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Unformatted text preview: VARIANCE: TWO RANDOM VARIABLES Each press of F9 generates new samples, of size 3, from X and from Y, respectively. The means of the samples are computed. Calculus for Business Dec Release 2.1, 2010 Published and Distributed The Mathematical Association o © 2010 by The Arizona Board of The University of Arizona. A reserved. Random Variable X p.m.f. fX(x) µX x 1 0 4 2 0.05 3 0.15 4 0.6 5 0.15 6 0.05 7 0 Random Variable X 0.6 0.4 fX(x) 0.2 0.0 1 2 3 x Samples X 3 Sample Mean 3.33 Sample Mean 5.67 Error 0.67 4 5 6 Random Variable Y p.m.f. fY(y) µY y 1 0.1 4 2 0.15 3 0.15 4 0.2 5 0.15 6 0.15 7 0.1 Random Variable Y 0.6 0.4 fY(y) 0.2 0.0 7 1 2 3 y 4 5 6 7 4 3 6 Y 6 5 Error 1.67 Calculus for Business Decisions Release 2.1, 2010 Published and Distributed by Mathematical Association of America 10 by The Arizona Board of Regents for he University of Arizona. All rights reserved. iable Y 4 5 6 7 0.75 0.8 0.17 0.78 0.11 0.64 COMPUTING SAMPLE STATISTICS With Direct Computaion For convenience of notation, we will use m , rather than x, for the sample mean. xi 8 7 9 10 9 10 6 7 6 8 10 8 n 12 m 8.1667 (xi− m)2 0.0278 1.3611 0.6944 3.3611 0.6944 3.3611 4.6944 1.3611 4.6944 0.0278 3.3611 0.0278 23.6667 s2 2.1515 s 1.4668 Sum COMPUTING SAMPLE STATISTICS With Built-In Functions xi 8 7 9 10 9 10 6 7 6 8 10 8 s2 2.1515 s 1.4668 SIMULATING SAMPLE MEANS This file simulates 20,000 samples, of size 4 each, from a binomial random variable, X , which gives the number of successes in 10 Bernoulli Trials, where the probability of a success on each trial is 0.4. For this variable, we know that E (X ) = (10)(0.4) = 4, V (X ) = (10)(0.4)(1 - 0.4) = 2.4, and σ X = 2.4 ≅ 1.549 . For convenience of notation, we will use m , rather than x, for the sample mean. x1 4 5 4 3 2 2 5 2 3 4 5 5 7 4 4 5 3 5 5 6 4 5 6 5 5 x2 9 2 2 1 5 4 7 3 4 4 4 4 4 2 5 6 5 5 3 4 5 8 2 3 3 x3 4 4 3 3 5 5 4 0 5 5 3 6 3 3 5 2 5 7 4 4 2 4 6 8 6 x4 3 2 3 4 1 4 4 2 5 2 5 2 2 9 4 7 5 2 4 5 5 2 6 1 8 Sample Average Sample Sample Average Mean of all Variance Standard Deviation Average of all m m's s2 s of all s2's s's 5.00 7.333 2.708 4.006 2.386 1.429 3.25 2.250 1.500 3.00 0.667 0.816 2.75 1.583 1.258 3.25 4.250 2.062 3.75 1.583 1.258 5.00 2.000 1.414 1.75 1.583 1.258 4.25 0.917 0.957 3.75 1.583 1.258 4.25 0.917 0.957 4.25 2.917 1.708 4.00 4.667 2.160 4.50 9.667 3.109 4.50 0.333 0.577 5.00 4.667 2.160 4.50 1.000 1.000 4.75 4.250 2.062 4.00 0.667 0.816 4.75 0.917 0.957 4.00 2.000 1.414 4.75 6.250 2.500 5.00 4.000 2.000 4.25 8.917 2.986 5.50 4.333 2.082 3 7 3 2 1 3 6 5 4 6 5 1 2 4 4 3 3 3 3 4 5 3 3 5 4 4 3 3 3 2 6 2 2 6 4 3 2 2 2 2 4 4 5 5 6 5 4 3 6 5 4 3 2 1 4 3 0 3 2 2 3 6 4 3 7 2 3 2 4 4 6 6 4 3 3 5 4 3 3 6 6 3 4 4 5 5 5 8 3 6 4 5 5 5 2 3 3 6 5 3 7 4 5 4 6 8 6 5 3 3 4 3 5 4 4 4 4 9 4 5 3 5 3 4 5 4 4 3 3 5 4 5 3 4 6 1 0 6 6 4 4 3 5 5 4 6 3 6 2 3 3 2 2 5 3 4 2 4 4 6 4.00 4.75 3.75 3.75 4.25 4.25 4.75 4.75 4.00 5.50 4.25 3.50 3.00 3.50 4.00 2.50 1.50 4.50 4.00 3.25 4.75 4.00 4.25 4.25 5.25 5.00 3.75 4.00 3.00 3.00 4.75 3.25 3.25 4.50 3.50 4.00 3.00 4.50 3.25 4.75 2.000 2.917 0.917 1.583 4.917 0.917 0.917 5.583 2.000 0.333 0.250 3.667 2.000 3.000 2.667 1.000 3.000 3.000 3.333 0.917 2.917 2.000 0.917 0.917 2.250 6.667 2.250 3.333 0.667 0.667 2.250 3.583 2.250 1.667 0.333 0.667 1.333 9.667 0.917 3.583 1.414 1.708 0.957 1.258 2.217 0.957 0.957 2.363 1.414 0.577 0.500 1.915 1.414 1.732 1.633 1.000 1.732 1.732 1.826 0.957 1.708 1.414 0.957 0.957 1.500 2.582 1.500 1.826 0.816 0.816 1.500 1.893 1.500 1.291 0.577 0.816 1.155 3.109 0.957 1.893 2 1 3 5 3 0 5 4 3 3 2 3 2 6 4 4 2 6 3 0 4 6 4 5 4 4 4 0 3 5 4 5 3 4 4 4 1 3 5 6 5 4 2 7 2 5 2 5 4 4 6 4 2 5 3 2 4 4 2 1 2 6 3 3 3 3 5 5 4 2 7 7 6 2 3 3 3 7 3 6 6 4 2 4 3 4 5 3 5 5 5 5 4 3 4 4 5 9 3 2 6 5 4 5 5 1 5 3 4 5 2 5 4 4 6 5 6 4 7 4 4 4 5 4 7 3 1 7 5 6 3 4 5 1 4 4 2 3 6 3 4 3 6 4 4 7 2 5 3 5 4 4 5 4 3 5 5 6 2 3 4.25 3.25 3.00 5.00 3.75 3.00 3.25 4.75 4.25 4.50 4.00 4.00 3.25 3.75 3.75 3.50 3.25 5.50 3.50 1.50 4.00 5.00 4.25 4.25 4.00 3.75 4.00 3.25 3.50 4.25 4.25 5.25 4.50 3.50 4.00 4.25 3.75 5.00 4.25 4.75 2.917 2.250 2.000 2.000 4.917 4.667 4.250 2.917 0.917 1.667 3.333 0.667 2.250 4.917 0.250 1.000 2.250 7.000 3.000 1.667 2.667 2.000 1.583 0.917 0.667 6.250 2.000 5.583 0.333 2.250 4.250 1.583 1.667 1.000 2.000 0.917 4.917 3.333 4.917 2.250 1.708 1.500 1.414 1.414 2.217 2.160 2.062 1.708 0.957 1.291 1.826 0.816 1.500 2.217 0.500 1.000 1.500 2.646 1.732 1.291 1.633 1.414 1.258 0.957 0.816 2.500 1.414 2.363 0.577 1.500 2.062 1.258 1.291 1.000 1.414 0.957 2.217 1.826 2.217 1.500 5 6 5 2 3 3 3 4 3 6 4 4 5 5 3 5 3 7 3 4 3 4 3 6 3 5 5 4 4 5 4 4 2 2 5 2 5 1 8 5 4 5 6 3 1 4 4 2 2 7 4 2 6 2 5 5 5 4 3 3 3 5 7 6 5 2 5 4 4 4 6 6 4 4 2 2 3 4 3 6 6 2 3 3 2 4 2 4 1 8 6 4 5 6 5 5 2 6 5 6 5 5 5 5 2 6 6 3 3 4 7 5 7 0 4 2 6 5 5 5 4 2 6 4 7 3 4 2 5 5 3 4 4 5 6 4 3 2 5 4 3 4 6 5 5 4 3 3 1 3 5 2 2 5 5 3 3 2 3 2 4.75 3.75 5.00 3.00 3.25 3.50 3.25 3.00 2.75 6.50 4.25 3.50 5.00 4.50 4.75 4.75 3.25 4.75 4.00 4.25 3.50 4.50 5.25 5.50 3.75 4.25 4.75 3.50 3.00 4.00 5.50 4.25 3.75 2.75 4.00 2.25 4.25 3.00 4.75 4.50 0.917 4.250 2.000 0.667 6.917 0.333 0.917 1.333 2.917 1.667 1.583 1.000 0.667 3.000 1.583 0.250 1.583 4.917 1.333 1.583 1.000 0.333 2.917 0.333 2.250 2.917 1.583 0.333 2.000 0.667 1.667 2.917 5.583 4.917 2.000 0.250 2.250 3.333 5.583 3.000 0.957 2.062 1.414 0.816 2.630 0.577 0.957 1.155 1.708 1.291 1.258 1.000 0.816 1.732 1.258 0.500 1.258 2.217 1.155 1.258 1.000 0.577 1.708 0.577 1.500 1.708 1.258 0.577 1.414 0.816 1.291 1.708 2.363 2.217 1.414 0.500 1.500 1.826 2.363 1.732 2 6 4 5 4 7 7 4 4 4 4 2 5 5 5 6 4 4 5 6 4 3 5 3 4 5 6 4 6 3 5 6 5 1 4 4 4 6 4 4 6 5 5 3 1 5 4 1 2 7 4 2 4 3 4 4 3 1 4 2 6 7 1 4 4 6 3 6 5 5 5 4 2 2 4 3 3 2 4 4 2 4 4 3 2 5 3 5 6 2 4 1 3 3 4 4 5 3 6 6 6 3 5 3 2 7 5 5 6 3 7 4 3 5 4 4 5 5 3 4 6 5 5 4 3 3 3 2 5 5 4 2 3 1 3 6 4 3 5 5 3 3 2 3 3 1 6 4 7 4 3 4 1 2 3 6 7 4 4 8 4.00 5.00 4.50 3.75 2.50 5.00 4.25 3.00 4.25 4.50 4.00 1.75 3.75 3.00 4.00 5.00 4.00 2.75 5.00 4.75 4.75 4.00 3.25 3.25 3.25 4.75 5.00 4.75 6.00 3.75 5.00 4.50 2.75 2.50 3.75 4.25 4.75 4.25 3.75 5.00 5.333 0.667 0.333 0.917 1.667 2.667 3.583 3.333 2.917 4.333 0.000 0.250 0.917 2.667 0.667 1.333 0.667 1.583 0.667 3.583 2.250 4.000 4.250 0.250 0.917 6.917 2.000 0.917 0.667 0.917 2.667 1.000 2.917 3.000 0.250 1.583 2.917 2.917 0.250 4.000 2.309 0.816 0.577 0.957 1.291 1.633 1.893 1.826 1.708 2.082 0.000 0.500 0.957 1.633 0.816 1.155 0.816 1.258 0.816 1.893 1.500 2.000 2.062 0.500 0.957 2.630 1.414 0.957 0.816 0.957 1.633 1.000 1.708 1.732 0.500 1.258 1.708 1.708 0.500 2.000 4 3 7 5 4 2 3 4 2 5 2 2 3 3 4 4 4 5 5 4 4 8 7 6 5 5 4 4 6 3 1 3 2 4 8 6 6 4 3 7 3 5 4 5 3 4 3 5 4 6 4 4 3 1 3 4 3 4 4 3 6 4 4 5 4 4 7 1 5 5 2 3 5 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