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Nummath1 - Numerische Mathematik Vorlesung von Johann...

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Numerische Mathematik Vorlesung von Johann Linhart Wintersemester 2004/05
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Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 1.1 Fehleranalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Komplexitätsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Zahlendarstellungen 5 2.1 b -adische Entwicklung reeller Zahlen . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Gleitkommadarstellung reeller Zahlen . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2.1 Abschneiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2.2 Runden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2.3 Relativer und absoluter Fehler . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2.4 Rundungsfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2.5 Gleitkommaarithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3 Fehleranalyse 9 3.1 Vektor- und Matrixnormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.2 Kondition einer Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.2.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.2.2 Kondition der Grundrechnungsarten . . . . . . . . . . 14 3.2.3 Kondition eines linearen Gleichungssystems . . . . . . 17 3.3 Kondition eines Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3.1 Unterschied zwischen der Kondition eines Algorithmus und der Kondition einer Aufgabe . . . . . . . . . . . . 24 3.3.2 Vorwärtsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 iii
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iv INHALTSVERZEICHNIS 3.3.3 Rückwärtsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4 Lineare Gleichungssysteme 31 4.1 Das Eliminationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.1.1 Pivotisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.1.2 Zeitkomplexität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.1.3 Lineare Gleichungssysteme mit mehreren rechten Seiten 33 4.2 Lineare Ausgleichsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.2.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.2.2 Äquilibrierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.2.3 Normalgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.2.4 QR -Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5 Interpolation 45 5.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.2 Existenz und Eindeutigkeit des Interpolationspolynoms . . . . 46 5.3 Fehlerabschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.4 Berechnung des Interpolationspolynoms . . . . . . . . . . . . . 50 5.4.1 Die Lagrange’sche Form des Interpolationspolynoms . . 51 5.4.2 Das Neville-Schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.5 Extrapolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.5.1 Extrapolation für x = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.5.2 Summation einer Reihe mittels Extrapolation . . . . . 57 6 Numerische Di ff erenziation 59 6.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 6.2 Di ff erenziation des Interpolationspolynoms . . . . . . . . . . . 60 6.2.1 Abschätzung des Verfahrensfehlers . . . . . . . . . . . 60 6.2.2 Fehleranalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 6.2.3 Zweite Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 6.3 Di ff erenziation durch Extrapolation . . . . . . . . . . . . . . . 64
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INHALTSVERZEICHNIS v 7 Numerische Integration 67 7.1 Newton-Cotes Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 7.1.1 Geschlossene Newton-Cotes Formeln . . . . . . . . . . 68 7.1.2 O ff ene Newton-Cotes Formeln . . . . . . . . . . . . . . 71 7.1.3 Rundungsfehler bei den Newton-Cotes Formeln . . . . 73 7.2 Zusammengesetzte Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7.3 Romberg-Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 8 Iterative Lösung von Gleichungen 81 8.1 Das Kontraktionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 8.1.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 8.1.2 Anwendung des Kontraktionsprinzips im R s . . . . . . 85 8.1.3 Konvergenzordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 8.2 Das Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 8.3 Spezielle eindimensionale Iterationsverfahren . . . . . . . . . . 96 8.3.1 Intervallhalbierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 8.3.2 Die Sekantenmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 8.3.3 Das Newton-Verfahren bei mehrfachen Nullstellen . . . 98 8.4 Nullstellen von Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 8.4.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 8.4.2 Das Horner-Schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 8.4.3 Die Methode von Muller . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 8.4.4 Die Methode von Bairstow . . . . . . . . . . . . . . . . 108 8.5 Iterative Lösung von linearen Gleichungssystemen . . . . . . . 112 8.5.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 8.5.2 Das Jacobi-Verfahren (Gesamtschrittverfahren) . . . . 113 8.5.3 Das Gauß-Seidel-Verfahren (Einzelschrittverfahren) . . 115 8.5.4 Relaxationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
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vi INHALTSVERZEICHNIS
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Kapitel 1 Einleitung Am 2. 12. 2004 wurde ein zusätzlicher Abschnitt "Iterative Lösung von linearen Gleichungssystemen" angefügt! Letzte Änderung: August 13, 2007 Die Numerische Mathematik beschäftigt sich mit der Konstruktion und Analyse von Algorithmen. Unter einem Algorithmus versteht man eine Rechenvorschrift mit folgenden charakteristischen Eigenschaften: 1. Jeder Schritt der Rechenvorschrift muss exakt und eindeutig festgelegt sein ( "De fi nitheit").
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    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern