5-ARITMETICA 5to (1 - 16).pdf - MATERIAL DIDACTICO TIPEADO...

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Unformatted text preview: MATERIAL DIDACTICO TIPEADO COMPLETO, LIBROS Y COMPENDIOS EN CDS (TODO NIVEL) 2009-2015 MILES DE HOJAS TIPEADO EN: WORD (W) INICIAL--------PRIMARIA--------------SECUNDARIA PRE-UNIVERSITARIO: PIDA NUESTRO CATALOGO Y LISTADO Ubíquenos en: Av. Bolivia 384 – Cercado de Lima. Al frente de la telefónica (Movistar). 988961526 (movistar) Bienvenido a Facebook Correo: [email protected] Envíos Totalmente Garantizados A Todo El Perú Por Olva Courier, Otros. Los Productos se encuentran en ?#? LIMA? Envíos nacionales por ?#? Olva Courier? Pague en un Cuenta por agente!!! Por correo es gratis INTERBANK CUENTA...488-3040922894 BCP ---191—2885-0014—027 CORPORACIÓN EDUCATIVA Formando líderes, con una auténtica educación integral School´s Primero Quinto de Secundaria Aritmética Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solución de Presentación Didáctico uno de los mayores problemas de nuestro país, la educación, brindando una enseñanza de alta calidad. En ese sentido es pertinente definir públicamente la calidad asociándola a las distintas dimensiones de la formación de las personas: desarrollo cognitivo, emocional, social, creativo, etc. Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solución de uno de los Nuestra Institución School’s propone una perspectiva integral mayores problemas de nuestro país, laMentor educación, brindando una enseñanza de alta calidad. y moderna, ofreciendo una formación personalizada basada en principios Nuestra I.E. propone una perspectiva integral y moderna, ofreciendo estudiantes, una formación y valores; buscando el desarrollo integral de nuestros impulsando susprincipios capacidades parabuscando el éxito el endesarrollo la vida profesional. personalizada basada en y valores; integral de nuestros estudiantes, impulsando sus capacidades para el éxito en la vida profesional. Es por esta razón que nuestro trabajo para este año 2014 se da Estambién por esta razón que nuestro trabajo para este año 2013 sede da Guías tambienDidácticas con el trabajo de con el esfuerzo de los docentes a través que los docentes a través de que permitirán un mejor nivel académico y lograr permitirán unGuías mejorDidácticas nivel académico y lograr alcanzar la práctica que lo que que el alumno(a) requiere, requiere, porque nuestra metameta es: que es: alcanzar es la práctica es lo que el alumno(a) porque nuestra “Formar líderes con una auténtica “Formar líderesintegral” con una auténtica educación educación integral” Capítulo 1. Razones y Proporciones .......................................................... 9 Capítulo 2. Serie de Razones ...................................................................... 16 Capítulo 3. Promedios y Medias ............................................................... 23 Capítulo 4. Magnitudes Proporcionales .................................................... 29 Capítulo 5. Regla de Tres ............................................................................ 37 Capítulo 6. Porcentaje: Aplicaciones Comerciales .................................. 43 Capítulo 7. Regla de Interés ........................................................................ 53 Capítulo 8. Estadística ................................................................................. 61 Capítulo 9. Conjuntos .................................................................................. 73 Capítulo 10. Numeración .............................................................................. 84 Capítulo 11. Conteo de Números – Progresión Aritmetica ...................... 95 Capítulo 12. Método Combinatorio ............................................................. 106 Capítulo 13. Cuatro Operaciones ................................................................. 113 Capítulo 14. Divisibilidad : Principios y Criterios ..................................... 124 Capítulo 15. Números Primos - M.C.D. y M.C.M. .................................... 133 Capítulo 16. Números Racionales: Fracciones y Decimales .................... 142 Aritmética - 5to Sec. Capítulo 1 Razones y Proporciones RAZÓN Es la comparación de dos cantidades mediante una operación aritmética (sustracción – división) Interpretación La velocidad de A excede a la velocidad de B, tanto como la velocidad de C excede a la velocidad de D. RAZÓN ARITMÉTICA GEOMÉTRICA a =K b a–b=R a b Observación antecedente consecuente RyK La suma de La suma de = los extremos los medios Valores de las razones 20 + 15 = 18 + 17 ProporciÓn Es la igualdad en valor numérico de dos razones de la misma clase. Dependiendo de los términos medios se tendrá: En consecuencia se tiene dos clases de proporciones: Proporción Aritmética Discreta Cuando los términos medios son diferentes. 1. Proporción Aritmética Se forma al igualar dos razones aritméticas. Ejemplo: Ejemplo: Sean los siguientes datos: Auto Velocidad (m/s) A B C D 20 17 18 15 Comparando mediante la sustracción Proporción Aritmética 20 – 17 = 18 – 15 Términos medios Términos externos Formando líderes con una auténtica educación integral 15 – 11 = 20 – 16 Cuarta diferencial de 15; 11 y 20 Proporción Aritmética Continua Cuando los términos medios son iguales. Ejemplo: 24 – 19 = 19 – 14 Tercera diferencial de 24 y 19 Media diferencial o Media aritmética de 24 y 15 9 Aritmética - 5to Sec. Proporción Geométrica Discreta Cuando los valores de los términos medios son diferentes. En General PROPORCIÓN ARITMÉTICA DISCRETA CONTINUA Extremos Extremos a–b=c–d a–b=b–c Medios d: cuarta diferencial de a, b y c Ejemplo: 15 = 12 20 16 ← Cuarta proporcional de 15, 20 y 12 Medios b: media diferencial de ayc Proporción Geométrica Continua Cuando los valores de los términos medios son iguales. Ejemplo: c: tercera diferencial de ayb Media proporcional de 12 y 27 12 = 18 18 27 2. Proporción GEOMÉTRICA Tercera proporcional de 12 y 18 Se forma al igualar dos razones geométricas. Ejemplo: Sean los siguientes datos: Personas A B C D Edades (años) 18 12 15 10 En General PROPORCIÓN GEOMÉTRICA DISCRETA a b Comparando mediante la división: Donde: 18 y 10 son los extremos 12 y 15 son los términos medios. Interpretación: La edad de A es a la edad de B, como la edad de C es a la edad de D. El producto de El producto de = los extremos los medios 18 (10) (12) = 15 180 10 180 a d b d 18 = 15 = 3 12 10 2 Observación = CONTINUA c cuarta proporcional de a, b y c c b = b c media proporcional de a y c tercera proporciona de a y b Hipatia de Alejandría (370 – 415) Filósofa griega, nacida y muerta en Alejandría. Es la primera mujer de la que se tiene noticia que dedicó su vida a las matemáticas. Su muerte en el año 415 a manos de cristianos fanáticos marcó el ocaso de la escuela de Alejandría que inició sus actividades con Euclides (300 a.C.) y continuó con grandes matemáticos como Arquímedes, Apolonio o Pappus. La obra de Hypatía se centró en los comentarios sobre las obras de los matemáticos anteriormente citados y unos trabajos originales sobre curvas cónicas. Hypatía fue la última lumbrera de la biblioteca de Alejandría y su martirio estuvo muy legado de la misma. Formando líderes con una auténtica educación integral Aritmética - 5to Sec. Resolviendo en clase 1) Dos números son entre si como 7 es a 9; si el producto de dichos números es 252. Hallar el mayor. Rpta.: _______ 4) A una fiesta asistieron 140 personas entre hombres y mujeres. Por cada 3 mujeres hay 4 hombres. Si se retiran 20 parejas. ¿Cuál es la razón entre el número de mujeres y el número de hombres que se quedan en la fiesta? (UNI 1992) Rpta.: _______ 2) Dos números son proporcionales a 2 y 5 si se aumentan 175 a uno de ellos y 115 al otro se obtienen cantidades iguales. ¿Cual es el menor? (UNI 1970) Rpta.: _______ 3) Las edades de 2 personas están en relación de 5 a 7, dentro de 10 años la relación será de 3 a 4. Hace 10 años ¿cuál era la relación de sus edades? Rpta.: _______ 5) En un examen los problemas resueltos y no resueltos están en la relación de 2 es a 3. Dentro de los problemas contestados, el número de problemas resueltos correctamente y los que no ,están en la relación de 1 a 2. ¿Cuál es la relación de los problemas mal contestados con respecto al total? Rpta.: _______ 6) La razón de dos números es 3/4 y los 2/3 de su producto es 1152.Encontrar el mayor de los numeros. (UNI 1982–II) Rpta.: _______ Para Reforzar 1) Dos números son entre si como 5 es a 7. Si el producto de dichos números es 315, hallar el mayor. Rpta.: _______ 4) En una discoteca se observa que por cada 8 mujeres había 5 hombres, además el número de mujeres excede al número de hombres en 21. ¿Cuál es la nueva relación si se retira 16 parejas? Rpta.: _______ 2) Dos números son entre si como 8 es a 11. Si a uno de ellos se le aumenta en 30 unidades mientras que al otro se le disminuye 12; ambos números resultarian iguales. Hallar el mayor de dichos números. Rpta.: _______ 5) Si: Calcular: a b c = = 2 3 5 3a + 8b 2c − a − b Rpta.: _______ 3) El dinero que tiene Andrea es al dinero que tiene Cristina como 11 es a 7. si Andrea da $ 40 a Cristina ambas tendrían la misma cantidad. ¿Cuánto tiene Andrea? Rpta.: _______ Formando líderes con una auténtica educación integral 6) La razón de dos números es 5/7 y los 2/5 de su producto es 1 134. Encontrar el menor de los números. Rpta.: _______ 11 PROBLEMAS PARA CLASE N° 1 Para el profesor: 1 Para el alumno: Si la razón de la suma con la diferencia de 2 números enteros positivos es 5/3. ¿Cual es el número mayor si el producto es 64? (UNI 1990) a) 4 b) 8 d) 32 1 Si la razón de la suma con la diferencia de 2 números enteros positivos es 5/3. ¿Cuál es el número mayor, si su producto es 64? a) 4 b) 8 d) 32 c) 16 e) 64 Resolución: Resolución: Clave: 2 La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 7, 3 y 20. ¿Cuál es el menor de los números? a) 2 b) 2 d) 8 c) 16 e) 64 c) 4 e) 10 Clave: 2 La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 4; 2 y 15. ¿Cuál es el mayor de los números? a) 4 b) 10 d) 15 c) 14 e) 16 Resolución: Resolución: Clave: Clave: Aritmética - 5to Sec. 3 Calcular A + B + C sabiendo que: A es cuarta proporcional de 8, 18 y 20 B es tercera proporcional de A y 15 C es media proporcional de (A + B) y (B – 3) a) 4 b) 8 d) 12 3 Si «M» es la media proporcional de 25 y 9; «N» es la cuarta proporcional de 30, M y 8. Hallar «M + N» a) 10 b) 19 d) 25 c) 10 e) 16 c) 21 e) 30 Resolución: Resolución: Clave: 4 En una proporción geométrica continua la suma de los extremos es 90 y la diferencia de los mismos es 54. Hallar la media proporcional. a) 20 b) 30 d) 40 Clave: 4 c) 36 e) 50 En una P. G. continua la suma de los términos extremos es 29 y su diferencia 21. Hallar la media proporcional. a) 24 b) 16 d) 8 c) 10 e) 12 Resolución: Resolución: Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral Clave: 13 Aritmética - 5to Sec. 5 La suma de los 4 terminos de una proporción geometrica continua es 9. Si la diferencia de sus extremos es 3. Hallar el producto de los cuatro términos. (UNI 1990) a) 8 b) 16 d) 64 5 c) 32 e) 100 La suma de los 4 términos de una proporción geómetrica contínua es 32. Si la diferencia de sus extremos es 16. Hallar el producto de los 4 términos. a) 1 000 b) 1 200 d) 1 400 Resolución: Resolución: Clave: 6 Tres números A, B, C están en relación directa a 5, 7 y 11. Si sumamos a dichos números respectivamente 130, 260 y n, la nueva relación directa es como 13, 17 y 19. Determine n.(UNI 2010–II) a) 600 b) 900 d) 1 800 c) 1 296 e) 1 800 c) 910 e) 2 000 Clave: 6 Si: Además: a + b + c = 525 Hallar «d» a b c d = = = 7 13 15 19 a) 280 b) 285 d) 400 c) 300 e) 525 Resolución: Resolución: Clave: 14 Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral Aritmética - 5to Sec. 7 La edad de A y B son entre sí como 5 es a 4. La razón entre las edades de B y C es 3/7. Si la suma de las edades de las tres personas es 165. Entonces la diferencia entre la edad del mayor y menor es: a) 20 b) 30 d) 48 7 Si: A 7 B 2 = y = B 5 C 3 c) 45 e) 60 Además: A + 2B + C = 147 Halle "C" a) 6 b) 9 d) 45 Resolución: Resolución: Clave: 8 Hallar la suma de los 4 términos de una proporción geométrica continua si se sabe que la suma de sus términos extremos es a su diferencia como 17 es a 15 y la diferencia entre el tercer término y la razón es 24. a) 100 b) 120 d) 180 c) 30 e) 42 Clave: 8 c) 175 e) 700 En una proporción geométrica continua, la suma de las raíces cuadradas de los extremos es 7. Si la diferencia de los extremos es 7. Determinar el valor de la media proporcional. a) 8 b) 10 d) 16 c) 64 e) 12 Resolución: Resolución: Clave: Clave: NOTA Sello y Firma del Profesor Formando líderes con una auténtica educación integral 15 Aritmética - 5to Sec. Capítulo Serie de Razones Geométricas Equivalentes 2 OBJETIVOS: * Reconocer los elementos de una serie de razones geométricas equivalentes. * Construir una S.R.G.E. dado un conjunto de números. * Aplicar las propiedades adecuadamente. Introducción Ejemplo: 12 1 4 1 25 1 20 1 = ; = ; = ; = 24 2 8 2 50 2 40 2 Supongamos que tenemos tres toneles cuyas capacidades son proporcionales a los números 3; 5 y 8. Esto quiere decir que sus capacidades podrían ser: Igualando: 3x20 = 60 litros 5x20 = 100 litros 8x20 = 160 litros 12 4 25 20 1 = = = = 24 8 50 40 2 o también Serie de razones 3x25 = 75 litros 5x25 = 125 litros 8x25 = 200 litros Valor de la razón En general, podemos escribir: Como podemos ver existen muchas opciones, pero los volúmenes siguen guardando la misma proporción. Si “A” es la capacidad del primer tonel, “B” la del segundo y “C” la del tercero, podremos escribir las razones geométricas. A B C = = =K 3 5 8 a1 a2 a3 a ... n c1 = c2 = c3 = = cn =K Donde: a1,a2,a3, ........., an : Antecedentes c1,c2,c3, ........., cn : Consecuentes K : Constante de porporcionalidad o valor de la razón. PROPIEDADES A la que denominaremos serie de razones geométricas equivalentes (S.R.G.E.) serie de razones geomÉtricas equivalentes Suma de antecedentes Suma de consecuentes =Cte. de proporcionalidad Es decir: Es la igualdad de dos o más razones geométricas que tienen el mismo valor. 16 Propiedad 1 a1+a2+a3+...+an c1+c2+c3+...+cn =K Formando líderes con una auténtica educación integral Aritmética - 5to Sec. 84 =K → K=7 12 Ejemplo: 12 4 25 20 = = = 24 8 50 40 Luego: c =K=7 10 c=70 ⇒ 12+4+25+20 24+8+50+40 = 61 1 = 122 2 d =K=7 12 d=84 Ejercicio 2 Si se cumple que: J E S I 4 = = = = =K 972 J E S 1 Propiedad 2 Producto de antecedentes Producto de consecuentes =(Cte. de proporcionalidad)n Donde “n” es el número de antecedentes o consecuentes que se multiplican. Es decir: a1. a2. a3. ... an n c1. c2. c3. ... cn =K halla: “J+E+S+I” Resolución Si observamos con cuidado veremos que cada letra aparece como antecedente y consecuente de las diferentes razones, entonces si multiplicamos todos los antecedentes y todos los consecuentes resultará: 5 J.E.S.I.4 =K 972.J.E.S.I Ejemplo: 5 4 =K 972 12 4 25 20 = = = 24 8 50 40 ⇒ 12 x 4 x 25 x 20 = 1 24 x 8 x 50 x 40 2 4 5 1 1 =K → K= 243 3 Luego podemos escribir : observaciÓn: 324 Una serie de razones geométricas de la forma: a b c d ... = = = = =K b c d e Se denomina serie de razones geométricas continuas. En esta serie continua también se cumplen las propiedades mencionadas. 108 36 12 J E S I 4 1 = = = = = 972 J E S 1 3 324 108 36 12 ⇒ J + E + S +I=324+108+36+12 J + E + S +I=480 Ejercicio 1 En una serie de razones geométricas, los consecuentes son 5; 7; 10 y 12. Si la suma de los dos primeros antecedentes es 84; halla los otros antecedentes. Resolución Formamos la serie con los datos proporcionados: a b c d = = = =K ; a+b= 84 5 7 10 12 Por el dato que nos dan (suma) aplicamos la propiedad 1: a+b =K 5+7 Formando líderes con una auténtica educación integral El saldo de la cuenta de Rogelio Mi amigo Rogelio tiene una gran afición a las matemáticas. Su obsesión son los números. Vive siempre con su mente ocupada al menos por una docena de dígitos. El otro día descubrió una curiosa relación. Comprobó que los núneros de su casa y los de las casas de sus amigas Silvia y Lucía eran primos consecutivos. Si se multiplicaban los tres entre sí, el resultado era el saldo de su cuenta bancaria. La casa de Rogelio está entre las de Silvia y Lucía. El saldo de la cuenta comienza con 6 y tiene un total de cinco cifras. ¿Cuál es el número de la casa de Rogelio y el saldo de su cuenta en el banco? 17 Aritmética - 5to Sec. Resolviendo en clase 1) Dada la serie: 4) Los antecedentes de una serie de razones geométricas equivalentes son 7; 10; 12 y 15. Si el producto de los dos primeros consecuentes es 1120, halla la diferencia de los dos últimos consecuentes. a b c = = 6 8 18 Se cumple: a.b.c=2916 halla “a+b+c” Rpta.: _______ Rpta.: _______ 5) Si en la serie: 2) Si se cumple: a b c d = = = 15 12+n 10-n 7 a 20 18 8 = = = 15 b 27 c halla “a+b+c” se cumple: a+b+c-d=120, halla: “a.d” Rpta.: _______ 3) Los volúmenes de tres recipientes son proporcionales a los números 4; 5 y 10. Si la suma de los cuadrados de los dos menores volúmenes es 656, halla el volumen mayor. Rpta.: _______ 6) Si a b c d = = = y 3 4 6 7 a . c . b + b . c . d=6480, halla “a+b+c+d”. Rpta.: _______ Rpta.: _______ Para Reforzar 1) En la serie: 4) Los antecedentes de varias razones equivalentes son: 3; 4; 5 y 6. Si la suma de los dos primeros consecuentes es 28, halla los 2 últimos. a b c d = = = 5 7 9 10 Rpta.: _______ Se cumple: a.c=405, halla “b+d” Rpta.: _______ 2) Si a b c d = = = 3 5 8 6 a+b=48, halla “c.d” 5) En la siguiente serie: Rpta.: _______ 18 calcula “a+b” Rpta.: _______ 6) Si: Rpta.: _______ 3) Tres números son entre sí como 7; 11 y 13, tales que el segundo más el cuádruplo del primero suman 17. Calcula el valor del tercero. 3a+b 34 - b a+b = = 9 7 4 a b c d = = = y 5 6 7 8 a . b . c + b . c . d = 34944; halla "a + b + c +d". Rpta.: _______ Formando líderes con una auténtica educación integral Aritmética - 5to Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 2 Para el profesor: 1 Para el alumno: 1 Dada la serie : a = b = c 3 5 7 Si: a b c d = = = 4 7 8 9 Además: ab + cd = 1 600. Halle "b" (UNFV 2001-II) a) 16 b) 28 d) 36 c) 32 e) 40 y a.b+a.c+b.c=639, halla “a.b.c” a) 3215 b) 2415 d) 4328 c) 3432 e) 2835 Resolución: Resolución: Clave: 2 Si: Hallar: acf d) 2 a c e R2 = = = k 2 y bde = 2 ( R > 0 ) b d f K a) R (UNI 1995-II) b) R K R c) R/K e) Clave: a c e , = = b d f para la que a2+c2+e2=324, calcula 2 ab+cd+ef M= 3 b2+d2+f2 a) 12 b) 15 d) 24 K Resolución: Dada la serie: c) 18 e) 32 Resolución: Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral Clave: 19 Aritmética - 5to Sec. 3 E= 3 Si: a/5 = b/7 = c/11 y a2 + 2b2 -c2 = 50, calcula: a+b+30 c-25 a) 1 b) 2 d) 4 c) 3 e) N. A. Si a b c y = = 2 7 9 a2+b2+c2=1206, halla “a+b+c” a) 36 b) 45 d) 54 Resolución: Resolución: Clave: 4 Clave: En una serie de razones iguales, los antecedentes son 3; 5; 6 y 9; y el producto de los consecuentes es 65610. Halla la suma de los consecuentes. 4 En una serie de razones equivalentes, los antecedentes son 2, 3 y 7. Si el producto de los consecuentes es 2688, halla la suma de estos. a) 72 b) 81 d) 48 a) 36 b) 48 d) 72 c) 69 e) 92 c) 54 e) 108 Resolución: Resolución: Clave: 20 c) 58 e) 72 Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral Aritmética - 5to Sec. 5 Si se cumple: K A R Y 2 , = = = = 64 K A R Y halla: “K+A+R+Y” a) 50 b) 60 d) 100 c) 80 e) 120 5 Dada la serie : J O S E 3 = = = = 96 J O S E halla J + O + S + E. a) 60 b) 75 d) 125 Resolución: Resolución: Clave: 6 Clave: Si se cumple: 6 a b c ; a.b.c 1 = = = d e f d.e.f 27 A B C D = = = y a b c d A.B.C.D = 4096, a.b.c.d halla: M= a2+b2+c2 . a3+b3+c3 d3+e3+f3 d2+e2+f2 a) 1 b) 1 3 6 1 d) 27 c) 100 e) 90 Dada la serie de razones: halla c) 1 9 e) 1 81 M= A10+B10+C10+D10 a10+b10+c10+d10 a) 210 b) 215 20 d) 2 c) 2 e) 230 Resolución: Resolución: Clave: Formando líderes con una auténtica educación integral Clave: 21 Aritmética - 5to Sec. 7 En la siguiente serie de razones equivalentes: A B C D = = = m n p q a) 105 b) 210 d) 31...
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