CWA CH 8 FINAL_97_17

CWA CH 8 FINAL_97_17 - Chapter 8 FURTHER TECHNIQUES AND...

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Chapter 8 FURTHER TECHNIQUES AND APPLICATIONS OF INTEGRATION 8.1 Integration by Parts 1. Z xe x dx Let dv = e x dx and u = x: Then v = Z e x dx and du = dx: v = e x Use the formula Z udv = uv ¡ Z vdu: Z xe x dx = xe x ¡ Z e x dx = xe x ¡ e x + C 2. Z ( x +6) e x dx Let dv = e x dx and u = x +6 : Then v = Z e x dx and du = dx: v = e x Use the formula Z = uv ¡ Z Z ( x e x dx =( x e x ¡ Z e x dx = xe x e x ¡ e x + C x +5) e x + C 3. Z (4 x ¡ 12) e ¡ 8 x dx Let dv = e ¡ 8 x dx and u =4 x ¡ 12 Then v = Z e ¡ 8 x dx and du dx: v = e ¡ 8 x ¡ 8 Z (4 x ¡ 12) e ¡ 8 x dx =(4 x ¡ 12) μ e ¡ 8 x ¡ 8 ¡ Z μ e ¡ 8 x ¡ 8 ¢ 4 dx = ¡ 4 x 8 e ¡ 8 x + 12 8 e ¡ 8 x ¡ μ ¡ 4 8 ¢ e ¡ 8 x ¡ 8 + C = ¡ x 2 e ¡ 8 x + 3 2 e ¡ 8 x ¡ 1 16 e ¡ 8 x + C = μ ¡ x 2 + 23 16 e ¡ 8 x + C 4. Z (6 x +3) e ¡ 2 x dx Let dv = e ¡ 2 x dx and u =6 x +3 Then v = Z e ¡ 2 x dx and du dx: v = e ¡ 2 x ¡ 2 + C Z (6 x e ¡ 2 x dx = (6 x e ¡ 2 x ¡ 2 ¡ Z 6 e ¡ 2 x ¡ 2 dx = ¡ 1 2 (6 x e ¡ 2 x + 3 e ¡ 2 x ¡ 2 + C = ¡ 1 2 (6 x e ¡ 2 x ¡ 3 2 e ¡ 2 x + C 5. Z 1 0 2 x +1 e x dx = Z 1 0 (2 x +1) e ¡ x dx Let dv = e ¡ x dx and u =2 x : Then v = Z e ¡ x dx and du dx: v = ¡ e ¡ x Z 2 x e x dx = ¡ (2 x e ¡ x + Z 2 e ¡ x dx = ¡ (2 x e ¡ x ¡ 2 e ¡ x 538
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Section 8.1 Integration by Parts 539 Z 1 0 2 x +1 e x dx =[ ¡ (2 x +1) e ¡ x ¡ 2 e ¡ x ] ¯ ¯ ¯ 1 0 ¡ (3) e ¡ 1 ¡ 2 e ¡ 1 ] ¡ ( ¡ 1 ¡ 2) = ¡ 5 e ¡ 1 +3 ¼ 1 : 161 6. Z 3 0 3 ¡ x 3 e x dx = 1 3 Z 3 0 (3 ¡ x ) e ¡ x dx Let dv = e ¡ x dx and u =3 ¡ x: Then v = ¡ e ¡ x and du = ¡ dx: 1 3 Z (3 ¡ x ) e ¡ x dx = 1 3 · ¡ (3 ¡ x ) e ¡ x ¡ Z e ¡ x dx ¸ = 1 3 [ ¡ (3 ¡ x ) e ¡ x + e ¡ x dx ] = 1 3 ( x ¡ 2) e ¡ x Z 3 0 (3 ¡ x ) e ¡ x dx = 1 3 ( x ¡ 2) e ¡ x ¯ ¯ ¯ 3 0 = e ¡ 3 +2 3 ¼ 0 : 6833 7. Z ln 3 xdx Let dv = dx and u =ln3 x: Then v = x and du = 1 x dx: Z ln 3 = x ln3 x ¡ Z dx = x x ¡ x Z ln 3 =( x x ¡ x ) ¯ ¯ ¯ 9 1 =(9ln27 ¡ 9) ¡ (ln3 ¡ 1) =9ln3 3 ¡ 9 ¡ ln3 + 1 =27ln3 ¡ ¡ 8 =26ln3 ¡ 8 ¼ 20 : 56 8. Z 2 1 ln 5 Let dv = dx and u =ln5 x: Then v = x and du = 1 x dx: Z ln 5 = x ln 5 x ¡ Z x μ 1 x dx = x ln 5 x ¡ x Z 2 1 ln 5 x ln 5 x ¡ x ) ¯ ¯ ¯ 2 1 =2ln10 ¡ 2 ¡ ln 5 + 1 =ln 10 2 5 ¡ 1=ln20 ¡ 1 ¼ 1 : 996 9. Z x ln dx Let dv = and u x: Then v = x 2 2 and du = 1 x dx: Z x ln dx = x 2 2 ln x ¡ Z x 2 dx = x 2 ln x 2 ¡ x 2 4 + C 10. Z x 3 ln Let dv = x 3 dx and u x: Then v = x 4 4 and du = 1 x dx: Z x 3 ln = x 4 4 ¢ ln x ¡ Z x 4 4 μ 1 x dx = x 4 ln x 4 ¡ 1 4 Z x 3 dx = x 4 ln x 4 ¡ x 4 16 + C 11. The area is Z 4 2 ( x ¡ 2) e x dx: Let dv = e x dx and u = x ¡ 2 : Then v = e x and du = dx: Z ( x ¡ 2) e x dx x ¡ 2) e x ¡ Z e x dx Z 4 1 ( x ¡ 2) e x dx =[( x ¡ 2) e x ¡ e x ] ¯ ¯ ¯ 4 2 =(2 e 4 ¡ e 4 ) ¡ (0 ¡ e 2 ) = e 4 + e 2 ¼ 61 : 99
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540 Chapter 8 FURTHER TECHNIQUES AND APPLICATIONS OF INTEGRATION 12. A = Z 1 0 xe x dx Let dv = e x dx and u = x: Then v = e x and du = dx: Z xe x dx = xe x ¡ Z e x dx = xe x ¡ e x = e x ( x ¡ 1) A = e x ( x ¡ 1) ¯ ¯ ¯ 1 0 = e (0) ¡ 1( ¡ 1) =1 13. Z x 2 e 2 x dx Let u = x 2 and dv = e 2 x dx: Use column integration.
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