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Unformatted text preview: 课后答案网 www.khdaw.com 精品课程——数字信号处理 ————第一章———— 时域离散信号与系统理论分析基础 本章 1.1 节“学习要点”和 1.2 节“例题”部分的内容对应教材第一、二章内容。 为了便于归纳总结,我们将《数字信号处理(第二版) 》教材中第一章和第二章的内容 合并在一起叙述, 这样使读者对时域离散线性时不变系统的描述与分析方法建立一个完整的 概念,以便在分析和解决问题时,能全面考虑各种有效的途径,选择最好的解决方案。 1.1 学习要点 1.1.1 时域离散信号——序列 时域离散信号(以下简称序列)是时域离散系统处理的对象,研究时域离散系统离不开 序列。例如,在时域离散线性时不变系统的时域描述中,系统的单位脉冲响应 h(n ) 就是系 统对单位脉冲响应 δ (n ) 的响应输出序列。掌握 δ (n ) 的时域和频域特征,对分析讨论系统的 时域特性描述函数 h(n ) 和频域特性描述函数 H e 1. 序列的概念 在数字信号处理中,一般用 x(n ) 表示时域离散信号(序列) x(n ) 可看作对模拟信号 。 要点 n 如图 1.1 所示。 n ≠ 当 在数字信号处理中, 序列 x(n ) 是一个离散函数, 为整数, 整数时, x(n ) 无定义,但不能理解为零。当 x(n ) = xa (nT ) 时,这一点容易理解。当 n = 整 数时, x(n ) = xa (nT ) ,为 xa (t ) 在 t = nT 时刻的采样值,非整数 T 时刻未采样,而并非为 零。 在学习连续信号的采样与恢复时会看到,x(n ) 经过低通滤波器后, 相邻的 nT ~ (n + 1)T 之间的 xa (t ) 的值就得到恢复。 ww 无定义(无确切的值) 。 2. 常用序列 n ④正弦序列 cos(ωn ) 、 sin (ωn ) ,⑤复指数序列 e jωn ,⑥周期序列。由于前三种序列非常简 单, 而后面三种与相应的模拟信号的特点大不相同, 所以下面仅对后三种序列的定义及特点 进行小结。 1)正弦序列和复指数序列 -1- w. n 因为当 n = 奇数时,y (n ) 例如,x(n ) 为一序列, y (n ) = x(n 2) , 为整数是不正确的, 取 常 用序列有六种:①单位脉冲序列 δ (n ) ,②矩形序列 RN (n ) ,③指数序列 a u (n ) , 课 xa (t ) 的采样,即 x(n ) = xa (nT ) ,也可以看作一组有序的数据集合。 kh da w. co m 案 网 ( )和 H (z ) 是必不可少的。 jω 后 答 课后答案网 www.khdaw.com 精品课程——数字信号处理 正弦序列指 cos(ωn ) 和 sin (ωn ) 。复指数序列指 e jωn = cos(ωn ) + j sin (ωn ) ,其实部和 虚部为正弦序列。 ω 为数字域频率,单位为弧度,表示两个相邻 n 之间正弦序列的相位、复指数序列的 如果将 x(n ) = cos(ωn ) 看作对连续正弦信 相角的变化量, 所以 ω 表示正弦序列的变化快慢。 号 xa (t ) = cos(Ωt ) 的等间隔采样,即 x(n ) = cos(ωn ) = xa (nT ) = cos(ΩnT ) 要点 正弦序列 cos(ωn ) 与模拟正弦信号 cos(Ωt ) 的唯一不同点为 n 只能取离散整数, ( ) ( ) ( 1 ) e jωn = e j ω + 2πm n , cos(ωn ) = cos((ω + 2πm )n ) , 但 是 , e jΩt ≠ e j Ω+ 2πm t , 字频域考虑问题时,取数字频率的主值区: [− π , π ] 或 [0,2π ] ,前者用于时域离散信号与系 统的傅里叶分析中,而后者适用于离散傅里叶变换(DFT) 。 ;当 ω = π 时, cos(ωn ) 变化最快。所 (2)当 ω = 0 时, cos(ωn ) 变化最慢(不变化) 以在序列的频谱分析和数字滤波器描述中,在主值区上,将 ω = 0 附近称为数字低频,而将 ω = π 附近称为数字高频。这一特点与模拟正弦信号 xa (t ) = cos(Ωt ) 截然不同, Ω 越大, cos(Ωt ) 变化越快,其原因是 t 连续取值,而 n 只取整数。 (3)由以上两点可以推知,数字滤波器(时域离散系统)的频率相应函数 H e w. 课 后 答 cos(Ωt ) ≠ cos((Ω + 2πm)t ) 。正弦序列和指数序列对 ω 变化呈以 2π 为周期,所以,在数 案 网 且无量纲,而 t 为连续时间变量,以秒为单位。由此不同点引起正弦序列随 ω 的变化规律 与连续正弦函数随 Ω 的变化规律有很大差别,这一点造成数字滤波器频域特性与模拟滤波 器的频域特性也有很大差别(见滤波器设计) 。 ww 以 2π 为周期。 2)周期序列 如果 x(n ) = x(n + mN ) ,m 和 N 为整数,N>0,则称 x(n ) 为周期序列,周期为 N,记为 x N (n ) 。 ~ 周期序列的定义只有一点与模拟周期函数定义不同,即周期序列的自变量 n 和周期 N 只能取整数。正是这一区别,使得某些模拟周期信号,离散化后就不一定是周期序列。 例如, e jΩ 0t kh da w. co m ( )必须 jω 则 ω = ΩT ,数字频率 ω 与模拟角频率 Ω 成线性关系, Ω 的单位为 rad/s,所以 ω 的单位 应为 rad(采样间隔 T 以秒为单位) ω 表示在一个采样间隔 T 上正弦波相位的变化量。 , 一定是周期函数,周期 T0 = 2π ,而 e jωn 是否是周期序列,取决于数字频 Ω0 -2- 课后答案网 www.khdaw.com 精品课程——数字信号处理 率的取值。为了说明这个问题,我们假设 e jωn 以 N 为周期,导出 e jωn 为周期序列的条件。 由以上假设及周期序列的定义可知, e jωn 应满足 e jωn = e jω (n+ kN ) ,k 和 N 为整数,N>0 所以必须满足 ωkN = 2πm ,m 为整数。 当 k=1 时, ωN = 2πm 。所以,只有当 N m = 2π ω 为有理数时,N 和 m 才是整数解, 期 N。 1.1.2 序列的傅里叶变换(FT) 1. 序列傅里叶变换定义 以下两式: ww -3- w. kh da w. co m 课 后 答 案 网 ,则分子就是周 e jωn 才是周期序列。此时只要将 2π ω 化为最简分数(分子分母化为整数) 课后答案网 www.khdaw.com 精品课程——数字信号处理 def ∞ ⎧ X e jω = FT[x(n )] = ∑ x(n )e − jωn ⎪ ⎪ n =−∞ ⎨ def ⎪ x(n ) = IFT X e jω = 1 π X e jω e jωn ⎪ 2π ∫−π ⎩ () [ ( )] () (1.1、1.2) 称为傅里叶变换对。 X e jω = FT[x(n )]存在的条件为 () 2. 周期序列的傅里叶变换 周期序列不满足(1.3)式,但为了将傅里叶变换分析法用于周期信号,引入奇异函数 δ (n ) ,可定义周期序列的傅里叶变换。 ~ 课 式为 后 其中, δ (n ) 为单位冲激函数, X N (k ) 称为 x N (n ) 的离散傅里叶级数(DFS)系数,计算公 ~ ~ 答 ⎤ 2π ⎡~ X e jω = FT ⎢ x N (n )⎥ = ⎦N ⎣ 案 网 设 x N (n ) 表示以 N 为周期的周期序列,则其傅里叶变换为 其中, ∑ N 表示在任意一个周期区间上求和。 X N (k ) 也是以 N 为周期。 ~ w. 由于 x N (n ) 不满足(1.3)式,因此按(1.1)式不能直接计算出 FT x N (n ) 。所以,对周期序列 ⎥ ⎢ ~ ww 进行傅里叶变换时,应先按式(1.5)求得 X N (k ) ,再套用(1.4)式得到 X e jω = FT x N (n ) 。 ⎥ ⎢ ~ 3. 序列的傅里叶变换具有唯一性和周期性(以 2π 为周期) 序列的傅里叶变换的唯一性和周期性可表示如下: X e jω ←→ x(n ), X e jω = X e jω 4. 傅里叶变换的基本性质 () 1−1 序列傅里叶变换的基本性质列于表 1.1 中。 表 1.1 序列傅里叶变换的基本性质 序 列 傅里叶变换 kh da w. co m () n = −∞ n = −∞ ∑ x(n ) < ∞ ∞ (1.3) 2π ⎞ ⎛ ∑ X (k )δ ⎜ ω − N k ⎟ ⎝ ⎠ ∞ ~ N (1.4) X N (k ) = ∑ x N (n )e ~ ~ N −j 2π kn N (1.5) ⎡~ ⎣ ⎤ ⎦ () ⎡~ ⎣ ⎤ ⎦ () () 4 课后答案网 www.khdaw.com 精品课程——数字信号处理 x(n ) ax(n ) + by (n ) x(n − n0 ) x* (n ) x(− n ) y (n ) Re[x(n )] j Im[x(n )] xe (n ) xo (n ) ∞ n = −∞ ∑ x(n ) n =0 k =0 1. Z 变换定义 Z 变换定义如下: 课 1.1.3 序列的 Z 变换(ZT) 后 ww 道 X ( z ) 的收敛域,则 c 不能确定, IZT [x(n )] 则无法计算。由此可看出 Z 变换的收敛域的 重要性。 2. w. Z 变换存在的条件为: def ∞ ⎧ (z ) = ZT [x(n )] = ∑ x(n )z − n ⎪X ⎪ n = −∞ ⎨ def ⎪ x(n ) = IZT [X (z )] = 1 X ( z )z n −1dz ⎪ 2πj ∫c ⎩ 答 ∑ N −1 ~ x N (n ) = 其中, c 是一条在 X ( z ) 的收敛域上,并包含原点的逆时针闭合围线。显然,如果不知 X ( z ) = IZT [x(n )] 存在的条件与 X (z ) 的收敛域 即 X ( z ) 存在的充分条件为 kh da w. co m jω e jω o jω jω x(n ) ∗ y (n ) x(n ) ⋅ y (n ) nx(n ) () Y (e ) aX (e ) + bY (e ), a, b为常数 e X (e ) X (e ) X (e ) X (e )⋅ Y (e ) 1 X (e )Y (e ( ) ) 2π ∫ j [dX (e ) dω ] X (e ) X (e ) Re[X (e )] j Im[X (e )] X e jω jω jω jω − jωn0 ∗ jω − jω − jω jω jω π jθ j ω −θ −π jω 2 = 1 2π π ω ∫ π X (e ) j − 2 1 N ∑ N −1 ~ X N (k ) 案 网 2 dω 2 (1.10、1.11) X (z ) = n = −∞ ∑ x(n)r ∞ − n − j ωn e ≤ n = −∞ ∑ x(n) r ∞ −n <∞ 5 课后答案网 www.khdaw.com 精品课程——数字信号处理 n = −∞ ∑ x(n ) r ∞ −n <∞ (1.12) X ( z ) = IZT [x(n )] 的收敛域定义为满足(1.12)式的 r 的取值域。换言之,使 X (z ) < ∞ 的 z 取值域称为 X (z ) 的收敛域。显然, X (z ) 的收敛域与 x(n ) 有关。 要点 对一个确定的 x(n ) ,其 Z 变换 X ( z ) 的表达式及其收敛域是一个整体,二者共同 3. 典型序列 Z 变换的收敛域 (1)双边序列的 Z 变换收敛域为一环域, (2)因果序列的 Z 变换收敛域为某圆外, 4. 逆 Z 变换的计算 将 F ( z ) 化为 z 的正次幂有理分式,设 z0 为 F ( z ) 的一个 m 阶级点,则 F ( z ) 可表示为 课 逆 Z 变换的计算方法有幂级数法(长除法) ,部分分式法和留数法。下面仅对较通用的 留数发进行介绍。 留数计算公式: w. 当 m=1 时 ww 由此可见,一阶级点的留数计算非常简单。而数字信号处理课程中,大多数情况下为一 阶级点。 5. Z 变换的主要性质与定理 为了便于查阅,将 Z 变换的主要性质与定理列在下表中,表中 序号 名 kh da w. co m X (z ) = n = −∞ 唯一确定 x(n ) 。 ∑ x(n )z ∞ ∞ −n , R− < z < R+ X (z ) = 案 网 n = −∞ ∑ x(n )z −n , R− < z ≤ ∞ 后 F (z ) = 答 (z − z0 )m ψ (z ) ,ψ ( z ) 在 z0 处无极点 Res[F ( z ), z0 ] = 1 d m −1ψ ( z ) (m − 1)! dz m −1 z = z0 (1.15) Res[F (z ), z0 ] = ψ ( z ) z = z 0 = F (z )( z − z0 ) z = z 0 (1.16) Y ( z ) = ZT [ y (n )], Ry − < z < Ry + 称 性质与定理内容 X ( z ) = ZT [x(n )], Rx − < z < Rx + 表 1.2 Z 变换的主要性质与定理 备 注 6 课后答案网 www.khdaw.com 精品课程——数字信号处理 1 线性 ZT [ax(n ) + by(n )] = aX (z ) + by( z ), R− < z < R+ R− = max Rx − , Ry − R+ x+ [ = min[R , Ry + ] 2 3 4 时域移位 乘指数序列 序列乘 n ZT [ X (n − n0 )] = z − n0 X ( z ), Rx − < z < Rx + ZT a* x(n ) = X a −1 z , a Rx − < z < a Rx + ZT [nx(n )] = − z x→∞ 对某些特殊序列, 收敛域 有变化 [ ( ) dX ( z ) , Rx − < z < Rx + dz 6 终值定理 7 时域卷积定理 6. 傅里叶变换与 Z 变换的关系 比较 X e 课 ( ) 与 X (z ) 的定义公式: jω 容易得到二者的关系为 w. n =−∞ (1) xa (t ) 的周期是 ww ˆ (2) xa (t ) = ∑ ∞ (3)x(n)的数字频率为 周期 N=5。 kh da w. co m x(n ) 为因果序列, n→∞ 5 初值定理 x(0 ) = lim X ( z ) x(n ) 为因果序列 lim x(n ) = lim( z − 1)X ( z ) x →1 X (z ) 的极点除一个可 以在单位圆上外, 其余全 位于单位圆内 ZT [x(n ) ∗ y(n )] = X ( z ) ⋅ Y ( z ), R− < z < R+ 案 网 R− 和 R+ 同 1 后 答 X (z ) = ZT [x(n )] = def n = −∞ ∑ x(n )z ∞ n = −∞ ∞ −n X e jω = FT [x(n )] = () def ∑ x(n )e − j ωn X e jω = X (z ) z = e jω () Ta = 1 = 0.05s f cos(2π fnT + ϕ )δ (t − nT ) = n =−∞ ∑ cos(40π nT + ϕ )δ (t nT ) 2π 5 = w2 ∞ w = 0.8π , 7 课后答案网 www.khdaw.com 精品课程——数字信号处理 x( n) = cos(0.8π n + ) ,画出其波形如题 12 解图所示。 2 这说明,序列 x(n ) 的傅里叶变换 X e π ( ) 是 x(n) 的 Z 变换在 z 平面单位圆上的取值。即 jω 傅里叶变换时 Z 变换的特例。 只有当 X ( z ) 的收敛域包含单位圆时,x(n ) 才存在傅里叶变换。 1.1.4 时域离散线形时不变系统的描述与分析 1. 系统模型 时域离散系统可以用图 1.2 表示 T[·]表示系统对输入信号的处理变换函数,这种变换函数可以是非线性时不变、线性 时变或非线性时变的。对于线性时不变系统,T[·]应满足以下约束条件: (1)T[·]具有线性特性,即满足齐次性和可加性,其数学描述如下: 如果 则 课 其中 a 和 b 为常数。 (2)T[·]具有时不变性 如果 后 答 M T [ax1 (n ) + bx2 (n )] = aT [x1 (n ) + bT [x2 (n )]] = ay1 (n ) + by2 (n ) 则 系统对输入信号的处理特性不随时间变化。 ww 入信号联系起来( y (n ) = h(n ) ∗ x(n ) ) ,所以可用 h(n ) 表示系统对输入信号的处理功能。 ② 差分方程: w. 2. 时域离散线性时不变系统的描述 时域离散线性时不变系统可以在时域或频域描述。 (1)时域描述: ① 单位脉冲响应序列: h(n ) = T [δ (n )] 表示系统对 δ (n ) 的响应输出,它可以将输出输 实质上, 系统特性完全由差分方程的系数决定。 由于讨论的是线性时不变系统, 所以 ak 和 bk 均为常数(不随 n 变化) 。 kh da w. co m T [x(n − n0 )] = y (n − n0 ) y(n ) = T [x(n )] 案 网 k =0 T [x1 (n )] = y1 (n ), T [x2 (n )] = y2 (n ) T [x(n )] = y (n ) y (n ) = ∑ bk x(n − k ) + ∑ ak y (n − k ) k =1 N 8 课后答案网 www.khdaw.com 精品课程——数字信号处理 (2)频域描述: ① 系统函数 H ( z ) = ZT [h(n )] = ② 频率响应函数 Y (z ) X (z ) (1.18) He () jω Y e jω = ZT [h(n )] = X e jω () () H (e jω ) 也可以由系统差分方程求得。 显然, X ( z ) 和 X e 中会看到,系统的一种实现网络结构直接由 ak 和 bk 确定。 (3)系统频率响应函数的特点 w. ① Xe ( ) 一般为复函数,所以常表示为 jω ww H e jω ——幅频特性函数,表示系统对输入序列 e jωn 的增益。 () θ (ω ) ——相频特性函数,表示系统对 e jωn 的相角的改变量。 如果 h(n ) 为实序列,则 H e jω = H e j (−ω ) ,即 H e jω 为偶函数; () θ (ω ) = −θ (− ω ) ,即 θ (ω ) 为奇函数。 ② He ( ) 以 2π 为周期。这一特点与模拟滤波器大相径庭,所以要特别注意。 jω kh da w. co m H (z ) = H ( z ) 和 H (e jω ) 在数字滤波器设计中有很重要的作用(见第五、六、七章) H ( z ) 和 。 ∑b z k =0 N k M −k 案 网 ⎛ ⎞ ⎜ 1 − ∑ ak z − k ⎟ ⎝ k =1 ⎠ (1.19) 答 H e jω = () ∑b e k =0 k M − jωk 课 ( ) 完全由系数 a jω 后 N ⎛ ⎞ ⎜1 − ∑ ak e − jωk ⎟ ⎝ k =1 ⎠ (1.20) k 和 bk 确定,而与输入和输出信号无关。在第五章 H e jω = H e jω e jθ (ω ) () () (1.21) ( ) () 9 课后答案网 www.khdaw.com 精品课程——数字信号处理 ③ 低通滤波器的通带以 ω = 2πk 为中心,高通滤波器则以 ω = (2k + 1)π 为通带中心。 物理解释为:ω = 2πk 附近,cos(ωn ) 变化很慢,可称为低频正弦序列,而 ω = (2k + 1)π 附 近, cos(ωn ) 变化很快,可称为高频正弦序列。 3. 时域离散线性时不变系统的输入输出关系 (1)时域: y (n ) = x(n ) ∗ h(n ) = 或 (2)频域: 4. 时域离散线性时不变系统的稳定性及因果性判断 (1)时域: 稳定条件: 课 应当特别注意, 以上对时域离散线性时不变系统的描述及 I/O 关系, 不能用于非线性和 时变系统,因为这些关系公式只有对线性时不变系统才能推导出。 (3)序列卷积的计算方法:此内容在教材做了较详细的介绍,这里不再重复。 脉冲响应 h(n ) 为因果序列,即当 n < 0 时, h(n ) = 0 。 因果稳定条件: ww w. 因果系统定义: 系统输出变化不会发生在输入变化之前。 该定义等价于因果系统的单位 (2)z 域: 稳定条件: H ( z ) = ZT [h(n )] 的收敛域包含单位圆。 因果稳定条件: H ( z ) 的所有极点全部在单位圆内。 实质上,时域条件和频域条件是完全统一的。在滤波器分析设计中,z 域因果稳定条件 用得较多。 kh da w. co m y (n ) = ∑ ak y (n − k ) + ∑ bk x(n − k ), ak , bk 为常数 k =1 k =0 N M m = −∞ ∑ x(m )h(n − m ) ∞ (1.22) 案 网 Y (z ) = X (z ) ⋅ H (z ) (1.23) (1.24) 后 ∞ n = −∞ ∑ h(n ) < ∞ , h(n) 为系统单位脉冲响应 ⎧h(n ) = 0, n < 0, ⎪∞ ⎨ ⎪ ∑ h(n ) < ∞, ⎩n = −∞ 答 Y (e jω ) = X (e jω ) ⋅ H (e jω ) 因果条件 稳定条件 10 课后答案网 www.khdaw.com 精品课程——数字信号处理 5. 系统函数 H (z ) 的极、零点与系统幅频特性函数 H (e jω ) 一般情况下, H ( z ) 可表示为有理分式形式 H (z ) = ∑b z k M −k ∑a z k =0 k k =0 N = Az −k N −M ∏ (z − c ) k M ∏ (z − d ) k k =1 k =1 N (1.25) 其中,ck 为 H ( z ) 的零点,d k 为 H ( z ) 的极点。当 N > M 时, H ( z ) 在原点有 ( N − M ) 例如,当 H ( z ) = 极点 d1 = 0.8e 所示。 j π 4 后 答 由图可见, H e jω 曲线截止特性不好,通带中心 ω = 0 处衰减较大。为了改善通带平 稳 性 , 再 加 一 个 极 点 d 3 = 0.5 , 为 了 使 截 止 特 性 变 陡 些 , 加 入 零 点 c3 = e j c4 = e −j π 2 = − j ,这时 H ( z ) 为 改进后的 H ( z ) 零、极点位置和 H e jω 曲线如图 1.3(c)和(d)所示。 综上所述,关于 H ( z ) 的零、极点对 H e jω 的贡献,可得出如下结论: (1)位于原点的零点和极点不影响 H e jω ,只影响 θ (ω ) 。因为位于原点的零点矢量 w. ww 的模恒为 1,不随 ω 变化。 (2) 单位圆附近的零点 ck = ck e j arg[c k ] 短,使 H e jω 的分子变小,即 H e jω 在 ω = arg[ck ] 频点形成波谷。而且, ck 越靠近单位 圆,波谷就越低,单位圆上的零点形成 H e jω 的零点。 (3) 同理, 单位圆附近的极点 d k = d k e j arg [d k ] () kh da w. co m 1 + z −1 时, H ( z ) 的零点 c1 = 0 , c2 = −1 , π π j −j ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜1 − 0.8e 4 z −1 ⎟⎜1 − 0.8e 4 z −1 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ −j 阶零点,当 N < M 时, H ( z ) 在原点有 (M − N ) 阶极点。 , 2 = 0.8e d π 4 。H ( z ) 的零点和极点位置如图 1.3(a)所示, 曲线如图 1.3(b) () 案 网 π 2 课 = j, H (z ) = (1 + z )(1 − jz )(1 + jz ) ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜1 − 0.8e z ⎟⎜1 − 0.8e z ⎟(1 − 0.5 z ) ⎜ ⎟⎜ ⎟ −1 −1 −1 j π 4 −1 −j π 4 −1 −1 ⎝ ⎠⎝ ⎠ () () () 对应的零点矢量的模 ck B 在 ω = arg[ck ] 时为最 () () 在 ω = arg[d k ] 频点形成 H e jω 的波峰, () 11 课后答案网 www.khdaw.com 精品课程——数字信号处理 且极点愈靠近单位圆,波峰越尖锐(选择性越好) 。但极点不能位于单位圆上,否则系统不 稳定。 1.1.5 模拟信号的采样与恢复 设 xa (t ) 是最高频率成分为 f c 的模拟信号,其理想采样信号用 x a (t ) 表示,则 ∧ x a (t ) = xa (t ) ⋅ 其中,T 为采样周期, f s = ∧ n = −∞ ∑ δ (t − nT ) = ∑ x (nT )δ (t − nT ) n = −∞ a ∞ ∞ 1 为采样频率, δ (t ) 为单位冲激函数。 T ∧ 上式表明, 理想采样信号的频谱函数为被采样模拟信号频谱函数的周期延拓函数, 延拓 周期为 Ω s = 答 所示。这时,可用低通滤波器由 x a (t ) 无失真恢复 xa (t ) ;当 Ω s < 2Ω c 时,产生频率混叠失 ∧ 后 真,如图 1.4(c)所示这时,不能由 x a (t ) 恢复 xa (t ) 。 案 网 2π 。当 Ω s ≥ 2Ωc (或 f s ≥ 2 f c )时,周期延拓无频率混叠失真,如图 1.4(b) T 课 当 f s = 2 f c 时, 称为奈圭斯特采样频率, 由图 1.4(c)可以看出, 频谱 X a ( jΩ ) 中,Ω < 处的混叠值相当于将 X a ( jΩ ) 中 Ω 超过 叠频率。 综上所述,可得出著名的时域采样定理: w. 设模拟信号的最高频率成分为 Ω c ,即 ww 则只有当采样频率 Ω s ≥ 2Ωc 时,经过采样后才不丢失 xa (t ) 的信息。这时,可使理想采 ∧ 样信号 x a (t ) 通过图 1.5 所示理想低通滤波器 G ( jΩ ) ,无失真恢复出 xa (t ) 。 图 理想采样信号 x a (t ) 与采样序列 xa (nT ) 的频谱关系 ∧ ⎡∧ ⎤ X a ( jΩ ) = FT ⎢ x a (t )⎥ ⎣ ⎦ 1.1.6 kh da w. co m ∧ ⎛⎛ 2π ⎞ ⎞ ⎡∧ ⎤ 1 ∞ X a ( jΩ ) = FT ⎢ x a (t )⎥ = ∑ X a ⎜ j ⎜ Ω − k ⎟⎟ ⎜ T ⎠⎟ ⎣ ⎦ T n = −∞ ⎝ ⎝ ⎠ 如果 X a ( jΩ ) = FT [xa (t )] ,如图 1.4(a)所示,则理想采样信号 x a (t ) 的频谱函数为 (1.22(a)) ∧ ∧ π T π T 的部分折叠回来的值,所以,将 Ωs π = 称为折 2T X a ( jΩ ) = FT [xa (t )] = 0, Ω > Ωc ∧ 12 课后答案网 www.khdaw.com 精品课程——数字信号处理 ∞∧ = ∫ x a (t )e − jΩt dt −∞ ∞ =∫ = = −∞ ∞ n = −∞ ∑ x (nT )δ (t − nT )e a − jΩnT ∞ a −∞ ∞ − jΩt dt n = −∞ ∞ ∑ x (nT )e ∑ x (nT )e a ∫ δ (t − nT )dt = FT [xa (nT )] ω = ΩT − jΩnT n = −∞ = X e jω ∧ () w = ΩT = X e jΩT ( ) jω 由上式可见, X a ( jΩ ) 与 X e 采样,来讨论 X a ( jΩ ) 的特性。 ∧ + 0.5δ ( n − 4) + 2δ ( n − 6) ⎧2n + 5, −4 ≤ n ≤ −1 ⎪ 2. 给定信号: x(n) = ⎨6, 0 ≤ n ≤ 4 ⎪0, 其它 ⎩ (2)试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示 x ( n) 序列; ww (3)令 x1 (n) = 2 x(n − 2) ,试画出 x1 (n) 波形; (4)令 x2 (n) = 2 x(n + 2) ,试画出 x2 (n) 波形; (5)令 x3 (n) = 2 x(2 − n) ,试画出 x3 ( n) 波形。 解: (1)x(n)的波形如题 2 解图(一)所示。 (2) w. (1)画出 x ( n) 序列的波形,标上各序列的值; x (n) = −3δ (n + 4) − δ (n + 3) + δ ( n + 2) + 3δ ( n + 1) + 6δ ( n) + 6δ ( n − 1) + 6δ ( n − 2) + 6δ ( n − 3) + 6δ ( n − 4) 13 课 x(n) = δ (n + 4) + 2δ (n + 2) − δ ( n + 1) + 2δ ( n) + δ ( n − 1) + 2δ (n − 2) + 4δ ( n − 3) 后 解: 答 1. 用单位脉冲序列 δ ( n) 及其加权和表示题 1 图所示的序列。 kh da w. co m jω jω ( ) 之间仅有的差别是尺度变换 ω = ΩT 。第三章所讲的 所以可在计算机上用 DFT 计算 X (e ) 的 离散傅里叶变换 (DFT) 可以计算 X (e ) 的采样值。 1.2 案 网 教材第一章习题解答 课后答案网 www.khdaw.com 精品课程——数字信号处理 (3) x1 (n) 的波形是 x(n)的波形右移 2 位,在乘以 2,画出图形如题 2 解图(二)所示。 (4) x2 (n) 的波形是 x(n)的波形左移 2 位,在乘以 2,画出图形如题 2 解图(三)所示。 (5)画 x3 ( n) 时,先画 x(-n)的波形,然后再右移 2 位, x3 ( n) 波形如题 2 解图(四)所 示。 3. 判断下面的序列是否是周期的,若是周期的,确定其周期。 (1) x ( n) = A cos( π n − (2) x(n) = e 解: (1) w = 1 j ( n −π ) 8 3 7 π 8 ) ,A 是常数; 5. 设系统分别用下面的差分方程描述,x ( n) 与 y ( n) 分别表示系统输入和输出, 判断系统是 (5) y (n) = x (n) ; 2 (7) y ( n) = 解: m=0 ∑ x ( m) 。 n (1)令:输入为 x(n − n0 ) ,输出为 ww y ' (n) = x(n − n0 ) + 2 x(n − n0 − 1) + 3 x(n − n0 − 2) y (n − n0 ) = x(n − n0 ) + 2 x(n − n0 − 1) + 3 x(n − n0 − 2) = y ' (n) y (n) = T [ax1 (n) + bx2 (n)] = ax1 (n) + bx2 (n) + 2(ax1 (n − 1) + bx2 (n − 1)) + 3(ax1 (n − 2) + bx2 (n − 2)) T [ax1 (n)] = ax1 (n) + 2ax1 (n − 1) + 3ax1 (n − 2) T [bx2 (n)] = bx2 (n) + 2bx2 (n − 1) + 3bx2 ( n − 2) T [ax1 (n) + bx2 (n)] = aT [ x1 (n)] + bT [ x2 (n)] 14 故该系统是时不变系统。 w. 课 (3) y (n) = x(n − n0 ) , n0 为整常数; 后 (1) y ( n) = x ( n) + 2 x ( n − 1) + 3 x ( n − 2) ; 答 否是线性非时变的。 案 网 3 2π 14 π, = ,这是有理数,因此是周期序列,周期是 T=14; 7 3 w 1 2π (2) w = , = 16π ,这是无理数,因此是非周期序列。 8w kh da w. co m 。 课后答案网 www.khdaw.com 精品课程——数字信号处理 故该系统是线性系统。 (3)这是一个延时器,延时器是一个线性时不变系统,下面予以证明。 令输入为 x( n − n1 ) ,输出为 y ' ( n ) = x ( n − n1 − n0 ) ,因为 y ( n − n1 ) = x ( n − n1 − n0 ) = y ' ( n) 故延时器是一个时不变系统。又因为 T [ax1 (n) + bx2 (n)] = ax1 (n − n0 ) + bx2 (n − n0 ) = aT [ x1 (n)] + bT [ x2 (n)] 故延时器是线性系统。 (5) 令:输入为 x(n − n0 ) ,输出为 y ' ( n ) = x 2 ( n − n0 ) ,因为 故系统是时不变系统。又因为 因此系统是非线性系统。 (7) 令:输入为 x(n − n0 ) ,输出为 y ' (n) = w. 1 N N −1 k =0 故该系统是时变系统。又因为 ww (1) y (n) = (3) y ( n) = T [ax1 (n) + bx2 (n)] = ∑ (ax1 (m) + bx2 (m)) = aT [ x1 (n)] + bT [ x2 (n)] m=0 故系统是线性系统。 6. 给定下述系统的差分方程,试判断系统是否是因果稳定系统,并说明理由。 n + n0 k = n − n0 ∑ (5) y (n) = e x(n) kh da w. co m y ( n) = x 2 ( n ) y ( n − n0 ) = x 2 (n − n0 ) = y ' ( n) T [ax1 (n) + bx2 (n)] = (ax1 (n) + bx2 (n)) 2 答 n 后 课 案 网 n m=0 n m=0 ≠ aT [ x1 (n)] + bT [ x2 (n)] 2 = ax12 (n) + bx2 (n) y ( n ) = ∑ x ( m) ∑ x(m − n ) ,因为 0 y (n − n0 ) = n − n0 m=0 ∑ x ( m) ≠ y ( n) ' ∑ x( n − k ) ; x(k ) ; 。 15 课后答案网 www.khdaw.com 精品课程——数字信号处理 解: (1)只要 N ≥ 1 ,该系统就是因果系统,因为输出只与 n 时刻的和 n 时刻以前的输入有关。 如果 x(n) ≤ M ,则 y (n) ≤ M ,因此系统是稳定系统。 (3)如果 x(n) ≤ M , y ( n) ≤ n + n0 k = n − n0 ∑ x( k ) ≤ 2n0 + 1 M ,因此系统是稳定的。系统是非因 果的,因为输出还和 x(n)的将来值有关. ( 5 )系统是因果系统,因为系统的输出不取决于 x(n) 的未来值。如果 x(n) ≤ M ,则 y ( n) = e x ( n ) ≤ e 7. 设线性时不变系统的单位脉冲响应 h( n) 和输入序列 x ( n) 如题 7 图所示, 要求画出输出输 出 y ( n) 的波形。 解: 解法(1):采用图解法 课 图解法的过程如题 7 解图所示。 解法(2):采用解析法。按照题 7 图写出 x(n)和 h(n)的表达式: 因为 所以 ww y ( n) 。 将 x(n)的表达式代入上式,得到 分别求出输出 8. 设线性时不变系统的单位取样响应 h( n) 和输入 x ( n) 分别有以下三种情况, (1) h(n) = R4 (n), x(n) = R5 (n) ; 16 w. y ( n) = −2δ ( n + 2) − δ ( n + 1) − 0.5δ ( n) + 2δ ( n − 1) + δ (n − 2) + 4.5δ (n − 3) + 2δ (n − 4) + δ ( n − 5) kh da w. co m x(n) ≤ e M ,因此系统是稳定的。 案 网 答 y (n) = x( n) ∗ h( n) = ∑ x( m)h( n − m) m=0 ∞ 后 x(n) = −δ (n + 2) + δ (n − 1) + 2δ (n − 3) 1 h(n) = 2δ (n) + δ (n − 1) + δ (n − 2) 2 x ( n) * δ ( n) = x ( n) x(n) * Aδ (n − k ) = Ax( n − k ) 1 y (n) = x(n) *[2δ ( n) + δ ( n − 1) + δ ( n − 2)] 2 1 = 2 x(n) + x(n − 1) + x(n − 2) 2 课后答案网 www.khdaw.com 精品课程——数字信号处理 (2) h(n) = 2 R4 (n), x(n) = δ (n) − δ (n − 2) ; (3) h ( n) = 0.5n u ( n ), xn = R5 ( n ) 。 解: (1) y ( n) = x ( n) * h( n) = m =−∞ ∑ R ( m) R ( n − m) 4 5 ∞ 先确定求和域,由 R4 (m) 和 R5 (n − m) 确定对于 m 的非零区间如下: 根据非零区间,将 n 分成四种情况求解: n < 0, y ( n ) = 0 m=0 m=n−4 ④ 7 < n, y ( n ) = 0 最后结果为 课 后 答 ③ 4 ≤ n ≤ 7, y (n) = ∑ 1= 8−n 3 案 网 n−m ② 0 ≤ n ≤ 3, y ( n) = ww y(n)的波形如题 8 解图(二)所示. (3) w. = ∞ m =−∞ 5 y(n)的波形如题 8 解图(一)所示。 (2) y ( n) = x ( n) * h( n) y(n)对于 m 的非零区间为 0 ≤ m ≤ 4, m ≤ n 。 ① n < 0, y ( n ) = 0 kh da w. co m 0 ≤ m ≤ 3, n − 4 ≤ m ≤ n ∑1 = n + 1 n ⎧0, ⎪ y (n) = ⎨ n + 1, ⎪8 − n, ⎩ n < 0, n > 7 0≤n≤3 4≤n≤7 y (n) = 2 R4 (n) *[δ (n) − δ (n − 2)] = 2 R4 (n) − 2 R4 (n − 2) = 2[δ (n) + δ (n − 1) − δ (n − 4) − δ (n − 5)] ∑ R (m)0.5 u (n − m) = 0.5n m =−∞ ∑ R (m)0.5 5 ∞ −m u ( n − m) 17 课后答案网 www.khdaw.com 精品课程——数字信号处理 ② 0 ≤ n ≤ 4, y (n) = 0.5 n m=0 4 ∑ 0.5− m = n 1 − 0.5− n −1 0.5n = −(1 − 0.5− n −1 )0.5n = 2 − 0.5n −1 1 − 0.5 ③ 5 ≤ n, y (n) = 0.5 n m =0 ∑ 0.5− m = 1 − 0.5−5 0.5n = 31× 0.5n 1 − 0.5−1 最后写成统一表达式: y (n) = (2 − 0.5n ) R5 (n) + 31× 0.5n u ( n − 5) 11. 设系统由下面差分方程描述: y ( n) = 设系统是因果的,利用递推法求系统的单位取样响应。 解: 令: x ( n) = δ ( n) 归纳起来,结果为 w. 12. 有一连续信号 xa (t ) = cos(2π ft + ϕ ), 式中, f = 20 Hz , ϕ = ww (1)求出 xa (t ) 的周期。 % (2)用采样间隔 T = 0.02s 对 xa (t ) 进行采样,试写出采样信号 xa (t ) 的表达式。 % (3)画出对应 xa (t ) 的时域离散信号(序列) x ( n) 的波形,并求出 x ( n) 的周期。 kh da w. co m h( n) = 1 1 y (n − 1) + x(n) + x(n − 1) ; 2 2 1 1 h(−1) + δ (0) + δ (−1) = 1 2 2 1 1 n = 1, h(1) = h(0) + δ (1) + δ (0) = 1 2 2 1 1 n = 2, h(2) = h(1) = 2 2 1 1 n = 3, h(3) = h(2) = ( ) 2 2 2 课 后 答 n = 0, h(0) = 1 h(n) = ( ) n −1 u (n − 1) + δ (n) 2 案 网 18 1 1 h(n − 1) + δ (n) + δ (n − 1) 2 2 π 2 课后答案网 www.khdaw.com ————第二章———— 教材第二章习题解答 1. 设 X (e ) 和 Y (e ) 分别是 x ( n) 和 y ( n) 的傅里叶变换,试求下面序列的傅里叶变换: (1) x(n − n0 ) ; (2) x ( − n) ; (3) x ( n) y ( n) ; (4) x (2n) 。 解: jw jw (1) FT [ x ( n − n0 )] = 答 − jwn − jwn 令 n ' = n − n0 , n = n ' + n0 ,则 (2) FT [ x ( n)] = * (3) FT [ x( − n)] = 令 n ' = − n ,则 w. ww (4) 证明: 令 k=n-m,则 kh da w. co m n =−∞ ∑ x ( n − n )e 0 后 案 网 − jwn n =−∞ ∞ FT [ x ( n − n0 )] = ∞ ∑ x ( n )e ' ∞ − jw ( n ' + n0 ) = e − jwn0 X (e jw ) 课 n =−∞ ∞ ∑ x ( n)e * = [ ∑ x(n)e jwn ]* = X * (e− jw ) n =−∞ ∞ n =−∞ ∑ x ( − n )e FT [ x(− n)] = n' =−∞ ∑ x ( n )e ' ∞ jwn' = X (e− jw ) FT [ x(n) * y (n)] = X (e jw )Y (e jw ) x ( n) * y ( n) = m =−∞ ∞ ∑ x ( m ) y ( n − m) ∞ ∞ FT [ x( n) * y ( n)] = n =−∞ m =−∞ ∑ [ ∑ x(m) y(n − m)]e− jwn 课后答案网 www.khdaw.com FT [ x(n) * y (n)] = = k =−∞ m =−∞ ∑ [ ∑ x(m) y(k )]e− jwk e− jwn ∞ ∞ ∞ k =−∞ jw jw ∑ y (k )e − jwk m =−∞ ∑ x ( m )e ∞ − jwn = X (e )Y (e ) 2. 已知 X (e ) = ⎨ jw jw ⎧1, w < w0 ⎪ ⎪0, w0 < w ≤ π ⎩ 解: 3. 线性时不变系统的频率响应(传输函数) H (e jw ) = H (e jw ) e jθ ( w ) , 如果单位脉冲响应 h( n) 为实序列,试证明输入 x( n) = A cos( w0 n + ϕ ) 的稳态响应为 后 假设输入信号 x( n) = e jw0 n ,系统单位脉冲相应为 h(n),系统输出为 答 解: y (n) = h(n) * x(n) = 上式说明,当输入信号为复指数序列时,输出序列仍是复指数序列,且频率相同,但幅度和 相位决定于网络传输函数,利用该性质解此题。 x(n) = A cos( w0 n + ϕ ) = ww 上式中 H (e jw ) 是 w 的偶函数,相位函数是 w 的奇函, 4. 设 x ( n ) = ⎨ w. y ( n) = ⎧1, n = 0,1 % 将 x ( n) 以 4 为周期进行周期延拓, 形成周期序列 x(n) , 画出 x ( n) 和 0, 其它 ⎩ kh da w. co m x ( n) = 1 2π 求 X (e ) 的傅里叶反变换 x ( n) 。 ∫ w0 − w0 e jwn dw = sin w0 n πn y ( n) = A H (e jw ) cos[ w0 n + ϕ + θ ( w0 )] 。 案 网 课 m = −∞ ∑ ∞ h ( m ) e jw 0 ( n − m ) = e jw 0 n m = −∞ ∑ ∞ h ( m ) e − jw 0 m = H ( e jw 0 ) e jw 0 n 1 A[e jw0n e jϕ + e− jw0 n e − jϕ ] 2 1 A[e jϕ e jw0n H (e jw0 ) + e − jϕ e− jw0n H (e− jw0 )] 2 1 = A[e jϕ e jw0 n H (e jw0 ) e jϕ ( w0 ) + e− jϕ e− jw0 n H (e− jw0 ) e jθ ( − w0 ) ] 2 H (e jw ) = H (e− jw ) ,θ ( w) = −θ (− w) y (n) = 1 A H (e jw0 ) [e jϕ e jw0 n e jθ ( w0 ) + e − jϕ e − jw0 n e− jθ ( w0 ) ] 2 = A H (e jw0 ) cos( w0 n + ϕ + θ ( w0 )) 课后答案网 www.khdaw.com % % x(n) 的波形,求出 x(n) 的离散傅里叶级数 X ( k ) 和傅里叶变换。 解: % 画出 x(n)和 x ( n) 的波形如题 4 解图所示。 −j % % % X (k ) = DFS [ x(n)] = ∑ x(n)e n=0 −j k 4 3 2π kn 4 = ∑e n=0 1 − j kn 2 π = 1+ e −j k 2 π =e π (e jk 4 π +e −j k 4 π ) = 2 cos( k ) • e 4 π −j k 4 π , % X ( k ) 以 4 为周期,或者 % X (k ) = ∑ e n=0 1 % X ( k ) 以 4 为周期 5. 设如图所示的序列 x ( n) 的 FT 用 X (e ) 表示,不直接求出 X (e ) ,完成下列运算: (1) X (e ) ; π j0 (2) ww (5) 解: (1) X (e j 0 ) = π (2) w. − ∫π X (e ∫π jw )dw ; π X (e jw ) dw − − ∫π X (e ∫π jw ) dw = x(0) • 2π = 4π 7 π (5) − X (e jw ) dw = 2π ∑ x( n) = 28π 2 2 n =−3 kh da w. co m − j kn 2 π = 1 − e− jπ k π 1− e −j k 2 = e 1 − j πk 2 (e 1 j πk 2 −e 1 − j πk 2 ) e 1 − j πk 4 (e 1 j πk 4 −e 1 − j πk 4 =e 1 − j πk 4 ) 1 sin π k 2 , 1 sin π k 4 案 网 2π 4 ∞ ∞ 答 % X (e jw ) = FT [ x(n)] = k =−∞ % ∑ X (k )δ (w − ∞ 2π k) 4 后 = π 2 k =−∞ % ∑ X (k )δ (w − 2 k ) π 课 =π ∑ cos( 4 k )e k =−∞ jw π −j k 4 π δ (w − π 2 k) jw 2 n =−3 ∑ x( n) = 6 7 课后答案网 www.khdaw.com 6. 试求如下序列的傅里叶变换: (2) x2 (n) = 1 1 δ (n + 1) + δ (n) + δ (n − 1) ; 2 2 (3) x3 ( n) = a n u ( n), 0 < a < 1 解: (2) X 2 (e jw ) = n =−∞ ∑ x ( n)e 2 ∞ − jwn 1 1 = e jw + 1 + e− jw 2 2 (3) 7. 设: (1) x ( n) 是实偶函数, (2) x ( n) 是实奇函数,分别分析推导以上两种假设下, x ( n) 的傅里叶变换性质。 解: 令 X (e jw ) = n =−∞ 课 ∑ x ( n)e ∞ (1)x(n)是实、偶函数, X (e jw ) = 两边取共轭,得到 w. jw * − jw 因此 X (e ) = X (e ww 因此 X (e jw ) = 上式说明 x(n)是实序列, X (e ) 具有共轭对称性质。 由于 x(n)是偶函数,x(n)sinwn 是奇函数,那么 n =−∞ ∑ x(n) cos wn kh da w. co m X 3 (e jw ) = n =−∞ 1 = 1 + (e jw + e − jw ) = 1 + cos w 2 ∑ ∞ a n u (n)e − jwn = ∑ a n e − jwn = n =0 ∞ 1 1 − ae − jw 后 − jwn 答 ∑ ∞ 案 网 n =−∞ ∑ x ( n)e ∞ − jwn X * (e jw ) = x( n)e jwn = n =−∞ n =−∞ ∑ x ( n)e ∞ − j ( − w) n = X (e − jw ) ) jw X (e jw ) = n =−∞ ∑ x ( n )e ∞ ∞ − jwn = n =−∞ ∑ x(n)[cos wn + j sin wn] ∞ n =−∞ ∞ ∑ x(n) sin wn = 0 课后答案网 www.khdaw.com 该式说明 X (e ) 是实函数,且是 w 的偶函数。 总结以上 x(n)是实、偶函数时,对应的傅里叶变换 X (e ) 是实、偶函数。 (2)x(n)是实、奇函数。 上面已推出,由于 x(n)是实序列, X (e ) 具有共轭对称性质,即 jw jw jw X (e jw ) = X * (e− jw ) X (e jw ) = 由于 x(n)是奇函数,上式中 x ( n) cos wn 是奇函数,那么 ∞ n =−∞ 后 10. 若序列 h( n) 是实因果序列,其傅里叶变换的实部如下式: H R (e jw ) = 1 + cos w 求序列 h( n) 及其傅里叶变换 H (e ) 。 解: ∞ 1 1 H R (e jw ) = 1 + cos w = 1 + e jw + e − jw = FT [he (n)] = ∑ he (n)e− jwn 2 2 n =−∞ ww ⎧1 ⎪ 2 , n = −1 ⎪ he (n) = ⎨ 1, n = 0 ⎪1 ⎪ ,n =1 ⎩2 ⎧ 0, n < 0 ⎫ ⎧ 1, n = 0 ⎪ ⎪⎪ h(n) = ⎨ he (n), n = 0 ⎬ = ⎨ 1, n = 1 ⎪2h (n), n > 0 ⎪ ⎪0, 其它n ⎩e ⎭⎩ H (e jw ) = n =−∞ w. ∞ 课 答 这说明 X (e ) 是纯虚数,且是 w 的奇函数。 jw jw 案 网 = 1+ e n − jw 因此 X (e jw ) = j 12. 设系统的单位取样响应 h(n) = a u ( n), 0 < a < 1 ,输入序列为 x ( n) = δ ( n ) + 2δ ( n − 2) , 完成下面各题: (1)求出系统输出序列 y ( n) ; kh da w. co m n =−∞ n =−∞ n =−∞ ∑ ∞ x( n)e − jwn = ∑ x(n)[cos wn + j sin wn] ∞ ∞ ∑ x(n) cos wn = 0 ∑ x(n) sin wn ∑ h( n)e − jwn = 2e − jw / 2 cos w 2 课后答案网 www.khdaw.com (2)分别求出 x ( n) 、 h( n) 和 y ( n) 的傅里叶变换。 解: (1) y (n) = h(n)* x(n) = a nu (n) *[δ (n) + 2δ (n − 2)] = a nu (n) + 2a n − 2u (n − 2) (2) ∞ X (e ) = jw n =−∞ ∑ [δ (n) + 2δ (n − 2)]e ∑ ∞ ∞ n=0 − jwn = 1 + 2e − j 2 w 1 1 − ae − jw % 样,得到采样信号 x a (t ) 和时域离散信号 x ( n) ,试完成下面各题: (1)写出 xa (t ) 的傅里叶变换表示式 X a ( jΩ) ; % (2)写出 x a (t ) 和 x ( n) 的表达式; % (3)分别求出 x a (t ) 的傅里叶变换和 x ( n) 序列的傅里叶变换。 解: (1) 课 后 答 ∞ −∞ ∞ −∞ a 案 网 13. 已知 xa (t ) = 2 cos(2π f 0t ) ,式中 f 0 = 100 Hz ,以采样频率 f s = 400 Hz 对 xa (t ) 进行采 w. ˆ xa (t ) = ∞ n =−∞ 上式中指数函数的傅里叶变换不存在,引入奇异函数 δ 函数,它的傅里叶变换可以 表示成: ww (2) (3) kh da w. co m H (e jw ) = n =−∞ a nu (n)e − jwn = ∑ a n e − jwn = 1 + 2e − j 2 w 1 − ae − jw Y (e jw ) = H (e jw ) X (e jw ) = X a ( jΩ) = ∫ xa (t )e − jΩt dt = ∫ 2 cos(Ω 0t )e − jΩt dt −∞ ∞ = ∫ (e jΩ0t +e − jΩ0t )e − jΩt dt X a ( jΩ) = 2π [δ (Ω − Ω 0 ) + δ (Ω + Ω0 )]) ∑ x (t )δ (t − nT ) = ∑ 2 cos(Ω nT )δ (t − nT ) n =−∞ 0 ∞ x(n) = 2 cos(Ω0 nT ), −∞ < n < ∞ 1 = 2.5ms fs Ω 0 = 2π f 0 = 200π rad , T = 课后答案网 www.khdaw.com 1∞ ˆ X a ( jΩ) = ∑ X a ( jΩ − jk Ω s ) T k =−∞ 2π ∞ = ∑ [δ (Ω − Ω0 − k Ω s ) + δ (Ω + Ω0 − k Ω s )] T k =−∞ 式中 Ω s = 2π f s = 800π rad / s X (e jw ) = = n =−∞ ∑ ∞ ∞ x(n)e − jwn = jw0 n n =−∞ ∑ ∞ 2 cos(Ω0 nT )e − jwn = ∞ n =−∞ ∑ 2 cos(w n)e 0 0 ∞ − jwn n =−∞ 式中 w0 = Ω 0T = 0.5π rad (2) −2 u (− n − 1) ; (3) 2 u (− n) ; −n −n −n (6) 2 [u (n) − u ( n − 10)] 解: (2) (3) 课 后 答 ZT [2− n u (n)] = n =−∞ ∑2 ∞ 案 网 上式推导过程中,指数序列的傅里叶变换仍然不存在,只有引入奇异函数函数,才能写出它 的傅里叶变换表达式。 14. 求以下序列的 Z 变换及收敛域: w. ZT [−2− n u (−n − 1)] = ww (6) 16. 已知: 求出对应 X ( z ) 的各种可能的序列的表达式。 kh da w. co m k =−∞ −n ∑ [e + e − jw0 n ]e− jwn = 2π ∑ [δ (w − w − 2kπ ) + δ ( w + w0 − 2kπ )] u ( n) z − n = ∑ 2− n z − n = n =0 ∞ 1 1 ,z> −1 − 1 1− 2 z 2 n =−∞ ∑ ∞ −2− n u (− n − 1) z − n = n =−1 ∑ − 2 − n z − n = ∑ −2 n z n n =1 ∞ ∞ = −2 z 1 1 = ,z< −1 −1 1− 2z 1− 2 z 2 9 ZT [2− n u (n) − u (n − 10)] = ∑ 2− n z − n n =0 = 1 − 2−10 z −10 ,0 < z ≤ ∞ 1 − 2−1 z −1 X ( z) = 3 2 + −1 1 1 − z −1 1 − 2 z 2 课后答案网 www.khdaw.com 解: 有两个极点,因为收敛域总是以极点为界,因此收敛域有以下三种情况: 三种收敛域对应三种不同的原序列。 (1)当收敛域 z < 0.5 时, x ( n) = 2π j ∫ 1 c X ( Z )z n −1dz 令 F ( z) = X ( z) z n −1 = n ≥ 0 ,因为 c 内无极点,x(n)=0; n ≤ −1 , C 内有极点 0 ,但 z=0 是一个 n 阶极点,改为求圆外极点留数,圆外极点有 z1 = 0.5, z2 = 2 ,那么 (2)当收敛域 0.5 < z < 2 时, 课 后 答 (5 z − 7) z n (5 z − 7) z n = ( z − 0.5) z =0.5 − ( z − 2) ( z − 0.5)( z − 2) ( z − 0.5)( z − 2) 1 = −[3 ( ) n + 2 2n ]u (− n − 1) 2 案 网 x(n) = − Re s[ F ( z ), 0.5] − Re s[ F ( z ), 2] n ≥ 0 ,C 内有极点 0.5; ww 最后得到 x( n) = 3 ( ) n u ( n) − 2 2n u ( − n − 1) (3)当收敛域 2 < z 时, w. 1 2 n < 0 ,C 内有极点 0.5,0,但 0 是一个 n 阶极点,改成求 c 外极点留数,c 外极点只有一 个,即 2, x(n) = − Re s[ F ( z ), 2] = −2 2n u (−n − 1) n ≥ 0 ,C 内有极点 0.5,2; 1 x(n) = Re s[ F ( z ), 0.5] + Re s[ F ( z ), 2] = 3 ( ) n + 2 2n 2 n<0,由收敛域判断,这是一个因果序列,因此 x(n)=0。 kh da w. co m z =2 5 − 7 z −1 5z − 7 z n −1 = zn −1 −1 (1 − 0.5 z )(1 − 2 z ) ( z − 0.5)( z − 2) F ( z) = (5 z − 7) z n ( z − 0.5)( z − 2) 1 x(n) = Re s[ F ( z ), 0.5] = 3 ( ) n 2 (5 z − 7) z n F ( z) = ( z − 0.5)( z − 2) 课后答案网 www.khdaw.com 或者这样分析,C 内有极点 0.5,2,0,但 0 是一个 n 阶极点,改成求 c 外极点留数,c 外无 极点,所以 x(n)=0。 最后得到 1 x(n) = [3 ( ) n + 2 2n ]u (n) 2 17. 已知 x(n) = a u ( n), 0 < a < 1 ,分别求: n (1) x ( n) 的 Z 变换; (2) nx ( n) 的 Z 变换; (3) a u ( − n) 的 z 变换。 解: −n (1) X ( z ) = ZT [ a n u ( n)] = 后 n=0 (3) ZT [ a − n u ( − n)] = ∑ a−n z −n = ∑ an z n = n=0 −∞ 答 d az −1 X ( z) = , z >a (2) ZT [nx(n)] = − z dz (1 − az −1 )2 ∞ 18. 已知 X ( z ) = (1)收敛域 0.5 < z < 2 对应的原序列 x ( n) ; 解: w. (2)收敛域 z > 2 对应的原序列 x ( n) 。 ww (1)当收敛域 0.5 < z < 2 时, n ≥ 0 , c 内有极点 0.5, c 内有极点 0.5,0,但 0 是一个 n 阶极点,改求 c 外极点留数,c 外极点只有 2, kh da w. co m −3 z −1 ,分别求: 2 − 5 z −1 + 2 z −2 课 x ( n) = F ( z ) = X ( z ) z n −1 = x(n) = Re s[ F ( z ), 0.5] = 0.5n = 2− n , n < 0, x(n) = − Re s[ F ( z ), 2] = 2n , 案 网 1 2π j n =−∞ ∑ a u ( n) z n ∞ −n = 1 , z >a 1 − az −1 1 , z < a −1 1 − az ∫ c X ( z ) z n −1dz −3 z −1 −3 • z n z n −1 = 2 − 5 z −1 + 2 z −2 2( z − 0.5)( z − 2) 课后答案网 www.khdaw.com 最后得到 x( n) = 2− n u ( n) + 2n u ( − n − 1) = 2 (2(当收敛域 z > 2 时, −n n ≥ 0, c 内有极点 0.5,2, x( n) = Re s[ F ( z ), 0.5] + Re s[ F ( z ), 2] = 0.5n − 2n n < 0, c 内有极点 0.5,2,0,但极点 0 是一个 n 阶极点,改成求 c 外极点留数,可是 c 外没有极点, (1)用卷积法求网络输出 y ( n) ; (2)用 ZT 法求网络输出 y ( n) 。 解: w. n m=0 (1)用卷积法求 y ( n) 课 试: 后 n m =0 x(n) = a nu (n), h(n) = b nu (n), 0 < a < 1, 0 < b < 1 , 答 25. 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为 y ( n) = h( n) ∗ x ( n) = ww 最后得到 y (n) = ∑ a n − mb m = a n ∑ a − mb m =a n (2)用 ZT 法求 y ( n) X ( z) = 案 网 m =−∞ 因此 x ( n) = 0 , 最后得到 kh da w. co m x(n) = (0.5n − 2n )u (n) = 0.5n + −3 • z n ( z − 2) z=2 2( z − 0.5)( z − 2) ∑b ∞ m u ( m) a n − m u ( n − m) , n ≥ 0 , 1 − a − n −1b n +1 a n +1 − b n +1 = , n < 0 , y (n) = 0 1 − a −1b a −b y ( n) = a n +1 − b n +1 u ( n) a −b 1 1 , H ( z) = −1 1 − az 1 − bz −1 课后答案网 www.khdaw.com Y ( z) = X ( z)H ( z) = (1 − az )(1 − bz ) −1 −1 1 y ( n) = Y ( z) z 2π j ∫ c 1 n −1 dz 令 F ( z) = Y ( z) z n −1 = z n −1 z n +1 = (1 − az −1 )(1 − bz −1 ) ( z − a)( z − b) y (n) = Re s[ F ( z ), a ] + Re s[ F ( z ), b] = 因为系统是因果系统, n < 0 , y ( n) = 0 ,最后得到 28. 若序列 h( n) 是因果序列,其傅里叶变换的实部如下式: 求序列 h( n) 及其傅里叶变换 H (e ) 。 解: w. ww 求上式 IZT,得到序列 h( n) 的共轭对称序列 he (n) 。 因为 h( n) 是因果序列, he (n) 必定是双边序列,收敛域取: a < z < a 。 n ≥ 1时,c 内有极点 a , kh da w. co m a n +1 b n +1 a n +1 − b n +1 + = a −b b−a a −b n ≥ 0 ,c 内有极点 a, b 答 jw 课 1 − a cos w 1 − 0.5a(e jw + e− jw ) H R (e ) = = 1 + a 2 − 2a cos w 1 + a 2 − a(e jw + e− jw ) jw H R ( z) = 后 H R (e jw ) = 1 − 0.5a( z + z −1 ) 1 − 0.5a(e jw + e− jw ) = 1 + a 2 − a( z + z −1 ) (1 − az −1 )(1 − az ) he (n) = F ( z) = H R ( z) z 案 网 y ( n) = 2π j ∫ n −1 a n +1 − b n +1 u ( n) a −b 1 − a cos w , a <1 1 + a 2 − 2a cos w 1 c H R ( z ) z n −1dz −0.5az 2 + z − 0.5a n −1 = z −a( z − a)( z − a −1 ) −1 课后答案网 www.khdaw.com he (n) = Re s[ F ( z ), a ] = n=0 时,c 内有极点 a ,0, −0.5az 2 + z − 0.5a n −1 1 z ( z − a) = an −1 z=a 2 −a( z − a )( z − a ) F ( z ) = H R ( z ) z n −1 = 所以 −0.5az 2 + z − 0.5a −1 z −a ( z − a)( z − a −1 ) he (n) = Re s[ F ( z ), a] + Re s[ F ( z ), 0] = 1 所以 ww w. kh da w. co m he (n) = he (−n) 又因为 后 ⎧1, n = 0 ⎫ ⎧he (n), n = 0 ⎪n ⎪ ⎪ h(n) = ⎨2he (n), n > 0 = ⎨a , n > 0 ⎬ = a nu (n) ⎪0, n < 0 ⎪0, n < 0 ⎪ ⎩ ⎩ ⎭ 答 课 案 网 ∞ n=0 ⎧1, n = 0 ⎪ he (n) = ⎨0.5a n , n > 0 ⎪0.5a − n , n < 0 ⎩ H (e jw ) = ∑ a n e − jwn = 1 1 − ae − jw 课后答案网 www.khdaw.com ————第三章———— 离散傅里叶变换 DFT 3.1 3.1.1 学习要点 DFT 的定义、DFT 与 Z 变换(ZT)、傅里叶变换(FT)的关系及 DFT 的物理意义 1. DFT 的定义 设序列 x(n ) 为有限长序列,长度为 M ,则定义 x(n ) 的 N (n ≥ M ) 点离散傅立叶变换为 X (k ) 的 N 点离散傅立叶逆变换为 , N 成为 DFT 变换区间长度。 2. DFT 与 ZT、FT 的关系 设 X e jω = FT [x(n )], 则 () 课 后 由定义可见,DFT 使有限长时域离散序列与有限长频域离散序列建立对应关系。 答 其中, WN = e −j w. ww 即序列 x(n ) 的 N 点 DFT 的物理意义使对 x(n ) 的频谱 X e 样,采样间隔为 2π N 。即对序列频谱的离散化。 根据上述基本内容,我们可以看出,对同一序列 x(n ) : (1)DFT 变换区间长度 N 不同,变换结果 X (k ) 不同。当 N 确定后, X (k ) 与 x(n ) 是 一一对应的。 (2)当 N 足够大时, X (k ) 的包络可逼近 X e jω 曲线。这一概念在用 DFT 进行谱分 析使很重要。 kh da w. co m kn X (k ) = DFT [x(n )] = ∑ x (n )WN , n =0 N −1 k = 0,1, L , N − 1 (3.1) x(n ) = IDFT [X (k )] = 2π N 案 网 1 N ∑ X (k )W k =0 N −1 − kn N , n = 0,1, L , N − 1 (3.2) X ( z ) = ZT [x(n )], X (k ) = DFT [x(n )]N点 X (k ) = X e jω () ω= 2π k N , k = 0,1, L , N − 1 (3.3) X (k ) = X ( z ) z =e j 2π k N , k = 0,1, L , N − 1 jω (3.4) ( ) 在 [0,2π ] 上的 N 点等间隔采 () 课后答案网 www.khdaw.com (3) X (k ) 表示 ω k = (2π N )k 频点的幅度谱线。如果 x(n ) 是一模拟信号的采样,采 样间隔为 T , ω = ΩT = 2πfT ,则 k 与相对应的模拟频率 f k 的关系为 ωk = ⎜ 即 ⎛ 2π ⎞ ⎟k = 2πf k T ⎝N⎠ fk = k NT (3.5) 分析时,称 F = 1 NT 为频率分辨率。而 NT 表示时域采样的区间长度,显然为了提高频率 分辨率,就必须使记录时间 T p 足够大。 (1)如前综述, X (k ) 是对 X e jω 案 网 jω jω N −1 ~ n =0 −j 3.1.2 DFT 的隐含周期性 DFT 的隐含周期可以从三种不同的角度得出: 后 答 即 X (k ) 是对 X e ( ) 的主值区 [0,2π ] 上 N 点等间隔采样。显然,当自变量 k 超出 DFT 变换 区间时,必然得到 [0,2π ] 之外区间上 X e X (k ) = X ((k ))N 。 ∧ kn ( kn (2)由 WN 的周期性 WNk + mN )n = WN ,可以证明 X (k ) 的隐含周期性。 即 X (k ) 隐含周期性,周期为 N 。 (3)由 X (k ) 与 x(n ) 的周期延拓 x((n ))N 的 DFS 系数 X (k ) 的关系也可以得出 DFT 的 ~ ww 隐含周期性。 w. ~ 设 x(n ) 的周期延拓序列 x(n ) = x ((n ))N ,则 x N (n ) 的 DFS 系数为 ~ 显然,当 k = 0,1, L , N − 1 时, kh da w. co m ( ) 的采样,由于 X (e ) 是以 2π 为周期的周期函数, jω 即对于模拟频率而言, N 点 DFT 意味着频域采样间隔为 1 Hz。所以用 DFT 进行谱 NT ( ) 的采样,且以 N 为周期重复出现,得到 课 kn ( X (k + mN ) = ∑ x(n )WNk + mN )n = ∑ x(n )WN = X (k ) n=0 n =0 N −1 N −1 ~ X (k ) = ∑ x N (n )e 2π kn N kn = ∑ x(n )WN n =0 N −1 X (k ) = X (k ) = DFT [x(n )] ~ 课后答案网 www.khdaw.com 即 ~ X (k ) = X (k ) ⋅ RN (k ) ~ (3.6) 由于 X (k ) 是以 N 为周期的,所以有 X (k ) = X ((k ))N ~ (3.7) 由此得出结论,有限 N 长序列 x(n ) 的 N 点离散傅里叶变换 X (k ) 也可以定义为 x(n ) 的 周期延拓序列 x((n ))N 的离散傅里叶级数系数 X (k ) 的主值序列, (3.6)式。 即 显然当 k 的取值 ~ 另 外 , X (k ) 表 示 x N (n ) 的 频 谱 特 性 , 所 以 取 主 值 序 列 x(n ) = x N (n )RN (n ) 和 ~ ~ ~ X (k ) = X (k ) ⋅ RN (k ) 作为一对变换是合理的。这里得出 X (k ) 的一种物理解释:实质上, ~ X (k ) = DFT [x(n )] 表示周期序列 x((n ))N 的频谱特性。 3.1.3 DFT 的主要性质 出了 DFT 的物理概念,这对于理解与应用 DFT 是必不可少的。但利用 DFT 的一些基本性 质解决一些问题将更方便,更明了。 学习 DFT 的性质时,应与傅里叶变换的性质对照学习,要搞清两者的主要区别。我们 知道,傅里叶变换将整个时域作为变换区间,所以在其性质中,对称性以原点为对称点,序 列的移动范围无任何限制。 然而, DFT 是对有限长序列定义的一种变换, 也就是说, DFT 变换区间为 0 ≤ n ≤ N − 1 。 这一点与傅立叶变换截然不同,由于 n < 0 及 n ≥ N 区间在 DFT 变换区间以外,所以讨论 (或圆周) 共轭对称序列和共轭反对称序列。 轭对称序列, xep (n ) 和 xop (n ) 分别表示有限长 用 其定义为 ww w. 对称性时,不能再以原点作为对称点,而是以 n = N 2 点作为对称点。为了区别于无限长共 课 后 ∗ xep (n ) = xep ( N − n ), 答 DFT 的定义给出了一个有限长时域序列 x(n ) 的 N 点 DFT 的数字运算定义公式,并给 如果 x(n ) = xep (n ) + xop (n ) ,则 其中, x(n ) 为长度为 N 的序列, xep (n ) 和 xop (n ) 分别称为 x(n ) 的共轭对称分量和共轭反对 kh da w. co m 案 网 0 ≤ n ≤ N −1 0 ≤ n ≤ N −1 (3.9) (3.10) ∗ xop (n ) = − xop ( N − n ), 域不加限制时, X (k ) 的取值将是以 N 为周期的,这就是 X (k ) 的隐含周期性。 1 x (n ) + x ∗ ( N − n ) 2 1 xop (n ) = x(n ) − x ∗ ( N − n ) 2 xep (n ) = [ (3.11) (3.12) [ 课后答案网 www.khdaw.com 称分量。 对应于傅立叶变换中的时移性质和线性卷积定理,DFT 有循环移位性质和循环卷积定 理。对一些简单的性质,以表格形式列出(表 3.1) ,后面主要对 DFT 的共轭对称性进行归 纳。 表 3.1 DFT 的基本性质 序号 1 序 列 离散傅里叶变换 备 注 x(n ) y(n ) = ax1 (n ) + bx2 (n ) x((n + m ))N ⋅ RN (n ) nm WN x (n ) X (k ) Y (k ) = aX 1 (k ) + bX 2 (k ) − WN km X (k ) 2 3 4 5 = ∑ x1 (m )x2 ((n − m ))N RN (n ) m =0 N −1 案 网 x1 (n ) ∗ x2 (n ) 6 x ∗ (n ) 7 注:表中所有序列长度,DFT 变换区间长度均为 N 。 对一般的 N 长序列 x(n ) , 按如下两种对偶的时域和频域表示形式给出 DFT 的共轭对称 的基本内容。 设 (1)如果 课 x∗ (N − n ) w. x(n ) = xr (n ) + jxi (n ), ww 且 则 其中, X ep (k ) = 1 X (k ) + X ∗ ( N − k ) ,为 X (k ) 的共轭对称分量; 2 1 X op (k ) = X (k ) − X ∗ ( N − k ) ,为 X (k ) 的共轭反对称分量。 2 (2)如果 kh da w. co m 时域循环移位性质 X 2 (k ) = DFT [x2 (n )] X 1 (k ) = DFT [x1 (n )] X ((k + m ))N RN (k ) 频域循环移位性质 X 1 (k ) ⋅ X 2 (k ) X ∗ (N − k ) X ∗ (k ) X 2 (k ) = DFT [x2 (n )] X 1 (k ) = DFT [x1 (n )] 后 X (k ) = DFT [x(n )], 答 k = 0,1, L , N − 1 xr (n ) = Re[x(n )], xi (n ) = Im[x(n )] X (k ) = X ep (k ) + X op (k ) X ep (k ) = DFT [xr (n )] X op (k ) = DFT [ jxi (n )] (3.13(a)) (3.13(b)) [ [ 课后答案网 www.khdaw.com x(n ) = xep (n ) + xop (n ) 且 则 X (k ) = Re[X (k )] + j Im[X (k )] Re[X (k )] = DFT xep (n ) [ ] (3.13(c)) (3.13(d)) j Im[X (k )] = DFT xop (n ) [ ①如果 x(n ) 为实序列, x(n ) 只有实部 xr (n ) ,所以根据(3.13(a))可以知道, X (k ) 只有 共轭对称分量,即 答 ②如果 x(n ) 实偶对称,即 课 则 X (k ) 必须满足式(3.13(a))与(3.13(c)),故 X (k ) 实偶对称,用数学式表示为 ③如果 x(n ) 实奇对称,即 则其 X (k ) 必须满足式(3.13(a))与(3.13(d)), X (k ) 虚奇对称,表示为 w. ww 由以上结论可知,只要 x(n ) 是实序列,则其离散傅里叶变换 X (k ) 必然共轭对称。所以 只要计算出 X (k ) 的前一半 N 2 个值,后一半的 X (k ) 值可由对称性求得。 kn X (k ) = ∑ x(n )WN , n=0 N −1 这样可以节省一半运算量。 kh da w. co m 案 网 X (k ) = X ∗ ( N − k ) (3.13(e)) 以上四个公式(3.13(a),(b),(c),(d))给出 DFT 的共轭对称性的基本内容,对于一些特殊性 质的信号,均可由上面四个公式得到其 DFT 的对称性,根据这些对称性,可提高信号处理 的速度。 (3)实信号 DFT 的共轭对称性。只有掌握了前述基本对称性内容,则实信号 DFT 的 对称性很容易得出。 后 x(n ) = x( N − n ) X (k ) = X (N − k ) (3.13(f)) x(n ) = − x( N − n ) X (k ) = X ∗ ( N − k ) = − X ( N − k ) (3.13(g)) k = 0,1, L , k = 0,1, L , N −1 2 N −1 2 X (N − k ) = X ∗ (k ), 课后答案网 www.khdaw.com 3.1.4 频域采样 时域采样是大家锁熟悉的, 模拟信号经时域采样得到离散序列的频谱是原模拟信号贫富 的周期延拓函数,延拓周期为 2π T 。 随着学习的深入,我们发现在很多方面时域与频域具有对偶关系(当然,有些方面还未 得到证明) 。下面证明频域采样的特性与时域采样对偶,即频域采样,时域周期延拓,这一 特性正好与“时域采样,频域周期延拓”相对偶。 设X e ( ) = FT [x(n)], X (z ) = ZT [x(n)],现对 X (e ) 进行等间隔采样得到 X (k ) ,采 jω jω ~ 由于 X e ( ) 以 2π 为周期,所以 X (k ) 以 N 为周期,可将 X (k ) 看做一个周期序列 x (n) 的 jω ~ ~ ~ N DFS 系数,由(3.8)式得 如果序列 x(n ) 长度为 M , 课 频域采样定理为: 后 即频域以 2π N 为间隔采样,对应于时域序列周期延拓,延拓周期为 N 。由此结论可得到 出X e w. ( ) 和 x(n) ,且 jω 即 X (k ) 是 X e ( ) 在 [0,2π ] 上的 N 点等间隔采样。则只有当 N ≥ M 时,才能由 X (k ) 恢复 jω ∞ ww 否则产生时域混频失真,无法由 X (k ) 得到 x(n ) 。 3.1.5 DFT 的应用 DFT 的应用极为广泛,凡是利用快速信号处理的领域都可能用到 DFT,实际上都是采用 DFT 的快速算法(FFT)计算 DFT 和 IDFT。信号经过一线性非移变系统进行处理,实质上 就是计算输入信号 x(n ) 与系统单位脉冲响应 h(n ) 的线性卷积。所谓的快递卷积就是根据 DFT 的循环卷积定理,在满足循环线性卷积的条件下,通过 DFT 将 x(n ) 与 h(n ) 的卷积变成 kh da w. co m X (k ) = X e jω 样间隔为 (2π N ) rad。 () ω= 2π k N = X (z ) z =e j 2π k N , k 为整数 X (k ) = X e jω 答 案 网 x N (n ) = ~ ∞ l = −∞ ∑ x(n + lN ) () ω= 2π k N , k = 0,1, L , N − 1 x(n ) = IDFT [X (k )] = l = −∞ ∑ x(n + lN )R (n ) N 课后答案网 www.khdaw.com 频域 X (k ) 与 H (k ) 的相乘,再经过 IDFT 即得到●。其中 DFT 和 IDFT 均采用快速算法, 从而使卷积运算速度大大提高。 3.2 教材第三章习题解答 1. 计算以下诸序列的 N 点 DFT,在变换区间 0 ≤ n ≤ N − 1 内,序列定义为 (2) x ( n) = δ ( n) ; (4) x( n) = Rm ( n), 0 < m < N ; (6) x( n) = cos( (8) x( n) = sin( w0 n) • RN ( n) ; (10) x( n) = nRN ( n) 。 解: (2) X ( k ) = n =0 答 n=0 ∑ δ (n)WNkn = ∑ δ (n) = 1, k = 0,1,L, N − 1 N −1 n =0 课 (4) X ( k ) = ∑W N −1 = 1 N −1 j N ( m − k ) n 1 N −1 − j N ( m + k ) n + ∑e ∑e 2 n =0 2 n =0 ww w. N −1 2π 2π j ( m−k ) N −j ( m+ k ) N ⎤ ⎡ 1 ⎢1 − e N 1− e N ⎥ = + 2π 2π ⎢ j ( m−k ) −j ( m+ k ) ⎥ 2 1− e N ⎢ 1− e N ⎥ ⎣ ⎦ ⎧1 ⎪ , k = m且k = N − m , 0 ≤ k ≤ N −1 = ⎨N ⎪0, k ≠ m或k ≠ N − m ⎩ 2π 2π 2π N −1 − j mn − j kn 1 j mn ⎛ 2π ⎞ kn mn ⎟ • WN = ∑ (e N + e N )e N (6) X (k ) = ∑ cos⎜ ⎝N ⎠ n=0 n =0 2 (8)解法 1 直接计算 kn X 8 (k ) = ∑ x(n)WN = n =0 kh da w. co m 2π nm), 0 < m < N ; N N −1 案 网 −j 后 kn N 1−W = 1−W km N k N π =e N k ( m −1) sin( π N mk ) m) sin( π , k = 0,1,L, N − 1 N 2π 2π x8 (n) = sin( w0 n) R N (n) = N −1 1 jw0 n e − e − jw0 n R N (n) 2j [ − j kn 1 N −1 jw0n ∑ e − e − jw0n e N 2 j n =0 [ 2π 课后答案网 www.khdaw.com = 2π 2π ⎡ ⎤ 1 N −1 ⎡ j(w0 − N )n − j(w0 + N )n ⎤ 1 ⎢ 1 − e jw0 N 1 − e jw0 N ⎥ −e = − e ⎥ ∑⎢ 2π 2π 2 j n =0 ⎣ ⎦ 2 j ⎢1 − e j ( w0 − N k ) 1 − e j ( w0 + N k ) ⎥ ⎣ ⎦ 解法 2 由 DFT 的共轭对称性求解 因为 x7 ( n) = e jw0 n R N ( n) = [cos( w0 n) + j sin( w0 n)]R N ( n) x8 (n) = sin( w0 n) R N (n) = Im[x7 (n)] 即 X 8 (k ) = − jX 70 (k ) = − j = 后 结果与解法 1 所得结果相同。此题验证了共轭对称性。 (10)解法 1 上式直接计算较难,可根据循环移位性质来求解 X(k)。 因为 所以 等式两边进行 DFT 得到 w. ww 故 当 k = 0 时,可直接计算得出 X(0) 这样,X(k)可写成如下形式: kh da w. co m DFT [ jx8 (n)] = DFT [ j Im[x7 (n)]] = X 70 (k ) 1 ∗ X 7 (k ) − X 7 ( N − k ) 2 所以 [ 课 kn X (k ) = ∑ nW N n=0 答 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 ⎢ 1 − e jw0 N 1 − e jw0 N 1 ⎢ 1 − e jw0 N 1 − e jw0 N ⎥ −( )∗ ⎥ = −( ) 2π 2π 2π 2π j ( w0 − k ) j ( w0 − ( N − k ) j ( w0 − k ) j ( w0 + k) ⎥ 2j ⎢ ⎥ 2j ⎢ N N N N 1− e 1− e ⎣1 − e ⎦ ⎣1 − e ⎦ x(n) − x((n − 1)) N • R N (n) + Nδ (n) = R N (n) k X (k ) − X ( k )W N + N = Nδ ( k ) X (k ) = 案 网 N −1 k = 0,1, L , N − 1 x(n) = nR N (n) N [δ (k ) − 1] , k = 1,2 L , N − 1 k 1 − WN N −1 n =0 X (0) = ∑ n ∗ W =∑ n = n =0 0 N N −1 N ( N − 1) 2 课后答案网 www.khdaw.com ⎧ N ( N − 1) ,k = 0 ⎪ 2 ⎪ X (k ) = ⎨ − ⎪ N k , k = 1,2L , N − 1 ⎪1 − W N ⎩ 解法 2 k = 0 时, X (k ) = ∑ n = n =0 N −1 N ( N − 1) 2 k 2 3 ( X (k ) = 0 + W N + 2W N k + 3W N k + L + ( N − 1)W N N −1) k kn 2 3 4 ( W N X (k ) = 0 + WN k + 2W N k + 3W N k + L + ( N − 2)W N N −1) k + ( N − 1) kn kn kn X (k ) − W N X (k ) = ∑ W N − ( N − 1) =∑ W N − 1 − ( N − 1) = − N n =1 n =0 N −1 N −1 所以, 即 2. 已知下列 X ( k ) ,求 x ( n) = IDFT [ X ( k )]; ww 解: (1) ⎧ N jθ ⎪ 2 e ,k = m ⎪ ⎪ N − jθ (1) X (k ) = ⎨ e , k = N − m ; ⎪2 ⎪0, 其它k ⎪ ⎩ ⎧ N jθ ⎪− 2 je , k = m ⎪ ⎪ N − jθ je , k = N − m (2) X ( k ) = ⎨ 2 ⎪ ⎪0, 其它k ⎪ ⎩ w. kh da w. co m 课 后 ⎧ N ( N − 1) ,k = 0 ⎪ 2 ⎪ X (k ) = ⎨ −N ⎪ , k = 1,2L , N − 1 k ⎪1 − W N ⎩ k ≠ 0 时, 答 案 网 X (k ) = −N ,k ≠ 0 k 1 − WN 课后答案网 www.khdaw.com 1 x(n) = IDFT [ X (k )] = N 2π 2π ∑W n =0 N −1 − kn N 1 = N π π ⎡ N jθ j 2N mn N − jθ j 2N ( N − m ) n ⎤ +ee ⎥ ⎢ ee 2 ⎦ ⎣2 − j ( mn +θ ) ⎤ 1 ⎡ j ( N mn+θ ) 2π +e N ⎥ = cos( mn + θ ), n = 0,1,L N − 1 ⎢e 2⎣ N ⎦ (2) x( n) = 1 N ⎡ N jθ −mn N − jθ −( N −m ) n ⎤ ⎢− 2 je WN + 2 e WN ⎥ ⎣ ⎦ = 3. 长度为 N=10 的两个有限长序列 作图表示 x1 (n) 、 x2 (n) 和 y (n) = x1 (n) ⊗ x2 (n) 。 课 14. 两个有限长序列 x ( n) 和 y ( n) 的零值区间为: 后 x1 (n) 、 x2 (n) 和 y (n) = x1 (n) ⊗ x2 (n) 分别如题 3 解图(a)(b)(c)所示。 、 、 对每个序列作 20 点 DFT,即 如果 ww 解: 试问在哪些点上 f ( n) = x ( n) * y ( n) ,为什么? 长度为 27, f ( n) 长度为 20。已推出二者的关系为 w. Y (k ) = DFT [ y ( n)], k = 0,1,L ,19 X (k ) = DFT [ x( n)], k = 0,1,L ,19 F (k ) = X (k ) • Y (k ), k = 0,1,L ,19 f (n) = IDFT [ F (k )], k = 0,1,L ,19 如前所示,记 f ( n) = x ( n) * y ( n) ,而 f ( n) = IDFT [ F ( k )] = x ( n) ⊗ y ( n) 。 f l ( n) 答 f (n) = 解: kh da w. co m 案 网 ∞ m = −∞ l 1 ⎡ j ( N mn +θ ) − j ( N mn +θ ) ⎤ 2π −e ⎢e ⎥ = sin( mn + θ ), n = 0,1,L N − 1 2j ⎣ N ⎦ ⎧1, 0 ≤ n ≤ 4 x1 (n) = ⎨ ⎩0,5 ≤ n ≤ 9 ⎧1, 0 ≤ n ≤ 4 x2 (n) = ⎨ ⎩−1,5 ≤ n ≤ 9 2π 2π x(n) = 0, n < 0,8 ≤ n y (n) = 0, n < 0, 20 ≤ n ∑ f (n + 20m) • R 20 (n) 课后答案网 www.khdaw.com 只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上,才满足 f (n) = f l (n) 所以 f (n) = f l (n) = x(n) ∗ y (n), 7 ≤ n ≤ 19 15. 用微处理机对实数序列作谱分析,要求谱分辨率 F ≤ 50 Hz ,信号最高频率为 1kHZ,试 确定以下各参数: (1)最小记录时间 Tp min ; (2)最大取样间隔 Tmax ; (3)最少采样点数 N min ; (4)在频带宽度不变的情况下,将频率分辨率提高一倍的 N 值。 解: (1)已知 F = 50 HZ (2) T max = 1 (3) N min = T = (4)频带宽度不变就意味着采样间隔 T 不变,应该使记录时间扩大一倍为 0.04s 实现频率 分辨率提高一倍(F 变为原来的 1/2) 课 后 Tp 0.02s = 40 0.5 × 10 −3 答 f min 18. 我们希望利用 h( n) 长度为 N=50 的 FIR 滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理, 要 求采用重叠保留法通过 DFT 来实现。所谓重叠保留法,就是对输入序列进行分段(本题设 每段长度为 M=100 个采样点) ,但相邻两段必须重叠 V 个点,然后计算各段与 h( n) 的 L 点 m 最后, ym (n) 从 (本题取 L=128) 循环卷积, 得到输出序列 ym (n) , 表示第 m 段计算输出。 中取出B个,使每段取出的B个采样点连接得到滤波输出 y ( n) 。 (1)求 V; (2)求 B; ww 解: (3)确定取出的 B 个采样应为 ym (n) 中的哪些采样点。 w. 为了便于叙述,规定循环卷积的输出序列 ym (n) 的序列标号为 0,1,2,…,127。 先以 h( n) 与各段输入的线性卷积 y lm (n) 考虑, y lm (n) 中, 0 点到 48 点 第 (共 49 个点) kh da w. co m = 1 1 = = 0.5ms 2 f max 2 × 10 3 案 网 N min = T p min = 1 1 = = 0.02 s F 50 0.04 s = 80 0.5ms 课后答案网 www.khdaw.com 不正确,不能作为滤波输出,第 49 点到第 99 点(共 51 个点)为正确的滤波输出序列 y ( n) 的一段,即 B=51。所以,为了去除前面 49 个不正确点,取出 51 个正确的点连续得到不间 断又无多余点的 y ( n) ,必须重叠 100-51=49 个点,即 V=49。 下面说明,对 128 点的循环卷积 ym (n) ,上述结果也是正确的。我们知道 y m ( n) = 因为 y lm (n) 长度为 r = −∞ ∑y ∞ lm (n + 128r ) • R128 (n) 所以从 n=20 到 127 区域, y m (n) = y lm (n) ,当然,第 49 点到第 99 点二者亦相等,所以, 综上所述,总结所得结论 选取 ym (n) 中第 49~99 点作为滤波输出。 ww w. 课 后 答 案 网 所取出的第 51 点为从第 49 到 99 点的 ym (n) 。 kh da w. co m N+M-1=50+100-1=149 V=49,B=51 课后答案网 www.khdaw.com ————第四章———— 快速傅里叶变换 FFT 所谓的快速算法,就是根据原始变换定义算法的运算规律及其中的某些算子的特殊性 质,找出减少乘法和加法运算次数的有效途径,实现原始变换的各种高效算法。一种好的快 速算法可使变换速度提高几个数量级。 由于快速算法很多,而且还在不断研究和发展。较成熟的算法都有现成的程序。所以, 通过教材中介绍的四种快速算法,主要学习研究快速算法的基本思想和减少运算量的途径, 熟悉各种快速算法的特点、 运算效率和适用情况。 为今后研究新的快速算法和合理选用快速 算法打好基础。 4.1.1 直接计算 N 点 DFT 的运算量 对于 N −1 n=0 复数乘法次数: 复数加法次数: 当 N >> 1 时,复数乘法和加法次数都接近为 N 2 次,随着 N 增大非线性增大。 4.1.2 减少运算量的基本途径 k kn DFT 定义式中只有两种运算: x(n ) 与 WN n 的乘法相加。所以, WN 的特性对乘法运算 量必有影响。 (1)根据的对称性、周期性和特殊值减少乘法运算次数。 ①对称性: WN k+ N 2 k k = −WN , WN2 = (− 1) , (WNN −k ) = WN N k k ∗ ww 0 N w. W = 1; WN ± N 4 k k ②周期性: WN +lN = W N 。 k ③ WN n 的特殊值(无关紧要旋转因子): (2)将较大数 N 点 DFT 分解为若干个小数点 DFT 的组合,减少运算量。这正是 FFT 能大量节省运算量的关键。 4.1.3 四种快速算法的基本思想及特点 根据上述减少运算量的途径, 巧妙地在时域或频域进行不同的抽取分解与组合, 得到不 同的快速算法。下面简要归纳四种快速算法的基本思想和特点。 kh da w. co m 4.1 学习要点 kn X (k ) = ∑ x(n )WN , 案 网 k = 0,1, L , N − 1 课 Ac = N (N − 1) = m j; W 后 N 2 N Mc = N2 答 = −1 。对这些因子不能进行乘法运算。 课后答案网 www.khdaw.com 1. 基 2 DFT-FFT 算法 k+ N 2 (1)算法思想:时域 M 级奇偶抽取,并利用 WN 蝶形运算。 (2)运算量: 复数乘法次数: 复数加法次数: k = −WN ,将 N 点 DFT 变成 M 级 Mc = N N ⋅ M = log 2 N 2 2 Ac = N ⋅ M = N log 2 N (3)特点:运算流图结构规则,可原位计算,程序简短,应用广泛。 (1)算法思想:频域对 X (k ) 进行 M 级奇偶抽取,并利用 WN2 = (− 1) ,将 N 点 DFT k k 变成 M 级 DIF-FFT 蝶形运算。 (2)运算量及特点与基 2 DIF-FFT 相同 3. 分裂基快速算法 (3)特点: ①在 N = 2 M 的快速算法中, 分裂基算法的乘法次数最少, 接近理论最小值。 比基 2 FFT 减少 33%,比基 4 减少 11%。 ②运算流图结构规则,可同址计算,程序简短,便于 DSP 实现。 w. 课 复数加法次数: 后 复数乘法次数: Mc = Ac = N log 2 N 答 (1)算法思想:基 2 FFT 算法简单,基 4FFT 算法效率较高。分裂基是将基 2 分解和 基 4 分解糅合在一起形成的高效新算法。具体是对每次的频域奇偶抽取的偶数输出使用基 2 算法(按二进制抽取) ,而奇数输出使用基 4 算法(按四进制抽取) 。 (2)运算量: 1. 如果通用计算机的速度为平均每次复数乘需要 5 μ s ,每次复数加需要 1 μ s ,用来计算 ww N=1024 点 DFT,问直接计算需要多少时间。用 FFT 计算呢?照这样计算,用 FFT 进行快 速卷积对信号进行处理时,估算可实现时处理的信号最高频率。 解:当N=1024=210时,直接计算DFT的复数运算次数为 N2=10242次 复数加法计算次数为 直接计算所用计算时间TD为 用 FFT 计算 1024 点 DFT 所需计算时间为 kh da w. co m N 2. 基 2 DIF-FFT 算法 1 2 m2 N log 2 N − N + (− 1) 3 9 9 4.2 N ( N − 1) = 1024 × 1023 = 1047552 次 TD = 5 × 10 −6 × 1024 2 + 1047552 × 10 −6 = 6.290432 s 案 网 教材第四章习题解答 课后答案网 www.khdaw.com TD = 5 × 10 −6 × N log 2 N + N log 2 N × 10 −6 = 35.84ms 2 快速卷积时,要计算一次 N 点 FFT(考虑到 H ( k ) = DFT [ h( n)] 已计算好存入内存) ,一次 N 点 IFFT 和 N 次频率复数乘法。所以,计算 1024 点快速卷积的计算时间约为 Tc = 2TF + 1024次复数乘计算时间 = 71680μs + 5 × 1024 μs = 76800μs 所以,每秒钟处理的采样点数(即采样频率) f s < 定理知,可实时处理的信号最高频率为 1024 = 13333.3次 /秒。由采样 76800 × 10 −6 应当说明,实际实现时, f max 还要你小一些。这是由于采样频率高于奈奎斯特速率,而且 存取数据指令周期等。 若要从 X ( k ) 和 Y ( k ) 求 x ( n) 3. 已知 X ( k ) 和 Y ( k ) 是两个 N 点实序列 x ( n) 和 y ( n) 的 DFT, 对称序列。可令 X ( k ) 和 j Y ( k ) 分别作为复序列 F ( k ) 的共轭对称分量和共轭反对称分量, 即 计算一次 N 点 IFFT 得到 由 DFT 的共轭对称性可知, ww 故 w. 课 解:因为 x ( n) 和 y ( n) 均为实序列,所以, X ( k ) 和 Y ( k ) 为共轭对称序列,j Y ( k ) 为共轭反 f (n) = IFFT [ F ( k )] = Re[ f ( n)] + j Im[ f ( n)] Re[ f (n)] = IDFT [ Fep (k )] = IDFT [ X (k )] = x(n) j Im[ f (n)] = IDFT [ Fop (k )] = IDFT [ jY (k )] = jy (n) 后 和 y ( n) ,为提高运算效率,试设计用一次 N 点 IFFT 来完成。 F ( k ) = X ( k ) + jY ( k ) = Fep ( k ) + Fop ( k ) 4. 设 x ( n) 是长度 X ( k ) 为 2N 的有限长实序列, X ( k ) 为 x ( n) 的确 N 点 DFT。 答 1 x(n) = [ f (n) + f ∗ (n)] 2 1 y ( n) = [ f (n) − f ∗ (n)] 2j 案 网 在采用重叠相加法时,重叠部分还要计算两次。重叠部分长度与 h(n ) 长度有关,而且还有 kh da w. co m f max < f s 13333.3 = = 6666.7 HZ 2 2 课后答案网 www.khdaw.com (1)试设计用一次 N 点 FFT 完成计算 X ( k ) 的高效算法。 (2)若已知 X ( k ) ,试设计用一次 N 点 IFFT 实现求 x ( n) 的 2N 点 IDFT 运算。 解: (1)在时域分别抽取偶书点和奇数点 x ( n) 得到两个 N 点实序列 x1 ( n) 和 x 2 (n) : x1 (n) = x(2n), n = 0,1, L, N − 1 x 2 (n) = x(2n + 1), n = 0,1, L, N − 1 根据 DIT-FFT 的思想,只要求得 x1 ( n) 和 x 2 (n) 的 N 点 DFT,再经过简单的一级蝶形运算就 得到 x ( n) 的 2N 点 DFT。因为 x1 ( n) 和 x 2 (n) 均为实序列,所以根据 DFT 的共轭对称性, 可用一次 N 点 FFT 求得 X 1 (k ) 和 X 2 (k ) 。具体方法如下: 令 y(n) = x1 (n) + jx2 (n) 2N 点 DFT [ X ( n)] = X ( k ) 可由 X 1 (k ) 和 X 2 (k ) 得到 X (k ) = X 1 (k ) + W2kN X 2 (k ), k = 0,1,L, N − 1 X (k + N ) = X 1 (k ) − W2kN X 2 (k ) 这样, 通过一次 N 点 IFFT 计算就完成了计算 2N 点 DFT。 当然还要进行运算量相对很少的, 由 Y ( k ) 求 X 1 (k ) , X 2 (k ) 和 X ( k ) 的运算。 (2)和(1)相同,设 ww 则应满足关系式 由上式可解出 w. 课 X (k ) = X 1 (k ) + W2kN X 2 (k ), k = 0,1,L, N − 1 X (k + N ) = X 1 (k ) − W2kN X 2 (k ) 后 则 1 X 1 (k ) = DFT [ x1 (n)] = Yep (k ) = [Y ( k ) + Y ∗ ( N − k )] 2 1 jX 2 (k ) = DFT [ jx 2 (n)] = Yop (k ) = [Y ( k ) − Y ∗ ( N − k )] 2 x1 (n) = x(2n), n = 0,1, L, N − 1 x 2 (n) = x(2n + 1), n = 0,1, L, N − 1 X 1 (k ) = DFT [ x1 (n)], k = 0,1L, N − 1 X 2 (k ) = DFT [ x 2 (n)], k = 0,1L, N − 1 答 Y ( k ) = DFT [ y ( n)], k = 0,1L , N − 1 kh da w. co m 案 网 课后答案网 www.khdaw.com 1 X 1 (k ) = [ X (k ) + X (k + N )] 2 1 X 2 (k ) = [ X (k ) − X (k + N )]W2−Nk 2 由以上分析可得到运算过程如下: ① 由 X ( k ) 计算出 X 1 (k ) 和 X 2 (k ) ② 由 X 1 (k ) 和 X 2 (k ) 构成 N 点频域序列 Y ( k ) 其中 Yep ( k ) = X 1 ( k ) , Yop ( k ) = jX 2 ( k ) ,进行 N 点 IFFT 得到 y ( n) = IFFT [Y ( k )] = Re[ y ( n)] + j Im[ y ( n)], n = 0,1, L , N − 1 由 DFT 的共轭对称性知 ③ 由 x1 ( n) 和 x 2 (n) 合成 x ( n) ww 在便成实现时, 只要将存放 x1 ( n) 和 x 2 (n) 的两个数组的元素分别依次存放 x ( n) 的数组的偶 数和奇数数组元素中即可。 5. 按照下面的 IDFT 算法: w. 编写 IFFT 程序,其中的 FFT 部分不用写出清单,可调用 FFT 子程序。 解: 通过调用 FFT 子程序实现题中所给 IFFT 算法程序框图如题 5 图解所示。数组 X[N]用 kh da w. co m 课 1 Re[ y (n)] = [ y (n) + y ∗ (n)] = DFT [Yep (k )] = x1 (n) 2 1 j Im[ y (n)] = [ y (n) − y ∗ (n)] = DFT [Yop (k )] = jx 2 (n) 2 1 X 1 (k ) = [ X (k ) + X (k + N )] 2 1 X 2 (k ) = [ X (k ) − X (k + N )]W2−Nk 2 ⎧n ⎪ x1 ( 2 ), n = 偶数 ⎪ x ( n) = ⎨ ,0 ≤ n ≤ 2 N − 1 ⎪ x ( n − 1), n = 奇数 ⎪2 2 ⎩ 后 答 案 网 Y ( k ) = X 1 ( k ) + jX 2 ( k ) = Yep ( k ) + Yop (k ) x( n) = IDFT [ X ( k )] = 1 [ DFT [ X ∗ (k )]]∗ N 课后答案网 www.khdaw.com 于存放输入 X(k) 、中间结果及最终结果 x(n)。 用 matlab 语言编写的 IFFT 程序清单如下: %题 4.6 计算 IFFT 的程序 %Xk:被变换数据 X(k) %XN:IFFT[X(k)]结果 x(n) %N:x(n),X(k)长度 Xk=[X(0) X(1) …X(N-1)]; n=size(Xk); N=n(2); %取得 X(k)的长度 Xk=conj(Xk); %取复共轭 XN=fft(Xk); %计算 FFT[X(k)] XN=conj(XN)/N; Stem(real(XN)); %绘制 x(n)序列波形图 说明:数据向量 Xk 也可以通过键盘,数据文件或函数计算等多种方法建立,本程序使用最 简单的方法,在程序中直接赋值 Xk 向量。 ww w. kh da w. co m 课 后 答 案 网 课后答案网 www.khdaw.com ————第五章———— 数字滤波网络 5.1 学习要点 本章主要介绍数字滤波器的系统函数 H ( z ) 与其网络结构流图之间的相互转换方法,二 者之间的转换关系用 Masson 公式描述。由于信号流图的基本概念及 Masson 公式已在信号 与系统分析课程中讲过,所以下面归纳 IIR 系统和 FIR 系统的各种网络结构及其特点。 5.1.1 IIR 系统的基本网络结构 1. 直接型结构 如果将系统函数 H ( z ) 化为标准形式(5.1)式: M 则可根据 Masson 公式直接画出 H ( z ) 的直接 II 型网络结构流图如图 5.1 所示 (取 N=4, ) M=3 。 二阶直接 II 型网络结构最有用,它是级联型和并联型网络结构的基本网络单元。 优点:可直接由标准形式(5.1)或差分方程 y (n ) = ww w. 络结构流图,简单直观。 缺点:对于高阶系统: (1)调整零、极点困难; (2)对系数量化效应敏感度高; (3)乘法运算量化误差在系统输出端的噪声功率最大。 2. 级联型结构 将(5.1)式描述的系统函数 H ( z ) 分解成多个二阶子系统函数的乘积形式 画出的级联型方框图如图 5.2 所示。 图 中每一个子系统均为二阶直接型结构,根据 H ( z ) 的具体表达式确定 H i ( z ) 的系数 β 0i , β1i , β 2i , α1i 和 α 2i 后,可画出 H i (z ) 的网络结构流图如图 5.3 所示。 优点: kh da w. co m 案 网 H (z ) = ∑b z k =0 N k k =1 −k 1 − ∑ ak z (5.1) −k 课 后 答 ∑ ak y(n − k ) + ∑ bk x(n − k ) 画出网 k =1 k =0 N M H ( z ) = H1 ( z ) ⋅ H 2 (z )L H m ( z ) (5.2) β 0i + β1i z −1 + β 2i z −2 H i (z ) = , 1 − α1i z −1 − α 2i z −2 i = 1,2, L , m (5.3) 课后答案网 www.khdaw.com (1)系统结构组成灵活; (2)调整零、极点容易,因为每一级二阶子系统 H i ( z ) 独立地确定一对共轭零点和一 对共轭极点; (3)对系数量化效应敏感度低。 缺点: (1)存在计算误差积累; (2)乘法运算量化误差在输出端的噪声功率大于并联型结构。 3. 并联型结构 将(5.1)式写成: 将上式中的复共轭对极点对应的两项合并为一个二阶项: H ( z ) 就可以写成: 阶直接 II 型网络结构流图,如图 5.5 所示。 优点:运算速度快,调整极点方便,系数量化误差敏感度低,乘法算量化误差在输出 端的噪声功率小。 缺点:调整零点不方便,当 H ( z ) 有多阶极点时,部分分式展开较麻烦。 5.1.2 FIR 系统网络结构 FIR 系统的网络结构有三种类型:直接型、级联型和频率采样型结构。当 FIR 系统具有 线性相位特性时,还可以画出其线性相位结构。实质上,线性相位结构是直接型结构的一种 ww 简化形式。下面分别给出 FIR 系统函数 H ( z ) 的四种表达式及其相应的四种网络结构形式。 1. 直接型结构 w. 设 h(n ) 长度为 N ,则 FIR 系统的系统函数为 课 由 (5.4) 式画出 H ( z ) 的并联结构方框图如图 5.4 所示,图中每个并联子系统 H i ( z ) 采用二 由 Masson 公式画出 H ( z ) 的直接型结构流图如图 5.6 所示。 2. 级联结构 将 H ( z ) 分解成二阶因子的乘积 kh da w. co m H (z ) = ∑ ci −1 i =1 1 − pi z N 答 案 网 r0i + r1i z −1 H i (z ) = 1 − α1i z −1 − α 2i z −2 后 H (z ) = ∑ H i (z ) i =1 m (5.4) H ( z ) = ∑ h(n )z −n n =0 N −1 (5.5) 课后答案网 www.khdaw.com H ( z ) = ∑ β 0 k + β1k z −1 + β 2 k z −2 k =1 ⎡N⎤ ⎢2⎥ ⎣⎦ ( ) (5.6) N ⎡N ⎤ ⎢ 2 ⎥ 表示对 2 取整。根据(5.6)式画出级联结构如图 5.7 所示。 ⎣⎦ 3. 线性相位 FIR 系统网络结构 第七章将证明线性相位 FIR 系统的单位脉冲响应 h(n ) 应满足 这时,(5.5)式可以写成如下形式: 当 N 为奇数时, N −1 −1 2 n =0 当 N 为偶数时, (5.7)式和(5.8)式对应的线性相位 FIR 系统结构分别如图 5.8 和图 5.9 所示。 取 号, 图中的正负号由 h(n ) 确定, h(n ) = h( N − 1 − n ) 时, “+” 当 h(n ) = −h( N − 1 − n ) 当 时,取“−”号。 4. 频率采样结构 FIR 系统的频率采样结构是根据其系统函数 H ( z ) 的 z 域内插表达形式所画出的一种网 络结构。根据频域采样理论有 H ( z ) 的 z 域内插公式 w. ww 记 H c (z ) = 1 − z − N , H k (z ) = 由上式可见, H ( z ) 的网络结构为 FIR 子系统 H c ( z ) 和 IIR 子系统 N −1 k =0 而 ∑ H (z ) 为 N 个一阶 IIR 子网络 H (z ) 并联而成。频率采样结构如图 5.10 所示。 k kh da w. co m H (z ) = h(n ) = ± h( N − 1 − n ) ∑ h(n )[z −n ±z −( N −1− n ) ⎛ N − 1 ⎞ −⎜ + h⎜ ⎟z ⎝ 2⎠ ⎝ ⎛ N −1 ⎞ ⎟ 2⎠ (5.7) 案 网 N −1 2 n=0 课 后 答 H ( z ) = ∑ h(n ) z −n ± z −( N −1−n ) [ (5.8) H (z ) = 1 1 − z −N N ( )∑ 1 −H (k )z W N −1 k =0 −k N −1 H (k ) 。这时, − 1 − WN k z −1 H (z ) = N −1 1 H c (z ) ⋅ ∑ H k (z ) N k =0 N −1 k =0 ∑ H (z ) 级联而成, k k 课后答案网 www.khdaw.com 频率采样结构存在两个问题,影响其工程应用,所以要对其加以修正。但只要掌握了图 5.10 所示的基本形式,修正型结构就容易得到。 (1)稳定性问题。由于系数量化误差使零极点不能对消时,系统就会不稳定。所以实 际中将梳状滤波器 H c ( z ) 的零点和 H k ( z ) 的极点设置在半径 r 小于 1 又接近 1 的圆周上, 所 得修正的频率采样结构系统函数为 H (z ) = 1 − r N z−N N ∑ 1 − rW k =0 N −1 H (k ) −k N r −1 (5.9) 数运算。复数运算比实数运算复杂,特别是用硬件实现复杂。对常用的实序列 h(n ) ,可以 完全解决该问题。 5. FIR 系统四种网络结构的比较 为奇数时,由原来的 N 个乘法器减少为 课 应的并联二阶网络可省去,从而使结构大大简化。所以,频率采样结构适用于窄带滤波器。 当然,对集成化的结构而言,适合任何滤波特性。 后 制滤波器频响特性,当滤波器通带很窄时, H (k ) 的非零值很少,大部分零值采样 H (k ) 对 答 5.2 1. 设系统用下面的差分方程描述: y ( n) − 试画出系统的直接型、级联型和并联型结构。 解: ww 将上式进行 Z 变换 (1)按照系统函数 H ( z ) ,根据 Masson 公式,画出直接型结构如题 1 解图(一)所示。 (2)将 H ( z ) 的分母进行因式分解 w. y ( n) − 3 1 1 y ( n − 1) + y (n − 2) = x(n) + x( n − 1) , 4 8 3 3 1 1 y ( n − 1) + y (n − 2) = x(n) + x( n − 1) 4 8 3 3 1 1 Y ( z ) − Y ( z ) z −1 + Y ( z ) z −2 = X ( z ) + X ( z ) z − 1 4 8 3 1 1 + z −1 3 H ( z) = 3 −1 1 −2 1− z + z 4 8 案 网 FIR 系统的直接型结构简单直观,乘法运算较少,但调整零点较难;级联型结构每级独 立控制一对共轭零点,所以适用于需要控制传输零点的场合,其缺点是乘法器比直接型多; 线性相位 FIR 系统结构的乘法运算比直接型少,当 N 为偶数时,乘法运算减少一半,当 N kh da w. co m N +1 个;频率采样结构可以直接由采样值 H (k ) 控 2 其中,r 为修正半径,其值与系统字长有关。 (2)复数乘法运算问题。图 5.10 或(5.9)式画的修正的频率采样结构图中存在大量的复 教材第五章习题解答 课后答案网 www.khdaw.com 1 1 + z −1 3 H ( z) = 3 −1 1 −2 1− z + z 4 8 1 1 + z −1 3 = 1 1 (1 − z −1 )(1 − z −1 ) 2 4 按照上式可以有两种级联型结构: 画出级联型结构如题 1 解图(二) a)所示 ( 画出级联型结构如题 1 解图(二) b)所示 ( (3)将 H ( z ) 进行部分分式展开 后 答 课 1 1 (1 − z −1 )(1 − z −1 ) 2 4 1 z+ H ( z) A B 3 = = + 1 1 1 1 z ( z − )( z − ) z − z− 2 4 2 4 1 z+ 1 10 3 A= (z − ) 1= 1 1 2 z= 3 ( z − )( z − ) 2 2 4 1 z+ 1 7 3 B= (z − ) 1 =− 1 1 4 z= 3 ( z − )( z − ) 4 2 4 10 7 H ( z) =3−3 1 1 z z− z− 2 4 H ( z) = ww w. 案 网 1 1 + z −1 1 3 • (b) H ( z ) = 1 1 (1 − z −1 ) (1 − z −1 ) 2 4 kh da w. co m 1 1 + z −1 3 1 1 + z −1 1 3 • (a) H ( z ) = 1 1 (1 − z −1 ) (1 − z −1 ) 2 4 课后答案网 www.khdaw.com 10 7 10 7 z z − 3 3 H ( z) = 3 − 3 = + 1 1 1 −1 1 −1 z− z− 1− z 1− z 2 4 2 4 根据上式画出并联型结构如题 1 解图(三)所示。 2. 设数字滤波器的差分方程为 y ( n) = ( a + b ) y ( n − 1) − aby ( n − 2) + x ( n − 2) + ( a + b) x (n − 1) + abx ( n) , 试画出该滤波器的直接型、级联型和并联型结构。 解: 将差分方程进行 Z 变换,得到 Y ( z ) = (a + b)Y ( z ) z −1 − abY ( z ) z −2 + X ( z ) z −2 + (a + b) X ( z ) z −1 + abX ( z ) (1)按照 Massion 公式直接画出直接型结构如题 2 解图(一)所示。 (2)将 H ( z ) 的分子和分母进行因式分解: 课 按照上式可以有两种级联型结构: (a) 画出级联型结构如题 2 解图(二) a)所示。 ( (b) w. ww 画出级联型结构如题 2 解图(二) b)所示●。 ( 3. 设系统的系统函数为 试画出各种可能的级联型结构。 解: 由于系统函数的分子和分母各有两个因式,可以有两种级联型结构。 kh da w. co m H ( z) = Y ( z ) ab + (a + b) z −1 + z −2 = X ( z ) 1 − (a + b) z −1 + abz −2 H ( z) = 后 答 (a + z −1 )(b + z −1 ) = H1 ( z ) H 2 ( z ) (1 − az −1 )(1 − bz −1 ) H ( z) = 4(1 + z −1 )(1 − 1.414 z −1 + z −2 ) , (1 − 0.5 z −1 )(1 + 0.9 z −1 + 0.18 z −2 ) 案 网 H1 ( z ) = H 2 ( z) = H1 ( z ) = H 2 ( z) = z −1 + a 1 − az −1 z −1 + b 1 − bz −1 z −1 + a 1 − bz −1 z −1 + b 1 − az −1 课后答案网 www.khdaw.com H ( z ) = H1 ( z ) H 2 ( z ) (1) H1 ( z ) = H 2 ( z) = 4 (1 + z −1 ) 1 − 0.5 z −1 , 1 − 1.414 z −1 + z −2 1 − 0.9 z −1 + 0.81z −2 画出级联型结构如题 3 解图(a)所示●。 (d) h(n) = h1 (n) ∗ [h2 (n) + h3 (n) ∗ h4 (n)] + h5 (n) 5. 写出图中流图的系统函数及差分方程。图 d 解: (d) H ( z) = ww (f) 6. 写出图中流图的系统函数。图 f 解: w. = 课 H ( z ) = H1 ( z ) H 2 ( z ) + H1 ( z ) H 3 ( z ) H 4 ( z ) + H 5 ( z ) r sin θ • z −1 1 − r cos θ • z −1 − r cos θ • z −1 + r 2 sin 2 θ • z −2 + r 2 cos 2 θ • z −2 r sin θ • z −1 1 − 2r cos θ • z −1 + r 2 z −2 y (n) = 2r cos θ y (n − 1) − r 2 y ( n − 2) + r sin θ • x( n − 1) 1 −1 1 z •2 2 + z −1 4 2 H ( z) = = 1 −1 3 −2 1 −1 3 −2 1− z + z 1− z + z 4 8 4 8 2+ 8.已知 FIR 滤波器的单位脉冲响应为 h( n) = δ ( n) − δ ( n − 1) + δ ( n − 4) ,试用频率采样结 后 = h1 (n) ∗ h2 (n) + h1 (n) ∗ h3 (n) ∗ h4 (n) + h5 (n) 答 案 网 画出级联型结构如题 3 解图(b)所示。 4.图中画出了四个系统,试用各子系统的单位脉冲响应分别表示各总系统的单位脉冲响应, 并求其总系统函数。图 d 解: kh da w. co m H 2 ( z) = 4 (1 + z −1 ) 1 − 0.9 z −1 + 0.81z −2 (2) 1 − 1.414 z −1 + z −2 , H1 ( z ) = 1 − 0.5 z −1 课后答案网 www.khdaw.com 构实现该滤波器。设采样点数 N=5,要求画出频率采样网络结构,写出滤波器参数的计算公 式。 解: 已知频率采样结构的公式为 H ( z ) = (1 − z − N ) 式中,N=5 1 N ∑1−W k =0 4 N −1 H (k ) − k −1 Nz H ( k ) = DFT [ h(n)] = ∑ h(n)WNkn = ∑ [δ (n) − δ ( n − 1) + δ (n − 4)]WNkn N −1 n=0 它的频率采样结构如题 8 解图所示。 ww w. kh da w. co m = 1− e 2 − j πk 5 n=0 +e 8 − j πk 5 , k = 0,1, 2,3, 4 课 后 答 案 网 课后答案网 www.khdaw.com ————第六章———— IIR 数字滤波器设计 6.1 学习要点 1. 设计一个巴特沃斯低通滤波器, 要求通带截止频率 f p = 6 kHz , 通带最大衰减 a p = 3dB , 及实际的 H a ( s ) 。 解: (1)求阶数 N。 后 ksp = 5 答 λsp = 课 10 p − 1 100.3 − 1 = ≈ 0.0562 100.1as − 1 102.5 − 1 0.1a 将 k sp 和 λsp 值代入 N 的计算公式得 w. H a ( p) = ww N =− 所以取 N=5(实际应用中,根据具体要求, 也可能取 N=4, 指标稍微差一点, 但阶数低一阶, 使系统实现电路得到简化。 ) (2)求归一化系统函数 H a ( p ) ,由阶数 N=5 直接查表得到 5 阶巴特沃斯归一化低通滤波 器系统函数 H a ( p ) 为 案 网 N =− 4 阻带截止频率 f s = 12kHz , 阻带最小衰减 as = 3dB 。 求出滤波器归一化传输函数 H a ( p ) 以 kh da w. co m 6.2 教材第六章习题解答 lg ksp lg λsp Ω s 2π × 12 × 103 = =2 Ω p 2π × 6 × 103 6.1.1 IIR 数字滤波器设计的基本概念及基本设计方法 6.1.2 模拟滤波器设计 6.1.3 从 AF 设计 DF 6.1.4 IIR-DF 的直接设计法 lg 0.0562 = 4.15 lg 2 1 p + 3.2361 p + 5.2361 p 3 + 5.2361 p 2 + 3.2361 p + 1 课后答案网 www.khdaw.com 或 H a ( p) = 1 ( p + 0.618 p + 1)( p 2 + 1.618 p + 1)( p + 1) 2 1 2 k +1 jπ ( + ) 2 2N 当然,也可以按(6.12)式计算出极点: pk = e 按(6.11)式写出 H a ( p ) 表达式 , k = 0,1, 2,3, 4 H a ( p) = 1 代入 pk 值并进行分母展开得到与查表相同的结果。 (3)去归一化(即 LP-LP 频率变换) ,由归一化系统函数 H a ( p ) 得到实际滤波器系统函数 H a (s) 。 H a ( s) = H a ( p) Ωc 5 =5 s + 3.2361Ωc s 4 + 5.2361Ω 2 c s 3 + 5.2361Ω3c s 2 + 3.2361Ω 4 c s + Ω5c 对分母因式形式,则有 H a ( s) = H a ( p) ww 如上结果中, Ω c 的值未代入相乘,这样使读者能清楚地看到去归一化后,3dB 截止频率对 归一化系统函数的改变作用。 2. 设 计 一个 切 比 雪 夫低 通 滤 波 器, 要 求 通 带截 止 频 率 f p = 3kHz , 通 带 最 在 衰减 速 a p = 0.2dB ,阻带截止频率 f s = 12kHz ,阻带最小衰减 as = 50dB 。求出归一化传输函数 H a ( p ) 和实际的 H a ( s ) 。 w. p= s Ωc = Ωc5 ( s 2 + 0.6180Ω c s − Ω 2 c )( s 2 + 1.6180Ω c s − Ω 2 c )( s + Ω c ) 课 p= s Ωc 后 答 由于本题中 a p = 3dB ,即 Ωc = Ω p = 2π × 6 × 10 rad / s ,因此 3 kh da w. co m k k =0 C(p − p ) 4 案 网 课后答案网 www.khdaw.com 解: (1)确定滤波器技术指标: a p = 0.2dB , Ω p = 2π f p = 6π ×103 rad / s as = 50dB, Ω s = 2π f s = 24π × 103 rad / s λ p = 1, λs = (2)求阶数 N 和 ε : Ωs =4 Ωp 答 为了满足指标要求,取 N=4。 课 (2)求归一化系统函数 H a ( p ) ww w. 其中,极点 pk 由(6.2.38)式求出如下: pk = −ch(ξ ) sin( p1 = −ch(0.5580) sin( ) + jch(0.5580) cos( ) = −0.4438 + j1.0715 8 8 3π 3π p2 = −ch(0.5580) sin( ) + jch(0.5580) cos( ) = −1.0715 + j 0.4438 8 8 5π 5π p3 = −ch(0.5580) sin( ) + jch(0.5580) cos( ) = −1.0715 − j 0.4438 8 8 7π 7π p4 = −ch(0.5580) sin( ) + jch(0.5580) cos( ) = −0.4438 − j1.0715 8 8 (3)将 H a ( p ) 去归一化,求得实际滤波器系统函数 H a ( s ) kh da w. co m N= Arch(k −1 ) Arch(λs ) k −1 = 100.1as − 1 ≈ 1456.65 0.1a 10 p − 1 N= 后 ε = 10 案 网 0.1a p Arch(1456.65) = 3.8659 Arch(4) − 1 = 0.2171 H a ( p) = 1 ε • 2 N −1 C ( p − pk ) k =1 N = 1 1.7386C ( p − pk ) k =1 4 ( 2k − 1)π (2k − 1)π ) + jch(ξ ) cos( ), k = 1, 2,3, 4 2N 2N 1 1 1 1 ξ = Arsh( ) = Arsh( ) ≈ 0.5580 ε N 4 0.2171 π π 课后答案网 www.khdaw.com H a ( s) = H a ( p) p= s Ωc = Ω p4 1.7368∏ ( s − sk ) k =1 4 = Ω p4 1.7368∏ ( s − Ω p pk ) k =1 4 其中 sk = Ω p pk = 6π ×10 pk , k = 1, 2,3, 4 ,因为 p4 = p ∗1 , p3 = p ∗2 ,所以 3 s4 = s ∗1 , s3 = s ∗2 。将两对共轭极点对应的因子相乘,得到分母为二阶因子的形式,其系数 全为实数。 H a ( s) = ( s 2 − 2 Re[ s1 ]s + s1 )( s 2 − 2 Re[ s2 ]s + s2 ) 2 2 7.2687 ×1016 =2 ( s + 1.6731× 104 s + 4.7791×108 )( s 2 + 4.0394 ×104 s + 4.7790 × 108 ) (1) H a ( s ) = s+a ; ( s + a)2 + b 2 (2) H a ( s ) = b 。式中,a,b 为常数,设 H a ( s ) 因果稳定,试采用脉冲响应不变 ( s + a)2 + b 2 解: 该题所给 H a ( s ) 正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型形式。所以,求解该题具有代表性, ww 为 T。 解该题的过程, 就是导出这两种典型形式的 H a ( s ) 的脉冲响应不变法转换公式, 设采样周期 (1) H a ( s ) = H a ( s ) 的极点为: s1 = −a + jb , s2 = −a − jb 将 H a ( s ) 部分分式展开(用待定系数法) : w. s+a ( s + a)2 + b 2 法,分别将其转换成数字滤波器 H ( z ) 。 课 后 4. 已知模拟滤波器的传输函数 H a ( s ) 为: kh da w. co m 7.2687 × 1016 答 案 网 课后答案网 www.khdaw.com H a (s) = s+a A A = 1+ 2 2 2 s − s1 s − s2 (s + a) + b = A1 ( s − s2 ) + A2 ( s − s1 ) ( A1 + A2 ) s − A1s2 − A2 s1 = ( s + a)2 + b2 ( s + a)2 + b2 比较分子各项系数可知: A、B 应满足方程: 解之得 所以 按照题目要求,上面的 H ( z ) 表达式就可作为该题的答案。但在工程实际中,一般用无 复数乘法器的二阶基本结构实现。由于两个极点共轭对称,所以将 H ( z ) 的两项通分并化简 整理,可得 w. ww (2) 用脉冲响应不变法转换成数字滤波器时, 直接套用上面的公式即可, 且对应结构图中无复数 乘法器,便于工程实际中实现。 H a ( s ) 的极点为: s1 = −a + jb , s2 = −a − jb 将 H a ( s ) 部分分式展开: kh da w. co m 1 1 A1 = , A2 = 2 2 ⎧ A1 + A2 = 1 ⎨ ⎩− A1s2 − A2 s1 = a 课 H ( z) = ∑ 后 2 1 1 2 2 H a (s) = + s − (−a + jb) s − (−a − jb) Ak 0.5 0.5 = + s k T −1 ( − a + jb )T −1 ( − a − jb )T −1 z z z 1− e 1− e k =1 1 − e H ( z) = 答 1 − z −1e− aT cos(bT ) 1 − 2e− aT cos(bT ) z −1 + e−2 aT z −2 H a ( s) = 案 网 H ( z) = ∑ Ak 0.5 0.5 = + s k T −1 ( − a + jb )T −1 ( − a − jb )T −1 z z z 1− e 1− e k =1 1 − e 2 b ( s + a)2 + b 2 课后答案网 www.khdaw.com 1 1 j −j 2 2 + H a (s) = s − (−a − jb) s − (−a + jb) H ( z) = 通分并化简整理得 0.5 j 1− e ( − a − jb )T z −1 + −0.5 j 1 − e( − a + jb )T z −1 z −1e− aT sin(bT ) H ( z) = 1 − 2e− aT cos(bT ) z −1 + e−2 aT z −2 (1) H a ( s ) = 1 ; s + s +1 2 (2) H a ( s ) = 课 方法 1 直接按脉冲响应不变法设计公式, H a ( s ) 的极点为: 后 ① H a (s) = 1 s + s +1 2 答 器,设 T=2s。 解: (1)用脉冲响应不变法 s1 = −0.5 + j 案 网 −j 3 3 −j 3 3 3 )T 2 ( −0.5 + j 1 试用脉冲响应不变法和双线性变换法分别将其转换为数字滤波 2 s + 3s + 1 2 w. ww 代入 T=2s kh da w. co m 3 3 , s2 = −0.5 − j 2 2 5. 已知模拟滤波器的传输函数为: H a ( s) = 3 ) s − (−0.5 + j 2 + j 3 3 s − (−0.5 − j 3 3 3 )T 2 3 ) 2 H ( z) = 1− e + z −1 j 1− e ( −0.5 − j z −1 H ( z) = −j 3 3 3 ) −1 1 − e( −1+ j z + j 3 3 3 ) −1 1 − e( −1− j z = 23 z −1e−1 sin 3 • 3 1 − 2 z −1e−1 cos 3 + e−2 z −2 课后答案网 www.khdaw.com 方法 2 直接套用 4 题(2)所得公式, 为了套用公式, 先对 H a ( s ) 的分母配方, H a ( s ) 将 化成 4 题中的标准形式: H a ( s) = 由于 b • c, c 为一常数, ( s + a)2 + b2 1 3 1 3 s 2 + s + 1 = ( s + )2 + = (s + )2 + ( )2 2 4 2 2 课 后 = 23 z −1e−1 sin 3 • 3 1 − 2 z −1e−1 cos 3 + e−2 z −2 2 ② H a (s) = 答 H ( z) = 23 z −1e − aT sin(bT ) • 3 1 − 2e − aT cos(bT ) z −1 + e −2 aT z −2 T=2 案 网 1 1-e -0.5T -1 对比可知, a = w. ① 或通分合并两项得 ww (2)用双线性变换法 kh da w. co m H a ( s) = 1 s= s + s +1 2 所以 3/2 1 3 ( s + )2 + ( )2 2 2 • 23 3 1 3 ,套用公式得 ,b = 2 2 1 1 -1 = + 2 s + 3s + 1 s+0.5 s+1 H(z)= = z + -1 1-e-T z -1 T=2 1 -1 + -2 -1 -1 -1 1-e z 1-e z H(z)= (e-1 -e-2 )z -1 1-(e-1 +e-2 )z -1 +e-3 z −2 H ( z) = H a (s) s= 2 1 − z −1 ,T = 2 T 1 + z −1 = 1 1 − z 2 1 − z −1 ( )+ +1 1 + z −1 1 + z −1 −1 课后答案网 www.khdaw.com = (1 + z −1 )2 (1 − z −1 ) 2 + (1 − z −1 )(1 + z −1 ) + (1 + z −1 )2 1 + 2 z −1 + z −2 3 + z −2 = ② H ( z) = H a (s) s= 2 1 − z −1 ,T = 2 T 1 + z −1 H ( z ) 的通带中心位于下面的哪种情况?并说明原因。 (1) w = 0 (低通); 。 (3)除 0 或 π 外的某一频率(带通) 解: 按题意可写出 ww w. s = jΩ = ; (2) w = π (高通) 课 7. 假设某模拟滤波器 H a ( s ) 是一个低通滤波器,又知 H ( z ) = H a ( s ) 故 即 kh da w. co m = 1 1− z 2 1 − z −1 2( ) +3 +1 1 + z −1 1 + z −1 −1 = 后 答 案 网 = (1 + z −1 ) 2 2(1 − z −1 ) 2 + 3(1 − z −2 ) + (1 + z −1 ) 2 1 + 2 z −1 + z −2 6 − 2 z −1 s= z +1 z −1 ,数字滤波器 H ( z) = H a (s) s= z +1 z −1 z +1 z − 1 z = e jw w e +1 2 = j cot w = jw =j w e −1 2 sin 2 jw cos 课后答案网 www.khdaw.com Ω = cot w 2 原模拟低通滤波器以 Ω = 0 为通带中心,由上式可知, Ω = 0 时,对应于 w = π ,故答案为 (2) 。 9. 设计低通数字滤波器,要求通带内频率低于 0.2π rad 时,容许幅度误差在 1dB 之内;频 率在 0.3 π 到 π 之间的阻带衰减大于 10dB; 试采用巴特沃斯型模拟滤波器进行设计, 用脉冲 响应不变法进行转换,采样间隔 T=1ms。 解: 本题要求用巴特沃斯型模拟滤波器设计,所以,由巴特沃斯滤波器的单调下降特性,数 字滤波器指标描述如下: 课 (1)求滤波器阶数 N 及归一化系统函数 H a ( p ) : 后 ksp = = 0.2π × 1000 = 200π (rad / s ), a p = 1dB T w Ω s = s = 0.3π × 1000 = 300π ( rad / s), as = 10dB T Ωp = wp 答 w. ww 10 p − 1 100.1 − 1 = = 0.1696 100.1as − 1 101 − 1 0.1a λsp = N =− 取 N=5,查表 6.1 的模拟滤波器系统函数的归一化低通原型为: 案 网 N =− H a ( p) = 4 k =0 采用脉冲响应不变法转换,所以,相应模拟低通巴特沃斯滤波器指标为: kh da w. co m wp = 0.2π rad , a p = 1dB ws = 0.3π rad , as = 10dB lg ksp lg λsp Ω s 300π = = 1.5 Ω p 200π lg 0.1696 = 4.376 lg1.5 1 C(p − p ) k p0 = −0.3090 + j 0.9511 = p ∗ 4 p1 = −0.8090 + j 0.5818 = p 3 课后答案网 www.khdaw.com p2 = −1 将 H a ( p ) 部分分式展开: H a ( p) = ∑ k =0 4 Ak p − pk 其中,系数为: A0 = −0.1382 + j 0.4253, 后 我们希望阻带指标刚好, 让通带指标留有富裕量, 所以按(6.2.18)式求 3dB 截止频率 Ω c 。 答 − 1) − (2)去归一化求得相应的模拟滤波器系统函数 H a ( s ) 。 Ωc = Ω s (10 其中 Bk = Ω c Ak , sk = Ω c pk 。 (3)用脉冲响应不变法将 H a ( s ) 转换成数字滤波器系统函数 H ( z ) : w. ww 我们知道,脉冲响应不变法的主要缺点是存在频率混叠失真,设计的滤波器阻带指标变差。 另外,由该题的设计过程可见,当 N 较大时,部分分式展开求解系数 Ak 或 Bk 相当困难,所 以实际工作中用得很少,主要采用双线性变换法设计。 kh da w. co m A1 = −0.8091 − j1.1135, A2 = 1.8947, A3 = −0.8091 + j1.1135, A4 = −0.1382 − j 0.4253 案 网 1 2N 课 0.1as = 300π (10 − 1) − 1 10 = 756.566(rad / s) H a ( s) = H a ( p) p = 4 4 Ωc Ak B s =∑ =∑ k Ωc k =0 s − Ωc pk k =0 s − sk H ( z) = ∑ 4 Bk , T = 1ms = 10−3 s 1 − e sk T z − 1 k =0 k 10−3 sk 4 =∑ k =0 B 1− e z −1 课后答案网 www.khdaw.com ————第七章———— FIR 数字滤波器设计 7.1 7.1.1 学习要点 线性相位 FIR 数字滤波器特点归纳 1. 线性相位概念 设H e ( ) = FT [h(n)] 为 FIR 滤波器的频响特性函数。 H (e )可表示为 jω jω H g (ω ) 称为幅度函数,为 ω 的实函数。应注意 H g (ω ) 与幅频特性函数 H (e jω ) 的区别, H e jω 为 ω 的正实函数,而 H g (ω ) 可取负值。 () θ (ω ) 称为相位特性函数,当 θ (ω ) = −ωτ 时,称为第一类(A 类)线性相位特性;当 答 θ (ω ) = θ 0 − ωτ 时,称为第二类(B 类)线性相位特性。 2. 具有线性相位的 FIR 滤波器的特点( h 1)时域特点 N −1 ⎧ ⎪h(n ) = h( N − 1 − n ), h(n )关于n = 2 偶对称 ⎪ A 类: ⎨ ⎪θ (ω ) = −ω N − 1 ⎪ 2 ⎩ w. N −1 ⎧ 奇对称 h(n ) = − h( N − 1 − n ), h(n )关于n = ⎪ ⎪ 2 B 类: ⎨ ⎪θ (ω ) = − π − ω N − 1 ⎪ 2 2 ⎩ ww 群延时:− 时延特性。 2)频域特点 A 类:N 为奇数(情况 1) H g (ω ) 关于 ω = 0, π ,2π 三点偶对称。 : N 为偶数(情况 2) H g (ω ) 关于 ω = π 奇对称( H g (π ) = 0 ) : 。 B 类:N 为奇数(情况 3) H g (ω ) 关于 ω = 0, π ,2π 三点奇对称。 : kh da w. co m H e jω = H g (ω )e jθ (ω ) () 课 后 案 网 (n ) 长度为 N ) (7.1) (7.2) dθ (ω ) N −1 为常数, 所以将 A 类和 B 类线性相位特性统称为恒定群 =τ = dω 2 课后答案网 www.khdaw.com N 为偶数(情况 4) H g (ω ) 关于 ω = 0,2π 奇对称,关于 ω = π 偶对称。 : 3. 要点 (1)情况 1:可以实现所有滤波特性(低通、高通、带通、带阻和点阻等) 。 (2)情况 2: H g (π ) = 0 ,不能实现高通、带通和点阻滤波器。 (3)情况 3:只能实现带通滤波器。 (4)情况 4:不能实现低通、带阻和点阻滤波器。 7.1.2 FIR 数字滤波器设计方法 FIR 滤波器设计方法: (1)窗函数法 (2)频率采样法 (3)切比雪夫逼近法 1. 窗函数法的设计步骤与要点 设 H d e jω = FT [hd (n )] 为希望逼近的频响特性函数, H d e jω = FT [h(n )]为用窗函数 () 法设计的实际滤波器的频响函数。通常取 H e 数法设计过程如图 7.1 所示。 知识要点如下: 后 (1)希望逼近的理想滤波器频响函数 H d e jω 的表达式。因为 FIR 数字滤波器一般要 理想低通、带通、高通和带阻滤波器频响函数的表达式如下: 课 求设计成线性相位特性,所以 H d e jω 必须满足上述线性相位 FIR 滤波器的频域特点。 逼近 w. ww 其中,ωc 为理想滤波器截止频率,ω cl 和 ωch 分别为理想带通滤波器的通带下截止频率 和上截止频率。 α = ( N − 1 2) ( N 为 h(n ) 长度) ,这样才能确保线性相位的时域条件 h(n ) = h( N − 1 − n ) ,且 h(n ) 为实序列。 (2)熟悉各种常用窗函数的技术指标和加窗后对滤波器特性的影响,根据设计指标正 kh da w. co m () 案 网 ( )相应的理想频响特性作为 H (e ) 。窗函 jω jω d 答 () jω () () jω H dLp e () ⎧e − jωα ,0 ≤ ω ≤ ωc ⎪ =⎨ ⎪0, ωc < ω ≤ π ⎩ H dBp e ⎧e − jωα , ωcl ≤ ω ≤ ωch ⎪ =⎨ ⎪0,0 < ω ≤ ωcl , ωch < ω ≤ π ⎩ jω H dHp e jω () ⎧e − jωα , ωc ≤ ω ≤ π ⎪ =⎨ ⎪0,0 < ω ≤ ωc ⎩ H dBs e () ⎧e − jωα ,0 ≤ ω ≤ ωcl , ωch ≤ ω ≤ π ⎪ =⎨ ⎪0, ωcl < ω ≤ ωch ⎩ 课后答案网 www.khdaw.com 确选择窗函数类型及其长度 N 。表 7.1 列出了六种典型窗函数的基本技术指标参数。这六 种窗函数均满足 A 类线性相位条件: ω (n ) = ω ( N − 1 − n ) 。 表 7.1 六种窗函数的基本参数 窗函数 矩形窗 三角形窗 汉宁窗 哈明窗 旁瓣峰值幅度/dB -13 -25 -31 -41 -57 过渡带宽 4π N 8π N 8π N 8π N 阻带最小衰减/dB -21 -25 -44 -53 布莱克曼窗 1)频率采样设计法的概念及理论依据 设计 FIR 数字滤波器就是寻求一种满足设计要求的滤波器单位脉冲响应 h(n ) 或系统函 数 H (z ) 。 采样 N 点得到 w. H 根据频率采样理论, 如果 h(n ) 长度为 M , ( z ) = ZT [h(n )] , 在单位圆上等间隔对 H ( z ) 课 2. 用频率采样法设计 FIR 数字滤波器的设计步骤与要点 后 设计过程中根据阻带最小衰减选择窗函数类型, 再根据过渡带宽度指标选择窗函数长度 N 值。 (3)检验设计结果 (4)熟悉窗函数设计法的特点:设计过程简单、方便实用。但边界频率不易精确控制 所以设计完以后,必须检验结果。 H (k ) = H ( z ) z =e 答 案 网 凯塞窗( α = 7.865 ) ww 只要 N ≥ M ,则有 由此可见,只要知道 FIR 数字滤波器频响函数在 [0,2π ] 上的 N 点等间隔采样 H (k ) ,就可 确定滤波器的单位脉冲响应 h(n ) 或系统函数 H ( z ) ,这就是频率采样设计法的理论依据。 kh da w. co m 12 π N -74 -80 -57 10 π N j 2π k N , k = 0,1, L , N − 1 (7.3) h(n ) = IDFT [H (k )] , H (z ) = 1 − z−N N N −1 k =0 n = 0,1, L , N − 1 (7.4) ∑1−W H (k ) − k −1 Nz (7.5) 课后答案网 www.khdaw.com 频率采样法就是根据以上频域采样理论, 由滤波特性指标构造希望逼近的滤波器频响函 数 H d e jω ,对其在 [0,2π ] 上采样得到 () H d (k ) = H d e jω () ω= 2π k N , k = 0,1, L , N − 1 (7.6) 然后,求得单位脉冲响应 h(n ) ,或求得系统函数 H ( z ) 。这样, h(n ) 或 H ( z ) 就是 FIR 数字滤波器的设计结果。 2)用频率采样法设计 FIR 滤波器的设计步骤与要点 设计步骤如图 7.2 所示 知识要点如下: (1)一般以实际设计的频响函数 H e jω H d e jω ,这样可使设计简化。 () (2)设计线性相位 FIR 对 H d e jω 和 H d (k ) 的约束条件。 如 果 H d (k ) = H k e jθ k 课 θk = θ ⎜ ⎛ 2π ⎞ k ⎟ , θ k 的表达式及对 H k 的约束条件: ⎝N ⎠ N 为奇数时, N 为偶数时, w. ww 由上述可见,设计线性相位 FIR 滤波器时,相位采样 θ k 为一确定函数式,当 N 为奇数 时,幅度采样 H k 关于 k = N 2 点偶对称,当 N 为偶数时, H k 关于 k = N 2 点奇对称。应 当注意,设计高通和带阻滤波器时, N 只能取奇数。 (3)逼近误差及其改进措施, N 值的估计。 ①逼近误差分析:由频域采样理论可知 即所设计的 FIR 滤波器的单位脉冲响应 h(n ) 是希望逼近的滤波器单位脉冲响应的周期延拓 kh da w. co m ( ) 相应的理想频响特性作为希望逼近的 案 网 () 后 θk = − 答 , H k 为幅度采样, θ k 表示相位采样,即 H k = H d ⎜ ⎛ 2π ⎝N ⎞ k⎟ , ⎠ N −1 πk , N k = 0,1, L , N − 1 H k = H N −k H k = − H N −k h(n ) = IDFT [H d (k )] = m = −∞ ∑ h (n + mN ) ⋅ R (n ) d N ∞ 课后答案网 www.khdaw.com 序列的主值序列。如果 H d e jω 为理想频响特性,则由于频域有间断点,使 hd (n ) 为衰减较 慢的无限长序列。这时其周期延拓时,有较严重的时域混叠,所以,h(n ) 和 hd (n ) 相差较大, 故H e () ( ) = FT [h(n)] 和 H (e ) = FT [h (n )] 相差较大,即逼近误差较大。而且,由于 h(n) jω jω d d 为有限 N 长序列,所以 H e ( )为连续无间断点函数,故在 H (e ) 的间断点附近逼近误差 jω jω d 最大,并形成倾斜过渡带和振荡,使阻带最小衰减不到 20dB。在平滑区域逼近误差将较小。 H d e jω 的间断点变平滑后再采样。即使 hd (n ) 变得衰减很快,从而周期延拓时混叠失真减 小,即 h(n ) 和 hd (n ) 误差减小,必然使频域 H e () 过渡采样点数目。所以, N 的估算公式为 课 显然, Δω 越小,或 m 越大都使 N 值越大。 3)频率采样法的特点及设计结果检验 这种设计方法的特点是: 可以在频域直接涉及任意频响特性的 FIR 数字滤波器, 概念清 后 答 案 网 ③频域采样点数 N 估算:一般由过渡带宽度 Δω 估算 N 值。 Δω ≈ (m + 1) 楚、直观。但边界频率不易控制。所以,设计时,要对 H e jω 进行检验,可通过加大采样 点数 N 来改善边界频率精度,但这会增加滤波器的成本和计算量。 对于窄带滤波器,即使 N 很大,通带内非零采样 H d (k ) 也较少,这样,其 H ( z ) 的内插 w. 公式(7.5)中有效项较少,从而使实现频率采样结构并联支路较少,使滤波器成本降低,运算 量减少。因此,该设计法适合设计窄带滤波器。 3. FIR 滤波器的等波纹逼近设计法 等波纹逼近设计法使用切比雪夫最佳一致逼近理论,可设计出实际滤波器频响 H e ww 与期望的频响 H d e jω 之间的最大误差最小化的最佳拟合滤波器。 这种方法设计的滤波器呈 现等波纹频响特性,所以称之为等波纹逼近设计法。由于误差均匀分布于整个频带,对固定 的阶数 N ,可以得到最优良的滤波特性;通带最平坦,阻带最小衰减达到最大。因此,等 波纹逼近法在 FIR 滤波器设计中得到广泛应用, 特别是有现成的设计程序, 从而使设计简单 易行。所以,在建立上述概念的基础上,正确调用设计程序,设置合适的参数即可得到等波 纹逼近 FIR 滤波器系数 h(n ) 。 3. 设 FIR 滤波器的系统函数为 kh da w. co m ( )和 H (e ) 误差减小。 jω jω d ②改进措施: H d e jω 的间断点附近区间假如若干个过渡带采样点, 在 这样就相当于使 () 2π ,m为 N N= 2π (m + 1) Δω () () jω () 7.2 教材第七章习题解答 课后答案网 www.khdaw.com H ( z) = 1 (1 + 0.9 z −1 + 201z −2 + 0.9 z −3 + z −4 ) 10 求出该滤波器的单位取样响应 h( n) ,判断是否具有线性相位,求出其幅度特性和相位特性, 并画出其直接型结构和线性相位型结构和线性相位型结构。 解: 对 FIR 数字滤波器,其系统函数为 所以,其单位脉冲响应为 后 答 由 h(n ) 的取值可知 h(n ) 满足 所以,该 FIR 滤波器具有第一类线性相位特性。设其频率响应函数为 H e w. = ww 幅度特性函数为 相位特性函数为 kh da w. co m H (z ) = ∑ h(n )z −n = n =0 N −1 1 1 + 0.9 z −1 + 2.1z −2 + 0.9 z −3 + z −4 10 ( ) h(n ) = h( N − 1 − n ), 案 网 h(n ) = 1 {1,0.9,2.1,0.9,1} 10 N =5 课 () jω H e jω = H g (ω )e jθ (ω ) = ∑ h(n )e − jωn n =0 () N −1 1 1 + 0.9e − jω + 2.1e − j 2ω + 0.9e − j 3ω + e − j 4ω 10 1 = (2.1 + 1.8 cos ω + 2 cos 2ω )e − j 2ω 10 [ H g (ω ) = 2.1 + 1.8 cos ω + 2 cos 2ω 10 θ (ω ) = −ω N −1 = −2ω 2 课后答案网 www.khdaw.com 由 h(n ) 画出直接型结构和线性相位型结构分别如题 3 解图(一)和题 3 解图(二)所示。 幅度曲线如题 3 解图(三)所示。 4. 用矩形窗设计线性相位低通滤波,逼近滤波器传输函数 H d (e jw ) 为 ⎧ − jwa ⎪e , 0 ≤ w ≤ wc H d (e ) = ⎨ ⎪0, wc < w ≤ π ⎩ jw (1)求出相应于理想低通的单位脉冲响应 hd ( n) ; (2)求出矩形窗设计的 h( n) 表达式,确定 a 与 N 之间的关系; 解 : 1) ( 答 案 网 1 2π (3)N 取奇数或偶数时对滤波特性有什么影响? − 后 hd (n ) = (2)为了满足线性相位条件,要求 α = h( n) : ww N −1 ⎧ sin[ωc (n − α )] ,0 ≤ n ≤ N − 1, α = ⎪ 2 = ⎨ π (n − α ) ⎪0, 其他n ⎩ (3)N 取奇数时,幅度特性函数 H g (ω ) 关于 ω = 0, π ,2π 三点偶对称,可实现各类幅频特 性;N 取偶数时, H g (ω ) 关于 ω = π 奇对称,所以不能实现高通、带阻和点阻滤波特性。 5. 用矩形窗设计一线性相位高通滤波器,逼近滤波器传输函数 H d (e jw ) 为 w. h(n ) = hd (n ) ⋅ RN (n ) = kh da w. co m 1 2π ∫π π H d e − jω e jωn dω = ( ) ∫ωe − c ωc − jωα e jωn dω = sin[ωc (n − α )] π (n − α ) 课 N −1 , N 为矩形窗函数长度。加矩形窗函数得到 2 sin[ωc (n − α )] ⋅ RN (n ) π (n − α ) 课后答案网 www.khdaw.com ⎧ − jwa ⎪e , wc < w ≤ π H d (e jw ) = ⎨ ⎪0, 其它 ⎩ (1)求出该理想高通的单位取样响应 hd ( n) ; (2)写出用矩形窗设计法的 h( n) 的表达式,确定 a 与 N 的关系; (3)N 的取值有什么限制?为什么? 解: (1)直接用 IFT H d e jω 计算: j − d 课 1 2π 1 = 2π = = ⎡ −ωc e jω (n−α )dω + π e jω (n−α )dω ⎤ ∫ωc ⎢ ∫−π ⎥ ⎣ ⎦ 后 答 [ ⎡ −ωc e − jωα e jωn dω + π e − jωα e jωn dω ⎤ ∫ωc ⎢ ∫−π ⎥ ⎣ ⎦ 案 网 jn hd (n ) = 冲响应。而 δ (n − α ) 对应于一个线性相位高通滤波器: ww w. ⎛ sin[ωc (n − α )] ⎞ hd (n ) 表达式中第 2 项 ⎜ ⎜ π (n − α ) ⎟ 正好是截至频率为 ωc 的理想低通滤波器的单位脉 ⎟ ⎝ ⎠ 即高通滤波器可由全通滤波器减去低通滤波器实现。 (2)用 N 表示 h( n) 长度,则 kh da w. co m [ ( )] 1 2π π ω ω ∫ π H (e )e dω 1 e − jωc (n−α ) − e − jπ (n−α ) + e jπ (n−α ) − e jωc (n−α ) 2πj (n − α ) sin[ωc (n − α )] = δ (n − α ) − π (n − α ) H dap e jω = e − jωα () ⎧ sin[ωc (n − α )]⎫ h(n ) = hd (n )RN (n ) = ⎨δ (n − α ) − ⎬ R (n ) π (n − α ) ⎭ N ⎩ 课后答案网 www.khdaw.com 为了满足线性相位条件: h(n ) = h( N − 1 − n ) 要求 α 满足 α = N −1 。 2 (3)N 必须取奇数。因为 N 为偶数时(情况 2) H e , ( ) = 0 ,不能实现高通。 jπ 8. 图中, h1 ( n) 是偶对称序列,N=8, h2 ( n) 是 h1 ( n) 圆周移位(移 (1) H1 (k ) = H 2 (k ) ,是否成立?为什么? 课 解: 1)由题 8 图可以看出 h2 ( n) 与 h1 ( n) 的循环位移关系。 ( 后 由 DFT 的循环移位性质可得 w. ww H 2 (k ) = W8− k 4 H1 (k ) = e jπk H1 (k ) = (− 1) H1 (k ) k (2)由题 8 图可知, h1 ( n) 和 h2 ( n) 均满足线性相位条件: 所以, h1 ( n) 和 h2 ( n) 构成的低通滤波器具有线性相位。 用 直接计算 FT [h1 (n )] 和 FT [h21 (n )] 答 (2)用 h1 ( n) 和 h2 ( n) 分别构成的低通滤波器是否具有线性相位?群延时是多少? kh da w. co m H1 (k ) = DFT [h1 (n)], k = 0,1,L , N − 1 H 2 (k ) = DFT [h2 (n)], k = 0,1,L , N − 1 h2 (n ) = h1 ((n + 4 ))8 R8 (n ) H 2 (k ) = W8− k 4 H 1 (k ) = H 1 (k ) N = 4 )后的序列,设 2 案 网 h1 (n ) = h1 ( N − 1 − n ) h2 (n ) = h2 (N − 1 − n ) 课后答案网 www.khdaw.com 也可以得到同样的结论。 设 H1 e jω = FT [h1 (n )] = H1g (ω )e jθ1 (ω ) H 2 e jω = FT [h2 (n )] = H 2 g (ω )e jθ2 (ω ) () () 而 所以,群延时为 θ1 (ω ) = θ 2 (ω ) = − dθ1 (ω ) 7 = dω 2 1 (N − 1)ω = − 7 ω 2 2 τ 2 = τ1 = − ww w. kh da w. co m 课 后 答 案 网 课后答案网 www.khdaw.com 一、离散时间信号描述 离散时间信号的时域描述 1. 信号的描述:时域、频域、变换域 功率谱 概率密度 2. 信号的性质:确知、随机、平稳非平稳、周期非周期、对称性、奇偶性等; 3. 信号的分类 周期信号 信号 实序列的偶部和奇部 ww w. 5.信号的运算:序列的相加 z(n)=x(n)+y(n) 序列的相乘 f(n)=x(n) y(n) 课 4.信号的分解: 6.常见离散信号--------序列 概念点:正弦信号的周期性判定 7.任意序列的单位脉冲序列表示 kh da w. co m 非周期信号 P 平稳 随机信号 (功率信号) 确定性信号 (能量、 功率) 案 网 各态遍历 非平稳 答 非各态遍历 x(n) = xe (n) + xo (n) 1 xe (n) = [ x(n) + x(− n)] 2 1 xo (n) = [ x(n) − x(− n)] 2 序列的移位 y(n)=x(n-n0) 序列的能量 S= n =−∞ 后 ∑ ∞ x ( n) 2 课后答案网 www.khdaw.com x ( n) = m =−∞ ∑ x(m)δ (n − m) ∞ 离散时间信号的变换域描述 1.Z 变换的定义与收敛域 要点 (1)序列 x(n)的 Z 变换定义为 后 (2)Z 变换存在的充分条件: 满足上式的 Z 变量取值的域称为收敛域。只要 x(n) 的增长速度小于 r 存在,一般收敛域用环状域表示。 (3)Z 变换的收敛域的特点 ww 的收敛域是整个 z 平面。 收敛域是连通的; 收敛域内没有极点; 收敛域由极点确定 的收敛域(双边,因果,左、右序列) 。 w. 收敛域是一个圆环,有时可向内收缩到原点,有时可向外扩展到∞,只有 x ( n) = δ ( n) X(Z)的收敛域有多种形式; X(Z) + 收敛域,二者共同唯一确定 x(n) 因此收敛与对于 Z 变换尤为重要, 而序列的特性决定其 Z 变换收敛域。 典型序列 Z 变换 kh da w. co m n = −∞ X ( z) = ∑ x ( n) z ∞ −n Rx − <| z |< Rx + x ( n) = 1 X ( z ) z n −1dz 2πj ∫c c ∈ ( Rx − , Rx + ) n =−∞ x ( n) = 2π j ∫ 1 课 n =−∞ ∑ ∞ 答 n =−∞ ∑ ∞ x ( n) r − n < ∞ 案 网 c X ( z) = ∑ ∞ x ( n) z − n X ( Z ) Z n −1dZ x(n) Z − n < ∞ −n ,则 Z 变换就 课后答案网 www.khdaw.com 2. 离散时间信号的傅里叶变换 要点 (1)序列 x(n)的 DTFT 定义为 X (e jω ) = x( n) = 1 2π π n =−∞ ∑ ∞ x(n)e − jω n jω ∫ π X (e − n =−∞ )e jω n d ω (2)DTFT 存在的充分条件: (3)DTFT 具有唯一性和周期性 (4)DTFT 主要性质 线性: 设 X 1 (e jω ) = FT [ x1 (n)], X 2 (e jω ) = FT [ x2 ( n)], 共轭对称性质: x ( n) = xr ( n) + jxi ( n) w. ww 若令 ω = 时域卷积: X (e jω ) = X e (e jω ) + X o (e jω ) x(n) = xe (n) 课 FT [e jω0 n x(n)] = X (e j (ω −ω0 ) 后 时移与频移 FT [ x(n − n0 )] = e − jω n0 X (e jω ) 答 + FT [ax1 (n) + bx2 (n)] = aX 1 (e jω ) + bX 2 (e jω ) X (e jω ) = X R (e jω ) + jX I (e jω ) 2π k ,则是上面的对应关系即为 DFT 的共轭对称性。 N (5)Z 变换与 DTFT(离散时间傅里叶变换)的关系 kh da w. co m x(n) < ∞ ∑ ∞ y ( n) = x ( n) ∗ h( n) Y (e jω ) = X (e jω ) H (e jω ) 案 网 xo (n) 课后答案网 www.khdaw.com (6)Z 变换与连续信号拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系,S 域到 Z 域的映射关系; 3.离散傅里叶变换(DFT) (1)DFT 的定义 N −1 n =0 X (k ) = DFT [ x(n)] = ∑ x(n)WNkn , k=0, 1, &, N-1 x(n) = IDFT [ X (k )] = 要点: (1)物理概念:DTFT 的等间隔采样; (2)变换区间:有限长 N 点 1 N ∑ n =0 N −1 X (k )WN− kn , k=0, 1, &, N-1 (3)变换结果:与序列长度 N 有关,当 N 足够大时, X (k ) 的包络趋近于 X (e jω ) 曲 (4)频谱分析的意义: X (k ) 表示 ωk = (2π / N ) k 频点的幅度谱线,如果 x ( n) 是模拟 信号的采样,采样间隔为 T,ω = ΩT = 2π f / T ,则 k 与相应的模拟频率的关 2π k 。对模拟频率域而言,N 点 DFT 意 k = 2π f k T 即 f k = N NT 1 1 味着频域采样间隔为 HZ。所以用 DFT 进行谱分析时,称 F = 为频率 NT NT 系为: ωk = 分辨率。而 NT 表示时域采样的区间长度(即观察时间或记录长度 TP = NT ), 显然为了提高分辨率就必须是记录长度足够大。 (时宽和带宽的不确定性) w. ww k 2)由 WN 的周期性: (5)DFT 的隐含周期性: 1) 由 DFT 是 DTFT 的等间隔采样,由于 X (e ) 以 2 π 为周期。 jω 课 后 ~ 答 ( WNk = WN k + mN ) , 案 网 m =−∞ 线 3)由时域抽样频域周期延拓,频域抽样时域周期延拓。 DFT 与 Z 变换(ZT)、连续信号傅里叶变换(CTFT)、离散傅里叶变换(DTFT)和傅里叶级数 (DFS)的关系: 其相互关联的是都是复频域的变换,只不过是变换区间在变化,由面到线再到点,再 到主值区间。即由连续到离散再到有限长。 kh da w. co m k , m, N x ( n) = ∑ ~ ∞ x(n + mN ) x(n) = x(n) ⋅ RN (n) ~ X (k ) = x(k ) RN (k ) 课后答案网 www.khdaw.com (1)DFT 与 Z 变换(ZT) N −1 n =0 X ( z ) = ZT [ x(n)] = ∑ x(n) z − n kn X (k ) = DFT [ x(n)] = ∑ x(n)WN n =0 N −1 0 ≤ k ≤ N-1 X (k ) = X ( z ) z =e j 2π k N , , 0 ≤ k ≤ N-1 0 ≤ k ≤ N-1 WNk 是 z 平面单位圆上幅角为 ω = 1) X ( k ) 也就是 z 变换在单位圆上等间隔的采样值。 2) X ( k ) 也可看作是对序列付氏变换 X (e i. ii. ww 4.线性卷积周期卷积与圆周卷积的关系 (1)具有不同的卷积特性 线性卷积 w. kh da w. co m 2π k 的点,即将 z 平面上的单位圆 N 等分后的第 k 点。 N X (k ) = X (e jω ) ω= 2π k N 案 网 jω ) 的采样,采样间隔为: ω N = 2π N DFT 与连续信号傅里叶变换(DTFT) DFT 与傅里叶级数(DFS) 课 y (n) = x(n) ∗ h(n) ⇔ Y (e jω ) = X (e jω ) H (e jω ) 后 答 课后答案网 www.khdaw.com 周期卷积 圆周卷积 % % % % % % y ( n) = x (n) ∗ h ( n) ⇔ Y ( k ) = X ( k ) H ( k ) y ( n) = x ( n) ⊗ h( n) ⇔ Y ( k ) = X ( k ) H ( k ) (2)对运算对象有不同要求 1)线性卷积的对象可以是有限长或无限长非周期序列,若两个序列的长度分别为 M 和 N,则卷积后的序列长度为 L=M+N-1 2) 周期卷积的对象同周期的周期序列,周期卷积的结果也是同周期的周期序列。 3)圆周卷积的对象是两个同长度(若长度不同可用补零的方法达到同长度)的有限长 序列,圆周卷积的结果也是同一长度的有限长序列。 (3)三种卷积之间的关系 圆周卷积是周期卷积的主值区间; 圆周卷积是线性卷积 L 点周期延拓的主值区间 5.用 DFT 对模拟信号进行频谱分析的误差: DFT(实际中用 FFT 计算)可用来对连续信号和数字信号进行谱分析。 课 xa (t ) 采样 X a ( jΩ) (1) 混叠现象(由采样引起): 采样点数,原来漏掉的某些频谱分量就可能被检测出来。 (3) 频率泄漏(由截断引起) 根据傅里叶变换的频域卷积定理有 : ww (4) DFT 的分辨率: 参数选择的一般原则: a.若已知信号的最高频率防止混叠,选定采样频率 f s ≥ 2 f max 6.DFT 的应用 频谱分析、计算线性卷积等 w. 这里 T 是采样周期。 (2) 栅栏效应(由频域抽样引起) :减小栅栏效应方法:尾部补零,使谱线变密,增加频域 b.根据频率分辩率 F,确定所需 DFT 的长度 N = f s / F c.和 N 确定以后,即可确定相应模拟信号的时间长度 TP = f s / N = NT , kh da w. co m 后 答 案 网 x ( n) jω xN ( n) = x( n) RN ( n) jω X N (k ) 截短 DFT X (e ) X N (e ) X N (e jω ) ω = 2π k / N 课后答案网 www.khdaw.com 二、离散时间系统描述 1.时域描述 一个离散时间系统在数学上的义是将输入序列 x(n)映射成输出序列 y(n)的唯一性 变换或运算。它的输入是一个序列,输出也是一个序列,其本质是将输入序列转变成输 出序列的一个运算。即 y(n)= T[x(n)] 对 T[·]加以种种约束, 可定义出各类离散时间系统。 离散时间系统最重要、 最常用的是“线 性、时不变系统”。 (1) 差分方程 (2) 状态方程 (3) 系统的冲激响应 (4) 系统函数 系统性质 (1). 线性系统(满足迭加原理的系统) (2). 时不变系统(系统的特性不随时间而变化) (3.) 线性时不变系统(既满足迭加原理又具有时不变性) 线性时不变系统可以用单位脉冲响应来表示。我们知道,任一序列都可表示成单位脉冲 序列的移位加权和 w. ww 稳定系统: 当单位脉冲响应用 h(n)表示时,对任何线性时不变系统,可完全通过其单位脉冲 响应 h(n)来表示。这个公式和模拟系统的卷积是类似的,称为离散卷积,或线性卷积。 (4) .系统的稳定性与因果性 输入有界---输出有界(PIPO)。 对线性时不变系统, 稳定的充分必要条件为系统的冲激 响应绝对可和。 kh da w. co m 课 后 ∞ x ( n) = y ( n) = m =−∞ ∑ x ( m) h( n − m) = x ( n) * h ( n ) 答 m =−∞ n =−∞ 案 网 ∞ ∑ x(m)δ (n − m) ∑ ∞ h( n) < ∞ 课后答案网 www.khdaw.com 因果系统: 系统的输出 y(n)只取决于当前以及过去的输入,与未来的输入无关。对线性时不 变系统,因果性的充分必要条件为: h(n) = 0 n<0 或 Rx- <|Z|≤∞ 稳定系统的 H(z)必在单位圆上收敛,即 H e jω 存在。 () 归纳上述性质,线性时不变系统因果稳定系统单位脉冲响应既是单边的,又 全通系统:全通系统的极点与零点便以共轭倒易关系出现 线性相位系统:零点共轭倒易关系 最大最小相位延迟系统: 最大最小相位超前系统: 2.变换域描述 w. (1)系统函数 H(z) : 课 后 这种稳定因果系统既是可实现的又是稳定工作的,这种系统是最主要的系统。 答 其系统函数 H(z)在从单位圆到∞的整个区域收敛。H(z)的全部极点必在单位圆以内。 ww 0<r<1 。 可用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性,系统稳定要求收敛域包含单位 圆。如果系统因果且稳定,收敛域包含∞点和单位圆,那么收敛域可表示为 r<|z| ≤∞, (2)系统频率响应: kh da w. co m ⎧ ⎧h ( n ) n ≥ 0 ⎪h ( n ) = ⎨ ⎪ n<0 ⎩0 ⎨ ∞ ⎪ | h(n) |< ∞ ⎪ n∑ = −∞ ⎩ 1≤∣Z|≤∞ 是绝对可积的,即 案 网 n =−∞ H ( z) = Y ( z) = X ( z) ∑ ∑ i =0 i =0 N M bi z − i ai z −i H ( z) = ∑ ∞ h( n) z − n H (e jω ) = H ( z ) z = e jω 课后答案网 www.khdaw.com H (e ) = jω n =−∞ ∑ ∞ h(n)e − jω n 要点:对于稳定的因果系统,如果输入一个频率为 ω 复正弦序列 x( n) = e 为 y ( n) = e jω n jω n ,则其输出 H (e jω ) 。 (3)系统频响的几何确定法: 利用系统的极零点分布分析系统的频率特性 三、抽样定理与内插恢复 两个内容: 系) ww 条件(抽样定理) 1.理想采样过程描述: 时域描述: w. 连续信号经理想抽样后时域、频域发生的变化(理想抽样信号与连续信号频谱之间的关 理想抽样信号能否代表原始信号、如何不失真地还原信号即由离散信号恢复连续信号的 ˆ xa(t) =xa(t)δT(t) = ∑xa(t)δ(t −nT) = ∑xa(nT)δ(t −nT) n=−∞ n=−∞ kh da w. co m H (e jω ) = ∏ e ω −c j r =1 N j k =1 M r ∏ e ω −d = 各零矢量模的连乘积 各极矢量模的连乘积 k 课 后 答 ∞ 案 网 ∞ ∞ δT (t ) = n=−∞ ∑ δ (t − nT ) 课后答案网 www.khdaw.com 频域描述:利用傅氏变换的性质,时域相乘频域卷积,若 ) ˆ Xa ( jΩ) ↔ xa (t) X a ( jΩ) ↔ xa (t ) ΔT ( jΩ) ↔ δ T (t ) ΔT ( j Ω) = 则有 ˆ X a ( jΩ) 与 X a ( j Ω) 的关系:理想抽样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓,重复周期 即连续信号是带限的,且信号最高频率不超过抽样频率的二分之一,则可不失真恢复。 奈奎斯特采样定理: 要使实信号采样后能够不失真还原, 采样频率必须大于信号最高频 率的两倍: Ω s ≥ 2Ω h 或 2.抽样信号的内插恢复 课 ⎧ X ( j Ω) ⎪ X a ( j Ω) = ⎨ a ⎪0 ⎩ 答 为 Ωs(采样角频率)。如果: ww (1) 频域讨论:当满足奈奎斯特采样定理时有: ∞ ˆ ( jΩ) = 1 ∑ X ( jΩ − jk Ω ) Xa a s T k =−∞ w. 理论推导过程如下: 工程上使用 D/A 转换器。 后 fs ≥ 2 fh 案 网 1∞ 2π 1∞ ˆ ) = ∑ X a ( jΩ − jk Ω s ) X a ( jΩ) = ∑ X a ( jΩ − jk T k =−∞ T T k =−∞ ˆ 这一过程可描述为: Xa ( jΩ) = TXa ( jΩ) kh da w. co m 1 ˆ X a ( jΩ) = X a ( j Ω) ∗ ΔT ( jΩ) 2π 2π T k =−∞ ∑ δ ( jΩ − jk +∞ 2π ) T Ω < Ωs / 2 Ω ≥ Ωs / 2 1 ˆ X a ( jΩ ) = X a ( jΩ ) T Ω< Ω< Ωs 2 Ωs 2 课后答案网 www.khdaw.com 或 ˆ Xa ( jΩ) = H( jΩ)Xa ( jΩ) Ω < ΩS / 2 Ω ≥ ΩS / 2 ⎧T ⎪ H ( j Ω) = ⎨ ⎪0 ⎩ 将采样信号通过一个理想低通滤波器(只让基带频谱通过) ,其带宽等于 ΩS/2,模植为 T,采样信号通过此滤波器后,就可滤出原信号的频谱。 (2) 时域内插恢复 根据频域相乘时域卷积则有: h(t ) = = m =−∞ ∑∫ −∞ xa (τ )h(t − τ )δ (τ − mT )dτ = 课 ∞ 后 ∞⎡ ∞ ⎤ ˆa (τ )h(t − τ )dτ = ∫ ⎢ ∑ xa (τ )δ (τ − mT ) ⎥ h(t − τ )dτ xa (t ) = ∫ x −∞ −∞ ⎣ m =−∞ ⎦ 答 ∞ ∞ 该采样值对应的内插函数不为零, 所以保证了各采样点上信号值不变, 而采样之间的信号则 ww 奎斯特定律。 由各采样值内插函数的波形延伸迭加而成。 内插公式的意义: 证明了只要满足采样频率高于 两倍信号最高频谱, 整个连续信号就可以用它的采样值完全代表, 而不损失任何信息——奈 w. 上式说明连续信号的恢复过程是内插函数的移位加权和, 在每一个采样点上, 由于只有 kh da w. co m ˆ X a ( j Ω ) = H ( j Ω ) X a ( j Ω) 讨论采样信号通过理想低通滤波器 H(jΩ)响应过程的时域描述。由 ˆ xa (t ) = xa (t ) ∗ h(t ) −∞ 案 网 π π T T (t − mT ) 1 2π ∫ ∞ H ( jΩ)e jΩt d Ω = T 2π ∫ Ωs 2 Ω −s 2 e jΩt d Ω = sin Ωs π t sin t 2= T Ωs π t t T 2 m =−∞ ∑ x (mT )h(t − mT ) a ∞ h(t − mT ) = sin (t − mT ) 课后答案网 www.khdaw.com ww w. kh da w. co m 课 后 答 案 网 ...
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This note was uploaded on 10/09/2010 for the course CS 24 taught by Professor Zhu during the Spring '10 term at Peking Uni..

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