CWA CH 10 FINAL_97_19

CWA CH 10 FINAL_97_19 - Chapter 10 DIFFERENTIAL EQUATIONS...

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Chapter 10 DIFFERENTIAL EQUATIONS 10.1 Solutions of Elementary and Separable Di¤erential Equations 1. dy dx = ¡ 4 x +6 x 2 y = Z ( ¡ 4 x x 2 ) dx = ¡ 2 x 2 +2 x 3 + C 2. dy dx =4 e ¡ 3 x y = Z 4 e ¡ 3 x dx = ¡ 4 e ¡ 3 x 3 + C 3. 4 x 3 ¡ 2 dy dx =0 Solve for dy dx : dy dx =2 x 3 y Z x 3 dx μ x 4 4 + C = x 4 2 + C 4. 3 x 2 ¡ 3 dy dx dy dx = 3 x 2 ¡ 2 3 = x 2 ¡ 2 3 y = Z μ x 2 ¡ 2 3 dx = x 3 3 ¡ 2 x 3 + C 5. y dy dx = x 2 Separate the variables and take antiderivatives. Z ydy = Z x 2 dx y 2 2 = x 3 3 + K y 2 = 2 3 x 3 K y 2 = 2 3 x 3 + C 6. y dy dx = x 2 ¡ x =( x 2 ¡ x ) dx Z = Z ( x 2 ¡ x ) dx y 2 2 = x 3 3 ¡ 1 2 x 2 + C y 2 = 2 x 3 3 ¡ x 2 + C 7. dy dx xy Z dy y = Z 2 xdx ln j y j = 2 x 2 2 + C ln j y j = x 2 + C e ln j y j = e x 2 + C y = § e x 2 + C y = § e x 2 ¢ e C y = ke x 2 8. dy dx = x 2 y 1 y dy = x 2 dx Z 1 y dy = Z x 2 dx ln j y j = x 3 3 + C j y j = e x 3 = 3+ C = e x 3 = 3 ¢ e C y = § e C e x 3 = 3 y = Me x 3 = 3 662
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Section 10.1 Solutions of Elementary and Separable Di¤erential Equations 663 9. dy dx =3 x 2 y ¡ 2 xy dy dx = y (3 x 2 ¡ 2 x ) Z dy y = Z (3 x 2 ¡ 2 x ) dx ln j y j = 3 x 3 3 ¡ 2 x 2 2 + C e ln j y j = e x 3 ¡ x 2 + C y = § ( e x 3 ¡ x 2 ) e C y = ke x 3 ¡ x 2 10. ( y 2 ¡ y ) dy dx = x ( y 2 ¡ y ) dy = xdx Z ( y 2 ¡ y ) dy = Z y 3 3 ¡ y 2 2 = x 2 2 + C 2 y 3 ¡ 3 y 2 x 2 + C 11. dy dx = y x ;x> 0 Z dy y = Z dx x ln j y j =ln x + C e ln j y j = e ln x + C y = § e ln x ¢ e C y = Me ln x y = Mx 12. dy dx = y x 2 1 y dy = 1 x 2 dx Z 1 y dy = Z x ¡ 2 dx ln j y j = x ¡ 1 ¡ 1 + C j y j = e ¡ 1 =x + C = e ¡ 1 =x ¢ e C y = § e C e ¡ 1 =x y = ¡ 1 =x 13. dy dx = y ¡ 6 Z dy y ¡ 6 = Z dx ln j y ¡ 6 j = x + C e ln j y ¡ 6 j = e x + C y ¡ 6= § e x ¢ e C y ¡ x y = x +6 14. dy dx =4 ¡ y 1 4 ¡ y dy = dx Z 1 4 ¡ y dy = Z dx ¡ ln j 4 ¡ y j = x + C ln j 4 ¡ y j = ¡ x + C j 4 ¡ y j = e ¡ x + C = e ¡ x e C 4 ¡ y = § e C e ¡ x = ¡ x y ¡ ¡ x 15. dy dx = y 2 e 2 x Z y ¡ 2 dy = Z e 2 x dx ¡ y ¡ 1 = 1 2 e 2 + C ¡ 1 y = 1 2 e 2 + C y = ¡ 1 1 2 e 2 + C 16. dy dx = e x e y e y dy = e x dx Z e y dy = Z e x dx e y = e x + C y =ln( e x + C )
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664 Chapter 10 DIFFERENTIAL EQUATIONS 17. dy dx +3 x 2 =2 x dy dx x ¡ 3 x 2 y = 2 x 2 2 ¡ 3 x 3 3 + C y = x 2 ¡ x 3 + C Since y =5 when x =0 ; 5=0 ¡ 0+ C C : Thus, y = x 2 ¡ x 3 +5 : 18. x dy dx = x 2 e 3 x ; y = 8 9 when x : dy dx = xe 3 x y = Z xe 3 x dx Let u = xd v = e 3 x dx du = dx v = e 3 x 3 : y = x 3 e 3 x ¡ Z e 3 x 3 dx y = x 3 e 3 x ¡ e 3 x 9 + C 8 9 ¡ 1 9 + C C =1 y = x 3 e 3 x ¡ e 3 x 9 +1 19. 2 dy dx =4 xe ¡ x dy dx xe ¡ x Use the table of integrals or integrate by parts. y =2( ¡ x ¡ 1) e ¡ x + C Since y =42 when x ; 42 = 2(0 ¡ 1)(1) + C 42 = ¡ 2+ C C =44 : Thus, y = ¡ 2 xe ¡ x ¡ 2 e ¡ x +44 : 20. x 2 dy dx ¡ y p x ; y = e ¡ 2 when x : 1 y dy = p x x 2 dx Z 1 y dy = Z x ¡ 3 = 2 dx ln j y j = ¡ 2 x ¡ 1 = 2 + C j y j = e ¡ 2 x ¡ 1 = 2 + C y = Me ¡ 2 x ¡ 1 = 2 e ¡ 2 = ¡ 2 M y = e ¡ 2 x ¡ 1 = 2 21. dy dx = x 3 y ; y when x : Z ydy = Z x 3 dx y 2 2 = x 4 4 + C y 2 = 1 2 x 4 +2 C y 2 = 1 2 x 4 + k Since y when x ; 25 = 0 + k k =25 : So y 2 = 1 2 x 4 +25 : 22. dy dx = x 2 2 y ¡ 1 ; y =11 when x : (2 y ¡ 1) dy =( x 2 +5) dx Z (2 y ¡ 1) dy = Z ( x 2 dx y 2 ¡ y = x 3 3 x + C 121 ¡ 11 = C C =110 y 2 ¡ y = x 3 3 x +110
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Section 10.1 Solutions of Elementary and Separable Di¤erential Equations 665 23. (2 x +3) y = dy dx ; y =1 when x =0 : Z (2 x dx = Z dy y 2 x 2 2 +3 x + C =ln j y j e x 2 +3 x + C = e ln j y j y =( e x 2 +3 x )( § e C ) y = ke x 2 +3 x Since y when
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