hw_09_sol - ÈÖÓ Ð Ñ Ë Ø ËÔÖ Ò ½¼ Ù ÌÙ × ¾...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ÈÖÓ Ð Ñ Ë Ø ËÔÖ Ò ½¼ Ù ÌÙ × ¾ ÔÖ Ð Ø ¾ÔÑ Ò Ð ×× ÓÖ Ø Ð ØÙÖ º ÈÐ × ÓÐÐÓÛ Ø ÓÑ ÛÓÖ ÓÖÑ Ø Ù Ð Ò × ÔÓ×Ø ÓÒ Ø ØØÔ »»ÛÛÛº ׺٠٠º Ù» Ð ××»×Ô½¼» ׿ ¿» Ð ×× Û Ô ½º ÓÑÔÖ Ò× ÓÒ¸ ÈÓ ÒØ× ¾¼ ÓÒ× Ö Ø × ×ØÖ Ø Ð Ò ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ð Ò Ù Û Ø ÓÙØ ÒÝ ×ÙÔÔÓÖØ ÓÖ ÐÓÓÔ× ÓÖ ÓÒ Ø ÓÒ Ð ×Ø Ø Ñ ÒØ× ØÝÔ Ð ×ØÖ Ø Ð Ò ÔÖÓ Ö Ñ ÓÒ× ×Ø× Ó × Ú Ö Ð × ÒØ Ò × × Ô Ö Ø Ý × Ñ ÓÐÓÒ´;µº Ì Ö Ö ÒØ Ò × Ó × ÒØ Ò × Ö ×ÙÔÔÓÖØ •ÎÖ Ð Ò Ø ÓÒ× Ù× Ò ÝÛÓÖ Ú Ö Û Ò Ò Ú Ö Ð ¸ ÓÖ Ü ÑÔÐ ×Ò Ø ÓÖÝ • Ò × Ú Ö Ð ÛØ Ò Ñ º ÇÒÐÝ Ð ØØ Ö× a . . . z Ò A . . . Z Ö ÐÐÓÛ Ò Ú Ö Ð Ò Ñ ×º ×× ÒÑ ÒØ× Ù× Ò ×ÝÑ ÓÐ Û Ò ×× Ò Ú ÐÙ Ó ×ÓÑ ÜÔÖ ×× ÓÒ ØÓ Ú Ö ¹ Ð º Ä Ø Ò × Ó Ø × ×ÝÑ ÓÐ × ÐÛ Ý× Ú Ö Ð Ò Ñ Ò Ö Ø Ò × × ÐÛ Ý× Ò ÜÔÖ ×× ÓÒº Ò ÜÔÖ ×× ÓÒ × ÓÑÔÓ× ÓÒ Ó Ú Ö Ð Ò Ñ × Ò Ò ØÙ¹ Ö Ð ÒÙÑ Ö× Ù× Ò Ö Ø Ñ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ× ·¸ ¹¸ ¶ Ò »º × Ò Ð Ò ØÙÖ Ð ÒÙÑ Ö ÓÖ × Ò Ð Ú Ö Ð Ò Ñ × Ð×Ó Ò ÜÔÖ ×× ÓÒº ËÓÑ × ÑÔÐ × Ú Ú ¾ ½¾ ¶ Ú » ÙÚÝ ¹¾¿ ¹ ÚÖ • ÇÙØÔÙØ ×Ø Ø Ñ ÒØ× Ù× Ò ÓÙØÔÙغ ÓÖ Ü ÑÔÐ ÔÖ ÒØ ÝÛÓÖ ÔÖ ÒØ Û Ò ÔÖ ÒØ Ú Ö Ð Ú ÐÙ ØÓ Ø ÔÖ ÒØ× Ø Ú ÐÙ Ó Ú Ö Ð ØÓ Ø ÓÙØÔÙغ Ì Ð Ò Ù × × × Ò× Ø Ú Ò Ø ÓÒÐÝ ÐÐÓÛ Ö Ø Ö× Ö ·¸ ¹¸ ¶¸ »¸ ¸ ¸ ¸ a . . . z ¸ A . . . Z ¸ 0 . . . 9¸ ´×Ô Ö Ø Öµ¸ ∼ ´Ò Û Ð Ò µº × Ò ÓÒØ ÜØ Ö Ö ÑÑ Ö ÓÖ Ø × Ð Ò Ù ´Ø Ø ×¸ ÓÒ×ØÖÙ Ø Ö ÑÑ Ö G ×Ù Ø Ø L(G) × Ø × Ø Ó ÐÐ Ú Ð ÔÖÓ Ö Ñ× Ò Ø × Ð Ò Ù º ÓÒ³Ø ÓÖ Ø ØÓ Ñ ÒØ ÓÒ ÐÐ ÓÙÖ ÑÔÓÖØ ÒØ Ô × Ó ÜÔÐ ØÐݵº ÆÓØ Ø Ø ÔÖÓ Ö Ñ × Ú Ð Ò ÓÒÐÝ Ø ÓÒ ÓÖÑ× ØÓ Ø ÔÖ Ú ÓÙ× Ò ÖÙÐ × ÓÖ Ø × Ð Ò Ù º Ö ÙÐ ÒÓØ ØÓ ÒÝ ÖÙÐ × Ý ÝÓÙÖ ÒØÙ Ø ÓÒ¸ ÓÖ Ü ÑÔÐ Û Ò Ú Ö Ö ÕÙ Ö Ú Ö Ð Ò Ñ ØÓ ÐÖ ÝØ ÝÛÓÖ Ú Ö ÓÖ Ò Ù× ¸ ×Ó ÓÖ Ü ÑÔÐ Ø × × Ú Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÐÒÙ Ò Ø Ó× Ò Ó Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× Ø Ø Ö Ù×Ù ÐÐÝ Ò × Ö ÕÙ Ö × ÑÓÖ Ñ Ò Öݺ ½ ÚÖ ¶ ¶ ÔÕÖ ÔÖ ÒØ ÓÖ × Ö ÓÙ× ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ó Ù× Ò Ô Ø Ð Ð ØØ Ö× ÓÖ Ò Ñ Ò abc ØÓ Ú ÑÓÖ Ö Ð Ò Ñ ØÓ × Ø ×Ø ÖØ ×ÝÑ Óк × ÝÓÙ Ö Ö Ò ÔÖ Ú ÓÙ× Ô Ò ÓÑÔ Ö Ø Ñ ØÓ Ø prog statement v ar name statement expression op v ar num statement number digit letter space ËÓÐÙØ ÓÒ ÁÒ×Ø ÒÓÒ¹Ø ÖÑ Ò Ð׸ Û Ù× Ø × Ò Ó ÒÓØ Ø ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ðº ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÑÑ Ö¸ prog Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ׸ ÐÓÓ ØØ Ú Ò × Ö ÔØ ÓÒ× Ó Ø Ð Ò Ù º → space prog space ; space prog space | statement | space → var space v ar name → v ar name letter | letter → v ar name space := space expression → − space expression | expression space op space expression →−|+|∗|/ → v ar name | number → print space v ar name → number digit | digit → 0 | ··· | 9 → a | ··· | z | A | ··· | Z → space space | |∼ ¾º ÓÑÔÖ Ò× ÓÒ¸ ÈÓ ÒØ× ¾¼ ´ µ ÓÒ× Ö Ø Ö ÑÑ Ö G1 Û Ø Ø × Ø Ó ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ× × ÓÛÒ ÐÓÛ ´S × Ø ×Ø ÖØ Ú Ö Ð µº Ï Ø × L(G1) ÓÒ Ø ÓÖÝ S =⇒ # | 0S 1 | 1S 0 ËÓÐÙØ ÓÒ L(G1 ) = {w #(w R )c | w ∈ {0, 1}∗} ´xc x Ò xR Ø× Ö Ú Ö× µº Ö ÔÖ × ÒØ× Ø ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ó Ò ÖÝ ×ØÖ Ò ´ µ ÓÒ× Ö Ø Ö ÑÑ Ö G2 Û Ø Ø × Ø Ó ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ× × ÓÛÒ ÐÓÛ ´S × Ø ×Ø ÖØ Ú Ö Ð µº Ï Ø × L(G2) S =⇒ # | ASA A =⇒ 0 | 1 ¾ ËÓÐÙØ ÓÒ L(G2 ) = {w #x | w, x ∈ {0, 1}∗, |w | = |x|}º ´ µ ÓÒ× Ö Ø Ö ÑÑ Ö G3 Û Ø Ø × Ø Ó ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ× × ÓÛÒ ÐÓÛ ´S × Ø ×Ø ÖØ Ú Ö Ð µº Ï Ø × L(G3) S =⇒ 1B 1 | 0B 0 | ASA B =⇒ ABA | # A =⇒ 0 | 1 L(G3 ) = {w #x | w, x ∈ {0, 1}∗, |w | = |x|, x = (w R )c }º ´ÆÓØ B ÐÛ Ý× Ò Ö Ø × ×ÓÑ ×ØÖ Ò Ó Ø ÓÖÑ w#x Û Ø |w| = |x|º ËÓ Ý ÐÓÓ Ò Ø Ø ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ× Ó Ø ÒÓÒ¹Ø ÖÑ Ò Ð S ¸ Ø Û ÐÐ Ò Ö Ø ×ÓÑ Ø Ò Ó Ø ÓÖÑ 0w#x0 ÓÖ 1w#x1 Ý Ø Ð ×Ø ÓÒ Ó Ø ÖÙÐ × S ⇒ 0B 0 | 1B 1 Ò Ò ÐÐÝ ÔÖÓ Ù × ×ÓÑ ×ØÖ Ò Ó Ø ÓÖÑ w 0w#x0x ÓÖ w 1w#x1x Ø Ö ´ÔÓ×× ÐÝ Ñ ÒÝ Ø Ñ × ÔÔÐÝ Ò µ ÖÙÐ S =⇒ ASAº Ì Ñ Ø Ò 0 ÓÖ 1 ÔÖÓ Ø× Ø ØÛÓ ×ØÖ Ò × ËÓÐÙØ ÓÒ ØÓ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ó Ø Ö Ú Ö× Ó ÓØ Ö Ò Ø Ø × Ø ÓÒÐÝ Ö ×ØÖ Ø ÓÒºµ L(G3 ) ´ µ Ï Ø × Ø Ö Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò L(G1 )¸ L(G2 ) Ò ËÓÐÙØ ÓÒ ¿º Ã Ø ÓÖÝ L(G2 ) = L(G1 ) ∪ L(G3 )º ÓÑÔÖ Ò× ÓÒ¸ ÈÓ ÒØ× ¾¼ Í× Ã Ð ÓÖ Ø Ñ ØÓ Ø ÖÑ Ò Û Ø Ö ÓÖ ÒÓØ Ø Ú Ò ×ØÖ Ò ÐÓÒ × ØÓ Ø Ö Ñ¹ Ñ Öº ÓÙÖ Ò×Û Ö × ÓÙÐ Ò ÐÙ Ø Ö Ý × ÓÖ ÒÓ Ò ÖØ Ø Ø ÝÓÙ Ù ÐØ Ù× Ò Ãº ´ µ Ï Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÛÓÖ × ÐÓÒ ØÓ L(G2 ) aabbb¸ aabab S E P A B =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ AP | AB AP | EB | b EB a b ¿ ËÓÐÙØ ÓÒ aabbb ¹ Ý ×¸ aabab ¹ ÒÓº ˸ ∅ ∅ ∅ ˸ ¸È ˸ Ë ∅ ∅ ∅ ∅ ¸È ¸È ¸ ¸È ¸ ¸ Ë ∅ ∅ ∅ ∅ ¸ Ë ¸ cadba¸ cbaad ´µÏ ÓØ ÓÐÐÓÛ Ò ÛÓÖ × ÐÓÒ ØÓ L(G1 ) S E P Q B C D =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ P E | CQ | a P E | CQ | a EB ED b c d ËÓÐÙØ ÓÒ cadba ¹ Ý ×¸ cbaad ¹ Ý ×º ˸ È Ë¸ ∅ É Ë¸ É Ë¸ È Ë¸ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ˸ ˸ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ˸ ∅ º ÈÖÓÚ Ø Ø Ú Ò Ð ØÝ Ø ÓÖÝ ÈÖÓÓ ¸ ÈÓ ÒØ× ¾¼ G Ò Û Ø Ö ÓÖ ÒÓØ L(G) ⊆ a∗b∗ × Ð ÔÖÓ Ð Ñº ËÓÐÙØ ÓÒ L(G) ⊆ a∗ b∗ ⇐⇒ L(G) ∩ a∗ b∗ = ∅ Ï ÒÓÛ Ø Ø Ø ×Ø Ò Û Ø Ö ÓÖ ÒÓØ Ø Ð Ò Ù Ó Ö ÑÑ Ö × ÑÔØÝ × Ð ∗ b∗ Ò ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ¸ ×Ó Û ÓÒÐÝ Ò ØÓ × ÓÛ Ø Ø Ú Ò G Û Ò ÓÒ×ØÖÙ Ø L(G) ∩ a ÑÓÙÒØ Ó ×Ø Ô׺ ÌÓ ÓÒ×ØÖÙ Ø Ö ÑÑ Ö ÓÖ Ø × ÒØ Ö× Ø ÓÒ Û Ò¸ ÓÖ Ü ÑÔÐ • ÓÒ×ØÖÙ Ø D ÓÖ a∗ b∗ ¸ • ÓÒ×ØÖÙ Ø D ÓÖ a∗ b∗ • ÓÒÚ ÖØ G ØÓ È P ¸ ׺غ L(G) = L(P ) P ÔØ Ò ÒØ Ö× Ø ÓÒ Ó a∗ b∗ Ò L(G)¸ Ù× Ò P Ò D • ÓÒ×ØÖÙ Ø È Ö ÑÑ Ö G • ÓÒÚ ÖØ P ØÓ ºÆ S A B C D ÒÛØ Ø → → → → → ÓÒÚ Ö× ÓÒ Ö ÑÑ Ö G Ø ÓÖÝ ÈÖÓÓ º¸ ÈÓ ÒØ× ¾¼ aAa | bBb | C|a C|b CD | A | B | ab ´ µ Ð Ñ Ò Ø ¹ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ׸ Ó Ø Ò Ò G1º ´ ÈÓ ÒØ×µ ´ µ Ð Ñ Ò Ø ÒÝ ÙÒ Ø ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ× Ò G1 ¸ Ó Ø Ò Ò G2º ´ ÈÓ ÒØ×µ ´ µ ÈÙØ G2 ÒØÓ ÓÑ× Ý ÆÓÖÑ Ð ÓÖÑ G3º ´ ÈÓ ÒØ×µ ËÓÐÙØ ÓÒ ´ µ Ö×Ø Ó Ðи Ò Û ×Ø ÖØ Ú Ö Ð S0 Û Ø S0 → S º Ì × Ø Ó ÒÙÐÐ Ð Ú Ö ¹ Ð × Ö {S0, S, A, B, C, D}º Ò ÔÖÓ Ù Ø ÓÒ× Ø Ø Ö ÔÐ ÔÔ Ö Ò Ó ÒÙÐÐ Ð Ú Ö Ð × Ý Ó Ø Ò× G1 S0 S A B C D → → → → → → S| aAa | bBb | aa | bb C|a C|b CD | D A | B | ab ´ µ Ì ÙÒ Ø ÖÙÐ × Ò G1 Ö S0 Ø Ö Ð Ñ Ò Ø ÓÒ Û Ø G2 S0 S A B C D → → → → → → → S, A → C, B → C, C → D, D → A, D → B º ´ µ Ï ÒØÖÓ Ù ØÛÓ Ò Û ÖÙÐ × P → a, Q → b ØÓ Ð Ñ Ò Ø Ñ Ü Ò ÖÙР׺ Ì Ò Û Ð×Ó ÒØÖÓ Ù X → AP, Y → BQ ØÓ Ð Ñ Ò Ø ÐÓÒ ÖÙÐ × S0 S A B C D X Y P Q → → → → → → → → → → aAa | bBb | aa | bb | P X | QY | P P | QQ b | CD | P Q | a a | CD | P Q | b CD | a | b | P Q a | b | CD | P Q AP BQ a b aAa | bBb | aa | bb | aAa | bBb | aa | bb b | CD | ab | a a | CD | ab | b CD | a | b | ab a | b | CD | ab º ÐÓ×ÙÖ ÈÖÓÔ ÖØÝ Ø ÓÖÝ ÈÖÓÓ º¸ ÈÓ ÒØ× ¾¼ ÈÖÓÚ Ø Ð Ò Ù Ls = {anbn cm | m = n − 1 or m = n + 1} × ÒÓØ ÓÒ Üع Ö Ù× Ò ÓÒÐÝ ÐÓ×ÙÖ ÔÖÓÔ ÖØ ×º ´ ÓÙ Ñ Ý ××ÙÑ Ø Ø L = {anbn cn | n ≥ 0} × ÒÓØ ÓÒØ Üع Ö ºµ ËÓÐÙØ ÓÒ ××ÙÑ ÓÖ Ø × Ó ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ø Ø Ls × ÓÒØ Üع Ö ¸ Ø Ò Ý ÐÓ×ÙÖ ÙÒ Ö ÓÒ Ø Ò Ø ÓÒ¸ Ls = Ls ◦ {c} = {anbncm | m = n or m = n + 2, m ≥ 1} × Ð×Ó ÓÒØ Üع Ö º ÆÓØ Ø Ø L3 = {aibj ck | (i + j + k) is divided by 3} × Ö ÙÐ Ö Ð Ò Ù º Ë Ò Ø ÒØ Ö× Ø ÓÒ Ó ÓÒØ Üع Ö Ð Ò Ù Ò Ö ÙÐ Ö Ð Ò Ù × ÓÒØ Üع Ö ¸ Û Ú (Ls ∩ L3) ∪ { } = L × Ð×Ó ÓÒØ Üع Ö º ÓÒØÖ Ø ÓÒ ...
View Full Document

Ask a homework question - tutors are online