GeoDif1.T2 - Geometra Diferencial 1(2010-I Tarea 2 1 Sea U...

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Geometr´ıa Diferencial 1 (2010-I) Tarea 2 1. Sea U = { ( u , v ) R 2 | - π < u < π , 0 < v < 1 } , defina σ : U R 3 por σ ( u , v ) = ( sin u , sin 2 u , v ) y sea M = σ ( U ) . Haga una gr´afica de M y muestre que σ es diferenciable, regular e inyectiva pero que su inversa σ - 1 no es continua. ¿Es M una superficie regular en R 3 ? Explique. 2. Muestre que la ecuaci´on del plano tangente a una superficie S que es la gr´afica de una funci´on diferenciable z = f ( x , y ) en el punto p 0 = ( x 0 , y 0 ) est´a dado por z = f ( x 0 , y 0 ) + f x ( x 0 , y 0 )( x - x 0 ) + f y ( x 0 , y 0 )( y - y 0 ) . Recuerde la definici´on del diferencial df para una funci´on f : R 2 R y muestre que el plano tangente en un punto p S es la gr´afica del diferencial df p . 3. Sea S una superficie definida por una ecuaci´on f ( x , y , z ) = 0, donde la funci´on f : R 3 R es suave y sus derivadas parciales f x , f y y f z no se anulan al mismo tiempo en ning´un punto p S . (a) Muestre que el vector f = ( f x , f y , f z ) es perpendicular al plano tangente T p S en cada punto p S y deduzca que S es orientable. (b) Definir el concepto una funci´on suave F : S R . (c) Mostrar que para cada
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This note was uploaded on 08/24/2010 for the course ICIV 3.123 taught by Professor U during the Spring '10 term at Universidad de Los Andes.

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