Chapter92007solutions

Chapter92007solutions - Chapter 9 Test • No Calculators...

This preview shows page 1. Sign up to view the full content.

This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: Chapter 9 Test • March 18, 2007 No Calculators Name 1. Determine whether the following series is absolutely convergent, conditionally convergent, or divergent. Justify your answer. H- 1Ln 32 n + 1 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ „ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ n H5n L n=1 Use the Ratio Test, since we see nth powers, So, since L > 1, the series DIVERGES Æ 2. Use the Direct Comparison Test Hnot the Limit Comparison TestL to determine if the following series converges or • è!!!! 4n + n + 2n ÄÄÄÄÄÄÄÄ diverges. „ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ è!!!! 3n + n n=2 because it is like the geometric series n i4y jz „ j ÄÄÄÄÄ z k3{ • n=2 ƒ ƒ H- 1Ln + 1 32 n + 3 ƒ n H5n L ƒ ƒ ÄÄÄÄÄÄÄÄ lim ƒ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ x ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ ÄÄÄÄ ƒ ƒ n Æ • ƒ Hn + 1L H5n + 1 L H- 1Ln 32 n + 1 ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ = ƒ H- 1L H32 L n ƒ ƒ ƒ ƒ ÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä lim ƒ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ƒ n Æ • ƒ 5 Hn + 1L ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ = 9 ÄÄÄÄÄ 5 The prominent terms from the numerator and denominator, respectively, are 4n and 3n , and so we suspect that it diverges In order to use the Direct Comparison Test to demonstrate Divergence, is smaller, simpler, and related to the original series, so n 1 i4y jz ÄÄÄÄÄ „ j ÄÄÄÄÄ z k3{ 2 • n=2 DIVERGES we need to make a comparison with new series that è!!!! 4n 1 i 4 yn 4n + n + 2n jz ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ≥ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄ = ÄÄÄÄÄ j ÄÄÄÄÄ z ÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ and è!!!! 3n + 3n 2 k3{ 3n + n is divergent geometric series, so the original series HcL Write the third order Taylor polynomial for g HxL = ‡ f HtL dt at x = 3 HHint : what should g H3L be equal to ?L. x 3. Let f be a function that has derivatives of all orders for all real numbers. Assume that f H3L = - 2, f ¢ H3L = 5, f ¢¢ H3L = 8, f ¢¢¢ H3L = - 12, and f4 H3L = 16. HaL Write the fourth order Taylor polynomial for f at x = 3. HbL Write the third order Taylor polynomial for f ¢ at x = 3. 3 f H3L f ¢ H3L f ¢¢ H3L f H3L H3L f H4L H3L HaL P4 HxL = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Hx - 3L0 + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Hx - 3L1 + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Hx - 3L2 + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Hx - 3L3 + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Hx - 3L4 Ä or Ä ÄÄ ÄÄ ÄÄ 0! 1! 2! 3! 4! 2 P4 HxL = - 2 + 5 Hx - 3L + 4 Hx - 3L2 - 2 Hx - 3L3 + ÄÄÄÄÄ Hx - 3L4 3 ¢ g H3L g H3L g ¢¢ H3L g H3L H3L HbL Let g HxL = f ¢ HxL so P3 HxL = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Hx - 3L0 + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Hx - 3L1 + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Hx - 3L2 + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ Hx - 3L3 Ä ÄÄ ÄÄ ÄÄÄÄ 0! 1! 2! 3! f ¢ H3L f ¢¢ H3L f H3L H3L f H4L H3L or P3 HxL = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Hx - 3L0 + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Hx - 3L1 + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Hx - 3L2 + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Hx - 3L3 Ä ÄÄ ÄÄ ÄÄ 0! 1! 2! 3! 8 P3 HxL = 5 + 8 Hx - 3L - 6 Hx - 3L2 + ÄÄÄÄÄ Hx - 3L3 3 Notice, also, that the polynomial in HbL is the derivative of the polynomial in HaL HcL 5 4 P3 HxL = - 2 Hx - 3L + ÄÄÄÄÄ Hx - 3L2 + ÄÄÄÄÄ Hx - 3L3 2 3 • or g HxL = ‡ f HtL dt x 3 so we should integrate the polynomial in HaL, so 4. Find the interval of convergence for : Hn + 1L n ÄÄÄÄ „ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄnÄÄÄÄÄÄ H2 x + 1L H- 3L n=1 Notice that g H3L = ‡ f HtL dt = 0 3 3 so P3 HxL = 0 also Ratio Test so Æ -3 < 2x + 1 < 3 • x = -2 Æ x=1 Æ So the power series converges on the interval • Hn + 1L n ÄÄÄÄ „ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄnÄÄÄÄÄÄ H2 H1L + 1L H- 3L • n=1 Hn + 1L n ÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄnÄÄÄÄÄÄ H2 H- 2L + 1L H- 3L n=1 ƒ ƒ Hn + 2L H2 x + 1Ln + 1 ƒ H- 3Ln ƒ ƒ lim ƒ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ƒ ƒ nÆ• ƒ Hn + 1L H2 x + 1Ln ƒ H- 3Ln + 1 ƒ Æ -2 < x < 1 • = n=1 • = n=1 n ‚ H- 1L Hn + 1L ‚ Hn + 1L H- 2, 1L ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ= ƒ lim ƒ ƒ ƒ nÆ• ƒ ƒ Now, we need which diverges by the nth term test, and ƒ Hn + 2L H2 x + 1L ƒ ƒ ƒ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ ƒ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ƒ ƒ ƒ Hn + 1L H- 3L ƒ to check the endpoints, so ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ = ƒ 2x + 1 ƒ ƒ ƒ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ ƒ ÄÄÄÄÄÄÄÄ ƒ ƒ ƒ 3 ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ < 1 which fails to satisfy two parts of the Alt. Series Test 5. Find the interval of convergence for : Ratio Test = 15 x = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 16 !!! è!!!!!!!!!!!!! ƒ ƒ ƒ ƒ H- 1Ln + 1 H4L2 n + 2 Hx - 1Ln + 1 ƒ ƒ H- 1L H42 L Hx - 1L è!!!!!!!!!!1 ƒ ƒ ƒ n+1 n+ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ lim ƒ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ !!!!!! ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ƒ = lim ƒ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ !!!!!! ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä ƒ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä ƒ ƒ ƒ è!!!!!!!! è!!!!!!!! ƒ nÆ• ƒ nÆ• ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ H- 1Ln H4L2 n Hx - 1Ln ƒ n+2 n+2 ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ 15 17 ƒ ƒ ƒ 16 Hx - 1L ƒ < 1 ƒ ƒ so ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ < x < ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ and we need to check the endpoints, so ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ 16 16 ƒ ƒ Æ Æ H- 1Ln H4L2 n ÄÄÄÄÄÄÄÄ „ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ !Ä!!!!! ÄÄÄÄÄ è!!!!!!!! ÄÄÄÄÄÄÄ n+1 n=1 • H- 1Ln H4L2 n n ÄÄÄÄÄÄÄÄ „ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ !Ä!!!!! ÄÄÄÄÄ Hx - 1L è!!!!!!! ÄÄÄÄÄÄÄ n+1 n=1 1 where p = ÄÄÄÄÄ £ 1 2 17 x = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 16 • so diverges Æ We know that x J ÄÄÄÄÄ N 2 x 6. Find the Maclaurin series for f HxL = 3 x tan-1 J ÄÄÄÄÄ N 2 tan -1 which satisfies the conditions of the Alt. Series Test and is conditionally convergent i 15 17 j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ , ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ E j So the power series converges on the interval k 16 16 x2 n + 1 x = „ H- 1L ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ 2n + 1 n n=0 n • • H- 1Ln H4L2 n ÄÄÄÄÄÄÄÄ „ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ !Ä!!!!! ÄÄÄÄÄ è!!!!!!!! ÄÄÄÄÄÄÄ n+1 n=1 i 15 z j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ - 1y z j { k 16 i 17 z j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ - 1y z j { k 16 n = and n H- 1Ln H4L2 n ÄÄÄÄÄÄÄÄ „ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ !Ä!!!!! ÄÄÄÄÄ è!!!!!!!! ÄÄÄÄÄÄÄ n+1 n=1 • = H- 1Ln H4L2 n ÄÄÄÄÄÄÄÄ „ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ !Ä!!!!! ÄÄÄÄÄ è!!!!!!!! ÄÄÄÄÄÄÄ n+1 n=1 • i -1 y j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z j z k 42 { n = 1 ÄÄÄÄÄÄÄÄ „ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ!!!!!! Ä è!!!!!!!! ÄÄÄÄ n+1 n=1 • • = 1 Ä „ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ è!!!! n n=2 • ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ n i1y j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z j z k 42 { = H- 1Ln ÄÄÄÄÄÄÄÄ „ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ!!!!!! Ä è!!!!!!!! ÄÄÄÄ n+1 n=1 so tan -1 tan -1 x2 n + 1 = „ H- 1L ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ H22 n + 1 L H2 n + 1L n=0 • so 3 x tan -1 I ÄÄÄÄÄ M x 2 J ÄÄÄÄÄ N = „ H- 1Ln ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ 2 2n + 1 x 2n+1 n=0 • n=0 or x x2 n + 2 J ÄÄÄÄÄ N = 3 H- 1Ln ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 2 H22 n + 1 L H2 n + 1L • n=5 7. Use the Integral Test to determine if the following series is convergent or divergent : 1 ÄÄÄÄÄÄÄÄ „ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄ n2 - 4 n Check the integral so plug in • x=0 1 ÄÄÄÄÄÄÄÄ ‡ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄ dx 2 - 4x x 5 • and 1 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ 2 - 4x x Æ 1 = -4 A b Æ 1 ÄÄÄÄÄÄÄÄ ‡ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄ dx 2 - 4x x 5 = 1 ÄÄÄÄÄ 4 = 1 ÄÄÄÄÄ ln 5 4 1y i1 z j ÄÄ lim ‡ j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ - ÄÄÄÄÄ z dx bÆ• kx - 4 x{ 5 -1 A = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 4 = and 1 ÄÄÄÄÄ 4 1 A B = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄ = ÄÄÄÄÄÄ + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄ x Hx - 4L x x-4 x=4 Æ 1 = 4B ƒx-4 ƒ ƒ ƒ ÄÄ lim A ln ƒ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ƒ ƒx ƒ bÆ• ƒ ƒb ƒ ƒ ƒD ƒ ƒ ƒ5 ƒ ƒ = so so 1 ÄÄÄÄÄ 4 1 = A Hx - 4L + B x 1 B = ÄÄÄÄÄ 4 and ƒ1 ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ E - ln ƒ ÄÄÄÄÄ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ5 ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒy ƒ ƒz ƒz ƒ ƒ ƒ{ ƒ ƒ and since the integral converges, the related series also CONVERGES ƒb-4 ƒ i ƒ ÄÄ j lim A ln ƒ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ƒ j ƒ ƒb ƒ k bÆ• ƒ -p 8. Find Pn HxL and Rn HxL for f HxL = ln » sin x » at c = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ , n = 2. 3 In order to calculate the Taylor Polynomial and the Remainder Hor Legrange ErrorL, we need to calculate some derivatives è!!!! -p f I ÄÄÄÄÄÄÄÄ M i 3y j 3 j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z z j f HxL = ln » sin x » and a0 = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄ = ln j Ä z z j z j2z 0! { k 1 f ¢ HxL = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Hcos xL Ä sin x ¢¢ 2 = cot x and f HxL = - csc x -p f ¢ I ÄÄÄÄÄÄÄÄ M 3 a1 = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ ÄÄÄÄ 1! = and = 2 csc2 x cot x a2 f H3L HxL = - 2 csc x H- csc x cot xL è!!!! i 3y z j j P2 HxL = ln j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z z j Äz j z j2z { k - p3 csc2 z cot z ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ Jx + ÄÄÄÄÄ N ÄÄÄÄÄÄÄÄ R2 HxL = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 3 3 è!!!! 3 p 2 p2 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Jx + ÄÄÄÄÄ N + ÄÄÄÄÄ Jx + ÄÄÄÄÄ N Ä 3 3 3 3 -p ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 3 and f ¢¢ I ÄÄÄÄÄÄÄÄ M 3 = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ 2! -p and fHn + 1L HzL Rn HxL = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄ Hx - cLn + 1 ÄÄÄÄÄÄÄÄ Hn + 1L ! = 1 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄ è!!!! -3 4 = I ÄÄÄÄÄ M 3 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä 2 è!!!! -3 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄ 3 2 ÄÄÄÄÄ 3 = so 2 csc2 z cot z p3 R2 HxL = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Jx + ÄÄÄÄÄ N ÄÄÄÄÄÄÄÄ 3! 3 or where we would choose z from x to In order to calculate the Taylor Polynomial and the Remainder Hor Legrange ErrorL, we need to calculate some derivatives f HpL f HxL = sin 2 x and a0 = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä = 0 0! f ¢ HpL and a1 = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä =2 f ¢ HxL = 2 cos 2 x 1! f ¢¢ HpL f ¢¢ HxL = - 4 sin 2 x and a2 = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄ = 0 2! f H3L HpL -4 f H3L HxL = - 8 cos 2 x and a3 = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄ 3! 3 f H4L HpL and a4 = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ f H4L HxL = 16 sin 2 x ÄÄ = 0 4! 4 P4 HxL = 2 Hx - pL - ÄÄÄÄÄ Hx - pL3 3 where we would choose z from x to f H5L HxL = 32 cos 2 x fHn + 1L HzL Rn HxL = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄ Hx - cLn + 1 so ÄÄÄÄÄÄÄÄ Hn + 1L ! 32 cos 2 z 4 cos 2 z and R4 HxL = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Hx - pL5 = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄ Hx - pL5 ÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ 5! 15 p to find the maximum possible error Habsolute valueL 9. Find Pn HxL and Rn HxL for f HxL = sin 2 x at c = p, n = 4. to find the maximum possible error Habsolute valueL • è!!!! H- 1Ln + 1 n ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄ converges. What is the maximum error of the fourth partial sum? Also, is the fourth ÄÄÄÄ 10. The series „ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 2n Hn + 3L n=1 partial sum greater than or less than the sum of the series? For an alternating series that converges, look at the next term If the next term is positive, then the partial sum is less than the sum of the series If the next term is negative, then the partial sum is greater than the sum of the series è!!!! 5 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä 256 In this case, for the fourth partial sum, the next term would be the fifth term, where n = 5 Æ = Since this term is positive, the fourth partial sum is less than the sum of the series è!!!! H- 1L5 + 1 5 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ 25 H5 + 3L è!!!! 5 = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄ 8 H32L 2x 11. Find a power series expansion for f HxL = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ H1 - xL2 Since 1 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = „ xn ÄÄ 1-x n=0 • then the series for 2x ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ H1 - xL2 1 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä 1- x also, we have 1 i1y j Ä Äz Dx j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z = Dx HH1 - xL-1 L = - 1 H1 - xL-2 H- 1L = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ k1 - x{ H1 - xL2 1 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ H1 - xL2 = „ n xn - 1 n=1 • and if we differentiate so = n=1 ‚ H2 nL xn • 2x ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ H1 - xL2 = n=1 ‚ H2 xL n xn - 1 • or 12. Find the sum of the following series : 2 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ 2-1 n n=1 • 2 ÄÄÄÄ „ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ n2 - 1 n=2 2 = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ Hn + 1L Hn - 1L Æ 2 = 2B • A B = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄ ÄÄ n+1 n-1 Æ B=1 2 ÄÄÄÄ „ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ n2 - 1 n=2 • and = = = + Æ 1z 1z 1z i j1 - ÄÄÄÄÄ y + i ÄÄÄÄÄ - ÄÄÄÄÄ y + i ÄÄÄÄÄ - ÄÄÄÄÄ y + j1 j1 j z j z j z k k2 k3 3{ 4{ 5{ 1y 1 1 i1 j ÄÄÄÄÄ - ÄÄÄÄÄ z + . . . + i ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄ - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄ y + . . . j j z j z ÄÄÄÄ ÄÄÄÄ z or splitting this into two halves, k4 kn - 1 6{ n + 1{ 1y 1 1 1 1 1 i i1 j1 - ÄÄÄÄÄ z + j ÄÄÄÄÄ - ÄÄÄÄÄ y + i ÄÄÄÄÄ - ÄÄÄÄÄ y + . . . + i ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄ - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄ y + . . . where n is even z j z j j z j z j z j z ÄÄÄÄ ÄÄÄÄ z k k3 k5 kn - 1 3{ 5{ 7{ n + 1{ 1 1 1 1 1 1 1 i1 j z j z j z j ÄÄÄÄÄ - ÄÄÄÄÄ y + i ÄÄÄÄÄ - ÄÄÄÄÄ y + i ÄÄÄÄÄ - ÄÄÄÄÄ y + . . . + i ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄ - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄ y + . . . where n is odd z j z j z j z j ÄÄÄÄ ÄÄÄÄ z kn - 1 k6 k4 k2 n + 1{ 8{ 6{ 4{ 1 3 1 + ÄÄÄÄÄ = ÄÄÄÄÄ 2 2 1y i1 j ÄÄÄÄ ÄÄÄÄ z „ j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄ - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄ z kn - 1 n + 1{ n=2 and n = -1 2 = A Hn - 1L + B Hn + 1L Æ 2 = -2 A so we plug in A = -1 so Æ ...
View Full Document

This note was uploaded on 08/29/2010 for the course MATH 44323 taught by Professor Anderson during the Spring '09 term at Berkeley.

Ask a homework question - tutors are online