lec23 - MIT OpenCourseWare http/ocw.mit.edu 6.006...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 6.006 Introduction to Algorithms Spring 2008 For information about citing these materials or our Terms of Use, visit: http://ocw.mit.edu/terms. ������� �� �������� � ����� ������ ���� ������� ��� �������� � ������� �������� • • • • ����������� �������� ������ ( � (a), 1/b) ← ���� ��������� �������� ���� ���� � � ���� ��������� ����� ���������� ���������� ���� ��������� �������� ������������ ���������� ���������� ���� � �������� �������� ��� ��� ���� ��� ���������������� ����� ����� ��� � � ��������� �� � ����� � �� ������ ��� ����� ������������� 1 √2 1 Figure 1: Ratio of a Square's Diagonal to its Sides ���������� ���������� ������� ���� �� ������� ����������� ���� � ������� ���������� ��������� ��� ����� ������ �������� �� ������������ ��� ��� ��� � �������� √ 2 = 1. 414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 � ������� �� �������� � ����� ������ ���� ���������� ������� �������� ��� � �� �������� ����������� ������� ��� ����������� ������ �� • λ�P • �� �λ �� ����� ������� ���� α, β � P � (α)β � P α, β ����� ����� �������� �������� ����� ������ ��� � � �������� ��� ���� � ���� � ������ ��� �������� (()) ()() �������� �� (()) ()() ���� ���� α β ����������� Cn � ������ �� �������� ����������� ������� ���� ������� n ����� �� ����������� C0 = 1 Cn+1 ? ����� ������ ����� ������ ���� n+1 ����� �� ����������� ��� � � �������� �� � ������ ��� ��� ���� 2� ��� ����� ���� ����� ���������� ���� ��� ����� k ����� ���� α� n − k ����� ���� β n � k=0 Cn+1 = 2 Ck · Cn−k n≥0 C0 = 1 C1 = C0 = 1 C2 = C0 C1 + C1 C0 = 2 C3 = · · · = 5 �� �� �� �� ��� ��� ���� ���� ����� ����� ������ ������ ������� ������� �������� �������� ��������� ���������� ���������� ����������� ����������� ������������ ������������ ������������� �������������� ������������� � � � � ������� �� �������� � ����� ������ ���� �������� ������� B 1 1000,000,000,000 C D A Figure 2: Geometry Problem BD = 1 ���� �� AD� AD = AC − C D = 500, 000, 000, 000 − AD � � 500, 000, 000, 0002 − 1 �� � a ����� ��������� �� � ������� ������� �������� ������ ���� ���� �� f (x) = 0 ������� ���������� ������������� ����� f (x) = x2 − a - xi xi+1 y = f(x) Figure 3: Newton's Method � ������� �� �������� � ����� ������ ���� ������� �� (xi , f (xi )) �� ���� y = f (xi ) + f � (xi ) · (x − xi ) xi+1 = xi − f (xi ) f � (xi ) ����� f � (xi ) �� ��� ����������� xi+1 = ��������� �� ������ ������ ����� f (x) = x2 − a χi+1 (χi 2 − a) = χi − = 2χi χi + 2 a χi ������� χ0 χ1 χ1 χ1 χ1 ��������� ������������ = 1.000000000 = 1.500000000 = 1.416666666 = 1.414215686 = 1.414213562 a=2 � ������ ������� ���� ��������� ����������� √ 2 �� d������ ���������� 1.414213562373 · · · � �� � √� ������ � 2 · 102d � � �������� ���� �� ������ ���� d ���� ������� �10 √ 2� � ��� ����� ��� �������� ������� ����� ��� �� �� √ 2� ��� ��� ������� AD� ��� �������� ������������ ���� ��������� �������������� ����������� ��� n������ ������� ������ r = 2, 10� 0 ≤ x, y < rn x = x1 · rn/2 + x0 y = y1 · r n/2 x1 = x0 = ���� ���� ��� ���� + y0 0 ≤ x0 , x1 < rn/2 0 ≤ y0 , y1 < rn/2 z = x · y = x1 y1 · rn + (x0 · y1 + x1 · y0 )rn/2 + x0 · y0 � ��������������� �� ���������� ��� =⇒ ��������� ��������� θ(n2 ) ���� � ������� �� �������� � ����� ������ ���� ����������� ������ log2n log2n 3T(n/2) 3log n = nlog 3 2 2 4T(n/2) 4log n = nlog 4 = n2 2 2 Figure 4: Branching Factors ��� z0 = x0 · y0 z2 = x2 · y2 z1 = (x0 + x1 ) · (y0 + y1 ) − z0 − z2 = x0 y1 + x1 y0 z = z2 · rn + z · rn/2 + z0 ����� ��� ����� ���������� �� ��� ����� ������������� T (n) = ���� �� �������� ��� n������� � s = 3T (n/2) + θ(n) � � � � = θ nlog2 3 = θ n1.5849625··· ������ ���� θ(n2 )� ������ ���� ����� � ������� �� �������� � ����� ������ ���� ����� �������� �� �������� ������ ������� ����� Xn = √ a · (1 + �n ) �n ��� � � � �� � Xn+1 = = Xn + a/Xn √2 a(1 + �n ) + √ a a(1+�n ) 1 (1+�n ) � = (a) � = (a) 2 � (1 + �n ) + � � 2 � 2 + 2�n + �n 2 2(1 + �n ) � � � �n 2 = (a) 1 + 2(1 + �n ) ��������� �n+1 = ��������� ������������ �� �n 2 2(1 + �n ) � ������ �������� � ...
View Full Document

This note was uploaded on 09/24/2010 for the course CS 6.006 taught by Professor Erikdemaine during the Spring '08 term at MIT.

Ask a homework question - tutors are online