serie1q - Physique g´ en´ erale I ´ Electrodynamique...

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Unformatted text preview: Physique g´ en´ erale I ´ Electrodynamique EXERCICES – S´ erie 1 (05 – 06) Rappels d’analyse vectorielle L’´ electrodynamique est la th´ eorie physique qui traite des corps charg´ es, de leur mouve- ment et des interactions entre eux. Les lois r´ egissant l’´ electrodynamique sont contenues dans les ´ equations de Maxwell. Ces ´ equations sont vectorielles et contiennent diff´ erents op´ erateurs de d´ erivation qui sont essentiels en analyse vectorielle; nous rappelons main- tenant la d´ efinition de ces op´ erateurs, et pour ce faire, nous consid´ erons l’espace R 3 (l’espace dans lequel nous vivons) que nous munissons d’un syst` eme de coordonn´ ees cart´ esiennes Oxyz . 1. On appelle fonction (ou champ ) scalaire dans R 3 (muni du syst` eme de coordonn´ ees cart´ esiennes Oxyz ) toute application f : R 3 → R . Par exemple, la temp´ erature T de l’atmosph` ere terrestre est une fonction scalaire car c’est une application qui ` a chaque point de l’espace ( x ; y ; z ) fait correspondre un nombre qui est la temp´ erature T ( x ; y ; z ) en le point consid´ er´ e. On appelle gradient de la fonction scalaire f , et on note grad f ou % ∇ f , la grandeur % ∇ f =     ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z     ; % ∇ f est un champ vectoriel , ce qui signifie qu’` a chaque point de l’espace ( x ; y ; z ) correspond un vecteur % ∇ f ( x ; y ; z ). 2. On appelle fonction (ou champ) vectorielle dans R 3 (muni du syst` eme de coor- donn´ ees cart´ esien Oxyz ) toute application F : R 3 → R 3 . Dans ce cas, F peut s’´ ecrire F ≡ % F = ( F x ; F y ; F z ). Par exemple, la vitesse %v ou l’acc´ el´ eration %a sont des fonction vectorielles car ce sont des applications qui ` a chaque point de l’es- pace font correspondre un vecteur, le vecteur vitesse ou le vecteur acc´ el´ eration respectivement. Nous verrons que les champs ´ electrique et magn´ etique sont aussi des fonctions vectorielles. On d´ efinit alors la divergence de % F , et on note div % F ou aussi % ∇· % F , par % ∇· % F = ∂F x ∂x + ∂F y ∂y + ∂F z ∂z ; % ∇· % F est un champ scalaire, ce qui signifie qu’`a chaque point de l’espace ( x ; y ; z ) correspond un scalaire % ∇· % F ( x ; y ; z ). 3. On d´ efinit ´ egalement le rotationnel de % F , et on note rot % F ou aussi % ∇× % F , par % ∇× % F =     ∂F z ∂y- ∂F y ∂z ∂F x ∂z- ∂F z ∂x ∂F y ∂x- ∂F x ∂y     ; % ∇× % F est un champ vectoriel....
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