CWA CH 7 FINAL_97_16 - Chapter 7 INTEGRATION Z 7.1...

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Chapter 7 INTEGRATION 7.1 Antiderivatives 1. If F ( x ) and G ( x ) are both antiderivatives of f ( x ) , then there is a constant C such that F ( x ) ¡ G ( x )= C: The two functions can di¤er only by a constant. 5. Z 6 dk =6 Z 1 dk =6 Z k 0 dy =6 ¢ 1 1 k 0+1 + C =6 k + C 6. Z 9 dy =9 Z 1 dy =9 Z y 0 dy = 9 1 y 0+1 + C =9 y + C 7. Z (2 z +3) dz =2 Z zdz +3 Z z 0 dz =2 ¢ 1 1+1 z 1+1 +3 ¢ 1 0+1 z 0+1 + C = z 2 +3 z + C 8. Z (3 x ¡ 5) dx =3 Z xdx ¡ 5 Z x 0 dx =3 ¢ 1 2 x 2 ¡ 5 ¢ 1 1 x + C = 3 x 2 2 ¡ 5 x + C 9. Z (6 t 2 ¡ 8 t +7) dt =6 Z t 2 dt ¡ 8 Z tdt +7 Z t 0 dt = 6 t 3 3 ¡ 8 t 2 2 +7 t + C =2 t 3 ¡ 4 t 2 +7 t + C 10. Z (5 x 2 ¡ 6 x +3) dx =5 Z x 2 dx ¡ 6 Z xdx +3 Z x 0 dx = 5 x 3 3 ¡ 6 x 2 2 +3 x + C = 5 x 3 3 ¡ 3 x 2 +3 x + C 11. Z (4 z 3 +3 z 2 +2 z ¡ 6) dz =4 Z z 3 dz +3 Z z 2 dz +2 Z zdz ¡ 6 Z z 0 dz = 4 z 4 4 + 3 z 3 3 + 2 z 2 2 ¡ 6 z + C = z 4 + z 3 + z 2 ¡ 6 z + C 12. Z (16 y 3 +9 y 2 ¡ 6 y +3) dy =16 Z y 3 dy +9 Z y 2 dy ¡ 6 Z ydy +3 Z dy = 16 y 4 4 + 9 y 3 3 ¡ 6 y 2 2 +3 y + C =4 y 4 +3 y 3 ¡ 3 y 2 +3 y + C 13. Z (5 p z + p 2) dz =5 Z z 1 = 2 dz + p 2 Z dz = 5 z 3 = 2 3 2 + p 2 z + C =5 μ 2 3 z 3 = 2 + p 2 z + C = 10 z 3 = 2 3 + p 2 z + C 14. Z ( t 1 = 4 + ¼ 1 = 4 ) dt = t 1 = 4+1 1 4 +1 + ¼ 1 = 4 t + C = t 5 = 4 5 4 + ¼ 1 = 4 t + C = 4 t 5 = 4 5 + ¼ 1 = 4 t + C 443
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Chapter 7 INTEGRATION 15. Z 5 x ( x 2 ¡ 8) dx = Z (5 x 3 ¡ 40 x ) dx = 5 x 4 4 ¡ 40 x 2 2 + C = 5 x 4 4 ¡ 20 x 2 + C 16. Z x 2 ( x 4 +4 x +3) dx = Z ( x 6 +4 x 3 +3 x 2 ) dx = x 7 7 + 4 x 4 4 + 3 x 3 3 + C = x 7 7 + x 4 + x 3 + C 17. Z (4 p v ¡ 3 v 3 = 2 ) dv =4 Z v 1 = 2 dv ¡ 3 Z v 3 = 2 dv = 4 v 3 = 2 3 2 ¡ 3 v 5 = 2 5 2 + C = 8 v 3 = 2 3 ¡ 6 v 5 = 2 5 + C 18. Z (15 x p x +2 p x ) dx =15 Z x ( x 1 = 2 ) dx +2 Z x 1 = 2 dx =15 Z x 3 = 2 dx +2 Z x 1 = 2 dx = 15 x 5 = 2 5 2 + 2 x 3 = 2 3 2 + C =15 μ 2 5 x 5 = 2 +2 μ 2 3 x 3 = 2 + C =6 x 5 = 2 + 4 x 3 = 2 3 + C 19. Z (10 u 3 = 2 ¡ 14 u 5 = 2 ) du =10 Z u 3 = 2 du ¡ 14 Z u 5 = 2 du = 10 u 5 = 2 5 2 ¡ 14 u 7 = 2 7 2 + C =10 μ 2 5 u 5 = 2 ¡ 14 μ 2 7 u 7 = 2 + C =4 u 5 = 2 ¡ 4 u 7 = 2 + C 20. Z (56 t 5 = 2 +18 t 7 = 2 ) dt =56 Z t 5 = 2 dt +18 Z t 7 = 2 dt = 56 t 7 = 2 7 2 + 18 t 9 = 2 9 2 + C =16 t 7 = 2 +4 t 9 = 2 + C 21. Z μ 7 z 2 dz = Z 7 z ¡ 2 dz =7 Z z ¡ 2 dz =7 μ z ¡ 2+1 ¡ 2+1 + C = 7 z ¡ 1 ¡ 1 + C = ¡ 7 z + C 22. Z μ 4 x 3 dx = Z 4 x ¡ 3 dx =4 Z x ¡ 3 dx = 4 x ¡ 2 ¡ 2 + C = ¡ 2 x ¡ 2 + C = ¡ 2 x 2 + C 23. Z μ ¼ 3 y 3 ¡ p ¼ p y dy = Z ¼ 3 y ¡ 3 dy ¡ Z p ¼y ¡ 1 = 2 dy = ¼ 3 Z y ¡ 3 dy ¡ p ¼ Z y ¡ 1 = 2 dy = ¼ 3 μ y ¡ 2 ¡ 2 ¡ p ¼ μ y 1 = 2 1 2 + C = ¡ ¼ 3 2 y 2 ¡ 2 p ¼y + C 24. Z μ
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This note was uploaded on 10/07/2010 for the course CALC 2302 taught by Professor Yuly during the Fall '08 term at University of Texas at Dallas, Richardson.

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