INTEGRALES - I.T.Telecomunicaciones Curso 2000/2001 DPTO....

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I.T.Telecomunicaciones Curso 2000/2001 DPTO. MATEMÁTICA APLICADA Javier Martínez del Castillo Tema 5 Pág. 1 de 16 Tema 5: Aplicaciones de la integral Hasta ahora “únicamente” hemos aprendido a calcular integrales, sin plantearnos la utilidad que éstas pueden tener. Sin embargo, la integral definida es un método rápido para calcular áreas, volúmenes, longitudes, etc., lejos de los procesos lentos y laboriosos que empleaban los griegos. En física, su empleo es constante, al estudiar el movimiento, el trabajo, la electricidad. Ahora vamos a ilustrar las distintas aplicaciones que tiene el cálculo integral 1. Cálculo de áreas planas Tal cómo hemos visto antes, la integral definida es una generalización del proceso del cálculo de áreas. Ahora bien, el área de un recinto es siempre positiva, mientras que la integral puede ser positiva, negativa o nula. Por tanto, en la aplicación de la integral al cálculo de áreas, debe tenerse en cuenta el signo de cada uno de los recintos limitados por el eje OX , y tomar el valor absoluto de los mismos. Su suma es el área. Ejemplo 1 : a) Hallar el área de la región limitada por la curva yx = 2 , el eje OX y las rectas x = 2 y x = 4. b) Hallar el área de la región limitada por la curva yx x x =- - + 32 3 3 y el eje OX en el intervalo [] 13 ,. c) Hallar el área delimitada por la gráfica de = cos y el eje OX , en el intervalo 02 , π . Con escasas modificaciones podemos extender la aplicación de la integral definida para cubrir no sólo el área de la región bajo una curva, sino el de una región comprendida entre dos curvas. Por tanto, obtenemos el siguiente resultado : Teorema (Área de una región entre dos curvas): Si f y g son funciones continuas en ab , y se verifica que gx f x x () , ≤2200 , entonces el área de la región limitada por las gráficas de f g , y las rectas verticales xa = xb = , es : Af x g x d x a b () () Observaciones: a) Es importante darse cuenta de que la validez de la fórmula del área depende sólo de que f g sean continuas y de que . b) Las gráficas de f g pueden estar situadas de cualquier manera respecto del eje OX . c) Si, cómo suele ocurrir, unas veces se cumple que y otras veces que fx gx , entonces el área de la región comprendida entre f g sobre el intervalo , , viene dado por la fórmula: x g x d x a b
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I.T.Telecomunicaciones Curso 2000/2001 DPTO. MATEMÁTICA APLICADA Javier Martínez del Castillo Tema 5 Pág. 2 de 16 En la práctica, no se suele trabajar con el valor absoluto, puesto es más fácil dibujar las gráficas de f y g , calculando los puntos de intersección de ambas, y sumar una o más integrales para obtener el área deseada. Ejemplo 2: a) Hallar el área de la región limitada por fx x () = 2 y gx x = . b) Hallar el área de la región limitada por = 2 y x = 3 .
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This note was uploaded on 05/05/2010 for the course MATH 1 taught by Professor Ts during the Spring '10 term at Punjab Engineering College.

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