ISM_T11_C03_A - CHAPTER 3 DIFFERENTIATION 3.1 THE...

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CHAPTER 3 DIFFERENTIATION 3.1 THE DERIVATIVE OF A FUNCTION 1. Step 1: f(x) 4 x and f(x h) 4 (x h) œ± ² œ± ² ## Step 2: f(x h) f(x) h( 2x h) hh h h h 4( xh ) 4x 4 x 2xh h 4 x 2xh h ±² ²² ²± ²² ²² ² ²± œœ œ œ cd a b ab # # 2x h œ± ± Step 3: f (x) lim ( 2x h) 2x; f ( ) 6, f (0) 0, f (1) 2 ww w w œ ± ± œ ± ± $ œœœ ± h Ä! 2. F(x) (x 1) 1 and F(x h) (x h 1) F (x) lim œ± ² ²œ²± ² œ w ±² ± ² ² ± h c d ( xh1 ) 1 ( x1 ) 1 h lim (2x h 2) œ ² ± h Ä ! Ä ! Ä ! a b x 2 x hh 2 x2 h11 x11 2xh h 2h # # ± ±²²±±² ²±± 2(x 1); F ( 1) 4, F (0) 2, F (2) 2 œ ± ± œ ±œ w 3. Step 1: g(t) and g(t h) œ² œ "" ± t( t h ) Step 2: g(t h) g(t) h h h ( th ) ( ) t h tt2 t h h 2th h ²± ± ±± œ œ (t h) t t h ) (t h) t ± Œ± # # †† h( 2t h) (t h) t h (t h) t 2t h Step 3: g (t) ; g ( 1) 2, g (2) , g 3 w w ² ² " ± œ ± œ œ ± œ ± h Ä ! 2t h 2t 2 2 (t h) t t t t 4 33 # # $ Š‹ È È 4. k(z) and k(z h) k (z) œ Ê œ 1z z2 ( z h ) h 1( zh ) ² ²± w h Ä ! " # # (z h) (z h) z z ± œ œ h h Ä ! Ä ! Ä ! Ä ! (1 z h)z ( z)(z h) (z h)zh 2(z h)zh 2(z h)zh (z h)z zz z hzhz z h h ²² ²"² ± ± ± ²²²²±± ² ² " ; k ( ) , k (1) , k 2 " œ ± œ ± œ ± ²" " " " w 2z 4 # È 5. Step 1: p( ) 3 and p( h) 3( h) )) ) ) œ ² È È Step 2: p( h) p( ) (3 3h) 3 h 3( h) 3 h 3 h 33 œ È È ÈÈ 3h 3 h33 È È È È Step 3: p ( ) ; p (1) , p (3) , p w w ± " # # ) œ œ œ œ h Ä ! 2 3 3 3 2 3 23 3 2 È È È È È ) ) ) ˆ‰ 6. r(s) 2s 1 and r(s h) 2(s h) 1 r (s) ² œ ² ² Êœ È È w ±±² ± h Ä ! È È 2s 2h 1 2s 1 h Ä ! Ä ! Š 2s h 1 2s 1 2s 2h 1 2s 1 h 2s 2h 1 2s 1 h 2s 2h 1 2s 1 (2s 2h 1) (2s 1) ±±² ± ± ±± ± ±±± ± œ œ Ä ! Ä ! 2h 2 2 2 h2 s 2 h 1 2 s 1 2s 2h 1 2s 1 2 s1 2 22 È È È È È ± ± ; r (0) 1, r (1) , r œ œ " " ± w # È 2s 1 3 2 7. y f(x) 2x and f(x h) 2(x h) ² œ ²Ê œ œ $$ ±±± ² dy 2(x h) 2x dx h h 2 x 3x h 3xh h 2x Ä ! Ä ! $# # $ $ lim 6x 6xh 2h 6x œ ² ² œ h Ä ! Ä ! Ä ! 6x h 6xh 2h h 6x 6xh 2h $ #
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122 Chapter 3 Differentiation 8. r 1 lim œ±Ê œ œ sd r ds h h 11 (s h) 2 s 2 $ $$ ## ±² ± " ±±²± hh Ä ! Ä ! ”• ’“ cd c d (s h) s $ $ 3s 3sh h s œœ œ ± ± œ " ±±± ± ² ² " " # # ±± # h Ä ! Ä ! Ä ! s3 s h3 s hh2 s2 3 s 3 sh h $ $ $ ab 9. s r(t) and r(t h) ± œ Êœ tt h d s 2t 1 2(t h) 1 dt h ± ± ² h Ä ! Š‹ ˆ‰ th t 2(t h) 1 2t 1 Ä ! Ä ! (t h)(2t 1) t(2t 2h 1) (2t 2h 1)(2t 1) h (2t 2h 1)(2t 1)h (t h)(2t 1) t(2t 2h 1) ² ± ± ± œ h Ä ! Ä ! Ä ! 2t t 2ht h 2t 2ht t h (2t 2h 1)(2t 1)h (2t 2h 1)(2t 1)h (2t 2h 1)(2t 1) ± ² ² ² " ± ± ± "" ± (2t 1)(2t 1) (2t 1) # 10. dv dt h h h (t h) t h œ h Ä ! Ä ! Ä ! Š ±² ²² ²± " " ( ) t h ( ) tt( ) " " t t 1 œ œ ± Ä ! Ä ! ht h t h t ht 1 t 1 h(t h)t (t h)t t t # # ± " 11. p f(q) and f(q h) ± œ Ê œ ± ² ÈÈ Š q1 (q h) 1 dp dq h h Ä ! (q h) 1 Ä ! Ä ! Œ± È È È È È È È È qh1 qh1q1 h hqh1q1 ± Ä ! Ä ! È È È È hqh1q1 q1 (q 1) (q h 1) ± ± ±²±± Ä ! Ä ! " ± ± h qh1q1 q1 ²" ²" ± ± ± ± ± È È È q1q1 q1 2 ( )q1 12. dz dw h 3w 2 3w 3h 2 w3 h2 3 w2 Ä ! Ä ! È È È È 3(w h) 2 3w 2 ± ± ² ² œ h Ä !
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This note was uploaded on 09/20/2010 for the course MATHEMATIC 09991051 taught by Professor Dr.maenshadeed during the Fall '10 term at Norwegian Univ. of Science & Technology.

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