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Unformatted text preview: UFSM - Curso de F´ ısica FSC509 - MEC ˆ ANICA ESTAT ´ ISTICA Prof. Jos´ e Antˆ onio Trindade Borges da Costa 1 UNIDADE 01 - CONCEITOS ESTAT ´ ISTICOS B ´ ASICOS A distribui¸ c˜ ao binomial Queremos encontrar a probabilidade W ( n ) de que um evento caracterizado por uma probabilidade p ocorra n vezes em N tentativas. A probabilidade de uma dada seq¨uˆ encia de n 1 = n eventos e n 2 = N- n n˜ao eventos, onde cada evento ´ e independente dos anteriores, ´ e dada por pp...pqq...q = p n 1 q n 2 , onde q = p- 1 ´ e a probabilidade de n˜ ao-evento. Estamos interesados no n´umero total de vezes que ocorre o evento e n˜ ao na ordem com que este evento ocorre nas N tentativas. Este problema ´ e o mesmo que contar o n´umero de maneiras diferentes de acomodar N objetos dos quais n 1 s˜ ao indistingu´ ıveis e de um tipo, e n 2 s˜ ao indistingu´ ıveis e de outro, em um total de N = n 1 + n 2 lugares. Todos os N lugares podem ser ocupados de N ! maneiras. Uma vez que n 1 objetos s˜ ao indistingu´ ıveis, todas as suas n 1 ! permuta¸ c˜ oes levam ` a mesma situa¸ c˜ ao e, do mesmo modo, para n 2 . Dividindo o n´umero total de modos como os objetos podem ser acomodados, N !, pelo n´umero de permuta¸ c˜ oes irrelevantes, n 1 ! n 2 !, obtemos N ! n 1 ! n 2 ! . Finalmente, multiplicando a probabilidade de uma dada seq¨uˆ encia de n resultados em N tentativas pelo n´umero total de seq¨uˆ encias com o mesmo resultado, encontramos W ( n 1 ) = N ! n 1 ! n 2 ! p n 1 q n 2 (1) ou W ( n ) = N ! n !( N- n )! p n (1- p ) N- n (2) A Equa¸ c˜ ao (2) ´ e conhecida como distribui¸ c˜ ao binomial. Ela ´ e a base para o estudo de muitos problemas estat´ ısticos importantes. 1 http://w3.ufsm.br/juca e-mail: [email protected] 1 Problemas Resolvidos 2 1.1 - Qual ´ e a probabilidade de obter um total de 6 pontos ou menos com trˆ es dados ? (Ver tamb´ em Salinas[1], Cap. 2, Exerc´ ıcio 1, p.38) RESPOSTA 3 O resultado de cada dado ´ e um evento completamente independente do resultado dos outros dados. Portanto, a probabilidade de que o 1 o dado apresente um resultado, o 2 o dado apresente outro resultado e o 3 o dado ainda outro resultado ´ e simplesmente o produto das probabilidades de ocorrˆ encia de cada resultado em cada dado separadamente. N˜ ao estamos interessados no resultado de cada dado, mas sim no resultado total dos trˆ es dados. Por isso devemos levar em conta as diferentes maneiras como se obtˆ em resultados equivalentes. Assim, por exemplo, o resultado total 4 s´ o pode ser obtido se o resultado de dois dados for 1 e o do outro dado for 2. Das 6 poss´ ıveis permuta¸ c˜ oes dos resultados dos trˆ es dados, s˜ ao equivalentes aquelas em que se permutam os resultados iguais a 1 obtidos em dois dados. O n´umero de maneiras de se obter o resultado 4 ´ e, portanto, 3!/2!....
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This note was uploaded on 05/11/2010 for the course PHYSICS 1 taught by Professor Rodriguez during the Spring '10 term at University of the Sciences in Philadelphia.

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