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Unformatted text preview: Séries de Fourier 1 2004/1 Representação de Sinais Representação Periódicos por Séries de Fourier Periódicos Amplitude Teoria de Telecomunicações ência Freqü Análise Espectral Tem po Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos Medições no domínio do tempo 1 Medições no domínio da freqüência Lúcio M. da Silva ENE - UnB Séries de Fourier Séries de Fourier g(t) Série de Fourier T0 t1 T0 t1+T0 t 2 2004/1 0 f0 = 1 T0 (em quadratura) gt g(( t)) = a00 + # an cos(2p nf 0 t ) + bn nen ( 22p nft0)t ) Série de Fourier trigonométrica a + ! n cos 2! nf + bs sen( ! nf0 n =1 n =1 " " " " = D00 + # Dn cos(2p nf 0 t + q n ) D + ! cos 2! nf0 + $ n n =1 n =1 Série de Fourier trigonométrica compacta (ou na forma polar) Série de Fourier exponencial complexa = n = %" ! # ccne e n= #" n " " % j j 2p nf 0 t 2 ! nf0 t Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos 2 Lúcio M. da Silva ENE - UnB Séries de Fourier a0 = Coeficientes de Fourier 1 ! g (t ) dt T0 T0 T T0 !T0 !T 5 2004/1 Cálculo dos coeficientes das séries de Fourier a0 = 1 T0 ! T0 g( t ) dt D0 = a0 2 Séries g ( ) cos ( 2" aSéries!detFourier nf0t ) dt , n = 1, 2, 3,… n= T0 T0 Cálculo dos coeficientes n séries de an = 2 ! g( t ) cos(2p nf 0 t ) dt , das= 1, 2, 3,K Fourier T 2 T0 bn = 0 ! g ( t ) sen ( 2" nf0t ) dt , n = 1, 2, 3,… =T t ) dt ( cos(K )= b = a 2T0 10 g( tg)(sen(2p nf ta dt , 2 n =g1t, )2, 3,2p nf t ) dt , n = 1, 2, 3,K n 0 0 2 D = 2 + bn , D0 = a0 = n 1 ! an g ( t ) dtn = 1, 2, 3,… T0 T0 0 T0 !T0 2 ! sen n = T !T0 g( t ) sen(2p nf 0 t ) dt , n = 1, 2, 3,K senb 0 0 n Dn = an + bn , n = 1, 2, 3,Kq !n 1 n $ j 2 " nf0 t cn '=( bn!$g ( t ) e dt , n = 1, 2, 3,… q n = arctg % T0 T ", n = 1, 2, 3,K '(b $ q = arctg % n ", n = 1, 2, 3,K a0 2 2 Dn = ( ) dt % b( D=a= 1 g ( tbn # n = t2 $1 ' $ n * , n = 1, 20, 3,…0 T0 !T g a) a 2 + b , &n = 1, 2, 3,K 0 sen n n Dn an n ( bn Dn cos & n # qn an cos n & an # Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos n T0 0 c=1 T ! ( j2 1 g ( t ) e ( j 2p nf 0t dt , cn = 0, ±3T1,g±t 2eKp nf 0t dt , n = 0, ± 1, ± 2,K n= ! ( ), T0 0 Qual é a unidade de medida é a unidade de med Qual de an , bn , Dn e |cn| ? de an , bn , Dn e |cn| ? Lúcio M. da Silva ENE - UnB Lúcio M. da Silva ENE - UnB Coeficientes de Fourier Séries de Fourier Séries Séries de Fourier Relação entre coeficientes das séries de Fourier 2004/1 6 Relação entre coeficientes das séries de Fourier D c! n = c = n e! j"n 2 # D c! n = cn = n 2 b (n " ! n = !" n 2 c0 =| cn0| = D0n 2 D =a * n Imag * c( n = cn = Dn ( jq e 2 Dn 2 Imag b (n 2 * c( n = cn = | cn | = Dn 2 Dn ( jq n cn e 2 Dn 2 |c( n | = |cn | = cn q (n = q n )cc( n |n = q |n = ! n |cn | = Real q ( n = qan n 2 c0 = D0 = a0 )cn = q n Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos c0 = D0 = a0 an 4 2 Real Lúcio M. da Silva ENE - UnB Lúcio M. da Silva ENE - UnB Séries de Fourier Espectro de Fourier de um Sinal Periód g( t ) = D Espectro de Fourier+ ! D cos(2p nf t + q ), 0 n =1 n 0 n " • são D0, de Fourier n , um Sinal Periódico EspectroD1, D2, ..., Dde... e cujas fases são 0, !1, !2, ..., !n, ... 0 0 n g ( t ) = D0 + ! Dn cos(2p n 0 t + q n ), para todo t nf n =1 Um sinal periódico g(t) pode ser expresso como a soma Um sinal periódico g(t) pode ser(dc), f0, 2 como , an soma ,de cujas amplitudes são 0 expresso f0, … f0, … Séries de Fourier cossenóides de freqüências 0 (dc)fases 0são nf0,! , cujas…, ! , … , f0, 2f , ..., 0, ..., ! , amplitudes 1 2 n 9 2004/1 g ( t ) = D + $ D cos ( 2! nf t + " " # n =1 ) Dn versus f : espectro de ampli ! n versus f : espectro de fase Descrição no domínio do tempo ~ nf ) Dn!! Um sinal periódico g(t0, pode sernexpresso como a soma de cossenóides de freqüências 0 (dc), f0, 2 f:0, …, n f0, …, cujas amplitudes são D0, D1, D2, …, Dn , …e cujas fases são 0, !1, ! 2, …, ! n , … g(t) ≡ ~ Df0versus f !2 spectro 2 , D 2! : e n de amplitude de fase ~ !0n vD1!!f1: espectro f , ersus D0 Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos de = espectros+de g(t) freqüência Descrição no domínio da freqüência Descrição no domínio do tempo 5 = + Lúcio M. da Silva ENE - UnB Séries de Fourier Domínio do tempo e domínio da freqüência Amplitude Espectro de Fourier domínio da freqüênc Domínio do tempo e 10 Séries de Fourier Séries de Fourier 2004/1 9 2004/1 Espectro de Fourier de um Sinal Periódico Amplitude " Componentes senoidais Sinal Posicão üênc Freqindica Um sinal periódico g(t) pode ser expresso como a somarequência nf0 de freqüências f de cossenóides 0 (dc), f0, 2 f0, …, n f0, …, cujas amplitudes são D0, D1, D2, …, Dn , …e cujas Tem po fases são 0, !1, ! 2, …, ! n , … ência Freqü g ( t ) = D0 + ! Dn cos(2p nf 0 t +Raias,espectrais q n ) para todo t n =1 Espectro discreto com ia Dn versus f : espectro de amplitude Tem po ! n versus f : espectro de fase Medições no domínio do tempo espectros de freqüência de g(t) Descrição no domínio da freqüência Descrição no Medições no domínio ddomínio do tempo a freqüência = Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos 6 + Medições no domínio do tempo Lúcio M. da Silva ENE - UnB Lúcio M. da Silva ENE - UnB 5 Lúcio M. da Silva ENE - UnB Espectro de um Sinal Exemplo 1: Espectro dePeriódico periódico Exemplo Espectro Fourier de um sinal Séries de Fourier Séries de Fourier g( t ) 1 12 2004/1 11 2004/1 O que é um espectro? Amplitude e "10 3 t -4 -2 0 2 4 t (ms) 1 qüência T0 = 2 ms T! 2 fms Fre = 500 Hz = 1 = 500 Hz = 0= ! f0 0 T0 T0 3 1 1 2#10"3 $103 e a0 = g (0t )= de TFourier " e "10 tt dt == ,0,4323 a dt = 1mp 3 $ 3 "Séries 2 #2 #"10 $0 0 e dt 0 4323 o T0 T0 10 2 # 10 $3 13 2004/1 2 13 2 2#10 "3 $10 3 at c an = g (n )= os ( 22 nf3 t$ dt = e "10 tg$(cos " n10 3 tt cos % n10 3 t dt = 024323 % "0 ) , t) p e dt = 0,4323 3 " 0 2 2 1 + % 2n2 T0 T0 2 # 10 1 0 2 # 10 1+p n 3 bn = 3 2 1t 2% n n 2 % e$10 t dt = 0, 3 t4 dt = 2p 4323 e 30 " gb(nt )=sen (#210nf30t$)0dt -=2 2 # 10 $sen"p n10 3 ts2en % n104323(ms) 0p,danfreqüêncian 2 t -4 " 2 2 1+ %2 T0 T0 Essa representação no domínio 2 1+ 0 Exemplo 1: Espectro de Fourier#10$3 um sinal periódico(2) Exemplo Espectro 2 de ( )( ) 2#10 "3 "10 3 2 # 10 $3 ( e !10 t )( ) Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos D0 = a0 = 0,4323 Dn = do sinal é denominada espectro do sinal. espectro Lúcio M. da Silva Cada linha do espectro representa um 7 ENE - UnB componente senoidal do sinal componente 2 1 + p 2n2 Lúcio M. da Silva ENE - UnB 2 2 a n + bn = 0,4323 Espectro de um Sinal Séries de Fourier Exemplo 1: Espectro dePeriódico periódico Exemplo Espectro Fourier de um sinal g( t ) '!b $ q n = arctg% n " = ! arctg ( np ) & an # 6 12 2004/1 Lúcio M. da Silva ENE - UnB Séries de Fourier -4 -2 1 e "10 3 t 14 2004/1 Exemplo 1: Espectro de Fourier de um sinal periódico(3) Exemplo Espectro D0 = a0 = 0, 4323 T0 = 2 ms ! g( t ) 0 2 4 t (ms) 3 1 e !10 t f 0 = 1 = 500 Hz T0 $ b' 2 2 2 Dn = an + -bn = 0, 4323 , " n 2= tg #1 & # 4n t)(ms) #tg #1 (! n ) = 4 -" 2#102 3 110 3! 20 2 % an ( "+ t n 1 a0 = e dt = 0,4323 D$ 2 # 10 " 3 n 0 Espectro de 0,4323 amplitude 3 2#10 0,1359 2 an = e "10 t cos p n10 3 0,0912 = 0,0686 0,0549 2 t dt 0,4323 "3 $ 0 22 2 # 10 0 2 3 5 1+p n 1 4 n "3 0,2622 ( ) 0 500 1.000 n Espectro 2 # 10 de fase b= 2 ! n 2#10 "3 qn 3 e "10 t "3 0 $ sen p n10 3 t dt = 0,4323 8 ( 1.500 ) 2.000 2.500 f (Hz) 2p n 1 + p 2n2 -p 2 Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos Lúcio M. da Silva ENE - UnB Lúcio M. da Silva ENE - UnB Lúcio M. da Silva ENE - UnB Espectro de um Sinal Exemplo 1: Espectro dePeriódico periódico Exemplo Espectro Fourier de um sinal Séries de Fourier g( t ) 12 2004/1 Séries de Fourier Espectro bilateral -4 " 1 e "10 3 t 15 2004/1 e Fourier bilateral n= #" " cn = c! n n= #" T0 = 2 ms 2 ! cn = |c n | e jq n |cn| 0,4323 0,1311 g( t ) = Dn e j 2p nf0t =! cn = 0, 4323 15 2004/1 -2 0 ! cn e j 2p nf 0t |cn| c0 = cD0==D , 4323 "3 0 0 0 3 0,4323 2#10 1 a0 = D e "10 t dt = 0,4323 |c# n2 # 10n" 3=$ 0 n | = |c | 0,1311 0,0679 2 0 -3 -2 -1 2# - "3 0 - 2.500 - 2.000 - 1.500 101.000 "10 3 t - 500 2 an = e cos "3 0 ! q 2# , #! n f 0 = 11 " 2 n 2 Hz + = 500 T0 cn 1= |c n | e jq n 2 4 t (ms) Dn |c!n | ==|cn | != " n ## = n tg 1 2 q #n = q n c0 = D0 () q -#5 = q4 n -n 0,0456 4 2.000 10 2 $ n n (p n10 t ) dt ! p2 2 1 2 500 3 1.000 = 0,4323 3 1.500 1 + p 2n2 2p n 1 + p 2n2 n 5 2.500 f (Hz) 2 0,0679 0,0456 -4 -3 -2 .000 - 1.500 - 1.000 -1 - 500 0 0 1 500 2 1.000 bn 3= 1.500 n 5 4 "3 2.000 2 # 102.500 0f (Hz) $ 2#10 "3 e "10 t sen p n10 3 t dt = 0,4323 -! 2 p 3 ( ) qn Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos p2 " 2 9 Lúcio M. da Silva ENE - UnB Lúcio M. da Silva ENE - UnB -p 2 Lúcio M. da Silva ENE - UnB Séries de Fourier Exemplo 2: Trem periódicoSéries de Fourier de pulsos retangulares sen(p x ) sinc ( x ) = # j 2p nf 0 t px 2: Trem periódico de pulsos retangulares 1 = Ae dt 1 1 T0 * 0 sinc (x ) px x g( t ) sen (! x ) 0 T0 # T0 T 1 T0 ! t # j 2p nf 0 t = sinc ( x ) dt A sen ) np T & e # j np T T0 * 0 g( t ) e A= ' $ !x np ( T0 % T # j 2p nf 0 t dt ) & *0 Ae = AT sinc ' nT $ e # j np T T0 , n = 0, ± 1, ± 2,K T0 T ( T0t % # T0 T 0 0 ) np T & # j np T T0 sen ' $e T T ( T0 % AT -1 1 2 1 0 | cn |=! j 2 " nf0 tsinc ) nT & , n! =2 " nf±t 1, ± 2,K -3 -2 Espectro de amplitude 0, ' 1$ 1 cn = g ( t ) e T0 dt = T0 % Ae j 0 dt 1 ( T sinc ) nT & e # j np T T0 , n = 0, ± 1, ± 2,K ! ' $ T0 0 T0 0 px !x 0 ( T0 % # np T T0 , se sinc(nT T0 ) . 0 Espectro de fase =T Aq n = /!cjn " nf0 t ,# p # np T T , ! j 2 " nf0sinc(nT T ) < 0 A T 0e se e 2 +0 = !1 0 T sinc ) nT & , n = 0, ± 1, ± 2,K= ' $ ! j 2" nf0T0Espectro de amplitude2" n !j Lúcio M. da Silva 0 ( T0 % ENE - UnB 2004/1 e Fourier Função interpoladora sinc)(x) Função interpoladora g ( t T0 6 cn = 1 g ( t ) e # j 2p1nf 0 t dt A T0 0 T Espectro de um Sinal * Periódico 16 2004/1 6 17 2004/1 x 3 # # ( ) Lúcio M. da Silva ENE - UnB se sinc(nTA 0 )e 0 -# np T T0 , =T. cn = , # p # np T T0 , se sinc(nT n0 ) < 0 "T + ( j 2 " nf0 T 2 ! e! j 2 " nf0 T j2 2 Espectro de fase e ) ! j 2 " nf0 T 2 = = Af0T sen (" nf T ) e " nf0T A sen (" nf0T ) e! j" nf0 T "n 18 2004/1 Lúcio M. da Silva 0 ENE -!UnB 0 T j" nf = Af0T Sériesnf0TFourier0 T = sinc ( de ) e! j" nf Séries de Fourier 10 $ nT ' ! j" n T T0 AT sinc & )e T % T retangulares Exemplo 2: Trem periódico0de pulsos 0 ( T =1 T0 4 cn Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos 8 AT T0 1 T0 8 !3 T !2 T !1 T 0 1 T 2 T 3 T Lúcio M. da Silva ENE - UnB Espectro de um Sinal Exemplo 2: Trem periódico de pulsos retangulares Periódico Séries de Fourier T =1 T0 4 cn 18 2004/1 AT T0 1 T0 !3 T !2 T !1 T 0 "c n (graus) 180o ! 180o 1 T 2 T 3 T n (Hz) T0 Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos 11 Lúcio M. da Silva ENE - UnB 9 Transformada de Fourier • Um sinal aperiódico g(t) pode ser representado no domínio da frequência por um espectro contínuo através da transformada de # Fourier: G ( f ) = F { g ( t )} = $ g ( t ) e! j 2 " ft dt Eq. de Análise !# g (t ) = F !1 • {G ( f )} = $ G ( f ) e !# # j 2 " ft df Eq. de Síntese O espectro é complexo e pode ser representado por seu módulo e sua fase: j" ( f ) G ( f ) !C : G ( f ) = G ( f ) e g Densidade Espectro de Espectro de Espectral Amplitude Fase G(f) consiste em uma densidade espectral medida em V/Hz ou A/Hz. Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos 12 2 Unidade de G( f ): volt / hertz (V/Hz) – ou amp! 2 / hertz1(A/Hz). ère Lúcio M. da Silva ENE - UnB+ rect ( t ) = # , | t | = |< 2 Exemplo: Espectro " 1, | tExemplo: Espectro de um pulso retangular rect ) t )T * ( & & ' 1 g( t ) A %1 2 0 1 2 t Sinais e Transmissão de Sinais Exemplo: Espectro de um pulso retangular Exemplo: Espectro g( t ) A Espectro de um Sinal Aperiódico %T 2 ) g ( t ) = A rect ' t 'T ( T 2 # T2004/1 2 10 0 0 T 2 t t Lúcio M. da Silva ENE - UnB G( f ) = ! #T 2 A T2 G( f ) AT = AT sen p ) t& !t$ g ( t ) = A rect # g( t ) = A rect ' T $ '$ & ( "T % Sinais e Transmissão % Sinais de #2 #1 0 Exemplo: Espectro de um pulso retangular Exemplo: Espectro T T T 2 ! j 2 " ft = AT sinc 12 2004/1 #T 2 0 # t G( f ) = ! #T 2 A e T2 # j 2p f t 1 T AT 2 T f dt G( f ) G( f ) = !# g $ AT(t ) e G( f ) T2 dt = !T 2 ! j 2 " ft T 2 $ Ae Espectro de sen(p fT ) magnitude= AT p fT ! j 2 " ft Lúcio M. EN dt = AT sinc( fT ) %3 T #2 T A = e !1j 2" f 1 0 # T Ae = "f ( + j" fT T !e j2 ! j" fT 2 T !T 2 Espectro de ) T = AT sease(" fT ) n f A = e! j 2 " f T 2 ! e+ j 2 " f T f ! j 2" f T ( %2 T 2 ) %1 T 0 1 T 2 T f qg( f ) 180° 0 %1 T %180° 1 T 2 T 3 T = AT sinc ( fT ) Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos " fT Lúcio M. da Silva %3 %2 ENE - UnB T T f Lúcio M. da Silva ENE - UnB 13 5 6 Sinais e Transmissão de Sinais Sinais e Transmissão de Sinais Transformada de Fourier de !(t) e de g(t) = 1 Transformada g(t ) = d ( t ) g(t ) = d ( t ) g (t ) = ! (t ) Espectro de um Sinal A de !(t) e de g(t) = 1 Transformada de Fourier periódico Transformada G( f ) G ( f1 ) 1 13 2004/1 13 2004/1 G( f ) = 1 G ( f ) = $0g ( t ) e! jt2 " ft dt = $ % ( t ) e! j 2 " ft dt = e !# g ( t ) !# g(t ) 0# t # 0 ! j 2 " f0 # 0 # !# f 1 1 G ( ff ))= ! ((f f ) G( = d ) = 1 !# f= 1 G( f ) = d ( f ) 0 G( f ) = Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos g (t $ dt = 1e dt = lim $ 1e $ dt = lim T yinc ( fT ) = & ( f ) )e pxs %2 F [1][1$ = $ %ej% p2p t$fdtdt==dd (f f) ) " # $ e % jj 2p x y dy = d ((xx ) = # e 2j f t ( dy = d ) F ] %# " #% $ e $% $ %$ ! j 2 " ft ! j 2 " ft ! j 2 " ft !# !# T %# !T / 2 T %# # 0 t # t 0 T /2 0 f f 14 Lúcio M. da Silva Lúcio M. da Silva ENE UnB ENE --UnB Espectro de um Sinal Aperiódico • Daí, para g ( t ) = ! ( t " # ) : G( f ) = # !# $ g ( t ) e! j 2 " ft dt = # !# $ % (t ! & ) e ! j 2 " ft dt = e ! j 2 " f & # !# = e! j 2 " f & • e para g ( t ) = e G( f ) = # j 2 ! f0 t : # j 2 ! f t " j 2 ! ft $ e 0 e dt = # "# $ g ( t ) e j 2 ! ft dt = "# "# $e " j 2 ! ( f " f0 ) t dt = % ( f " f0 ) Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos 15 Espectro de um Sinal Ade Sinais Sinais e Transmissão periódico Transformada de Fourier da cossenóide eterna cos (2!f0t) Transformada cossenóide eterna cos Assim, para g ( t ) = cos ( 2! f0 t ) : 15 2004/1 • # p cos (t2p = 0 t ) os 21 fetj 2e! jf20"tft + e " j 2p f c= " ! j 2" f G ( f ) = $ g (t ) e dt $ dt (2 0) # !# # !# ( f0 t ) = = !# $ e j 2 " f0 t # # ( +e 1% e! j 2 " ft dt 1 ' $ e! j 2 " ( f ! f0 )t dt + $ e! j 2 " ( f + f0 )t dt * = cos ( 2p f 0 t ) # 2 [d (& !#" f 0 ) + d ( f + f!#)] 2 2f 0 ) ! j 2 " f0 t 1 %+ ( f ! f0 ) + + ( f + f0 ) ( ) 2& g( t ) g (t 2c f t ) cos)(= pos ( 2! f0t ) 0 () 1 2 G( f ) (1 ) 2 f0 f t " f0 0 Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos 16 Lúcio M. da Silva ENE - UnB Sinais e Transmissão de Sinais Transformada de Fourier de Sinais Periódicos T0 2 cn = 1 ! g( t ) e " j 2p nf 0 t dt T0 "T0 2 Transformada de Fourier de Sinais Periódicos c = 1 G (f) 2004/1 19 n Gap ( f ) = ! "T T0 2 0 2 g ( t ) e " j 2p T0 ap f =n f0 • ft dt Sinais periódicos podem ser expandidos em Série de Fourier: g( t ) % gap ( t ) « $ g ( t ), # 0, t & 20 c.c. " T0 T gap ( t ) g (t ) = T0 t " T0 2 n = "# $ce n # j 2 ! nf0 t 0 T0 2 % T0 Envoltória , T f # 1" "Tt G ap (0f ) ' g (t ), 0 ! 0 gap ( t ) = & logo g ( t ) = $ gap ( t ! mT0 ) 2 2 m = !# ' 0, fora ( 0 f Mas Lúcio M. da Silva |G( f ) | cn = Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos 1 T0 T0 2 * g (t ) e T0 2 ! j 2 ) nf0 t dt = ! 1 T0 ENE - UnB # ap !# * g (t ) e 17 ! j 2 ) nf0 t dt = 1 Gap ( nf0 ) T0 Sinais e Transmissão de Sinais 20 2004/1 Exemplo: Transformada de Fourier de um Trem Periódico de Impulsos Exemplo: Transformada g ( t ) = d T0 ( t ) G ( f ) = f0 d f 0 ( f ) ... " 4T0 " 2T0 0 T0 Transformada de Fourier ... Transformada de Fourier de Sinais Periódicos de Sinais Periódicos Sinais... Transmissão de Sinais e ... 3T0 t 19 2004/1 " 3 f0 " f0 0 f0 2 f0 f T0 2 cn = 1 ! g( t ) e " j 2p nf 0 t dt ( T0 "T0 2 c = 1 G ( f ) f =n f0 Logo: ## G ( f ) = ' cn d ( f " nf 0 ) F d# 0 ( t ) =j 2" 1 ' d ( f " n f2")nf t ! n2" ft T0 ap T 0 f G ( 2 ) = $ g ( t ) e! Tt0dt== $ % cn e j e j dt n = "( T0 f " j 2p f t n "( Gap ( f ) = ! g( t # e dt ( !# n = !# !) "T0 2 1 # # # cn = = f 0 ! nf d ( f " n f 1 ) T0 = % cn $ e! j 2 " ( f ' )t dt = %(0) Gap ( nf0 )& ( f ! nf0 ) gt T0 n = "( % n = !# n = !# T0 gap ( t ) « $ g ( t ), t & 2 !# # 1 # 0, = c.c. ( f ) Lúcio M.! nf G & f da Silva ( • [ 0 0 • T0 T ou seja, o espectro de um sinal é discreto,0 com impulsos 2 nas frequências harmônicas da frequência fundamental. Gap(f) |G( f ) | Envoltória , f0 1 G (f) formata o T0 ap espectro! 10 T0 ap n = !# ) % ( ENE - UnB 0 " T0 0 " T0 periódico 2 t 0 Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos 18 f Lúcio M. da Silva ENE - UnB Para qualquer resultado ou relação ) e t ! #" G ( f entre g(df) e G( f ), existe um resultado ou relação dual , obtido pela troca dos papéis de g(t) e Para qualquer resultado ou relação entre alguma modificação G( f ) no resultado original (acompanhada deg(t) e G( f ), existe um r menor poresultadoda mudança de obtido na exponencial) de g(t) e causa ou relação dual , sinal pela troca dos papéis Algumas Propriedades da Transformada de Fourier Lúcio M. da Silva ENE - UnB G( f ) no resultado original (acompanhada de alguma modificação menor por causa da mudança de sinal na exponencial) M. da Silva Lúcio ENE - UnB Sinais e Sinais e Transmissão de Sinais Transmissão de Sinais Simetria ou dualidade: Propriedade da Simetria g ( t ) g ($ $ ( G ( f ) t) Propriedade da Simetria G f) t) G ( t ) G ($ $ ( # ( #)f ) g gf • 22 22 2004/1 2004/1 g( t ) G( f ) g( t ) A #T 2 A G ( f AT ) AT t 0 T 2 #2 T #1 0 T 1 T 2 T f #T 2 0 g (2) t 2 BA T t #2 T #1 0 T G( f ) A 1 T 2 T f g(t ) 2 BA #1 B #1 2B G( f ) A 0 1 2B 1 B t #B 0 B f Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos 19 #1 B #1 2B 0 1 2B 1 B t #B 0 Lúcio M. da Silva ENE - UnB B f Lúcio M. da Silva ENE - UnB Sinais e Transmissão de Sinais Propriedade da Convolução Propriedade Convolução % 1 2 "% 1 23 2004/1 11 Algumas Propriedades da T#Transmissão g (tSinais " ) dt Fourier g ( t ) ransformada t de ! G ( f ) G ( f ) g (t ) « $ ) g (t Sinais e de 2 1 2 11 23 2004/1 • Propriedade da Convolução Propriedade Convolução g1 ( t ) # g2 ( t ) « % Convolução: ! G ( f ) # G ( f ) = g1 ( t ) g2 ( t ) 1 2 $ "% g1 (t ) g2 ( t " t ) dt $ " % G1 ( l )G2 ( f " l ) d l ! G1 ( f ) G2 ( f ) % % Aplicação: g1 ( t ) g2 ( t ) ! G1 ( f ) # G2 ( f ) = $ " % G1 ( l )G2 ( f " l ) d l y(t ) = h(t ) # x(t ) Aplicação: x (t ) X( f ) x (t ) X( f ) Sistema linear invariável com o tempo h(t) ! H( f ) Sistema linear Y( f ) = H( f ) X( f ) y(t ) = h(t ) # x(t ) invariável com o tempo h(t) ! H( f ) 20 Y( f ) = H( f ) X( f ) Lúcio M. da Silva ENE - UnB Lúcio M. da Silva ENE - UnB Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos 24 Lúcio M. da Silva ENE - UnB Sinais eeSinais e TransmissãodeSinais Transmissão de Sinais Sinais Transmissão de Sinais Algumas Propriedades da Propriedade do Deslocamento Temporal Propriedade do Deslocamento Temporal Propriedade doTransmissão de Sinais de Fourier 24 Deslocamento Temporal ransformada Sinais eT Atrasar um sinal de t segundos não g ( t ) !g ( ) ( f! G ( f ) e TransmissãotGde) Sinais Propriedade do Deslocamentoaltera o espectro de amplitude, mas o Temporal 24 2004/1 24 2004/1 24 2004/1 ) edadeg( t ! g(tG (! )G f f)) iedade do) Deslocamento((Temporal fG t " ) ( f! " j G (f ft 0) e g ( t " t 0 ) g (! t 0GDeslocamento no tempo: de fase é alterado poré-alterado por -2p f t0 ) e 2p espectro de fase 2p f t espectro • " j 2p altera o espectro de amplitude, mas o f t0 0 0 Atrasar um sinal de t0 segundos não 2004/1 Atrasar um sinal de t segundos nã altera o espectro de amplitude, mas • g ( t " t0 ) ! G(t() f !e G( f ) ) espectro de fase é alterado por -2p f t0 t ) ! G( f ) ggt ) ( t ) ! G ( f )Pg(ropriedade!2pg(fDeslocamento Freqüencial não Propriedade jdo Atrasar um sinalreqüencial F de t0 segundos f g ( t ) ej 2p g (tt ) e t)e Gt( f " f 0 ) G ( f " f 0 ) ! altera seespectro de amplitude, mas " j 2p Será0 um sinal complexo,ocomplexo, sinal(real.um sinal real. o ft g um ! G é um Será ( t ) sinal g(t) ( f ) se g t) é 0 ) ! G( f ) e ft g ( t ) e j 2p espectro de (fasefé)alterado por -2p f t0 ! G f" 0 " g ( t " t 0 ) ! G ( (f f)) e!jj2p fft0t 0 G e 2" Propriedade do Deslocamento Freqüencial Propriedade do Deslocamento Freqüencial Propriedade Propriedade " em Ffreqüencial t 0 Freqüencial Deslocamento j 2pfrequência: Atrasar um sinal de t0 segundos não altera o espectro de amplitude, mas o 0 espectro de fase é alterado por -!2" t00 2p f ft j 2 ! f00 t 0 0 Propriedade do Deslocamento Freqüencial Propriedade Freqüencial Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos 21 Será um sinal complexo, se g(t) é ENE sinal real.ENE - UnB um - UnB Lúcio M. da Silva Lúcio M. da Silva Lúcio M. da Silva ENE - UnB edade iedade do Deslocamento) Freqüencial ) g( t Freqüencial ! G( f g( t ) e !Exemplo) G( f " f0 g( t ) ! G ( f ) g( t ) e j 2p f 0 t • j 2p f 0 t 12 12 12 Será ! G#( f "um )sinal complexo, se g(t) é um sinal real. f0 Determine o espectro de um pulso manchester m(t), utilizado na sinalização de linha para transmissão de bits em uma rede local: A T , 0 ! t < bit % %2 2 m (t ) = $ % " A , Tbit ! t < T bit %2 2 & ( "( ( ( Será um sinal complexo, se g(t) é um sinal real. G( f ) = = ) g (t ) e * ( ( " j 2 ' ft dt = "( n = "( ) *ce n ( j 2 ' nf0 t " j 2 ' ft e dt Lúcio M. da Silva ENE - UnB n = "( cn ) e" j 2 ' ( f " nf0 )t dt = "( n = "( *T 1 0 Gap ( nf0 )+ ( f " nf0 ) ( 1 = Gap ( f ) * + ( f " nf0 ) T0 n = "( Lúcio M. da Silva ENE - UnB Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos 22 Obrigado! 23 ! ...
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