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FEbook1MAIN - THE FACTOR APPROACH TO DERIVATIVE PRICING The...

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THE FACTOR APPROACH TO DERIVATIVE PRICING The BIG Picture in a LITTLE Book James A. Primbs January 20, 2009
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Contents 1 Basic Building Blocks and Stochastic Differential Equation Models 1 1.1 Brownian Motion and Poisson Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Gaussian Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.3 Poisson Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.4 Poisson Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.5 Increments of Brownian Motion and Poisson Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Stochastic Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Differentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 The Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3 Compound Poisson Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.4 Ito Stochastic differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.5 Poisson Driven Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Ito’s Lemma 11 2.1 Ito’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.1 The chain rule of ordinary calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.2 Ito’s lemma for Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.3 Replacing dz 2 by dt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.4 Discussion of Ito’s lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Ito’s lemma for Poisson Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.1 Interpretation of Ito’s lemma for Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3 More versions of Ito’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3.1 Ito’s Lemma for Compound Poisson Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3.2 Ito’s Lemma for Brownian and Compound Poisson Processes . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3.3 Ito’s Lemma for vector processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4 Ito’s lemma, the product rule, and a rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.6 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 Standard Stochastic Differential Equations with Solutions 21 3.1 Geometric Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.1.1 Stock Price Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2 Geometric Poisson Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2.1 A conditional lognormal version of geometric Poisson Motion . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3 A jump-diffusion model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.4 A more general SDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.4.1 The Ornstein-Uhlenbeck Process and Mean Reversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 i
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ii CONTENTS 3.5 Cox-Ingersoll-Ross Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.7 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4 The Factor Approach to Arbitrage Pricing 29 4.1 The Factor Approach to Arbitrage Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.2 Returns and Factors Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.2.1 Returns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.2.2 Stochastic differential equations and factor models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.3 The Factor Approach to Arbitrage using Returns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.3.1 Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.3.2 Null and Range Space Relationship . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.3.3 A Useful Absence of Arbitrage Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.3.4 Interpretations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.3.5 A Problem with Returns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.4 The Factor Approach using Price Changes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.4.1 Price Changes and Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.4.2 Profit/Loss and Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.5 Two standard examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.5.1 Stocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.5.2 Futures contracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.7 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5 Constructing a Factor Pricing Framework 41 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.2 A Classification of Quantities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.2.1 Factors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.2.2 Underlying Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.2.3 Tradables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.2.4 A Derivative is a Tradable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.3 Factor Models for Underlying Variables and Tradables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.3.1 Direct Factor Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.3.2 Factor Models via Ito’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.4 Tradables tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.5 Applying the Price APT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.5.1 Relative Pricing and Marketed Tradables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.5.2 Pricing the Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.5.3 Underdetermined and Overdetermined Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.6 Three Step Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.7 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.8 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6 Application of the Factor Form: Equity Derivatives 49 6.1 Examples from Equity Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6.1.1 Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6.1.2 Dividend Paying Stocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 6.1.3 Cash Dividends . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 6.1.4 Poisson Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6.1.5 Options on Futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6.1.6 Jump diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.1.7 Exchange one asset for another . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
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CONTENTS iii 6.1.8 Stochastic volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 6.2 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 7
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