3 - algebre - Algèbre linéaire (chap 3) Hiver 2006 tion...

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Unformatted text preview: Algèbre linéaire (chap 3) Hiver 2006 tion d’un Espace vectoriel espace vectoriel ´ s definissons un vecteur x = [x1 x2 · · · xn ]T , nous faisons habituellem n dien de n dimensions, que nous notons . Cependant, la notion d’ ´ plus vaste 5 prce dernierpour l’addition de vecteurs: que opriétés qui ne represente qu’un cas particulier. • • ´ pr suivantes ´ e F , et respectant les proprietesoduit par :un scalaire: 5 propriétés du ´ operateur d’addition tel que : fermeture, commutativité, associativité, élément neutre élément ver un ´ ´´ espace vectoriel ,lineaire Xinest se; ensemble d’elements (de vecte fermeture, élément neutre, associativité, X implique xibutivité.X ; distr + y ∈ ´ = y + x ; (commutativite) 2 Espace des polynômes omes des polyn ˆ 2t + t , (3.1) ´ lements de cet espace’ordre 2 sont : t. (3.2) d 2 espace vectoriel est l’ensemble P 2 le d’un tez bien, cependant, que cette droite se doit de passer p ´ t pas respectee. l’ordre de celui-ci, etc. En notation vectorielle, ´ te 1]T espace v -1 0]T . te les 10 proprie[3s2d’un et y = [5ectoriel. En effet, si xemple par x = ´ ˆ ´ 2 ou moins, on obtient un autre polynome de degre 2 ou cespar un scalaire sans changer l’ordre de celui-ci, etc. En vectoriels avec des ensembles de fonctions me ´´ mentles deux polynles 10de l’exemple par x = [3 2 1]T e de respecter omes proprietes fondamenˆ nter ´ ´ ine de preciser cette definition formelle, c’est 3 x = 3 + 2t + t , ce vectoriel. En effet, si l’on additionne deux ye 2 ou5 − t. On peut aussi = moins. ˆ polynome de degr ´ 2 Sous-espace 18 x2 y x ` ´ CHAPITRE 3. ALGEBRE LINEAIRE x2 x+y x2 x1 x1 x3 x1 (a) F I G . 3.1 – Differents sous-ensembles de ´ 2 (b) (c) : (a) region rectangulaire ; (b) droite ; (c) plan. ´ ´ (c) ∀a, b ∈ F et ∀x ∈ X , a(bx) = (ab)x ; (associativite) ´ (d) (a + b)x = ax + bx ; (distributivite) ´ (e) a(x + y) = ax + ay ; (distributivite) 4 ´ {x1 , x2 , . . . , xn }. Alors ces vecteurs sont line ORIEL 19 . , an tels qu’au moins un d’eux est non nul et Dépendance linéaire ´ ´ }. Alors ces vecteurs sont lineairement dependants s’il Avec au moins un coefficient non nul. moins un d’eux est non nul et que : + a1 x1 + · · · + a1 x1 = 0 implique que + an xn = 0. (3.3) 2 x2 + · · · Réciproquement, si l’expression ci-dessus a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = 0. dants. ∀i, a + a1 x1 = 0 implique que ∀i, ai = 0, alors les vecteurs implique: urs suivants : alors les vecteurs sont indépendants. 1 1 5 a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = 0. ´ Et reciproquement, si a1 x1 + a1 x1 + · · · + a1 x1 = 0 implique que ∀i ´ ´ sont (lineairement) independants. Par exemple, les vecteurs suivants : 1 1 x1 = −1 , x2 = 1 −1 −1 ´ ´ sont lineairement independants car si a1 x1 + a2 x2 = 0, alors : Exemple a1 + a2 0 -a1 + a2 = 0 , -a1 − a2 0 et a1 + a2 = 0 implique que a1 = −a2 , et −a1 + a2 = 0 implique a1 = a2 = 0. 6 p1 + a2 p2 + a3 p3 = 0 pour a1 = 1, a2 = −1 et a3 = mensions Dimension et vecteurs de base vector • La dimension d’un espacevecteursieldecorrespond au nombre minimum de base requis pour « couvrir » cet espace; ´ ´ n espace vectoriel est determinee par le nombre min de vecteur « dit d’un ir l’espace vectoriel en entier. sOncouvrent » ensemble de v • Un ensemble iel ssi tous les vecteurs deun espace vector cet vectorielspace peuvent s’exprimer comme une ∈ X de ce e X si et seulement si tous les x combinaison linéaire ecteurs de base : ´ ombinaison lineaire des vdes vecteurs de base. x = a 1 u1 + a 2 u2 + · · · + an u n . nous avons l’habitude de travailler avec les vecteurs 7 vecteurs de base u1 = [1 0] et 2 Par e[xemple,.5] ou , nous avo dans erait [0.5 0.5] etExemple −0.5 0 u2 = lineairement n’est pas la [0 ´1], mais ce rs de base soient Espaceencore [2 0]de degré 2:. La seule ch des polynômes et [0 2] • ´ independants. 2 ut choisir autant {1, t, t } que 2 Pour notre espace P des po 2 {1, 1 + t, 1 + t + t }, par exemp 8 Le produit scalaire entre deux vecteurs x et y, que nous noterons <x, y>, ` ´ tres importante pour les reseaux de neurones. N’importe quelle fonction scal Le produit scalaire respectant les trois proprie ´y que nous noterons` ´ vecteurs comme argument et entre deux vecteurs x ettes ,suivantes peut servir a ` ´ tres : scalaireimportante pour les reseaux de neurones. N’importe quelle fonc ´´ vecteurs comme argument et respectant les trois proprietes suivantes peu 1. <x, y> = <y, x> ; scalaire : 2. <x, (ay1 + by2 )> = a<x, y1 > + b<x, y2 > ; 3. 1. x<x, y>0= vec <x> ;> = 0 uniquement pour x = 0 ; < , x> ≥ , a <y, x , x Produit scalaire 2. <x, (ay1´ te by cifie qu’un produit + b<x doit e ; ` ´´ ˆ ´ La premiere proprie+ spe2 )> = a<x, y1 > scalaire , y2 >tre symetrique. La deu ´ ´ le produit d’un > ≥ 0, parec <x, x> = 0 uniquementdeux vx = 0 ; est egale 3. <x, x vecteur av une combinaison lineaire de pour ecteurs ´ ` ´´ lineaire des produits scalaires. Finalement, la troisieme propriete restreint le pro ` ´´ ´ ˆ ´ La premiere propriete specifie qu’un produit scalaire doit etre symetriqu ˆ vecteur avec lui-meme aux valeurs positives, sauf pour le vecteur nul qui doit do ´ le produit d’un vecteur par une combinaison lineaire de deux vecteurs ´ Le produit scalaire habituellement utilise sur lantroisiefini par : ete restre est d ´ me propri ´ ´ ´ ` lineaire des produits scalaires. Finalement, e ˆ vecteur avec lui-meme aux valeurs positives, sauf pour le vecteur nul q T ´ Le produit scalaire habituellement utilise sur <x, y> = x y = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn . n ´ est defini par : 3.1.4 Norme <x, y> = xT y = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn 9 La norme d’un vecteur est une mesure de longueur. La fonction scalaire | La norme d’un vecteur est une mesure de lon ´´ norme si elle satisfait aux quatre proprietes suivante 1. ||x|| ≥ 0 ; 2. ||x|| = 0 si, et seulement si, x = 0 ; 3. ||ax|| = |a| ||x|| ; 4. ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| ; Norme ` ´´ ´ La premiere propriete specifie qu’une norme est to ` qu’elle n’est nulle que pour le vecteur nul. La troisie ´ par un scalaire soit (lineairement) proportionnelle a impose que la norme d’une somme de deux vect normes. 10 ´ ´ ` orme d’une somme de deux vecteurs soit inferieure ou √ ale a eg ´ ´ ´ plus souvent utilisee, nommee l2 , est definie par ||x|| = <x, x n ` ien efinie par ||x|| la normex, x>, cehabituelle : correspond a = √< euclienne qui dans √ t d´ ´ ´ ´ plus souvent utilisee, nommee l2 , est definie par ||x|| = <x, x ne n correspond x la norme + x2 + · · habituelle ` ien habituelle : ||a || = x2 euclienne · + x2 . : 1 2 n Exemples res· normes .sont possibles telle + x2 + · ·e·x+ x2 . ||x|| (L2|x1 | + |x · · + x2 (3.8) = ) ||x|| = x2 que, par emple, 1 2 n n appelle norme CE VECTORIEL N D’UN ESPAl1 (on dit aussi «city block» ou encore «manhattan es normes sont possibles que |x2 + les normes dites lp = |x telle ar exemple, ||x|| telles 1 | +: que,| par ·e·x·emple,n||. || = 1) 1 | + |x + |x |x (L |x appelle norme l1 (on dit aussi «city block» ou encore «manhattan lock» ou encore «manhattan»). Dans le cas les normes dites ||p = p |xque+norme+∞· suiv|ante ,: (Lp) ` cas ou p → ∞xontelles 1 |pla: |x2 |p l · · + xn |p || , l obtient que plus p devient grand, plus on attache de l’importance aux limite, on ne tient compte que de la plus grande composante du · · · + |xn |p , ||x|| = p |x1|| = |x2 |p |xi·|. · + |xn |p , ||x|p + max + · i (3.9) (L∞) 11 entionnons qu’il importe parfois de «normaliser» nos vecteur ˆ ecteur qui pointe dans la meme direction qu’auparavan ||x|| Loi des cosinus <x, y> = ||x|| ||y|| cos θ. roduit scalaire et de norme permettent aussi d’introduir et y via la fameuse loi des cosinus : ´ alite 12 et y sont dits orthogonaux si leur produit scalaire <x, y Orthogonalité • Deux vecteurs sont dits orthogonaux si leur produit scalaire est nul. • Un vecteur est aussi dit orthogonal à un sousespace, lorsqu’il est orthogonal à tous les vecteurs de ce sous-espace. 13 Deux ecteurs ` produit scalaire ⊂ orthogonaux si us-espacevdit ⊂ si leur et sous-espacedits, y>lorsqu’il( est ALG).` leur EAIRE ´ txy∈ X est aussi X orthogonallorsqu’il estXorthogonalθ =orthogonal LINproduit s sont dits orthogonaux X xa un y sont <x CHAPITRE 3. 90◦ EBRE X est nul ´ lite tcteurs x deace sous-espace.X ar eXemple, unest orthogonal3 definit un sous-espace orthogonal ` un sous-espace P3⊂ x lorsqu’il plan dans ple,aussiarplan dansa un sous-espace un sous-espace ´ est orthogonal d ´3 definit X sous-espace est un ditxemple, un plan dans efinit un⊂ X lorsqu’il orthogonal ` ´ s-espace. P il ecteurvx ∈ perpendiculaire (orthogonal) a ce plan (voira un sous-espace e Un perpendiculaire (orthogonal) a ce plan (voir<xdeorthogonal `figure est scalaire figure `un sous-espace pour lequel vexiste un ecteur Xproduitaussi dit, y> est nul (θ = 90◦ ). tun sont dits (orthogonal) a ce plan 3 ´ figure e ce sous-espace. Par si leur ` ` ex ydvecteur orthogonaux exemple, un plan dans(voirfinit diculaire ` equel il tous un vecteur perpendiculairee ce sous-espace. Par exemple, un pl vec existe orthogonal a un sous-espace X ⊂ X lorsqu’il est oir figure les vecteurs x d (orthogonal) a ce plan (v orthogonal ` est aussi dit ´ de n { plan . . , x 3 un rmportece sous-espace. Parindeemple,xunx1 ,il2 ,eindependants vun x2 , . . . , perpendiculaire unde de convertirecteurs ex pendants vecteurs. xisteen´ finit x1 , sous-espaceen ensemble de n v un ensemblelequel x dans´ n } de { ecteur xn } x dimension 2 pour e ´ ´ ogonaux {v1 , v2 , . . . , vn }. Onoperationfectuerv2methode ration avec la methode de ´ . de nconvertir un ensemble de peut ef2 avec(orthogonal) {x1 , x2 , . . (voir } en , v }. On peutunfectuer cette n´ vecteurs indcette ope dea ce plan . , xn figure ef vecteur perpendiculaire laependants ` ´ equel il existeecteur orthogonal peut etre quelconque, nous choisissons donc le Leecteurs independants {ˆ choisissons.donc, le n } en premier peut etre quelconque, nous x1 , x2 , . . x v ˆ´ v{v1, v2, . n .1c). rx orthogonal . . , v }. On peut effectuer cette operation avec la methode de ´ ´ v1 = x1 ´ independant : ˆ emier vecteur orthogonalration . vec la methode de ´ de e v ´ fectuer1 = xun ensemble v1 = tre1aquelconque, nous choisissons . donc }leen cette ope peut n xecteurs independants {x , x , . . , x (3.13) v ´ (3.13) ensemble de n vecteurs e de convertir 1 . il importe de convertir un 1 2 n av1 endantParfois, : CHAPITRE 3. eon{v1,quelconque,=oir 1soustrait22de cetteavportion donc la2,mlathode dedu ´ x utilise x , mais on` peut .ef choisissons du de le ´ (3.13) ,ˆ ecteur v2 , .2. . , vn }. Onav nousmais apre,s la operation avec x e portion ` vtre orthogonal,apresutilise x2 ,fectuer x2 oir soustrait v1 x ecteurs emier obtient : de v1 . On peut ˆ: {v1 , v2 , nous vn }. On peut v1 .vla direction orthogonaux dansOn vecteur orthogonalobtientetre quelconque, . . . , choisissons donc le effectuer ce ` r orthogonal, on utilise x2 , mais apres avoir soustrait de x2 , la portion du endant : ˆ ram-Schmidt. vde=laxmethode, de transformation(3.13) Gram-Schmidt.tre quelc peut e vG .=de2– 1 . On obtient : xpremier vecteur orthogonal (3.14) x v Illustration 2 − av1 , v Le .2 − av1 (3.14) orthogonale (3.13) FI 2 direction3.2 ´ 1= 1 orthogonaux si leur produit scalaire <x, y> est nul (θ = 90◦ ). urs x et y sont dits orthogonaux si leur produit scalaire <x, y> est nul (θ = 90◦ ). Méthode de Gram-Schmidt Soit un ensemble de vecteurs indépendants: que l’on veut transformer en vecteurs orthogonaux: 1 ` re ` v > = soit orthogonal v < vecteurs. a<v1 , v ie<va le 2que v<v1 , (x2 entre )>`deux Ceci > −Ceci que 1:> = 0 lculer1 ,ceproduit2 scalaire − av1les a= 1 . v1 , x2implique s’appelle le projecteur(3.15) sur v1 (voir de x2 ` v2 = x − av1 , (3.14)av1 ure 3.2). Si l’on continue ce2processus, le k eme vecteur orthogonal est obtenu par l’expression : 2 v2 > == <1 ,1(x2 > . av1 )> = <v1 , x2 > − a<v1 , v1 > = 0 <v v , x2 − (3.15) (3.16) a <v1 , x2 > k−1 <v , 2 > . (3.16) a= <vi , xk que `, ` ` iere a ce que1vv1soit orthogonal a v1 . Ceci implique > 1 : (3.14) 1 <vk ,= 1xk − vi . (3.17) 1v> ´ iF I G . 3.2i , vi > ation de la methode de transformation orthogona =1 <v – Illustr <v1 , x2 > v2 > = <v1 , (x2 − av1 )> = <v1 , x2 > − a<v1 , v1 > = 0 (3.15) . (3.16) a= <v1 , 1 > ` a v1 . Ceci impliquevque : 14 2 2 1 ` ,nsi, − av1trouver v1 , composante1 ,de1 > 2=dans la direction de v1 , c’est-a-dire av1 , il s’agit= de (x2 pour )> = < la x2 > − a<v v x 0 (3.15) v1 x1 ´ que : remier vecteur independant : x2 v maniorthogonal ` v . = x2−mais, apr ` s . Ceci implique que soit ere a ce que v soit implique ` Ceci , av r orthogonal, on autilise x2orthogonal aev1avoir soustrait de x:2 , la portion du 2 (3.14) v e ` ` av . On obtient : 1 s apr`esde v1oirv22soustrait de x2 , la portion du v1 = x1 . direction 2 ` our le second vecteur orthogonal, on utilise x , mais apres av ecteur qui est dans la direction de v . On obtient : v = x − av , ˆ ´ n se rappelant que les vecteurs de base ui doivent etre independants, o 2 2 ´ ˆ fficients doivent forcement etre nuls, donc : n ´ 3.2v = u Transformations lineaires ! x aij xj = yi . =1 1. ∀x1 , x2 ∈ X , Aj(x1 + x2 ) = A(x1 ) + A(x2 ) ; v1 = u1 pond au2. ∀x ∈de matrice :, A(ax) = aA(x). produit X , a ∈ Transformation linéaire et ´ Une transformation lineairematricielle d représentation A est une application vectoriel Y telle que : ` premiere i=1 j =1 La ´ a n r2 somme a21Transformation qu’elle soit (a)erotation d des transformees, 2pour xotation :y2lin ´ aire. La d a22 · · · – F I G . 3.3 . de . = . , . . ´. ´ formee . vecteur. .auquel on a .applique .unfacteur d’e d’un . . . ´ . . . . v1 et v2 . ´ am transformee du xn ´ applique sur 1la am2 · · · amn vecteur original. Si l’une ou ym ´ ´ respectee, la transformation n’est pas lineaire. (a) que la transformee d’une ´ t ´ ecifie x1 y1 ´ ´ proprie· e· spa1n a11 a12 · que l’on peut noter Ax = y. 15 ´ Autrement dit, toute transformation lineaire pe ´ – Transformation de rotation : (a) rotation du vecteur x ; (b) rotation des vecteur ut noter Ax = y. 24 ´ ˆ ´ ent dit, toute transformation lineaire peut etre decrite par une matrice A q peut noter Ax = y. Ax ´ ier avec le vecteur que l’on veut transformer, pour obtenir le vecteur resu tion. dit, toute transformation lineaireAv -sin ! decrite par une matrice A qu ´ ˆ ement peut etre ´ 2 ´ plier avec le vecteur que l’on veut transformer, pour obtenir le vecteur result cos ! ! Av1 x ´ ´ ` e exemple=de transformation lineaire, considerons la rotation qui consiste a fa v2 u2 ation. ! autour de l’origine. Pour simplifier, utilisons X = Y = 2 et travaillon ´ ´´ ` qui ` eme exemple de transformation lineaire, considcartesien! illustres aconsiste a f3.3 base habituels, c’est-a-dire ceux du plan erons la rotation ´ ` la figure air 2 v vecteur de base comme a X = Y = ur autour dechaque1 = u1Pour simplifier, utilisonsla figure 3.3b. Cecitravaillons l’origine. et s’accomp ` ransformer (a) ` ´ (b) ´` de base 3.20 : habituels, c’est-a-dire ceux du plan cartesien illustres a la figure 3.3a F I G . 3.3 Transformation cos( )v base comme a xa figure a vecteur transformer–chaque vecteur θde :1 +otation θ)vecteur la; (b)v1 +3.3bv2 , s des’accompli A(v1 ) = de rotation (a) r sin( du v2 ` 11 rotation des . Ceci base = 21 v1 et v2 . n 3.20 : A(v(v1= = cos(θ))v11+ sin(θθvv2 = 11121 ++21 v2v2 . A 2 )Ax = y.sin(θ v + cos() ) 2 = a a v v1 a a22 , )− que l’on peut noter ´ ˆ Autrement dit, toute − sin(θ )v matriceθetre rotationune matricev s donne les deuxv2 ) = transformation 1lineaire peut de 2de= a12 v1 +dans A .qu’il s’agit colonnes d’une + cos( )v ´ crite par A a22 2 2 : A( cos ! Rotation ` ´ CHAPITRE 3. ALGEBRE LINEAIRE us donne les deux colonnes d’une matrice − sin θ : cos θ de rotation A dans ´ ` Comme exemple de transformation lineaire, considerons la rotation qui consiste a faire tourner A= ´ sin utilisons X θ= Y = 2 et travaillons avec les cos un vecteur autour de l’origine. Pour simplifier,θ cos plan cartesien ` ` vecteurs de base habituels, c’est-a-dire ceux duθ − sin θ illustres a la figure 3.3a. La clef A = de base comme a la´ figure 3.3b´. Ceci s’accomplit grace a ` ˆ` ici est de transformer chaque vecteur sin θ cos θ ´ de multiplier avec le vecteur que l’on veut transformer, pour obtenir le vecteur resultant de la transformation. 2 sin ! 16 ABt x = Bw y (3. −1 multipliant de part et= Bw y par Bw : d’autre ABt x multipliant de part et d’autre par B−1 : (3.32) ABuis en Bw y et d’autre par B−1 : w (3.32) (B−1 AB t x = part p is en multipliant de w w multipliant de part et d’autre par B−11AB )x = y , B− : w (w (3.33 −1 t −1 t d’autre par −1w: : B autre par Bw −1 (Bw ABt )x 1 y , −= ce (qui1implique w ABt )= Bw ABt . B− ABt )x(B que A x = y , =y, (3. −1 implique queB−1= Bw)x =t .y , w A AB AB (−1w qui implique que A = B−1 ABt . (3.33) t ce w (Bw ABt )x = y , −1 On doit retenir qu’en changeant de base pour (3.33) −1 plique que qu’en changeant ´ qui implique que A = de ABt . n−doit retenir A = Bw ABt .Bwbase pour representer nos vecteurs, nous changerons aus 1 ´ On doit retenir qu’en changeant de base pour representer nos vecteurs, n w ABt . matricielle de nos transformations. Le rematriciellememe car les deux transfo 17 ´ la representation´ sultat sera le de nos transformatio ´ ˆ esentation ´ Bt x , x esultatswdansBBquation t2······tn ]] obtient l’expressionobtient.l’expression suivante y , e = esultats tn · m] . : = ces y´ = =substituant t= [rtt1 2 dans etequation [3.31,w2 · ·suiwm ]En Bt r , y B Bw y ,l’t´ ces [1 t3.31, on l’ ´ Bw = [w1 on wvante En w = w1 w2 · ant y 3.32 s´ l’expression Bwante : part et ´ l’equation 3.31, on obtientpuisABtmultipliant de = Bw B y equation 3.31, on obtient l’expression suivante t:xAB x = yd’autre par B−1 (: en x = AB w t w ´ . : X −→ 1 , u2 , . . . , um } line de A Par consequent ´ autransformation ceuxaireYLINEAIRESY et :l’ensemble {v1 , v2 , . . . , v ´ . TRANSFORMATIONS ´ , et {u1 , u2 , . . . , um } ´ceux Supposonsconsequent : l’on veuille chan de Y . Par maintenant que RANSFORMATIONS LINEAIRES = y, ∀x ∈ X . 2 Ax 3.2. TRANSFORMATIONS,LINEAIRES les nouveaux25 ensembles d ´ et {w1 , w2 . . . ´, wm } ´´ ANSFORMATIONS LINEAIRES INEAIRES S LINEAIRES maintenant que l’on veuille ∀x ∈oX x = B 25 , y X et Y . , Supposons pour Aeuille=Ax, ∀xy, changer .de Y . Soient {t = ,B.w y S x changer de base pouruX et basex y = ∈ X, ` t pposons maintenant que l’on v 1 , t2 . . , tn {w1 , w2 , . . . , wm } les nouveaux ensembles dechangerl’equation 3.31,Y . So Supposonssubstituant ces reveuille vecteursbase base., Av. onc maintenantde vecteurs depour XAetec ´ Soient {tnous,auron que l’on´ sultats dans Y ces bases, X tet ec , de. de pour , w2 , . . maintenant que l’on ensembles , wm } les nouv posons .euille changer eauxbase pour X et Y . base base. , tv , . . . , t } 1 2 . . euille changer de Soient l’on∀v veuille ∈ x ,= 2ou.x.xvy m }pournouveaux Bw y· · {Bt1t=B[t1=n }de ·w n·]· etvec].wE de ,base Bt x X y =. Soient, ·{t,de2 ,2. . . , t2[· · base. ·A B ce x y = x ∈∀xeto{wXw B.` , w = lesw y,, Bt Y [t1 t2 tn ] etvecteurs w1 t2 wm que .l’onw X , unouveaux ensembles de etecteurs de base. Avec ces n t bases, nous aur ` 1 , ,t , . . y ,m } leschanger de = B = ensembles t1 w w2 , , v eauxces resultatsedansvecteurs deequationBt x cesxpression,nousantet1 t2 · · · tnABtvan= ensembles de e dans 3.31, x y B uv,eaux ensembles = l’B∀x , ∈ X , base. obtient ,l’e on·Bwt ] sui B aurons stituant´ X , o `xx deyv,quation = o `w y A t 3.31,1 bases,y et l’expression ·sui w . r ´ = ´ t x y de base. B = [t = · n B = [= obtient w : uant∀x ∈ cesAu sultatsecteurs l’ ´ Bu on ,= vec cestbases,noustvaurons[w1 w2 ]· et wx ]= y ·m 2 ´ elle depend des vecteurs de base. Dans cette sous-section, nous allons ex ´ important de noter que la representation matricielle d’une transforma ’une transformation lorsqu’on effectue un changement de base. ´ car elle depend des vecteurs de base. Dans cette sous-section, nous a nt d’une transformationX −→ Y et l’ensemblechangement ,de base. v lorsqu’on effectue un {v , v EAIRES 3.2. TRANSFORMATIONS 1LIN,´. . . vn } des ´ nsformation lineaire A : 2 Changement de base ´ r propre reelle pour θ = =1 ` ntantcecette (saufdirection0continueront a`80 ), cela implique queetoutedirection apres a dans cettevecteurs ou encore θes `apointer dans la m ˆ meˆ me direction l dans qui dans direction continueront cos fet recherche θla m Valeurs n’estune nouvelle direction (ce qui estpointer danspour une propr tent´ pointera et pas toujours le cas. ´ orme l’efθ − λ − sin ´ ` ` v −λ = , ´ ais avec facteur d’d’echelleλ correspondant lacosaleur propre associee. Not un facteur echelle λ correspondantθ a a laθvaleur0propre associe sin ´ ´ vec un nt = λ2 − n’est vθ + 1 de 0ecteur les valeurs peut un certain cos alide = , on propres sont re ´ ´ erpretation 2λensemble quevlorsquede base,(3.40) reformulerelles et que 3.34 v )terminons ce chapitre lorsque lespropres distinctes,notionest´ l’e´quation les p atrice A n’est valide que polynomealeurs : une autre alors station de dimension ndonneengendreabordantvaleurs propresilsont reelles et qu fondamentale ce qui × n le en ˆn v suivant cielleecteurs propres ind ´ pendants qui cas. tent ce: qui n’est pasetoujours lecorrespondent a un ensemble de vecteurs rer n v ´ A represente. Dans λ − et des+ e 2 θ + ´ ´ ce Az = `´ ations linsont compleene le2 cas.puisqueseaux de neurones θ + 1 = 0, e pas en gxes. Ainsi, cos θλ rdiagonaliser θ = λ2 − 2 e qui n’estaires toujoursrale,cas,λon peutz(cosqu’ilsin2la )matrice deλ cosen particulie 2 ´ ansformation que − j sin θ nt un certain ensemblede vecteur de base, si peut 1 z2 · · · zn ], la ´ de propres. un changement ◦ ),base. Plus formellement,on B = [zreformuler l’equation 3.34 ◦ en effectuant ` propres, alors := x niou :equiensemble racines ecteur θ + jbase, on=peut− j sin θ sont comple´ quation ere encore θ dont les de cela cos de sin θ et 2 certain valente :180 v λ1 =implique que λtoutcos θ◦ reformuler l’◦e es. Ainsi, p teurs ´ ielle ´´ n’y pas l’effet recherch) pour valeur (A propre e I e = pour θ ou encore = direction (ce quia est de aire A :− rλellez(sauf0 une = 0 domaineθ et 180 ), cela impli la transformation reel´transformeAz= λz X (ici elle direction (ce qui est l’effet recher line X −→ une nouv le l’image de : vecteur ´λ1 0 · · · ´ pointera dans 0 ˆ la ` emes). Alors, les !).. λ2 zAz` re eλles scalaires λ que les colonnes de 0 ecteurs · ∈ e = ´ z ntere ematrice rotationve0 Cette· ·derniX etquation impliquesatisfaisant a la rela identit ´ ` nie ´ quivB−1 AB : . . . alente = . , . que son .Aeterminant n × n engendre n valeurs propres distincte . distinctes,dimension est nul : (3.41) . . Lorsqu’une matrice .d ´de alors il . (.A − λI)z = 0 ´ antes et, n valeurs quent, gendre par conse propres ´ qui alente possible d’engendrer·n vecteurs propres= λz equivcorrespondent 0` un ensemble de(vecteurs : ` ind ´ pendants qui correspondent a un ensembl 0 · · λn nts a la transformationA z) repreesente. Dans ce cas, on peut diagonaliser l de base pour ´ nte la ce cas, on peut´ .diagonaliserereImatrice ´ implique que les colonnes de A matrice identite Cette A − `λI)|z = 0 de derni la que A0 |A de λ e directement de la de (´ effectuant unquation de base. finition Dans les valeurs propres de A. Ce resultat−´ coule= ´ Plus formellement, si B = [z1 } sont la transformation en changement «vecteursde consequent,n:que«valeurs propres» (λ),:respectivement. Cette d ´ ´ ntes et, parpropres»des ) et son determinant ´ matrice (z leurs propres formellement, vecteurs propres, alors :z ]est nul l’equation 3.35 si B = [z z · · · ase. Plus identite. Cette dernie1 2equation implique que les colonne ´ ` re ´ n , la matrice Valeurs et vecteurs propres ´´ cteur propre d’une transformation donnee represente une direction dans λ 0 · ·| · 0 ´ quent,1 que son 0 eλI| = 0 a λ1 nul ·· ·· 0 ˆ et, par consecette directionA0−terminant pointer ··:dans la meme directi d´ est λ2 pointant dans 0 0 0 λ2 · · · continueront ` −1 AB = B . (3.42) , . . echelle λ B AB = . . . . . . correspondant a. .la valeur propre ass . .`. . . , mais· av0 un facteur ..d’ ´ .. ec 0 ·· . . . . 0 0 · · · λn · ´ λ2 · · · etation n’est 0 alide· |que− λI| = les valeurs propres sont reelles e interpr ´ 0 v 0 · Aλn lorsque 0 , . dans. les chapitres` a λenir2,,lorsque}nous analyseronspropres de A. Cedesultat decoule directement de .quion’estλpas. ,toujours le cas. la performance re divers ´ . ce . u `{ v1 , . . λn sont les valeurs (3.41) ´ xistent . . tile . . ´ ´ rentissage pour les des vecteursneurones. propres de l’equation 3.35 : reseaux de et valeurs λ1 0 ··· 0 18 0 · ·un λn · certain ensemble de vecteur de base, on peut reformuler l’equa ´ osant ...
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