Test2 - ½ÄØ Ø f R3 → R3 Ø ×Ô Ö Ð ÓÓÖ Ò Ø Ñ f(r ϕ θ =(r sin ϕ cos θ r sin ϕ sin θ r cos θ Ì Ù× r × ØÓ Ø ÓÖ Ò¸ ϕ

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ½ÄØ Ø f : R3 → R3 Ø ×Ô Ö Ð ÓÓÖ Ò Ø Ñ f (r, ϕ, θ) = (r sin ϕ cos θ, r sin ϕ sin θ, r cos θ). Ì Ù× r × ØÓ Ø ÓÖ Ò¸ ϕ × Ø Ò Ð ÖÓÑ Ø ÔÓ× Ø Ú z ¹ ÐÓÒ ØÙ º Ô¸ (x, y, z ) = Ø ×Ø Ò Ü ×¸ Ò θ × ´ µ ¿ Ñ Ö ×℄ Ï Ø × Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÔÓ ÒØ r0 , ϕ0 , θ0 ÓÖ f ØÓ ÐÓ ÐÐÝ ÒÚ ÖØ Ð ÓÙØ Ø × ÔÓ ÒØ Ï Ø × Ø ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ (x0 , y0 , z0 ) = f (r0 , ϕ0 , θ0 ) Ñ Ô f × ÐÓ ÐÐÝ ÒÚ ÖØ Ð ÓÙØ ÔÓ ÒØ× ÓÖ Û det(Df )(r0 , ϕ0 , θ0 ) = 0 ´Ì º¿º½ Ò Ø Ø Üصº ÁÒ ÓÙÖ × 2 det(Df )(r0 , ϕ0 , θ0 ) = r0 sin ϕ0 = 0 ÓÖ r0 = 0 Ò ϕ0 = πk, k = 0, ±1, ±2, . . . . ÁÒ Ö Ø Ò ÙÐ Ö ÓÓÖ Ò Ø × Ø ØÖ Ò×Ð Ø × ØÓ (x0 , y0 ) = (0, 0). Ì ´µ Ñ Ö ×℄ Ø ÖÑ Ò Û Ø Ö Ø ÓÒÚ Ö ×º x2 +y 2 +z 2 <1 2π π 1 ÒØ Ö Ð x1/5 x2 +y 2 +z 2 <1 (x2 +y 2 +z 2 )3/2 dV x1/5 dV = (x2 + y 2 + z 2 )3/2 r1/5 cos1/5 θ sin1/5 ϕ 2 r sin ϕ drdϕdθ = r3 2π 1 0 2π 0 0 ( 0 | cos 1/5 θ|dθ)( 0 | sin 6/5 ϕ|dϕ)( 1 r4/5 dr) = I1 I2 I3 0 0 ≤ | cos θ| ≤ 1, Ø Ö ÓÖ 0 ≤ I1 ≤ 2π, 0 ≤ | sin ϕ| ≤ 1, Ø Ö ÓÖ 0 ≤ I2 ≤ π, I3 × ÓÒÚ Ö ÒØ × Ò 1 ÓÖ Ò Ð ÒØ Ö Ð ÓÒÚ Ö ×º 0 1 r p dr ÓÒÚ Ö × ÓÖ p < 1. À Ò Ø ½ ¾ ËÙÔÔÓ× Ø Ø Ø ×ÙÖ S × Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ý Ø ÙÒ Ø ÓÒ f : R2 → R3 , Û Ö f (u, v ) = (uv, 2u − v, u + v ). Ä Ø Ø ÙÖÚ C Ø ÐÓ Ù× ´Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ × Øµ Ó ØÛÓ ÕÙ Ø ÓÒ× x2 + y2 + 2z − 6 = 0 Ò x2 + y + 1 z 2 − 4 = 0. 2 ´µ ÓÖ (x, y, z ) = (1, 1, 2) Û Ú (u, v ) = (1, 1). Ì Ú ØÓÖ n, ÒÓÖÑ Ð ØÓ S Ø (1, 1, 2) × n = (∂u f × ∂v f )(1, 1) = (v, 2, 1) × (u, −1, 1)|(1,1) = (1, 2, 1) × (1, −1, 1), ×Ó n = (3, 0, −3). Ì Ú ØÓÖ t Ø Ò ÒØ ØÓ C × ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ØÓ ÓØ ÒÓÖÑ Ð× Ó ÒØ Ö× Ø Ò ×ÙÖ × Ø (1, 1, 2) : t = (2x, 2y, 2) × (2x, 1, z )|(1,1,2) = (2, 2, 2) × (2, 1, 2), ×Ó t = (2, 0, −2). n Ò t Ö Ô Ö ÐÐ Ð ØÓ S Ø ÔÓ ÒØ (1, 1, 2). À Ò C × ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ØÓ S Ø Ø Ø ÔÓ Òغ Ñ Ö ×℄ ÍÒ Ö Û Ø Ò Ð Ó × Ø Ø ×ÙÖ S Ø Ø ÔÓ ÒØ (1, 1, 2) ÙÖÚ C ÒØ Ö× Ø× ÓÖ ÓÓ N Ó (u0 , v0 ) = (0, 0) Ò ´ µ ¿ Ñ Ö ×℄ Á× Ø Ö Ò 2 ×Ù Ø R Ø Ø × Ø S = {f (u, v) : (u, v) ∈ N } × Ø ÖÔ Ó C 1 ¹ ÙÒ Ø ÓÒ z = f (x, y) ÓÖ y = f (x, z ) ÓÖ x = f (y, z )µ Ï Ý ÓÖ Û Ý ÒÓØ ÓÖÑÙÐ Ø Ø Ø ÓÖ Ñ Ø Ø ÝÓÙ Ú Ù× º ˺ Ý Ø ÓÖ Ñ Á f × C 1 ¹Ñ ÔÔ Ò ÖÓÑ Ò ÓÔ Ò × Ø Ò R2 ØÓ R3 Ò [∂u f × ∂v f ](u0 , v0 ) = 0, Ø Ò Ø Ö × Ò ÓÖ ÓÓ 2 ×Ù Ø Ø Ø N Ó (u0 , v0 ) ∈ R × Ø {f (u, v ) : (u, v ) ∈ N } × Ø Ö Ô Ó C 1 ¹ ÙÒ Ø ÓÒº ÁÒ ÓÙÖ × (∂u f × ∂v f )(0, 0) = (0, 2, 1) × (0, −1, 1) = (3, 0, 0) = 0, ×Ó Ø Ö Ü ×Ø Ò ÓÖ ÓÓ N Ó (0, 0), ×Ù Ø Ø S × Ø ÖÔ 1 ÙÒ Ø ÓÒº ´ ØÙ ÐÐݸ ÓÒÐÝ x = f (y, z ).µ ÓC ¾ ¿Ì Ñ ×× m Ó f (x, y, z ) × Ú Ò Ø ÓÑÔ Ø Ö y = x, Ø ÝÐ Ò ´µ x = 0. Ø ×ÓÐ V ⊂ R3 Ú Ò Ø Ñ ×× Ò× ØÝ Ým= f (x, y, z )dV. ËÙÔÔÓ× V × Ó ÙÔÝ Ò V ÓÒ Ò Ø Ö×Ø Ó Ø ÒØ ÓÙÒ Ý Ø ÔÐ Ò 2ÒØ Ö z =1−y ÓÓÖ Ò Ø ÔÐ Ò × z = 0, Ñ Ö ×℄ ÏÖ Ø Ø ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ø Ñ ×× Ó V × Ò Ø Ö Ø ÒØ Ö Ð Ò Ø ÓÖ Ö Ó ÒØ Ö Ø ÓÒ dydxdz. ÈÖÓ √ V ÓÒ xz ¹ÔÐ Ò y = x, y = Ø x= 1−z Ò √ 1 − z, ×Ó ÓÑÔ Ö Ò Û Ø ×Ó 0≤z≤1 √ 0 ≤ x ≤ √1 − z , V= 0≤y ≤ 1−z 1 √ z −1 √ z −1 m= 0 0 x f (x, y, z )dydxdz. ´µ 4. ÓÙ Ñ Ý Ù× Ø Ñ Ö ×℄ Ò Ø Ñ ×× Ó V Ò × Ø× Ò× ØÝ × f (x, y, z ) ≡ ÓÙ Ñ Ý Ù× ÒÝ ÓÖ Ö Ó ÒØ Ö Ø ÓÒº ÓÚ ¸ º º 1 √ z −1 √ z −1 m= 0 0 x 4dydxdz, ¿ ÓÖ m= 0 1 1 1−y 2 4dzdydx, x 0 ÙØ Ø 1 × ×Ø Ð ÙÐ Ø ÓÒ ÛÓÙÐ y 1−y 2 1 y 1 m= 0 0 0 4dzdxdy = 4 0 0 1−y 2 dxdy = 4 0 y (1−y 2 )dy = 2y 2 −y 4 |1 = 1. 0 ´ µ ¿ Ñ Ö ×℄ Ä Ø G : Rn → Rn Ó Ð ×× C 1 , ÓÒ ¹ØÓ¹ÓÒ Ò ÓÒØÓ Ñ Ô¸Û Ó× ÒÚ Ö× × Ð×Ó Ó Ð ×× C 1 . ËÙÔÔÓ× Ø Ø det[DG(u)] = 2, ∀u ∈ Rn . Ï Ø × Ø ÂÓÖ Ò Ñ ×ÙÖ ´Ø Ø × Ø Ò¹ Ñ Ò× ÓÒ Ð ÚÓÐÙÑ µ Ó G−1 ([0, 1]n ) = {u ∈ Rn : G(u) ∈ [0, 1]n } Ý Ò Ó ÚÖ ... Ð × Ø ÓÖ Ñ ´ ÐÐ ××ÙÑÔØ ÓÒ× Ö × Ø × dn x = ... G−1 ([0,1]n ) µ det[DG(u)]dn u [0,1]n Ì ÒØ Ö Ð ÓÒ Ø Ö ÕÙ Ö ÚÓÐÙÑ × Ð Ø × ½ ´ÚÓÐÙÑ Ó n¹ Ñ Ò× ÓÒ Ð Ù µ¸ ×Ó Ø ... G−1 ([0,1]n ) d nu 1 = 2. ´µ Ñ Ö ×℄ Ä Ø S Ø × Ø Ò R2 ÓÙÒ Ý Ø ÙÖÚ × x2 = 2 = 2y Ò 2 = x, y 2 = 3x. y, x y ÓÓ× Ò ×Ù Ø Ð Ò Ó Ú Ö Ð × ÓÖ ÓÙ Ð ÒØ Ö Ð¸ Ò Ø ÂÓÖ Ò Ñ ×ÙÖ ´Ø Ø ×Ø Ö µ Ó S. ÕÙ Ø ÓÒ× Ó Ø ÙÖÚ × Ò ÛÖ ØØ Ò × x = 1, x = 2, yx = 1, y y y2 y2 x2 Û Ð Ø u = y , v = x , Ø Ò 1 ≤ u ≤ 2, 1 ≤ v ≤ 3. x = 3, ×Ó 2 2 2 ÆÓÛ¸ ∂ (u,v ) ∂ (x,y ) = 2x y y2 − x2 − x2 y 2y x 32 11 2 =4−1=3 Ò 2 = 3. ∂ (x,y ) ∂ (u,v ) = 1. 3 À Ò A = S dA = 1 3 dudv Ì ×Ô Ö Ð Ø Ò Ó Ö ÓÚ Ø× ÓØØÓѺ Ù× 2m × ÐÐ Ý Ù ÙÔ ØÓ 1m ´µ Ñ Ö ×℄ Ë Ø ÙÔ Ø ØÖØ ÒØ Ö Ð Ò ÓÓÖ Ò Ø ×Ý×Ø Ñ Ó ÝÓÙÖ Ó Ø Ø Ú × Ø ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ø ÚÓÐÙÑ ÓØ Ùº ×Ô Ö Ò ÓÓÖ Ò Ø ×Ý×Ø Ñ ×ºØº Ø √ ÕÙ Ø ÓÒ × x2 + y 2 + z 2 = 22 . ÓÖ x = −1 Û Ú x2 + y 2 = ( 3)2 ÁÒ ÝÐ Ò Ö Ð ÓÓÖ Ò Ø × Û Ø Ò ÁÒ ×Ô Ö Ð V = 2π π 0 2π 3 ÈÐ Ø Ú V= 2π √ 3 −1 2 √ 0 0 − 4−r 2 rdzdrdϕ ρ2 sin ϕdρdϕdθ −1 ÁÒ Ö Ø Ò ÙÐ Ö V = − sec ϕ √ √ 3 3−x2 ´µ × ×Ø Ð ÙÐ Ø ÓÒ× Ò ÝÐ Ò Ö Ð ÓÓÖ Ò Ø ×º 2π √ 3 Ñ Ö ×℄ ÒØ √ √ √ − 3 − 3−x2 − 3−x2 −y 2 dzdydx ÒÙÑ Ö Ð Ú ÐÙ ÓÖ Ø Ø ÚÓÐÙÑ º √ 0 3 V= 00 r(−1 + √ 4− r2 )drdθ r2 2 √ 0 3 = 2π √ (r 4 − r2 − r)dr = = 2π − 1 (4 − r2 )3/2 − 3 5π 3. 8 = 2π (− 1 − 3 + 1 23 ) = 2π ( 3 − 11 ) = 3 2 3 6 ÓÑ ØÖ ÐÐÝ Ø ÙÔÔ Ö ÙÔ Û Ø 1 ≤ z ≤ 4 − x2 − y 2 × Ø × Ñ ÚÓÐÙÑ ×Ó Ø × × ÐÐÝ É × º º¿ Ó ÝÓÙÖ Ø Üغ Ì × ÛÓÙÐ Ð×Ó ÓÖÖ Ø ×ÓÐÙØ ÓÒº ÊÑÖ ÓÒ× ÖØ ÙÒ Ø ÓÒ F : (1, 2) → R Ò Ý F (x) = 1 0 4x2 − y 2 dy. ´ µ ¿ Ñ Ö ×℄ Î Ö Ý Ø Ø Ø ÙÒ Ø ÓÒ F × ÓÒØ ÒÙÓÙ×ÐÝ Ö ÒØ ÓÒ (1, 2) Ø Ø × Ø Ø ÄÄ Ø ××ÙÑÔØ ÓÒ× Ó Ø Ö ×Ô Ø Ú Ø ÓÖ Ñ Ö × Ø × ÓÖ Ø × Ô ÖØ ÙÐ Ö × º ½º [0, 1] ⊂ R × ÓÑÔ Ø Ñ ×ÙÖ Ð ¸ (1, 2) ⊂ R × ÓÔ Òº ¾º Ì ÙÒ Ø ÓÒ f (x, y ) = 4x2 − y 2 × ÓÒØ ÒÙÓÙ× ÓÒ (1, 2) × [0, 1]. ¿º f (x, y ) = Ð ´µ Ñ Ö ×℄ Ò F ′ (x) ÓÖ x ∈ (1, 2). Ó × ÒÓØ ÓÒØ Ò Ò ÒØ Ö Ð × Òº d dx 1 0 4x2 − y 2 × Ó Ð ×× C 1 × 1 0 ÙÒ Ø ÓÒ Ó x ÓÒ (1, 2). Ú Ò Ò×Û Ö Ø Ø 1 0 1 2x F ′ (x) = 1 4x2 − y 2 dy = dy = 4x arcsin d dx y 2x 4x2 − y 2 dy = |1 = 4x arcsin 0 √ 4x dy (2x)2 −y 2 = = 0 2x √ 4x x ∈ (1, 2) y 1−( 2x )2 ÓÖ ÐÐ Ä Ø F : R2 → R Ò Ý f (x, y ) = 82 x . 1+y 5 √ 3 ´µ Ñ Ö ×℄ Ú ÐÙ Ø À Ö D= ÒÒØ D= I= 0 √ 3 f (x, y )dydx. x 0≤x≤8 √ 3 x≤y≤2 ÓÖ Ö Ó ÒØ Ö Ø ÓÒ Û Ú 0≤y≤2 ,Ò 0 ≤ x ≤ y3 2 y3 I= 0 0 x1/3 1+y 2 x= y 3 dxdy = 5 0 x4/3 1 + y5 x=0 2 3 dx = 4 0 2 y4 dy = 1 + y5 = 31 ln(1 + y 5 ) 45 = 0 3 ln 33. 20 ´ µ ¿ Ñ Ö ×℄ Á× f ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÓÒØ ÒÙÓÙ× ÓÒ Ø 1 ≤ |x| + |y | ≤ 2} ⊂ R2 Ï Ý ÓÖ Û Ý ÒÓØ × Ø S = {(x, y) : Ì × Ø S × ÓÑÔ Ø¸ Ù× Ø × ÓÙÒ ¸ S ⊂ B (0, 3), Ò ÐÓ× × Ò Ø ÓÒØ Ò× ÐÐ Ó Ø× ÓÙÒ ÖÝ ÔÓ ÒØ׺ ÀÓÛ Ú Ö f × ÒÓØ ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ø Ú ÖÝ ÔÓ ÒØ Ó S º Ì ÙÒ Ø ÓÒ f × ÙÒ ÓÙÒ ÓÒ Ø × Ø {(x, y ) : y = −1, −1 ≤ x ≤ 1} ⊂ S. À Ò f × ÒÓØ ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÓÒØ ÒÙÓÙ× ÓÒ S º ´µ Ñ Ö ×℄ Ä Ø F1 , F2 : R2 → R C 1 ¹ ÙÒ Ø ÓÒ× ÓÒ ×ÓÑ ÓÔ Ò 2, Ò ×ØU⊂R Ð Ø F3 = F1 F2 º ÓÖ j = 1, 2 Ð Ø Sj = {x ∈ U : Fj (x) = 0}º ÈÖÓÚ Ø Ø a ∈ S1 ∩ S2 ¸ Ø Ò ∇F3 (a) = 0º = (F2 ∂x F1 + F1 ∂x F2 , F2 ∂y F1 + F1 ∂y F2 ) = F2 ∇F1 + F1 ∇F2 . ∇F3 = ∇(F1 F2 ) = (∂x (F1 F2 ), ∂y (F1 F2 )) = ´µ ÓÖ a ∈ S1 ∩ S2 Û Ú F1 (a) = 0 Ò F2 (a) = 0 ×Ó ∇F3 (a) = F2 (a)∇F1 (a) + F1 (a)∇F2 (a) = 0º Ñ Ö ×℄ Ä Ø f : [0, 1] × [0, 1] → R f (x, y ) = 1 Ò Ý y arcsin(y − x) + 1 −1 2 e(x−y) f orx >y ÓÖ x < y ÓÖ y = x, x ∈ Q ÓÖ y = x, x ∈ Q Û Ö Q ÒÓØ × Ø × Ø Ó Ö Ø ÓÒ Ð ÒÙÑ Ö׺ Á× f ´Ê Ñ ÒÒµ ÒØ Ö Ð ÓÒ [0, 1] × [0, 1] ÂÙ×Ø Ý ÝÓÙÖ Ò×Û Ö Ò ÓÖÑÙÐ Ø ÒÝ Ø ÓÖ Ñ´×µ Ø Ø ÝÓÙ Ú Ù× º Ì x ≤ 1}. × Ø Ó ÐÐ × ÓÒØ ÒÙ ØÝ ÔÓ ÒØ× Ó f (x, y ) × SR = {(x, y ) : y = x, 0 ≤ ×Ý ØÓ × Ø Ø Ø × ÓÒØ ÒØ 0 Ò R2 . ÆÓÛ¸ Ý Ø f × ÓÙÒ ÓÒ Ñ ×ÙÖ Ð × Ø S ⊂ R2 Ò Ø ×ØÓ ÐÐ ÔÓ ÒØ× Ò S Ø Û f × × ÓÒØ ÒÙÓÙ× × Þ ÖÓ ÓÒØ Òظ Ø Ò f × ÒØ Ö Ð ÓÒ S ¸ ÌÀº Á Û ÓÒ ÐÙ Ø Ø f × ÒØ Ö Ð ÓÒ [0, 1] × [0, 1], × Ò |f (x, y )| < e ÓÒ Ø Ñ ×ÙÖ Ð × Ø [0, 1] × [0, 1]. ...
View Full Document

This note was uploaded on 10/21/2010 for the course MATHEMATIC MAT237Y1 taught by Professor Romauldstanczak during the Fall '09 term at University of Toronto- Toronto.

Ask a homework question - tutors are online