Chapter102007solutions

Chapter102007solutions - Chapter 10 Test April 6, 2007 No...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: Chapter 10 Test April 6, 2007 No Calculators 1 x = ÄÄÄÄÄ t + cos t, 2 Name y = - t + sin t dy 1. Find the point HsL at which the tangent to the curve is vertical if where 0 £ t £ 2p dy If we are looking for vertical tangents, we want the derivative, ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ to be undefined, dx Æ Æ ÄÄÄÄÄÄÄÄ - 1 + cos t dy dt Ä ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ ÄÄÄÄ and ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ dx 1 dx ÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄ - sin t dt 2 so p 5p t = ÄÄÄÄÄ , ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 6 6 1y z z ÄÄÄÄÄ z z z 2z { and so we look for the t - values that would cause the denominator to equal 0 p t = ÄÄÄÄÄ 6 5p t = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 6 Æ 1p p x = ÄÄÄÄÄ J ÄÄÄÄÄ N + cos J ÄÄÄÄÄ N, 26 6 1 x = ÄÄÄÄÄ 2 p p y = - J ÄÄÄÄÄ N + sin J ÄÄÄÄÄ N 6 6 1 sin t = ÄÄÄÄÄ 2 Æ d2 y 2. Find ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä dx2 in terms of t if 5p i 5p y j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z + cos i ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ y, j z j z j z k6{ k6{ x = 12 t - t3 , ÄÄÄÄÄÄÄÄ dt = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä dx ÄÄÄÄÄÄÄÄ dt = dy i 5p y i 5p y j z j z y = - j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z + sin j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z k6{ k6{ y = t2 - 5 t 2t - 5 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ 12 - 3 t2 Æ è!!!! ip 3 -p j j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ , ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ + j Ä j j j 12 2 6 k è!!!! i 5p 3 -5 j j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ , ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄp j Ä Ä ÄÄÄÄ j j j 12 2 6 k ÄÄÄÄÄÄ I ÄÄÄÄÄÄÄÄ M dt dx ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ dx ÄÄÄÄÄÄÄÄ dt d dy so, for and for 1y z z + ÄÄÄÄÄ z z z 2z { d 2t - 5 dy First, we need to find ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ , dx d2 y ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä dx2 3. Find the length of the curve if i dx y '''''''''''''''' y i dy j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z j z j ''''''' z L = · &''''''''''''''''+ j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z ' dt k dt { k dt { b 2 2 a ÄÄÄÄÄ 2 p H12 - 3 t2 L H2L - H- 6 tL H2 t - 5L = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ H12 - 3 t2 L3 dy and ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ dx = and d2 y ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä dx2 = = = x = t cos t - sin t, ÄÄÄÄÄ 2 p 24 - 6 t2 + 12 t2 - 30 t ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä H12 - 3 t2 L3 y = t sin t + cos t, and 6 t2 - 30 t + 24 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ H12 - 3 t2 L3 p 0 £ t £ ÄÄÄÄÄ 2 ÄÄÄÄÄÄ I ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ2ÄÄ M ÄÄÄÄ dt 12 - 3 t ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ 12 - 3 t2 = so 2 t2 + 10 t - 8 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä 9 Ht2 - 4L3 Æ "############################### # ################ # #### L=‡ H- t sin t L2 + Ht cos t L2 dt 0 L=‡ 0 ÄÄÄÄÄ 2 p = 4. Evaluate the vector integral Consider this vector integral as two separate integrals, so that we have ii 3 ln t y i 2 yy jj Ä z j Ä zz ‡ jj ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z i + j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z jz dt kk t { k t ln t { { e3 e "################################2 #### ####### t2 Hcos2 t + sin tL dt ‡ 0 "############################### # ############################### # ############################### # ################ ##### ####### Hcos t - t sin t - cos tL2 + Hsin t + t cos t - sin tL2 dt = ‡ t dt 0 ÄÄÄÄÄ 2 p so = ÄÄÄÄÄ 1 2 ÄÄÄÄÄ A t2 D 0 2 p = p2 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 8 for both integrals we can use u = ln t 3 3 ÄÄÄÄÄ A u2 D i 1 2 1 du = ÄÄÄÄÄ dt, t so that Æ + 5. Find the unit vectors Hfour in allL that are tangent and normal to x = 2 t - t2 , 2 A ln u D 3 1 j Æ 12 i + 2 ln 3 j i3 j j j 3 u du j‡ j j j k1 i e3 j j i 3 ln t y j jÄz j j j ‡ j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z dt j j kt{ ke y i 32 y z j z z z i + j ÄÄÄÄÄÄ duz j j z z j‡ z z j z z j z z j z u { k1 { y = 3 + t3 - t, y i e3 y z j z jj2z z z z z i + j i ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ y dt z j jjÄzz z j‡ z z j z j k t ln t { z z z j z { ke { or and, at t=1 dy 3 t2 - 1 dy 2 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ and at t = 1 Æ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Æ ÄÄÄÄÄ , which does not exist, so dx 2 - 2t dx 0 the unit tangent vectors Æ < 0, 1 > and < 0, - 1 > and the unit normal vectors Æ < 1, 0 > and < - 1, 0 > 6. Find the slope of the tangent line for 2 r = 1 + cos q, at 11 p Ä q = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ . 6 1 0 2 1 1 0 1 2 2 11 p At q = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ , we should be close to the rectangular point H2, 0L, Ä 6 Now, x = r cos q and y = r sin q so, è!!!! 11 p 3 cos ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä Ä 6 2 dy ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ dx = ÄÄÄÄÄqÄÄÄ dy d Ä ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ dx dx ÄÄÄÄÄqÄÄÄ d so dy ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ dx dy and it looks like the slope should be positive and 11 p -1 sin ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä 6 2 7. Sketch the graph of the polar equation, and be sure to label at least three polar points H r, q L, if è!!!! 2+2 3 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ èÄ!!!!ÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ Ä 2+ 2 3 = 1 This value seems to be verified by the graph of the function above. ÄÄÄ ÄÄÄ I ÄÄÄÄÄ M I ÄÄÄÄÄÄÄÄ M + J1 + ÄÄÄÄÄ2 ÄÄ N J ÄÄÄÄÄ2 ÄÄ N 2 2 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ è!!!! ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ è!!!! 1 -1 3 3 I ÄÄÄÄÄ M J ÄÄÄÄÄ2 ÄÄ N - J1 + ÄÄÄÄÄ2 ÄÄ N I ÄÄÄÄÄÄÄÄ M ÄÄÄ ÄÄÄ 2 2 1 -1 - sin q sin q + H1 + cos qL cos q = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ - sin q cos q - H1 + cos qL sin q è!!!! 3 è!!!! 3 and we will need è!!!! è!!!! - 1 + I2 + 3 M I 3 M ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ è!!!! ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä è!!!! 3 - I2 + 3 M H- 1L "#### 3 + 2 sin q = or r= 4 4 5π è!!!! H 3 + 1, L 60 1 3 2 1 2 3 4 H2 + 3 2 è!!! π ! 3, L 2 3π è!!! 1 ! H 3 − 2, L 2 0 1 π è!!!! H 3 + 1, L 6 2 3 4 8. Find the area of the region that is inside both 3 r=2 and r2 = 8 sin 2 q 2 1 0 3 2 1 1 0 1 2 3 2 3 First, find the points of intersection 1 A = 4 ‡ ÄÄÄÄÄ H8 sin 2 qL dq 2 0 ÄÄÄÄÄÄ Ä 12 p Æ 4 = 8 sin 2 q Æ 1 sin 2 q = ÄÄÄÄÄ 2 ÄÄÄÄÄÄ Ä 12 0 p Æ ÄÄÄÄÄ 4 p p p 5p q = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ , ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 12 12 = so + so A = 1 4 ‡ ÄÄÄÄÄ H22 L d q 2 p ÄÄÄÄÄÄ Ä 12 ÄÄÄÄÄ 4 p = 8-4 9. Find the area of the region that is inside r = 2 + 2 cos q 4p "#### 3 + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 3 - 8 A cos 2 q D + 8AqD ÄÄÄÄÄÄ Ä 12 è!!!! y i3 p p z j z jÄ - 8 j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ - 1z + 8 J ÄÄÄÄÄ - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ N z j z j z j2 4 12 { k and outside r = 6 cos q 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 First, find where the functions intersect ip j j 1 j j j A = 2 j ‡ ÄÄÄÄÄ H2 + 2 cos qL2 d q j j j jp 2 j ÄÄÄÄÄ k3 Æ 2 + 2 cos q = 6 cos q 1 2 ‡ ÄÄÄÄÄ H6 cos qL d q 2 p ÄÄÄÄÄ 3 ÄÄÄÄÄ 2 p Æ 2 = 4 cos q Æ and - = 1 1 i y j z A = 4 ‡ j1 + 2 cos q + ÄÄÄÄÄ + ÄÄÄÄÄ cos 2 qz d q k { 2 2 p p ÄÄÄÄÄ 3 4 ‡ H1 + 2 cos q + cos2 qL d q p ÄÄÄÄÄ 3 p - 36 ‡ cos2 q d q p ÄÄÄÄÄ 3 ÄÄÄÄÄ 2 p = - A= A6 q + 8 sin q + sin 2 q D A = p p 10. Find the area of the region that is bounded by one loop of the polar equation r = 2 cos 3 q è!!!! è!!!! i i 9 3y 3y z j z j "#### j j Ä Äz Äz H6 p + 0 + 0L - j2 p + 4 3 + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z - H9 p + 0L + j6 p + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z z j z j z j z j j j 2z 2z { k { k ÄÄÄÄÄ 3 - A 18 q + 9 sin 2 q D 1 i1 y j z 36 ‡ j ÄÄÄÄÄ + ÄÄÄÄÄ cos 2 qz d q k2 { 2 p ÄÄÄÄÄ 2 p 4 ‡ H1 + 2 cos q + cos2 qL d q p ÄÄÄÄÄ 3 y z z z z z z z z z z z { 1 cos q = ÄÄÄÄÄ 2 so p 5p q = ÄÄÄÄÄ , ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 3 3 so p - 36 ‡ cos2 q d q p ÄÄÄÄÄ 3 ÄÄÄÄÄ 2 p so so ÄÄÄÄÄ 3 ÄÄÄÄÄ 2 ÄÄÄÄÄ 3 p p so = p 2 1 0 2 1 1 0 1 2 2 1 A = 2 ‡ ÄÄÄÄÄ H2 cos 3 qL2 d q 2 0 ÄÄÄÄÄ 6 p = iqy jz 11. Find the length of the curve r = sin3 j ÄÄÄÄÄ z k3{ dr ÄÄÄÄÄÄÄÄÄ dq = iqy i q yi 1 y jz j zj z 3 sin2 j ÄÄÄÄÄ z cos j ÄÄÄÄÄ z j ÄÄÄÄÄ z k3{ k 3 {k 3 { 2 p A = 2 J ÄÄÄÄÄ N 6 = 4 ‡ Hcos 3 qL d q 2 0 ÄÄÄÄÄ 6 p = p ÄÄÄÄÄ 3 ÄÄÄÄÄ 1 6 2 ‡ H1 + cos 6 qL d q = 2 A q + ÄÄÄÄÄ sin 6 q D 0 6 p ÄÄÄÄÄ 6 p so 0 from q = 0 to q = 2 p 2 i dr y ' j ÄÄÄÄ z r2 + j '''''''' L = · &'''''''''''''''' ÄÄÄÄÄ z'''' d q k dq { 2p 0 = L = L = q q i 3 i q y y '''''''''''''''''''''''''''''''' j ''''''' &''''''''''''''''''''''''''''''''isin2 i ÄÄÄÄÄ y cos i 'ÄÄÄÄÄ yy''' d q ' jsin j ÄÄÄÄÄ z z + j j z '''''''' zz j zz j j zz j jz · k 3 {{ k k 3 {{ k k3{ 2p 2 0 iqy iqy jz jz sin2 j ÄÄÄÄÄ z cos j ÄÄÄÄÄ z k3{ k3{ = so or L = iqyi iq i q %%%% $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ÄÄÄÄÄ y + cos2%%%%%%%%yy% d q %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ÄÄÄÄÄ%zz j zz j zj jz j sin4 j ÄÄÄÄÄ z jsin2 j z ‡ k3{ k k3{ k 3 {{ 2p 0 = 12. Replace the polar equation by an equivalent Cartesian equation. Then identify or describe the graph if r = 4 tan q sec q or 1 y = ÄÄÄÄÄ x2 4 or sin q i 1 y jÄz r = 4 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z Ä cos q k cos q { Æ r cos2 q = 4 sin q Æ 1 3 i 2 q y 2p j z ÄÄÄÄÄ A q - ÄÄÄÄÄ sin j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z D k3{0 2 2 = 1 ÄÄÄÄÄ 2 è!!!! i 3 i - 3 yy j j Ä Ä zz j2 p - ÄÄÄÄÄ j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ zz zz j j zz j j zz j j j 2 j 2 zz {{ k k 0 iqz $%%%%%%%%%%%%%%%%y d q j Äz sin4 j ÄÄÄÄ%%%%% ‡ k3{ 2p ‡ 0 2p q q iqy $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 4 i ÄÄÄÄÄ y cos2 i ÄÄÄÄÄ y% d q %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% z %%%%%%%%% jz j jz jz sin6 j ÄÄÄÄÄ z + sin j z k3{ k3{ k3{ = è!!!! 33 + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄ 8 0 so = p iqy jz ‡ sin j ÄÄÄÄÄ z d q k3{ 2p 2 1 i i 2 q yy j j zz = ÄÄÄÄÄ ‡ j1 - cos j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ zz d q k k 3 {{ 2 2p 0 so r = 4 tan q sec q Æ x2 = 4 y r2 cos2 q = 4 r sin q This is a parabola that opens upward, vertex at H0, 0L ...
View Full Document

This note was uploaded on 08/29/2010 for the course MATH 44323 taught by Professor Anderson during the Spring '09 term at Berkeley.

Ask a homework question - tutors are online