Analise_Fourier

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Universidade Presbiteriana Mackenzie Escola de Engenharia e Tecnologia Marcos S. V. / Paulo A. G. Página (1) 1. Análise de Fourier Qualquer informação pode ser transmitida em fios variando-se alguma propriedade física tal como a voltagem ou a corrente. Isto pode ser feito representando-se o valor dessa voltagem ou corrente como uma função do tempo f (t ). Para isto deve-se modelar o comportamento do sinal e analisá-lo matematicamente. O matemático francês Jean Joseph Baptiste Fourier demonstrou, no início do século XIX, que qualquer função periódica com período T, pode ser construída somando-se um número (possivelmente infinito) de senos e cossenos, obedecendo a certas regras conhecidas como “condições de Dirichlet”. 2. Sinais Determinísticos São funções bem determinadas no tempo (ao contrário dos sinais aleatórios ) Sinais Determinísticos periódicos: Dada uma função f(t) = f(t +/- nT) com n = 0,1, 2,3,4,. .... sendo T = período Condições de Dirichlet: - f(t) é definida num intervalo (a, b) - Possui um número finito de máximos e mínimos - Possui um número finito de descontinuidades em (a, b) - Possui derivada à direita e à esquerda do ponto de descontinuidade Uma função periódica que obedece às condições de Dirichlet pode ser representada em séries de Fourier. I) Série trigonométrica de Fourier: ) ( )] ( ) cos( [ 2 a f(t) 0 0 1 n 0 I t n sen b t n a n n w w + + = = Sendo: 2 0 T p w =
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Universidade Presbiteriana Mackenzie Escola de Engenharia e Tecnologia Marcos S. V. / Paulo A. G. Página (2) Ou usa-se a representação: )] cos( [ E f(t) 0 1 n 0 n n t n E q w + + = = Sendo: 2 2 n 0 0 E , 2 n n b a a E + = = e ) -b ( arctg n 0 n a = q a) Propriedades da ortogonalidade do seno e do cosseno: (II) 0 d ) cos(n ) ( 2 0 2 0 = = q q q q p p d n sen (III) n 0 ) cos( ) cos( ) ( ) ( 2 0 2 0 ou m se n m se d n m d n sen m sen = = = p q q q q q q p p (IV) 0 ) ( ) cos( 2 0 = p q q q d n sen m b) Determinação dos coeficientes de Fourier: i. Cálculo de ao / 2 Integrando-se a expressão (I), tem-se: )] d( )} sen( ) cos( [ 2 a { ) f(t)d( 0 0 0 1 n 0 2 0 2 0 0 t t n b t n a t n n w w w w p p + + = = utilizando-se a relação (II), tem-se: ii. Cálculo de an Integrando-se a expressão (I), multiplicada por cos(n ϖ t), tem-se: )] t d( ) t n cos( )} t n sen( b ) t n cos( a [ 2 a { ) t d( ) t n f(t)cos( 0 0 0 n 0 1 n n 0 2 0 2 0 0 0 ϖ ϖ ϖ + ϖ + = ϖ ϖ = π π (V) ) t f(t)d( T 2 ) t f(t)d( 1 a T 0 2 0 0 0 = ϖ π = π
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Universidade Presbiteriana Mackenzie Escola de Engenharia e Tecnologia Marcos S. V. / Paulo A. G. Página (3) Utilizando-se as relações: (II), (III) e (IV), tem-se: 0 . a 0 ) t d( ) t n cos( ) t n sen( b )]} t d( ) t n cos( ) t n cos( a [ ) t d( ) t n cos( 2 a { ) t d( ) t n f(t)cos( n 0 0 0 n 0 0 0 1 n n 0 0 0 2 0 2 0 0 0 + π + = ϖ ϖ ϖ + ϖ ϖ ϖ + ϖ ϖ = ϖ ϖ = π π Então: (VI) ) d( ) f(t)cos( 2 ou ) d( ) f(t)cos( 1 T 0 0 2 0 0 0 = = t t n T t t n a n w w w p p iii. Cálculo de bn
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