chapitre2 - Chapitre 2 Mod` le de neurone et r seau e e...

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Chapitre 2 Mod`ele de neurone et r´eseau Dans ce chapitre, nous pr´esentons le mod`ele math´ematique que nous emploierons dans les cha- pitres suivants pour d´ecrire, d’une part, un neurone artificiel et, d’autre part, un r´eseau de neurones complet, c’est-`a-dire un ensemble de neurones reli´es en r´eseau. Le mod`ele que nous pr´esentons dans ce chapitre est celui de base, commun `a beaucoup d’architectures. Il n’est cependant pas uni- versel, nous pr´esenterons dans les chapitres subs´equents les diff´erentes variantes au fur et `a mesure qu’il sera n´ecessaire de le faire. 2.1 Notations Tout au long de cet ouvrage, nous tenterons d’adopter une notation math´ematique coh´erente. Les principales notations que nous adopterons sont ´enum´er´ees ci-dessous. Il n’est pas n´ecessaire de tout m´emoriser d’un seul coup, on pourra au besoin s’y rapporter plus tard. Concepts de base – Les scalaires seront d´esign´es par des lettres minuscules italiques : p. ex. a , b , c . . . – Un « vecteur » d´esigne une colonne de nombres. – Les vecteurs seront repr´esent´es par des minuscules grasses ( « bold » ) non italiques : p. ex. a , b , c . . . – Une « matrice » d´esigne un tableau de nombres ayant un certain nombre de lignes et de colonnes. – Les matrices seront d´enot´ees par des majuscules grasses ( « bold » ) non italiques : p. ex. A , B , C . . . – Un « vecteur-rang´ee » est une rang´ee d’une matrice utilis´ee comme un vecteur (donc une rang´ee transpos´ee). 5
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6 CHAPITRE 2. MOD ` ELE DE NEURONE ET R ´ ESEAU Poids d’une couche de neurones W k ( t ) d´esigne la matrice des poids pour la couche k d’un r´eseau au temps t . w k j ( t ) d´esigne le vecteur correspondant `a la colonne j de W k ( t ) . i w k ( t ) d´esigne le vecteur-rang´ee correspondant `a la ligne i de W k ( t ) . w k i,j ( t ) d´esigne l’´el´ement ( i, j ) de W k ( t ) ( i d´esigne toujours une ligne et j une colonne). Biais d’une couche de neurones b k ( t ) d´esigne le vecteur des biais pour la couche k d’un r´eseau au temps t . b k i ( t ) d´esigne l’´el´ement i de b k ( t ) . Stimulus d’un r´eseau p ( t ) d´esigne un vecteur stimulus pr´esent´e `a l’entr´ee d’un r´eseau au temps t . p i ( t ) d´esigne l’´el´ement i de p ( t ) . Niveaux d’activation d’une couche de neurones n k ( t ) d´esigne le vecteur des niveaux d’activation pour la couche k d’un r´eseau au temps t . n k i ( t ) d´esigne l’´el´ement i de n k ( t ) . Sorties d’une couche de neurones a k ( t ) d´esigne un vecteur des sorties pour la couche k d’un r´eseau au temps t . a k i ( t ) d´esigne l’´el´ement i de a k ( t ) . Cibles d’un r´eseau d ( t ) d´esigne un vecteur cible pour les sorties d´esir´ees d’un r´eseau au temps t .
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