Chapter92006solutions - Chapter 9 Test March 17, 2006 No...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: Chapter 9 Test March 17, 2006 No Calculators Name 1. Determine whether the following series is absolutely convergent, conditionally convergent, or divergent. Justify your answer. Hcos Hn pLL n2 ÄÄÄÄÄÄÄÄ „ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄ 2n + 1 Hn + 1L • n=1 Ratio Test Æ 2. Use the Direct Comparison Test Hnot the Limit Comparison TestL to determine if the following series converges or diverges. n n Hln 2L n + n 3 + 2 n 2n + 2n + 2n 2y i2y i i2y jz j z jz ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ £ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ = 3 j ÄÄÄÄÄ z and 3 „ j ÄÄÄÄÄ z is a convergent geometric series j r = ÄÄÄÄÄ z ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä ÄÄÄÄÄÄÄÄ è!!!! n k3{ k k3{ 3 3{ 3n + n n=2 • ƒ ƒ H n + 1 L 2 2 n+1 H n + 1 L ƒ ƒ ƒ lim ƒ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ ƒ ƒ nÆ• ƒ 2 n+2 H n + 2 L n 2 ƒ ƒ Hln 2L n + n 3 + 2 n ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä „ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ è!!!! 3n + n n=2 • ƒ ƒ ƒ 1 ƒ ƒ = ÄÄÄÄÄ ƒ ƒ ƒ ƒ 2 ƒ ƒ , Therefore the series is Absolutely Convergent so the original series Converges 3. Let f be a function that has derivatives of all orders for all real numbers. Assume that f H- 1L = 5, f ¢ H- 1L = - 2, f ¢¢ H- 1L = - 6, f ¢¢¢ H- 1L = 18, and f4 H- 1L = - 12. HaL Write the fourth order Taylor polynomial for f at x = - 1. HbL Write the third order Taylor polynomial for f ¢ at x = - 1. x -2 HcL Write the third order Taylor polynomial for g HxL = ‡ f HtL dt at x = - 2 HHint : what should g H- 2L be equal to ?L. HaL 1 P 4 HxL = 5 - 2 H x + 1 L - 3 H x + 1 L 2 + 3 H x + 1 L 3 - ÄÄÄÄÄ H x + 1 L 4 2 P 3 HxL = - 2 - 6 H x + 1 L + 9 H x + 1 L 2 - 2 H x + 1 L 3 HbL HcL 4. Find the interval of convergence for : P 3 HxL = 5 H x + 1 L - H x + 1 L 2 - H x + 1 L 3 + C g H -2 L = P 3 H -2 L = -5 - 1 + 1 + C = 0 Æ C = 5 • Æ ƒ 3 !!! ƒ ƒ H x - 3 L n+2 3 n+1 2 n è!!!!!!!!!!1 ƒ n+ ƒ ƒ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ƒ Ratio Test Æ lim ƒ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä ƒ ƒ 3 ! nÆ• ƒ ƒ H x - 3 L n+1 3 n 2 n+1 è!!!!!!!!!!!!! ƒ n+2 ƒ 3n Hx - 3Ln + 1 ÄÄÄÄÄÄÄÄ „ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄ 3 è!!!!!!!!!!!!! n n + 1 H2 L n=1 P 3 HxL = 5 H x + 1 L - H x + 1 L 2 - H x + 1 L 3 + 5 7 11 At x = ÄÄÄÄÄ the series is CC , and at x = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ the series diverges. Thus, the interval of convergence is 3 3 ƒ ƒ ƒ ƒ3 ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ = ƒ ÄÄÄÄÄ H x - 3 L ƒ < 1 Æ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ2 ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ -2 2 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ < x - 3 < ÄÄÄÄÄ 3 3 Æ 7 11 ÄÄÄÄÄ < x < ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 3 3 7 11 ÄÄÄÄÄ £ x < ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 3 3 5. Find the interval of convergence for : H- 1Ln H3 x + 1Ln ÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä „ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Hn + 2L 6n • n=1 Ratio Test Æ -6 < 3 x + 1 < 6 ƒ ƒ H 3 x + 1 L n+1 6 n H n + 2 L ƒ ƒ ƒ lim ƒ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ ƒ ƒ n Æ • ƒ H3 x + 1L n H n + 3 L 6 n+1 ƒ ƒ Æ -7 5 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ < x < ÄÄÄÄÄ 3 3 Æ Therefore, he interval of convergence is -7 x = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 3 -7 5 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ < x £ ÄÄÄÄÄ 3 3 At ƒ ƒ 3x + ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ = ƒ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ1 ƒ ƒ ÄÄÄÄÄÄÄÄ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ 6 ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ <1 ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ the series diverges, and at 5 x = ÄÄÄÄÄ 3 the series is CC x 6. Find the Maclaurin series for f HxL = ÄÄÄÄÄ cos H3 xL 3 • x2 x4 x6 H -1 L n x 2 n cos x = 1 - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄ + ... = „ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä 2! 4! 6! H 2 n L! x x H - 1 L n H3 xL 2 n ÄÄÄÄÄÄÄÄ so ÄÄÄÄÄ cos H3 xL = ÄÄÄÄÄ „ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ = H 2 n L! 3 3 • n=0 n=0 • n=0 H - 1 L n x 2 n + 1 H3L 2 n - 1 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ „ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ H 2 n L! 7. Use the Integral Test to determine if the following series is convergent or divergent : HHint : Think of the n term as n e L Upon applying the Integral Test , use tabular integration or integration by parts, th 2 -n 2 -x 2 -x -x -x ‡ x e dx = blim A- x e - 2 x e - 2 e D Æ• • 2 b 2 n2 „ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄ en n=2 • p 8. Find Pn HxL and Rn HxL for f HxL = ln » csc x - cot x » at c = ÄÄÄÄÄ , n = 2. 6 f HxL = ln » csc x - cot x » ; 1 f ¢ HxL = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄ Hcsc 2 x ÄÄÄÄÄÄÄÄ csc x - cot x ƒ ƒ "#### ƒ ƒ f 3 HxL = csc x cot 2 x + csc 3 x Æ P 2 HxL = ln ƒ 2 - 3 ƒ ƒ ƒ ƒ csc HzL cot 2 HzL + csc 3 HzL p3 R 2 HxL = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Jx - ÄÄÄÄÄ N ÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä 3! 6 10 = 0 - H - 4 e -2 - 4 e -2 - 2 e -2 L = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄ e2 Æ The series Converges and ƒ p p2 ƒ ƒ ƒ + 2 Jx - ÄÄÄÄÄ N - "#### Jx - ÄÄÄÄÄ N ƒ 3 ƒ ƒ ƒ 6 6 ƒ csc x cot xL = csc x ; f ¢¢ HxL = H- csc xL Hcot xL ; x 9. Find Pn HxL and Rn HxL for f HxL = cos ÄÄÄÄÄ 3 at c = 2 p, n = 3. -1 x 1 x ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ cos J ÄÄÄÄÄ N ; f 3 HxL = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ sin J ÄÄÄÄÄ N ; f 4 HxL = 9 3 27 3 è!!!! 3 1 + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Hx - 2 pL 3 Ä and R 3 HxL = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 324 81 1 x ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ cos J ÄÄÄÄÄ N ; 81 3 z • è!!!! H- 1Ln + 1 n 10. The series „ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄ converges. What is the maximum error of the fourth partial sum? Also, is the fourth ÄÄÄÄ Hn + 2L n ! n=1 -1 x x f HxL = cos J ÄÄÄÄÄ N ; f ¢ HxL = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ sin J ÄÄÄÄÄ N ; f ¢¢ HxL = 3 3 3 è!!!! -1 3 1 so P 3 HxL = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Hx - 2 pL + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Hx - 2 pL 2 Ä 2 6 36 cos I ÄÄÄÄÄ M 3 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄ Hx - 2 pL 4 ÄÄÄÄ 24 è!!!! 5 a 5 = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = ÄÄ 7 ◊ 5! or it is less than partial sum greater than or less than the sum of the series? è!!!! 5 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä and the last term of the fourth partial sum is negative, so S4 is too small H S 4 < S L, 840 the sum of the series 1 11. Find a power series expansion for f HxL = ÄÄÄÄÄ sin x cos x 3 1 1 ÄÄÄÄÄ H2 sin x cos xL = ÄÄÄÄÄ sin 2 x 6 6 • n n=0 • Æ HxL2 n + 1 ÄÄÄÄÄÄÄÄ = „ H- 1L ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Hfor sin xL H2 n + 1L ! 1 H2 xL2 n + 1 ÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄ „ H- 1L n ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ H2 n + 1L ! 6 n=0 • HHint : Use a trigonometric identity to rewrite the function firstL because x3 x5 x7 sin x = x - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄ + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄ - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄ + ◊ ◊ ◊ 3! 5! 7! 1 i z jfor ÄÄÄÄÄ sin 2 xy j z k { 6 Æ 12. Find the sum of the following series : 1 A By i j ÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ Äz „ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄ = „ j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄ + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z Æ 1 = A H2 nL + B H2 n - 2L ; k 2n - 2 H2 n - 2L H2 nL 2n { • • n=2 n=2 1 ÄÄÄÄÄÄÄÄ „ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄ H2 n - 2L H2 nL n=2 • • H2L2 n + 1 x 2 n + 1 n ÄÄÄÄÄÄÄÄ „ H- 1L ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ 6 H2 n + 1L ! n=0 for n = 0 Æ 1 = - 2 B Æ -1 B = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 2 1 ÄÄÄÄÄ 4 1 and for n = 1 Æ 1 = 2 A Æ A = ÄÄÄÄÄ 2 1 1 1 1 1 1i 1 1 1y 1 y i z j j ÄÄÄÄ Äz so ÄÄÄÄÄ „ j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄ - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z = ÄÄÄÄÄ j A ÄÄÄÄÄ - ÄÄÄÄÄ E + A ÄÄÄÄÄ - ÄÄÄÄÄ E + A ÄÄÄÄÄ - ÄÄÄÄÄ E + ◊ ◊ ◊ z { k 2n - 2 4 4 6 6 8 2k 2 2n { 2 n=2 = ...
View Full Document

This note was uploaded on 08/29/2010 for the course MATH 44323 taught by Professor Anderson during the Spring '09 term at University of California, Berkeley.

Ask a homework question - tutors are online