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Unformatted text preview: 78 Chapitre 7 R´eseau de Kohonen Dans ce chapitre, nous allons ´etudier un r´eseau de neurones dit r´eseau de Kohonen 1 , ou en- core carte auto-organis´ee de Kohonen. Il s’agit d’un r´eseau non supervis´e avec un apprentissage comp´etitif o`u l’on apprend non seulement `a mod´eliser l’espace des entr´ees avec des prototypes, comme avec les nu´ees dynamiques (chapitre 6), mais ´egalement `a construire une carte `a une ou deux dimensions permettant de structurer cet espace. Un r´eseau de Kohonen est illustr´e `a la figure 7.1. Les neurones de ce r´eseau correspondent aux prototypes (figure 7.1a). Ils sont constitu´es d’un vecteur de poids dans l’espace des entr´ees (d’une fac ¸on semblable aux centres des nu´ees dynamiques). La carte des neurones (figure 7.1b) d´efinit quant `a elle des relations de voisinage entre les neurones. Par exemple, la figure 7.2 montre la forme « carr´ee » de voisinage qui est la plus souvent utilis´ee (les neurones y sont repr´esent´es par des cercles vides). On voit sur cette figure que les neurones adjacents sont li´es entre eux par des arˆetes (on pourrait aussi avoir des arˆetes diagonales). Ce sont les voisins imm´ediats sp´ecifi´es par le voisinage Λ i = k du neurone i , c’est-`a-dire l’ensemble des neurones li´es au neurone i par des chemins dans le graphe de la carte contenant au plus k arˆetes. L’algorithme d’apprentissage du r´eseau de Kohonen est de type comp´etitif (section 4.3). La mise `a jour des poids Δ i w du neurone i au temps t s’exprime de la fac ¸on suivante : Δ i w ( t ) = η ( t )[ p ( t )- i w ( t )] si i ∈ Λ g ( t ) autrement (7.1) o`u p ( t ) d´esigne le stimulus d’apprentissage au temps t et Λ g ( t ) repr´esente le voisinage au temps t du neurone gagnant g . Ce dernier est d´etermin´e simplement en retenant l’indice du neurone pour lequel la distance avec le stimulus p est minimum : g ( p ) = arg min i || p- i w || , i = 1 , 2 , . . . , S (7.2) o`u S correspond au nombre de neurones du r´eseau. 1 Teuvo Kohonen, « The Self-Organizing Map » , Proceedings of the IEEE , p. 1464-1480, 1990 (la version originale de cet article remonte `a 1982). 79 80 CHAPITRE 7. R ´ ESEAU DE KOHONEN C a Entrée Couche de S neurones a = compet ( n ) W p n R x 1 S x R S x 1 S x 1 R S n i = − || i w − p || 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 Carte auto-organisée (a) (b) FIG. 7.1 – R´eseau de Kohonen avec carte rectangulaire de S = 6 × 7 = 42 neurones. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 (a) (b) (c) FIG. 7.2 – Topologie de voisinage (quatre voisins) pour une carte `a deux dimensions : (a)...
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