Galim - ‫פרק א'‬ ‫תנודות:‬...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫פרק א'‬ ‫תנודות:‬ ‫למערכות רבות בטבע ישנו מצב של שיווי משקל יציב. זהו, בהגדרה, מצב בו יפעל על המערכת כח‬ ‫מחזיר אם היא תחרוג ממנו במקצת. הדוגמה הפשוטה ביותר היא מטוטלת פיסיקלית: כאשר‬ ‫המסה תלויה כלפי מטה המערכת היא בשיוון משקל יציב – תנודות קטנות יוצרות כח מחזיר,‬ ‫ואילו כאשר המסה בדיוק כלפי מעלה זהו שיווי משקל לא יציב: תנודות קטנות יגדלו. מעגל ‪RC‬‬ ‫הוא יציב כאשר אין מטען על הקבל ולא זרם בסליל, וכדומה.‬ ‫מערכת פשוטה נוספת בה נמצא שיווי משקל יציב, ובה נשתמש כדי להדגים את הפורמליזם‬ ‫המתמטי, היא של חלקיק הקשור בקפיץ ונמצא על משטח. כאן המצב בו הקפיץ רפוי הוא מצב‬ ‫שיווי המשקל, ועבור תנודות קטנות הקפיץ יהיה זה שיפעיל כח מחזיר. אבל התחולה של רעיון‬ ‫שיווי המשקל היציב רחבה מאד: כל עצם שאנו רואים "במנוחה" הוא בדרך כלל במצב שיווי‬ ‫משקל יציב, שאם לא כן היו פלקטואציות מיקרוסקופיות גורמות לו לנוע.‬ ‫תנודה הרמונית פשוטה:‬ ‫מסה ‪ m‬נמצאת על שולחן חסר חיכוך. עפ"י חוק הוק הכח שמפעיל הקפיץ הוא כח מחזיר וכמו כן‬ ‫הוא פרופורציונלי למעתק. משוואות דומות יתארו היגב של מעגל ‪ RC‬למטען עלהקבל.‬ ‫‪F = − kx‬‬ ‫‪ma = − kx‬‬ ‫‪d 2x‬‬ ‫‪k‬‬ ‫2‬ ‫,‪= − x = −ω0 x‬‬ ‫2‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪m‬‬ ‫≡ 20‪ω‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪m‬‬ ‫זו המשוואה הבסיסית שמגדירה אוסילטור הרמוני וצריך לפתור אותה. הפתרון הוא מהצורה‬ ‫) ‪x(t ) = A cos(ω0t ) + B sin(ω0t‬‬ ‫) ‪) A cos(ω0t ), B sin(ω0t‬כל אחד בנפרד גם כן פתרון(‬ ‫)‪ B,A‬קבועים הנקבעים עפ"י תנאי התחלה ואינם תלויים ב-‪( t‬‬ ‫‪x(t = 0) = A‬‬ ‫‪v(t = 0) = ω0 B‬‬ ‫צורה נוספת לכתוב את הפתרון היא :‬ ‫) ‪x(t ) = A sin(ω0t + φ‬‬ ‫‪x(t ) = Aeiω0t +iφ‬‬ ‫כאשר מוסכם שלוקחים את החלק הממשי של הביטוי כפתרון. היתרון בהצגה השניה הוא שאנו‬ ‫מזהים מיד את ‪ A‬כאמפליטודה ואת ‪ φ‬כפאזה. היחס בין הפתרון הראשון לשני ניתן על ידי:‬ ‫2 ‪ A2 + B 2 = A‬‬ ‫‪‬‬ ‫⇒‪‬‬ ‫‪tgφ = A B‬‬ ‫‪v(t = 0) = ω0 B = ω0 A cos(φ ) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪x(t = 0) = A = A sin(φ‬‬ ‫מכיוון שמשוואת התנועה היא משוואה לינארית:‬ ‫כל צירוף לינארי של פתרונות גם הוא פתרון, כלומר אם ) ‪ x1 (t ), x2 (t‬הם פתרונות אז גם‬ ‫) ‪ Ax1 (t ) + Bx2 (t‬הוא פתרון כאשר ‪ A‬ו- ‪ B‬מקדמים כלשהם.‬ ‫ניתן להציג פתרון בצורה של פונקציה מרוכבת. מכיוון שכל פונקציה מרוכבת ניתנת‬ ‫להפרדה לחלק ממשי ודמיוני: ) ‪ , x(t ) = xR (t ) + ixI (t‬כל פתרון מרוכב נותן לנו שני‬ ‫פתרונות ממשיים, הלא המה החלק הממשי והדמיוני של הפונקציה.‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫חשוב להבין כי התנועה ההרמונית היא תופעה גנרית כאשר מדובר על תנודות קטנות סביב מצבי‬ ‫שיווי משקל: אם חלקיק נע בפוטנציאל )‪ V ( x‬והוא נמצא בשיווי משקל יציב ב 0‪ x‬מסוים זאת‬ ‫אומרת של - )‪ V ( x‬יש מינימום לוקאלי ב 0‪ , x‬כלומר הנגזרת הראשונה בנקודה מתאפסת והשניה‬ ‫חיובית. פיתוח הפוטנציאל בטור טיילור סביב 0‪ x‬יתן, אם כך )עבור תנודות קטנות(:‬ ‫+ ) 0‪V ( x) = V ( x‬‬ ‫‪1 ∂ 2V‬‬ ‫2 ‪2 ∂x‬‬ ‫0‪x = x‬‬ ‫1‬ ‫3) 0‪( x − x0 ) 2 = V ( x0 ) + k ( x − x0 ) 2 + O( x − x‬‬ ‫2‬ ‫עבור תנודות קטנות מספיק - ) 0‪ ( x − x‬קטן – ניתן להזניח את הסדרים הבאים בפיתוח, ואז, אם‬ ‫נזכור כי הכח הוא מינוס הנגזרת של הפוטנציאל, נקבל כח מן הצורה:‬ ‫) 0‪F = − k ( x − x‬‬ ‫כלומר כח מחזיר ליניארי. אם לא יקרה משהו משוגע במיוחד )פוטנציאל שגם הנגזרת השניה שלו‬ ‫מתאפסת במינימום ושאר מרעין בישין( נקבל תמיד תנודה הרמונית כהיגב המערכת למעתק קטן‬ ‫מנקודת שיווי המשקל.‬ ‫תנודה הרמונית מרוסנת:‬ ‫מכניסים איבר חיכוך הפרופורציוני למהירות )במעגל חשמלי הדוגמה היא מעגל ‪ RLC‬ללא מקור‬ ‫מתח עם מטען התחלתי על הקבל(:‬ ‫‪F = − kx − bv‬‬ ‫‪mx = − kx − bx‬‬ ‫2‬ ‫0 = ‪x + γ x + ω0 x‬‬ ‫≡‪γ‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪m‬‬ ‫הפתרונות ניתנים ע"י ניחוש מן הצורה:‬ ‫2‬ ‫0 = 0‪x(t ) = exp(α t ) ⇒ α 2 + γα + ω‬‬ ‫− = ‪⇒α‬‬ ‫‪γ‬‬ ‫2‬ ‫±‬ ‫2‪γ‬‬ ‫4‬ ‫2‬ ‫0‪− ω‬‬ ‫ומכאן מקבלים את שלשת המקרים של ריסון חלש, חזק וקריטי:‬ ‫‪γt‬‬ ‫‪‬‬ ‫−‬ ‫) ‪Ae 2 cos(ωt + φ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫2 ‪ − γ t + γ 2 −ω‬‬ ‫2 2 ‪γt γ‬‬ ‫−−‬ ‫0‪−ω‬‬ ‫0‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫4‬ ‫‪x(t ) = Ae‬‬ ‫4 2 ‪+ Be‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪γt‬‬ ‫‪γt‬‬ ‫−‬ ‫−‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫2 ‪Ae + Bte‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫> 20‪ω‬‬ ‫< 20‪ω‬‬ ‫=‪ω‬‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫2‪γ‬‬ ‫4‬ ‫− 20‪ω ≡ ω‬‬ ‫2‪γ‬‬ ‫4‬ ‫2‪γ‬‬ ‫4‬ ‫2‪γ‬‬ ‫4‬ ‫תנודות מאולצות:‬ ‫מוסיפים איבר של כח מחזורי במחזוריות ‪ ω‬שאינה קשורה בעקרון לתדר הקפיץ 0‪.ω‬‬ ‫) ‪F = − kx + F0 cos(ωt‬‬ ‫) ‪mx = −kx + F0 cos(ωt‬‬ ‫2‬ ‫= ‪x + ω0 x‬‬ ‫0‪F‬‬ ‫) ‪cos(ωt‬‬ ‫‪m‬‬ ‫זו כבר משוואה לא הומוגנית והפתרונות הם כזכור פתרון פרטי של הלא הומוגני + פתרון של‬ ‫החלק ההומוגני, כאשר תנאי ההתחלה נכנסים רק בפתרון ההומוגני:‬ ‫0‪F‬‬ ‫+ ) ‪x(t ) = A cos(ω0t + φ‬‬ ‫) ‪cos(ωt‬‬ ‫2‬ ‫) 2 ‪m(ω0 − ω‬‬ ‫רזוננס מתקבל כאשר התדר המאלץ שווה לתדר העצמי של המערכת, אך זה לא אומר, כמובן,‬ ‫שאם ננדנד קפיץ בתדר העצמי שלו "תקפוץ" האמפליטודה ישר לאינסוף!‬ ‫נבחן בפרוטרוט מקרה של רזוננס. נניח כי בזמן 0=‪ t‬היה החלקיק במנוחה בראשית, מכאן:‬ ‫0‪F‬‬ ‫0= ‪φ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⇒ ‪m(ω − ω ) ‬‬ ‫0‪F‬‬ ‫) 2 ‪ A = m(ω 2 − ω‬‬ ‫) ‪0 = −ω0 A sin(φ‬‬ ‫0‬ ‫‪‬‬ ‫+ ) ‪0 = A cos(φ‬‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫כלומר )השתמשנו בנוסחה לחיסור קוסינוסים(:‬ ‫= ) ‪x(t‬‬ ‫0‪2 F‬‬ ‫0‪F‬‬ ‫‪ ω − ω0 ω + ω0 ‬‬ ‫‪t sin ‬‬ ‫‪t‬‬ ‫= ]) ‪cos(ωt ) − cos(ω0t‬‬ ‫‪sin ‬‬ ‫[2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫) ‪m(ω − ω‬‬ ‫2 ‪m(ω0 − ω ) ‬‬ ‫2‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫עד כאן לא עשינו שום הנחה והפתרון הוא כללי לגמרי. כעת נניח שאנו מתקרבים לרזוננס,‬ ‫2‬ ‫‪] . ω = ω0 + ε‬זכור כי ) ‪[ (ω0 − ω 2 ) = (ω0 − ω )(ω0 + ω‬‬ ‫− = ) ‪x(t‬‬ ‫0‪2 F‬‬ ‫‪ε ‬‬ ‫‪ε ‬‬ ‫‪sin t sin ω0 + t ‬‬ ‫‪mε (2ω0 + ε ) 2 ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫ובקירוב ניתן להזניח ‪ ε‬ביחס ל ‪:ω‬‬ ‫− = ) ‪x(t‬‬ ‫) 2 ‪F0 sin (ω0t ) sin ( ε t‬‬ ‫0‪mω‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫כל זמן ש 1<<‪) εt‬סקלת זמן זו מתבדרת כשמתקרבים לרזוננס( ניתן לפתח לסדר ראשון ב ‪ε‬‬ ‫ולקבל:‬ ‫− = ) ‪x(t‬‬ ‫‪F0 sin (ω0t ) t‬‬ ‫2‬ ‫0‪mω‬‬ ‫כלומר המעתק גדל לינארית‬ ‫בזמן. ברזוננס עצמו זה יהיה‬ ‫"לנצח", בעוד שליד הרזוננס‬ ‫התנהגות זו תהיה עד סקלת‬ ‫זמן 0‪ , t * ∼ 1/ ω − ω‬ולאחר‬ ‫זמן זה אמפליטודת התנועה‬ ‫קרוב מספיק‬ ‫מתייצבת.‬ ‫לרזוננס נגיע במשך הזמן‬ ‫לאמפליטודות בהן המערכת‬ ‫כבר לא לינארית, ואז המשואה‬ ‫שהנחנו אינה תקפה.‬ ‫בציור שמימין הנך רואה את‬ ‫) 2 ‪sin ( ε t‬‬ ‫בין 0=‪ t‬ל‬ ‫הגרף של‬ ‫‪ε‬‬ ‫0001=‪ t‬עבור ערכי ‪0.005 , :ε‬‬ ‫1000.0 , 100.0 , 200.0. ככל‬ ‫ש ‪ ε‬קטן יותר העליה הישרה‬ ‫ארוכה יותר.‬ ‫תנודות מאולצות:‬ ‫מוסיפים איבר של כוח מחזורי במחזוריות ‪ ω‬שאינה קשורה בעקרון לתדר הקפיץ 0‪.ω‬‬ ‫) ‪F = − kx + F0 cos(ωt‬‬ ‫) ‪mx = −kx + F0 cos(ωt‬‬ ‫2‬ ‫= ‪x + ω0 x‬‬ ‫0‪F‬‬ ‫) ‪cos(ωt‬‬ ‫‪m‬‬ ‫זו כבר משוואה לא הומוגנית והפתרונות הם כזכור פתרון פרטי של הלא הומוגני + פתרון של החלק‬ ‫ההומוגני, כאשר תנאי ההתחלה נכנסים רק בפתרון ההומוגני:‬ ‫+ ) ‪x(t ) = A cos(ω0t + φ‬‬ ‫0‪F‬‬ ‫) ‪cos(ωt‬‬ ‫) 2 ‪m(ω − ω‬‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫רזוננס מתקבל כאשר התדר המאלץ שווה לתדר העצמי של המערכת. בחינה מדוקדקת של הפתרון בגבול‬ ‫בו ‪ ω‬הולך ל- 0‪ ω‬תראה לנו כי התנודות גדלות באופן ליניארי עד זמן 0‪ , t * ∼ 1/ ω − ω‬ולאחר זמן זה‬ ‫אמפליטודת התנועה מתייצבת. קרוב מספיק לרזוננס נגיע לאמפליטודות בהן המערכת כבר לא ליניארית.‬ ‫תנודות מאולצות ומרוסנות‬ ‫נדון במקרה בו יש אילוץ וגם ריסון )חשמלי: מעגל ‪ RLC‬עם מקור זרם חילופין בתדר ‪:(ω‬‬ ‫) ‪F = − kx − bv + F0 cos(ωt‬‬ ‫) ‪mx + bx + kx = F0 cos(ωt‬‬ ‫2‬ ‫= ‪x + γ x + ω0 x‬‬ ‫0‪F‬‬ ‫) ‪cos(ωt‬‬ ‫‪m‬‬ ‫פרטי של הלא הומוגנית. בהנחת ריסון חלש:‬ ‫הפתרון מורכב שוב מפתרון פרטי של המשוואה ההומוגנית )הפעם משוואת אוסילטור מרוסן( + פתרון‬ ‫‪γt‬‬ ‫2‬ ‫‪x(t ) = Ae‬‬ ‫−‬ ‫+ ) ‪cos(ωt + φ‬‬ ‫) ‪F0 cos(ωt + ϕ‬‬ ‫2‬ ‫‪m (ω0 − ω 2 ) 2 + γ 2ω 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫2 /1‬ ‫כאשר‬ ‫− = ) ‪tg (ϕ‬‬ ‫‪γω‬‬ ‫2‪ω −ω‬‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫הפעם ברזוננס נקבל גודל סופי.‬ ‫להדגמה: ‪http://www.walter-fendt.de/ph14e/resonance.htm‬‬ ‫תנודות מצומדות‬ ‫1‪M‬‬ ‫1‪K‬‬ ‫2‪K‬‬ ‫2‪M‬‬ ‫3‪K‬‬ ‫דוגמא:‬ ‫שתי מסות זהות על משטח חסר חיכוך, מחוברות ביניהן בקפיצים זהים )מספור המסות הוא לצורך‬ ‫הנוחות(. אורך המנוחה של הקפיצים הוא ‪.a‬‬ ‫1‪ x‬המעתק של 1‪ m‬מנק' שיווי המשקל שלה‬ ‫2‪ x‬המעתק של 2‪ m‬מנק' שיווי המשקל שלה‬ ‫) 2‪m1 x1 = − k1 x1 − k2 ( x1 − x‬‬ ‫) 1‪m1 x2 = −k3 x2 − k2 ( x2 − x‬‬ ‫כוח הפועל על מסה 1‪: m‬‬ ‫כוח הפועל על מסה 2‪: m‬‬ ‫כל קפיץ משפיע על מסה רק אם הוא נוגע בה.‬ ‫שאלה: אם "נזרוק" את הקפיץ 3‪ k‬האם זה ישפיע על 1‪ ? m‬כן! כי זה גורם לשינוי של 2‪ x‬שמשפיע על‬ ‫המסה 1‪. m‬‬ ‫נפתור את המשוואות:‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‪x1 = −2ω0 x1 + ω0 x‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫1‪x2 = −2ω0 x2 + ω0 x‬‬ ‫‪−1 x1 ‬‬ ‫‪ x1 ‬‬ ‫2 ‪2‬‬ ‫‪ = −ω0 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ −1 2 x2 ‬‬ ‫‪ x2 ‬‬ ‫הוקטורים העצמיים הם )1,1( ו-)1-,1(.‬ ‫הוקטורים העצמיים הם המשתנים אליהם צריך לעבור כדי שהבעיה תתפרק והערכים העצמיים קובעים‬ ‫את התדר של התנודות עבור ה"מודים" העצמיים.‬ ‫הווקטור )1,1( מתאים למצב בו שתי המסות זזות "ביחד" והקפיץ האמצעי נשאר רפוי:‬ ‫2‪y1 = x1 + x‬‬ ‫2‬ ‫1‪y1 = −ω0 y‬‬ ‫) 1‪y1 (t ) = A1 cos(ω0t + φ‬‬ ‫התדר העצמי של תנודה זו הוא, לכן, 0‪.ω‬‬ ‫ה‪ mode‬השני מתאים לתנועה של שתי המסות בכיוונים הפוכים )תנועת אקורדיון( ויינתן על ידי:‬ ‫2‪y2 = x1 − x‬‬ ‫2‬ ‫2‪y2 = −3ω0 y‬‬ ‫) 2‪y2 (t ) = A2 cos( 3ω0t + φ‬‬ ‫כלומר תדר ה‪ mode‬השני הוא 0‪. 3ω‬‬ ‫התדירויות העצמיות יקבעו את הרזוננסים של המערכת, אם ננסה לנדנד אותה בתדר המתאים‬ ‫לתדר עצמי נקבל תגובה רזונטיבית.‬ ‫התנועה הכוללת של המערכת במקרה הכללי תהיה סופרפוזיציה של תנודות בתדרים העצמיים,‬ ‫מה שנגלה בקלות דרך פירוק פורייה של הסיגנל.‬ ‫אם למצב ההתחלתי אין "היטל" על ‪ mode‬מסוים )לדוגמה אם הזזנו את שתי המסות כל אחת‬ ‫ס"מ ימינה מנקודת שיווי המשקל, ה‪ mode‬השני לא מתעורר( נקבל תנודה ללא התדר המתאים‬ ‫לו )בדוגמה נקבל תנודה "טהורה" של ה‪ mode‬הראשון(.‬ ‫תנאי‬ ‫את‬ ‫)0 = ‪ x1 (t = 0), x2 (t = 0), v1 = x1 (t = 0), v2 = x2 (t‬יקבעו‬ ‫ההתחלה‬ ‫תנאי‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫ההתחלה של ‪ y‬ואת הקבועים 2‪ ,A1 A2 φ1 φ‬מכאן נקבע את ‪ y‬לכל זמן ונחזור ל-‪ x‬לפי היחסים‬ ‫= 1‪. x‬‬ ‫2‪y1 + y‬‬ ‫2‬ ‫= 2‪x‬‬ ‫2‪y1 − y‬‬ ‫2‬ ‫הדגמות: ‪http://www.walter-fendt.de/ph14e/cpendula.htm‬‬ ‫דוגמה: תנודות מצומדות ומרוסנות במערכת מאולצת:‬ ‫שתי מסות קשורות ביניהן במיתר שהמתיחות בו ‪ ,T‬כנראה בציור. קצהו האחד של המיתר מקובע‬ ‫בנקודה וקצהו השני קשור למתנד הכופה עליו תנודה מחזורית באמפליטודה ‪ ,h‬הנח כי שתי המסות‬ ‫זהות ומסת כל אחת ‪.m‬‬ ‫א. כתוב את משוואות התנועה עבור המערכת כאשר אתה מתחשב בכל הנתונים, כולל תנאי השפה‬ ‫משני הצדדים.‬ ‫בהנחת תנודות קטנות ניתן להזניח את הכחות שמפעילים המיתרים בכיוון האפקי, כלומר‬ ‫ניתן להניח כי כחות אלו מבטלים זה את זה. אם המתיחות במיתר היא ‪ ,T‬הכח בכיוון‬ ‫האנכי )מעלה-מטה( שהוא מפעיל על המסה הוא רכיב המתיחות בכיוון זה, ובקירוב של‬ ‫זויות קטנות נקבל :‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫) 2‪y1 − ( y1 − y‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫) 1‪my2 = − [ y2 − h0 cos(ωt ) ] − ( y2 − y‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪L‬‬ ‫− = 1‪my‬‬ ‫2‬ ‫או, כאשר נגדיר ‪: ω0 = T La‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫) 2‪y1 = −ω0 y1 − ω0 ( y1 − y‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫) 1‪y2 = −ω0 [ y2 − h0 cos(ωt ) ] − ω0 ( y2 − y‬‬ ‫ובמונחי מטריצות:‬ ‫‪−1 y1 ‬‬ ‫‪ y1 ‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫2 ‪2‬‬ ‫2‬ ‫‪ = −ω0 ‬‬ ‫‪ y + ω0 h0 ‬‬ ‫‪ −1 2 2 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ y2 ‬‬ ‫ב. מצא את תדירויות התנודות העצמיות של המערכת.‬ ‫התנודות העצמיות ניתנות על ידי הערכים העצמיים של המטריצה. אם נגדיר:‬ ‫‪ 2 −1 ‬‬ ‫‪M =‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ −1 2 ‬‬ ‫קל לראות כי‬ ‫‪ 1 −1 ‬‬ ‫‪S =‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 1 ‬‬ ‫‪1 1 1‬‬ ‫‪S −1 = ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 −1 1 ‬‬ ‫הן טרנספורמציות הדמיון כך ש:‬ ‫‪3 0‬‬ ‫‪SMS −1 = ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫כפל מימין של משוואת התנועה ב- ‪ S‬ייתן:‬ ‫‪−1 −1 y1 ‬‬ ‫‪y ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫2‪2 ‬‬ ‫2‬ ‫‪S 1 = −ω0 S ‬‬ ‫) ‪ S S y + ω0 h0 S cos(ωt‬‬ ‫‪ −1 2 = I 2 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ y2 ‬‬ ‫‪0 z1 ‬‬ ‫‪z ‬‬ ‫‪ −1 ‬‬ ‫3‪2 ‬‬ ‫2‬ ‫‪⇒ 1 = −ω0 ‬‬ ‫) ‪ + ω0 h0 cos(ωt‬‬ ‫‪ 0 1 z2 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ z2 ‬‬ ‫כאשר הגדרנו:‬ ‫‪ z1 ‬‬ ‫‪ y1 y1 − y2 ‬‬ ‫‪ = S =‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ z2 ‬‬ ‫‪ y2 y1 + y2 ‬‬ ‫ג. מצא את המעתק )‪ y(t‬של כל אחת מן המסות כתוצאה מן הכוח המנדנד את צד ימין של המערכת. תנאי‬ ‫ההתחלה הם כי שתי המסות היו בזמן 0=‪ t‬במנוחה במצב שיווי המשקל שלהן.‬ ‫עבור ‪ z‬קיבלנו שתי משוואות בלתי תלויות אותן נוכל לפתור:‬ ‫0‪ω02 h‬‬ ‫2 − ) 1‪z1 (t ) = A cos( 3ω0 t + φ‬‬ ‫) ‪cos(ωt‬‬ ‫2 ‪3ω0 − ω‬‬ ‫+ ) 2‪z1 (t ) = B cos(ω0 t + φ‬‬ ‫0‪ω02 h‬‬ ‫) ‪cos(ωt‬‬ ‫2 ‪ω02 − ω‬‬ ‫מתנאי ההתחלה נקבל כי גם ה ‪ z‬ים ונגזרותיהם מתאפסים ב 0=‪ ,t‬ומכאן:‬ ‫‪ω02 h0 ‬‬ ‫2 = ) ‪z1 (t‬‬ ‫‪cos( 3ω0t ) − cos(ωt ) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3ω0 − ω 2 ‬‬ ‫0‪ω02 h‬‬ ‫‪cos(ωt ) − cos(ω0 t ) ‬‬ ‫2 = ) ‪z1 (t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ω0 − ω 2 ‬‬ ‫ועל ידי כפל בהפכי של ‪ S‬נחזור ל:‬ ‫1‬ ‫) 2‪y1 (t ) = ( z1 + z‬‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫) 1‪z1 (t ) = ( z2 − z‬‬ ‫2‬ ‫ד. עבור כל אחת מן המסות תן ציור איכותי המראה את מעתק המסה כפונקציה של תדר הכח המאלץ ‪.ω‬‬ ‫הבחן בין מצב בו המסה נעה עולה כשהקצה הימני עולה )סמן את המעתק כחיובי( לבין המצב בו המסה‬ ‫יורדת כשהקצה הימני עולה )סמן במקרה זה את המעתק כשלילי(.‬ ‫עבור 1‪) :y‬אמפליטודת התנודה מול 0‪( ω / ω‬‬ ‫ועבור 2‪:y‬‬ ‫ה. חזור על סעיפים ב' וג' כאשר בנוסף לכח המאלץ המערכת כולה נמצאת בתוך נוזל המפעיל כח מעכב‬ ‫פרופורציוני למהירות, ‪ ,F=-bv‬על כל אחת מן המסות בנפרד.‬ ‫במקרה זה: )הגדרנו ‪:( γ = b / m‬‬ ‫‪−1 y1 ‬‬ ‫‪ y1 ‬‬ ‫‪ y1 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫2 ‪2‬‬ ‫2‬ ‫‪ = −ω0 ‬‬ ‫‪ y + ω0 h0 − γ y ‬‬ ‫‪ −1 2 2 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ y2 ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫אותה פרוצדורה של כפל משמאל ב ‪ S‬תתן:‬ ‫‪−1 −1 y1 ‬‬ ‫‪y ‬‬ ‫‪ y1 ‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫2‪2 ‬‬ ‫2‬ ‫‪S 1 = −ω0 S ‬‬ ‫‪ S S y + ω0 h0 S cos(ωt ) − γ S y ‬‬ ‫‪ −1 2 = I 2 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ y2 ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪0 z1 ‬‬ ‫‪z ‬‬ ‫‪ z1 ‬‬ ‫‪ −1‬‬ ‫3‪2 ‬‬ ‫2‬ ‫‪⇒ 1 = −ω0 ‬‬ ‫‪ z + ω0 h0 cos(ωt ) − γ z ‬‬ ‫‪ 0 1 2 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ z2 ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫ואם נזרוק את הטרנזיינט ונסתכל רק על הפתרונות היציבים הרי ש:‬ ‫= 1‪z‬‬ ‫) 1‪ω02 h0 cos(ωt + ϕ‬‬ ‫2‬ ‫‪ (3ω0 − ω 2 ) 2 + γ 2ω 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫2 /1‬ ‫= 2‪z‬‬ ‫) 1‪ω02 h0 cos(ωt + ϕ‬‬ ‫2‬ ‫‪(ω0 − ω 2 ) 2 + γ 2ω 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫2 /1‬ ‫תנודות מצומדות במערכת אינסופית:‬ ‫נדבר על מערכת של אינסוף מסות שקשורות בקפיצים על משטח אינסופי כשכל המסות זהות וכל הקפיצים‬ ‫זהים. אורך המנוחה של הקפיץ הוא ‪.a‬‬ ‫1-‪n‬‬ ‫1+‪n‬‬ ‫משוואת התנועה של המסה ה-‪-n‬ית:‬ ‫) 1+ ‪mxn = −k ( xn − xn −1 ) − k ( xn − xn‬‬ ‫2‬ ‫) 1+ ‪xn = −ω0 (2 xn − xn −1 − xn‬‬ ‫כאשר ‪ xn‬המעתק של המסה ה-‪-n‬ית מנקודת שיווי המשקל שלה.‬ ‫ננחש פתרון מהצורה :‬ ‫) ‪xn (t ) = Aq exp(iqna − iωt + iφq‬‬ ‫שים לב כי:‬ ‫‪x n+1 = e x n‬‬ ‫‪− iqa‬‬ ‫‪x n−1 = e x n‬‬ ‫‪iqa‬‬ ‫נציב במשוואה ונקבל את התדירויות העצמיות ‪:ω‬‬ ‫2‬ ‫‪−ω 2 xn = −ω0 (2 − eika − e − ika ) xn‬‬ ‫‪ xn‬מצטמצם ומכאן נמצא את יחס הדיספרסיה:‬ ‫‪ω 2 (q) = 2ω02 [1 − cos(qa )] = 4ω02 sin 2 ‬‬ ‫‪ qa ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫כאשר השתמשנו בזהות ‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. 1 − cos( x) = 2 sin 2 ‬‬ ‫יחס הדיספרסיה מקשר בין כל ‪ mode‬עצמי ‪ q‬שמותר להכניס למערכת לבין התדר העצמי שלו )‪. ω(q‬‬ ‫במקרה שלנו צורתו של יחס הדיספרסיה תהיה:‬ ‫‪ω (q) = 2ω0 sin ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ובאופן גרפי:‬ ‫‪ qa ‬‬ ‫כאשר הקו המקווקו מציין יחס דיספרסיה ליניארי והוא בא להדגיש כי באמת עבור ‪ q‬נמוכים יחס‬ ‫הדיספרסיה הוא בקירוב טוב ליניארי, 0‪ , ω (q → 0) ≈ qaω‬כאשר השתמשנו ביחס ‪ sin(x)=x‬עבור זויות‬ ‫קטנות.‬ ‫כעת באה טענה חשובה: במערכות גלים או תנודות, כמו המערכות שאנו עוסקים בהן כעת, יש להפריד בין‬ ‫תכונות של "חומר המערכת" )קבוע קפיץ, משקל מסה, מתיחות במיתר וכדומה( לבין תנאי השפה שאנו‬ ‫מציבים לבעיה. יחס הדיספרסיה הוא גודל התלוי רק בפרמטרים ה"פנימיים" של המערכת, והוא נכון‬ ‫למערכת אינסופית כמו גם לכל חלק סופי שלה. תנאי השפה קובעים אילו מן ה ‪ modes‬האפשריים‬ ‫יתממשו בפועל. נשמע מסובך? ננסה להבהיר את הדברים בדוגמה הבאה:‬ ‫הבט בציור שלפניך. זוהי אותה מערכת שתי‬ ‫מסות שהצגנו לעיל, אלא שעכשיו היא מוצגת‬ ‫כחלק של המערכת האינסופית: אם נקבע‬ ‫במקום את קפיץ מספר 3 ואת הקפיץ שמספרו‬ ‫אפס )נחזיק אותם בנעצים כך שלא יוכלו לזוז( לא יוכלו כל יתר אינסוף המסות והקפיצים להשפיע על מה‬ ‫ש"בפנים" )שכנע עצמך בנקודה זו !( טענתנו היא כי אפני התנודה של מערכת שני קפיצים, אותם גילינו‬ ‫לעיל, יכולים להנתן לנו דרך אפני התנודה של המערכת האינסופית + תנאי שפה. לאחר שנציג פתרון זה‬ ‫תבין גם מדוע "חתכנו" ב ‪ π/a‬את הגרף המתאר את יחס הדיספרסיה.‬ ‫אנו מחפשים, אם כן, פתרונות של המערכת האינסופית שיספקו את תנאי השפה, כלומר פתרונות עבורם‬ ‫המסה האפס והמסה ב ‪ 3a‬לא זזות בשום נקודת זמן. כאן אנו נתקלים בבעיה: פתרונות מן הצורה‬ ‫) ‪) xn (t ) = Aq exp(iqna − iωq t + iφq‬חשוב על החלק הממשי שלהם( לא מתאפסים לכל זמן ‪ t‬עבור‬ ‫נקבל‬ ‫הממשי‬ ‫החלק‬ ‫את‬ ‫וניקח‬ ‫3=‪n‬‬ ‫נבחר‬ ‫אם‬ ‫)לדוגמה‬ ‫‪n‬‬ ‫מסוימת‬ ‫נקודה‬ ‫) ‪ x3 (t ) = Aq cos(3qa − ωt + φq‬וזה לא יכול להתאפס לכל זמן ‪ ,t‬לא משנה איזה ‪ q‬נבחר(. מצד שני אם‬ ‫נרצה לבנות סופר פוזיציה ליניארית של פתרונות עם ‪ q‬שונים נקבל פתרונות עם ‪-ω‬ות שונות )זכור כי‬ ‫התדר תלוי ב-‪ (q‬ואז שוב לא נוכל לאפס את הפתרון בכל זמן !‬ ‫בעיה זו נפתרת בזכות הניוון שיש במקרה שלנו, שים לב כי )‪ ,ω(q)=ω(-q‬לכן נוכל לבנות סופרפוזיציה של‬ ‫שני פתרונות:‬ ‫‪xn (t ) = A [ exp(iqna − iωt + iφ ) + exp(−iqna − iωt − iφ )] = A cos(nqa + φ )e− iωt‬‬ ‫וזה יהיה סוג הפתרונות בהם נשתמש. שים לב כי‬ ‫אם הפתרון הזה מתאפס בנקודה מרחבית‬ ‫מסוימת , הוא יתאפס בה בכל זמן שהוא. יש‬ ‫כאן הפרדה בין החלק המרחבי לזמני: ערך הקוסינוס בכל קודה קובע את אמפליטודת התנודות בה,‬ ‫והתלות בזמן נותנת רק פאזה.‬ ‫כעת לעבודה: נבטיח את אי התזוזה של המסות באפס וב ‪.3a‬‬ ‫) ‪x0 = A cos(φ‬‬ ‫) ‪x3 = A cos(3qa + φ‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫2 ‪φ =π‬‬ ‫0 = )‪sin(3qa‬‬ ‫‪⇒ q = pπ 3a‬‬ ‫כאשר ‪ p‬מספר שלם כלשהו. מיד נגלה כי ישנם למעשה רק שני ‪ p‬רלוונטיים.‬ ‫קל לראות כי אם 0=‪ p‬המסות לא זזות.‬ ‫עבור 1=‪ p‬נקבל:‬ ‫•‬ ‫‪q =π‬‬ ‫‪3a‬‬ ‫‪π ‬‬ ‫20‪ω 2 = 4ω02 sin 2 = ω‬‬ ‫6‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2π‬‬ ‫‪x2 = A sin ‬‬ ‫3‪‬‬ ‫(‪x n = A cos‬‬ ‫‪ iω0t‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪π‬‬ ‫3‬ ‫+‪n‬‬ ‫‪π‬‬ ‫2‬ ‫)‬ ‫‪π ‬‬ ‫‪x1 = A sin eiω0t‬‬ ‫‪3‬‬ ‫1‪x2 = x‬‬ ‫מעתקי שתי הנקודות זהים לכן מדובר על ה ‪ (1,1) mode‬ואכן התדר הוא 0‪.ω‬‬ ‫עבור 2=‪ p‬נקבל בהתאמה:‬ ‫‪q = 2π‬‬ ‫‪3a‬‬ ‫‪π ‬‬ ‫2‬ ‫20‪ω 2 = 4ω 0 sin 2 = 3ω‬‬ ‫3‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ iω0t‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 4π‬‬ ‫‪x2 = A sin ‬‬ ‫3‪‬‬ ‫(‪x n = A cos‬‬ ‫‪ iω0t‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫) +‪n‬‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫‪ 2π‬‬ ‫‪x1 = A sin ‬‬ ‫3‪‬‬ ‫1‪x2 = − x‬‬ ‫ומה לגבי ערכי ‪ p‬גבוהים יותר? 3=‪ p‬ייתן שוב‬ ‫אפס, והנך מוזמן לוודא כי ‪ p‬גדול משלש ייתנו שוב‬ ‫את אותם ‪ !modes‬כדי להבהיר נקודה זו נתבונן‬ ‫בגרף של )3 / ‪ sin (π x‬שהנקודות 1=‪ x‬ו 2=‪ x‬שלו‬ ‫)3 / ‪sin ( 5π x‬‬ ‫מתאימות ל 1=‪ ,p‬ובגרף של‬ ‫המתאים ל 5=‪ .p‬קל לראות כי מדובר בגרפים‬ ‫שונים, אך הם מתלכדים בנקודות הפיסיקליות‬ ‫הרלונטיות 1=‪ x‬ו 2=‪ x‬בהן יושבות מסות. הערך‬ ‫5=‪ p‬מוסיף אוסילציות בנקודות בהן אין מסות‬ ‫לכן הוא לא רלוונטי1.‬ ‫שוב: יחס הדיספרסיה אומר בהינתן ‪ q‬מהו התדר, וזה לא תלוי בתנאי השפה אלא זו תכונה של המערכת‬ ‫האינסופית. השאלה איזה ‪ q‬מותר להכניס תלויה בתנאי השפה. במערכת אינסופית ניתן להכניס מספר‬ ‫אינסופי של ‪-q‬ים ואילו במערכת של 2 מסות קיבלנו שמותר להכניס רק שני ‪ .q‬בכללי מספר המודים‬ ‫כמספר המסות‬ ‫מוצק המורכב מאטומים ניתן להצגה, בקירוב כלשהו, כאוסף מסות )אטומים( המחוברות בקפיצים‬ ‫)כלומר כל אטום יושב במינימום של פוטנציאל שנוצר על ידי שכניו, ותנודות קטנות ממצב המינימום‬ ‫גורמות לכח מחזיר ליניארי במעתק(. במוצק מסודר )גביש( החומר הוא הומוגני, כלומר כל המסות וכל‬ ‫הקפיצים זהים. המודל אותו פתרנו כעת יכול להחשב כמודל עבור גביש חד ממדי, כאשר ‪ a‬יהיה המרחק‬ ‫הבין אטומי )משהו באזור אנגסטרום אחד( ואת "קבוע הקפיץ" ניתן להסיק מידיעת מהירות הקול )או‬ ‫מודול הדחיסה( של החומר בדרך שתוסבר להלן.‬ ‫1 קצת רימיתי: ציירתי את מינוס )3 / ‪ sin ( 5π x‬ולא את הסינוס עצמו. שכנע עצמך כי מה שחשוב הוא אמפליטודת‬ ‫התנועה )כמה תזוז המסה ימינה או שמאלה במקסימום( ואילו המינוס הוא רק פאזה.‬ ‫אפני התנודה של הגביש נקראים, בלשון המקצוע, פונונים )‪ Phonon .(Phonons‬הוא תנודה עצמי של‬ ‫הגביש2. כאשר אנו מעבירים זרם בנגד, הוא מתחמם: מה שקורה הוא שאלקטרונים נעים פוגעים ביונים‬ ‫המהוים את הגביש ו"מכים" בהם, ובכך הם מפסידים אנרגיה לטובת עירור של פונונים. חום הגביש הוא‬ ‫מדד לכמות הפונונים המעוררים, כפי שנראה להלן.‬ ‫מן הציור שלעיל המראה את פונקציות הגל באופן רציף )כאשר חשיבותן תהיה רק בנקודות הפיסיקליות‬ ‫בהן יושבות מסות( קל לזהות את ‪ q‬כמספר הגל, הקשור לאורך הגל ‪ λ‬דרך היחס )‪.q=λ/(2π‬‬ ‫במקרה שלנו יש תופעה מעניינת. בשרשרת האינסופית כאשר -0=‪ q‬נקבל מיחס הדיספרסיה 0=‪ ω‬וזה‬ ‫אומר שהתנועה היא לא מחזורית. כל המסות זזות באותו כיוון ואז אף קפיץ לא נמתח והמרחק בין המסות‬ ‫לא משתנה. מצב זה מכונה של ‪.soft mode‬‬ ‫אם נחזור כעת לשרטוט של יחס הדיספרסיה נבין כי השרטוט "חתוך" ב-‪ .π/a‬וזה מפני שאם הוספנו ל-‪q‬‬ ‫גודל של ‪ 2π/a‬לא שינינו שום דבר בפתרון, שהרי‬ ‫‪ei( q+2π / a )na = eiqna e2π in = eiqna‬‬ ‫אין טעם לחשוב על פתרונות של ‪ q‬מחוץ לאיזור‬ ‫וזו צורה אחרת לנסח את מה שכבר הראינו לעיל:‬ ‫שתארנו מפני שאפשר לחזור לפתרון באזור הזה דרך "קפיצות מותרות" של ‪ 2π/a‬המביאות לפתרון זהה.‬ ‫כאמור, התופעה הזו קשורה לדיסקרטיזציה של השריג )לכך שיש מרחק סופי ‪ a‬בין שתי מסות(, כך שאין‬ ‫טעם לחשוב על ארכי גל קטנים מ-‪ 2a‬שסתם עושים אוסילציות "על ריק" במקום בו אין מסות.‬ ‫למעשה הקו הרציף שהצגנו עבור יחס הדיספרסיה בין אפס ל ‪ π/a‬גם הוא בעייתי. קו זה בנוי, למעשה,‬ ‫אורך המערכת. ‪ N ) L = Na‬זה מספר‬ ‫מנקודות דיסקרטיות שהמרחק ביניהן הוא ‪ π/L‬כאשר ‪L‬‬ ‫הקפיצים ו-‪ a‬אורך המנוחה של קפיץ(. בדוגמה של שלשה קפיצים 3=‪ L‬וקיבלנו באמת רק שתי נקודות.‬ ‫להדגמות נאות ראה אתרי האינטרנט:‬ ‫‪http://www.chembio.uoguelph.ca/educmat/chm729/Phonons/monatom.htm‬‬ ‫‪http://www.gmi.edu/~drussell/Demos.html‬‬ ‫2למען האמן השם "פונון" מציין את הקואנטה של התנודות העצמיות, עליה נלמד בהמשך הקורס, אבל מה שמכונה בספרים‬ ‫"ספקטרום הפונונים" הוא מה שהצגנו כאן.‬ ‫שריג עם בסיס‬ ‫נחזור למערכת-סריג אבל הפעם יש לו מס' סוגי מסות למשל שני סוגים שונים.‬ ‫נרשום משוואות תנועה:‬ ‫1‪m‬‬ ‫2‪m‬‬ ‫1‪m‬‬ ‫2‪m‬‬ ‫‪k‬‬ ‫]‬ ‫] ‪m x = − k [2 x − x − x‬‬ ‫1‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫1+ ‪n‬‬ ‫‪m x = − k [2 x − x‬‬ ‫2‬ ‫1+ ‪n‬‬ ‫1+ ‪n‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫1− ‪− x n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫2+‪n‬‬ ‫ננחש פתרון נפרד מסות הזוגיות והאי זוגיות בצורת:‬ ‫‪iqna − iωt‬‬ ‫‪xn (t ) = Ae‬‬ ‫‪xn+1 (t ) = Beiq ( n+1) a−iωt‬‬ ‫מכאן נקבל את סט המשוואות הבא, כאשר הנעלמים הם ‪ B,A‬ו-)‪:ω(q‬‬ ‫)‪− m ω A = − 2kA+ kB exp(iqa) + kB exp(−iqa‬‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫)‪− m ω A = − 2kB + kA exp(iqa) + kA exp(−iqa‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫זה ניתן לביטוי מטריציוני:‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫1 ‪ ω − 2ω‬‬ ‫2‬ ‫‪‬‬ ‫)‪ 2ω 2 cos(qa‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪2ω cos(qa) A ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫0‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ω − 2ω B ‬‬ ‫‪‬‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫וכדי שיהיה פתרון עבור ‪ B ,A‬כלליים )אמפליטודות כלשהן( צריך שהדטרמיננטה תתאפס, כלומר:‬ ‫0 = )‪ω − ω [2ω − 2ω ]+ 4ω ω − 4ω ω cos (qa‬‬ ‫4‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫0 = )‪ω − ω [2ω − 2ω ]+ 4ω ω sin (qa‬‬ ‫4‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫זו משוואה ריבועית עבור 2‪:ω‬‬ ‫ופתרונותיה )‪ ω(q‬הם:‬ ‫‪ω‬‬ ‫2 ,1‬ ‫± 2 ‪= ω1 + ω‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫)‪(ω + ω ) − 4ω ω sin (qa‬‬ ‫הפעם בנק' 0=‪ q‬יש שני פתרונות: ) ‪ω + ω ± (ω + ω‬‬ ‫2‬ ‫22‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪2a‬‬ ‫כשעובדים עם שתי מסות מקבלים שני פסים: פס אקוסטי ופס אופטי.‬ ‫חשוב להבין כי באיזור הביניים )‪ (gap‬תדירויות עצמיות: אם ננדנד את אחת המסות בתדר‬ ‫המתאים ל ‪ gap‬לא נקבל גל מתפשט.‬ ‫אם במקום שתי מסות שונות ניקח שני קפיצים שונים נקבל שוב שני פסים. אם ניקח שלוש מסות שונות‬ ‫נקבל שלושה פסים וכדומה.‬ ‫לסיום, הבה נתבונן במודל של מסות זהות הקשורות ע"י קפיצים זהים אבל המסות קשורות ע"י קפיצים‬ ‫קטנים "מאחור" שקושרים כל מסה לנקודת שיווי המשקל שלה. )חשוב על הקפיצים 1‪ K‬שבציור כבעלי‬ ‫אורך מנוחה אפס כך שהם קושרים את המסה למקום וכל תנודה של המסה מנקודת שיווי המשקל שלה‬ ‫גורמת למתיחת הקפיץ(.‬ ‫= ‪ q‬הוא אורך הגל המינימלי במערכת.‬ ‫‪π‬‬ ‫1‪K‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪m‬‬ ‫1‪K‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪m‬‬ ‫1‪K‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪m‬‬ ‫1‪K‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪m‬‬ ‫1‪K‬‬ ‫במקרה זה נקבל את המשוואות ‪: ω12 = K1 / m‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪x n = −ω0 2 x n − x n + 1 − x n − 1 − ω1 x n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪xn (t ) = A exp(iqna − iωt‬‬ ‫‪ω 2 (q) = 4ω02 sin 2 ‬‬ ‫‪ qa ‬‬ ‫2‬ ‫1‪ + ω‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫הקפיצים הקטנים מאחורי המסות מבטלים את ה-‪ soft mode‬שהכרנו, כלומר גם במצב שבו 0=‪ q‬מקבלים‬ ‫למעשה תנועה מחזורית כי המערכת רוצה לזוז בכיוון מסוים והקפיצים מחזירים אותה חזרה. במקרה‬ ‫זה לא נקבל גלים מתפשטים בתדר הנמוך מ 1‪) ω‬תדר הקטעון(.‬ ‫שאלות לפרק א'‬ ‫1. פתור את הבעיה של חמשה מסות המחוברות ע"י שישה קפיצים עבור מסות שוות ע"י‬ ‫הצבת 5=‪ N‬בפתרון ל-‪ N‬הכללי, חשבו את התדירויות העצמיות והווקטורים העצמיים.‬ ‫.2 נתונה מערכת של ‪ N‬מטוטלות מתמטיות מצומדות ע"י קפיצים, כאשר קבועי הקפיצים‬ ‫הם ‪ ,k‬אורכי המטוטלות הוא ‪ , l‬ו-‪ a‬הוא המרחק בין כל שתי מסות.‬ ‫‪l‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪K, a‬‬ ‫‪K, a‬‬ ‫א.‬ ‫.ב‬ ‫רשמו את משוואת התנועה עבור המטוטלת ה-‪-n‬ית בהנחה שהתנודות קטנות.‬ ‫הראו שסט הפונקציות ) ‪ θ n (t ) = [ A sin (nka ) + B cos(nka )] cos(ωt + φ‬פותר את‬ ‫משוואת התנועה כאשר יחס הנפיצה ) ‪ ω ( k‬אינו תלוי בתנאי השפה.‬ ‫ג. האם יש במערכת זו מודים "רכים" )‪?(soft modes‬‬ ‫.3 שרשרת פתוחה:‬ ‫‪HN‬‬ ‫1‪H‬‬ ‫2‪H‬‬ ‫3‪H‬‬ ‫שרשרת של חרוזים בעלי מסה ‪ m‬מחוברים ע"י קפיצים בעלי מתיחות ‪ T‬שני קצות השרשרת‬ ‫חופשיים לנוע.‬ ‫כתבו את משוואות התנועה )התעלמו מגרביטציה וחיכוך(.‬ ‫הראו כי ) ‪ Ψn (t ) = A cos(nka + φ (k ) ) cos(ωt‬מקיים את משוואת התנועה עבור‬ ‫1 − ‪ n = 2,3,..N‬ומצאו את יחס הנפיצה. האם יש במערכת זו מודים "רכים"?‬ ‫.א‬ ‫.ב‬ ‫.4 נתונה מערכת חד מימדית ללא בסיס. המערכת סימטרית בצורה הבאה:‬ ‫1‪M‬‬ ‫1‪K‬‬ ‫1‪M‬‬ ‫2‪K‬‬ ‫1‪M‬‬ ‫3‪K‬‬ ‫1‪M‬‬ ‫1‪K‬‬ ‫מצא את יחס הדיספרסיה עבור המערכת הנתונה.‬ ‫צייר גרף ‪ ω‬כפונקציה של ‪) k‬וקטור הגל(.‬ ‫א.‬ ‫ב.‬ ‫הערה: כדי לפתור את סעיף ב' יש להשתמש במחשב.‬ ‫.5 בוכנה בעלת מסה ‪ M = 0.4kg‬נמצאת בגליל מלא שמן. הבוכנה מחוברת לקפיץ ‪k = 3 N / m‬‬ ‫)ראה שרטוט(.‬ ‫‪m‬‬ ‫‪x‬‬ ‫גוף בעל מסה ‪ m = 10kg‬נדבק לבוכנה. ברגע ההתנגשות מהירות הגוף ‪ . v0 = 0.1m / sec‬זמן‬ ‫ההתנגשות זניח.‬ ‫כתוב את התלות בין קואורדינטה לבין זמן אם כוח התנגדות בשמן תלוי במהירות‬ ‫הבוכנה לפי ‪. f = 0.1v‬לאחר כמה זמן האמפליטודה של התנועה קטנה פי 01.‬ ‫אם מופעל כוח מאלץ על בוכנה באיזה תדר מאלץ תהייה האמפליטודה מקסימלית.‬ ‫ב.‬ ‫.א‬ ‫פרק ב'‬ ‫גלים‬ ‫גבול הרצף של תנודות מצומדות:‬ ‫ניקח הרבה מסות קטנות שמפוזרות באופן רציף על הקפיץ. נסמן ב-‪ x‬את המקום של המסה )במצב שיווי‬ ‫משקל(. את המעתק של המסה ה-‪– n‬ית מנק' שיווי המשקל שלה נסמן ע"י )‪ , ψ ( x‬כלומר מה שסימנו עד‬ ‫עכשיו כ-‪ n‬הוא מיקום המסה ‪) x‬עם ההתאמה ‪ x=na‬כאשר ‪ a‬קבוע השריג( ואילו )‪ . xn → ψ ( x‬ניקח,‬ ‫ראשית, את אותה המשוואה עבור הפרמטרים המוחלפים:‬ ‫− = ‪ψn‬‬ ‫‪k‬‬ ‫) 1+‪( 2ψ n −ψ n−1 −ψ n‬‬ ‫‪m‬‬ ‫או, עם ההצבה ‪:x=na‬‬ ‫‪k‬‬ ‫) ) ‪ψ ( x) = − ( 2ψ ( x) −ψ ( x − a) −ψ ( x + a‬‬ ‫‪m‬‬ ‫בגבול הרצף ‪ a‬שואף לאפס, לכן נוכל לפתח:‬ ‫)‪∂ψ ( x‬‬ ‫)‪1 ∂ 2ψ ( x‬‬ ‫+ )‪ψ ( x + a) ≈ ψ ( x‬‬ ‫+‪a‬‬ ‫2‪a‬‬ ‫2‬ ‫0= ‪∂x a‬‬ ‫0= ‪2 ∂x a‬‬ ‫− )‪ψ ( x − a) ≈ ψ ( x‬‬ ‫)‪∂ψ ( x‬‬ ‫)‪1 ∂ 2ψ ( x‬‬ ‫+‪a‬‬ ‫2‪a‬‬ ‫2‬ ‫0= ‪∂x a‬‬ ‫0= ‪2 ∂x a‬‬ ‫ומכאן:‬ ‫− = ) ‪2ψ ( x) −ψ ( x − a ) −ψ ( x + a‬‬ ‫)‪∂ ψ ( x‬‬ ‫2‪a‬‬ ‫2‬ ‫0= ‪∂x a‬‬ ‫2‬ ‫לכן המשוואה בגבול הרצף תכתב:‬ ‫) ‪∂ 2ψ ( x, t ) ka 2 ∂ 2ψ ( x, t‬‬ ‫=‬ ‫2 ‪∂t‬‬ ‫2 ‪∂x‬‬ ‫‪m‬‬ ‫וזוהי משוואת הגלים במלוא הדרה.‬ ‫= ‪ ρ‬וקבוע הקפיץ בגבול זה הוא ‪ . k = ka‬לכן הצורה המקובלת לכתיבת‬ ‫‪m‬‬ ‫הצפיפות בגבול הרצף היא:‬ ‫‪a‬‬ ‫משוואת הגלים היא:‬ ‫) ‪∂ 2ψ ( x, t ) 2 ∂ 2ψ ( x, t‬‬ ‫‪−v‬‬ ‫0=‬ ‫2 ‪∂t‬‬ ‫2 ‪∂x‬‬ ‫2‬ ‫= ‪.v‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪ρ‬‬ ‫=‬ ‫2 ‪ka‬‬ ‫כאשר מהירות הגל היא‬ ‫‪m‬‬ ‫נציב את הפתרון שמצאנו בהתחלה ‪ ψ ( x, t ) = Aeiqx −iωt‬במשוואת הגלים ונקבל את יחס הדיספרסיה של‬ ‫משוואת הגלים: 2 ‪ ω 2 = v 2 q‬או ‪ , ω = vq‬שהוא יחס הדיספרסיה הליניארי שבציור לעיל )באמת ראינו‬ ‫כי עבור ‪ qa‬קטן גם יחס הדיספרסיה של פונונים הוא ליניארי, ובגבול הרצף ‪ qa‬תמיד קטן.‬ ‫תנאי שפה:‬ ‫מיתר תפוס בשני קצותיו, כלומר 0 = ) ‪ ψ (0, t ) = ψ ( L, t‬לכל ‪.t‬‬ ‫ניקח את הפתרון הכללי של משוואת הגלים )גל הרמוני נוסע ימינה + גל נוסע שמאלה(:‬ ‫‪ψ ( x, t ) = Aeiqx −iωt + Be−iqx −iωt‬‬ ‫נדרוש לכל ‪ t‬התאפסות ב-0=‪ x‬מכאן: ‪ ,A=-B‬ולכן ניתן לכתוב את הפתרון כ:‬ ‫‪ψ ( x, t ) = A sin(qx)e−iωt‬‬ ‫כעת נדרוש התאפסות ב-‪ x=L‬לכל ‪ ,t‬ברור שזה יקרה אם ורק אם:‬ ‫‪qL = nπ‬‬ ‫=‪q‬‬ ‫‪nπ‬‬ ‫‪L‬‬ ‫כלומר ה-‪ q‬המותרים הם:‬ ‫‪nπ v‬‬ ‫= ‪ω = vq‬‬ ‫‪L‬‬ ‫התדרים אותם יפיק מיתר זה יהיו:‬ ‫ההרמוניות יהיו מכפלה שלמה )5,4,3,2( של התדר הבסיסי.‬ ‫אם, לעומת זאת, הקצה ב- ‪ L‬חפשי אזי הדרישה היא כי הנגזרת של ‪ ψ‬מתאפסת ב-‪ ,L‬כלומר‬ ‫. זה נותן מייד:‬ ‫) ‪∂ψ ( x, t‬‬ ‫‪∂x‬‬ ‫0=‬ ‫‪x=L‬‬ ‫1‬ ‫‪qL = (n + )π‬‬ ‫2‬ ‫=‪q‬‬ ‫‪nπ π‬‬ ‫+‬ ‫‪L 2L‬‬ ‫‪(2n + 1)π v‬‬ ‫‪2L‬‬ ‫כלומר מכפלה אי זוגית )7,5,3( של התדר הבסיסי.‬ ‫תכונות כלליות של משוואת הגלים:‬ ‫משוואת הגלים החד מימדית היא:‬ ‫כלומר ה-‪ q‬המותרים הם:‬ ‫וההרמוניות יהיו:‬ ‫= ‪ω = vq‬‬ ‫) ‪1 ∂ 2ψ ( x, t ) ∂ 2ψ ( x, t‬‬ ‫−‬ ‫0=‬ ‫2‪v‬‬ ‫2 ‪∂t‬‬ ‫2 ‪∂x‬‬ ‫כעת שכח לשניה מהמשואה הזו וחשוב על פונקציה כלשהי מן הצורה ) ‪.ψ ( x, t ) = ψ ( x − vt‬‬ ‫מה "עושה" פונקציה כזו? ניקח לדוגמה פונקציה השייכת ל"משפחה" הזו:‬ ‫‪ ( x − vt )2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫− ‪ψ ( x, t ) = exp ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪σ2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫הפונקציה הזו מתארת גאוסיאן, ובזמן 0=‪ t‬שיא הגאוסיאן )הנקודה בה הארגומנט של ‪ exp‬מתאפס( יהיה‬ ‫בראשית הצירים. לעומת זאת, כאשר 1=‪ vt‬יהיה השיא בנקודה 1=‪ ,x‬כאשר 2=‪ x‬הוא יהיה ב-2=‪ x‬וכן‬ ‫הלה. קל להשתכנע כי כל נקודה של הגאוסיאן פשוט זזה ימינה במהירות קבועה ‪.v‬‬ ‫בציור שלפניך ציירנו את אותו הגאוסיאן בארבעה זמנים עוקבים )3,2,1,0=‪ .(vt‬שים לב שהצורה באמת‬ ‫נשארת זהה והיא זזה באופן "צפיד" ימינה.‬ ‫בציור הבא הוספנו סקיצה הבאה להמחיש את התנועה בזמן, שוב שים לב כי הגאוסיאן נע באופן צפיד.‬ ‫)‪Ψ(x,t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪x‬‬ ‫לא יקשה עליך להשתכנע כי:‬ ‫.1 כל פונקציה מהצורה ) ‪ ,ψ ( x − vt‬לא משנה מה הצורה המרחבית שהיא "מתארת"‬ ‫בזמן אפס )גאוסיאן, משולש, לורנציאן, חצי עיגול או כל צורה מטורפת שתעלה על‬ ‫דעתך( תנוע ימינה באופן צפיד בלי לשנות את צורתה, במהירות אחידה ‪.v‬‬ ‫2. כל פונקציה שצורתה ) ‪ ψ ( x, t ) = ψ ( x + vt‬תנוע שמאלה באופן צפיד ואחיד.‬ ‫כעת באה הטענה המרכזית ביחס למשוואת הגלים:‬ ‫כל פונקציה מהצורה ) ‪ ψ ( x − vt‬או ) ‪ ψ ( x + vt‬היא פתרון חוקי של משוואת הגלים.‬ ‫∂‬ ‫∂‬ ‫,=‬ ‫‪∂x ∂z‬‬ ‫2‬ ‫∂‬ ‫2∂‬ ‫,2 =‬ ‫‪∂x 2 ∂z‬‬ ‫עבור ‪ ψ‬התלויה רק ב-‪ z‬בצורה טריביאלי:‬ ‫∂‬ ‫∂‬ ‫‪= −v‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫‪∂z‬‬ ‫2‬ ‫∂‬ ‫2∂‬ ‫2 2 ‪= −v‬‬ ‫2 ‪∂t‬‬ ‫‪∂z‬‬ ‫הוכחה: נגדיר ‪ ,z=x-vt‬לפי כלל השרשרת:‬ ‫זה מאפשר לנו לכתוב את משוואת הגלים‬ ‫) 2 ‪ . (v 2 − v‬הוכחה דומה תעבוד עבור ) ‪.ψ ( x + vt‬‬ ‫) ‪∂ 2ψ ( z‬‬ ‫0=‬ ‫2 ‪∂z‬‬ ‫הפתרון הכללי של משוואת הגלים מורכב משני פרופילים שרירותיים שאחד מהם נע שמאלה והשני‬ ‫ימינה:‬ ‫)0 = ‪ ψ ( x, t‬ו-‬ ‫) ‪ψ ( x, t ) = ψ L ( x + vt ) +ψ R ( x − vt‬‬ ‫כאשר שני הפרופילים נקבעים באופן חד ערכי לפי תנאי ההתחלה כלומר לפי‬ ‫)0 = ‪ ,ψ ( x, t‬כאשר נקודה מציינת גזירה לפי הזמן.‬ ‫מכיוון שמשוואת הגלים היא משוואה ליניארית:‬ ‫• כל צירוף ליניארי של פתרונות גם הוא פתרון, כלומר אם ) ‪ ψ 1 ( x, t ),ψ 2 ( x, t‬הם‬ ‫פתרונות אז גם ) ‪ A 1 ( x, t ) + Bψ 2 ( x, t‬הוא פתרון כאשר ‪ A‬ו- ‪ B‬מקדמים‬ ‫‪ψ‬‬ ‫כלשהם.‬ ‫ניתן להציג פתרון בצורה של פונקציה מרוכבת. מכיוון שכל פונקציה מרוכבת ניתנת‬ ‫להפרדה לחלק ממשי ודמיוני: ) ‪ ,ψ ( x, t ) = ψ R ( x, t ) + iψ I ( x, t‬כל פתרון מרוכב‬ ‫נותן לנו שני פתרונות ממשיים, הלא המה החלק הממשי והדמיוני של הפונקציה.‬ ‫בפרט, במקרים בהם נטפל נוח להתרכז בסוג מסוים של פתרונות למשוואת הגלים, הפתרונות ההרמוניים‬ ‫מן הסוג:‬ ‫‪ψ ( x, t ) = exp[iq ( x − vt )] = exp(iqx − iωt ), ω = ck‬‬ ‫כאשר נסכים למען הסדר הטוב כי הפרופיל הפיסיקלי הוא החלק הממשי של ‪ ,ψ‬כלומר הקוסינוס, ואילו‬ ‫לפונקציה ‪ –iψ‬יתאים הסינוס לפרופיל הפיסיקלי. קל לבדוק כי הפתרונות ההרמוניים פותרים את‬ ‫משוואת הגלים, לא רק דרך הארגומנט שהצגנו עם כלל השרשרת אלא גם בשיטה של הצבה ישירה: מכיוון‬ ‫שגזיר של הפתרון לפי ‪ x‬כופלת אותו ב-‪ ,iq‬וגזירה לפי ‪ t‬כופלת את הפתרון ב-‪ ,iω‬הצבת הפתרון ההרמוני‬ ‫במשוואת הגלים תתן ישר את היחס הפשוט ‪ , ω = qc‬אותו הנחנו מראש. בכלל:‬ ‫הפונקציות ההרמוניות מתארות גל אינסופי הנע ימינה )או שמאלה, אם‬ ‫]‪ (ψ[iq(x+vt)]=ψ[iqx+iωt‬במהירות ‪.v‬‬ ‫אורך הגל ‪ λ‬הוא מרחק המחזוריות של הגל כלומר המרחק עבורו‬ ‫כך‬ ‫הוא‬ ‫‪T‬‬ ‫המחזור‬ ‫וזמן‬ ‫) ‪,ψ ( x + λ , t ) = ψ ( x + λ , t‬‬ ‫ש ) ‪ .ψ ( x, t + T ) = ψ ( x, t‬עבור הפונקציות ההרמוניות ברור כי ‪qλ = 2π‬‬ ‫ו ‪ , Tω = 2π‬לכן:‬ ‫•‬ ‫=‪T‬‬ ‫1-‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪ω‬‬ ‫=‪λ‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪q‬‬ ‫הקבוע ‪ q‬נקרא מספר הגל )‪ (wavenumber‬ויחידותיו )מטר(.‬ ‫ניתן להשתמש בפונקציות ההרמוניות כדי לנבא את ההתפתחות בזמן של פרופיל התחלתי נתון.‬ ‫אם נתון לנו, לדוגמה, כי הגל נע ימינה, כל שעלינו לעשות הוא להציג את הפרופיל ב- 0=‪ t‬כסכום של‬ ‫פונקציות הרמוניות במקדמים כלשהם:‬ ‫‪ψ ( x, t = 0) = ∑ Ak eiqx‬‬ ‫‪q‬‬ ‫ואז נקבל אוטומטית את הפרופיל בזמן ‪ t‬על ידי הוספת ‪ iωt‬לכל אקספוננט:‬ ‫) ‪.ψ ( x, t‬‬ ‫‪= ∑ Aq eiqx −iωt = ∑ Aq eiqx −ickt‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫להבדיל מן הפתרון הכללי ) ‪ ,ψ ( x ± vt‬הפתרון בצורה של פונקציות הרמוניות מקיים לא רק את‬ ‫משוואת הגלים ה"פשוטה" אלא קבוצה רחבה בהרבה של משוואות גלים יותר סבוכות, שגם בהן‬ ‫ניתקל בהמשך. שתי דוגמאות שכדאי להכיר הן משוואת הגלים עם חיכוך:‬ ‫אבל המקדמים ‪ Aq‬אינם אלא מקדמי פורייה של הפונקציה )0,‪ .!ψ(x‬מכאן שפיתוח תנאי ההתחלה‬ ‫בטור פורייה נותן לנו באופן טריוויאלי את צורת הפונקציה בכל זמן מאוחר ‪.t‬‬ ‫•‬ ‫) ‪∂ 2ψ ( x, t‬‬ ‫) ‪∂ψ ( x, t ) 2 ∂ 2ψ ( x, t‬‬ ‫‪+γ‬‬ ‫‪−v‬‬ ‫0=‬ ‫‪∂t‬‬ ‫2 ‪∂t‬‬ ‫2 ‪∂x‬‬ ‫ומשוואת הגלים עם מהירות גל התלויה בתדר:‬ ‫) ‪1 ∂ ψ ( x, t ) ∂ 2ψ ( x, t‬‬ ‫−‬ ‫0=‬ ‫2 ‪v 2 (ω ) ∂t‬‬ ‫2 ‪∂x‬‬ ‫2‬ ‫מהצבה ישירה קל לגלות כי במקרה הראשון נקבל משוואה ריבועית עבור ‪:ω‬‬ ‫0 = 2 ‪ω 2 + iγω − v 2 q‬‬ ‫‪iγ‬‬ ‫2‪γ‬‬ ‫− 2‪± v2q‬‬ ‫2‬ ‫4‬ ‫ואילו במקרה השני נקבל את היחס הכללי ‪ω = v(ω )q‬‬ ‫. היחס בין ‪ ω‬ל- ‪ q‬נקרא יחס הדיספרסיה,‬ ‫−= ‪ω‬‬ ‫ובשני המקרים הללו, להבדיל ממשוואת הגלים הפשוטה, קיבלנו יחס דיספרסיה לא ליניארי. חשוב‬ ‫להבין שכאשר יחס הדיספרסיה אינו ליניארי אין זה נכון עוד להגיד כי כל צורה מרחבית תתפשט‬ ‫ללא עיוות במהירות אחידה. טענה זו היא ייחודית למצבים של דיספרסיה ליניארית, כמו אלו‬ ‫המתוארים על ידי משוואת הגלים הפשוטה. לעומת זאת, הפטנט של כתיבת הפונקציה בזמן 0=‪t‬‬ ‫כסכום ליניארי של פונקציות הרמוניות והוספת ‪ iωt‬לכל אקספוננט כדי למצו את מצב המערכת‬ ‫בזמן ‪ t‬עדיין עובד, אלא שצריך להקפיד ולהוסיף את ה-)‪ ω(q‬המתאים לכל ‪ q‬לפי יחס הדיספרסיה.‬ ‫מעבר לכל ההערות הללו, יש לזכור תמיד את הטענה הבסיסית של תורת הגלים: התדירות‬ ‫)‪ f‬או ‪ (ω‬תלויה במקור, המהירות תלויה בתווך, אורך הגל )‪ q‬או ‪ (λ‬תלוי בשניהם דרך יחס‬ ‫הדיספרסיה. כאשר יחס הדיספרסיה ליניארי תהיה מהירות אחידה לכל ‪:q‬‬ ‫=‪v‬‬ ‫‪ω‬‬ ‫‪q‬‬ ‫ואילו ביחס דיספרסיה לא ליניארי נבדיל בין "מהירות" של ‪ q‬מסוים, אותה נכנה מהירות‬ ‫הפאזה:‬ ‫= ‪v ph‬‬ ‫= ‪vgroup‬‬ ‫)‪ω (q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫לבין מהירותה של "חבילת גלים" אותה מכנים מהירות החבורה:‬ ‫)‪∂ω (q‬‬ ‫‪∂q‬‬ ‫שים לב כי במקרה של דיספרסיה ליניארית מזדהות שתי ההגדרות.‬ ‫שאלות לפרק ב'‬ ‫1. מוט אלומיניום שארכו מטר אחד תלוי אפקית באויר ומחובר באופן קשיח לקיר )ב-0=‪ ,x‬שם אין‬ ‫תנועה לונגיטודונלית(. בצדו הימני הוא תלוי חפשי באויר )ראה ציור(. מכה קלה על המוט גורמת‬ ‫לו לרטוט בתדר 0521 הרץ, וניתן להניח שזהו התדר הבסיסי של התנודות הארכיות.‬ ‫מהי מהירות הקול באלומיניום?‬ ‫צייר את המעתק המקסימלי של כל נקודה, )‪ ,s(x‬כפונקציה של ‪ x‬עבור התדר‬ ‫הבסיסי הזה, הנח מעתק מקבילי מקסימלי של 10.0 מילימטר.‬ ‫באיזה תדרים הנך מצפה לרזוננס השני )אחד מעל התדר הבסיסי( והשלישי? צייר‬ ‫את המעתק עבורם.‬ ‫כעת מחברים סרט גומי‬ ‫למוט בשני שליש ארכו, כפי‬ ‫שנראה בציור. הסרט הופך‬ ‫אנרגיה לחום אם הוא‬ ‫מתפשט או מתכווץ יחד עם‬ ‫המוט. איזה משלשת‬ ‫המודים שמצאת יונחת הכי‬ ‫מעט בגלל השפעת סרט‬ ‫הגומי?‬ ‫כעת מצפים את כל המוט‬ ‫בסרט הגומי כך שנוסף איבר דיסיפציה כללי למשוואת הגלים:‬ ‫.א‬ ‫.ב‬ ‫.ג‬ ‫.ד‬ ‫.ה‬ ‫‪∂ 2ψ‬‬ ‫‪∂ψ‬‬ ‫‪∂ 2ψ‬‬ ‫‪+γ‬‬ ‫2 2‪= v‬‬ ‫2 ‪∂t‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫‪∂x‬‬ ‫אם ידוע לך כי התנודה בתדר הבסיסי דועכת כעת בזמן דעיכה אפייני של שניה‬ ‫אחת, מה יהיה התדר הבסיסי החדש?‬ ‫באיזה סדר גודל של זמני דעיכה תצפה לכך שלא תוכל יותר לעורר תנודות בצורה‬ ‫המתאימה לתדר הבסיסי?‬ ‫ו.‬ ‫.2 נתונה המשוואה הדיפרנציאלית‬ ‫‪∂u‬‬ ‫‪∂u‬‬ ‫‪∂u‬‬ ‫‪−µ‬‬ ‫2 2‪= v‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪∂t∂x‬‬ ‫‪∂x‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫המתארת גלי קול בתוך תווך כמו מים או קיר. מצא יחס דיספרסיה של גלי קול בתווך באמצעות‬ ‫המשוואה.‬ ‫האם התוצאה מסבירה לך מדוע הנך שומע רק את הבס )אורכי הגל הנמוכים( כאשר שכנך מאזין‬ ‫לרדיו בדירה הסמוכה ? או באופן שונה, אם שני בני זוג מדברים באותה עצמה זה עם זה, האם‬ ‫השכן החטטן המצמיד את אזנו לקיר ישמע את האיש או את האשה?‬ ‫.3 פלוגת החיילים צועדת על גשר שורכו ‪ ,L‬מהירות הקול בחומר הגשר היא ‪ .v‬הרס"ר מצעיד את‬ ‫החיילים בקצב אחיד בעזרת המשרוקית שבפיו.‬ ‫הטירון משה ראס-ננס פונה אל הרס"ר ואומר: "אם תשרוק בתדירות ‪ f‬עלול הגשר‬ ‫.א‬ ‫להתמוטט!" מצא את ‪ f‬כפונקציה של ‪ L‬ו-‪) v‬יש כמה תשובות- מהן?(.‬ ‫הרס"ר המטורף מתחיל לשרוק דווקא בתדירות ‪ f‬וכתוצאה מכך מתחיל הגשר‬ ‫.ב‬ ‫להתנודד בפראות בתדירות ‪ .ω‬באיזה מרחק ‪ z‬מקצה הגשר על משה להימצא על‬ ‫מנת שלא ירגיש בתנודות? מצא את ‪ ω‬ואת ‪ z‬עבור שלוש האפשרויות הנמוכות‬ ‫ביותר בחלק א‬ ‫.4 המיתר העבה בגיטרה מכוון לטון ‪ (16Hz) E‬ורדיוסו 1‪ . R‬המיתר הדק ביותר מכוון לטון ′′ ‪E‬‬ ‫הממוקם שתי אוקטבות מעל ‪ E‬ורדיוסו 2‪) . R‬אוקטבה= הכפלת התדירות(. שני המיתרים‬ ‫כיצד ישתנה היחס אם נשתמש במיתר פלדה 3 ‪ 9 g cm‬עבור ‪ E‬ובמיתר פלסטיק‬ ‫3 ‪ 1.3 g cm‬עבור ′′ ‪? E‬‬ ‫+ ‪ , ω 2 = ( gk‬כאשר ‪ g‬תאוצת‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫עשויים מאותו חומר ונמתחים לאותה המתיחות.‬ ‫א.‬ ‫חשב את היחס 2‪. R1 R‬‬ ‫.ב‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫3‪γ‬‬ ‫.5 יחס הדיספרסיה עבור גלי שטח של מים עמוקים הוא ) ‪k‬‬ ‫‪ρ‬‬ ‫‪Kg‬‬ ‫‪N‬‬ ‫70.0 = ‪ γ‬הוא מתח הפנים של המים ואילו‬ ‫הכובד,‬ ‫3‬ ‫‪m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫א.‬ ‫.ב‬ ‫0001 = ‪ ρ‬היא צפיפות המים.‬ ‫תן את הביטוי עבור מהירות הפזאה, זהה אותה כאחד משני הקווים בגרף המצורף‬ ‫)מהירות כפונקציה של ‪.(k‬‬ ‫תן את הביטוי עבור מהירות החבורה, וזהה גם אותה כאחד משני הקווים בגרף‬ ‫המצורף )מהירות כפונקציה של ‪.(k‬‬ ‫עבור איזה אורך גל ‪ k‬אין דיספרסיה ? )אתה יכול לעריך לפי הציור(.‬ ‫.ג‬ ‫שאלת בונוס:‬ ‫עד היום דיברנו על ) ‪ ,ψ (x, t‬כלומר, פונקציה המתארת את סטיית המיתר משיווי משקל בכיוון ‪y‬‬ ‫כאשר אנו מתקדמים בכיוון ‪ .x‬לאמיתו של דבר, תיאור מתימטי כללי יותר הוא דרך שתי פונקציות:‬ ‫) ‪ . x(s, t ) ; y (s, t‬המתארות את המיקום הדו-מימדי של נקודה על המיתר, שיש ללכת דרך ‪ s‬מקצה‬ ‫המיתר כדי להגיע אליה. נסו לכתוב משוואות גלים, המתארות את ‪ x,y‬לאורך הזמן וה"מקום", ‪.s‬‬ ‫לאחר שתקבלו את המשוואות, נסו לבצע קירוב שלהן למשוואת הגלים המוכרת לכם.‬ ...
View Full Document

This note was uploaded on 10/13/2010 for the course PHYSICS 2238 taught by Professor Asdf during the Spring '07 term at Bar-Ilan University.

Ask a homework question - tutors are online