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Grafos Apunte 1 Introduccion CURSO SOBRE TEORIA DE GRAFOS Contenido Apunte 1 – Introduccion Apunte 2 – Arboles Apunte 3 – Mas sobre arboles Apunte 4 – Caminos en un grafo Apunte 5 – Flujo en un grafo Apunte 6 – Conectividad Anexo a 6 – Teorema de Menger Apunte 7 – Planaridad Anexo a 7 – Teorema de Kuratowski Apunte 8 - Colorabilidad Marzo 2007 1
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Grafos Apunte 1 Introduccion 1. Ejemplos de Problemas 2. Definiciones 3. Algunos Teoremas 4. Optimizacion Combinatoria 1. Ejemplos de problemas 1.1 El ciclo euleriano La ciudad de Königsberg esta atravesada por un rio que tiene 2 islas y 7 puentes como muestra la figura 1. Se pregunta si es posible partir del sector A y, haciendo una caminata, pasar por cada puente una sola vez volviendo al punto de partida. En el grafo de la figura 2 el problema se traduce en partir de A y recorrer las 7 ramas sin repertir ninguna y volver a A ( ciclo euleriano ). Este problema fue encarado por Euler en 1736 y es el origen de la teoria de grafos. figura 1 figura 2 1.2 El ciclo hamiltoniano . A un dodecaedro, cuerpo solido regular con doce caras pentagonales, se la ha quitado una cara y se lo ha äplastado en el plano como muestra la figura 3 figura 3 Imaginemos a los vertices de esta figura como ciudades y a las aristas como tramos de caminos entre dos ciudades. Se pregunta si hay un camino formado de tramos que partiendo de una ciudad visite todas las ciudades una sola vez volviendo a la ciudad de partida ( ciclo hamiltoniano ) 1.3 Coloreado de mapas 2 D A B C D A B C
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Grafos Apunte 1 Introduccion La figura 4 muestra un mapa con 4 districtos A, B, C y D. Se trata de pintar cada districto con un color de forma que dos regiones con un borde comun (que no sea un punto) tengan distintos colores y queremos hacer esto usando un minimo numero de colores. La figura 5 muestra un grafo homeomorfo al mapa, en el sentido que los vertices del grafo se corresponden con las regiones del mapa y dos vertices estan conectados por una rama cuando las regiones correspondientes tienen un borde comun. El problema se traduce en el grafo a minimizar el numero de colores al asignar un color a cada vertice de forma que cualquier rama tenga extremos de distinto color. figura 4 figura 5 1.4 El recorrido del cartero Imaginemos un grafo que representa el mapa de las calles de un barrio. Una calle va de una esquina a la otra. En una esquina esta ubicada una oficina de correos. Un cartero sale de la oficina de correos y tiene que recorrer todas las calles y volver a la oficina. Se plantea el problema de un recorrido que minimice el numero de calles.que esta obligado a recorrer mas de una vez. 1.5 El problema del caballo en el juego de ajedrez Consideremos un tablero de ajedrez. y un caballo. Se pregunta si es posible que el caballo parta de un casillero y visite todos los otros 63 casilleros una solo vez volviendo al punto inicial. (ciclo hamiltoniano) 1.6 El problema de cruzar el rio Tenemos 3 misioneros y 3 canibales y un bote para cruzar el rio. El bote tiene capacidad para 2 personas a lo sumo. Se trata que los 6 individuos cruzen el rio de
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