4.4Done - 4.4 Modeling and Optimization è!!!!!!!!!!!!!!!!...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: 4.4 Modeling and Optimization è!!!!!!!!!!!!!!!! 20 - x x2 + 25 T HxL = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä so 5 4 -1 -1 1 i1y 1 x ÄÄÄÄÄÄ Ä jz 16 Hx2 + 25L = 25 x2 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ T ¢ HxL = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ + ÄÄÄÄÄ j ÄÄÄÄÄ z Hx2 + 25L 2 H2 xL = 0 Æ ÄÄÄÄÄÄ = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ !!!!!!!!Ä! Ä Æ è!!!!!!!! ÄÄÄÄ!ÄÄÄ 5 4 k2{ 5 2 + 25 4x 20 2 2y 3 i j z 400 = 9 x2 , so x = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ or x = 6 ÄÄÄÄÄ T j6 ÄÄÄÄÄ z = 4 ÄÄÄÄÄ hours Now, test the endpoints, so that k 3{ 3 3 4 "################ # ##### è!!!!!!!!!!!!!!!! !! 202 + 25 20 - 20 20 - 0 02 + 25 T H20L = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄ ª 5.154 ÄÄÄÄ and T H0L = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄ + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = 5.25 so ÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä 5 4 5 4 3 2 the minimum is 4 ÄÄÄÄÄ hours, at x = 6 ÄÄÄÄÄ miles 4 3 How Calculus Saved My Life distance = rate x time , so d t = ÄÄÄÄÄÄ r and 6. A rectangle has its base on the x - axis and its upper two vertices on the parabola is the largest area the rectangle can have, and what are its dimensions? y = 12 - x2 . What A = 2 x H 12 - x2 L Æ A = 24 x - 2 x3 so A ¢ HxL = 24 - 6 x2 = 6 H4 - x2 L so c = 2, - 2 ¢¢ ¢¢ A H2L = - 12 H2L = - 24 < 0 and A = - 12 x Therefore, there is a maximum at x = 2 and A H2L = 32 , so the dimensions are 4 x 8. 10. A 216 meters2 rectangular pea patch is to be enclosed by a fence and divided into two equal parts by another fence parallel to one of the sides. What dimensions for the outer rectangle will require the smallest total length of fence? How much fence will be needed? P = 3x + 2y or so 432 3 = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä x2 i 216 y j Äz P HxL = 3 x + 2 j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z = 3 x + 432 x-1 so P ¢ HxL = 3 - 432 x-2 kx{ 432 216 Æ x2 = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = 144 Ä so x = 12 meters and y = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = 18 meters Ä 3 12 x y = 216 so 432 3 - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = 0 Ä x2 17. You are designing a 1000 cm3 right circular cylindrical can whose manufacture will take waste into account. There is no waste in cutting the aluminum for the side, but the top and bottom of radius r will be cut from squares that measure 2 r units on a side. The total amount of aluminum used up by the can will therefore be A = 8 r2 + 2 p r h. What is the ratio of h to r for the most economical can? A = 8 r2 + 2 p r h and and V = p r2 h = 1000 =0 r=5 Æ Æ 1000 h = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Ä p r2 Æ so i 1000 y jÄz A = 8 r2 + 2 p r j ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ z = 8 r2 + 2000 r-1 k p r2 { Æ r=5 8 h : r = ÄÄÄÄÄ p Use the first derivative test to see if A ¢ HrL = 16 r - 2000 r-2 2000 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = 16 r Ä r2 is a minimum, and 2000 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = r3 Ä 16 40 h = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ so p 31. Find the volume of the largest right circular cone that can be inscribed in a sphere of radius 3. 1 1 1 V = ÄÄÄÄÄ p r2 h = ÄÄÄÄÄ p x2 Hy + 3L = ÄÄÄÄÄ p H 9 - y2 L Hy + 3L 3 3 3 = p Hy2 + 2 y - 3L = p = ÄÄÄÄÄ H - y3 - 3 y2 + 9 y + 27L 3 "#### p Hy + 3L Hy - 1L so y = 1 and x = 2 2 h=y+3 so p V ¢ HyL = ÄÄÄÄÄ H- 3 y2 - 6 y + 9L 3 ...
View Full Document

This note was uploaded on 09/02/2010 for the course MATH SMUD 206 taught by Professor Condon during the Spring '10 term at UMass (Amherst).

Ask a homework question - tutors are online