ISM_T11_C05_C - Section 5.5 Indefinite Integrals and the...

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Unformatted text preview: Section 5.5 Indefinite Integrals and the Substitution Rule value( q2 ); 71-80. Example CAS commands: Mathematica: (assigned function and values for a, and b may vary) For transcendental functions the FindRoot is needed instead of the Solve command. The Map command executes FindRoot over a set of initial guesses Initial guesses will vary as the functions vary. Clear[x, f, F] {a, b}= {0, 21}; f[x_] = Sin[2x] Cos[x/3] F[x_] = Integrate[f[t], {t, a, x}] Plot[{f[x], F[x]},{x, a, b}] x/.Map[FindRoot[F'[x]==0, {x, #}] &,{2, 3, 5, 6}] x/.Map[FindRoot[f'[x]==0, {x, #}] &,{1, 2, 4, 5, 6}] Slightly alter above commands for 75 - 80. Clear[x, f, F, u] a=0; f[x_] = x2 c 2x c 3 u[x_] = 1 c x2 F[x_] = Integrate[f[t], {t, a, u(x)}] x/.Map[FindRoot[F'[x]==0,{x, #}] &,{1, 2, 3, 4}] x/.Map[FindRoot[F''[x]==0,{x,#}] &,{1, 2, 3, 4}] After determining an appropriate value for b, the following can be entered b = 4; Plot[{F[x], {x, a, b}] 5.5 INDEFINTE INTEGRALS AND THE SUBSTITUTION RULE 1. Let u œ 3x Ê du œ 3 dx Ê " 3 323 ' ' sin 3x dx œ ' du œ dx " 3 " " sin u du œ c 3 cos u b C œ c 3 cos 3x b C " 4 2. Let u œ 2x# Ê du œ 4x dx Ê x sin a2x b dx œ ' # " 4 du œ x dx " " sin u du œ c 4 cos u b C œ c 4 cos 2x# b C " # 3. Let u œ 2t Ê du œ 2 dt Ê ' ' ' sec 2t tan 2t dt œ ' du œ dt " # " # sec u tan u du œ " # sec u b C œ t 2 2 3 " # sec 2t b C t 4. Let u œ 1 c cos 2 Ê du œ sin ˆ1 c cos t ‰# # t ˆsin # ‰ dt œ ' 2u# du œ " 7 t # dt Ê 2 du œ sin 2 3 dt u$ b C œ t ˆ1 c cos # ‰$ b C 5. Let u œ 7x c 2 Ê du œ 7 dx Ê 28(7x c 2)c& dx œ ' " 7 (28)uc& du œ ' 4uc& du œ cuc% b C œ c(7x c 2)c% b C " 4 du œ dx 6. Let u œ x% c " Ê du œ 4x$ dx Ê $ ' x$ ax% c 1b dx œ ' # du œ x$ dx " 1# " 4 u# du œ u 1# bCœ ax% c 1b b C $ 324 Chapter 5 Integration "Î# 7. Let u œ 1 c r$ Ê du œ c3r# dr Ê c3 du œ 9r# dr $ # # 9r 'È dr 1cr œ ' c3uc"Î# du œ c3(2)u"Î# b C œ c6 a1 c r$ b bC 8. Let u œ y% b 4y# b 1 Ê du œ a4y$ b 8yb dy Ê 3 du œ 12 ay$ b 2yb dy ' ' ' 12 ay% b 4y# b 1b ay$ b 2yb dy œ ' 3u# du œ u$ b C œ ay% b 4y# b 1b b C # $ 3 # 9. Let u œ x$Î# c 1 Ê du œ Èx sin# ˆx$Î# c 1‰ dx œ ' " x x"Î# dx Ê 2 3 2 3 du œ Èx dx 2 3 u ˆ# c " 4 sin# u du œ sin 2u‰ b C œ " 3 ˆx$Î# c 1‰ c " 6 sin ˆ2x$Î# c 2‰ b C " cos# ˆ x ‰ dx œ ' cos# acub du œ " œ c 2x c " sin ˆ 2 ‰ b C 4 x # " x 11. (a) Let u œ cot 2) Ê du œ c2 csc# 2) d) Ê c " du œ csc# 2) d) # (b) Let u œ csc 2) Ê du œ c2 csc 2) cot 2) d) Ê c " du œ csc 2) cot 2) d) # # # # # ' ' csc# 2) cot 2) d) œ c ' " csc# 2) cot 2) d) œ ' c " u du œ c " Š u ‹ b C œ c u b C œ c 4 csc# 2) b C 4 # # # " 5 12. (a) Let u œ 5x b 8 Ê du œ 5 dx Ê ' ' dx È5xb8 œ' œ' " 5 " Š Èu ‹ du œ " # (b) Let u œ È5x b 8 Ê du œ dx È5xb8 2 5 du œ 13. Let u œ 3 c 2s Ê du œ c2 ds Ê c " du œ ds # ' ' ' ' ' È3 c 2s ds œ ' Èu ˆc " du‰ œ c " ' u"Î# du œ ˆc " ‰ ˆ 2 u$Î# ‰ b C œ c " (3 c 2s)$Î# b C # # # 3 3 " # " # 14. Let u œ 2x b 1 Ê du œ 2 dx Ê (2x b 1) dx œ ' u $ $ 15. Let u œ 5s b 4 Ê du œ 5 ds Ê " È5s b 4 ds œ ' " Èu " ˆ 5 du‰ œ " 5 ' " 5 du œ ds " uc"Î# du œ ˆ 5 ‰ ˆ2u"Î# ‰ b C œ 2 5 16. Let u œ 2 c x Ê du œ cdx Ê cdu œ dx # 17. Let u œ 1 c )# Ê du œ c2) d) Ê c " du œ ) d) # % &Î% È ) È1 c )# d) œ ' % u ˆc " du‰ œ c " ' u"Î% du œ ˆc " ‰ ˆ 4 u&Î% ‰ b C œ c 2 a1 c )# b b C # # # 5 5 18. Let u œ )# c 1 Ê du œ 2) d) Ê 4 du œ 8) d) ' 8) È)# c 1 d) œ ' $Èu (4 du) œ 4 ' u"Î$ du œ 4 ˆ 3 u%Î$ ‰ b C œ 3 a)# c 1b%Î$ b C $ "c 3 (2 c x) dx œ ' 3(cdu) u œ c3 ' uc# du œ c3 Š u 1 ‹ b C œ c % ˆ" # # 10. Let u œ c " Ê du œ x dx ' cos# aub du œ ˆ u b # " 4 " sin 2u‰ b C œ c 2x b " 4 2 sin ˆc x ‰ b C " # " u du œ c " Š u ‹ b C œ c u b C œ c 4 cot# 2) b C 4 # # " 5 ' du œ dx " 5 uc"Î# du œ ˆ2u"Î# ‰ b C œ 2 5 2 5 u"Î# b C œ 2 5 È5x b 8 b C (5x b 8)c"Î# (5) dx Ê 2 5 du œ dx È5xb8 2 5 ubCœ È5x b 8 b C du‰ œ ' du œ dx u$ du œ ˆ " ‰ Š u ‹ b C œ 4 # " 8 (2x b 1)% b C È5s b 4 b C 3 2 cx bC 4 Section 5.5 Indefinite Integrals and the Substitution Rule 19. Let u œ 7 c 3y# Ê du œ c6y dy Ê c " du œ 3y dy # 325 ' $Î# " 3yÈ7 c 3y# dy œ ' Èu ˆc " du‰ œ c " ' u"Î# du œ ˆc " ‰ ˆ 2 u$Î# ‰ b C œ c 3 a7 c 3y# b b C # # # 3 20. Let u œ 2y# b 1 Ê du œ 4y dy # ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 4y dy È2y b 1 œ' " Èu du œ ' uc"Î# du œ 2u"Î# b C œ 2È2y# b 1 b C " 2È x 21. Let u œ 1 b Èx Ê du œ # # dx Ê 2 du œ " Èx dx " È x ˆ" b È x ‰ dx œ ' 2 du u œc2 bCœ u " 2È x c2 1 bÈ x bC dx ˆ1 b Èx‰% b C 22. Let u œ 1 b Èx Ê du œ $ & dx Ê 2 du œ " Èx " # ˆ1 b È x ‰ Èx " dx œ ' u$ (2 du) œ 2 ˆ 4 u% ‰ b C œ " 3 23. Let u œ 3z b 4 Ê du œ 3 dz Ê cos (3z b 4) dz œ ' (cos u) ˆ " 3 du œ dz " 3 du‰ œ " 8 " " ' cos u du œ 3 sin u b C œ 3 sin (3z b 4) b C 24. Let u œ 8z c 5 Ê du œ 8 dz Ê sin (8z c 5) dz œ ' (sin u) ˆ " 8 du œ dz " 8 du‰ œ " 3 ' sin u du œ " 8 " (ccos u) b C œ c 8 cos (8z c 5) b C 25. Let u œ 3x b 2 Ê du œ 3 dx Ê sec# (3x b 2) dx œ ' asec# ub ˆ " du‰ œ 3 du œ dx " 3 ' " 3 sec# u du œ " 3 tan u b C œ " 3 tan (3x b 2) b C 26. Let u œ tan x Ê du œ sec# x dx tan# x sec# x dx œ ' u# du œ " 3 " 3 u$ b C œ tan$ x b C 27. Let u œ sin ˆ x ‰ Ê du œ 3 " sin& ˆ x ‰ cos ˆ x ‰ dx œ ' u& (3 du) œ 3 ˆ 6 u' ‰ b C œ 3 3 " # cos ˆ x ‰ dx Ê 3 du œ cos ˆ x ‰ dx 3 3 " # sin' ˆ x ‰ b C 3 28. Let u œ tan ˆ x ‰ Ê du œ # " tan( ˆ x ‰ sec# ˆ x ‰ dx œ ' u( (2 du) œ 2 ˆ 8 u) ‰ b C œ # # # sec# ˆ x ‰ dx Ê 2 du œ sec# ˆ x ‰ dx # # " 4 tan) ˆ x ‰ b C # r r r# Š 18 c 1‹ dr œ ' u& (6 du) œ 6 ' u& du œ 6 Š u ‹ b C œ Š 18 c 1‹ b C 6 $ ' 31. Let u œ x$Î# b 1 Ê du œ ' x"Î# sin ˆx$Î# b 1‰ dx œ ' (sin u) ˆ 2 du‰ œ 3 3 # x"Î# dx Ê 2 3 du œ x"Î# dx 2 3 ' sin u du œ 2 3 (ccos u) b C œ c 2 cos ˆx$Î# b 1‰ b C 3 & % ' r % Š7 c r 10 ‹ & 30. Let u œ 7 c $ 29. Let u œ $ r 18 c 1 Ê du œ & r 6 dr Ê 6 du œ r# dr ' r 10 $ dr œ ' u$ (c2 du) œ c2 ' u$ du œ c2 Š u ‹ b C œ c " Š7 c # 4 Ê du œ c " r% dr Ê c2 du œ r% dr # r 10 ‹ % bC 326 Chapter 5 Integration x"Î$ sin ˆx%Î$ c 8‰ dx œ ' (sin u) ˆ 3 du‰ œ 4 4 3 32. Let u œ x%Î$ c 8 Ê du œ ' ' ' ' ' ' ' x"Î$ dx Ê 3 4 du œ x"Î$ dx 3 4 ' sin u du œ 3 4 (ccos u) b C œ c 3 cos ˆx%Î$ c 8‰ b C 4 33. Let u œ sec ˆv b 1 ‰ Ê du œ sec ˆv b 1 ‰ tan ˆv b 1 ‰ dv # # # sec ˆv b 1 ‰ tan ˆv b 1 ‰ dv œ ' du œ u b C œ sec ˆv b 1 ‰ b C # # # 34. Let u œ csc ˆ v c 1 ‰ Ê du œ c " csc ˆ v c 1 ‰ cot ˆ v c 1 ‰ dv Ê c2 du œ csc ˆ v c 1 ‰ cot ˆ v c 1 ‰ dv # # # # # # csc ˆ v c 1 ‰ cot ˆ v c 1 ‰ dv œ ' c2 du œ c2u b C œ c2 csc ˆ v c 1 ‰ b C # # # 35. Let u œ cos (2t b 1) Ê du œ c2 sin (2t b 1) dt Ê c " du œ sin (2t b 1) dt # # sin (2t b 1) cos (2t b 1) # " dt œ ' c # du u œ " #u bCœ " # cos (2t b 1) bC 36. Let u œ 2 b sin t Ê du œ cos t dt $ $ 37. Let u œ cot y Ê du œ ccsc# y dy Ê cdu œ csc# y dy Ècot y csc# y dy œ ' Èu (cdu) œ c ' u"Î# du œ c 2 u$Î# b C œ c 2 (cot y)$Î# b C œ c 2 acot$ yb"Î# b C 3 3 3 38. Let u œ sec z Ê du œ sec z tan z dz sec z tan z Èsec z " t dz œ ' " Èu du œ ' uc"Î# du œ 2u"Î# b C œ 2Èsec z b C " t 40. Let u œ Èt b 3 œ t"Î# b 3 Ê du œ ' ' " Èt 42. Let u œ csc È) Ê du œ Šccsc È) cot È)‹ Š # ' cos È) È) sin È) 43. Let u œ s$ b 2s# c 5s b 5 Ê du œ a3s# b 4s c 5b ds # u # 44. Let u œ )% c 2)# b 8) c 2 Ê du œ a4)$ c 4) b 8b d) Ê # u du œ Šu ‹ b C œ # # % " 4 " 4 # ' a)% c 2)# b 8) c 2b a)$ c ) b 2b d) œ ' u ˆ " du‰ œ 4 ' " 4 du œ a)$ c ) b 2b d) ˆ) c 2 ) b 8 ) c 2 ‰ 8 # $ u du œ bCœ # ' as$ b 2s# c 5s b 5b a3s# b 4s c 5b ds œ ' # " ) sin " ) cos " ) " " d) œ ' cu du œ c # u# b C œ c # sin# " ‹ #È ) d) Ê c2 du œ d) œ ' " È) cot È) csc È) d) œ ' c2 du œ c2u b C œ c2 csc È) b C œ c # # 41. Let u œ sin # ' " t cos ˆ " c 1‰ dt œ ' (cos u)(cdu) œ c ' cos u du œ csin u b C œ csin ˆ " c 1‰ b C t t " c"Î# #t dt Ê 2 du œ cos ˆÈt b 3‰ dt œ ' (cos u)(2 du) œ 2 ' cos u du œ 2 sin u b C œ 2 sin ˆÈt b 3‰ b C " ) Ê du œ ˆcos " ‰ ˆc )" ‰ d) Ê cdu œ ) " ) # 39. Let u œ c 1 œ tc" c 1 Ê du œ ctc# dt Ê cdu œ #c 6 cos t (2 b sin t) dt œ ' 6 u du œ 6 ' uc$ du œ 6 Š u ‹ b C œ c3(2 b sin t)c# b C c# dt " Èt dt cos " ) " ) d) bC " È) cot È) csc È) d) 2 sin È) bC as b 2s c 5s b 5b # bC bC Section 5.5 Indefinite Integrals and the Substitution Rule 45. Let u œ 1 b t% Ê du œ 4t$ dt Ê 327 ' ' t$ a1 b t% b dt œ ' u$ ˆ " du‰ œ 4 $ # " 4 " 4 du œ t$ dt " 16 " ˆ 4 u% ‰ b C œ a 1 b t% b b C % 46. Let u œ 1 c & 47. Let u œ x# b ". Then du œ #xdx and " du œ xdx and x# œ u c ". Thus ' x$ Èx# b " dx œ ' au c "b " Èu du # # œ " # ' au$Î# c u"Î# bdu œ " ’ # u&Î# c # u$Î# “ b C œ " u&Î# c " u$Î# b C œ " ax# b "b&Î# c " ax# b "b$Î# b C #& $ & $ & $ 48. Let u œ x$ b " Ê du œ $x# dx and x$ œ u c ". So ' $B& Èx$ b " dx œ ' au c "bÈu du œ ' au$Î# c u"Î# bdu œ # u&Î# c # u$Î# b C œ # ax$ b "b & $ & &Î# c # a x$ b " b $ 49. (a) Let u œ tan x Ê du œ sec# x dx; v œ u$ Ê dv œ 3u# du Ê 6 dv œ 18u# du; w œ 2 b v Ê dw œ dv bCœ dx œ ' dx œ ' # # #$ # # # $ # ' ' ' ' (b) Let u œ tan x Ê du œ 3 tan x sec x dx Ê 6 du œ 18 tan# x sec# x dx; v œ 2 b u Ê dv œ du (c) Let u œ 2 b tan$ x Ê du œ 3 tan# x sec# x dx Ê 6 du œ 18 tan# x sec# x dx $ # $ # # 18 tan x sec x a2 b tan xb # # $ # 6 du (2 b u) œ' 18 tan x sec x a2 b tan xb # # $ # 6 du u 6 6 œ c u b C œ c 2 b tan 50. (a) Let u œ x c 1 Ê du œ dx; v œ sin u Ê dv œ cos u du; w œ 1 b v# Ê dw œ 2v dv Ê œ' " # " 3 È1 b sin# (x c 1) sin (x c 1) cos (x c 1) dx œ ' È1 b sin# u sin u cos u du œ ' vÈ1 b v# dv Èw dw œ w$Î# b C œ " 3 (b) Let u œ sin (x c 1) Ê du œ cos (x c 1) dx; v œ 1 b u Ê dv œ 2u du Ê ' ' È1 b sin# (x c 1) sin (x c 1) cos (x c 1) dx œ ' u È1 b u# du œ ' œ ˆ " ˆ 2 ‰ v$Î# ‰ b C œ #3 # " 3 v$Î# b C œ (c) Let u œ 1 b sin (x c 1) Ê du œ 2 sin (x c 1) cos (x c 1) dx Ê È1 b sin# (x c 1) sin (x c 1) cos (x c 1) dx œ ' " 3 " # œ a1 b sin# (x c 1)b $Î# bC " 1# 51. Let u œ 3(2r c 1)# b 6 Ê du œ 6(2r c 1)(2) dr Ê œ œ " 6 sin È3(2r c 1)# b 6 b C " ‹ #È ) 52. Let u œ cos È) Ê du œ Šcsin È)‹ Š #Î$ $ $ ' sin È) É) cos È) d) œ ' # # ' " 1#Èu du dr œ ' Š cos Èu ˆ" È u ‹ 1# " du‰ œ ' (cos v) ˆ 6 dv‰ œ " 6 (2r c 1) cos È3(2r c 1) b 6 È3(2r c 1) b 6 sin È) È) Écos È) $ $ 18 tan x sec x a2 b tan xb 6 œ c 2bu $ dx œ ' 18u du œ a2 b u b 6 c 2 b tan x b C # # d) œ ' # # c É x x 1 dx œ ' " x Ê du œ " x É x c 1 dx œ ' x " x dx " x É1 c " x dx œ ' Èu du œ ' u"Î# du œ 2 3 u$Î# b C œ 2 3 ˆ1 c " ‰$Î# b C x $Î# bC ' 6 dv (2 b v) œ' 6 dw w 6 œ 6 ' wc# dw œ c6wc" b C œ c # b v b C 6 dv v 6 6 6 œ c v b C œ c 2 b u b C œ c # b tan x bC x bC " # dw œ v dv $Î# a 1 b v# b $Î# bCœ # " 3 a1 b sin# ub $Î# bCœ " # " 3 a1 b sin# (x c 1)b " # bC " # Èv dv œ ' $Î# dv œ u du v"Î# dv bC " 3 a1 b u # b $Î# bCœ " 3 a1 b sin# (x c 1)b " # " # Èu du œ ' du œ sin (x c 1) cos (x c 1) dx u"Î# du œ " # ˆ 2 u$Î# ‰ b C 3 du œ (2r c 1) dr; v œ Èu Ê dv œ " #È u du Ê " 6 dv sin v b C œ " 6 sin Èu b C d) Ê c2 du œ sin È) È) d) 4 Èu c2 du u œ c2 ' uc$Î# du œ c2 ˆc2uc"Î# ‰ b C œ bC 328 Chapter 5 Integration œ 4 Écos È) bC 53. Let u œ 3t# c 1 Ê du œ 6t dt Ê 2 du œ 12t dt $ s œ ' 12t a3t# c 1b dt œ ' u$ (2 du) œ 2 ˆ " u% ‰ b C œ 4 s œ 3 when t œ 1 Ê 3 œ " # " # u% b C œ " # a3t# c 1b b C; " # % (3 c 1)% b C Ê 3 œ 8 b C Ê C œ c5 Ê s œ a3t# c 1b c 5 % 54. Let u œ x# b 8 Ê du 2x dx Ê 2 du œ 4x dx y œ ' 4x ax# b 8b c"Î$ dx œ ' uc"Î$ (2 du) œ 2 ˆ 3 u#Î$ ‰ b C œ 3u#Î$ b C œ 3 ax# b 8b # #Î$ #Î$ b C; y œ 0 when x œ 0 Ê 0 œ 3(8)#Î$ b C Ê C œ c12 Ê y œ 3 ax# b 8b 55. Let u œ t b 1 1# c 12 s œ ' 8 sin# ˆt b 1 dt œ ' 8 sin# u du œ 8 ˆ u c " sin 2u‰ b C œ 4 ˆt b 1# ‰ c 2 sin ˆ2t b 1 ‰ b C; 4 6 # 1 s œ 8 when t œ 0 Ê 8 œ 4 ˆ 1# ‰ c 2 sin ˆ 1 ‰ b C Ê C œ 8 c 1 b 1 œ 9 c 1 6 3 3 1 Ê s œ 4ˆt b 1# ‰ c 2 sin ˆ2t b 1 ‰ b 9 c 1 œ 4t c 2 sin ˆ2t b 1 ‰ b 9 6 3 6 1‰ 1# 1 4 Ê du œ dt 56. Let u œ rœ 1 8 r œ ' 3 cos# ˆ 1 c )‰ d) œ c ' 3 cos# u du œ c3 ˆ u b 4 # 1 3 when ) œ 0 Ê 1 œ c 38 c 4 sin 1 8 # 3 3 1 1 3 Ê r œ # ) c 4 sin ˆ # c 2)‰ b 8 b 4 Ê r œ 1 # 3 2 c ) Ê cdu œ d) 3 sin 2u‰ b C œ c 3 ˆ 1 c )‰ c 4 sin ˆ 1 c 2)‰ b C; #4 # 1 3 3 ˆ1 3 ‰ c 4 sin ˆ 1 c 2)‰ b 1 b bC Ê Cœ # b 4 Ê rœc# 4 c) # # " 4 3 4 )c 3 4 cos 2) b 1 8 b 3 4 57. Let u œ 2t c ds dt œ ' c4 sin ˆ2t c 1 ‰ dt œ ' (sin u)(c2 du) œ 2 cos u b C" œ 2 cos ˆ2t c 1 ‰ b C" ; # # ds dt Ê du œ 2 dt Ê c2 du œ c4 dt at t œ 0 and Ê s œ ' ˆ2 cos ˆ2t c 1 ‰ b 100‰ dt œ ' (cos u b 50) du œ sin u b 50u b C# œ sin ˆ2t c 1 ‰ b 50 ˆ2t c 1 ‰ b C# ; # # # at t œ 0 and s œ 0 we have 0 œ sin ˆc 1 ‰ b 50 ˆc 1 ‰ b C# Ê C# œ 1 b 251 # # Ê s œ sin ˆ2t c 1 ‰ b 100t c 251 b (1 b 251) Ê s œ sin ˆ2t c 1 ‰ b 100t b 1 # # œ 100 we have 100 œ 2 cos ˆc 1 ‰ b C" Ê C" œ 100 Ê # ds dt œ 2 cos ˆ2t c 1 ‰ b 100 # 58. Let u œ tan 2x Ê du œ 2 sec# 2x dx Ê 2 du œ 4 sec# 2x dx; v œ 2x Ê dv œ 2 dx Ê dy dx œ ' 4 sec# 2x tan 2x dx œ ' u(2 du) œ u# b C" œ tan# 2x b C" ; dy dx " # dv œ dx at x œ 0 and Ê y œ ' asec# 2x b 3b dx œ ' asec# v b 3b ˆ " dv‰ œ # " # œ 4 we have 4 œ 0 b C" Ê C" œ 4 Ê " # dy dx œ tan# 2x b 4 œ asec# 2x c 1b b 4 œ sec# 2x b 3 " # " # tan v b 3 v b C# œ # tan 2x b 3x b C# ; at x œ 0 and y œ c1 we have c1 œ (0) b 0 b C# Ê C# œ c1 Ê y œ tan 2x b 3x c 1 59. Let u œ 2t Ê du œ 2 dt Ê 3 du œ 6 dt s œ ' 6 sin 2t dt œ ' (sin u)(3 du) œ c3 cos u b C œ c3 cos 2t b C; at t œ 0 and s œ 0 we have 0 œ c3 cos 0 b C Ê C œ 3 Ê s œ 3 c 3 cos 2t Ê s ˆ 1 ‰ œ 3 c 3 cos (1) œ 6 m # 60. Let u œ 1t Ê du œ 1 dt Ê 1 du œ 1# dt v œ ' 1# cos 1t dt œ ' (cos u)(1 du) œ 1 sin u b C" œ 1 sin (1t) b C" ; at t œ 0 and v œ 8 we have 8 œ 1(0) b C" Ê C" œ 8 Ê v œ ds dt œ 1 sin (1t) b 8 Ê s œ ' (1 sin (1t) b 8) dt œ ' sin u du b 8t b C# œ ccos (1t) b 8t b C# ; at t œ 0 and s œ 0 we have 0 œ c1 b C# Ê C# œ 1 Section 5.6 Substitution and Area Between Curves Ê s œ 8t c cos (1t) b 1 Ê s(1) œ 8 c cos 1 b 1 œ 10 m 329 61. All three integrations are correct. In each case, the derivative of the function on the right is the integrand on the left, and each formula has an arbitrary constant for generating the remaining antiderivatives. Moreover, sin# x b C" œ 1 c cos# x b C" Ê C# œ 1 b C" ; also ccos# x b C# œ c cos 2x c " b C# Ê C$ œ C# c " œ C" b " . # # # # 62. Both integrations are correct. In each case, the derivative of the function on the right is the integrand on the left, and each formula has an arbitrary constant for generating the remaining antiderivatives. Moreover, tan x sec xc1 ˆC c " ‰ b C œ sec x b ðñò # bCœ # # # # # # a constant 63. (a) Š " ‹ 60 c 0 " 0 œ c Vmax [1 c 1] œ 0 #1 (b) Vmax œ È2 Vrms œ È2 (240) ¸ 339 volts (c) 0 0 œ œ 5.6 SUBSTITUTION AND AREA BETWEEN CURVES 1. (a) Let u œ y b 1 Ê du œ dy; y œ 0 Ê u œ 1, y œ 3 Ê u œ 4 ' ' ' ' ' ' 3 0 Èy b 1 dy œ Èy b 1 dy œ ' 4 1 u"Î# du œ < 2 u$Î# ‘ " œ ˆ 2 ‰ (4)$Î# c ˆ 2 ‰ (1)$Î# œ ˆ 2 ‰ (8) c ˆ 2 ‰ (1) œ 3 3 3 3 3 u"Î# du œ < 2 u$Î# ‘ ! œ ˆ 2 ‰ (1)$Î# c 0 œ 3 3 " 2 3 % 14 3 (b) Use the same substitution for u as in part (a); y œ c1 Ê u œ 0, y œ 0 Ê u œ 1 0 1 ' 1 0 2. (a) Let u œ 1 c r# Ê du œ c2r dr Ê c " du œ r dr; r œ 0 Ê u œ 1, r œ 1 Ê u œ 0 # 1 0 r È1 c r# dr œ r È1 c r# dr œ ' 0 1 " c " Èu du œ <c " u$Î# ‘ " œ 0 c ˆc 3 ‰ (1)$Î# œ 3 # ! " 3 (b) Use the same substitution for u as in part (a); r œ c1 Ê u œ 0, r œ 1 Ê u œ 0 1 1 ' 0 0 c " Èu du œ 0 # 1 4 3. (a) Let u œ tan x Ê du œ sec# x dx; x œ 0 Ê u œ 0, x œ 4 0 0 Ê uœ1 (b) Use the same substitution as in part (a); x œ c 1 Ê u œ c1, x œ 0 Ê u œ 0 4 0 4 1 # ! 4. (a) Let u œ cos x Ê du œ csin x dx Ê cdu œ sin x dx; x œ 0 Ê u œ 1, x œ 1 Ê u œ c1 0 (b) Use the same substitution as in part (a); x œ 21 Ê u œ 1, x œ 31 Ê u œ c1 1 2 1 ' 1 ' 3 cos# x sin x dx œ ' c c3u# du œ ccu$ d c" œ c(c1)$ c ac(1)$ b œ 2 " 1 1 3 3 cos# x sin x dx œ 'c 1 c tan x sec# x dx œ ' 0 u du œ ’ u “ # ! c" œ0c 1 c3u# du œ 2 # # tan x sec# x dx œ ' 1 u du œ ’ u “ œ # " 1 # c0œ " # " # œc" # # # # aVmax b # " <t c ˆ 2401 ‰ sin "Î'! 2401t‘ ! aVmax b # " " " <ˆ 60 c ˆ 2401 ‰ sin (41)‰ c ˆ0 c ˆ #401 ‰ sin (0)‰‘ œ # aVmax b# sin# 1201t dt œ aVmax b# ˆ 1 c cos 2401t ‰ dt œ # aVmax b # 0 Î Î Î1c Î1 Î ' 1 60 Î ' 1 60 " Vmax sin 1201t dt œ 60 <cVmax ˆ 1201 ‰ cos (1201t)‘ ! "Î'! œ c Vmax [cos 21 c cos 0] #1 ' 1 60 ' 1 60 (1 c cos 2401t) dt aVmax b 1#0 c c 330 Chapter 5 Integration 5. (a) u œ 1 b t% Ê du œ 4t$ dt Ê 0 1 (b) Use the same substitution as in part (a); t œ c1 Ê u œ 2, t œ 1 Ê u œ 2 c " ' ' ' 1 1 t$ a1 b t% b dt œ $ ' 2 2 " 4 u$ du œ 0 " # 6. (a) Let u œ t# b 1 Ê du œ 2t dt Ê 7 0 du œ t dt; t œ 0 Ê u œ 1, t œ È7 Ê u œ 8 ) 45 8 t at# b 1b "Î$ dt œ ' 8 1 " # u"Î$ du œ <ˆ " ‰ ˆ 3 ‰ u%Î$ ‘ " œ ˆ 3 ‰ (8)%Î$ c ˆ 3 ‰ (1)%Î$ œ 4 8 8 # u"Î$ du œ c " # (b) Use the same substitution as in part (a); t œ cÈ7 Ê u œ 8, t œ 0 Ê u œ 1 0 7 t at# b 1b "Î$ dt œ ' " 8# 1 ' 8 1 " # u"Î$ du œ c 45 8 7. (a) Let u œ 4 b r# Ê du œ 2r dr Ê 1 ## 5r 'c a4 b r b 1 dr œ 5 dr œ 5 ' du œ r dr; r œ c1 Ê u œ 5, r œ 1 Ê u œ 5 5 5 " # uc# du œ 0 uc# du œ 5 <c " uc" ‘ % œ 5 ˆc " (5)c" ‰ c 5 ˆc " (4)c" ‰ œ # # # 3 # & " 8 (b) Use the same substitution as in part (a); r œ 0 Ê u œ 4, r œ 1 Ê u œ 5 ## ' ' ' ' 1 5r 0 a4 b r b ' 5 4 " # 8. (a) Let u œ 1 b v$Î# Ê du œ 1 10Èv # #Î$ 0 1 (b) Use the same substitution as in part (a); v œ 1 Ê u œ 2, v œ 4 Ê u œ 1 b 4$Î# œ 9 4 10Èv # #Î$ 1 2 9. (a) Let u œ x# b 1 Ê du œ 2x dx Ê 2 du œ 4x dx; x œ 0 Ê u œ 1, x œ È3 Ê u œ 4 3 0 4x Èx b 1 # dx œ ' 4 2 1 Èu (b) Use the same substitution as in part (a); x œ cÈ3 Ê u œ 4, x œ È3 Ê u œ 4 # 10. (a) Let u œ x% b 9 Ê du œ 4x$ dx Ê % 0 (b) Use the same substitution as in part (a); x œ c1 Ê u œ 10, x œ 0 Ê u œ 9 $ % 11. (a) Let u œ 1 c cos 3t Ê du œ 3 sin 3t dt Ê 0 0 (b) Use the same substitution as in part (a); t œ Î1 Î1 6 1 # ' 3 (1 c cos 3t) sin 3t dt œ ' 1 6 Ê u œ 1, t œ # " " 6 2 " 3 " u du œ ’ 3 Š u ‹ “ œ # # Î1 ' c ' 0 x 1 Èx b 9 6 (1 c cos 3t) sin 3t dt œ $ ' Èc È ' 3 4x 3 Èx b 1 dx œ ' 10 4 4 2 Èu 1 x Èx b 9 dx œ ' 9 " 4 " uc"Î# du œ < 4 (2)u"Î# ‘ * œ dx œ ' " 10 4 9 # a1 b v b dv œ ' 9 " u # a1 b v b dv œ ' v"Î# dv Ê 20 3 2 " u ˆ 20 du‰ œ 3 ' 20 3 2 du œ 10Èv dv; v œ 0 Ê u œ 1, v œ 1 Ê u œ 2 10 3 1 "# " 1 uc# du œ c 20 < u ‘ " œ c 20 < # c 1 ‘ œ 3 3 " " 1 7 ˆ 20 du‰ œ c 20 < u ‘ * œ c 20 ˆ 9 c 2 ‰ œ c 20 ˆc 18 ‰ œ 3 3 3 3 # du œ ' 4 1 2uc"Î# du œ <4u"Î# ‘ " œ 4(4)"Î# c 4(1)"Î# œ 4 du œ 0 " 4 du œ x$ dx; x œ 0 Ê u œ 9, x œ 1 Ê u œ 10 "! " # " (10)"Î# c # (9)"Î# œ È10 c 3 # uc"Î# du œ c ' 10 9 " 4 uc"Î# du œ " 3 du œ sin 3t dt; t œ 0 Ê u œ 0, t œ " ! " 6 " (1)# c 6 (0)# œ 1 3 " 6 ' 1 " 3 " u du œ ’ 3 Š u ‹ “ œ # % % % ' 1 t$ a1 b t% b dt œ $ ' " 4 du œ t$ dt; t œ 0 Ê u œ 1, t œ 1 Ê u œ 2 # 2 16 2 " 4 u u$ du œ ’ 16 “ œ c 1 16 œ 15 16 Èc È È 70 #7 % 3 c È10 # 1 6 Ê u œ 1 c cos 1 # œ1 Ê u œ 1 c cos 1 œ 2 " 2 " (2)# c 6 (1)# œ Section 5.6 Substitution and Area Between Curves 12. (a) Let u œ 2 b tan Î1c 331 ' ' ' t # Ê du œ t # " # sec# 2 1 0 2 t ˆ2 b tan # ‰ sec# dt œ ' t # dt Ê 2 du œ sec# # t # dt; t œ c1 # Ê u œ 2 b tan ˆ c1 ‰ œ 1, t œ 0 Ê u œ 2 4 u (2 du) œ cu# d " œ 2# c 1# œ 3 c1 # $ (b) Use the same substitution as in part (a); t œ 2 2 Ê u œ 1, t œ t ˆ2 b tan # ‰ sec# t # dt œ 2 ' 1 # Ê uœ3 3 13. (a) Let u œ 4 b 3 sin z Ê du œ 3 cos z dz Ê 9 (b) Use the same substitution as in part (a); z œ c1 Ê u œ 4 b 3 sin (c1) œ 4, z œ 1 Ê u œ 4 1c 1 ' ' ' 14. (a) Let u œ 3 b 2 cos w Ê du œ c2 sin w dw Ê c " du œ sin w dw; w œ c 1 Ê u œ 3, w œ 0 Ê u œ 5 # # 0 2 # (b) Use the same substitution as in part (a); w œ 0 Ê u œ 5, w œ 2 # 15. Let u œ t& b 2t Ê du œ a5t% b 2b dt; t œ 0 Ê u œ 0, t œ 1 Ê u œ 3 ' 1 0 Èt& b 2t a5t% b 2b dt œ 16. Let u œ 1 b Èy Ê du œ # # ' ' dy 1 2 È y ˆ1 b È y ‰ 4 17. Let u œ cos 2) Ê du œ c2 sin 2) d) Ê c " du œ sin 2) d); ) œ 0 Ê u œ 1, ) œ # 1 1 #c ) 18. Let u œ tan ˆ 6 ‰ Ê du œ " 6 ) ) sec# ˆ 6 ‰ d) Ê 6 du œ sec# ˆ 6 ‰ d); ) œ 1 Ê u œ tan ˆ 1 ‰ œ 6 u œ tan Î1 1 4 œ1 " 19. Let u œ 5 c 4 cos t Ê du œ 4 sin t dt Ê u œ 5 c 4 cos 1 œ 9 1 " 4 du œ sin t dt; t œ 0 Ê u œ 5 c 4 cos 0 œ 1, t œ 1 Ê 5 4 ' 5 (5 c 4 cos t)"Î% sin t dt œ ' 9 1 5u"Î% ˆ " du‰ œ 4 ' 9 1 u"Î% du œ < 5 ˆ 4 u&Î% ‰‘ " œ 9&Î% c 1 œ $&Î# c " 45 1 4 * 20. Let u œ 1 c sin 2t Ê du œ c2 cos 2t dt Ê c " du œ cos 2t dt; t œ 0 Ê u œ 1, t œ # Î1 Ê uœ0 " 5 ' 4 (1 c sin 2t)$Î# cos 2t dt œ ' 0 1 c " u$Î# du œ <c " ˆ 2 u&Î# ‰‘ " œ ˆc 1 (0)&Î# ‰ c ˆc 1 (1)&Î# ‰ œ # 25 5 5 ! 21. Let u œ 4y c y# b 4y$ b 1 Ê du œ a4 c 2y b 12y# b dy; y œ 0 Ê u œ 1, y œ 1 Ê u œ 4(1) c (1)# b 4(1)$ b 1 œ 8 ' 1 a4y c y# b 4y$ b 1b c#Î$ a12y# c 2y b 4b dy œ ' 8 1 uc#Î$ du œ <3u"Î$ ‘ " œ 3(8)"Î$ c 3(1)"Î$ œ 3 ) È 1 3 3 ‹ % % % %c ÈÎ ! 1 ' 3 2 ) ) cot& ˆ 6 ‰ sec# ˆ 6 ‰ d) œ ' 1 uc& (6 du) œ ’6 Š u 4 ‹“ c " "ÎÈ$ 3" 3 œ <c 2u ‘ "ÎÈ$ œ c 2(1) c :c 3 #Š # " " È3 ,)œ # # cosc$ 2) sin 2) d) œ uc$ ˆc " du‰ œ c " # # Î Î 6 Î1c Î1c Î1 Î1 1 u du œ cu# d " œ 3# c 1# œ 8 " 3 1 2 cos z È4 b 3 sin z dz œ dz œ ' du œ cos z dz; z œ 0 Ê u œ 4, z œ 21 Ê u œ 4 4 4 " Èu " ˆ 3 du‰ œ 0 cos z È4 b 3 sin z ' 4 4 " Èu " ˆ 3 du‰ œ 0 sin w (3 b 2 cos w) dw œ ' 5 3 " uc# ˆc # du‰ œ " # cuc" d $ œ 5 & " # " ˆ " c " ‰ œ c 15 5 3 1 # Ê uœ3 sin w (3 b 2 cos w) dw œ ' 3 5 " uc# ˆc # du‰ œ " # ' uc# du œ 3 " 15 ! Î1 ! ! ! ' 3 0 u"Î# du œ < 2 u$Î# ‘ ! œ 3 $ 2 3 (3)$Î# c 2 (0)$Î# œ 2È3 3 dy 2È y ; y œ 1 Ê u œ 2, y œ 4 Ê u œ 3 3 2 œ ' " 2u 3 du œ ' uc# du œ ccuc" d # œ ˆc 1 ‰ c ˆc 1 ‰ œ 3 2 $ " 6 ' 12 ' 1 6 Ê u œ cos 2 ˆ 1 ‰ œ 6 c " 4(1) " # 12 " uc$ du œ ’c 2 Š u ‹“ c# "Î# œ " 4 ˆ1‰ œ 3 4 31 # Ê ; œ 12 332 Chapter 5 Integration " 3 22. Let u œ y$ b 6y# c 12y b 9 Ê du œ a3y# b 12y c 12b dy Ê du œ ay# b 4y c 4b dy; y œ 0 Ê u œ 9, y œ 1 % 2 3 2 (4)"Î# c 3 (9)"Î# œ 2 3 ' Ê uœ4 1 ay$ b 6y# c 12y b 9b 2 3 3 # c"Î# ay# b 4y c 4b dy œ ' 4 9 " 3 " uc"Î# du œ < 3 ˆ2u"Î# ‰‘ * œ (2 c 3) œc 23. Let u œ )$Î# Ê du œ #1 $ 24. Let u œ 1 b Îc œ " # c " 4 sin 2 25. Let u œ 4 c x# Ê du œ c2x dx Ê c " du œ x dx; x œ c2 Ê u œ 0, x œ 0 Ê u œ 4, x œ 2 Ê u œ 0 # œ < 2 u$Î# ‘ ! œ 3 % 2 3 (4)$Î# c 2 (0)$Î# œ 3 16 3 26. Let u œ 1 c cos x Ê du œ sin x dx; x œ 0 Ê u œ 0, x œ 1 Ê u œ 2 ! # # # 27. Let u œ 1 b cos x Ê du œ csin x dx Ê cdu œ sin x dx; x œ c1 Ê u œ 1 b cos (c1) œ 0, x œ 0 Ê u œ 1 b cos 0 œ 2 ! ! 1c Aœc ' 0 3 (sin x) È1 b cos x dx œ c 28. Let u œ 1 b 1 sin x Ê du œ 1 cos x dx Ê Because of symmetry about x œ c 1 , A œ 2 # ! œ 29. For the sketch given, a œ 0, b œ 1; f(x) c g(x) œ 1 c cos# x œ sin# x œ ! ! Aœ (" c cos 2x) # dx œ " # 30. For the sketch given, a œ c 1 , b œ 1 ; f(t) c g(t) œ 3 3 31. For the sketch given, a œ c2, b œ 2; f(x) c g(x) œ 2x# c ax% c 2x# b œ 4x# c x% ; 2 & $ c Aœ ' 2 a4x# c x% b dx œ ’ 4x c 3 Î1c Î1c œ " # 3 sec# t dt b 2 Î1 Î1 ' 3 ' 3 3 (1 c cos 2t) dt œ " # [tan t]c1Î$ b 2[t c 1Î$ 1Î$ sin 2t # ]c1Î$ œ È3 b 4 † 1 3 c È3 œ x 5 “ # c# œ ˆ 32 c 3 32 ‰ 5 c <c 32 c ˆc 32 ‰‘ œ 3 5 64 3 c 64 5 œ 320c192 15 Î1c Î1c Î1c Î1c Î1c Aœ 3 ˆ " sec# t b 4 sin# t‰ dt œ # " # 3 sec# t dt b 4 3 sin# t dt œ " # 3 sec# t dt b 4 Î1 Î1 Î1 Î1 Î1 ' 3 1 1 ' 1 ' sin u du œ [ccos u]1 œ (ccos 1) c (ccos 0) œ 2 ! 1 c cos 2x ; # 1 # ' (1 c cos 2x) dx œ " # <x c " # sin 2x ‘ 1 # ! œ " # [(1 c 0) c (0 c 0)] œ " # 3 sec# t c ac4 sin# tb œ sec# t b 4 sin# t; ' 3 ' 3 ' ! 2 1 # (cos x) (sin (1 b 1 sin x)) dx œ 2 1 Î1c ! 1 ' (1 c cos x) sin x dx œ ' 2 u du œ ’ u “ œ 2 # 2 # c 0 # œ2 ' 2 3u"Î# (cdu) œ 3 " 1 0 ' 2 u"Î# du œ <2u$Î# ‘ ! œ 2(2)$Î# c 2(0)$Î# œ 2&Î# # ' du œ cos x dx; x œ c 1 Ê u œ 1 b 1 sin ˆc 1 ‰ œ 0, x œ 0 Ê u œ 1 # # ' 1 # " (sin u) ˆ 1 du‰ ' 3 3 (" c cos 2t) # 41 3 dt œ 128 15 ! ! ! ! c Aœc ' 0 2 xÈ4 c x# dx b ' ! 1 tc# sin# ˆ1 b " ‰ dt œ t c c ' " t " Ê du œ ctc# dt; t œ c1 Ê u œ 0, t œ c # Ê u œ c1 12 ' ! È) cos# ˆ)$Î# ‰ d) œ 1 È ' ! ! ! )"Î# d) Ê 2 3 È du œ È) d); ) œ 0 Ê u œ 0, ) œ $ 1# Ê u œ 1 " 4 ' u cos# u ˆ 2 du‰ œ < 2 ˆ # b 3 3 sin 2u‰‘ ! œ 1 2 3 ˆ1 b # " 4 2 sin 21‰ c 3 (0) œ 1 3 1 csin# u du œ <c ˆ u c 2 " 4 c" " sin 2u‰‘ ! œ c ’ˆc # c " 4 0 sin (c2)‰ c ˆ # c " 4 sin 0‰“ 2 xÈ4 c x# dx œ c ' 4 c " u"Î# du b # ' 0 4 c " u"Î# du œ 2 # ' 4 " # u"Î# du œ ' 4 u"Î# du Section 5.6 Substitution and Area Between Curves 32. For the sketch given, c œ 0, d œ 1; f(y) c g(y) œ y# c y$ ; ! % $ 333 33. For the sketch given, c œ 0, d œ 1; f(y) c g(y) œ a12y# c 12y$ b c a2y# c 2yb œ 10y# c 12y$ b 2y; œ ˆ 10 c 0‰ c (3 c 0) b (1 c 0) œ 3 4 3 ! ! ! ! Aœ ' 1 a10y# c 12y$ b 2yb dy œ ' 1 10y# dy c 34. For the sketch given, a œ c1, b œ 1; f(x) c g(x) œ x# c ac2x% b œ x# b 2x% ; 1 & $ œ ˆ2 c 8‰ 1# c " # œ2c 2 3 c " # œ 5 6 36. We want the area between the x-axis and the curve y œ x# , 0 Ÿ x Ÿ 1 :6?= the area of a triangle (formed by x œ 1, $ 37. AREA œ A1 b A2 A1: For the sketch given, a œ c3 and we find b by solving the equations y œ x# c 4 and y œ cx# c 2x simultaneously for x: x# c 4 œ cx# c 2x Ê 2x# b 2x c 4 œ 0 Ê 2(x b 2)(x c 1) Ê x œ c2 or x œ 1 so c# c$ A2: For the sketch given, a œ c2 and b œ 1: f(x) c g(x) œ acx# c 2xb c ax# c 4b œ c2x# c 2x b 4 2 $ œc2 c1b4c 3 Therefore, AREA œ A1 b A2 œ 38. AREA œ A1 b A2 A1: For the sketch given, a œ c2 and b œ 0: f(x) c g(x) œ a2x$ c x# c 5xb c acx# b 3xb œ 2x$ c 8x 2 A2: For the sketch given, a œ 0 and b œ 2: f(x) c g(x) œ acx# b 3xb c a2x$ c x# c 5xb œ 8x c 2x$ 0 % # Ê A2 œ ' 2 a8x c 2x$ b dx œ ’ 8x c 2 2x 4 Therefore, AREA œ A1 b A2 œ 16 39. AREA œ A1 b A2 b A3 A1: For the sketch given, a œ c2 and b œ c1: f(x) c g(x) œ (cx b 2) c a4 c x# b œ x# c x c 2 2 A2: For the sketch given, a œ c1 and b œ 2: f(x) c g(x) œ a4 c x# b c (cx b 2) œ c ax# c x c 2b 1 # $ c Ê A2 œ c ' 2 ax# c x c 2b dx œ c ’ x c 3 # $ c Ê A1 œ c ' 1 ax# c x c 2b dx œ ’ x c 3 x # # % c Ê A1 œ ' 0 a2x$ c 8xb dx œ ’ 2x c 4 c Ê A2 œ c # œ ’ 2x b 3 $ 2x # c 4x“ œ ˆc 16 b 4 b 8‰ c (c18 b 9 b 12) œ 9 c 3 " c# 16 3 œ 11 3; ' 1 a2x# b 2x c 4b dx œ c ’ 2x b x# c 4x“ 3 16 3 œ c ˆ 2 b 1 c 4‰ b ˆc 16 b 4 b 8‰ 3 3 b 4 b 8 œ 9; 11 3 b9œ 38 3 8x # “ ! c# # ! œ 0 c (8 c 16) œ 8; “ œ (16 c 8) œ 8; c 2x“ c" c# œ ˆc " c 3 # c" " # b 2‰ c ˆc 8 c 3 4 # x # c 2x“ œ c ˆ8 c 3 c 4‰ b ˆc 1 c 3 c b œ c2: f(x) c g(x) œ ax# c 4b c acx# c 2xb œ 2x# b 2x c 4 Ê A1 œ c ! x b y œ 2, and the x-axis) with base 1 and height 1. Thus, A œ ' 1 x# dx b " (1)(1) œ ’ x “ b 3 # ! " " # œ " 3 b ' 2 3 a2x# b 2x c 4b dx 4 2 b 4‰ œ 7 3 c " # 1 2 b 2‰ œ c3 b 8 c $ # ! (formed by y œ x and y œ 1) with base 1 and height 1. Thus, A œ ' 2 Š1 c # 35. We want the area between the line y œ 1, 0 Ÿ x Ÿ 2, and the curve y œ c Aœ ' 1 ax# b 2x% b dx œ ’ x b 3 2x 5 “ " c" ! ! ! Aœ ' 1 ay# c y$ b dy œ ' 1 y# dy c ' 1 y$ dy œ ’ y “ c ’ y “ œ 3 4 ! " " (" c 0) 3 c (" c 0) 4 œ " 3 c " 4 œ " 1# ' 1 12y$ dy b ' 1 2y dy œ < 10 y$ ‘ ! c < 12 y% ‘ ! b < 2 y# ‘ ! 3 4 # " " " " 2 œ ˆ " b 2 ‰ c <c 3 b ˆc 5 ‰‘ œ 3 5 2 3 b 4 5 œ 10b12 15 œ 22 15 x 4 , 738?= the area of a triangle x 4 ‹ dx c " (1)(1) œ ’x c # # x 1# “ ! c " # " # œ 5 6 œ 14c3 6 œ " # 1" 6; œ 9; # 334 Chapter 5 Integration A3: For the sketch given, a œ 2 and b œ 3: f(x) c g(x) œ (cx b 2) c a4 c x# b œ x# c x c 2 2 # $ Ê A3 œ ' 3 ax# c x c 2b dx œ ’ x c 3 11 6 x # 9 # c 2x“ œ ˆ 27 c 3 # 9 # $ 9 # 8 c 6‰ c ˆ 3 c 5 6 4 2 c 4‰ œ 9 c 9 # 8 c 3; Therefore, AREA œ A1 b A2 b A3 œ 40. AREA œ A1 b A2 b A3 b b ˆ9 c c 8‰ œ 9 c 3 œ 49 6 2 for x: 0 0 œ " 3 (8 c 4) œ 4 ; 3 x 3 A3: For the sketch given, a œ 2 and b œ 3: f(x) c g(x) œ Š x c x‹ c 3 2 % œ " 3 ax$ c 4xb " 3 Ê A3 œ " 3 ' 3 ax$ c 4xb dx œ " 3 ’ x c 2x# “ œ 4 # 4 3 $ " 3 <ˆ 81 c 2 † 9‰ c ˆ 16 c 8‰‘ œ 4 4 œ 19 4 ˆ 81 c 14‰ œ 4 25 12 ; Therefore, AREA œ A1 b A2 b A3 œ 41. a œ c2, b œ 2; f(x) c g(x) œ 2 c ax# c 2b œ 4 c x# 2 $ b 4 3 b 25 12 œ 32b25 1# 8 œ 2 † ˆ 24 c 3 ‰ œ 3 42. a œ c1, b œ 3; f(x) c g(x) œ a2x c x# b c (c3) œ 2x c x# b 3 1 œ ˆ9 c 27 3 b 9‰ c ˆ1 b 1 3 c 3‰ œ 11 c " 3 43. a œ 0, b œ 2; f(x) c g(x) œ 8x c x% Ê A œ & ' 2 0 a8x c x% b dx œ 48 5 œ ’ 8x c 2 # x 5 “ œ 16 c ! # 32 5 œ 80 c 32 5 44. Limits of integration: x# c 2x œ x Ê x# œ 3x Ê x(x c 3) œ 0 Ê a œ 0 and b œ 3; f(x) c g(x) œ x c ax# c 2xb œ 3x c x# 0 œ 27 # c9œ 27 c 18 # œ 9 # $ # Ê Aœ ' 3 a3x c x# b dx œ ’ 3x c 2 x 3 “ $ ! $ c Ê Aœ ' c Ê Aœ ' 2 a4 c x# bdx œ ’4x c 32 3 x 3 “ # c# œ ˆ8 c 8 ‰ c ˆc8 b 8 ‰ 3 3 3 a2x c x# b 3b dx œ ’x# c x 3 b 3x“ œ 32 3 $ c" % $ $ f(x) c g(x) œ x 3 " " c Š x c x‹ œ c 3 ax$ c 4xb Ê A2 œ c 3 3 $ $ x 3 cxœ x 3 Ê x 3 c xœ0 Ê 4 3 x 3 (x c 2)(x b 2) œ 0 Ê x œ c2, x œ 0, or x œ 2 so b œ 2: ' 2 ax$ c 4xb dx œ $ A2: For the sketch given, a œ 0 and we find b by solving the equations y œ % c Ê A1 œ " 3 ' 0 ax$ c 4xb dx œ " 3 ’ x c 2x# “ 4 ! c# " œ 0 c 3 (4 c 8) œ 4 ; 3 x 3 c x and y œ " 3 $ A1: For the sketch given, a œ c2 and b œ 0: f(x) c g(x) œ Š x c x‹ c 3 $ x 3 œ x 3 c4xœ 3 " 3 ax$ c 4xb x 3 simultaneously " 3 # ! ' 2 a4x c x$ b œ ’2x# c x 4 “ Section 5.6 Substitution and Area Between Curves 45. Limits of integration: x# œ cx# b 4x Ê 2x# c 4x œ 0 Ê 2x(x c 2) œ 0 Ê a œ 0 and b œ 2; f(x) c g(x) œ acx# b 4xb c x# œ c2x# b 4x 0 335 œ c 16 b 3 16 # œ c32 b 48 6 œ 8 3 46. Limits of integration: 7 c 2x# œ x# b 4 Ê 3x# c 3 œ 0 Ê 3(x c 1)(x b 1) œ 0 Ê a œ c1 and b œ 1; f(x) c g(x) œ a7 c 2x# b c ax# b 4b œ 3 c 3x# 1 " œ 3 <ˆ1 c " ‰ c ˆc1 b 3 ‰‘ œ 6 ˆ 2 ‰ œ 4 3 3 47. Limits of integration: x% c 4x# b 4 œ x# Ê x% c 5x# b 4 œ 0 Ê ax# c 4b ax# c 1b œ 0 Ê (x b 2)(x c 2)(x b 1)(x c 1) œ ! Ê x œ c2, c1, 1, 2; f(x) c g(x) œ ax% c 4x# b 4b c x# œ x% c 5x# b 4 and g(x) c f(x) œ x# c ax% c 4x# b 4b œ cx% b 5x# c 4 b ' 2 1 acx% b 5x# c 4bdx c# $ & $ œ ˆ" c 5 œc 60 5 5 3 b 4‰ c ˆ 32 c 5 60 3 40 3 " b 8‰ b ˆ 5 c 5 3 " b 4‰ c ˆc 5 b c" b œ 300c180 15 œ8 48. Limits of integration: xÈa# c x# œ 0 Ê x œ 0 or Èa# c x# œ 0 Ê x œ 0 or a# c x# œ 0 Ê x œ ca, 0, a; c Aœ œ œ " # " 3 ' 0 a cxÈa# c x# dx b $Î# ! ' a 0 xÈa# c x# dx $Î# a ’ 2 aa# c x# b 3 aa b # $Î# “ ca c " ’ 2 aa# c x# b #3 $ “ ! c ’c aa b " 3 # $Î# “œ 2a 3 49. Limits of integration: y œ Èkxk œ J Ècx, x Ÿ 0 and Èx, x 0 5y œ x b 6 or y œ x b 6 ; for x Ÿ 0: Ècx œ x b 6 5 5 5 5 Ê 5Ècx œ x b 6 Ê 25(cx) œ x# b 12x b 36 Ê x# b 37x b 36 œ 0 Ê (x b 1)(x b 36) œ 0 Ê x œ c1, c36 (but x œ c36 is not a solution); for x 0: 5Èx œ x b 6 Ê 25x œ x# b 12x b 36 Ê x# c 13x b 36 œ 0 Ê (x c 4)(x c 9) œ 0 Ê x œ 4, 9; there are three intersection points and c Aœ ' 0 1 ˆ x b 6 c Ècx‰dx b 5 ' 4 0 ˆ x b 6 c Èx‰dx b 5 ' 9 4 ˆÈ x c $ & œ ’c x b 5 & 5x 3 c 4x“ c" b ’x c 5 5x 3 b 4x“ c c Ê Aœ c ' 1 2 acx% b 5x# c 4bdx b ' $ c Ê Aœ ' 1 a3 c 3x# b dx œ 3 ’x c x 3 “ " c" 1 1 ax% c 5x# b 4bdx # $ Ê Aœ ' 2 ac2x# b 4xb dx œ ’ c2x b 3 4x 2 “ # ! " x b ’ c5 b 5x 3 c 4x“ 5 3 # " 40 3 " c 8‰ c ˆc 5 b 5 3 c 4‰ b ˆc 32 b 5 c 4‰ xb6‰ 5 dx 336 Chapter 5 Integration c" ! # # œ ’ (x b 6) b 2 (cx)$Î# “ 10 3 œ ˆ 36 c 10 # ! b ’ (x b 6) c 2 x$Î# “ b ’ 2 x$Î# c 10 3 3 2 3 % (x b 6) 10 225 10 “ * 25 10 c 2 ‰ b ˆ 100 c 3 10 † 4$Î# c 36 10 2 b 0‰ b ˆ 3 † 9$Î# c c 2 3 † 4$Î# b % 100 ‰ 10 œ c 50 b 10 20 3 œ 5 3 50. Limits of integration: x# c 4, x Ÿ c2 or x 2 y œ kx# c 4k œ œ 4 c x# , c2 Ÿ x Ÿ 2 Ê 2x c 8 œ x b 8 Ê x œ 16 Ê x œ „ 4; Ê x œ 0 Ê x œ 0; by symmetry of the graph, # # # # # for c2 Ÿ x Ÿ 2: 4 c x# œ x # b 4 Ê 8 c 2x# œ x# b 8 0 2 ! œ 2 ˆ 8 c 0‰ b 2 ˆ32 c # 64 6 8 c 16 b 6 ‰ œ 40 c 56 3 œ 64 3 51. Limits of integration: c œ 0 and d œ 3; f(y) c g(y) œ 2y# c 0 œ 2y# 0 $ Ê Aœ ' 3 2y# dy œ ’ 2y “ œ 2 † 9 œ 18 3 ! $ 52. Limits of integration: y# œ y b 2 Ê (y b 1)(y c 2) œ 0 Ê c œ c1 and d œ 2; f(y) c g(y) œ (y b 2) c y# 1 " œ ˆ4 b 4 c 8‰ c ˆ" c 2 b 3‰ œ 6 c # 3 # 8 3 c " # b2c 53. Limits of integration: 4x œ y# c 4 and 4x œ 16 b y Ê y# c 4 œ 16 b y Ê y# c y c 20 œ 0 Ê (y c 5)(y b 4) œ 0 Ê c œ c4 and d œ 5; œ œ " 4 " 4 ˆc 125 b 3 ˆc 189 b 3 # $ œ " 4 ’c y b 3 c Ê Aœ " 4 ' 5 4 acy# b y b 20b dy c% 25 " b 100‰ c 4 ˆ 64 2 3 9 b 180‰ œ 243 2 8 y # b 20y“ & b 16 # # b c f(y) c g(y) œ ˆ 164 y ‰ c Š y 4 4 ‹ œ # cy byb20 4 c 80‰ $ # c Ê Aœ ' 2 ay b 2 c y# b dy œ ’ y b 2y c # y 3 “ # c" " 3 œ 9 # $ $ # # Aœ2 ' 2 ’Š x b 4‹ c a4 c x# b“dx b 2 2 # for x Ÿ c2 and x 2: x# c 4 œ x 2 b4 ' 4 ’Š x b 4‹ c ax# c 4b“dx œ 2 ’ x “ b 2 ’8x c 2 2 # x 6 “ % # Section 5.6 Substitution and Area Between Curves 54. Limits of integration: x œ y# and x œ 3 c 2y# Ê y# œ 3 c 2y# Ê 3y# œ 3 Ê 3(y c 1)(y b 1) œ 0 Ê c œ c1 and d œ 1; f(y) c g(y) œ a3 c 2y# b c y# " c" "‰ 3 337 œ 3 † 2 ˆ1 c 55. Limits of integration: x œ cy# and x œ 2 c 3y# Ê cy# œ 2 c 3y# Ê 2y# c 2 œ 0 Ê 2(y c 1)(y b 1) œ 0 Ê c œ c1 and d œ 1; f(y) c g(y) œ a2 c 3y# b c acy# b œ 2 c 2y# œ 2 a1 c y# b 1 " œ 2 ˆ 1 c " ‰ c 2 ˆc 1 b 3 ‰ œ 4 ˆ 2 ‰ œ 3 3 56. Limits of integration: x œ y#Î$ and x œ 2 c y% Ê y#Î$ œ 2 c y% Ê c œ c1 and d œ 1; f(y) c g(y) œ a2 c y% b c y#Î$ c Ê Aœ œ ’2y c ' 1 1 ˆ2 c y% c y#Î$ ‰ dy " c" " 5 œ ˆ2 c " c 3 ‰ c ˆc2 b 5 5 œ 2 ˆ2 c " c 3 ‰ œ 12 5 5 5 57. Limits of integration: x œ y# c 1 and x œ kyk È1 c y# Ê y# c 1 œ kyk È1 c y# Ê y% c 2y# b 1 œ y# a1 c y# b Ê y% c 2y# b 1 œ y# c y% Ê 2y% c 3y# b 1 œ 0 Ê a2y# c 1b ay# c 1b œ 0 Ê 2y# c 1 œ 0 or y# c 1 œ 0 Ê y# œ " # are not solutions Ê y œ „ 1; for c1 Ÿ y Ÿ 0, f(x) c g(x) œ cyÈ1 c y# c ay# c 1b Substitution shows that œ 1 c y# c y a1 c y# b 0 1 0 $ œ 2 ’y c y 3 “ c" #Î$ # ! b 2 ˆ " ‰ ” 2 a1 c3y b • # c 1 c Aœ2 ' ’1 c y# c y a1 c y# b"Î# “ dy "Î# œ 2' a1 c y# b dy c 2 ' y a1 c y# b dy 0 1 & y 5 c 3 y&Î$ “ 5 b 3‰ 5 or y # œ 1 Ê y œ „ „È 2 # È2 # "Î# , and by symmetry of the graph, ! c" $ c Ê Aœ2 ' $ œ 3 ’y c y 3 “ " œ 3 ˆ1 c " ‰ c 3 ˆc1 b 3 ‰ 3 œ4 1 a1 c y# b dy œ 2 ’y c y 3 c œ 3 c 3y# œ 3 a1 c y# b Ê A œ 3 ' 1 1 a1 c y# b dy “ 8 3 " c" or y œ „ 1. c " œ 2 <(! c 0) c ˆc1 b 3 ‰‘ b ˆ 2 c 0‰ œ 2 3 338 Chapter 5 Integration 58. AREA œ A1 b A2 Limits of integration: x œ 2y and x œ y$ c y# Ê y$ c y# œ 2y Ê y ay# c y c 2b œ y(y b 1)(y c 2) œ 0 Ê y œ c1, 0, 2: for c1 Ÿ y Ÿ 0, f(y) c g(y) œ y$ c y# c 2y 1 for 0 Ÿ y Ÿ 2, f(y) c g(y) œ 2y c y$ b y# Ê A2 œ Ê ˆ4 c 2 œ 0 c ˆ" b 4 " 3 c 1‰ œ 5 12 ; 16 4 8 8 b 3‰ c 0 œ 3; 5 12 Therefore, A1 b A2 œ b 8 3 œ 37 12 59. Limits of integration: y œ c4x# b 4 and y œ x% c 1 Ê x% c 1 œ c4x# b 4 Ê x% b 4x# c 5 œ 0 Ê ax# b 5b (x c 1)(x b 1) œ 0 Ê a œ c1 and b œ 1; f(x) c g(x) œ c4x# b 4 c x% b 1 œ c4x# c x% b 5 1 œ ˆc 4 c 3 " 5 b 5‰ c ˆ 4 b 3 " 5 c 5‰ œ 2 ˆc 4 c 3 " 5 60. Limits of integration: y œ x$ and y œ 3x# c 4 Ê x$ c 3x# b 4 œ 0 Ê ax# c x c 2b (x c 2) œ 0 Ê (x b 1)(x c 2)# œ 0 Ê a œ c1 and b œ 2; f(x) c g(x) œ x$ c a3x# c 4b œ x$ c 3x# b 4 1 $ % œ ˆ 16 c 4 24 3 61. Limits of integration: x œ 4 c 4y# and x œ 1 c y% Ê 4 c 4y# œ 1 c y% Ê y% c 4y# b 3 œ 0 Ê Šy c È3‹ Šy b È3‹ (y c 1)(y b 1) œ 0 Ê c œ c1 and d œ 1 since x 0; f(y) c g(y) œ a4 c 4y# b c a1 c y% b " c" y Ê c œ c2 and d œ 2; f(y) c g(y) œ a3 c y# b c Š c4 ‹ $ # # œ 3 <ˆ2 c 8‰ 12 c ˆc 2 b 8 ‰‘ 12 c œ 3 Š1 c y 4 ‹ Ê Aœ3 ' 2 2 Š1 c y 4 ‹ dy œ 3 ’y c 16 ‰ 12 # y 1# “ c# œ 3 ˆ4 c œ 12 c 4 œ 8 # # Ê 3 c y# œ c y Ê 4 # 3y 4 c3œ0 Ê 3 4 (y c 2)(y b 2) œ 0 # 62. Limits of integration: x œ 3 c y# and x œ c y 4 & $ œ ’3y c 4y 3 b y 5 “ œ 2ˆ3 c c œ 3 c 4y# b y% Ê A œ c Ê Aœ ' 2 ax$ c 3x# b 4b dx œ ’ x c 4 27 4 3x 3 b 4x“ 1 b 8‰ c ˆ 4 b " c 4‰ œ ' 1 1 a3 c 4y# b y% b dy 4 3 " b 5‰ œ 56 15 & $ c Ê Aœ ' 1 ac4x# c x% b 5b dx œ ’c 4x c 3 x 5 $ % '! a2y c y$ b y# b dy œ ’y# c y4 $ % c Ê A1 œ ' 0 ay$ c y# c 2yb dy œ ’ y c 4 y 3 c y# “ ! c" b y 3 “ # ! b 5x“ " c" 104 15 b 5‰ œ # c" Section 5.6 Substitution and Area Between Curves 63. a œ 0, b œ 1; f(x) c g(x) œ 2 sin x c sin 2x Ê A œ ' (2 sin x c sin 2x) dx œ <c2 cos x b 0 339 cos 2x ‘ 1 2 ! œ <c2(c1) b " ‘ c ˆc2 † 1 b " ‰ œ 4 # # 64. a œ c 1 , b œ 1 ; f(x) c g(x) œ 8 cos x c sec# x 3 3 È3 # Î1c Ê Aœ œ Š8 † c È3‹ c Šc8 † 65. a œ c1, b œ 1; f(x) c g(x) œ a1 c x# b c cos ˆ 1#x ‰ 1 œ ˆ1 c " 3 2 c 1 ‰ c ˆc1 b " 3 2 2 b 1‰ œ 2 ˆ2 c 1‰ œ 3 66. A œ A1 b A2 a" œ c1, b" œ 0 and a# œ 0, b# œ 1; f" (x) c g" (x) œ x c sin ˆ 1#x ‰ and f# (x) c g# (x) œ sin ˆ 1#x ‰ c x Ê by symmetry about the origin, A" b A# œ 2A" Ê A œ 2 # ' 1 0 <sin ˆ 1#x ‰ c x‘ dx 2 œ 2 ’c 1 cos ˆ 1#x ‰ c x # 2 2 “ œ 2 <ˆc 1 † 0 c " ‰ c ˆc 1 † 1 c 0‰‘ # ! 4 c1 1 " 2 c œ 2 ˆ 1 c " ‰ œ 2 ˆ 4211 ‰ œ # 67. a œ c 1 , b œ 1 ; f(x) c g(x) œ sec# x c tan# x 4 4 1Î% œ ' 1 † dx œ [x]c1Î% œ 4 68. c œ c 1 , d œ 1 ; f(y) c g(y) œ tan# y c ac tan# yb œ 2 tan# y 4 4 1Î% œ 2[tan y c y]c1Î% œ 2 <ˆ1 c 1 ‰ c ˆc1 b 1 ‰‘ 4 4 Î1c œ 2 asec# y c 1b Ê A œ œ 4 ˆ1 c 1 ‰ œ 4 c 1 4 Î1 Î1c œ 4 Î1 ' 4 4 csec# x c asec# x c 1bd dx 1 4 Î1c Ê Aœ Î1 ' 4 4 asec# x c tan# xb dx c ˆc 1 ‰ œ 4 1 # ' 4 4 2 asec# y c 1b dy $ c Ê Aœ ' Î1 ' 1 3 3 a8 cos x c sec# xb dx œ [8 sin x c tan x] c1Î$ È3 # 1Î$ b È3‹ œ 6È3 1 <1 c x# c cos ˆ 1#x ‰‘ dx œ ’x c x 3 c 2 1 4 3 sin ˆ 1#x ‰“ c 4 1 " c" Î1 Î1c 340 Chapter 5 Integration 69. c œ 0, d œ 1 ; f(y) c g(y) œ 3 sin yÈcos y c 0 œ 3 sin yÈcos y # Ê Aœ3 0 œ c2(0 c 1) œ 2 70. a œ c1, b œ 1; f(x) c g(x) œ sec# ˆ 13x ‰ c x"Î$ c Ê Aœ ' 1 1 3 3 <sec# ˆ 13x ‰ c x"Î$ ‘ dx œ < 1 tan ˆ 13x ‰ c 4 x%Î$ ‘ " c" 6È 3 1 3 3 œ Š 1 È3 c 3 ‹ c ’ 1 ŠcÈ3‹ c 3 “ œ 4 4 71. A œ A" b A# Limits of integration: x œ y$ and x œ y Ê y œ y$ Ê y$ c y œ 0 Ê y(y c 1)(y b 1) œ 0 Ê c" œ c1, d" œ 0 and c# œ 0, d# œ 1; f" (y) c g" (y) œ y$ c y and f# (y) c g# (y) œ y c y$ Ê by symmetry about the origin, 0 " œ 2 ˆ" c 4‰ œ # " # 72. A œ A" b A# Limits of integration: y œ x$ and y œ x& Ê x$ œ x& Ê x& c x$ œ 0 Ê x$ (x c 1)(x b 1) œ 0 Ê a" œ c1, b" œ 0 and a# œ 0, b# œ 1; f" (x) c g" (x) œ x$ c x& and f# (x) c g# (x) œ x& c x$ Ê by symmetry about the origin, 0 " œ 2 ˆ" c 6‰ œ 4 " 6 Ê x œ 1 Ê x œ 1 , f" (x) c g" (x) œ x c 0 œ x 0 $ œ xc# Ê A# œ A œ A" b A# œ ' ! 2 1 xc# dx œ < c" ‘ " œ c " b 1 œ " ; # # x " # # " # b œ1 # # Ê A" œ ' 1 x dx œ ’ x “ œ " ; f# (x) c g# (x) œ # 2 " " x # # 73. A œ A" b A# Limits of integration: y œ x and y œ " x Ê xœ " x ,xÁ0 c0 ' % A" b A# œ 2A# Ê A œ 2 ' 1 ax$ c x& b dx œ 2 ’ x c 4 % # A" b A# œ 2A# Ê A œ 2 Î1 ' 2 sin yÈcos y dy œ c3 < 2 (cos y)$Î# ‘ ! 3 1Î# ' 1 ay c y$ b dy œ 2 ’ y c # y 4 “ " ! x 6 “ " ! Section 5.6 Substitution and Area Between Curves 74. Limits of integration: sin x œ cos x Ê x œ and b œ È2 # 1 4; 1 4 341 Ê aœ0 1Î% f(x) c g(x) œ cos x c sin x 4 0 Ê Aœ œŠ b È2 #‹ 75. (a) The coordinates of the points of intersection of the line and parabola are c œ x# Ê x œ „ Èc and y œ c (b) f(y) c g(y) œ Èy c ˆcÈy‰ œ 2Èy Ê the area of the lower section is, AL œ œ2 ' c 0 † entire shaded region can be found by setting c œ 4: A œ ˆ 4 ‰ 4$Î# œ 438 œ 32 . Since we want c to divide the region 3 3 4 into subsections of equal area we have A œ 2AL Ê 32 œ 2 ˆ 3 c$Î# ‰ Ê c œ 4#Î$ 3 œ 4 3 c$Î# . Again, the area of the whole shaded region can be found by setting c œ 4 Ê A œ 4 3 condition A œ 2AL , we get c $Î# œ 32 3 Ê cœ4 #Î$ as in part (b). 76. (a) Limits of integration: y œ 3 c x# and y œ c1 Ê 3 c x# œ c1 Ê x# œ 4 Ê a œ c2 and b œ 2; f(x) c g(x) œ a3 c x# b c (c1) œ 4 c x# 1 $ (b) Limits of integration: let x œ 0 in y œ 3 c x# Ê y œ 3; f(y) c g(y) œ È3 c y c ˆcÈ3 c y‰ œ 2(3 c y)"Î# c #Î$ œ ˆ8 c 8 ‰ c ˆc8 b 8 ‰ œ 16 c 3 3 œ ˆ 4 ‰ (8) œ 3 32 3 77. Limits of integration: y œ 1 b Èx and y œ Ê 1 b Èx œ 2 Èx , x Á 0 Ê Èx b x œ 2 Ê x œ (2 c x)# Ê x œ 4 c 4x b x# Ê x# c 5x b 4 œ 0 Ê (x c 4)(x c 1) œ 0 Ê x œ 1, 4 (but x œ 4 does not 2 2 satisfy the equation); y œ Èx and y œ x Ê Èx œ x 4 4 Ê 8 œ xÈx Ê 64 œ x$ Ê x œ 4. Therefore, AREA œ A" b A# : f" (x) c g" (x) œ ˆ1 b x"Î# ‰ c 0 # Ê A" œ œ ˆ1 b 2 3 ' 1 ˆ1 b x"Î# c x ‰ dx œ ’x b 2 x$Î# c 4 3 c0œ 37 24 ; f# (x) 1 œ ˆ4 † 2 c 16 ‰ 8 c ˆ4 c " ‰ œ 4 c 8 15 8 œ 17 8; Therefore, AREA œ A" b A# œ 37 24 b 17 8 œ 37b51 24 œ 88 24 œ # c "‰ 8 c g# (x) œ 2x c Ê Aœ2 ' c Ê Aœ ' 2 a4 c x# b dx œ ’4x c 16 3 x 3 “ # c# 32 3 œ 3 1 (3 c y)"Î# dy œ c2 ' 3 1 (3 c y)"Î# (c1) dy œ (c2) ’ 2(3 c y) “ 3 $ c" œ ˆc 4 ‰ <0 c (3 b 1)$Î# ‘ 3 2 Èx x 4 x 8 “ " ! c"Î# c x 4 Ê A# œ ' 4 x ˆ2xc"Î# c 4 ‰ dx œ ’4x"Î# c Èc c c “ c 32 3. From the x 8 “ % " 11 3 #Î$ $ (c) f(x) c g(x) œ c c x# Ê AL œ c [f(x) c g(x)] dx œ Èc È Èc È Î1 ' (cos x c sin x) dx œ [sin x b cos x]! c (0 b 1) œ È2 c 1 ' c 0 [f(y) c g(y)] dy c Èy dy œ 2 < 2 y$Î# ‘ ! œ 3 4 3 c$Î# . The area of the ' ' c ac c x# b dx œ ’cx c x 3 Èc œ 2 ’c$Î# c c 3 “ 342 Chapter 5 Integration 78. Limits of integration: (y c 1)# œ 3 c y Ê y# c 2y b 1 œ 3 c y Ê y# c y c 2 œ 0 Ê (y c 2)(y b 1) œ 0 Ê y œ 2 since y € 0; also, 2Èy œ 3 c y Ê 4y œ 9 c 6y b y# Ê y# c 10y b 9 œ 0 Ê (y c 9)(y c 1) œ 0 Ê y œ 1 since y œ 9 does not satisfy the equation; AREA œ A" b A# f" (y) c g" (y) œ 2Èy c 0 œ 2y"Î# 0 Ê A# œ ' 2 1 # " c3 c y c (y c 1) d dy œ <3y c " y# c " (y c 1)$ ‘ " œ ˆ6 c 2 c 3 ‰ c ˆ3 c # 3 # 4 3 Therefore, A" b A# œ b 7 6 œ 0 80. A œ ' b a 2f(x) dx c ' b a f(x) dx œ 2 ' b a f(x) dx c ' b a f(x) dx œ ' b a f(x) dx œ 4 81. Neither one; they are both zero. Neither integral takes into account the changes in the formulas for the region's upper and lower bounding curves at x œ 0. The area of the shaded region is actually c c Aœ ' 0 1 [cx c (x)] dx b ' 1 0 [x c (cx)] dx œ ' 0 1 c2x dx b ' 1 0 2x dx œ #. 82. It is sometimes true. It is true if f(x) g(x) for all x between a and b. Otherwise it is false. If the graph of f lies below the graph of g for a portion of the interval of integration, the integral over that portion will be negative and the integral over [aß b] will be less than the area between the curves (see Exercise 53). 83. Let u œ 2x Ê du œ 2 dx Ê " # ' ' 3 84. Let u œ 1 c x Ê du œ cdx Ê cdu œ dx; x œ 0 Ê u œ 1, x œ 1 Ê u œ 0 1 0 f(1 c x) dx œ ' 1 85. (a) Let u œ cx Ê du œ c dx; x œ c1 Ê u œ 1, x œ 0 Ê u œ 0 œ c3 (b) Let u œ cx Ê du œ c dx; x œ c1 Ê u œ 1, x œ 0 Ê u œ 0 c c f odd Ê f(cx) œ cf(x). Then f even Ê f(cx) œ f(x). Then ' f(u) du œ c' f(u) du œ c' Thus ' f(x) dx œ ' f(x) dx b ' f(x) dx œ c' f(x) dx b ' f(x) dx œ !. a c a c Ê u œ !. Thus c c 86. (a) Consider ' 0 a f(x) dx when f is odd. Let u œ cx Ê du œ cdx Ê cdu œ dx and x œ ca Ê u œ a and x œ ! # 1 sin 2x x dx œ ' 6 2 sin u ˆu‰ ˆ " du‰ œ # ' du œ dx; x œ 1 Ê u œ 2, x œ 3 Ê u œ 6 6 2 sin u u du œ cF(u)d ' œ F(6) c F(2) # 0 f(u) (c du) œ c ' 0 1 f(u) du œ ' 1 0 f(u) du œ ' 0 ' 0 1 f(x) dx œ ' 0 1 f(cu) (c du) œ ' 0 1 f(x) dx œ ' 0 1 f(cu) (c du) œ c ' 0 a f(x) dx œ 0 a ' 0 a cf(cu) du œ a 0 0 a a 0 $ b Area of triangle AOC: aÄ! $ " # (2a) aa# b œ a$ ; limit of ratio œ lim a Š 4a ‹ 3 œ 3 4 which is independent of a. 1 f(x) dx ' 0 1 cf(u) (c du) œ ' 0 1 f(u) du œ c ' 0 1 f(u) du œ ' 1 0 f(u) du œ 3 a a 0 0 f(x) dx. a 0 $ $ 79. Area between parabola and y œ a# : A œ 2 #Î$ Ê A" œ 2 ' 1 y"Î# dy œ 2 ’ 2y3 “ œ 4 ; f# (y) c g# (y) œ (3 c y) c (y c 1)# 3 ! " # " b 0‰ œ 1 c " 3 b " # 7 œ 6; 15 6 œ 5 2 ' a aa# c x# b dx œ 2 <a# x c " x$ ‘ ! œ 2 Ša$ c 3 a a 3 ‹c0œ 4a 3 ; ' 1 0 f(u) du Section 5.6 Substitution and Area Between Curves (b) 1 343 87. Let u œ a c x Ê du œ c dx; x œ 0 Ê u œ a, x œ a Ê u œ 0 Iœ Ê ' f(acu) du f(acx) dx ' f(u)bf(acu) œ ' f(x)bf(acx) f(x) dx f(acx) dx f(x)bf(acx) I b I œ ' f(x)bf(acx) b ' f(x)bf(acx) œ ' f(x)bf(acx) dx œ ' dx œ [x]! œ a c 0 œ a. f(x) dx 0 f(x)bf(acx) a 0 a Therefore, 2I œ a Ê I œ 88. Let u œ xy t ' ' xy x " t dt œ ' 1 y " c u du œ c 89. Let u œ x b c Ê du œ dx; x œ a c c Ê u œ a, x œ b c c Ê u œ b bc ac f(x b c) dx œ ' b a f(u) du œ 90. (a) 91-94. Example CAS commands: Maple: f := x -> x^3/3-x^2/2-2*x+1/3; g := x -> x-1; plot( [f(x),g(x)], x=-5..5, legend=["y = f(x)","y = g(x)"], title="#91(a) (Section 5.6)" ); q1 := [ -5, -2, 1, 4 ]; # (b) q2 := [seq( fsolve( f(x)=g(x), x=q1[i]..q1[i+1] ), i=1..nops(q1)-1 )]; for i from 1 to nops(q2)-1 do # (c) area[i] := int( abs(f(x)-g(x)),x=q2[i]..q2[i+1] ); end do; add( area[i], i=1..nops(q2)-1 ); # (d) Mathematica: (assigned functions may vary) Clear[x, f, g] f[x_] = x2 Cos[x] g[x_] = x3 c x Plot[{f[x], g[x]}, {x, c2, 2}] After examining the plots, the initial guesses for FindRoot can be determined. pts = x/.Map[FindRoot[f[x]==g[x],{x, #}]&, {c1, 0, 1}] i1=NIntegrate[f[x] c g[x], {x, pts[[1]], pts[[2]]}] i2=NIntegrate[f[x] c g[x], {x, pts[[2]], pts[[3]]}] i1 b i2 # 1c ' /2 /2 sin x dx œ [ccos x]c1Î# œ ccos ˆ 1 ‰ b cos ˆc 1 ‰ œ ! b ! œ !. # # 1Î# œ ' f(acu) a f(acu)bf(u) a 0 0 (c du) œ a a 0 0 a a a 0 0 a # . " t " dt Ê c u du œ " t t Ê du œ c xy dt Ê c xy du œ t dt; t œ x Ê u œ y, t œ xy Ê u œ 1. Therefore, ' 1 y " u du œ ' y 1 " u du œ ' y 1 " t dt ' b c a f(x) dx (b) (c) c ...
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This note was uploaded on 09/20/2010 for the course MATHEMATIC 09991051 taught by Professor Dr.maenshadeed during the Fall '10 term at Norwegian Univ. of Science & Technology.

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