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Escuela de Post Grado: Maestría en Estadística Aplicada Estadística Computacional Mg Sc Jaime Porras Cerrón Contenido Capítulo I: Teoría y Aplicación de Bootstrap 1. Aspectos Preliminares ± Muestra Aleatoria. ± Variables Aleatorias. ± Función de Distribución Acumulada. ± Función de Distribución Empírica. Propiedades ± Método de Estimación por sustitución ( plug in )
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1. Aspectos Preliminares ± Muestra Aleatoria: Sea la población U ={ 1 , U 2 ,…,U N } de unidades cada una de las cuales es igualmente probable de ser seleccionada en cualquier extracción al azar. Una muestra aleatoria S j ={ u j1, j2 ,…,u jn }d e tamaño n, es una colección de n unidades seleccionadas al azar de la población. ij : representa la i-ésima unidad muestral de perteneciente a la j-ésima muestra. 1. Aspectos Preliminares Básicamente lo que se selecciona son enteros entre 1 y con igual probabilidad (1/ ) de ser elegidos. Estos enteros definen los índices de las unidades seleccionadas en la muestra. Si estos enteros se pueden repetir se dice que la muestra es con reemplazo, caso contrario se dirá que es una muestra sin reemplazo.
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1. Aspectos Preliminares ± Otra definición de muestra aleatoria Se dice que las variables aleatorias X 1 ,X 2 ,…,X n forman una muestra aleatoria de tamaño si: ² Las i son variables aleatorias independientes. ² Toda tiene la misma distribución de probabilidad. Ejemplo 1: Extracción de muestras con reemplazo y sin reemplazo usando R. 1. Aspectos Preliminares ± Variables Aleatorias Es una función que asume sus valores de acuerdo a los resultados de un experimento aleatorio, es decir un experimento en donde hay incertidumbre acerca del resultado que ocurrirá al ejecutarse el experimento. Una variable aleatoria puede ser discreta o continua de acuerdo a su rango de valores, el cual es llamado espacio muestral, denotado por Ώ .
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1. Aspectos Preliminares Ejemplo 2: Un experimento aleatorio consiste en lanzar al mismo tiempo dos dados no cargados. Sea la variable aleatoria X: Número mayor que aparece en la cara superior de los dos dados. DADO 1 D A D O 2 123456 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) Ώ ={1,2,3,4,5,6} 1. Aspectos Preliminares Dado el experimento anterior se puede definir su función de probabilidad de la siguiente manera: X1 2 3 4 5 6 P(X=x) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36 P(X=x) 0.028 0.083 0.139 0.194 0.250 0.306 21 1,2,3,4,5,6 () 36 0 otro modo x x fx = =
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1. Aspectos Preliminares ± Función de Distribución Acumulada F x Sea X una variable aleatoria, la función de distribución acumulada esta dada por: para Consideremos una v.a X con función de distribución , entonces x 1 ,x 2 ,…,x n será llamada una muestraaleatoria de , si para todo i , xi = y las x i son independientes entre sí.
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