Chapter62006solutions

Chapter62006solutions - Chapter 6 Test December 5 2006 Name...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: Chapter 6 Test December 5, 2006 Name x i 2y j z ‡ jsec 3 x tan 3 x - csc ÄÄÄÄÄ z dx k 4{ x w = ÄÄÄÄÄ and 4 dw = dx 4 1 ixy jz ÄÄÄÄÄ sec H3 xL + 4 cot j ÄÄÄÄÄ z + C k4{ 3 2. Evaluate ‡ sin-1 H2 xL dx 0 1 ÄÄÄÄÄ 2 xy i j z 1. Evaluate ‡ jsec 3 x tan 3 x - csc2 ÄÄÄÄÄ z dx k 4{ = so x i 2y j z Æ u = 3 x and ‡ Hsec 3 x tan 3 x L dx - ‡ jcsc ÄÄÄÄÄ z dx k 4{ 1 1 = ÄÄÄÄÄ sec u Æ ÄÄÄÄÄ ‡ Hsec u tan u L du - 4 ‡ Icsc2 wM dw 3 3 1 ÄÄÄÄÄ du = dx 3 + 4 cot w + C or u = sin-1 H2 xL -1 ‡ sin H2 xL dx Æ so 1 "################ ### ### Ax sin-1 H2 xL + ÄÄÄÄÄ 1 - 4 x2 2 -1 1 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ x sin-1 H2 xL + ÄÄÄÄÄ ‡ w 2 dw 4 1 ÄÄÄÄÄ 2 D 0 = 2x = x sin-1 H2 xL - · ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄ dx ÄÄÄÄ "################ 2 ###### 1 - 4x = 2 du = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄ dx ÄÄÄÄ "################ 2 ###### 1 - 4x and v=x dv = dx and using and choosing w = 1 - 4 x2 , dw = - 8 x dx ‡ u dv = uv - ‡ v du or we have 1 ÄÄÄÄÄ dw = - 2 x dx 4 so 3. Solve the initial value problem. Support your answer by overlaying your solution on a slope field for the dy i -p y z j differential equation. ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = y sin x y j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z = 1 k2{ dx 1z i1 ipy j z j ÄÄÄÄÄ j ÄÄÄÄÄ z + 0y - i0 + ÄÄÄÄÄ y z j z jjz z j z j z j z j 2{ k { k2 k2{ 1 1 ÄÄÄÄÄ x sin-1 H2 xL + ÄÄÄÄÄ w 2 + C 2 = or p 1 ÄÄÄÄÄ - ÄÄÄÄÄ 4 2 1 "################ ###### x sin-1 H2 xL + ÄÄÄÄÄ 1 - 4 x2 + C 2 2 1 −π − π 2 −1 Æ π 2 1 dy ‡ ÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ dx y dx or D=1 π ln » y » = - cos x + C so dy ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = y sin x dx Æ 1 dy ÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = sin x y dx so -p -cos I ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ M 2 1 = De = D H1L » y » = eC e-cos x so y = ± eC e-cos x and = ‡ sin x dx Æ or y = D e-cos x 1 ‡ ÄÄÄÄÄ dy y = ‡ sin x dx and so y = e-cos x i -p y j z y j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z = 1 k2{ 2 4. Evaluate ‡ 3 x3 2x dx 3 x2 dx ‡ 3x 2 so u=w First, 2 x2 H3 x dxL ‡x2 du = dw w = x2 , so dw = 2 x dx or 3 ÄÄÄÄÄ dw = 3 x dx 2 and = dv = 2w dw 3 ÄÄÄÄÄ ‡ w 2w dw 2 and using integration by parts, we get and 2 3 x2 2x ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ 2 ln 2 3 ÄÄÄÄÄ ‡ w 2w dw 2 i 2y 3 j2x z j z k { ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ 2 2 Hln 2L = 3 x2 dx ‡ 3x 2 3 ÄÄÄÄÄ 2 1 v = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 2w Ä ln 2 3 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ w 2w Ä 2 ln 2 - 5. Use separation of variables to solve the following differential equation : cos y ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ dy = - 4 x dx ÄÄ sin2 y 1 ‡ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ du = - ‡ 4 x dx u2 1 i y j y = sin-1 j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z ÄÄÄÄÄÄÄÄ z j z j 2 + Cz k 2x { cos y ÄÄ ‡ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ dy = ‡ - 4 x dx sin2 y p 1 i y j ÄÄÄÄÄ = sin-1 j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ z, ÄÄÄÄ z j z j z 2 k2 + C{ -1 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = - 2 x2 + C1 u so 3 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ 2w ÄÄÄÄÄÄÄÄ 2 Hln 2L2 +C Æ - +C 1 y i1 j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ w 2w - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z jÄ Ä ‡ 2w dwz z j z j ln 2 { k ln 2 2 = ‡ x2 2x H3 x dxL or dy - 4 x sin2 y ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä dx cos y Let Æ and Æ Æ Æ u = sin y, then Æ p y H1L = ÄÄÄÄÄ 2 du = cos y dy so and 1 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = 2 x2 + C Ä sin y C = -1 and 6. Evaluate u = x3 + 1 du = 3 x2 dx 3 ‡ Ix + 1M cos 2 x dx 1 v = ÄÄÄÄÄ sin 2 x 2 dv = cos 2 x dx 1 i y j y = sin-1 j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ z ÄÄÄÄÄÄÄÄ z j z j 2 - 1z k 2x { 1 sin y = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ 2 x2 + C so Use integration by parts on -1 y z j 2 2i and use integration by parts on ‡ x cos 2 x dx, so z j ‡ x Hsin 2 xL dx = x j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ cos 2 xz + ‡ x cos 2 x dx, z { k2 1 1 1 1 1 u = x, du = dx, dv = cos 2 x dx, and v = ÄÄÄÄÄ sin 2 x Æ ‡ x cos 2 x dx = ÄÄÄÄÄ x sin 2 x - ÄÄÄÄÄ ‡ sin 2 x dx = ÄÄÄÄÄ x sin 2 x + ÄÄÄÄÄ cos H2 xL 2 2 2 2 4 1 1 y i -1 z j So, ‡ x2 Hsin 2 xL dx = x2 j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ cos 2 xz + ÄÄÄÄÄ x sin 2 x + ÄÄÄÄÄ cos H2 xL, and z j 2 4 { k2 1 3 i i -1 1 1 y y 3 z z jj = Ix3 + 1M ÄÄÄÄÄ sin 2 x - ÄÄÄÄÄ jx2 j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ cos 2 xz + ÄÄÄÄÄ x sin 2 x + ÄÄÄÄÄ cos H2 xLz + C or jj z z ‡ Ix + 1M cos 2 x dx jj z z 2 4 2 2k k 2 { { 3 3 3 Ix3 + 1M sin H2 xL + ÄÄÄÄÄ x2 cos H2 xL - ÄÄÄÄÄ x sin H2 xL - ÄÄÄÄÄ cos H2 xL + C of course, you could also use tabular integration here ! 4 4 8 7. Evaluate 2 ‡ log3 x dx 1 3 2 ‡ x Hsin 2 xL dx Æ 3 ‡ Ix + 1M cos 2 x dx = u = x2 , du = 2 x dx, 1 Ix3 + 1M ÄÄÄÄÄ sin 2 x 2 3 ÄÄÄÄÄ ‡ x2 Hsin 2 xL dx, 2 -1 dv = sin 2 x dx, and v = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ cos2x 2 - 3 log3 x2 dx = 2 ‡ log3 x dx Æ ‡ 1 1 3 1 u = log3 x, du = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ dx, Ä x ln 3 dv = dx, v = x Æ x 1 x Ä Ä Ä ‡ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ dx = ‡ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ dx = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ , so x ln 3 ln 3 ln 3 8. Evaluate u = e2 x , u = e2 x , 2 x sin x dx ‡e 3 x3 Ä 2 ‡ log3 x dx = 2Ax Hlog3 xL - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ E ln 3 1 1 3 1y i j = 2A3 - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ - j0 - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ zE Ä Äz j z j ln 3 k ln 3 { x Ä ‡ log3 x dx = x Hlog3 xL - ‡ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ dx x ln 3 = 4 6 - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä ln 3 du = 2 e2 x dx, dv = sin x, v = - cos x, du = 2 e2 x dx, dv = cos x, v = sin x, so so Let I = ‡ e2 x sin x dx, then I = - e2 x cos x + 2 e2 x sin x - 4 I I = - e2 x cos x + 2 Je2 x sin x - 2 ‡ sin x e2 x dxN = - e2 x cos x + 2Ae2 x sin x - 2 IE Æ - e2 x cos x + 2 e2 x sin x I = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄ , so ‡ e2 x sin x dx = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 5 2 x cos x dx = e2 x sin x - 2 sin x e2 x dx ‡e ‡ 2 x sin x dx = - e2 x cos x + 2 e2 x cos x dx ‡e ‡ Æ use IBP again or -1 2 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ e2 x cos x + ÄÄÄÄÄ e2 x sin x + C 5 5 9. Evaluate u = ln x so 1 ÄÄÄÄÄÄÄÄ ‡ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄ dx 2 x Hln xL3 1 dx = ÄÄÄÄÄ dx x so 10. The half life of Polonium - 210 is 138 days. If we currently have 10 grams, how long ago did we have 34 grams? y0 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = y0 Hec L138 2 5 138 ln ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 17 t = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ 1 ln ÄÄÄÄÄ 2 1 ÄÄÄÄÄÄÄÄ ‡ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄ dx 2 x Hln xL3 Æ 1 ÄÄÄÄÄ ‡ u-3 du 2 = -1 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ u-2 + C 4 or -1 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ + C ÄÄÄÄÄÄÄÄ 4 Hln xL2 y = y0 ec t if we plug in t = 138, half of the original will remain, so so, 11. Finals start in one week ! Some students Hnot youL are slow in getting ready for their finals, and the rate at dP 0.3 i Py j which the MV population is prepared can be modeled by the differential equation ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ P j5 - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z. If Ä Äz j z dt 5 500 { k M - P0 dP k M ÄÄÄÄÄÄÄÄ P0 = 2, ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = ÄÄÄÄÄÄÄÄ P HM - PL and P = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄ , A = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄ , Ht is measured in daysL ÄÄÄÄ P0 dt M 1 + A e-k t HaL Find a solution to this differential equation. HbL Find how long it will take for all students at MV H2400 of themL to be prepared for their final exams. tÄ i 1 y ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ jz 10 = 34 j ÄÄÄÄÄ z 138 jz z k2{ Æ tÄ 5 i 1 y ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ jz ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = j ÄÄÄÄÄ z 138 jz jz 17 k 2 { Æ 5 t 1 ln ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ln ÄÄÄÄÄ Ä 17 138 2 Æ = 1 Ä i 1 y ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ jz Æ ec = j ÄÄÄÄÄ z 138 jz jz k2{ 138 Hln 17 - ln 5L ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ days ago ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ln 2 dP 0.3 i 1 y i i j HaL ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z jH500L P j5 Ä j Ä zj j zj j j z dt 5 k 500 { k k 2500 - 2 A = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = 1249 ÄÄÄÄÄÄÄÄ so 2 2500 HbL 2400 = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä Æ 1 + 1249 e-0.3 t so e-0.3 t 1 = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ 24 H1249L or P yy ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ zz Ä zz zz 500 {{ 2400 I1 + 1249 e-0.3 t M = 2500 e0.3 t = 24 H1249L Æ dP 0.3 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ P H2500 - PL, Ä dt 2500 2500 P = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä 1 + 1249 e-0.3 t Æ Æ so k = 0.3, M = 2500, P0 = 2, and 12. DeRuiter has moved into his "new" house, but there' s no heat ! Assume that he brings his hot chocolate into the house at a temperature of 120 ° F, and the interior or the house is 55 ° F. After 15 minutes, the chocolate has cooled to 100 ° F. How much longer will it take for the hot chocolate to cool to 70 ° F ? dT i j These may help : ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = - k HT - T L and T - T = HT - T L e-k t y z j z j z s s s j z 0 dt k { t i 9 y ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ j z T - 55 = 65 j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z 15 j z k 13 { 9 T - 55 = H65L Ie-kt M Æ 100 - 55 = 65 Ie-k M15 Æ 45 = 65 Ie-k M15 Æ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = Ie-k M15 Æ 13 Æ t i 9 y ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ j z 15 = 65 j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z 15 j z j z k 13 { Æ 3 t 9 ln ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ln ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 13 15 13 Æ t = 1 i 9 y ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z j e-k = j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z 15 z j j k 13 { 0.3 t = ln H29976L 2500 1 + 1249 e-0.3 t = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä 2400 Æ Æ 10 t = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ln H29976L days 3 1 1249 e-0.3 t = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 24 so 13. Evaluate u = csc x du = - csc x cot x 3 ‡ csc x dx i 15 H ln 13 - ln 3L j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ - 15y minutes z j z ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ j z z j k ln 13 - ln 9 { v = - cot x dv = csc2 x so since cot2 x = csc2 x - 1 we can write our expression as - csc x cot x - ‡ csc3 x dx + ‡ csc x dx that original integral A, we can write multiply by csc x - cot x Notice that the original integral is repeat in this expression, so if we call Now, to deal with the last integral, we or in numerator and denominator, A = - csc x cot x - A + ‡ csc x dx so - csc x cot x - ‡ csc x Icsc2 x - 1M dx 3 2 ‡ csc x dx = - csc x cot x - ‡ csc x cot x dx or csc2 x - csc x cot x A = - csc x cot x - A + ‡ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ dx ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ and w = csc x - cot x csc x - cot x 1 Æ A = - csc x cot x - A + ‡ ÄÄÄÄÄÄÄÄ dw Æ 2 A = - csc x cot x + ln » w » w ƒ ƒ ƒ ƒ -1 1 ƒ ƒ ƒ ƒ A = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ csc x cot x + ÄÄÄÄÄ ln ƒ csc x - cot x ƒ + C ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ 2 2 14. Use Euler¢ s Method to numerically solve the initial value problem interval - 1 £ x £ 2 starting at x0 = - 1 with dx = 1. yn + 1 = yn + f Hxn , yn L Dx y1 = 1 + H- 1 + 2L H1L = 2, Æ y2 = 2 + H0 + 4L H1L = 6, Æ y3 = 6 + H1 + 12L H1L = 19, Æ and H0, 2L y0 = 1, y¢ = x + 2 y, csc x - cot x A = - csc x cot x - A + ‡ csc x ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ dx ÄÄÄÄÄÄÄÄ csc x - cot x so so dw = I- csc x cit x + csc2 xM dx H2, 19L H1, 6L and the initial point is H- 1, 1L y H- 1L = 1, on the ...
View Full Document

This note was uploaded on 08/29/2010 for the course MATH 44323 taught by Professor Anderson during the Spring '09 term at Berkeley.

Ask a homework question - tutors are online