exercícios resolvidos-Halliday 4

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Unformatted text preview: LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IFUFRGS 3 de Dezembro de 2005, as 16:24 ` Exerccios Resolvidos de Optica Fsica i i Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fsica te rica, i o Doutor em Fsica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha i Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de Fsica i Mat ria para a TERCEIRA prova. Numeracao conforme a SEXTA edicao do livro e ~ ~ "Fundamentos de Fsica", Halliday, Resnick e Walker. i Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Conte udo 36 Interfer^ ncia e 36.1 A luz como uma onda . . . . . . . . . . 36.2 O experimento de Young . . . . . . . . 36.3 Intensidade das franjas de interfer^ ncia . e 36.4 Interfer^ ncia em filmes finos . . . . . . e 36.5 O interfer^ metro de Michelson . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3 5 6 9 Coment rios/Sugest~ es e Erros: favor enviar para a o jgallas @ if.ufrgs.br (listaq3.tex) P gina 1 de 10 a http://www.if.ufrgs.br/ jgallas LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IFUFRGS 3 de Dezembro de 2005, as 16:24 ` 36 Interfer^ ncia e da onda n~ o muda quando ela entra em outro meio. A a diferenca de fase e iE u v F " ) e m C h 'G F ) " G H9 # R R %F ) f Y ge D t ) E G 9 ) GH9 9 9 Y A EB G ar ar que torna tal diferenca igual a Y e R B "qpF Y A e B '$ ( 0D F & )A B GH9 R 9 A Y ) e I B G aR I A E (c) 1) B 20( A ! ( C 0 B '$ ( & " A 3 4 5 m/s P 36-7 (40-11/4 edicao) ~ Na Fig. 36.3, duas ondas luminosas no ar, de comprimento de onda de nm, est~ o inicialmente em fase. a A primeira atravessa um bloco de vidro de espessura e ndice de refracao i ~ . A segunda atravessa um bloco de pl stico com a mesma espessura e ndice a i de refracao ~ . (a) Qual e o (menor) valor de para que as ondas saiam dos blocos com uma diferenca rad? (b) Se as ondas forem superpostas de fase de em uma tela, qual ser o tipo de interfer^ ncia resultante? a e E E F ) ""D 9 " G H9 F P 36-8 (40-12/4 edicao) ~ As duas ondas na Fig. 36.3 t^ m um comprimento de e onda de nm no ar. Determine a diferenca de fase em comprimento de onda, depois de as ondas atravessarem os meios e , se (a) e e m; (b) e e m; e e m; (d) Su(c) ponha que em cada uma destas tr^ s situacoes as ondas e ~ sejam superpostas numa tela. Descreva os tipos de interfer^ ncia resultantes. e u w" E #C #C " G H9 ) F 9 ) " 9 E u v " A solucao do problema baseia-se na seguinte ex~ (a) Suponha a fase de ambas ondas como sendo zepress~ o para a diferenca de fase: a ro antes de atingir a superfcie dos meios com difereni tes ndices de difracao. A fase da primeira onda na sui ~ perfcie de tr s do vidro e dada por i a , e o n mero de onda e u e o com onde primento de onda no vidro. Analogamente, a fase da segunda onda na superfcie de tr s do pl stico e dada i a a por , onde e o n mero de u (a) onda e e o comprimento de onda no pl stico. a As freq encias angulares s~ o as mesmas pois as ondas u^ a tem o mesmo comprimento de onda no ar e a freq encia u^ http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P gina 2 de 10 a 9@8 E 9 R H 9 G E Y e G 9@8 y E Y e & '$ " B "qRpF A '$ ( r ) E 5 R G 5 E y Y e Y e I x I x V T R WUSE ) ) ) I P Q B G 8 Y # XA G P V T R WbaE G B ) 8 Y # P ` XA G ) P G I " nm nm (b) rad e menor do que rad, que e a diferenca de fase para interfer^ ncia completamente e rad, a diferenca de construtiva, e maior do que fase para interfer^ ncia completamente destrutiva. A ine terfer^ ncia e portanto intermedi ria, nem completamene a te construtiva, nem completamente destrutiva. Ela est , a entretanto, mais perto de ser completamente construtiva do que de ser completamente destrutiva. F (b) 3 9 @8 7 6 4 5 r s$ F Hz (a) E 1) 20( &'$% # ! " iE B G 9 R Y e I G bR ) I O comprimento de onda da luz amarela do s dio no ar o e de nm. (a) Qual e a freq encia da luz? (b) Qual u^ e o comprimento de onda da luz em um vidro com um ndice de refracao de i ~ ? (c) Use os resultados dos itens (a) e (b) para calcular a velocidade da luz no vidro. O valor de G @8 9 G E 36-1 (40-1/4 edicao) ~ Temos que , onde ar e o comprimento de ar onda no ar e e o ndice de refracao do vidro. Analo i ~ gamente, , onde e o ndice de refracao i ~ ar do pl stico. Isto tudo fornece-nos uma diferenca de fase a ) 9 e8 ) ) 9 36.1 A luz como uma onda P R ) PA dc I G bR ) I 9 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IFUFRGS 3 de Dezembro de 2005, as 16:24 ` (c) B # R eC sI I x x & $ '% Y e sI A '$ r " x (a) Para resolver este problema usamos a mesma f rmula derivada na solucao do problema 36-8 acima. o ~ (d) Como , a intensidade deve ser a mesma Seja nas situacoes (a) e (b). Por outro lado, como ~ e diferem ambas de um n mero inteiro por u , a intensidade no caso (c) tamb m coincide com e aquela de (a) e (b). , que fornece Surpreendente a interpretacao e utilidade da parte fra~ cion ria dos n meros, n~ o? Pois e!... :-) a u a P 36-9 (40-14/4 edicao) ~ uf " F R D F ) H9 R 9 G min Duas ondas luminosas no ar, de comprimento de onda nm, est~ o inicialmente em fase. As ondas pasa nm m sam por camadas de pl stico, como na Fig. 36.28, com a m, m, e . (a) (b) O pr ximo valor para estarem em fase ocorre para o Qual ser a diferenca de fase, em comprimentos de ona , o que fornece da, quando as ondas sarem dos dois blocos? (b) Se as i ondas forem superpostas numa tela, que tipo de interm m fer^ ncia ser observada? e a (a) O comprimento de onda nm fora das camadas de pl stico (i.e. no ar ou, aproximadamente, a no v cuo) est relacionado com o comprimento de onda a a num meio com ndice de refracao atrav s da exi ~ e press~ o a . Portanto, a diferenca de fase em termos do comprimento de onda e dada por 9 e8 ) E f "F 9 R % ) E G R E 9 G e8 E G f 9 e8 4 I 4 u f F 4D B u f" " A G 9 R ) 9 ) E 9 F G H9 D " % ) 9 u p G E u D "F ) E 36.2 O experimento de Young E 36-11 (40-15/4 edicao) ~ Duas fendas paralelas, a m de dist^ ncia uma da oua tra, s~ o iluminadas com uma luz verde monocrom tica, a a de comprimento de onda de nm. Calcule a posicao ~ angular (h na Fig. 36.8 [40-9]) da franja clara de terceira ordem (i ) (a) em radianos e (b) em graus. i (a) Da Eq. 36.14 [40-12] obtemos para j ) $ sen sen i 4f h u gC C P 36-10 (40-13/4 edicao) ~ http://www.if.ufrgs.br/ jgallas h rad P gina 3 de 10 a k rad F ( % C Y B k " ff F h c A (b) A interfer^ ncia observada ser intermedi ria, mais e a a perto de destrutiva, uma vez que a diferenca de fase em termos do comprimento de onda e , que e mais per (b) to de (interfer^ ncia construtiva pura) do que de e (interfer^ ncia destrutiva pura). e % r $ h '% C C ) $ B &'$ f A h R B D i B D A A R B pF B A A F B % A &s$ "F r '$ m nm rad D Y Y E B ) E 9 9 c A H9 R G ) 9 e # E Y e E d I (b) C B Y e A 8 sI h x ) B B h ) F "qR R 9 v A ) h #C E & '$ A '$ r u Y e sI "F B Y # A x 8 I x % Na Fig. 36.3, duas ondas luminosas de comprimento de onda nm est~ o inicialmente defasadas de rad. a Os ndices de refracao dos meios s~ o i ~ a e . (a) Qual o menor valor de para que as ondas estejam em fase depois de passarem pelos dois meios? (b) Qual o segundo menor valor de para que isto aconteca? F F G H9 9 x E B qR G 9 G E f A LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IFUFRGS 3 de Dezembro de 2005, as 16:24 ` Duas figuras de interfer^ ncia podem ser vistas na tela, e uma produzida por uma luz com comprimento de onda O experimento de Young e executado com luz azul- de nm e outra por uma luz de comprimento de onda esverdeada de comprimento de onda de nm. A de nm. Qual e a dist^ ncia na tela entre as franjas a dist^ ncia entre as fendas e de a mm e a tela de de terceira ordem (i ) das duas figuras de interobservacao est a ~ a m das fendas. Qual e o fer^ ncia? e espacamento entre as franjas claras? Os m ximos de um padr~ o de interfer^ ncia de fenda a a e A condicao de m ximo e sen ~ a , onde e a dupla aparecem em angulos dados por sen ^ , separacao das fendas, o comprimento de onda, e um ~ onde e a separacao das fendas, o comprimento de ~ inteiro, e e o angulo feito pelos raios que interferem e o ^ onda, e um n nero inteiro. Se for pequeno, sen u eixo perpendicular a superfcie contendo as fendas. Se ` i pode ser substituido por em radianos. Neste caso, tee pequeno, sen pode ser aproximado por , em radia . nos. Neste caso temos e a separacao angular mos mais simplesmente que ~ para mini[Perceba que EVITAMOS escrever dos m ximos adjacentes, um associado ao inteiro e o a mizar a possibilidade de confus~ o com algum elemento a outro associado ao inteiro , e dada por . diferencial de angulo . Uma notacao coerente e apro~ ^ Com isto, a separacao sobre uma tela a uma dist^ ncia ~ a priada salva muita gente na hora da prova.... :-) ] e dada por A separacao angular dos dois m ximos associados com ~ a comprimentos de onda diferentes mas com o mesmo va lor de e E 36-13 (40-18/4 edicao) ~ B ) R G A j i h m mm e a separacao ~ dist^ ncia e a l l px m m px h i h i j h i j h j h h h h j x i i F D j m px u x h j l 8 i j " i h B D x h n s$ ns $ & B s$ ( " A A i h i j j i h D l j h h h x l x m E 36-14 (40-21/4 edicao) ~ , observe que h P 36-20 (40-27/4 edicao) ~ mm Na Fig. 36.29, e s~ o fontes que produzem ondas a em fase, de mesma amplitude e com o mesmo comprimento de onda . A dist^ ncia entre as fontes e a . Determine a maior dist^ ncia a partir de , ao longo do a eixo , para a qual as duas ondas se anulam totalmente por interfer^ ncia destrutiva. Expresse esta dist^ ncia em e a comprimentos de onda. Chamemos tal dist^ ncia de . Ent~ o a a Y B i { A u rR u G u xv G j yw Y # I j ) t G t ) t (b) Como B B ) h sen l cm sen A ` A ) m rad a separacao e ~ px m mm P 36-19 (40-24/4 edicao) ~ Em um experimento de Young, a dist^ ncia entre as fena das e mm e as fendas est~ o a m da tela de observacao. a ~ http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P gina 4 de 10 a z po o R ) m g m ) $ sen h % % B B A ) o h e j A f ) $ sen m mm rad u v#C & '$ B (a) O m ximo adjacente ao m ximo central e o que a a corresponde a de modo que i 4f i h m B ) R G A h x j l i 4f q h Em um experimento de Young, a dist^ ncia entre as fena das e de vezes o valor do comprimento de onda da tan luz usada para ilumin -las. (a) Qual e a separacao ana ~ gular em radianos entre o m ximo de interfer^ ncia cen- Como usamos a aproximacao tan a e ~ tral e o mais pr ximo? (b) Qual e a dist^ ncia entre eso a deve estar em radianos. tes m ximos se a tela de observacao estiver a a ~ cm de Em n meros, temos, u dist^ ncia das fendas? a h x A l q Sh x h x ( % s s$ ( C C n'( $ DrRp"F B A R observada numa tela localizada a uma ) m ) LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IFUFRGS 3 de Dezembro de 2005, as 16:24 ` P 36-21 (40-28/4 edicao) ~ Um fino floco de mica (9 ) e usado para cobrir uma das fendas em um experimento de Young. O ponto central da tela passa a ser ocupado pelo que era a s tima franja clara (i e ) quando a fenda estava livre. se nm, qual e a espessura do floco de mica? (Sugest~ o: Considere o comprimento de onda da luz no a interior do floco de mica.) C # Observe o fator acima: ele e devido ao fato da luz ir e voltar atrav s da sala! O "D" refere-se ao caminho e optico total. (b) Neste caso a figura de interfer^ ncia ser deslocado. e a Por exemplo, como no local do m ximo central original a a diferenca de fase e agora Y e B A Y # E P x B E P XA x I x Considere as duas ondas, uma de cada fenda, que produzem a s tima franja clara na aus^ ncia da mica. Elas e e existir ali um mnimo em vez de um m ximo. a i a est~ o em fase nas fendas e viajam dist^ ncias diferena a tes at a s tima franja clara, onde a diferenca de fase e e e . Quando um floco de mica de espessura 36.3 Intensidade das franjas de e colocada na frente de uma das fendas e as ondas n~ o a fer^ ncia e est~ o mais em fase nas fendas. Nas fendas, suas fases a diferem de E 36-24 (40-41/4 edicao) ~ BV A m u B R 9 A u Y e u Y e R u Y e Y I D d i Y e Determine a soma das seguintes funcoes: ~ onde e o comprimento de onda na mica, e o ndice i sen e sen de refracao da mica, e usamos relacao ~ ~ , sendo o comprimento de onda no v cuo. a Como as ondas est~ o agora em fase na tela, devemos ter [Nota: perceba que neste enunciado escrevemos explicia tamente a depend^ ncia temporal de cada grandeza, com e o intuito de distinguir mais claramente as grandezas que variam no tempo daquelas que n~ o variam.] a donde tiramos que R " & B '$ A C C } Seguimos aqui o problema resolvido 36.3. Num instante de tempo qualquer temos BV G A m BV A ) m BV A m V B k V WT A BV G A m V WT BV ) A m 9 @8 9 o Y D d B R 9 A u Y e o o http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P gina 5 de 10 a D C sen sen A luz de um laser com comprimento de onda de nm passa por duas fendas localizadas em um tela na par- A onda resultante tem uma amplitude te da frente de uma sala de aula, e refletida por um es- tante no tempo] dada por pelho situado a m de dist^ ncia, no fundo da sala, e a produz uma figura de interfer^ ncia na mesma tela que e D G F G B %( A x m F P 36-22 (40-32/4 edicao) ~ [que e cons %F B A m m 4D D ( k k %F k 0 k 0W( V BV ) m "m D F F m m Escolhendo como refer^ ncia, para e temos as seguintes componentes horizontal e vertical de " B A ~% & B '$ 8 l (a) Aqui, use m px l j j x m F A A m #C u D i D r s$ #F %F R GB A D o R G j u O maior valor de g u e obtido para : obtendo mm B D i A R B G j i dd A o u qR 9 i onde | . Consequentemente, cont m as fendas. A dist^ ncia entre duas franjas clae a ras adjacentes e cm. (a) Qual e a dist^ ncia entre a as fendas? (b) O que acontece com a figura de interfer^ ncia quando o professor cobre uma das fendas com e um pedaco de celofane, aumentando de o n mero u de comprimentos de onda percorridos pela luz no trajeto que passa pelo celofane? inter- LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IFUFRGS 3 de Dezembro de 2005, as 16:24 ` Portanto, a soma desejada e B k V WT sen # A D C BV A m E 36-31 (40-47/4 edicao) ~ Uma onda luminosa de comprimento de onda de nm incide perpendicularmente em uma pelcula de sab~ o i a (9 ) de espessura m, suspensa no ar. A luz refletida pelas duas superfcies do filme sofre interi fer^ ncia destrutiva ou construtiva? e A reflex~ o na superfcie anterior muda a fase de , ena i quanto que a reflex~ o na superfcie posterior n~ o mudaa i a a. Portanto a natureza da interfer^ ncia depender apenas e a da mudanca de fase sofrida dentro da pelcula de sab~ o. i a Sabemos que a natureza da interfer^ ncia e regida pelas e equacoes: ~ iv E construtiva destrutiva ' 4 Y u " j e na Fig. 36.29 s~ o fontes puntiformes de ondas a eletromagn ticas com um comprimento de onda de m. e As fontes est~ o separadas por uma dist^ ncia a a m e as ondas emitidas est~ o em fase e t^ m intensidades a e iguais. (a) Se um detector for colocado para a direita ao longo do eixo a partir da fonte , a que dist^ ncia de a ser~ o detectadas os tr^ s primeiros m ximos de intera e a fer^ ncia? (b) A intensidade do mnimo mais pr ximo e i o e exatamente zero? (Sugest~ o: O que acontece com a a intensidade da onda emitida por uma fonte puntiforme quando nos afastamos da fonte?) (a) Para atingir o detector, a onda que vem de viaja uma dist^ ncia , enquanto que a onda que vem de a viaja . A diferenca de fase das duas ondas e G t ) t u R G u G j x f Y e u I G u x G j D ) t u G t ) ) t t onde e o comprimento de onda dentro do filme de onde e o comprimento de onda. Para se ter um sab~ o, que obedece a , onde e o ndice de i m ximo de intensidade, tal a deve ser um m ltiplo refrecao da pelcula de sab~ o e e o comprimento de u ~ i a de , o que nos fornece a condicao ~ onda no v cuo. Em outras palavras, equivalentemena te as express~ es acima (e j em termos das quantidades ` o a que o problema nos fornece), temos que iv 9 E construtiva destrutiva onde e um n mero inteiro. Escrevendo a equacao u ~ acima sob a forma , elevando-a ao quadrado e simplificando o resultado, obtemos i G G u i i R u G G j G j u i 9 9 e8 ' i I u R G u x G j x Y e Destas express~ es vemos claramente que a natureza da o interfer^ ncia e determinada pelo valor da quantidade e f & $ '% 0# B " " B '$ ( " r A A 9 E u O maior valor de que produz um valor de positivo e . Tal valor corresponde ao m ximo mais pr ximo a o de , localizado em C ~ C B B B A A A B R D G A G G i u ) t i m Eis aqui uma maneira talvez um pouco mais trabalhosa de obter o mesmo resultado. O pr ximo m ximo (i o a ) esta localizado em A onda refletida pela superfcie anterior sofre um i m. O m ximo seguinte (i a ) esta localizado em mudanca de fase de pois incide do ar sobre um meio m. de maior ndice de refracao. A fase da onda refletida i ~ http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Y u F C u P gina 6 de 10 a i que nos diz ser e a interfer^ ncia construtiva. e z z ' i i 9 E E P 36-27 (40-40/4 edicao) ~ k tg tg 36.4 Interfer^ ncia em filmes finos e Y BV # ) h F h %( ) $ D f e um angulo de fase ^ por m ) $ f m h em relacao ao fasor ~ A m i dado (b) Mnimos de intensidade ocorrem onde a diferenca de fase e rad. A intensidade no local do mnimo n~ o e i a nula pois as amplitudes das ondas s~ o diferentes. Emboa ra as amplitudes sejam as mesmas nas fontes, as ondas viajam dist^ ncias diferentes para chegar ao ponto de ina tensidade mnima, com cada amplitude decrescendo na i proporcao inversa da dist^ ncia viajada. ~ a LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IFUFRGS 3 de Dezembro de 2005, as 16:24 ` E 36-34 (40-50/4 edicao) ~ Uma lente com ndice de refracao maior do que i ~ e revestida com um filme fino transparente de ndice de i refracao ~ para eliminar pr interfer^ ncia a reflex~ o de e a uma luz de comprimento de onda que incide perpendicularmente a lente. Qual a menor espessura possvel ` i para o filme? Y " " Como a lente tem um ndice de refracao maior que o i ~ filme fino, existe um deslocamento de fase de na reComo a diferenca de fase e um m ltiplo par de , a in u flex~ o da interface lente-filme, que cancela com o desa terfer^ ncia e completamente construtiva. e locamento de fase de devido a reflex~ o da interface a , fornecendo-nos , como Note que filme-ar. Portanto n~ o existe nenhum deslocamento de a acima obtido. fase efetivo e a condicao para interfer^ ncia destrutiva e ~ e B i A c E G 9 Perceba que as duas maneiras de tratar o problema prov m de podermos colocar a enfase ou na diferenca e ^ de fase ou na diferenca entre as dist^ ncias percorridas, a O menor valor de conforme a Eq. 36.28 [Eq. 40-25] do livro texto: E diferenca de fase diferenca entre as dist^ ncias percorridas a min rad E 36-35 (40-52/4 edicao) ~ " Os diamantes de imitacao usados em j ias s~ o feitos de ~ o a vidro com ndice de refracao de i ~ . Para que reflitam melhor a luz, costuma-se revesti-los com uma camada de mon xido de silcio de ndice de refracao igual a . o i i ~ Determine a menor espessura possvel da camada para i que uma onda de comprimento de onda de nm e incid^ ncia perpendicular sofra interfer^ ncia construtiva ao e e Para interfer^ ncia construtiva usamos a Eq. 36.34 [40e ser refletida pelas suas duas superfcies. i 27]: A reflex~ o na superfcie anterior muda a fase de , ena i quanto que a reflex~ o na superfcie posterior n~ o mudaa i a a. Portanto a natureza da interfer^ ncia depender apenas e a i Os dois menores valores de s~ o aqueles correspon- da mudanca de fase sofrida dentro da pelcula de revesa timento cujo ndice de refracao e i ~ , menor que o dentes a e , ou seja, ndice i do `diamante'. nm Reconhecemos que o problema e semelhante ao pro nm m blema 36-31 (40-47) acima, com a natureza da interfer^ ncia sendo regida pelas express~ es e o e, para , % B m m z iv 9 E construtiva u Y "F Uma onda luminosa de comprimento de onda de nm incide perpendicularmente em uma pelcula de sab~ o i a (com ) suspensa no ar. Quais as duas menores espessuras do filme para as quais as ondas refletidas pelo filme sofrem interfer^ ncia construtiva? e D F " " 9 9 u C "t B u C C "t A E i A { B D A D F E H9 G E i GH9 8 G 9 ) E 8 i i E E 36-33 (40-48/4 edicao) ~ http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P gina 7 de 10 a B i e obtido para " A E " D E Y G H9 D ) E pela superfcie posterior n~ o muda na reflex~ o, uma vez i a a que o meio fora dela e o ar, cujo ndice de refracao e me i ~ nor do que o ndice da pelcula de sab~ o. Chamando de i i a a espessura da pelcula, tal onda viaja uma dist^ ncia i a a mais do que a onda refletida na superfcie anterior. i A diferenca de fase e , onde e o com primento de onda no filme. Sendo o comprimento de i ~ i onda no v cuo e o ndice de refracao da pelcula de a sab~ o, ent~ o a a e a diferenca de fase e Y R B f 8 Y # A Y E R 9 e8 E 9 f Y e 9 I E E Perceba a utilidade e conveni^ ncia de estabelecer-se e analiticamente que : evita-se refazer contas j feitas, reduz-se a possibilidade de errar, e ganhaa se nocao da magnitude relativa das grandezas em jogo. ~ Acostume-se sempre a fazer algebra (treinar seus neu r^ nios!!) antes de precipitar-se para a calculadora! o Y R Y & $ h '% i Y # 0# B '$ " B r A A B Y # A Y e Y Y h : LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IFUFRGS 3 de Dezembro de 2005, as 16:24 ` Na Fig. 36.33, uma fonte de luz (de comprimento de onda de nm) ilumina perpendicularmente duas placas Para termos interfer^ ncia construtiva, com e ve- de vidro de mm de largura que se tocam em uma das mos que a espessura do revestimento deve ser dado por extremidades e est~ o separadas por um fio de a mm de di^ metro na outra extremidade. O ar entre as placas a se comporta como um filme fino. Quantas franjas clam nm ras s~ o vistas por um observador que olha para baixo a atrav s da placa superior? [Nota: na e edicao do livro ~ Perceba que a situacao mudaria radicalmente se em vez ~ usa-se nm.] de lidar com um diamante falso, com , estivessemos lidando com um diamante real, para os quais Considere a interfer^ ncia das ondas refletidas pelas e . superfcies superior e inferior do filme de ar. A onda i i a A luz refletida pela superfcie frontal do revestimento refletida pela superfcie superior n~ o muda a fase na rei a i sofre uma mudanca de fase de rad, enquanto que a luz flex~ o, mas a onda refletida pela superfcie de baixo mu da a fase em rad. Num lugar onde a espessura do filme refletida pela superfcie de tras n~ o muda a fase. Sendo i a ~ a a espessura do revestimento, a luz refletida pela su- de ar e a condicao para interfer^ ncia totalmente construtiva e , onde e o comprimento de perfcie de tras viaja uma dist^ ncia i a a mais do que a onda e e um n mero inteiro. u luz refletida pela superfcie frontal. i , O maior valor de para o qual e menor do que A diferenca de fase das duas ondas e mm ( m) e , pois para tal valor de onde e o comprimento de onda da luz no revestimen to. Se for o comprimento de onda no v cuo, ent~ o encontramos a a , onde e o ndice de refracao do revestimen i ~ to. Portanto a diferenca de fase e m m mm i D D u i C D & B '$ ( p s s$ D F B %"D A A E eC D "d D B 8 i B 8 i i A c Y F u w E D i E i A F E Y R B 4 C 8 i Y # A 9 E ! $ E i Y R 9 E Y e C C Y h B D A '$ F & 9 Y e f E 9 9 D 9 @8 4 g E 9 E destrutiva onde e um n mero inteiro. Esta equacao e um rear u ~ ranjo da Eq. 36.34 [40-27]. A solucao procurada e ~ B i A E i Na extremidade mais fina do filme de ar existe uma franja branca associada com e, assim sendo, no total temos franjas claras. P 36-49 (40-72/4 edicao) ~ i D 4d "D Para determinar a menor espessura do revestimento basta tomar . Neste caso, obtemos m C ! $ B D A '$ F & i nm E A Fig. 36.34a mostra uma lente com raio de curvatura pousada em uma placa de vidro e iluminada de cima por uma luz de comprimento de onda . Associadas a ` espessura vari vel do filme de ar, aparecem franjas de a Perceba que as duas maneiras de tratar o problema e e prov m de podermos colocar a enfase ou na diferenca interfer^ ncia circulares (os chamados an is de Newton), e ^ como mostra a Fig. 36.34b. Determine os raios dos cirde fase ou na diferenca entre as dist^ ncias percorridas, a culos que correspondem aos m ximos de interfer^ ncia, a e conforme a Eq. 36.28 [Eq. 40-25] do livro texto: supondo que . diferenca diferenca entre as Considere o padr~ o de interfer^ ncia formado pelas a e de fase dist^ ncias percorridas a ondas refletidas nas superfcies superior e inferior da cui nha de ar. A onda refletida da superfcie de baixo sofre i uma mudanca de fase de rad enquanto que a onda re fletida pela superfcie superior n~ o muda a fase. Num i a Y P gina 8 de 10 a j 8 Y e 9 D P 36-43 (40-65/4 edicao) ~ http://www.if.ufrgs.br/ jgallas D m u B &'$ ( p F B D A A s s$ w D B 8 i A D Para interfer^ ncia totalmente construtiva tal diferenca de e fase deve ser um m ltiplo de , ou seja, u Y i Y R 9 Y e f E m): D # % D u i i Para ( E j encontramos mais que a 9 D h m LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IFUFRGS 3 de Dezembro de 2005, as 16:24 ` local onde a espessura da cunha e , a condicao para um , direto de para , e o caminho , que sofre uma ~ m ximo de intensidade e a , onde e o reflex~ o num ponto sobre a superfcie da agua. Tal a i comprimento de onda no ar e e um inteiro. Portanto, reflex~ o causa uma mudanca de na fase, de modo que a . a condicao para recepcao m xima e dada por ~ ~ a Da geometria da Fig. 36.34 temos , onde e o raio de curvatura da lente e e o raio de um anel de Newton. Portanto e . Da figura vemos que , onde e a imagem da fonte quando refletida dentro da agua. Obviamente, os pontos , e est~ o todos sobre uma a mesma linha reta. Portanto, , onde pode ser calculado usando-se o tri^ ngulo a ret^ ngulo "dentro da agua", com catetos a e e hipotenusa : t GB u u l A G l x w G G E t G p0 t x ) E onde d | g t u R G E G B rp A i Y G l x z iv t ) E bR G E G rR G R R G x G B 8 u B F ( j i A c j i R R R i B D 8 B A i A i ` j A l ou, rearranjando, i A R G x G donde obtemos finalmente que G GB i A B i ` de modo que a condicao para recepcao m xima reduz-se ~ ~ a a G u 4f l E R G E P 36-53 (40-84/4 edicao) ~ ) 36.5 O interfer^ metro de Michelson o E 36-55 (40-78/4 edicao) ~ Se o espelho de um interfer^ metro de Michelson o (Fig. 36.17) e deslocado de mm, isto faz com que as franjas se desloquem de posicoes. Qual e o com~ primento de onda da luz usada? Um deslocamento de uma franja corresponde a uma Considere o diagrama acima. Como se ve, dois cami- mudanca de um comprimento de onda no tamanho do nhos conduzem da fonte at o receptor : o caminho caminho optico. Quando o espelho e deslocado de uma e http://www.if.ufrgs.br/ jgallas t P gina 9 de 10 a "eC " % G G h l u R rf z l iv z u 0 l iR l iv Na Fig. 36.35, um transmissor de microondas situado a i uma altura acima do nvel da agua de um lago transmite microondas de comprimento de onda em direcao ~ a um receptor na margem oposta, situado a uma altura acima do nvel da agua. As microondas que s~ o rei a fletidas na agua interferem com as microondas que se propagam diretamente atrav s do ar. Supondo que a lar- donde obtemos que e gura do lago seja muito maior que e , e que , para que valores de o sinal que chega ao receptor tem o m ximo de intensidade possvel? (Sugest~ o: A reflex~ o a i a a produz uma mudanca de fase?) q u u u G h l u ap'f h l l q G B p u A u B 7l Quando e muito maior do que um comprimento de onda, o primeiro termo domina o segundo e temos B A c Quando podemos usar a aproximacao ~ A G l x D j D LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IFUFRGS 3 de Dezembro de 2005, as 16:24 ` dist^ ncia , o caminho optico muda de pois a luz atra- comprimento no v cuo. Sendo o comprimento de ona a vessa duplamente o braco que cont m o espelho. Cha- da no v cuo, o comprimento de onda no ar e e a , onde memos de a quantidade de franjas deslocadas. Ent~ o a e o ndice de refracao do ar. Isto significa que i ~ , donde tiramos E B qR 9 9 @8 A Y D Y e R 9 Y e E I G bR ) I 9 "eC n B '$ p" % A j j onde e o comprimento da c^ mara. O fator aparece a pois a luz atravessa a c^ mara duplamente, primeiro indo a para o espelho e depois voltando, ap s a reflex~ o. o a Cada deslocamento de franja corresponde a uma P 36-57 (40-80/4 edicao) ~ rad. Assim, se o padr~ o de ina mudanca na fase de Uma c^ mara selada, com cm de comprimento e jane- terfer^ ncia desloca-se de a e franjas quando a c^ mara e a las de vidro e colocada em um dos bracos de um inter- evacuada, temos fer^ metro de Michelson, como na Fig. 36.36. Uma luz o de comprimento de onda nm e usada. Quan do a c^ mara e evacuada, as franjas se deslocam de a posicoes. A partir destes dados, determine o ndice de ~ i donde tiramos refracao do ar a press~ o atmosf rica. ~ ` a e m nm 1 $ ( qR 9 Seja a diferenca de fase das ondas nos dois bracos quando a c^ mara contiver ar e a a diferenca de fase quando a c^ mara e evacuada. Estas quantidades s~ o disa a tintas pois o comprimento de onda no ar e diferente do Portanto G I ) I $ B G ( A B '$ " F & A Y E B R 9 Y e A Y D E "F # " '$ . http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P gina 10 de 10 a " E 9 j j LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IFUFRGS 3 de Dezembro de 2005, as 16:24 ` Exerccios Resolvidos de Optica Fsica i i Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fsica te rica, i o Doutor em Fsica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha i Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de Fsica i Mat ria para a TERCEIRA prova. Numeracao conforme a SEXTA edicao do livro e ~ ~ "Fundamentos de Fsica", Halliday, Resnick e Walker. i Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Conte udo 37 Difracao ~ 37.1 Problemas e Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i 37.2 Difracao por uma fenda: posicoes dos mnimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ ~ i 37.3 Determinacao da intensidade da luz difratada por uma fenda -- m todo quantitativo ~ e 37.4 Difracao por uma abertura circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ 37.5 Difracao por duas fendas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ 37.6 Redes de difracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ 37.7 Redes de difracao: dispers~ o e resolucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ a ~ 37.8 Difracao de raios-X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 3 3 4 6 6 7 Coment rios/Sugest~ es e Erros: favor enviar para a o jgallas @ if.ufrgs.br (listaq3.tex) P gina 1 de 7 a http://www.if.ufrgs.br/ jgallas LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IFUFRGS 3 de Dezembro de 2005, as 16:24 ` 37 Difracao ~ Por outro lado, sabemos que donde tiramos facilmente E 37-1 (41-3/4 edicao) ~ E 37-4 (41-5/4 edicao) ~ A dist^ ncia entre o primeiro e o quinto mnimo de uma a i figura de difracao de uma fenda e ~ mm, com a tela a cm de dist^ ncia da fenda, quando e usada uma luz a com um comprimento de onda de nm. (a) determine a largura da fenda. (b) Calcule o angulo do primeiro ^ mnimo de difracao. i ~ P 37-6 (41-9/4 edicao) ~ Ondas sonoras com uma freq encia de u^ Hz e uma velocidade de m/s passam pela abertura retangular de uma caixa de som e se espalham por um grande audit rio. A abertura, que tem uma largura horizontal de o cm, est voltada para uma parede que fica a a m (a) Chamando de a posicao do primeiro mnimo de dist^ ncia (Fig. 37.32). Em que ponto desta parede ~ i a ( ) na tela, e de a posicao do quinto um ouvinte estar no primeiro mnimo de difracao e, ~ a i ~ mnimo ( i ), temos que portanto, ter dificuldade para ouvir o som? (Ignore as a reflex~ es.) o Suponha que o primeiro mnimo esteja a uma i dist^ ncia a partir do eixo central, perpendicular ao a alto-falante. Neste caso, para temos que nos fornecem http://www.if.ufrgs.br/ jgallas 9 Este n mero pequeno nos informa que vale a aproximau cao ~ e, como , que . Nestas aproximacoes podemos escrever ~ c Q 9 $ ( 0( ( ( & ( ( v c Q 6 $ m X C c Q &0 $ X 1C x5 v w ( D X C "I q dD 2 "B t s u0) W U &VT I D "")A c Q B ( ( r9 0( Q y dD X C "I D q & q X C I G epiC W U bT Q Q c C I f ehgC Como , podemos aproximar Resolvendo esta equacao para ~ obtemos P gina 2 de 7 a i sen ( ( 4 w ( x5 4 ( ( ( R 0) 5 v w ( # C aG Q X Q C 6 sen 2 2 5 D 9 C e ( X C I G "a'C B X C eI 0( ( B B Q C I G "PHC D W U &VT W U &VT c dQ C Y `X C W U bT sen sen m e, portanto, o angulo pedido e ^ rad Y 5 4 w ( 6 B 6 e sen 2 5 ( 864 2 ( B B P ! @ A9 0( Basta usar a f rmula sen o . Portanto , com e (b) Para mm c B B r 5 ( 864 ( 2 ( B B ( ( 9 B 0 C "I %D AQ c X 3 Um feixe de luz de comprimento de onda de nm incide em uma fenda estreita. O angulo entre o primeiro ^ mnimo de difracao de um lado do m ximo central e o i ~ a . Qual e a largura primeiro mnimo do outro lado e i da fenda? Portanto "I "I 37.2 Difracao por uma fenda: posicoes ~ ~ Comparando as duas express~ es para o dos mnimos i %D dQ c X C "I vemos que I e" D dQ c q dD c Q sen sen D dQ c 37.1 Problemas e Exerccios i Q Q Y ARS D D `d sen e sen 0( 7 5 ( 864 2 3 B 0)'&% #" ( $ D Q SR W U &VT q SQ 1 Q W U &bT D FE W U &VT W U &VT ( 9 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IFUFRGS 3 de Dezembro de 2005, as 16:24 ` ~ e 37.3 Determinacao da intensidade da luz difracao e portanto que o crit rio de Rayleigh possa ser ~ aplicado. difratada por uma fenda -- m todo e quantitativo (a) Use o crit rio de Rayleigh, Eq. 37.14. Para resole ver duas fontes puntiformes o m ximo central da figura a de difracao de um ponto deve cair sobre ou al m do pri~ e E 37-9 (41-13/4 edicao) ~ meiro mnimo da figura de difracao do outro ponto. Isi ~ Quando a largura de uma fenda e multiplicada por , to significa que a separacao angular das fontes deve ser ~ a intensidade do m ximo central da figura de difracao pelo menos a ~ , onde e o comprimento de e multiplicada por , embora a energia que passa pela onda e e o di^ metro da abertura. Portanto a fenda seja multiplicada por apenas . Explique quantitativamente o que se passa. rad (b) Sendo a dist^ ncia dos far is ao olho quando os a o far is puderem ser pela primeira vez resolvidos, e a o separacao dos far is, ent~ o ~ o a E 37-10 (41-12/4 edicao) ~ Uma luz monocrom tica com um comprimento de ona da de nm incide em uma fenda com uma largura de mm. A dist^ ncia entre a fenda e a tela e a m. ~ ^ Considere um ponto na tela a cm do m ximo cen- onde foi feita a aproximacao de angulos pequenos a , v lida se a for medido em radianos. tral. (a) Calcule o valor de neste ponto. (b) Calcule o valor de . (c) Calcule a raz~ o entre a intesidade neste Portanto a ponto e a intensidade no m ximo central. a km (a) sen (b) Da Eq. 37.6 temos que E 37-19 (41-23/4 edicao) ~ Estime a separacao linear de dois objetos no planeta ~ Marte que mal podem ser resolvidos em condicoes ini~ ciais por um observador na Terra. (a) a olho nu e (b) polegadas (= m) do Monusando o telesc pio de o te Palomar. Use os seguintes dados: dist^ ncia entre Mara te e Terra = km; di^ metro da pupila = mm; a nm. comprimento de onda da luz = (a) Use o crit rio de Rayleigh, Eq. 37.14: dois obe jetos podem ser resolvidos se sua separacao angular na ~ posicao do observador for maior que ~ , onde e o comprimento de onda da luz e e o di^ metro a da abertura (do olho ou espelho). Se for a dist^ ncia do a observador aos objetos, ent~ o a menor separacao que a ~ eles podem ter e ainda ser resolvidos e , onde e medido em radianos. Portanto, rad Os dois far is de um autom vel que se aproxima de um o o observador est~ o separados por uma dist^ ncia de a a m. Qual e (a) a separacao angular mnima e (b) a dist^ ncia ~ i a m xima para que o olho do observador seja capaz de a m km resolv^ -los? Suponha que o di^ metro da pupila do obe a servador seja mm e que use um comprimento de onda Esta dist^ ncia e maior do que o di^ metro de Marte. Pora a de luz de nm para a luz dos far is. Suponha tamb m tanto, n~ o e possvel resolver-se totalmente a olho nu o e a i que a resolucao seja limitada apenas pelos efeitos da dois objetos diametralmente opostos sobre Marte. ~ http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P gina 3 de 7 a 7 5 ( x04 du ( d w (4 z v 2 2 tx5 4 ( 2 3B ( s v B B D 2 2 ( r v & o ~C o }v E 37-15 (41-18/4 edicao) ~ w o p C W U bT v |C v 37.4 Difracao por uma abertura circular ~ r $ 8{ r o 9 6 n 0 ( g s s B 9 0( 9 ( f g e sen sen ( B B (c) Da Eq. 37.5 tiramos que B k B ( ( & z ( v 2 s s vk( Q B Q sen sen X w ( x5 v 9 4u ( 2 o v w o Y x`s t ( 85 v 9 u 7 5 ( 864 w ( 5 v 2 9 o W U &VT r $ o 8 qp 9 v ` 2 2 3B ( B B X o X o av v o s w o y r W U &VT B g 4d0) hB s ( 5 f d D s 9 0( B s &B r( ( j B d 9 e " g j 0f B f ( B B e s ie &B m l l B ( 0( LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IFUFRGS 3 de Dezembro de 2005, as 16:24 ` E 37-20 (41-25/4 edicao) ~ O sistema de radar de um cruzador emite microondas com um comprimento de onda de cm, usando uma ` m de di^ metro. A dist^ ncia de a a antena circular com km, qual e a menor separacao entre duas lanchas ~ para que sejam detectadas como objetos distintos pelo radar? 37.5 Difracao por duas fendas ~ E 37-27 (41-35/4 edicao) ~ A equacao que o primeiro mnimo de difracao para ~ i ~ que e satisfeita para aberturas circulares e fornecendo-nos um total de cinco franjas claras. onde e o comprimento de onda da luz e e o di^ metro a da abertura. ~ A largura do m ximo central e definida como a P 37-31 (41-40/4 edicao) a dist^ ncia entre os dois primeiros mnimos. Portanto, te- (a) Quantas franjas claras aparecem entre os primeiros a i mos mnimos da envolt ria de difracao a direita e a esquerda i o ~ ` ` do m ximo central em uma figura de difracao de duas a ~ fendas se nm, mm e m? (b) http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P gina 4 de 7 a @ A( ~ B ( d0)3r ( B B r Y r X $ C ue sen f D Q D ( Y 4 Y n Y s Y t Y Y hf Q & f 1 f $ 8i Q f D D f Q 1 Em junho de 1985, a luz de um laser foi emitida da Estacao Optica da Forca A rea, em Maui, Hava, e re~ e i fletida pelo onibus espacial Discovery, que estava em ^ km. De acordo com as orbita a uma altitude de notcias, o m ximo central do feixe luminoso tinha um i a di^ metro de a m na posicao do onibus espacial e o ~ ^ comrpimento de onda da luz usada foi nm. Qual o di^ metro efetivo da abertura do laser na estacao de a ~ Maui? (Sugest~ o: O feixe de um laser s se espalha por a o causa da difracao; suponha que a sada do laser tem uma ~ i abertura circular.) $ &04P"r r RE P 37-22 (41-29/4 edicao) ~ Franjas claras de interfer^ ncia ocorrem para angulos e ^ dados por sen , onde e a separacao das ~ fendas, e o comprimento de onda, e e um inteiro. Para as fendas deste problema , de modo que sen . O primeiro mnimo do padr~ o de difracao ocorre num i a ~ angulo ^ dado por sen e o segundo ocorre para um angulo dado por sen ^ , onde e a largura da fenda. Desejamos contar os valores de para os quais ou, o que e a mesma coisa, os valores de para os quais sen sen sen . Isto implica termos B ( ( 0 ( t v 5 ( 2 Q 6v 2 3 B g min m A envolt ria central de difracao de uma figura de o ~ difracao por duas fendas cont m ~ e franjas claras e os primeiros mnimos de difracao eliminam (coincidem i ~ com) franjas claras. Quantas franjas de interfer^ ncia e existem entre o primeiro e o segundo mnimos da eni volt ria? o &$kn t u9 9 7 (( t(v 856(4 2 B 2 B $ &C X Esta e a separacao mnima entre objetos para que pos- donde tiramos ~ i sam ser perfeitamente resolvidos com o telesc pio. o Y r P r m km cm w )" w 3 W U &VT X $ &C f f '~ 7 5 ( x04 2 ( # ( d w 4 2 d B ( s 4 B B D 2 9 B r e W U &VT 6 r v ) o }v f d d0n r v C "r (b) Agora me onde e a dist^ ncia entre o laser e o onibus espacial. a ^ Como , podemos aproximar sen o que nos fornece X B 1C C LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IFUFRGS 3 de Dezembro de 2005, as 16:24 ` a Qual e a raz~ o entre as intensidades da terceira franja (b) a dist^ ncia entre as fendas. (c) Calcule as intensida a des das franjas de interfer^ ncia com e clara e da franja central? e e compare os resultados com os que aparecem na figura. (a) A posicao angular das franjas claras de inter~ fer^ ncia e dada por sen e , onde e a separacao ~ (a) Da figura vemos que o primeiro mnimo do pai das fendas, e o comprimento de onda, e e um intei dra~ o de difracao ocorre para , de modo que a ~ ro. O primeiro mnimo de difracao ocorre para um angulo i ~ ^ dado por sen , onde e a largura da fen m m da. O pico de difracao extende-se de ~ at e , de sen sen modo que precisamos determinar o n mero de valores u para os quais ou, o que e a de (b) Da figura vemos tamb m que a quarta franja clara e mesma coisa, o n mero de valores de u para os quais est ausente e, portanto, a sen sen sen . Esta ultima relacao significa termos ~ m m , ou seja, (c) Para a franja clara com temos (veja a figura), e a Eq. 37.18 nos diz que sen sen sen sen onde e e a intensidade no centro do padr~ o. a do m ximo cena Da figura vemos que a intensidade Para a terceira franja clara de interfer^ ncia temos tral vale e mW/cm , de modo que a intensidade sen , de modo que rad e . da franja com e dada por Analogamente, rad, de modo que sen sen que concorda com o que a Fig. 37.36 mostra. Analogamente, para a figura nos diz que , de modo que , [ , Uma luz de comprimento de onda de nm passa por ]e mW/cm , tamb m de acordo e duas fendas, produzindo uma figura de difracao cujo ~ com a Fig. 37.36. gr fico de intensidade em funcao da posicao angular a ~ ~ aparece na Fig. 37.36. Calcule (a) a largura das fendas e http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P gina 5 de 7 a n & Q t e B s 0 P 37-32 (41-41/4 edicao) ~ t u B e l 6q % B B B ( 0` ( 9 r9 g f l g e sen sen mW/cm l Q g Y Q t s t r&( t s t u0( f t m l Q Q g e # t f hQ % m l m l l j 0 $ j ( r $ 0 j B j Q r Y Q j 0( j 0( Y sen sen q3 9 4k B B 9 %d onde j Y g r j e sen Q r c % m r perfazendo um total de nove franjas. (b) A intensidade na tela e dada por NOTE: para m ximos sempre teremos a pois ent~ o sen a , de modo que , isto e, e, portanto, qualquer que seja o valor de . Na verdade, poderamos usar o fai to que para determinar com precis~ o no a gr fico o valor de onde ocorrem os m ximos de intena a sidade. Perceba que acima obtivemos em vez de por havermos usado em vez do valor exato da posicao do m ximo no gr fico. ~ a a Q % j u Q % 9 4k " 9 Y G Y G Y G Y "G Y ( Y 4Y %Y c c Q e Portanto, os valores possveis de i s~ o a h B rad Y t s t ( ru0) B @ B ( B @ ( 0& B B B @ ( 9 d9 ( 9 9 0( ( 0& j 99 0( j ( B @ B B ( B 9 9 `"r"r e 3 j r j e f)r$f`$ c G f h~ D D G f f D q& c D G D c r B Y r ( x5 4 ( 2 t 5 ( 864 d0( 2 3B h" f HhQ m l f !f D !H r Q c r e c %Y 9 c e j r l f e f D H m l l m l $ & D c rad r LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IFUFRGS 3 de Dezembro de 2005, as 16:24 ` de onda, e em inteiro. As duas linhas s~ o adjacena tes, de modo que suas ordens diferem de uma unidade. Seja a ordem da linha com sen e a E 37-33 (41-43/4 edicao) ~ ordem da linha com sen . Ent~ o a e . Subtraindo ambas equacoes encon~ Uma rede de difracao com ~ mm de largura possui , ou ranhuras. (a) Calcule a dist^ ncia entre ranhu- tramos a ras vizinhas. (b) Para que angulos ocorrer~ o m ximos ^ a a m de intensidade em uma tela de observacao se a radiacao ~ ~ incidente na rede de difracao tiver um comprimento de ~ (b) Mnimos de um padr~ o de difracao por fenda unica i a ~ onda de nm? ocorrem para angulos dados por sen ^ , onde (a) e a largura da fenda. Como o m ximo de interfer^ ncia a e de quarta ordem encontra-se ausente, ele deve cair num mm m destes angulos.Se e a menor largura da fenda para a ^ qual esta ordem esta ausente, o angulo deve ser dado ^ (b) Para determinar as posicoes dos m ximos de in- por sen ~ a , sendo tamb m dada por sen e , tensidade usamos a f rmula sen o , determi- de modo que nando todos os valores de que produzem valores de . Explicitamente, encontramos m para (c) Primeiro, coloque para encontrar o maior para sen valor de para o qual sen . Esta e a maior or dem difratada na tela. A condicao equivale a ~ sen e como , a ordem mais alta que se pode ver e . A quarta e para sen a oitava ordem est~ o ausentes, de modo que as ordens a observ veis s~ o os ordens a a para sen E 37-47 (41-62/4 edicao) ~ Uma fonte contendo uma mistura de atomos de hi drog^ nio e deut rio emite luz vermelha com dois come e Uma luz de comprimento de onda de nm incide primentos de onda cuja m dia e e nm e cuja normalmente (perpendicularmente!!) em uma rede de separacao e ~ nm. Determine o n mero mnimo de u i difracao. Dois m ximos de difracao s~ o observados em ~ a ~ a ranhuras necess rias para que uma rede de difracao posa ~ angulos dados por sen ^ e sen . Os sa resolver estas linhas em primeira ordem. m ximos de quarta ordem est~ o ausentes. (a) Qual e a a a Se a grade apenas consegue resolver dois comprimendist^ ncia entre ranhuras vizinhas? (b) Qual e a menor a e ~ , ent~ o a largura possvel desta rede de difracao? (c) Que ordens tos de onda cuja m dia e e cuja separacao e i ~ ~ de m ximos de intensidade s~ o produzidas pela rede, seu poder de resolucao e definido (veja Eq. 37.28) como a a . Sabemos (Eq. 37.29) que , supondo que os par^ metros da rede sejam os calculados sendo a onde e a quantidade de ranhuras e e a ordem das nos itens (a) e (b)? linhas. Portanto , donde tiramos (a) Os m ximos de um padr~ o de interfer^ ncia de a a e duas fendas ocorrem para angulos dados por sen ^ ranhuras , onde e a separacao das fendas, o comprimento ~ http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P gina 6 de 7 a E 37-37 (41-49/4 edicao) ~ ) 1I &r B ( B I 1 s4d0( &r B I $ `g1x Para obtemos , indicando que os m ximos acima s~ o todos os possveis. a a i I $ 1&8)P s 4d0( e 6 ( 0h r ( ( r $ 8 ( 0 5 " r para sen 9 n s 5 " 9 1` para sen 37.7 Redes de difracao: dispers~ o e reso~ a lucao ~ n y ( v x04 7 5 ( ( ( $ 864 5 ( 2 2 H $ r f &6 9 r" r R ( G P ( 0 R~ r @ 0n Y t Y Y Y Y Y Y ` ( B @ P B 5 ( 864 7 ( 85 4 ( 0R r f R ( n rp d0( 2 9 ( ( 2 1 d0( r 9 r )"4d0( Hr ( G )e 1 $ Er "r 37.6 Redes de difracao ~ t ( u0& 6 ( 0v B R!p @ n s n s n s r D ( B B ( 9 ~D B ~D ( B ( D B ns 0( ~D B r ~D ( & r 5 5 5 5 ( `" ( ( ( 0 " " " ( ( ( ( & ( 3) u " B f r $ |&x n s "r B ( ( ( LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IFUFRGS 3 de Dezembro de 2005, as 16:24 ` A lei de Bragg fornece a condicao de m ximo, ~ a Eq. 37.31, como sendo E 37-48 (41-61/4 edicao) ~ sen Uma rede de difracao tem ~ ranhuras/mm e mm de largura. (a) Qual e o menor intervalo de comprimentos onde e o espacamento dos planos do cristal e e o de onda que a rede e capaz de resolver em terceira or comprimento de onda. O angulo e medido a partir da ^ dem para nm? (b) Quantas ordens acima da normal aos planos. Para reflex~ o de segunda ordem usaa terceira podem ser observadas? mos , encontrando (a) Usando o fato que , obtemos P 37-60 (41-80/4 edicao) ~ Na Fig. 37.40, um feixe de raios X de comprimento de onda nm incide em um cristal de NaCl a com de onde obtemos que a face superior do cristal e com uma famlia de planos i refletores. O espacamento entre os planos refletores e de sen nm. De que angulo o cristal deve ser girado ^ em torno de um eixo perpendicularmente ao eixo do paN~ o observarmos difracao de ordem equivale a dizer a ~ pel para que estes planos refletores produzam m ximos a que para tal obtemos , ou seja, que temos de intensidade em suas reflex~ es? o Os angulos de incid^ ncia que correspondem a in^ e ` tesidade m xima do feixe de luz refletida satisfazem a Isolando-se max , e substituindo os dados do problema sen , ou em quest~ o encontramos que a Como e preciso ter sen , vemos que os valores Tal resultado nos diz que a maior ordem observ vel com a permitidos de s~ o a tal grade e a terceira, pois esta e a ultima ordem que pro duz um valor fisicamente significativo de . Portanto, n~ o se pode observar nenhuma ordem supea rior a terceira com tal grade. ` aos quais correspondem os angulos ^ 37.8 Difracao de raios-X ~ E 37-53 (41-70/4 edicao) ~ Portanto o cristal deve ser girado no Raios X de comprimento de onda de nm sofrem reflex~ o de segunda ordem em um cristal de fluoreto de a ltio para um angulo de Bragg de i ^ . Qual e a dist^ ncia a interplanar dos planos cristalinos respons veis pela rea flex~ o? a http://www.if.ufrgs.br/ jgallas sentido hor rio de a P gina 7 de 7 a Y s 6t Y d # & c 9 t n B B 9 Y ( 9 % c 9 B B 9 c s 0s 9 c k9 s sentido anti-hor rio de a s 0s Y k9 Y u0 Y 9 4Pe s t n 9 B Y 9 Y Y Y u vd0( s & max ( 9 " sen uf 0( B vd0( B r & `i r 7x5 4 ( ( ( 2 B ( $ t 5 ( ( 4864 r w # ( n sen max B 9 B 0PHr ( B vd0( Y R" sen (b) A posicao dos m ximos numa rede de difracao e de~ a ~ finida pela f rmula o m sen sen nm ( 0 & s 7 5 ( x04 Y h" 2 k( r ) "r r Q D B ( 5 v 2 "B B B I $ )g1&8 r ( n " ( ( B 7 5 ( 864 ( ( 2 B ( ( " r r ( ( B ` H3I LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IFUFRGS 3 de Dezembro de 2005, as 16:22 ` Exerccios Resolvidos de Optica Fsica i i Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fsica te rica, i o Doutor em Fsica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha i Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de Fsica i Mat ria para a TERCEIRA prova. Numeracao conforme a SEXTA edicao do livro e ~ ~ "Fundamentos de Fsica", Halliday, Resnick e Walker. i Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Conte udo 37 Relatividade 37.1 A relatividade do tempo . . . . . . . . . . . . . . 37.2 A relatividade das dist^ ncias . . . . . . . . . . . a 37.3 Algumas conseq encias das equacoes de Lorentz u^ ~ 37.4 A relatividade das velocidades . . . . . . . . . . 37.5 O efeito Doppler para a luz . . . . . . . . . . . . 37.6 Uma nova interpretacao da energia . . . . . . . . ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 4 4 4 5 Coment rios/Sugest~ es e Erros: favor enviar para a o jgallas @ if.ufrgs.br (listaq3.tex) P gina 1 de 5 a http://www.if.ufrgs.br/ jgallas LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IFUFRGS 3 de Dezembro de 2005, as 16:22 ` m 37.1 A relatividade do tempo E 38-3 (42-5/4 edicao) ~ O tempo m dio de vida de m ons estacion rios e e u a s. O tempo m dio de vida dos m ons de alta velocidade e u produzidos pelos raios c smicos e o s no referencial da Terra. Determine a velocidade em relacao a Terra dos ~ m ons produzidos pelos raios c smicos. u o (b) O intervalo de tempo para a passagem da espaconave e s P 38-12 (42-16/4 edicao) ~ (a) Uma pessoa seria capaz, em princpio, de viajar da i Terra at o centro da gal xia (que est a cerca de e a a anos-luz de dist^ ncia) em um tempo de vida normal? a Explique por qu^ , levando em conta a dilatacao dos teme ~ pos ou a contracao das dist^ ncias. (b) Com que velo~ a cidade constante a pessoa teria que viajar para fazer a o viagem em anos (tempo pr prio)? de onde tiramos que (a) Em princpio sim. Se a pessoa mover-se suficieni temente r pido, pelo argumento da dilatacao temporal, a ~ seu tempo de viagem medido na Terra e muito maior do O intervalo de tempo pr prio e medido por um rel gio que um tempo de vida usual. Por outro lado, usando o o ~ a em repouso em relacao ao m on. Ou seja, ~ u s o argumento da contracao do comprimento, a dist^ ncia que a pessoa necessita percorrer (medida em relacao a ~ ` e s. Isto nos fornece ent~ o a sua espaconave) e muito menor do que anos-luz. De ambos modos, concluimos que e possvel para a pes i soa alcancar o centro da gal xia no perodo normal de a i duracao de uma vida humana. ~ Portanto a velocidade do m on e u (b) Sabemos que E 38-11 (42-13/4 edicao) ~ (a) O comprimento de repouso m da espaconave e seu comprimento medido pela base ou, equivalentemente, est~ o relacionados atrav s da relacao a e ~ http://www.if.ufrgs.br/ jgallas &2 " # r & ) @ &2 & X " # 8 F F & ) & RIX 4 h Uma espaconave cujo comprimento de repouso e m passa por uma base espacial a uma velocidade de . (a) Qual e o comprimento da nave no referencial da ba se? (b) Qual e o intervalo de tempo registrado pelos tri- Substituindo os dados obtemos pulantes da base entre a passagem da proa e a passagem da popa da espaconave? P gina 2 de 5 a F X R 4 4 2 F F F CRIIX h 7 F RX 2 F F F 5IIRX d) F 37.2 A relatividade das dist^ ncias a onde o subndice i indica tempo e comprimentos pr prios (que n~ o s~ o medidos no mesmo sistema de reo a a fer^ ncia inercial!), ou seja e e anos. Sabemos tamb m que e , de modo que 4 r h h m/s F F F IRIX F F F IRIX `) d) &2 & ) F IX 2 Usamo a equacao da dilatacao temporal ~ ~ , onde e o intervalo de tempo pr prio, o ,e . Portanto, F %Y g 1e g 3H G & X G W W g e ysx 2 ) st($ onde c ba`T F Y X FT " Vw# ! IbvUuh F X T W g 1e W g e ysx F VT ) h 4 B g R e F fX F F X RpiCh c F Y X R%d0 4 H PIH h r $ " R& %# ! CG & F G W c F Y X Iba`VT @A4 8 " 9# 4 " & $%# ! 4 h & @ " E 8 # D($ 3 W H RR H 54 h 231)0($ '%# & $ " ! 7 FT VUS2 6$ qh H R H F 2 $ 0Q'0Q2 DC $ " & a# ! s9 37 Relatividade ,e . Portanto LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IFUFRGS 3 de Dezembro de 2005, as 16:22 ` Este e o resultado da solucao exata do problema. ~ E possvel obter-se uma resposta aproximada ao proi ~ blema que, por m, jamais dever ser aceita como subs- P 38-13 (42-14/4 edicao) e a titutivo para o resultado exato acima. Um astronauta parte da Terra e viaja com uma velociComo mostrado no exerccio 38-3 acima, temos i dade de em direcao a estrela Vega, que est a ~ ` a anos-luz de dist^ ncia. Quanto tempo ter passado, de a a acordo com os rel gios da Terra? (a) quando o astroo nauta chegar a Vega e (b) quando os observadores terO enunciado do problema nos diz que anos. restres receberem a notcia de que o astronauta chegou i Se soubessemos o valor de , bastaria substitui-lo na a Vega? (c) Qual e a diferenca entre o tempo de viagem f rmula acima para determinar , i.e. a relacao en- de acordo com os rel gios da Terra e o tempo de viagem o ~ o tre e . Determinar exatamente foi o que fize- de acordo com o rel gio de bordo? o mos acima, ao resolver o problema corretamente, sem aproximacoes. ~ (a) A dist^ ncia entre a Terra e Vega e a anosPodemos obter uma aproximacao do resultado se supu- luz. Portanto ~ sermos que a velocidade desconhecida da nave pode ser anos tomada como sendo a velocidade da luz. Tal hip tese o anos (incorreta!) nos induz a considerar e, portanto, obter da f rmula acima que o (b) Supondo que "as notcias" sejam ondas de r dio, que i a viajam com a velocidade da luz, elas demoram anos para alcancar a Terra. Portanto o tempo total, no refe rencial da Terra, e anos (c) O rel gio de bordo mede o tempo pr prio o o A diferenca aparece na casa decimal. Mas isto j e a , onde . Portanto, uma diferenca grande em tratando-se da velocidade da luz. anos Problema: determine explicitamente a express~ o exata a de que nos permite obter a resposta correta partindo da relacao ~ A diferenca e que enquanto no rel gio da Terra o passaram-se anos, no rel gio de bordo passaramo se apenas anos. Perceba claramente que a palavra "diferenca", no item Problema: usando o teorema da expans~ o binomial a (c) do enunciado do problema, de modo algum pede pa(Ap^ ndice E): e ra fazermos alguma subtracao entre os dois intervalos ~ de tempo, coisa que n~ o tem sentido fazer-se. a http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P gina 3 de 5 a XR3F X IX F vS g H3siH BH yg RIRIIH e g H H H H H H F F F F F F F F 3IRIRIIb g sy H e F 1IRF X F H g sy 7 H e h x 2 F & F " l %# Is9 H ie H R H e f X G 2 H R H j F H ie x 2 F Q 4 h 0& Desta express~ o obtemos que a v lido quando a , (a) perceba a relacao entre o ~ valor exato e o valor aproximado acima derivados (b) mostre que a aproximacao seguinte fornece-nos ~ x ) h 2 5 e f H R H X F 2 ) k4 X X RX F `gsH e eR3eRH gH Hyg RIIRIH H H H H H F F IIF H H 3 FRIIF F F H 3 7 & r F X I4 I FCIRX X F vQg H Rg IRIRIH H H H H H F F F IRIF H 3 H H RIH 7 @ FRFIIX F 8 # " F IX 7 F F F RIIX S4 & & & @ 4 8 " 9# 4 @ 4 8 # " 4 $ 7 7 6$ 6$ 2 ) f f I e 9 D9 e e uvT dW & g" T W E ($ 2 2 4 ) ) LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IFUFRGS 3 de Dezembro de 2005, as 16:22 ` 37.3 Algumas conseq encias das equacoes 37.4 A relatividade das velocidades u^ ~ de Lorentz E 38-24 (42-29/4 edicao) ~ E 38-17 (42-20/4 edicao) ~ A partir de medidas do deslocamento para o vermelho, os astr^ nomos chegaram a conclus~ o de que um certo o ` a quasar est se afastando da Terra a uma velocidaa de de . O quasar , que est na mesma direcao a ~ que , mas se encontra mais pr ximo da Terra, est se o a afastando a uma velocidade de . Qual seria a velocidade de afastamento de medida por um observador localizado em ? Um experimentador dispara simultaneamente duas l^ mpadas de flash, produzindo um grande clar~ o na oria a gem de seu referencial e um pequeno clar~ o no ponto a km. Um observador que est se movendo com a uma velocidade de no sentido positivo do eixo tamb m observa os clar~ es. (a) Qual e o intervalo de e o tempo entre os dois clar~ es, de acordo com o observao Chame de o referencial fixo na Terra e de o refedor? (b) De acordo com o observador, qual dos dois rencial fixo no quasar , movendo-se com velocidade clar~ es ocorreu primeiro? o em relacao a Terra. Desejamos encontrar a ~ ` (a) Suponha o primeiro flash em repouso no re- velocidade no referencial , fixo em , que corresferencial e chame de o referencial de repouso ponda a uma velocidade em relacao a Terra ~ ` do segundo observador. Os rel gios de nenhum des- (velocidade esta que, e claro, vem a ser a velocidade do o tes referenciais medem o intervalo de tempo pr prio quasar o como medida na Terra). Portanto, usando-se entre os flashes, de modo que precisamos usar uma a transformacao INVERSA da Eq. 38.28, vemos que a ~ transformacao de Lorentz completa. Usamos flashes co- velocidade de ~ medida em e loridos para fixar id ias. Seja o tempo e e a coordenada do flash azul, como medido no referencial . Neste caso, o tempo do flash azul medido no referencial e onde o sinal negativo indica que esta afastando-se de (i.e. movendo-se em direcao a Terra). ~ ` NOTA: leia o livro-texto e aprenda como, a partir da Eq. 38.28, obter a express~ o da transformacao INVER a ~ SA, acima usada. onde e Analogamente, seja o tempo e a coordenada do flash verde, como medido no referencial . Neste caso, o tempo do flash verde medido no referencial e 37.5 O efeito Doppler para a luz P 38-31 (42-36/4 edicao) ~ Uma espaconave est se afastando da Terra a uma ve a locidade de . Uma fonte luminosa na popa da nave Agora, subtraia a primeira transformacao de Lorentz da ~ nm) para os passageiros. Que cor segunda. Como os flashes disparam simultaneamente, parece azul ( teria a fonte para um observador terrestre que estivesse temos . Seja km e seja assistindo a partida da nave? ` . Ent~ o a Como a espaconave est se afastando da Terra temos a que, de acordo com a Eq. 38-30, onde http://www.if.ufrgs.br/ jgallas ) 2310($ ) nr v (b) Como e negativo, e maior do que verde dispara antes no referencial . . O flash e a freq encia no referencial da espaconave, u^ , e e a velocidade da espaconave em relacao a ~ ` P gina 4 de 5 a r E s 2 F r CI Q" &s 2 T R Vw# 2 F 2 FT " W g W 2 F " R %S2 F n z y x g 2 y 4x 2 F~| g Cz n & x $ $ " a# g F & x & x y x &23y%# | ) " ) " %| & x n }| F g 2 y x z n }| F 2 I F y x & x 2 F I {0) n | y x y 4x W m %jRVT F Y F X H e sy n om X RF 9 F X R q" r u0 w F Y %` " 1 c F%YdX " F T X IF vT W H e R3R W x m r & r s n om W x F 2 ) 0#s06$ @2 " 8 n p$ @ 2 " r tv 8 nr r sp$ FTq# ! " n om n v 2 x r v F &'$a"# ! 2 " 9 n 4 v$ n n n v%" rv0v4 r u n v4 m F X RUu n om LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IFUFRGS 3 de Dezembro de 2005, as 16:22 ` (a) Da Eq. 38.9 vemos que intervalos m dios de vie da [ou seja, que o tempo de vida m dia em repouso e e , viajando com velocidade ] est~ o relacionados do a Este comprimento de onda corresponde a uma cor seguinte modo: amarelo-esverdeada no espectro visvel. i 37.6 Uma nova interpretacao da energia ~ Portanto, temos P 38-38 (42-46/4 edicao) ~ Qual e o trabalho necess rio para fazer a velocidade de a um el tron aumentar (a) de e para e (b) de para ? Observe que o aumento de velocidade e o mesmo ( ) nos dois casos. Portanto, a velocidade pedida e . (a) O trabalho e dado pela diferenca das energias (b) Da Tabela 38.3 vemos que a energia de repouso dum cin ticas calculadas para cada uma das velocidades el tron vale e e keV. Portanto, para o m on a energia de u mencionadas. Da Eq. 38.49 sabemos que repouso e . Portanto, MeV Consequentemente, (c) Das Eqs. 38.51 e 38.52 temos que http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P gina 5 de 5 a 2 s P 38-44 (42-55/4 edicao) ~ MeV Vemos claramente que . Ou seja, quando estivermos andando com velocidades mais elevadas, custa bem mais mudar a velocidade de uma mesma quantidade ( no problema em quest~ o). a X0 & Ibg" & R0# T ! F F g W I 2 2 & & 2oVTq" & & T ! W W 2 T & & 2 Vq" & ! W MeV MeV I W X F PI " 2 & 2RXIRF I F IIRF 1e T & W " F " %# l & @ & F# l H " R H 8 & 2 H 2 PF F % (b) F G & 3H g F IbaY e f 2 C F Ib F b @ s s nm F e g 3H & H 8 # E " x1 @ 8 " D# $ " & %# ! F G`) T 2 FbaYI T F U & W W Ie ) @ RFvT g" x1 8 H 2 & t W q" T 7 & " # I 7 H ($ Terra. A freq encia e o comprimento de onda obedecem u^ a relacao ~ , de modo que se for o comprimento de onda visto na espaconave e o comprimento detec tado na Terra, ent~ o a , de onde tiramos que O tempo de vida m dio dos m ons em repouso e e u s. As medidas dos m ons produzidos em um acelerador u de partculas mostram que eles t^ m um tempo de vida i e de s. Determine (a) a velocidade, (b) a energia cin tica e (c) o momento destes m ons no referencial e u do laborat rio. A massa de um m on e o u vezes maior que a do el tron. e S " T & 0 2 F F " 2 & 2 RF 0 W RF qIPF vT & & F " & # l F " @ R # l 8 & " H 2 2 F H F " # F T F x Fq W g I x 7 $%# " E $ u 2 Ib F 2 F F 2 2 0 H IH F ~ 2 R H W F LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IFUFRGS 23 de Janeiro de 2004, as 12:07 ` Exerccios Resolvidos de Optica Fsica i i Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fsica te rica, i o Doutor em Fsica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha i Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de Fsica i Mat ria para a TERCEIRA prova. Numeracao conforme a SEXTA edicao do livro e ~ ~ "Fundamentos de Fsica", Halliday, Resnick e Walker. i Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Conte udo 37 Relatividade 37.1 A relatividade do tempo . . . . . . . . . . . . . . 37.2 A relatividade das dist^ ncias . . . . . . . . . . . a 37.3 Algumas conseq encias das equacoes de Lorentz u^ ~ 37.4 A relatividade das velocidades . . . . . . . . . . 37.5 O efeito Doppler para a luz . . . . . . . . . . . . 37.6 Uma nova interpretacao da energia . . . . . . . . ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 4 4 4 5 Coment rios/Sugest~ es e Erros: favor enviar para a o jgallas @ if.ufrgs.br (listaq3.tex) P gina 1 de 5 a http://www.if.ufrgs.br/ jgallas LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IFUFRGS 23 de Janeiro de 2004, as 12:07 ` m 37.1 A relatividade do tempo E 38-3 (42-5/4 edicao) ~ O tempo m dio de vida de m ons estacion rios e e u a s. O tempo m dio de vida dos m ons de alta velocidade e u produzidos pelos raios c smicos e o s no referencial da Terra. Determine a velocidade em relacao a Terra dos ~ m ons produzidos pelos raios c smicos. u o (b) O intervalo de tempo para a passagem da espaconave e s P 38-12 (42-16/4 edicao) ~ (a) Uma pessoa seria capaz, em princpio, de viajar da i Terra at o centro da gal xia (que est a cerca de e a a anos-luz de dist^ ncia) em um tempo de vida normal? a Explique por qu^ , levando em conta a dilatacao dos teme ~ pos ou a contracao das dist^ ncias. (b) Com que velo~ a cidade constante a pessoa teria que viajar para fazer a o viagem em anos (tempo pr prio)? de onde tiramos que (a) Em princpio sim. Se a pessoa mover-se suficieni temente r pido, pelo argumento da dilatacao temporal, a ~ seu tempo de viagem medido na Terra e muito maior do O intervalo de tempo pr prio e medido por um rel gio que um tempo de vida usual. Por outro lado, usando o o ~ a em repouso em relacao ao m on. Ou seja, ~ u s o argumento da contracao do comprimento, a dist^ ncia que a pessoa necessita percorrer (medida em relacao a ~ ` e s. Isto nos fornece ent~ o a sua espaconave) e muito menor do que anos-luz. De ambos modos, concluimos que e possvel para a pes i soa alcancar o centro da gal xia no perodo normal de a i duracao de uma vida humana. ~ Portanto a velocidade do m on e u (b) Sabemos que E 38-11 (42-13/4 edicao) ~ (a) O comprimento de repouso m da espaconave e seu comprimento medido pela base ou, equivalentemente, est~ o relacionados atrav s da relacao a e ~ http://www.if.ufrgs.br/ jgallas &2 " # r & ) @ &2 & X " # 8 F F & ) & RIX 4 h Uma espaconave cujo comprimento de repouso e m passa por uma base espacial a uma velocidade de . (a) Qual e o comprimento da nave no referencial da ba se? (b) Qual e o intervalo de tempo registrado pelos tri- Substituindo os dados obtemos pulantes da base entre a passagem da proa e a passagem da popa da espaconave? P gina 2 de 5 a F X R 4 4 2 F F F CRIIX h 7 F RX 2 F F F 5IIRX d) F 37.2 A relatividade das dist^ ncias a onde o subndice i indica tempo e comprimentos pr prios (que n~ o s~ o medidos no mesmo sistema de reo a a fer^ ncia inercial!), ou seja e e anos. Sabemos tamb m que e , de modo que 4 r h h m/s F F F IRIX F F F IRIX `) d) &2 & ) F IX 2 Usamo a equacao da dilatacao temporal ~ ~ , onde e o intervalo de tempo pr prio, o ,e . Portanto, F %Y g 1e g 3H G & X G W W g e ysx 2 ) st($ onde c ba`T F Y X FT " Vw# ! IbvUuh F X T W g 1e W g e ysx F VT ) h 4 B g R e F fX F F X RpiCh c F Y X R%d0 4 H PIH h r $ " R& %# ! CG & F G W c F Y X Iba`VT @A4 8 " 9# 4 " & $%# ! 4 h & @ " E 8 # D($ 3 W H RR H 54 h 231)0($ '%# & $ " ! 7 FT VUS2 6$ qh H R H F 2 $ 0Q'0Q2 DC $ " & a# ! s9 37 Relatividade ,e . Portanto LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IFUFRGS 23 de Janeiro de 2004, as 12:07 ` Este e o resultado da solucao exata do problema. ~ E possvel obter-se uma resposta aproximada ao proi ~ blema que, por m, jamais dever ser aceita como subs- P 38-13 (42-14/4 edicao) e a titutivo para o resultado exato acima. Um astronauta parte da Terra e viaja com uma velociComo mostrado no exerccio 38-3 acima, temos i dade de em direcao a estrela Vega, que est a ~ ` a anos-luz de dist^ ncia. Quanto tempo ter passado, de a a acordo com os rel gios da Terra? (a) quando o astroo nauta chegar a Vega e (b) quando os observadores terO enunciado do problema nos diz que anos. restres receberem a notcia de que o astronauta chegou i Se soubessemos o valor de , bastaria substitui-lo na a Vega? (c) Qual e a diferenca entre o tempo de viagem f rmula acima para determinar , i.e. a relacao en- de acordo com os rel gios da Terra e o tempo de viagem o ~ o tre e . Determinar exatamente foi o que fize- de acordo com o rel gio de bordo? o mos acima, ao resolver o problema corretamente, sem aproximacoes. ~ (a) A dist^ ncia entre a Terra e Vega e a anosPodemos obter uma aproximacao do resultado se supu- luz. Portanto ~ sermos que a velocidade desconhecida da nave pode ser anos tomada como sendo a velocidade da luz. Tal hip tese o anos (incorreta!) nos induz a considerar e, portanto, obter da f rmula acima que o (b) Supondo que "as notcias" sejam ondas de r dio, que i a viajam com a velocidade da luz, elas demoram anos para alcancar a Terra. Portanto o tempo total, no refe rencial da Terra, e anos (c) O rel gio de bordo mede o tempo pr prio o o A diferenca aparece na casa decimal. Mas isto j e a , onde . Portanto, uma diferenca grande em tratando-se da velocidade da luz. anos Problema: determine explicitamente a express~ o exata a de que nos permite obter a resposta correta partindo da relacao ~ A diferenca e que enquanto no rel gio da Terra o passaram-se anos, no rel gio de bordo passaramo se apenas anos. Perceba claramente que a palavra "diferenca", no item Problema: usando o teorema da expans~ o binomial a (c) do enunciado do problema, de modo algum pede pa(Ap^ ndice E): e ra fazermos alguma subtracao entre os dois intervalos ~ de tempo, coisa que n~ o tem sentido fazer-se. a http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P gina 3 de 5 a XR3F X IX F vS g H3siH BH yg RIRIIH e g H H H H H H F F F F F F F F 3IRIRIIb g sy H e F 1IRF X F H g sy 7 H e h x 2 F & F " l %# Is9 H ie H R H e f X G 2 H R H j F H ie x 2 F Q 4 h 0& Desta express~ o obtemos que a v lido quando a , (a) perceba a relacao entre o ~ valor exato e o valor aproximado acima derivados (b) mostre que a aproximacao seguinte fornece-nos ~ x ) h 2 5 e f H R H X F 2 ) k4 X X RX F `gsH e eR3eRH gH Hyg RIIRIH H H H H H F F IIF H H 3 FRIIF F F H 3 7 & r F X I4 I FCIRX X F vQg H Rg IRIRIH H H H H H F F F IRIF H 3 H H RIH 7 @ FRFIIX F 8 # " F IX 7 F F F RIIX S4 & & & @ 4 8 " 9# 4 @ 4 8 # " 4 $ 7 7 6$ 6$ 2 ) f f I e 9 D9 e e uvT dW & g" T W E ($ 2 2 4 ) ) LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IFUFRGS 23 de Janeiro de 2004, as 12:07 ` 37.3 Algumas conseq encias das equacoes 37.4 A relatividade das velocidades u^ ~ de Lorentz E 38-24 (42-29/4 edicao) ~ E 38-17 (42-20/4 edicao) ~ A partir de medidas do deslocamento para o vermelho, os astr^ nomos chegaram a conclus~ o de que um certo o ` a quasar est se afastando da Terra a uma velocidaa de de . O quasar , que est na mesma direcao a ~ que , mas se encontra mais pr ximo da Terra, est se o a afastando a uma velocidade de . Qual seria a velocidade de afastamento de medida por um observador localizado em ? Um experimentador dispara simultaneamente duas l^ mpadas de flash, produzindo um grande clar~ o na oria a gem de seu referencial e um pequeno clar~ o no ponto a km. Um observador que est se movendo com a uma velocidade de no sentido positivo do eixo tamb m observa os clar~ es. (a) Qual e o intervalo de e o tempo entre os dois clar~ es, de acordo com o observao Chame de o referencial fixo na Terra e de o refedor? (b) De acordo com o observador, qual dos dois rencial fixo no quasar , movendo-se com velocidade clar~ es ocorreu primeiro? o em relacao a Terra. Desejamos encontrar a ~ ` (a) Suponha o primeiro flash em repouso no re- velocidade no referencial , fixo em , que corresferencial e chame de o referencial de repouso ponda a uma velocidade em relacao a Terra ~ ` do segundo observador. Os rel gios de nenhum des- (velocidade esta que, e claro, vem a ser a velocidade do o tes referenciais medem o intervalo de tempo pr prio quasar o como medida na Terra). Portanto, usando-se entre os flashes, de modo que precisamos usar uma a transformacao INVERSA da Eq. 38.28, vemos que a ~ transformacao de Lorentz completa. Usamos flashes co- velocidade de ~ medida em e loridos para fixar id ias. Seja o tempo e e a coordenada do flash azul, como medido no referencial . Neste caso, o tempo do flash azul medido no referencial e onde o sinal negativo indica que esta afastando-se de (i.e. movendo-se em direcao a Terra). ~ ` NOTA: leia o livro-texto e aprenda como, a partir da Eq. 38.28, obter a express~ o da transformacao INVER a ~ SA, acima usada. onde e Analogamente, seja o tempo e a coordenada do flash verde, como medido no referencial . Neste caso, o tempo do flash verde medido no referencial e 37.5 O efeito Doppler para a luz P 38-31 (42-36/4 edicao) ~ Uma espaconave est se afastando da Terra a uma ve a locidade de . Uma fonte luminosa na popa da nave Agora, subtraia a primeira transformacao de Lorentz da ~ nm) para os passageiros. Que cor segunda. Como os flashes disparam simultaneamente, parece azul ( teria a fonte para um observador terrestre que estivesse temos . Seja km e seja assistindo a partida da nave? ` . Ent~ o a Como a espaconave est se afastando da Terra temos a que, de acordo com a Eq. 38-30, onde http://www.if.ufrgs.br/ jgallas ) 2310($ ) nr v (b) Como e negativo, e maior do que verde dispara antes no referencial . . O flash e a freq encia no referencial da espaconave, u^ , e e a velocidade da espaconave em relacao a ~ ` P gina 4 de 5 a r E s 2 F r CI Q" &s 2 T R Vw# 2 F 2 FT " W g W 2 F " R %S2 F n z y x g 2 y 4x 2 F~| g Cz n & x $ $ " a# g F & x & x y x &23y%# | ) " ) " %| & x n }| F g 2 y x z n }| F 2 I F y x & x 2 F I {0) n | y x y 4x W m %jRVT F Y F X H e sy n om X RF 9 F X R q" r u0 w F Y %` " 1 c F%YdX " F T X IF vT W H e R3R W x m r & r s n om W x F 2 ) 0#s06$ @2 " 8 n p$ @ 2 " r tv 8 nr r sp$ FTq# ! " n om n v 2 x r v F &'$a"# ! 2 " 9 n 4 v$ n n n v%" rv0v4 r u n v4 m F X RUu n om LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IFUFRGS 23 de Janeiro de 2004, as 12:07 ` (a) Da Eq. 38.9 vemos que intervalos m dios de vie da [ou seja, que o tempo de vida m dia em repouso e e , viajando com velocidade ] est~ o relacionados do a Este comprimento de onda corresponde a uma cor seguinte modo: amarelo-esverdeada no espectro visvel. i 37.6 Uma nova interpretacao da energia ~ Portanto, temos P 38-38 (42-46/4 edicao) ~ Qual e o trabalho necess rio para fazer a velocidade de a um el tron aumentar (a) de e para e (b) de para ? Observe que o aumento de velocidade e o mesmo ( ) nos dois casos. Portanto, a velocidade pedida e . (a) O trabalho e dado pela diferenca das energias (b) Da Tabela 38.3 vemos que a energia de repouso dum cin ticas calculadas para cada uma das velocidades el tron vale e e keV. Portanto, para o m on a energia de u mencionadas. Da Eq. 38.49 sabemos que repouso e . Portanto, MeV Consequentemente, (c) Das Eqs. 38.51 e 38.52 temos que http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P gina 5 de 5 a 2 s P 38-44 (42-55/4 edicao) ~ MeV Vemos claramente que . Ou seja, quando estivermos andando com velocidades mais elevadas, custa bem mais mudar a velocidade de uma mesma quantidade ( no problema em quest~ o). a X0 & Ibg" & R0# T ! F F g W I 2 2 & & 2oVTq" & & T ! W W 2 T & & 2 Vq" & ! W MeV MeV I W X F PI " 2 & 2RXIRF I F IIRF 1e T & W " F " %# l & @ & F# l H " R H 8 & 2 H 2 PF F % (b) F G & 3H g F IbaY e f 2 C F Ib F b @ s s nm F e g 3H & H 8 # E " x1 @ 8 " D# $ " & %# ! F G`) T 2 FbaYI T F U & W W Ie ) @ RFvT g" x1 8 H 2 & t W q" T 7 & " # I 7 H ($ Terra. A freq encia e o comprimento de onda obedecem u^ a relacao ~ , de modo que se for o comprimento de onda visto na espaconave e o comprimento detec tado na Terra, ent~ o a , de onde tiramos que O tempo de vida m dio dos m ons em repouso e e u s. As medidas dos m ons produzidos em um acelerador u de partculas mostram que eles t^ m um tempo de vida i e de s. Determine (a) a velocidade, (b) a energia cin tica e (c) o momento destes m ons no referencial e u do laborat rio. A massa de um m on e o u vezes maior que a do el tron. e S " T & 0 2 F F " 2 & 2 RF 0 W RF qIPF vT & & F " & # l F " @ R # l 8 & " H 2 2 F H F " # F T F x Fq W g I x 7 $%# " E $ u 2 Ib F 2 F F 2 2 0 H IH F ~ 2 R H W F ...
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This note was uploaded on 04/30/2010 for the course EE 100 taught by Professor - during the Spring '10 term at Federal University of Technology.

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