Propaedeutikum - Vorbereitung zur Mathematik für VWL und...

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Unformatted text preview: Vorbereitung zur Mathematik für VWL und Statistik Reinhard Ullrich Version 30.09.2010 Basierend auf: H. Schichl, R. Steinbauer, Einführung in das mathematische Arbeiten , Springer, 2009 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Aussagenlogik 4 2.1 Aussagen - die kleinsten Einheiten der Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 Verknüpfungen von Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2.1 Das logische UND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2.2 Das logische ODER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2.3 Das logische NICHT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2.4 Die Implikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2.5 Die Äquivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3 Arbeiten mit den logischen Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3.1 Das Zusammenspiel von NICHT, UND und ODER . . . . . . . . . . 10 2.3.2 Kontraposition und Verneinung der Implikation . . . . . . . . . . . . 10 2.3.3 Umschreiben der Äquivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1 2.4 Die Quantoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4.1 Der Allquantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4.2 Der Existenzquantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4.3 Die Verneinung von All- und Existenzquantor . . . . . . . . . . . . . 13 2.4.4 Verkettungen von Quantoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 Mathematische Sätze und deren Beweise 15 3.1 Das System (Axiom-)De nition-Satz-Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2 Sätze / Theoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2.1 Hinreichende und Notwendige Bedingungen . . . . . . . . . . . . . . 18 3.3 Beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.3.1 Der Direkte Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.3.2 Der Indirekte Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3.3 Vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.3.4 Äquivalenzen beweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3.5 Das Gegenbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4 Mengen und Intervalle 26 4.1 Mengen - De nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.2 Die Menge R und Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.3 Intervalle in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.4 Anwendung: De nitionsmengen von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5 Übungsbeispiele 31 5.1 Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5.2 Sätze und Beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.3 Mengen und Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
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This note was uploaded on 10/18/2010 for the course MATHEMATIC 233 taught by Professor Lecko during the Spring '10 term at Aarhus Universitet, Aarhus.

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