CWA CH 8 FINAL_97_17 - Chapter 8 FURTHER TECHNIQUES AND...

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Chapter 8 FURTHER TECHNIQUES AND APPLICATIONS OF INTEGRATION 8.1 Integration by Parts 1. Z xe x dx Let dv = e x dx and u = x: Then v = Z e x dx and du = dx: v = e x Use the formula Z udv = uv ¡ Z v du: Z xe x dx = xe x ¡ Z e x dx = xe x ¡ e x + C 2. Z ( x + 6) e x dx Let dv = e x dx and u = x + 6 : Then v = Z e x dx and du = dx: v = e x Use the formula Z udv = uv ¡ Z v du: Z ( x + 6) e x dx = ( x + 6) e x ¡ Z e x dx = xe x + 6 e x ¡ e x + C = ( x + 5) e x + C 3. Z (4 x ¡ 12) e ¡ 8 x dx Let dv = e ¡ 8 x dx and u = 4 x ¡ 12 Then v = Z e ¡ 8 x dx and du = 4 dx: v = e ¡ 8 x ¡ 8 Z (4 x ¡ 12) e ¡ 8 x dx = (4 x ¡ 12) μ e ¡ 8 x ¡ 8 ¡ Z μ e ¡ 8 x ¡ 8 ¢ 4 dx = ¡ 4 x 8 e ¡ 8 x + 12 8 e ¡ 8 x ¡ μ ¡ 4 8 ¢ e ¡ 8 x ¡ 8 + C = ¡ x 2 e ¡ 8 x + 3 2 e ¡ 8 x ¡ 1 16 e ¡ 8 x + C = μ ¡ x 2 + 23 16 e ¡ 8 x + C 4. Z (6 x + 3) e ¡ 2 x dx Let dv = e ¡ 2 x dx and u = 6 x + 3 Then v = Z e ¡ 2 x dx and du = 6 dx: v = e ¡ 2 x ¡ 2 + C Z (6 x + 3) e ¡ 2 x dx = (6 x + 3) e ¡ 2 x ¡ 2 ¡ Z 6 e ¡ 2 x ¡ 2 dx = ¡ 1 2 (6 x + 3) e ¡ 2 x + 3 e ¡ 2 x ¡ 2 + C = ¡ 1 2 (6 x + 3) e ¡ 2 x ¡ 3 2 e ¡ 2 x + C 5. Z 1 0 2 x + 1 e x dx = Z 1 0 (2 x + 1) e ¡ x dx Let dv = e ¡ x dx and u = 2 x + 1 : Then v = Z e ¡ x dx and du = 2 dx: v = ¡ e ¡ x Z 2 x + 1 e x dx = ¡ (2 x + 1) e ¡ x + Z 2 e ¡ x dx = ¡ (2 x + 1) e ¡ x ¡ 2 e ¡ x 538
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Section 8.1 Integration by Parts 539 Z 1 0 2 x + 1 e x dx = [ ¡ (2 x + 1) e ¡ x ¡ 2 e ¡ x ] ¯ ¯ ¯ 1 0 = [ ¡ (3) e ¡ 1 ¡ 2 e ¡ 1 ] ¡ ( ¡ 1 ¡ 2) = ¡ 5 e ¡ 1 + 3 ¼ 1 : 161 6. Z 3 0 3 ¡ x 3 e x dx = 1 3 Z 3 0 (3 ¡ x ) e ¡ x dx Let dv = e ¡ x dx and u = 3 ¡ x: Then v = ¡ e ¡ x and du = ¡ dx: 1 3 Z (3 ¡ x ) e ¡ x dx = 1 3 · ¡ (3 ¡ x ) e ¡ x ¡ Z e ¡ x dx ¸ = 1 3 [ ¡ (3 ¡ x ) e ¡ x + e ¡ x dx ] = 1 3 ( x ¡ 2) e ¡ x Z 3 0 (3 ¡ x ) e ¡ x dx = 1 3 ( x ¡ 2) e ¡ x ¯ ¯ ¯ 3 0 = e ¡ 3 + 2 3 ¼ 0 : 6833 7. Z ln 3 xdx Let dv = dx and u = ln 3 x: Then v = x and du = 1 x dx: Z ln 3 xdx = x ln 3 x ¡ Z dx = x ln 3 x ¡ x Z ln 3 xdx = ( x ln3 x ¡ x ) ¯ ¯ ¯ 9 1 = (9 ln 27 ¡ 9) ¡ (ln 3 ¡ 1) = 9 ln 3 3 ¡ 9 ¡ ln3 + 1 = 27 ln 3 ¡ ln 3 ¡ 8 = 26 ln 3 ¡ 8 ¼ 20 : 56 8. Z 2 1 ln 5 xdx Let dv = dx and u = ln 5 x: Then v = x and du = 1 x dx: Z ln 5 xdx = x ln 5 x ¡ Z x μ 1 x dx = x ln 5 x ¡ x Z 2 1 ln 5 xdx = ( x ln 5 x ¡ x ) ¯ ¯ ¯ 2 1 = 2 ln 10 ¡ 2 ¡ ln 5 + 1 = ln 10 2 5 ¡ 1 = ln 20 ¡ 1 ¼ 1 : 996 9. Z x ln dx Let dv = xdx and u = ln x: Then v = x 2 2 and du = 1 x dx: Z x ln dx = x 2 2 ln x ¡ Z x 2 dx = x 2 ln x 2 ¡ x 2 4 + C 10. Z x 3 ln xdx Let dv = x 3 dx and u = ln x: Then v = x 4 4 and du = 1 x dx: Z x 3 ln xdx = x 4 4 ¢ ln x ¡ Z x 4 4 μ 1 x dx = x 4 ln x 4 ¡ 1 4 Z x 3 dx = x 4 ln x 4 ¡ x 4 16 + C 11. The area is Z 4 2 ( x ¡ 2) e x dx: Let dv = e x dx and u = x ¡ 2 : Then v = e x and du = dx: Z ( x ¡ 2) e x dx = ( x ¡ 2) e x ¡ Z e x dx Z 4 1 ( x ¡ 2) e x dx = [( x ¡ 2) e x ¡ e x ] ¯ ¯ ¯ 4 2 = (2 e 4 ¡ e 4 ) ¡ (0 ¡ e 2 ) = e 4 + e 2 ¼ 61 : 99
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540 Chapter 8 FURTHER TECHNIQUES AND APPLICATIONS OF INTEGRATION 12. A = Z 1 0 xe x dx Let dv = e x dx and u = x: Then v = e x and du = dx: Z xe x dx = xe x ¡ Z e x dx = xe x ¡ e x = e x ( x ¡ 1) A = e x ( x ¡ 1) ¯ ¯ ¯ 1 0 = e (0) ¡ 1( ¡ 1) = 1 13.
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What students are saying

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    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

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    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

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    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

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    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

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    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern