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chapitre10 - Chapitre 10 ACP et apprentissage hebbien...

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Chapitre 10 ACP et apprentissage hebbien L’analyse en composantes principales (ACP) est une m´ethode d’analyse des donn´ees qui per- met de r´eduire la dimension d’un espace d’entr´ee en ne retenant que les axes o`u la variance est im- portante. Soit un ensemble de Q vecteurs { p 1 , p 2 , . . . , p Q } d´efinis dans n . Ces vecteurs forment un nuage de points dans un espace `a n dimensions. En choisissant de nouvelles bases, on d´esire repr´esenter ces vecteurs dans m , avec m < n tout en minimisant la perte d’information. Shannon d´efinit l’information contenu dans une variable al´eatoire X = { x 1 , x 2 , . . . , x N } `a partir de son entropie H ( X ) : H ( X ) = - N k =1 Pr ( x k ) log[ Pr ( x k )] = - E [log( Pr ( x k ))] (10.1) o`u Pr ( x k ) d´esigne la probabilit´e de rencontrer la k `eme r´ealisation de X et E repr´esente l’esp´erance math´ematique. L’entropie nous dit que plus un x k poss`ede une probabilit´e ´elev´ee, moins il contient d’information. ` A la limite, lorsque la variable devient d´eterministe, c’est-`a-dire lorsque Pr ( x k ) 1 pour un certain k et que, par cons´equent, Pr ( x j ) 0 pour j = k , alors l’entropie tend vers 0. Cette d´efinition suppose cependant que nous connaissions a priori la loi de densit´e de nos variables al´eatoires ce qui, dans la pratique, n’est pas toujours le cas. Cependant, si l’on suppose qu’elles ob´eissent `a des lois gaussiennes 1 : Pr ( x ) = 1 2 π σ exp - ( x - μ ) 2 2 σ 2 , (10.2) o`u μ repr´esente la moyenne et σ 2 la variance, alors l’entropie devient : H ( x ) = E 1 2 log(2 πσ 2 ) + 1 2 E x - μ σ 2 = 1 2 log(2 πσ 2 ) , (10.3) et l’on observe qu’elle ne d´epend plus que de la variance. Par cons´equent, dans le cas de distribu- tions gaussiennes, on peut conclure que la variance est synonyme d’information. 1 Notez bien que la loi de Gauss s’applique `a une variable al´eatoire continue. Dans ce cas, il faut remplacer la sommation par une int´egrale dans l’´equation 10.1. 103
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104 CHAPITRE 10. ACP ET APPRENTISSAGE HEBBIEN z 1 z 2 p F IG . 10.1 – Illustration des composantes principales pour un nuage de points en deux dimensions. Ceci nous am`ene `a d´efinir l’analyse en composantes principales en termes de la variance et de la covariance entre les diff´erentes composantes de nos stimuli. Intuitivement, nous recherchons les directions dans nos nuages de points o`u la variance est maximale, tel qu’illustr´e `a la figure 10.1 dans un espace `a deux dimensions, o`u z 1 et z 2 donnent l’orientation des deux composantes principales et l’ellipse symbolise l’hypoth`ese de distribution gaussienne des vecteurs qui est sous- jacente `a l’ACP. Tout d’abord, calculons la moyenne ¯ p de nos stimuli : ¯ p = 1 Q Q k =1 p k . (10.4) C’est le centre du nuage de points. La matrice de covariance C de nos stimuli est donn´ee par : C = 1 Q - 1 Q k =1 ( p k - ¯ p )( p k - ¯ p ) T = σ 2 11 σ 2 12 · · · σ 2 1 n σ 2 21 σ 2 22 · · · σ 2 2 n .
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