test2 - ½ÄØ Ø f R3 → R3 Ø ×Ô Ö Ð ÓÓÖ Ò Ø Ñ...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ½ÄØ Ø f : R3 → R3 Ø ×Ô Ö Ð ÓÓÖ Ò Ø Ñ f (r, ϕ, θ) = (r sin ϕ cos θ, r sin ϕ sin θ, r cos θ). Ì Ù× r × ØÓ Ø ÓÖ Ò¸ ϕ × Ø Ò Ð ÖÓÑ Ø ÔÓ× Ø Ú z ¹ ÐÓÒ ØÙ º Ô¸ (x, y, z ) = Ø ×Ø Ò Ü ×¸ Ò θ × ´ µ ¿ Ñ Ö ×℄ Ï Ø × Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÔÓ ÒØ r0 , ϕ0 , θ0 ÓÖ f ØÓ ÐÓ ÐÐÝ ÒÚ ÖØ Ð ÓÙØ Ø × ÔÓ ÒØ Ï Ø × Ø ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ (x0 , y0 , z0 ) = f (r0 , ϕ0 , θ0 ) Ñ Ô f × ÐÓ ÐÐÝ ÒÚ ÖØ Ð ÓÙØ ÔÓ ÒØ× ÓÖ Û det(Df )(r0 , ϕ0 , θ0 ) = 0 ´Ì º¿º½ Ò Ø Ø Üصº ÁÒ ÓÙÖ × 2 det(Df )(r0 , ϕ0 , θ0 ) = r0 sin ϕ0 = 0 ÓÖ r0 = 0 Ò ϕ0 = πk, k = 0, ±1, ±2, . . . . ÁÒ Ö Ø Ò ÙÐ Ö ÓÓÖ Ò Ø × Ø ØÖ Ò×Ð Ø × ØÓ (x0 , y0 ) = (0, 0). Ì ´µ Ñ Ö ×℄ Ø ÖÑ Ò Û Ø Ö Ø ÓÒÚ Ö ×º x2 +y 2 +z 2 <1 2π π 1 ÒØ Ö Ð x1/5 x2 +y 2 +z 2 <1 (x2 +y 2 +z 2 )3/2 dV x1/5 dV = (x2 + y 2 + z 2 )3/2 r1/5 cos1/5 θ sin1/5 ϕ 2 r sin ϕ drdϕdθ = r3 2π 1 0 2π 0 0 ( 0 | cos 1/5 θ|dθ)( 0 | sin 6/5 ϕ|dϕ)( 1 r4/5 dr) = I1 I2 I3 0 0 ≤ | cos θ| ≤ 1, Ø Ö ÓÖ 0 ≤ I1 ≤ 2π, 0 ≤ | sin ϕ| ≤ 1, Ø Ö ÓÖ 0 ≤ I2 ≤ π, I3 × ÓÒÚ Ö ÒØ × Ò 1 ÓÖ Ò Ð ÒØ Ö Ð ÓÒÚ Ö ×º 0 1 r p dr ÓÒÚ Ö × ÓÖ p < 1. À Ò Ø ½ ¾ ËÙÔÔÓ× Ø Ø Ø ×ÙÖ S × Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ý Ø ÙÒ Ø ÓÒ f : R2 → R3 , Û Ö f (u, v ) = (uv, 2u − v, u + v ). Ä Ø Ø ÙÖÚ C Ø ÐÓ Ù× ´Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ × Øµ Ó ØÛÓ ÕÙ Ø ÓÒ× x2 + y2 + 2z − 6 = 0 Ò x2 + y + 1 z 2 − 4 = 0. 2 ´µ ÓÖ (x, y, z ) = (1, 1, 2) Û Ú (u, v ) = (1, 1). Ì Ú ØÓÖ n, ÒÓÖÑ Ð ØÓ S Ø (1, 1, 2) × n = (∂u f × ∂v f )(1, 1) = (v, 2, 1) × (u, −1, 1)|(1,1) = (1, 2, 1) × (1, −1, 1), ×Ó n = (3, 0, −3). Ì Ú ØÓÖ t Ø Ò ÒØ ØÓ C × ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ØÓ ÓØ ÒÓÖÑ Ð× Ó ÒØ Ö× Ø Ò ×ÙÖ × Ø (1, 1, 2) : t = (2x, 2y, 2) × (2x, 1, z )|(1,1,2) = (2, 2, 2) × (2, 1, 2), ×Ó t = (2, 0, −2). n Ò t Ö Ô Ö ÐÐ Ð ØÓ S Ø ÔÓ ÒØ (1, 1, 2). À Ò C × ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ØÓ S Ø Ø Ø ÔÓ Òغ Ñ Ö ×℄ ÍÒ Ö Û Ø Ò Ð Ó × Ø Ø ×ÙÖ S Ø Ø ÔÓ ÒØ (1, 1, 2) ÙÖÚ C ÒØ Ö× Ø× ÓÖ ÓÓ N Ó (u0 , v0 ) = (0, 0) Ò ´ µ ¿ Ñ Ö ×℄ Á× Ø Ö Ò 2 ×Ù Ø R Ø Ø × Ø S = {f (u, v) : (u, v) ∈ N } × Ø ÖÔ Ó C 1 ¹ ÙÒ Ø ÓÒ z = f (x, y) ÓÖ y = f (x, z ) ÓÖ x = f (y, z )µ Ï Ý ÓÖ Û Ý ÒÓØ ÓÖÑÙÐ Ø Ø Ø ÓÖ Ñ Ø Ø ÝÓÙ Ú Ù× º ˺ Ý Ø ÓÖ Ñ Á f × C 1 ¹Ñ ÔÔ Ò ÖÓÑ Ò ÓÔ Ò × Ø Ò R2 ØÓ R3 Ò [∂u f × ∂v f ](u0 , v0 ) = 0, Ø Ò Ø Ö × Ò ÓÖ ÓÓ 2 ×Ù Ø Ø Ø N Ó (u0 , v0 ) ∈ R × Ø {f (u, v ) : (u, v ) ∈ N } × Ø Ö Ô Ó C 1 ¹ ÙÒ Ø ÓÒº ÁÒ ÓÙÖ × (∂u f × ∂v f )(0, 0) = (0, 2, 1) × (0, −1, 1) = (3, 0, 0) = 0, ×Ó Ø Ö Ü ×Ø Ò ÓÖ ÓÓ N Ó (0, 0), ×Ù Ø Ø S × Ø ÖÔ 1 ÙÒ Ø ÓÒº ´ ØÙ ÐÐݸ ÓÒÐÝ x = f (y, z ).µ ÓC ¾ ¿Ì Ñ ×× m Ó f (x, y, z ) × Ú Ò Ø ÓÑÔ Ø Ö y = x, Ø ÝÐ Ò ´µ x = 0. Ø ×ÓÐ V ⊂ R3 Ú Ò Ø Ñ ×× Ò× ØÝ Ým= f (x, y, z )dV. ËÙÔÔÓ× V × Ó ÙÔÝ Ò V ÓÒ Ò Ø Ö×Ø Ó Ø ÒØ ÓÙÒ Ý Ø ÔÐ Ò 2ÒØ Ö z =1−y ÓÓÖ Ò Ø ÔÐ Ò × z = 0, Ñ Ö ×℄ ÏÖ Ø Ø ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ø Ñ ×× Ó V × Ò Ø Ö Ø ÒØ Ö Ð Ò Ø ÓÖ Ö Ó ÒØ Ö Ø ÓÒ dydxdz. ÈÖÓ √ V ÓÒ xz ¹ÔÐ Ò y = x, y = Ø x= 1−z Ò √ 1 − z, ×Ó ÓÑÔ Ö Ò Û Ø ×Ó 0≤z≤1 √ 0 ≤ x ≤ √1 − z , V= 0≤y ≤ 1−z 1 √ z −1 √ z −1 m= 0 0 x f (x, y, z )dydxdz. ´µ 4. ÓÙ Ñ Ý Ù× Ø Ñ Ö ×℄ Ò Ø Ñ ×× Ó V Ò × Ø× Ò× ØÝ × f (x, y, z ) ≡ ÓÙ Ñ Ý Ù× ÒÝ ÓÖ Ö Ó ÒØ Ö Ø ÓÒº ÓÚ ¸ º º 1 √ z −1 √ z −1 m= 0 0 x 4dydxdz, ¿ ÓÖ m= 0 1 1 1−y 2 4dzdydx, x 0 ÙØ Ø 1 × ×Ø Ð ÙÐ Ø ÓÒ ÛÓÙÐ y 1−y 2 1 y 1 m= 0 0 0 4dzdxdy = 4 0 0 1−y 2 dxdy = 4 0 y (1−y 2 )dy = 2y 2 −y 4 |1 = 1. 0 ´ µ ¿ Ñ Ö ×℄ Ä Ø G : Rn → Rn Ó Ð ×× C 1 , ÓÒ ¹ØÓ¹ÓÒ Ò ÓÒØÓ Ñ Ô¸Û Ó× ÒÚ Ö× × Ð×Ó Ó Ð ×× C 1 . ËÙÔÔÓ× Ø Ø det[DG(u)] = 2, ∀u ∈ Rn . Ï Ø × Ø ÂÓÖ Ò Ñ ×ÙÖ ´Ø Ø × Ø Ò¹ Ñ Ò× ÓÒ Ð ÚÓÐÙÑ µ Ó G−1 ([0, 1]n ) = {u ∈ Rn : G(u) ∈ [0, 1]n } Ý Ò Ó ÚÖ ... Ð × Ø ÓÖ Ñ ´ ÐÐ ××ÙÑÔØ ÓÒ× Ö × Ø × dn x = ... G−1 ([0,1]n ) µ det[DG(u)]dn u [0,1]n Ì ÒØ Ö Ð ÓÒ Ø Ö ÕÙ Ö ÚÓÐÙÑ × Ð Ø × ½ ´ÚÓÐÙÑ Ó n¹ Ñ Ò× ÓÒ Ð Ù µ¸ ×Ó Ø ... G−1 ([0,1]n ) d nu 1 = 2. ´µ Ñ Ö ×℄ Ä Ø S Ø × Ø Ò R2 ÓÙÒ Ý Ø ÙÖÚ × x2 = 2 = 2y Ò 2 = x, y 2 = 3x. y, x y ÓÓ× Ò ×Ù Ø Ð Ò Ó Ú Ö Ð × ÓÖ ÓÙ Ð ÒØ Ö Ð¸ Ò Ø ÂÓÖ Ò Ñ ×ÙÖ ´Ø Ø ×Ø Ö µ Ó S. ÕÙ Ø ÓÒ× Ó Ø ÙÖÚ × Ò ÛÖ ØØ Ò × x = 1, x = 2, yx = 1, y y y2 y2 x2 Û Ð Ø u = y , v = x , Ø Ò 1 ≤ u ≤ 2, 1 ≤ v ≤ 3. x = 3, ×Ó 2 2 2 ÆÓÛ¸ ∂ (u,v ) ∂ (x,y ) = 2x y y2 − x2 − x2 y 2y x 32 11 2 =4−1=3 Ò 2 = 3. ∂ (x,y ) ∂ (u,v ) = 1. 3 À Ò A = S dA = 1 3 dudv Ì ×Ô Ö Ð Ø Ò Ó Ö ÓÚ Ø× ÓØØÓѺ Ù× 2m × ÐÐ Ý Ù ÙÔ ØÓ 1m ´µ Ñ Ö ×℄ Ë Ø ÙÔ Ø ØÖØ ÒØ Ö Ð Ò ÓÓÖ Ò Ø ×Ý×Ø Ñ Ó ÝÓÙÖ Ó Ø Ø Ú × Ø ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ø ÚÓÐÙÑ ÓØ Ùº ×Ô Ö Ò ÓÓÖ Ò Ø ×Ý×Ø Ñ ×ºØº Ø √ ÕÙ Ø ÓÒ × x2 + y 2 + z 2 = 22 . ÓÖ x = −1 Û Ú x2 + y 2 = ( 3)2 ÁÒ ÝÐ Ò Ö Ð ÓÓÖ Ò Ø × Û Ø Ò ÁÒ ×Ô Ö Ð V = 2π π 0 2π 3 ÈÐ Ø Ú V= 2π √ 3 −1 2 √ 0 0 − 4−r 2 rdzdrdϕ ρ2 sin ϕdρdϕdθ −1 ÁÒ Ö Ø Ò ÙÐ Ö V = − sec ϕ √ √ 3 3−x2 ´µ × ×Ø Ð ÙÐ Ø ÓÒ× Ò ÝÐ Ò Ö Ð ÓÓÖ Ò Ø ×º 2π √ 3 Ñ Ö ×℄ ÒØ √ √ √ − 3 − 3−x2 − 3−x2 −y 2 dzdydx ÒÙÑ Ö Ð Ú ÐÙ ÓÖ Ø Ø ÚÓÐÙÑ º √ 0 3 V= 00 r(−1 + √ 4− r2 )drdθ r2 2 √ 0 3 = 2π √ (r 4 − r2 − r)dr = = 2π − 1 (4 − r2 )3/2 − 3 5π 3. 8 = 2π (− 1 − 3 + 1 23 ) = 2π ( 3 − 11 ) = 3 2 3 6 ÓÑ ØÖ ÐÐÝ Ø ÙÔÔ Ö ÙÔ Û Ø 1 ≤ z ≤ 4 − x2 − y 2 × Ø × Ñ ÚÓÐÙÑ ×Ó Ø × × ÐÐÝ É × º º¿ Ó ÝÓÙÖ Ø Üغ Ì × ÛÓÙÐ Ð×Ó ÓÖÖ Ø ×ÓÐÙØ ÓÒº ÊÑÖ ÓÒ× ÖØ ÙÒ Ø ÓÒ F : (1, 2) → R Ò Ý F (x) = 1 0 4x2 − y 2 dy. ´ µ ¿ Ñ Ö ×℄ Î Ö Ý Ø Ø Ø ÙÒ Ø ÓÒ F × ÓÒØ ÒÙÓÙ×ÐÝ Ö ÒØ ÓÒ (1, 2) Ø Ø × Ø Ø ÄÄ Ø ××ÙÑÔØ ÓÒ× Ó Ø Ö ×Ô Ø Ú Ø ÓÖ Ñ Ö × Ø × ÓÖ Ø × Ô ÖØ ÙÐ Ö × º ½º [0, 1] ⊂ R × ÓÑÔ Ø Ñ ×ÙÖ Ð ¸ (1, 2) ⊂ R × ÓÔ Òº ¾º Ì ÙÒ Ø ÓÒ f (x, y ) = 4x2 − y 2 × ÓÒØ ÒÙÓÙ× ÓÒ (1, 2) × [0, 1]. ¿º f (x, y ) = Ð ´µ Ñ Ö ×℄ Ò F ′ (x) ÓÖ x ∈ (1, 2). Ó × ÒÓØ ÓÒØ Ò Ò ÒØ Ö Ð × Òº d dx 1 0 4x2 − y 2 × Ó Ð ×× C 1 × 1 0 ÙÒ Ø ÓÒ Ó x ÓÒ (1, 2). Ú Ò Ò×Û Ö Ø Ø 1 0 1 2x F ′ (x) = 1 4x2 − y 2 dy = dy = 4x arcsin d dx y 2x 4x2 − y 2 dy = |1 = 4x arcsin 0 √ 4x dy (2x)2 −y 2 = = 0 2x √ 4x x ∈ (1, 2) y 1−( 2x )2 ÓÖ ÐÐ Ä Ø F : R2 → R Ò Ý f (x, y ) = 82 x . 1+y 5 √ 3 ´µ Ñ Ö ×℄ Ú ÐÙ Ø À Ö D= ÒÒØ D= I= 0 √ 3 f (x, y )dydx. x 0≤x≤8 √ 3 x≤y≤2 ÓÖ Ö Ó ÒØ Ö Ø ÓÒ Û Ú 0≤y≤2 ,Ò 0 ≤ x ≤ y3 2 y3 I= 0 0 x1/3 1+y 2 x= y 3 dxdy = 5 0 x4/3 1 + y5 x=0 2 3 dx = 4 0 2 y4 dy = 1 + y5 = 31 ln(1 + y 5 ) 45 = 0 3 ln 33. 20 ´ µ ¿ Ñ Ö ×℄ Á× f ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÓÒØ ÒÙÓÙ× ÓÒ Ø 1 ≤ |x| + |y | ≤ 2} ⊂ R2 Ï Ý ÓÖ Û Ý ÒÓØ × Ø S = {(x, y) : Ì × Ø S × ÓÑÔ Ø¸ Ù× Ø × ÓÙÒ ¸ S ⊂ B (0, 3), Ò ÐÓ× × Ò Ø ÓÒØ Ò× ÐÐ Ó Ø× ÓÙÒ ÖÝ ÔÓ ÒØ׺ ÀÓÛ Ú Ö f × ÒÓØ ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ø Ú ÖÝ ÔÓ ÒØ Ó S º Ì ÙÒ Ø ÓÒ f × ÙÒ ÓÙÒ ÓÒ Ø × Ø {(x, y ) : y = −1, −1 ≤ x ≤ 1} ⊂ S. À Ò f × ÒÓØ ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÓÒØ ÒÙÓÙ× ÓÒ S º ´µ Ñ Ö ×℄ Ä Ø F1 , F2 : R2 → R C 1 ¹ ÙÒ Ø ÓÒ× ÓÒ ×ÓÑ ÓÔ Ò 2, Ò ×ØU⊂R Ð Ø F3 = F1 F2 º ÓÖ j = 1, 2 Ð Ø Sj = {x ∈ U : Fj (x) = 0}º ÈÖÓÚ Ø Ø a ∈ S1 ∩ S2 ¸ Ø Ò ∇F3 (a) = 0º = (F2 ∂x F1 + F1 ∂x F2 , F2 ∂y F1 + F1 ∂y F2 ) = F2 ∇F1 + F1 ∇F2 . ∇F3 = ∇(F1 F2 ) = (∂x (F1 F2 ), ∂y (F1 F2 )) = ´µ ÓÖ a ∈ S1 ∩ S2 Û Ú F1 (a) = 0 Ò F2 (a) = 0 ×Ó ∇F3 (a) = F2 (a)∇F1 (a) + F1 (a)∇F2 (a) = 0º Ñ Ö ×℄ Ä Ø f : [0, 1] × [0, 1] → R f (x, y ) = 1 Ò Ý y arcsin(y − x) + 1 −1 2 e(x−y) f orx >y ÓÖ x < y ÓÖ y = x, x ∈ Q ÓÖ y = x, x ∈ Q Û Ö Q ÒÓØ × Ø × Ø Ó Ö Ø ÓÒ Ð ÒÙÑ Ö׺ Á× f ´Ê Ñ ÒÒµ ÒØ Ö Ð ÓÒ [0, 1] × [0, 1] ÂÙ×Ø Ý ÝÓÙÖ Ò×Û Ö Ò ÓÖÑÙÐ Ø ÒÝ Ø ÓÖ Ñ´×µ Ø Ø ÝÓÙ Ú Ù× º Ì x ≤ 1}. × Ø Ó ÐÐ × ÓÒØ ÒÙ ØÝ ÔÓ ÒØ× Ó f (x, y ) × SR = {(x, y ) : y = x, 0 ≤ ×Ý ØÓ × Ø Ø Ø × ÓÒØ ÒØ 0 Ò R2 . ÆÓÛ¸ Ý Ø f × ÓÙÒ ÓÒ Ñ ×ÙÖ Ð × Ø S ⊂ R2 Ò Ø ×ØÓ ÐÐ ÔÓ ÒØ× Ò S Ø Û f × × ÓÒØ ÒÙÓÙ× × Þ ÖÓ ÓÒØ Òظ Ø Ò f × ÒØ Ö Ð ÓÒ S ¸ ÌÀº Á Û ÓÒ ÐÙ Ø Ø f × ÒØ Ö Ð ÓÒ [0, 1] × [0, 1], × Ò |f (x, y )| < e ÓÒ Ø Ñ ×ÙÖ Ð × Ø [0, 1] × [0, 1]. ...
View Full Document

{[ snackBarMessage ]}

Ask a homework question - tutors are online