test3 - ½ Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ× Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ f (x, y...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ½ Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ× Ó Ø ÙÒ Ø ÓÒ f (x, y ) = (x − 3)(x − y ) Ò Ð ×× Ý ÓØ Ñ× Ñ Ü ÑÙѸ ÐÓ Ð Ñ Ò ÑÙѸ ÓÖ × Ð ÔÓ Òغ 2 2 ÑÖ× Ò ÐÐ Ø ÐÓ Ð fx = x2 − y 2 + (x − 3)(2x) = 3x2 − y 2 − 6x Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ× Ö ×ÓÐÙØ ÓÒ× Ó 3x2 − y2 − 6x = 0, −2xy + 6y = 0. ÖÓÑ Ø × ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ −2y(x − 3) = 0 Û Ø y = 0 ÓÖ x = 3. Á y = 0 Ø Ò Ø Ö×Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ú × 3x(x − 2) = 0, x1 = 0, x2 = 2 Ò P1(0, 0) Ò P2 (2, 0) Ö Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ׺ Á x = 3 Ø Ò Ø Ö×Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ú × 27 − y2 − 18 = 0, y2 = 9, y = ±3 Ò Ø ÓØ Ö Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ× Ö P3(3, 3), P4(3, −3). ÆÓÛ fxx = 6x − 6, fxy = −2y, fyy = −2x + 6 2 Ò ∆ = fxxfyy − fxy = (6x − 6)(−2x +6) − 4y2 = −12(x − 1)(x − 3) − 4y2 ∆(P1 ) < 0 ⇒ P1 × × Ð ÔÓ Òغ ∆(P2 ) > 0, fxx (P2 ) > 0 ⇒ P2 × Ñ Ò ÑÙѺ ∆(P3 ) < 0, ∆(P4 ) < 0 ⇒ P3 Ò P4 Ö × Ð ÔÓ ÒØ׺ ¾ Ñ Ö × ËÙÔÔÓ× Ø Ú ÐÓ ØÝ Ð Ó Ù × ÚÒ Ý F = xi + z j ´ Ò Ñ»× µº Ä Ø S Ø ØÖ Ò Ð Û Ø Ú ÖØ × (1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 2). ÀÓÛ Ñ ÒÝ Ù Ñ Ø Ö× Ó Ù Ô Ö × ÓÒ Ö ÖÓ×× Ò Ø ×ÙÖ S ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó Ø ÙÔÛ Ö ÒÓÖÑ Ð n ØÓ S ´Ê ÐÐ Ø Ø Ø ÙÜ Ó F ÖÓ×× S × S F · ndS µ fy = (x − 3)(−2y ) = −2xy + 6y Ì z=0Û Ø y = 2 − 2x, ×Ó Ý ´ º¾¿µ Ò ÝÓÙÖ Ø ÜØ ÐÙÜ|S = F · ndS = (x, −2x − y + 2, 0)(2, 1, 1)dA = S W 2 1 2−2x 1 =00 (2x − 2x − y + 2dydx) = 0 (− y2 + 2y )|2−2x dx = 0 1 1 1 2 2 = 0 (−2(1 − x) ) + 4(1 − x)dx = 2 0 (1 − x )dx = 2 0 (1 − x2 )dx = 3 = 2[x − x ]1 = 4 Ñ3 /× 30 3 4(x − 1) + 2y + 2z = 0) ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÐ Ò Ø ÖÓÙ Ø ¿ Ú Ò ÔÓ ÒØ× × z = −2x − y + 2 (N = (−1, 2, 0) × (−1, 0, 2) = (4, 2, 2) Ò P0 = (1, 0, 0) ×Ó ÓÖ ½ ¿´ µ ¿ Ñ Ö × ÓÖÑÙÐ Ø Ø ××ÙÑÔØ ÓÒ׺ ÚÖ Ò Ì ÓÖ Ñ Ò ÐÐ Ó Ø× Á V × Ö ÙÐ Ö Ö ÓÒ Ò R3 Û Ø Ô Û × ×ÑÓÓØ ÓÙÒ ÖÝ ∂V, ÓÖ ÒØ ×Ó Ø Ø Ø ÔÓ× Ø Ú ÒÓÖÑ Ð ÔÓ ÒØ× ÓÙØ Ó V, Ò F × Ú ØÓÖ Ð Ó Ð ×× C 1(V ), Ø Ò F · ndS = ∂V V div FdV ´µ Ñ Ö × Ú ÐÙ Ø F · n dS F = xi + 1 y j + z k 4 S Û Ö S ×Ø ÓÑÔÐ Ø ÓÙÒ ÖÝ Ó Ö ÓÒ V = {(x, y, z ) : x2 + 1 y 2 + z 2 ≤ 1, z ≥ 0} Ò S × ÓÖ ÒØ 4 Ø ÔÓ× Ø Ú ÒÓÖÑ Ð n ÔÓ ÒØ× ÓÙØ Ó Ø Ö ÓÒ V º = S 9 4 ×Ó Ø Ø ÇÖ ÝÓÙ Ó ÒÓØ Ö Ñ Ñ Ö Ø ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ø ÚÓÐÙÑ Ó Ò ÐÐ Ô×Ó ¸ Ù× Ò ÝÐ Ò Ö Ð ÓÓÖ Ò √ × x = r cos θ, y = 2r sin θ, z = z, ÝÓÙ Ø Ø 9 dV = 4 V 9 1 4π ( 3 ) = 3π. 4 9 4 2π 0 1 0 1−r 2 0 F · ndS = div FdV = (1 + 1 + 1)dV = 4 V V 9 92 dV = 4 vol(V ) = 4 3 π · 1 · 2 · 1 = 3π. V 2rdrdzdθ = 9 2π 2 4 − 1 (1 − r2 )3/2 3 1 0 = ¾ ÑÖ× Ý Ð ×Ø Ö × ÙÔ ÑÓÙÒØ Ò ÐÓÒ Ø Ô Ø × ÓÛÒ Ò ÙÖ ½º Ì ÖÓÙ ÓÙØ Ø ØÖ Ô Ü ÖØ× ÓÒ× ÖÚ Ø Ú ÓÖ F = (2x + y )i + (x − z sin y )j + (2z + cos y )k Ï Ø × Ø ÛÓÖ a ØÓ ÔÓ ÒØ b ´Ê ÓÒ Ý Ø ÐÐ Ø Ø ÛÓÖ Ý Ð ×Ø Ò ØÖ Ú Ð Ò × C F · dxµ ÖÓÑ ÔÓ ÒØ ÓÖ y = z = 0 Û Ú x2 = 2π, ×Ó x = ÓÖ x = y = 0 Û Ú z = 2π. √ À Ò a = ( 2π, 0, 0), b = (0, 0, 2π). ÆÓÛ¸ Ò Ò ÔÓØ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Û Ø ∂f ∂x ∂f ∂y √ 2π. = 2x + y ⇒ f (x, y, z ) = x2 + xy + φ(y, z ) = x − z sin y ⇒ x + ∂φ ∂y = x − z sin y ⇒ φ(y, z ) = z cos y + h(z ) ×Ó f (x, y, z ) = x2 + yx + z cos y + h(z ), Ò ∂f ∂z Ò ÐÐÝ = 2z + cos y ⇒ cos y + h (z ) = 2z + cos y ⇒ h(z ) = z 2 + c √ 2 √ Ò C Fdx = [x2 +yx+z cos y +z 2](0,0,π,π),0) = 2π +(2π)2 −( 2π)2 = 4π2 (20 ¿ Ä Ø F : R3 → R3 × Ð Ö ÙÒ Ø ÓÒº ´µ C 2 Ú ØÓÖ Ð Ò Ð Ø f : R3 → R C2 Ñ Ö × ËØ Ø ¸ Ò ÜØ ØÓ ÜÔÖ ×× ÓÒ Û Ø Ö Ø × × Ð Ö ÙÒ Ø ÓÒ¸ Ú ØÓÖ Ð ÓÖ Ñ Ò Ò Ð ×׺ ½º Ö ( Ö f ) Ñ Ò Ò Ð ×× ¾º ÙÖÐ( ÙÖÐF) Ú ØÓÖ Ð ¿º Ú( ÚF) Ñ Ò Ò Ð ×× Ú(F × Ö f ) × Ð Ö ÙÒ Ø ÓÒ º Ö (F( ÙÖÐF)) Ú ØÓÖ Ð º ( Ö f ) × ( ÚF) Ñ Ò Ò Ð ×× ´µ Ñ Ö × ËÙÔÔÓ× ÒÓÛ Ø Ø Ø Ú ØÓÖ Ð F Ò Ø ÒÓÒ¹Þ ÖÓ ÙÒ Ø ÓÒ f × Ø × Ý Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ö f × F = 0. ÈÖÓÚ Ø Ø F × ÓÒ× ÖÚ Ø Ú Ò ÓÒÐÝ f F × ÓÒ× ÖÚ Ø Ú º ÖÓÑ Ø ××ÙÑÔØ ÓÒ× Ò Ø Ö Ó Ø ÕÙ ×Ø ÓÒ F Ò f Ö 2 3 Ó Ð ×× C ÓÒ R ´Û Ò Ø¸ Ò Ø × Ô ÖØ Ò ÓÒÐÝ F Ò f ØÓ Ó Ð ×× C 1 ÓÒ R3µ Ë Ò R3 × × ÑÔÐÝ ÓÒÒ Ø ¸ Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ú ØÓÖ Ð ØÓ ÓÒ× ÖÚ Ø Ú × Ø Ø Ø ÙÖÐ Ó Ø × Ú ØÓÖ Ð × Þ ÖÓ ´ÓØ Ö Ø ÓÖ Ñ× ÓÖ Ú ØÓÖ Ð ØÓ ÓÒ× ÖÚ Ø Ú Ñ Ý ÕÙÓØ µº ËÙÔÔÓ× Ö×Ø Ø Ø F × ÓÒ× ÖÚ Ø Ú º º ∇ × F = 0, Ø Ò ∇ × (f F) = ∇f × F + f (∇ × F) = ∇f × F + f × 0 = 0 + 0 = 0 × Ò ∇f × F = 0 Ý ××ÙÑÔØ ÓÒ¸ ×Ó f F × ÓÒ× ÖÚ Ø Ú º ÓÖ Ø ÓÒÚ Ö× ¸ ∇ × (f F) Ò ∇f × F = 0, Ø Ò f (∇ × F) = ∇ × (f F) − ∇f × F = 0 − 0 = 0 Ë Ò f × ÒÓÒ¹Þ ÖÓ ÙÒ Ø ÓÒ¸ Û ÓÒ× ÖÚ Ø Ú ¸ ×Ó Û Ö ÓÒ º Ú ØÓ Ú ∇ × F = 0, ×Ó F × ´µ Ñ Ö × Ä Ø S = {(x, y, z ) : x2 + y 2 + z 2 = 2, z ≥ −1} Ò Ð Ø C = Ø× ÓÙÒ ÖÝ ÙÖÚ Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ý g(t) = (cos t, sin t, −1), ∂S Ò Ø ËØÓ × Ì ÓÖ Ñ Ù× ØÓ Ò Ø Ú ÐÙ 0 ≤ t ≤ 2π. Ó C Fdx Û Ö F = ∇g Ò g (x, y, z ) = (x2 + y 2 + z 2 )−1/2 ÂÙ×Ø Ý ÝÓÙÖ Ò×Û Öº Ë ÐÐ Ø ××ÙÑÔØ ÓÒ× Ó Ø ËØÓ × Ì ÓÖ Ñ Ö × Ø × S× 1 Ö ÙÐ Ö Û Ø Ô Û × ×ÑÓÓØ ÓÙÒ ÖÝ Ò F × C Ú ØÓÖ Ð ÓÒ ×ÓÑ Ò ÓÖ ÓÓ Ó S Ò R3 ´ ØÙ ÐÐÝ Ø Ú ÐÙ Ó Ø ÒØ Ö Ð × Þ ÖÓµº ´µ Í× Ò ËØÓ × Ì ÓÖ Ñ Û Ú ÙÖÐF = (0, −1, −1) Ò Ø ÙÒ Ø ÒÓÖÑ Ð ØÓ Ø ÔÐ Ò x + z = a ´ Ò Ù Ý Ø ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó C µ × 1 1 n = − √2 , 0, √2 ¸ ×Ó I = C ydx + (y 2 + arctan y )dy + (x + 2z )dz = ( ÙÖÐF)ndS = S = S Ñ Ö × Ú ÐÙ Ø C ydx + (y 2 + arctan y )dy + (x + 2z )dz Û Ö C ×Ø ÙÖÚ Ó ÒØ Ö× Ø ÓÒ Ó Ø ×Ô Ö x2 + y 2 + z 2 = a2 Ò Ø ÔÐ Ò x + z = a ÓÖ ÒØ ÐÓ Û × × Ú Û ÖÓÑ ÓÚ º × Ô ÖØ Ó Ø ÔÐ Ò x + z = a Û √ Ò Ø ×Ô Ö x2 + y2√+ z 2 = a2, Ø ×Ó Ø × Ö ÙÐ Ö × Ó Ö Ù× r = 22 a Ò Area(S ) = π( 22 a)2 1 πa À Ò I = √2 π a2 = 2√2 ÆÓØ Ø Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ Ó ÐÑÓ×Ø ÒØ Ð ÕÙ ×Ø ÓÒ Ò Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ Ñ ÒÙ Ð × ÑÓÖ ÓÑÔÐ Ø º 2 2 S 1 1 (0, −1, −1) · (− √2 , 0, √2 ) = 1 √ 2 S dS = 1 √ Area(S ) 2 ÒØ Ø y , z > 0 Ò× × ρ = x2 + y 2 º 2 ÑÖ× Ñ ×× Ó Ø Ô ÖØ Ó Ø ×ÙÖ z 2 = x2 + 2 2 ÝÐ Ò Ö (x − 1) + y = 1¸ Ø× Ñ ×× Ò× ØÝ D = {(x, y ) : (x − 1)2 + y 2 ≤ 1} = {(r, θ) : − π ≤ θ ≤ π , 0 ≤ r ≤ 2 cos θ} 2 2 m= = S ρ(x, y, z )dS = D x2 + y 2 1 + (√ π π√ √ 3 2 cos θ √ 2 2 x2 + y 2 2dA = − π 0 r 2rdrdθ = − π 2 r3 |2 cos θ dθ = 0 D 2 2 π √π √ √ √ 3 2 2 = 8 2 − π cos3 θdθ = 8 2 sin θ − sin θ π = 8 · 4 2 = 32 2 3 3 3 33 9 2 x )2 x2 +y 2 + (√ y x2 +y 2 )2 dA = ´ÆÓØ Ø Ø (x − 1) + y = 1 Ø Ö × ÑÔÐ ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ × x2 + y2 = 2x¸ ×Ó Ù× Ò ÔÓÐ Ö ÓÓÖ Ò Ø × Û Ú r = 2 cos θºµ 2 2 −2 Û× Ñ Ö × ËÙÔÔÓ× Ö ÓÒ D ⊂ R2 × Ö ÙÐ Ö¸ Û Ø Ô ×ÑÓÓØ ÓÙÒ ÖÝ ∂D ÓÖ ÒØ 2 ÓÙÒØ Ö ÐÓ Û × ¸ Ò ×ÙÔÔÓ× 3 Ø Ø (0, 0) ∈ Dint º Ú ÐÙ Ø ∂ D x (ydx−x)2dy º x2 +y 2 ÀÁÆÌ Ö Ò Ø ÓÖ Ñ ÒÒÓØ Ù× ÓÖ D × Ò F ∈ C 1(D)º Ä Ø Ù× Ö ÑÓÚ (0, 0) Ý × D( , 0) Û Ø Ö Ù× ÒØ Ö Ø (0, 0)º ÔÔÐÝ Ò ÒÓÛ Ö Ò³× Ì ÓÖ Ñ ØÓ D\D( , 0) Û Ú D\D 3 ∂ [ −x ] ∂x (x2 +y 2 )2 = 2y ∂ [ (x2x y2 )2 ] ∂y + ¸ ÝÓÙ Ó ÒÓØ Ò ØÓ Ú Ö Ý Ø Øº ( ∂F2 ∂F1 − )dA = ∂x ∂y Fdx + ∂D Fdx, (∂D )− ÛÖ (∂D )− 0 = ∂ D Fdx− ÐÓ Û × ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó ∂D . ËÓ Û Ó Ø Ò Fdx, Û Ö ∂D × ÓÖ ÒØ ÓÙÒØ Ö ÐÓ Û × º À Ò ¸ ∂D Ù× Ò Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ø ÓÒ x = cos t, y = sin t, 0 ≤ t ≤ 2π ÓÖ ∂D Û Ø Fdx = ∂D ∂D 2π 0 ÒÓØ × Fdx = 2π 0 ( 2 cos2 t)( sin t)(− sin t) − 4 2π 0 3 cos t3 ( cos t) dt = = (− cos2 t sin2 t − cos4 t)dt = − =− 2π 0 cos2 t(sin2 t + cos2 t)dt = 11 ( + cos 2t)dt = −π 22 ...
View Full Document

This note was uploaded on 10/21/2010 for the course MATHEMATIC MAT237Y1 taught by Professor Romauldstanczak during the Fall '09 term at University of Toronto- Toronto.

Ask a homework question - tutors are online