Chapter82007solutions - Chapter 8 Test 1. Evaluate No...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: Chapter 8 Test 1. Evaluate No Calculators February 9, 2007 Name xÆ0 tan HpxL lim ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Æ ÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä x Æ 0 ln H1 + 2 xL 2. Evaluate lim p Htan xLcos x Æ tan HpxL lim ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä ln H1 + 2 xL 0 ÄÄÄÄÄ 0 so Htan xLcos x •0 1 L¢ Æ pH1L2 p sec 2 H p x L lim ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄ = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄ ÄÄÄÄ 2 xÆ0 2 ÄÄÄÄÄÄÄÄ2Äx ÄÄÄÄ ÄÄÄ 1+ = p ÄÄÄÄÄ 2 x Æ H ÄÄÄÄÄ L 2 lim p x Æ H ÄÄÄÄÄ L2 - Æ so focus on exponent , so that sec x ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄ tan2 x Æ • ÄÄÄÄÄÄÄÄ • L¢ Æ x Æ H ÄÄÄÄÄ L2 lim p ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ sec 2 x Ä tan x ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ = ÄÄÄÄ sec x tan x x Æ H ÄÄÄÄÄ L2 lim p = x Æ H ÄÄÄÄÄ L 2 lim p - x Æ H ÄÄÄÄÄ L2 lim p cos x ln Htan xL = cos x ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄ sin 2 x = 0 ÄÄÄÄÄ 1 = x Æ H ÄÄÄÄÄ L 2 lim p - 0 Æ ln Htan xL ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ sec x e0 = 1 3. Evaluate xy i1 j ÄÄ lim j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z Äz x Æ 1+ k x - 1 ln x { = xy i1 j ÄÄ Äz lim+ j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z xÆ1 kx - 1 ln x { Æ •-• 0 ÄÄÄÄÄ 0 Æ 1 - 2 x2 + x lim+ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ x Æ 1 x - 1 + x ln x Æ so L ln x - x H x - 1 L lim ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ x Æ 1+ ln x H x - 1 L ¢ Æ 0 ÄÄÄÄÄ 0 so L -3 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 2 ¢ Æ Æ 1 - 4x lim+ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ xÄÄÄÄ = ÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä x Æ 1 1 + ln x + ÄÄÄÄÄ x ÄÄÄÄÄ - 2 x + 1 x lim+ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä 1 xÆ1 ÄÄÄÄÄ H x - 1 L + ln x x 1 4. Evaluate xÆ• lim xÆ• lim x + sin H2 xL ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ x + 2 cos x x + sin H2 xL ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ x + 2 cos x = xÆ• lim 1 + ÄÄÄÄÄÄÄÄx ÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä 2 cos x 1 + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä x sin H2 xL = 1 5. Evaluate x Æ 0+ x Æ 0+ x Æ 0+ lim H1 - sin H3 xLLcot x -3 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 1 Æ lim H1 - sin H3 xLLcot x Æ cot x 1 • so focus on the exponent , so that lim ln H1 - sin H3 xLL ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ tan x "############### ln H2 xL . Æ lim Æ 0 ÄÄÄÄÄ 0 Æ L ¢ Æ lim ln H1 - sin H3 xLL = x Æ 0+ Æ x Æ 0+ lim e -3 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄxÄ H - 3 cos 3 x L ÄÄÄÄ ÄÄÄ 1 - sin 3 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ sec 2 x 1 6. Let xÆ• lim Æ ln H 3 ln x L ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄ1 ÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄ Ä H ln 2 x L ÄÄ2ÄÄ L¢ Æ I. f = o HgL f HxL = ln Hln x3 L Æ • ÄÄÄÄÄÄÄÄ • II. f = O HgL Æ 1 and g HxL = L ¢ III. g = o HfL 1 Which of the following are true? Show your work. ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ I ÄÄÄÄÄ M Ä 3 ln x x ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 1 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ 1 1 - ÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄ H ln 2 x L 2 I ÄÄÄÄÄx M H 2 L ÄÄÄ 2 2 1 3 xÆ• xÆ• IV. g = O HfL = xÆ• lim xÆ• lim Ä 2 I ÄÄÄÄÄ M H ln 2 x L - ÄÄ2ÄÄ I ÄÄÄÄÄx M H 2 L ÄÄÄ 2 2 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä 1 ÄÄÄÄÄ x 1 Ä 2 H ln 2 x L ÄÄ2ÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä ln x 1 Æ • ÄÄÄÄÄÄÄÄ • lim 1 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ!!!!Ä!!!!ÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ è!!!!!!! ÄÄÄÄ ln H2 xL Æ 0 so I and II are true. 7. Evaluate u = log4 x 1 du = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ dx ÄÄÄÄÄÄÄÄ H ln 4 L x Æ b Æ 0+ ‡ log4 x dx 0 4 v=x dv = dx = 1 x log 4 x - ‡ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ dx Ä ln 4 log 4 b 4 i j z j 4 - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ y - i lim ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ - 0y j z j z ÄÄÄÄ Äz bÆ0+ k k { b -1 ln 4 { Æ = 2 4 - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ , Ä ln 2 4 1 Ä lim Ax log 4 x - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ x D b ln 4 1 and the limit is -• ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä • Æ L¢ Æ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä b ln 4 lim+ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Æ Ä -1 bÆ0 ÄÄÄÄb 2Ä ÄÄÄÄÄ 0 CONVERGES 8. Evaluate ln 3 • ln 3 1 ex ÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä ‡ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ -ÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄxÄ dx ex + e x e = bÆ• 1 ÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä ‡ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ -ÄÄÄÄÄ dx x+ex e = • lim A tan -1 u D • 3 eb 3 = ex lim ‡ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ dx ÄÄÄÄÄÄÄÄ bÆ• e2x + 1 ln 3 bÆ• HHint : Does this match an inverse trig form?L b where u=e x and du = e dx x Æ bÆ• 9. Evaluate u = log 3 x 1 du = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ dx Ä x ln 3 = log3 x ÄÄ ‡ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ dx x2 lim H tan -1 eb - tan -1 3 L = p ÄÄÄÄÄ 2 tan -1 3, CONVERGES 1 lim ‡ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄ du ÄÄÄÄ 2+1 u 3 eb -1 v = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ x dv = x -2 dx 1y i -1 j Äz 0 - j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z k3 3 ln 3 { = - log 3 x 1 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄ + ‡ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ x -2 dx ÄÄÄÄ Ä x ln 3 1 1 ln 3 + 1 ÄÄÄÄÄ + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä or ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ , ÄÄÄÄÄÄÄÄ 3 3 ln 3 3 ln 3 Æ = bÆ• CONVERGES b - log 3 x 1 ÄÄÄÄ Ä lim A ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄ - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ D x x ln 3 3 10. Direct : 5 Use the Direct Comparison Test or the Limit Comparison Test to determine if the following integral Converges or Diverges. è!!!! 5 2x ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ dx ÄÄ Be sure to choose a related, simpler, p - value integral to compare it to. ‡ x+4 x+4≥x so "#### 5 è!!!! 2x ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄ x+4 £ è!!!! 2x ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄ x 0 Æ 1 Ä 2 ‡ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ dx 1 ÄÄÄÄÄ 0 x2 Limit : = 4 and 1 p = ÄÄÄÄÄ , 2 which converges, so the original integral CONVERGES. 5 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä 1 1 x+4 lim ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = 2 and ‡ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ dx , p = ÄÄÄÄÄ converges , so the original integral Ä Ä 1 1 xÆ • 2 ÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ è!!!! 0 x2 x 2 è!!!! x CONVERGES. 11. Evaluate x2 + 2 x - 1 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄ dx ÄÄÄÄ ‡ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ x3 - x 12. B Cy iA j = ‡ j ÄÄÄÄÄÄ + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z dx ÄÄ Ä Äz Æ x 2 + 2 x - 1 = A Hx + 1L Hx - 1L + B x Hx + 1L + C x Hx - 1L kx x-1 x + 1{ make x = 0 Æ - 1 = - A Æ A = 1 ; make x = 1 Æ 2 = 2 B Æ B = 1; make x = - 1 Æ - 2 = 2 C 1 1 1y i j ÄÄ Ä Äz = ln » x » + ln » x - 1 » - ln » x + 1 » + C = ‡ j ÄÄÄÄÄ + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z dx kx x-1 x + 1{ Evaluate x4 + 1 ÄÄÄÄ ‡ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄ dx x4 - 1 Æ C = -1 x4 + 1 2 i y j ÄÄÄÄ ÄÄÄÄ z and ‡ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄ dx = ‡ j 1 + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ z dx k x4 - 1 x4 - 1 { C Dy 2 i Ax + B j ÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄ Ä Äz ÄÄÄÄ ‡ j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z dx = ‡ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ dx k x2 + 1 x+1 x - 1{ x4 - 1 1 set x = 1 Æ 2 = 4 D Æ D = ÄÄÄÄÄ so 2 = HA x + BL Hx + 1L Hx - 1L + C Hx 2 + 1L Hx - 1L + D Hx 2 + 1L Hx + 1L 2 -1 and set x = - 1 Æ 2 = - 4 C Æ C = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Coefficients x3 Æ 0 = A + C + D Æ A = 0 2 1 1 constants Æ 2 = -B - C + D Æ 2 = - B + ÄÄÄÄÄ + ÄÄÄÄÄ Æ B = -1 so 2 2 ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ 1 1 -1 1 1 1 1 ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ Æ x + ‡ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ dx - ÄÄÄÄÄ ‡ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ dx + ÄÄÄÄÄ ‡ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ dx ÄÄÄÄ ÄÄ ÄÄ = x - tan -1 x - ÄÄÄÄÄ ln ƒ x + 1 ƒ + ÄÄÄÄÄÄ ln ƒ x - 1 ƒ + C ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ 2 2 x2 + 1 1+x 2 x-1 2 ƒ ƒ ƒ ƒ 2 x4 + 1 ÄÄÄÄ ÄÄÄÄ Husing long divisionL, so Æ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄ = 1 + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ x4 - 1 x4 - 1 2 2 y i j and ÄÄÄÄ z ÄÄÄÄ ‡ j 1 + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ z dx = x + ‡ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ dx k x4 - 1 { x4 - 1 ...
View Full Document

This note was uploaded on 08/29/2010 for the course MATH 44323 taught by Professor Anderson during the Spring '09 term at University of California, Berkeley.

Ask a homework question - tutors are online