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chapitre3 - 16 Chapitre 3 Alg` bre lin aire e e Dans ce...

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Chapitre 3 Alg`ebre lin´eaire Dans ce chapitre, nous faisons plusieurs rappels essentiels en alg`ebre lin´eaire. Au chapitre pr´ec´edent, nous avons vu que les entr´ees et les sorties d’un r´eseau de neurones, ainsi que les rang´ees de ses matrices de poids forment des vecteurs. Il est donc important de bien comprendre ce qu’est un espace vectoriel en ´etudiant ses principales propri´et´es. Ensuite, nous aborderons des outils alg´ebriques de base tels les transformations lin´eaires, les changements de base ainsi que les valeurs et vecteurs propres. Ces outils serviront par la suite tout au long des chapitres subs´equents. 3.1 D´efinition d’un espace vectoriel Lorsque nous d´efinissons un vecteur x = [ x 1 x 2 · · · x n ] T , nous faisons habituellement r´ef´erence `a un espace euclidien de n dimensions, que nous notons n . Cependant, la notion d’espace vecto- riel est beaucoup plus vaste que ce dernier qui ne repr´esente qu’un cas particulier. D´efinition. Un espace vectoriel lin´eaire X est un ensemble d’´el´ements (de vecteurs) d´efini sur un champ scalaire F , et respectant les propri´et´es suivantes : 1. poss`ede un op´erateur d’addition tel que : (a) x , y ∈ X implique x + y ∈ X ; (b) x + y = y + x ; (commutativit´e) (c) ( x + y ) + z = x + ( y + z ) ; (associativit´e) (d) 0 ∈ X tel que x + 0 = x , x ∈ X ; (´el´ement neutre) (e) x ∈ X , - x tel que x + ( - x ) = 0 ; (´el´ement inverse) 2. poss`ede un op´erateur de multiplication tel que : (a) a ∈ F et x ∈ X implique a x ∈ X ; (b) x ∈ X et le scalaire 1 , 1 x = x ; (´el´ement neutre) 17
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18 CHAPITRE 3. ALG ` EBRE LIN ´ EAIRE x 1 x 2 x y x + y x 1 x 2 x 3 x 2 x 1 (a) (b) (c) F IG . 3.1 – Diff´erents sous-ensembles de 2 : (a) r´egion rectangulaire ; (b) droite ; (c) plan. (c) a, b ∈ F et x ∈ X , a ( b x ) = ( ab ) x ; (associativit´e) (d) ( a + b ) x = a x + b x ; (distributivit´e) (e) a ( x + y ) = a x + a y ; (distributivit´e) Il est facile de d´emontrer que ces propri´et´es sont respect´ees pour n et, par cons´equent, 2 . On peut cependant se poser la question `a propos de certains sous-ensembles de 2 . Par exemple, consid´erons la r´egion rectangulaire illustr´ee `a la figure 3.1a. Ce sous-ensemble de 2 n’est pas un espace vectoriel car, entre autres, la propri´et´e 1a n’est pas respect´ee. En effet, si l’on prend deux vecteurs `a l’int´erieur du rectangle et qu’on les additionne, il se peut que le r´esultat sorte du rectangle. Par contre, on peut montrer (et ceci est laiss´ee en exercice) que la droite infinie illustr´ee `a la figure 3.1b respecte toutes les propri´et´es ´enum´er´ees ci-dessus et, par cons´equent, d´efini un espace vectoriel. Notez bien, cependant, que cette droite se doit de passer par l’origine, sinon la propri´et´e 1d ne serait pas respect´ee. Un autre exemple d’un espace vectoriel est l’ensemble P 2 des polynˆomes de degr´e 2 ou moins.
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