C\u00e1lculo integral de varias variables.pdf - C\u00b4alculo integral de varias variables Javier P\u00b4aez C\u00b4ardenas J P\u00b4 aez ii \u00b4Indice General Introducci\u00b4

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Unformatted text preview: C´alculo integral de varias variables Javier P´aez C´ardenas J. P´ aez ii ´Indice General Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Integral de Riemann 1.1 Los primeros pasos . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Construcci´ on de la integral de Riemann . . 1.3 Propiedades de la integral de Riemann . . . 1.4 Medida de Jordan . . . . . . . . . . . . . . 1.5 La integral sobre conjuntos Jordan-medibles 1.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v . . . . . . 1 1 3 12 24 35 38 2 Calculando integrales 2.1 Integrales iteradas . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Calculando integrales sobre otros conjuntos 2.3 El Teorema de Cambio de Variable . . . . . 2.4 Algunos cambios de variable . . . . . . . . . 2.4.1 Cambio a coordenadas polares . . . 2.4.2 Cambio a coordenadas cil´ındricas . . 2.4.3 Cambio a coordenadas esf´ericas . . . 2.5 Masa y centro de masa . . . . . . . . . . . . 2.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 43 54 62 71 71 75 79 83 95 3 Integrando sobre curvas 3.1 Curvas y trayectorias . . . . . . . . . . . . . 3.2 Integrando funciones escalares . . . . . . . . 3.3 Integrando funciones vectoriales . . . . . . . 3.4 Campos conservativos (primera parte) . . . 3.5 El rotacional en el plano . . . . . . . . . . . 3.5.1 El teorema de Green . . . . . . . . . 3.5.2 El rotacional en coordenadas polares 3.6 La divergencia en el plano . . . . . . . . . . 3.7 El rotacional en el espacio . . . . . . . . . . 3.8 Campos conservativos (segunda parte) . . . 3.9 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 103 108 116 122 132 141 151 156 162 172 179 4 Integrando sobre superficies 4.1 Superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 4.1.1 Area de una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Integrando funciones escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii 185 . 185 . 196 . 199 ´ Indice General 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 Integrando funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Campos vectoriales y sistemas coordenados no cartesianos 4.4.2 El rotacional en coordenadas esf´ericas . . . . . . . . . . . Campos solenoides (primera parte) . . . . . . . . . . . . . . . . . Divergencia y teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . Campos solenoides (segunda parte) . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Formas: el concepto que unifica 5.1 Formas b´ asicas . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Formas diferenciables . . . . . . . . . . . . . 5.3 Diferenciales exactas (primera parte) . . . . 5.4 p−variedades parametrizadas . . . . . . . . 5.5 Integrando formas . . . . . . . . . . . . . . 5.6 El Gran Teorema Fundamental del C´ alculo 5.7 Diferenciales exactas (segunda parte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 206 220 222 225 228 244 247 . . . . . . . 255 . 255 . 259 . 267 . 270 . 273 . 283 . 286 A El Teorema de Lebesgue 291 ´ Indice de materias 299 J. P´ aez iv Introducci´ on Este texto trata sobre algunos de los distintos conceptos de integraci´ on que existen para funciones de varias variables, tema que constituye el n´ ucleo central del curso de C´ alculo Diferencial e Integral IV que se imparte en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Aut´onoma de M´exico. Dado que el curso de C´ alculo Diferencial e Integral IV es un curso de matem´ aticas que forma parte del tronco com´ un de materias de cuatro de las cinco licenciaturas que se ofrecen en la Facultad, el objetivo principal de este texto es el de exponer los conceptos y resultados matem´ aticos relacionados con el tema de la integral de funciones de varias variables. En general, casi todos los conceptos que aqu´ı se exponen se tratan de motivar a partir de problemas espec´ıficos, la mayor´ıa de ellos tomados de la f´ısica o de la geometr´ıa. De esta forma, las definiciones de rotacional o de divergencia, se obtienen como resultado del intento de medir “la rotaci´ on producida” por un campo de fuerzas o “la expansi´ on (o contracci´ on)” de un flu´ıdo. Una vez hecho lo anterior, se camina hacia la obtenci´ on de los resultados que reflejen las estructuras matem´ aticas subyacentes a estos conceptos. Es importante mencionar que, aun cuando el objetivo es mantener un nivel de rigor y formalismo matem´ atico adecuado a lo largo de todo el texto, hay conceptos y resultados que se discuten en t´erminos puramente “intuitivos” en virtud del espacio y tiempo que habr´ıa que dedicarles a su formalizaci´on. En este sentido, su definici´on rigurosa y la prueba de algunos teoremas no se incluyen en este texto y s´ olo se mencionan con la intenci´ on de que el estudiante los conozca y tenga una visi´on m´ as global del tema en cuesti´ on. Este texto est´ a dirigido a aquellos estudiantes que ya han pasado por los primeros tres cursos de C´ alculo de la Facultad, lo que significa que se parte del supuesto de que conocen y manejan el C´ alculo diferencial e integral de funciones de una variable y el C´ alculo diferencial de funciones de varias variables, adem´ as de los cursos b´ asicos de Geometr´ıa Anal´ıtica, Algebra Superior y un primer curso de Algebra Lineal. El texto est´ a organizado en cinco cap´ıtulos y a continuaci´ on se da una somera y r´ apida descripci´on del contenido de cada uno de ellos. En el primero se aborda el tema de la integral de Riemann para funciones de varias variables y valores reales. Se hace la construcci´on formal de este concepto y despu´es se usa para introducir el de medida de Jordan de subconjuntos de Rn . Una vez hecho lo anterior, se extiende el concepto de integral de Riemann justo a los conjuntos Jordan-medibles. El segundo cap´ıtulo se dedica al desarrollo de las herramientas que permiten el c´alculo de integrales. Los resultados m´ as importantes de este cap´ıtulo son el teorema de Fubini y el teorema de Cambio de Variable, y es justo en el caso de este u ´ltimo teorema, la primera vez que no se incluye la prueba de un resultado. A cambio de ella, se hace un an´ alisis detallado de c´omo se aplica este teorema y su relaci´ on con los diferentes sistemas coordenados que suelen usarse con m´ as frecuencia, tanto en R2 (polares) como en R3 (cil´ındricas y esf´ericas). El cap´ıtulo concluye con una secci´ on en la que se muestra c´ omo usar toda esta herramienta para obtener la masa de un objeto, y c´ omo definir y calcular su centro de masa. v Introducci´ on En el tercer cap´ıtulo se aborda el estudio de lo que tradicionalmente se concoce como C´ alculo Vectorial. Comienza con el tema de la Integral de L´ınea, iniciando con una revisi´on del concepto de curva y algunos temas relacionados con ´estas, como el de longitud de curva. A continuaci´ on, se define la integral de l´ınea de una funci´ on de valores reales (o campos escalares) a partir del problema del c´alculo de la masa total de un alambre no homog´eneo, y adem´ as de sus propiedades estrictamente matem´ aticas, se ve c´ omo este tipo de integrales tambi´en se pueden usar para el c´alculo de ´areas. En la siguiente secci´ on, se introduce la integral de l´ınea de una funci´on de valores vectoriales (o campos vectoriares) a partir del concepto de trabajo. Con base en este mismo concepto y el problema de saber si ´este depende de la curva (o trayectoria) que se siga, se aborda la cuesti´ on de los campos conservativos (o campos gradiente, su equivalente en t´erminos matem´ aticos). Para abordar este problema, en la siguiente secci´ on se desarrolla el concepto de rotacional y divergencia en el plano y se deduce uno de los tres teoremas m´ as importantes del C´ alculo Vectorial, el teorema de Green. En la siguiente secci´ on se extiende el concepto de rotacional para campos en el espacio y se concluye el cap´ıtulo con una secci´ on en la que se dan un par de teoremas que responden al problema de los campos conservativos. En el cap´ıtulo cuatro se aborda el tema de la Integral de Superficie, y se organiza de forma similar al cap´ıtulo de la integral de l´ınea. Comienza con la definici´on de lo que se entender´a por una superficie y se analizan algunas de sus principales caracter´ısticas. A continuaci´ on, se define la integral de superficie de una funci´ on de valores reales (o campos escalares) a partir del problema del c´alculo de la masa total de una l´ amina no homog´enea, y se dan algunas de las propiedades b´ asicas de este concepto. En la siguiente secci´ on, se introduce la integral de superficie de una funci´ on de valores vectoriales (o campos vectoriares) a partir del problema de encontrar una forma de medir qu´e tanto se expande un fluido a trav´es de una superficie. Dado que desde el cap´ıtulo tres ya se cuenta con el concepto de rotacional en el espacio, y una vez que ya se defini´o la integral de superficie de campos vectoriales, se tienen todos los elementos necesarios para abordar otro de los teoremas m´ as importantes del C´ alculo Vectorial: el teorema de Stokes. Con base en este teorema, se plantea el problema de determinar cu´ ando un campo vectorial es un campo solenoide, es decir, cu´ ando un campo vectorial coincide con ser el rotacional de otro campo. Con el fin de resolverlo, en la siguiente secci´ on se introduce el concepto de divergencia de un campo vectorial y se presenta el tercer teorema m´ as importante del C´ aculo Vectorial: el teorema de Gauss. Una vez hecho lo anterior, en la u ´ltima secci´ on de este cap´ıtulo se regresa al problema de los campos solenoides, y se dan un par de teoremas que lo resuelven. Finalmente, en el quinto cap´ıtulo se desarrolla de una manera m´ as descriptiva y menos formal, el tema de las formas diferenciables. El objetivo principal de este cap´ıtulo es mostrar c´omo el concepto de forma diferenciable unifica los conceptos y resultados que se desarrollaron en los cap´ıtulos anteriores. Comienza con la descripci´ on y definici´on de las p−formas b´ asicas para despu´es dar paso a la de p−forma y lo que significa la derivada de esta clase de objetos, dando lugar al concepto de forma diferenciable. Una vez hecho lo anterior, se muestra que el rotacional y la divergencia se pueden ver como un caso particular de derivaci´on de ciertas p−formas y se ve que el problema de los campos conservativos y los campos solenoides, son un caso particular de un problema m´ as general: el problema de las diferenciales exactas. Con el fin de abordar este problema, en las siguientes secciones se introduce el concepto de p−variedad parametrizada (como una generalizaci´ on de los de curva y superficie) y se define la integral de una p−forma sobre una p−variedad parametrizada, mostrando que las integrales de l´ınea y de superficie de campos vectoriales, se pueden ver como un caso particular de este tipo de integral. Una vez que se cuenta con todo este material, se tiene todo lo necesario para formular el que bien podr´ıa ser calificado como el teorema m´ as importante de todo este texto, y que aqu´ı se prefiere bautizar con el nombre de: “el Gran Teorema Fundamental del C´ alculo” (y que en la literatura tradicional se le conoce con el nombre de teorema de Stokes). J. P´ aez vi Introducci´ on Despu´es de mostrar que los teoremas de Green, Stokes y Gauss son casos particulares de este gran teorema, en la u ´ltima secci´ on se formulan un par de resultados que dan respuesta al problema de las diferenciales exactas. Es importante mencionar que en este cap´ıtulo no se incluy´o una lista de problemas, en virtud de que su objetivo s´ olo es el de proporcionar un panorama general de la estructura matem´ atica que subyace a todos estos temas. Agradecimientos Este trabajo ha sido escrito despu´es de haber impartido en la Facultad de Ciencias de la UNAM, en varias ocasiones y a lo largo de varios a˜ nos, el curso de C´ alculo Diferencial e Integral IV. Por esta raz´ on, las primeras personas a las que quiero agradecer su “colaboraci´ on”, son todos aquellos estudiantes que me permitieron hablarles de estos temas y aprehenderlos junto con ellos. Para los que no tenemos mucha habilidad para escribir, nos resultan muy importantes aquellos que conf´ıan en que s´ı podemos hacerlo y nos impulsan (o nos “obligan”) a intentarlo. Para este libro, a quienes tengo que agradecer que hayan jugado ese importante papel son: Ana Irene (Ram´ırez) y H´ector (M´endez Lango). Una vez que se ha logrado escribir los primeros borradores de un libro como este, el que algunas personas se tomen el (a veces ingrato) trabajo de leerlos, es algo que uno realmente aprecia mucho. En este aspecto, todav´ıa tengo una deuda de agradecimiento con el profesor “Marmol” (Quico Marmolejo), quien ley´o y cuestion´o constructivamente una buena parte del material contenido en esta obra. No conforme con lo anterior, adem´ as tuvo la generosidad de darse a la tarea de realizar un buen n´ umero de las figuras que ilustran este texto (y que seguramente el lector podr´ a identificar f´acilmente porque son las que est´ an mejor hechas). Adem´as del profesor “Marmol”, tambi´en tuve la suerte de que Ceci (Neve) y Erik (Schwarz), un par de ex-alumnos, se dieran a la tarea de leer minuciosamente la totalidad (o parte) de este trabajo, haci´endome una buena cantidad de importantes sugerencias, y marc´ andome un buen n´ umero de errores tipogr´ aficos. Para ellos, mi m´ as sincero agradecimiento. Muchas otras personas me han hecho observaciones o me han ayudado con la siempre dif´ıcil tarea de darle un buen “formato” a este libro (¡ingrato LATEX!); ser´ıa muy largo mencionarlas a todas, pero no por ello quiero dejar de expresarles mi agradecimiento por su valiosa ayuda. vii J. P´ aez Introducci´ on J. P´ aez viii Cap´ıtulo 1 Integral de Riemann 1.1 Los primeros pasos Del mismo modo que para el caso real, el concepto de integral de Riemann1 de funciones de varias variables (y valores reales), encuentra su motivaci´on en problemas de diversa ´ındole. Por ejemplo, sup´ongase que se tiene una l´ amina de metal cuyo grosor no es homog´eneo. Supongamos que tenemos la suerte de contar con una funci´ on ρ que nos dice cu´ al es la “densidad” de la l´amina en cada uno de sus puntos (es decir, una funci´ on que en “cada punto P de la l´amina” nos asocia un n´ umero real ρ(P ) que nos indica la “cantidad de masa (por unidad de ´area) contenida alrededor de dicho punto”). La pregunta ser´ıa entonces: ¿c´omo, a partir de esta funci´on ρ, podr´ıamos saber la masa total de la l´amina? Supongamos por ahora que la l´amina tiene la forma de un rect´ angulo R (v´ease la figura 1.1). ✭✭ ✭✭ ✭✭ ✭✭ ✭✭ ✭✭ ✭✭ ✭✭ ✭✭ Ri p•i ✶✶ ✶✶ ✶✶ ✶✶ ✶✶ ✶✶ ✶✶ ✶✶ ✶✶ ✶✶ Figura 1.1: L´amina rectangular Si a este rect´ angulo R lo subdividimos en rect´ angulos m´ as peque˜ nos, R1 , . . . , Rk y en cada uno de estos subrect´angulos escogemos cualesquiera puntos p1 , . . . , pk , entonces el producto ρ(pi )· a ´rea(Ri ) nos dar´ıa un valor aproximado de la cantidad de masa contenida en el pedazo de l´amina representado por el subrect´angulo Ri (obs´ervese que en t´erminos de unidades, todo est´ a bien, ya que la densidad se mide en unidades de masa por (o sobre) unidades de ´area, que al multiplicarlas por el ´area de Ri , obtenemos unidades de masa). As´ı, una aproximaci´on a la masa total de la l´amina (representada por el rect´ angulo R) estar´ıa dada por k X i=1 ρ(pi ) · a ´rea(Ri ) 1 (1.1) Georg Friedrich Bernhard Riemann (17 de septiembre de 1826 - 20 de junio de 1866) fue un matem´ atico alem´ an que realiz´ o contribuciones muy importantes en an´ alisis y geometr´ıa diferencial. 1 1.1. Los primeros pasos Es un hecho claro que, si los subrect´angulos en los que subdividimos al rect´ angulo R son cada vez m´ as peque˜ nos, las diferentes sumas que obtenemos se aproximan “mejor” a la masa de la l´amina. Es decir, es “intuitivamente claro” que estas sumas deben aproximarse (en la medida en que nuestra subdivisi´on sea cada vez “m´ as fina”) a un valor espec´ıfico. Si s´ olo pensamos a ρ como una funci´on que asigna valores positivos (independientemente de que ´estos representen una densidad de masa), la expresi´ on 1.1 tiene un significado geom´etrico muy espec´ıfico. Si nos fijamos en la gr´ afica de la funci´on ρ (que en este caso es una superficie en R3 ubicada por arriba del plano XY , como se muestra en la figura 1.2), la cantidad ρ(pi ) · a ´rea(Ri ) representa el volumen de un paralelep´ıpedo cuya base es el rect´ angulo Ri y altura ρ(pi ). As´ı, la suma de la expresi´ on 1.1 tambi´en se puede interpretar como una aproximaci´on al volumen que hay por arriba del rect´ angulo R y por debajo de la gr´ afica de ρ. En este sentido, podemos decir que, el problema del c´ alculo de la masa total de nuestra l´amina, se puede “cambiar” por el problema de calcular el volumen de una cierta regi´ on. Este enfoque geom´etrico ser´ a el que seguiremos de aqu´ı en adelante para dar un significado m´ as preciso a las ideas expresadas en los p´ arrafos anteriores. Z O ... .............. . . . . . . ..... ............ ✝✝ • ✄✄ ✄✄ R ✄ ✄ ⑦⑦ ✄✄ ⑦ ✄ ✄ ⑦⑦ ✄✄ ⑦⑦ ✄ ⑦ ✄ X⑦⑦ ⑦ ✄✄ ✟✟ i ))✟ ✝ (pi , ρ(p •✤ ✟✟ ✝✝ ✤ ✤ ✤ ✤ ✤ ✤ ✤ ✤ ✤ ✝✝Ri ✤ ✟✟✟ ✝ ✝✝ pi • ✟✟ Y / ✟ ✟✟ ✟ ✟ ✟✟ ✟ ✟ ✟✟ ✟ ✟ ✟✟ Figura 1.2: Funci´ on de densidad sobre Ri Por tanto, el problema que abordaremos se podr´ıa resumir de la siguiente manera: si tenemos 1. R un “rect´ angulo” en Rn 2. f una funci´ on de valores reales que est´ a definida en R 3. R1 , . . . , Rk subrect´angulos que se obtienen al subdividir a R y cualesquiera pi ∈ Ri (i = 1, . . . , k) ¿existe un n´ umero, digamos I, tal que la suma de la forma k X i=1 f (pi ) · a ´rea(Ri ) “se parece mucho” a I? M´as aun, ¿si los rect´ angulos R1 , . . . , Rk son una subdivisi´on “m´ as fina” de R, entonces la correspondiente suma se parece m´ as a I? J. P´ aez 2 Cap´ıtulo 1. Integral de Riemann 1.2 Construcci´ on de la integral de Riemann A fin de “construir” una respuesta al problema planteado, precisaremos algunos de los t´erminos que hemos venido utilizando. Definici´ on 1.1 R es un rect´ angulo en Rn si es un conjunto de la forma R = [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ] en donde cada [ai , bi ] es un intervalo cerrado de n´ umeros reales. Al n´ umero p d(R) = (b1 − a1 )2 + · · · + (bn − an )2 lo llamaremos la diagonal de R, y al n...
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  • Spring '20
  • The Land, Punto, Curva, Bernhard Riemann, Campo vectorial, Teorema de Stokes, Elemento supremo e ínfimo

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