6.57) F( 0 z − z −1 z + z −1 dz , ) 2i 2 iz a ܖ . ¼Ð ) C _ B>Ã ³&s z = z (θ) 0 ≤ θ ≤ 2π { M &ì(6.55)   hº ð‰  ³ 9 : h  r  H 2π f (z (θ))z (θ) dθ f (z ) dz = C 0  A ` ˜ ” Œ \_ # (6.57) _ B>à +I” · à .  hº þe¦ ú º e  hì &r(6.57) _ x&†Ã z _ Äo<Ã{ M C 0\ ”t ·H ì— rÊ e § r  hì<º  »†º9 : A  ú ¸ Ê  ” Ó ¸ %h AÇ »º\  Œ h ß \ e ½”_ —Ž ò&s 0uô Äæ s6 # &ì` >íô. H   r¦ –Ç H †d x { × ™e 6.23 −1 < a < 1 9 M : 2π (6.58) 0 dθ 2π =√ 1 + a sin θ 1 − a2 IT a = 0 { M (6.58) “ r"y $nô. u¨ (6.56) ` 6  Ú  9: Š þ r  íÇ É ìî w 8 ¦    x€ (6.58) “ r É (6.59) C z2 2/a dz. + (2i/a)z − 1  œ ½¾ ß é r† Œf #l" C  ª_ ~Ó_ é0" |z | = 1 s. x&<Ã_ ì—_ ò& H € ӆ –A¶  hìʺ ¸ h r % “ í)à %& rH É ‡º òh  √ √ −1 + 1 − a2 −1 − 1 − a2 z1 = i, z2 = i. a a f " f (z ) s x&ì†Ã  ?€  hr<º¦ / Ê \  f (z ) = |a| < 1 sٖ ¼Ð |z2 | = 2/a . (z − z1 )(z − z2 ) −1 + √ 1 − a2 > 1. |a| j œ »º< G 6  ÄÃü F © 194 ¸ ¢ô |z1 z2 | = 1 sٖ |z1 | < 1 s. " C ?\  s :s&s \  f / 8 © £h  œ¤  O Ç ¼Ð H x “ š” ?Â\ >_ :s& z1 s e(ÕË 6.9). @6  Äà B1 ¦ ¸f /ҁ ôh £h  HÇ ¤  ” ªa  > /£H »º  H  2/a φ(z ) #l" φ(z ) = Œf f (z ) = z − z1 z − z2 r –H  É éGh¦ ¼Ð 1 º ” A dÉ Ü– ¹` à e. 0 ”“ z1 “ ßíF&s“ Ô¦  r B1 = φ(z1 ) = 2/a 1 =√ . z1 − z2 i 1 − a2 f " C 2/a 2π dz = 2πiB1 = √ z 2 + (2i/a)z − 1 1 − a2 ½” 6.3 0\" &6Ç ~Z“ sin θ ¢ cos θ @’ sin nθ ¢ cos nθ (n Ô Ç§ H Af h  ½É xô ÓOr ¸ /  ¸H  ©ƒ r Ó xô 9:  r É &º { :¸ œ úÉ ~O¼Ð h  V þQ “ ñÃ) 9 M• {y °“ ½Zܖ &6Ç. \\ [# z = eiθ { M  ¦t 2 + z −2 )/2 s. cos 2θ = (z  IV. ¿—˜ £C  R×+ oÌ >f tFt Äà s6 # &ì ½  ë] :s&s zû0\ K »º\  Œ h¦ ¨ j £h º¡A ¦x HH H¤  ´ ¤ r` \ ¢ –0\ \ Ä\ @K" &ì°` ½ %. Õ zà O â OH   ¸H ÐA  ⺁ /f hú ¨i ªQ º r¯¦ ´ ¤ ¡A £h ”H ⺁ hì Ð þŒ hÐ Ё / »0\ :s&s e Ä\H &r_ â–\ + # D–î â–\ @ ¤     ¦ A r K" ÄÃño\ s6 # &° ½ # ô. s â–[  f »º   Œ hìú` ¨Œ  Qô Ðþ`  &¦ x r¯¦ Ç Ç t¦ ¸´ ž#Ñ ¿—  Ç. · 5 æaë R×  ô  ʺ † ´ ¤  zº¡A h  f –Gh ú¦  éH ¦  ÃV 6.3 <à f (z ) H û0_ & z = x0 \" ßíF&` °“ ”  Z  f L 庄h ð&¦ ¦ »º ³` \ "ó 0 < |z − x0 | < R2 \" Laurent /Ã> ³‰ t“ Äæ B0 ¶ø éÍ    ë { s . ß9 Cρ  ¶ |z − x0 | = ρ _ œì¶`  ?“ r>ÓÓ¦ – é "  ©ø" /¦ ~¾ Íé¦ ½†` [€ ªË 2 (Õ> 6.10) a (6.60) lim ρ→0 Cρ f (z ) dz = −B0 πi. Œf #l" ρ < R2 s.  £ hr §  ™e 6.24 6 &ì × ∞ (6.61) 0  xî ` 7 r¯. ¦ £"¹ sin x π dx = x 2 4 X ÄÃ&o\ s6 s&ì_ >í j ] »ºñ¦  ô ©h –   xÇ œr ß Ú I þT 195 Êà <º † eiz z   é ¤ ¦  Í  º ªQ H ¶hf £h  9øh¼Ð Í£   ¿. Õ€ f  "&\" :s&` ”. {ì&ܖ øt2 R “ ì§  ©Í" CR õ zà ½ß [−R, R] ܖ sÀ# 1d‚` ×  :s& ìé œø¶  º ¨ç  x”¦ ˜  ¤  ´ – ¼Ð ÒQ” p þ€ £h ¦  ¼Ð hr ½ º  f ` tٖ &ì` É Ã O. " CR \" "&Âì\ “ ì" Cρ ¦ + \ f ¶hҁ ŒÉ ø¶ é r •r Íé  ª9f éh S  j zº¡A ì ` Õ" "&` N ô. s] û0_ ‚ [ρ, R]  L1 s “ ¦ ¶¦ Ç ´¤ r ¦ `  ¦ †º  p H xd ¦  º ªË > < [−R, −ρ] ` L2  ¿(Õa 6.11). Êà f (z )  1”‚ CR + L2 + Cρ + L1  Œ 0ü ?Â\" K$&sٖ Cauchy-Goursat &o\_ # A< /ҁf 3h¼Ð  ñ f (z ) = CR eiz dz + z L1 eiz dz + z L2 eiz dz + z L2 eiz dz = − z eiz dz + z Cρ L1 eiz dz = 0 z ¢ ¸ H (6.62) Cρ eiz dz − z CR eiz dz. z ³  r É hºð&  ¹s o L1 õ −L2 “ B>Ã³‰ 8¡  ¤ (6.63) z = rei0 = r(ρ ≤ r ≤ R) s“ z = reiπ = −r(ρ ≤ r ≤ R) ¦  ¼Ð pd ¦  ,áÉ ` tٖ 1 (6.62) _ ¢A“ x” a¤r L1 eiz dz − z −L2 eiz dz = z R ρ eir dr − r R ρ e−ir dr = 2i r R ρ sin r dr. r " f R (6.64) 2i ρ sin r dr = − r Cρ eiz dz − z CR eiz dz. z j s] Laurent /à > L„ åº h eiz z (iz ) (iz )2 (iz )3 1 1+ + + + ··· z 1! 2! 3! 1 i i2 i3 = + + z + z 3 + · · · (0 < |z | < ∞) z 1! 2! 3! =  ßH   “ –Gh¦  f îj – Â' eiz H "&\" Äà 1  éíF&` ”. " "] 6.3 Ð Ò  é  ¶hf »º ܖÂ' ¼ÐÒ eiz lim dz = −πi. ρ→0 Cρ z Ç ¸ ¢ô z  CR 0_ &9 M A h{ :  1 1 1 = = z |z | R j œ »º< G 6  ÄÃü F © 196 ¼Ð sٖ (6.50) \_K   lim R→∞ CR eiz dz = 0. z xd f f p " 1” (6.64) \" ρ → 0 s ¿“ R → ∞  ¿€  º¦  º  ∞ 2i 0 sin x dx = πi. x × ™e 6.25 ˜l 6.24 _ –¦ 6 # Ð  Ð  Œ â\ x ∞ (6.65) 0 π ln x dx = (ln 2 − 1) (x2 + 4)2 32 e  Ќ ”¦ ` ˜#. þT I Ú  †Ã (log z )/(z 2 + 4)2 _ t  ʺ < f (z ) = log z + 4)2 |z | > 0, − (z 2 3π π < arg z < 2 2 \ Òy . tXés "&õ 6_ »“ s t & z = 2i \ ]ü  t• ß ¶h £ z¡   h ¦ qŒ – é § ´¤ H ¦  j@   ô òi ¸ hf 3h £h ¤ Ç %%_ —Ž &\" K$&s. :s& z = 2i  {˜ 1d‚ ?Â\ H  —³ x Œ2 p” /ҁ e  Af ”l 0K" ρ < 2 < R s# ô. " ÄÃño\ _ # Q  f »º  Œ Ç & f (z ) dz + CR f (z ) dz + L2 f (z ) dz + Cρ f (z ) dz = 2πiRes(f (z ); z = 2i). L1 ¤ £ 7, (6.66) f (z ) dz + L2 L1 f (z ) dz = 2πiRes(f (z ); z = 2i) − CR f (z ) dz − f (z ) dz. Cρ ÕX ª<  f (z ) = ln r + iθ + 4)2 (r2 e2iθ (z = reiθ ) sٖ 1 L1 õ −L2 _ B>ó³ (6.63)` 6 € (6.66) _ ,A“ ¼Ð µ  hºð‰    ¦ x  ¢áÉ Ï   & a¤r L1 eiz dz − z − L2 Ç ¢ô ¸ f (z ) = eiz dz = z R ρ ln r dr + (r2 + 4)2 R ρ ln r + iπ dr. (r2 + 4)2 log z φ(z ) #l" φ(z ) = Œf 2 (z − 2i) (z + 2i)2 4 X ÄÃ&o\ s6 s&ì_ >í j ] »ºñ¦  ô ©h –   xÇ œr ß 197  sٖ f (z ) _ :s& z = 2i “ 0à 2 “ F&s“ ÄÍ ¼Ð  £h ¤ r É Aº  Gh¦ »ºH  φ (2i) = π 1 − ln 2 +i . 64 32 f p " 1” (6.66) “ r É xd (6.67) 2 R ln r ρ (r2 +4)2 dr + iπ R ln r ρ (r2 +4)2 dr = − π π2 (ln 2 − 1) + i 16 32 CR f (z ) dz − f (z ) dz. Cρ ´ s ÷“ #l" y \" zÃÂ\ þ   &¦ Œf Œ f ºÒ ˜€ • ¦×  R (6.68) 2 ρ ln r π dr = (ln 2 − 1) − Re 2 + 4) 16 (r 2 CR f (z ) dz − Re f (z ) dz. Cρ  %. ` 3 ¦ H s] j f (z ) dz = 0 s“ lim Re ¦ lim Re (6.69) R→∞ ρ →0 CR f (z ) dz = 0 Cρ ” Ð e` ˜s. ¦    íwǦ ñ  d  < \ €$ (6.69)  $nô“ & € ” (6.68) \ ρ → 0 ü R → ∞  ¦ þ€ ˜ ×  ∞ ln r π 2 dr = (ln 2 − 1). 2 + 4)2 (r 16 ρ – A h  1” (6.69)  ˜s. ë{ ρ < 1 s“ z = ρeiθ s Cρ 0_ &s€ x pd ¦ Ð ß9 \ ¦  | log z | = | ln ρ + iθ| ≤ | ln ρ| + |iθ| ≤ − ln ρ + π ¦ s“ |z 2 + 4| ≥ | |z |2 − 4| = 4 − ρ2 . f " Re Cρ f (z ) dz ≤ Cρ f (z ) dz ≤ − ln ρ + π πρ − ρ ln ρ πρ = π 2 )2 (4 − ρ (4 − ρ2 )2 s“ l’Hospital _ ZË` 6  ρ → 0 { M 0 d_ šAs 0 ܖ ¦ Og¦ x €  9 : A ” ¸Éá ¼Ð r¤  :    º4<¦ ú º ” p ç† · à e. q5 > Ê` ˜  w Re CR f (z ) dz ≤ CR f (z ) dz ≤ π − ln R − ln R + π R πR = π R 4 (R2 − 4)2 (R − R )2 j œ »º< G 6  ÄÃü F © 198 ¦ s“ l’Hospital _ ZË` 6  R → ∞ { M 0 d_ šAs 0 ܖ  9 : A ” ¸Éá ¼Ð   O:¦   g x € r¤ ç†` · à e. º4< ú º ” ʦ ˜  ¢ô  &ì/” ¸ É hB Ç r rNd ∞ (6.70) 0 π dx = (x2 + 4)2 32 “ 1d (6.67) _ œ\" )à×ô r x É p” \ ˜  €f ‡ºÒ¦ þÇ ª R (6.71) π ρ dr π2 = − Im (r2 + 4)2 32 Cρ f (z ) dz − Im f (z ) dz CR Ð Ò – Â' Im CR f (z ) dz ≤ f (z ) dz s“ Im ¦ CR Cρ f (z ) dz ≤ f (z ) dz Cρ  º Bd  N” ` ¦  ¼Ð sٖ ρ → 0, R → ∞  ¿€ / (6.70)  %` à e. ¦ 3 º ”  5£  \P  V. m‰í·  †& â ÄÃ&o &6÷ †Ã f (z ) _ &ì –_  Âìs Õ †Ã_  »ºñ h & <º x H Ê  hÐ ô Ò ª <º râ Çr Ê t–  Z#e` M &ì` >ß X Ä6É Ã e. é¦  Œ” : zhr¦ í< » ½ º ” Xß` ~ ¦ x+  ´ – H r É  Ò¹ú` p¦  · × ™e 6.26 x−a , (x > 0, 0 < a < 1) “ x−a _ ů°  “ . ¯¦ −a “ ª_ zà exp(−a ln x) s. sœ & rœ ´ 7 x É €  º ¤ £   zhì © ´r ∞ (6.72) 0 x−a dx x+1 (0 < a < 1)  æ  r  –  hÉ <º ¨ ×¹Ç h ` >ß .( s &ì“ Γ †Ã_ ƒ½\ ¯ô &ìs.) ¦í rr Ê r h &ì (6.72) “ &ì_ œÇß m x&r<à x = 0 \" Áô r r ©r– É h ô÷ë  hìʺ † Ç f º @“ ԃ5$sٖ ô\"• s©&ìe` · à ”. x&r<à / Åí¼Ð f¸ h” ú º e h솺 Ç   ¦q œr¦ ˜ Ê −a %! ¹s“ x → ∞ { M x−a−1  Hƒf h†º  §” 9:  x = 0 _ %\" x&ìÊÍ x ƒ3 ¡f¦  r< H { : h  r r Ç É º4 %! ¹fsٖ 0 < a < 1 9 M &ì (6.72) “ çô. ƒ3 ¡”¼Ð  § Ú I  •• é ` ŒŒ ¶   Œf þT Cρ ü CR ¦ yy " |z | = ρ ü |z | = R s . #l" ρ < 1 < R < < ~Ór > < ú  ñ s“ ½†“ ÕË 6.12 ü °s & . ¦ Ó¾É ªa ¦ Ê tX– arg z = 0 ` ” <à z −a /(z + 1) _ t é ß    †º  (6.73) f (z ) = z −a z+1 (|z | > 0, 0 < arg z < 2π ) s Cρ õ CR 0\" ›y& ƒ5sٖ &ì   Af ¸Œh żРh • q r f (z ) dz ü < (6.74) Cρ f (z ) dz CR 4 X ÄÃ&o\ s6 s&ì_ >í j ] »ºñ¦  ô ©h –   xÇ œr ß 199 > r ¦ –  tr x‚  ½ s ”Fô. &ì (6.72) ` >í  lՓ 1” &ì (6.74) _ +_ ³  rÇ h  ßH üÉ pd hr  Ë ð ³ ‰\ lœô. & í Ç –¦  ð³` 3 A pd‚ s ³&¦ %l 0K 1”` f (z ) _ t ]ß`  ρ \" R – s ‰  x¦   Xé  f Ð  1 “ CR `  r>[email protected] ô3  R – [“ Ê r ] x l¦ ¦   ø/ÓӼР' [ Ð : ê  X Í ~¾ Ç t tr   ߦ  f Ð ¡f¦ Œ¼Ð §”  \  ~†¼Ð Ç ÓÓ é`  R \" ρ – ¹s“ t}ܖ Cρ ¦  r>½¾Ü– ô – • 3[ ρ – [š•2 ¸. ë9 't Ð ¸¸Ÿ ú –{  t ¤ šH ß f (z ) = exp(−a log z ) exp[−a(ln r + iθ)] = z+1 reiθ + 1 (z = reiθ ) ¦ hß) é¨òi ŒŒ A ¸f<  ¸f ¦ s“ θ = 0 s“ θ = 2π  &é "Š%%_ yy 0 —"oü A —" ¦ \ –a ¶8  ••  o– 6 € 0 —"o\" Ð   A ¸ffH x f (z ) = exp[−a(ln r + i0)] r−a = r+1 r+1 (z = rei0 )  ¦  ¸ffH s“ A —"o\" f (z ) = exp[−a(ln r + i2π )] r+1 = r−a e−i2aπ r+1 (z = rei2π ). ÄÃño\ _ # »º& Œ (6.75) R r−a ρ r+1 R dr + CR f (z ) dz − ρ r−a e−i2aπ dr + r+1 f (z ) dz Cρ = 2πiRes(f (z ); z = −1). f (z )  t]é¦ ŸÊ  /\" (&_÷t ·Üٖ)K$&s mÙ ß` 톍 Bf ñ& ú¼¼Ð 3h ¼ §  X– < H M Ð p” – 1d (6.75)_ ĕH +d&“ >ís. Õ!\• ½ “ s“ í  þ – ¦ x  »¸ A”h ß ª3¸ Ô¨¦ ¯É  r $ wô.  nÇ  »º <º x p” 1d (6.75) _ Äà †Ã HÊ φ(z ) = z −a = exp(−a log z ) (|z | > 0, 0 < arg z < 2π ) s z = −1 \" K$&s“  f 3h¦  φ(−1) = exp[−a(ln 1 + iπ )] = e−iaπ \ Å_ # ½½ à ”. s¯“ z = −1 s 1d (6.73) \ _ # &_ ” ÒŒ ¨+ º  É É  p” x  Œ ñ e e r  Êà f (z ) _ éíF#s“ a< ) †º  ßG3¦ –H  Res(f (z ); z = −1) = e−iaπ . " 1d (6.75) “ &ì (6.74) _ Ë\ a " H ³‰Ü– j à e f p x”  ½ ›Ç ¶ ð³¼Ð þ º  + 'ô é  & t r r É h ” .  f (z ) dz + (6.76) Cρ CR f (z ) dz = 2πie−iaπ + (e−i2aπ − 1) R ρ r−a dr. r+1 j œ »º< G 6  ÄÃü F © 200 f (z ) _ &_ (6.73) \ _ #  ñ  Œ Cρ f (z ) dz ≤ s“ ¦ CR f (z ) dz ≤ 2π 1−a ρ−a 2πρ = ρ 1−ρ 1−ρ 2πR R−a 1 2πR = · a. R−1 R−1 R ¼Ð ¦ Ç ÕX 0 < a < 1 sٖ ρ → 0 s“ R → ∞ { M sô ¿ &찓 — ª<   9 : Q º hrúÉ ¸ ¯r º ¼Ð º4  ¿ 0 ܖ çô. d (6.76) \ t} &r\ @Ç ³‰Ü– r æ“ Ç  •  ” ¦ Œ hì /ô ð&¼Ð  ¼¦ ³  ρ → 0 s€  R ρ r −a 1 dr = −i2aπ r+1 e −1 CR f (z ) dz − 2πie−iaπ . Œ¼Ð A pdf t}ܖ 0 1\" R → ∞  ¿€ •  º  x” ∞ ρ eiaπ r−a 2i e−iaπ dr = 2πi · iaπ = π iaπ . −ia2π e r+1 1−e e − e−ia2π r ¦ É s“, s¯“ ∞ (6.77) 0 π x−a dx = x+1 sin aπ (0 < a < 1) ìø7g Ž©Ã< ÅFØ 1. ÄÃño 6 # s©&ì` >– #. »º \  Œ œhr¦ íŒ &¦ x  ß (a) (b) (e) ∞ dx 0 x2 +1 ∞ dx 0 (x2 +1)2 ∞ x2 dx 0 (x2 +9)(x2 +4)2 (c) (d) ∞ dx 0 x4 +1 ∞ x2 dx 0 (x2 +1)(x2 +4) 2. &r_ Cauchy ů°` ÄÃ&o\ 6 # ½ #. Ò¹ú »ºñ¦  Œ ¨Œ  x  hì ¯¦ (a) ∞ dx −∞ x2 +2x+2 (b) ∞ x dx −∞ (x2 +1)(x2 +2x+2) 3. f (x) = x _ ½– −∞ < x < ∞ 0\" s&“ ç t ·t–  ¨ç ß Af ©hrÉ º4 úë œìr  §ß &_ Cauchy ů°“ ”F†` ˜#. ì hr Ò¹úÉ ><¦ Ќ ¯r r Ê 4. 1ds Õa 6.13 õ °s Å#&` M(R > 1), &ì/d ¦ x p”‚ ªË >  ú ÒQ’ : rN hB” π 0  Ќ ¦ ` ˜#. 2π dx =√ +1 33 x3 4 X ÄÃ&o\ s6 s&ì_ >í j ] »ºñ¦  ô ©h –   xÇ œr ß 201 5. &r/d N hìB” ∞ √ √ dx π (2a2 + 3) A + a + a A − a . =√ 2 + 1]2 3 − a) 8 2A 0 √ Œf  e zº¦ #l" a  __ Ãs“ A = a2 + 1 s. s¯“ ½0 Å H”  É Óp Ò r ~ x ´ © r à \_ ~Zܖ F5_ HsÛ-œ_ s\"  è. A_ º P ÓO¼Ð KÅ ¼ yo :f ß   ½ q – –Ð   »¸Œ ß>Z– s z` ĕ #. é> ´¦ [(x2 Ó (a) †” ½d q (z ) = (z 2 + 1)2 + 1  jY & »¦ hŒ  1h òh º _ W>_ %&s à a ± i _ ]Hs ÷H sÄ\ t& #.  L   ªQ€ º Õ à  √ 1√ z0 = √ A+a=i A−a 2 L  ´¦ x < −z0  a + i _ ] z` 6 # ±z0  a − i _ ü  jYHH   Œ ¯  H Le` ˜s“, " z0 < −z0 ßs ©î€ Im z ≥ 0 ? jYH” Ц f ¦ ü ¯ –   ë œ¨ /  %h ò f \" q (z ) _ &s. (b) 3 ]_ ƒ_H] 10 \ ĕ) ½Z 6 “ z0 = a + i \ Ò  v q ¦t X þëj  »¸a ÓO¦  ¦ 2  ~` x 2 _ 0à 2 “  ” h  • ŒŒ y # (a) \ e & z0 s †Ã f (z ) = 1/[q (z )]  Aº  H   <º Ê F&e` ˜s“ z0 \" Äà B1  Gh”¦ Ц f »º   H B1 = − q (z0 ) a − i(2a3 + 3) = [q (z0 )]3 16A2 z0 Ð þ º ”£¦ Ќ – j à e6 ˜#. q (−z ) = −q (z ) ü q (−z ) = q (z ) ` §` < ¦  ¯ t ¯ ˜‘ úRr ê úÉ ~Z  Œ h ¯  ʺ ¶(: Ê °“ ½O` 6 # & −z0 s †Ã f (z ) _ 0à 2  r Ó¦ x <  Aº f »º “ F&s“ z0 \" Äà B1   Gh¦   H B2 = q (z0 ) a − i(2a3 + 3) = 3 [q (z0 )] 16A2 z0 = −B 1 ”¦  dz  Ќ ªQ Qô »ºþ ˁ / ð& e` ˜#. Õ€ s ÄÃ[_ +\ @ô ³‰ Ç t½ B1 + B2 = 1 −a + i(2a2 + 3) Im 8A 2 i z0 ¦ 3 ` %.  H (c) (a)  “6 “ ë{ |z | = R, (R > |z0 |) s€ |q (z )| ≥ (R −|z0 |)4 \  ¦ ß9 – ¦ x   ” Ќ ªQ € ¦ e` ˜#. Õ (b) _ t} õ_ •¹Ü– &ì/d_  Œ  ¸¡¼Ð hrB” • § N »¸ á) ĕ 7. xa j œ »º< G 6  ÄÃü F © 202 6. m õ n “ 0 ≤ m < n “ ñà  A_ é>  &/d  º   ß\  hrB” –¦ É r & ìN ∞ 0 x2m π dx = csc 2n + 1 x 2n 2m + 1 π 2n ¦ »¸Œ  ĕ #. \ (a) ©ì¨€\ ~# e ½ z 2n + 1 _ ò&[“ œÍî   †”  %hþÉ ø  ZŒ ”H Ód tr ck = exp i (2k + 1)π 2n (k = 0, 1, 2, · · · , n − 1) H s“ zû0\ • \6` ˜#. ¦ º¡A ¸ O£ Ќ ´¤ §¦ (b) 2&o 6.1 _ •¹Ü– ck  (a) \" ¹“ %&s“ £ñ §  ¸¡¼Ð f 1É òh¦ § Ôr  α= 9M  {: Res 2m + 1 π 2n z 2m ; z = ck z 2n + 1 =− 1 i(2k+1)α e 2n ”¦ e` Ќ ªQ †p  ˜#. Õ€ ½1”  Óxd n− 1 zk = k=0 1 − zn 1−z (z = 1)  6 #  `  Œ d ¦x ” 2πi n−1 Res k=0 z 2m ; z = ck z 2n + 1 = π n sin α ¦ ½ #.  ` ¨Œ (c) (b) _ t} õ\ 6 # &r/d` a$ #.  Œ   Œ hìB” ¢íŒ • ¦ x N¦ - 7. 6 s&r` ½ # £ ©hì ¨Œ § œ¦ (a) (b) (c) (d) ∞ cos x dx (e) −∞ (x2 +a2 )(x2 +b2 ) (a > b > 0) ∞ cos ax (f) 0 x2 +1 dx (a > 0). ∞ cos ax (g) 0 (x2 +b2 )2 dx (a > 0, b > 0). ∞ x sin 2x (h) dx. 0 x2 +3 ∞ −∞ ∞ −∞ ∞ −∞ x sin ax dx (a > 0). x4 +4 3 sin ax x dx (a > 0). x4 +4 x sin x dx. (x2 +1)(x2 +4) ∞ x3 sin x 0 (x2 +1)(x2 +9) dx. 8. ÄÃ&o¦ 6 # &_ Cauchy ů°` ¹. »ºñ\  Œ hr ì  x Ò¹ú 1 ¯¦ Ô (a) ∞ sin x dx −∞ x2 +4x+5 (b) ∞ (x+1) cos x dx −∞ x2 +4x+5 4 X ÄÃ&o\ s6 s&ì_ >í j ] »ºñ¦  ô ©h –   xÇ œr ß (c) ∞ cos x dx −∞ (x+a)2 +b2 203 (b > 0) 9. 6  \  Fresnel †& £ ]  §X  \P ∞ ∞ cos x2 dx = 0 sin x2 dx = 0 1 2 π 2 r t Æ ¦ >– #. s“ Óo†_ s\" ׯ . ß ` íŒ ¯É ü< rX:f ¹ r æ (a) †Ã exp(iz 2 ) ` ÂGg 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ π/4(Õa 6.14)_ Ê > <º ¦  Ò1 J ªË  ª ½¾¼Ð h¦ €_ ~†Ü– &ì “ Cauchy-Goursat &o¦ 6 # r  x ñ\  Œ œ ÓÓ R 0 1 cos x2 dx = √ 2 R 0 2 2 e−r dr − eiz dz CR ü < R 0 1 sin x2 dx = √ 2 R 0 2 e−r dr − Im 2 eiz dz CR ¦ Ќ Œf  ˜#. #l" CR “ z = Reiθ (0 ≤ θ ≤ π/4) s. \ r Éñ  (b) Â1d Òp” x 2 CR eiz dz ≤ π /2 R 2 2 e−R sin φ dφ 0 ` 3¦ Òp”¦  Œ ¦  %“ Jordan Â1d s6 # R → ∞ { M x` x  9: 2 CR eiz dz → 0 ` ˜#. ” Ќ e¦ (c) (a) ü (b) _ õ\ 6 “ ¸ ·” &ì/d <  ¦  ¦ ú ú9 hB”  x ˜ ˜  rN √ ∞ π −x2 dx = e 2 0   Œ  -$ô ` 6 # õ\ ¢ .  ¦ aíÇ ¦x ½O 10. A_ Óܖ &ì/”  ~Z¼Ð hB rNd ∞ e −x2 0 √ π −b2 e cos(2bx) dx = 2 (b > 0) ¦ ` »¸Œ  ĕ #. ªË f< ú Œþ Ð Aá õ á ºî¦ •Aâ ¤ (a) Õa 6.15 \"ü °s y+–_ 0A  AA èo > ¤ \ 2 ) _ &[_ ½`  exp(−z  hìþ +  rt ˦ a 2 0 2 a 2 e−x dx − 2eb 0 2 e−x cos(2bx) dx j œ »º< G 6  ÄÃü F © 204 Ð þ º ”¦ ,á ¸ÉáA hþ +É – j à e“ ¢Aõ šAo0_ &ì[_ ½“ t rt Ër  a¤ r¤ ie−a b 2 0 2 ey e−i2ay dy − ie−a b 2 2 ey ei2ay dy 0 Ð þ º ”£` Ќ f – j à e6 ˜#. " Cauchy-Goursat &o s6 §¦ \ x t ñ¦   Œ # a 2 e−x cos(2bx) dx = e−b a 2 0 2 e−x dx+e−(a 0 b 2 +b 2 ) 2 ey sin(2ay ) dy 0 e ˜#. ` Ќ ”¦ ÒQ” B  N” (b) Å# /d ∞ −x2 e dx = 0 √ π 2 Q ¦  ¦ ` 6 “ (a) _ =\" %“ Ó&d\" a → ∞  2 # x  åf 3É ~ñ”f r ½  ¦ \ [Œ ¶ hr B”¦ 3 "  &ì /d` %H. é H  N  11. Å#” &ì` >ß #. ÒQ &h –Œ  ñr¦ í (a) (b) (c) (g) 2π dθ 0 5+4 sin θ π dθ −π 1+sin2 θ 2π cos2 3θ dθ 0 5−4 cos 2θ π 2n 0 sin θ dθ (d) (e) (f) 2π dθ 0 1+a cos θ (−1 < a < 1) π cos 2θ dθ 0 1−2a cos θ +a2 (−1 < a < π dθ 0 (a+cos θ)2 (a > 1) 1) (n = 1, 2, . . .) > ¦  Œ £ j¦ ¨Œ `x 12. Õa 6.11  6 # 6 ë]\ ½ #. ªË §H  (a) &/d rN hìB” π 0 cos(ax) − cos(bx) π dx = (b − a) x2 2 (a ≥ 0, b ≥ 0) ¦ ` ĕ #. Õ€ y1” 1 − cos(2x) = 2 sin2 x ¦ 6 x `   »¸Œ ªQ ŒŒpd  ™•x Œ # ∞ sin2 x π dx = x2 2 0 `G  #> šHt\ t& #. ¦ Qb ¸ hŒ ¦  ©h œr (b) s&ì ∞ 0 xa dx (x2 + 1)2 ` >ß #. #l" −1 < a < 3 s“ xa = exp(a ln x) s. ¦ íŒ Œf – ¦  4 X ÄÃ&o\ s6 s&ì_ >í j ] »ºñ¦  ô ©h –   xÇ œr ß 205 Ê <º (c) †Ã f (z ) = z 1/3 log z e(1/3) log z log z = z2 + 1 z2 + 1 ` 6 # &/d_ © ¦x rN œ   Œ hìB” Š ∞√ 3 x ln x π2 , dx = x2 + 1 6 0 |z | > 0, − π 3π < arg z < 2 2 √ 3 x π dx = √ 2+1 x 3 ∞ 0 ¦  »¸Œ ` ĕ # (d) †Ã <º Ê f (z ) = (log z )2 z2 + 1 |z | > 0, − π 3π < arg z < 2 2 x ¦ 6 # \  Œ ∞ 0 (ln x)2 π3 dx = , x2 + 1 8 ∞ 0 ln x dx = 0 +1 x2 ` Ќ 2Ô ƒþHj ³ v e ˜#. (˜à: _ë] 1(a) \" %“ &/d` s6É ”¦ f 3É hìB  ½ r rN”¦ x+ ¯ .) †º 13. <Ã Ê f (z ) = e(1/3) log z z 1/3 = (z + a)(z + b) (z + a)(z + b) (|z | > 0, 0 < arg z < 2π ) ¦x A < Œ˜ p”‚ ªa ü {³ 1d(Õ> 6.12)` 6 # +d&ܖ —2 x Ë   Œ þ”h¼Ð √ √ √ ∞ 3 x 2π 3 a − 3 b =√ · (a > b > 0) (x + a)(x + b) a−b 3 0  <º Ê 14. †Ã z −1 / 2 e(−1/2) log z = z2 + 1 z2 + 1 f (z ) = _ &Xô t\  h] ¦ Ç  >  úÉ âÐ r (a) ÕË 6.11 õ °“ – ªa < úÉ Œ³ pd (b) ÕË 6.12 ü °“ {˜ 1”‚ ªa > r —2 x  ì ` hrŒ ¦ & # ∞ 0 \ ¦ ˜#.  Ќ √ dx π =√ 2 + 1) x(x 2 j œ »º< G 6  ÄÃü F © 206 15. Beta Ê ¿ zÃ_ <à þH ÁÁ º º †º ´ Ê 1 B (p, q ) = 0 tp−1 (1 − t)q−1 dt (p > 0, q > 0) ü Ð ¦x  8 s. u¨ t = 1/(x + 1) < ˜l 6.26 ` 6 # Š   Œ π B (p, 1 − p) = (0 < p < 1) sin(pπ ) e Ќ ¦ ”` ˜#. 16. †Ã f (z )  ”¶ø 0 < |z − z0 | < R2 \" Laurent /à ³‰` <º Ê "Í éó f L åº ð& ³¦ t“ Äà B0 “ û0_ & z = x0 \" éí F&¦ ” ¦ »º  zº¡A h ´ ¤ –H    f ß Gh`  “ ñ . ¦  &  ©Í"¦ /¦ Ó¾  ½Ó (a) Cρ “ " |z − x0 | = ρ, (ρ < R2 ) _ œø¶  ?“ ~†s r r¶ Éé ìé` ÓÓ >~¾s(Õa 6.10). ρ < ρ0 < R2 ` ë7  ρ0  ‚×ô ½† ªË >  ßáH ¦ þ ` ˜Ç ¦ –¤  ê Ê B0 (0 < |z − x0 | ≤ ρ0 ) f (z ) = g (z ) + z − x0 ¦ Oî r —2 ¶Í É Œ˜ éø “ sÄ\  #. #l" g (z ) “ {³ "ó |z − x0 | ≤ ρ0 \  » ["Œ Œf   " ƒ5s“ Ä>s. f Ŧ » q (b) (a) _ ü −Cρ \ @Ç B>Ã³& 6 #  õ<  /ô hºð³¦  Œ    ‰` x lim ρ→0 Cρ f (z ) dz = −B0 πi  Ќ ”` ˜#. e¦ 17. Õa 6.16 õ 6.17 _ ¿ >_ ßí {˜1d‚` ty “ Õ> 6.12 >  –H —2x q• ªË  º h é Œ³p”¦ Ҍ¦ ªa Ë ¶ < þ  ŠA éø¦ _ " CR ü Cρ \ _K +$) ¨+ "ó` ¿ ›yܖ ¾# % é   Aía 8þ ¶Í º ¸Œ¼Ð ºQ 3 •  H  x‚ ¦ . sô 1d_ o L õ −L “ e__ ~‚ arg z = θ0   QÇ p”   r” É  ½ Ó `  ~†` ” ‚ìs. #l" π < θ0 < 3π/2. ¢ô Γρ ü γρ “  ½Ó   Œf  Ó¾¦  r ¸Ç < r É ) Cρ _ ]r Ârs. ì ΓR ü γR “ CR _ ]r Âìs.  ja Òì ø€ Í <  ja Ò )r r É <  (a) ÄÃ&o– Â' †Ã z −a /(z + 1) _ t »ºñÐ Ò  ʺ f1 (z ) = z −a z+1 |z | > 0, − 3π π < arg z < 2 2 > —2 x‚ G s Õa 6.16 _ {˜ 1d0\" &ì # #b>  ªË  Œ³ p”Af hŒ Q r R ρ r−a dr + r+1 f1 (z ) dz + ΓR = 2πiRes(f1 (z ); z = −1) ¦   3¦ º ” Ќ  ` %` à eHt ˜#. f1 (z ) dz + L f1 (z ) dz Γρ 4 X ÄÃ&o\ s6 s&ì_ >í j ] »ºñ¦  ô ©h –   xÇ œr ß 207  (b) z −a /(z + 1) _ t f1 (z ) = z −a z+1 | z | > 0, − 5π π < arg z < 2 2  \ Cauchy-Goursat &o\ 6 # Õa 6.17 _ {˜1”‚ ¦ x >  Œ³p` ñ  Œ ªË —2xd¦ r  &ì #  hŒ R − ρ r−a e−i2aπ dr + r+1 γρ f2 (z ) dz − f2 (z ) dz + L f2 (z ) dz = 0 γR ¦ ˜#.  ` Ќ  (c) (a) ü (b) _ t} [ >_ &ì\" z −a /(z + 1) _ t f1 (z ) <  Œ j h hf • r  < f2 (z )  t ü f (z ) = z −a z+1 (0 < |z |, 0 < arg z < 2π ) ` Ü Ã e sÄ\ ×r¯. Õ€ sô ¿ 1d_ @6 ¦J  Ç x x  ã º ”H » ¼¹ ªQ Q º p” /£  ¦  `  # ßt +”&ܖ %#” 1” (6.75) \ ĕ   8Œ é þdh¼Ð 3Q p ¦ H ¦ – A   xd  »¸ Œ #. 18. Õa 6.18 õ °“ 1” 6 # ª> Ë  úÉ pd`  Œ r x‚¦ x ∞ e−πx 0  ú` ¨Œ ³Ô _ ° ½ #. (˜à : f (z ) = ¯¦ 2 sin ax dx sinh πx eiaz e2πz −1  ¿“ )à>íÇ.)  º¦ ‡ºÒ¦ ßô \ – 208 j œ »º< G 6  ÄÃü F © " Ÿ $ â ´´ [1] L. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill Co., Tokyo, 1979 [2] J. Churchill and R. Brown, Complex Variable, 6th. ed., McGraw-Hill Co., New York, 1996 Ìæ Ìx– ªH < x xx < ¦   [3] ^|×, ~7î, sð , þ½<, íÃÃÆ 9 66ƕ\ 0Ç K$ ”à Ãáß ñ j©É ºº† £ ºÆ¸ Aô 3 r Æ  < âH f¦ †, ë, "Ö, 1999  [4] S. Lang, Complex Analysis, 3rd ed., Springer Verlag, New York, 1993 [5] A. I. Markushevich, Theory of Functions of a Complex Variables, 3 vols. in one, 2nd ed., Chelsea Publ. Co., New York, 1977 [6] J. Marsden, Basic Complex Analysis, W. H. Freeman and Co., San Francisco, 1973 [7] R. Narashimhan, Comples Analysis in One Variables, BirKh¨user, New a York, 1974 [8] H. Silverman, Complex Variables, Houghton Mifflin Co., 1975 [9] R. Silverman, Introductory Complex Analysis, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, 1967 [10] Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Third Ed., McGraw-Hill Co. New York, 1987 [11] S. Willard, General Topology, Addison-Wesley Publ. Co. Reading, 1970 209 ...
View Full Document

This note was uploaded on 04/23/2010 for the course MATH 100 taught by Professor Asdf during the Spring '10 term at Yonsei University.

Ask a homework question - tutors are online