statybine_mechanika - LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS Vandens ūkio ir žemėtvarkos fakultetas Statybinių konstrukcijų katedra Kazys Aleksandras Vaišvila, Algimantas Patašius, Raimondas Šadzevičius STATYBINĖ MECHANIKA MOKOMOJI KNYGA KAUNAS, ARDIVA 2008 UDK 624.04 (075.8) Va-112 Kazys Aleksandras Vaišvila, Algimantas Patašius, Raimondas Šadzevičius STATYBINĖ MECHANIKA Mokomoji knyga Recenzavo: doc. dr. Jonas Juodis, (LŽŪU Statybinių konstrukcijų katedra) doc. dr. Juozas Vyčius (LŽŪU Hidrotechnikos katedra) Aprobuota: Statybinių konstrukcijų katedros posėdyje, 2007 01 12, protokolo Nr. 166 Vandens ūkio ir žemėtvarkos fakulteto studijų komisijos posėdyje, 2007 05 15, protokolo Nr. 14 Kalbą redagavo Maketavo Viršelio dailininkas ISBN 978-9955-896-24-1 Laima Jonikienė Laurynas Arminas Dainius Radeckas © Kazys Aleksandras Vaišvila, Algimantas Patašius, Raimondas Šadzevičius, 2008 © Lietuvos žemės ūkio universitetas, 2008 TURINYS T U R I N Y S.................................................................................................................3 ĮVADAS .........................................................................................................................5 Statybinės mechanikos paskirtis ................................................................................5 Tampriosios strypinės sistemos ................................................................................5 Tampriųjų strypinių sistemų skaičiavimo pagrindinių priklausomybių ir diskretinių modelių sudarymo principai .....................................................................................6 1. SUDĖTINĖS SIJOS SKAIČIAVIMAS ....................................................................9 1.1. Sijos, atramos, atraminės reakcijos ....................................................................9 1.2. Kinematinė sudėtinės sijos analizė ..................................................................10 1.3. Skaičiuotinė schema ir statinė sudėtinės sijos analizė .....................................12 1.4. Sijų įrąžos ........................................................................................................12 1.5. Sijų įrąžų diagramų sudarymas ........................................................................13 1.6. Sijų įrąžų diagramų savybės ............................................................................14 1.7. Sudėtinės sijos skaičiavimai ............................................................................15 1.7.1. Skaičiuotinė sijos schema ir kinematinė analizė ......................................16 1.7.2. Statiniai skaičiavimai ................................................................................16 1.7.3. Infliuenčių sudarymas ...............................................................................18 Atraminių reakcijų infliuentės ...........................................................................19 Lenkimo momentų ir skersinių jėgų infliuentės .................................................19 1.7.4. Įrąžų skaičiavimas naudojant infliuentes ..................................................22 1.7.5. Daugiaatramių sijų skaičiavimas kompiuteriu..........................................22 Sudėtinės sijos skaičiavimo pradinių duomenų rinkmena SIJA.DAT ................23 1.7.6. Dvitėjinio profilio parinkimas...................................................................24 2. TRILANKSČIŲ ARKŲ SKAIČIAVIMO UŽDAVINIAI ......................................25 2.1. Arkų tipai, skaičiuotinės schemos sudarymo principai....................................25 2.2. Trilankstės arkos skaičiavimai .........................................................................25 2.2.1. Trilankstės arkos skaičiuotinė schema ir atraminių reakcijų skaičiavimas25 2.2.2. Nurodyto pjūvio vidinių įrąžų skaičiavimas .............................................27 2.2.3. Vidinių įrąžų infliuenčių sudarymas .........................................................28 2.2.4. Vidinių įrąžų skaičiavimas pagal infliuentes ............................................31 2.2.5. Trilanksčių arkų skaičiavimas kompiuteriu ..............................................31 Trijų lankstų arkos skaičiavimo pradinių duomenų rinkmena ARKA.DAT .......31 2.2.6. Trilankstės arkos vidinių įrąžų diagramos ................................................33 2.2.7. Skerspjūvio parinkimas: ...........................................................................34 3. PLOKŠČIŲ SANTVARŲ SKAIČIAVIMO UŽDAVINIAI ...................................36 3.1. Plokščios santvaros skaičiuotinės schemos sudarymo principai .....................36 3.2. Statiškai išsprendžiamos santvaros skaičiavimai.............................................37 3.2.1. Santvaros skaičiuotinės schemos paruošimas...........................................37 3.2.2. Atraminių reakcijų skaičiavimas...............................................................39 3.2.3. Nurodyto pjūvio strypų įrąžų skaičiavimas ..............................................39 3.2.4. Nurodyto pjūvio įrąžų infliuenčių sudarymas...........................................41 3.2.6. Santvaros skaičiavimas kompiuteriu ........................................................43 4. STATIŠKAI NEIŠSPRENDŽIAMOS KONSTRUKCIJOS (STRYPINĖS SISTEMOS) ................................................................................................................46 4.1. Poslinkių skaičiavimas.....................................................................................46 4.2. Statiškai neišsprendžiamų strypinių sistemų skaičiavimas jėgų metodu .........47 4.2.1. Strypinės sistemos statinio neišsprendžiamumo laipsnio nustatymas ......47 3 4.2.2. Pagrindinė sistema ir jos parinkimas ........................................................50 4.2.3. Kanoninių lygčių sudarymas ....................................................................50 4.3. Statiškai neišsprendžiamų rėmų skaičiavimas jėgų metodu ........................52 4.3.1. Pagrindinė sistema ir jos parinkimas ........................................................52 4.3.2. Kanoninių lygčių koeficientų skaičiavimas ir tikrinimas .........................53 4.3.3. Galutinės lenkimo momentų diagramos sudarymas ir tikrinimas ............54 4.3.4. Skersinių ir ašinių jėgų diagramų sudarymas ...........................................55 Skersinių jėgų diagramų sudarymo pavyzdžiai: .................................................55 4.3.5. Reakcijų skaičiavimas ir tikrinimas. Skerspjūvio parinkimas ir perrinkimas ......................................................................................................................57 4.4. Statiškai neišsprendžiamo rėmo skaičiavimo jėgų metodu uždavinių sprendimo pavyzdžiai ...............................................................................................................58 4.4.1. Rėmo skaičiuotinės schemos sudarymas ..................................................58 4.4.2. Rėmo pagrindinės sistemos parinkimas....................................................59 4.4.3. Rėmo pagrindinės sistemos lenkimo momentų diagramos ......................60 4.4.4. Kanoninių lygčių koeficientai ir laisvieji nariai........................................62 4.4.5. Rėmo galutinės lenkimo momentų, skersinių ir ašinių jėgų diagramos ...64 4.4.6. Statiškai neišsprendžiamų rėmų skaičiavimas kompiuteriu .....................66 4.5. Statiškai neišsprendžiamų rėmų skaičiavimas poslinkių metodu ....................68 4.6. Statiškai neišsprendžiamo rėmo skaičiavimo poslinkių metodu uždavinių sprendimo pavyzdžiai .............................................................................................68 4.6.1. Rėmo skaičiuotinės schemos sudarymas ..................................................69 4.6.2. Rėmo pagrindinės sistemos sudarymas ....................................................70 4.6.3.Pagrindinės sistemos lenkimo momentų diagramos, kai jį veikia vienetiniai poslinkiai ir kai veikia aktyvinės apkrovos ........................................................71 4.6.4. Kanoninių lygčių koeficientų ir laisvųjų narių skaičiavimas....................74 4.6.5. Rėmo galutinės lenkimo momentų diagramos sudarymas .......................78 4.6.6. Statiškai neišsprendžiamų rėmų skaičiavimas kompiuteriu .....................79 4.7. Strypinių sistemų skaičiavimas baigtinių elementų metodu paremtomis komercinėmis kompiuterinėmis programomis..................................................................81 LITERATŪRA ............................................................................................................82 4 ĮVADAS Statybinės mechanikos paskirtis Visos konstrukcijos turi atitikti bendruosius reikalavimus, turi būti pakankamai stiprios, pastovios, standžios ir ekonomiškos. Norint, kad statinys atitiktų visus minėtuosius reikalavimus, reikia skaičiavimo būdu patikrinti visas jo pagrindines konstrukcijas, nustatyti jo elementuose, veikiant apkrovai, atsirandančias vidines jėgas (įrąžas), įtempius bei deformacijas. Statybinė mechanika yra mokslas, kurio pateikiamais principais ir metodais galima atlikti konstrukcijų stiprumo, standumo ir pastovumo skaičiavimus. Statinio konstrukcijų skaičiavimas yra vienas iš projektavimo darbų etapų. Jo galutinis tikslas – gauti tokį sprendimo rezultatą, kad statinys ir jį sudarantys elementai būtų patikimi, ilgaamžiai, ekonomiški ir jį galima būtų normaliai eksploatuoti nustatytą laiką. Medžiagų atsparumo kurse pagrindinis nagrinėjimo objektas yra strypas, o statybinėje mechanikoje yra sudėtingesni objektai, sudaryti iš strypų arba kitokio pavidalo elementų. Tokioms mechaninėms sistemoms spręsti reikia sudėtingesnių metodų ir tobulesnių skaičiavimo priemonių. Šiuo metu naujausios technologijos leidžia pritaikyti įvairias programas naudojantis kompiuterine technika. Statybinėje mechanikoje daugiausia sprendžiami tik pirmojo skaičiavimo etapo uždaviniai – įrąžų nustatymas bei diagramų sudarymas. Antrajame etape atliekamas skerspjūvio įtempių nustatymas, parametrų (aukščio, pločio ir kt.) parinkimas. Šie uždaviniai dažniausia nagrinėjami įvairių konstrukcijų kursuose (pvz., metalinės konstrukcijos, gelžbetoninės konstrukcijos ir t. t.). Statinių laikančiosios konstrukcijos bei jų elementai – sudėtingos mechaninės sistemos. Jų skaičiavimas – taip pat sudėtingas matematinis procesas. Jį galima atlikti tik matematiškai formalizavus tam tikrus reiškinius, t. y. matematiškai išreiškiant išorinių apkrovų poveikį, konstrukcijas sudarančių medžiagų mechaninį poveikį esant įvairioms įtempių būklėms, visos konstrukcijos darbo sąlygas ir kt. (Čyras, 1989). Šių reiškinių matematinė išraiška kartu su pagrindiniais mechanikos (statikos) dėsniais ir sudaro konstrukcijos skaičiavimo matematinį modelį. Šį modelį išspręsti galima panaudojus matematikos būdus arba šiuolaikišką skaičiavimo techniką (kompiuterius). Dabar įvairiose statybinėse organizacijose yra įkurti specializuoti skyriai, kurie užsiima statybinių konstrukcijų projektavimo darbais. Tai labai automatizuotas procesas. Daugelio konstrukcijų skaičiavimui sudarytos kompiuterinės programos: parenkant pradinius duomenis ir sudarant reikiamą informaciją šiai programai realizuoti. Nesunku suvokti, kad statybinės mechanikos paskirtis turi labai svarbią vietą ūkyje. Beveik visa, kas statoma, turi būti apskaičiuota. Tampriosios strypinės sistemos Statybinėje mechanikoje strypinė sistema suprantama kaip konstrukcija, sudaryta iš strypų, kurių skerspjūvio matmenys (plotis ir aukštis) daug mažesni už jų ilgį. Statiniu su- 5 prantama visuma atskirų elementų, sujungtų tarpusavio ryšiais ir sudarančių tam tikrą nekintamą plokščiąją ar erdvinę sistemą. Statybinės mechanikos uždavinys – nustatyti vidines jėgas – įražas (lenkimo momentus, skersines ir ašines jėgas), veikiančias tos sistemos strypų atskiruose pjūviuose, taip pat atskirų elementų ir visos sistemos deformacijas. Strypinės konstrukcijos gali būti statiškai išsprendžiamos ir statiškai neišsprendžiamos. Statiškai išsprendžiamos, kai jos atramų reakcijas galima rasti iš statikos pusiausvyros lygčių, ir paskui, taikant pjūvo metodą, rasti visas vidines jėgas (įrąžas), veikiančias bet kuriame skerspjūvyje. Statiškai neišsprendžiamos – tai tokios sistemos, kurių atraminių reakcijų ir vidinių jėgų (įrąžų) negalima rasti, taikant tik pjūvo metodą ir statikos pusiausvyros lygtis. Norint išspręsti statiškai neišsprendžiamas sistemas, reikia sudaryti papildomas lygtis. Šios lygtys išreiškia sistemos deformavimosi sąlygas. Statiškai neišsprendžiamos sistemos nuo statiškai išsprendžiamų sistemų skiriasi tokiomis savybėmis: a) didesniu standžiu (dėl papildomų ryšių); b) mažesnėmis įrąžomis (ekonomiškesnės); c) netekusi dalies ryšių sistema nesuyra; d) įrąžų priklausomybe nuo skerspjūvio matmenų ir medžiagų savybių; e) papildomų įrąžų atsiradimu dėl temperatūros pokyčių, atramų sėdimo bei gamybos netikslumų. Skaičiuodami konstrukciją, naudojamės ne tikruoju, o idealizuotu jos vaizdu, t. y. skaičiuotine schema. Strypinių sistemų skaičiuotines schemas sąlygiškai galime suskirstyti į: lankstines, kurių elementai mazguose sujungti (lankstais). Tai santvaros bei vantinės konstrukcijos. Santvaroms būdinga tai, kad išorinė apkrova yra pridėta tik mazguose, todėl, esant išskirstytajai apkrovai, ją būtina pakeisti mazgine. Skaičiuojant santvaras, pagrindiniai nežinomieji yra strypų ašinės jėgos ir mazgų poslinkiai. Vantinėse konstrukcijose visi elementai gali būti tempiamieji, taigi čia atsiranda tik ašinės tempimo jėjos; lenkiamąsias, kurių elementai mazguose sujungti standžiai arba standžiai ir lankstiškai. Tai – sijos ir rėmai. Šių konstrukcijų strypai gali būti apkrauti ir skersine apkrova išilgai viso strypo, todėl čia galime įvertinti ne tik ašinių jėgų, bet ir lenkimo momentų bei skersinių jėgų įtaką. Prie lenkiamų sistemų galime priskirti dar ir arkas – pastarųjų strypų ašys yra kreivalinijinės; mišriąsias, kurios gali būti sudarytos iš įvairių, anksčiau išvardytų konstrukcijų skaičiuojamųjų schemų grupių. Šiame leidinyje bus nagrinėjamos tik plokščiosios sistemos, t. y. tokios, kur visi konstrukcijų elementai ir išorinė apkrova yra vienoje plokštumoje. Tampriųjų strypinių sistemų skaičiavimo pagrindinių priklausomybių ir diskretinių modelių sudarymo principai Tampriosios strypinės sistemos gali būti veikiamos įvairių išorinių apkrovų ir poveikių. Jos skaičiuojamos matricine forma pagal bendrus matematinius modelius ir 6 skaičiavimo algoritmus naudojant kompiuterius. Konstrukcijos fiziniai ir geometriniai parametrai yra žinomi (pasirinkti). Pagrindinės lygtys užrašomos ir analizės uždavinių matematiniai modeliai sudaromi remiantis šiomis prielaidomis: · išorinė apkrova ir išoriniai poveikiai yra kvazistatinio tipo, t. y. jų dinaminio poveikio efektai neįvertinami; · konstrukcijos medžiaga – idealiai tiesiškai tampri; · deformacijos mažos, todėl pusiausvyros lygtys sudaromos nedeformuotai sistemai, t. y. sprendžiami geometriškai tiesiniai uždaviniai; · strypai (skai č iuojamieji elementai), jungiantys sistemos mazgus, idealiai ties ū s. Skaičiuojant įvairias konstrukcijas (santvaras, rėmus, arkas bei kombinuotąsias strypines sistemas), daromos papildomos, joms būdingos prielaidos. Pagrindinės sąvokos, būtinos sistemos diskretiniam modeliui sudaryti, yra tokios: bet kuri strypinė sistema yra diskretinė; pjūviais tariamai ją galima suskaidyti į skaičiuojamuosius elementus ir mazgus. Skaičiuojamieji pjūviai taip pat žymimi strypų ašių lūžio, sutelktųjų jėgų pridėjimo, skerspjūvio matmenų staigaus pasikeitimo ir atraminių ryšių įtvirtinimų vietose. Jie sąlyginai dalija strypinę sistemą į pavienius elementus ir mazgus. Paskirstytoji apkrova, veikianti tam tikruose strypų ruožuose, pridedama elementams. Konstrukcijos diskretinio modelio mazgams ir elementams, kuriuose veikia n ieškomų įrąžų, galimų poslinkių kryptimis būtina sudaryti n–k–m tiesiškai nepriklausomų statikos pusiausvyros lygčių (čia k – sistemos statiško neišsprendžiamumo laipsnis). Strypinės sistemos elementų deformacijų ir mazgų poslinkių darnos lygtys, kuriomis apibūdinamas deformacijų ir poslinkių geometrinis ryšys deformuotoje sistemoje, vadinamos geometrinėmis lygtimis. Ryšys tarp idealiai tampriosios strypinės sistemos deformacijų ir jas sukeliančių įrąžų išreiškiamas apibendrintu Huko dėsniu, deformacijų ir įrąžų vektorių tiesinė priklausomybė vadinama fizinėmis lygtimis. Statikos pusiausvyros, geometrinės darnos ir fizinių matricinių lygčių visuma, kuria aprašomas tampriosios strypinės sistemos įtempių ir deformacijų būvis, vadinama konstrukcijos tampriojo skaičiavimo matematiniu modeliu. Lygčių sprendimui naudojami tokie tikslieji skaičiavimo metodai: 1) jėgų; 2) poslinkių (deformacijų); 3) mišrus. Jėgų metodo nežinomieji yra jėgos atitinkamuose sistemos ryšiuose. Poslinkių metodo nežinomieji – atskirų sistemos mazgų kampiniai ir linijiniai poslinkiai. Mišraus metodo nežinomieji – ir poslinkiai, ir jėgos. Naudojamos tokios prielaidos: strypų deformacijos tik tamprios (galioja Huko dėsnis), skaičiavimas pagal nedeformuotą schemą, nepriklausomo jėgų veikimo principas ir kt. Strypinėms sistemoms automatizuotai skaičiuoti Lietuvos žemės ūkio universiteto Statybinių konstrukcijų katedros doc. dr. L. Lindišas sukūrė specialų algoritmą ir programas, formuojančias ne tik pagrindinių matricinių lygčių matricas ir vektorius, bet ir leidžiančias su mažiausia pradine informacija gauti tampriojo sprendimo rezultatus. 7 Norint pagrindinių lygčių formavimo procesą automatizuoti, būtina informacija apie konstrukcijos diskretinį modelį ir jį veikiančias išorines apkrovas. Pradinę informaciją apie konstrukcijos diskretinį modelį galima skirstyti į: geometrinę – mazgų (taip pat ir atraminių) koordinates; topologinę, pateikiančią elementų, jungiančių mazgus, pavadinimus, elementų su mazgais sujungimo ypatumus (lankstus, standus sujungimas), atraminių ryšių tipus; fizinę, nurodančią elementų tipus ir fizines charakteristikas. Pasirinkti trys skaičiuojamųjų elementų tipai. Pirmajam elementų tipui priskiriami tik lenkiami elementai, jiems reikia nurodyti standumus lenkiant EJ (E – tamprumo modulis, J – skerspjūvio inercijos momentas); antrajam tipui – lenkiami ir tempiami bei lenkiami ar gniuždomi elementai, jiems reikia nurodyti 2 standumus: gniuždant EA (A – skerspjūvio plotas) ir lenkiant EJ; trečiajam tipui – tik tempiami arba gniuždomi elementai, jiems reikia nurodyti standumus gniuždant EA. Sistemos išorinėms apkrovoms ir poveikiams aprašyti būtina tokia informacija: a) išorinės apkrovos tipas ir jos pridėjimo vieta; numatyti du išorinės apkrovos tipai: 1)mazguose pridėtos sutelktosios jėgos (išoriniai momentai); 2) elementus veikianti paskirstytoji apkrova, kuri suvedama į mazginę; b) išorinių poveikių tipai ir jų veikimo vieta. Lietuvos žemės ūkio universiteto Statybinių konstrukcijų katedros doc. dr. L. Lindišo kompiuterinės programos parašytos Fortran kalba ir jomis galima skaičiuoti tampriųjų strypinių sistemų (sijų, rėmų, arkų, santvarų) analizės uždavinius. Gaunami šie skaičiavimo rezultatai: mazgų poslinkiai, pjūvių lenkimo momentai, ašinės ir skersinės jėgos, atraminės reakcijos. Šioje mokomojoje knygoje pateiksime pagal skaičiuojamąsias schemas parengtas pradinių duomenų rinkmenas ir pagal skaičiavimo rezultatus sudarytas įrąžų diagramas. Detalūs tampriųjų strypinių konstrukcijų kompiuterinio skaičiavimo pavyzdžiai pateikiami skaičiuojamuosiuose darbuose. 8 1. SUDĖTINĖS SIJOS SKAIČIAVIMAS 1.1. Sijos, atramos, atraminės reakcijos Sistemos, kurių visi strypai yra išdėstyti vienoje tiesėje, vadinamos sijomis arba sijinėmis sistemomis. Jos paprastai būna horizontaliosios ir yra veikiamos tik vertikaliųjų apkrovų. Lenkiamus tiesius strypus įprasta vadinti sijomis. Sijos būna paprastos ir sudėtinės (daugiaatramės). Skaičiuojamojoje schemoje paprasta sija vaizduojama tiese, kuri reiškia jos geometrinę ašį. Konstrukcijose naudojamos sijos gali būti veikiamos aktyviųjų apkrovų: sutelktųjų jėgų, išskirstytųjų jėgų ir sutelktųjų momentų. Praktikoje kiekviena reali sija paremiama (atitinkamai pritvirtinama) ant atramų, kurios perima aktyviąją apkrovą. Dėl to judesio suvaržymo kryptimis atramose vyksta reakcijos, t. y. pasyviosios sijų apkrovos. Žinoma, kad bet koks kūnas (elementas) plokščioje sistemoje turi tris nevaržomas judėjimo galimybes (laisvumo laipsnius), t. y. jis gali judėti horizontalia bei vertikalia kryptimis ir suktis. Sijų atramos pagal tai, kiek yra netekusios laisvumo laipsnių, arba pagal tai, kiek jose yra atraminių ryšių (gali vykti reakcijų), skirstomos į tris tipus: lankstinė paslankioji, lankstinė nepaslankioji, standžioji. Lankstinė paslankioji atrama neleidžia sijai pasislinkti vertikaliai – netekusi vieno laisvumo laipsnio (turinti vieną atraminį ryšį), – joje gali vykti viena Fry reakcija (Frz = 0, Μr = 0). Lankstinė nepaslankioji atrama – netekusi dviejų laisvumo laipsnių (turinti du atraminius ryšius), – joje gali vykti dvi Fry ir Frz reakcijos (Mr = 0). Standžioji atrama – netekusi visų galimų laisvumo laipsnių (turinti tris atraminius ryšius),– joje gali vykti trys Fry, Frz ir Mr reakcijos. Kad sija būtų kinematiškai stabili, ji privalo turėti ne mažiau kaip tris atraminius ryšius. Priklausomai nuo atramų skaičiaus, jų ryšių pobūdžio, sijos skirstomos į: a) gembines, kurių vienas galas laisvas, o kitas įtvirtintas standžioje atramoje; b) dviatrames, kai sija remiasi į dvi atramas, iš kurių viena lankstinė nepaslanki, o kita – lankstinė paslanki; c) dviatrames su išsikišusiu ar išsikišusiais galais. Šios sijos (turinčios tris atraminius ryšius) yra statiškai išsprendžiamos, nes jose vykstančias atramines reakcijas galima apskaičiuoti pagal statikos pusiausvyros lygtis ΣF = 0; ΣF = 0; ΣM = 0 x y i . Naudojama koordinatinių ašių sistema, kai teigiamoji x ašis nukreipta į dešinę, o teigiamoji y ašis yra nukreipta žemyn, t. y. ji dažniausiai natūraliai sutampa su veikiančiomis statybinėse konstrukcijose gravitacinėmis apkrovomis. Vertikaliosios reakcijos randamos užrašant momentų pusiausvyros lygtis apie vieną ir kitą atramas. Horizontalioji reakcija (dedamoji) nepaslankiojoje lankstinėje atramoje, jei nėra horizontaliųjų apkrovų, yra lygi nuliui. Sijos, turinčios daugiau kaip tris atraminius ryšius, statiškai neišsprendžiamos, nes jų atraminėms reakcijoms surasti statikos pusiausvyros lygčių neužtenka. 9 Gembinėms sijoms atraminių reakcijų atskirai skaičiuoti nebūtina – jos gaunamos nuosekliai apskaičiuojant sijų skerspjūviuose nuo išorinės apkrovos veikiančias įrąžas. Dviatramių sijų atraminės reakcijos skaičiuojamos teorinės mechanikos kurse naudojamais metodais tokia tvarka: 1) pažymimos abiejose atramose vertikalių reakcijų kryptys (aukštyn, žemyn); 2) rašomos pusiausvyros lygtys ΣM A = 0 ir ΣM B = 0 ir apskaičiuojamos FrB ir FrA reakcijos atitinkamai. Jei gauta teigiama reakcijos reikšmė, patvirtinama pasirinktoji kryptis, jei neigiama, – reakcijos kryptis yra priešinga pasirinktajai; 3) patikrinamas reakcijų skaičiavimo teisingumas pagal pusiausvyros lygtį ΣFy = 0; kai siją veikia tolygiai išskirstytoji apkrova, reakcijoms (paskui įrąžoms) apskaičiuoti pastaroji pakeičiama atstojamąja Fq = q ⋅ l , veikiančia išskirstytosios apkrovos centre. Sudėtinėmis (daugiaatramėmis) sijomis vadinamos sijinės sistemos, sudarytos iš kelių strypų, tarpusavyje sujungtų lankstais. Skaičiuojant sudėtines sijas, pirmiausia reikia atlikti kinematinę analizę, t. y. skaičiuoti laisvumo laipsnį L ir patikrinti atraminių ryšių bei lankstų, jungiančių strypus, išdėstymą. Lankstai turi būti išdėstomi pagal šias taisykles: · Viename tarpatramyje negali būti daugiau kaip du lankstai; · Tarpatramiai su dviem lankstais derinami su tarpatraminiais be lankstų; · Tarpatramiai su vienu lankstu gali eiti vienas po kito. Pastovumui horizontalia kryptimi garantuoti sudėtinėms sijoms užtenka turėti vieną horizontalųjį ryšį. 1.2. Kinematinė sudėtinės sijos analizė Prieš pradedant skaičiuoti konstrukciją, būtina įsitikinti, ar ji nėra judri, tai yra – atlikti jos kinematinę analizę. Kiekvienos konstrukcijos skaičiuotinę schemą galima įsivaizduoti kaip grandinę, sudarytą iš tam tikrų kinematiškai nekintamų standžių grandžių – bet kokios formos ir matmenų konstrukcinių elementų, kurie tarpusavyje sujungti ryšiais. Skaičiuotinės schemos judrumą apibūdina jos laisvumo laipsnis – tai skaičius geometrinių parametrų, reikalingų jos padėčiai erdvėje ar plokštumoje nustatyti. Geometriškai nekintamais laikomi tokie statiniai, kurių forma nekinta, nesideformuojant jų elementams (grandims). Grandies padėtį plokštumoje apibūdina trys nepriklausomi parametrai (pavyzdžiui, dvi koordinatės xa, ya ir pasisukimo kampas φb ), vadinasi, vienos grandies laisvumo laipsnis yra lygus trims. Grandys tarpusavyje ir prie pagrindo siejamos kinematiniais ryšiais. Kiekvienas ryšys, atsižvelgiant į tai, koks jis yra, sumažina grandžių laisvumo laipsnį nuo vieno iki trijų. Lankstas, jungiantis dvi grandis, tokios grandžių sistemos laisvumo laipsnį mažina dviem, t. y. jis tampa lygus keturiems. Remiantis šiais samprotavimais, skaičiuotinės schemos laisvumo laipsnis bus: L=3G–2š–r0, 10 (1.1) čia L – laisvumo laipsnis, G – grandžių skaičius, š – paprastų lankstų, jungiančių grandis, skaičius, r0 – atraminių ryšių skaičius. Galimi trys L apskaičiuotųjų reikšmių atvejai: 1) kai L = 0 – skaičiuotinė schema yra statiškai išsprendžiama ir atitinka būtiną nejudrumo sąlygą, t. y. kinematinių ryšių yra tiek, kiek reikia geometriniam pastovumui garantuoti; 2) kai L < 0 – skaičiuotinė schema yra statiškai neišsprendžiama ir atitinka būtiną nejudrumo sąlygą, t. y. kinematinių ryšių yra daugiau negu reikia; 3) kai L > 0 – skaičiuotinė schema yra judri, t. y. trūksta kinematinių ryšių. Vadinasi, geometriškai nejudrioms skaič iuotinė ms schemoms yra keliama s ą lyga L < 0. Pagal formulę (1.1) negalima visiškai spręsti apie schemos judrumą ir atskirų grandžių tarpusavio sąveiką. Ji išreiškia būtiną geometrinio pastovumo sąlygą, kuri kartais gali būti nepakankama. Norint išvengti judrių skaičiuotinių schemų, atliekama jų geometrinės struktūros analizė: sistemoje išskiriamos geometriškai pastovios dalys, kurios yra laikomos atskiromis grandimis, tada tikrinama, kaip tos grandys viena su kita sujungiamos. Yra penki pagrindiniai geometriškai pastovių sistemų sudarymo būdai (1.1 pav.): 1.1 pav. Geometriškai pastovių sistemų sudarymo būdai 1) Prie dviejų g randžių , sujungtų l ankstu A, dviem lankstais B ir C, prijungiama treč ioji grandis. Būtina są lyga, kad visi trys lankstai nebūtų vienoje tiesė je (1.1 a pav.). 11 2) Prie grandies dviem strypais lankstiškai prijungiamas lankstinis mazgas A taip, kad visi trys lankstai nebūtų vienoje tiesėje (1.1 b pav.). 3) Dvi grandys tarpusavyje sujungiamos trimis linijiniais ryšiais, kurių ašys nėra lygiagrečios ir nesikerta viename taške (l.1 c pav.). 4) Prie dviejų lankstais sujungtų grandžių trimis strypais lankstiškai prijungiamas mazgas A taip, kad visi lankstai nepriklausytų tai pačiai grandžiai (l.1 d pav.). 5) Trys grandys, tarpusavyje sujungtos lankstiškai dviem linijiniais ryšiais, kurių susikirtimo centrai (menami lankstai Ci) nebūtų vienoje tiesėje (1.1 e pav.). Pažeidus grandžių tarpusavio sujungimo dėsningumus, sistemos gali virsti judriomis arba akimirksniškai judriomis. Projektuojant konstrukcijas, reikia vengti net artimų akimirksniniam judrumui skaičiuotinių schemų, kai trys lankstai atsiduria vienoje tiesėje ir kai trys ryšiai yra lygiagretūs arba kertasi viename taške. Formulė (1.1) yra universali ir tinka įvairių skaičiuotinių schemų laisvumo laipsniui nustatyti. 1.3. Skaičiuotinė schema ir statinė sudėtinės sijos analizė Sudėtinė sija pradedama skaičiuoti sudarius skaičiuotinę (aukštų) schemą, t. y. išskaidžius ją į paprastas dviatrames ir gembines sijas. Yra žiūrima, kad kiekviename aukšte būtų po tris atraminius ryšius, ir šie ryšiai turėtų į ką remtis. Pastovi dalis, ta, kuri turi tris ryšius, pvz., gembė; ji schemos žemutiniame aukšte, o nepastoviausia sijos dalis, dažniausiai strypas be atramų, – paliekama viršutiniame, pridedant trūkstamus ryšius, gaunamus suardžius lankstus. Lankstai, jungiantys strypus, turi du kinematinius ryšius, jie skaičiuotinėje schemoje pakeičiami lankstiškai nepaslankiomis atramomis. Sudėtinė sija pradedama skaičiuoti nuo viršutiniojo aukšto, laipsniškai pereinant į žemesniuosius ir perkeliant į juos atramines reakcijas su priešingu ženklu. Jei jėga yra pridėta lankste, t. y. dviejų aukštų sandūroje, tai ją galima pridėti bet kuriame aukšte. Gembinei sijai į r ą žas galima apskaič iuoti nagrinė jant siją nuo laisvojo galo, dviatramė s sijos į r ą žos apskaič iuojamos paskui, kai apskaič iuojamos vertikaliosios reakcijos, kurios randamos užrašant momentų pusiausvyros lygtis apie vieną ir kitą atramas. Išsamiau sudė tinių s ijų s kaič iavimas bus nagrinė jamas vė liau sprendžiant konkretų pavyzdį . 1.4. Sijų įrąžos Išorinė apkrova siją veikia nevienodai: skersai veikiančios sutelktosiosios ar išskirstytosios jėgos jos skerspjūviuose sukelia skersinių jėgų (Q) ir jėgų momentų (M) įrąžas, o sutelktieji lenkimo momentai – tik momento įrąžą (grynasis lenkimas). Abi įrąžos (išskyrus grynojo lenkimo atvejį) nėra pastovios (ypač lenkimo momentas), kinta išilgai sijos, todėl svarbu nustatyti, kuriuose skerspjūviuose įrąžų poveikis yra pavojingiausias. Statmena sijos ašiai vidinių jėgų atstojamoji vadinama skersine jėga Q(z). Vidinių jėgų atstojamosios momentas pjūvio centro atžvilgiu vadinamas lenkimo momentu M(z). 12 Bet kurio sijos pjūvio įrąžų Q ir M reikšmės ir ženklai gaunami vienodi, nepriklausomai nuo to, iš kurios pusės (kairės ar dešinės) skaičiuojama, jeigu laikomasi tų pačių medžiagų mechanikos kurse priimtų taisyklių: Skersinė jėga laikoma teigiama, jei visų jėgų, esančių vienoje pjūvio pusėje, atstojamoji kreipia tą sijos dalį pagal laikrodžio rodyklės kryptį (skersinė jėga yra teigiama, jei ji nagrinėjamo pjūvio atžvilgiu šlieja laikrodžio rodyklės sukimosi kryptimi), ir neigiama, – jei prieš laikrodžio rodyklės kryptį. Lenkimo momentas laikomas teigiamu, kai sija išsigaubia žemyn ir tempiamieji sluoksniai bus apačioje (kai lenkiamo strypo tempiamieji sluoksniai bus teigiamos skerspjūvio ašies pusėje), ir neigiamu, – kai sija išsigaubia į viršų (tempiami sluoksniai bus viršuje). Abi įrąžos (Q ir M) skirtinguose sijos skerspjūviuose yra nevienodos, todėl jų kitimo pobūdis per visą sijos ilgį vaizduojamas diagramomis. Norint teisingai jas nubraižyti, reikia žinoti šių įrąžų tarpusavio ryšį. Lenkimo momento, skersinės jėgos ir išskirstyto krūvio intensyvumo ryšys dM = Q ( z ). dz (1.2) Bet kurio sijos pjūvio lenkimo momento pirmoji išvestinė pagal kintamąjį sijos ilgį z yra lygi tame pjūvyje veikiančiai skersinei jėgai. Apskaičiavus lenkimo momento antrąją išvestinę (diferencijavus 1.2 formulę dar kartą) gaunama: d 2 M dQ = = −q dz 2 dz arba d 2 M dQ = =q dz 2 dz ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ (1.3) Vadinasi, išskirstytojo krūvio intensyvumas lygus lenkimo momento antrajai išvestinei sijos ilgio atžvilgiu. Pagal sudarytas įrąžų Q ir M diagramas ir jų didumą nustatoma, kuris sijos skerspjūvis gali būti pavojingas, t. y. kuriame skerspjūvyje medžiaga gali suirti arba atsirasti pernelyg didelės plastinės deformacijos. Tokį sijos skerspjūvį galima numatyti tik nesudėtingo jos apkrovimo atvejais, – tada įrąžos apskaičiuojamos tik tame pavojingame skerspjūvyje ir pagal jas parenkami skerspjūvio matmenys. 1.5. Sijų įrąžų diagramų sudarymas Jei daugiaatramę siją veikia tik vertikalioji apkrova, tai joje ašinės jėgos lygios nuliui. Lenkimo momentai ir skersinės jėgos skaičiuojami taikant pjūvio metodą, atskiriant vieną sijos dalį, o atmestosios dalies poveikis pakeičiamas teigiamų krypčių len- 13 kimo momentu, skersine ir ašine jėga, kurių reikšmės skaičiuojamos rašant momentų ir jėgų projekcijų į Y ir X ašis lygtis. Lenkimo momentus ir skersines jėgas galima taip pat nustatyti taikant tokį praktinį būdą, kuriame slypi pjūvio metodas. Imama pjūviu atskirtoji paprastesnė (mažiau apkrauta) sijos dalis ir vietoje atmestosios dalies poveikio pjūvio vieta sąlyginai įtvirtinama standžiai. Tada vertinama, kurie nagrinėjamo skerspjūvio sluoksniai bus tempiamieji, deformuojant siją skirtingoms jėgoms ar reakcijoms. Jei tempiami sluoksniai pasireiškia teigiamojoje y ašies kryptyje, lenkimo momentas bus teigiamas. Skaičiuojant skersinę jėgą pjūvyje, imama statmenai strypo ašiai veikiančių jėgų algebrinė suma. Laikrodžio rodyklės kryptimi nagrinėjamo pjūvio atžvilgiu veikiančios jėgos sukelia teigiamą skersinę jėgą. Taip apskaičiavus įrąžas kituose pjūviuose, braižomos jų diagramos. Gautos skirtingų ženklų įrąžų reikšmės pagal susitarimą pažymimos nuo atskirai nubrėžtos sijos ašies vertikaliose ordinatėse: teigiamos skersinių jėgų reikšmės pažymimos virš ašies, neigiamos – žemiau ašies; teigiamos lenkimo momentų reikšmės pažymimos žemiau ašies, o neigiamos – virš ašies. Paskui įrąžų reikšmių taškai sujungiami atitinkamomis, ryšį tarp M, Q ir Q nusakančiomis (1.2) ir (1.3) išraiškomis. Taip sudaromos įrąžų Q ir M diagramos, nusakančios įrąžų kitimą, priklausomai nuo sijos ilgio. Tikrinant jų sudarymo teisingumą (1.2) išraišką tikslinga turėti tokią: dM = Q(z) · dz (1.4) čia dM – sijos ruožo momento pokytis; Q(z) · dz – sijos ruožo skersinės jėgos diagramos plotas. Atitinkamo sijos ruožo skersinės jėgos diagramos plotas lygus momento pokyčiui tame ruože. Aukštų sijų lenkimo momentų diagramas perkėlus ant bendros ašies, gaunamos visos sudėtinės sijos lenkimo momentų ir skersinių jėgų diagramos. Skersines jėgas dar galima patikrinti pagal iš medžiagų mechanikos žinomą diferencialinį ryšį Q= dM = tg α dz (1.5) Skersinės jėgos dydis nustatomas pagal tangentą kampo, kurį sudaro strypo geometrinė ašis su diagramos sudaromąja (arba liestine kreivalinijinės diagramos atveju), o ženklas – pagal tai, kaip ašis mažiausiu kampu gali artėti prie diagramos sudaromosios (liestinės): jei laikrodžio rodyklės sukimosi kryptimi – skersinė jėga bus teigiama, jei prieš – neigiama. Minėto kampo α tangento dydžiui (tai tolygu skersinei jėgai pjūvyje) nustatyti imami tam tikri statieji trikampiai iš lenkimo momentų diagramos, momentų ordinatės imamos absoliutiniu didumu, o skersinės jėgos ženklas nustatomas pagal aptartą taisyklę. 1.6. Sijų įrąžų diagramų savybės 1. Neapkrautuose sijos ruožuose skersinė jėga Q pastovi (diagrama – tiesė, lygiagreti sijos ašiai), lenkimo momentas M kinta (diagrama – pasvirusi sijos ašies atžvilgiu tiesė). 14 2. Sijos ruožuose, apkrautuose tolygiai išskirstytuoju krūviu, skersinė jėga Q kinta (diagrama – pasvirusi sijos ašies atžvilgiu tiesė), lenkimo momentas taip pat kinta (diagrama – kvadratinė parabolė). 3. Jei gembinės sijos laisvąjį galą veikia tik koncentruotas momentas, jis skersinės jėgos nesukelia (Q = 0), o lenkimo momentas per visą sijos ilgį – pastovus (M = const). Toks lenkimo atvejis vadinamas grynuoju lenkimu. Apibendrinus 1, 2 ir 3 savybes, padaroma tokia išvada: atitinkamo sijos ruožo lenkimo momentų diagrama visada vienu laipsniu yra aukštesnė kreivė už skersinių jėgų diagramą. 1. Jei sijos ruože Q > 0, tai M didėja (lenkimo momentų diagramos kreivė, braižant ją iš kairės į dešinę, brėžiama atitinkama kreive teigiamos lenkimo momentų krypties pusėn, t. y. nuo ašies žemyn); jei Q < 0, tai M mažėja (diagramos kreivė braižant nukreipiama nuo ašies į viršų). 2. Jei sijos ruožo pjūvyje veikia sutelktoji jėga F, tos skersinių jėgų diagramos vietoje susidaro šios jėgos dydžio šuolis, o lenkimo momentų diagrama (pasvirusi tiesė) keičia kryptį (lūžis). Skersinė jėga skaičiuojama abiejuose to pjūvio (taško) pusėse. 3. Jei sijos ruože veikia koncentruotasis momentas, jis skersinių jėgų diagramai įtakos neturi, o lenkimo momentų diagramoje susidaro koncentruotojo momento dydžio šuolis. Lenkimo momentas skaičiuojamas abiejose to taško pusėse. 4. Tame sijos pjūvyje, kur Q diagrama kerta ašį, M diagramoje toje vietoje momento reikšmė yra ekstreminė. Jei toks kirtimas gaunamas nuosekliai keičiantis skersinės jėgos reikšmei (išskirstytojo krūvio ruože), ekstreminei lenkimo momento reikšmei apskaičiuoti nustatoma to pjūvio vieta: iš trikampių panašumo Q diagramoje arba išsprendus prilygintą nuliui skersinių jėgų kitimo lygtį. 5. Jei dviatramių sijų apkrovoje nėra koncentruotojo momento, teigiami Q diagramos plotai lygūs neigiamiems. Bet kuriame sijos pjūvyje prieš laikrodžio rodyklę veikiantis momentas teigiamus Q diagramos plotus didina, ir atvirkščiai. 1.7. Sudėtinės sijos skaičiavimai 1.1 pavyzdys Duotai sudėtinei statiškai išsprendžiamai sijai reikia: 1.7.1. Sudaryti skaičiuotinę schemą ir atlikti kinematinę analizę. 1.7.2. Sudaryti įrąžų nuo duotosios išorinės apkrovos diagramas. 1.7.3. Sudaryti dviejų laisvai pasirinktų atraminių reakcijų ir trijų nurodytų pjūvių įrąžų infliuentes. 1.7.4. Apskaičiuoti šių reakcijų ir nurodytų pjūvių įrąžų reikšmes, naudojantis infliuentėmis. 1.7.5. Apskaičiuoti pasirinktų atraminių reakcijų ir trijų nurodytų pjūvių įrąžas, naudojant kompiuterinio skaičiavimo programas. 1.7.6. Parinkti atskiriems sijos ruožams dvitėjinius plieninius profilius, kai leistinieji įtempiai σadm = 200 MPa. 15 1.7.1. Skaičiuotinė sijos schema ir kinematinė analizė Apskaičiuojame 1.2 pav. pavaizduotos sijos laisvumo laipsnį pagal formulę (1.1): L=3G–2š–r0=3·4–2·3–6=0. Vadinasi, sija yra statiškai išsprendžiama ir jai galima sudaryti aukštų schemą. 1.2 pav. Sudėtinės sijos a) skaičiuotinė ir b) aukštų schemos 1.7.2. Statiniai skaičiavimai Skaičiuoti pradedama nuo viršutiniojo aukšto: Skaičiuojame siją 2–4. Skaičiuotinėje schemoje 1.2 pav. apkrovos veikimo kryptis yra tik vertikali, todėl šioje ir kitose sijelėse horizontaliosios reakcijos lygios nuliui. Likusios dvi lygtys užrašomos taip: ∑ M 2 = 100 ⋅ 2, 0 − Fr 4 y ⋅ 3, 0 = 0, Fr 4 y = 66, 7 kN . ∑ M 4 = −100 ⋅1, 0 + Fr 2 y ⋅ 3, 0 = 0, Fr 2 y = 33,3kN 1.3 pav. Sijos 2–4 schema Lenkimo momentai skaičiuojami taikant pjūvio metodą, atskiriant vieną sijos dalį. Lenkimo momentas laikomas teigiamu, kai sija išsigaubia žemyn: M 4,5 = Fr 2 y ⋅ l = 33, 3 ⋅ 2 = 66, 7 kNm. Skaičiuojame siją 1–2. 16 Sija 1–2 yra gembinė, todėl jos įrąžas galima apskaičiuoti nagrinėjant siją nuo laisvojo galo. Perkėlus atraminę reakciją Fr2y su priešingu ženklu iš viršutinio aukšto 2–4 bei įvertinus išorinės jėgos F poveikį, nustatomas lenkimo momentas: M 1 = 100 ⋅ 2, 0 + 33, 3 ⋅ 2, 0 = 266, 7 kNm. 1.4 pav. Sijos 1–2 schema Įvertinę viršutinių aukštų atramines reakcijas apskaičiuojame ir likusių sijų atramines reakcijas ir lenkimo momentus. Skaičiuojame siją 4–7 ∑ M 5 = 10, 0 ⋅ 7, 0 ⋅ 3, 5 − Fr 7 y ⋅ 7, 0 − 66, 7 ⋅ 1, 0 = 0, Fr 7 y = 25, 5kN . ∑ M 7 = 0 − 66, 7 ⋅ 8, 0 + Fr 5 y ⋅ 7, 0 − 10, 0 ⋅ 7, 0 ⋅ 3, 5 = 0, Fr 5 y = 111,1kN . M 8,9 = 66, 7 ⋅ 1, 0 = −66, 7 kNm. M 10,11 = 10, 0 ⋅ 7, 02 4 − 66, 7 2 = 89, 2kNm. 1.5 pav. Sijos 4–7 schema Skaičiuojame siją 7–9 M 14,15 = M 16 10, 0 ⋅ (3, 0) 2 − −121, 5 = 38, 2kNm, 4 2 = −25, 5 ⋅ 3, 0 − 10, 0 ⋅ 3, 0 ⋅ 1, 5 = 121, 4kNm. 1.6 pav. Sijos 7–9 schema Apskaičiavus atskirų aukštų sijų lenkimo momentus, analogiškai pagal medžiagų atsparumo taisykles nustatomos ir sijų skersinės jėgos. 17 Aukštų sijų vidinių įražų diagramas perkėlus ant bendros ašies, gaunamos visos sudėtinės sijos lenkimo momentų ir skersinių jėgų diagramos, jos pavaizduotos 2.17 pav. 1.7 pav. Daugiaatramės sijos įrąžų diagramos 1.7.3. Infliuenčių sudarymas Infliuentė yra grafikas, vaizduojantis įrąžos (reakcijos) priklausomybę nuo vienetinės jėgos, kuri gali užimti tam tikras padėtis sijos mazguose. Tam tikro pjūvio įrąžos infliuentė sudaroma, įvertinus sudėtinės sijos aukštų schemą, t. y. pradedama nuo to aukšto, kuriame yra nagrinėjamas pjūvis ar atraminė reakcija. Sudarius to aukšto infliuentę, įvertinama vienetinės jėgos įtaka, kai ji veikia kituose aukštuose. Braižant dviatramių sijų pjūvių įrąžų infliuentes, kai pjūvis yra tarpatramyje, sija nagrinėjama du kartus. Pirmą kartą skaičiuojamas lenkimo momentas arba skersinė jėga, nagrinėjant dešiniąją sijos dalį, esančią nuo pjūvio, vienetinę jėgą paliekant kairiojoje pusėje, o antrą kartą – daroma priešingai. Nagrinėjama kairioji pusė, kai vienetinė jėga nuo pjūvio yra dešinėje. Abiem atvejais gaunamos priklausomybės nuo atraminių reakcijų, kurios yra žinomos. Reikia tik nustatyti gautų tiesių galiojimo sritis. Nuo pjūvio į dešinę bus dešinioji tiesė, kuri gauta nagrinėjant kairiąją dalį, kai vienetinė jėga buvo dešinėje. Kairioji tiesė bus ta, kai nagrinėjama dešinioji dalis, o vienetinė jėga – nuo pjūvio kairiojoje pusėje. Jei sija su gembėmis, tai kairioji ir dešinioji tiesės atitinkamai pratęsiamos į kairiąją ir dešiniąją gembę. Jei braižomos įrąžų infliuentės pjūviams, kurie yra sijos gembėje, tai nagrinėjama tik laisvoji gembės dalis, imant dvi vienetinės jėgos padėtis abipus pjūvio. Užrašius statikos lygtis abiem atvejais, gaunamos dvi infliuentės ordinatės, jas sujungus gaunama nagrinėjamo pjūvio įrąžos infliuentė. Akivaizdu, kai vienetinė jėga bus nuo pjūvio link atramos, įrąža pjūvyje bus lygi nuliui (gembė neapkrauta). 18 Reikia žinoti, kaip infliuentė yra pratęsiama į kitus aukštus. Akivaizdu, kad kai vietinė jėga yra žemesniuose aukštuose, aukščiau esantys aukštai jos poveikio nejaučia, t. y. ten infliuentės ordinatė yra nulinė. Jei pagal aukštų schemą vienetinė jėga gali veikti aukštesniuose aukštuose, tai infliuentė pratęsiama pagal šią taisyklę: ties atrama infliuentės ordinatė yra lygi nuliui, ties lankstu – lūžis. Atraminių reakcijų infliuentės Sijos 4–7, atramos 5, reakcijų infliuentė Fr5y sudaroma atidedant +1 ties atrama ir pratęsiant tiesę iki sijos galo, paskui pratęsiama į viršutinį aukštą. Tarpinės reakcijų infliuentės ordinatės gaunamos nagrinėjant panašiuosius trikampius. Lenkimo momentų ir skersinių jėgų infliuentės 8 pjūvio įrąžų infliuentės: 8 pjūvio lenkimo momentų infliuentė: M8=–1·1 = –1, kai F = 1 – gembės gale; M8=–1·0 = 0, kai F= 1 – ties aštuntu pjūviu. Nagrinėjant gembę, kai F = 1 pjūvio dešinėje, M8= 0 . 8 pjūvio skersinės jėgos infliuentė: Skersinė jėga, kai vienetinė jėga yra pjūvio kairėje, t. y. bet kurioje gembės vietoje, Q8= 1 ir Q8= 0, kai vienetinė jėga dešinėje nuo pjūvio, t. y. – tarpatramyje. Infliuentės pratęsiamos į viršutinį aukštą. 9 ir 10 pjūvio įrąžų infliuentės: 9 pjūvio lenkimo momento infliuentė: M9=Fr7y·7 = 7, kai F = 1 – kairėje pusėje nuo pjūvio; M9=Fr5y·1 = 1, kai F =1 – dešinėje pusėje nuo pjūvio. Esant pjūviui labai arti atramos, tai to pjūvio infliuentė yra kaip gembėje, t. y analogiška 8 pjūvio infliuentei. 10 pjūvio lenkimo momento infliuentė: M10=Fr7y·5 = 5, kai F = 1 – kairėje pusėje nuo pjūvio; M10=Fr5y·2 = 2, kai F =1 – dešinėje pusėje nuo pjūvio. Pjūvis dviatramės sijos tarpatramyje. Abiem atvejais atramose Fr7y ir Fr5y lygios vienetui (žr. reakcijų infliuentes), todėl ties atramomis reikia atidėti reikšmes 5 bei 2 ir jas punktyrine linija sujungti su kitų atramų nulinėmis reikšmėmis. Pas- 19 kui nustatomos šių tiesių galiojimo sritys. Kai vienetinė jėga buvo kairėje, gauta pirmoji tiesė; ji galios nuo pjūvio į kairę, ją dar reikia pratęsti į viršutinį aukštą. Antroji tiesė gauta, kai vienetinė jėga buvo dešinėje, ji bus dešinioji. 9 pjūvio skersinės jėgos infliuentė: Q9=– Fr7y , kai F = 1 – kairėje pusėje nuo pjūvio; Q9=Fr5y , kai F =1 – dešinėje pusėje nuo pjūvio. 10 pjūvio skersinės jėgos infliuentė: Q10 =– Fr7y , kai F = 1 – kairėje pusėje nuo pjūvio; Q10 =Fr5y , kai F =1 – dešinėje pusėje nuo pjūvio. Gautos Q 9 i r Q 10 r eikšm ė s yra lygios atramini ų r eakcij ų r eikšm ė ms (pirmuoju atveju su minuso ženklu); belieka punktyrin ė mis linijomis perbraižyti jau turimas reakcij ų i nfliuentes ir nustatyti galiojimo ribas: Q 9 i r Q 10 i nfliuentes sudaro dvi lygiagret ė s ties ė s – kairioji ir dešinioji: kairioji nuo -1 iki 0, dešinioji – nuo 0 iki +1. Tikroji infliuent ė s dalis – viršutin ė t ies ė i ki pj ū vio, ties pj ū viu šuolis žemyn per 1, toliau apatin ė t ies ė – i ki atramos. Braižant M 10 i nfliuent ę t ies aštuntuoju pj ū viu bus l ū žis, o braižant Q 10 i nfliuent ę – š uolis. Tarpin ė s į r ą ž ų i nfliuen č i ų o rdinat ė s gaunamos nagrin ė jant panašiuosius trikampius. Braižome duotų pjūvių ir atraminių reakcijų infliuentes. 20 1.8 pav. Daugiaatramės sijos infliuentės 21 1.7.4. Įrąžų skaičiavimas naudojant infliuentes Z=Σi=1Fizi+Σi=1qiωi+Σi=1Mitgφ, čia F – sutelktoji išorinė apkrova, z – infliuentės ordinatė ties apkrovos pridėjimo tašku, Q – tolygiai išskirstyta apkrova, ω – infliuentės plotas po tolygiai išskirstyta apkrova, M – išorinis lenkimo momentas, φ – kampas, kuriuo sukama strypo ašis iki infliuentės sudaromosios, jei suka pagal laikrodžio rodyklę, ženklas teigiamas, jei prieš – neigiamas. Naudodamiesi infliuentėmis, apskaičiuojame reakcijų ir nurodytų pjūvių įrąžų reikšmes: Fr 5 y = 100 ⋅ 0, 762 + 10 ⋅ (0, 5 ⋅ 1, 0 ⋅ 7, 0 ) = 111,1kN , M 8 = 100 ⋅ ( −0, 666) = −66, 6kNm, Q8 = 100 ⋅ (−0, 666 ) = −66, 6kN , M 9 = 100 ⋅ (−0, 666 ) + 10 ⋅ (0, 5 ⋅ ( −7, 0) ⋅ 7, 0 ) = 312kNm, Q9 = 100 ⋅ 0, 666 + 10 ⋅ (1, 0 ⋅ 7, 0 ⋅ 7, 0 ) = 557 kN , M 10 = 100 ⋅ (−0, 476 ) + 10 ⋅ (0, 5 ⋅ 1, 429 ⋅ 2, 0 + 0, 5 ⋅ 1, 429 ⋅ 5, 0 ) = 2, 39kNm, Q10 = 0, 095 ⋅ 100 + 10 (0, 5 ⋅ 0, 714 ⋅ 5, 0 − 0, 5 ⋅ 0, 286 ⋅ 2, 0 ) = 24, 5kN . 1.7.5. Daugiaatramių sijų skaičiavimas kompiuteriu Daugiaatramių sijų skaičiavimas programa „SIJA“. Pasinaudojant Lietuvos žemės ūkio universiteto Statybinių konstrukcijų katedros doc. dr. L. Lindišo sukurta kompiuterine programa „SIJA“, apskaičiuojamos sijų atramų reakcijos, pjūvių skersinės jėgos ir lenkimo momentai, sudaromos nurodytų atramų atraminių reakcijų ir nurodytų pjūvių vidinių jėgų infliuentės. Sijos skaič iuotinė s schemos paruošimas. P riimame tokias išorinių apkrovų ž enklų taisykles: sutelktosios išorinė s jė gos laikomos teigiamomis, jei nukreiptos iš viršaus žemyn, neigiamomis – jei veikia iš apač ios į virš ų ; sutelktieji lenkimo momentai, jei suka pagal laikrodžio rodyklę laikomi teigiami, jeigu prieš laikrodžio rodyklę – n eigiami. Jei sija yra apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova, tai pirmiausia ją reikia pakeisti sutelktinė mis jė gomis. Paskui pažymimi sijos mazgai. Mazgai yra taškai, kuriuose yra išoriniai ryšiai, vidiniai lankstai ar veikia išorinė s apkrovos. Mazgai žymimi eilė s tvarka iš kairė s į dešinę . Jei pjūvis, kurio į rą žai sudaroma infliuentė , yra ne prie atramų, sutelktųjų jė gų ar momentų pridė jimo vietos, tada į vedamas atskiras mazgas. Pažymėjus mazgus, žymimi elementai ir pjūviai. Tarp mazgų esanti sijos dalis vadinama elementu. Elementai žymimi taip pat iš kairės į dešinę. Paskui pažymimi kiekvieno elemento du pjūviai: pradžios ir galo. Elemento pradžia laikoma vieta, kuri yra prie mažesnio mazgo numerio. Taip žymint pjūvius, elemento pradžios pjūvis visada yra nelyginis skaičius, o galo – lyginis. Sijos skaičiuotinė schema su pažymėtais mazgais, elementais, pjūviais parodyta 1.2 paveiksle. 22 1.9 pav. Sudėtinės sijos a) skaičiuotinė ir b) aukštų schemos Pradiniai sijos duomenys surašomi pradinių duomenų rinkmenoje SIJA.DAT. Pradinių duomenų rinkmenos pavyzdžiai įrašyti VŪŽF kompiuterių klasės kompiuteriuose. Skaičiuotojas pasidaro savo vardu rinkmenos kopiją ir į ją surašo skaičiuojamos sijos pradinius duomenis. Pradinių duomenų pavyzdžio rinkmenoje yra visi pradinių duomenų paaiškinimai. Sudėtinės sijos skaičiavimo pradinių duomenų rinkmena SIJA.DAT „KARPYTOS SIJOS SKAICIAVIMAS“ „PAVYZDYS MOKOMAJAI KNYGAI“ „ELEMENTU SKAICIUS (N)” 8 „VERTIKALIU RYSIU SKAICIUS (K1)“ 3 „KAMPINIU RYSIU SKAICIUS (K2)“ 2 „LANKSTU SKAICIUS (K3)“ 3 „VERTIKALIU AKTYVIU JEGU SKAICIUS (N1)“ 4 „MOMENTU SKAICIUS (N2)“ 0 „KELIEMS PJUVIAMS SUDAROMOS Q,M INLIUENTES (NQM)“ 3 „KELIOMS ATRAMOMS SUDAROMOS REAKCIJU INLIUENTES (NRA)“ 3 „VERTIKALIUS RYSIUS TURI MAZGAI (K1)“ 1,5,9 „KAMPINIUS RYSIUS TURI MAZGAI (K2)“ 1,9 „LANKSTAI YRA MAZGUOSE (K3)“ 2,4,7 „AKTYVINES JEGOS VEIKIA MAZGUS (N1)“ 2,3,6,8 „MOMENTAI VEIKIA MAZGUS (N2)“ 0 „Q IR M INFLIUENTES SUDAROMOS PJUVIAMS (NQM)“ 8,9,10 „REAKCIJU INFLIUNTES SUDAROMOS ATRAMOMS (NRA)“ 1,5,9 „ELEMENTU ILGIAI (N)“ 2.,2.,1.,1.,3.5,3.5,1.5,1.5 „AKTYVINES VERTIKALIOS JEGOS (N1)“ 100.,100.,70.,30. „AKTYVINIAI MOMENTAI (N2)“ 0. Sijos skaičiavimas atliekamas naudojant programą SIJA.EXE. Sijos skaičiavimo rezultatai su paaiškinimais pateikiami skaičiavimo duomenų rinkmenoje SIJA.REZ. 23 1.7.6. Dvitėjinio profilio parinkimas Pagal stiprumo sąlygą – σsk=Mmax/Wx<σadm=200MPa. Iš sortimentų lentelės parenkamas dvitėjinis profilis, patikrinama jo laikančioji galia. 24 2. TRILANKSČIŲ ARKŲ SKAIČIAVIMO UŽDAVINIAI 2.1. Arkų tipai, skaičiuotinės schemos sudarymo principai Arka vadinama skečiamojo tipo geometriškai pastovi lanko formos strypinė sistema. Statybose dažnai naudojamos belankstės, vienlankstės ir trilankstės arkos. Iš minėtų tipų statiškai išprendžiama trilankstė arka, todėl ją panagrinėsime detaliau. Arkos skaičiuotinė schema sudaroma remiantis tokiomis prielaidomis: skaičiuojamieji elementai tiesūs, nekintamo standžio; juose vyrauja lenkimo ir gniuždymo bei tempimo deformacijos; išorinė apkrova veikia sistemos mazguose. Arkų aukščiausias taškas yra vadinamas spyna. Vertikalus atstumas nuo arkos spynos iki tiesės, jungiančios apatinius arkos galus, vadinamas arkos pakyla ir žymimas raide f. Angos ilgio l ir arkos pakylos aukščio f santykis f/l išreiškia arkos iškilumą, kuris priklauso nuo arkos apybraižos, t. y. nuo y = f(x) išraiškos. Dažniausiai naudojamos arkos apybraižos yra parabolės ar elipsės formos. 2.2. Trilankstės arkos skaičiavimai 2.1 pavyzdys. Duotai arkai reikia: 2.2.1. Sudaryti skaičiuotinę schemą ir apskaičiuoti atramines reakcijas. 2.2.2. Apskaičiuoti nurodyto pjūvio (16) vidines įrąžas. 2.2.3. Sudaryti nurodyto pjūvio (16) vidinių įrąžų infliuentes. 2.2.4. Pagal sudarytas infliuentes apskaičiuoti nurodytų pjūvių vidines įrąžas. 2.2.5. Paruošti arkos skaičiavimo kompiuteriu pradinius duomenis ir atlikti jos sprendimą. 2.2.6. Pagal skaičiavimo rezultatus pabraižyti arkai ašinių jėgų diagramą. 2.2.7. Parinkti idealų plieninį profilį, kai leistinieji įtempiai σadm = 200 MPa, skerspjūvio aukštis h = 0,5m, juostos storis t = 0,1·b, kur b ─ juostos plotis. 2.2.1. Trilankstės arkos skaičiuotinė schema ir atraminių reakcijų skaičiavimas Sudarome skaičiuotinę arkos schemą ir apskaičiuojame atramines reakcijas: Arkos ašies horizontali projekcija (angos ilgis l) padalijama į mazgus ir pavienius tiesius nekintamo standžio elementus, kurių skaičius parenkamas atsižvelgus į arkos lanko apybraižos ypatumus (angos ilgį, pakylos aukštį). Parenkame 20 elementų. Arkos pakylos aukštis f apskaičiuojamas pagal formulę: f = l·0,35 = 34·0,35 = 11,9 m, čia l – angos ilgis. 16 pjūvio koordinatės: 25 x16 = α·l = 0,8·34 =27,2 m; y16 = y16 = 4⋅ f 4 ⋅ 11,9 ⋅ (l − x16 ) x16 = ⋅ (34 − 27, 2) ⋅ 27, 2 = 7,616 m. 2 l 342 Trijų lankstų arkos skaičiuotinė schema pavaizduota 2.1 pav. 2.1 pav. Trijų lankstų arkos skaičiuotinė schema Arkos atraminės reakcijos nustatomos kaip ir paprastai dviatramei sijai: 2.2 pav. Trijų lankstų arkos skaičiuotinė schema Fr 0 y = Fr0 y 0 ∑M 0 26 20 Fr 20 y = Fr020 y =0; Fr 20 y ∑M ; =0; 17 2 − Fr 20 y ·34 = 0 ; 27, 2·F + q· 2 17 2 27, 2·F + q· 2 = 2176 + 4335 = 191,5 kN; = 34 34 ⎛ 17 ⎞ Fr 0 y ·34 − q·17·⎜ + 17 ⎟ − F ·6,8 = 0 ; ⎝2 ⎠ Fr 0 y ⎛ 17 ⎞ q·17·⎜ + 17 ⎟ + F ·6,8 13005 + 544 ⎝2 ⎠ = = = 398,5 kN; 34 34 Patikrinimas: ∑V = 0 ; l Fr 0 y + Fr 20 y − F − q· = 398,5 + 191,5 − 80 − 30·17 = 590 − 590 = 0 ; 2 H= Mi ; f 2 M l0 K ⎛l⎞ ⎜2⎟ 17 2 l = Fr 0 y · − q· ⎝ ⎠ = 398,5·17 − 30· = 6774,5 − 4335 = 2439,5kNm 2 2 2 H= 2439,5 = 205 kN 11,9 2.2.2. Nurodyto pjūvio vidinių įrąžų skaičiavimas Apskaičiuojamos 16 pjūvio vidinės įrąžos. Lenkimo momentas: 0 M x = M x − H · yx ; 0 M 16 = M 16 − H · y16 ; 0 M 16 = Fr020 y ·(l − x16 ) = 191,5·(34 − 27, 2 ) = 191,5·6,8 = 1302, 2 KNm; M16 = 1302,2─205·7,616 = 1302,2─1561,28 = – 259,08 KNm. Skersinės jėgos: 0 Qx = Qx ·cos ϕ x − H ·sin ϕ x ; 27 0 Q16 = Q16 ·cos ϕ16 − H ·sin ϕ16 ; ' tg ϕ16 = y16 = 4· f 4·11,9 l − 2· x16 ) = ·(34 − 2·27, 2 ) = −0,84 ; 2( l 342 φ16 = – 40,030 ; sin φ16 = – 0,643192; cos φ16 = 0,765705; 0 Q16* = − Fr 20 y + F = −191,5 + 80 = −111,5 kN; 0 Q16D = − Fr 20 y = −191,5 kN; K Q16 = 0,765705·(−111,5) − 205·(−0,643192) = −85,376 + 131,854 = 46, 478 kN; D Q16 = 0,765705·(−191,5) − 205·(−0,643192) = −146,632 + 131,854 = −14,778 kN. Ašinės jėgos: 0 N x = −(Qx ·sin ϕ x + H ·cos ϕ x ) ; K 0 N16 = −(Q16K ·sin ϕ16 + H ·cos ϕ16 ) = −(111,5·(−0,643192) + 205·0,765705) = = −71,716 − 156,969 = −228,685kN ; D 0 N16 = −(Q16D ·sin ϕ16 + H ·cos ϕ16 ) = −(191,5·(−0,643192) + 205·0,765705) = = −123,171 − 156,969 = −280,140kN ; 2.2.3. Vidinių įrąžų infliuenčių sudarymas Sudarome nurodyto pjūvio T16 vidinių įrąžų infliuentes. Atraminių reakcijų Fr0y ir Fr20y influentės sudaromos kaip ir paprastai dviatramei sijai. Horizontaliosios reakcijos H: l 34 H yc = = = 0,71428 ; 4· f 4·11,9 H y16 = Lenkimo momento M: 0 M y16 = 28 4H · yc = 0, 4·0,71428 = 0, 28571 . 10 x16 27, 2 ·(l − x16 ) = ·(34 − 27, 2) = 5, 44 ; l 34 M y16 = 0 l − x16 34 − 27, 2 = = 3, 4 ; 2 2 ycM = ycM − ycH · yT ; 0 ycM = ycM − ycH · y16 = 3, 4 − 0,71428·7,616 = −2,04 ; 0 M M H y16 = y16 − y16 · y16 = 5, 44 − 0, 28571·7,616 = 3, 264 . 0 Skersinės jėgos QT: QT = QT0 ·cos ϕT − H ·sin ϕT ; 1 1 Q0 η16 K = − · x16 = − ·27, 2 = −0,8 ; l 34 1 1 Q0 η16 D = ·(l − x16 ) = ·(34 − 27, 2) = 0, 2 ; l 34 ηQ = − c 0 1 = 0,5 2 ; Q Q H η16 K = η16 K ·cos ϕ16 − y16 ·sin ϕ16 = −0,8·0,765705 − 0, 28571·(−0,643192) = 0 = −0,612564 + 0,183766 = −0, 428798; Q Q H η16 D = η16 D ·cos ϕ16 − y16 ·sin ϕ16 = 0, 2·0,765705 − 0, 28571·(−0,643192) = 0 = 0,153141 + 0,183766 = 0,336907; ηQ = ηQ ·cos ϕ16 − ycH ·sin ϕ16 = −0,5·0,765705 − 0,71428·(−0,643192) = c c 0 = −0,38285 + 0, 45942 = 0,07657; Ašinės jėgos NT: NT = −(QT0 ·sin ϕT + H ·cos ϕT ); N Q H η16 K = −(η16 K ·sin ϕ16 + y16 ·cos ϕ16 ) = −((−0,8)·(−0,643192) + 0, 28571·0,765705) = 0 = −0,51455 − 0, 21877 = −0,73332; K Q H η16 D = −(η16 D ·sin ϕ16 + y16 ·cos ϕ16 ) = −(0, 2·(−0,643192) + 0, 28571·0,765705) = 0 = 0,12864 − 0, 21877 = −0,09013; H ηcN = −(ηQ ·sin ϕ16 + y16 ·cos ϕ16 ) = −((−0,5)·(−0,643192) + 0,71428·0,765705) = c 0 = −0,32160 − 0,54693 = −0,86853; 29 2.3 pav. Trijų lankstų arkos infliuentės 30 2.2.4. Vidinių įrąžų skaičiavimas pagal infliuentes Skaičiuojame duoto pjūvio vidines įražas pagal influentes: 1 M 16 = 3, 264·F − ·2,04·17·q = 261,12 − 520, 2 = −259,08kNm; 2 1 D Q16 = ·0,07657·17·q − 0, 428798·F = 19,525 − 34,304 = −14,7798kN ; 2 1 K Q16 = ·0,07657·17·q + 0,336907·F = 19,525 + 25,953 = 46, 478kN ; 2 1 K N16 = − ·0,86853·17·q − 0,09013·F = −221, 475 − 7, 21 = −228,685kN ; 2 1 D N16 = − ·0,86853·17·q − 0,73332·F = −221, 475 − 58,666 = −280,141kN . 2 2.2.5. Trilanksčių arkų skaičiavimas kompiuteriu Trilanksčių arkų skaičiavimas programa „ARKA“. Pasinaudojant Lietuvos žemės ūkio universiteto Statybinių konstrukcijų katedros doc. dr. L. Lindišo sukurta kompiuterine programa „ARKA“, apskaičiuojamos trijų lankstų arkų atramų reakcijos, apskaičiuojami pjūvių lenkimo momentai, skersinės ir ašinės jėgos, sudaromos arkos skėtimo jėgos ir nurodyto pjūvio lenkimo momento, skersinės ir ašinės jėgos infliuentės. Trijų lankstų arkos skaičiuotinės schemos paruošimas. Ruošiant pradinius duomenis trijų lankstų arkos skaičiavimui, arkos ašies horizontali projekcija (angos ilgis l) padalijama į mazgus ir pavienius tiesius nekintamo standžio elementus, kurių skaičius parenkamas paisant norimo skaičiavimo tikslumo bei arkos lanko apybraižos ypatumų (angos ilgio, pakylos aukščio). Programa gali atlikti arkos skaičiavimus, kai ašies projekcija padalinama ne daugiau kaip į 100 dalių. Kompiuteris apskaičiuos atitinkamų arkos ašies pjūvių geometrinius rodiklius bei pjūvių vidines įrąžas. Trijų lankstų a rkos skaič iuotinė s chema parodyta 2.1 paveiksle. Pradiniai trijų l ankstų a rkos duomenys surašomi pradinių duomenų rinkmenoje ARKA.DAT. Trijų lankstų arkos skaičiavimo pradinių duomenų rinkmena ARKA.DAT „TRIJU LANKSTU ARKOS sKAIČIAVIMAS“ „PAVYZDYS MOKOMAJAI KNYGAI“ „ARKOS ASIS (NK): 0 ─ APSKRITIMINE, 1 ─ PARABOLINE“ 1 31 „ARKOS PADALINIMO DALIU (PJUVIU) SKAICIUS (N)“ 20 „LANKSTO VIETA (LANKSTAS PJUVYJE) (NC)“ 10 „Q, M, N INFLIUENTES SUDAROMOS PJUVIUI (NT)“ 16 „ARKOS ANGOS ILGIS (m) (L)“ 34. „PAKYLOS AUKSTIS (m) (F)“ 11.9 „ATRAMU AUKSCIU SKIRTUMAS (m) (H)“ 0. „SUTELKTUJU JEGU DYDZIAI PJUVIUOSE (kN) (N-1)“ 0.,0.,0.,0.,0. ,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,80.,0.,0.,0. „SLOGINIU INTENSYVUMAI RUOZUOSE (kN/m) (N)“ 30.,30.,30., 30.,30.,30.,30.,30.,30.,30.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0. Trijų lankstų arkos skaičiavimas atliekamas naudojantis programa ARKA. EXE. Arkos skaičiavimo rezultatai su paaiškinimais pateikiami skaičiavimo duomenų rinkmenoje ARKA.REZ. Pagal skaičiavimo rezultatus braižomos vidinių įrąžų diagramos. 32 2.2.6. Trilankstės arkos vidinių įrąžų diagramos 2.4 pav. Trijų lankstų arkos vidinių įrąžų diagramos 33 2.2.7. Skerspjūvio parinkimas: Pavojingas pjūvis 5. Mmax = M5 = 473,875 kNm; N = |N5| = 250,234 kN; δ sk = M max N + ≤ δ adm = 200 Wx A MPa; Arkos skerspjūvį parenkame plieninį dvitėjinį profilį pavaizduotą 2.5 pav. 2.5 pav. Plieninis dvitėjinis prolis Profilio atsparumo momentas Wx = Ix ymax ; ymax = h 2 ; Wx = 2 ⋅ Ix . h Profilio inercijos momentas 2 ⎛ h ⎞ A h2 Ix = y ⋅ A = 2 ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ = ⋅ A , ⎝2⎠ 2 4 2 įstačius į profilio atsparumo momento išraišką gauname Wx = h2 ⋅ A 2 h ⋅ A ⋅= . 4h 2 Iš stiprumo sąlygos išskaičiuojame skerspjūvio plotą δ sk = 250, 234·10−3 473,875·10−3 ⋅ 2 + = 200 MPa . A 0,5 ⋅ A Žinant, kad profilio plotas A = t·b·2, kadangi t = 0,1·b, tai A = 0,1·b·b·2, įstačius į profilio inercijos ir atsparumo momentų išraiškas ir žinant, kad h = 0,5m, gauname 34 Ix = 2·b·0,1·b·0,252; Wx = 2·b·0,1·b·0, 252 2·0,1·b 2 ·0, 252 = . 0, 25 0, 25 Įstačius į stiprumo sąlygą δ sk = 250, 234·10−3 473,875·10−3 ⋅ 2 + = 200 MPa 0,1 ⋅ b ⋅ b ⋅ 2 0,5 ⋅ 0,1 ⋅ b ⋅ b ⋅ 2 išreiškiame b priartėjimo būdu. Pagal GOST 8239-72 vaslcuotojo plieno dvitėjinio profilio sortimentų lentelę priimame b = 232 mm = 0,232 m. A = 0,1·b·b·2 = 0,1·0,232·0,232·2 = 0,0107648 m2; Wx = 2·0,1·0, 2322 ·0, 252 = 0,0026912 m3. 0, 25 Tikriname įtempius: 250, 234·10−3 473,875·10−3 + = 0,0107648 0,0026912 = 23, 246 + 176,083 = 199,329MPa<200MPa = δadm . δ sk = Sąlyga patenkinta. Galutinai priimame b = 0,232 m = 232 mm. 35 3. PLOKŠČIŲ SANTVARŲ SKAIČIAVIMO UŽDAVINIAI 3.1. Plokščios santvaros skaičiuotinės schemos sudarymo principai Santvara – tai geometriškai pastovi sistema, sudaryta iš strypų, kurių galai lankstiškai sujungti į mazgus. Realių santvarų strypų galai mazguose yra sujungiami standžiai. Eksperimentiniais tyrimais nustatyta, kad standžius mazgus pakeitus lankstiniais, strypų įrąžų bei mazgų poslinkių paklaidos gaunamos nedidelės. Taigi skaičiavimams supaprastinti, parenkant santvaros idealizuotą skaičiuotinę schemą, yra daromos šios prielaidos: - santvaros mazgai yra idealūs lankstai; - išorinė apkrova veikia tik sistemos mazguose; - strypai, jungiantys mazgus – absoliučiai tiesūs, strypų geometrinės ašys susikerta lankstinių mazgų centruose; - strypų ilgių pokyčiai, lyginant su jų matmenimis – gana maži. Pagal šias prielaidas strypuose atsiras tik ašinės jėgos, todėl toliau svarstant laikoma, jog strypai yra atsparūs tempimui ir gniuždymui. Plokščiosios santvaros yra konstruojamos pagal geometriškai nekintamų sistemų sudarymo principus. Santvaras pradėti skaičiuoti tikslinga nuo jų skaičiuojamųjų schemų struktūros analizės, sistemos laisvumo (statiško neišsprendžiamumo) laipsnio nustatymo. Pagrindinis santvaros elementas yra lankstiškai sujungtų trijų strypų trikampis ABC (3.1 pav.). Tai geometriškai nekintama figūra. Prie šio trikampio dviejų strypais B–D ir C–D prijungus lankstinį mazgą D, gaunama taip pat nekintama sistema ir t. t. Šią sistemą būtina dar pritvirtinti prie pagrindo trimis ryšiais, kurie nebūtų lygiagretūs ir nesikirstų viename taške (du ryšiai – mazge „A“ ir vienas ryšys mazge „C“, 3.l a pav. ir 3.1 b pav.). Gali būti visi trys ryšiai, esantys skirtinguose mazguose (3.1 c pav.). Tokios santvaros vadinamos paprastosiomis. 3.1 pav. Santvarų sudarymo pavyzdžiai Santvaros, kurioje yra M mazgų, S strypų ir r0 atraminių ryšių, laisvumo laipsnis L nustatomas iš šios priklausomybės: L=2M – S – r0 (3.1) čia L – laisvumo laipsnis, M – mazgų skaičius, S – strypų skaičius, r0 – atraminių ryšių skaičius. 36 Sudėtingos santvaros projektuojamos pagal bendrus kinematiškai nejudrių sistemų konstravimo principus, aptartus l.2 poskyryje. Atliekant santvaros kinematinę analizę, pirmiausia pagal formulę (3.1) apskaičiuojamas laisvumo laipsnis L, tada nustatoma, ar teisingai išsidėstę kinematiniai ryšiai. Santvarų atraminių ryšių reakcijos randamos iš įprastų jėgų projekcijų bei momentų pusiausvyros lygčių. Reikia pabrėžti, kad lankstinėje nepaslankioje atramoje reakcijos jėgos kryptis Fr yra nežinoma, todėl ji yra išskaidoma į dvi dedamąsias Fry ir Frx(vertikaliąją ir horizontaliąją). Dedamosios šioje mokomojoje knygoje vadinamos tiesiog reakcijomis. Strypų ašinės jėgos skaičiuojamos taikant pjūvio metodą, aptartą teorinės mechanikos ir medžiagų mechanikos kursuose. Tam skiriami trys būdai: - mazgų išpjovimo; - momentų centro; - projekcijų. Taikant mazgų išpjovimo būdą, yra išpjaunamas mazgas ir, užrašant jėgų projekcijų lygtis į dvi tarpusavyje statmenas ašis, apskaičiuojamos ašinės jėgos. Šį būdą visada galima taikyti, kai nežinomųjų yra du, pvz., kai į nagrinėjamą mazgą „sueina“ du strypai. Į mazgą gali „sueiti“ ir daugiau strypų, tačiau jų ašinės jėgos jau turi būti žinomos, nes galima užrašyti tik dvi nepriklausomas jėgų projekcijų lygtis. Naudojantis momentų centro bei projekcijų būdais, santvara dalijama į dvi dalis, paskui vienai iš jų užrašoma jėgų projekcijų arba momentų pusiausvyros lygtis, iš kurios apskaičiuojama ieškoma strypo ašinė jėga. Lygtis užrašoma tokia, kad į ją neįeitų kitų strypų, esančių pjūvyje, ašinės jėgos. Sudėtingesnėms santvaroms ne visada pavyksta iš vienos lygties rasti vieną nežinomą ašinę jėgą. Tada gali prireikti apskaičiuoti papildomai vieną ar keletą strypų įrąžų taikant kitą būdą. Jei pjūvis kerta tris strypus, visada nežinomą įrąžą galima rasti užrašant vieną lygtį. Šie būdai taikomi ir infliuentėms sudaryti. 3.2. Statiškai išsprendžiamos santvaros skaičiavimai 3.1 pavyzdys. Duotai santvarai reikia: 3.2.1. Sudaryti plokščios santvaros skaičiuotinę schemą ir nustatyti santvaros mazginę apkrovą. 3.2.2. Apskaičiuoti atramines reakcijas. 3.2.3. Apskaičiuoti nurodytame pjūvyje strypų įrąžas. 3.2.4. Sudaryti nurodyto pjūvio įrąžų infliuentes. 3.2.5. Pagal sudarytas infliuentes apskaičiuoti strypų įrąžas. 3.2.6. Paruošti santvaros skaičiavimo kompiuteriu pradinius duomenis. 3.2.1. Santvaros skaičiuotinės schemos paruošimas Santvaros skaičiuotinė schema sudaroma numeruojant lankstinius mazgus ir skaičiuojamaisiais pjūviais sąlyginai dalijant sistemą į atskirus strypus ir mazgus. Pirmiausia pažymimi santvaros mazgai, paskui pažymimi santvaros strypai. Koordinačių ašys X, Y 37 pravedamos taip, kad visų santvaros mazgų koordinačių reikšmės būtų teigiamos. Santvaros skaičiuotinė schema su pažymėtais mazgais, strypais parodyta 3.2 paveiksle. 3.2 pav. Santvaros skaičiuotinė schema 3.2 pav. parodytai santvarai, apkrautai pastovia q = 2,4 kN/m2, ir laikina p = 1,2 kN/m2 tolygiai išskirstytąja apkrova (apkrova yra viršutinėje santvaros juostoje, santvarų žingsnis s = 3m, atstumas tarp mazgų a = 3m, santvaros aukštis h = 4m), reikia rasti mazgines apkrovas. Skaičiuojame santvarą veikiančias išorines mazgines apkrovas: F1 = 1 1 ⋅ q ⋅ a ⋅ s = ⋅ 2, 4 ⋅ 3 ⋅ 3 = 10,8 kN; 2 2 F2 = q ⋅ a ⋅ s = 2, 4 ⋅ 3 ⋅ 3 = 21,6 kN; F4 = q ⋅ a ⋅ s = 2, 4 ⋅ 3 ⋅ 3 = 21,6 kN; F6 = 1 1 1 1 ⋅ q ⋅ a ⋅ s + ⋅ (q + p ) ⋅ a ⋅ s = ⋅ 2, 4 ⋅ 3 ⋅ 3 + ⋅ (2, 4 + 1, 2) ⋅ 3 ⋅ 3 = 2 2 2 2 = 10,8 + 16, 2 = 27 kN F8 = (q + p ) ⋅ a ⋅ s = (2, 4 + 1, 2) ⋅ 3 ⋅ 3 = 32, 4 kN; F10 = (q + p ) ⋅ a ⋅ s = (2, 4 + 1, 2) ⋅ 3 ⋅ 3 = 32, 4 kN; F12 = 38 1 1 ⋅ (q + p ) ⋅ a ⋅ s = ⋅ (2, 4 + 1, 2) ⋅ 3 ⋅ 3 = 16, 2 kN. 2 2 3.2.2. Atraminių reakcijų skaičiavimas Atraminės reakcijos apskaičiuojamos iš pusiausvyros (momentų ir jėgų projekcijų) lygčių. ∑M 3 =0; − F1 ⋅ a + F4 ⋅ a + F6 ⋅ 2 ⋅ a + F8 ⋅ 3 ⋅ a + F10 ⋅ 4 ⋅ a − Fr 11 y ⋅ 4 ⋅ a + F12 ⋅ 5 ⋅ a = 0 ; − F1 ⋅ a + F4 ⋅ a + F6 ⋅ 2 ⋅ a + F8 ⋅ 3 ⋅ a + F10 ⋅ 4 ⋅ a + F12 ⋅ 5 ⋅ a = 4⋅a −10,8 ⋅ 3 + 21,6 ⋅ 3 + 27 ⋅ 6 + 32, 4 ⋅ 9 + 32, 4 ⋅ 12 + 16, 2 ⋅ 15 = = 12 −32, 4 + 64,8 + 162 + 291,6 + 388,8 + 243 = = 93,15kN ; 12 Fr 11 y = ∑M 11 =0; − F1 ⋅ 5 ⋅ a + Fr 3 y ⋅ 4 ⋅ a − F2 ⋅ 4 ⋅ a − F4 ⋅ 3 ⋅ a − F6 ⋅ 2 ⋅ a − F8 ⋅ a + F12 ⋅ a = 0 ; F1 ⋅ 5 ⋅ a + F2 ⋅ 4 ⋅ a + F4 ⋅ 3 ⋅ a + F6 ⋅ 2 ⋅ a + F8 ⋅ a − F12 ⋅ a = 4⋅a 10,8 ⋅ 15 + 21,6 ⋅ 12 + 21,6 ⋅ 9 + 27 ⋅ 6 + 32, 4 ⋅ 3 − 16, 2 ⋅ 3 = = 12 162 + 259, 2 + 194, 4 + 162 + 97, 2 − 48,6 = = 68,85kN . 12 Fr 3 y = Patikrinimas: ∑ Y = 0; − F1 − F2 + Fr 3 y − F4 − F6 − F8 − F10 + Fr 11 y − F12 = 0 ; −10,8 − 21,6 + 68,85 − 21,6 − 27 − 32, 4 − 32, 4 + 93,15 − 16, 2 = 162 − 162 = 0 . 3.2.3. Nurodyto pjūvio strypų įrąžų skaičiavimas Nustatome strypų pasvirimo kampus: tg α = h2 h 4 1 = = =; 2⋅a 4⋅a 4⋅3 3 α = 18, 4350 ; 39 sin α = 0,316228 ; cos α = 0,948683 ; tgβ = h2 h 4 2 = = =; a 2⋅a 2⋅3 3 sin β = 0,55470 ; cos β = 0,83205 . Strypų įrąžų (ašinių jėgų) skaičiavimas: N8 skaičiavimas. Pjūvis kerta tris strypus, todėl galima užrašyti vieną lygtį, į kurią įeitų ieškomoji ašinė jėga N8. Taikomas momentų centro būdas imant centrą 7-ajame mazge. ∑M 7 =0 ; − F1 ⋅ 3 ⋅ a − F2 ⋅ 2 ⋅ a + Fr 3 y ⋅ 2 ⋅ a − F4 ⋅ a + N 8 ⋅ N8 = h =0 2 F1 ⋅ 3 ⋅ a + F2 ⋅ 2 ⋅ a − Fr 3 y ⋅ 2 ⋅ a + F4 ⋅ a = ; h2 10,8 ⋅ 9 + 21, 6 ⋅ 6 − 68,85 ⋅ 6 + 21, 6 ⋅ 3 = = 2 97, 2 + 129, 6 − 413,1 + 64,8 = = −60, 75kN ( gniuždomas ). 2 N10 skaičiavimas. Taikomas momentų centro būdas imant centrą 4-ajame mazge. ∑M 4 =0 ; − F1 ⋅ 2 ⋅ a − F2 ⋅ a + Fr 3 y ⋅ a − N10 ⋅ 3 ⋅ h ⋅ cos α =0; 4 − F1 ⋅ 2 ⋅ a − F2 ⋅ a + Fr 3 y ⋅ a −10,8 ⋅ 6 − 21,6 ⋅ 3 + 68,85 ⋅ 3 = = 3 ⋅ h ⋅ cos α 0,75 ⋅ 4 ⋅ 0,9487 4 −64,8 − 64,8 + 206,55 = = 27,04kN (tempiamas ). 2,846 N10 = N9 skaičiavimas. Šiuo atveju taikomas projekcijų būdas į horizontaliąją ašį. ∑H = 0 ; N 8 + N 9 ⋅ cos β + N10 ⋅ cos α = 0 ; 40 N9 = − N 8 − N10 ⋅ cos α 60,75 − 27,04 ⋅ 0,9487 = = 42,185kN (tempiamas ). cos β 0,832 3.2.4. Nurodyto pjūvio įrąžų infliuenčių sudarymas Sudarant infliuentes, naudojami tie patys skaičiavimo metodai ir tos pačios statikos lygtys kaip ir skaičiuojant įrąžas veikiant pastoviai apkrovai. Atraminių reakcijų infliuentes braižomos kaip ir paprastos dvitramės sijos atveju, t. y. naudojant tiesės lygties išraiškas. Braižant ašinių jėgų infliuentes atraminių reakcijų infliuentės laikomos žinomomis. Skaičiuojant infliuentes, kai yra taikomas mazgų išpjovimo būdas, strypo ašinė jėga skaičiuojama du kartus: kai vienetinė jėga pridėta nagrinėjamame mazge ir kai jos nėra, tai yra ji – kituose mazguose. Gautos išraiškos iš projekcijų lygčių atidedamos ties tais mazgais, kur buvo vienetinė jėga. Kai taikomas momentų centro ar projekcijų būdas ir pjūvis yra tarpatramyje, tai ta pati lygtis užrašoma du kartus mažiau apkrautai pusei: nagrinėjant kairiąją dalį, laikoma, kad vienetinė jėga yra dešiniojoje o nagrinėjant dešiniąją dalį ─ kairiojoje. Gaunama ašinės jėgos priklausomybė nuo atraminių reakcijų, kurių infliuentės yra žinomos. Belieka nustatyti dviejų gautų tiesių galiojimo sritis. Nuo pjūvio į dešinę galios ta tiesė, kuri gauta, kai vienetinė jėga buvo dešinėje, o nuo pjūvio į kairę ─ ta, kuri gauta, kai vienetinė jėga buvo kairėje. Tarp mazgų, kur buvo pjūvis ir juda vienetinė jėga, bus jungiamoji tiesė, jungianti dešiniąją ir kairiąją dalis. Infliuentė N8: 1) kai F =1 yra pjūvio dešinėje: ∑M 7 =0; Fr 3 y ⋅ 2 ⋅ a + N 8 ⋅ N 8inf = y6 = −3 ⋅ − Frinfy ⋅ 2 ⋅ a ⋅ 2 3 h = h =0 ; 2 − Frinfy ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 2 3 4 = −3 ⋅ Frinfy ; 3 ⎛ 1⎞ 1 1 = −1,5 y8 = −3 ⋅ = −0,75 y = 0 y6 = −3 ⋅ ⎜ − ⎟ = 0,75 . ; ; 10 ; ⎝ 4⎠ 2 4 2) kai jėga F=1 yra pjūvio kairėje: ∑M 7 =0 ; − Fr 11 y ⋅ 2 ⋅ a − N 8 ⋅ N 8inf = − Frinfy ⋅ 2 ⋅ a ⋅ 2 11 h = h =0; 2 − Frinfy ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 2 11 4 = −3 ⋅ Frinfy ; 11 41 1 ⎛ 1⎞ y1 = −3 ⋅ ⎜ − ⎟ = 0,75 ; y2 = 0 ; y4 = −3 ⋅ = −0,75 . 4 ⎝ 4⎠ Infliuentė N10: 1) kai jėga F=1 yra pjūvio dešinėje: ∑M 4 =0; 3 Fr 3 y ⋅ a − N10 ⋅ ⋅ h ⋅ cos α = 0 ; 4 inf N10 = Frinfy ⋅ a 3 3 ⋅ h ⋅ cos α 4 y6 = 1,05409 ⋅ = Frinfy ⋅ 3 3 0,75 ⋅ 4 ⋅ 0,948683 = 1,05409 ⋅ Frinfy ; 3 1 1 = 0,52705 ; y8 = 1,05409 ⋅ = 0, 26352 ; y10 = 0 ; 4 2 ⎛ 1⎞ y12 = 1,05409 ⋅ ⎜ − ⎟ = −0, 26352 . ⎝ 4⎠ 2) kai jėga F=1 yra pjūvio kairėje: ∑M 4 =0 ; 3 − Fr 11 y ⋅ 3 ⋅ a + N10 ⋅ ⋅ h ⋅ cos α = 0 ; 4 inf N10 = Frinfy ⋅ 3 ⋅ a ⋅ 4 11 3 ⋅ h ⋅ cos α = Frinfy ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 4 11 3 ⋅ 4 ⋅ 0,948683 = 3,16228 ⋅ Frinfy 11 ; 1 ⎛ 1⎞ y1 = 3,16228 ⋅ ⎜ − ⎟ = −0,79057 ; y2 = 0 ; y4 = 3,16228 ⋅ = 0,79057 . 4 ⎝ 4⎠ Infliuentė N9: ∑H = 0 ; N 8 + N 9 ⋅ cos β + N10 ⋅ cos α = 0 ; N y1 = 42 inf 9 int int − N 8int − N10 ⋅ cos α − N 8int − N10 ⋅ 0948683 ; = = cos β 0,83205 −0,75 + 0,79057 ⋅ 0,948683 −0,75 + 0,75 = = 0 ; y2 = 0 ; 0,83205 0,83205 y4 = y6 = y8 = 0,75 − 0,79057 ⋅ 0,948683 0,75 − 0,75 = = 0; 0,83205 0,83205 1,5 − 0,52705 ⋅ 0,948683 1,5 − 0,5 = = 1, 20185 ; 0,83205 0,83205 0,75 − 0, 26352 ⋅ 0,948683 0,75 − 0, 25 = = 0,60093 ; y10 = 0 ; 0,83205 0,83205 y12 = −0,75 + 0, 26352 ⋅ 0,948683 −0,75 + 0, 25 = = −0,60093 . 0,83205 0,83205 Pagal gautas infliuentes apskaičiuojame strypų įrąžas. N8= 0,75·F1– 0,75·F4–1,5·F6– 0,75·F8+ 0,75·F12= 8,1–16,2– 40,5–24,3+12,15=–60,75 kN; N9=1,20185·F6+ 0,60093·F8– 0,60093·F12=32,45+19,47–9,735=42,185 kN; N10= – 0,79057·F1+0,79057·F4+0,52705·F6+0,26352·F8– 0,26352·F12= = – 8,5382+17,0763+14,2303+8,5382– 4,2691= 27,0375 kN. 3.2.6. Santvaros skaičiavimas kompiuteriu Plokščių santvarų skaičiavimas programa „SAN“. Pasinaudojant Lietuvos žemės ūkio universiteto Statybinių konstrukcijų katedros doc. dr. L. Lindišo sukurta kompiuterine programa „SAN“, apskaičiuojamos santvarų atramų reakcijos, strypų ašinės jėgos, sudaromos nurodytų strypų ašinių jėgų infliuentės. Pradiniai santvaros duomenys surašomi pradinių duomenų rinkmenoje SAN. DAT. Pradinių duomenų pavyzdžio rinkmenoje yra visi pradinių duomenų paaiškinimai. Papildomai paaiškinsime tik strypų adresų masyvo paruošimą pradinių duomenų rinkmenos dalyje „STRYPŲ ADRESAI“. Šis masyvas gaunamas surašant strypų sužymėjimo didėjimo eile strypų pradžios ir galo mazgų numerius. Santvaros skaičiavimas atliekamas naudojant programą SAN.EXE. Santvaros skaičiavimo rezultatai su paaiškinimais pateikiami skaičiavimo duomenų rinkmenoje SAN.REZ. Santvarų pagrindiniais nežinomaisiais yra ašinių jėgų {N} mazgų poslinkių {u} ir atraminių reakcijų {R} vektoriai. Statiškai išsprendžiamos santvaros skaičiavimo pradinių duomenų rinkmena SAN.DAT „STATISKAI ISPRENDZIAMOS SANTVAROS SKAIČIAVIMAS“ „PAVYZDYS MOKOMAJAI KNYGAI“ „SANTVAROS STRYPU SKAICIUS (ST)“ 21 43 „MAZGU SKAICIUS (M)“ 12 „HORIZONTALIU RYSIU SKAICIUS (K1)“ 1 „VERTIKALIU RYSIU SKAICIUS (K2)“ 2 „KELIEMS APKROVIMO ATVEJAMS SKAICIUOJAMA SANTVARA“ 1 „HORIZONTALIU AKTYVIU JEGU SKAICIUS (N1)“ 0 „VERTIKALIU AKTYVIU JEGU SKAICIUS (N1)“ 7 „KELIEMS STRYPAMS SUDAROMOS IRAZU INFLIUENTES (KEL)“ 3 „PER KELIS MAZGUS JUDES VIENETINE JEGA SUDARANT INFLIUENTES (KUR)“ 7 „STRYPU ADRESAI (2*ST)“ 121323242535454647576768 7 8 7 9 8 9 8 10 9 10 9 11 10 11 10 12 11 12 „HORIZONTALIUS RYSIUS TURI MAZGAI (K1)“ 3 „VERTIKALIUS RYSIUS TURI MAZGAI (K2)“ 3 11 „HORIZONTALIOS JEGOS VEIKIA MAZGUS (N1)“ 0 „VERTIKALIOS JEGOS VEIKIA MAZGUS (N2)“ 1 2 4 6 8 10 12 „INFLIUENTES SUDAROMOS STRYPU IRAZOMS (KEL)“ 8 9 10 „VIENETINE JEGA JUDA PER MAZGUS (KUR)“ 1 2 4 6 8 10 12 „MAZGU KOORDINATES X (M)“ 0. 3. 3. 6. 6. 9. 9. 12. 12. 15. 15. 18. „MAZGU KOORDINATES Y (M)“ 4. 4. 0. 4. 1. 4. 2. 4. 1. 4. 0. 4. „HORIZONTALIU JEGU DYDZIAI (N1)“ 0. „VERTIKALIU JEGU DYDZIAI (N2)“ 10.8 21.6 21.6 27. 32.4 32.4 16.2 44 3.3 pav. Santvaros strypų įražų infliuentės 45 4. STATIŠKAI NEIŠSPRENDŽIAMOS KONSTRUKCIJOS (STRYPINĖS SISTEMOS) Konstrukcijos (strypinės sistemos), kuriose iš statikos pusiausvyros lygčių negalima surasti visų reakcijų ir įrąžų, vadinamos statiškai neišsprendžiamomis. Šias sistemas galima suskirstyti į išoriniu ir vidiniu atžvilgiais statiškai neišsprendžiamas. Be to, gali būti ir vienu metu abiem atžvilgiais statiškai neišsprendžiamos sistemos. Išoriniu atžvilgiu statiškai neišsprendžiamos vadinamos tokios strypinės sistemos (konstrukcijos), kuriose atraminių ryšių yra daugiau negu reikia ir iš statikos pusiausvyros lygčių visų reakcijų apskaičiuoti negalima. Vidiniu atžvilgiu statiškai neišsprendžiamomis vadinamos strypinės konstrukcijos, kurių reakcijas galima rasti iš statikos pusiausvyros lygčių, bet šių lygčių neužtenka visoms veikiančioms vidinėms jėgoms (įrąžoms) apskaičiuoti. Kad būtų galima bet kurioje statiškai neišsprendžiamoje strypinėje konstrukcijoje rasti visus ieškomuosius dydžius – reakcijas, lenkimo momentus, skersines ir ašines jėgas, trūkstamą statikos pusiausvyros lygčių skaičių reikia papildyti tamprumo lygtimis. Į šias papildomąsias tamprumo lygtis įeina strypinę sistemą veikiančios išorinės arba vidinės jėgos bei veikiant toms jėgoms atsirandančios deformacijos – atskirų pjūvių linijiniai ir kampiniai pasiskirstymai. Pasiskirstymai priklauso nuo strypų medžiagos ir jų skerspjūvio momentų, todėl į tai reikia atsižvelgti jau skaičiavimo pradžioje. Visose papildomosiose tamprumo lygtyse nežinomieji gali būti arba jėgos – atraminės reakcijos, atskirų pjūvių lenkimo momentai, skersinės ir ašinės jėgos arba deformacijos – atitinkamų pjūvių linijiniai ir kampiniai pasislinkimai. Pagal tai, kas yra nežinomieji tose papildomosiose tamprumo lygtyse – jėgos ar poslinkiai – taikome du pagrindinius skaičiavimo metodus – jėgų ar poslinkių. 4.1. Poslinkių skaičiavimas Konstrukciją veikianti išorinė apkrova ar kiti poveikiai (temperatūros pokyčiai, atramų sėdimas) sukelia deformacijas – poslinkius. Šie poslinkiai gali būti linijiniai ir kampiniai. Poslinkiai bus žymimi ∆iK; čia pirmasis indeksas parodo pjūvio numerį, o antrasis – poslinkio kryptį. Poslinkiai, kuriuos sukelia vienetinė jėga, žymimi δij. Statybinėje mechanikoje poslinkiams skaičiuoti taikoma Moro formulė, kuri susideda iš Moro integralų: − ∆ iK = ∑∫ l M ⋅ MK ⋅ dx + EI − ∑∫ l Q ⋅ QK ⋅ K ⋅ dx + GA − ∑∫ l N ⋅NK ⋅ dx , EA (4.1) čia M, Q, N – įrąžos nuo išorinės apkrovos strypo ruožo l ilgyje; − − − M K , Q K , N K , – tos pačios įrąžos, nuo vienetinės jėgos F=1.0 pridėtai ieškomo poslinkio K kryptimi; E – tamprumo modulis; A – skerspjūvio plotas; K – koeficientas, įvertinantis netolygų tangentinių įtempių skerspjūvyje pasiskirstymą ir priklausantis nuo skerspjūvio formos. 46 Jeigu kiekvieno strypinės sistemos strypo skerspjūvis yra vienodas per visą strypo ilgį, tai Moro formulė bus : ∆ iK = − − − 1 K 1 M ⋅ M K ⋅ dx + Q ⋅ QK ⋅ dx + N ⋅ N K ⋅ dx EI l GA l EA l ∫ ∫ ∫ (4.2) Skaičiuojant įvairias sijas, rėmus, skersinių ir ašinių jėgų įtaka dažniausia yra nedidelė, todėl Moro formulė supaprastėja: ∆ iK = − 1 M ⋅ M K ⋅ dx EI l ∫ (4.3) Skaičiuojant poslinkį pirmiausia sudaroma vienetinė lenkimo momentų diagrama MK nuo vienetinės jėgos, o vėliau lenkimo momentų diagrama M nuo išorinės apkrovos poveikio. Tolesniam skaičiavimui pritaikomas žinomas grafinis analizės būdas, pagal kurį strypai suskaidomi į vienodų standumo ruožus ir paprastų formų diagramomis, kurių svorio centras ir plotai yra lengvai nustatomi. Taigi, taikant šį būdą, integravimas pakeičiamas pirmosios diagramos ploto (A) ir antrosios diagramo ordinatės (Z) ties pirmosios diagramos svorio centru sandauga. Moro integralo išraiška tampa tokia: ∆ iK = 1 EI ∑ A⋅ Z (4.4) Esant tai pačiai medžiagai ir skirtingiems strypų skerspjūvio inercijos momentams, taikomas redukuotas inercijos momentas I0, kartu ir redukuotas standis EI: ∆ iK = 1 EI IO ∑I ⋅ A⋅ Z (4.5) i čia I0 – inercijos momentas pagal didžiausią ar mažiausią strypų skerspjūvių inercijos momentus. 4.2. Statiškai neišsprendžiamų strypinių sistemų skaičiavimas jėgų metodu 4.2.1. Strypinės sistemos statinio neišsprendžiamumo laipsnio nustatymas Statiškai neišsprendžiamos sistemos skaičiavimas pradedamas skaičiuotinės schemos analize. Pirmiausia nustatomas statinio neišsprendžiamumo laipsnis. Jis atitinka taip vadinamųjų „atliekamų“ ryšių skaičiui. Juos pašalinus sistema tampa statiškai išsprendžiama. Ši sistema turi būti ir geometriškai pastovi. Stačiakampis uždaras rėmas (4.1-as ir 4.2-as pav.) yra tris kartus statiškai neišsprendžiamas. Uždarą kontūrą sudaro keletas standžiai tarp savęs sujungtų strypų. 47 4.1 pav. Belankstis rėmas 4.2 pav. Stačiakampis uždaras rėmas Belanksčio rėmo (4.1 pav.) įtvirtinimai jungiasi žeme, kuri gali būti laikoma labai standžiu strypu. Norint uždarą kontūrą padaryti statiškai išsprendžiamu, reikia jį perpjauti ir pašalinti „atliekamus“ vidinius ryšius. Pašalintųjų ryšių vietoje reikia pridėti nežinomas įrąžas (4.3 ir 4.4 pav.). Reikia nepamiršti, kad vidinių ryšių jėgos yra abipusės. 4.3 pav. Perpjautas belankstis rėmas 4.4 pav. Perpjautas rėmo uždaras kontūras Rėmai gali būti išoriniu arba vidiniu atžvilgiais statiškai neišsprendžiami. Išoriniu atžvilgiu statiškai neišsprendžiami yra tokie rėmai, kurių atraminių reakcijų nustatymui nepakanka statikos pusiausvyros lygčių. Vidiniu atžvilgiu statiškai neišsprendžiamoms sistemoms negalima nustatyti vidinių įrąžų. Gali būti ir tokios sistemos, kurios vienu metu yra abiem atžvilgiais statiškai neišsprendžiamos. Sistemos statinio neišsprendžiamumo laipsnis gali būti nustatomas keliais būdais. Paprasta sistemos statinio neišsprendžiamumo laipsnį nustatyti atmetant „perteklinių“, t. y. statiškai nebūtinų ryšių skaičių. Atmetama tiek ryšių, kiek reikia, kad sistema būtų statiškai išsprendžiama ir geometriškai pastovi. Atmestų ryšių skaičius n, tai sistemos statinio neišsprendžiamumo laipsnis. Sistemos statinio neišsprendžiamumo laipsnis gali būti nustatomas įvairiomis empirinėmis formulėmis. Jei paprastas rėmas turi R išorinių ryšių ir tris nepriklausomas statikos pusiausvyros lygtis atraminėms reakcijoms skaičiuoti, tada išoriniu atžvilgiu statiškai neišsprendžiamos sistemos statinio neišsprendžiamumo laipsnis bus lygus: n = R – 3, čia n – sistemos statinio neišsprendžiamumo laipsnis; R – sistemos atraminių ryšių skaičius. 48 (4.6) Kai sistema statiškai neišsprendžiama vidiniu arba abiem atžvilgiais, tada formulę reikia papildyti. Uždaras kontūras yra tris kartus statiškai neišsprendžiamas (4.4 pav.). Jei sistema turi K uždarų kontūrų, tada gausime tokią formulę: n = 3·K – Š, (4.7) čia K – uždarų kontūrų, sudarytų sistemoje strypų ašimis, skaičius. Uždarą kontūrą gali sudaryti vien tik strypai, strypai ir pagrindas ar net standi paslanki atrama; Š – viengubų (paprastų) lankstų skaičius (atramų lankstai neskaičiuojami). Rėme esantys vidiniai lankstai sumažina jo statinio neišsprendžiamumo laipsnį. Jei lankstas jungia du strypus, tada jis vadinamas viengubu. Kai rėmo mazge esantis lankstas jungia m strypų, tada šiame mazge bus m – 1 viengubų lankstų. Šiuo atveju gausime tokią formulę: n = R + 3·K – Š – 3, (4.8) čia Š – viengubų lankstų skaičius (atramų lankstai neskaičiuojami). Nustatysime statinio neišsprendžiamumo laipsnį 4.5 ir 4.6 pav. pavaizduotiems rėmams. Statinio neišsprendžiamumo laipsnį apskaičiuosime iš 4.8 formulės. 4.5 pav. Keturis kartus neišsprendžiamas rėmas 4.6 pav. Šešis kartus neišsprendžiamas rėmas Daugiaatramių lankstų laisvai į polines atramas besiremiančių sijų statinio neišsprendžiamumo laipsnis yra lygus jų viduriniųjų atramų skaičiui. Įtvirtinus standžiai vieną ar abu sijos galinius pjūvius, pjūvio statinio neišsprendžiamumo laipsnis padidėja atitinkamai vienu ar dviem vienetais. Įvedus į tokią siją vieną ar daugiau lankstų, statinio neišsprendžiamumo laipsnis sumažėja atitinkamu vienetų skaičiumi. Daugiaatramių neišsprendžiamų sijų pavyzdžiai pateikti 4.7 paveiksle. 4.7 pav. Daugiaatramės neišsprendžiamos sijos 49 a – tris kartus; b – vieną kartą. 4.2.2. Pagrindinė sistema ir jos parinkimas Skaičiuojant statiškai neišsprendžiamas strypines sistemas jėgų metodu pirmiausia nustačius statinio neišsprendžiamumo laipsnį parenkama pagrindinė sistema (PS). Dažniausiai ji parenkama statiškai išsprendžiama sistema. Pagrindinė sistema gaunama pašalinus iš statiškai neišsprendžiamos sistemos ir „atliekamų“ ryšių. Parenkant pagrindinę sistemą gali būti pašalinti ir vidiniai, ir išoriniai ryšiai. Ryšius reikia pašalinti taip, kad pagrindinė sistema būtų kinematiškai nekintama, t. y. geometriškai nejudri ir statiškai išsprendžiama. Pašalintų vidinių ar išorinių ryšių kryptimis pridedame nežinomas jėgas X1, X2,....,Xn. Šios jėgos yra pagrindiniai nežinomieji skaičiuojant strypinę sistemą jėgų metodu. Visų nežinomųjų jėgų Xi dydžius rasime skaičiuodami poslinkius pagal Moro integralus. Kad paprasčiau būtų skaičiuoti, iš pradžių nežinomas jėgas Xi prilyginame vienetui, t. y. atliekame skaičiavimą nuo vienetinių jėgų, o paskui nuo duotųjų apkrovų. Pagrindinę sistemą tikslinga rinkti elementarią: gembinę arba dviatramę siją, gembinį arba dviatramį rėmą (esant sudėtingam rėmui jis gali būti dviatramis). Tokiu būdu galima parinkti daug skirtingų pagrindinių sistemų. Vieną kartą statiškai neišsprendžiamai sijai (4.8 pav.) parinktos kelios pagrindinės sistemos. 4.8 pav. Vieną kartą neišsprendžiamos sijos pagrindinės sistemos Pateiktas pagrindines sistemas reikia taip suprasti, kad jos turėtų būti apkrautos apkrovomis, bet dėl galimų sudėtingų paveikslų nubraižymo tai nedarome. 4.2.3. Kanoninių lygčių sudarymas Parinkus pagrindinę sistemą ir apkrovus ją duotąja apkrova bei Xi nežinomaisiais, galima sudaryti papildomas poslinkių lygtis. Jos išreiškia sąlygas, kurių fizinė prasmė yra ta, kad poslinkiai atmestųjų ryšių kryptimis, veikiant vienetinėms jėgoms ir išorinei (duotąjai) apkrovai, turi būti lygūs nuliui. Poslinkiai skaičiuojami naudojant Moro integralą, taikant grafinį analizės būdą (žr. 4.1 poskyrį). Esant tris kartus statiškai neišsprendžiamai strypinei sistemai, poslinkius atmestų ryšių kryptimis galima išreikšti: ⎧∑1 = 0, ⎪ ⎨∑ 2 = 0, ⎪∑ = 0. ⎩3 50 ⎧δ11 + δ12 + ... + δ1n + ∆1 f = 0, ⎪ ⎪δ 21 + δ 22 + ... + δ 2 n + ∆ 2 f = 0, ⎨ ⎪.................................................... ⎪δ + δ + ... + δ + ∆ = 0. n2 nn nf ⎩ n1 (4.9) Bendruoju atveju kanoninių lygčių sistema n kartų statiškai neišsprendžiamai strypinei sistemai užrašoma taip: ⎧δ11 X 1 + δ12 X 2 + ... + δ1n X n + ∆1 f = 0, ⎪ ⎪δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + ... + δ 2 n X n + ∆ 2 f = 0, ⎨ ⎪.................................................... ⎪δ X + δ X + ... + δ X + ∆ = 0. n2 2 nn n nf ⎩ n1 1 (4.10) Pirma lygtis išreiškia pagrindinės sistemos poslinkį lygų nuliui pirmo atmesto ryšio kryptimi. Antra lygtis – antro ryšio kryptimi ir t. t. Koeficientai prie nežinomųjų δij yra vienetiniai poslinkiai, iš jų δii vadinami pagrindiniais. Jie visada yra teigiami ir nelygūs nuliui (pavyzdžiui, δ11; δ22; δ33 ir t. t.). Šalutiniai poslinkiai δij gali būti teigiami, neigiami arba lygūs nuliui (pavyzdžiui, δ12; δ13; δ23 ir t. t.). Remiantis poslinkių ryšio teorema: δij = δji, (4.11) t. y. δ12 = δ21; δ13 = δ31; δ23 = δ32 ir t. t. Šalutiniai poslinkiai δij išdėstyti simetriškai pagrindinės įstrižainės atžvilgiu. Pirmas poslinkio indeksas nurodo vietą, o antras – priežastį, kuri sukelia šį poslinkį. Poslinkiai ∆if vadinami lygties laisvaisiais nariais. Juos sukelia atmestuose ryšiuose duotoji išorinė apkrova (bendruoju atveju raide f žymima išorinė apkrova, t. y. sutelktoji apkrova, momentas ar paskirstytoji apkrova). Šie poslinkiai taip pat gali būti teigiami, neigiami arba lygūs nuliui. Anksčiau minėtų poslinkių δij ir ∆if apskaičiavimui sudaromos vienetinės (atskirai nuo kiekvieno nežinomojo Xi ir duotųjų apkrovų) lenkimo momentų diagramos. Šios diagramos integruojamos taikant Moro formulę bei grafinį analizės būdą (žr. 4.1 poskyrį). Jei strypinė sistema yra daugiau kaip vieną kartą statiškai neišsprendžiama, atliekame kinematinę kontrolę, t. y. patikriname koeficientus prie nežinomųjų bei laisvuosius narius. Tam tikslui sudaroma suminė lenkimo momentų diagrama nuo visų vienetinių jėgų Xi poveikio. Ši suminė diagrama taikant Moro formulę integruojama (atskirai su kiekviena vienetine) ir (atskirai su duotųjų apkrovų) lenkimo momentų diagramomis. Jei koeficientai ir laisvieji nariai apskaičiuoti teisingai, turi būti tenkinamos tokios lygybės: δ1∑ = δ11 + δ12 +...+ δ1n (i = 1,2, ... n) δ2∑ = δ21 + δ22 +...+ δ2n (i = 1,2, ... n) .......................................................... .......................................................... δn∑ = δn1 + δn2 +...+ δnn (i = 1,2, ... n) ∆∑f = ∆1f + ∆2f +...+ ∆nf (4.12) Patikrinus šias lygybes jau galima spręsti kanonines lygtis. Jos sprendžiamos bet kuriuo matematiniu metodu arba taikant lygčių sprendimo kompiuterines programas. 51 Išsprendus kanoninių lygčių sistemą ir nustačius nežinomųjų Xi reikšmes apskaičiuojami galutiniai lenkimo momentai: Mi = Mi1X1 + Mi2X2 +...+ MinXn + Mf, (4.13) čia Mi1,Mi2,...,Min – pjūvio lenkimo momentai pagrindinėje sistemoje nuo vienetinių jėgų, Xi; Mf – pjūvio lenkimo momentas pagrindinėje sistemoje nuo duotųjų apkrovų; X1, X2,..., Xn – dydžiai, gauti iš kanoninių lygčių. 4.3. Statiškai neišsprendžiamų rėmų skaičiavimas jėgų metodu Rėmu vadinama geometriškai pastovi skaičiuotinė schema, sudaryta iš standžiai bei lankstiškai mazguose sujungtų strypų. Rėmai gali būti paprasti ir sudėtingi. Paprastaisiais vadinami vienaukščiai rėmai su viena anga. Rėmai, turintys daugiau aukštų ir angų, vadinami sudėtingais. Rėmų įrąžos nustatomos taikant įprastus analitinius skaičiavimo būdus arba naudojant šiuolaikines kompiuterines programas. Poskyryje bus nagrinėjamas rėmų skaičiavimas jėgų metodu naudojantis analitiniais metodais ir taikant specialią kompiuterinę programą. 4.3.1. Pagrindinė sistema ir jos parinkimas Statiškai neišsprendžiamo rė mo skaič iavimas pradedamas pagrindinė s sistemos (PS) parinkimu. Naudojant jė g ų metodą dažniausiai parenkama statiškai išsprendžiama sistema. Pagrindinė s istema gaunama pašalinus iš statiškai neišsprendžiamos sistemos n „atliekamų “ ryšių . Parenkant pagrindinę sistemą , gali būti pašalinti ir vidiniai, ir išoriniai ryšiai. Pašalintų vidinių ar išorinių ryši ų kryptimis pridedame nežinomas jė gas X1, X2,....,Xn. Šios j ė gos yra pagrindiniai nežinomieji skaič iuojant strypinę s istemą jė g ų metodu. Pagrindinę sistemą tikslinga rinkti elementarų g embinį a rba daugiaatramį rė mą . Tokiu atveju galima parinkti daug skirtingų p agrindinių s istemų . Ryšius reikia pašalinti taip, kad pagrindinė sistema bū tų kinematiškai nekintama ir neliktų uždarų , statiškai neišsprendžiamų kontū rų . Tris kartus neišsprendžiamam rė mui (4.9 pav., a) parinktos kelios pagrindin ė s sistemos (4.9 pav., b, c, d, e, f). 52 4.9 pav. Tris kartus neišsprendžiamo rėmo pagrindinės sistemos Šiuo atveju reikia suprasti, kad pagrindinės sistemos yra apkrautos nežinomomis jėgomis bei duotąja apkrova (ji nežymima, siekiant neapkrauti paties brėžinio). 4.3.2. Kanoninių lygčių koeficientų skaičiavimas ir tikrinimas Rėmo kanoninių lygčių koeficientų apskaičiavimui sudaromos vienetinės lenkimo momentų diagramos atskirai nuo kiekvieno nežinomojo, prilyginto vienetui (skersinių ir ašinių jėgų įtakos dažniausiai nepaisoma). Integruojant atitinkamas diagramas, koeficientai randami taikant Moro formulę poslinkiams skaičiuoti: l δij = ∑ ∫ 0 MiM j EI dz , (4.14) čia Mi, Mj – lenkimo momentai pagrindinėje sistemoje nuo vienetinių jėgų, veikiančių atmestųjų ryšių i ir j kryptimis; EI – sistemos pjūvių standumas lenkiant. Jeigu bent viena įrąžų diagrama yra tiesinė, tada diagramų integravimui galima panaudoti grafinį analizės būdą ir koeficientus apskaičiuoti iš tokios formulės: δij = ∑ ωy c , EI (4.15) čia ω – pirmosios lenkimo momentų diagramos plotas; yc – antrosios lenkimo momentų diagramos (būtinai tiesinės) ordinatė ties pirmosios diagramos sunkio centru. Abi diagramos sumavimo ilgyje turi kisti pagal vienodą dėsningumą (be šuolių, lūžių ir pan.). Kai abi diagramos yra vienoje strypo ašies pusėje, tada poslinkis teigiamas. Jei diagramos priešingose strypo pusėse – poslinkis neigiamas. Jei sistema daugiau kaip vieną kartą statiškai neišsprendžiama, atliekama pirmoji kinematinė kontrolė, nes apskaičiuotus kanoninių lygčių koeficientus ir laisvuosius narius reikia 53 patikrinti. Tam tikslui sudaroma suminė lenkimo momentų diagrama nuo visų vienetinių jėgų poveikio. Ji gali būti gaunama dviem būdais: paprasčiausiai sumuojant visas vienetines diagramas arba sudarant lenkimo momentų diagramą nuo visų vienetinių jėgų, veikiančių kartu, poveikio. Taikant Moro formulę ir grafinį analizės būdą, ši suminė diagrama dauginama pati iš savęs ir iš Mi. Jei koeficientai apskaičiuoti teisingai, turi būti sąlyga: l δi ∑ = ∑ MiM∑ dz , EI ∫ 0 (4.16) čia δi∑ – i–osios eilutės koeficientų prie nežinomųjų suma; M∑ – suminė vienetinių lenkimo momentų diagrama. Pagal pateiktas formules tikrinami kiekvienos lygties (4.12) koeficientai atskirai. Jei tikriname visų koeficientų teisingumą iš karto, tada turi būti tenkinama tokia sąlyga: l δ∑ ∑ = ∑ ∫ 0 2 M∑ dz , EI (4.17) čia δ∑∑ – visų lygčių koeficientų prie nežinomųjų suma. Kanoninių lygčių laisvasis narys ∆if yra pagrindinės sistemos poslinkis i ryšio kryptimi nuo išorės apkrovų. Jie skaičiuojami integruojant atitinkamas diagramas: MiM f l ∆ if = ∑ ∫ EI 0 dz , (4.18) čia Mi –pagrindinės sistemos lenkimo momentas nuo vienetinės jėgos xi; Mf – pagrindinės sistemos lenkimo momentas nuo duotosios apkrovos. Jei kanoninių lygčių laisvieji nariai apskaičiuoti teisingai, jie turi tenkinti tokias lygybes: l ∆f ∑ = ∑ ∫ 0 M f M∑ EI dz (4.19) 4.3.3. Galutinės lenkimo momentų diagramos sudarymas ir tikrinimas Išsprendus kanoninių lygčių sistemą ir nustačius nežinomųjų Xi reikšmes, apskaičiuojami galutiniai lenkimo momentai pagal 4.13 formulę. Apskaičiavus charakteringuose pjūviuose veikiančius lenkimo momentus, sudaroma galutinė lenkimo momentų diagrama M. Paskui atliekama jos statinė ir kinematinė kontrolė. Statine kontrole pirmiausia nustatome, ar diagramos pobūdis atitinka žinomus reikalavimus, pavyzdžiui: lūžis ties sutelktos jėgos pridėties tašku, šuolis ties momento pridėties tašku ir panašiai. Paskui tikriname mazgų pusiausvyrą. Jei diagrama netenkina reikalavimų, reikia ieškoti klaidų lenkimo momentų diagramose pagrindinėje sistemoje nuo duotosios apkrovos ir vienetinių jėgų. Kinematinė je kontrolė je į sitikinama, ar tikrai pagrindinė s sistemos pjūvių , kuriuose buvo atmesti ryšiai, poslinkiai tų atmestų ryši ų kryptimis yra lygūs nuliui. Poslinkiai lygū s nuliui, jei tenkinama tokia są lyga: 54 l δ∑ = ∑ ∫ 0 MM ∑ dz = 0, EI (4.20) čia δ ∑ – suminis sistemos poslinkis atmestų ryšių kryptimi; M – galutinė lenkimo momentų diagrama. Jei poslinkis nelygus nuliui, tai gautoji paklaida neturi viršyti 1%. 4.3.4. Skersinių ir ašinių jėgų diagramų sudarymas Skersinių jėgų diagrama sudaroma naudojantis lenkimo momentų diagrama ir diferencialiniu ryšiu: dM = Q = tg α, dz (4.21) o kai lenkimo momentų diagrama tiesinė, formule: ∆M = Q, ∆z (4.22) čia ∆z – strypo ilgio pokytis (atstumas tarp galų to ruožo, kuriame lenkimo momentų diagrama yra vienos tiesės atkarpa, o skersinė jėga yra pastovus dydis); ∆M – lenkimo momento reikšmės pokytis tame ruože. Jeigu lenkimo momentų diagrama – kreivė, tada vietoje lenkimo momentų pokyčio ∆M skaičiuojamas lenkimo momentų diagramos ties tuo pjūviu liestinės pokytis. Visais atvejais, skaičiuojant lenkimo momentų diagramos ar jos liestinės pokytį iš reikšmės, kuri atitinka pjūvį su didesne abscise z, atimama reikšmė, atitinkanti pjūvį su mažesne abscise z. Skaičiuojant pokyčius tokiu būdu, gaunamas teisingas skersinės jėgos ženklas. Skersinių jėgų diagramų sudarymo pavyzdžiai: 4.10 pav. Skersinių jėgų diagrama, kai veikia sutelktoji jėga 55 Q1–2 = Q2–3 = M 2 − (− M 1 ) > 0; (4.23) −M 3 − M 2 < 0. l (4.24) l 4.11 pav. Skersinių jėgų diagrama, kai veikia paskirstytoji apkrova Q1 = Q2 = M ′ − (− M 1 ) l/2 > 0; M2 − M ′ < 0, l/2 (4.25) (4.26) čia M′= f − f= M1 − M 2 2 ; ql 2 . 4 (4.27) (4.28) Sudarius skersinių jėgų diagramą, tikrinama, ar šios diagramos pobūdis atitinka žinomas diagramų savybes. Ašinių jėgų diagrama gaunama mazgų išpjovimo būdu nagrinėjant vidinių ir išorinių jėgų pusiausvyrą mazguose (4.12 pav.). Lenkimo momentai atraminiuose pjūviuose atidedami pagal tempiamus sluoksnius, skersinės jėgos pjūviuose ─ pagal teigiamą šlytį, o nežinomos ašinės jėgos rodomos brėžinyje taip, kad jos sukeltų tempimo įtempius pjūviuose. Skaičiavimą pradedame nuo mazgo, kuriame yra du strypai. Išpjautame mazge pridedamos įrąžos bei duotosios apkrovos ir rašomos jo pusiausvyros sąlygos: 4.12 pav. Mazgo išpjovimas 56 1) ∑Fx = 0; F – Q5 + N4 = 0; N4 = Q5 – F. 2) ∑Fy = 0; Q4 – N5 = 0; N5 = Q4. Toliau jau galima skaičiuoti ir mazgą, kuriame yra trys strypai. Vieno iš šių strypų ašinė jėga bus jau žinoma. Apskaičiavus visas ašines jėgas, sudaroma jų diagrama ir patikrinima pagal žinomus dėsningumus. 4.3.5. Reakcijų skaičiavimas ir tikrinimas. Skerspjūvio parinkimas ir perrinkimas Atraminės reakcijos nustatomos iš atraminių mazgų statikos pusiausvyros lygčių, pavyzdžiui: 1) ∑Fx = 0; FrAx – Q1 = 0; FrAx = Q1. 2) ∑Fy = 0; FrAy – N1 = 0; FrAy = N1. 4.13 pav. Mazgo A atraminės reakcijos 3) ∑MA = 0; –MA + M1 = 0; MA = M1. Statinė kontrolė atliekama užrašant statikos lygtis visam rėmui, nubraižius skaičiuojamąją schemą su visa apkrova ir jau surastomis atraminėmis reakcijomis. Jėgų projekcijų suma į dvi, tarpusavyje statmenas ašis, bei lenkimo momentų suma bet kurio taško atžvilgiu turi būti lygi nuliui. Patikrinus visų skaičiavimų teisingumą, iš įrąžų diagramų nustatomi strypų pavojingi pjūviai ir tikrinamas jų stiprumas (jei skerspjūviai iš anksto buvo žinomi). Jei skaičiuojant įrąžas buvo pasirinkti tik strypų standumų santykiai, tada strypų skerspjūvius reikia parinkti. Kai parinktų strypų standumai skiriasi nuo užsiduotųjų, juos reikia keisti ir sistemą skaičiuoti iš naujo. Perskaičiavus parenkamas naujas skerspjūvis. Skaičiavimai baigiami, kai parinktų strypų standumų santykiai artimi užduotiesiems. 57 4.4. Statiškai neišsprendžiamo rėmo skaičiavimo jėgų metodu uždavinių sprendimo pavyzdžiai 4.1 pavyzdys. Duotas statiškai neišsprendžiamas rėmas (4.14 pav.), jo matmenys L = 820cm, H = 360cm. Rėmas apkrautas jėga F = – 66kN, momentu Mf = – 38kNm ir tolygiai išskirstyta apkrova, kurios intensyvumas q = 30kN/m. Vertikalių rėmo strypų standumas EI, horizontalių – 4EI. 4.14 pav. Statiškai neišsprendžiamo rėmo skaičiuotinė schema Duotam rėmui (4.14 pav.) reikia : 4.4.1. Sudaryti rėmo skaičiuotinę schemą ir nustatyti sistemos statinio neišsprendžiamumo laipsnį. 4.4.2. Parinkti rėmui pagrindinę sistemą. 4.4.3. Sudaryti pagrindinei sistemai lenkimo momentų diagramas, kai jį veikia vienetinės jėgos ir kai veikia aktyvinės apkrovos. 4.4.4. Apskaičiuoti kanoninių lygčių koeficientus ir laisvuosius narius. 4.4.5. Sudaryti rėmui galutines lenkimo momentų, skersinių ir ašinių jėgų diagramas. 4.4.6. Paruošti rėmo skaičiavimo kompiuteriu pradinius duomenis ir atlikti jo sprendimą. 4.4.1. Rėmo skaičiuotinės schemos sudarymas Skaičiuojant pirmiausia sudaroma sistemos skaičiuotinė schema (4.15 pav.). Skaičiuojamaisiais pjūviais statinio schema tariamai dalijama į mazgus ir pavienius elementus. Rėmo laisvumo laipsnis L rodo tiesiškai nepriklausomų statikos pusiausvyros lygčių, kurias reikia užrašyti nežinomoms įrąžoms apskaičiuoti, skaičių. Skaičiuojant lenkiamas strypi- 58 nes sistemas nuo išorinių poveikių, reikia įvertinti ne tik lenkimo momentų, bet ir ašinių jėgų įtaką. Skaičiuojant lenkiamas strypines sistemas, pagrindiniais ieškomaisiais dydžiais laikomi lenkimo momentų {M}, mazgų poslinkių (u) ir atraminių reakcijų {R} vektoriai. Jeigu reikia, prie ieškomų dydžių priskiriamas ir ašinių jėgų vektorius {N}. Nagrinėjamo rėmo statinio neišsprendžiamumo laipsnis apskaičiuojamas pagal 4.7 formulę n = 3·K – Š = 3·1 – 1 = 2, t. y. rėmas dukart statiškai neišsprendžiamas. 4.15 pav. Rėmo skaičiuotinė schema 4.4.2. Rėmo pagrindinės sistemos parinkimas Pasirenkame pagrindinę sistemą suardant lankstą. 4.16 pav. Rėmo pagrindinė schema 59 4.4.3. Rėmo pagrindinės sistemos lenkimo momentų diagramos Lenkimo momentų M1 diagrama 4.17 pav. Lenkimo momentų M1 diagrama M1 = 0 = M 2 = M 3 = M 4 = M 5 , M 6,7 = 1,0 ⋅ 4,1 = 4,1, M 8 = 1,0 ⋅ 8, 2 = 8, 2, M 9 = −1,0 ⋅ 8, 2 = −8, 2, M 10 = −8, 2. Lenkimo momentų M2 diagrama 4.18 pav. Lenkimo momentų M2 diagrama M 1 = −1,0 ⋅ 7, 2 = −7, 2, M 2,3 = −1,0 ⋅ 3,6 = −3,6, M 4,5 = M 6,7 = M 8,9 = 0, M 10 = 1,0 ⋅ 7, 2 = 7, 2. 60 Suminė lenkimo momentų MΣ diagrama, kuri sudaroma nuo suminio X1 ir X2 poveikio 4.19 pav. Suminė lenkimo momentų MΣ diagrama Tikrosios apkrovos sukeltų lenkimo momentų diagrama Mf 4.20 pav. Lenkimo momentų Mf diagrama M 1 = F ⋅ H = 66 ⋅ 3,6 = 237,6kNm, M 2 = M 3 = M 4 = M 5 = 0, − q ⋅ L2 −30 ⋅ 8, 22 =− = −504,3kNm, 4 4 L M 8 = − q ⋅ L ⋅ = −30 ⋅ 8, 2 ⋅ 4,1 = −1008,6kNm, 2 L M 9 = q ⋅ L ⋅ + M f = 30 ⋅ 8, 2 ⋅ 4,1 + 38 = 1046,6kNm = M 10 . 2 M6 = M7 = 61 4.4.4. Kanoninių lygčių koeficientai ir laisvieji nariai Jėgų metodo kanoninės lygtys δ11 x1 + δ12 x2 + ∆1F = 0, δ 21 x1 + δ 22 x2 + ∆ 2 F = 0. Kanoninių lygčių koeficientai δ11 , δ12 , δ21 ir δ22 δ11 = 1⎛ 1 2 530,1 ⎞1 ⎜ 8, 2 ⋅ 2 ⋅ 8, 2 ⋅ 3 ⋅ 8, 2 ⎟ + EI (8, 2 ⋅ 7, 2 ⋅ 8, 2 ) = EI , 4 EI ⎝ ⎠ δ12 = δ 21 = δ 22 = 2 δΣΣ = 1 1 212,5 , (−8, 2 ⋅ 7, 2 )⋅ ⎛ ⋅ 7, 2 ⎞ = − ⎜2 ⎟ EI EI ⎝ ⎠ 1 ⎛1 2 ⎞ 248,8 , ⎜ ⋅ 7, 2 ⋅ 7, 2 ⋅ ⋅ 7, 2 ⎟ = 3 EI ⎝ 2 EI ⎠ 1 ⎛1 2 1 1 ⎛2 ⎞ ⎜ ⋅ 7, 2 ⋅ 7, 2 ⋅ ⋅ 7, 2 + ) ⋅ 8, 2 ⋅ 7, 2 ⋅ ⎜ ⋅ 8, 2 + ⋅ 1,0 ⎟ + 3 2 3 EI ⎝ 2 ⎝3 ⎠ 1 2 ⎞⎞ ⎛ 1 2 ⎛1 ⎞ 353,8 + ⋅ 1,0 ⋅ 7, 2 ⋅ ⎜ ⋅ 8, 2 + ⋅ 1⎟ ⎟ + ⎜ ⋅ 8, 2 ⋅ 8, 2 ⋅ ⋅ 8, 2 ⎟ = . 2 3 ⎠⎠ ⎝ 3 3 EI ⎝3 ⎠ Kanoninių lygčių laisvieji nariai ∆1F ir ∆2F 1 1 ⎡⎛ 1 ⎞2 ⎡1046,6 ⋅ 7, 2 ⋅ (−8, 2 )⎤ + ⎣ ⎦ 4 EI ⎢⎜ − 2 ⋅ 1008,6 ⋅ 8, 2 ⎟ ⋅ 3 ⋅ 8, 2 + EI ⎠ ⎣⎝ 3 30 ⋅ 8, 2 1 66029,9 , + ⋅ ⋅ 8, 2] = − 12 2 EI 1 ⎡⎛ 1 ⎞ ∆2F = ⎢⎜1046,6 ⋅ 7, 2 2 ⋅ 7, 2 ⎟ + EI ⎣⎝ ⎠ ∆1 F = 1 1 ⎛2 ⎞ ⎤ 24561,8 . + ⋅ 237,6 ⋅ 3,6 ⋅ ⎜ − ⋅ 7, 2 − ⋅ 3,6 ⎟⎥ = 2 3 EI ⎝3 ⎠⎦ Sudauginame diagramos M F p lotus ir atitinkamas ordinates iš suminė s diagramos M Σ: ⎡1 ⎛1 ⎛1 ⎛2 ⎞⎞ ⎛1 ⎞ ⎞⎤ ⎢ ⋅ 3,6 ⋅ 237,6 ⋅ ⎜ − ⋅ 3,6 + ⎜ − ⋅ 7, 2 ⎟ ⎟ + 1046,6 ⋅ 7, 2 ⋅ ⎜ − ⋅ 8, 2 + ⎜ − ⋅ 1,0 ⎟ ⎟ ⎥ + ⎝3 ⎠⎠ ⎝2 ⎠ ⎠⎦ ⎝3 ⎝2 ⎣2 1 ⎡⎛ 1 30 ⋅ 8, 23 ⎛ 1 ⎞2 ⎞⎤ + ⎢⎜ − 2 ⋅ 8, 2 ⋅ 1008,6 ⎟ ⋅ 3 ⋅ 8, 2 + 12 ) ⋅ ⎜ 2 ⋅ 8, 2 ⎟ ⎥ = 4 EI ⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ∆ Σf = =− 1 EI 6030, 4 ⎛ 4238,6 ⎞ 41468 +⎜− ⎟ = − EI . EI EI ⎠ ⎝ 62 Patikriname, ar teisingai apskaičiuoti kanoninių lygčių koeficientai ir laisvieji nariai: δ11 + 2δ12 + δ 22 = δ z 2 , 530,1 ⎛ 212,5 ⎞ 248,8 353,82 + 2⋅⎜− = , ⎟+ EI EI ⎠ EI EI ⎝ 353,9 353,8 ≈ , EI EI ∆ 1 f + ∆ 2 f = ∆ Σf , 66029 24561 41468 + =− . EI EI EI Apskaičiuojame jėgų x1 ir x2 reikšmes − ⎧δ11 x1 + δ12 x2 = 0 ⎨ ⎩δ 21 x1 + δ 22 x2 = 0 212,5 66029,9 ⎧ 530,1 =0 ⎪ EI ⋅ x1 − EI ⋅ x2 − EI ⎪ ⎨ ⎪− 212,5 ⋅ x + 248,8 ⋅ x + 24561,8 = 0 1 2 ⎪ EI EI EI ⎩ iš pirmos lygties: 530,1 ⋅ x1 = 212,5 ⋅ x2 + 66029,9, x1 = 212,5 ⋅ x1 + 66029,9 , 530,1 įstatom į antrą ⎛ 212,5 ⋅ x2 + 66029,9 ⎞ −212,5 ⋅ ⎜ ⎟ + 248,8 ⋅ x2 + 24561,8, 530,1 ⎝ ⎠ −45456, 25 ⋅ x2 14031353,75 − + 248,8 ⋅ x2 + 24561,8 = 0, 530,1 530,1 163,61x2 = 1907,5, x2 = 11,66, 530,1x1 = 212,5 ⋅ 11,66 + 66029,9, x1 = 129, 2. 63 4.4.5. Rėmo galutinės lenkimo momentų, skersinių ir ašinių jėgų diagramos Galutinė lenkimo momentų diagrama Mg 4.21 pav. Lenkimo momentų Mg diagrama M 1 = −11,66 ⋅ 7, 2 + 66 ⋅ 3,6 = 153,6kNm, M 2 = −11,66 ⋅ 3,6 = −41,98kNm, M 3 = −11,66 ⋅ 3,6 = −41,98kNm, M 4 = 0, M 5 = 0, 0 + 50,84 30 ⋅ 8, 22 + = 529,7 kNm, 2 4 8, 2 M 8 = 129, 2 ⋅ 8, 2 − 30 ⋅ 8, 2 ⋅ = 50,84kNm, 2 M 9 = −50,84 + 38 = −12,84kNm, M 6 −7 = M 10 = −12,84 + 11,66 ⋅ 7, 2 = 71,1kNm. Patikriname, ar gerai apskaičiuoti lenkimo momentai ∆ M gΣ = 1 ⎡⎛ 1 2 2 ⎞⎛ 1 ⎞⎛1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎢⎜ 2 ⋅ 153 ⋅ 3,6 ⎟ ⋅ ⎜ − 3 ⋅ 3,6 − 3 ⋅ 7, 2 ⎟ + ⎜ − 2 ⋅ 41,98 ⋅ 3,6 ⎟ ⋅ ⎜ − 3 ⋅ 7, 2 − 3 ⋅ 3,6 ⎟ + EI ⎣⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ 1 ⎛1 ⎞⎛ 2 ⎞⎛1 ⎞⎛ 2 ⎞ ⎛1 ⎞ + ⎜ − ⋅ 41,98 ⋅ 3,6 ⎟ ⋅ ⎜ − ⋅ 3,6 ⎟ + ⎜ − ⋅ 12,84 ⋅ 7, 2 ⎟ ⋅ ⎜ − ⋅ 8, 2 − ⋅ 1,0 ⎟ + ⎜ ⋅ 71,1 ⋅ 7, 2 ⎟ ⋅ 3 ⎝2 ⎠⎝ 3 ⎠⎝2 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝2 ⎠ 1 1 ⎛2 ⎞⎤ ⋅ ⎜ − ⋅ 1,0 − ⋅ 8, 2 ⎟ ⎥ + 3 ⎝3 ⎠ ⎦ 4 EI 64 ⎡⎛ 1 ⎞⎛ 2 ⎞ 30 ⋅ 8, 23 ⎛ 1 ⎞⎤ ⎜ 2 ⋅ 50,84 ⋅ 8, 2 ⎟⎜ 3 ⋅ 8, 2 ⎟ + 12 ⎜ 2 ⋅ 8, 2 ⎟ ⎥ = 0. ⎢ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣⎝ Skersinių ir ašinių jėgų diagramos Q1−2 = 11,66 − 66 = −54,34kN , Q3−4 = 11,16kN , Q5 = 129, 2kn, Q6 = 129, 2 − 30 ⋅ 8, 2 = −116,8kN , Q7−8 = −11,66kN . 4.22 pav. Rėmo skersinių jėgų Q diagrama N1−4 = −129, 2kN , N 5−6 = 11,66kN , N 7−8 = 129, 2 − 30 ⋅ 8, 2 = −116,8kN . 4.23 pav. Rėmo ašinių jėgų N diagrama 65 Jėgų pusiausvyros mazge 5 4.24 pav. Rėmo 5 mazgo pusiausvyros schema ∑F y = 0, 116,8 − 116,8 = 0, ∑ F = 0, ∑ M = 0, x −50,84 + 38 + 12,84 = 0. 4.4.6. Statiškai neišsprendžiamų rėmų skaičiavimas kompiuteriu Rėmų skaičiavimas programa „JEG“. Pasinaudojant Lietuvos žemės ūkio universiteto Statybinių konstrukcijų katedros doc. dr. L. Lindišo sukurta kompiuterine programa „JEG“, apskaičiuojamos statiškai neišsprendžiamų rėmų atramų reakcijos, rėmo pjūvių skersinės ir ašinės jėgos bei šių pjūvių lenkimo momentai. Rėmo skaičiuotinės schemos paruošimas. Jei rėmas yra apkrautas tolygiai išskirstyta apkrova, tai pirmiausia ją reikia pakeisti sutelktinėmis jėgomis. Paskui pažymimi rėmo mazgai. Mazgai yra taškai, kuriuose yra išoriniai ryšiai, vidiniai lankstai ar veikia išorinės apkrovos bei taškai, kuriuose susikerta strypai. Pažymėjus mazgus, žymimi strypai ir pjūviai. Tarp mazgų esanti rėmo dalis vadinama strypu. Vėliau pažymimi kiekvieno strypo du pjūviai: pradžios ir galo. Strypo pradžia laikoma vieta, kuri yra prie mažesnio mazgo numerio. Tokiu būdu žymint pjūvius, strypo pradžios pjūvis visada yra nelyginis skaičius, o galo – lyginis. Be to, pjūvių numeris yra susiejamas su strypų numeriu – strypo galinio pjūvio numeris yra du kartus didesnis už strypo numerį. Koordinačių ašys X, Y pravedamos taip, kad visų rėmo mazgų koordinačių reikšmės būtų teigiamos. Rėmo skaičiuotinė schema su pažymėtais mazgais, strypais, pjūviais parodyta 4.15 pav. Pradiniai statiškai neišprendžiamo rėmo skaičiavimo duomenys surašomi pradinių duomenų rinkmenoje JEG.DAT. Papildomai paaiškinsime strypų adresų masyvo paruošimą pradinių duomenų rinkmenos dalyje „STRYPŲ ADRESAI“ ir informacijos apie jėgų metodo pagrindinės sistemos nurodymą: 66 Strypų adresų masyvas gaunamas surašant strypų sužymėjimo didėjimo eile strypų pradžios ir galo mazgų numerius. Skaičiuotojas statiškai neišsprendžiamo rėmo pagrindinę sistemą gali parinkti pats, arba pagrindinės sistemos parinkimą pavesti kompiuteriui. Informacija apie skaičiuotojo parinktą pagrindinę sistemą nurodoma rinkmenos dalyje „INFORMACIJA APIE PAGRINDINĘ SISTEMĄ“. Jei skaičiuojama panaudojant priimtą pagrindinę sistemą, tai nurodomi pjūvių numeriai, kuriuose pašalinami vidiniai ryšiai. Pašalinus ašinės jėgos ryšį pjūvyje, įrašomas pjūvio numeris, pašalinus skersinės jėgos ryšį – pjūvio numeris su neigiamu ženklu, jei pašalinus kampinį – pjūvio numeris padidintas 100 kartų. Norint, kad pagrindinę sistemą pasirinktų kompiuteris, reikia rinkmenos dalyje „STATINIO NEIŠSPRENDŽIAMUMO LAIPSNIS“ įrašyti neigiamą skaičių. Statiškai neišsprendžiamo rėmo skaičiavimo jėgų metodu pradinių duomenų rinkmena JĖG.DAT. „STATISKAI NEISSPRENDZIAMO REMO SKAICIAVIMAS JEGU METODU“ „PAVYZDYS mokomajai knygai“ „STRYPU SKAICIUS (N)“ 5 „STRYPU ADRESAI (2*N)“ 1,2,2,3,3,4,4,5,5,6 „KOKIOS IRAZOS VERTINAMOS APSKAICIUOJANT KOEFICIENTUS“ „RASOME 1 ─ JEIGU LENKIMO MOMENTUS“ „2 ─ JEIGU LENKIMO MOMENTUS IR ASINES JEGAS“ „─1 ─ JEIGU ASINES JEGAS“ 1 „STRYPO STANDumas LENKIMUI (EI) (N)“ 1.,1.,4.,4.,1. „STRYPO ASINIS STANDumas (EF) (N)“ 0.,0.,0.,0.,0. „KURIO STRYPO STANDumas PRIIMTAS PRADINIU“ 1 „MAZGU SKAICIUS (M)“ 6 „MAZGU KOORDINATES X (m)“ 0.,0.,0.,4.1,8.2,8.2 „MAZGU KOORDINATES Y (m)“ 0.,3.6,7.2,7.2,7.2,0. „HORIZONTALIU RYSIU SKAICIUS (R1)“ 2 „HORIZONTALIUS RYSIUS TURI MAZGAI (R1)“ 1,6 „VERTIKALIU RYSIU SKAICIUS (R2)“ 2 „VERTIKALIUS RYSIUS TURI MAZGAI (R2)“ 1,6 „KAMPINIU RYSIU SKAICIUS (R3)“ 2 „KAMPINIUS RYSIUS TURI MAZGAI (R3)“ 1,6 „LANKSTU SKAICIUS (S)“ 1 „LANKSTAI YRA PJUVIUOSE (S)“ 4 „HORIZONTALIU JEGU SKAICIUS (NH)“ 1 „HORIZONTALIOS AKTYVIOS JEGOS VEIKIA MAZGUS (NH)“ 2 „HORIZONTALIU JEGU DYDZIAI (NH)“ –66. „VERTIKALIU JEGU SKAICIUS (NV)“ 1 „VERTIKALIOS AKTYVIOS JEGOS VEIKIA MAZGUS (NV)“ 4 „VERTIKALIU JEGU DYDZIAI (NV)“ 246. 67 „MOMENTU SKAICIUS (NM)“ 1 „MOMENTAI VEIKIA MAZGUS (NM)“ 5 „MOMENTU DYDZIAI (NM)“ –38. „sutelktuju JEGU,GAUTU PAKEITUS TOL. PASKIRS. APKR., SKAICIUS (SL)“ 1 „SLOGINIAI PAKEISTI JEGOMIS, PRIDETOMIS MAZGUOSE (SL)“ 4 „STATINIO NEISSPRENDZIAMUMO LAIPSNIS (K)“ 2 „INFORMACIJA APIE PAGRINDINE SISTEMA (K)“ 4, –4 UZDAVINIO SPRENDIMO DATA 2007 09 03 Statiškai neišsprendžiamo rėmo skaičiavimas jėgų metodu atliekamas programa JEG.EXE. Rėmo skaičiavimo rezultatai su paaiškinimais pateikiami skaičiavimo duomenų rinkmenoje JEG.REZ. 4.5. Statiškai neišsprendžiamų rėmų skaičiavimas poslinkių metodu Skaičiuojant statiškai neišsprendžiamas konstrukcijas poslinkių metodu, pagrindiniais nežinomaisiais imami mazgų poslinkiai (kampiniai ir linijiniai). Šių nežinomų poslinkių skaičius m yra vadinamas kinematinio neišsprendžiamumo laipsniu. Žinant šiuos poslinkius, galima nustatyti deformuotą sistemos vaizdą ir, įvertinus tiesinį ryšį tarp poslinkių ir deformacijų bei tarp deformacijų ir įrąžų, gauti šias įrąžas. Kinematinio neišsprendžiamumo laipsnis nebūtinai turi sutapti su statinio neišsprendžiamumo laipsniu. Kaip ir jėgų metode, poslinkių metode neįvertinama: a) strypų ašinių ir skersinių jėgų įtaka jų deformacijoms; b) skirtumas tarp iškreivintų strypų ilgio ir jų projekcijų dydžio į pirminę kryptį. 4.6. Statiškai neišsprendžiamo rėmo skaičiavimo poslinkių metodu uždavinių sprendimo pavyzdžiai 4.2 pavyzdys Duotas statiškai neišsprendžiamas rėmas (4.25 pav.), jo matmenys a = 3,0m, b=2,0m. Rėmas apkrautas vertikalia jėga F1 = 150kN, horizontaliomis jėgomis F=110kN ir vienodai išskirstyta apkrova, kurios intensyvumas q = 15kN/m. Rėmo strypų standumų santykiai EI = 3:1,5:4:3. 68 4.25 pav. Statiškai neišsprendžiamo rėmo schema Duotam rėmui (4.25 pav.) reikia : 4.6.1. Sudaryti rėmo skaičiuotinę schemą ir nustatyti sistemos statinio neišsprendžiamumo laipsnį. 4.6.2. Parinkti rėmui pagrindinę sistemą. 4.6.3. Sudaryti pagrindinei sistemai lenkimo momentų diagramas, kai jį veikia vienetiniai poslinkiai ir kai veikia aktyvinės apkrovos. 4.6.4. Apskaičiuoti kanoninių lygčių koeficientus ir laisvuosius narius. 4.6.5. Sudaryti rėmui galutinę lenkimo momentų diagramą. 4.6.6. Paruošti rėmo skaičiavimo kompiuteriu pradinius duomenis ir atlikti jos sprendimą. 4.6.1. Rėmo skaičiuotinės schemos sudarymas Pažymėjus mazgus, žymimi strypai ir pjūviai. Koordinačių ašys X, Y pravedamos taip, kad visų rėmo mazgų koordinačių reikšmės būtų teigiamos. Rėmo skaičiuotinė schema su pažymėtais mazgais, strypais, pjūviais parodyta 4.26 paveiksle. 69 4.26 pav. Statiškai neišsprendžiamo rėmo skaičiuotinė schema 4.6.2. Rėmo pagrindinės sistemos sudarymas Poslinkių m etodo pagrindinė s istema (4.27 pav.) gaunama skaič iuotinė je schemoje pasitelkiant papildomus ryšius taip, kad gautume sujungtų mazguose vienaangių sijų v isumą . Įvestieji ryšiai, kurie priešinasi mazgo pasisukimui (bet nevaržo linijinių p oslinkių), yra vadinami mazginiais arba standžiais (perima tik momentą ), o tie, kurie priešinasi pasislinkimui, yra vadinami linijiniais. Minė tieji standūs ryšiai mazguose vaizduojami kvadratukais, o linijiniai ryšiai – į prastai, lankstiniu paslankiu ryšiu. Gautoji sistema turi būti ekvivalentiška pradinei kinematiniu požiūriu. Dėl to įvestiesiems ryšiams suteikiami tam tikri kampiniai ir linijiniai poslinkiai, kurie laikomi pagrindiniais nežinomaisiais (iš viso jų yra m). Įvedamų ryšių kiekis ir poslinkių metodo lygčių skaičius priklauso nuo pradinės skaičiavimo schemos kinematinio neišsprendžiamumo laipsnio m = mk + ml. Plokščiojo rėmo mazgų kampinių posūkių skaičius mk yra lygus nesuvaržytų standžių mazgų skaičiui. Mazgų ar jų grupių (jei neįvertinamos strypų išilginės ir skersinės deformacijos) linijinių poslinkių skaičius ml nustatomas iš vadinamosios rėmo lankstinės schemos, gautos įterpus lankstus į visus pradinės schemos mazgus. Be to, pradinėje schemoje esančios gembės turi būti atmestos. Gautoji poslinkių metodo pagrindinė sistema yra vienintelė. Ją sudaro įvairiai įtvirtintos dviatramės sijelės. 70 4.27 pav. Statiškai neišsprendžiamo rėmo pagrindinė sistema M1 = F1·a = 150·3 = 450 kNm. 4.6.3.Pagrindinės sistemos lenkimo momentų diagramos, kai jį veikia vienetiniai poslinkiai ir kai veikia aktyvinės apkrovos Kanonini ų l yg č i ų k oeficientams ir laisviesiems nariams skai č iuoti reikia sudaryti lenkimo moment ų d iagramas pagrindin ė je sistemoje nuo r ė mo mazg ų v ienetini ų n ežinom ų p oslinki ų p oveikio ir nuo pirmin ė s apkrovos poveikio. Reakcijos r if i r R įf g ali b ū ti dvejopos: sutelktieji momentai mazg ų r yšiuose ir sutelktosios j ė gos linijiniuose ryšiuose. 71 4.28 pav. Lenkimo momentų diagrama dėl Z1 poveikio 4.29 pav. Lenkimo momentų diagrama dl Z2 poveikio 72 4.30 pav. Lenkimo momentų diagrama dėl Z3 poveikio 4.31 pav. Lenkimo momentų diagrama dėl Z4 poveikio 73 4.32 pav. Lenkimo momentų diagrama dėl išorinių jėgų poveikio i= EI1 3EI EI EI 1,5 EI = = 0,3333 ⋅ EI ; i2 = 2 = ; i1 = = 0,375 ⋅ EI ; 3⋅ a 9 l 2⋅b 2⋅2 i3 = EI 3 4 EI EI 3EI = = 0, 4444 ⋅ EI ; i4 = 4 = = 1,5 ⋅ EI ; 3⋅ a 9 2 b i5 = EI 4 3EI = = 1,5 ⋅ EI . 2 b 4.6.4. Kanoninių lygčių koeficientų ir laisvųjų narių skaičiavimas Paskaičiuojame kanoninių lygčių koeficientus ir laisvuosius narius: ⎧ r11 ⋅ z1 + r12 ⋅ z2 + r13 ⋅ z3 + r14 ⋅ z4 + R1,F = 0; ⎪r ⋅ z + r ⋅ z + r ⋅ z + r ⋅ z + R = 0; ⎪ 21 1 22 2 23 3 24 4 2, F ⎨ r31 ⋅ z1 + r32 ⋅ z2 + r33 ⋅ z3 + r34 ⋅ z4 + R3,F = 0; ⎪ ⎪ r41 ⋅ z1 + r42 ⋅ z2 + r43 ⋅ z3 + r44 ⋅ z4 + R4,F = 0. ⎩ 74 ∑M 3 = 0; r11 = 3 ⋅ i2 + 3 ⋅ i3 + 4 ⋅ i4 = 3 ⋅ 0,375 ⋅ EI + 3 ⋅ 0, 4444 ⋅ EI + 4 ⋅ 1,5 ⋅ EI = = 1,125 ⋅ EI + 1,333 ⋅ EI + 6 ⋅ EI = 8, 458 ⋅ EI ; 4.33 pav. r11 nustatymas ∑M 3 = 0; r12 = 2 ⋅ i4 = 2 ⋅ 1,5 ⋅ EI = 3 ⋅ EI ; 4.34 pav. r12 nustatymas ∑M r13 = 3 = 0; 3 ⋅ i2 6 ⋅ i4 3 ⋅ 0,375 ⋅ EI 6 ⋅ 1,5 ⋅ EI − = − = l2 l4 4 2 = 0, 281 ⋅ EI − 4,5 ⋅ EI = −4, 219 ⋅ EI ; 4.35 pav. r13 nustatymas ∑M 3 = 0; R1,F = M = 450; r21 = r12 = 3 ⋅ EI ; 4.36 pav. R1F nustatymas 75 ∑M 5 = 0; r22 = 4 ⋅ i4 + 4 ⋅ i5 = 4 ⋅ 1,5 ⋅ EI + 4 ⋅ 1,5 ⋅ EI = 6 ⋅ EI + 6 ⋅ EI = 12 ⋅ EI ; 4.37 pav. r22 nustatymas ∑M 5 = 0; r23 = − 6 ⋅ i4 −6 ⋅ 1,5 ⋅ EI = = −4,5 ⋅ EI ; l4 2 ∑M = 0; 4.38 pav. r23 nustatymas r24 = 5 6 ⋅ i4 6 ⋅ i5 6 ⋅ 1,5 ⋅ EI 6 ⋅ 1,5 ⋅ EI − = − = 4,5 ⋅ EI − 4,5 ⋅ EI = 0; l4 l5 2 2 4.39 pav. r24 nustatymas ∑M 5 = 0; ∑ H = 0; 4.40 pav. R2F ir R4F nustatymas 76 R2,F = 0; R4,F = − F = − (−110 ) = 110; r31 = r13 = −4, 219 ⋅ EI ; r32 = r23 = −4,5 ⋅ EI ; ∑ H = 0; r33 = 3 ⋅ i2 12 ⋅ i4 3 ⋅ 0,375 ⋅ EI +2= + l22 l4 42 12 ⋅ 1,5 ⋅ EI = 0,070 ⋅ EI + 4,5 ⋅ EI = 22 = 4,57 ⋅ EI ; + 4.41 pav. r33 nustatymas ∑ H = 0; r34 = − 12 ⋅ i4 −12 ⋅ 1,5 ⋅ EI = = −4,5 ⋅ EI ; l42 22 4.42 pav. r34 nustatymas ∑ H = 0; R3,F = F = −110kN ; 4.43 pav. R3F nustatymas r41 = r14 = 4,5 ⋅ EI ; r42 = r24 = 0; r43 = r34 = −4,5 ⋅ EI ; ∑ H = 0; r44 = 12 ⋅ i4 12 ⋅ i5 12 ⋅ 1,5 ⋅ EI 12 ⋅ 1,5 ⋅ EI +2= + = l42 l5 22 22 = 4,5 ⋅ EI + 4,5 ⋅ EI = 9 ⋅ EI ; 4.44 pav. r44 nustatymas Apskaičiuotus koeficientus statome į kanoninę lygčių sistemą: ⎧8, 458 ⋅ z1 + 3 ⋅ z2 − 4, 219 ⋅ z3 + 4,5 ⋅ z 4 +450 = 0; ⎪3 ⋅ z + 12 ⋅ z − 4,5 ⋅ z + 0 ⋅ z +0 = 0; ⎪1 2 3 4 ⎨ ⎪−4, 219 ⋅ z1 − 4,5 ⋅ z2 + 4,57 ⋅ z3 + 4,5 ⋅ z 4 −110 = 0; ⎪4,5 ⋅ z1 + 0 ⋅ z2 − 4,5 ⋅ z3 + 9 ⋅ z 4 +110 = 0. ⎩ 77 Išsprendę lygtį gauname ieškomus mazgų poslinkius: z1 = −74, 231; z2 = 14,035; z3 = −12,061; z4 = 18,863. 4.6.5. Rėmo galutinės lenkimo momentų diagramos sudarymas Sudarome galutinę MΣ diagramą. MΣ kiekviename pjūvyje surandama pagal formulę: M ∑ = M F + M 1 ⋅ z1 + M 2 ⋅ z2 + M 3 ⋅ z3 + M 4 ⋅ z4 ; M 1,∑ = −151,875kNm M 2 ,∑ = 0 M 3,∑ = 4 ; ; M 4,∑ = 3 ⋅ i2 ⋅ z1 + ; 3 ⋅ i2 3 ⋅ 0,375 ⋅ z3 = 3 ⋅ 0,375 ⋅ (−74, 231) + ⋅ (−12,061) = 4 l2 = −83,510 − 3,392 = 86,902kNm; M 5,∑ = 3 ⋅ i3 ⋅ z3 = 3 ⋅ 0, 4444 ⋅ (−74, 231) = −98,974kNm; M 6,∑ = 0; M 7,∑ = −4 ⋅ i4 ⋅ z1 − 2 ⋅ i4 ⋅ z2 + 6 ⋅ i4 6 ⋅ i4 ⋅ z3 − ⋅ z4 = −4 ⋅ 1,5 ⋅ (−74, 231) − l4 l4 6 ⋅ 1,5 6 ⋅ 1,5 ⋅ (−12,061) − ⋅ 18,863 = 445,386 − 4 4 −42,105 − 54, 274 − 84,884 = 264,123kNm; −2 ⋅ 1,5 ⋅ 14,035 + M 8,∑ = 2 ⋅ i4 ⋅ z1 + 4 ⋅ i4 ⋅ z2 − 6 ⋅ i4 6 ⋅ i4 ⋅ z3 + ⋅ z4 = 2 ⋅ 1,5 ⋅ (−74, 231) + l4 l4 6 ⋅ 1,5 6 ⋅ 1,5 ⋅ (−12,061) + ⋅ 18,863 = −222,693 − 4 4 −42,105 + 84, 21 + 54, 274 + 84,883 = 0,674kNm; +4 ⋅ 1,5 ⋅ 14,035 − M 9,∑ = −4 ⋅ i5 ⋅ z2 + 6 ⋅ i5 6 ⋅ 1,5 ⋅ z4 = −4 ⋅ 1,5 ⋅ 14,035 + ⋅ 18,863 = l5 2 = −84, 21 + 84,883 = 0,674kNm; M 10,∑ = 2 ⋅ i5 ⋅ z2 − 6 ⋅ i5 6 ⋅ 1,5 ⋅ z4 = 2 ⋅ 1,5 ⋅ 14,035 − ⋅ 18,863 = l5 2 = 42,105 − 84,883 = −42,778kNm. 78 4.45 pav. Rėmo galutinė momentų diagrama 4.6.6. Statiškai neišsprendžiamų rėmų skaičiavimas kompiuteriu Rėmų skaičiavimas programa „DELTA“. Pasinaudojant Lietuvos žemės ūkio universiteto Statybinių konstrukcijų katedros doc. dr. L. Lindišo sukurta kompiuterine programa „DELTA“, apskaičiuojami rėmo mazgų poslinkiai pageidaujamomis kryptimis. Kaip tarpiniai skaičiavimo rezultatai, pateikiami statiškai išsprendžiamų rėmų pjūvių lenkimo momentai, kai jį veikia aktyvios apkrovos ir kai jį veikia skaičiuojamų poslinkių kryptimis pridėtos vienetinės jėgos. Rezultatuose pateikiamos apskaičiuotos statiškai neišsprendžiamų rėmų atramų reakcijos, rėmo pjūvių skersinės ir ašinės jėgos bei šių pjūvių lenkimo momentai. Rėmo skaičiuotinės schemos paruošimas. Rėmo skaičiuotinė schema sudaroma pagal 4.6.2 poskyryje išdėstytus principus, išskyrus tai, kad jei rėmas yra apkrautas tolygiai išskirstyta apkrova, jos nereikia pakeisti sutelktinėmis jėgomis. Rėmo skaičiuotinė schema su pažymėtais mazgais, strypais, pjūviais parodyta 4.27 paveiksle. Pradiniai rėmo poslinkių skaičiavimo duomenys surašomi pradinių duomenų rinkmenoje DELTA.DAT. Paaiškinsime tik strypų adresų masyvo paruošimą pradinių duomenų rinkmenos dalyje „STRYPŲ ADRESAI“ ir informacijos apie poslinkių metodo pagrindinės sistemos pateikimą. 79 Strypų adresų masyvas gaunamas surašant strypų sužymėjimo didėjimo eile strypų pradžios ir galo mazgų numerius. Poslinkių metodo pagrindinė sistema nurodoma įrašant rinkmenos dalyje „INFORMACIJA APIE PAGRINDINE SISTEMA“ mazgų numerius, kurių poslinkiai fiktyviai yra suvaržyti išoriniais ryšiais. Jei ryšiu suvaržomas mazgo kampinis poslinkis, tai pradinių duomenų rinkmenoje įrašomas mazgo numeris, jei horizontalus – mazgo numeris su neigiamu ženklu, jei vertikalus – mazgo numeris padidintas 100 kartų. Pradinių duomenų pavyzdžio rinkmenoje yra visi kiti pradinių duomenų paaiškinimai. Rėmo poslinkių skaičiavimo pradinių duomenų rinkmena DELTA.DAT „STATISKAI NEISSPRENDZIAMO REMO SKAICIAVIMAS POSLINKIU METODU“ „PAVYZDYS MOKOMAJAI KNYGAI“ „STRYPU SKAICIUS (N)“ 5 „STRYPU ADRESAI (2*N)“ 1,2,2,3,3,4,3,5,5,6 „STRYPU STANDUMAI (EI) (N)“ 3.,1.5,4.,3.,3. „MAZGU SKAICIUS (M)“ 6 „MAZGU KOORDINATES X (m) (M)“ 0.,9., 9., 18., 9., 9. „MAZGU KOORDINATES Y (m) (M)“ 8.,8.,4.,4.,2.,0. „HORIZONTALIU RYSIU SKAICIUS (R1)“ 2 „HORIZONTALIUS RYSIUS TURI MAZGAI (R1)“ 1,6 „VERTIKALIU RYSIU SKAICIUS (R2)“ 3 „VERTIKALIUS RYSIUS TURI MAZGAI (R2)“ 1,4,6 „KAMPINIU RYSIU SKAICIUS (R3)“ 2 „KAMPINIUS RYSIUS TURI MAZGAI (R3)“ 1,6 „LANKSTU SKAICIUS (NEPRIIMANT ATRAMINIU) (S)“ 1 „LANKSTAI YRA PJUVIUOSE“ 2 „HORIZONTALIU AKTYVIU JEGU SKAICIUS (NH)“ 2 „HORIZONTALIOS AKTYVIOS JEGOS VEIKIA MAZGUS (NH)“ 4,5 „HORIZONTALIU JEGU DYDZIAI (kN) (NH)“ 110.,-110. „VERTIKALIU AKTYVIU JEGU SKAICIUS (NV)“ 1 „VERTIKALIOS AKTYVIOS JEGOS VEIKIA MAZGUS (NV)“ 3 „VERTIKALIU JEGU DYDŽIAI (kN) (NV)“ 150. „AKTYVIU MOMENTU SKAICIUS (NM)“ 1 „MOMENTAI VEIKIA MAZGUS (NM)“ 3 „MOMENTU DYDZIAI (kNm) (NM)“ -450. „KELIS STRYPUS VEIKIA PASKIRSTYTOJI APKROVA (SL)“ 1 „PASKIRSTYTOJI APKROVA VEIKIA STRYPUS (SL)“ 1 „PASKIRSTYTOSIOS APKROVOS INTENSYVUMAS (kN/m) (SL)“ 15. „POSLINKIU METODO NEZINOMUJU SKAICIUS (K)“ 4 „INFORMACIJA APIE PAGRINDINE SISTEMA (K)“ 3,5,-4,-5 „POSLINKIU KRYPTYS (K)“ 1,1,1,1 80 Rėmo poslinkių skaičiavimas atliekamas naudojantis programa DELTA.EXE. Rėmo poslinkių skaičiavimo rezultatai su paaiškinimais pateikiami skaičiavimo duomenų rinkmenoje DELTA.REZ. 4.7. Strypinių sistemų skaičiavimas baigtinių elementų metodu paremtomis komercinėmis kompiuterinėmis programomis Pastaruoju metu baigtinių elementų metodas (BEM) dažnai taikomas skaičiuojant inžinerines konstrukcijas (strypines, plokščiąsias, kevalines) kompiuteriais. Sukurta gana daug ir mokomųjų, ir komercinių kompiuterinių programų projektavimui ir analizei. Strypinė konstrukcija nagrinėjama kaip tam tikrų konstrukcinių elementų, sujungtų baigtiniame kiekyje mazgų, visuma. Kiekvieno elemento įtempių ir deformacijų būvis nagrinėjamas atskirai ir iš anksto, tada sudaromos lygtys, aprašančios jų ir mazgų bendrą darbą. Strypinė sistema natūraliai skaidoma elementais. Baigtiniais elementais strypinėse sistemose imami strypai, sujungti galais mazguose. Tai atitinka poslinkių metodo idėją. Jei šių mazgų poslinkiai yra žinomi, tai galima rasti visų taškų poslinkius ir įrąžas strypuose. Baigtinių elementų metodas imamas kaip pamatas kuriant universaliąsias bei specializuotas kompiuterines programas. Universaliosios programos ALGOR, ANSYS, ABAQUS, COSMOS/M skirtos mechaninėms, šiluminėms, hidraulinėms, elekromagnetinėms ir kitokioms fizinėms sistemoms modeliuoti ir analizuoti. Specializuotos baigtinių elementų integruotosios programos (CAD, CATIA, MicroStation, ProEngineer, Euclid, NASTRAN, PATRAN, SINDA, TEAP, INTERGRAPH, Nemetschek ir kt.,) yra susijusios su automatizuotu geometriniu projektavimu ir gali būti taip pat naudojamos atliekant mokslinius tyrimus ir sprendžiant taikomuosius inžinerinius uždavinius. Statybinėms konstrukcijoms iš plieno, gelžbetonio, medžio bei aliuminio projektuoti naudojamos Matrix Frame, LIRA, STAAD.Pro, ROBOT, REAL Steel. Jomis galima atlikti tiek statinius, tiek dinaminius konstrukcijų skaičiavimus. Šios kompiuterinės programos leidžia statybines konstrukcijas analizuoti ir projektuoti pagal daugelio pasaulio šalių statybines normas. Visos šios programos pritaikytos dirbti Windows aplinkoje. 81 LITERATŪRA 1. Čyras A. Statybinė mechanika. Vilnius: Mokslas, 1990. 448 p. 2. Karkauskas R., Krūtinis A., Atkočiūnas J., Kalanta S., Nagevičius J. Statybinės mechanikos uždavinių sprendimas kompiuteriais. Vilnius: Mokslo ir enciklopedijų leidykla, 1995. 264 p. 3. Klimavičius V. Statybinė mechanika. Vilnius: Mintis, 1965. 451 p. 4. Mikuckis F. Lenkimas. Metodinė priemonė, skirta LŽŪU Vandens ūkio ir žemėtvarkos fakulteto Vandens apsaugos inžinerijos ir vadybos bei hidrotechnikos specialybių studentams. Kaunas: LŽŪU leidybos centras, 2005. 34 p. 5. Rimkus L., Skaržauskas V. Plokščiųjų strypinių konstrukcijų mechanika. Mokomoji knyga. Vilnius: Technika, 2005. 184 p. 82 Statybine Statybine mechanika Statybine mechanika Statybine mechanik Statybine mechanika Tiražas 250 vnt. Spausdino UAB „Ardiva“ Jonavos g. 254, LT-44132, Kaunas, Tel.: (8-37) 36 34 01; Faks.: (8-37) 33 47 34; El. p.: info@ ardiva.lt; www. ardiva.lt. ...
View Full Document

Ask a homework question - tutors are online