Chapter82006solutions

Chapter82006solutions - Chapter 8 Test Solutions 1 cos x 1...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: Chapter 8 Test Solutions 1 + cos x 1. Evaluate lim ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ xÆp Hx - pL2 1 + cos x lim ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ xÆp Hx - pL2 xÆ0 1 ÄÄÄÄÄ x No Calculators February 15, 2006 Name Æ 1-1 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄ 0 Æ 0 ÄÄÄÄÄ 0 Æ L' Æ - cos x lim ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ xÆp 2 Æ 1 ÄÄÄÄÄ 2 Ä 2. Evaluate lim+ Je ÄÄxÄÄ - 1N tan x Æ • H0L 1 x3 y i x2 j ÄÄ 3. Evaluate lim j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄ z ÄÄÄÄ z j z j z xÆ• x2 + 3 { kx + 2 Æ •-• = xÆ• e -1 • lim ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ Æ ÄÄÄÄÄÄÄÄ Æ x Æ 0+ cot x • i sin x y i sin x y 1 j Ä zj Ä z Ä = lim j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z Je ÄÄxÄÄ N x Æ 0+ k x {k x { L' Æ xÆ0 lim+ Æ H1L H1L H•L Ä I ÄÄÄÄÄ2ÄÄÄ M e ÄÄxÄÄ x ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ - csc 2 x -1 1 = sin2 x 1 Ä lim+ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ e ÄÄxÄÄ ÄÄ xÆ0 x2 = • lim = 3x - 2x ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä lim ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ x Æ • x3 + 2 x2 + 3 x + 6 1 2 3 x2 Hx2 + 3L - x3 Hx + 2L ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ Hx + 2L Hx2 + 3L = -2 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 1 = = -2 x4 + 3 x2 - x4 - 2 x3 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ lim ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄ xÆ• x3 + 2 x2 + 3 x + 6 ÄÄÄÄÄÄ ÄÄ i sin x y x2 jÄz 4. Evaluate lim j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z xÆ0 k x{ Æ 1• Æ e x limx Æ 0 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ Ä ÄÄÄÄÄÄÄÄ 2 x I ÄÄÄÄÄÄÄÄxÄ * ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ2 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ M ÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä x cos x - sin x sin x Æ L' Æ lim ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ = lim ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ xÆ0 xÆ0 2 x2 sin x 2x cos x - x sin x - cos x - sin x 0 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä = lim ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä Æ ÄÄÄÄÄ lim ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 2 cos x xÆ0 x Æ 0 4 sin x + 2 x cos x 4 x sin x + 2 x 0 - cos x -1 1 Ä Æ lim ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Æ e- ÄÄ6ÄÄ x Æ 0 4 cos x + 2 cos x - 2 x sin x 6 x x cos x - sin x sin x ln J ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ N ÄÄÄÄ Ä and we focus on the exponent, so ln I ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ M Ä x lim ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ xÆ0 x2 sin x Æ 0 ÄÄÄÄÄ 0 L' Æ Æ 0 ÄÄÄÄÄ 0 Æ Æ L' 5. Evaluate lim+ H2x - 1L3 x xÆ0 Æ 0 0 Æ e limx Æ 0+ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ 1 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄ 3x ln H2x - 1L and we focus on the exponent, so - 3 x2 ln 2 H2x L lim+ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ xÆ0 2x - 1 = 0 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä ln 2 = 0 Æ L' Æ xÆ0 lim+ Æ 6. Evaluate ‡ 0 - 6 ln 2 HxL H2x L - 3 Hln 2L2 x2 H2x L ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ lim+ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ xÆ0 Hln 2L H2x L -• I ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ1ÄÄ M Hln 2L H2x L ÄÄ 2x ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ -1 ÄÄÄÄÄÄÄÄ2ÄÄÄ Ä 3x 1 = Æ 0 ÄÄÄÄÄ 0 ln H2x - 1L lim+ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä 1 xÆ0 ÄÄÄÄÄx ÄÄÄ 3 Æ L' Æ -• ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä • Æ e0 = 1 x cos J ÄÄÄÄÄ N ex dx 2 x u = sin J ÄÄÄÄÄ N 2 v = ex so M= Æ M x u = cos J ÄÄÄÄÄ N 2 v = ex -1 x du = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ sin J ÄÄÄÄÄ N dx 2 2 dv = ex dx 1 x du = ÄÄÄÄÄ cos J ÄÄÄÄÄ N 2 2 dv = ex dx Æ Æ = 2 x 4 x ÄÄÄÄÄ cos J ÄÄÄÄÄ N ex + ÄÄÄÄÄ sin J ÄÄÄÄÄ N ex + C 5 2 5 2 i4 y j z 0 - j ÄÄÄÄÄ + 0z k5 { 0 x 1 x 1 cos J ÄÄÄÄÄ N ex + ÄÄÄÄÄ Asin J ÄÄÄÄÄ N ex - ÄÄÄÄÄ ME 2 2 2 2 = -4 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ , 5 1 x 1 x x cos J ÄÄÄÄÄ N ex + ÄÄÄÄÄ Asin J ÄÄÄÄÄ N ex - ÄÄÄÄÄ ‡ cos J ÄÄÄÄÄ N ex dxE 2 2 2 2 2 Æ lim 5 ÄÄÄÄÄ M 4 = x 1 x cos J ÄÄÄÄÄ N ex + ÄÄÄÄÄ sin J ÄÄÄÄÄ N ex 2 2 2 or x 1 x cos J ÄÄÄÄÄ N ex + ÄÄÄÄÄ ‡ sin J ÄÄÄÄÄ N ex dx 2 2 2 and so and b Æ -• converges b 4 x 2 x A ÄÄÄÄÄ cos J ÄÄÄÄÄ N ex + ÄÄÄÄÄ sin J ÄÄÄÄÄ N ex E 5 2 5 2 0 3y i3 j ÄÄ Ä Äz 7. Evaluate ‡ j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z dx kx-6 x - 2{ = b Æ -• lim 1 8. Evaluate ‡ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄ dx ÄÄÄÄÄÄÄÄ4 Ä Hx + 2L ÄÄ3ÄÄ -3 ƒx-6 ƒ ƒ ƒ ÄÄ A 3 ln ƒ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ƒ ƒx-2 ƒ ƒ -• 1 ƒ0 ƒ ƒ ƒE ƒ ƒ ƒ ƒ ƒb = 3 ln 3 - 3 b Æ -• lim i j ln j k ƒ b - 6 ƒy ƒ ƒ ƒ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ƒ z ƒ ƒ Ä Ä ƒz ƒ ƒ ƒ b - 2 ƒ{ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ = 3 ln 3 = ln 27, converges We have an infinite discontinuity at x = - 2, 3 lim - A - 3 Hx + 2L ÄÄÄÄÄÄ Ä E -1 so b Æ b Æ -2 = -3 b Æ -2- lim If we had checked the second integral first, we would have found -3 -1 Ä ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ + 3 lim + Hb + 2L ÄÄÄÄ3Ä Ä Ä Ä 3 è!!!! b Æ -2 3 9. 5x Evaluate ‡ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ!!!!!!!!ÄÄÄ dx ÄÄÄÄÄÄÄÄ è!!!!!!!! ÄÄÄÄÄ 9 - x2 -3 2 2 3 A- 3 Hb + 2L ÄÄÄÄÄÄ Ä E - 3 -1 Æ· -3 -2 +‡ 1 and let ¢ s check the first integral -2 Æ lim •, and the integral diverges -1 b Æ -2 + Æ •, and the integral diverges 3 A - 3 Hx + 2L ÄÄÄÄÄÄ Ä E 1 = b u = 9-x du = - 2 x dx 5 or "#### 5, = "#### - 5 lim + A u b Æ -3 9 - b2 E = -5 i -5 y j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z du = 5 x dx j z k2{ converges Æ i-5y j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z lim j Äz k 2 { b Æ -3+ 9 - b2 ‡ 5 Ä u ÄÄÄÄ2Ä Ä du -1 10. Use the Direct Comparison Test or the Limit Comparison Test to determine if the following integral Converges or Diverges. 3 è!!!! x ÄÄÄÄ · ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄ dx x2 + 2 • 1 This integral is like 3 è!!!! x ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä 2 x Æ 1 ÄÄÄÄÄ Ä x ÄÄ3ÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 6 Ä x ÄÄ3ÄÄ 1 Æ 1 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 5 Ä x ÄÄ3ÄÄ and 5 p = ÄÄÄÄÄ , 3 so Limit Comparison : xÆ• lim ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ2ÄÄ ÄÄ x2 + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä 1 ÄÄÄÄÄ5 ÄÄÄÄ x3 ÄÄÄÄÄ x3 1 ‡ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ dx 5 ÄÄÄÄÄ 1 x3 • converges, now = 1 so both converge Direct Comparison : x 2 +2 ≥ x 2 Æ 1 3 è!!!! Ä x x ÄÄ3ÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄ £ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ x2 + 2 x2 and x2 + 4 x - 1 11. Evaluate ‡ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ dx ÄÄÄÄÄÄÄÄ Hx + 1L3 1 ‡ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ dx Æ 5 ÄÄÄÄÄ 1 x3 • converges, so original integral converges. x+4 12. Evaluate ‡ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄ dx ÄÄÄÄ x3 + x Bx + C y x+4 iA j = ‡ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ dx = ÄÄÄÄ z ÄÄÄÄÄÄÄÄ ‡ j ÄÄÄÄÄÄ + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄ z dx 2 + 1L kx x2 + 1 { x Hx x = -1 Æ -4 = C 1=A 2 4 i1 y j ÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z j z ‡ j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä2 - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä3 z dx j z x+1 Hx + 1L Hx + 1L { k C B iA y j ÄÄ = ‡ j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ z dx ÄÄÄÄÄÄÄÄ z ÄÄÄÄÄÄÄÄ j z j 2 3z Hx + 1L { Hx + 1L kx + 1 Æ = 4 x = H2 A + BL x Æ B = 2 so ƒ ƒ ƒ ƒ 2 2 ƒ ƒ ƒ ƒ ln ƒ x + 1 ƒ - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ + C ÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ x+1 ƒ ƒ Hx + 1L2 Æ x2 + 4 x - 1 = A Hx + 1L2 + B Hx + 1L + C x=0 Æ A=4 0 = A + B Æ B = -4 x = Cx Æ C = 1 4x 1y i4 j Æ ‡ j ÄÄÄÄÄ - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄ + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄ z dx ÄÄÄÄ ÄÄÄÄ z = 4 ln » x » - 2 ln Hx2 + 1L + tan -1 HxL + C kx x2 + 1 x2 + 1 { x + 4 = A Hx2 + 1L + HBx + CL x ...
View Full Document

{[ snackBarMessage ]}

Ask a homework question - tutors are online