Cã¡l.vec-pita

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Unformatted text preview: Clculo Vectorial PRIMERA EDICIN Claudio Pita Ruiz Universidad Panamericana Escuela de Ingeniera PRENTICE HALL MXICO' NUEVA YORK' BOGOT' LONDRES' MADRID MUNICH NUEVA DELHI PARS' RO DE JANEIRO SINGAPUR SYDNEY TOKIO' TaRaNTa ZURICH EDITOR: SUPERVISOR DE TRADUCCIN: SUPERVISIN PRODUCCIN: Luis Gerardo Cedeo Plascencia Jorge Bonilla Talavera Julin Escamilla Liquidano Pita: Clculo Vectoriall/Ed. Todos los derechos reservados Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra, por cualquier medio o mtodo sin autorizacin por escrito del editor. Derechos reservados 1995 respecto a la primera edicin en espaol publicada por PRENTICE HALL HISPANOAMERIChuT\JA S.A. Calle 4 N 25-22 piso Fracc. lnd. Alce Blanco, Naucalpan de ]urez, Edo. de Mxico, c.P. 53370 ISBN 968-880-529-7 Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial, Num. 1524 Cl SE' PROGRAMAS EDUCATIVOS, S. A. DE c.v. CALZ. CHABACANO No. 65, LOCAL A COL. ASTURIAS,DELEG, CUAUHTEMOC, C.P. 06850, MXICO, D.F. EMPRESA CERTIFICADA POR EL INSTITUTO MEXICANO DE NORMAUZACIN y CERTIACACIN A.C.. BAJO LA NORMA 1509002: '9!l4JNMX.cC.{)()4: '995 CON EL No. DE REGISTRO RSC-!l48 '''' Cl It seems to be one of the fundamental features of nature that fundamental physics laws are described in terms of a mathematical theory ofgreat beauty and power, needing quite a high standard of mathematics for one understand it. You may wonde'r: why is nature constructed along these lines? One can only answer that our present knowledge seems to show that nature is so constructed. We simply have to accept it. One could perhaps describe the situation by saying that Cod is a mathematician of a ver)' high order, and He used very advanced mathematics in constructing the Universe. Paul Dirae Let us grant that the pursuit ofmathematics is adivine madness of the human spirit. Alfred North Whitehead P rlogo The values [of mathematicsJ are there, values at least as great as any human creation can offer. If all are not readily or widely perceptible or appreciated, fortunately they are utilized. If the climb to reach them is more ardous than in music, say, the rewards are richer, for they include almost all the intellectual, aesthetic, and emotional values that any human creation can offer. Morris Kline Este es un libro de clculo diferencial e integral de funciones cuyo dominio y/o codominio son subconjuntos del espacio lit". Como a los elementos de este espacio se les llama "vectores", un nombre popular para este tipo de temas dentro del clculo es el de "clculo vectorial". De otro modo an, este libro trata sobre el clculo en (espacios de) dimensiones superiores. El nico prerrequisito formal para estudiar el material que aqu se presenta, es haber tomado un curso de clculo diferencial e integral de funciones reales de una variable real (como el que se estudia en un primer semestre de clculo), junto con algunos resultados elementales sobre sistemas de ecuaciones lineales y matrices (que se estudian generalmente en un curso de lgebra superior o en los primeros captulos de un curso de lgebra lineal). El clculo es el primer contacto de un estudiante con la llamada "matemtica superior"; desde el concepto de lmite para funciones de una variable se puede advertir que las ideas que se manejan en esta parte de la matemtica tienen un sabor diferente de las que se haban estudiado previamente (lgebra, trigonometra, geometra analtica). Actualmente ya no es necesario insistir en la importancia del estudio del clculo, como primera etapa para adentrarse en problemas matemticos ms elaborados, o bien para abordar problemas en otras ramas del conocimiento que utilizan de manera importante las herramientas que ofrece el clculo. Esta parte de la matemtica fue, desde su nacimiento en el siglo XVII, es ahora, y seguir siendo, la antesala de los problemas propios del estudio de la mayor parte del conocimiento cientfico actual, como el que aparece en los planes de estudio de las carreras de ingeniera o ciencias. Esto es especialmente cierto con los temas del clculo en dimensiones superiores, como los que contempla este libro. Lo es, por ejemplo, por las importantes aplicaciones que de estos temas se derivan, sobre las cuales puse una especial atencin para que aparecieran en los momentos importantes del desarrollo de la teora. Por otra parte, el clculo en dimensiones superiores nos brinda la primera oportunidad de disfrutar las satisfacciones intelectuales que proporcionan los procesos de generalizacin en matemticas. Una vez entendidos los conceptos del clculo para funciones reales de una variable, y que se admira la fuerza de estas ideas para resolver problemas en otras partes del conocimiento cientfico, an ms, cuando llegamos a pensar que estamos pisando terrenos "muy elevados" de la matemtica, el clculo en dimensiones superiores nos muestra que estbamos apenas a la mitad de la montaa, y que las emociones fuertes apenas comienzan a aparecer al ver que los resultados del primer curso de clculo son casos particulares de situaciones que contemplan los mismos problemas, pero de una manera ms general. Esta obra contiene ms material del que se puede cubrir normalmente en un segundo curso de clculo con estos temas. No es, sin embargo, un tratamiento exhaustivo del clculo en lit". Como en cualquier libro de matemticas, hay varias ausencias (por ejemplo, las demostraciones de los teoremas vii V lll Prlogo de la funcin implcita y de la funcin inversa que se estudian en el captulo 3), y la justificacin de estas ausencias es tambin, como en cualquier libro de matemticas, la misma: no es posible tener en unas cuantas pginas todos los temas que contempla y que se derivan de una (cualquiera) parte de la matemtica. L0s temas tratados en los libros de matemticas son fruto principalmente de dos motivaciones del autor. La primera de ellas es que el libro debe contener como mnimo el material que se debe cubrir en un curso normal. La segunda es que el libro debe ofrecer ms que este material mnimo (de otra forma se podra convertir en una recopilacin de apuntes del curso), ya sea profundizando en los temas tratados, o bien, presentando algunas de sus derivaciones. Y son los gustos y las debilidades matemticas del autor los que deciden el producto de esta segunda motivacin, lo cual provoca entonces la ausencia de algunos temas, as como el estudio de algunos temas no usuales en un curso sobre la materia. Lo que presentamos en este libro se no es ajeno a estos hechos, pues ste contiene como subconjunto propio el material "normal" de un segundo curso de clculo ... y algunas cosas ms. Las partes correspondientes al complemento de los temas obligados en un curso de esta materia, que considero son las "ms prescindibles" en un primer acercamiento al clculo en IRn, aparecen como apndices de secciones de captulos, o bien como secciones que estn marcadas con un asterisco. Con estas indicaciones explcitas, y el criterio (y gusto) del profesor, se pueden planear varios programas de cursos en los que se puede usar el presente libro como texto. El inicio de esta obra "considera" el conjunto IRn, formado por n-adas ordenadas de nmeros reales, y termina con la demostracin del teorema (general) de Stokes, con formas diferenciales, sus diferenciales exteriores, y la integracin de stas en cadenas. La "distancia" que hay entre estos dos hechos matemticos es muy grande, y la intencin del libro es proporcionar un plan de ruta al lector para que recorra el camino que separa estos dos hechos. En el transcurso de este principio y fin se exploran muchas de las maravilosas ideas que ofrece el clculo en dimensiones superiores, como el concepto de difereneiabilidad de funciones reales de varias variables (captulo 2), los teoremas de la funcin implcita y de la funcin inversa (captulo 3), el problema de los extremos sujetos a restricciones (captulo 4), los conceptos de curvatura y torsin para curvas en el espacio (captulo S), el teorema de cambio de variables en integrales dobles y triples (captulo 6), el estudio de los campos conservativos y el teorema de Oreen (captulo 7), los conceptos de superficies en el espacio (captulo 8), el teorema de la divergencia y el teorema de Stokes (captulo 9), y el teorema-general---de Stokes, como resultado globalizador de toda la obra (captulo 10). Los temas mencionados, representativos de cada captulo, constituyen un "guin" de un curso est,ndar de clculo vectorial. Algunos de los temas adicionales que el libro presenta son: el teorema de Euler sobre funciones homogneas (captulo 2); el mtodo de Newton para la solucin de sistemas de ecuaciones no lineales (captulo 3); un estudio sobre las condiciones que garantizan la existencia de extremos condicionados en el mtodo de los multiplicadores de Lagrange (captulo 4); un estudio de curvas paralelas (captulo 5); el clculo de volmenes de esferas, conos y paraleleppedos en el espacio IRn (captulo 6); un estudio introductorio sobre conjuntos conexos en IR", un estudio sobre las ecuaciones diferenciales exactas, y una demostracin de la desigualdad isoperimtrica (captulo 7); un estudio introductorio sobre tubos en IR2 y IR3 (captulo 8); las "cuentas" explcitas para obtener la expresin del rotacional de un campo en el sistema de coordenadas esfricas (captulo 9); la demostracin del teorema general de Stokes, con formas diferenciales e integracin en cadenas (captulo 0); Adems, un ejercicio con 27 incisos distribudos en 4 secciones del libro (captulo 2, secciones 6 y 12, Y captulo 7, secciones 3 y 4), en el que se dan algunas ideas sobre la teora de funciones de variable compleja, y cuyo objetivo es que el lector aplique la teora expuesta en esta obra para demostrar algunos resultados elementales que aparecen en esta teora. El libro contiene varios cientos ele ejemplos resueltos y ms de 2300 ejercicios para que el estudiante los resuelva, la mayora de los cuales tiene respuesta en la seccin correspondiente al Prlogo ix final del libro. El papel que juega la resolucin de estos ejercicios en la comprensin del material expuesto es, como en todos los libros de matemticas, fundamental. Hasta que nos enfrentamos a situaciones concretas planteadas en estos ejercicios, cuya solucin demanda la aplicacin de la teora expuesta, es cuando se empieza a dar el proceso de comprensin de la materia. Los ejercicios que demandan para su solucin algo ms de lo que el libro ofrece, estn marcados con uno o varios asteriscos, segn su grado de dificultad. Este libro fue escrito con el apoyo de una beca de Cteara Patrimonial Nivel III del Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologa (CONACYT). Aunque la responsabilidad de la realizacin del proyecto fue solamente ma, en l estuvieron involucradas muchas personas que me ayudaron e impulsaron para presentar esta primera versin del libro, que inicialmente fue concebido como una obra menos ambiciosa de la que se presenta, pero que poco a poco se fue convirtiendo en lo que ahora es, al no poner resistencia a los encantos y ganas de escribir algunos de los temas complementarios del curso que se comentaban anteriormente. Antes que nada, deseo hacer patente mi agradecimiento a las autoridades de la Universidad Panamericana, que me ofrecieron el espacio y el apoyo para la realizacin de este proyecto; especialmente al Ing. Pedro Creuheras Vallcorba, de la Escuela de Ingeniera, y a la Lic. Aurea Rojas Ponce, del Centro de Cmputo, quienes siempre me brindaron las facilidades necesarias para salir adelante en los momentos crticos y decisivos del proyecto. Agradezco tambin al Girton College de la Universidad de Cambridge (Inglaterra), donde escrib los dos ltimos captulos del libro, durante el verano de 1994. A Sergio W. del Valle y Gutirrez, quien trabaj conmigo durante medio ao en una de las etapas finales del libro. A Carlos F. Diez de Sollano Navarro, a quien dirig su tesis de licenciatura (sobre el producto cruz generalizado), algunos resultados de la cual aparecen en el ejercicio 35 de la seccin 7 del captulo 1. A Pedro Albin Smith, quien resolvi los ejercicios de los captulos 5 y 6. Al Ing. Alfonso Leal Guajardo, quien revis varios captulos, usndolos en un curso sobre la materia que imparti en el primer semestre de 1994, y posteriormente revis de manera exhaustiva el captulo 7, resolviendo todos los ejercicios que en este captulo aparecen. Al L.F.M. Francisco Ortz Arango, al Ing. Eduardo de la Vega Segura, a la Ing. Lilia Elena de la Vega Segura, al DI". Fernando Brambila Paz y al Dr. Alejandro Bravo Mojica, quienes leyeron varios de los captulos dellibO. Menciono de manera especial al equipo con quien trabaj durante las ltimas horas antes de dar por concluido el proyecto, haciendo los dibujos del libro en computadora, armando, revisando, y, en fin, trabajando intensamente en esos momentos crticos de la terminacin de un proyecto de esta magnitud; mi agradecimiento especial a mis alumnos Rigoberto Chvez Carrillo y Jos Luis Salazar Velzquez, al Ing. David Prez Rivera, a la Ing. Lourdes Grimaldo Funes y a la Ing. Rebeca Moreno Lara Barragn. Por ltimo, un agradecimiento ms especial an al Ing. Javier Cervantes Camarena, quien exhibi nuevamente una combinacin muy difcil de conseguir, pues adems de ayudarme con la elaboracin de muchos de los dibujos que aparecen en el libro, logr, con su buen humor y optimismo, neutralizar muchos de mis momentos de histeria (que se incrementaron sustancialmente durante algunos meses previos a la terminacin del libro), mostrndome siempre su amistad y apoyo. Claudio de Jess Pita Ruiz V. Universidad Panamericana Escuela de Ingeniera Donatello 75-bis Colonia Insurgentes-Mixcoac Mxico, D.F. 03920 Mxico, D. F., septiembre de 1994. C ontenido Prlogo . vii Captulo l. Introduccin al espacio IRn y al lgebra lineal . 1.1 1.2 1.3 lA 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 El espacio IRn . . . . . . . . . Producto punto. Proyecciones Norma y distancia . Bases ortonormales. Cambios de base El producto cruz en IR 3 . . . . . . . . Apndice. Coordenadas cilndricas y esfricas Rectas y planos en IR 3 Transformaciones lineales Valores y vectores propios Formas cuadrticas.. . . . 1 1 17 25 36 44 51 60 73 83 91 103 Captulo 2. Funciones de varias variables . . . . . Funciones de varias variables . . . . . . . . . Geometra de las funciones de varias variables Lmites y continuidad. . Derivadas parciales . . . . Derivadas direccionales. . . . . . . . Apndice. El teorema del valor medio 2.6 Diferenciabildad........ 2.7 Diferenciabilidad y derivadas direccionales Apndice. El Teorema de Euler sobre funciones homogneas 2.8 Gradiente.. . . . 2.9 Vectores normales 2.10 Planos tangentes . 2.11 La diferencial. . . 2.12 Derivadas parciales de rdenes superiores . Apndice I. Funciones de clase ~k . . . . Apndice Il. El Teorema de Euler sobre funciones homogneas (versin general para funciones de dos variables). . .... Captulo 3. Funciones compuestas, inversas e implcitas 3.1 3.2 3.3 304 3.5 Composicin de funciones . . Regla de la cadena . . . . . . Regla de la cadena. Perspectiva Funciones implcitas (1) . Funciones implcitas (II) . . . ..... .... general .. 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 103 112 127 147 lS8 164 168 184 188 193 201 207 219 222 229 230 241 242 249 269 280 297 xi x ii Contenido 3.6 * 3.7 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 Funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Un interludio numrico: el mtodo de Newton para sistemas no lineales. 309 319 333 335 343 355 365 372 381 398 407 425 425 432 442 458 Captulo 4. Extremos de las fundones de varias variables Definicin y ejemplos preliminares .. . La frmula de Taylor de segundo orden . . . . . . . . Condiciones suficientes para la existencia de extremos locales. Caso de dos variables. Ejemplos . . . . . . Apndice. El mtodo de mnimos cuadrados . . . . . . . . . Extremos condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Apndice Extremos absolutos de funciones en regiones compactas Extremos condicionados (H): condiciones suficientes . . . . . . . * 4.6 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 * 5.8 5.9 5.10 5.11 Captulo 5. Curvas en el espacio. . . . . . . . . . . . . Introduccin. Lmites y continuidad . . . . . . . . Caminos en JR". Consideraciones y ejemplos preliminares Diferenciabilidad. Curvas regulares. Reparametrizaciones . . . . . . . . . . . Longitud de un camino . . . . . . . . . . Reparametrizaciones por longitud de arco. Curvatura............... Curvas paralelas . . . . . . . . . . . Plano osculador, normal y rectificante . Torsin . Aplicaciones a la dinmica 469 479 484 503 519 526 535 551 553 562 567 570 589 608 608 612 614 620 624 632 636 640 646 646 650 653 656 Captulo 6. Integrales IDl.llHIlles 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 Integrales dobles (1): funciones escalonadas . . . . . . . . . . Integrales dobles (H): funciones integrables sobre rectngulos . Apndice. Integrabilidad de funciones discontnuas en conjuntos de medida cero Integrales dobles de funciones sobre regiones ms generales Cambio de variables en integrales dobles . Aplicaciones de las integrales dobles . . . 6.5.1 Voltimenes de cuerpos en el espacio . 6.5.2 Areas de figuras planas . . . . . . . 6.5.3 Centros de masa y momentos de figuras planas 6.5.4 Valor medio de una funcin . . . . Integrales triples . . . . . . . . . . . . Cambio de variables en integrales triples 6.7.1 Coordenadas cilndricas. . . . 6.7.2 Coordenadas esfricas Aplicaciones de las integrales triples 6.8.1 Volmenes de cuerpos en el espacio . 6.8.2 Centros de masa y momentos de cuerpos en el espacio. 6.8.3 Valor medio de una funcin Integrales N-mltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 6.7 6.8 6.9 Contenido xiii Captulo 7. Integrales de lnea . . . . . . . . . . . . . . Curvas en el espacio: resumen de hechos importantes Campos vectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . . Apndice. Campos vectoriales en los sistemas de coordenadas cilndricas y esfricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Integrales de lnea: definicin y propiedades . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Independencia del camino, campos conservativos y funciones potenciales * 7.5 Un interludio topolgico: conexidad 7.5.1 Conjuntos conexos . . . . . . . . . . . . . 7.5.2 Conjuntos conexos por caminos . . . . . . . 7.5.3 Conjuntos simplemente conexos, homotopa * 7.6 Ecuaciones diferenciales exactas . . . . . . . . . 7.7 Integrales de lnea con respecto a la longitud de arco 7.7.1 Definicin y propiedades 7.7.2 Aplicaciones . . . . 7.8 La perspectiva de la fsica. . 7.9 El teorema de Green . . . . Apndice (1). Una demostracin del teorema de cambio de variables en integrales dobles. . . . . . Apndice (H). La desigualdad isoperimtrica . . . . . . 7.10 Rotacin de un campo en ]R2 . . . . . . . . . . . . . . 7.11 La divergencia de un campo vectorial (l): campos en]R2 Apndice. La divergencia en los sistemas de coordenadas cilndricas y esfricas. Captulo 8. """'P,-ji"; ..,, en ]R3 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 * 8.7 Superficies simples . Reparametrizaciones . . Espacios tangentes, planos tangentes y vectores normales Superficies ms generales . Orientacin de superficies rea de una superficie Tubos . 8.7.1 Tubos en ]R2 8.7.2 Tubos en]R3 . . 7.1 7.2 671 671 673 680 689 702 725 727 729 731 741 753 753 761 771 779 790 792 799 807 814 821 821 834 839 847 857 862 873 873 876 881 881 886 887 892 905 915 920 926 938 Captulo 9. Integrales de superficie . . .. 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 Integrales de superficie de funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1 Aplicaciones (1). Valor medio de una funcin definida en una superficie 9.1.2 Aplicaciones eH). Centros de masa y momentos de superficies Integrales de superficie de campos vectoriales. . . . . . La divergencia de un campo vectorial (H): campos en]R3 . . . . . El rotacional de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . Apndice. El rotacional en los sistemas de coordenadas cilndricas y esfricas. El teorema de Stokes . Grad, Div, Rot: Las frmulas clsicas del anlisis vectorial . xiv Contenido Captulo 10. Formas diferenciales . . . . . . . . 10.1 10.2 10.3 lOA 10.5 10.6 945 946 Definiciones preliminares. Suma y producto de formas La diferencial exterior . . . . . . Cambio de variables en formas . . . . . Integracin de p-formas sobre p-cubos . Integracin de p-formas sobre p-cadenas El teorema (general) de Stokes . . . . . 957 970 979 983 993 1001 1071 Respuestas a los ejercicios Bibliografa ndice analtico 1073 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Captulo duccin al espacio al l eh lineal En este primer captulo expondremos los preliminares necesarios para abordar adecuadamente el estudio del clculo para funciones cuyo dominio y/o codominio es el espacio n-dimensional IRn. Por una parte, estudiaremos algunos aspectos sobre la naturaleza algebraica de este espacio, que ser nuestro anfitrin durante el desarrollo de toda la obra, insistiendo en la gran riqueza geomtrica, la cual puede ser visualizada en los casos en que 11 = 2 Y n = 3 y, por otra parte, introduciremos algunos conceptos importantes del lgebra lineal que nos ayudarn en su momento a tener un lenguaje adecuado para entender varios de los temas que aparecen en el estudio del clculo (sobre todo el diferencial) de las funciones anteriormente mencionadas (v.gr. la derivada de una funcin determinada es una "transformacin lineal"). Advertimos, sin embargo, que los tpicos que aqu abordaremos no sern tratados en forma exhaustiva, pues el objetivo es solamente dejar asentado un material de repaso y/o referencia, cuyo conocimiento es importante (muchas veces fundamental) para entender las discusiones de los temas de esta obra. Muchos de estos temas se tratan de modo ms profundo en algunos textos de lgebra lineal. De cualquier modo, se advierte que s es un requisito el conocimiento de algunos resultados elementales sobre la teora de sistemas de ecuaciones lineales, matrices y determinantes, que se exponen en los primeros captulos de algunos libros de lgebra lineal, como por ejemplo, en los dos primeros captulos de la referencia [Pillo 1.1 El espado]Rn Tngase en cuenta que, en todo el libro, la letra n, que acompaa a la letra IR en la notacin IR", denotar a un nmero natural. Consideremos el conjunto de todas las n-adas ordenadas de nmeros reales, que denotaremos por IR" (y leemos "erre ene") A cada uno de los nmeros reales XI, X2, ... , X" que conforman la n-ada (XI, X2, .. , x,,) E IR", se le llama componente o coordenada de la n-ada correspondiente y, puesto que stas son ordenadas, decimos, con ms precisin, que Xi es la i-sima coordenada de (XI, X2, ... , x,,), i = l, 2, ... ,n. Por ejemplo, si n = l, el conjunto IR I no es ms que el conjunto de nmeros reales IR. Si n = 2, IR 2 ser 2 Captulo 1 Introduccin al espacio IR n y al lgebra lineal el conjunto de parejas ordenadas de nmeros reales que podemos escribir como {(x, y)lx, y E IR}. Si n = 3, el conjunto IR 3 estar formado por las ternas ordenadas de nmeros reales, que se puede escribir como {(x, y, z)lx, y, z E IR}, etc. Insistimos en que las n-adas que constituyen el conjunto jR;1l, son ordenadas: por ejemplo, en IR 2 la pareja (2,7) es diferente de la pareja (7, 2). De hecho, dos n-adas de IR" se dicen ser iguales, cuando todas y cada una de sus coordenadas son iguales. Es decir que i = 1,2, ... , n (XI, X2,"" x ll ) = (YI, Y2,"" y,,) q Xi = Yi, Un hecho de fundamental importancia en el conjunto IR" es quepodemos <iefinir en l dos operaciones entre sus elementos, las cuales cumplen con ciertas propiedades que veremos a continuacin. Este hecho hace que tal conjunto tenga una estructura algebraica llamada espacio vectorial y que, por tanto, nos podamos referir a l no slo como el "conjunto jR;"", sino como el "espacio IR"". Las operaciones que definimos en IR" son a. Suma de n-adas ordenadas Si (X],X2'''''X,,), (YI,Y2,""Y") son dos elementos de IR", definimos su suma, denotada por (x], X2, ... , x,,) + (YI, Y2, ... , YIl)' como (X], X2, ... , x,,) + (y], Y2, ... , Yn) = (x] + YI, X2 + Y2, ... ,x" + Yn) b. Producto de una n-ada ordenada por un escalar Si (XI, X2, ... , x,,) es un elemento de IR", Ye es un nmero real (en lgebra lineal se usa la palabra siguiendo esta "escalar" para designar a un elemento de un campo, que en nuestro caso es nomenclatura, tambin nosotros llamaremos escalar a un nmero real). El producto de la n-ada (x], X2, ... , x,,) por el escalar e, denotada por e(xI, X2, ... , x,,), se define como C(XI, X2, .. " x ll ) = (exl, eX2, ... , CX Il ) Obsrvese que, segn estas definiciones, tanto la suma de n-adas como el producto de una de ellas por un escalar, son nuevamente n-adas del conjunto IR". Por ello se dice que estas operaciones son eerradas en IR". Por ejemplo, en IR 3 la suma de la terna (2,5. -9) con la terna (l, 0, 7) es (2,5, -9) + (1,0,7) = (2 + 1,5 + O. -9 + 7) = (3.5, -2), que es una nueva tema de IR 3 ; en IR 4 , el producto de la 4-ada (2, 8, -6,3) por el escalar -2 es -2(2, 8, -6,3) = (-4, -16, 12, -6) que es tambin un elemento de IR 4 Es fcil verificar que estas operaciones entre los elementos de IR" cumplen con las propiedades siguientes: \ l. La suma es conmutativa, es decir (x]. X2, ... x,,) + (YI, Y2,"" Yn) = (YI, Y2,. y,,) + (x], X2,." x,,) 2. La suma es asociativa, es decir (XI.X2,'X n)+ [(YI,Y2, ... ,Y,,)+(Z],Z2, ... Zn)] = [(X], X2, ... , x,,) + (YI' Y2,"" y,,)] -1- (Zl, Z2,"" z,,) 3. Existe un elemento en IR", llamado cero, que acta de manera neutra para la suma. De hecho, este elemento es el que tiene todas sus coordenadas iguales al (nmero real) cero. Lo denotaremos --------------------- 1.1 El espacio IR" 3 por O (o cuando no haya peligro de confusin, simplemente por O). Es decir O = (O, O.... , O) E ]R" Yse tiene (XI. X}, ... , XII) + (0,0, ... , O) = (XI, x2, ... , XII) 4. Cada n-ada de ]R" tiene un "inverso aditivo", el cual es un elemento de]R" que tiene la propiedad de que, sumado con la n-ada original, produce cero (el cero de]R" !). De hecho, el inverso aditivo de (XI. X2. .. , XII) es (-XI, -x} ... -XII) puesto que (XI, X} xn ) + (-XI, ~X2 ... -xn ) = (0,0, ... , O) 5. Si A es un escalar, se tiene 6. Si A Y J-L son escalares, se tiene 7. Si A Y J-L son escalares, se tiene (A,u.)(XI,X2 ... XIl) = A[J-L(XI,X2, ... ,x lI )] = ,u.[A(XI,X}, ... ,x lI )] 8. l(xI, X2 ... , XII) = (Xl. X}, ... , XII) Como decamos, todas estas propiedades son de verificacin inmediata y su validez se basa fundamentalmente en las 'correspondientes propiedades ya conocidas de los nmeros reales, como la conmutatividad, asociatividad y la existencia de neutros para la suma y producto de reales, adems de la existencia de inverso para la suma y la distributividad. Obsrvese que, de hecho, si n = 1, ]R 1 no es ms que el conjunto de nmeros reales y las propiedades 1-8 anteriormente mencionadas se cumplen automticamente (basndonos en que conocemos de antemano las propiedades algebraicas de ]R). Sabemos que, en realidad, ]R es ms que un espacio vectorial: es un campo (es un hecho general que un campo K cualquiera es un espacio vectorial, tomando como escalares los mismos elementos de K). A manera de ejemplo, verifiquemos la validez de la propiedad 5. Se tiene A [(XI. X2, ... , XII) + (YI. Y2 ... , Yn)] = = A(XI + YI, X2 + )'} .... , Xn + YII) + )'1). A(x} + Y2),.. A(x" + )'11) definicin de) ( suma en IR:" definicin de ProductO) ( P?r escalares en R" propiedad distributiva) ( de los nmeros reales = (A(XI = (AXI' X2 ... Ax + (AYI, lI ) AY2,"" AYII) definicin de) ( suma en IR:" definicin de ProductO) ( por escalares en 'R" 4 Captulo l Introduccin al espacio JR" y al lgebra lineal y z y ................ (x, y) (x, y, z) ---------1""-----------4> X X x x Figura 1. Vectores en JRz y JR3. y Cuando en un conjunto no vaco V se han definido operaciones de suma entre sus elementos y producto de stos por escalares (nmeros reales, o ms en general, elementos de un campo K), y estas operaciones satisfacen (adems de la cerradura) las propiedades 1-8 vistas anteriormente (es decir, la propiedad de conmutatividad de la suma, asociatividad de la suma, etc.), se dice que V es un espacio vectorial l. As, el conjunto JR" se convierte en un espacio vectorial con las operaciones que en l hemos definido. De aqu en adelante nos referiremos a JR" como "el espacio JRIl" Ya sus elementos (las n-adas ordenadas) como "vectores". La resta de vectores en JRIl, digamos x - y, se define como x - y = x + (-y) Cuando n = 2 n = 3, podemos visualizar geomtricamente los espacios correspondientes lR 2 y JR3. En efecto, dado un vector v en alguno de estos espacios, podemos ver a ste como el punto correspondiente del plano o del espacio tridimensional que tiene por coordenadas a las coordenadas de v. Otro modo de verlo es como una flecha que parte del origen de coordenadas y llega al punto en cuestin. Ms an, toda "flecha" en el plano o en el espacio, puede ser pensada como un vector de JR2 o JR3, respectivamente. En efecto, supongamos que la flecha tiene su inicio en el punto p y su final en el punto q. A ella asociamos entonces el vector v = q - p del espacio correspondiente. Con las ICon ms precisin, l}n espacio vectorial es un conjunto no vacro V en el cual estn definidas dos operaciones entre sus elementos (llamados vectores), a saber, la suma de ellos +: V x V ..... V con la cual a cada VI, V2 E V se le asocia un nuevo vector (VI + V2) E V, llamado "suma de VI y V2", Y el pr04uctll de un vector de V por un escalar (un elemento de un campo K, como IR o iC) -: K x V -; V, con la cual, dado un v E V Y un escalar A E K (= IR @ ic), se le asocia un nuevo elemento Av E V, llamado "producto del vector v.por el escalar A", cumpliendo las siguientes propiedades: 1. La suma es conmutativa: VI + Vz = V2 + V, Vv, Vz E V. 2. La suma es asociativa: VI + (V2 + V3) = (VI + V2) + v3. VVI, vz, v3 E V. 3. Existe en V un elemento neutro para la suma, llamado cero y denotado por 1iI. Es decir, existe liI E V tal que V + liI = v Vv E V. 4. Cada V E V tiene asociado un inverso aditivo (-v) E V. con la propiedad de que v + (-v) = O. 5. A(vl + V2) = Av + AV2, VA E K, VVI, v2 E V. 6. (A + .L)v = Av + .Lv. VA, .L E K, Vv E V 7. (A.L)v = A{.Lv), VA, .L E K, 'Iv E V. 8. Iv = v, 'Iv E V. En este libro el espacio vectorial ms importante con el que trabajaremos es justamente IR". Existen, sin embargo, otros espacios vectoriales importantes que eventualmente aparecern en el desarrollo del libro. como el espacio de malrices, de funciones. etc. l. 1 El espacio IR" 5 u+v u Figura 2. La suma de vectores en IR 2 y ]R.'. consideraciones geomtricas que veremos a continuacin, ser fcil ver que la flecha asociada a este vector v, que parte del origen y llega al punto q - p, es "equivalente" (en el sentido de movimientos rgidos) a la flecha original que parta de p y llegaba a q. Debido a este tipo de identificaciones entre los puntos del plano cartesiano y del espacio tridimensional, con los vectores de los espacios vectoriales l~2 y JR.3, es que se suele referir a estos espacios como "el plano JR.2" y "el espacio JR.3" respectivamente (refirindonos en este ltimo caso al espacio tridimensional --en el que vivimos), y como ya lo decamos en nuestro primer ClJSO de clculo "la recta IR". Ms an, es interesante notar que las operaciones definidas en los espacios JR2 y IR3 pueden ser visualizadas, al igual que algunas de las propiedades de ellas, con la ayuda de las versiones geomtricas (las flechas) de los vectores de estos espacios. En efecto, se puede ver fcilmente (dejamos los detalles a cargo del lector) que la suma de vectores en estos espacios no es ms que la "regla del paralelogramo" conocida en el manejo de flechas ("vectores geomtricos") como se muestra en la figura 2. Con ayuda de esta figura queda clara la validez de la propiedad conmutativa de la suma de vectores en IR 2 y IR 3 Tambin, usando esta idea, es fcil ver que la operacin de resta de vectores, digamos x - y, equivale a tomar el vector (la flecha) que comienza en el punto y y termina en el punto x (el cual es en realidad una flecha que se obtiene por un mivimiento rgido de la flecha asociada a x - y). Anlogamente, con ayuda de la figura 4, queda clara la propiedad asociativa de la suma. Por otra parte, la operacin de producto por escalares puede tambin verse geomtricamente de la siguiente manera: la multiplicacin del vector v por el escalar A produce un nuevo vector Av (del que diremos que es un "mltiplo escalar" de v) que, conservando la lnea de accin de v, se alarga (si A> 1) o se contrae (si O < A < 1) manteniendo la misma direccin de v, o invirtiendo tal direccin (si A < O). En particular, dado el vector v E JR2 o JR3, su inverso aditivo (-v) E IR2 o JR3 es una reproduccin del vector v apuntando en la direccin "opuesta respecto del origen". Estos hechos se ilustran en la figura 5. Todas las visualizaciones geomtricas anteriores, a pesar de que slo tienen sentido con vectores "que podemos ver", en los espacios JR2 y/o IR3, se acostumbra hacer uso de ellas en el caso general de vectores en IR" , pensando en que de no tener las "limitaciones espaciales" que tenemos los seres 6 Captulo I Introduccin al espacio ]Rn y al lgebra lineal y __x -----y y x-y x-y L_-----~x Figura 3. La resta de vectores x-y. humanos (somos seres que vivimos en R 3 y no podemos ver o imaginar espacios R" con I! 2: 4l), veramos los vectores en R" "con las mismas propiedades geomtricas" que tienen los vectores en lR 2 o R 3 . Algunas veces es importante considerar "pedazos" del espacio R" que se comportan "algebraicamente de la misma manera" que el espacio total al que pertenecen. De hecho subconjuntos S ~ JR" que son en s mismos espacios vectoriales con las operaciones de suma y producto por escalares que ya estaban definidas en JR" (es decir, que en S se cumplen la cerradura de las operaciones definidas en el espacio y las 8 propiedades que caracterizan a un espacio vectorial). Por ejemplo, si consideramos el subconjunto S de ffi.2 dado por S = {(x, y) E ffi. 21x = Y} podemos verificar que los vectores de S satisfacen las 8 propiedades que cumple el espacio completo JR2 que los hacen ser espacio vectorial: la cerradura (en S) de las operaciones de suma y producto por escalares se verifica fcilmente; que la suma es conmutativa y asociativa es un hecho que se cumple para todos los vectores de JR2 y entonces, se cumple en particular para los vectores de S. w "';"' " ........ + ;;;.. ; + :::l :::l ........ + ~ + v Figura 4. Versin geomtrica de la propiedad asociativa de la suma de vectores. 1.1 El espacio IR" 7 AY (A > 1) Y A'I' (O < A< 1) o (A<O) AY Figura 5. El producto del vector '1' por el escalar A. Que el vector Ode IR z se encuentra en S es claro, pues tal vector es (O, O) (tiene sus dos coordenadas iguales). Dejamos que el lector verifique todas las dems propiedades. A un conjunto como ste se le llama subespacio de IRz. Generalmente, un subespacio de IR" es un subconjunto S de IR" que por s mismo es un espacio vectorial. El siguiente resultado, que damos sin demostracin, nos dice que es muy fcil saber cuando un subconjunto de IR" es un subespacio. Teorema 1.1.1 Sea S un subconjunto no vaco del espacio IR". Entonces S es un subespacio de IR" si y solamente si: (1) dados x, y E S, se tiene x + y E S; (2) dado x E S, e E IR, se tiene ex E S. Demostracin. Ejemplo L Ejercicio. Si consideramos el conjunto S que contiene solamente al vector O de ]R" , se tiene de inmediato que S es un subespacio de IR". Tambin, si S es todo ]R" , es claro que ser un subespacio. A estos dos subespacios de ]R" se les llama subespacios triviales. El conjunto S de ]R" dado por donde al, az, ... , a" son nmeros dados, es Un subespacio de ]R". En efecto, si x = (XI, Xz, ... , x,,), y = (YI, Yz ... , y,,) son vectores de S, se tiene que su suma x + y tambin est en S, pues al(x + YI) + az(xz + yz) + ... + a"(x,, + y,,) = R (ax + azxz + ... + a"x,,) + (aIYI + azyz + ... + a"y,,) = O+ 0= Tambin, si x = (XI, xz, ... , x,,) est en S y e E se tiene que ex est en S pues En la seccin 6 se ver que estos subespacios se pueden interpretar geomtricamente como "hiperplanos" en ]R". Otros subespacios importantes estn dados por 8 Captulo I Introduccin al espacio IR" y al lgebra lineal donde al, a2, ... , all son nmeros reales dados y t es un real arbitrario. Dejamos que el lector verifique, usando el teorema anterior, que, efectivamente se trata de un subespacio de IR/l. Geomtricamente estos subespacios se pueden identificar como "rectas que pasan por el origen" (como se ver en la seccin 6). 111 Dado un conjunto de vectores Vl, V2, combinacin lineal de los vectores VI, v2, , Vil , Vil' E R", decimos que el vector v E JR" es una si existen escalares c], c2, ... , c" tales que Por ejemplo, el vector (7,5) es una combinacin lineal de los vectores (2, 1) Y (1, 1) puesto que (7,5) = 2(2, 1) + 3(1,1); es decir, podemos escribir al vector (7,5) como la suma de algn mltiplo escalar del vector (2, 1) Y algn mltiplo escalar del vector (1, 1). Esto puede verse geomtricamente como . (7,5) 2(2,1) ------>x 6. El vector (7, 5) = 2(2, 1) + 3( 1, 1), En realidad, cualquier vector (x, y) E JR2 es una combinacin lineal de los vectores (2, l) Y(1, l), En efecto, podemos escribir (x, y) = CI (2, 1) + C2(1, 1) con CI = x - y, C2 = 2y - x, como se verifica sin dificultad, Por otra parte, el vector (1, 1, O) no es unacombinacin lineal de los vectores (1, 2, 3), (-1, -- 1,2), (1, 3, 8). Para ver esto ltimo, escribamos (l, 1, O) = y veamos que tales escalares expresin nos queda que C], C2 C1( 1, 2, 3) + C2 ( - j, - 1, 2) + C3 (l, 3, 8) YC3 no existen. Haciendo las operaciones indicadas en la ltima de donde se obtiene el sistema CI C2 + C3 = 1, 2cI - C2 + 3C3 = 1, 3cI + 2C2 + 8C3 =O del cual es fcil convencerse que no tiene solucin. 1.1 El espacio JRn 9 Es claro que los vectores (2, 1) Y(1, 1) tienen una propiedad importante que no tienen los vectores (1,2,3), (-1, -1,2), (1, 3, 8), ya que con una combinacin lineal adecuada de los prImeros podemos escribir cualquier vector del espacio ]R2, cosa que no se puede hacer con los segundos vectores en el espacio IR3 . Tal propiedad es conocida como "independencia lineal" y a continuacin haremos un estudio breve de ella, empezando por establecer la definicin correspondiente. Un conjunto de vectores VI, V2, ... , Vk E ]Rn se dice ser linealmente independiente (abreviaremos l.i.) si la combinacin lineal obliga a que todos los escalares CI, C2, . , Ck sean cero. Es decir, si se tiene la implicacin Caso contrario, se dice que los vectores son linealmente dependientes (abreviaremos l.d.? Es decir, si se puede tener la combinacin lineal CIVI + C2V2 + ... + CkVk = O con no todos los escalares C, C2, .. , Cn iguales a cero. Usando esta definicin, es fcil convencerse de los siguientes hechos: l. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Cualquier conjunto de vectores que contenga al Oes l.d. Un conjunto formado slo por un vector no nulo es l.i. Si S es un conjunto de vectores l.i., cualquier subconjunto de S es tambin l.i. Si S es un conjunto de vectores l.d., cualquier conjunto S' que contenga a S como subconjunto ser tambin l.d. Si VI, V2, ... , Vk son vectores Ld., entonces alguno de ellos se puede escribir como combinacin lineal de los restantes. Si k> n, el conjunto de vectores V, V2, .. , vk E ]Rn es Ld. Un conjunto de n vectores VI, V2, ... , vn E ]R" es l.i. si y slo si el determinante de la matriz que tiene por vectores columna (o por vectores lnea) a estos vectores es distinto de cero. Dejamos al lector la verificacin detallada de estos hechos (algunas de ellas usan resultados relacionados con los sistemas de ecuaciones lineales). Un concepto muy importante que aparece cuando se trabaja en el espacio IRIl es el concepto de base de este espacio. Se dice que un conjunto formado por n vectores V, V2, ... , Vil E ]R1l es una base de ]R1l, si estos vectores son linealmente independientes. Segn la propiedad (7) anterior, los vectores VI, V2, ... , vn E IRIl son (o forman) una base de JI{1l si y solamente si el determinante de la matriz cuyos vectores columna son los vectores dados, es distinto de cero. Esquemticamente, los vectores VI, \12, ... , vn E IR" son una base de este espacio si y slo si 1 2La propiedad de dependencia o independencia lineal se puede ver como una propiedad de los vectores o del conjunto que forman. No haremos distincin al respecto. 10 Captulo I Introduccin al espacio IR" y al lgebra lineal Cuando se tiene una base del espacio IR", digamos formada por el conjunto {v], V2, ... , VII}, es importante considerar a ste ltimo como un conjunto ordenado de vectores en IR". De esta manera, se tiene el siguiente resultado fundamental que pone de relieve la importancia de tener bases en el espacio IR" . Teorema 1.1.1 Si [3 = {VI, "2, ... , v,,} es una base del espacio IR", entonces cada vector V E IR" se escribe de manera nica como combinacin lineal de los vectores de [3, es decir. existen nicos escalares C], C2, ... , c" tales que v = CI VI + C2V2 + ... + C" Vil' Demostracin. Considere el conjunto A = {VI, V2,"" v,,, v}. Este es un conjunto linealmente dependiente, pues est formado por n + 1 > n vectores de IR". Es decir, existen escalares YI, Y2, ... , YI1+ 1 no todos nulos tales que YI VI + Y2V2 + ... + y" VII + YI1+ 1V = O. Afirmamos que Y,,+I i- O, pues caso contrario tendramos YIVI + Y2v2 + ... + YI1VII = O y, por la independencia lineal de los vectores de [3, se concluira que Y = O para i = 1, 2, ... , IZ, lo cual contradice la dependencia lineal del conjunto A. Tenemos entonces que v = CIVI + C2V2 + ... + C"V", donde C = -Yi! y,,+]. Veamos por ltimo que estos escalares son nicos. Si existieran otros escalares tales que v = dl"l + d2v2 + ... + d"v", se tendra de donde Usando la independencia lineal de la base [3, conclumos de esta ltima expresin que o sea que c = di para todo i == 1,2, ... , n, como se quera. En el teorema anterior, decimos que v = ('IVI en trminos de la base [3 = {v 1, V2, ... , vn }". Ejemplo 2. Los vectores VI C -- di =c O, + ('2V2 + ... + CnVIJ es "la expresin de! vector v = (2, 1) Y V2 = (1, 1) (ver figura 6) forman una base de IR 2 , puesto que ellos son l.i., hechoque se deduce del valor no nulo de det [~ :] = l. En realidad, ya se haba visto que todo vector (x, y) E IR2 se escribe (de manera nical) corno (x, y) como lo asegura el teorema anterior. = (x y)vI + (2y X)V2 11 Ejemplo 3. Cualquier conjunto de k vectores en IR", con k i- 11, no puede ser una base de este espacio (por qu?). Los vectores VI = (1,2, 3), V2 = (- J, -1,2), V3 = (1, 3, 8) no forman una base de IR 3 porque son l.d., ya que -1 det [; 3 -] 2 (Obsrvese que este determinante ya haba aparecido en una discusin previa sobre si todo vector de IR 3 se puede escribir como combinacin lineal de los vectores VI, V2 Y V3. Se descubri que no. Esto es justamente lo que volvimos a hacer en este ejercicio, por qu?). 11 l .l El espacio ]R." 11 El ejemplo ms importante de base en el espacio IR" es el conjunto {el, e2, ... , e,,} donde e = (O, ... ,0, l. 0, ... , O) 1 i = l, 2, ... , n. i -sim<l coordenada Es claro que estos n vectores e constituyen una base de IR", pues la matriz cuyos vectores columna son estos vectores es justamente la matriz identidad (que tiene unos en su diagonal principal y ceros en las posiciones restantes), cuyo determinante es l. Esta base es llamada base cannica de IR". Observe que el vector x = (XI, X2, ... , x,,) E IR" se escribe en trminos de esta base como Ejemplo 4. En el espacio IR 2, los vectores de la base cannica son el = (L O) Y e2 = (O, l), comnmente denotados por i y j, respectivamente. Entonces, dado cualquier vector (x, y) E IR 2, ste se escribe en trminos de esta base como (X, y) = xi + yj. Anlogamente, los vectores de la base cannica del espacio IR', denotados por i, j, k, son i = (l, 0, O), j = (O, !. O), k = (O, O. 1), de modo que para (x, y, ::) E IR' se tiene (x, r, ;:) = xi + rj + ;:k. Geomtricamente esto se ve de la siguiente manera k - - - - - - - ' l - - - j l > - - -....... x Figura 7. Los vectores de las bases canonicas de ]R.2 y R'. Cuando se consideran subespacios S de IR" es importante tener tambin un concepto de base de ellos, pues esto nos permitir introducir el concepto de "dimensin del subespacio". Segn se ha visto anteriormente, son dos las caractersticas de conjunto f3 que es base del espacio IR": (1) sus vectores son l.. y (2) todo vector de IR" se puede escribir como combinacin lineal de los vectores de f3. Estas son. de hecho, las dos propiedades que definen una base de cualquier espacio vectorial. Diremos entonces que un conjunto f3 = {VI, V2 .... , Vk} del subespacio S de IR" es una base de S, si: (l) los vectores de f3 son l.i.; (2) todo vector v E S se escribe como combinacin lineal de los vectores de f3. En este caso se dice que los vectores de f3 generan al subespacio S, o bien, que S es generado por los vectores de f3. 12 Captulo I Introduccin al espacio ]R" y al lgebra lineal Ejemplo 5. Sea S = {(x, y)lx = y}. Ya se vi que S es un subespacio de lR. 2 . Es fcil verificar que el conjunto 13 = {(1, 1)} es una base de S, pues, por una parte es claro que es I.i. y, por otra, iII todo vector de S, digamos (a, a) es un mltiplo escalar de (1, 1). Ejemplo 6. El conjunto S = {(x, y, z)lx - 3Y - Sz = O} es un subespacio de lR. 3 (ver ejemplo 1). Para "descubrir" una base de S podemos proceder como sigue: escribamos un vector arbitrario de S y tratemos de "descomponerlo" como combinacin lineal de vectores de IR3. Verificando finalmente que estos vectores son l.i. podemos concluir que constituyen la base buscada. En nuestro caso tenemos que un vector cualquiera de S se escribe como (x, y, z) = (3y + Sz, y, z) = y(3, 1, O) + z(S, 0,1) Entonces, todo vector de S se escribe como combinacin lineal de los vectores VI = (3, 1, O) y V2 = (S, 0, 1). Puesto que estos vectores son I.i., concluimos que 13 = {(3, 1, O), (S, 0, I)} es una base de S. iII Por supuesto que la base 13 de un subespacio S de IR" no es ul1!ca. Con el mismo ejemplo anterior, podemos ver que 132 = {( - 2, 2, -1), ( -1, 3, -1)} es otra base del subespacio S = {(x, y, z)lx - 3y - 8z = O}. Lo que s ocurre, y es posible demostrar en general, es que dos bases distintas de un subespacio tienen siempre el mismo nmero de vectores, Esto nos permite establecer la siguiente definicin importante. Definicin. Sea S un subespacio de IR". Se llama dimensin de S, denotada por dim S, al nmero de vectores que existe en una base (cualquiera) de S. Por ejemplo, es claro que la dimensin de lR." es n. La dimensin del subespacio del ejemplo 6 es 2. En el caso del subespacio trivial {O} que contiene solamente al vector cero, su dimensin se define como siendo cero. 1. Verifique que el conjunto de n-adas ordenadas de nmeros reales i = 1, 2, ... , n} con las op~raciones de suma y producto por escalares definidas en esta seccin, es un espacio vectorial. 2. Escriba en forma explcita. a. b. c. d. e. f. el neutro para la suma de JR3. el inverso aditivo de (1, 2, -3,5) E IR4 . el inverso aditivo del inverso aditivo de un vector v E JR". el inverso aditivo del neutro para la suma de un vector v E IR". el vector suma de (1,1,1) con (3, 2, 2) en IR 3 . la propiedad conmutativa para la suma de vectores en IR 3 . 1.1 El espacio]Rn 13 g. h. i. el vector suma de (8,9,3,5) con el inverso aditivo de (2, 7, 5, 4) en R,4. el vector suma de (a, b, e, d, e) E R,s con su inverso aditivo. 3 veces el vector (2, 1, 1) de ]R3. -5 veces el vector (1,1, 1, 1, O E R,s. la propiedad asociativa para la suma de vectores en ]R4. el inverso aditivo de 4 veces el vector (2, 4, -7) E R,3. R,4. R,2. j. k. 1. n. o. p. q. r. s. m. la suma de (2, 5, 5,4) con 4 veces el vector (-1, - 2, -1, -1) en la suma de (1, 1) con el inverso aditivo de 5 veces el vector (4, 5) en el vector 3(1, 1,8) + 4 [( -2,3, O) + 5(1, 0, el vector (2, 1,0, O) - 2( 1, 1, 1, 1) de el vector de R,4 R,4 la suma del inverso aditivo de (1, 1) con 5 veces el vector (4, 5) en lR,2. O] de R,3. el vector -(2, 0, 2) + 3{(3, 2, 2) - 3[ -(1,2, 1) + 7(0, 1, Ol} de R,3. multiplicado por el escalar -5. el inverso aditivo del vector -( 1,4,2,3) + 2(3,2, 1, 1) en R,4 multiplicado por el escalar -6. que sumado al vector (3, 2, 0, O) d por resultado el vector O, 1, 2, 1). el vector de R,3 que sumado con el inverso aditivo del vector (1, -4, 6) da por resultado el vector 3(3, 4, 2). t. u. 3. Sean x y y dos vectores de R,n. Verifique que el inverso aditivo del vector x - y es el vector y x. Discuta geomtricamente este hecho. 4. Demuestre que el subconjunto de lR,2 s = {(x, Y)ix = y} con las operaciones usuales de suma y producto por escalares (las que estn definidas en R,2) es un espacio vectorial, verificando que se cumplen los 8 axiomas que definen a esta estructura algebraica. Observe que geomtricamente este conjunto es representado por la recta y = x, la cual es una recta que pasa por el origen. 5. Usando el teorema 1.1.1, demuestre que el conjunto de vectores en R,2 que se encuentran en la recta que pasa por el origen ax + by = (con a y b reales no ambos nulos), e~ Jn subespacio de R,2. Ms an, demuestre que si S es un subespacio no trivial de R,2 (es decir, distinto de {(O, O)} Yde todo R,2), entonces S es una recta que pasa por el origen, siguiendo los pasos: a. Tome un vector (xo, Yo) E S no nulo, digamos que Xo L = {(x, Y)!Yox - XoY i= 0, y defina O}. Ciertamente L es un subespacio de R,2 (por qu?). Tome (Xl, YI) E L. Verifique que (x 1, YI) es un mltiplo escalar de (xo, Yo). Con S como un subespacio de lR,2, concluya que (Xl, YI) pertenece de hecho a S. Esto demuestra que LeS. b. Suponga que S no est contenido en L. Tome entonces un vector (X2, Y2) E S tal que ti- L (es decir, YOX2 - XOY2 i= O). Considere el sistema de dos ecuaciones con las incgnitas u y v, (X2, Y2) YoU + Y2 V = y, 14 Captulo l Introduccin al espacio]R" y al lgebra lineal donde x, y y son nmeros reales arbitrarios dados. Concluya que este sistema de ecuaciones tiene solucin nica, digamos U, v. Verifique entonces que el vector (x, y) E lFt 2 se puede escribir como (x, y) = u(xo, Yo) + V(X2. Y2)' Use S como un subespacio de lFt 2 para concluir que (x. y) E S, con lo cual concluya a su vez que S = lFt 2 , lo que es una contradiccin a las hiptesis hechas sobre S. Esto prueba entonces que S e L. c. Tome los resultados de los dos incisos anteriores para conclur finalmente que S que, entonces, S es una recta que pasa por el origen. = L, Y 6. Demuestre que dos vectores en lFt n son linealmente dependientes si y slo si uno de ellos es un mltiplo del otro. 7. Use el resultado del ejercicio anterior para decidir (a simple vista) si los siguientes pares de vectores son linealmente independientes o dependientes. a. b. (1, 1) Y (2, 3). (2.4, 1) Y (8. 16,4). (O, O. O) Y (3, 2, - 7). (l, 1,2,0, 1) Y (3, 3, 6, 0, 3). c. d. e. (2,5, 1, n, 1) y (-3,5. 1, 0, 1). 8. Demuestre que cualquier conjunto de vectores en lFt" que contenga al vector cero es linealrnente dependiente. (Sugerencia: use directamente la definicin de dependencia lineal). 9. Pruebe que un conjunto formado por un solo vector no nulo es linealmente independiente. 10. Demuestre que si S es un conjunto de vectores en lFt" linealmente indpendiente, entonces cualquier subconjunto de S es tambin linealmente independiente. 11. Demuestre que si S es un conjunto de vectores en lFt" linealmente dependiente, entonces cualquier conjunto que contenga a S es tambin linealmente dependiente. 12. Pruebe que si los vectores V], '12, ... , Vk E lFtn son linealmente dependientes, entonces alguno de ellos se puede escribir como combinacin lineal de los restantes. 13. Demuestre que si k > n, el conjunto de vectores V, '12, ... , Vk E lFt n es linealmente dependiente. (Sugerencia: escriba explcitamente la combinacin lineal C V + C2'1'2 + ... + Ck Vk = O con las coordenadas de los vectores involucrados; obtendr un sistema homogneo de n ecuaciones lineales con k indeterminadas C, C2, . , Ck. Use el hecho de que para un sistema de este tipo, si k > n, existen soluciones no todas nulas para las incgnitas). 14. Demuestre. que un conjunto formado por n vectores VI, '1'2, ... , Vn E lFt" es linealmente independiente si y solamente si la matriz cuadrada de orden n que tiene por vectores columna (o por vectores lnea) a estos vectores, tiene determinante distinto de cero. (Sugerencia: escriba explcitamente la combinacin lineal CV + C2V2 + ... + CkVk = O con las coordenadas de los vectores involucrados; obtendr as un sistema homogneo de n ecuaciones lineales con n incgnitas c, C2, .. , Cn. Use el hecho de que un sistema semejante tiene slo la solucin trivial e = C2 = ... = Cn = O si y slo si el determinante de la matriz del sistema --que es el mismo que el de su transpuesta- es no nulo). 1.1 El espacio lRn 15 15. Diga si los siguientes conjuntos de vectores son linealmente independientes o dependientes, justificando su respuesta directamente de la definicin, o bien, usando alguno de los resultados de los problemas S-14 anteriores. a. b. {(2, l)}. {(3, 2, 1),(l,0,0),(-4,5,-2)}. c. d. e. {(l, 1, 9), (2,1,3), (2, 2, 3), (3, -3, -7)}. {(l, 4,5, O), (2,1,0, O), (3,1,1, l)}. {(1, 2, 3, 4), (O, 2, 3,4), (O, O, 3, 4), (O, 0, O, 4)}. 16. Demuestre el teorema 1.1.1. (Sugerencia: el "slo si" es obvio; para probar el "si", observe que la cerradura de las operaciones en el espacio vectorial queda garantizada por las dos condiciones dadas; la conmutatividad y asociatividad de la suma, y las propiedades relacionadas con productos por escalares se cumplen automticamente -por qu?-; resta por ver que existe el neutro para la suma en S y que cada x de S tiene en S su inverso aditivo; esto lo puede hacer usando la propiedad 2. con e = y e = -1). 17. Diga si cada uno de los siguientes conjuntos son subespacios del espacio IRn correspondiente. + Z2 = a} e IR3 S = {(x, y, z)lx 2 + l + Z2 2': a} e IR 3 f. S = {(x, y, z)lx 2 + y2 + Z2 > a} e IR 3 . g. S = {(x), X2, X3, x4)lx = X2 = X3 = X4} e IR4 h. S = {(X,X2,X3,X4)!XX2X}X4 = I} e IR4 i. S = {(Xl, X2, X}, X4, xs)lx + X2 + x3 + X4 + Xs = a} e IRs (a un nmero dado). 18. Para cada uno de los subconjuntos S de IR 3 dados a continuacin verifique que se trata de subespacios y encuentre una base de ellos, as como su dimensin. a. b. c. d. e. S = {(x, y)12x +y 2 = O} e IR 2 . IR3. IR3. S = {(x, y, z)12x + y = } e + y = a} e S = {(x, y, z)lx S = {(x, y, z)lx 2 + l a. b. S = {(x, y, z)lz = a}. S={(x,y,z)!x=y=O}. S c. d. = {(x, y, z)lx + y = O}. = a}. 5t, t E IR}. S={(x,y,z)lx+y+z=O}. S = {ex, y, z)!3x - Sy + 9z e. f. S = {(x, y, z)lx = 2t, y = t, Z = g. S = {(x, y, z)lx = 2y = 3z}. h. i. S = {(x, y, z)lx = s, y = Ss, z S = {(x, y, z)lx = y}. = 0, s E IR}. 19. Explique por qu cada uno de los siguientes conjuntos de vectores de IR} no pueden consttur una base de este espacio. a. {(l,2,1),(2,5,4)}. b. {el, -1,3),(0,a,0),(2,3,6)}. 16 Captulo l Introduccin al espacio ]R" y al lgebra lineal c. d. {(2, S, 4), (l, 3, 2), (2, 6, 4)}. {(l, 1,5), (l, 1, S), (3, 2, 2)}. {(3, 2, 1), (2, 5, 5), (3, 4, 2), (2, 2, 7)}. {(2, 4, 8)}. e. f. g. h. {(3, 4, 3), (l, 1,1), (2, 2, 2)}. {(l, 1,3), (2, 6, 4), (5, 3, 5), (3, 2,1), (2, 3, 7)}. 20. Verifique que todo vector de IR2 se puede escribir como una combinacin lineal de los vectores VI = (l, 3), V2 = (3,7), V3 = (-3,5). Significa esto que el conjunto {VI, V2, V3} es una base de IR2? ' 21. Verifique que los siguientes conjuntos constituyen bases de los espacios correspondientes. a. {( 1, 2), (3, 1)} de IR 2 . {(l,1),(9,11)}deIR2. b. c. d. {(1, 1, 1), (O, 5, 2), (O, 0, 19)} de IR 3. {(l, -1, -1), (2,3,1), (2, 7, 3)} de IR3. e. f. {(l,O,O,O),(1, 1,0,0),(1, 1, 1,0),0, 1, 1, l)}deIR4 . {(2, 3,4,2,3), (O, 2, 4, 3, 5), (0,0, 1,0, O), (O, 0, 0, 4, 2), (0,0,0,0, 3)} de IRs. 22. Demuestre que el conjunto [3 = {(a, b), (c, d)} es una base de IR 2 si y slo si ad - be =/= O. 23. Verifique que [3 = {(l, 1, 1), (1,1, O), (l, 0, O)} es llna base del espacio IR 3. Escriba el vector (x, y, z) en trminos de esta base. 24. Demuestre la afirmacin recproca del teorema U.2. Es decir, demuestre que si el conjunto [3 = {VI, V2,"" vn} de n vectores en IR" es tal que cada vector v E IR" se escribe de manera nica como combinacin lineal de los vectores de [3, entonces [3 es una base de IR". (Sugerencia: la expresin CI V + C2V2 + ... + en Vn = () es una manera de escribir el vector 1) E ]R". Otra manera es la uivial 0= Ov +OV2 + ... +Ovn . Obtenga de aqu la independencia lineal de f3 . .. ). Concluya entonces que las dos afirmaciones siguientes acerca del conjunto f3 son equivalentes: a. b. f3 es una base de jR" (es decir, f3 es un conjunto linealmente independiente). todo vector v E IR" se escribe de manera nica como combinacin lineal de los vectores de f3. 25. Considere los vectores VI = (Xl, y), '112 = (X2, Y2) en jR2. Defina el producto de VI por '112, denotado por '111'112, coordenada a coordenada (como se hizo con la suma). Es decir, defina V1V2 = (XI Y, X2Y2). Observe que VI '112 es \,In nuevo vector de R 2. Demuestre que: a. b. c. d. e. el producto es conmutativo. Es decir, VIV2 = V2V' "1'111, '112 E jR2. el producto es asociativo. Es decir, VI (V2 V = (VV2)V3, \1"11, V2, '113 E ]R2. 3) existe un neutro para el producto 1 E jR2, tal que vI v, \Iv E IR2. = el producto es distributivo. Es decir, V(V2 + "3) = VIV2 + '111'113, \lv, '112, '113 E R? (con la suma definida en esta seccin). Si v = (a, b) es un vector cualquiera de ]R2, entonces v = vi + vj, en donde i j = (O. 1). = O, O), 1.2 Producto punto. Proyecciones 17 f. Existe un vector inverso multiplicativo asociado a todo vector no nulo (es decir, distinto del vector (O, O)) v E IR z? Es decir, dado v E JRz no nulo, existe y-I E JRz tal que y-I v = 1 (el vector neutro multiplicativo de JRz del inciso c))? Vale la ley de la cancelacin para este producto definido en JRz? Es decir, es cierto que si YIYZ = YIV3 y VI es distinto de (el vector) cero. entonces Vz = V3? g. 1.2 Producto punto. Proyecciones En el espacio JR" podemos definir un tipo de producto entre sus elementos (los vectores del espacio) con el cual este espacio se llena de una gran riqueza geomtrica que nos permite adentrarnos ms en la "esencia" misma de la naturaleza de l. Este producto es el conocido "producto punto", el cual no es ms que un tipo de "producto interno" que se puede definir en un espacio vectorial en general. El produeto punto en JR" es una funcin -: IR" x JR" -+ JR que a cada par de vectores x y E JR" le asocia un nmero real x . y (llamado tambin "producto punto de x, y"; se usa tambin la notacin (x. y)) dado por x .y = XI YI + xzYz + ... + XIlY" en el que x = (XI, X2,"" x ll ), Y = (YI. Yz ... , YIl)' En el teorema siguiente se recogen las propiedades ms importantes del producto punto. Teorema 1.2J. propiedades: El 'producto punto x . y de dos vectores x, y E JR" tiene las siguientes 1. 2. x .x X 2': 0, x . x y = Y' x = O {:} x = O E JR 3. 4. (x + Xl) . Y = x . y + x' . y (ex) . y = e(x . y), e Demostracin. Se trata de verificaciones de simple rutina. Hacemos las cuentas correspondientes a las propiedades (3) y (4) (simultneamente) y dejamos que el lector haga las de las propiedades (1) Y(2). Si x = (Xl. Xz ... x,,), x' = (x~, x~, ... , x~), y = (YI, Yz .... YIl) son tres vectores cualesquiera de lR" y e E IR., se tiene (e" + x') y = (ex + X~)YI + (exz + x~)yz + ... + (cx + x~)y" =C(XIY + X2Y2 + .,. + X"YIl) + (x;y + X~Y2 + ... + x:,y,,) = c(x . y) + x' . y ll Q.E.D El teorema anterior nos dice que el producto punto es una funcin definida positiva (propiedad 1), simtrica (propiedad 2), y lineal respecto de su primera variable (propiedades 3 y 4). Juntando este ltimo hecho, con la simetra del producto punto, concluimos que ste es lineal tambin respecto de su segunda variable, le modo que es entonces una funcin bilineal. Esta propiedad de bilinealidad se usa frecuentemente en la forma 18 Captulo 1 Introduccin al espacio IR" y al lgebra lineal donde U;, Vj son vectores de]R" y e, d j son escalares. En el siguiente teorema se establece una de las desigualdades ms clebres de la matemtica, en su versin para vectores en el espacio ]R/. Teorema 1.2.2 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) en ;;(". Entonces (x . y)2 S (x . x)(y . y) Sean x, y dos vectores cualesquiera Demostracin. Si x = O, ambos miembros de la desigualdad son iguales a cero (y entonces en este caso es cierta la desigualdad). Sea entonces x :f O. Considere el vector ti = Y + ex, donde e es un nmero real fijo, pero arbitrario. Consideremos el producto punto de u con u y apliquemos las propiedades del teorema 1.2.1, para obtener que o :<:: (y + ex) . (y + ex) = (y . y) + 2(x . y)e + (x . x)e 2 La funcin f;(c) = (x x)e 2 + 2(x . y)e + (y . y) es una funcin cuadrtica que geomtricamente representa una parbola que abre hacia arriba (ya que x . x es positivo), y, puesto que ~f(e) 2: O para toda c, no debe cortar al eje de las c. Es decir, el discriminante de la ecuacin cuadrtica (y. y) + 2(x . y)e + (x . x)c 2 = O debe ser no positivo (i.e. debe ser o negativo -caso en el que la parbola no toca al eje de abscisas--, o cero -caso en el que la parbola toca al eje de abscisas). Entonces . y) :<:: O o sea (x . y)2 S; (x x)(y . y) como se quera demostrar. Q.E.D. Haciendo explcitos los productos punto involucrados en la desigualdad de Cauchy-Schwafz, sta se convierte en una desigualdad de nmeros: si XI, X2, ... , XIl , YI, Y2, ... , y" son nmeros arbitrarios, entonces Para motivar la definicin que daremos de "ortogonalidad" de vectores en ]R", estudiemos cmo aparece el hecho de que dos vectores en ]R2 sean perpendiculares. Consideremos los vectores x = (XI. X2), Y = (YI,Y2) en ]R2 y supongamos que son perpendiculares, como se muestra en la siguiente figura La recta en la que se encuentra el vector x tiene pendiente X2/XI, Yla que contiene el vector y tiene pendiente y2/ YI Estas rectas son perpendiculares si y sJt? si el producto de sus pendientes es igual a - l. Es decir. los vcctores x y y sern perpendiculares si y slo si (~)(~)=-'l 1.2 Producto punto. Proyecciones 19 y x Figura 1. Dos vectores perpendiculares en el plano. o sea XIYI + X2Y2 =O El lado izquierdo de esta ltima expresin no es mas que el producto punto de x y y. Podemos decir entonces que, en el plano lR 2 , la perpendicularidad de vectores es equivalente al hecho de que su product0 punto sea cero. Esta situacin concreta motiva a establecer la siguiente definicin, que generaliza la idea de perpendicularidad de vectores en l plano. Definicin. Se dice que los vectores x, y E lR n son ortogonales si x . y = O. Segn esta definicin, el vector O E lR" es ortogonal a cualquier vector x E JRn, pues es claro que O. Y = O\:Iy E JRn. Ms an, es el vector cero el nico vector de lR" con esta propiedad (en efecto: si x E JR" es tal que x . y = O\:Iy E JRn, entonces, en particular se tiene x . x O, por lo que, atendiendo a la primera propiedad del producto punto enunciada en el teorema 1.2.1, se concluye que x es el vector cero). (l, -1). El vector v = (x, y) ser ortogonal a ti si y slo siu . v = (1 )(x) + (- i )(y) = x - y = O. Observe que el conjunto de todos los vectores v con esta propiedad constituyen geomtricamente la' recta y = x. Ms en general, si ti = (m, -1), donde m es un Ejemplo 1. Sea ti = nmero real dado, los vectores v = (x, y) ortogonales a u son tales que u . v = mx _. y = O. Estos vectores representan geomtricamente la recta y = mx, la cual es una recta de pendiente m. As pues, podemos decir que la recta y = mx es el conjunto de todos los vectores en el plano ortogonales '11 vector (m, -1). Generalmente, la recta y = mx + b, de pendiente m y ordenada al origen b, se puede describir como el conjunto de puntos (x, y) en el plano que se escriben como (O, b) + (r, mt), con t = x E lR, como se puede comprobar directamente. Esto significa que los vectores (x, y) de la recta y = mx + b son vectores suma del vector constante (O, b) con vectores del tipo (r, mt) que son ortogonales a (m, - i) (es decir, estos vectores (r, mt) pertenecen a la recta y = mx). Ejemplo 2. Dado el vector no nulo u = (a. b, e) E lR 3, el conjunto de vectores v E JR3 ortogonales a u est fonnado por los vectores v = (x, y, z) de modo que u . v = ax + by + ez = O. La ecuacin ax + by + ez = O representa geomtricamente un plano que pasa por el origen. Este hecho ser discutido con ms amplitud en la seccin 6 de este captulo. Ii! Un conjunto de vectores V, '1'2, son ortogonales. Es decir, si Vi' Vj ... , Vk = O, para todo i i- en ]Rn se dice ser ortogonal si tomados dos a dos, stos j, i, j = 1,2, ... , n. 20 Captulo 1 Introduccin al espacio ]R." y al lgebra lineal y ----~::.-._+_--L---~_3>x Figura 2. La recta y = mx + b. Ejemplo 3. El conjunto {( -2,4), (6, 3)} es un conjunto ortogonal en lR 2 , pues los dos nicos vectores que lo constituyen son ortogonales: (-2,4) (6, 3) = (-2)(6) + (4)(3) = O. Obsrvese que este conjunto ya "no acepta" otro vector no nulo (x, y); ms precisamente, el conjunto {(- 2,4), (6, 3), (x, y)} es ortogonal si slo si (x, y) es el vector O. En efecto, siendo (x, y) ortogonal a (-2,4) Ya (6, 3) se debe tener que -2x + 4y = O, 4x + 3y= 0, que es un sistema homogneo de ecuaciones lineales que slo tiene la solucin x = y = O. . 11 Ejemplo 4. en lR 3 , pues El conjunto A = {( -1, 1, 1), (2, 1, 1), (O, -1, 1)} es un conjunto ortogonal de vectores (-1, 1,1) . (2,1, 1) = -2 (-1,1,1)(0, + 1+ 1= O 1,1)=0-1+1=0 (2, 1, 1) . (O, -1, 1) = O -- 1 + 1 = O Se puede ver tambin que si (x, y, z) es un vector que unido a A produce un conjunto ortogonal, entonces ste es el vector cero. Esto es consecuencia de que el sistema homogneo -x + y +z= 0, 2x + y+ z = 0, -y + z = O tiene solamente la solucin trivial x = y = z = O. Los dos ejemplos anteriores nos hacen suponer que, en general, en el espacio lR" n se pueden tener conjuntos ortogonales de vectores no nulos con ms de n vectores. Esto es cierto y es consecuencia del siguiente resultado. . Teorema 1.2.3 Sea A = {VI, "2, ... , "k} un conjunto de k vectores no nulos en lRn . Si este conjunto es ortogonal, entonces es tambin linealmente independiente (y entonces necesariamente k :::; n). Demostracin. Debemos mostrar que de la combinacin lineal se deduce que el = C2 = ... Ck = O. Se tiene 1,2 Producto punto, Proyecciones 21 donde se us la linealidad del producto punto y el hecho de que Vj . v = O para toda j distinta de i. Puesto que v . v 0, concluimos que c = O, lo cual es cierto para cualquier i = 1, 2, ... , k, como queramos. Q.E.D. t= Entonces, si {v 1, V2, ... , VII} es un conjunto ortogonal de vectores no nulos en ]Ftll, ste es linealmente independiente (y es, por tanto, una base del espacio). Si v = XlVI + X2V2 + ... + XliV" es otro vector tal que {VI, V2, , V," V} sigue siendo un conjunto ortogonal, entonces, en particular VV = Opara toda i = 1,2, ,n. EsdecirqueO = VV = V'(XIV +X2V2+" +x"Y,,) = x(v,v), de donde X = O (pues V . V O, por qu?). As pues, el vector y es el vector cero. Pasaremos ahora a discutir el importante concepto de proyeccin de un vector sobre otro. Sean x, y dos vectores en ]Ft" (para la discusin que presentamos a continuacin, requerimos que x no sea ortogonal al vector y). Tomemos la proyeccin ortogonal del vector y sobre el vector x como se muestra en la figura siguiente. Denotemos por u a este vector proyeccin (usaremos tambin la notacin PRy~x). t= y I 3. =- x La proyeccin ortogonal del vector y sobre el vector x, Es claro que el vector u es un mltiplo escalar del vector x. Es decir, existe A E ]Ft tal que ti = AX. Observe adems que el vector v = y - ti es un vector ortogonal a x. Entonces (y - u) ,x = O, o bien (y - Ax) . x = 0, de donde, usando las propiedades de linealidad del producto punto, obtenemos que yx xx y as, la proyeccin ortogonal de y sobre x es el vector yx PRy->x = --x x-x Ejemplo 5. Si los vectores x y y son ortogonales, geomtricamente es claro que PRy->x y PRx~y son iguales a (al vector) cero, lo cual se puede ver tambin de la frmula para la proyeccin ortogonal, pues x . y = O. Tambin, si x = (x, X2, ... , XII) es un vector cualquiera de]Ftlly c es el i-simo vector de la base cannica de ]Ftll, entonces, puesto que x . e = Xi y. ei . ei = 1, se tiene PRx~e; = --' c = ti' x e ei Xti como era de esperarse. 22 Captulo 1 Introduccin al espacio ]R" y al lgebra lineal x ~-------+--------- ~------- .. ti xc ti Figura 4. La proyeccin de x sobre es xei. Ejemplo 6. Consideremos los vectores x = (6, 2), Y = (1,5) en ]R2. Se tiene PRy~x = -..-x = xX _ PR x~y - + (2)2 x = -x 5' Y . x _ (6)( 1) + (2)(5) _ ~ y .l- (l)2 + (5)2 y - 13 Y (6)2 y .x (6)(1) + (2)(5) 2 lo cual se ve geomtricamente como y (6,2) ---I"'::.-..---------_x Figura 5. Los vectores del ejemplo 6. Ejercicios (Captulo 1, Seccin 2) 1. Demuestre que 'Ji. O = O \Ix E ]R". 2. En este ejercicio se da un argumento distinto al del texto que prueba la validez de la desigualdad de Cauchy-Schwarz: (x y)2 ::; (x . x)(y . y). Sean x, y dos vectores de ]R". Si Y = O, verifique 1.2 Producto punto. Proyecciones 23 que se cumple automticamente la desigualdad de Cauchy-Schwarz (de hecho, se cumple la Haga el producto punto de igualdad). Si y =F O. considere el vector l.J. = X - ay, donde a = u consigo mismo y obtenga de ah la desigualdad de Cauchy-Schwarz (usando que l.J. l.J. ~ O). Use adems el hecho de que u . l.J. = u = O, para concluir que la igualdad en la desigualdad de Cauchy-Schwarz se tiene si y slo si los vectores x, y son linealmente dependientes. q. {:} 3. Qu es el producto punto de dos vectores en ]R.!? Cmo se ve la desigualdad de CauchySchwarz para vectores en ]R.!? En qu casos se tiene la igualdad en esta desigualdad para vectores en ]R.!? (recuerde: el valor absoluto del producto de dos nmeros reales es igual al producto de los valoresbsolutos de los nmeros). Explique. 4. Verifique la desigualdad~deCauchy-Schwarz con los vectores x = (1, l),y = (3,2) b. x = (2. l. 1), Y = (1,0, O) c. x = (3,0,1), Y = (O, O. 3) d. x = (1, 1, 1), Y = (2,2,2) e. x = (1,2.0,2,1), Y = (3, 1, 1,0,2) a. 5. Sea v un vector de ]R.". Demuestre que el conjunto S de vectores x E ]R." ortogonales a v, es decir S = {x E ]R." Ix . v = O} es un subespacio de ]R." . 6. Describa los vectores (x, y) E ]R.2 que son ortogonales al vector (3. -1). Verifique que stos son los puntos de una recta que pasa por el origen. 7. Describa los vectores (x, y, z) E ]R.3 que son ortogonales al vector (- 2. l, 4). Verifique que ste es un subespacio de ]R.3 del tipo S = {(x, y, z)lax + by + ez = O} Ms en general, demuestre que todo subespacio S de ]R.3 como el anterior, es descrito como S = {u E JR3u. V = O} para algn v E ]R.3. 8. Escriba de manera vectorial cada una de las rectas dadas a continuacin. Es decir, como un conjunto de vectores (x. y) E ]R.2 tales que (x. y) = (O. b) + t(l. 111), t E IR., haciendo una grfica en cada caso (ver ejemplo 1) = 2x b. y = x + l' a. c. y y = -2x +3 + t(1, 2), tE JR} d. Y = -x - 1 9. Considere la recta f = {(x, y)l(x, y) = (0,3) Verifique que (2.7) E . Significa esto que el vector (2, 7) se encuentra sobre la recta e? Explique. 10. a. b. c. d. Halle un vector (x, y) E ]R.2 que sea ortogonal a (l. 2). Halle un vector (x, y) E ]R.2 que sea ortogonal a (1.2) Ya (- 3, -6). Halle un vector (x, y) E JR2 que sea ortogonal a (l. 2), (-3. -6) Ya (2, 4). Halle un vector (x. y) E JR2 que sea ortogonal a (1, 2) Y (3, 5). 24 Captulo l Introduccin al espacio JR" y al lgebra lineal 11. Sean VI y Vz dos vectores en IR z linealmente independientes. Demuestre que el nico vector de IR z ortogonal a VI ya Vz es el vector O. Ocurre lo mismo si los vectores no son linealmente independientes? 12. a. b. Halle un vector (x, y, z) E IR' que sea ortogonal a (3,1,1). Halle un vector (x, y, z) E IR' que sea ortogonal a (3, 1, 1) Ya (6, 2, 2) Halle un vector (x, y, z) E IR' que sea ortogonal a (3, 1, 1) y a (2, 1, 5). Halle un vector (x, y, z) E IR' que sea ortogonal a (3, 1, 1), (2, 1, 5) Ya (1, 0, O) c. d. 13. Es cierta la afirmacin del ejercicio 11 para vectores en el espacio IR'? 14. Sean VI, vz, V, tres vectores en IR' linealmente independientes . Demuestre que el nico vector de IR' ortogonal a VI, Vz y V, es el vector O Ocurre lo mismo si los vectores no son linealmente independientes? 15. Sea f3 = {V 1, vz,. ,vn} una base de IRn.. Demuestre que el nico vector v E IRn ortogonal a todos y cada uno de los vectores de f3 es el vector O. 16. Del teorema 12.3 se dedujo que todo conjunto ortogonal de n vectores no nulos en IRn es una base de este espacio. Es cierta la afirmacin recproca? 17. Sea {VI, Vz, ,vd un conjunto ortogonal de k vectores en IRn . Demuestre que si k entonces alguno de los vectores de este conjunto es el vector O. > n, 18. Cierto o falso? Todo conjunto de vectores que contenga al vector Oes ortogonal. 19. Cierto o falso? Un conjunto con un solo vector no puede ser ortogonaL 20. Considere el cuadriltero cuyos vrtices son A = (1, -2,2), B = (1,4, O), D = (-5, -5,3). Demuestre que las diagonales AC y BD son ortogonales . e ( -4,1,1), 21. Verifique que los siguientes conjuntos de vectores son conjuntos ortogonales a. b. c. d. {(3,1),(2,-6)} {(a, O), (O, b)} en donde a y b son nmeros dados . {(l, O, O), (0,1, O), (O, 0, I)} {(4, -1, O), (2, 3, --5), (-8, 7, I)} {(2, O, 1,3),(-2,4, 1, 1),(-3, -2, O, 2)} e. 22. Demostrar que los puntos A rectngulo. = (1, 1), B = (2,3) YC = (5, -1) son los vrtices de un tringulo 23. En cada uno de los incisos siguientes, encuentre el vector u = PRy~x, proyeccin del vector y sobre el vector x. Verifique en cada caso que el vector obtenido es ortogonal a y-u. a. b. x = (2,5), Y = (3,4) x = (1, O), Y = (4,5) x=(4,2),y=(2,1) c. d. x x e. = (2, 1, O), Y = (1, 0,1) = (1, 1, 1,2), Y = (0,2, O, 3) 24. Sea V el vector de IR' cuyo punto inicial est en (1,3,7) Y cuyo punto final est en (4,5,7) Hallar la proyeccin del vector (1, 2, 1) sobre v. 1J Norma y distancia 25 25. Use el concepto de proyeccin de un vector sobre otro para calcular el rea del tringulo cuyos vrtices son: a. b. A c. d. = (O, O), B = (5, 3), e = (7, 8) A = (O, O), B = (9, 1), e = (5,4) A = (-2, -3), B = (3,2), e = (-1,5) A = (1,3,2), B = (2,5,3), e = (-2,0, O) 26. Sean x, y dos vectores en]Rn y '-x, -y sus inversos aditivos, Demuestre que a. b. PR y --+- x = PR y --+ x PR_ y --+ x = - PRy --+ x Verifique este resultado con los vectores x = (2,5), Y = (-1,3). 27. Sean v, Uh U2,' " Uko k + 1 vectores en]Rn Si u = UI + U2 + ' ,. + Uk' Demuestre que Verifique este resultado con los vectores UI = (1, 1), U2 = (3, -2), v = (2, 3). 28. Sean u y v dos vectores en ]Rn y e un nmero real. Demuestre que Verifique este resultado con u = (2, i, - i), v = (3,5, 1), e = 2. 1.3 Norma y distancia Con la ayuda del producto punto estudiado en la seccin anterior, y con el cual ya tenemos en ]Rn el concepto geomtrico de ortogonalidad de vectores, es posible introducir una nocin de "tamao de un vector" y de "distancia entre dos vectores" (o distancia entre dos puntos en ]Rn) Definimos la norma (de modo ms preciso, la norma euclidiana) de un vector x E ]Rn, denotada por IIxll, como IIx11 = vx:x (segn la primera propiedad del producto punto de vectores, esta definicin hace perfecto sentido, pues lo que est dentro de la raz cuadrada es siempre un nmero no negativo), En concreto, si x = (XI, X2,' . , x n ), se tiene IIxll = Jx~ + x~ + + x; Diremos que el vector x es unitario si Ilxll = 1 Obsrvese que los vectores de la base cannica de ]Rn son unitarios, pues Ile;!1 = J(0)2 + . " + (1)2 + ".., + (0)2 = 1, i = 1,2, ... , n Viendo los casos de vectores en ]R2 y ]R3, debe ser claro que esta nocin de norma de un vector, que ha sido definida en general en el espacio ]Rn, nos da una medida del "tamao" del vector. En efecto, 26 Captulo 1 Introduccin al espacio iR n y al lgebra lineal si v = (x, y) E ]R2, se tiene Ilvll = Jx 2 + y2, que no es ms que la distancia del punto (x, y) al origen (ie es justamente el tamao del vector v) . Una situacin anloga se puede ver en el espacio ]R3 En la seccin anterior obtuvimos la desigualdad de Cauchy-Schwarz (x y)2::; (x x)(y y) Si tomamos raz cuadrada en ambos miembros de esta desigualdad, nos queda que podemos escribir, usando el coricepto de norma como !xYI::; Ilxllllyll Esta "versin" de la desigualdad de Cauchy-Schwarz es la que usaremos cuando se requiera . En el teorema siguiente se recogen las principales propiedades de la norma de un vector en ]Rn Teorema 1.3.1 Sean x, y vectores de ]Rn, y e un nmero real Se tiene a. Ilxll 2: O, IIxll = O {:} x = O b. IIcxll = Iclllxll c. Ilx + yll ::; Ilxll + Ilyll (desigualdad triangular) Demostracin. El hecho de que IIxll 2: O es inmediato de la definicin. Tambin, el hecho que Ilxll = O, equivale a que x x = O, lo cual a su vez equivale (segn la primera propiedad del producto punto) a que x = O. La propiedad b) se obtiene madi ante operaciones sencillas: Para ver la validez de la propiedad c), escribimos Ilx + yl12 = (x + y) . (x + y) = X definicin) ( ele norma bilinealidad del) ( producto punto definicin de ) ( norma, a :S lal desigualdad de) ( Cauchy-Schwarz x + 2(x y) + y .y ::; IIxl12 + 21x . yl + IIyl12 ::; IIxl1 2+ 211xllllyll + IIyl12 = (11xll + Ilylj)2 de donde se obtiene la desigualdad procurada (tomando raz cuadrada en ambos miembros de la desigualdad obtenida) Q ED. La propiedad c) del teorema anterior describe un hecho geomtrico bien conocido: en un tringulo cualquiera, la longitud de uno de sus lados no puede exceder a la suma de las longitudes de los otros dos lados Es por eso que el resultado es conocido como desigualdad triangular. La siguiente figura aclara esta situacin. 1.3 Norma y distancia 27 Ilx + yll :::; IIxll + Ilyll Figura 1. La desigualdad triangular. Ejemplo 1. Verifiquemos la desigualdad triangular con los vectores x (5, -3, O, 1). Se tiene que x + y = (6, -5, 3, 3), de modo que 11" 11't. T1 (1, -2,3,2), Y "11 = J 11(6 J -', 11' ._e;, ':t 3)1'1 = ,;;:: V 1"1 Por otra parte Ilxll = 11(1, -2,3,2)11 Se tiene efectivamente que = v8 Ilyll = 11(5, -3,0,1)11 = V:3S J79 = + yll :::; Ilxll + Ilyll = v8 + V:3S Con la ayuda del concepto de norma (y lo estudiado en la seccin anterior), podernos introducir fcilmente el concepto de ngulo entre dos vectores en ]Rll. En el caso de dos vectores en ]R2, es fcil obtener una expresin para el ngulo que forman. En efecto, sean x, y E ]R2 dos vectores no nulos. De la figura 3 es inmediato que el ngulo 8 que forman x y y es tal que cos 8 11 PRy->x II Ilyll N Ixyl lIyll Ix yl Ilxllllyll La frmula anterior tiene sentido si nuestros vectores x, y son vectores cualesquiera no nulos del espacio ]R". De hecho, se define el ngulo entre los vectores (no nulos) x, y E ]Rll como el ngulo 8, O :::; fJ :::; Tr, dado por fJ = arccos~ Obsrvese que si los vectores x, y son ortogonales, entonces el ngulo que forman entre ellos es fJ = arceas O = Tr /2, como era de esperarse. Hemos quitado el valor absoluto en el escalar x . y de la expresin obtenida para fJ de la figura 2. Esto lo hacemos para dejar la posibilidad de ngulos obtusos entre los vectores x y y. De hecho, es claro que si x . y es negativo, el ngulo fJ ser obtuso; si x . y es positivo, el ngulo fJ ser agudo (y, como ya se dijo, si x . y = 0, el ngulo fJ es recto). xy 28 Captulo 1 Introducci6n al espacio lR" y al lgebra lineal x y Figura 2. El ngulo fJ entre los vectores x, y. Ntese tambin que en tlminos del ngulo e, se puede escribir el producto punto de los vectores x, y E ]Rn como x y= 1IIIyll cose Ms an, si calculamos directamente el cuadrado de la norma del vector diferencia x - y, obtenemos Ilx -- Yl12 = (x = y) . (x - y) = x . x - 2(x . y) +y .y 2+ IIYl12 - 211xllllyll cos () 11"11 la cual no es ms que la versin ( generalizada!) para vectores en ]Rn de la conocida "ley de los cosenos" que se estudia en los cursos de trigonometra elemental. y () x IIx - yl12 = IIxl1 2+ IIyl12 - 211xllllyll cos e Figura 3. La ley de los cosenos. 1.3 Norma y distancia 29 Ejemplo 2. El ngulo entre los vectores x = O. -2.3,2), Y = (3,4. 0.8) es e= X y arccos IIxllllyll = arccos /f8/89 11 = arccos 3v'I78 11 que aproximadamente es de 74 grados. Debemos mencionar que el concepto de norma es ms general que el presentado anteriormente: una norma en el espacio IR n es una funcin 11 11: IR" -; IR que a cada vector x E IRn le asocia el nmero realllxll(la norma de x) y que cumple con las tres propiedades establecidas en el teorema 1.3.1. La norma que presentamos aqu es la llamada "norma euclidiana" y con ella trabajaremos en este libro. Existen, sin embargo, otras normas importantes en IR" (digamos que otras maneras de medir el tamao de los vectores en IR"), por ejemplo (*) la norma del mximo II Ilmx: IR" -; IR dada por Ilxllmx (*) la norma de la suma II = mx(lxj. i = 1.2..... n) lis: IR" -; IR dada por donde x en ]R". = (XI, X2 ... x n ). Dejamos al lector que verifique que stas son efectivamente normas Estudiemos ahora el concepto de distancia entre dos vectores en IR". Recordemos que el vector diferencia x - y de x, y E ]R" es un vector que "conecta los puntos finales de las flechas que representan a x y y". La norma de este vector es entonces una medida de la distancia que separa a los puntos x y y en el espacio ]R". Esta es, de hecho, la definicin que daremos de distancia entre dos vectores en IR". Dados x. y E IRn, definimos la disrancia entre x y y, denotada por d(x, y), como d(x. y) Esquemticamente se tiene = - yll y /.~'qJ;,4 +- '\ 'J. ~ ;/ x Figura 4. Distancia entre x y y. 30 Captulo 1 Introduccin al espacio ]R;" y al lgebra lineal Haciendo explcitas las coordenadas de los vectores x y y, poniendo x (YI, Y2, ... , y,,) se tiene Nuevamente, los casos n = 2 Y n = 3, nos dan las conocidas frmulas de la "distancia entre dos puntos" en el plano y en el espacio, respectivamente, estudiadas en los cursos de goemetra analtica: la distancia entre el punto PI = (XI, YI) Y P2 = (X2, Y2) es Anlogamente, si PI = (XI, Yl, Zl), P2 = (X2, Y2, Z2) son dos puntos en IR 3 , la distancia entre ellos es El siguiente teorema recoge las propiedades ms importantes de la distancia entre dos puntos en IR" . Teorema 1.3.2 b. d(x, y) Sean x, y dos vectores cualesquiera en IR". Se tiene a. d(x, y) 2: 0, d(x, y) = O {=} x = y. =--= d(y, x) c. d(x, y) ::; d(x, z) + d(z, y), z un vector cualquiera de IR". Demostracin. El hecho de que d(x, y) sea un nmero no negativo, es consecuencia de la definicin misma y de la primera propiedad de la norma establecida en el teorema 1.3.1. Adems, por esta misma propiedad se tiene que d(x, y) = Ilx- yll = Osi y slo si x - y = O, o sea si y slo si x = y como se quera. Para ver]a segunda propiedad hacemos uso de la propiedad b) de la norma, quedndonos d(x, y) = jlx - yll = !I( - J)(y - x)11 = 1-- lllly - xii = Ily - xjl = d(y, x) Por ltimo, la propiedad c) no es ms que una versin un poco ms general de la desigualdad triangular ya demostrada en el teorema 1.3.1, pues. d(x, y) = Ilx - yll = lI(x - z) + (z - y)11 ::; 11" - zll + Ilz - yll = d(x, z) + d(z, y) Q.E.D Ejemplo 3. La distancia entre el vector x = (2, 3, 3, 4, 1) Yel vector y = (1, 1, 2, -1, 3) es d = 11(2,3,3,4,1) - (1,1,2, -1, 3)11 = 11(1,2,1, 5, -2)11 = J35 Para terminar esta seccin, hacemos nuevamente hincapi en que el concepto de distancia entre dos vectores de IR" es ms general (la misma situacin que ocurre con la norma) y que el que aqu presentamos es un caso particular de mtrica en este espacio (llamada mtrica o distancia euclidiana): 1.3 Norma y distancia 31 una mtrica en IFt" es una funcin d:'IFt" x IFt" . . . . IFt, que asocia a cada par de vectores x, y E IFt" un nmero real d(x. y) (llamado "distancia entre x y y") y que satisface las tres propiedades establecidas en el teorema anterior. Obsrvese que estas propiedades representan lo que cualquier concepto sensato de distancia entre dos puntos debera cumplir: la distancia entre dos puntos siempre es un nmero no negativo, y es cero en el caso (y slo en el caso) en que se est midiendo la distancia de un vector a l mismo; la distancia entre x y y es la misma que entre y y x; por ltimo, se pide que se cumpla la desigualdad triangular (para asegurar que se est midiendo adecuadamente distancias relativas entre tres puntos). Algunas otras mtricas en IFt" son: (*) La mtrica discreta d: IFt" x IFt" . . . . IFt, d(x. y) = I si x i y, d(x. y) = O si JI: = y. (Este es un ejemplo poco importante, pero interesante: nos permite entender que el concepto de mtrica establecido anteriormente ... es realmente muy general!). La mtrica d: IR" x IR" La mtrica d: IFt" x IR" (*) (*) IR, d(x. y) = max(lx - Yil, i = 1.2.. , .11). IR, d(x. y) = 2:".:;'=1 IXi - Yi l. en donde x = (XI. X2 ... x,,), y = (YI .)'2 ... , y,,). Dejamos a cargo del lector la verificacin de que los tres ejemplos anteriores son efectivamente mtricas en IR" . 1- Calcule la norma ele los siguientes vectores a. b. (4. O) d. (2. --3.4) e. f. (2,0,2) (-3, 1) c. (l, 2, 1) (1.3.2, O, 1) 2. Es la funcin norma 1I . 11: IR" ........ IR, que a cada vector x E IFt" le asocia su norma Ilx 11 E IR, una funcin inyectiva?, sobreyectiva? 3. a. b. c. Sean a y b dos nmeros reales no nulos. Demuestre que los cuatro vectores (a. b) E IR 2 tienen la misma norma. Interprete geomtricamente este hecho. Sean a, b y e tres nmeros reales no nulos. Demuestre que los 8 vectores (a, b. c) E IR 3 tienen la misma norma. Intereprete geomtricamente este hecho. Sean XI. X2 ... , x" n nmeros reales no nulos. X2, .... x,,) E IR" tienen la misma norma. Demuestre que los 2" vectores (XI, 4. Ques la norma de un vectorx en IR I? Cmo se ven las propiedades de la norma (teorema 1.3.1) en este caso? 5. Use la desigualdad de Cauchy-Schwarz para probar que si cualesquiera, entonces XI, X2, ... x" son nmeros reales JIi Xi I ~ 11" ,=1 W' Xi o 1=1 y que la igualdad se da si y slo si todos los Xi son iguales. 32 Captulo 1 Introduccin al espacio IR" y al lgebra lineal 6. Verifique la desigualdad triangular con los vectores a. b. x = (0,5), Y = (1,7) x = (2, 1, --2), Y = (3, 1, 2) c. x = (-2,0,2, 1), Y = (0,0,3,7) 7. Demuestre que la igualdad en la desigualdad triangular se tiene si y slo si uno de los vectores es un mltiplo no negativo del otro vector. 8. Sean x, y dos vectores en ]R.n. Demuestre que I Ilxll - Ilyill :':: il x - yll (Sugerencia: Ilxll = II(x-y)+yll:':: Ilx-yll+llyll,dedondeseobtienequellxll---llyll:':: Ilx-yll De la misma manera se obtiene que Ilyll - Ilxll :':: IIx - yll) 9. Existen vectores x, y E ]R.n tales que Ixll = 3, Ilyll y E ]R." tales que Ilxll = 3, Ilyll = 1, Ilx - yll = 57 = 1, IIx + Yi! = 5? Existen vectores x, 10. Sean x, y dos vectores ortogonales en]R.", tales que Ilxll 11. Sean x, y dos vectores en ]R." tales que Ilxll = 3, lIyll = 7. Calcule Ilx +yll, Ilx - JII - yll = 4, Ily!1 = 5, Ilx + = 7. Calcule 12. Sean x, 13. y dos vectores en ]R." tales que lIxll 11, lIyll = 23, Ilx -- = 30. Calcule IIx + Demuestre que si {x 1, X2, ... , xd es un conjunto ortogonal de vectores en ]R.", entonces II XI + X2 + ... + X!: '12 = 11 XI!'1 2 +,11 X2 11 2 + ... I . !Xk!! --t- 1 ,,2 I A este resultado se le conoce como 'Teorema de Pitgoras". Qu tiene que ver con el resultado del mismo nombre que se estudia en la matemtica elementaJ'! 14. Sean x, y dos vectores en ]R.". Demuestre que a. b. c. + yll > lix - yll -(x y) E ]R.+ si y slo si Ilx + < Ilx -- yll. x e y son ortogonales si y slo si + yll = Ilx X y E ]R.+ si y slo si Ilx yll. Discuta el contenido geomtrico de estos resultados. 15. Sean u y v dos vectores en]R.n tales que lIull = IIvil. Demuestre que los vectores son ortogonales. Vale la afirmacin recproca? 16. Calcule el ngulo entre los vectores del ejercicio 6. 17. Calcule el ngulo entre un vector v E ]R." no nulo y su inverso aditivo. ti +vy u - v 18. Los vectores u y v de JRn forman un ngulo de Tr/3. Suponiendo que Ilull = 3 Y Ilvll = 4, calcule: u . v; Ilu + vII; IIn - vii 19. Cada pareja de vectores d, v y w en]R." forma un ngulo de 17/3. Suponga que lIu 1I = 1, Ilv 1I Ilwll = 3. Calcule Ilu + v + wll = 2, 20. Sea {u, v} un conjunto ortogonal de vectores unitarios en ]R.n. Demuestre que el ngulo entre el vector u y el vector U + v es de 17/4. Discuta el contenido geomtrico de este resultado cuando n = 2. (Sugerencia: use el teorema de Pitgoras para calcular Ilu + vii). 1.3 Norma y distancia 33 21. Vale el resultado del ejercicio anterior si los vectores ti y V no son unitarios? 22. Sean u y v dos vectores en JRn. Demuestre que A este resultado se le conoce como "Ley del Paralelogramo". Justifique este nombre en base a su contenido geomtrico en el caso n = 2. Resuelva de nuevo los ejercicios 11 y 12 a la luz de este resultado. 23. Sean ti y v dos vectores no nulos en JRn tales que Ilull = 11'1'11 = Ilu - '1'11. Demuestre que el nguloentre u y v es de 7T/3. Cul es el ngulo entre u y u - v?, y entre v y u - v? Discuta el contenido geomtrico de este ejercicio en el caso n = 2. 24. Sean uy v dos vectores no nulos en JRn tales que Ilull = Ilu - '1'11. Demuestre que el ngulo entre los vectores ti y V es el mismo que el ngulo entre los vectores ti y ti - v. Discuta el contenido geomtrico de este ejercicio en el caso n = 2. 25. Considere las rectas !!] = {(x, y)l(x, y) = (O, b]) + t(l, m]), tE JR} 2 = {(x, y)j(x, y) = (O, b2) + t(l, m tE JR} (ver ejemplo 1 de la seccin anterior). Con los vectores VI = (l, m]) y '1'2 = (1, m2) que son paralelos a el y !!2 respectivamente, demuestre, partiendo de la frmula para el ngulo entre dos vectores, que el ngulo (O:::; 7T) entre!!] Y!!2 es e e : :; e= arctan -=-----'1 + m2m m2 m] 26. Sea u = (6, -8, -15/2). Determine el vector v E JR3 sabiendo que es linealmente dependiente con u, que 11'1'11 = 50, Yque el ngulo que forma v con la parte positiva del eje z es agudo. 27. Calcule la distancia entre cada par de los vectores siguientes a. b. x = (7, 1), Y = (3,5). x = (3,4, 1), Y =(2, 1, 1). c. x = (2, 1, 1, 1), y = (1,0,0,4). (1, 1), B = (4, 3) Ye 28. Demuestre que el tringulo cuyos vrtices son A Determine sus ngulos internos. = (1/2,5) es issceles. 29. Repita el ejercicio anterior con los puntos A = (1,2, 1), B = (3, -1, 7), 30. Demostrar que los puntos A = (2,2), B = (-1,6), vrtices de un cuadrado. e= (7,4, -2). (-2, -1) son los e = (-5,3) yD = 31. Sean x = (x], X2, ... , x n ), y = (y], y2, ... , Yn) dos vectores enlRn Demuestre que el punto p = ~(x + y) es un punto equidistante de x y y (es decir, d(x, p) = d(y, p)), el cual se encuentra "sobre el segmento que une a x con y" (para ver esto, ntese que los vectores ti = X - p, v = y - p, son linealmente dependientes). Se dice que p es el punto medio del segmento xy. Determine el punto medio del segmento -"'Y en cada uno de los siguientes casos. 34 Captulo I Introduccin al espacio JR" y al lgebra lineal a. b. X= (2,5), Y = (8, 15) x = (3, 6, 9), Y = (3, 3, -7) x = (1, 1, 1, 1), y = (3,3,3,3) c. 32. Los vrtices de un tringulo son A = (2,4), B de los puntos medios de sus lados. = (6,6) Y e = (3,7). Determinar las coordenadas 33. Los puntos medios de los lados de un tringulo son P = (2, -1), Q = (-1, 4) Y R = (-2,2). Determinar los vrtices del tringulo. 34. Determinar la longitud de la mediana del tringulo del ejercicio 32 trazada por el vrtice B. (Recuerde que la mediana por el vrtice V es la recta que va de V al punto medio del lado opuesto de V). 35. Use el concepto de proyeccin de un vector sobre otro para demostrar que la distancia del punto p = (xo, Yo) a la recta Ax + By + e = o viene dada por la frmula d = lAxo -JA2=t- BZ a. 3x - 4y + Byo + el 36. En cada uno de los incisos siguientes, calcule la distancia entre las dos ineas paralelas dadas: 37. + 5 = 0, 3x- 4y - 5 = b. x + y = 0, x + y = -3 c. 2x - y - 5 = O, 4x - 2y - 10 = O d. x + 4y - 2 = O, -2x - 8y + 7 = O Considere la recta Ax + By - bB = 0, en donde b es la ordenada al origen. las rectas paralelas que se encuentran a d unidades de la recta dada son Ax VA2 + B 2d = O. Demuestre que + By - bB 38. Considere la recta Ax + By + e = 0, la cual dista r unidades del origen. Demuestre que la recta paralela a la recta dada, que dista tambin r unidades del origen (y que resulta ser simtrica respecto del origen de la recta dada), es Ax + By - e = o. 39. (Cubos de JRn). Sea {3 = {el, Cz, ... , en} la base cannca de JRn. Al conjunto e como e JRn definido e= {x E JR"lx = " L =l Ci, O ::; ::; 1, i = 1,2, ... , n} se le llama cubo unitario de n dimensiones en JR". A los vectores c se les llama lados del cubo e, y a los vectores dE JR" de la forma d = :Z~=I o::e, donde O::i = l, se les llama diagonales del cubo e (se identifica como la misma diagonal a los vectores d y -d). a. b. c. d. Dibuje un cubo unitario de una dimensin en JR. Dibuje un cubo unitario de dos dimensiones en JRz. Dibuje un cubo unitario de tres dimensiones en JR3. Demuestre que el cubo unitario e de n dimensiones en JR" tiene 2n -1 diagonales distintas, las cuales tienen todas la misma longitud. Cul es esa longitud? 1.3 Norma y distancia 35 e. Sea d una diagonal del cubo e (en ]Rn). Demuestre que si n es impar, no existen otras diagonales de e ortogonales a d, en tanto que si n es par, digamos n = 2k, el cubo e tiene ~ G) diagonales ortogonales a d. Demuestre que el ngulo que forma una diagonal d del cubo lados del cubo es igual a arccos(n-I/ 2 ). ]Rn f. e en ]Rn con cada uno de los g. Demuestre que la norma de la proyeccin ortogonal de un lado cualquiera del cubo e en sobre una diagonal cualquiera de e, es la n-sima parte de la longitud de la diagonal d. (*) 40. Considere las normas del mximo y de la suma Ilxllmx = mx(lx;i, i para un vector x = = 1, 2, ... , n) (Xl, X2, ... , x n ) E ]Rn. Demuestre que en donde Ilxll es la norma euclidiana de x. (*) 41. Sea "o E ]Rn y r > O. Se define la bola abierta (en ]Rn) con centro en Xo y radio r, denotada por B(xo, r), como el conjunto B(xo, r) = {x E]Rn ! Ilx - xoll < r} a. b. c. d. e. Cmo son las bolas abiertas en ]R? Describa las bolas abiertas B(2, 1) Y B( -3,2). Cmo son las bolas abiertas en JR2? Describa las bolas abiertasB2, 3), 1) Y B -3, -1), 1). Cmo son las bolas abiertas en B3, 5,4),2). ]R3? Describa las bolas abiertas BO, 0, O), 1) Y Suponga que en la definicin dada de bola abierta tomamos la norma del mximo. Describa geomtricamente la bola abierta en ]R2, Bxo, Yo), r). Suponga que en la definicin dada de bola abierta tomamos la norma de la suma. Describa geomtricamente la bola abierta en ]R3, Bxo, yo), r). (*) 42. Un conjunto A e JRn se dice ser acotado si existe un c > tal que Ilxll < c a. b. "ix. E A Demuestre que el conjunto A e ]Rn es acotado si y slo si existe una bola abierta en JRn, B(xo, r) tal que A e B(xo, r). Con la definicin dada anteriormente, diremos que el conjunto A es acotado segn la norma euclidiana. Si en tal definicin tomamos lo norma del mximo o la norma de la suma, diremos que el conjunto es acotado segn la norma del mximo o de la suma, respectivamente. Demuestre que son equivalentes: 1. el conjunto A 2. el conjunto A 3. el conjunto A e e e ]Rn es acotado segn la norma euclidiana, es acotado segn la norma del mximo, ]Rn es acotado segn la norma de la suma. ]Rn 36 Captulo I Introduccin al espacio ]R" y al lgebra lineal 1.4 Bases ortonornlales. Cambios de base Diremos que un conjunto de vectores '11, '12, ... , Vk en ]Ftn es un conjunto ortonormal si es un conjunto ortogonal (i.e. los vectores son dos a dos ortogonales) y todos los vectores son unitarios (i.e. su norma es 1). Diremos que una base f3 de ]Ft" es una base ortonormal si el conjunto de 11 vectores que la constituyen es un conjunto ortonormal. As pues, la base f3 = {v 1, '12, ... , 'In} de ]Ftll es una base ortonormal si si i =1= j si i = j El ejemplo por excelencia de base ortonormal en]Ft" es la base cannica de este espacio, cuyo i-simo vector es c = (O, ... , 1, ... , O) (el 1 en la i-sima coordenada). Es claro que los vectores e son ortogonales dos a dos y que su norma es 1. Dado un vector no nulo v E ]Ftn, diremos que el vector ti = (11'111)-] ves el vector v normalizado. Observe que este vector ti es unitario, pues Ejemplo 1. Consideremos el conjunto {v], V2} de vectores en ]Ft2 en donde VI = (-2,4), '12 = (6,3). Este es un conjunto ortogonal (ver ejemplo 3 de la seccin 2) y es por tanto una base de ]Ft2 (por qu?). Sin embargo, no es una base ortonormal, pues los vectores involucrados no son unitarios. Para tener una base ortonormal, podemos normalizar los vectores '11 y '12. (Es claro que la propiedad de ortogonalidad entre ellos no se pierde con su normalizacin, por qu?). As, los vectores UI Y U2 en donde UI = (11(---2,4)\1)-1(-2,4) = (/fc))-1(-2,4) 112 = _1 ( r;;: = (11(6, 3)!J)- 1(6,3) = (v45)- 1(6,3) = ('21\) /S' 15 constituyen una base ortonormal de ]Ft2. Si f3 = {VI, '12 .... , 'In} es una base de ]Ftll, entonces cada vector V E ]Ftn se escribe de manera nica como combinacin lineal de los vectores de f3, digamos v = CI VI + C2V2 + .. , + CIl VII' Si la base f3 es ortonormal, los escalares C se pueden calcular fcilmente: tomando producto punto del vector v con el i-simo vector de la base f3 nos queda n V V = (CIVI + C2V2 + ... +- cnvll ) V = Cj(Vj' Vi) = C j=l Se tiene pues el siguiente resultado. Teorema 1.4.1 Si f3 = {v], '12 .... , "n} es una base ortonormal del espacio ]Ftn, cada vector v E ]Ftn se escribe en trminos de esta base como v = (v '11)'11 +- (v '12)'12 + ... +- (v vn)vn lA Bases ortonormales. Cambios de base 37 Ejemplo 2. En el ejemplo 1 se vio que la base f3 = {u l. U2} donde es una base ortonormal de ]R2. Escribamos el vector '1' = (1.7) en trminos de esta base. Se tiene '1' = (v u)u = \. = + (v U2)U2 (1 13 14) 2 7 V5 + V5 U + ( V5 + V5 ) U2 9 + --u? V5 - -U V5 11 Observe que si u E IR" es un vector unitario y '1' es un vector cualquiera de IR", la proyeccin de v sobre u es, segn se discuti en la seccin 2 PRv~u = - - u = -11 u = (v . u)u 2 v u V u u U ! 11" de modo que si {3 = {VI, '1'2 .. , VI!} es una base ortonormal de IR", la expresin de un vector '1' E IR" en trminos de esta base no es ms que la suma de sus proyecciones sobre cada uno de los vectores de la base, como se ilustra en la figura siguiente Figura 1. El vector v escrito en trminos de la base ortonormal f3 = {VI, "'2, ... , "'" }. Dada una base f3 = {v , '1'2 . v,,} del espacio IR" es siempre posible, a partir de ella, construir una base ortonormal f30n = {UI. 1.12 ... U,,} para este espacio. El proceso, conocido como proceso (de ortonormalizacin de bases) de Gram-Schmidt. se describe a continuacin: como vector 111 tome al vector '1'1 normalizado. Es decir, 1 UI=W VI 38 Captulo 1 Introduccin al espacio ]R" y al lgebra lineal Para construir el vector Uz, consideramos la proyeccin del vector Vz sobre el vector unitario u l. Segn lo discutido previamente esta proyeccin es (vz . u I )UI. Es claro entonces que el vector Vz (vz . U I)U I es un vector ortogonal a u l, Normalizndolo, obtenemos el segundo vector de la base ortonormal procurada. Es decir Podemos establecer este resultado considerando el vector w = Vz - aUI, tomando a de tal modo que w sea ortogonal a UI, es decir, imponiendo la condicin de que (vz au]) UI = O. De aqu se obtiene que a = '112 . UI, como antes. De manera anloga, para construr el vector U3, que debe ser ortogonal a u] y U2, consideramos el vector w = '113 - au - bU2, escogiendo a y b de modo que este vector sea ortogonal a UI Y U2. Es decir, calculamos a y b imponiendo las condiciones siguientes: (V3-au-bu2)'U ('113 - =0 au] - bU2) . U2 =O De la primera de ellas se obtiene que a = '113 . ", Yde la segunda b = '113 . Uz. Entonces, el vector w = '113 - ('113 . UI)UI - ('113' U2)UZ es ortogonal a UI Y Uz. Normalizndolo, obtenemos U3. Es decir Continuando de esta manera, llegamos a que los vectores de la base ortonorrnal un}, construida a partir de la base f3 = {v 1, Vz, ... , "n} dada, son de la forma U f30n = {u 1, Uz, .. -- (Vi' Ui-)Ui-I = -Vi --(Vi' 111)UI-- -(Vi' UZ)UZ- -... - - - - - - c : - ------- IIVi - (Vi' UI . UZ)UZ - ... - (v . U_I )Ui- J 1I i = 1,2, ... , n. Ejemplo 3. Consideremos la base f3 = {(2, 1, 2), (3, O, 4), (O, 1, I)} de IR3. A partir de ella obtengamos una base ortonormal, usando el proceso de Gram-Schmidt presentado previamente. Llamando Vi a los vectores de la base f3 y Ui, i = 1, 2, 3 a los de la base ortonormal procurada, tenemos que UI =W U2, 1 V = 1 I 11(2, -1,2)11 (2, -1,2) = 3'(2, -1,2) Para determinar el vector hagamos primero los clculos siguientes =(3,0,4)- V2-(VZ'U)U ((3,O,4).~(2,-1,2))~(2,-1,2) 14 1 9(2, -1,2) = 9(-1,14,8) = (3,0,4) Normalizando este vector obtenemos Uz Uz = I Mf1(-I,14,8) v261 lA Bases ortonormales. Cambios de base 39 Finalmente, para determinar U3 hacemos la siguiente operacin 1 22 22 V3-(V3'U)U-(V3'U2)U2=(0 11)- ( -1) -(2 -1 2)- ( - - ) --(-1148) " 33" J26T J26T ' , =(0 11)- -(2 -12)- -(-1148)= -(-4 -23) " 9" 261 " 29 ' ,. 1221 Normalizando este vector, obtenemos U3 U3= ;::;n(-4,-2,3) v29 1 As, una base ortonormal de J!.t3 es f30n 1 1 1 = { -(2, -1, 2), ;:;-z;-( -1, 14,8), ;::;n ( -4, -2, 3) } v261 v29 3 Si quisiramos escribir el vector v = (3, 1,5) como combinacin lineal de los vectores de esta base, segn lo establecido en el teorema 1.4.1, se tendra lo siguiente v = (v u)u -+ (v 'l.b)U2 - + (v U3)U3 = 5u + 51 v261 ;:;-z;-lb + I ;::;nU3 v29 Consideremos ahora el problema de cambio de bases ortonormales en el espacio J!.tn, Por razones de simplicidad, vamos a estudiar de cerca solamente el caso n = 3, El caso general se copiar de ste "poniendo ms coordenadas", Tomemos entonces dos bases ortonormales de J!.t3, digamos f3 = {VI, V2, V3} Y f32 = {u, U2, U3}' Cada vector v en se puede escribir como combinacin de cada una de estas bases de la siguiente manera v = CV + C2V2 -+ C3V3 v = du -+ d2U2 -+ d3U3 en donde sabemos que C = v' Vi, di = V' U, i = 1,2,3. Ciertamente tambin cada vector de la base f32 se puede escribir en trminos de los vectores de la base f3, digamos que U =alv -+a2lV2-+a3V3 U2 = a2V + anV2 -+ a32 v 3 U3 = al3v -+ a23 V2 -+ a33 V3 donde de hecho sabemos que aj = Ui ' Vj, i, j = 1,2,3, Escribiendo estas expresiones en la que expresa a v en trminos de la base f32 nos queda v = du -+d2U2 -+d3U3 d(alv = (ad + a2v2 -+ a3v3) + d2(a2v + anV2 + a32v3) -+ d3(al3v -+ a23V2 -+ a33v3) + a2d2 + a3d3)v + (a2d + and2 -+ a23d3)v2 + (a3d + a32d2 -+ a33d3)v3 40 Captulo I Introduccin al espacio l~" y al lgebra lineal Apoyados en la unicidad de la representacin del vector v en trminos de la base f3, concluimos que c C2 C3 = a11d + al2ch + 013d3 = a21 d + 022d2 + a23d3 = a3d + a32d2 + a33d3 Podemos escibir matricialmente estas expresiones como A la matriz 3 x 1 de elementos c (d), se le llama "matriz de coordenadas del vector v respecto de la base f3 (f32 respectivamente)", la cual denotaremos por [v ]131 ([v ]13,), y a la matriz 3 x 3 de elementos al}' en cuyas columnas aparecen los elementos de las matrices de coordenadas de cada vector de la base f32 respecto de la base f31, se le llama "matriz de cambio de base de f32 a f31". Denotaremos esta matriz por P. Se tiene entonces que Este es un resultado estndar en el problema de cambio de bases (no necesariamente ortonormales) en ~n. Se puede ver tambin, por ejemplo, que la matriz P es inversible y que su inversa es la matriz de cambio de base de f31 a ,82, Hasta este momento no hemos usado que nuestras bases son ortonormales. Este hecho se reflejar en las propiedades que en este caso tiene la matriz P de cambio de base. La caracterstica fundamental de esta matriz en este caso es que su inversa coincide con su transpuesta. En efecto, hagamos el producto P pt. Se tiene Llamemos Oi} al elemento de la i-sima lnea y j-sima columna de ppl. Este es Oi} aiJa} + Q2a}2 + onoj3 = (u, v)(u}' VI) + (Ui' V2)(U}' V2) + (u, V3)(U}' V3) = U' ((u}' VI)VI + (u}' V2)V2 + (u}' "3)V3) = Ui' u} = {O si i 1 si i = j :f j De modo entonces que P pt es la matriz identidad, y as p- 1 = pl como se quera ver. A una matriz inversible cuya inversa coincide con su transpuesta se le llama matriz ortogonal. Hemos entonces probado que la matriz de cambio de una base ortonormal a otra base ortonormal es una matriz ortogonal. Ejemplo 4. Sea f31 la base cannica de ~3 y considere la base f32 = {( l, 1, l), (1, l, O), (1,0, O)} de este espacio. Obtenemos la matriz P de cambio de base de f32 a f3 expresando cada vector de la base f32 como combinacin lineal de los vectores de la base f31' Puesto que f31 es la base cannica de lA Bases ortonormales. Cambios de base 41 IR 3 , las coordenadas de estas combinaciones lineales coinciden con las coordenadas de los vectores mismos (es decir, [(x, y, z)]3, = (x, y, z. Entonces Por ejemplo, el vector v = (3, -1,2) = 2(1, 1, 1) - 3(1, 1, O) + 4(1,0, O), cuyas coordenadas en trminos de la base f32 son entonces (2, -3,4), se puede obtener como Obsrvese que el resultado anterior nos da la versin del vector v, cuyas coordenadas en la base f32 son (2, - 3,4), en trminos de la base f31' Como sta es la base cannica, se obtiene directamente la expresin misma del vector (3, -1,2). La inversa de la matriz P, I p- = [ O 1 1 -} es la matriz de cambio de base de f31 a f32' De este modo, el vector (5, 1, 2), que en la base cannica tiene las mismas coordenadas, es transformado por la matriz p-! a su "versin" en la base f32' De hecho O P- l [(5,1,2)]3,= 1 [ I -\ lo cual se comprueba fcilmente notando que (5, 1,2) = 2(1, 1, 1) Ejemplo 5. ejemplo 3 (1, 1, O) + 4( 1, 0, O). En el espacio ]R3 considere la base cannica f31 y la base ortonormal obtenida en el f32 = {-3(2, -1,2), 1 ;;;;L1(-I, 14,8), ;:r;(-4, -2,3)} y261 y29 1 1 La matriz de cambio de base de f32 a f31 es entonces P= [ 2/3 -1/3 2/3 -1/J26l -4/V29] 14/V261 -2/V29 8/J26l 3/V29 Puesto que P es una matriz de cambio de una base ortonormal (f32) a otra base ortonormal (la cannica), es una matriz ortogonal. Es decir, se debe tener que p-I = pt, como se puede comprobar fcilmente. 11 : :; 8 < 27T. Puesto que Ejemplo 6. Consideremos los vectores er (cos 8, sen 8), Ce sen 8) + (sen 8)(cos 8) = (- sen 8, cos 8), donde er . ee = (cos 8)( - llerll = Ileell = Jcos 2 8 + sen 2 8 = 1 42 Captulo l Introduccin al espacio IR" y al lgebra lineal y Ce r x Figura 2. Los vectores unitarios Cr y Ce. la base f32 = {e r , ee} es una base ortonormal de JR2. Esta es una base muy importante del espacio JR2, pues cuando introducimos en l el sistema de coordenadas polares, los vectores er y Ce son los vectores unitarios que marcan las direcciones en que se miden las coordenadas r y 8 en ese sistema. Sea {3 = {i, j} la base cannica de JR2. Tenemos entonces que ter = (cos 8, sen 8) = cos 8 + sen 8j ee = (- sen (J, cos (J) = 32 a es COSe [ sen 8 + cosBj y as, la matriz de cambio de base de sen e - sen cos 8 eJ y, como sabemos, su transpuesta (su inversa) es la matriz de cambio de base de {3 (la cannica) a {32. Esta es Q = [ cos 8 - sen 8 sen (} ] cos 8 Tenemos pues que si v = (x, y) = xi + yj es un vector de JR2, la multiplicacin de Q por este vector nos da la expresin de v en trminos de la base f32, que denotamos como [V]/32' Es decir cos 8 [V]/32= [ -sen8 sen 8] cosO [x] y= [x cos 8 + y sen 8 -xsenO+ycos8 ] Se tiene entonces que si (x, y) = xi + yj E JR2, entonces (x, y) = (x cos 8 + y sen 8)cr + (- x sen 8 + y cos 8)ee en particular, poniendo (x, y) = (1, O) = i y (x, y) = (O, 1) = j, nos queda que . [ cos 8 ] [1]/32 = _ sen 8 . L1J/32 = [sen O] cos 8 lA Bases ortonormales. Cambios de base 43 o sea i = cos eCr - sen eco j = sen eC r + cos eco Por otra parte, podemos ver la base /32 como la base cannica del sistema xy original girada un ngulo e. Con esta idea se pueden obtener expresiones de un vector en el plano en trminos de esta base (las "ecuaciones de transformacin de coordenadas por rotacin de ejes" que se estudian en los cursos de geometra analtica). 11 Ejercicios (Captulo 1, Seccin 4) 1. Determine el valor de a para que los siguientes conjuntos de vectores sean ortogonales. a. c. {(l,2), (a,5)}, {(l,2,-1),(3, 1, a)}, b. {(O,I),(I,a)} {(2,3,O),(O,O,a)} d. 2. Verifique que el conjunto f3 = {(3/5, 4/5), (-4/5, 3/5)} constituye una base ortonormal del espacio ]R2. Escriba el vector v = (6, -7) como combinacin lineal de los elementos de esta base. 3. Compruebe que el conjunto f3 = {(2/3, -2/3),1/3), (2/3,1/3, -2/3),0/3,2/3, 2/3)} constituye una base ortononnal del espacio]R3. Escriba el vector v lineal de los elementos de esta base. = (3, 1, O) como combinacin 4. Verifique que el conjunto f3 = (O/2, 1/2, 1/2, 1/2), (l/2, 1/2, -1/2, -1/2) (1/2, ~1/2, 1/2, -1/2), (l/2, -1/2, -1/2, 1/2)} constituye una base ortonormal del espacio ]R4. combinacin lineal de los elementos de esta base. Escriba el vector v = (2,4, 1, 3) como 5. Considere la base cannica f3' de ]R2. Determine la matriz de cambio de base de f3 a f3', en donde f3 es la base ortonormal del ejercicio 2. Verifique que se trata de una matriz ortogonal. Cul es la matriz de cambio de base de f3' a f3? 6. Considere la base cannica f3' de ]R3. Determine la matriz de cambio de base de f3 a f3', en donde f3 es la base ortonormal del ejercicio 3. Verifique que se trata de una matriz ortogonal. Cul es la matriz de cambio de base de f3' a f3? 7. Considere la base cannica f3' de ]R4. Determine la matriz de cambio de base de f3 a f3', en donde f3 es la base ortonormal del ejercicio 4. Verifique que se trata de una matriz ortogonal. Cul es la matriz de cambio de base de f3' a f3? En los ejercicios 8-11, aplique el proceso de Gram-Schmidt para obtener una base ortonormal partir de la base dada del espacio ]R2. <- 8. /3 = {el, 1), (l, l)} 44 Captulo 1 Introduccin al espacio IR" y al lgebra lineal 9. (3={(l,1),(2,4)} 10. {3 = {(2, 1), (1, -2)} 11. {3 = {(3, 1), (1, l)} En los ejercicios 12-15, siga el proceso de Gram-Schmidt para obtener una base ortonormal a partir de la base dada del espacio JR3. 12. {3 = {(l, 1, 1), (1,1, O), (1, 0, O)} 13. {3 = {(l, 2, 1), (3, 1,2), (1, 0, 1)} 14. {3 = {(O,!, 1), (1, 1, O), (2, 1, 3)} 15. {3 = {(3, 1, 1), (-1, -1, -2), (1, 1,4)} En los ejercicios 16 y 17, use el proceso de Gram-Schmidt para obtener una base ortonormal a partir de la base dada del espacio JR4. 16. {3 = {(l, 1, 1, 1), (1,1, 1, O), (1, 1, 0, O), (1, 0, 0, O)} 17. {3 = {(l,0, 1, -1), (2,1,3, O), (0,2,1, 1), (O, 0,1, 1)} En los ejercicios 18-20, obtenga la matriz de cambio de base, de la base dada a la base cannca de JR3. A partir de ella, obtenga la matriz de cambio de base de la cannica a la base dada. 18. {3 = = {(2, 1, 1), -1, 9), (1, 0, O)} 19. {3 = {(l, 2, 3), (1, -1, -2), (3,1, l)} 20. {3 {(O, 0, 5), (2, 3, O), (1, 2, -1)} 21. Determine la matriz de cambio de base de la base ortonormal considerada en el ejercicio 2, a la base cannica de JR2. Verifique que se trata de una matriz ortogonal. 22. Determine la matriz de cambio de base de la base ortonormal considerada en el ejercicio 3, a la base cannica de JR3. Verifique que se trata de una matriz ortogonal. 23. Determine la matriz de cambio de base de la base ortonormal considerada en el ejercicio 4, a la base cannica de JR4. Verifique que se trata de una matriz ortogonal. 1.5 El producto cruz en ffi,3 En esta seccin estudiaremos un nuevo producto entre vectores del espacio JR3 (ya hemos considerado el producto punto entre estos vectores). Con l podremos estudiar las ecuaciones de planos en JR3 que emprenderemos en la siguiente seccin, junto con las ecuaciones de las rectas en JR3. Una diferencia fundamental de este nuevo producto que estudiaremos ahora, es que ste ser un nuevo vector de JR3, mientras que el producto punto es, como sabemos, un escalar. Establezcamos la definicin correspondiente. 1.5 El producto cruz en IR} 45 Definicin. Sean u = (XI. X2, X3) Y v = (YI, Y2, Y3) dos vectores de IR 3 El producto cruz de 3 ti con Y, denotado por ti x y. es el vector de IR dado por o bien Si el lector siente que la frmula de la definicin anterior es demasiado para su memoria, no se preocupe. Lo es, de hecho, para la memoria de muchos de nosotros; adems en matemticas no se deben hacer esfuerzos mentales para memorizar frmulas, sino para entender la esencia de las ideas, razonamientos y proc,edimientos analticos que en ella aparecen. Con ayuda del siguiente determinante podremos recordar fcilmente la frmula del producto cruz de dos vectores j ti XY (XI. X2. X3) X(YI. Y2, Y3) = det [:1 = YI .~] Y3 Desarrollando por cofactores a lo largo de la primera lnea, la frmula de la definicin anterior se obtiene. Obsrvese que la matriz involucrada en este determinante es muy peculiar: en su primera linea estn los vectores de la base cannica de IR 3 , y las lneas restantes estn ocupadas por escalares. Por supuesto que esto "no se vale" en matemticas; sin embargo, el objetivo del determinante anterior es solamente proporcionar una ayuda para recordar la "difcil" frmula del producto cruz de dos vectores. Adems, con esta "manera de presentar la definicin" se pueden probar fcilmente algunas de las propiedades del producto cruz que estudiaremos ms adelante. Una de las propiedades fundamentales que caracterizan al vector u x v, es que ste es perpendicular a ambos vectores u y v. En efecto, tomando el producto punto de ti x v con u tenemos Anlogamente se ve que (u x v) . v = O. Ms an, el vector u x ves un vector perpendicular a al y a v, y su direccin se rige segn la "regla de la mano derecha": usando la mano derecha, ponga su dedo pulgar perpendicular a los restantes dedos de la mano; haga coincidir la direccin de los cuatro dedos con la del vector u de tal modo que, cerrando su mano, sta pueda encontrarse en su recorrido al vector v. La direccin hacia donde apunta su dedo pulgar, es la del vector ux v. Ejemplo 1. Sean ti = (2.3,8), '1= (-2.2, -5). Se tiene uxv = det [ -2 Adems (u x v) . u ~ j 3 2 -31i - 6j + IOk = (-31, -6, lO) . (2,3.8) = O (u x v) v = (-31. -6. 10) (-2,2, -5) = O como tena que ocurrir. 46 Captulo 1 Introduccin al espacio JR" y al lgebra lineal uxv u v Figura 1. La regla de la mano derecha. Con los vectores del ejemplo anterior, calculemos v x u. Se tiene v X 1J = det 2 3 8J =-(-31i-6j+ =-uxv [~2 ~ ~(51 = 3li + 6j - lOk i\s pues, el cambio de orden en los "factores" del producto cruz, produce un cambio de signo en el vector resultante. Este es un hecho general que se entiende fcilmente si se recuerda la propiedad de los determinantes de cambiar de signo cuando se intercambian de posicin dos de sus lneas. As, para dos vectores cualesquiera u = (XI. X2, X3) Y v = (YI, Y2, Y3) se tiene i ti X V = det [ XI YI Y3 ~] = -det [;1 XI j Y2 X2 X3 ~] = -v x U Debido a esta propiedad, se dice que el producto cruz es anticonmutativo. Al igual que el producto punto, el producto cruz tiene un comportamiento lineal respecto de sus dos variables (ver teorema 1.2.1, propiedades (3) y (4)). Con ms presicin, se tiene, con u, u l , v, VI E IR 3 Y,\ E IR (n + '\u / ) x v = ti X V + ('\u / ) x v = u x v + A(u l x v) / U x (v + Av') = u x v + u x (Av ) = ti X V + A(u x VI) Obsrvese entonces que el producto cruz, al igual que el producto punto, es distributivo. Nuevamente, esta propiedad se puede entender fcilmente recordando que la funcin determinante tiene Un comportamiento lineal respecto ele sus lineas (ele hecho, tambin respecto ele sus columnas). Es 1.5 El producto cruz en 1R 3 47 decir, s u = (XI, X2, X3), v = (YI, Y2, Y3), v' = (y~, y~, y~), se tiene "X(V+AV')=det[: Yl " = det [: YI + Ay~ Y2 X3] Y3 'k + Ay~ +[ +A L ' ;2 Y2 X2 ':1, Ay = det [ : k] [" ' j X3 Y Y2 Y3 :; Y =" x '1+ Au x v' Como consecuencia de esta propiedad, podemos escribir, en general, que si "1, ... , U", son (11 + m) vectores de IR 3 Y Al, ... , A", ..t , ... , ..t", son escalares, entonces VI,"" '1 m Otra propiedad importante del producto cruz es su relacin con la dependencia lineal de los vectores involucrados en l. Por una parte, es fcil verificar que si los vectores ti, v E IR 3 son linealmente dependientes (l.d.), entonces su producto cruz es cero (el vector cero de IR 3 ). En efecto, si ti y V son l.d., existe un escalar e E IR tal que u = ev. Entonces, usando el comportamiento lineal del producto cruz previamente estudiado se tiene ti X V = (ev) x v = e(v x v) = -v x u = -v x (ev) = -c(v x v) o sea 2e(v x v) = 0, de donde e = O o bien v x v = O. De cualquier modo se tiene u x v = O. En particular, el producto cruz de un vector con l mismo es cero. La afirmacin recproca de la verificada anteriormente tambin es cierta. Es decir, si u y v son vectores de IR 3 tales que u x v = 0, entonces estos vectores son l.d. La validez de esta afirmacin (y de la anterior tambin) se deduce fcilmente de la frmula que a continuacin obtendremos para la norma del producto cruz de dos vectores: si u = (Xl, X2, X3), V = (y, Y2, Y3) se tiene Ilu x v 11 '- ' = (X2Y3 - X3Y2) 2 + (X3Y - X Y3)- + (XI Y2 - X2Y t, = xbj + xb~ + xhf + xfyj + xfA + xbf - 2X2X3Y2Y3 - 2XX3YY3 2 22 22 2 22 22 2 2 2 2 .2 = XY2 +XY2 +XY3 +X2Y2+X2Y2 +X2Y3 +X3Y2 +X3Y2 +X3Y3 22 22 22 - (XY +X2Y2 +X3Y3 + 2 XX2YY2 + 2XI X3YIY3 + 2 X2 X3Y2Y3 ) = (xf + X~ + X~)(yT + y~ + yj) - (XY + X2Y2 + X3Y3)2 22 = IIul1 11vll - (u. '1)2 = IIull 211vl1 2 IIul1211vl12 cos28 = Ilu11211v112(1 - cos 28) 2 = IIul1211vl12 sen 8 - 2XX2YY2 48 Captulo l Introduccin al espacio ]R" y al lgebra lineal o sea que Ifu x vii = Ilullllvlll sen el donde se us la frmula u . v = Ilullllvll cos siendo el ngulo que forman los vectores u y v (ver seccin 3). Esta es una frmula impOliante que nos descubrir un hecho geomtrico interesante sobre el significado de la norma del producto cruz de dos vectores. De ella se ve tambin que si ti y V son vectores I.d., entonces sen = o (por qu?), y entonces Ilu x vii = 0, de modo que u x v = O. Este hecho lo dedujimos anteriormente usando otras ideas. Por otro lado, si ti x v = 0, con u y v vectores no nulos de IR3 (si alguno o ambos fueran nulos, su dependencia lineal se deduce de inmediato), entonces Ilu x vii = O, Y as, por la frmula anterior, sen = o (es decir, el ngulo entre u y v o es Oo 1T; en cualquier caso, los vectores son colineales), y entonces ti y V son I.d. como se quera ver. En el siguiente teorema se recogen los resultados anteriormente estudiados acerca del producto cruz. e, e e e Teorema 1.5.1 1 2 Sean ti, u ' , v, v' vectores de IR 3 , Y A un escalar. Entonces (u x v) ti = O (u x v) v = O ti X V = -v x ti (anticonmutatividad) (distributividad) 3 4 5 ti X (v + AV ' ) = u X v + AlJ x Vi (u + Au ' ) x v = u x v + AU' x v ti x V = O si y solamente si u y v son I.d. Ilu x vii = Ilullllvlfl sen ~I, donde e es el ngulo entre l.l y V. Demostracin. Hecha en as lneas anteriores. Ejl:mplo 2. ixj Consideremos los vectores 1, j, k de la base cannica de IR 3 . tS raCH venncar que k, j x k = i, k x i = j. Esquemticamente podemos pensar en un tringulo como el siguiente = El producto de cada uno de dos vrtices (en el sentido indicado) es igual al tercer vrtice. Por ejemplo, calculemos el producto cruz del vector u = (1,0, -7) con v = (0,2, -3). Podemos hacerlo de la manera "tradicional" -3 ~7] = 14i+3j+2k o bien, usando algunas propiedades del producto cruz de la manera siguiente u x v = (i - 7k) x (2j - 31<) = 2i x j - 3i x k - 14k x j = 2k + 3k x i + 14j x k + 21(0) = 2k + 3j + 14i + 21 k x k La frmula establecida en la propiedad 5) del teorema 1.5.1 anterior tiene una interpretacin geomtrica interesante: si consideramos el paralelogramo cuyos lados son los vectores u y v, el 1.5 El producto cruz en IR 3 49 base.= altura = rea = (base)(altura) = = Ilull Ilvlll sen 81 lI u llllvlll sen 81 Ilu x vii Figura 2. Paralelogramo generado por los vectores u y v. ,rea que ste encierra se calcula como la base (la norma de uno de los vectores) por la altura, la cual es la norma del otro vector multiplicada por el (valor absoluto del) seno del ngulo que forman los vectores (ver figura 2). Entonces, segn la frmula mencionada, el rea de tal paralelogramo es justamente la norma del producto cruz de los vectores que lo generan. Ejemplo 3. Consideremos los vectores ti = (2,3,8), v = (-2,2, -5) del ejemplo 1. Se tiene uxv (- 31, -6, 10), de modo que el rea del paralelogramo generado por estos vectores es Ilu xvii = [( -31)2 + (_6)2 + (10)2]1/2 = V1097.Usando estas ideas se concluye inmediatamente que si los vectores ti y V son vectores unitarios y ortogonales, entonces su producto cruz ser tambin un vector unitario (y ortogonal a ambos), puesto que Ilu x '111 es igual a Ilullllvlll sen 81 = (1)( 1) sen( 7r /2) 1 = rea de un cuadrado de lado l. Combinemos ahora el producto cruz de dos vectores con el producto punto. Dados dos vectores v, w E JR3, su producto cruz es un vector v x w E JR3 con el que podemos tomar el producto punto con otro vector u E JR3, para formar as el escalar ti . (v X w). A ste se le conoce como triple producto (escalar) de los vectores ti, v y w. Si u = (XI, X2, X3), v = (YI, Y2, Y3), w = (ZI, Z2, Z3) y si v x w = (a, ,B,y),.entonces ti (v X w) xla + x2,B + X3Y. Recordando que a,,B y y eran los determinantes menores de la matriz cuya segunda y tercera lneas estaban formadas por las coordenadas de v y w asociados a los elementos de su primera lnea, es claro que podemos escribir XI YI [ Z ti . (Y X w) = det El escalar resultante del triple producto escalar de los vectores ti, Y Y w tiene una interpretacin geomtrica interesante: consideremos el paraleleppedo generado por los tres vectores 11, Y Y w (cuyos ocho vrtices son entonces (1) el origen, (2) el vector ti, (3) el vector Y, (4) el vector w, (5) el vector ti + v, (6) el vector ti + w, (7) el vector Y + w, (8) el vector ti + v + w), el cual tiene por volumen V al rea A de su base multiplicada por su altura H. El rea A de su base es el rea del paralelogramo generado por los vectores v y W (vase figura 3). Esta es, segn se vio anteriormente, la norma Ilv x wlI. La altura del paraleleppedo se puede calcular como la norma de la proyeccin 50 Captulo l Introduccin al espacio IR" y al lgebra lineal del vector restante ti sobre un vector perpendicular a v y a w. Tal vector puede ser v x w, y la proyeccin de ti sobre l es PRu~vxw = de modo que la altura H del paraleleppedo es H= ti !Iv x wl1 2 v X w (v X w) ti (v X w) 11 PRu~vxw!1 I !Iv x wI1 2 v I XW = lu, (v x w)! Iv x wll Ilv x wl1 2 lti (" x w)1 Ilv x wll . y entonces el volumen del paraleleppedo es V = (Area de la base)(Altura) = , lu (v x w)1 Ilv x wll 11" x wll = lo (v x w)1 Es decir, el triple producto escalar u . (v x w) es, en valor absoluto, el volumen del paraleleppedo generado por los tres vectores ti, v y w. volumen = !u . (v x Figura 3. Paraleleppedo generado por los vectores n, v y w. Ejemplo 4. Consideremos los vectores u = (2. 1, O), v = (3,4, 5), w = (2,6,4). El triple producto escalar de estos vectores es u(vxw)=det 3 4 5 264 2 1 O] =2(-14)-(2)=-30 [ Entonces el paraleleppedo generado por estos vectores tiene por volumen 30 unidades cbicas. En los ejercicios al final de esta seccin se considerarn algunas propiedades de este triple producto escalar. 1.5 El producto cruz en ]R3 51 Apndice ]R3, Coordenadasdlndricas y esfricas En este apndice introduciremos dos nuevos sistemas coordenados muy importantes en el espacio los cuales jugarn un papel fundamental en algunos clculos que se harn con integrales triples en el captulo 6 (seccin 7). De modo ms concreto, los resultados que se establecern en este apndice, se usarn en el apndice de la seccin 2 del captulo 7. En la discusin que presentamos aqu, usaremos libremente las ideas estudiadas en la seccin anterior. Dado un punto p = (x, y, z) E ]R3, asociamos a l la terna (r, O, z) donde (r, O) son las coordenadas polares de la proyeccin p' del punto p en el plano xy (es decir, (r, O) son las coordenadas polares del punto pI = (x, y, O)). Decimos que los elementos de la terna (r, O, z) son las coordenadas cilndricas del punto p -ver figura 4-. (Obsrvese que, en cierto sentido, podemos decir que las coordenadas cilndricas son las "coordenadas polares de ]R3", donde la tercera coordenada, que se encarga de medir la altura de un punto al plano xy, coincide con la del sistema rectangular). : . . . .1 l', .(e '.') ~T,:''''''' -------- y fJ.,/ x I El sistema de coordenadas cilndricas. Figura 4. Obsrvese que la ecuacin r = ro (ro > O) es, en el sistema cilndrico, la ecuacin de un cilindro (circular recto) cuyo eje es el eje z; en ella se establece que los puntos p = (r, (J, z) que la satisfacen son puntos de ]R3 cuya proyeccin pI en el plano xy siempre dista del origen una cantidad constante igual a ro. Si er , ee, e z son los vectores unitarios ortogonales que marcan la direccin donde se mide cada una de las correspondientes coordenadas r, O, z, respectivamente en el sistema de coordenadas cilndricas, (por lo cual {en ee, e z} constituye una base ortonorrnal de ]R3), es claro que el vector e z es justamente el vector k = (O, O, 1) del sistema rectangular, y que los vectores er , ee son los mismos que los vectores del sistema ortonormal de ]R2 considerado en el ejemplo 4 de la seccin anterior (con su ltima coordenada igual a cero). Es decir, se tiene que er = (cos (J, sen e. O) = cos (Ji + sen ej ee = (- sen (J, cos (J, O) = - sen ei + cos ej ez = k 52 Captulo I Introduccin al espacio lR" y al lgebra lineal As pues, la matriz de cambio de base de la base ortonormal {e r , ee, e z } a la base cannica de ]R3 es cOS P = [ se e e - sen e cos e O~] o Siendo esta matriz ortogonal su transpuesta, que es justamente su inversa, nos da la matriz de cambio de base de la cannica a la base 0l10normal del sistema de coordenadas cilndricas. Esta es COSe p-I = pt = [ -s~ne sen e cos e O~] o de donde se obtiene que i j k = cos eC r - sen eCe = sen ee r + cos ece = ez Ejemplo 5. El punto p cuyas coordenadas cartesianas son (1, 1, 1). Las coordenadas cilndricas de este punto las determinamos convirtiendo a polares las coordenadas (1, 1, O) de la proyeccin de p sobre el plano xy. Como sabemos, se tiene r = e = arctan ~ = metan 1 = n/ 4. As entonces, las coordenadas cilndricas de p son ( yI2, n/ 4, 1). Ntese que para ver qu coordenadas corresponden a p en el sistema ortonormal {en Ce, l\}, podemos usar las frmulas que relacionan a i, j, k con los vectores del sistema ortonormal de las coordenadas cilndricas, como sigue (1,1,1) = + j = +k - = cos Be r sen Bce + sen + (cos {] -- sen B)ee + e z (cos B + sen fJ)e r Poniendo B = n/ 4 se obtiene (1, 1, 1) = her + e z o, 1), tal como la Es decir, en el sistema ortonormal {en ee, ez}, el punto (1, 1, 1) se vera como ( vi, intuicin geomtrica nos dice que debera ocurrir. Otro sistema coordenado muy importante en el espacio IR 3 es el que corresponde a las coordenadas esfricas. Este sistema localiza los puntos en el espacio tridimensional con los siguientes tres parmetros: la distancia del punto p = (x, y,z) al origen de coordenadas, denotada por r; el ngulo que forma la proyeccin del vectorp en el plano xy, con la parte positiva del eje x,denotado por B, y, el ngulo que forma el vector p con la parte positiva del eje z, denotado por cf>. Se dice entonces que la terna (r,8, cf son las coordenadas e.lfricas del punto p. Los rangos de variacin de cada una de estas coordenadas ser, atendiendo a la manera como se efecta su medicin: O ::; r < +00, O ::; 8 < 2n, O ::; cf> ::; n. Obsrvese que la ecuacin r = ro es, en coordenadas esfricas, la ecuacin de una esfera con centro en el origen y radio ro. En efecto, a esta ecuacin la satisfacen por los puntos en!R 3 cuya distancia al origen es igual a ro, sin importar sus ngulos e y cf>, y estos puntos son justamente los de la esfera mencionada. Tambin es fcil ver que la ecuacin qJ = qJ(), (epo i n/2) es, en coordenadas ------------------- 1.5 El producto ClUZ en IR 3 53 z p(r. 8. 1 y x Figura 5. El sistema de coordenadas esfricas. esfricas, la ecuacin de un semicono con vrtice en el origen, pues en ella se establece la condicin de que los puntos p que la satisfacen forman un ngulo constante igual a ePa con la parte positiva del eje z, sin importar el ngulo 8 y el valor de r. Veamos la equivalencia entre las coordenadas rectangulares de un punto p en]R3 y sus coordenadas esfricas. Si en el sistema rectangular p tiene coordenadas (x, y, z) y en el sistema esfrico este punto tiene coordenadas (r. eP), entonces, atendiendo a la figura 7 se tiene que e. z Del mismo modo, se tiene que = r cos eP x= IOp'l cos 8. y = Op'l sen e donde Op' = r sen eP. Entonces se tiene que x = r sen eP cos e, y = r sen eP sen e. As pues, las frmulas que relacionan las coordenadas (x. y. z) de un punto p en ]R3 con sus coordenadas (r, e, <f;) z z ro ~-x /7 1> = 1>0. y y x Figura 6. La esfera r = ro y el semicono 54 Captulo 1 Introduccin al espacio ]R:" y al lgebra lineal z z p x = r sen cP cos 8 y = r sen cP sen 8 x --y y z = r cos cP x Figura 7. Relacin entre las coordenadas cartesianas y esfricas. son x = r sen 4J cos e, = r sen 4J sen e, z = r cos 4J Utilizando estas "frmulas de transformacin", se puede uno convencer de que la ecuacin de una esfera x 2 + l + Z2 = r5, se ve, en el sistema esfrico, como r = ro. En efecto, al sustituir las expresiones anteriores en la ecuacin de la esfera se obtiene r 2 :o:: rij, o bien r = ro. Igualmente se ve que la ecuacin del semicono z = x2 + y2 se ve como 4J = 17'/4. Obtengamos ahora las frmulas que relacionan los vectores i, j, k del sistema ortonormal en las coordenadas cartesianas, con los vectores ero Ce, e,, del sistema ortonormal esfrico. Estos ltimos marcan la direccin en que se efecta la medicin de coordenadas en el sistema esfrico. Se tiene entonces que el vector er es un vector unitario en la direccin radial. Luego para p = (x, y, z) = xi + yj + zk, se tiene J Cr = -:C- 11 1 (-x,-y,-z-C:-)1I (x, y, z) o bien, en trminos de r, e, 4J se tiene Cr = - (r sen c/J cos e, r sen c/J sen e, r cos c/J) r = (sen c/J cos O)i 1 + (sen c/J sen O)j + (cos c/J)k El vector ee es el mismo que el vector correspondiente (denotado igual) del ejemplo 4 (por qu?). Es decir, ee = - sen O + cos 8j Para determinar e," obsrvese que se necesita un vector unitario que sea ortogonal a er y ee. Lo podemos obtener entonces como el producto cruz de ee con ero Puesto que estos dos ltimos vectores 1.5 El producto cruz en IR 3 55 son unitarios, el vector e</> = Ce x er tambin lo ser (ver ejemplo 3). As se tiene que e</> = ee = x er = i sen [ sen ep cos e - e j k cos o sen ep sen ecos ep e ] (cos ecos ep)i + (sen ecos ep)j - (sen<tk Entonces, las frmulas que relacionan los vectores er , ee, e</> del sistema ortonormal en las coordenadas esfricas con los vectores i, j, k de la base cannica de ]R3 son = (sen ep cos e)i + (sen ep sen e)j + (cos ep)k ee = - sen ei + cos ej er c,, = (cas Ocas ep)i + (sen Ocas ep)j - (sen <tk por lo que la matriz de cambio de base del sistema ortonormal {e r, ee, e</>} a la base cannica de ]R3 es sen ep cos O - sen ecos ep cos P = sen epsen B cos ecos ep sen [ cosq) o - sen <t> e] e Su transpuesta (su inversa) es la matriz de cambio de base de la cannica a la base ortonormal del sistema de coordenadas esfricas pt = p-I sen ep cos e sen ep sen O - senO cos O [ eos epeos 8 eos 4> sen e de donde se obtienen las relaciones i = (sen 4> cos O)e r j - = (sen ep sen B)c r - (sen 8)ee + (cos ep cos O)c4> + (eos O)ee + (cos ep sen 8)c</J k = (cos ep)e r (sen ep)c</J Ntese, por ltimo, que el sistema ortonormal {er, Ce, c</J} est comprometido por la posicin del punto p = (x, y, z), pues el vector er es un vector unitario en la direccin de p. De hecho, el punto x 2 + y2 + Z2 er , como el lector puede p = xi + yj + zk se ve, en el sistema {er, Ce, e</J} como P = comprobar fcilmente. J Ejemplo 6. El punto p E ]R3 cuyas coordenadas esfricas son (2, coordenado rectangular, las coordenadas 1T /3, 7T / 4) tiene, en el sistema x = rsenepcose = 2 sen7T/4cos7T/3 = (2)(12/2)(1/2) = 12/2 y = r sen ep sen e = 2 sen 7T/4 sen 7T/3 = (2)(12/2)(3/2) = ,j6/2 Z = rcosep = 2eos7T/4 = (2)(12/2) = 12 Es decir, en el sistema cartesiano el punto p se ve como (/2/2, ,j6/2, /2). 56 Captulo I Introduccin al espacio]R" y al lgebra lineal Por otra parte, teniendo las coordenadas rectangulares de un punto p E IR: 3 , podemos determinar sus coordenadas esfricas resolviendo para r, (J y 4> las ecuaciones x = r sen 4> cos (J, y = r sen 4> sen e, z = r cos 4>: puesto que x 2 + l + Z2 = r2 , se tiene r = x 2 + y2 + Z2; adems, dividiendo y entre x se obtiene que tan (J = y I x, de donde 8 = arctan(y Ix); por ltimo, de la expresin z = r cos 4> obtenemos que 4> = arccos(zlr), donde r = x 2 + y2 -l- Z2. Por ejemplo, el punto p que en coordenadas rectangulares se ve como (l, 2, - 3), tiene, en el sistema esfrico, las coordenadas J J r= J x2 + y2 + Z2 = JT4 = arctan 2 8 = arctan(2/1) 4> = arccos( - 3 I JT4) Ejercicios (Capitulo Seccin 5) En los ejercicios 1-5, calcule los productos cruz u x v y v x u de los vectores dados. En cada caso, verifique que el vector obtenido es ortogonal a cada uno de los vectOres u y v dados. 1. ti = (, 1, 2), v = (-1, 1, O) 2. u = (2,4,3), v = (2, -4, 3) 3. u = (O, 2, 5), v = (0,4, 10) 4. ti = (2, 1, 1), v = (3, 2, 2) 5. u=(3,2, '1=(-3, -2) 6. Considere los vectores u (3, 1, 2), v = (2, 3), VI' = (l, 1,7). Calcule los productos u x (v x w) y (11 X v) X w. En base al resultado obtenido, explique por qu la expresin u x v x w para el producto cruz de tres vectores es una expresin ambigua. 7. Con los vectores ti X W 1.1, v, W E IR: 3 del ejercicio anterior, compruebe que (u +- 2'1) x VI' == + 2'1 x W. ti X 8. Verdadero o falso? Si u x v = 9. Sean u d) (u w, entonces v = w. Calcule: a) u x v; b) (u - 4'1). = (l., -3, -3), '1= (3, 1, 1). + v) x (u - v); e) (2u + 3v) x W + v) x v; e) (u + v) x (ti + v); 10. Sean u, v, E IR:3 tres vectores tales que u + v + W 3 = O. Demuestre que u x v = v x VI' = W x u. 11. Sean VI, '12, '13,'14 E IR: cuatro vectores tales que VI x '12 = '13 X '14 Y VI X '13 = Demuestre que los vectores u = VI - '14, W = '12 - v} son linealmente dependientes. '12 X '14. 12. Demuestre que si los vectores ti + v y u - v son colineales, entonces los vectOres u y v son colineales. Vale la afirmacin recproca? 13. Suponga que los vectores u, VE IR:3 forman entre s un ngulo de 7T I 4. Demuestre que u . v = Ilu x vii. 14. Suponga que los vectores 7T/6. Calcule Ilu xvii ti, v E IR 3 son vectores unitarios que forman entre s un ngulo de 1.5 El producto cruz en ]R3 57 15. Suponga que los vectores calcule lIu x vII. u, v E IR 3 forman entre s un ngulo de TT/6. Si Ilull 6, Ilvll = 5, 16. Sean u, v E IR3 dos vectores cuyas normas son 3 y 7 respectivamente. Si u . v 17. = 5, calcule Ilu x vII Sean u, v E IR 3 dos vectores cuyas normas son 3 y 7 respectivamente. u v. Si lIu x vII = 5, calcule Calcule 18. Sean u, v E IR 3 dos vectores ortogonales con normas 4 y 2 respectivamente. II(u + 2v) x (3u - v)ll. 19. Demuestre que para cualquiera de los dos vectores u, v E IR 3 se cumple (*) 20. Sean u, VI, V2, V3 cuatro vectores en IR3. Demuestre que (Sugerencia: use argumentos de desarrollo por cofactores a lo largo de las lneas de los determinantes con los que se calculan los triples productos escalares involucrados en esta frmula). b. Para os vectores n, VI, "2, "3 E IR 3 , demuestre que det U, V7 [ VI . V2 - 21. Sean VI ,V2, , V n n vectores en IRIl. Sedefine el determinante de Gramm de estos vectores, denotado por reVI, V2, ... , vn) como el detenninante de la matriz A = (aj).j=I ..... n, en donde aij = Vi . Vj. Observe que la matriz A es una matriz simtrica (es decir, A coincide con su transpuesta). Considere los vectores n, v, W E IR3. Demuestre que el cuadrado del triple producto escalar n (v x w) es igual al determinante de Gramm de los vectores n, v, w. Es decir, demuestre que el volumen del paraleleppedo formado por los vectores ti, v, w es lti (v x w)1 = f(u, v, w) (Sugerencia: considere la matriz A en cuyas lneas se encuentran las coordenadas de los vectores ti, v, w; se sabe que lu(v x w)1 = 1 A 1; entonces lu (v x w)1 2 det (det A)2 = (det A)(det A) = (det A)(det Al) = det AA!; concluya ... ). 22. Sean u, V, w tres vectores en IR 3 . En este ejercicio probaremos la frmula u x (v x w) = (u . w)v - (ti . v)w a. Demuestre la frmula anterior de manera directa, considerando las coordenadas de los vectores involucrados y efectuando las operaciones indicadas. Observe que es suficiente demostrar la frmula con el vector v tomado sobre el eje x, por qu? 58 Captulo 1 Introduccin al espacio IR" y al lgebra lineal b. Observe que el vector ti x (v X w) es perpendicular a v x w, quien a su vez es perpendicular a v y w. Concluya entonces que el vector ti x (v X w) es una combinacin lineal v y w. Es decir, concluya que existen constantes a y f3 tales que u x (v x w) = av + f3w. Tomando el producto punto del vector n x (v x w) con ti, concluya, de la expresin obtenida en el inciso anterior, que (u . v)a c. + (n . w)f3 = d. Considere el vector q = (a, (3). Segn el inciso anterior este vector es perpendicular al vector ((n . v), (n . w)). Concluya entonces que el vector p = (-{3, a), el cual es perpendicular a q, es paralelo a ((u v), (u . w)), y que por lo tanto existe una constante k tal que (-{3, a) = k((u v), (u w)) Use el resultado del inciso anterior para reescribir la expresin obtenida en el inciso b) como u x (v x w) = k((u . w)v (u . v)w) e. f. Tome el producto punto en ambos miembros de la expresin obtenida en el inciso anterior, con un vector arbitrario w E IR3 , y use los resultados del ejercicio 20, para demostrar que k = 1. Con esto se da un lluevo argumento que valida la frmula establecida en este ejercicio. 23. Sean u, v, w tres vectores en IR3. Demuestre que (u x v) x w = . w)v - (v . w)u 24. Sean u, v, w tres vectores en IR 3 tales que u x (y x x v) x w. Discuta la posicin relativa de los vectores u, v, w. (Sugerencia: use los resultados de los dos ejercicios anteriores). 25. Sean n, v, w tres vectores linealmente independientes en IR 3 . Demostrar que el plano que pasa por n, Y, w tiene por vector normal a n=uxv+YXw+wxu 26. Sean u, Y, w tres vectores en IR 3 . Demuestre que u x (v x w) +v x (w x u) +w x (n x v) = O 27. Demuestre que (n x v) . w = n . (v x w), para cualesquiera vectores ti, v, w E IR3. Explique entonces por qu la expresin tiVW puede ser usada para denotar, sin peligro de confusin, al triple producto escalar de los vectores ti, Y, w. Tngase presente que usaremos esta notacin en los ejercicios que siguen. 28. Demuestre que una condicin necesaria y suficiente para que los vectores n, coplanares (es decir, que se encuentren en un mismo plano) es que nyw = O. Y, w E IR3 sean En los ejercicios 29-32, determine si los vectores dados son coplanares o no. En caso de que lo sean, encuentre la ecuacin del plano en que se encuentran. 29. ti = (1,2, 1), '1= (1, -1,0), W = (2,1,0) 1.5 El producto cruz en lPI. 3 59 30. u = (2, 1, 1), V = (2,3,4), w = (2, -1, -2) 31. u = (1, 1, 3),v = (3,1,1), w = (1,3,8) 32. U = (2, O, 1), V = (3, 1, O), w = (2,2,3) En los ejercicios 33-35, demuestre que los cuatro puntos dados se encuentran en un mismo plano. Determine la ecuacin del plano en que se encuentran. 33. A = (1,1, -1), B = (0,1,1), 34. A = 35. A = e= (-1, 1,2), B = (2,2, O), e = (O, O, 1), B = (2, -4, 3), e = 3 . (1,0, 1), D = (2,2, -5) (1, 1, 1), D = (-1,3,1) (5, -7,2), D = (-4,7, -2) 36. Sean u, v, w tres vectores en IR Demuestre que luvwl:::; Ilullllvllllwll 37. Calcular el rea del paralelogramo generado por los vectores u = (3,2,5), v 38. Calcular el rea del paralelogramo cuyos vrtices son A = 0,2,7). = (-2, 1, 5), = (1, 1, 1), B = (2, 3, 4), e D = (-1,3,8). 39. Calcular el rea del tringulo cuyos vrtices son A = (3,2,3), B = (-1,2,5), e = (0,2,7). = (-1, O, 9), 40. Calcular el volumen del paraleleppedo generado por los vectores u = w = (3,2,2). A 1,4), v 41. Calcular el volumen del tetraedro cuyos vrtices son el origen de coordenadas y los puntos = (2,1,1), B = (-3,7,9) Y e = (-1, -5, O). (10,9,11). 42. Calcular el volumen del tetraedro cuyos vrtices son los puntos A = (2, 1, 2), B = (5,3,7), (-3,4,9)yD NOTA: Los ejercicios 43-55 se refieren al material estudiado en el apndice de esta seccin (coordenadas cilndricas y esfricas) 43. Determine las coordenadas cilndricas de los siguientes puntos dados en el sistema cartesiano: a. p = (2,1,1); b. P = (-1,3,5); c. P = (1, O, O); d. p = (2,3, -1). 44. Determine las coordenadas cartesianas de los siguientes puntos dados en el sistema de coordenadas cilndricas: a. p = (2, O, 1); b. p = (1, 7T, 3); c. p = (3, 57T/3, -2); d. p = (16, 7T/4, O). 45. Escriba la ecuacin del cono 2 = J x 2 + y2 en coordenadas cilndricas. + l + 22 = + 1 en coordenadas cilndricas. y2; b. z 46. Escriba la ecuacin de la esfera unitaria x 2 cilndricas. 47. Escriba la ecuacin de los paraboloides: a.2 = x 2 = 2x 2 + 3 y 2, en coordenadas 48. Determine las coordenadas esfricas de los siguientes puntos dados en el sistema coordenado cartesiano: a. p = (l,O, O); b. P = (3,1, -1), c. p = (0,1, 1); d. P = (-2, -3, -5). 49. Determine las coordenadas cartesianas de los siguientes puntos dados en el sistema de coordenads esfricas: a. p = (1, O, O); b. P = (2, 7T/2, 7T/2); c. P = (1, 7T/3, 37T/4); d. P = (4, 77T/4, arccos(l/4. 60 Captulo 1 Introduccin al espacio ]R" y al lgebra lineal 50. Escriba la ecuacin del cilindro circular recto x 2 51. 52. 53. + l = 9 en coordenadas esfricas. Escriba la ecuacin de la esfera (x - 1)2 + l + Z2 = 1 en coordenadas esfricas. Escriba la ecuacin de las esferas: a. (x a)2 + l + Z2 = a 2; b. x 2 + (y - a)2 + Z2 2 + l + (z - a)2 = a 2, en coordenadas esfricas. C. x Escriba la ecuacin del cono Z2 = a 2(x 2 + l) en coordenadas esfricas. 54. Sean P y Q dos puntos en IR 3, cuyas coordenadas en el sistema cilndrico son (rl, 81, Z 1) Y (r2' 82 , (2), respectivamente. Demuestre que la distancia d entre estos dos puntos es 55. Sean P y Q dos puntos en IR3, cuyas coordenadas en el sistema esfrico son (rl, q>l, 81) Y (r2, 4>2, 82), respectivamente. Demuestre que la distancia d entre estos dos puntos es En esta seccin utilizaremos la herramienta vectorial desarrollada en las secciones anteriores (sobre todo las ideas en torno al del concepto de ortogonalidad) para hacer un poco de geometra analtica de planos y rectas en el espacio IR 3. Las generalizaciones al espacio IR" (n > 3) de los resultados que obtendremos sern casi inmediatas. La intencin de esta seccin es familiarizamos con algunos tipos importantes de ecuaciones de planos y rectas en el espacio]Rl1, pues todos los conceptos diferenciables del clculo que se estudiarn en este libro tendrn su contenido geomtrico al involucrar este tipo de lugares geomtricos de IR", los que son, sin duda alguna, los ms simples que existen. En el caso de! plano IR 2 , el lugar geomtrico ms simple que existe es la recta (en este caso no hay planos). Este es, por as decirlo, el prototipo de comportamiento "simple" y "decente" propio de una curva en el plano. La matemtica involucrada en el estudio de estos "entes lineales" de! plano es sencilla y cristalina; todos los resultados son "fciles" de establecer alrededor de comportamientos lineales. Precisamente la intencin del clculo (diferencial) es cambiar (localmente) el estudio de comportamientos "complicados" de funciones por comportamientos lineales los cuales se tienen "bienestudiados". As, a una funcin y = f(x) ("comportamiento complicado de x con y"), se le asigna, en un punto, una recta tangente ("comportamiento lineal que aproxima a la funcin") cuyas propiedades nos darn informacin de1a funcin misma (en torno al punto en cuestin). Por esta razn es fundamental estar familiarizado con las ecuaciones de las rectas en el plano para poder entender las ideas del clculo de funciones de una variable. En esta misma lnea de razonamiento el objetivo de esta seccin es presentar un resumen de las principales ideas en torno a los comportamientos lineales de lugares geomtricos en el espacio IRI1, los cuales, insistimos, sern las "aproximaciones decentes" que tendrn (localmente) las funciones que estudiaremos en este libr. Comencemos por la idea ms simple: un plano n en ]R3 queda completamente determinado si se conocen: (*) un punto p = (xo. Yo, zo) por el que pasa (*) un vector normal a l, digamos 11 = (a, !J, c) 1.6 Rectas y planos en IR 3 61 Usaremos la palabra "normal" como sinnimo de "ortogonal" o "perpendicular". En efecto, ayudados con la figura 1 de inmediato se ve que el punto q = (x, y, z) pertenecer al plano n si y slo si el vector diferencia q - p se encuentra "sobre el plano". Es decir si y slo si q p = (x - Xo, y - Yo, z - lo) es ortogonal al vector n = (a, b, c) (el cual es claro que debe ser un vector no nulo). As pues, el plano n queda determinado comnel lugar geomtrico de aquellos puntos (x, y, z) de IR 3 tales que (x - Xo, y - Yo,i - lO) . (a, b, c) = 0.0 s~a tait's que a(x - xo) + bey .:.- Yo) + c(z - Zo) = O Esta es la primera ecuacin importante de la seccin y merece que la encerremos en un cuadro con ttulo para recordarla (la usaremos mucho!). (1) l a(x - xo) + bey - Yo) + c(z - Zo) = O Ecuacin de un plano en JH;3 que pasa por (xo, Yo, ZO) y tiene a n :::::: (a, b, e) como vector normal ~ y i1. Z t x/ Figura 1. Un plano rr en ]R3 que pasa por p ytiene a n como vector normal. La ecuacin (1) se puede escribir, desarrollando los productos ah indicados, como ax + by + cz + d = O donde d = -axo - byo - Clo. Desde el punto de vista algebraico sta es una ecuacin lineal en las variables x, y, z. Si d = O es homognea y, caso contrario, es no homognea. Puesto que el vector n = (a, b, c) es no nulo, el hecho de que d = O significa que el plano n pasa por el origen. Recuerde adems que en el plano xy, las ecuaciones de las rectas eran justamente las ecuaciones lineales en las variables x, y'(ecuaciones de la forma ax + by = d). As pues, los planos en IR3 son las "generalizaciones algebraicas naturales" de las rectas en el plano IR 2 . Si vamos a dimensiones mayores, diremos que un hiperplano en el espacio IR" es el conjunto de puntos (x 1, X2, ... , x ll ) en IR" que satisfacen la ecuacin (lineal en las n variables XI, XZ, ... , x,,) axI + azxz ... + a"x" =b donde el vector no nulo n = (al, az, ... , a,,) es un vector normal al hiperplano. Ms an, si b = O, los vectores de este hiperplano constituyen un subespacio de IR" (ver ejemplo 1 de la seccin 1) el cual tiene dimensin igual a n - 1(verifique!). 62 Captulo 1 Introduccin al espacio ]R" y al lgebra lineal Ejemplo l. Hallemos la ecuacin del plano en ]R3 que pasa por el punto (2, 1,3) Y tiene a n = (2, -4,5) porvectornormal. Segn (1) la ecuacin procurada es 2(x-2)-4(y-1 )+5(z-3) = O, o sea 2x - 4y + 5z = 15. Iil Ejemplo 2. Consideremos el plano cuya ecuacin es 7x - 2y + 6z = 12. Es claro que el vector n = (7, -2, 6) es un vector normal al plano. Adems, tal plano pasa, por ejemplo, por el punto (0,0, 2) (cmo determinar un punto por el que pasa el plano, conociendo su ecuacin? Muy simple: fije los valores de dos de las tres variables involucradas en la ecuacin y obtenga el valor de la variable restante; es obvio que los valores de x, y, z as obtenidos son las coordenadas de un punto que satisface la ecuacin en cuestin). Iil Ejemplo 3. La ecuacin 3x + 7y - 9z + 5u - 13w = 0, representa un hiperplano en]Rs que tiene a n = (3,7, -9,5, -13) por vector normal y pasa por el origen. Este es entonces un subespacio de ]Rs cuya dimensin es 4. Una base de l es, por ejemplo, {3 = {( - 7, 3, 0, 0, O), (3, 0, 1, 0, O), ( - 5, O, 0, 3, O), (13, 0, 0, 0, 3)} Supongamos ahora que nos dan tres puntos por los que pasa el plano n, digamos PI = (x" YI, z,), P2 = (X2, Y2, Z2), P3 = (X3' Y3, Z3). Estos tres puntos pueden dejar bien determinado de la siguiente manera el plano n que pasa por eiios. Si consideramos los vectores ti = pz - PI Y v = P3 - PI, stos deben ser vectores que se encuentran sobre el plano procurado. Haciendo el producto cruz u x v, obtenemos, en principio, un vector n normal al plano, a menos que este producto cruz sea cero (yen tal caso, los tres puntos dados no dejan bien determinado un plano que pase por ellos; piense, por ejemplo, en que los puntos sean colneales). Supongamos que efectivamente n = u x v es no nulo. En tal caso, nuestro problema queda resuelto: el plano que pasa por PI (digamos) tiene a n = ti X V por vector normal est constituido por los puntos q = y, z) de modo que el vector q - PI = (x - XI, Y - YI, Z - ZI) es ortogonal a n. Es decir, n y Obsrvese que se trata de un triple producto escalar. Escribindolo explcitamente, la ecuacin procurada del plano es entonces X- Xl Xl Y- YI Y2 - y, Y3 - det z - z, ] Z2 - ZI Z3 - Z, X2 [ = X3 -Xl YI y- 1 Ejemplo 4. Obtengamos la ecuacin del plano que pasa por los tres puntos PI = (l, 1, 2), P2 = (3,6,5), P3 = (-2,4, -8). Segn la frmula que acabamos de obtener, la ecuacin procurada es 0= det o sea 1 y- 1 z- 2 ] 3 - 1 6-1 5- 2 -2 - 1 4 - 1 -8 - 2 X- [ = det [X - 2 -3 1 5 3 -59(x - l) o bien + ll(y - 1) + 21(z = 2) = 59x - lIy - 21z - 6 1.6 Rectas y planos en ]R.3 63 Ejemplo 5. Es claro que si n = (a, b, e) es un vector normal a un plano n, cualquier vector del tipo kn = (ka, kb, ke), con k E IR, k =1 0, es tambin un vector normal al plano. Los planos ax+by+ez = d, a' x+b' y+e' z = d' sern paralelos si y slo si su vector normal es "esencialmente el mismo". Ms an, si el vector n' = (a', b' , e'), normal al segundo plano, es un mltiplo escalar del vector n = (a. b, e), normal al primer plano. Es decir, si existe k E IR, k =1 0, tal que n' = kn. Por ejemplo, los planos 2x - 5Y + 4z = 1, 8x - 20y + 16z = 7 son paralelos, pues el vector n' = (8, -20,16) normal al segundo plano es iguala 4 veces el vector n = (2, -5,4), normal al primero. 111 Estudiaremos ahora las ecuaciones de las rectas en ]R3. Para determinar una recta en el espacio es suficiente conocer (*) un punto p = (xo, Yo, zo) por el que pasa (*) un vector v = (a, b, e) paralelo a la recta En efecto, si v = (a. b, e) es un vector paralelo a la recta (digamos que es el vector que "marca la direccin de I!"), y la recta pasa por el punto p = (XO, Yo. zo), entonces el punto q = (x, y. z) pertenecer a si y solamente si el vector q - p = (x - xo. Yo. z - zo) (que se encuentra sobre la recta) es paralelo al vector v (ver figura 2). Es decir, debe existir t E IR (para cada punto q), tal que q - p = tv. Haciendo explcita esta condicin se tiene e e y- (x - xo, y - Yo. z - zo) = tea, b, e) de donde x = Xo + at, y = Yo + bt, Z = zo + et, donde t E IR (mientras t recorre IR, el punto q = (x. y, z) recorre la recta). Estas ecuaciones se conocen como las ecuaciones paramtricas de la recta (el nmero real t es "el parmetro") y, por su importancia, las dejamos escritas dentro de un cuadro (2) f + ta V = va + tb l ~ = ~o + te x = Xo Ecuaciones paramtricas de la recta que pasa por (xo. Yo, zo) y tiene a v = (a, b. e) por vector paralelo v = (a. b. e) y x Figura 2. La recta que pasa por (xo, yo. e lO) y tiene a v = (a, b, e) por vector paralelo. 64 Captulo 1 Introduccin al espacio ]R" y al lgebra lineal Ntese que, despejando e igualando el parmetro t de cada una de las ecuaciones paramtricas de la recta, la ecuacin anterior tambin se puede escribir tambin como x - Xo a y - Yo b Z - Zo C Veamos algunos ejemplos. Ejemplo 6. Obtengamos la ecuacin de la recta que pasa por el punto p = (2, -3,7) Y tiene a v = (-4, -6, 1) por vector paralelo. Segn la ecuacin (2), la recta procurada es X { = 2 - 4t Y = -3 - 6t z=7+t tE JR Consideremos dos planos alx + by + CZ = dI, a2X + b2 y + C2Z = d l que no sean paralelos. La interseccin de estos dos planos es una recta cuya ecuacin se puede determinar resolviendo simultneamente las ecuaciones de los planos. Estas son dos ecuaCiones con tres indeterminadas, lo que permite dejar escritas dos de ellas en trminos de la tercera. El ejemplo siguiente ilustra cmo proceder en este caso. Ejemplo 7. Obtengamos la ecuacin de la recta de la interseccin de los dos planos 2x- 3 y+ 10z = 1, x - y - z = 2. Estos planos no son paralelos (por qu?). Podemos, por ejemplo, dejar la variable z como "variable libre", digamos z = t E ]R, Yresolver el sistema 2x - 3y = 1 lOt, x-y=2H para x y y. Obtenemos que x = 5 + 1 paramtricas a y = 3 + 121. As pues, la recta buscada tiene por ecuaciones 1;, = :3 ~ i2~ lz= t Yse trata de una recta que pasa por el punto p Ejemplo 8. Consideremos las dos rectas X (,.='1-1-1" t E JR (5,3, O) Y tiene a v = (13, 12, ) por vector paralelo. R tI = { = 1 + 2t y= -2-3t Z = 5 + 4t X =7 tl = { Y = 2 + 2s z = 1 - 2s + 3s con t, S E JR (por razones que en este ejemplo se harn evidentes, conviene denotar de manera distinta a los parmetros de las rectas). Nos preguntamos si existe algn punto comn a ambas rectas. Es decir, si las rectas se intersectan en algn punto. Para que esto ocurriera, tendra que existir un valor de t y uno de s que hicieran que la x, y, z de la primera recta fuera igual a las correspondientes de la segunda. Es decir, que se cumpliera 1 + 2t = 7 + 3s -2-3t=2+2s 5 + 4t = 1 - 2s -----------_. 1.6 Rectas y planos en ]Ro 65 En este caso se ve fcilmente (haciendo las cuentas!) que este sistema de tres ecuaciones con dos indeterminadas tiene solucin para t = O Y s = -2. Sustituyendo estos valores de los parmetros en las ecuaciones de las rectas, encontramos que el punto comn de ambas es O, -2,5). Ms an, sabiendo ya que ambas rectas se intersectan, nos preguntamos por el plano que las contiene, es decir, el plano en el que se hallan simultneamente ambas rectas. Para lograrlo, necesitamos un punto por el que pasa el plano (lo cual no es problema, pues cualquier punto de cualquiera de las dos rectas es un punto del plano) y un vector normal a l. Es claro que este vector debe ser ortogonal a todos los vectores que se encuentran sobre las rectas. En particular, debe ser perpendicular a los dos vectores paralelos a ambas rectas, que son VJ = (2, -3,4) Y V2 = (3,2, -2). El producto cruz de estos vectores nos sirve entonces como vector normal al plano que buscamos. Este es j -3 2 -2 ~] = -2i + 16j + l3j De modo pues que el plano que contiene a ambas rectas es (tomando, por ejemplo, el punto (1, - 2, 5) que es comn a ambas rectas como punto por el que pasa el plano) -2(x - 1) + 16(y + 2) + l3(z - 5) = O o sea - 2x + 16 y + l 3z - 3l =O Llamamos la atencin al hecho de que hubiramos podido escoger como punto por el que pasa el plano, cualquier punto de cualquiera de las dos rectas y el resultado debe ser el mismo. Obsrvese que si tomarnos un punto arbitrario de la primera recta, o sea (l + 2(, -- 2 - 3(, 5 + 4t), el plano que pasa por este punto y tiene a v . (- 2, 16, 13) por vector normal es -(l+2t))+16(y .... o sea, simplificando - 2x la segunda recta. Ejemplo 9. -3t))+ 13(z-(5+4t))=O + 16y + 13z ~ 31 = O. As mismo ocurre si tomamos cualquier punto de Consideremos las dos rectas X PI = { = -7 + 3t y = -4 +4t z = -3 - 2 X = 21 + 6s P2 = { Y = -5 - 4s z= 2 - s Al estudiar el sistema -7 + 3t = 2l + 6s -4 + 4t = -5 4s -3 - 2t = 2 - s vemos que ste no tiene solucin. Esto significa que tales rectas no se intersectan. Adem,s, es fcil convencerse de que tales rectas no son paralelas, pues sus vectores paralelos VI = (3,4, -2) Y V2 = (6, -4, - 1) son linealmente independientes. Nos planteamos el problema de encontrar la distancia ms corta que existe entre estas dos rectas. Este es un problema interesante que puede ser atacado desde puntos de vista muy diversos con distintas herramientas. Por ejemplo, se puede resolver 66 Captulo 1 Introduccin al espacio IR" y al lgebra lineal (usando el clculo que estudiaremos a partir del prximo captulo) como un problema de extremos de funciones de dos variables (ver seccin 6 del captulo 4, ejercicios 43-46). Ahora presentamos un argumento "sin clculo" que resuelve el problema. La idea general es "meter" la recta PI en un plano n de modo que la recta P2 quede paralela a este plano; logrando esto, la distancia procurada no es ms que la distancia de un punto (cualquiera) de la recta P al plano n. Los detalles son los siguientes: 2 los vectores VI = (3,4, -2) Y V2 = (6, -4, -1) son paralelos a las rectas PI y P respectivamente. 2 Procuramos un vector (a, b, e) que sea ortogonal a ambos. Se debe cumplir entonces que 3a + 4b - 2e =O 6a - 4b - e = O (este sistema tiene una infinidad de soluciones, lo cual, desde el punto de vista geomtrico resulta (4,3, 12) es un vector como el que perfectamente explicable), de donde, por ejemplo el vector n procuramos. El plano que contiene a PI y tiene a n por vector normal es 4x + 3y + 12z + 76 = O. Es claro que P qued paralela a este plano. Tomando entonces un punto cualquiera de P , digamos 2 2 (21, - 5, 2), Ycalculando la distancia de ste al plano obtenido (la frmula de la distancia de un punto a un plano se obtiene en el ejercicio 34 al final de esta seccin) se llega a d= 14(21) + 3(-5) )(4)2 + 12(2)1 + (3)2 + (12)2 - _ 1'1 lJ Esta es la distancia procurada. Con las mismas ideas manejadas en este ejemplo, se puede demostrar que la distancia d entre dos rectas no paralelas PI y P viene dada por 2 en donde PI y P2 son dos puntos cualesquiera sobre las rectas PI y E , respectivamente, y VI Y V2 son 2 vectores paralelos a estas rectas. Dejamos al lector como ejercicio que d el argumento que valide esta frmula. III Ejercicios (Captulo Seccin En los ejercicios 1-5, determine la ecuacin del plano que pasa por el punto p y tiene al vector n como vector normal. 1. p=(O,O,O),n=(1,l,l) 2. p = (2, 1, 1), n = (1,0, O) 3. P = (3,4,5), n = (0,2,3) 4. p = (2, -1, O), n = (3, 2, 6) = (O, 2, O), n = (- 2, -7, 4) 5. P 6. Hallar la ecuacin del plano que pasa por p = (xo, Yo, Zo) y tiene a p por vector normal. 1.6 Rectas y planos en ]R3 67 7. Considere los puntos p = (1, -1,3), q = (3,2, 1). Hallar la ecuacin del plano: a. que pasa por p y tiene a 11 = P - q por vector normal; b. que pasa por q y tiene a 11 = q - p por vector normal. 8. Hallar la ecuacin del plano que pasa por el punto p = (5, 1, 1), si se sabe que los vectores u = (2, 1,2), v = (-4, -5,7) son paralelos a l. 9. Hallar la ecuacin del plano que pasa por los dos puntos p = (1, 1, O), q = (3,2,4), si se sabe que el vector u = (7, -1, -3) es paralelo a l. En los ejercicios 10-14, determine si los puntos p y q pertenecen al plano dado. 10.3x-y+z=l,p=(0,O,I),q=(1,I,-I) 11. z = 3, p = (3, 1,3), q = (3,3,5) 12. x + y - 4z = O, P = (O, 0, O), q = (2, 2, 1) 13. 3x - 2y = 0, P = (2, 1, 1), q = (-3,2,5) 14. x + y - 2z = 10, p = (5,7,2), q = (5,7,1) En los ejercicios 15-18, determine un punto por el que pasa el plano dado y un vector normal a l. 15. 3x +z= 16. Y = 3 17. x - y 18. 3x - 2y z= 5 + 7z = 23 En los ejercicios 19-23, determine si los planos dados son paralelos, perpendiculares, o si no estn en ninguno de estos dos casos. (r'''ota: dos planos son perpendiculares si sus vectores normales lo son). 19. 3x +y z = 3, Z -- y = 8 20. x+4y-2z= 1,2x+8y-4z=7 21. y = 3, Y = 7 Z= 22. x = O, +z=9 = (3, 2, 2) Y es paralelo al plano 23. x - y + z = 1, x - y 24. Hallar la ecuacin del plano que pasa por el punto p 3x - 2y + z = 6. 25. Hallar la ecuacin del plano que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular al plano 4x - y + z = 9. En los ejercicios 26-30, determine la ecuacin del plano que pasa por los tres puntos dados. 26. P 27. 28. = (0,0, O), q = (3,1,1), r = (-1, 2,4) P = (2, 1, O), q = (0,0,7), r = (2, 1, 1) P = (1, -1, -1), q = (8,4,2), r = (2, 1, 5) 68 Captulo l Introduccin al espacio iR" y al lgebra lineal 29. p = (1,4,9), q = (-3, 1.5), r = (4.4. 11) 30. p = (a, 0, O), q = (O. h, O), r = (0.0, c) 31. Demuestre que la ecuacin de un plano que pasa por el punto p = (xo. Yo, zo), tal que los vectores ti = (al, h l . CI), V = (a2, b 2. C2) (no colineales) son paralelos a l, se puede escribir como X + Xo al a2 det z CI Zo] C2 [ = = (XI. YI. Z1), 32. Demuestre que la ecuacin de un plano que pasa por los puntos p = (xo, Yo. Zo) y q tal que el vector u = (a. b, c) es un vector paralelo a l, se pude escribir como det [ x: X- Xo Xo y - Yo Y - Yo h zZl ~ Zo ] Zo =O Considere el plano que pasa por el origen Ax + By + Cz = 0, y sea p = (xo. Yo. Zo) un punto que no pertenece al plano. Use la proyeccin del vector p sobre el vector (ortogonal al plano) Xl = (A, B, C), para demostrar que la distancia perpendicular del punto p al plano es d _ lAxo + B.vo + Czol - -- J A 2 + B2 --C2 Demuestre que la distancia (perpendicular) del punto p D = 0, es = (xo. Yo. 20) al plano Ax + By + Cz + En los ejercicios 35-37, calcule la distancia del punto p al plano dado. = 37. P (5, 30, 426), x = 3 36. p'=(3.-2.5),2x-y+z=0 =- (1, 1,5), 2x + 3y - 2z = 4 38. Habiendo verificado que los planos 2x + y - z = 4, 4x + 2y - 2z _. 5 = la distancia entre ellos. ,/ son paralelos, calcule 39. SupongaquelosplanosAlx+Bly+C]z = D I,A 2x+B 2y+C2Z = D 2 sonparalelos. Obtenga una frmula para calcular la distancia entre ellos. 40. Dos caras de un cubo se encuentran en los planos 3x - Y + 2z = 5, 3x - y + 2z = 7. Calcule el volumen del cubo. 41. Demuestre que los planos paralelos al plano Ax + By + Cz = D que distan de ste r unidades, son Ax + By + Cz = D rJ A2 + B2 + C2. 42. Suponga que los planos perpendiculares x + Y - 2z = 2, 2x + z = 5 dividen a un cubo de volumen 64 en cuatro paraleleppedos. Si el centro del cubo se encuentra en el punto (2.2, 1), determine las ecuaciones de los planos en donde se encuentran las caras del cubo. 1.6 Rectas y planos en IR 3 69 43. Los vectores u. = (1,2,1), v (-3,1,1), W = (1, -4,7) determinan 3 de las aristas de un paraleleppedo. Halle las ecuaciones de los planos en que se encuentran sus caras. 44. Hallar un punto en el eje x que equidiste de los dos planos paralelos 3x - y 3x - y + 22 = 13. 46. Demuestre que los tres planos x + y solo punto. Determine este punto. + 22 = 6, 45. Hallar un punto en el eje y que equidiste de los dos planos 2x + 2y + 2 = 0, 4x - 3y = 2. +z = 6, x - y - z = 0, 2x - 3y + 2 = 1 se cortan en un 47. Determine los puntos donde se encuentran los vrtices del cubo del ejercicio 42. 48. Determine los puntos en que se encuentran los vrtices del paraleleppedo del ejercicio 43. En cada uno de los ejercicios 49-51, determine la ecuacin de la recta que pasa por el punto p dado y tiene al vector v como vector paralelo. 49. p = (0,0, O), v = (1, 1, 1) 50. P 51. p = (O, 1, O), v = (O, 1, O) = (2, -4, -7), v = (3, 1,2) 52. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto p = (2, 1, 1) Y es paralela al vector que une p con el punto q = (2, -3, -5). 53. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto p = O, 4, 7) Yes perpendicular al plano 3x - 2y + z = 9. 54. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto p paralelo. (xo, Yo, zo) y tiene a p por vector En los ejercicios 55-57, determine la ecuacin de la recta que pasa por los dos puntos dados. 55. p = (3,9, 7), q 56. p = (-1,2,5) (-2, 3, 2) = (2,1,6), q = 57. P = (0,0, O), q = (2, 6, 5) 58. Determine las ecuaciones de las rectas donde se encuentran las diagonales del cubo del ejercicio 42. Halle el punto donde stas se cruzan. 59. Determine las ecuaciones de las rectas en quee se encuentran las diagonales del paraleleppedo del ejercicio 43. Halle el punto donde stas se cruzan. En los ejercicios 60-62, determine si los puntos p y q se encuentnrn en la recta dada. X=2+t 60. { y 2 = -3t =t p = (2, O, O), q = (3, 1, 1) p X=1+2t 61. { y = 2 - 3t = (5, -4, 1), q = (-1, 5, O) z=l+t 70 Captulo I Introduccin al espacio IR" y al lgebra lineal X 2+,t p = (0,0, O), q 63. { y = -3t 2 (2, 1, 1) = t 63. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por p = (2, 1, 4) Y que es paralela a la recta x = 3t, Y = -2 + 4t, 2 = -t. 64. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el origen y es perpendicular a la recta x Y = 3 + 4t, 2 = -St. = 3 - 2t, 65. Los puntos A = (2, 1,3), B = (-2,7, S), e = (2,3,2) son los vrtices de un tringulo. Hallar las ecuaciones de las rectas donde se encuentran las medianas de este tringulo (es decir, las rectas que salen de uno de los vrtices hacia el punto medio del lado opuesto de l). Constate que estas tres rectas se cruzan en un punto. 66. Hallar los puntos de interseccin de la recta x coordenados. 67. Hallar el punto de interseccin de la recta 68. Verifique que la recta x X = 3 + t, v~ I y = 2 - t, 2 = 4 - St, con los planos 23 = = 2, con el plano 2x +y- 2 = l. 22 = v; = ~ se encuentra contenida en el plano x 2y + 32 - 4 = O. 0, 69. Compruebe que la recta ~5 = = como en el plano 2x + 3y - 22 = -5. W z;:/ seencuentracontenidatantoenelplano.sx-+-Y+2 = En cada uno de los ejercicios 70-73, determine las ecuaciones paramtricas de las rectas que resultan de la interseccin de los planos dados. 70. 2x 71. 72. + 3y - 2 - 4 = O, 3x + y 3x + y - 42 = 0, 5x + 2 = 2. x + y -+ 2 = 2, x - y-+- z = 3. 2 = O. 73. x = 0, y = O. 74. Verifique que las dos rectas L = {x = 3t, Y = 2t,2 = 1,1 E IR}, L 2 {x = --3/, Y -t, 2 = t, / E IR} se cortan en un punto. Determine la ecuacin de! plano en el que stas se encuentran. 75. El punto p = (2, 1, -1) se encuentra en el plano x - y + z= O. Determine la forma general de las ecuaciones de las rectas que pasan por p y que se encuentran sobre el plano dado. 76. El punto p = (1,3,2) se encuentra en el plano x + y - 2z = O. Determine la forma general de las ecuaciones de las rectas que pasan por p y que se encuentran sobre el plano dado. 77. Hallar la distancia entre los puntos de interseccin de la recta x = 3 - 2t, Y = 2 = t, con los planos paralelos 2x + y + 2 = 3, 2x -+ y + 2 = 9. Es sta la distancia entre los dos planos paralelos dados? 78. Hallar la distancia entre los puntos de interseccin de la recta x = S + t, Y = 3 - 2t, Z = 4 + 31, con los planos paralelos x - 2y + 32 = 2, x - 2y + 32 = 6. Es sta la distancia entre los dos planos paralelos dados? En los ejercicios 79-82 compruebe que las rectas dadas son paralelas. 1.6 Rectas y planos en IR 3 71 X =5 79. { y= Z + 3t -2 + 5t. =t { = 7 - 6t Y = -lOt Z = 4 - 2t X 80. X=3+t y = 4t . { Z = 2 - 2t X=l-t y = 3 + 2t , { z=-2+5t 2X+Y-Z=7 ' 2X+Z=5 4x + y +4z = 7 { -X-3 Y +Z=6 2x - 4y + 2z = 3 { X { 81. 82. { x+y=6 6x + 3y + 2z = 4 + 2y - 4z = 3 En los ejercicios 83-85, verifique que las rectas dadas son perpendiculares (es decir, sus vectores paralelos son perpendiculares). 83. { X = 2 - 3t Y 3- t , z=l+t X=5+t y = 1+t { Z = 5 + 4t (X=2-l 84. ~ y=3-t. lz=5+t { X+ Y -Z=5 2x - 4z = 7 85. { x+y+z=6 2X v z=7 X+Y+Z=4 { x + 3y""':' 5z = 5 86. Demuestre que la distancia d entre el punto p = (Xl, YI. Z1) Yla recta x = Xo Z = Zo + el, est dada por d = II(a. b, e) x (Xl - XO. YI - Yo, ZI - zo)11 lI(a, b, e)1I + at, y = Yo + bt, En los ejercicios 87-89, use el resultado del ejercicio anterior para calcular la distancia entre el punto p y la recta dada. X 87. P = (1,2,3), { = 5 - 4t Y = 1+t Z = 3t 88. P = (-2, 4, 5), X=I+t y = 2 + 3t { Z -1 + 5t X { 89. p = (1, 1, 1), + Y - 2z = 5 x-y-z=13 En los ejercicios 90-92, calcule la distancia entre las dos rectas dadas (ver ejemplo 9). X 90. { = 1 + 2l Y = -1 + l, Z= t x = Y = 2z 72 Captulo 1 Introduccin al espacio ]Rn y al lgebra lineal X 91. { = 5 + 3t Y = 1 2t, X { z=3 =1 Y = 5t z= 2- t 92. x=y=z 3X - y + z = 5 { x+y+z=4 (*) 93. (Planos en JRn). Dado un punto Po = (Xlo' x20' ... , x no ) E JRn y un vector no nulo v = (al, a2,"" an ), el plano (o hiperplano) en JRn que pasa por Po Y tiene a v por vector normal es el conjunto de puntos x = (Xl, X2, ... , X n ) E JRn tales que v . (x - Po) = O, o bien, tales que al (XI - Xl o) + a2(x2 - X2 o) + ... + an(x n - x no ) = O a. Concilie esta definicin con la dada en el texto. Encuentre la ecuacin del plano en JR4 que pase por el origen y tenga al vector v (1, 1, -1, -1) por vector normal. Encuentre la ecuacin del plano en que pase por el punto Po = (1, 2, O, -1) Ytenga al vector v = (O, 1, O, 1) por vector normal. Dos planos en JRn se dicen ser paralelos si sus vectores normales son linealmente 3 dependientes. Encuentre la ecuacin del plano en JR4 paralelo al plano X + 3 y - 6z + 5u que pase por el punto Po = (1, 1, 1, O). Dos planos en JRM se dicen ser ortogonales si sus vectores normales lo son. Si denotamos por (x, y, z, u) los puntos de JR4, demuestre que los planos coordenados x = 0, y = 0, z = O, u = O son ortogonales entre s. M,ls an, (demuestre que) los planos coordenados del espacio JRn, a saber Xl = O, X2 = O, ... , x" = O, son planos ortogonales entre s. Considere los siguientes cuatro planos en JR4 nI: pasa por Po = (1,2, O, 2) Ytiene a v (1,1, 1, 1) por vector normal. pasa por 1)0 = (0,0,0, O) Ytiene a v = (2, -1, 1, 3) por vector normal. n3 : pasa por Po = (3, O, -1) Ytiene a v = (-1,4, -2, -3) por vector normal. n4 : pasa por Po = (1, 1, -1, O) Ytiene a v = (1, -3, 1, 1) por vector normal. Demuestre que estos planos tienen un punto comn. Determnelo. Detennine la ecuacin del plano en ~4 que pasa por el origen de coordenadas y por los puntos A = (1,0,2, 1), B = (1, 1, O, O), e = (0,2, 1, 3). Determipe la ecuacin del plano en JR5 que pasa por el origen de coordenadas y por los puntos A = (1,0,1, O, O), B = (3,1,1, 2,1), e = (0,1, -1, 2, 3), D = (1,1, -1, -1, -1). Determine la ecuacin del plano en JRn que pasa por los n puntos Pi = (O, ... ,0, ai, 0, ... , O) (el nmero Qi #- en la i-sima coordenada), i = 1,2, ... , n. b. c. d. e. f. g. h. i. ("') 94. (Rectas en ~n). Dado un punto Po = (Xl o ' x20, ... , X"o) E JRn y un vector no nulo v ,= (al, a2, ... , Gn ), la recta en JR" que pasa por Po Y tiene a v por vector paralelo es el conjunto de puntos x = (XI, X2, ... , x,,) E JRn tales que el vector x - Po es paralelo al vector v, o bien, en forma ms explcita, tales que X; = Xio + a;t, donde tER i = 1,2, ... , n. Obsrvese que la ecuacin de una recta semejante se puede escribir como una serie de n - 1 igualdades de la siguiente manera Xl al Xl o X2 ~ no = ... = ----"~ Xn - x a. Determine la ecuacin de la recta en ~4 que pasa por el origen de coordenadas y tiene al vector v = (1, ], ], 1) por vector paralelo. 1.7 Transformaciones lineales 73 b. Encuentre la ecuacin de la recta en JR4 que pasa por el punto Po vector v = (-1,1,3, -5) por vector paralelo. = (2, 1, 1,4) Y tiene al c. Encuentre la ecuacin de la recta en JR4 que pasa por el punto Po (1, -1, 3, -4) Y es ortogonal al plano 3x - 2y + 4z - 3u = 7 (es decir, los vectores paralelo a la recta y normal al plano, son paralelos). Encuentre la ecuacin de la recta en JR" que pasa por el origen de coordenadas y tiene al vector v = (1, 1, ... , 1) por vector paralelo. Determine la ecuacin de la recta en JR4 que pasa por los dos puntos p q=(3,1,1,6). d. e. f. = (2, 1, 1, 3), Dos rectas en ]R" se dicen ser paralelas si sus vectores paralelos correspondientes lo son. Determine la ecuacin de la recta en JRs que pasa por el punto p = (1, 0, 0, 0, 1) Y es paralela a la recta X2 - 5 XI - 2 +4 X4 - 9 Xs -7 7 3 4 -3 l Determine el punto donde la recta en JR4 g. -10 = -10 = - - = - -1 -1 intersecta al plano XI h. XI - 3 X2 - 1 X3 - 2 X4- 5 + 3X2 + 5X3 - 2X4 = 80. x-y-z+2u i. Demuestre que los siguientes tres planos en ]R4: x + y - 2z - u = 2, 3x - y + z + u = 1, = 1, se intersectan enlos puntos de la recta en JR4 que pasa por (O, -10, -3, -6) Y tiene al vector (1, 17,4, 10) por vector paralelo. Denmestre que las dos rectas en ]R4 (X = 2t L: Y =t-3 t '" z =:Jt- 3 ' u = 2t 3 t ( x = 2t y = -'-3t + 2 , z=t+2 u tE JR =t se intersectan en un punto. Determnelo. j. Considere el tringulo en ]R4 cuyos vrtices son A = (l, 1, 2, 1), B = (3, 1, 3, -2), e = (4, -3,2,2). Determine las ecuaciones de las medianas de este tringulo. Compruebe que stas se cortan en un punto. 1.7 Transformaciones lineales En esta seccin vamos a recordar algunas de las definiciones y resultados bsicos que aparecen en el estudio de las transformaciones lineales, (tema que pertenece al mbito del lgebra Lineal). Comenzamos por dar la definicin de este tipo de funciones. Definicin. Se dice que la funcin T: JR" ---> ]Rm es una transformacin lineal si: (1) T(x + y) = T(x) + T(y), x, y E JR"; (2) T(ex) = eT(x), e E JR, x E JR". El ncleo de la transformacin T, denotado por Ker T, es el conjunto de los vectores x E JR" cuya imagen 74 Captulo 1 Introduccin al espacio IR" y al lgebra lineal es el vector O de ]Pi.m, y la imagen de la transformacin T, denotada por 1m T, es el conjunto de los vectores y E ]Pi.m tales que y = T(x) para alguna x E ]Pi.". Es decir Ker T 1m T = {x E ]Pi./lIT(x) = O} = {y E ]Pi.m Ir = T(x), x E ]Pi./l} A una transformacin lineal T:]Pi./l --+ ]Pi./l del espacio]R./l en l mismo se le llama operador lneal (en ]Pi./l). Una condicin equivalente para que la funcin T:]Pi./l --+ ]Pi.m sea una transformacin lineal, que contiene a las condiciones (1) y (2) de la definicin anterior, es que T(x + ey) = T(x) + eT(y), e E ]Pi., x, y E ]Pi./l. Obsrvese que siendo T:]Pi./l --+ ]Pi.m una transformacin lineal, entonces T(O) = O. Es decir, la imagen del vector O E ]R./l es siempre el vector O E ]R.m. En efecto, usando la propiedad (1) de la definicin anterior, se tiene T(x) = T(x + O) = T(x) + T(O), de donde, por la unicidad del vector O E ]R.m se tiene que T(O) = O. Dejamos que el lector d otro argumento de este hecho utilizando la propiedad (2) de la definicin dada de transformacin lineal. Se tiene entonces que tanto el ncleo como la imagen de una transformacin lineal son conjuntos no vacos (de]R./l y ]R.m, respectivamente), pues al menos el vector O de ]R./l est en su ncleo y al menos el vector O de ]R.m est en su imagen. Otro hecho importante que se deduce fcilmente de la definicin dada de transformacin lineal es que tanto el ncleo de T como su imagen, son subespacos (de ]R./l y lRm , respectivamente). En efecto, si x, x' E Ker T (j.e. T(x) = T(x') = O), entonces T(x + x') = T(x) + T(x') = O +- O = 0, por lo que x + 'Ji/ pertenece tambin a Ker T. Por otra parte, si e E JR Y x E Ker Y, entonces T(ex) = eT(x) = e(O) = 0, por lo que ex tambin en Ker T. Segn el teorema 1.1.1 concluimos entonces que Ker T es un subespacio de ]R.". Dejamos al lector verificar que 1m T es tambin un subespacio de ]R.m (codominio de la transformacin T). A la dimensin del ncleo de la transformacin lineal T se le llama nulidad de y a la dimensin de su imagen se le llama rango de T. Uno de los resultados clsicos importantes que aparecen en el estudio de las transformaciones lineales T:]R." --+ JRm, que relaciona la nulidad y el rango de T con n = dimensin elel espacio lR/l, es el siguiente teorema que enunciamos sin demostracin. Teorema 1.7.1 Entonces (Teorema de la dimensin). Sea Y:]R." - .... ]R.m una transformacin lineal. dim(Ker T) +dim(Im T) = n Ejemplo 1. La funcin identidad T:]R." --+ ]R.", T(x) = x, es una transformacin lineal, pues T(x + ey) = x + ey = T(x) + eT(y), e E JR, x, y E lR". Su ncleo consta solamente del vector Ode ]Pi." y su imagen es todo ]R.". La nulidad de T es entonces O y su rango es n. 11 Ejemplo 2. lineal, pues La funcin T:]R.2 --+ ]R.3, dada por Y(x, y) = (x+ y, 2x, 3x-4y) es una transformacin T((x, y) + e(x', y' + ex', y + el) = (x + ex' + y + el, 2(x + ex 3(x + ex') - 4(y + ey' = (x + y + e(x' + l), 2x + e(2x'), 3x -- 4y + e(3x' - 4y' = (x + y, 2x, 3x - 4y) + e(x' + y', 2x', 3x' - 4y') = T(x, y) + eT(x', y') = T(x l ), 1.7 Transformaciones lineales 75 Su ncleo est formado por aquellos vectores (x, y) de JRz tales que T(x, y) = (x + y. 2x, 3x - 4y) = (0,0, O) Es claro que slo el vector (O, O) de JRz cumple con esta condicin, Es entonces el nico vector del ncleo de la transformacin T. La imagen de T est formada por aquellos vectores (x, y. z) de JR3 para los cuales existe (a, b) E JRz tal que T(a, b) = (x. y, z), Es decir, vectores (x, y, z) para los que existe a y b tales que T(a, b) = (a + b. 2a. 3a -- 4b) = (x, y, z) Esta condicin es equivalente a plantear el siguiente sistema de 3 ecuaciones en las indeterminadas a,b a + b = x, 3a - 4b = z 2a = y. del cual queremos saber condiciones sobre x, y, z para que el sistema tenga solucin, Usando eliminacin en este sistema, se llega a que (x, y. z) est en la imagen de T si y slo si 8x-7y+2z = 0, Es decir, la imagen de T est formada por los vectores del plano 8x - 7y + 2z = 0, El lector puede verificar que f3 = {( I, 0, -4), (O. 2, 7)} es una base de 1m T, por lo que el rango de Tes 2., Se cumple entonces el teorema de la dimensin, pues la nulidad de T (que es O) sumada al rango de T es igual a 2 = dim JRz , 11 Una transformacin lineal T: JRn -> JRm queda completamente determinada si conocemos las imgenes de los vectores el, ez, . ",, en de una base de JRn, Ms an, si f3 = {el. ez., . '" en} es una base del espacio JRn, existe una nica transformacin lineal T: JRn ---> JRm tal que T(c) = Yi E JRm, en la que YI, Yz", . , y" son vectores dados.. En efecto, si x E JR" es un vector cualquiera de JRn, podemos escribirlo en trminos de la base f3 como x= CICI + CzCz + .' ,+ CnCn donde Cl, Cz,. ., Cn son escalares bien determinados. Entonces la imagen de x bajo T queda determinada por (aplicando el hecho de que T es lineal) T(x) = T(cc + C2C2 + + cnen) =cIT(c)+C2T(e2)+ ,,+cnT(cn) = CYI + C2Y2 +., . + CnYn Dejamos a cargo del lector la verificacin de que esta funcin es efectivamente una transformacin lineal y que es nica Ejcmplo 3. Segn la discusin anterior, slo hay una transformacin lineal T: JR2 --; JR3 tal que T(l, O) = (1,2,3), T(O, 1) = (1,0, -4), Esta transformacin es tai que en (x, y) es T(x, y) = T(x(!, O) + y(O, 1 = = (x + y, 2x, 3x - 4y) xT(l, O) + yT(O, 1) = x(l, 2, 3) + y(!, 0, -4) Esta es, de hecho, la transformacin lineal del ejemplo 2, Una transformacin lineal T: JRn -> JRm es inyectiva (es decir, si X y X2 E JRn son dos vectores distintos. entonces sus imgenes T(XI) y T(X2) son distintas) si y slo si su ncleo consta solamente 76 Captulo 1 Introduccin al espacio IR" y al lgebra lineal del vector O E JRn En efecto, suponga que Ker T = {O} Yque T(x) = T(X2); siendo T lineal se tiene T(x] - X2) = O, de donde XI - X2 es un vector del ncleo de T; debe ser entonces el vector O; se debe tener entonces que XI = X2 Esto prueba que T es inyectiva Por otra parte, si T es inyectiva, y el vector v est en el ncleo de T, entonces T(O) = T(v) = O, por lo que v = O (pues Tes inyectiva!); es decir, Ker T = {O}, Esto prueba nuestra afirmacin., Si el operador lineal T: JRn -> JRn es inyectivo, se dice que es un isomorfismo. De hecho, se puede probar que T es un isomorfismo si y slo si Tes sobreyectivo (es decir, si su imagen es todo JRn), Un hecho que usaremos de forma importante en el captulo 2 de este libro es que a toda transformacin lineal T: JRn -> JRlIl se le puede asociar una matriz de orden m x n, que denotaremos por [T], tal que la accin de T sobre un vector x E JRn pueda verse como "una multiplicacin por la matriz [T]"., Los detalles son como sigue: fijamos inicialmente una base f31 = {el, e2, . , ." en} de JRn y una base f32 = {e~, e~", ,, e~} de JRm. Para simplificar la discusin, pensemos en estas bases como las cannicas. Vamos siempre a identificar a un vector!; = ({I, , .,' {p) E JRP con su matriz de coordenadas (respecto de la base cannica) T(x) = (CI, C2, ." Dado un vector X = (x], x2, ." ,xn) E JRn, la imagen ele l bajo T es un vector de JRm, digamos ,cm)' Por otra parte, con el hecho de que T es lineal y escribiendo al vector x en trminos de la base f3J, se tiene T(x) = T(x]e n + X2e2 + ".. + xne n) +xnT(en) = x I T(e)+x2 T (e2) + ' = xJ(e)) )=1 Cada vector T( e)) E JRm se puede escribir en trminos de la base T(ej) = f32 = {e;, e~, j , e~} como ,n a]je~ + a2je~ +, + amje~ = 1Il aijef = 1,2, i=] Entonces T(x) ~ t.XT(e) ~ t. X t,a;e: ~ t, (t.aux) n e: En vista de la unicidad de la representacin de un vector en trminos de una base, concluimos que, siendo T(x) = (CI, C2, ... , cm), los escalares C i = 1,2,., ,m son Ci = aijxj j=1 En otras palabras, el vector T(x) se puede presentar como T(x) = Ax 1.7 Transformaciones lineales 77 donde la matriz A (que denotaremos por [TD, de orden m x n tiene elementos aij Decimos que esta matriz representa a la transformacin T (en trminos de las bases cannicas de los espacios ]Rn y ]Rm). Ms an, la j-sima columna de esta matriz tiene las coordenadas del vector T(e) en trminos de la base 132. Esquemticamente i T(ez) 1 ]Rz Ejemplo 4. Sea T:]RZ --t ]R2 dada por T(x, y) = (2x - y, 5x + Sy). Tomando la base cannica de tenemos que T(e) = T(l, O) = (2,5), T(e2) = T(O, 1) = (-1, S). Estos vectores van a constituir las columnas de la matriz [T]. De hecho [T] +J = [52 -SI] y Obsrvese entonces que la imagen del vector (x, y) se puede determinar como 2 T(x, y) = [ 5 Ejemplo 5. (x -l][X] S = Y [2X- Sy ] 5x + --t Consideremos la transformacin lineal T:]R2 4y) . Puesto que ]R3 del ejemplo 2, T(x, y) + y, 2x, 3x - T(l, O) = (1,2,3), T(O, }) = (1,0, -4) la matriz que representa a T es la matriz 3 x 2 dada por [T] = [~ -4 J ~ 3 Dadas dos transformaciones lineales T]:]Rn --t ]Rm y T2:]Rm -+ ]RP, podemos formar su composicin T2 o T]:]Rn --t ]RP. Es inmediato verificar que sta es tambin una transformacin lineaL Ms an, haciendo uso de las matrices que representan a T] y T2 podemos escribir (T2 o TI )(x) = Tz(T] (x = T2([T] ]x) = [T2][T)x de donde se ve que la matriz que representa a la composicin T2 o T] (la cual es una matriz de orden p x n) es el producto de la matriz que representa a T2 (que es de orden p x m) por la matriz que representa a TI (que es de orden m x n). O sea [Tz o T) = [T2][T) Consideremos el operador lineal T:]Rn --t ]Rn., Es importante estudiar condiciones bajo las cuales este operador tiene un inverso T-]:]Rn --t ]Rn, en el sentido de que las composiciones T o T- 1 y T-] o T sean la funcin identidad de ]Rn. Como cualquier funcin, es claro que para que exista T-], T debe ser inyectivo. En tal caso se dice que el operador T es inversible y es fcil comprobar 78 Captulo l Introduccin al espacio JR" y al lgebra lineal que T- 1 es tambin un operador lineal (y as, su composicin con T ser entonces el operador lineal identidad de ]Rn)., Ms an, siendo T inversible (y solamente en este caso), la matriz [T] que lo representa tambin es una matriz inversible , la matriz que representa a y-I ser (como todo el mundo esperara que ocurriera) la inversa de la matriz que representa a T Es decir, se tiene la bonita frmula (la cual es una consecuencia inmediata de que 1 = [Id] = [T2 o T] = [T2HT]) En el siguiente teorema, que enunciamos sin demostracin, se establecen varias condiciones equivalentes al hecho de que el operador lineal T: ]Rn----> ]Rn sea inversible., Teorema 1.7.2 equivalentes: 1. 2. Sea T:]Rn ----. ]Rn un operador lineal en]Rn Las siguientes afirmaciones son T es inversible. T es inyectivo 3. 4. 5. Ker T = {O} 1m T =]Rn T es sobreyectivo . 6. 7. 8. La matriz [T] es inversible. det[T] i= O. El sistema de ecuaciones lineales [T]x = O tiene slo la solucin trivial. Ejercicios (Captulo 1, Seccin 7) En los ejercicios 1-5, constate que la funcin dada es una transformacin lineaL En cada caso describa su ncleo y su imagen, y compruebe que se satisface el teorema de la dimensin. 1. T:]R2 ----. ]R, T(x, y) ]R2, T(x, 2. T:]R2 ----. = x +y y) = (x + y, 2x z) = (x 3y) 3. T:]R3 ----. 4. T:]R3 ----. ]R2, T(x, y, + y, 3x - z) ]R3, T(x, y, z) = (x - y, y - z, z - x) 5. T:]R4----.]R2,T(x,y,z,u)=(x+y,z+u) 6. Describa la estructura general de las transformaciones lineales cuyo dominio y codominio es IR 7. Verifique que la funcin T:]R3 ----. ]R2, T(x, y, z) = (x - y, z + 1) no es una transformacin lineal. 8. Sea T:]R2 -----> ]R2 una transformacin lineal tal que TO, O) una expresin general para T(x, y)., = (2,5), T(O, 1) = (-3,4), Halle 9. Sea T:]R2 ----. ]R2 una transformacin lineal tal que T(I, 1) = (3,2), T(O, 1) = (2,7). Halle una expresin general para T(x, y). 10. Sea T:]R2 ----. ]R2 un operador linealcuyo ncleo es Ker T = {(x, y)lx = y} . Demuestre que T no es sobreyectiva., Ms an, pruebe que 1m T es una recta que pasa por el origen (Sugerencia: use el teorema de la dimensin) 1.7 Transformaciones lineales 79 11. Sea 1': IR} --> IR 3 un operador lineal cuya imagen es 1m l' = {(x, y, z)lx que el ncleo de l' es un plano en IR 3 que pasa por el origen. =y= z}. Demuestre 12. Sea 1': IR3 -+ IR 2 una transformacin lineal tal que 1'(1, 1, O) = 1'(1, 1, 1) = (O, O), 1'(2, 3, -1) = (a, b) =f (O, O). Demuestre que el ncleo de l' es un plano en IR3 que pasa por el origen. Halle su ecuacin. 13. Demuestre que el operador lineal 1': IRII -+ IRII es inyectivo si y slo si es sobreyectivo. Demuestre que su 14. Sean TI: IRII -+ IR'" y 1'2: IR'" -+ IRP dos transformaciones lineales. composicin 1'2 o TI: IRII -+ IRP es una transformacin lineal. 15. Sean TI: IRII -+ IR"', 1'2: IR'" -+ IRP, 1'3: IRP -> IRq transformaciones lineales. Demuestre la propiedad asociativa de su composicin. Es decir, demuestre que las transformaciones lineales 1'3 o (1'2 o TI), (1'3 o 1'2) o TI: IRII -+ IRq son iguales. Es esta propiedad vlida para funciones en general? 16. Sean TI: IRII -+ IR"', 1'2, T.,: IR'" -> IRP transformaciones lineales. Demuestre la propiedad distributiva de la composicin respecto de la suma: TI 0(1'2 + 1'3) = TI 01'2 + TI o 1'3. Es esta propiedad vlida para funciones en general? 17. Sea 1': IRII -+ IRII un operador lineal inyectivo. Demuestre que el inverso 1'-1: IRII -> IRII (tal que 1'-1 o l' y l' o 1'-1 es la identidad en IR") es un operador lineal. (Esbozo de la demostracin: Sea T(x) = ti, T(y) = v. Se tiene que 1'-1 (u + cv) = 1'-1 (1'(x) + cT(y)) = 1'- I (T(x + cy) = (1'-1 0 T)(% + cy) = x + cy = T-I(u) + cT-I(v. Para cada uno de los operadores lineales de los ejercicios 18-22, halle la matriz que lo representa (en las bases cannicas de los espacios correspondientes). En base a ella, argumente por qu el operador dado es inversible. Determine una frmula explcita para el operador inverso 1'-1. 18. T: IR -> T(x) = ax, a =f O. 19. 1': IR 20. 21. = (x + y, x - y). 1': IR 2 -+ ,T(x, y) = (lOx + 6y, x ..- 3y). T: IR3 -> IR 3, T(x, y, z) = (x, x + y, x + y + z) 2 -+ IR2, T(x, y) 22. 1': IR 3 -+ IR}, T(x, y, z) = (z, x, y) -+ 23. Considere la transformacin lineal 1'2 o TI: IRII Ker TI <:;;: Ker 1'2 o TI , 1m 1'2 o TI <:;;: 1m 1'2. IRP del ejercicio 14. Demuestre que 24. Sean 1'1,1'2: IRII -+ IRII dos operadores lineales. Demuestre que si 1'2 es inyectivo, entonces Ker TI = Ker 1'2 o TI, Ysi TI es inyectivo, entonces 1m 1'2 = 1m 1'2 o TI, 25. Considere las transformaciones lineales TI: IR 3 -> IR 2 , TI (x, y, z) = (x + y, x - z), 1'2: IR2 -+ IR 3, T2 (x, y) = (y, x. x + y). Determine expresiones explcitas para las transformaciones lineales TI 01'2: IR2 -+ IR2 y 1'2 o TI: IR3 -> IR3. Verifique en cada caso que la matriz que representa a la composicin de transformaciones es el producto de las matrices que representan a cada una de las transformaciones lineales que se componen. 26. Repita el ejercicio anterior con los operadores lineales TI, 1'2: IR 3 T2 (x, y, z) = (y + z, x + z, z). -+ IR3, TI (x, y, z) = (x- z, y, x), 80 Captulo I Introduccin al espacio ]Rn y al lgebra lineal ------------------- 27. Verifique que el operador lineal T2 o T]: Il{3 -. Il{3 obtenido en el ejercicio 25 no es inversible. (*) 28. Sea T: Il{n -. Il{m una transformacin linea!. Demuestre que si n > m, T no puede ser inyectiva. Puede ser sobreyectiva? (*) 29. Sea T: Il{n -. Il{m una transformacin lineal. Demuestre que si n < m, T no puede ser sobreyectiva. Puede ser inyectiva? 30. Demuestre que una transformacin lineal T: Il{n -. Il{m con n i= m, no puede ser inversible. (*) 31. Sean T:Il{n -. Il{m, T 2 :Il{m -. Il{n transformaciones lineales. Demuestre que si n > ni, el operador lineal T2 o TI: Il{n -. Il{n no puede ser inversible. Puede ser inversible el operador TI o T2 : Il{m -. Il{m? Explique. (*) 32. (ApHcadmics bHineales) Una aplicacin bilineal (en Il{n) es una funcin f: Il{" X Il{n -. Il{m tal que: 1. f(uI + CU2, v) = f(u], v) + Cf(U2, v), para cada v E Il{" (fija) y todo nI, U2 E Il{", c E R 2. f(n, V + CV2) = f(u, VI) + cf(ll, V2), para cada u E Il{n (fija) y todo v], v2 E Il{1l, C E R Obsrvese entonces que una aplicacin bilineal es aqulla que, fijando una de sus variables, se comporta de manera lineal respecto de la otra. Cuando m = 1, se dice que fes unafarma bilinea!. a. b. Verifique que la funcin f: JR x JR -. Il{, f(x, y) = x una transformacin lineal de JR2(R: Il{ X Il{) a 1~? Verifique que la funcin f: JR2 x Il{2 -. bllineal enJR 2. + y es una forma bilineal en R Es R f ((X], YI), (X2, Y2) = XX2 + Y Y2 es una fomla c. d. e. (*) 33. Demuestre que el producto punto : Il{" x Il{" -. JR es una forma bilineal en IRn. Demuestre que el producto cmz x: Il{3 x JR3 -. IR3 es una aplcacin bilineal en Demuestre que si f: lI{n xlI{n -. Il{m es una 0, \iu, v E JRn. bilineal, entonces v) = O) = X ... X Una aplicacin m-lineal (en JRfl) es una funcin f: JRfl x Il{" Il{n -. Il{P (definida en el producto cartesiano de Il{n consigo mismo m veces) tal que f(VI' ... , Vi-l, Vi + CV;, Vi+, ... , V n ) = f(v], ... , V_ lo Vi, Vi+], ... , v,,) + Cf(VI, ... , Vi-l, V+, ... , V n ) 1,2, ... , n. para todo VI, ... , Vi-I, Vi+I, ... , Vn E lI{n (fijos) y todo Vi, a. b. v; E JRn, e E Il{, i = Demuestre que la funcin f: JRn X JRn X JR" -. lI{", f(u, v, w) = au + bv + eV\', en donde a, b, e son nmeros reales dados, es una aplicacin trilineal en JRn. Demuestre que si f: Il{n X IRn x ... x lI{" -. Il{q es una aplicacin m-lineal en JRn, entonces f(VI, V2,"" 0, oo., 'In) = O. Se dice que la aplicacin m-lineal en Il{", f: Il{" X X ... X (*) 34. (Aplicaciones m-lineales alternadas) Il{n JRIl -. Il{P es alternada, si f(VI, ... , Vi, .. , Vj, ... , Vn) = - f(VI,"" Vj, ... , Vi, ... , Vn) (es decir, si al intercambiar de posicin dos de sus argumentos, la imagen "cambia de signo"). a. Demuestre que si f: Il{" x Il{" X X Il{" -. Il{P es una aplicacin m-lineal alternada en Il{", entonces f(v, ... , Vi, ... , Vi, , 'In) = O. 1.7 Transformaciones lineales 81 b. Demuestre que si entonces I IR" x IR" x ... X IR" ---> IRP es una aplicacin m-lineal alternada en IR", f(VI, ... , Vi,, Vj + CVi,"" v,,) = f(VI, ... , Vi, ... , Vj, ... , v,,) c. d. Demuestre que el producto cruz x: IR3 x IR 3 ---> IR 3 es una aplicacin bilineal alternada en IR 3 . Sea A una matriz 2 x 2. Piense las columnas de esta matriz como las coordenadas de (dos) vectores en IR z, digamos que si A = [~~], escribimos VI = (a, b), V2 = (b, d). Demuestre que la funcin determinante det: IR z x IRz ---> IR, det A = det(v, vz) es una forma bilineal alternada en IR 2. e. Ms en general, si A es una matriz n x n, podemos verla constituida por (sus columnas) n vectores en IR", digamos VI, Vz, ... , V". Demuestre que la funcin determinante det: IR" x IR" x ... X IR" ---> IR, vista como funcin de las columnas de la matriz A, es una forma n-lineal alternada en IR". Demuestre que esto sigue siendo vlido si cambiamos la palabra "columnas" por "lneas". (**) 35. (El producto cruz en IR") El producto cruz entre vectores fue estudiado en la seccin 5. Esta operacin se defini como una operacin entre dos vectores del espacio IR3. En el ejercicio anterior se demostr que sta es una aplicacin bilineal alternada enlR. 3. En este ejercicio se presenta una generalizacin de esta operacin, para n - l vectores en IR". Sean entonces V, "2, ... , V ,,-1, n - 1 vectores en L~". Se define el producto cruz de estos vectores, denotado por v 1 x Vz X ... X V,,_ J, como el vector v E IR" tal que para todo vector u E IR", se tiene u V = det(u, VI, "z, . .. , ",,-1) = determinante de la matriz n x n cuyas columnas son los n vectores u, Vn-I. Ntese entonces que el vector v tiene en su j-sima coordenada a det(cj, "1, "2, ... , ",,-1)' Ms an, si escribimos "j = (alj' GZj, ... , a"j), j = 1, 2, ... , n - 1, Y consideramos la matriz de orden n x (n - 1), A = (aij) i= 1" .. " , entonces, usando la expansin v" ... , j=!, .... n-I de un determinante a lo largo de su primera lnea, se tiene que det(cj, VI, "2, ... , V,,_I) = (-1 )i+ j det A(j), donde A(j) es la matriz de orden (n 1) x (n -1) que proviene de A eliminando en esta ltima su j-sima lnea. a. Demuestre que ti VI X Vz X ... X V,,_I = L(-l)i+ j detA(j)ej j=1 (donde ejes el j-simo vector de la base cannica de IR") b. Demuestre que la aplicacin f:IR" x IR" x ... x IR" ---> IR", f(vl, V2,' .. , v,,_) = VI X V2 X ... X V,,_I es una aplicacin (n - l)-lineal alternada. Concluya entonces que si los vectores VI, V2, ... , V,,_I E IR" son linealmente dependientes, entonces su producto cruz es cero. Demuestre que el vector v 1 x Vz X ... X V,,_I es ortogonal a cada uno de los vectores VI, V2, ... , V,,-l' Es decir, demuestre que (VI XV2X"'XV"_I)'Vj=0 d. Sean VI c. vj = 1, 2, ... , n - 1 X = (1,0,2, l), Vz = (1, 1, 0, O), V3 = (0,2, 1, 3). Calcule VI x Vz "3. 82 Captulo 1 Introduccin al espacio IR" y al lgebra lineal e. f. Obtenga la ecuacin del hiperplano en ]R4 generado por los vectores VI, V2 Y V3 del inciso anterior. (Ver inciso g del ejercicio 93 de la seccin 6). Sean Vi = (1,0, 1,0,0), '112 Calcule V\ x '112 X V3 X '114. = (3, 1, 1, 2,1), V3 = (O, 1, -1,2,3), '114 = (1, l, -1, -1, -1). g. h. Obtenga la ecuacin del hiperplano en ]Rs generado por los vectores '11\, '112, '113 Y '114 del inciso anterior. (Ver inciso h del ejercicio 93 de la seccin 6). En este inciso y en el prximo, se generalizan (al caso de vectores en ]R4) los resultados establecidos en el ejercicio 20 de la seccin 5. Sean "1, "2, "3, VI, V2, '113 vectores en ]R4. Demuestre la identidad de Lagrange i. Demuestre que J. En los siguientes incisos se construye un argumento que finalizar con la obtencin de una frmula que generaliza, al caso de vectores en lR 4, a la frmula establecida en el ejercicio 22 de la seccin 5, en donde se vi que para n, v, W E se tiene que u x (v x w) = (o . w)v - (u . v)w. El argumento seguir las mismas ideas que en ti ejercicio mencionado. Demuestre que existen constantes a, p, y E lR tales que k. Tomando el producto punto en ambos miembros de la expresin anlterjior, con los vectores "1 y "2, concluya que (v] . "1)0' (v\ +- (V2 . u\)P +- ('113' lll)Y = O . '112)0' + ('V2 . U2)P +- (V3 . U2)Y = 1. Defina los vectores x, YI, Y2 E lR 3 como x = (a, p, y), YI = (VI . UI, V2 . !JI, v3 . "1), Y2 = (VI' U2, '112 . "2, Y3 . U2) Verifique entonces que x . YI = 0, X . Y2 = 0, y que, por lo tanto, x es un vector en la direccin de YI x Y2. Es decir, debe existir una constante k tal que x = k(YI x Y2). m. Verifique que el vector y x Y2 est dado por ( n. det [UI . Y2 "2' Y2 !JI'V3] -det [UI'VI U2 . '113 ' 1.12 . VI UI'V3]d [UI'VI 02 . '113 et"2 . VI I U 'V2]) "2' '112 Use los resultados de los incisos h e i para demostrar que la constante k del inciso 1) es igual a-l, 1.8 Valores y vectores propios 83 o. Concluya entonces que el vector UI x det [UI . Y2 U2 . Y2 UI . Y3] VI U2 . V3 U2 X (VI X V2 x V3) se puede escribir como det [UI'VI U2 . VI UI . V2] V3 U2 V2 + det [UI . VI 1.12' VI , UI'V3] V2 ti2 . V3 p. Para el caso de vectores en IR n se tiene el siguiente resultado que generaliza a la fnnula establecida en el ejercicio 22 de la seccin 5: sean til, U2, ... , U n -2, VI, V2, ... , Vn-I vectores en IRn (con n 3). Entonces n-l til X U2 x X Un -2 X (VI X V2 x X Vn-I) = (_1)n+1 {3V i=1 en donde f3i = e . (al x a2 x ... x a n -2), i de la base cannica de IRn - I Y = l, 2, ... , n - l, siendo Ci el i-simo vector j = 1,2, ... , n - 2. Valores y Ve(~tores prc~PU)s Sea T: jRn -ry IR" un operador lineal en IR". Se dice que el nmero real A es un valor propio de T si existe un vector x E jR" no nulo tal que T(x) = Ax. Al vector x se le llama vec{or propio de T asociado al valor propio A. Si consideramos la correspondencia entre operadores lineales y matrices que los representan, podemos establecer la definicin de valor y vector propio para una matriz cuadrada A cualquiera como sigue: el nmero real A es un valor propio de A si existe un vector x E IR" no nulo (vector propio asociado a A) tal que Ax = AA. Bajo esta perspectiva se puede demostrar que A es un valor propio del operador IR" -ry IRn si y slo si lo es de alguna matriz A que lo representa (en particular, de la matriz que representa a T respecto de la base cannica de IR" , que fue la que se obtuvo en la discusin correspondiente en la seccin anterior). Para concretar la discusin, aqu trabaj aremos con valores y vectores propios de matrices cuadradas A. Para pasar a los resultados correspondientes para operadores lineales, solamente piense en el operador T(x) = Ax. Si A es un valor propio de la matriz A de orden n, entonces existe x E IRn distinto de cero tal que Ax = Ax, expresin que se puede escribir como (A - Al)x = O. Vemos pues que el sistema homogneo de ecuaciones lineales dado por (A - Al)x = Oposee soluciones no triviales (el vector x es no nulo). Esto ocurre cuando (y slo cuando) la matriz de coeficientes del sistema es no inversible, o equivalentemente cuando su determinante es igual a cero. As pues, A es valor propio de A si y slo si det(A - Al) = O. Ntese que la expresin det(A - Al) es un polinomio en A de grado n, llamado polinomio caracterstico de A, que denotaremos por peA). As entonces hemos establecido el siguiente resultado Teorema 1.8.1 Los valores propios de la matriz cuadrada A son las races de su polinomio caracterstico peA) = det(A - Al). 11 En toda esta obra ponemos nuestro inters en considerar solamente races reales del polinomio caracterstico peA), de modo que una matriz cuadrada A de orden n tiene, segn el teorema fundamental del lgebra, cuando mucho n valores propios. distintos, pudindose dar el caso de que no tenga valores propios (si todas las races de peA) son complejas). 84 Captulo 1 Introduccin al espacio IR" y al lgebra lineal Ejemplo 1. Consideremos la matriz A=[: ~] Su polinomio caracterstico es peA) = det(A - Al) = det [ 1- A 1 -A 6] = A2 - A - 6 = (A - 3)(A + 2) Entonces los valores propios de A son Al = 3 Y A2 = - 2. Para encontrar vectores propios asociados a estos valores propios, debemos obtener las soluciones no triviales del sistema homogneo de ecuaciones (A - AI)X = O. Para Al = 3 se tiene el sistema 6 ] x= O --3 dz donde se obtiene que si Ji: = (a, b), entonces a = 3b. As, los vectores propios asociados al valor propio Al = 3 son del tipo x = t(3, 1). De igual modo se encuentra que los vectores propios asociados al valor propio A2 = -2 son del tipo x = t( -2, 1). Un problema importante en el que intervienen los valores y vectores propios de una matriz, es el problema de la diagonalizacil1 de la matriz. Se dice que la matriz. cuadrada A de orden Il es diagol1alizable si existe una matriz inversible P de orden Il de modo que D = p- 1 A P es una matriz diagonal (es decir, D es una matriz que tiene ceros fuera de su diagonal principal). Se puede demostrar que una condicin equivalente a que la matriz A sea diagonalizable, es que exista una ~~e __ v!v.).P ..... vlf~ ( V 1 "e~'ores pr~p'oc de la m"trl'? A f)e her''A ~ v..:> ~lla~#fl u """uv, b a.~ f3 -l.'f},V2, ... ,l'n dDI Do~a~l'~ Tf])n formad'" ; lp~~ V v L la estructura de la matriz P de la que se habl anterionnente es tal que en sus columnas estn los vectores propios Vi de la base f3. o ("" " } 11 .i,., Ejemplo 2. Considere la matriz O 1 O Se trata de investigar si la matriz A es diagonalizable. El polinomio caracterstico de A es 1- A o 1-'\ O peA) = det(A- Al) = det [ ~ por lo que el nico valor propio que tiene A es A = l. Los vectores propios correspondientes se obtienen de la solucin del sistema (A - l)x = 0, o sea [~ o O O !] ~ x O 1.8 Valores y vectores propios 85 Si x = (a, b, e), vemos que para que x sea solucin de este sistema (para que sea vector propio de A asociado al), se debe tener b = O. As, los vectores propios son del tipo x = (a, O, e) = a(1, O, O) + e(O, O, 1). Se ve entonces que O, O, O) Y(O, 0,1) son dos vectores propios linealmente independientes y que no hay posibilidades de obtener otro vector propio de A linealmente independiente de estos dos vectores. Es decir, no hay manera de obtener una base de ]R3 formada por vectores propios. As pues, concluimos que A no es diagonalizable. 11 Ejemplo 3. Consideremos la matriz -2 A = [ ~4 Su polinomio caracterstico es -2 - A 8 10 -8 peA) = det(A - Al) :::;: det [ ~4 -4 - A ~ ] = - A(A - 2)2 por lo que sus valores propios son Al = 2, A2 = O. Para obtener los vectores propios asociados al valor propio Al = 2, resolvemos el sistema (A 2l)x = O. Es decir, [=: 4 x = (a, b, e) -8 ~ 66 -6 Jx = 4) de donde se ve que siendo x = (a, b, e), ste es solucin del sistema cuando -2a + 4b + 3c = O. Es los vectores propios asociados a = 2 son del tipo = (a, b, (2a - 4b)/3) = (a/3)(3, 0, 2) + (b/3)(O, 3, -4) de donde se obtiene que los vectores VI = (3, O, 2) Y V2 = (0,3, -4) son dos vectores propios linealmente independientes asociados a este valor propio. Haciendo lo mismo con el valor propio A2 = O, obtenemos el vector propio V3 = (1, 1, -1). Tenemos as tres vectores propios, los cuales se puede verificar fcilmente que son l.i. 1 Entonces podemos formar la base {3 = {v 1, "2, "3} de ]R3 la cual est formada por vectores propios de A. As esta matriz es diagonalizable. De hecho, la matriz p (tal que P- 1 A P es una matriz diagonal) tiene en sus columnas a estos vectores, es decir 3 P= [ ~ La inversa de esta matriz es O 3 -4 -1/3 pI 4/3 -4 = [ -~3 5/3 I Es un hecho general que vectores propios que proceden de 'Valores propios {jiferentes, son linealmente independientes. 86 Captulo l Introduccin al espacio IR" y al lgebra lineal y se tiene p-IAP = [ -1/3 -2/3 2 4/3 5/3 -4 1 1] -3 [-2 -4 4 8 10 -8 = [2 O O2 OO ~] JJ [~ O 3 -4 iJ la cual es una matriz diagonal que tiene los valores propios de A en su diagonal principal (en el orden en que fueron puestos en las columnas de P los vectores propios correspondientes). Un caso particular muy importante cuando se estudia el problema de la diagonalizacin de matrices es el caso de la diagonalizacin de matrices simtricas (es decir, matrices cuadradas A que coinciden con sus transpuestas). En tal caso este problema siempre tiene solucin (i.e. siempre es posible diagonalizar una matriz simtrica) y adems, con algunas caractersticas adicionales sobre la matriz P tal que P- J A P es la matriz diagonal: resulta que en este caso se puede conseguir que la matriz P sea una matriz ortogonal; es decir, que su inversa sea su transpuesta. Presentamos a continuacin un resumen de los hechos ms importantes (sin demostracin) que hay en torno al problema de diagonalizacin de matrices simtricas: (*) Una matriz simtrica tiene todos sus valores propios reales. Los vectores propios que provienen de valores propios distintos para una matriz simtrica, son ortogonales. Siendo A una matriz simtrica, existe una matriz ortogonal Z P tal que p- I A P = p t A P es una matriz diagonal (se dice entonces que la matriz A es diagonalizable ortogonalmente). Consideremos la matriz simtrica A=f3 4J --3 (*) (*) Ejerrlplo 40 l4 Su polinomio caracterstico es peA) = det(A - Al) = det [ 3- A 4 4 ] = A2 -3 - A _ 25 XI por lo que sus valores propios son Al = 5 Y A2 = -5. Para Al = 5 se consigue el vector propio = (2, 1) Y para A2 = -5 se consigue el vector propio X2 = (1, -2). Obsrvese que los vectores propios XI y Xz son ortogonales. Ms an, normalizndolos obtenemos los vectores = yI5(2, 1) 1 VI V2 = yI5(l, -2) 1 2Las siguientes afirmacic>nes sobre la matriz cuadrada P de orden n son equivalentes (1) p es ortogonal (P- J = PI) (2) Las columnas de P forman una base ortonormal de IR". (3) Las lneas de P forman una base ortonormal de IR". 1.8 Valores y vectores propios 87 los cuales constituyen una base ortonormal de ]Rz. En este caso la matriz P es en este caso (sus columnas son los vectores VI y vz) P = V5 1 [21 -2 J 4 -3 Ciertamente esta es una matriz ortogonal (se verifica fcilmente que p-I = PI). De hecho, se tiene p-I AP = ptAP = = _1 [2 11[3 V5 1 4] V5 [21 1 [~ ~5] Ejemplo 5. Diagonalicemos ortogonalmente la matriz simtrica Su poiinomio caracterstico es peA) = det(A .- Al) = det l ~2 r6 -), -2 5- A 2 O 1 O 7-A J = _A 3 + 18 Z - 99.\ + 162 = -(A - 3)( - 6)( - 9) Tenemos entonces los tres valores propios Al = 3, Az = 6 Y A3 =--= 9. Para el valor propio = 3, resolvemos el sistema homogneo (A - 3l)x = O para obtener vectores propios. Eliminando coeficientes del sistema en la matriz se llega a -2 2] 2O O 4 rv . . " , [1O O2] 12 OOO de donde se obtiene que siendo x = (a, b, e), se debe tener a = b = -2e. As por ejemplo, XI = (2,2, -1) es un vector propio asociado a Al = 3. Para Az = 6 resolvemos el sistema (A - 6!)x = O. Haciendo eliminacin de donde se obtiene que si x = (a, b, c), se debe tener b = e =. -2a. As por ejemplo, Xz = (1, -2, -2) es un vector propio asociado a Az = 6. Finalmente, para A3 = 9 resolvemos el sistema (A - 9I)x = O. Eliminando ~'] 88 Captulo l Introduccin al espacio lRI." y al lgebra lineal de modo que si x = (a, b, e), se debe tener a = e = -2b. Entonces un vector propio asociado = 9 es X3 = (2, -1,2). Se han conseguido entonces 3 vectores propios XI = (2,2, -1), X2 = (1, -2, -2), X3 = (2, -1,2) los cuales, se ve f<lcilmente, forman un conjunto ortogonal. Normalizndolos, obtenemos '\3 V = (2/3,2/3, -1/3), V2 = (1/3, -2/3, -2/3), V3 = (2/3, -1/3,2/3) que son vectores que constituyen una base ortonormal de ]R3. Entonces la matriz ortogonal Pes P= Haciendo p- l A P obtenemos 2/3 2/3 [ -1/3 1/3 -2/3 -2/3 2/3 ] -1/3 2/3 -1/3] [ 6 -2/3 -2 2/3 2 -2 5O O 2] [ 2/3 2/3 -1/3 7 1/3 -2/3 -2/3 2/3 ] -1/3 2/3 como tena que ocurrir. En los ejercicios 1-26, determine, para cada una de las matrices dadas: a su polinomio caracterstico, b sus valores propios, e los vectores propios correspondientes a cada uno de los valores propios. (Nota: en estos ejercicios todos los valores propios que resultan de las matrices, son nmeros enteros). 1. [~ [ -~/5] 2. 5. 8. 4. 7. 10. ~2 ~2] [~ ~] [ 150 -{S] 3. 6. 9. [~ ~4] 1 [2 2 -1 J [i L;2 ~8J O 2 2 O 3 6 [-;5 -1] -2 O [~ ~J :2] O -4 --8 [~ ~J 11. 13. ;] [~ ~J 12. [ ~3 -3 -3 O 4 4 16. [16 -In 14. U/5 [88~27 -T3] 15. [! 1] O 17. TJ 18. [8?/7 3 9 -2~/27] 3 1.8 Valores y vectores propios 89 19. [1 ~J [6)1 [ -1 O -3 -3 1 1 TJ ~] !6] 20. [-4 2 56 [ O -4 8 -2 -1 1 -1/8] -2 21. HI4 [8~5 -28/3 2 4 n -2/3 22. 23. ~2 ~2 ] 24. -5/8 3 5 -~~5 ] 25. -7/2 2 -2 26. [+ A= -7/6 5 7 -1~/7 ] -3 1 27. Considere la matriz [~ -3 -2 O O 3 1 1 jJ y slo si A = o es un valor propio de A. Demuestre que el polinomio caracterstico de A es p(A) = (A 2 - 1)(A 2 - 4). Obtenga entonces los valores propios de A y vectores propios correspondientes a cada uno de ellos. 28. Sea A una matriz cuadrada de orden 2. Demuestre que el polinomio caracterstico de A es p(A) = A2 .- (tr A lA + det A, donde tr A es (la traza de A, que es igual a) la suma de los elementos de su diagonal principal. 29. Demuestre que el trmino independiente del polinomio caracterstico de la matriz A, es det A. 30. Demuestre que la matriz cuadrada A es no inversible si 31. Demuestre que si ;\ es un valor propio de la matriz A, entonceS A" es un valor propio de la matriz A", n E N. Cmo son los vectores propios de A" asociados al valor propio A"? 32. Sea A una matriz inversible y sea A un valor propio de A (el cual es diferente de cero, segn lo probado en el ejercicio 30). Demuestre que A-1 es un valor propio de la. matriz inversa A - l . Cmo son los vectores propios de A. - J asociados al valor propio A-1? 33. Describa los valores y vectores propios de la matriz identidad de orden n, 1". 34. Describa los valores y vectores propios de la matriz cero de orden n. 35. Demuestre que el polinomio caracterstico de una matriz cuadrada A es el mismo que el de su transpuesta A t . 36. Uno de los resultados clsicos del lgebra Lineal, es el llamado Teorema de Hamilton-CayleYI si A es una matriz cuadrada y p(A) es su polinomio caracterstico, entonces p(A) = O. Por ejemplo, si A es la matriz su polinomio caracterstico es p(A) = det(A. - Al) = det [2 -5 3 1- 3A + 17 90 Captulo 1 Introduccin al espacio nr y al lgebra lineal Entonces p( A) = = A2 - 3A + 17 J = [; -14 ~5 [-11 -15] _[69 -15] + [17 9 3 r- 3 [; a. b. Verifique el Teorema de Hamilton-Cayley para las matrices de los ejercicios 2, 3 Y 13. Critique la siguiente "demostracin" del Teorema de Hamilton-Cayley: el polinomio caracterstico de A es peA) det(A - AJ). Entonces peA) = det(A - Al) = det(A A) = det O O. En cada uno de los ejercicios 37-42, demuestre que la matriz dada es diagonalizable, obteniendo una base de lR. 2 (o en su caso lR.3 ) formada por vectores propios de A. Determine la matriz P tal que p- I AP es una matriz diagonal. 37. La matriz del ejercicio 1. 39. La matriz del ejercicio 7. 41. La matriz del ejercicio 15. 38. La matriz del ejercicio 4. 40. La matriz del ejercicio 8. 42. La matriz del ejercicio 19. 43. Suponga que la matriz A es diagonalizable. Existe entonces una matriz inversible P tal que P-IAP = D, donde D es una matriz diagonal. Demuestre que P-- 1 A"P = D", n E N. Observando que la matriz D" se puede obtener fcilmente elevando a la n-sima potencia los elementos de la diagonal principal de D, concluya que la n-sima potencia de la matriz A se puede escribir explcitamente como A" = PD" P- l . Aplique estas ideas para obtener expresiones para las n-simas potencias de las siguientes matrices: a. c. La matriz del ejercicio 2. La matriz del ejercicio 8. b. La matriz del ejercicio 3. 44. Considere la matriz del ejemplo 3 A= -2 r-4 l4 8 10 -8 Demuestre que la n-sima potencia de esta matriz es 4 5 -4 45. Una sucesin de Fibonacci es una sucesin de nmeros enteros (ao, al, a2, ... ) en la que a" = a,,-l + all -2. n = 2,3, ... , y ao yal son nmeros dados. La frmula Qll = all-I + a"-2 que define el trmino a ll de la sucesin de Fibonacci se dice ser unaIrmula de recurrencia, pues a ll se determina una vez determinados sus dos trminos anteriores. El objetivo de este ejercicio es obtener una frmula explcita para el trmino a" de una sucesin de Fibonacci. Considere el caso en el que ao = O, al = 1. As, la sucesin de Fibonacci se ve como (O, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,21,34, ... ). 1. 9 Formas cuadrticas 91 3. Considere la matriz A = xn = A n [~ b]' Para n = 0, 1,2, ... defina el vector x n E JR2 como [b]' Use induccin para probar que x n = (an+l, a n), donde (a n) es la sucesin b. de Fibonacci que se est considerando. Hallando una frmula explcita para A", demuestre que (esta frmula define un nmero entero!). c. Demuestre que lm a.+! a. = 1+ 15. 2 Los griegos llamaban a este nmero "razn urea". En los ejercicios 46-53, diagonalice ortogonalmente la matriz simtrica dada, obteniendo una matriz ortogonal P tal que p-l A p = pI A P sea una matriz diagonal. 46. [ !l 49. -;1 ] -51 8J 2 47. [ 50. r8 L-5 ~2 ~2] [ -;4 21 -4 J 48. [ 51. ~3 ~3] 2 52. [ 2 -2 5 -2] -4 [~ ~] 53. -4 5 r!2 L2 -2 5 ~] En esta seccin veremos algunos hechos importantes que aparecen en el estudio de las formas cuadrticas. El material que aqu se presenta se usar en el estudio de los extremos de las funciones de varias variables en el captulo 4. Unaforma cuadrtica en IRlI es una funcin q: JRn ---+ IR definida por donde A es una matriz simtrica de orden n y [x] es la matriz de coordenadas dex = (XI. X2 .. , xn) E IR" (entonces [x] es una matriz 1 x n, y [X]I, la transpuesta de [x], es una matriz n x 1). Por ejemplo, una fo~a cuadrtica en IR 2 es una funcin q: JR2 -> lR q(x,y)=[xy] [~ ~] [~] =ax2 +ci+2bxy -> y una forma cuadrtica en JR3 es del tipo q: lR 3 a lR q(x, y, z) = [x y z] = ax 2 b [ e b d e f Z2 + di + + 2bxy + 2cxz + 2eyz 92 Captulo 1 Introduccin al espacio ]R" y al lgebra lineal En general, una forma cuadrtica en IR" es una funcin de la forma al I q(XI,X2, ... ,X,,)=[XI X2 ... XII] [ al2 Q2n al,,] [XI] X2 al" a"" n ~\:I tl = 2::.: aii.\'t -+ 2 2::.: aijXi Xj i=1 ij=! i<j Ejemplo 1. Consideremos la forma cuadrtica q: q(X, y, z) -> IR dada por = 7x 2 -+ si - 4xy -+- 26xz -+ 30yz Segn la frmula recientemente obtenida para una forma cuadrtica general, podemos escribir a q como q(x, y, z) = (x y z]A [ ] donde A = (aij) es la matriz simtrica (aij = ajl, i, j = 1, 2, 3) para la cual al I = 7 (coeficiente de Xl = X), a22 == 5 (coeficiente de X2 = y), (/33 = O (coeficicnte de X3 = z), 2a 12 = -4 (coeficiente de XI X2 ,= xy), 2a 13 == 26 (coeficiente de XI X3 = = 30 (coeficiente de X2X3 = yz). Entonces A = r~2 L13 -2 S 15 Una forma cuadrtica q: IRII ~, IR se dice ser: a. b. > O"Ix E IR", x :. O. definida negativa, si q(x) < O VX E Ii{", X :. O. definida positiva, si q(x) semidefinida positiva, si q(x) ~ c. d. O"Ix E IR", x :. O. semidefinida negativa, si q(x) ::; O "Ix E IR", x :. O. Ejemplo 2. La forma cuadrtica q: IR -> dada por q(x) = ax 2 es definida positiva (definida negativa, semidefinida positiva, semidefinida negativa) si y slo si a > O (a < O, a ~ O, a ::; O, respectivamente). 11 Ejemplo 3. La frma cuadrtica q: 1R2 -> IR dada por q(x, y) = 3x 2 -+- 7 y 2 es definida positiva, pues es claro que q(x. y) > O v(x. y) E 1R2 , (x, y) :. (O. O). Del mismo modo se ve claro que la forma cuadrtica q: 1R3 -> IR dacia por q(x, y, z) = _x 2 IOz 2 es definida negativa que la forma cuadrtica q: 1R 3 -> IR, q(x, y, z) = 2x 2 -+ 3z 2 es semidefinida positiva, pues en este caso q(x. y, z) ~ O v(x. y. z) :. (O, O, O) (de hecho, obsrvese que para todos los vectores del tipo (O, y, O) la forma q vale O). si - y Con los dos ejemplos anteriores podemos darnos cuenta de que la propiedad de una forma cuadrtica de ser definida positiva o negativa se descrubre inmcdiatamente cuando sta solamente 1.9 Formas cuadrticas 93 posee los trminos cuadrticos. Ms en concreto, podemos decir que la forma cuadrtica q: lR" dada por q(XI, X2 . ... , XI!) = A]xT + A2X~ + ... + Anx~ ---7 lR ser definida positiva (definida negativa, semidefinida positiva, semidefinida negativa) si y slo si todos los coeficientes A son nmeros positivos (negativos, no negativos, no positivos, respectivamente). Ntese que en este caso la matriz simtrica A de la forma cuadrtica es en realidad una matriz diagonal (cuyos elementos en la diagonal principal son los nmeros A). Ejemplo 4. Consideremos la forma cuadrtica q: lR 3 q(X, y, z) ---7 lR dada por 4xy = 6x 2 + 5/ + 7z 2 = [x yzJA -2 5 O + 4xz o bien q(X. y. z) [~] en la que Ciertamente no es posible afirmar "a golpe de vista" que esta forma cuadrtica es definida positiva (veremos a continuacin que de hecho lo es). Sin embargo, si escribiramos nuestra forma cuadrtica como q(X, y. z) = 3(2x/3 + 2y/3 - Z/3)2 + 6(x/3 - 2y/3 - 2z/3)2 + 9(2x/3 - y/3 + 2z/3)2 (queda de responsabilidad del lector verificar que esta es efectivamente igual a la expresin de q(x. y, z) que se dio al inicio del problema), resultara evidente que la forma es definida positiva, pues es una suma de cuadrados con coeficientes positivos. El ejemplo anterior nos muestra que la propiedad de que una forma cuadrtica sea definida positiva o negativa, se descubre fcilmente si escribinlos la expresin que define a la forma de una "manera adecuada"; por ejemplo, si la escribimos como una suma de cuadrados. Se nos plantean as dos preguntas naturales: 1) Una forma cuadrtica se puede escribir siempre como una suma de cuadrados?, 2) De ser as, cmo se procede para lograrlo? La respuesta a la pregunta 1) esafortunadamente- afirmativa. Al tratar de ver el por qu de esto, se dar respuesta a la pregunta 2). Tomemos entonces la forma cuadrtica q: lR" ---7 lR, q(x) = [xPA[xJ. en donde A es una matriz simtrica. En la seccin anterior se veia que A por ser simtrica, es diagonalizable ortogonalmente; es decir, que existe una matriz ortogonal P tal que pI A P es una matriz diagonal. Se vio tambin que las columnas de P forman una base orto normal de lR". Sea f3 = {VI. V2, .,., VII} dicha base. Entonces los vectores V son vectores propios de A, los cuales tienen norma 1 y son ortogonales dos a dos. Escribamos el vector x = (XI. X2, .... XII) E JRn en trminos de la base f3; digamos que [xJf3 = (x;. x~, ... , x;), o bien, como matriz [x]f3 = X; [ : l x;, J 94 Captulo 1 Introduccin al espacio IR n y al lgebra lineal ._---------------- Observemos entonces que, puesto que x = x; VI + x; V2 + ... + x; V n , podemos escribir r Entonces, la forma q(x) queda como (recordando que (AB)t = BtA t ) q(x) = [x]tA[x] = (P[x])tA(P[x]) = [x]~(pt A P)[xJ = [x]~D[x] donde D es una matriz diagonal la cual, sabemos, tiene en su diagonal principal los valores propios de A (que aparecen en el mismo orden en que fueron acomodados los vectores propios cOlTespondientes en las columnas de P). Sean Al, A2 , ... , An tales valores propios. Escribiendo explcitamente la ltima expresin nos queda que q(x) = [x]~D[x] As pues, hemos logrado escribir a q(x) como una suma de cuadrados de las coordenadas xr del vector x en trminos de la base ortonorma! p. No es difcil ver que tales coordenadas se pueden calcular como productos internos del vector x con los vectores de la base p (esto ocurre porque p es una base ortononnal). Es decir que xr = x . Vi. En resumen tenemos que: la forma cuadrtica q: IR n -> q(x) = [xJl A[x], donde A es una matriz simtrica, se puede escribir como donde Ai son los valores propios de A, y Vi son vectores propios (normalizados) correspondientes a tales valores propios. Regresando al ejemplo 4 anterior, vemos que la matriz -2 2] 5 O O 7 tiene por valores propios a Al = 3, A2 = 6, A3 = 9 (ver ejemplo 5 de la seccin anterior) y que los vectores VI = (2/3,2/3, -1/3), Y2 = (1/3. -2/3, --2/3), V3 = (2/3, -1/3,2/3) 1.9 Formas cuadrticas 95 de donde q(x, y, z) = q(u) = A(u . VI)2 + A2(u . vD 2 + A3(u . V3)2 + 6(x/3 - 2y/3 - 2z/3)2 = 3(2x/3 + 2y/3 - Z/3)2 + 9(2x/3 - y/3 + 2z/3)2 que es el resultado que se us en el ejemplo mencionado. De la discusin anterior se desprende inmediatamente el siguiente teorema Teorema 1.9.1 La forma cuadrtica q: IR.n - t IR., q(x) = [xr A[x], en donde A es una matriz simtrica, es definida positiva (definida negativa, semidefinida positiva, semidefinida negativa) si y slo si todos los valores propios de A son positivos (negativos, no negativos, no positivos, lIIll respectivamente). Ejemplo 5. Consideremos la forma cuadrtica q: IR. 3 -t IR. dada por q(x, y, z) = [x y z] [ 2 -2 _2 54 =542] [x~] Para investigar si esta forma cuadrtica es definida positiva, definida negativa, etc. slo tenemos que ver los valores propios de la matriz simtrica que define a la forma q. El polinomio caracterstico de esta matriz es peA) = det(A - Al) = det f -2 l 2- A 2 2 S-A -4 -2 ] -4 = -(A - 1)2(A - 10) 5-A As pues, los valores propios de A son Al = 10, A2 = l. Como stos son positivos, concluimos que la forma dada es definida positiva. 111 Diremos que una matriz simtrica A de orden n es definida positiva, definida negativa, semidefinida positiva o semidefinida negativa, si la forma cuadrtica correspondiente q: IR.n - t IR., q(x) = [xr A[x] lo es. Ejemplo 6. Consideremos la matriz simtrica A= [ -8 11 2 El polinomio caracterstico de A es 11 - A 2 peA) = det(A = -(A - - Al) 9)(A = det [ 2 2-A 10 -8 ] \O -8 18) S-A + 9)(A - 96 Captulo 1 Introduccin al espacio lR" y al lgebra lineal Los valores propios de A son entonces Al = 9, A2 = -9, A3 = 18. En este caso concluimos que la matriz no cae dentro de ninguna de las clasificaciones estudiadas aqu. De hecho, si consideramos la correspondiente forma cuadrtica q: JR3 - t IR, q(x, y, z) = [x Y zJA[x y zr se tiene que los valores que toma esta forma son positivos para algunos vectores de JR3 y negativos para otros (por ejemplo, q(O, -1, 1) = -13 < 0, pero q(l, 1, O) = 17 > O). 11 A una matriz (o a una forma cuadrtica) como la del ejemplo anterior, se le llama indefinida. En el siguiente teorema se establece otro criterio til para decidir si una matriz simtrica A es definida positiva o definida negativa. La demostracin de este resultado puede consultarse en [Pi], pp. 624 a 627. En este teorema se usa el concepto de submatriz angular: consideremos la matriz cuadrada A = (aij) de orden /l. A las submatrices Al = [alJ1, A2 = [a ll al2 022 a2l J' all A3 = I- OJ2 022 ra a2J a23 a131 , ... , Al! = A 3i 33.J se les llama "submatrices angulares de A". En forma esquemtica 1 a Q2n 1!1 Gn " J Teorema 1.9.2 Sea q: lR" --> lR la forma cuadrtica q(x) = [xJ t A [xJ. Esta forma (o bien, la matriz A) es definida positiva (respectivamente, definida negativa) si y slo si los determinantes de las submatrices angulares;).l = det Al, ;).2 = det A z, ... , " = det A" = det A, son positivos (los determinantes tienen signos alternados, comenzando con;).l = det A J < O, respectivamente). 11 NOTA: El resultado anterior sigue siendo vlido si aceptamos el cero en los determinantes de las submatrices angulares, cambiando entonces la conclusin correspondiente a "formas semidefinidas positivas" o bien, "formas semidefinidas negativas". Es claro que si los determinantes de las submatrices angulares no siguen alguno de los patrones establecidos en este resultado, la forma es indefinida. Ejemplo 7. Consideremos la matriz simtrica del ejemplo 5 A= [ -2 ~ 1.9 Formas cuadrticas 97 Los determinantes de las submatrices angulares de A son ~l = det Al = det(2] = 2 > O ;] ~2 = det A2 = det [~ ~] =6>O [ 2 2 2 5 -4 = det A] = det A = det -2] -4 5 10> O -2 Puesto que todos estos determinantes son positivos, concluimos que la matriz es definida positiva (como lo hicimos en el ejemplo 5 usando los valores propios de la matriz), 11 Ejemplo 8. Sea A la matriz -5 A= [ ; Los determinantes de las submatrices angulares de A son ~I = det Al = det[-5] = -5 < O = det A 2 = det _2 1 , ~2 -5 -'::-6 ?] = 26 > O C1] = det A] = det A = det . -5 2 2] = [ 2 -6 O -80 <O < O, concluimos 11 .2 O -4 Puesto que los signos de estos determinantes son alternados, comenzando con C1 que la matriz A es definida negativa, Ejemplo 9. Consideremos la matriz del ejemplo 6 11 A= [ 2 -8 Los determinantes de las submatrices angulares de A son ~1 = det[ll] = 11 11 [2 11 2 >O ~2 ~3 = det = det 2] = 18 > O 2 2 2 -8] 10 [ = -1458 <O -8 10 5 Los signos de estos determinantes no siguen alguno de los patrones comentados en el teorema 1.9.2. Concluimos entonces que la matriz A es indefinida. 11 98 Captulo 1 Introduccin al espacio ]Rn y al lgebra lineal Ejercicios (Captulo 1, Seccin 9) En los ejercicios 1-3, escriba la forma cuadrtica q: 1R 2 -> IR dada, como q(x, y) = [x y]A [~], k2 Y (con A una matriz simtrica de orden 2), en la forma q(x, y) = k 1x 2 -+- k 2xy k3 son nmeros reales, -+- k3y 2, donde k, 1. q(x, y) = [x y] [; ;] [~] 2. q(X'y)=[XY)[~ ~] [~] 3. q(X'y)=[XY][~ ~] [~] -> En los ejercicios 4-7, escriba la forma cuadrtica q: 1R3 IR dada, como q(x, y, z) = [x y z)A [; J' (conA una matriz simtrica de orden 3), en la forma q(x, y, z) = kX2-+-k2l-+-k3Z2+k4Xy+ksxz+k6Yz 4. q(x.y.z)~lxyzl [! l 5 3 iJ [;] ~J Lz r~] -> 5. q(x, y, z) = [x y z] r~ Ll J[~] -1 6. q(x. y. z) ~ Ix y z) [~ O 5 39 7. q(x, y, z) Ix y z{ -5 o TJ m 8. Escriba la forma cuadrtica q: 1R4 IR dada, como suma de trminos del tipo kijx;xj, i, j =:.~ 1, 2,3,4. 3 q(x, X2, X3, X4) 2 = [XI X2 X3 X4) [ ~ -1 5 4 -2 7 -7 o 4 -1] lXX1] f. -2 -7 8 2 X3 X4 En los ejercicios 9-15, escriba la forma cuadrtica dada como q(x) matriz simtrica. = [x] A [x], donde A es una 9. q: JR2 10. q: 1R2 11. q: 1R3 -> -> -> -> -> -> IR, q(x, y) = 3x2 -+- l IR, q(x, y) = x 2 -+IR, q(x, y, z) = -+- 4xy lol x 2 -+- l -+- Z2 -+- xy -+- xz -+- yz 12. q: JR3 JR, q(x, y, z) = x 2 -+- yz IR, q(x, y, z) = 2xy -+- 4xz - 10yz IR, q(x, X2, X3, X4) = XX2 -+- X3X4 13. q: 1R3 14. q: 1R4 15. q: 1R4 -> JR, q(X, X2, X3, X4) = xi -+- 2x~ -+- 3x~ -+- 4x - XlX3 - X2X4 ].9 Formas cuadrticas 99 En los ejercicios 16-50, aplique el criterio establecido en el teorema 1.9.2 para decidir si la matriz simtrica dada (o bien, la forma cuadrtica dada) es definida positiva, definida negativa, semidefinida positiva, semidefinida negativa, o indefinida. 16. [~ ~] -2 r2 , 17. [~ ~] 18. [ -;1 ] 2 -S 19. [ -3 n 4 16 20. 22. 25. [~ ~] O l~ 3 9716] 1 23. [-2 -1 [~ iJ O 4 3 O -1 -5/2 -2 21. [T [ 1 1 O jJ ~] -4 ~2 ] -S 24. 2 O 5 2 26. O [~5 1 -4/5 2] 27. 28. [~3 [ -3 -2 1 1/2 O -2 ] -4/3 29. 31. 3 2 2 7~] 32. [y [3 ~ [-3 ~ -8 2 -8 O 2 -80 [~I [~I 1 -2 ~J O 2 -S 1 O ~i 1 2 J ~J ~J 30. O JJ ~2] 33. [ 3 3 -18 O 34. [~J O ] - 3 35. -15 1 36. q(x, y, z) = --3x 2 31. q(x, y, z) 38. 39. 12Sy2- SZ2 - 16xy - 6yz = x 2 + 2i + 8z 2 + 2xy + 4yz q(x, y, z) = 4x 2 - i - 4z 2 + 2xy + 6xz - 4yz q(x, y, z) = _x2 - 36 y 2 - 2z 2 + 6xy + 2yz 40. q(x, y, z) = 8x 2 + lBi 41. q(x, y, z) = -3x 2 - 4y2 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. + Sz2/9 + 8xy - 2xz + Byz /3 - 6z 2 + 2xy + 16yz q(x, y, z) = -4x2 - 16y2- Z2 + Sxy - 6yz q(x, y, z) = x 2 + si + z2/2 + 4xy + 2yz q(x, y, z) = x 2 + y2 + IO z2 + 4xz + 2yz q(x, y. z) = -4x2 - 4y2 - Sz2/3 + 4xy + 4xz q(x, y, z) = -2x 2 + y2 + Z2 q(x, y, z) = -5x 2 - 4y2 - 2z 2 + 4xy - 2yz q(x, y, z) = 4x 2 + 6y2 + 14z 2 - 4xz - 12yz q(x, y, z) = -2x 2 - 3y2 - 4z 2 + 2xy + 4yz ] 00 Captulo 1 Introduccin al espacio lit" y al lgebra linea] 50. q(x, y. z) = -2x 2 ~ 1Oy2- 4z 2 -- 4xy + 5yz En los ejercicios S 1-85, use el teorema 1.9.1 para decidir si la forma cuadrtica dada es definida positiva, definida negativa, semidefinida positiva, semidefinida negativa indefinida. En cada caso, escriba la forma como una suma de cuadrados. (NOTA: tocios los valores propios de las matrices simtricas correspondientes. son nmeros enteros). 51. q(x. y) = !(34x 2 + 41y2 52. q(x. y) = !(6Ix 2 + 89y2 53. q(x. y) + 24xy) + 96xy) 13(469x 2 + 1897y2 + 1440xy) 54. q(x, y) = 13(194x2 + 313y2 + 120xy) 55. q(x, y) = 61x 2 + 89y2 + 96xy 56. q(x, y) = -!(l51x 2 + 249y2 57. q(x, y) = -13(219x 2 + 457y2 + 336xy) + 240xy) 58. q(x. y) = 9(244x2 + 601y2 + 360xy) 59. q(x.y) = 13(119x 2 -119y2-240xy) 60. q(x, y) = -2(34x 2 + 41l + 24xy) 61. q(x. y, z) = 5x 2 + 6l + 7z 2 + 4xy + 4yz 2 - 15y2- 21z 2 -- 12xy + 12xz 62. q(x. y. z) = -18x 63. q(x. y. z) = 25x 2 + 39l + 132 2 + 24xy -- 24yz = ~(\03x2+ 125l 64. q(x. y. z) + 662 2 + 48xy + 12xz - 60yz) 65. q(x, y. z) = ~X2 66. 67. 68. 69. + ~ l + 52 2 + ~xy q(x, y, z) = ~(203x2 + 86l + 35z 2 - 152xy + 32xz - 40)'z) q(x, y. z) = 34x 2 + 41y2 + 5z 2 + 24xy q(x, y, z) = 8x 2 + 9y2 + lOz 2 + 4xy + 4yz q(x, y. z) = i9(I03x 2 + 125y2 + 66z 2 + 48xy + 12xz -- 60yz) 70. q(x, y, z) = i9(-382x 2 - 541y2- 155z 2 - 324xy - 60xz -lOx 2 - 12y2 - 14z 2 - 8xy - 8yz 72. q(x, y. z) = 6x 2 + 12y2 + 9z 2 + 12xz + 12yz 73. q(x. y, z) = _~x2 -- ~y2- 5z 2 - ~xy 71. q(x. y. z) + 384yz) = 74. q(x. y. z) = 13(345x2 + 466y2 + 203z 2 - 120xy - 48xz - 168yz) 75. q(x. y, z) = 9(l197x 2 + 1439y 2 + 9132 2 - 240xy - 96xz - 336yz) 76. q(x, y. z) = !(l02x 2 + 95y2 77. q(x, y. z) + 73z 2 - 100xy + 28xz) = ~(433x2 + 259y2 + 118z 2 - 20Sxy + 16xz - 152yz) 1.9 Formas cuadrticas 101 78. q(x, y, z) = 17(203x 2 79 q-(>; ,y . = - . z) 80. q(x, y, z) = 81. q(x, y. z) + 86y2 + 35z 2 22 x 2 + 22 V2 + 2 + l:!xy 25 25, 25 ~ 152xy + 32xz -- 40yz) 7 !( -18 Ix 2 13(192x2 - IOy2 + 29z 2 + 232xy - 62xz + 8yz) 96xz = + 441y2 + 43z 2 2 216xy - 24xz - 24yz) 82. q(x. y, z) = 13(-649x2 83. q(x, y. z) = 33x 84. 85. 2 1915y2- 309z 2 + IO8xy - + 912yz) + 114y2 + 96z + 12xy - 48xz - 48yz q(x. y, z) = ~252 x 2 + ~ i - ~~7 Z2 - 3~8 xy + 5,;8 XZ - ~ YZ 4 2 2 q(x. y, z) = 7x - 33y2 + 5z - 48xy + 24xz + 24yz _ _ _ Captulo .., uncIones es En este captulo trabajaremos con funciones cuyos valores, que sern nmeros reales, dependern de ms de una variable. Por ejemplo, el rea de un tringulo (que es un valor real) depende (es funcin de) de su base b y su altura h. As, si T es el conjunto de todos los tringulos, podemos formar la funcin f: T -; 1Ft que asocia a cada tringulo T, su rea. De otro modo, podemos acomodar en parejas ordenadas los valores de la base y altura de cada tringulo en T, de tal manera que la funcin f tomar la pareja (b, h) E JR x JR y le asociar el nmero real f(b, h) = ~bh = rea del tringulo de base b y altura h. Esto lo escribimos como f: U s:;; JR2 -; JR, f(b, h) = ~bh. En este caso la funcin f solamente acepta valores positivos de b y h. Decimos entonces que el dominio U de f, que es un subconjunto de JR2, estar formado por aquellas parejas (x, y) cuyas dos coordenadas sean positivas. Es decir En fsica se encuentran tambin muchos ejemplos de funciones reales que dependen de ms de una variable. El volumen V de un globo inflado depende de la presin P del aire que contiene y de la temperatura T. As, el nmero real V es funcin de P y T. De hecho V: U s:;; JR2 -; JR, V(P, T) = kT/ P = volumen del globo, donde k es una constante (ley general de los gases ideales). Dividiremos en 3 partes el estudio del clculo diferencial de estas funciones. La primera de ellas (de la cual se ocupa el presente captulo) tiene por objeto estudiar el concepto de diferenciabilidad de estas funciones y algunos tpicos simples relacionados con este concepto. En la segunda parte (el captulo 3) se estudiarn temas ms especficos sobre funciones diferenciables de varias variables, como son la derivacin de funciones compuestas, las funciones inversas y las funciones implcitas. Por ltimo, en la tercera parte (el captulo 4) se estudiar lo relacionado con los extremos de estas funciones. El estudio del clculo integral de este tipo de funciones se har en el captulo 6. 2.1 Funciones de varias variables Recordemos que una funcin f: A - t B del conjunto A al conjunto B (ambos no vacos) es una regla que asocia a cada elemento a E A un elemento (y slo uno) bien determinado b E B, llamado "imagen de abajo f" y escrito como b = f(a), (b es igual a f de a). El conjunto A es el dominio de f, el conjunto B es su contradominio (o codominio), y el conjunto formado por todas las imgenes 103 1 04 Captulo 2 Funciones de varias variables de f es su rango, es decir, rango de f = {b E B(b = f(a). a E A} En el primer curso de clculo se trabaj con funciones en las cuales A y B eran (subconjuntos de) el conjunto de nmeros reales que se escriban como f: c.:. l'?: -> notacin en la que se enfatiza que el dominio de la funcin es el conjunto de S. y que su codominio es IR (el rango de la funcin no queda explcito en esta notacin). Decamos entonces que f es unafuncin real (las imgenes f(x) son nmeros reales) de una variable real x E l. Ahora vamos a considerar funciones cuyas imgenes son tambin nmeros reales, pero cuyo dominio ser un subconjunto del espacio IR". Es decir, funciones del tipo f: U r;;;; IR" -> IR:, llamadas funciones reales de n variables reales (viendo a los punto de ]R." como Il-adas de nmeros reales -las variables de la funcin), o bien,jimciones reales de variable \'cctorial (viendo a los elementos de IR" como vectores). Tenemos pues que una funcin f: U r;;;; ]R." -~ ? es una regla que asocia a cada Il-ada ordenada de nmeros reales (XI, X2, ... , x,,) de U, o bien, a cada vector x de U, un nmero real bien determinado f(x], X2, .. , x,J. El conjunto U es el dominio de la funcin f, su codominio es L::t y el rango de f es el conjunto de ::. E ]R. para las cuales existe x E U tal que z = f(x), es decir rango de f = {z E E Obsrvese que ste es un subconjunto de IR.. As. cada una de estas funciones est constituida por: 1) su dominio U r;;;; ]R". 2) su codominio y, 3) la regla que asocia a cada x E U, el nmero E imagen de X bajo f. Esquemticamente se tiene f Figura 1. Una funcin f: U c:: ]Rn --.., lR. Usaremos indistintamente las notaciones f(XI, X2, ... , x,,) o f(x) para denotar la imagen bajo f del vector x = (Xl, X2, ' .. , X n ) E JR". Es usual, en una funcin f: U r;;;; JR" -> R dar simplemente la regla z = f(x) por medio de la cual se asocia a cada vector x E U, el nmero real z = f(x), y no dar explcitamente el dominio U de f (se entiende que el codominio siempre es lP!.). En tal caso se debe entender que el dominio de f es el mayor subconjunto U dcl espacio JRn para el cual la regla f(x) tenga sentido con x E U (llamado dominio natural de la funcin n. Ejemplo 1. La funcin f(x], X2) = xi + x~, asocia a cada pareja (Xl, X2) E cl nmero real xi + x~. As, se tiene que f(l, 2) = (l)2 + (2)2 = 5 = imagen bajo f dc (l, 2), f( -3,4) = (_3)2 + (4)2 = 25, etc, El dominio de f es en este caso todo el espacio 1R 2, pues 2.1 Funciones de varias variables 105 f(xl. X2) = xT + x~ puede ser calculado para cualquier pareja de nmeros reales (x). X2) E JR2. El rango de f es el conjunto de nmeros reales no negativos, pues f(xI. X2) = xT + x~ 2: O V(XI. X2) E JR2. 11 Ejemplo 2. ~~funcin f(xI, X2. X3) = /l-~- XT -- x~ - x~ asocia a la tema (x), X2. X3) E JR3 el nmero real JI - xT - X~ -- x~. De este modo se tiene que f( 1, O. O) = jI - (1)2 - (0)2 - (0)2 = O = imagen bajo f del vector (l. O. O). f(l/2. 1/2. 1/3) = JI - (l/2)2 - 0/2)2 - (l/3)2 = etc. Obsrvese que entonces en este caso el dominio de f no es todo el espacio JR3, por ejemplo f(l, l. 1) = /1 - 1 - I - f = v-2 que no existe (como nmero real. y estamos trabajando con funciones cuyas imgenes son nmeros reales). Se tiene, de hecho, que V7Tf8, dominio de f= {(XI, X2. X3) E JR 3 11 xT - x~ - x~ 2: O} = {(XI, x2, X3) E JR31xT + x~ + x~ :::: I} NOTA. Cuando se trabaja con funciones de 2, 3 4 variables, es usual, en lugar de usar subndices con la letra x para denotar a las variables, usar las letras x y sus vecinas. As, la funcin del ejemplo I anterior la escribimos como f(x, y) = x 2 + l, y la del ejemplo 2 como f(x. y. z.) = } I - x2 - y2 - Z2. Debemos advertir, sin embargo, que una letra como la z juega frecuentemente un doble papel: en funciones de dos variables es comn usarla para denotar los valores de la funcin, escribiendo z. = f(x, y), (aqu, la z es "la funcin", como la del ejemplo 1: z = x 2 + y2) en tanto que en funciones de 3 o ms variables puede aparecer denotando a una de las variables de la funcin, por ejemplo, en u =c f(x. y, z) (aqu, la z es una variable independiente, como en la funcin del ejemplo 2: u = ylJ=- x 2 - y2 - Z2). De cualquier modo, esto no debe provocar confusin. Ej:mjplo 3. La funcin f(x. y. z. w) = es una funcin de las cuatro variables x. y. z. w que tiene por dominio a todo el espacio JR4 excepto el (O, O, O. O). En el caso concreto de funciones f: U <;;; JR2 ~ IR definidas en algn conjunto U del plano IR 2 , conviene a veces tener una representacin geomtrica del dominio U de f. Este conjunto puede quedar determinado por las restricciones que f imponga para obtener z = f(x. y) E IR (el dominio natural de f), o bien, estar restringido por condiciones que arbitrariamente (por razones que hagan que as convenga) se impongan sobre l. En todo caso, estaremos interesados en "ver" el "pedazo" del plano IR 2 donde f est definida. Ejemplo 4. La funcin f(x. y) U = }l - x 2 2 - y2 est definida (su dominio natural es) el conjunto = {(x,y)ll-x - /2': O} = {(x,y)lx 2 + l:::: l} el cual corresponde al interior del crculo unitario x 2 + y2 = 1, inclu'yendo su frontera, como se muestra en la figura 2. Obsrvese que el rango de esta funcin es el conjunto {z E JRIO :::: z :::: l} (por qu?). 11 Ejemplo 5. La funcin f(x. y) = ln(xy) est definida en aquellos puntos (x, y) en que xy > O. restriccin que impone la funcin logaritmo, pues sta existe para valores positivos de su argumento. 1 06 Captulo 2 Funciones de vanas \'ariables y Figura 2. Dominio de la funcin (x, y) = I-=-:;;2- y2 Este conjunto V de puntos de! plano con el producto de sus coordenadas positivo, queda descrito en forma ms explcita como la unin de VI y V 2 donde VI = y)!x > O, y > O}, [h = {(x, < O, Y < O} que corresponden a los puntos del primer y tercer cuadrante del plano xy, respectivamente, x Figura 3. El dominio de la funcin (x, y) = ln(xy). Observe que el rango de esta funcin es todo el conjunto lR. De hecho, para puntos (x, y) en que O < xy < 1, se tiene f(x, y) < O, en tanto que si xy > 1, se tendr f(x, y) ?: O. Para los puntos de la hiprbola xy = 1, se tiene que f(x, y) = O. 11 Ejemplo 6. La funcin f(x, y) = arcsen X,~y tiene por dominio al conjunto de puntos (x, y) en el plano de tal modo que -1 :::: :::: 1, restriccin impuesta por la funcin arcsen, la cual, como sabemos, tiene por dominio al (rango de la funcin sen que es el) intervalo [-1, 1]. Es interesante describir explcitamente este conjunto, para poder tener una imagen geomtrica de la regin del plano que representa. Se trata entonces de "resolver" (dejar a la variable y en trminos de x) la desigualdad xl I-+ y IX <1 - 2.1 Funciones de varias variables 107 Observando que de antemano el origen x que = y = O est excluido del dominio de la funcin, se tiene Ix:yl:::; 1 <=? Ixl:::; Ix+yl <=?x2:::; (x+y)2 y~ O, Y ~ -2x <=? y(y + 2x) ~ O<=? { y:::; O, y:::; -2x y:::; -2x} As pues, el dominio V queda descrito por la unin de los subconjuntos VI y V2 tales que VI = {(x, Y)IY ~ 0, y ~ -2x}, V2 = {(x, Y)IY :::; 0, exceptuando el origen. Es decir, V :=; (VI U V2) - {(O, O)}. Geomtricamente VI contiene los puntos que estn por encima de la recta y = -2x que tienen a su vez su ordenada no negativa, mientras que V2 contiene los puntos que estn por debajo de la recta y = - 2x que tienen su ordenada no positiva. El conjunto V se ve como y ~ y = -2x Figura 4. x El dominio de la funcin f(x, y) = arcsen x~)'. T/2] El rango de la funcin f es el intervalo [-1'1'/2, (por qu?). Las funciones reales de 3 variables, f: V ~ JR3 -; JR, tienen por dominio a "pedazos" de JR3, los cuales todava pueden ser visualizados, como en el siguiente ejemplo. Ejemplo 1. La funcin f(x, y, z) = In(l - x 2 - y2 V = {(x, y, z)ll - x 2 - + z), tiene por dominio al conjunto = {(x, y, l + z > O} z)lz > x 2 + l- l} La ecuacin z = x 2 + l- 1 representa un paraboluide que abre hacia arriba y tiene su vrtice en el punto (O, 0, -1) (detalles a este respecto se considerarn a partir de la siguiente seccin). La regin V de JR3 queda entonces descrita como los puntos (x, y, z) E JR3 que estn "dentro" del paraboloide mencionado (figura 5). La igualdad entre dos funciones de varias variables se ve como sigue: las funciones fl: VI ~ JRn -; R 12: V2 ~ JRn -; JR, se dicen ser iguales, lo cual se escribe como fl = 12, si VI = V2 y fl(x) = 12(x) 'r:/x E VI' I! 1 08 Captulo 2 Funciones de varias vuiahks z > .1'2 + / - 1 x Figura 5. El dominio de la funcin f(x, y. z)=, In(l - ).2 - / + zl Ejemplo 8. Las funciones f(x, y) = Ix + y R(x, y) =c + no son iguales, pues aunque sus dominios coinciden (es todo el espacio ), sus iIl1genes no (en g.eneral). [)e hecho. sabernos que f(x, y) = g(x, y) si y slo si una de las coordenadas de (x, y) es un mltiplo no negativo de y)= I~, y la otra (ver ejercicio 7 de la seccin 3, captulo 1), Por otra parte, las funciones 'r!, . 1 pues sus d 0l11lmOS COJl1CtOen " .. , (l . fl(X, y) = 1";1 S1 son 19ua es, excepto ellos puntos (x, y) con .l' as como sus imgenes, I Las operaciones entre funciones de varias variables se definen de manera anloga a como se hace en el caso de funciones de una sola variable: si tenemos las funciones f: U (~: !R'.n -..., fil g: 1/ s;:: lR'.n se define a, la suma de f y g como la funcin f+ g: U n V s;:: IR" ....., tal que (f b. + g)(x) :oc: f(x) V -j. g(x) -> el producto de f y g como la funcin fg: U n (fg)(x) s;:: IR" tal que = f(x)g(x) -> c. el cociente de entre g como la funcin L: W s;:: IRn g lR, tal que (1) g donde W = U (x) = f(x) g(x) nV- {x E Vlg(x) = O}. Ejemplo 9. Sean f(x, y) = respectivamente. Sabemos que Jl-=- x 2 ::.. y2, g(x, y) = f= {(x, y)lx In(xy), las funciones de los ejemplos 4 y 5 2 dominio de dominio de g + l ::; l} = {(x, y)lx > 0, y> O} U{(x, y)lx < 0, y < O} 2. I Funciones de varias variables 109 La interseccin de estos dominios est entonces constituida por los puntos interiores al crculo unitario x 2 + l = ! (incluyendo su frontera) que estn el el primer y tercer cuadrantes. Este es el . dominio de la funcin suma de f y g, (j + g)(x, y) = f(x, y) + g(x, y) = JI - x 2 - y2 + In(xy) y de la funcin producto de f y g, (jg)(x, y) = f(x, y)g(x, y) = JI - x 2 - y 2 In(xy) En el caso de la funcin cociente de f entre g, debemos eliminar de la interseccin de los dominios de f y g los puntos (x, y) del dominio de g que hagan cero a esta funcin (es decir, debemos eliminar los ceros del denominador de la funcin cociente). Estos puntos son los de la hiprbola xy = 1, los cuales estn fuera de la interseccin de los dominios de f y g. As pues, el dominio de la funcin cociente de f entre g (f). - g, (x) f(x) JI-x - y2 = - = -'----- 2 g(x) In(xy) es el mismo que el de la funcin suma y producto. 6. Los dominios de las funciones f + g, fg, f/g del ejemplo 9 Para terminar esta seccin, presentamos algunos tipos de funciones de varias variables a los que se les conoce con un nombre especial. (*) A una funcin f: IR" (*) A una funcin f: IR" -+ -+ IR del tipo f(x) IR del tipo = c, se le lIamafuncn constante. en la que b E IR Y al, a2, (*) A una funcin f: IR 2 ... , -+ all son nmeros reales dados no todos nulos, se le lIamaftmcn lineal. IR del tipo f(x, y) = L GijX yj i i,} 1 10 Captulo 2 Funciones de varias variables donde aij son nmeros reales dados, se le llama funcin polinomial (en x y y). Por ejemplo, son funciones polinomiales f(x, y) = x 2 + l + 3, g(x. y) = 2 + 3x - 4y + 2x 2 + xy, etc. En general, una funcin polinomial en las n variables XI. X2 ... , Xli es una funcin del tipo si en la que Gili2 ... in son nmeros reales dados. Por ejemplo, las funciones f(x, y, z) = 3xy g(x, y, z, u) = 23 - 3z + 8x2 yz 3 - 2xyu 4 + u S , son funciones polinomiales. 8xz, Ejercicios (Captulo 2, Seccin 1) 1. Sea f: ~2 ~ la funcin f(x, y) = x 2 + Halle f(1, O), feO, 1), f(l, 1). Cules puntos (x, y) E ~2 son tales que f(x, y) = O? A dnde manda la funcin f los puntos (x, y) del crculo -+ l. unitario x 2 +l = l? 2. Sea f: ~2 -+ ~ la funcin f(x, y) = x+ y. Halle f(2, 3), f(x, 1), f(1, y), f([ l, y-l). Cules puntos (x. y) E ~2 son tales que f(x, y) = k? A dnde manda f los puntos de la recta y = -x? 3. La funcin f: ~2 -+ ~ es tal que f(x f(x, y). A dnde manda recta y = -x? f y) x2 + Determine f(2, 5), f(x, 3), feS, y), los puntos de la recta y = x?, a dnde manda f los puntos de la + y, x - l. 4. La funcin f: U <;:;: ~2 -+ IR es tal que f(x - y, ;) = dominio U de esta funcin'? 3 2 ') l- x 2 . Determine f(x. y). Cul es el 5. Sea f: ~ -+ IR la funcin f(x, y, z) = e-(x +)"+z' . Calcule feO, 0, O) Y l, 1, 1). dnde manda f los puntos de la esfera unitaria + l + Z2 = l? Qu pasa con los valores de f cuando II(x, y, z)11 -+ 00 ? "'l) 6. Considere la funcin est dada por -+ dada p(}r f(x, y) = sgn(x -- y2), donde la funcin sgn (signo) sgn(a) = ~ { 1-1 -1 si IY. si a si a >O =O < z= f(x, y) dada y Describa el conjunto de puntos (x, y) E ~2 tales que: a f(x, y) > O; b f(x. y) = O; e f(x, y) < O. 7. Sea f: ~2 -+ ~ la funcin f(x, y) = In(sgn( 1 + x 2 + y2. Cul es el dominio de f7, cul es su rango? 8. Repita el ejercicio anterior con la funcin f(x, y) = sgn(ln(l + x + y)). En cada uno de los ejercicio 9 a 28, describa el dominio natural de la funcin haga un esquema en el que se represente este dominio en el plano xy. 9. f(x, y) = Jx 10. f(x, y) = Jx +y 1 +y 11. f(x, y) = Vi + VY 2.1 Funciones de varias variables 111 12. (x. y) = 13. (x, y) = 14. (x. y) = .x + .y 1 1 VXY .x.y 15. (x. y) = VX + .y yl-X 16. (x. y) = / 1 2 -y1 ? 17. (x, y) = ln(l + 2x 2 + 4y2) 18. (x. y) = ---=:;===;;==:;c= ln (1 + 2x 2 + 4 y 2) V 19. (x. y) = jln(l 20. + x + y) (x, y) = In(y InO + x + y 21. f(x, y) = Vi - x 2- 5y 4 22. (x, y) = arccos(x + y) 23. (x, y) = arcsen(x 2 24. (x, y) = arctan + y) 2 1 +x T+Y"2 25. (x, y) = jsenh(2x + y) 26. (x, y) = jcosh(2x + y) 27. (x, y) = sen [7T(x 2 + y2)] v 28. (x, y) = JYcosx En los ejercicios 29-33 haga explcito el dominio de la funcin indicada 29. (x, y, z) = JI 30. + x 2 + y2 + Z2 (x, y, z) = jx + y + i + .x + .y + Vi = Xl + 2x~ + 3x~ + 4x1 1 Xl +X2 +X3 +X4 31. (x, y. z) = ln(x 4 In 2 (y2 In z 32. (Xl, X2. x3, X4) 33. (Xl, X2, X3. X4) = j. + jXI + x2 + X3 + X4 En los ejercicios 34-40 diga si las funciones dadas son iguales 34. (x, y) = 36. (x, y) 37. f(x, y) 38. 39. /XfY, g(x, y) = -JiI .y = 2ln(x + y) 35. (x, y) = Ixyl, g(x, y) = Ixllyl = ln(x + yf, g(x, y) = ln(xy), g(x, y) = lnx + lny (x, y) = In(x 2 I y4), g(x, y) = In x 2 - In y4 f(x, y) = I sgn(x + y)l, g(x, y) = sgn Ix + yl 40. (x, y) = sgn 2 (l - x - 4y), g(x, y) = sgn 28 (l - x - 4y) 112 Captulo:: Funciones de varias variables En los ejercicio 41-44 determine las funciones f + g, fg, f/g, as como sus dominios 41. f(x, y) = x 2 + y2, g(x, y) = l 42. fix, y) = x + y, g(x, y) = x - y 43. f(x, y) = j1+~t+ y, g(x, y) =x- Y 44. f(x, y, z) = sen(x + y + z), g(x, y, z) = 2 cos(x + y + z) -7 45. Cul es el rango de la funcin constante f: IR" IR, f(x) = c? 46. Es una funcin constante un tipo especial de una funcin lineal? 47. Es una funcin lineal un tipo especial de una funcin polinomial? 48. Sea f: U C;;; IR" - 7 IR una funcin definida en el conjunto U de IR" y sea Aun nmero real. Defina la funcin Af: U C;;; IR;" - 7 IR como (Af)(x) = Af(x), Esta funcin es llamada "producto de la funcin f por el escalar A", Obsrvese que ste es un caso particular de la operacin producto de dos funciones, cuando una de ellas es una funcin constante. Si g, h: U C;;; IR" --t IR son otras dos funciones definidas en U, demuestre que: a. .... f +g =g +f b. f + (g + h) = (f + g) + h Existe una funcin O: IR" -, IR tal que f + O= f -7 d. Dada f, existe una funcin - f: U C;;; IR" .inciso anterior) IR tal que f + (- f) = () (la funcin cero del e. f. g. + g) = Af + Ag, A E IR (A + fL)f = Af + fLf, A, .L E IR A(f A(pJ) h. As queda demostrado que el conjunto de todas las funciones reales definidas en U C;;; IRIl es un espacio vectorial (real) con las operaciones de suma (definida en esta seccin) y producto por escalares (definida en este ejercicio). (*) 49. Existen funciones inyectivas f: U C;;; 1R2 -7 JR definidas en un abierto U de JR2? = lf = f .L(A!) = (AJ.L)f, A, J.L E IR Geometra de las funciones de varias variables Para funciones reales de una variable real f: 1 C;;; IR - 7 IR, tenemos una representacin geomtrica de ellas, a saber, su grfica (figura 1). En el caso de una funcin de n variables f: U C;;; IR" - 7 IR, definimos (anlogamente al caso de una funcin de una variable) la grfica de f como el conjunto 2.2 v Geometra de las fUlIciones de varias variables 113 x Figura 1. La grfica de la funcion y = /(x) Obsrvese que ste es un subconjunto del espacio IR"+ l. As, si n = 1, tenemos la grfica de la funcin f: U iR -> IR definida como el subconjunto del espacio IR 2 {(x, y) E lR2 1x E u. y = f(x)} tal como se dijo al principio de la seccin. Si n :0: 2. la grfica de la funcin f: U <::;: IR 2 ........, IR es el subconjunto del espacio [M;3 {(x, y, z) I (x, y) E U. z = f(x, y)} Podemos visualizar este subconjunto del espacio IR 3 como una "superficie en el espacio", poniendo los puntos de U <::;: en el plano z = O Ylos valores de z = f(x, v) correspondientes en el eje z. . X y y ,. . ' . ,,:' ------~-~-~--------~,.. x Figura 2. Grfica de una funcin f: U <:::: ]R2 --> ]R En otras palabras, la grfica de la funcin f: U <::;: IR 2 ---+ IR, es la grfica de la superficie z = f(x, y). Para n 2: 3, la grfica de la [uncin f: U <:::: IR" ---+ IR ya no puede ser visualizada, pues se encuentra en el espacio (n + l)-dimensional (2: 4-dimensional). Es por este hecho que todos los conceptos importantes (por ejemplo, los relacionados a la diferenciabilidad) sobre funciones de varias variables, se ejemplifican de preferencia con funciones de 2 variables, pues en este caso tenemos representaciones geomtricas concretas de las grficas de ellas, donde es posible "ver" el concepto estudiado. 114 Captulo 2 Funciones de varias variables Ejemplo 1. aspecto es La grfica de la funcin f: 1R2 -+ R f(x, y) = x2 +i es un paraboloide cuyo z y x Figura 3. Grfica de (x, y) = x 2 + l. Ejemplo 2. La grfica de la funcin constante f: R2 -+ R, f(x, y) = k, es un plano paralelo al plano xy, separado de ste una distancia de k unidades (hacia arriba si k > o hacia abajo si k < O). z =k x Figura 4. Grfica de la funcin constante (x, y) = k. Ejemplo 3. La grfica de la funcin lineal f: 1R2 -+ IR, f(x, y) = ax + by + e, es un plano que pasa por el punto (O, 0, e) y un vector normal al plano es (a, b, -1), ( (-a, -b, 1) como el mostrado en la figura 5). El ejemplo 2 es un caso particular de este ejemplo con a = b = O. Ntese la analoga con el caso de la funcin lineal f: IR -> IR f(x) = mx + b. Esta es una recta en el plano 1R2 que pasa por (O, b) Ysu vector normal es (m, -1) (figura 6). Una generalizacin de la funcin lineal de este ejemplo es la funcin lineal f: IRn -+ lR del tipo 2.2 Geometra de las funciones de varias variables 115 x Figura 5. Grfica de la funcin lineal f(x, y) = ax y (m, -1) + by + c. y = mx +b Figura 6. La funcin lineal de una variable f(x) = mx + b. cuya grfica es entonces el subconjunto de Jl~n+ 1 dado por {(Xl. X2, ... , x n , y)ly = al Xl + a2x2 + ... + GIlX n + b} Esta grfica, aunque no podamos verla, decimos que es un "hiperplano" en ~n+l que pasa por (O. O... , O. b) y cuyo vector normal es (al. a2, ... , ano -1). iI Ejemplo 4. Recordemos que la ecuacin x 2 + l = r2 no representa (globalmente) funcin alguna f: 1 ~ IR --> R pues al tratar de despejar "y" nos queda y = Jr2 - x 2 de donde vemos que para cada valor de x E 1 = [-r, r], tenemos un par de valores asociados para "y", Jr2 - x 2 con lo cual se viola la definicin de funcin. Sabemos sin embargo que cada una de las expresiones f(x) = Jr 2 - x 2 , h(x) = -0-2 - x 2 s representan funciones del tipo f1.2: [-r, r] --> R cuyas 2 grficas son los semicrculos superior e inferior, respectivamente, del crculo x 2 + l = r , con centro 2 en el origen y radio r. Del mismo modo la expresin x 2 + l + Z2 = r no representa (globalmente) funcin alguna f: U ~ IR 2 --> R pues al tratar de escribir z = f(x, y) nos quedara, igual que en el caso anterior, Z = Jr2 - x 2 - y2. Empero, las expresiones fl(X, y) = Jr 2 - x 2 - y2, 1 16 Captulo 2 Funciones de varias variables U = {(x, y) E JR l lx 2+l de la esfera xl + l + Z2 h(x, y) = - jr l - xl - yl s representan dos funciones del tipo f: U <;;; JRl ----+ IR en donde :::; r 2 }, cuyas grficas son la semiesfera superior e inferior, respectivamente, = r2 , con centro en el origen y radio r. x Figura 7. se derivan. La esfera x 2 + l + Z2 =r 2 y las funciones JI y ,2 que de ella Yendo ms lejos, decimos que la "esfera en lR"+ ", con centro en el origen y radio r (cuando r es denotada por S") dada por define dos funciones del tipo f: U <;;; iR" -, JR, donde = a saber 1(x,xl, h(x],xl, ,x,,) ,x,,) = = Jr 2 - xI -x~ - - x~ - -FxT- x~ x~ 11 cuyas grficas son las "semiesfera superior e inferior" de la esfera dada respectivamente. Es comn identificar a una funcin f: U <;;; JR" ----+ JR con su grfica. As, en algunas ocasiones nos referimos (en base a los ejemplos anteriores) a: (*) (*) (*) = x 2 + y2". "el plano f(x, y) = ax + by + c". "la semiesfera superior l(x, y) = jr l "el paraboloide f(x, y) - x 2 - y2", etc. En muchas ocasiones, dibujar (o simplemente bosquejar) la grfica de una funcin de dos variables resulta una tarea altamente complicada. Por eso hay algunos procedimientos alternativos que nos 2.2 Geometra de las funciones de varias variables 117 Z f'Z = f(x, y) z = f(x, kx) y x Figura 8. Interseccin con planos y = kx. permiten tener una descripcin geomtrica parcial de la grfica de la [uncin. Uno de ellos consiste en cortar la superficie z ::::: (x, y) con planos del tipo y = kx y estudiar el tipo de curvas as resultantes (las curvas 2 = (x, kx. En particular, se estudian las curvas resultantes de cortar la superficie con los planos X2 (y = O) Y Y2 (x = O). Ejemplo 5. Consideremos la funcin 2 = (x, y) = x 2 + l. Cuando y = 0, nos queda la curva 2 = x 2 (en el plano zx), y cuando x = nos queda la curva z = y2 (en el plano 2Y). Ambas son parbolas con vrtice en el origen que abren hacia arriba. Ms an, si y = kx, nos queda z = (l + k 2 )X2 que tambin es una parbola de las mismas caractersticas que las anteriores. z ;/ y = kx x Figura 9. Interseccin del paraboloide f(x, y) con los planos y = kx. = x2 +'l Ejemplo 6. La grfica de la [uncin 2 = 1 - x - y es un plano. Cuando y = 0, nos queda la recta 2 = 1 - x. En general, cortando con y = kx, nos queda la recta 2 = 1 - (l + k)x (figura 10). 118 Captulo 2 Funciones de varias variables z y x Figura 10. Interseccin del plano z = l - x - y con y = kx. Otro concepto importante que tambin se usa como ayuda para tener representaciones geomtricas parciales de grficas de funciones de dos variables, es el de "nivel constante" de una funcin: dada la funcin f: U ~ IRn -> IR, y el nmero c E rango de j; se define el nivel e de la funcin f corno el conjunto de puntos de U que f manda a c. Es decir {x E VI f(x) = e} = f-l(e) Esquemticamente Figura 11. Nivel e de f Ntese que ste es un subconjunto del espacio]Rn, de modo que cuando n = 1, es un subconjunto de nmeros reales; cuando n = 2, es un subconjunto del espacio IR 2, el cual es en muchas ocasiones una curva llamada curva de nivel (de la funcin f correspondiente al nivel z = c). Cuando n = 3, el nivel e de la funcin f: U ~ ]R3 -+ IR es un subconjunto del espacio IR3, el cual es tambin, en muchas ocasiones, una superficie llamada superficie de nivel. 2.2 Geometra de las funciones de varias variables 119 Ejemplo 7. Considere la funcin constituido por -I(I) : JR -. JR, (x) = sen x. El nivel 1 de esta funcin est = {x E JRI senx = 1} = {x = ~ + 2k1r, k E Z} y x Figura 12. El nivel 1 de la funcin f(x) = sen x. En este caso el nivel 1 est constituido por una infinidad de puntos aislados. Para la funcin f: JR -. JR, (x) = sgn x tenemos que el nivel 1 es -lO) = {x E IRI sgnx = 1} = {x E !R!x > } y y = sgnx nivel 1 Y x Figura 13. El nivel 1 de la funcin f(x) = sgn x. En este caso el nivel 1 est formado por todas las x de la parte positiva de la recta real. Para la funcin : JR -. JR, (x) = 2x + 3, el nivel 1 es -I(X) = {x E IRI2x + 3 = 1} = {x = -l} En este caso el nivel 1 est formado por un nico punto (figura 14). 1 20 Captulo 2 Funciones de varias variables ----~:...;..-+----,--+ x Figura 14. El nivel I de la funcin (x) = 2x + 3. Ntese tambin que el nivel c de la superficie z = f(x, y) se puede interpretar geomtricamente como la interseccin de dicha superficie con el plano z = c (al resolver simultneamente las ecuaciones z = f(x, y) y z = c se obtiene f(x, y) c), la cual es, como dijimos, (en algunos casos) una curva en el plano. l Esta curva (de nivel) es f(x, y) = c, la cual, de manera natural, se identifica como una curva del plano xy. Obsrvese, sin embargo, que bajo la perspectiva de la interseccin de la superficie con el plano z = c, esta curva se debe encontrar en el plano z = C (pues al resolver simultneamente el sistema z = f(x, y), z = e, se obtienen las temas (x, y, z) E tales que f(x, y) = c, y z = c. De este modo la curva f(x, y) = c que dibujamos en el plano xy es la proyeccin en este plano de la interseccin de la superficie z = f(x, y) con el plano z = c. , : , : ~ curva de nivel (e) y x Figura 15. La interseccin de z = (x, y) con z = e. Ejemplo 8. Consideremos nuevamente la funcin del ejemplo 1, f(x, y) = x 2 + y2. Ntese que f(x. y) ::::: O Y(x. y) E 1R2 , de modo que el rango de f est formado por los reales no negativos. Sea J En este momento no podemos decir en qu casos la interseccin de la grfica de la funcin z '" (x. y) con el plano z = e produce una curva en el plano, pues, entre otras cosas, no sabemos an lo que en matemticas se entiende por "curva". Este es un importante concepto con el que se trabajar ampliamente en el captulo 5. Aun identificando "curva" con "g'fica de una funcin real de variable real", la cuestin de cundo la interseccin mencionada produce una curva es un asunto no trivial que se discutir en el captulo 3. 2.2 Geometra de las funciones de varias variables 1') 1 pues e ;:: O. El nivel e de la funcin es el conjunto Si e = O, ste se reduce al punto (O, O). Si e > O, -1 (e) es un crculo con centro en el origen y radio .c. Estos crculos constituyen las curvas de nivel de la funcin . y x .= 4 .=9 Figura 16. Curvas de nivel de la funcin f(x, y) = x 2 + l. x2 Sea (x, y) = .jx 2 + y2. Las curvas de nivel de esta funcin son los crculos' + l = que tienen el mismo aspecto de las curvas de nivel de la funcin del ejercicio anterior. Ntese que, sin embargo, la curva de nivel 2 de la funcin del ejercicio anterior no corresponde a la curva del nivel 2 de esta funcin. Ejemplo 9. e2 , y x .=3 Figura 17. Curvas de nivel de la funcin f(x, y) = Jx2: + y2 Continuando con este ejemplo, si usamos las ideas expuestas en los ejemplos 5 y 6 anteriores, vemos que con y = Oobtenemos la curva z = ..;. = IxI. y con x = O la curva z = = Iyl. Ms an, intersectando con el plano y = kx obtenemos la curva z = vT+k2lxl. Es fcil ver, con esto, que la superficie z = .jx 2 + y2 es un cono con vrtice en el origen y que abre hacia arriba (figura 18). H 122 Captulo 2 Funciones de varias variables ---------------------------- z y x Figura 18. Ejemplo 10. (e> O) a Intersecciones del cono z = -> J x 2 + y2 con z = e y y = kx. La funcin f: IR n IR, f(XI, X2, ... , xn ) = xf + x~ + ... + x;', tiene por nivel c + ... + x~ = c} xf + x~ + x~, tiene por superficie de nivel a la esfera xf + x~ + x~ Obsrvese que si n = 2, este es el ejemplo 8 anterior. Con n = 3, la funcin f(Xl, X2, X3) e. Ejemplo 11. Consideremos, como ltimo ejemplo, la funcin f: -. f(x, y) = _ y2. Esta es una funcin interesante que nos servir posteriormente para ejemplificar algunos conceptos que aparecern en nuestro estudio de la diferenciabilidad de funciones de varias variables. Tngase presente en principio que el rango de f es todo IR. Si c > 0, las curvas de nivel de esta funcin estn constituidas por hiperbolas del tipo x 2 - y2 = e, en tanto que si e < 0, las hiperbolas son del tipo y2-- x 2 = -e. Para e = 0, tenemos x 2 - y2 = (x - y)(x + y) = 0, que son dos rectas que se cortan en el origen, a saber y = x, y = -x. y Figura 19. Curvas de nivel de la funcin (x, y) = x 2 - l. Vase tambin que la interseccin de la superficie z = x 2 -y2 con y = es la parbola z = x2 , que tiene vrtice en el origen y abre haeia arriba, en tanto que si intcrseclamos lal superficie con x = 0, 2.2 Geometra de las funciones de varias variables 123 obtenemos la parbola z = cuyo vrtice est en el origen y abre hacia abajo. Esta superficie presenta pues un comportamiento interesante alrededor del origen. Su forma es la de una "silla de montar". Con este nombre nos referiremos a ella en adelante. -l, z y Figura 20. Grfica de la funcin f(x, y) = x 2 - l. len:lcl~[}S (Captulo a. Seccin 2) <:;;; 1. Considere la funcin f: U lR 2 -; iR, Z = f(x, y). Sea g(x, y) = f(x, y) + k, en donde k es un nmero real dado. Dnde se define la funcin g? Cmo es la grfica de la funcin g respecto de la grfica de la funcin f? Ejemplifique con la funcin g(x, y) = x 2 + y2 + 3. Sea g(x, y) = f(x - Xo, y - Yo), donde (xo, Yo) es un punto de ]R2 dado. Dnde se define la funcin g? Cmo es la grfica de la funcin g respecto de la grfica de la funcin f? Ejemplifique con la funcin g(x, y) = (x - 2? + (y + 3)2. Sea g(x, y) = fe-x, -y). Dnde se define la funcin g? Cmo es la grfica de la funcin g respecto de la grfica de la funcin f? Ejemplifique con la funcin g(x, y) = (-x - 2f + (-y + 3)2 (usando la grfica del inciso anterior). Sea g(x, y) = - f(x, y). Dnde se define la funcin g? Cmo es la grfica de la funcin g respecto deja grfica de la funcin f? Ejemplifique con la funcin g(x, y) = b. c. d. _.,,2 -l. 2. Para cada una de las funciones lineales f: IR 2 -; IR dadas a continuacin, d un vector nomlal al plano que representa la funcin, as como un punto por el que ste pasa. a. b. f(x, y) = 3x - 2y f(x, y) + 3 d. 1 f(x, y) = y = -x +y- e. f(x, y) = x f. f(x, y) +7 c. a. b. f(x, y) = x = 2 3. D un ejemplo de una funcin f: IR -; IR cuyo nivel 1 sea {x cuyo nivel = l} 1 sea {x = 1, x 3} 1 24 Captulo 2 Funciones de varias variables c. cuyo nivel I sea {I cuyo nivel 1 sea R :s; x :s; 3} d. e. cuyo nivel I sea {xix E Z} 4. Verdadero o falso? La funcin f: J C;;; ]R -+ definida en J C;;; cada e E ]R el nivel e de f consta de un solo punto. ]R es biyectiva si y slo si para 5. En el texto se dijo que el nivel constante de una funcin de dos variables z = f(x, y) era "en muchas ocasiones" una curva. Digamos que si e E rango de f, la curva sera f(x, y) = c. D un ejemplo en el que f(x, y) = e no es una curva en el plano. Ahora bien, d un ejemplo de una funcin z = f(x, y) y un valor e E rango de f, de modo que: a. b. c. f(x, y) = e sea un punto; f(x, y) = e sea el primer cuadrante del plano xy, sin incluir a los ejes. f(x, y) = e sea todo el plano ]R2. 6. Describa las curvas de nivel de una funcin lineal f(x, y) = ax + by + c. 7. A la grfica de la funcin f(x, y) = ax 2 + by2 se le llama "paraboloide elptico". Cmo son las curvas de nivel de esta funcin? 8. Se define la funcin "mnimo de dos nmeros", mn: mm(;: -+ IR, como , (x . ,, = 'ilY si siy<x x<y - Obtenga mn(l, -1), mn(3, 17), mn(3, e). Demuestre que la grfica de esta funcin es simtrica respecto del plano y = x. Describa las curvas de nivel de esta funcin. 9~ Se define la funcin "rnxinlo de dos nn1cros" ~ nx: mx(x, y) ---t conlO = X { si y SI . x> Y y >x . Obtenga mx(2 1f2 ,2 3 / 2 ), mx(2- 1/ 2 ,2- 3 / 2 ). Demuestre que la grfica de esta funcin es simtrica respecto del plano y = x. Describa las curvas de nivel de esta funcin. A qu es igual la funcin z = mn(mx(x, y), mn(x, y? 10. a. b. c. Describa las curvas de nivel de la funcin Describa las curvas de nivel de la funcin Describa las curvas de nivel de la funcin --> IR; z= z= z= mn(lxl, Iyl). mx(lx, yi). mn(x 2 , y). 11. D un ejemplo de una funcin f: IR;2 a. b. c. d. cuyo nivel -7 sea la curva y cuyo nivel I sea la curva y = sen x. 6 = ';'x--+-I-n-"'8-;:. cuyo nivel 126 sea la curva lx + x3 y - 5 = O. cuyo nivelO sea el conjunto de puntos del interior del crculo unitario x 2 + incluir la frontera). l I (sin 2.2 Geometra de las funciones de varias variables 125 12. Sea 4>: 1 ~ JR. -> JR. una funcin real de una variable real, con rango J ~ R D una funcin f: U ~ JR.2 -> JR. cuyo nivel e sea la grfica de la funcin 4>. Dnde se define la funcin f? 13. Considere la funcin f: U ~ JR.2 ....... JR., Y sean a y {3 dos nmeros de su rango (a i= (3). Sean C l = f- l (a), C2 = f-l({3) los niveles constantes correspondientes a a y {J. Viendo a C l ye2 como subconjuntos del plano xy, demuestre que stos tienen interseccin vaca (es decir, dos curvas de nivel de una funcin de dos variables no se pueden intersectar). 14. Sea f(x, y) = (y-x 2 + l)(y +x2 -1). Demuestre que el nivel cero de esta funcin est fonnado por las curvas y= x 2 - 1, Y = 1 - x 2 , las cuales se cortan en (1, O) Y en ( -1, O). Contradice esto el resultado del ejercicio anterior? Explique. 15. Discuta la siguiente afirmacin: el nivel cero de una funcin dicha superficie "pasa por el plano xy". z= f(x, y) es "la manera" como En los ejercicios 16-24, describa las curvas de nivel de las funciones indicadas. Haga una grfica mostrando algunas de estas curvas. 16. f(x, y) = Ixl - y 17. f(x, y) =x - Iyl 18. f(x, y) = Ix - yl 19. f(x, y) = .ftY x 20. f(x, y) = y f(x, y) = ~+~ 2x . 22. f(x, y) = ,..2 ~ ,,2 ""'1 2v J 23. f(x, y) = (sgnx)y 24. f(x, y) = arcsen(x + y) 25. En el texto se dijo que el nivel constante de una funcin de tres variables u = f(x, y, z) era "en muchas ocasiones" una superficie. Digamos que si e E rango de 1, la superficie sera f(x, y, z) = c. D un ejemplo en el que f(x, y, z) = e no es una superficie en el espacio. Ms an, d un ejemplo de una funcin u = f(x, y, z) y un valor e E rango de f, tal que: a. b. c. f(x, y, z) f(x, y, z) y = z; f(x, y, z) = c sea el primer octante del espacio xyz, sin incluir los planos coordenados. --> = e sea un punto; = e sea la lnea x = 26. Describa las superficies de nivel de la funcin lineal f: JR.3 27. D una funcin f: JR.3 ....... JR. a. cuyo nivel 1 sea la superficie JR., f(x, y, z) = ax + by + ez + d. z = x2 + l. b. cuyo nivel -7 sea la superficie z = ln 2(sen 4 (x + yS) + 7). cuyo nivel 126 sea la superficie xz 3 + x 2 y5 z 2 - 23yz + 128 = O. cuyo nivelO sea el conjunto de puntos del interior de la esfera unitaria x 2 (sin incluir la frontera). c. d. +l + Z2 = 126 Captulo 2 Funciones de varias variables 28. Sea <p: U ~ JR2 --+ JR una funcin definida en el subconjunto U de JR2, con rango J ~ R Sea e un punto de J. D una funcin u = f(x, y, z) cuyo nivel e sea la superficie z = <p(x, y). Cul es el dominio de f? 29. Discuta la siguiente afirmacin: el nivel cero de una funcin u = f(x, y, z) es "la manera" como la hipersuperficie, grfica de f, "atraviesa el espacio JR 3". 30. Considere la funcin f: U ~ JR3 --+ lR, y sean a y 13 dos nmeros de su rango. Sean SI = f-I(a), S2 = f-I(I3) los niveles constantes correspondientes a a y 13 (a =1= 3). Demuestre que SJ y S2 son disjuntos (es decir, dos superficies de nivel de una funcin de tres variables no se pueden intersectar). En general, si f: U ~ lRn --+ JR, y sean a y 13 dos nmeros de su rango. Demuestre que f-J(a) n f-I(f3) = 0 En los ejercicios 31-36, describa las superficies de nivel de las funciones u = f(x, y, z) dadas. 31. f(x, y, z) = x2 + l - Z2 32. f(x, y, z) = x 2 - y2 + Z2 33. f(x, y, z) = x 2 34. f(x, y, z) y2- Z2 = 2x2 + 4y2 + iQ z 2 2 x 2 +y2 35. f(x, y, z) = - 36. f(x, y, z) = x 2 + i + Z2 - 4x - 6y + 152 37. (Superficies de revolucin). Situmonos en el espaco IR 3 . Piense en una curva en el sernip,larlo superior del plano yz, digamos la grfica de una funcin no negativa z = fey). Si ponemos a girar esta grfica, teniendo como eje de giro el eje z, obtenemos una superficie S en hq;3, llamada superficie de revolucin. Obsrvese que un punto p = (O, y, z) E IR3 de la grfica de z = f(y), girar en un crculo e alrededor del eje z. Este crculo deber ser una curva de nivel de la superficie S. Es decir, todos los puntos y) del circulo e (vindolo proyectado en el plano xy), deben tener la misma imagen z. La distancia de un punto cualquiera (x, y) de e al origen es y2. Es claro entonces que la funcin cuya grfica es la superficie de revolucin S es Z = f ( j x 2 + y2). ex, #+ a. b. Considere la parbola z = l (en el plano zy). Demuestre que la superficie de revolucin que se obtiene al girar esta parbola alrededor del eje z es el t:>araboloide z = x2 + l. Considere la funcin valor absoluto z = yl (en el plano zy). Demuestre que la superficie de revolucin que se obtiene al girar la grfica de z = 1)'1 alrededor del eje z es el cono z = jxl + y2, Detemline la superficie de revolucin que se obtiene al girar el semicrculo superior z = j a2 - y2 alrededor del eje z. Determine la superficie de revolucin que se obtiene al girar la catenaria z alrededor del eje z. Demuestre que la superficie tiene? c. d. e. f. = cosh y z = e-ex2 +i) es una superficie de revolucin. Qu aspecto Podra considerar un plano como superficie de revolucin? 2.3 Lmites y continuidad 127 38. (Ms superficies de revolucin ... ) a. Suponga que la grfica de la funci6n y = del eje y. Demuestre que se obtiene as y = f( v'Z2 + x 2 ). Suponga que la grfica de la funcin x = del eje x. Demuestre que se obtiene as x = f( j z2 + y2). fez), dibujada sobre el plano zy, gira alrededor una superficie de revolucin cuya ecuaci6n es fez), dibujada sobre el plano zx, gira alrededor una superficie de revolucin cuya ecuacin es b. c. d. Las superficies descritas en los incisos a y b pueden ser grficas de una funcin z = cP(x, y)? Explique. u Las superficies descritas en los incisos a y b pueden ser superficies de nivel de una funci6n = !J(x, y, z)? Explique. 2.3 Lmites y continuidad Para poder abordar adecuadamente el estudio de la diferenciabilidad de funciones de varias variables es necesario tener algunos conceptos sobre limites y continuidad de estas funciones. No es objeto de esta obra un acercamiento riguroso y exhaustivo de esta parte de la teora. Por una parte, establecer "rigurosamente" los resultados que, sobre limites y continuidad, aparecen en el estudio de las funciones de varias variables, requiere un trabajo previo con la topologa del espacio lR n , lo cual no debe interesar demasiado en un primer curso de clculo (si el objetivo del curso fuera hacer "anlisis", la historia sera otra). Por otra parte, el estudio de los lmites y la continuidad poco ayuda, a posteriori, a entender las tcnicas del clculo en el espacio lR n , siendo stas lino de los objetivos importantes en un primer curso sobre esta materia. La exposicin que se presenta a continuacin puede parecer poco ambiciosa para algunos, o quiz demasiado pretenciosa para otros. Para los ltimos dejamos al profesor la decisin de tomar s610 alguna parte de este material, o sugerir la profundidad con que se debe estudiar. Para los primeros presentamos algunas demostraciones opcionales de varios resultados que aparecen en esta parte de la teora, al mismo tiempo que se recomienda estudiar algunos de los excelentes libros de anlisis matemtico que existen actualmente en el mercado. Al encontrarnos con el estudio de los lmites de las funciones de varias variables, se ponen al descubierto las grandes dificultades de pasar del clculo de una al de varias variables: para funciones de una variable sus dominios son "pedazos de la recta", muchas veces intervalos, cuyas descripciones son en general fciles de entender. Para una funci6n de n variables, su dominio es un "pedazo de lR n ", y ... aqu empiezan los problemas. Cmo son los subconjuntos de IRn "equivalentes" a los subconjuntos de lR? Esta es una pregunta cuya respuesta puede ser muy complicada, y pertenece a la parte de la matemtica llamada "topologa". Lo que a continuaci6n haremos es estudiar solamente aquellos conceptos "topoI6gicos" que nos hagan lo ms eficiente posible el camino para comprender los conceptos de lmite y continuidad para una funcin f: U ~ lR n --lo IR. Recordemos primeramente el concepto de lmite para una funcin f: l ~ lR --lo lR definida en el intervalo abierto 1 de IR. Sea Xo E l. Aceptamos que f(xo) puede no existir, es decir que f est definida en l - {xo}. Decir que el lmite de f(x), cuando x tiende a xo, es L, significa que estando x cerca de Xo se tiene f(x) cerca de L. El concepto de "cercana" en la recta lo podemos establecer rigurosamente con la idea de "vecindad": una vecindad de centro Xo y radio r es el conjunto {x E lR Ilx - xol < r} = {x E lRlxo - r < x < Xo + r} 1 28 Captulo 2 Funciones de varias variables es decir, en este conjunto estn las x "vecinas a Xo en menos que r". Con este concepto, decamos que el lmite de f(x) es L, que se escribe lmx->xo f(x) = L, si siempre que se diera una vecindad con centro en L y radio E > O (en la recta de las imgenes de la funcin) uno poda conseguir una vecindad con centro en Xo y radio o > Ocon la propiedad de que cualquier x que est en esta vecindad (excepto posiblemente xo) tuviese su imagen dentro de la vecindad dada. Es decir, Im(->xo fex) = L significa que dado E > O, existe o > Otal que 0< Ix-xol <o=='?- Ifex)-LI <E lo cual se ve geomtricamente como efigura 1) y x 1. Interpretacin geomtrica de la expresin lm x- xo (x) =; L. El concepto de lmite para funciones de varias variables f: U ~ ]R" --l> ]R ser, en esencia, el mismo. El problema que se nos presenta ahora es que cuando queramos hablar de "cercana" para la x de la funcin (que vive en ]R") las vecindades ya no nos servirn (para las imgenes de fex) seguirn sirviendo). Tendremos que comenzar entonces por introducir un concepto que generalice la idea de vecindad que tenamos en la recta, con el cual podamos establecer rigurosamente la frase "cuando x E ]R" est cerca de "o E ]Rn ... ". La herramienta bsica que usaremos para nuestro propsito es la de "bola abierta", que se da en la siguiente definicin. Definicin. (bola abierta) Sea Xo E ]Rn y r > O. La bola abierta de centro en Xo y radio r, denotada por B(xo, r), es el conjunto de puntos de ]R" que distan de Xo en menos que r. Es decir B(xo, r) = {x E]Rn Illx - xoll < r} Recordemos que la norma (euclidiana) del vector x - xo, que aparece en la definicin anterior, es (por definicin) la distancia entre x y xo. Es por eso que la desigualdad Ilx - xoll < r se cumple precisamente para aquellos puntos x E ]Rn cuya distancia a Xo es menor que r. Veamos cmo son las bolas abiertas en R En este caso B(xo, r) = {x E]R I Ix - xol < r} = {x E ]Rlxo - r < x < Xo + r} 2.3 Lmites y continuidad 129 r r ~ Xo - r Xo Xo +r Figura 2. Una bola abierta en IR. que geomtricamente se ve como en la figura 2 Es decir, las bolas abiertas de ]R. son precisamente nuestras viejas conocidas "vecindades con centro en Xo y radio r", que nos daban una descripcin de las x "vecinas a Xo en menos que r". Es precisamente esta misma idea la que recoge el concepto de "bola abierta en ]R.n". Para n = 2, escribiendo x = (x, y), Xo = (xo, Yo), tenemos B(xo, r) = {(x, y) E ]R.2 111(x, y) - (xo, Yo)11 < r} = {(x, y) E]R.2 111(x - xo, y - Yo)11 < r} = {(x, y) E]R.2 I J(x - xo)2 + (y - Yo)2 < r} = {(x, y) E ]R.2 I (x - xd + (y - YO)2 < r 2} Es decir, la bola B(xo, r), est constituida por los puntos interiores a la circunferencia (x - xO)2 (y - Yo)2 = r 2 , o sea, los puntos que distan de (xo, Yo) menos que r. + 'i ~----------------, Xo Figura 3. Bola abierta en IR 2 . Igualmente, para n = 3, si x = (x, y, z), xo = (xo, Yo, Zo), tenemos que es un conjunto que describe a los puntos x E ]R.3 vecinos de xo en menos que r. Estos son los puntos interiores de una esfera con centro en xo y radio r (figura 4). Definamos ahora lo que se entiende por "conjunto abierto". Definicin. (conjunto abierto). Se dice que el conjunto U ~ lR n es un conjunto abierto de lR n , si para cada xo E U existe un r > Otal que B(xo. r) e U. iI 1 30 Captulo 2 Funciones de varias variables z Zo .............. r yo y x Figura 4. Bola abierta en ]R3. Es decir, el conjunto U S;; jRn ser abierto si cuando tomamos un punto "o de l, este siempre tiene vecinos (en una bola abierta de centro en "o Yalgn radio r > O) que siguen viviendo dentro de U. Obsrvese que no importa qu tan grande o pequea sea la bola donde viven los vecinos de "o. Lo que impOia es que tales vecinos (que viven en la bola) existan. De hecho, es fcil imaginar que a medida que Xo est ms cerca de "la frontera de U" (si es que existe), los vecinos de la definicin anterior vivirn en una bola cada vez ms pequea. La idea intuitiva de un conjunto abierto es, pues, un conjunto "que no incluye su frontera" Figura 5. Un conjunto abierto. Un intervalo abierto es un conjunto abierto de IR. Debe ser claro que todo el espacio jRn es un conjunto abierto. Tambin el conjunto vaco 0 es abierto (por qu?). Ejemplo 1. Hay una infinidad de ejemplos de conjuntos abiertos. Daremos ahora algunos de ellos. Ms que pensar en "cmo justificar" que el conjunto es abierto, es mejor desarrollar una cierta intuicin que nos diga convincentemente "tal conjunto es abierto y tal otro no lo es". Una bola abierta es un conjunto abierto [demostracin opcional: Considere la bola B(x, s) e ]Rn de centro en ji E ]Rn y radio s > O. Para ver que este es un conjunto abierto tome cualquier Xo E B(x, s). Veremos que existe r > O tal que B(xo. r) e B(x, s). De hecho, sea r = s -llxo - xii. Observe que r > Opues 2.3 Lmites y continuidad 131 siendo Xo un elemento de B(x, s), se tiene IIxo siguientes implicaciones xii < s. Tome cualquier y E B(xo, r). Se tienen las yE B(xo, r) =} =} lIy - xoll < r =} Ily - xoll < s Ily - "011 + 11"0 - xII < s lIy - xII :<:; y E B(x, s) II xo - xii la primera desigualdad ) ( es la desigualdad triangular =} lIy - "011 + 11"0 - xii < s =} Cori esto se tiene entonces que B(xo, r) e B(x, s). Como Xo E B(x, s) fue arbitrario concluimos que B(x, s) es abierto]. Si A es un conjunto abierto de ]Rn y C = {Xl, X2' ... , X n } es un conjunto finito de puntos de A, entonces A - C = {x E A, x r:J. C} sigue siendo un conjunto abierto. El semiplano superior {(x, y) E ]R21y > O} y el semiplano inferior {(x, y) E ]R21y < O} son conjuntos abiertos de ]R2. El plano xy de ]R3, {(x, y, z) E ]R31z = O} no es un conjunto abierto de ]R3. 11 Definid6n. (Frontera de un conjunto). Sea V <;;;; ]Rn un subconjunto de ]Rn. Se dice que el punto KO E ]Rn es un punto frontera de V si toda bola abierta con centro en Xo y radio r > O contiene puntos dentro de V y fuera de U. Lafrontera de U es el conjunto de puntos frontera de V, y se denota por (jV. 11 Tngase presente que siendo Xo E ]Rn un punto frontera de V (el cual puede o no pertenecer a V) se debe tener para todo r > O B(xo, r) nV =1 0 y B(xo, r) n Ve =1 0 Si V es un conjunto abierto, y si Xo es un punto frontera de V, entonces Xo no puede pertenecer a V (por qu?). En tal caso la segunda condicin anterior se cumple automticamente, pues {"o} e B( XQ, r) n ve, de tal modo pues que si V es abierto, el punto Xo (r:J. V) es un punto frontera de V si y slo si cualquier bola abierta con centro en Xo y radio r > O contiene puntos que pertenecen a V, i.e. si B(xo, r) n V =10 Vr> O. au u Figura 6. Frontera de un conjunto. 1 32 Captulo 2 Funciones de varias variables Ejemplo 2. Si 1 es un intervalo finito de R los extremos de l son puntos frontera de l. La frontera de la bola abierta B(xo, r) de IR" (que ya vimos que es un conjunto abierto) es la esfera {(Xl, X2 ... , X,,) E IR"XT + x~ + ... + x~ = r 2}. En IR 2 se ve como frontera B(xo. r) x Figura 7. Una bola en IR2 y su frontera. Ahora definiremos el concepto de lmite de una [uncin de varias variables. Si f: U <::; 1~/l -; :; es una funcin definida en el conjunto abierto U de :;" y Xo es un punto de U o bien un punto frontera de U, nos interesa estudiar el comportamiento de los valores de f para los valores de X que estn cerca de 'lo. No queremos estudiar lo que pasa con f en 'lo, pues estamos aceptando que f puede incluso no estar definida en Xo (si Xo es un punto frontera de U, siendo U abierto se tiene 'l() '1 U, i.e. x() no est dentro del dominio de la funcin f). As, si f(x()) existe, tal valor no nos va a interesar. Lo que queremos, pues, es estudiar qu pasa con los valores de f('l) cuando JI: es una vecina "ntima" (x vive en una bola de centro Xo y radio r > O. r pequeo) de "o. Estudiaremos, pues, expresiones del tipo lm f(x) = L x . . . . . xo donde L E " , "o E :;/l, lo cual, de manera intuitiva (y quizs esta sea la manera ms importante de entender este concepto), significa que siendo x una "vecina ntima" de :%0, entonces f(x) es una "vecina ntima" de L, o bien, que estando x suficientemente cerca de K(), se puede tener a f(x) suficientemente cerca de L. Todavia ms, de otro modo, que podemos tener a f(x) tan cerca de L como queramos, con tal de que x est lo suficientemente cerca de x(). Todas estas ideas intuitivas se cristalizan rigurosamente en la siguiente definicin. Definicin. (lmite) Sea f: U <::; :;" -; IR una funcin definida en el conjunto abierto U de IR". Sea Xo un punto de U o bien un punto frontera de U. Se dice que el lmite de f cuando x tiende a KO es L, lo cual se escribe como lm f(x) = L .x~xo si dado cualquier E > O (por pequeo que sea) existe 8 > O tal que x E B(xo, 8) n U(x =1 xo) =? f(x) E B(L, E) 2.3 Lmites y continuidad 133 Esquemticamente UcJR Figura 8. El concepto de lmite. Si n = 2 se tiene la siguiente interpretacin geomtrica z 4- L+E L -..--::-E_I--~ z = f(x, y) L ---_ .. x Figura 9. El concepto de lmite para funciones de dos variables. Ejemplo 3. Sea : U ~ JRn -+ JR la funcin constante (x) = c. Si Xo E ,JRn, entonces lm x-. Xo (x) = c. Este es un hecho elemental que se puede probqr con la definicin dada anteriormente. Sugerimos, sin embargo, que el lector piense con argumentos intuitivos, como por ejemplo: (x) es una funcin que manda a cualquier punto x E JRn siempre al mismo valor c. Preguntarse, bajo esta perspectiva, qu hace (x) cuando x es vecina ntima de Xo (algn Xo E JRn dado) resulta trivial: x puede hacer "lo que le d la gana" y (x) estar siempre en el valor de c. As pues, si x es vecina ntima de xo, (x) ser vecina ntima de e (aceptamos que la relacin "ser vecinas ntimas" es reflexiva, i.e. e es vecina ntima de e para todo e E JR). lilII Ejemplo 4. Sea : JRn -+ IR; la funcin (XI. x2, ... x n ) = ax 1 34 Captulo 2 Funciones de varias variables donde a es un real dado no nulo e i es un ndice fijo, 1 :::; i :::; n (ejemplos de estas funciones son: f(x, y) = 2x, f(x, y, z) = 20z, etc.). Sea x = (x], X2, ... , XI!) un punto dado de ]R". Se tiene lmx->x f(x) = ax. Dejamos al lector que aplique la definicin de lmite para validar esta afirmacin (tome 8 = E/a y use que Xi - xd :::; Ilx - xiI>. As entonces se tiene lm k~-~~ 2x = 2(3) =6. lm k~-~~ lm 8y = 8(8) = 64. (X,y,z)-(l, ],0) 20z = 20(0) = O. etc. Ejemplo 5. Considere la funcin f(x, y) = Esta funcin est definida en ]R2 - {(O, O)}. Queremos estudiar el lmite lm(x,y)_(O,O) f(x, y). Es decir, queremos ver cmo se comportan los valores f(x, y) cuando (x, y) est cerca de (0,0). Una manera de tener "candidatos" al valor del lmite (si ste existe) es hacer que (x, y) tienda a (0,0) por medio de un camino concreto dado por una curva y = <p(x) que pasa por el origen. En tal caso, si el lmite lm(x.y)_(O,O) f(x. y) existe y vale L, y el lmite lmx->o f(x, <p(x existe, ste debe valer L. La ventaja de este planteamiento es que el ltimo lmite<es el de una funcin de una sola variable x, el cual, en principio, podemos calcular sin mucha dificu1tad. Observe cuidadosamente la estructura lgica de las afirmaciones hechas anteriormente: si el lmite de f(x, y) cuando (x, y) tiende a (0,0) existe y vale L, y si el lmite lmx-.o f(x, <p(x existe (donde y = ep(x) es una curva que pasa por el ongen),ste debe valer L. En el caso que nos ocupa, poniendo y = O (el eje x) tenemos lm (x,y)-(O,O) /y2' f(x, y) = lm f(x. O) = lm :(0)02 = O x-o x->o X + Esto no significa que Hm(x,y)->(O,O) f(x, y) = O. Lo que significa es que si nos acercamos al origen por el eje x, los valores de la funcin f(x, y) se acercan a O (me1s an, y) vale cero en los puntos del eje x). Hagamos lo mismo por el camino y = x (X,y)-.(O,O) lm f(x. y) = Im f(x, x) x-'O = x-'O Hm x(x) + l 2. Es claro entonces que el lmite lm(x,y)-->(O,O) xCy2 no existe: no puede ser O pues los puntos del tipo (x, x) con x muy pequeo son vecinos ntimos del origen y sin embargo f(x. x) no es vecino mi~odel O; por la misma razn no puede ser 112, pues los puntos (x. O), con x muy pequeo son vecin9~ ntimos del origen pero f(x, O) no es vecino ntimo de 112. Este ejemplo nos presenta un ,,%9s~dimiento" para convencemos de que un lmite lm(x,y)-->(xO,Yo) f(x, y) no existe (el cual no nos 11 sirve para ver que el lmite s existe -por qu?). Como resumen del ejemplo anterior diremos: una condicin necesaria (no suficiente) para que el lmite lm(x,y)-->(xO,Yo) f(x, y) exista y sea L, es que si los lmites lm f(x. <p(x X--"'Xo x---+xo Hm f(x, fJ(x existen (donde y = <p(x), y = !f;(x) son curvas que pasan por (xQ. Yo), deben valer L. 2.3 Lmites y continuidad 135 Ejemplo 6. Con las ideas del ejemplo 5 podemos ver que el lmite lm(x,y)->(O,O) El siguiente par de clculos nos permite concluirlo J~Yl no existe. Ejemplo 7. Estudiemos el lmite lm(x,y)->(O,O) tipo y = kx obtenemos , 1m 1 x4y x:+?' Si nos acercamos al origen por una recta del 4 (x,y)->(O,O) - - - = ---; = hm ----:--:-x4 + x->O x4 + (kx)4 y=kx , x 4(kx) y4 = lm _k_x=O .<->01 + k4 Esto no prueba en absoluto que el valor del lmite sea cero. Lo que nos dice es que si tal lmite existe. ste debe ser cero. Un argumento que concluye que el lmite de hecho existe y vale cero, requiere la aplicacin directa de la definicin. Hagmosla. Segn vemos que Iyl S J x 2 + y2 < [) :::} Ix4 ; y4! S Iyl < 8 Es decir, con x o= E nos queda 0< Ii(x, y) - (0,0)11 <o:::} 4 Ix :4 yy + 4- 01 < E lo que nos dice que efectivamente lm(x,y)-+(O,O) ; : 4 = O. Continuando con este mismo ejemplo, veamos cmo se pueden usar las coordenadas porares para convencerse de que tal lmite existe y vale cero. Decir que (x, y) -. (O, O) equivale a decir que (en coordenadas polares) r -. O (independientemente del valor de e). Expresando la funcin f(x, y) = x = r cos e, y = r sen e obtenemos la funcin ;+>;,. en cordenadas polares 4 g(r, e) = COS4 cos 4 esen e r 8 + sen 4 8 1f;(r) = r que tiende a cero cuando r Obsrvese que sta es el producto de la funcin 'P(8) = cos sen o que est acotada por la funcin co::~sen! -. O. Podemos concluir entonces que lm g(r, 8) r-+O =O 1 36 Captulo 2 Funciones de varias variables Hemos usado el siguiente resultado para que el lector lo demuestre: "si rp(8) es una funcin acotada (en alguna bola con centro en el origen) y ljJ(r) es una funcin que tiende a cero cuando r tiende a 11 cero, entonces lmr~o g(r, 8) = rp(8)if/(r) = O". En el siguiente teorema se recogen las principales propiedades de los lmites de funciones de varias variables. Como el lector podr advertir, stas son completamente anlogas a aqullas que conoca para funciones de una sola variable (lo cual no debe ser en absoluto extrao, pues el concepto de lmite es el mismo para funciones de una o varias variables). Teorema 2.3.1 Sean f, g: U ~ JRn ---+ JR dos funciones definidas en el abierto U de jRn y sea Xo un punto de U o un punto de la frontera de U. Suponga que lm f(x) x~X{) = L y X.......Xo lm g(x) =M Entonces: lm + g)(x) = = lm (f(x) X-tXQ + g(x = = X.......Xo Im f(x) X--Xo x~xo + Im g(x) X"-.XQ = L +M lm f(x)g(x) '}('-::<O (lm f(x) ( Im g(x) = LM L M E 3. . SI M :/= 0, entonces X-"'Xo ,f, 11m - (x) = 11m g '"~"o g(x) Ifm,r-xo f(x) -----Im,,~xo g(x) Demostracin (de 1). (Opcional) O] > tal que Como lm,,~xo f(x) = L, tenemos que dado > 0, existe x E B(xo, ( 1) n U, x :/= Xo ==? f(x) E B(L, E/2) E Del mismo modo, como Im x-. xo g(x) = M, n U, se tiene que (dado x > O) existe lh > O tal que x E B(xo, (2) :/= Xo ==? g(x) E B(M, E/2) Se quiere ver que dado E > existe o> Otal que o) x E B(xo, n U, x :/= Xo ==? f(x) + g(x) E + M,E) = mn(01:02). En tal caso de modo que al aplicar la desigualdad triangular tenemos (para x E B(x, 8) If(x) nu, x :/= KO) + g(x) E B(L (L + M)! = l(f(x) S If(x) - L) + (g(x) - M)I - LI + Ig(x) MI < E/2 + E/2 = E es decir f(x) + g(x) + M, E), como queramos. Q.E.D. Un corolario del teorema anterior y del ejemplo 2 es el siguiente (su demostracin la dejamos como ejercicio para el lector): 2.3 Lmites y continuidad 137 Corolario Si f: U <;;; IR 2 ---> IR es una funcin polinomial, es decir, una funcin del tipo f(x, y) = GiP;i y j i.j donde aij son constantes dadas, entonces lm (x. y) ...... (xo. YO) f(x, y) = f(xo, Yo) Pasemos ahora a estudiar el concepto de continuidad para funciones de varias variables. De manera intuitiva, debemos pensar en la continuidad de la funcin f: U <;;; IR" ---> IR en un punto Xo E U como la propiedad que nos dice que los valores de f(x) "cambian suavemente" cuando x se mueve "cerca de xo". Es decir, para que la funcin f sea continua en xo, si x es una vecina ntima de xo, se debe tener que f(x) es una vecina ntima de f(xo) (i valor que debe existir!). Ms an, se tiene la definicin siguiente. Definicin. (continuidad en un punto). Sea f: U <;;; IR" ---> IR una funcin definida en el abierto U de IR" y sea "o E U. Se dice que f es una funcin continua en "o si Um f(x) x-~xo = f(xo). Si la funcin f no es continua en xo, se dice que es discontinua en ese punto. Veamos algunos ejemplos. Ejl~mJplo8. 2 Una funcin polinomial f: U <;;; ---> IR es continua en cualquier punto (xo. Yo) E IR . Esto es consecuencia del corolario del teorema 2.3.1. 11 Ejemplo 9. La funcin j: U <;;; IR2 ---> definida como xy f(x, y) = { O + si (x, y) si (x, y) 1- (O, O) = (O, O) es discontinua en (O, O), pues se vi (ejemplo 5) que el lmite lm (x. y) ...... (o. O) f(x, y) no existe. Ejemplo 10. La funcin f: U <;;; IR2 ---> IR, definida como si (x, y) si (x, y) 1- (O, O) = (O, O) 138 Captulo 2 Funciones de varias variables es continua en cualquier punto (xo, Yo) E 1R2 . En efecto, si (xo. Yo) =1- (O, O), al seguir el teorema 2.3.1 vemos que en tanto que si (xo, Yo) = (O, O), aplicando la tcnica con coordenadas polares mencionada en el ejemplo 7 tenemos lm --2 x 3Y (X,y)->(O,O) x lm O lm(cos 3 esen O)r- = = + y2 = r->O (r cos O)2 + (r sen) 2 = r->O (r cos 0)3 (r sen O) 1 feO, O). Definicin. (continuidad en un abierto) Sea f: U C;;;; IRn -; JR una funcin definida en el abierto U de 1R1l. Se dice que f es continua en U (o simplemente que f es continua) si lo es lJ1ll para todos y cada uno de los puntos (x. y) E U. Ejemplo 11. Una funcin polinomial (ver ejemplo 8) es continua en todo JR2. La funcin del ejemplo 1 es continua en todo JR2. La funcin f(x, y) = Xi~7 es continua en 1R 2 - {(O, O)} (i.e. es continua en todo su dominio). Al poner junto la definicin de continuidad y el teorema 2.3.1, se obtiene fcilmente el siguiente teorema Teorema 2.3.2 Sean f, g: U g son continuas, entonces C;;;; iR 2 --t IR funciones definidas en el abierto U de TIlo. Si f y 1. la funcin f + g: U C;;;; C;;;; iR n -; --7 JR, (f + + es continua. la funcin fg: U iR ll IR, (fg)(x) = f(x)g(x) es continua. g(x) 3. la funcin g(x) =1- O. L: U C;;;; iR" -; IR, (L \) (x) = g g f(x) es continua en todo punto x E U donde Es decir, suma y producto de funciones continuas es una funcin continua. El cociente tambin lo es en aquellos puntos en que no se anula el denominador. Por ltimo, considere la funcin f: U C;;;; iR" -; iR Y g: 1 C;;;; IR -; IR en donde 1 es un intervalo de IR que contiene las imgenes de f (es decir, se tiene que rango de f C;;;; 1). Podemos formar la composicin g o f: U C;;;; IR" -; IR Supongamos que f es continua en Xo E U Y que g es continua en f(xo) E l. Un razonamiento intuitivo nos dice que la composicin g o f debe ser continua en "o. En efecto: veamos que si x est cerca de Xo entonces (g o f)(x) debe estar cerca de (g o f)(xo), Siendo x vecina ntima de "o (en U), la imagen f(x) ser vecina ntima de f(xo) (en 1), pues f es continua en Xo. Ahora, si f(x) es vecina ntima de f("o), la imagen g(f(x ser vecina ntima de g(f(xo, debido a la continuidad de g. Poniendo todo junto, tenemos: x cerca de KO produce (g o f)(x) cerca de (g o f)(xo). Esto nos dice que la composicin g o f es continua en xo. Con algunos psilons (E) y deltas (8) podemos convencernos "rigurosamente" de la validez de este argumento. Esto lo dejamos para el lector. En resumen, aadiendo a lo establecido en el teorema 2.3.2 tenemos tambin que "composicin de funciones continuas es continua". 2.3 Lmites y continuidad 139 gof Figura 10. Composicin de las funciones g con f. Ejemplo 12. La funcin F: U ]R2 -> 2 IR, F(x, y) = sen(5;'+~{+2) es continua e~ ]R2, pues la 2 2 2 composicin de la funcin f(x, y) = 5~++{+2 que es continua, con la funcin g(x) = sen x, que y " tamb len I o es. 11 Ejemplo 13. La funcin F: U ]R2 -> IR, es continua en ]R.2 pues est formada por sumas, productos y cocientes de funciones que son 11 composiciones de funciones continuas y que, por lo tanto, son continuas. ~Jerch~ios (Captulo 2, ~e(:ClOln 3) ]R.n 1. Escriba explcitamente (como conjunto de puntos en el espacio de las siguientes bolas abiertas. correspondiente) cada una a. b. B(3, 0.5) en IR.. B2, -3),0.1) en ]R2. c. B((l, 1, 4), 2) en ]R.3. B2, -1, 9, 3, 5), 1) en]R.5. d. 2. Verifique que el semiplano superior A = {(x, y)ly > O} es un conjunto abierto, tomando un punto cualquiera p = (xo, Yo) E A Yconsiguiendo una bola B con centro en p y (algn) radio r > Oque quede completamente contenida en A. 3. Demuestre que el conjunto vaco 0 es un conjunto abierto en abierto ... ) 4. Demuestre que el espacio ]R.n es un conjunto abierto en ]R.n. ]R.n. (Sugerencia: si 0 no fuera 5. Verdadero o falso? La interseccin de dos conjuntos abiertos en ]R.n o es vaca o contiene una infinidad de puntos (es decir, no puede constar de un nmero finito de puntos). Justifique su respuesta. 1 40 Captulo 2 Funciones de varias variables 6. Sean A y B dos conjuntos abiertos en IR". Demuestre que su unin A U B Y su interseccin A n B son tambin conjuntos abiertos en IR". Ms en general, sea Al, Al, ... , A" una coleccin (finita) de conjuntos abiertos en IR". Demuestre que su unin U;'=l A y su interseccin A son conjuntos abiertos en IR". n;'ocl 7. Demuestre que el conjunto A = {p} fom1ado por un solo punto p E IR" abierto en IR" . /10 es un conjunto 8. En este ejercicio se establece el importante resultado sobre conjuntos abiertos en IR": "la unin arbitraria de conjuntos abiertos es un conjunto abietio y la interseccin finita de conjuntos abiertos es un conjunto abierto" (es decir, el resultado establecido en el ejercicio 6 se puede generalizar a una coleccin arbitraria -no necesariamente finita- de conjuntos abicrtos, solamente en el caso de la unin). Sca Al, A 2, ., ., A", ... una coleccin arbitraria de conjuntos abiertos en IR" . a. b. Demuestre que el conjunto U A (unin de los conjuntos A) es abierto. Demuestre que el conjunto A (interseccin de los conjuntos A) puede no ser un conjunto abierto. (Sugerencia: torne A = B(p, = bola abierta con centro en p E IR" Y radio i = 1,2, Se sabe que cada A es un conjunto abierto. Verifique que A = {p}. Concluya j. n t) n t, 9. (Conjuntos cerrados de IR"). Se dice que un conjunto complemento IR" - e es abierto. a. e <;::; IR" es cerrado (en IR") si su Demuestre que todo el espacio IR/l y el conjunto vaco 0 son conjuntos cerrados. (Moraleja: ser cerrado no es lo contrario de ser abierto. Hay conjuntos que son cerrados y abiertos a la vez, como IR" y 0. Y, por supuesto, hay conjuntos quc no son ni cerrados ni abiertos). Demuestre que los intervalos cerrados de IR son conjuntos cerrados. Defina la bola cerrada (en con centro en p punto dado en y radio r > O. denotada por B(p, r), como B(p, r) = {x E IR"III" -- pi! ~ r}. Obsrvese que es la -- pll = r). Demuestre que es unin de la bola abierta B(p, r) con su frontera (la esfera B(p, r) un conjunto cerrado. Sea A un conjunto cualquiera de IR". Demuestre que su frontera lA es un conjunto cerrado. Demuestre que la unin finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. Por medio de un ejemplo muestre que esto puede ser falso si se consideran uniones arbitrarias de cerrados. (Sugerencia: use el resultado del inciso b. del ejercicio anterior. Recuerde que IR" A = U(IR" - A. b. c. d. e. n f. Demuestre que la interseccin arbitraria de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. En cada uno de los ejercicios 10-26, se da un conjunto A de puntos en el plano IR2 Diga en cada caso si el conjunto dado es abierto, cerrado (en IR2 ), o no es ni abierto ni cerrado, justificando su respuesta. Haga una grfica que muestre el conjunto dado en el plano xy. 10. A 11. 12. = {(x, y)lxy > O} A = {(x, y)lx > O, y > O, y < 2 A = {(x, y)llxl + Iyl < I} x} 13. A = {(x, y)ly = x} 2.3 Lmites y continuidad 141 14. A = {(x, y)lx 2 + y2 > 1} 15. A = {(x, y)lx2 + y2 ::; 1} 16. A={(x,y)lx z +y2::;-I} 17. A = {(x, y)ly < xZ} 18. A = {(x, y)ly = xZ} 19. A = {(x, y)12 20. A = {(x, y)12 < x < 4,2 < y < 5} < x < 4,2 < y ::; 5} 21. A = {(x, y)1 senx < O} 2: O} Z- 22. A = {(x, y)1 cosy 23. A = {(x. y)/x z + y2 2: O} 24. A = {(x, y)l(x 2 + y2- 4)(1 X y2) > O} 25. A = {(x, y)l(y - x 2 + 2)(y + x 2 - 4) < O} y2) > O} 26. A = {(x, y)l(x 2 + y2 -l)(2x - x Z - En cada uno de los ejercicio 27-30, diga si el conjunto A de JRn dado es abierto, cerrado, o ninguno de los dos, justificando su respuesta. 27. A = {(XI, XZ, 28. A = {(x,XZ, , x n )Ix > 0, i O} = 1, 2, ... , tI} ,xn)lxx2 ... xn < O} l} 29. A = {(XI,X2" .. ,xn)lx ::; 30. A = {(x,xz, ... ,xn)lxf+x~++x~2: 31. Sea f:.JR 2 -+ .JR la funcin f(x, y) = 4y. Se sabe que (X,y)-(I,2) Im f(x, y) = 8 Dado E = 0.1, halle > O tal que II(x, y) 32. Sea f: .JR2 -+ (1, 2)11 < {) => If(x, y) - 81 < E .JR la funcin f(x, y) = -3x. Se sabe que lm (x,y)_(3,7) f(x, y) = -9 Dado E = 0.4, halle {) > O tal que lI(x, y) - (3,7)11 < {) => If(x, y) + 91 < E 33. Sea f: JRz -+ JR la funcin f(x, y) = 5x - 2y. Se sabe que lm (X,y)-(i,I) f(x, y) =3 1 42 Captulo 2 Funciones de varias variables Dado E = 0.2, halle o> O tal que I(x, y) (1, 1)11 < o '* If(x, y) - 31 < E. 34. Sea f: lR n -+ lR la funcin f(x, un ndice fijo, 1 :S i :S n. Sea lmx_,j f(x) = ax. Para cada una de las funciones a. b. X2, ... , ji: x n ) = ax en donde a es un real dado no nulo e i es = (XI, X2, ... , .tn ) un punto dado de lR n Demuestre que z= f(x, y) dadas en los ejercicios 35-38: Diga dnde estn definidas. Demuestre que los lmites x-~O lm (lm f(x, y)) y->O y y->O x->o lm (lm f(x, y)) (llamados lmites iterados) existen y valen cero. Cmo estamos haciendo tender el punto (x, y) al origen al hacer el clculo de estos lmites? Puede concluir de aqu que el lmite (x,y)->(O,O) lm f(x, v) . . existe y vale 07 .... d. Demuestre que Demuestre que tipo y e. f. (x,y)->(O,O) lm f(x, y) = O si el punto (x, y) se acerca a (O, O) por rectas del tipo y = kx. Puede conclur de aqu que tal lmite existe (x,y)->(O,O) y vale O? lm f(x, y) = O si el punto (x, y) se acerca a (0,0) por parbolas del = kx 2 Puede conclur de aqu que tal lmite existe y vale O? Use la definicin de lmite para demostrar que el lmite de f(x, y) cuando (x, y) tiende a (O, O) efectivamente existe y vale O. Use coordenadas polares para concluir nuevamente que el lmite de f(x, y) cuando (x, y) tiende a (0,0) existe y vale O. y) = 35. f(x, 36. f(x, x -2--i' y3 +y +y y) = - 2 - - 2 ' X 3x3 y2 31. f(x, y) = 7x2 y2 2x2 + 2y 2' x 38. f(x, y) x 3 y4 =~. +y Para cada una de las funciones lm(x,y)->(O,O) f(x, y) no existe. x2 z= f(x, y) dadas en los ejercicio 39-46, demuestre que el lmite 39. f(x, y) = _y2 -2--2' X +y 2.3 Lmites y continuidad 143 40. f(x. y) = 41. f(x, y) x2y -3--3' X +y = -4-2' xl + Y +x 42. f(x. y) = 43. f(x. y) X 5 2xi 5' 6 y 3 = -6--4' X x l +y 4 44. f(x. y) 45. f(x, xy = -8--2' +y X y) = -9--3' X 8x 3 l +y +x 46. f(x. y) = ::62' y ix 47. Demuestre que una condicin necesaria para que el lmite Im(x,y)->(xo.yo) f(x, y) exista y sea L, es que si los lmites (iterados) lm (lm f(x. X--+XQ Y-'f Yo y) y Y-t)'o lm (lm f(x. X-'+XQ y) existen, deben valer L. a. b. Cul es la negacin de la afirmacin anterior? Use la funcin f(x, y) = xy 2 2 + ('x-yP X2 v2 para demostrar que tal condicin no es suficiente. c. Para la funcin f(x. y) = (x + y) sen ~ sen ~,demuestre que los lmites iterados no existen, pero que el lmite lm(x,y)-+(O,O) f(x. y) s existe. Contradice este ejemplo el resultado general establecido en este ejercicio? 48. Considere la funcin f(x, y, z) = x x+y-z + y + z. Dnde est definida? Demuestre que el lmite lm(x,y,z)-+(O,O,O) f(x, y, z) no existe. (Sugerencia: haga tender (x, y, z) a (O. 0, O) por los ejes coordenados). 49 Sea f( x, y, Z) = 2x2 lm(x,y,z)-+(O,O,O) + l- Z2 . D' de est efi1m'd a esta f " ? D emuestre que e11' . 'd 2 2 on unClOn. ImIte x-y f(x, y. z) no existe. 3 xyz 3 3' x + y +z (z SO. Sea fx, y,) = ' 'd D' de esta de fi m a esta f " ? Demuestre que e1 l' . on unclOn. ImIte lm(x,y,z)-+(O,O,O) f(x, y, z) no existe. (Sugerencia: acrquese al origen por los ejes coordenados y por la recta x = y = z). 51. Sea f(x. y. z) = x ~2Z3Y6' +z Dnde est definida esta funcin? Demuestre que el lmite lm(x,y,z)-+(O,O,O) f(x, y, z) no existe. 1 44 Captulo 2 Funciones de varias variables 52. Sea f: l ~ lR -> lR una funcin definida en el conjunto l de R Sea Xo un punto de. l o un punto frontera de l. Suponga que lmx~xo f(x) = L. Considere la funcin l x lR ~ lR 2 -> lR dada por j(x, y) = f(x). Cmo es la grfica de la funcin j7 Demuestre que el lmite lm(x,y)~(xO'Yo) j(x, y) existe y vale L (en donde Yo es un nmero real cualquiera). 1: 53. Sean f, g: 1 ~ lR -> lR dos funciones definidas en el conjunto l de R Sean xo, Yo dos puntos de J o puntos frontera de l. Suponga que lm f(x) = L X-Xo y lm g(y) y~yo = M a. b. c. Considere la funcin j(x, y) = f(x) + g(y). En dnde est definida j7 Demuestre que el lmite lm(x,y)~(xO'Yo) j(x, y) existe y vale L + M. Considere la funcin j(x, y) = f(x)g(y). En dnde est definida j7 Demuestre que el lmite lm(x,y)->(xO,Yo) j(x, y) existe y vale LM. Suponga que M i- O. Considere la funcin j(x, y) = f(x)/ g(y). En dnde est definida j7 Demuestre que el lmite Im(x,y)->(XO,Yo) j(x, y) existe y vale L/M. En los ejercicios 54-61, calcule los lmites indicados. 54. 55. (x, y)-> (1 , 1) l' 11m Jlm _, [x 2 -- + ---1j 1 Y 1 X- 1 y2 - 1, (x,y)->(i,1) (x - l)(l- 1) --~,,--(x - l)(y- - ) 3 56. 57. 58. 59. (X,y)->(O,O) Im sen x sen 3y 2xy (y 2 (x,y)-~(O, 1) lm lm + 2y x 3)(1 -' cosx) 2 (y ~ 1) (x,y)->(O,O) ------2 ----5x y arcsen(2x) arctan(3y) xy (y4 - 4 y 3 + 7 y 2 (l - cos2x)(cos3y-1) , hm (x,y)--,(O,O) 60. 61. (x,y)-o(1,2) , 1 1m lm (x3+x2_5x+3)(i-4y+4) _ 12y + 12)(x3 - 4x 2 + 5x - 2) (r - 1)(e2Y - 1) (X,y)-> (0,0) xy -> 62. (Lmites al infinito). Sea f:lR 2 lR una funcin definida en todo el espacio lR 2 (excepto posiblemente en un subconjunto acotado). Se dice que el lmite de f cuando x, y tienden a infinito, es L, lo cual se escribe como X->OO lm f(x, y) = L y-ooo si dado E > Oexiste N > O tal que (x, y)1I > N=> If(x, y) - LI < E 2.3 Lmites y continuidad 145 a. b. c. Demuestre que lm _1_ ~:::::~ x + y Demuestre que Im x~oo = O. 2 2 e-(x +y ) = O. y->oo Sea z = </>(y) una funcin (cuya grfica est enel plano zy de IR3) tal que lmy->oo </>(y) = L. Sea z = </> ( / x 2 + y2) la superficie de revolucin que se obtiene al girar z = </>(y) alrededor del eje z. Demuestre que Im </>(/.1.'2 + y2) = L x->oo y~oo En los ejercicios 63-72, diga en dnde laf~ncin dada es continua, justificando en cada caso su respuesta con los resultados generales sobre continuidad discutidos en esta seccin 63. f(x, y) = x 2 + 4xy + 5l- 7.1.' + 9y - 10 64. f(x, y) = ~+ 2 x y .1.'2 X .1.'2 -l Y 65. f(x, y) = 66. f(x, y) -2--2 - +l = x- y?-+---.,-+-- 2x+3i 67. f(x, y) 68. f(x, y) = sen x + sen y =senx seny 69. f(x, y) = sen2 (x 3 cos4 y) 70. f(x, y) 71. f(x, y) = t r ( { ,.3 ,,2 t<~J3y4 .1.'4 - si (x, y) i= (O, O) i= i= si (x, y) = (O, O) si (x, y) (O, O) 3y4 + 5y 4 si (x, y) = (O, O) si (x, y) si (x, y) (O, O) 72. f(x, y) = { ~4 6x3y3 + 7 y4 == (O, O) En los ejercicios 73-77 se da una funcin z = f(x, y) que no est definida en (O, O). Es posible definir el valor feO, O) de tal modo que f sea continua en este punto? Explique. 73. f(x, y) = 74. f(.1.', y) = 75. f(.1.', y) --;--+ 4 x y --;--+ 4 x y 5.1.' 2 1 3.1.' 2 y 3 3x 2 y = -3--6 X +y 1 46 Captulo 2 Funciones de varias variables 3x 2 y8 76. f(x, y) = S-+ 8 x y x-y 77. f(X, y) = - x+y 78. Estudie la continuidad de la funcin f: lR. 2 ....... lR., f(x, y) = sgn(xy). 79. En el texto se estableci que "suma y producto de funciones continuas es una funcin continua" (es decir, si f y g son funciones continuas, entonces f + g y fg son continuas). Por medio de un ejemplo concreto, muestre que la afirmacin recproca es falsa. 80. Se dice que la funcin f: U ~ lR. 2 lR., definida en el conjunto abierto U de lR. 2 , es continua respecto de su primera variable (respecto de su segunda variable) en el punto (xo, Yo) E U, si la funcin o/ex) = f(x, Yo) es continua en Xo (si la funcin fJ(y) = f(xo, y) es continua en Yo, respectivamente). ....... a. b. c. Demuestre que f es continua respecto de su primera variable en (xo, Yo) si y slo si Imh->o f(xo + h, Yo) = f(xo, Yo). Demuestre que f es continua respecto de su segunda variable en (xo, Yo) si y slo si lmh-+O f(xo, Yo + h) = f(xo, Yo). D un ejemplo de una funcin f (y un punto p = (xo, Yo) de su dominio) tal que: el. f sea continua respecto de su primera variable y discontinua respecto de su segunda variable en p. e2. f sea continua respecto de su primera y segunda variable en p. Demuestre que la funcin f: lR. 2 ....... d. lR'. dada por f(x, y) = t (~ ~2 + y2 si (x, y) si (x, y) i= (O, O) = (O, O) es continua respecto de su primera y segunda variables en (O, O). e. f. Demuestre que si f es continua en (xo, Yo), entonces es continua respecto de su primera y segunda variables en ese punto. Demuestre que la afirmacin recproca del inciso anterior es falsa, considerando la funcin del ejemplo d). 81. Sea f: U ~ lR. 2 ....... lR. una funcin definida en el conjunto abiel10 U de JR2. Sea y E lR. 2 un vector no nulo dado. Se dice que f es continua en la direccin del vector Y, en el plinto p = (xo, Yo) E U, si lm f(p + tv) = f(p) 1---+0 a. b. Demuestre que f es continua en la direccin del vector v = i = (1, O) en p si y slo si fes continua respecto de su primera variable en p. Demuestre que f es contnua en la direccin del vector v = j = (O, 1) en p si y slo si es continua respecto de su segunda variable en p. Demuestre que la funcin f: lR. 2 ....... f c. lR. dada por xl f(x, y) = { ~2 -+ y4 si (x, y) =J (O, O) si (x, y) = (O. O) 2.4 Derivadas parciales 147 es continua en la direccin de cualquier vector no nulo v E JR2 en el punto (O, O). d. e. Demuestre que si f es c~mtinua en (xo. Yo) entonces cualquier vector no nulo v E JR2 en ese punto. f es continua en la direccin de Demuestre que la afirmacin recproca del inciso anterior es falsa, considerando la funcin de! inciso c. 82. Demuestre que la funcin f: lFtn - ; lFt, f(x) = IIxll es continua. (Sugerencia: use la desigualdad establecida en el ejercicio 8 de la seccin 3 del captulo 1). (*) 83. Demuestre que la funcin f: lFtn - ; lFt es continua en el punto p si y slo si la imagen inversa de cualquier conjunto abierto (en JR) que contenga a f(p) es un conjunto abierto (en lFtn ) que contiene a p. Es decir, si llamamos 1f(p} a un conjunto abierto de JR que contiene a f(p), entonces (demuestre que) f es continua en p si y slo si el conjunto es abierto. Derivadas parciales En esta seccin estudiaremos el primer concepto "diferenciable" para funciones de varias variables. Recordemos que para una funcin de una variable f: l <;;; lR -; lFt definida en el intervalo abierto 1 de JR, se define la derivada de f en Xo E 1, denotada por f'exo), como el valor dei lmite '( ) r f(xo f Xo = h~ + h) h f(xo) cuando ste existe (en cuyo caso decimos que f es diferencable en xo). Si f'exo) existe, su valor nos da la pendiente de la recta tangente a la grfica de la funcin Y = f(x) en el punto (xo, f(xo)). Las funciones importantes a estudiar, bajo la ptica del clculo, son las funciones diferenciables. Cuando se tiene una funcin diferenciable, lo importante es obtener informacin de la funcin a partir de su derivada (la informacin que se obtiene de f a partir del valor de f' (xo) es local, alrededor de xo). Por ejemplo, el simple hecho de la existencia de f'exo) nos habla del comportamiento suave de la grfica de la funcin en los alrededores del punto (xo, f(xo)); el signo de !'(xo) nos habla del crecimiento y/o decrecimiento de la funcin alrededor del punto, etc. Este es, en realidad, uno de los objetivos principales del clculo: obtener informacin de una funcin diferenciable a partir de su derivada. Resulta deseable, por tanto, disponer de un concepto de "diferenciabilidad" para funciones de varias variables semejante a aqul que conocemos para funciones de una variable. En esta seccin estudiaremos un primer acercamiento a este importante concepto, el cual ser abordado detalladamente en la seccin 6 de este captulo. Comencemos por considerar una funcin de dos variables f: U <;;; lFt2 - ; lR definida en el abierto U de JR2. Sea p = (xo, YO) un punto de U. Se define la derivada parcial de f con respecto de x (la primera variable de 1) en el punto p, denotada por %f(p) (o fxCp), o fl (p), o Df(p)), como el lmite af ( ) = lm f(xo + h, Yo) - .f(xo, Yo) ax P h-O h 1 48 Captulo 2 Funciones de varias variables cuando ste lmite existe. Del mismo modo, la derivada parcial de f con respecto a y (la segunda variable de f) en p, denotada por %f(p) (o fy(p), o h(p), o Dzf(p, es el lmite (si existe) -p=lIn af () l' ay h~O f(xo,yo+h)-f(xo, h Observando con detenimiento esta definicin, vemos que tiene los mismos ingredientes de la definicin de derivada de una funcin de una sola variable. Esto es: se toma la funcin con "su" variable incrementada en h, se le resta el valor de la funcin en el punto en cuestin, se divide todo entre el incremento, y se toma el lmite cuando ste tiende a cero. En el caso de una funcin de una sola variable se hace este proceso con su variable. En el caso de una funcin con dos variables este proceso se efecta respecto de cada variable conservando fija la otra. De otro modo, si consideramos la funcin <p(x) = f(x, Yo) que se obtiene de fijar en la funcin f(x, y) la segunda variable en y = Yo, sabemos que la derivada de <p en x = Xo es <p Xo = h~O 1m '() r <p(xo + 11) h <p(xo) = r h~O 1m f(xo + h, 11 - f(xo. Yo) = af(p) a. , V Similarmente se tiene que IV (Yo) = -- (p) en donde J;(y) = f(xo. y). Obsrvese que desde el punto de vista geomtrico, la funcin <p(x) = f(x, representa la curva que se obtiene al intersectar la superficie z = f(x. y) con el plano y = Yo. Esta es una curva que en el punto x = Xo tiene una recta tangente cuya pendiente es precisamente I df ay z i recta de pendiente ~ (p) x Figura 1. La derivada parcial de f con respecto a x. Anlogamente, la funcin J;(y) = f(xo. y) representa la curva obtenida de la interseccin de la superficie z = f(x. y) con el plano x = Xo, cuya pendiente en el punto y = )'0 es J;/(yO) = %f(p) (figura 2). De esta manera, las derivadas parciales de una funcin z = f(x, y) en un punto p = (xo. Yo) nos hablan del comportamiento geom\rico (la inclinacin) de la superficie que tal funcin representa, en las direcciones de los ejes x e y. Esta es pues una informacin "parcial". 2.4 Derivadas parciales 149 z X:= Xo y recta de pendiente *(p) x Figura 2. La derivada parcial de f con respecto a y. NOTA: Las derivadas parciales son conceptos "puntuales", es decir, se habla de la derivada parcial de una funcin en un punto dado (de su dominio). Es por eso que, en general, se debe hacer explcito el punto p = (xo, YO) donde estn evaluados Jf y escribiendo Jf(xo, YO) Jf(p) (igualmente para *). *, Sin embargo, muchas veces calculamos las derivadas parciales "en un punto cualquiera (o fx y fy, o fI y (x, y) de su dominio". En tal caso, basta escribir Jf y respectivamente). Ejemplo 1. Sea f: U ~ IR2 af iJx -; * h o Df y Dd, IR, f(x, y) = x 2 y3. f(x, y) Entonces = lm h-.O f(x + h, y) h = lm (x + h)2y3 h-.O 2 x y3 h = h-,O lm(2x/ + h/) = 2x/ 2 af = Im f(x, Y + h) - f(x, y) = lm x (y ay h->O h h->O 2 2 23 = lm(3x y 2 + 3x vh + x h ) = 3x2 h->O + h)3 h x 2y 3 l En este ejemplo se observa que, como era de esperarse, las derivadas parciales de una funcin z = f(x, y) se obtienen "derivando parcialmente" cada una de las variables, y conservando la otra como constante (es decir, pensando en la funcin f como dependiente slo de x o de y) 11 Ejemplo 2. Sea f: U s;:;: IR2 -; IR, f(x, y) = sen( J2x 3 + y2). Entonces af ax = (cos V2x3 + y2) 2 3 (6x 2 ) = 3x cos J2x + y2 2J2x3 + y2 J2x3 + y2 1 3 af = (cos J2x 3 + y2) 1 (2y) = ycos J2x + y2 ay 2J2x3 + y2 J2x3 + )2 Ejemplo 3. Sea f(x, y) af -(1, O) ax = x 2 + l. (1,0) Las derivadas parciales de esta funcin en el punto (1, O) son af -(1, O) ay = 2x I = 2(1) = 2 = 2y I (1,0) = 2(0) = O 1 50 Captulo 2 Funciones de varias variables z y x Figura 3. Las derivadas parciales de la funcin z = x2 + l en p. Esto signifi;a que la curva f(x, O) = xl (que est en el plano y = O) tiene pendiente m = 2 en x ==l,yqu~ la curva f(l, y) = 1 + y2 (que est en el plano x = 1) tiene pendiente m = Oen y = O (figuf <l:3). Al spnsiderar el caso general de funciones de fl variables f: V ~ ]Rn ---+ lR, conviene usar notacin vectorial para definir las derivadas parciales. El esquema que sigue la definicin de derivada parcial de respecto de su i-sima variable, digamos Xi, es el mismo: digamos que se toma la funcin f con su i-sima variable incrementada en h. Se resta la funcin evaluada en el punto considerado, se divide entre el valor del incremento (h) y se toma el lmite cuando ste tiende a cero. Sean el, el, ... , en E ]Rn los vectores de la base cannica de ]Rn. Entonces he es el vector que tiene slo. ceros, excepto en la i-sima coordenada, donde tiene h. Si 'K E ]Rn es un vector cualquiera, el vectof'K + he ser idntico a x, excepto en la i-sima coordenada, donde aparece la i-sima coordenada de x, Xi, incrementada en h. Definicin. abierto V de Sea : U S;;; ]R" -> IR una funcin definida en el conjunto y sea "o E V. l Se define la derivada parcial de f con respecto a su -sima variable en el punto 'Ko, denotada por ~.~ (xo) (o o f(p), o Di Cp, como el lmite ]Rn - f ( ) = l' "--C.-'- + !le) ----" _ a 'Ko 1m f(xo f(xo) ax h-.O h cuando ste existe. As, por ejemplo, para la funcin f(x, y, z) tenemos af = lm f(x, y, z + h) h f(x. y, z) az y para la funcin g(x, y, z, u) tenemos h--.O af = lm g(x, y + h. z. u) h g(x. y, z, u) ay etc. h--.O 1 La razn de definir las derivadas parciales en un punto perteneciente a un conjunto abierto U (dominio de la funcin). es para poder asegurar que para h E lR pequeo, se tenga XQ + he; E U Yque asf haga sentido la expresin f(x() + he; l. la cual aparece en la definicin de derivada parcial. 2.4 Derivadas parciales 151 Es claro que tambin en este caso general las derivadas parciales de una funcin, respecto a alguna de sus variables, se calculan derivando la funcin pensando sta como si dependiera slo de la variable en cuestin, con las variables restantes fijas. Ejemplo 4. Sea f: U ~ IR3 af 345 2 ax = eX y Z (3x -. 5 IR, f(x, y, Z) af ay = = 3/ Z5. 345 Entonces l z ), y z (4x 335 y z ), Recordando que para una funcin y = ep(x) de una variable real, la derivada ep/(xo) mide la velocidad de variacin de y con respecto a x en x = xo, tenemos, de manera anloga, que para la funcin f: U ~ IRn -. JR, su derivada parcial respecto de su i-sima variable en p E U, (p), mide la velocidad de variacin parcial de la funcin con respecto de dicha variable, cuando las dems se mantienen fijas. U; Ejemplo 5. El volumen V de un gas encerrado en un recipiente elstico es funcin de su presin P y de su temperatura T, segn la ley V = KJ, en donde K es cierta constante. Entonces av aT K P y av = ap KT p2 miden las variaciones del volumen con la temperatura (a presin constante) y del volumen con la presin (a temperatura constante), de modo respectivo. Retomando el inters de llegar a establecer una nocin de diferenciabilidad equivalente a la de (simplsima) para funciones de una variable (en cuyo caso diferenciabilidad equivale a existencia de la derivada), nos podramos preguntar si la sola existencia de las derivadas parciales de una funcin f: U ~ IRn -. IR en un punto Xo E U nos puede dar un concepto de diferenciabilidad como el requerido. Es decir, si establecemos la definicin: "la funcin f: U <;;; IRn -. IR definida en el conjunto abierto U de IRn es diferenciable en el punto "o E U si las derivadas parciales (xo), i = 1,2, ... , n existen", nos preguntamos si esta nocin de diferenciabilidad es equivalente a la de funciones de una sola variable. No podemos negar que esta "definicin" de diferenciabilidad para funciones de varias variables goza de una gran simplicidad. Sera bueno que esta fuera en verdad la definicin que buscamos. Sin embargo, este anhelo pronto se viene abajo pues es fcil convencerse que la existencia de las derivadas parciales de una funcin, (siendo una condicin necesaria) est muy lejos de ser una condicin suficiente para que la funcin sea diferenciable en el sentido buscado. Para poder ver esto, recordemos que, en el caso de funciones de una variable, la diferenciabilidad de una funcin en un punto implica la continuidad de la funcin en ese punto. De modo que, en el caso de varias variables, la nocin de diferenciabilidad (que procuramos sea equivalente al caso de una variable, v.gr. que tenga las mismas propiedades) que buscamos, debe respetar esta propiedad (i.e. diferenciabilidad debe implicar continuidad). El ejemplo siguiente nos desengaa sobre la posible validez de la definicin establecida anteriormente. U; Ejemplo 6. Considere la funcin f: JR2 -. IR xy f(x, y) = { ~2 + y2 si (x, y) =1= (O, O) si (x, y) = (O, O) 1 52 Captulo 2 Funciones de varias variables Calculemos * (O, O) Y ~; (O. O). Segn la definicin de derivadas parciales, tenemos af (O, O) ax h~O , f(h. O) - feO, O) 11m f = h--+O ----'---'---- = 1m h f2 l' ~-O h 2 + 02 (O)h _. + 02 h af (O, O) = lm feO, h) - feO. O) = lm ay h~O = h h~O de modo que la funcin tiene ambas derivadas parciales (iguales a cero) en el origen. Sin embargo, en el ejemplo 9 de la seccin anterior, vimos que esta funcin es discontinua en (O, O). 111 En la prxima seccin estudiaremos un concepto ms fuerte que el de derivada parcial de una funcin de varias variables, con el que trataremos de reformular la definicin fallida de diferenciabilidad establecida en esta seccin. Ejercicios 'n""iil-nll.n 2, Seccin 4) En los ejercicios 1-7, identifique las expresiones dadas como derivadas parciales de funciones de varias variables respecto alguna de sus variables. Obtenga la derivada parcial indicada. 1. lm h~O ("..Lh)4}.5 \A I '} )A y 5 2. , + h)2 + tan 2 (x + h) h 1n 3. 11m h~O l!: +- - ... ~ - In ;:. - 31n x , 11n y+h x h : y , ysenxz(cosxh - 1) + ycosxz senxh 7. 1un ' - - - - - - - - - - - ' - - - - - - h->O h En los ejercicios 8-30 obtenga todas las derivadas parciales de las funciones indicadas. 8. f(x, y) = (4x 2 y4 - 3x2 + 8y3)3 9. f(x, y) 10. f(x, y) = arcsen ~ x-y + arccos ~ = x +y 24 Derivadas parciales 153 11. f(x, y) = x 12. [(x, y) = 13. f(x, y) = + y + xy + ; + ~ x Y + y'" x'" + yY + xYy'" 14. f(x, y) = (2x 15. f(x, y) = xy' + 3yY + (2x + 3y)Y + / + (xYY(y'")Y I 16. f(x, y) = ----,;----. In 2 (1 + x2 + y2) 17. f(x, y) = (2yY + 2Y 18. [(x,y)=xlny-ylnx 19. [(x, y) = arceas /x 2 + y2 20. f(x, y) = arctan(2x I _. (x 2 21. f(x, y) = In I + (x2 + y2)1/2 1 - (x 2 + y2 -i- (x2 + y2 Z + 3 sen x)Y + l)I/2 + Z2)1/2 22. f(x. y, z) = In I 23. 24. 25. + Z2)1/2 [(x, y, z) = xY + X + y'" + / + ZX + zY f(x, y, z) = (xyr + (XZ)Y + (y,")Z + (/Y + (z<)Y + (zYY f(x, y, z) = x 2 arctan JI + y + z + In(l + y + z) = x 2 y3 Z4 sen 2 x cos 3 y tan 4 z = In (~.x + ~ + ~ + ~ + ~ + ~) y 26. [(x, y, z) = xy sen z + xz cos y + yz tan x 27. f(x. y, z) 28. f(x, y, z) z x z x y 29. [(x, y, z, u) = xy+z+uzx+y+u 30. f(XI,X2, ..... , xn ) . = - + - +. +-x2 '3 Xn Xl X2 Xn-I 31. Sea f(x, y, z) = xl + x z' en el punto (1, 1, 1). + y'" , +./ + zx' + zy'. Calcule las derivadas parciales de esta funcin Calcule las derivadas parciales 32. Sea [(x, y, z) = x\y/z) +x(z/Y) + y<x/z) de esta funcin en el punto (1, 1, 1). 33. Sea f(XI,X2,."'X n ) + lz/x) + z(x/ y) + z(y/x) = In(xx2 . . x n ).. Calcule ~-(l,I, ... ,1) n af Lax1 i=! 34. Sea [(x, y) = 3x 2 l - 12x6 + 2xy5. Verifique que x- af + y af ax ay = 6f(x. y) 1 54 Captulo 2 Funciones de varias variables 35. Considere la funcin del ejercicio 30 f(x, n X2, ,Xn ) = - +- + X2 X3 Xl X2 Demuestre que"" Xi L.. ax 1 i=l ' aj = O, 36. Sea f: U ~ IR2 -> IR una funcin definida en el conjunto abierto U de IR2 Demuestre que si la derivada parcial de f respecto de x existe en el punto p = (xo, YO) E U, entonces f es continua respecto de su primera variable en p (ver ejercicio 80 de la seccin anterior). Establezca un resultado anlogo para la segunda variable de la funcin Use la funcin f(x, y) = Jx 2 + y2 (en el punto p = (O, O)) para probar que las afirmaciones recprocas son falsas, r 37. Sean ; g: U s;:; IR 2 -> IR dos funciones definidas en el conjunto abierto U de IR 2 que tienen derivadas parciales en U. a. Demuestre que la funcin F: U s;:; IR 2 -> IR, F = f + g tiene derivadas parciales en U y que stas son aF aF af ag af ag - = - + ax - = - + ay ax ax ay ay Demuestre que la funcin F: U s;:; IR2 --+ IR, F = fg tiene derivadas parciales en U y que stas son aFag af aF ag af - =f--+g-' -- = j - +g-' ay ay ay ax ax ax Demuestre que si g(x, y) i= en U, la funcin F: U s;:; IR 2 parciales en U y que stas son b. c. -> IR, F = i- tiene derivadas aF ax 38. a. b. ga j _ _ fag ax 'ax g2 aF ay = -7-- afag g- --fay ay Calcule la pendiente de la recta tangente a la curva de interseccin de la superficie z = x 3y 5y2 con el plano x = 2, en el punto en el que y = 1. -+ Calcule la pendiente de la recta tangente a la curva de interseccin de la superficie z = x2 + y3x con el plano y = 2, en el punto en el que x = 2, 39. Demuestre que la ecuacin de la recta tangente (cuando existe) a la curva de interseccin de la grfica de la funcin z = f(x, y) con el plano y = Yo en el punto en el que x = Xo viene dada pOI' 40. Demuestre que la ecuacin de la recta tangente (cuando existe) a la curva de interseccin de la grfica de la funcin z = f(x, y) con el plano x = Xo en el punto en el que y = Yo viene dada 24 Derivadas parciales 155 por X = Xo y=yo+t { z= (xo, Yo) + a ax (xo, yo)t tEIR 41. Sea g: IR ...... IR una funcin continua y positiva definida en R Considere la funcin f: IR 2 dada por (x, y) = ...... IR 1 Y g(t) dt a. b. c. d. Para qu puntos (x, y) E IR 2 se tiene que (x, y) Cul es el nivel cero de f(x, y)? Calcule las derivadas parciales de la funcin f. > O? Para qu puntos (x, y) E IR 2 se tiene que f(x, y) <: O? 42. Resuelva el ejercicio anterior suponiendo que la funcin g es impar y que g(t) > para t > Calcule las derivadas parciales de cada una de las funciones de los ejercicios 43-50, donde g: IR ...... IR una funcin continua. 43. f(x, y) = 44. J:Y g(t) dt f(x, y) = J:+-: g(t) dt = f~(x2 + y2)g(t) dt = 45. f(x, y) 46. f(x, y) . I:: y g(t) dt 47. f(x, y) = 48. f(x, .y) = 49. f}x g (r) dr g(t) dt JI fJx g(r)dr .f.'g(r)dr g(t)dt f (x, y, z) = fX+Y+z g(t) dt xyz 50. (x, y, Z) = 1 JJ y g(t)dr x x+y+t g(r)dr g(t) dt x+y+z Para cada una de las funciones dadas en los ejercicios 51-71, en las que g, h: IR ...... IR son funciones definidas en IR, diferenciables (es decir, tal que g'(t) y h'(t) existen para todo t E IR), calcule sus derivadas parciales. 51. f(x, y) = g(x) + 5h(y) 52. f(x, y) = 2g(x)h(y) + l(x) 53. + hey2) f (x, y) 1 + h(x) = 1 + (g(y2 54. f(x, y) = h(x)g(h(y + g(y)h(g(x 1 56 Captulo 2 Funciones de varias variables 55. f(x, y) 56. f(x, 57. f(x, = g(h(x)) sen h(g(y) + h(g(y cas g(h(x y, z) = ln(1 + g2(X) + h\y) + l(z) y, z) == g(z)h(g(x)h(y 58. f(x, y, z) = g(g(x)g(g(y)g(h(z 59. f(x, y, z) = (g(x)i(Y) 60. f(x, y, z) 62. f(x, y) + (h(y)F(z) = (g(x(h(yg(z) 61. f(x, y, z) = (g(h(x)))(h(g(y)))g(h(')) = (1 + g2(xh(x)(l + h 4 (y)h(y) 63. f(x, y) = (1 + g2(x) + h 2(y))i(x) ) 2 64. f(x, y) = (g2(h 3 (y) h (g (y)) 2 65. f(x, y) = (1 + g2(x(l+h (yg(h(')) 66. (x, y) 68. f(X, = (ln(1 + x 2(In(l+g (x 2 h2( ) y 67. (x, y, Z) = yz sen(1 + h 2(x)i x2 +1) y, Z) = xyz(1 + Z2)g(x)h(z) 2 4 6 2 69. f(x, y. Z) = (g2(h(xh 2(g(z) h (g(Y))i(h(z)) 70. f(X, y, z) = ( ln(l +g (x) +h (y) +g (z )g2(x)h 4 ()')g6(Z) 4 71. f(x, y, Z) = (1 + g2(x)h 4 (y)g6(z)ln(l+i(x)h (})g6(z) IR una funcin definida en el conjunto abierto U de IR 2 , con rango J ~ IR, 72. Sea f: U que tiene derivadas parciales en el punto p = (xo. Yo) de U. Sea g: 1 ~ IR ---+ IR una funcin real definida en el intervalo abierto 1 que contiene a J, diferenciable en el punto g(f(p). Queremos ver que la funcin compuesta g o f: U ~ IR 2 ---+ IR, (g o f)(x, y) = g(f(x. y tiene derivadas parciales en el punto p, y queremos obtener frmulas para calcularlas. Los siguientes pasos son el "guin" de un argumento que hace plausible el resultado que se quiere obtener. Se pide al lector que justifique cada paso. - ~ IR 2 ---+ ~ a (g o f)( ) l' (g o nexo Xo, Yo = 1m . h~ + h, Yo) h - (g o nexo, Yo) = lm g(J(xo h-.O + h, yo -- g(J(xo, Yo ) Sea h k= f(xo+h.)'o)- f(xo.yo) g(J(xo, Yo) =1 1m , + k) h g(J(xo, Yo) g(f(xo, Yo ~ h-,O = lm g(J(xo, Yo) h-.O + k) k h g(f(xo, Yo l' h-.O , g(J(xo, Yo) =1 1m k-.O l . + k) k 1m -"----'----'----'----'--h f(xo + h. Yo) - f(xo, Yo) = g (f (xo. Yo ax (xo, Yo) af 2.4 Derivadas parciales 157 Un resultado anlogo se obtiene para la derivada parcial de g o respecto de y. En resumen, se tienen las frmulas ax (g o f)(p) a a = g'(f(p a ax (p) ay (g o f)(p) = g'(f(p ay (p) a As, una derivada parcial de la funcin compuesta g o , de la funcin de una sola variable g(t) con la funcin de dos variables (x, y), se obtiene multiplicando la derivada de g (evaluada en (x, y y multiplicndola por la derivada parcial correspondiente de la funcin . Por ejemplo, para cualquier gdiferenciable definida en lR se tiene _g(x 2 +4xi) = (2x ax a + 4i)g'(x2 + 4i) + 4.y3) ~ g(x 2 + 4xi) = ay l2xlg'(x 2 Siga paso a paso el argumento presentado en este ejercicio con el que se "demuestran" las frmulas de las derivadas parciales de la composicin y diga dnde falla el argumento (sugerencia: siga paso a paso el argumento con la funcin (x, y) = y). En el captulo siguiente se ver (bien demostrado) un resultado ms general que el que aqu se presenta. La finalidad de este ejercicio es que desde este momento comencemos a hacer uso de este caso sencillo de derivacin de funciones compuestas. Sea g una funcin real diferenciable de una sola variable real. Para cada una de las funciones dadas en los ejercicios 73-80, determine sus derivadas parciales. 73. F(x, y) = g(xy) 74. F(x, y) 75. 76. = g(3x 2 + 7y2) F(x, y) = g2(X + y) y) = g(x + y2) + g(x 2 + y) 77. F(x, y) = g(3x 3i)g(3x 3 + i) 78. F(x, y) 79. 80. = ln(4 + g4(ax + by + e F(x, y) = arctan(l + sen g(x cos y + y sen x F(x, y) = g7(g6(x 5 + i)g3(x 2 + y En los ejercicios 81-85, z = </J(x, y) es una funcin real de variable real, diferenciable en R Demuestre que la funcin dada satisface la expresin indicada. x - -2y- = 2z ax ay a a 82. (x, y) = y</J(x + y), y(a _ ay ax al) = z 83. (x, y) = x 2 </J(3x + y2), a a 2xy- - 3x- = 4yz ax ay 1 58 Captulo 2 Funciones de varias variables 84. f(x, y) = x</J( xy 3), 3x- - y - = 3z af af x - - - = z(x - 1) ax ay af ax af ay 85. f(x, y) = eX+Y</J(xeY), 2.5 Derivadas direcdonales Consideremos la funcin f: U ~ IR" --t IR definida en el conjunto abierto U de IR". Sea v E JR" un vector dado de IR", cuya norma es l. Ahora queremos estudiar la variacin de la funcin f en el punto "o E U cuando su argumento vara en la direccin marcada por el vector v. La idea para lograr esto ser la misma que aparece en el concepto de derivada de una funcin de una variable, y, ms recientemente, en el estudio de las derivadas parciales en la seccin anterior, a saber, la derivada ser "el lmite cuando el incremento de la variable tiende a cero del cociente del incremento de la funcin, dividido entre el incremento de la variable". En el caso de las derivadas parciales, "el incremento de la variable" corresponda al de la variable respecto de la cual se estaba derivando. Lo que haremos ahora ser tomar el "incremento de la variable", comenzando en el punto X{) E U, Y yendo en la direccin del vector unitario v E IR" dado. Esquemticamente f f(xo f(xo) + IV) incremento de } la f'lncin 1. Variacin de la funcin en la direccin de v. Ntese que (en el esquema anterior) en este caso la variable (vectorial) x E U se mueve t unidades en direccin del vector v, pasando del punto "o E U al punto Xo + tv (de otro modo, la magnitud de esta variacin es IItvll = Itlllvll = ItI). As, tomando el cociente del incremento de la funcin f(xo + tv) - f(xo), dividiendo entre t y tomando el lmite cuando t tiende a cero, obtenemos la manera de variar de f en "o en la direccin de v. A esto lo llamamos derivada direccional de f en "o en la direccin de v. Incluso se tiene Definicin. (derivada direccional) Sea f: U ~ IR" --t JR una funcin definida en el conjunto abierto U de JR" y sea "o E U un punto dado de U. Sea v E JR" un vector unitario dado. Se define la derivada de la funcin f en "o, en la direccin del vector v, denotada por *(xo), o D v f(xo), como el lmite af (xo) av = lm 1 .... 0 f(xo + IV) t f(xo) 2.5 Derivadas direccionales 159 La primera observacin que debemos hacer de la definicin anterior es que el concepto de derivada direccional es un concepto que generaliza el de derivada parcial estudiado en la seccin 2.4. En efecto. si '1= Cj = i-simo vector de la base cannica de JRn, tenemos que. efectivamente 11'111 = Ile; 11 = 1, Y af ac (xo) = lm f('Ko 1-0 + tej) t f('KO) = af ax ("o) = derivada parcial de f en Xo respecto de su i-sima variable la cual, dijimos ya, meda la variacin de la funcin f en "o en la direccin del vector ej. Otro punto que debemos observar es lo que pasa en el (muy frecuente --en este libro) caso de una funcin de dos variables f: U S;;; JR2 -+ R Podemos escribir en general el vector unitario y E JR2 como y = (cos e, sen e). o ::; e ::; 21T y v = (cos 8, sen 8) 2. Un vector unitario en JR2. de modo que la derivada direccional de f en el punto (xo. Yo) E U en la direccin de y se vera como af -(xo. yo) ay fxo. O, sen O = l' " - - Yo)-+ t(cos - - - - ---f(xo. Yo) 1m - ---. 1..... 0 t = Im 1..... 0 f(xo + t cos e, Yo + t sen e) t f(xo, yo) Nuevamente observamos que si O = O, o bien si v = i = (1, O), entonces t af l' f(xo + t cos O, Yo + t sen O) - f(xo, Yo) -(xo, Yo) = 1m ::.....:.-=-------:....::....:.----'-----=---'----=-- ay 1..... 0 , f(xo =1 1m 1..... 0 + t, Yo) t f(xo. Yo) = -ax af ( Xo.YO ) Del mismo modo, si e= ay 1T/2, o bien. si v = j = (0,1), entonces af -(xo, Yo) f(xo, Yo) t _ l' f(xo. Yo + t) - f(xo. Yo) _ af( ) - 1m - - xo,yo 1..... 0 t ay 1 ..... 0 = hm :.....:.-=-------=--...::...:.---'~--:...--- , f(xo + t cos ~, YO + t sen ~) - 1 60 Captulo 2 Funciones de varias variables Veamos ahora algunos ejemplos. Ejemplo 1. Sea f: U <:;:: IR" -+ IR la funcin f(x, y) = x 2 + y2. Calculemos la derivada de esta funcin en un punto (x, y) E IR 2 en la direccin del vector v = (cas 8, sen 8). Segn la discusin anterior tenemos af = lm /--->0 f(x + tcos 8, y + t sen 8) t t f(x, y) ay = lm (x + t COS 8)2 + (y + t sen 8)2 -- (x 2 + y2) /--->0 = lm(2x cos 8 + 2y sen 8 + t) /--->0 = 2x cos 8 + 2y sen 8 Tambin, como dijimos, si e= se tiene af af -=2x=--av ax ysi8=7T/2 E.il~m:plo 2. Sea f: lR 2 --; IR, la funcin definida como si (x, y) si =J (O, O) y) = af av (O, O) = lm fU cos (J, t sen 8) - feO, O) /->0 t (t cos 8)(t sen 8) = lm -'-------"--'--'----'-/--->0 , cos esen O = 1 ---1m /->0 t Se ve entonces que este lmite existe si y slo si cos 8 sen (J = 0, Le. si 8= 0, 7T /2, 7T. 3 7T/2. En tal caso ~: (O. O) = O. Ntese entonces que esta funcin no tiene derivadas direccionales (en el origen) excepto en las "direcciones cannicas" (las de los ejes x y y). Es decir, esta funcin tiene derivadas parciales iguales a cero en (O, O), pero no tiene derivadas en ninguna otra direccin. lIJ Ejemplo 3. Sea f: IR3 -+ IR, la funcin f(x, y, z) = 2x3 + 7y2 + 9z 2 y sea y = (a, b, e) un vector unitario dado en el espacio IR3 La derivada direccional de esta funcin en un punto (x, y, z) E JR3 arbitrario en la direccin de y es Ji: = lm fx, y, z) 1->0 av + tea, b, e - f(x, y, z) f(x, y, z) t = lm f(x + ta, y + tb, z + te) 1->0 t 2.5 Derivadas direccionales 61 = lm 2(x t~O + ta)3 + 7(y + tb)2 + 9(z + tC)2 t (2x 3 + 7l + 92 2 ) = lm(6x 2a + 6xta 2 + 2t 2a3 + 14yb t~O + 7tb 2 + 18zc + 9zc 2) = 6x a 2 + 14yb + 18zc Podemos interpretar geomtricamete la derivada direccional de una funcin de dos variables f: U ~ ]R2 -; ]R en un punto (xo. Yo) E U. Sin prdida de generalidad supongamos que (x(J, Yo) = (O, O). Sea v = (cos e, sen e) E ]R2 el vector unitario en la direccin del cual calculamos la derivada de la funcin f en el origen. Consideremos el plano x sen e - Y cos e = Este es un plano perpendicular al plano z = que contiene al vector v. La interseccin de este plano con la superficie z = f(x. y) es una curva en el espacio. La derivada direccional de f en (O, O) en la direccin de v es la pendiente de la recta tangente a esta curva en (O, O). z y Recta tangente a la curva en (O, O) con pendiente ~ (O, O) e x Figura 3. Interpretacin geomtrica de la derivada direccional. NOTA: El concepto de pendiente de una recta est totalmente comprometido con "las unidades que se siembran" en los ejes coordenados. Al decir que la derivada direccional U(O. O) es la pendiente de la recta tangente a la curva de interseccin de la superficie 2 = f(x. y) con el plano x sen e- Y cos e = O (que contiene al vector v) en (O. O), estamos pensando en la pendiente medida en el plano ZS, en que s es el eje generado por el vector v cuya magnitud marca la unidad que se toma en ese eje (ver la figura 4). El siguiente ejemplo muestra en un caso concreto esta observacin. Ejemplo 4. Considere la funcin f:]R2 -; ]R, dada por f(x. y) = (x _1)2 + (y - 1)2. La superficie que esta funcin representa es la misma que la del paraboloide z = x 2 + l, recorrido su vrtice al punto (1, 1, O). Calculemos la derivada direccional de esta funcin en (O, O) en la direccin del 1 62 Captulo 2 Funciones de varias variables z Recta de pendiente m en el plano zs ----:J~~--+_---... y s x Figura 4. Las unidades utilizadas para medir la pendiente se toman sobre el plano zs, donde la magnitud de v da la unidad. vector unitario v = (-12/2, Vi/2). a (O, O) = Tenemos lm (Vit/2, -I2t/2) - (O, O) /....,0 av t t = hm (-I2t/2-1)2+(Vit/2-1)2 _.--- 2 / ..... 0 / ..... 0 = Im(t - 2/2) = -2/2 Por otra parte, el plano y = x es el plano perpendicular al plano xy, que contiene al vector v, cual corresponde al valor de f) = 17/4 en la ecuacin x sen e - y cos e = O). La interseccin de este plano con la superficie z = (x - 1)2 + (y - 1)2 es z = 2(x - 1)2 = 'Pex). Esta funcin z = 'Pex) mide la variacin de Z respecto de x en la curva de interseccin de la superficie con el plano y = x. Para obtener la variacin de z con respecto a la variable s que se encuentra en el eje marcado por el vector z z = (x _ 1)2 + (y _ 1)2 y s x Figura 5. Grfica del ejemplo 4. 2.5 Derivadas direccionales 163 11 --que llamamos "eje s"-(es decir, para obtener la "ecuacin natural" de la curva en el plano en el que se encuentra ella), observamos que una unidad en el eje x corresponde a V2 unidades en el eje s, de modo que la expresin que relaciona este "cambio de unidades" en los ejes x y s es sV2x o bien x = .;2s/2. Entonces, al sustituir en z= ip(x), obtenemos z = tf;(s) = 2( V2s/2 - 1)2 que es la ecuacin de la curva en el plano en el que ella se encuentra. Su derivada en s = nos da la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. Tenemos tf;'(s) = 4( V2s/2-1)( .;2/2) = 2V2( V2s/2 -1), de donde tf;'(0) = -2.;2, valor que coincide con el obtenido de la derivada direccional calculado al principio del ejemplo (Fig 5). 111 Retomemos, por ltimo, nuestra discusin sobre el concepto de diferenciabilidad para una funcin de varias variables. Por supuesto que con la ayuda de las derivadas direccionales podemos formular la siguiente definicin ms fuerte que la establecida en la seccin 2.4: "una funcin f: U ~ ]Rn - t ]R es diferenciable en el punto "o E U si las derivadas direccionales xo) existen para todo vector 11 E ]Rn". Observamos que a la luz de esta definicin podemos "justificar" por qu la funcin del ejemplo 6 de la seccin 2.4, (la cual no nos conviene que sea diferenciable, pues en tal caso tendra que ser continua en (O, O no es diferenciable en (O, O). En el ejemplo 2 vimos que sus derivadas direccionales no existen en el origen (excepto en las direcciones cannicas). As pues, a la luz de esta nueva definicin, tal funcin no es diferenciable en (O, O). Sin embargo, el siguiente ejemplo nos har desistir de aceptar esta nueva definicin como la de diferenciabilidad que estamos procurando. *(' Ejempio 5. Sea f:!R 2 -; JI( la funcin si (x, y) si (x, y) 1- (O, O) = (O, O) Sea 11 = (a, b) E ]R2 un vector unitario dado. Calculemos af (O, O). av af (O, O) = Im f(ta, tb) - feO, O) av 1->0 t (ta)2(tb) = lm (ta)4 1->0 + (tb )2 t = lm 3 1--+0 t (t2 a 4 t 3a 2b + b 2) = b a2 (Se acepta que b 1- 0, pues caso contrario la derivada sera cero -por qu?). Entonces esta funcin posee derivadas direccionales en (O, O) en todas direcciones. Segn lo establecido en la definicin anterior esta funcin debera ser diferenciable en (O, O). Sin embargo, podemos ver que esta funcin no es (ni siquiera) continua en (O, O). En efecto Im (X,y)->(O,O) ~ x4 + y2 ={ (con y = x) 1/2 . (con y = x 2 ) de modo que el lmite no existe y la funcin es por lo tanto discontinua en (O, O). En la siguiente seccin estudiaremos el concepto ele difereneiabilidad de una funcin de varias variables (por fin!). 1 64 Captulo 2 Funciones de varias variables Apndice El teorema del valor medio Para funciones de una variable f: [a, b] - t iR tenemos un resultado segn el cual si la funcin es continua en el intervalo cerrado [a, b] Ydiferenciable en el intervalo abierto (a, b), entonces hay un punto e E (a, b) en el que '(e) = f(b) - fea) b-a lo cual significa geomtricamente que (bajo las hiptesis mencionadas para f) siempre tenemos un punto x = e entre x = a y x = b, el cual podemos escribir como e = a + e(b a) con O < e < 1, en el que la recta tangente a la grfica de la funcin y = f(x) (de pendiente f'(e) = '(a + e(b - a))) es paralela a la recta secante de la grfica de f que pasa por los puntos (a, fea)) y (b, f(b)) (la cual tiene pendiente [(bi=pa). Este resultado se conoce como el teorema del valor medio (o teorema de Lagrange). El teorema se puede reenunciar de la siguiente manera: si la funcin f es continua en el cerrado [xo, Xo + h] Y derivable en el abierto (xo, Xo + h), entonces hay un E (O, 1) que e f(xo + h) - f(xo) = '(xo + eh)h Veremos ahora un resultado anlogo para funciones de varias variables en el cual intervienen las derivadas direccionales de la funcin estudiadas en esta seccin. Si "'o, Yo E iR", introducimos la notacin [xo, YoJ para denotar al segmento de recta que une xo con Yo- Es decir [xo. Yo] = Anlogamente, escribiremos - (1 - A)xo, < ;\ < 1} Ntese que u valor medio para funciones de varias Sea f: U ~ lR" - t lR una funcin definida en el conjunto abierto U de lR". Si "o, Yo E U, se pide que el conjunto U sea tal que [xo, Yol e U. Sea u un vector unitario en la direccin del vector Yo - Xo. Si la funcin f es continua en los puntos del segmento [xo. YoJy tiene derivadas direccionales en la direccin del vector u en los puntos del segmento (xo, entonces existe un nmero e, O < < 1, tal que Teorema e f(xo (donde h = lIyo - xolj) + hu) - f(xo) =--(xo af au + 8hu)h Demostracin. Considere la funcin 4>: [O, h] -t iR dada por 4>(1) = f(xo + tu) + ~ + li)~) - f(xo + tu) Ti Bu Ciertamente la funcin 4>' (1) 4> es continua en [O, h], pues f lo es en [xo. Yo]. Adems obsrvese que 4>(1 = Im "TI-, o +h) Ji 4>(t) = lm f(xo h-.O = lm f(xo Ii--" + tu + hU) - f~xo ~u~ = ~L(xo + tu) Ti 2.5 Derivadas direccionales 65 de modo que para t E (O, l1., rf/(t) existe y es la derivada direccional de la funcin f en el punto Xo + tu E (Xo, Yo) en la direccin del vector u. Aplicando entonces el teorema del valor medio a la funcin rf;, concluimos que existe un nmero E (O, 1) que da e rf;(h) - rf;(0) = rf;'(eh)h es decir, de modo que f(xo + hu) - f(xo) = -(xo af au + Ohu)h Q.E.D. tal como se quera demostrar. Ejercicios (Captulo 2, Seccin 5) En los ejercicios 1-6, identifique las expresiones dadas como derivadas direccionales de funciones de varias variables en la direccin de un vector unitario v. Obtenga la derivada direccional que se indica. 1. 11m --'----'------'--I~O " (x+t/V2)(y+t/V2)2 t [ xl - 2. IImi~O , (x - J'3t/2)1/2(y 2 + t/2)1/2 .xy 3. /-,0 ' j n In sen x + t)4 y) -In sen 2 (x4 y) [ 4. 5. 1 1m , I~O (y +0 2 cos (xy 3 + xt) -l cos 3(xy) t/3) - xyz ---'-----'-----'------'-[ (x + 2t/3)(y + 2[/3)(z - En los ejercicio 7-15, calcule la derivada direccional de la funcin dada en la direccin del vector indicado. 7. f(x, y) = 3x - 2y, v = 8. f(x, y) = 3x - 2y, v = (l/V2, 1/V2) (-1/V2, -1/V2) 9. f(x, y) = x 2 + y2, v = (a, b), en el punto (0,0). 10. f(x, y) = 11. f(x, y) = xl + x2 y, v = (1, O). x 3 JI + 3 tan 6 (x2 + X 1(2 ), v = (O, 1). = (1, -~, 12. f(x, y, z) = z sen y3 cos(x5 + tan l), v = (0,0, 1). 13. f(x, y, z) = xyz, v -' 14. f(x, y, z, u) = xyzu, v = (~, -~, -~, O). 1 66 Captulo 2 Funciones de varias variables 15. f(x, X2, ... , x n) = ax + a2x2 + ... + anxn, v = (0'1, 0'2, ... , O'n)' 16. Sea f: U ~ JRn - t JR una funcin definida en el conjunto abierto U de JRn. Sea ti E JRn un vector no nulo de JRn, no necesariamente de nOrma 1 y sea v = II~II' Defina la derivada de f en el punto p E U en la direccin del vector ti E JRn de manera anloga a como se hizo en el libro (para el caso de vectOres unitarios) af (p) = lm f(p au + tu) t f(p) 1->0 cuando este lmite existe. Demuestre que af 1 af av Verifique este resultado con la funcin f(x, y) Ilull au = x 2 + y2, y el vector u = (1,1). 17. Con el resultado del ejercicio anterior, calcule la derivada direccional de la funcin f(x, y) = 3x + 2y + 7z en la direccin del vector ti = (3,2, -5). 18. Sea f: U ~ JR2 -+ JR una funcin definida en el conjunto abierto U de JR2. Sea v E un vector unitario dado. Demuestre que si la derivada direcciona! de f en la direccin de v existe en el punto p E U, entonces f es continua en p en la direccin del vector v ejercicio 7! de la seccin 3). Es verdadera la afirmacin recproca? 19. Sean f, g: U ~ JR2 - t ]R dos funciones definidas en el conjunto abierto U de ]R2 con derivadas direccionales en p E U en la direccin de un vector unitario v E JR2 dado. 11. Demuestre que la funcin F: U ~ ]R2 la direccin de v y que sta es -t F = f + g tiene derivada direccional en p en ag - = - + av av av b. Demuestre que la funcin F: U ~ JR2 direccin de v y que sta es -t aF af 1~, F = fg tiene derivada direccional en p en la af aF -;; = f av + g av ag c. Demuestre que si g(x, y) =1= O en U, la funcin F: U ~ ]R2 direccional en p en la direccin de v y que sta es -t JR, F = ?tiene derivada aF av g-;; - f a~ g2 af ag 20. Compruebe que las derivadas direccionales obtenidas en los ejercicios 7-1 ! se pueden escribir como af =aa(+b af av ax ay en que v = (a, b) es el vector dado en la direccin del cual se calcul la derivada. 2.5 Derivadas direccionales 167 21. Compruebe que las derivadas direccionales obtenidas en los ejercicios 12-13 se pueden escribir como a =aa +b a +c a av ax. ay az donde v = (a, b, c) es el vector dado en la direccin de la cual se calcul la derivada. 22. Verifique que la derivada direccional de la funcin del ejercicio 15 se puede escribir como - a av =a- +a2- ++an - a ax] a aX2 a aXn 23. Los resultados de los 3 ejercicios anteriores sugieren que la frmula - a av = a l - +a2- a aXI a aX2 + +an -aXI! a se puede usar para calcular la derivada direccional de la funcin : U 5; JRn - 4 JR en la direccin del vector v = (al> a2, .... al!)' En efecto, esto es efectivamente cierto para "algunas" funciones que empezaremos a estudiar en la siguiente seccin. Para convencernos que tal frmula no siempre es cierta, considere la funcin : JR2 - 4 JR del ejemplo 5 si (x. y) =1- (O, O) si (x, y) = (O, O) Demuestre que ~ (O. O) =1- a a (O, O) +b a (O, O) dv dX ay donde'll = (a. b) es un vector dado. 24. a. Sea v = (a, b) un vector unitario enJR 2. Demuestre que el plano perpendicular a z = O, que pasa por (xo. Yo), para el que v es un vector paralelo (decimos que el plano est en la direccin del vector 'Il), se puede escribir como X { = Xo y = Yo + at + bt tE JR b. Demuestre que la curva de interseccin de la superficie z = (x. y) con un plano como el descrito en el inciso anterior es z = (xo + at, Yo + bt). Considere la funcin 1>: 1 5; JR - 4 JR, 1>(t) = (xo + at, Yo + bt), cuyo dominio es el conjunto de la recta dado por 1 = {t E JRI(xo + at, Yo + bt) E dominio de j}. Ntese que el conjunto de imgenes de 1> es justamente la curva del inciso anterior. Demuestre que 1>' (O) existe si y slo si se da la derivada de en (xo, Yo) en la direccin de v = (a, b) existe. En tal caso c/>'(O) = ,*(xo, Yo). Demuestre que la ecuacin de la recta tangente (cuando existe) q la curva del inciso b, en el punto (xo, Yo. (xo, Yo) es c. d. { z = f(xo, Yo) + a (xo, yo)t av X = Xo + at y = Yo + bt tE JR 1 68 Captulo 2 Funciones de varias variables e. Obtenga, como caso particular de los resultados de los incisos anteriores, los resultados de los problemas 39 y 40 de la seccin anterior. 25. Sea f: JR2 -+ JR una funcin continua tal que sus derivadas parciales existan en todo punto pE JR2. Demuestre que existen el, e E (0,1) tales que 2 f(xo + h, YO) + h) - f(xo, yo) f(xo, Yo) = h7j-;;(xo + elh, YO) = h ay (xo, Yo + 82 h) af af f(xo, Yo 2.6 Diferenciabilidad Recordemos de nuevo que una funcin de una variable f: 1 ~ JR en Xo E 1 si existe el lmite , f(xo + h) - f(xo) lIm h h-O -+ JR se dice que es diferenciable En tal caso al valor del lmite se le llama "derivada de f en xo" y se denota por f' (xo). Por supuesto que un primer intento para conseguir un concepto equivalente para funciones de varias variables, digamos f: U ~ JRn -+ R sera copiar la definicin anterior extendindola a esta nueva situacin. Esto, sin embargo, conduce a una expresin que carece de sentido. En efecto. si f est definida en un subconjunto U de IR", n > 1, tanto Xo como h en la definicin anterior serian vectores de JRIl, Y en la expresin que define a flexo) aparece una divisin por h, operacin que carece de sentido con vectores de JR" , n > l. A pesar de este contratiempo, nuestro inters seguir siendo tratar de "copiar la esencia" de la definicin de diferenciabilidad que conocemos para plasmarla en el concepto que queremos establecer de diferenciabilidad para funciones de varias variables. Lo que haremos ahora ser replantear la definicin para una variable, de modo que en ella no aparezcan divisiones (que es la operacin que no se puede copiar para vectores de JR" con n :::: 2). Una manera equivalente -y ms elegante-- de establecer el concepto de diferenciabilidad para funciones de una variable es la siguiente: la funcin f: 1 ~ JR -+ JR es diferenciable en XI) E 1 si existe una constante A tal que f(xo donde + h) = f(xo) + Ah + r(h) En efecto, escribiendo explcitamente la constante A de la ltima definicin, tenemos A _ f(xo ---;-----h O) se puede ver fcilmentc la equivalencia entre las definicioncs + h)- f(xo) r(h) de donde (al tomar lmite cuando h (poniendo A = f'exo~. ----+ ---------------------------- 2.6 Diferenciabilidad 169 Ms an, es interesante la interpretacin geomtrica de la nueva definicin, como se ve en la figura 1 y f(xo) y = f(x) +h Recta tangente a la grfica de y = (x) en x = Xo f(xo) I I _______s_l }f' (xo)h 1 I MI Xo NI Xo 1 +h x Figura 1. La derivada de una funcin. La ecuacin de la recta tangente a la grfica de la funcin y = f(x) en el punto P = (xo, f(xo es, como sabemos y = /(xo)(x - '<0) + f(xo) de manera que el punto R de abscisa XR = Xo + h tiene por ordenada YR = f'(xo)/ + f(xo), de donde se ve fcilmente que la magnitud del segmento RS es f'(xo)h y por tanto, con r(h) = f(xo + h) f(xo) - f'(xo)J~, vemos que r(h) es justamente la distancia entre la curva y la recta tangente en el punto P. De la figura tambin se desprende que a medida que h tiende a cero, el residuo r(h) (llamado as, pensando en que es "lo que le falta a la recta tangente para describir a la curva y = f(x) en los alrededores de P") tambin tiende a cero. Sin embargo, esto no es el punto importante en la definicin de diferenciabilidad, pues este hecho (el que lmh-.O r(h) = O) lo nico que nos dice es que lafuncn es continua en P (por qu?). Lo importante, cuando se estudia la diferenciabilidad de funciones, es que el residuo r(h) tiende a cero nus rpido de lo que h lo hace. Esta condicin est expresada en la parte de la definicin que dice que , r(h) l 1 m-- h-.O h O Intuitivamente, podemos pensar que la nica manera como se puede dar esta condicin del residuo, es cuando la recta tangente se "embarra" con la curva en los alrededores de P. En otras palabras, la curva tiene que ser "suave" en P, para que "se pueda ver localmente como una recta" (su recta tangente). Esta es en realidad la idea geomtrica tras el concepto de diferenciabilidad de una funcin en un punto P: el buen comportamiento de la funcin en tomo al punto P para que en se pueda aproximar por un comportamiento lineal (el de su recta tangente). Consideremos ahora una funcin de dos variables f: U <;;; lR 2 -+ lR definida en el conjunto abierto U de lR 2 . Sea p = (xo, Yo) E U. Generalizando la definicin de diferenciabilidad para funciones de una variable estudiada anteriormente, diremos que la funcin f es diferenciable en el punto p = (xo.yo) si hay constantes Al y A2 de modo que , D 170 Captulo 2 Funciones de varias variables donde , m 1 (h"h 2 )->(O,O) r(h, h2 ) II(h], hz)11 (R) No se puede negar que esta definicin se ve como una generalizacin natural de la dada para funciones de una variable: el incremento h ha sido sustituido por el vector h = (h], hz) E ]R2, Y al residuo r que depende de h, se le ha pedido que, al ser dividido por la norma (en este caso no podemos dividir simplemente por h) de h, tienda a cero cuando h tiende a cero. Supongamos que la funcin f: U ~ ]Rz -+ ]R es diferenciable en p = (xo, Yo) E U. Veamos cules tienen que ser las constantes A Y Az de la definicin anterior. Poniendo h = (h 1, O) en la expresin (D), podemos escribir ---=--= r(h, O) h r(h) h1 f(xo + h l , Yo) h] -+ f(xo, Yo) -Al Si tomamos lmite cuando h] definicin, obtenemos -+ O(i.e. cuando h O) y usamos la propiedad (R) del residuo en la h-,O lm r(h) = lm (f(xo+h,yo)-f(Xo,yo) -Al) =0 h h->O hl de donde vemos que A ' = l"l'm f(xo h->O + h, Yo) I11 f(xo, Yo) _ af / .. ) ,xo, Yo ax Un argumento anlogo (poniendo h = (O, h z)) nos conduce a --.; lR sea Se observa entonces que una condicin necesaria para que una funcin f: U ~ diferenciable en el punto p = (xo, Yo) E U es que existan sus derivadas parciales en ese punto. Sin embargo, tal condicin est muy lejos de ser suficiente como se ver posteriormente. Podemos entonces, en resumen, establecer la definicin siguiente Definicin . Se dice que la funcin f: U .~ ]Rz -+ lR definida en el conjunto abierto U de ]R2, es diferenciable en el punto p = (xo, Yo) E U, si se dan las derivadas parciales de f en p y si el residuo r(h, h 2 ) definido en la expresin tiene la propiedad 2.6 Diferenciabilidad 171 Veamos ahora que esta definicin s garantiza la continuidad de la funcin en el punto p en donde es diferenciable (corno acontece con funciones de una variable). Teorema 2.6.1 Si la funcin 1: U ~ IRz - 4 IR definida en el conjunto abierto U de IRz, es diferenciab1e en el punto p = (xo, Yo) E U, entonces es continua en ese punto. Demostracin. Siendo 1 diferenciable en p = (xo, Yo) se tiene Tornando el lmite cuando (h 1, hz) - 4 OYobservando que de la condicin establecida en la definicin para el residuo r(h 1, h se deduce que vernos que lo cual significa precisamente que la funcin Veamos ahora algunos ejemplos. Ej<,mlplo 1. La funcin 1 es continua en (xo, Yo) Q.E.D. 1: U ~ ]Rz -4 IR xy I(x, y) = { ~z + y2 si (x, y) i= (O, O) si (x, y) = (O, O) (ver ejemplo 6 seccin 4) no puede ser diferenciable en el origen, pues aunque las dos derivadas parciales de la funcin existen en ese punto (son ambas iguales a cero), sta es discontinua en ese punto. Por el teorema anterior, la funcin no es diferenciable en (O, O), de lo cual tambin podemos convencemos directamente de la definicin, escribiendo 1(0, O) + (h l , h z) = 1(0, O) + (O)(h) + (O)h z + r(h l , h 2 ) de donde y r(h , hz) II(h l , hz)11 Tomando lmite cuando (h 1, h z) - 4 (O, O) obtenernos , 1 1m (h,h 2)->(O.O) hlh2 (hr + hD 3 / 2 = ---; h=h2 1 72 Captulo 2 Funciones de varias variables ._--------_. lmite que no existe. Ejemplo 2. Una funcin polinomial f: ~2 -> R f(x, y) E~j=o ajjx i yj es diferenciable en todo punto (xo, YO) E ~2. Este es un hecho de verificacin directa de la definicin, que requiere de algunas cuentas que dejamos al lector. Por simplicidad, verifiquemos esta afirmacin con la funcin f(x, y) = xl en el origen. Escribiendo f(O, O) nos queda de donde + (h, h 2) = feO, O) + -(O, O)h l af ax af + -(O, 0)h2 + r(h, 11 2) ay (h,h2)~(0,0) 11m , (hf + hD 3/ 2 hlh~ o 11 2 =r sen e h=rcos - - - , = lm r 2 cos ---loO esen 2 e = o -> ~, tal como lo requera la definicin. Verifiquemos tambin la diferenciabilidad de la funcin polinomial f: en un punto arbitrario (xo, yo) E . Tenemos f(x, y) = + o sea de donde 11 2 ) j, == hj + h~, y entonces , 1m 1 (I,h)-.(O,O) ---- hf + h~ (hf + hD 1/2 = lm (l1,h2)-;'(0,0) (h1 + D I / 2 =O no es diferenciable en el Ej~m]plo 3. La funcin f: n;t2 -> ~, dada por f(x, y) = x2 origen. En efecto, las derivadas parciales %f (O, O) Y %f (O, O) seran J + y2 af (O, O) ax = lm f(h, O) - feO, O) = lm ~ h-,O h h-,O h (de igual modo para O que es un lmite no existente (pues Imh-;.O+ l~ = l Y lmh_.. o- ~ = -1). Entonces, siendo la existencia de las derivadas parciales en el punto p una condicin necesaria x 2 + y2 no es para la diferenciabilidad de la funcin en p, concluimos que la funcin f(x, y) = diferenciable en el origen. %feo, J Despus de ver estos ejemplos, se podra presentar un panorama desconsolador si se piensa en la diferenciabilidad de una funcin de varias variables como una propiedad muy restrictiva de difcil 2.6 Diferenciabilidad 173 verificacin. Esto podra, en algn sentido, ser cierto. Sin embargo, nuestro objetivo ser poder desarrollar cierta "intuicin en torno a la diferenciabilidad de funciones de varias variables" que nos permita "detectar a priori" las funciones no diferenciables. Esta intuicin tiene que ver en parte con los siguientes teoremas que estudiarenos y en parte con la idea geomtrica de la diferenciabilidad que veremos en la seccin 10. Debemos, sin embargo, decir que las funciones con las que trabajaremos en este libro sern, a menos que se enfatize lo contrario, diferenciables en todo su dominio. Como era de esperarse, la suma, el producto y el cociente de funciones diferenciables son tambin una funcin diferenciable (como ocurre con las funciones de una sola variable). He aqu el contenido del siguiente teorema. Teorema 2.6.2 Sean f, g: U S;;; IR" - t IR dos funciones definidas en el conjunto abierto U de IR", diferenciables en p E U. Entonces: a. b. c. la suma f en p. + g: U S;;; IR" -+ IR, (f -t + g)(p) = f(p) + g(p) es una funcin diferenciable el producto fg: U S;;; IR" si g(p) IR, (fg)(p) = f(p)g(p) es una funcin diferenciable en p. U S;;; IR" -t 1':. 0, el cociente L : g IR, (L)(p) g = f(p) es diferenciable en p. g(p) Dcmostr;aci,n. (opcional) La demostracin de los 3 incisos es similar. Presentaremos slo la del inciso b en el caso 11 == 2. Escribamos el punto p como p = (xo, Yo). Debemos probar que el residuo r(/ l. /2) definido por la expresin tiene la propiedad (h l .h 2 )-(O.O) , m 1 r(/ 1, h 2 ) i1(h, h2 )11 = O Si vemos que (ver ejercicio 37 de la seccin 4) a ax(fg) = ag af fax +gax' a -(fg) ay = f - + gay ay ag af nos queda, escribiendo p = (xo, Yo), h = (h l , h2) expresin que podemos reescribir como r(h l , h 2 ) = g(p + h)(J(p + h) - f(p) - -(p)h] - -(p)h 2 ) ag ag ) g(p) - -(p)h] - -(p)h 2 af ax af ay + f(p) ( g(p + h) - ax ay + ax(p)(g(P+h)-g(p)h l + a/ P)(g(P+h)-g(p)h 2 af af 1 74 Captulo 2 Funciones de varias variables de donde h h) f(p r ( 1, Z ,.,-----------:7 l, II(h hz)11 = g ( p + h) + h) - uf f(p) - -;-(p)h l uX - -'1 (p)h z ( uf y II(hl. hz)11 g(p + h) - g(p) -(p)h l ug UX -(p)h z ug + f(p) + ux (p) uf ( g(p lI(h l , hz)II uy + h) - g(p) II(h h1 l hz)11 + uy (p) uf ( g(p + h) - g(p) ) h 11(111, hz)11 z Al tomar el lmite cuando (h l , h z ) -> (O, O) vemos que los dos primeros sumandos tienden a cero pues las funciones f y g son, por hiptesis, diferenciables en p (los segundos factores de cada uno de estos sumandos definen los residuos --divididos por Ilhll- de las funciones f y g respectivamente). Por otra parte, como para todo (h l , I1 z) E ]Rz no nulo (es decir, estas expresiones se mantienen acotadas cerca del origen de ]Rz), y como g es diferenciable en p, es continua en p (teorema 2..l), entonces h-,O Im(g(p + h) - g(p)) = O -> por lo cual tambin los dos ltimos sumandos tienden a cero cuando h queramos. O. Esto muestra lo que Para el caso de la composicin de funciones, tambin es cierto que si componemos la funcin f: U <;;:: ]Rz -> ]R diferenciable en el punto p = (xo, Yo), con la funcin g: J <;;:: IR -, IR (donde J es un conjunto abierto de ]R que contiene al rango de f) diferenciable en f(xo. Yo) E !, entonces la composicin g o f: U <;;:: ]Rz -> ]R, ser diferenciable en p. Este es un punto que se discutir con ms amplitud en el siguiente captulo. Ejemplo 4. -> ]R dada por f(x, y) = ::~t~:;11 es diferenciable en todo el espacio z, pues es el cociente de dos funciones polinomiales que, como se vio en el ejemplo 2, siempre son ID: La funcin f: IR z diferenciables (y adems la funcin del denominador siempre es no nula). 2 11 Ejemplo 5. La funcin f: ID:z -> ID: dada por f(x, y) = e-(X +/) es diferenciable en todo el espacio ]R2, pues es la composicin de la funcin <p(x, y) = x 2 + l que siempre es diferenciable, 111 con la funcin fJ(x) = e-x que tambin lo es. Ejemplo 6. La funcin f: ID:2 -> ]R dada por f(x, y) = x sen IX + ~ +x + (l - xy + 1) cos(x 2 + /) es diferenciable en todo (punto de) el espacio ID:2, pues est formada por sumandos, productos. 111 cocientes y composiciones de funciones diferenciables. 2 .6 Diferenciabilidad 175 La situacin en el caso de funciones de n variables f: U ~ ]R" -> ]R definidas en el conjunto abierto U de ]R" es completamente anloga: la funcin ser diferenciable en el punto "o E U si se presentan las derivadas parciales U;(xo), i = 1, 2, ., ., n y si el residuo r(h) definido como " af I f("o + h) = f(xo) + '" -("o)h; + r(h) ~ax' ;=] (donde h = (h], h z, ... , h,,) E ]R" es tal que "o +h E U) tiene la propiedad de que La diferenciabilidad de la funcin f en "o implica su continuidad en ese punto. Cuando una funcin f: U ~ ]R" -> ]R definida en el conjunto abierto U E ]R" es diferenciable en todo punto de su dominio, decimos simplemente que es "diferenciable". Discutamos, por ltimo, qu papel que juegan las derivadas parciales de una funcin f: U ~ ]R" -> ]R en un punto "o E U con la diferenciabilidad de la funcin en este punto. Como hemos visto, el hecho de que haya tales derivadas no garantiza que la funcin sea diferenciable. Sin embargo, el siguiente teorema nos dice que si las derivadas parciales de la funcin (existen y) son continuas en el punto "o, entonces s podremos concluir la diferenciabilidad de la misma en ese punto. Cuando decimos que la derivada parcial U; de la funcin f respecto de su i-sima variable, es continua en el punto "o, nos estamos refiriendo a que la funcin U;: D~ JR" -> ]R, definida en D~ U, 1 que a cada punto "o E D le asocia la derivada parcial U; ("o), es continua en "o, es decir que , af 11m -(xo ax; h-->O + h) = -'("0) Bx; af La continuidad de funciones de varias variables es un concepto que fcilmente se maneja de manera intuitiva: nos resulta fcil -en general- decidir a priori cundo una funcin es continua o no lo es. Muchas de las funciones con las que trabajamos en la prctica son funciones cuyas derivadas parciales "se ven" como funciones continuas. Con la ayuda del siguiente teorema, podremos concluir entonces que tales funciones son diferenciables. Teorema 2.6.3 Sea f: U ~ ]R" -> ]R una funcin definida en el conjunto abierto U de]R". Si las funciones (derivadas parciales) U;: D ~ ]R" -> R i = 1, 2, ... , n, D ~ U, son continuas en el punto "o E D, entonces fes diferenciable en "o. Demostracin. (opcional, caso n = 2). funciones Sea entonces la funcin f: U ~ ]Rz -> ]R tal que las I Esta funciones podran no estar definidas en todo el conjunto abierto U, pero deben estarlo al menos en una bola abierta con centro en XQ --contenida en U-, denotada por . Por ejemplo, considere la funcin f:]R2 -+ IR dada por f(x. y) = x l/3 + yl/3. Sus derivadas parciales son = ~ x- 1/3 , = ~ y-1/3 Aunque f est definida en todo 1R2 , sus parciales no lo estn. * * 1 76 Captulo 2 Funciones de varias variables ---------------------- sean continuas en el punto (xo, YO) E . Consideremos el residuo Queremos ver que Escribamos la expresin del residuo como r(h], h2) = (xo + h], Yo + h 2) - (Xo,Yo + h2) + j(xo, Yo . + 112) - (xo, YO) - -(xo, Yo)l1] - -(xo, Yo)h 2 a ax a ay Si consideramos la funcin <p(x) = (x, Yo+h 2 ) (que es diferenciable en Xo -por qu?) y aplicarnos el Teorema del Valor Medio (Lagrange) en el intervalo [xo, Xo + 11]] obtenemos que existe un nmero el E [0,1] tal que ,p(xo + h 1) - <p(xo) = o sea (xo + 11 1, Yo + h2 ) - (xo, Yo + h2 ) = ~jl; (xo + eh, Yo + 11 2 )11 1 0:= - Del mismo modo, al aplicar el Teorema del Valor Medio en la funcin o/(Y) [Yo, Yo + 11 2 ] obtenemos que (xo, Yo (:to, y) en el intervalo + 11 2 ) -- (xo, Yo) donde 82 es un nmero entre y l. Entonces Al dividir por la norma del vector (h 1, h 2 ) obtenemos Observemos que -&-<1 'V(h], h 2 ) t11 (h], h 2 ) 1 I -- (O, O), i = 1, 2. 2.6 Diferenciabilidad 177 y que, debido a la continuidad asumida de las derivadas parciales en (xo, Yo), cuando (h 1, h 2) - t (O, O) los dos corchetes de la expresin anterior tienden a cero, obtenemos finalmente que lo que nos dice que la funcin f es diferenciable en (xo, Yo). Q.E.D. Ejemplo 7. Las derivadas parciales de la funcin polinomial f:]R2 - t R f(x, y) = L'1,].Q;]'x i tambin son funciones polinomiales. Como stas son continuas, entonces la funcin f es diferen11 ciable, como ya se haba dicho en el ejemplo 2. Ejemplo 8. La funcin f(x, y) = 2 i, e-(x +/) tiene por derivadas parciales a 2 af _ - - - 2xe _(x +/) ax que son funciones continuas. Entonces fes diferenciable (Ver ejemplo 5). Ejemplo 9. parciales a La funcin f:]R3 -t ]R dada por f(x, y, z) = cos(x + l + Z3) tiene por derivadas af - =Jx sen (x + y2 + z 3 ) af 2 af = -2ysen(x + y 2 + z 3 ) ay -- = -3z sen(x az + . 2 + z3) y que son funciones continuas. Entonces f es diferenciable. Secicin 6) Para cada una de las funciones dadas en los ejercicios 1-10, escriba la expresin del residuo de la definicin de diferenciabilidad en el punto en cuestin, Pruebe que la funcin es diferenciable. 1. f(x, y) 2. f(x, = 5, P = (xo, Yo) y) = 3x, p = (xo, Yo) 3. f(x, y) = 8y, p = (xo, Yo) 4. f(x, y) = 4x 2 10y, P = (xo, Yo) (1,2) 5. f(x, y) = 3x + 9y2, p = 6. f(x, y) = 4x 2y3, P = (1, 1) 7. f(x, y) = x sen y, p = (O, O) 8. f(x, y, z) = x 3 9. f(x, y, + 3y2 + Z2, P = (2,1,1) (1,0,1) z) = xlz 3 , P = 1 78 Captulo 2 Funciones de varias variables 10. f(x, y, z) = +y+z, P = (0,0, O) ]R dos funciones definidas en el conjunto abierto U de ]Rn, diferenciables 11. Sean f g: U en p <;;:; ]Rn --+ = (xo, Yo) E U. a. b. Demuestre que la funcin suma una funcin diferenciable en p. Demuestre que si g(xQ, Yo) g(x, y) f + g: U c;;: ~n --+ IR, (f + g)(x, y) = f(x, y) + g(x, y) es --+ 1= 0, la funcin cocientei: U <;;:; ]Rn IR, (i) (x, y) f(x, . - - y) es d'" l!erenCIa bl e en p. En los ejercicios 12-15, utilice los resultados establecidos en el teorema 2.6.2, junto con el hecho de que "composicin de funciones diferenciables es diferenciable", para argumentar por qu las funciones dadas son diferenciables (en todo su dominio). 12. f(x, 13. 14. y) = In(1 + x 2 + y2) f(x, y) = 4 sen 2(x f(x, y) = + y) cos2(x - y) 1 + tanhx 1 cos 1 y 15. f(x, y) = arctan l+x+v ~ l-x-y Sea g:]R --+ ]R una funcin diferenciable definida en lIt Para cada una de las funciones z = f(x, y) dadas en los ejercicios 16-20, diga dnde estn definidas y si son diferenciables (en su dominio). 16. f(x, y) = 4g(x) 17. f(x, y) + 7g(y) 18. f(x, y) = xyg(x)g(y) = g(x)g(g(y + g(y)g(g(x 19. (x, y) = 1+ g2(x) + xg(y)g(g(g(x))) g(y) 20. f(x, y) = g(xg(y 21. Concluya de nuevo la diferenciabilidad de las funciones de los ejercicios 12-15, calculando sus derivadas parciales y aplicando el teorema 2.6.3. 22. Considere la funcin f:]R2 --+ f(x, y) = Ixl + yl. Qu aspecto tiene la grfica de f? Demuestre que esta funcin no es diferenciable en el origen. En qu otros puntos no es diferenciable? 23. Sea f: U <;;:; ]R2 -> ]R una funcin definida en el conjunto abierto U de]R2 y sea p = (xo, Yo) E U. Suponga que el lmite lm(x.y)~(xo.yo) f(x, y) no existe. Demuestre que f no es diferenciable en p. 24. Sea f: U <;;:; ]R2 --+ ]R una funcin definida en el conjunto abierto U de ]R2 y sea p punto frontera de U. Demuestre que f no es diferenciable en p. <;;:; ]R2 --+ = (xo, Yo) un 25. Sea f: U ]R una funcin diferenciable definida en el conjunto abierto U de ]R2. Demuestre que f es continua en cualquier punto p E U, en la direccin de cualquier vector v E ]R2 (ver ejercicio 81 de la seccin 3). 2.6 Diferenciabilidad 179 26. Sea f: U <;;; JR.2 -+ JR. una funcin definida en el conjunto abierto U de JR.2 y sea p = (xo, Yo) un punto de U. Suponga que hay un vector v = (a, b) E JR.2 no nulo para el que la derivada direccional de f en p, en la direccin de v. no existe. Demuestre que f no es diferenciable en p. 27. (A manera de recapitulacin: qu implica qu?). Sea f: U <;;; JR.2 -+ JR. una funcin definida en el conjunto abierto U de JR.2, Y sea P un punto de U. A continuacin se dan 8 afirmaciones sobre la funcin f. a. b. c. d. e. r. g. h. tiene derivadas parciales continuas en alguna bola B contenida en U con centro en p. Llene el siguiente cuadro, indicando con una V en la lnea i y columna j, cuando la afirmacin de la lnea i implique la afirmacin de la columna j, y con una F cuando no la implique. Por ejemplo, la afirmacin a implica la afirmacin r, pero la afirmacin f no implica la a. Estas respuestas ya aparecen en la tabla. f f f f f f f f es diferenciable en p. es continua respecto de su primera variable en p. es continua respecto de su segunda variable en p. es continua en p en la direccin de algn vector v E JR.2. es continua en p en la direccin de todo vector v E JR.2. tiene derivadas parciales en p. tiene derivadas direccionales en p en la direccin de cualquier vector v E JR.2. a b ed ! e I a b f V g h e el e T g h F 28. En este ejercicio se muestra que la afirmacin recproca del teorema 2.6.3 es falsa. Es decir, el hecho de que la funcin f: U <;;; JR.2 -+ JR. sea diferenciable en el punto p = (xo, Yo) E U, no implica que las derivadas parciales de f sean continuas en p. Considere la funcin f: JR.2 -+ JR. (x { 2 f() = x, y + y2 ) sen J x2 1+ y2 si (x, y) =1=- (O, O) l si (x, y) = (O, O) a. Demuestre que las derivadas parciales de esta funcin estn dadas por af = af, af : JR.2 ax ay =1=- -+ JR. { { ax 2x sen / x2 + y2 _ x cos l / x2 + y2 / x2 + y2 si (x, y) (O, O) si (x, y) = (O, O) - af ay = 2y sen / l x2 + y2 - Y cos l /x2 + y2 / x2 + y2 si (x, y) =1=- (O, O) si (x, y) =(0,0) 1 80 Captulo 2 Funciones de varias variables b. c. Demuestre que las derivadas parciales de f son discontinuas en el origen, probando que el lmite de ellas cuando (x, y) tiende a (O, O) no existe. Constate que el residuo de la defincin de diferenciabilidad aplicada a f en el origen se ve como d. Demuestre que y concluya entonces que la funcin es diferenciable en el origen. 29. Sea f: U ~ ]R" -> ]R una funcin definida en el conjunto abierto U de JR.ll, Y sea Xo E U. Considere la funcin p: B -> JR. definida en una bola de JR." con centro en 0, dada por f(xo + h) = f(xo) + '""" --(xo)h + p(h)llhll L..t Jx. i=1 1 II df Demuestre que la funcin f es diferenciable en Y lmh->o p(h) = O. AO si y slo si la funcin p es tal que p(O) = O, 30. Detennine la funcin p(h) del ejercicio anterior para cada una de las funciones de los ejercicios 1-10. Verifique nuevamente que las funciones dadas en estos ejercicios son diferenciables (en los puntos indicados). 31. (Un breve curso "hgalo usted mismo" sobre funciones de variable compleja. parte diferenciabilidad). En este ejercicio trabajaremos con el conjunto de nmeros cOlnplej()s e = {x + iylx, y E R i 2 = --I}. Recordemos primeramente algunos hechos bsicos sobre este conjunto. Dado el nmero complejo z = x + decimos que x es su parte real, y que y es su parte imaginaria. Se escribe x = Re z, y= 1m z. Dos nmeros complejos Z y 22 se dicen ser iguales, lo cual se escribe como 2 = 22, si tienen la misma parte real y la misma parte imaginaria. Se define el mdulo del nmero complejo 2 = X + iy, denotado por Izl, 2 + y2. Dado el complejo 'l = + iy, se define su conjugado, denotado por Z, como Izl= como z = x - iy. En el conjunto e se introducen las operaciones de suma y producto de la siguiente manera: si 21 = Xl + iYI, 22 = X2 + iY2, entonces Zl + 22 = (Xl + X2) + i(YI + Yl), 2122 = (X]X2 - Y1Y2) + i(XIY2 + XlYI)' Se demuestra que te con estas operaciones forma un campo. Esto se comprobar en el primer inciso de este ejercicio, en el cual, adems, se recuerdan algunos resultados elementales sobre el manejo algebraico con nmeros complejos. Jx x a. Sean z, 21, 22, 23 nmeros complejos, ya, b, c nmeros reales. En el inciso a8 se probar que todo z E C,2 ::J O, tiene un inverso multiplicativo 2- 1 , tal que 'le I = l. Defina el cociente del complejo 21 entre el complejo 22 (no nulo), denotado por II o 21/22, como <2 2 I Z.l. Demuestre que: al. 21 a2. a3. a4. ZI + Z2 = 22 + ZI + (22 + 23) = (21 + 22) + 23 2 + O = 0, en donde O == + iO dado 2 E te, existe -2 E e tal que z + (-2) = 2.6 Diferenciabilidad 181 aS. Z1Z2 = Z2Z, a6. a7. a8. Z,(Z2Z3) = (Z,Z2)Z3 Iz = z, en donde l = l + iO = 1 dado Z E C. z =1= O. existe e' tal que Z-IZ a9. z(z, alO. aH. a12. a13. b. a14. Identifique el nmero complejo z = x + iy, como el punto del plano JR2 cuyas coordenadas son (x, y). Pensando en esta identificacin es que hablaremos del "plano complejo". Describa los siguientes conjuntos de puntos en el plano complejo: + Z2) = ZZ + ZZ2 Izl = Itl zZ = Izl 2 IZ21 = IzlItl IzI/z21 = Izd/lz21 IZI + z21 ::; IZII + IZ21 M. b2. b3. M. {z E e 1 Rez = O} {z E e 1 1m z = I} {z E e! Re z > O} b5. b6. b7. c. {Z E e {z E e {z E e {z E e 11m z < Re z} Ilzl == } Ilzl ::; l} Ilzl 2: I} Sea ZO un complejo dado. Defina la bola abierta con centro en Zo y radio r > O, denotada por B(zo, r) como el conjunto {z E Ilz - zol < r}. Identifique geomtricamente este conjunto en el plano complejo. e d. c. Un subconjunto U de se dice ser abierto, si para cada z E U existe una bola B(z. r) tal que B(z. r) e U. De los conjuntos dados en el inciso b, diga cules son abiertos. Una funcin del tipo f: U ~ C. que a cada nmero complejo z de su dominio U ~ le asocia un nmero complejo f(z) E bien determinado. se dice ser unafuncin (compleja) de (una) variable compleja. Demuestre que existen funciones reales u, v: U ~ e -; JR, tales que f(z) = u(z) + iv(z). Si consideramos el dominio de estas funciones como parte del plano R.2, podemos decir que las funciones u, v: U ~ JR2 -; JR son tales que f(x + iy) = u(x. y) + iv(x, y). Ntese entonces que u y v son del tipo de funciones que hemos estudiado en este captulo. A u se le llama la parte real de f, y a v se le llama la parle imaginaria de f. Identifique las funciones u y v para cada una de las funciones de variable compleja dadas a continuacin: e e -; e e el. f(z) =z e2. I(z) = Z2 eJ. e4. eS. 1 f(z) = -, z i= O z f(z) = (3z + 2)2 f(z) f(z) =2 = Izl e6. 1 82 Captulo 2 Funciones de varias variables f. Sea f: U ~ C --+ C, f = u -r iv, una funcin del1nida en el conjunto abIerto U de C. Sea ZO un punto de U. Se dice que el lmite de f, cuando z tiende a Zo, es L( E C), lo cual se escribe como lm z-. zo fez) = L, si dado E > 0, existe i5 > 0, tal que si < jz - zol < 8, entonces If(z) - LI < E. Demuestre que si f es una funcin polinomial, es decir, es una funcin del tipo fez) = a"z" + ... + alZ + ao, entonces lm z -. zo f(z) = f(zo). Ms an, demuestre que este resultado es cierto para funciones racionales, es decir, funciones que son cocientes de dos funciones polinomiales, con Zo en el dominio de la funcin. Calcule: fl. lm z-.(I+i) Z2 n. n. g. z-.I Z - Z2 + 3 lm-2i z->(I+;) Im Z3 - Z 2 3z + 2 + 41. Sea f: U ~ C --+ C una funcin definida en el conjunto abierto U de C. Sea Zo E U. Se define la derivada de la funcin f en Zo, denotada por t(zo), como el lmite cuando se da este lmite. Escriba fez) = u(x, y) + v(x, y), Zo = (xo, Yo) = >:0 -t- Yo, h = (h l , h 2 ) = h l + ih 2 . Demuestre que t(zo) se puede escribir como a + ib, donde a h. = h->O , u(zo 1 1m + h) .- u(zo) h , b= hm - - - h-.O h , vezo + h) - vezo) Considere el primero de los lfmites del inciso anterior a = Ifm h->O _.c........ !l(ZO + h) - _u(zo) h Ponga h = (h 1, O) = h 1 E JR. Demuestre entonces que a = hm , u(xo + h , Yo) hl - u(xo, Yo) h->O = -(xo. Yo) ax au Ponga h = (O, h 2 ) = ih 2 . Demuestre i. Considere el segundo de los lmites del inciso g b Ponga h = Im h->O vezo + h) h vezo) = (h]. O) = h] E IR. Demuestre entonces que , v(xo+hl.yo)-v(xo,Yo) b= 1 1m h->O h -= - ax aVe xo, Yo ) 2.6 Diferenciabilidad 183 Ponga h = (O, h 2) == ih 2. Demuestre b= 1 1m , v(xo, Yo + h2) 112 h~O ./ v(xo, Yo) == -;-(xo, Yo) = -I-(XO, Yo) 1 1 av . av ay ay j. Use los resultados de los dos incisos anteriores para demostrar que f'(zo) se puede escribir como y como .au . -I-(XO, Yo) ay .av + 1.( -I~(XO, Yo) ) ay = -(Xo, Yo) - i-(xo, Yo) av ay au ay Concluya entonces que si f'(zo) existe, se deben cumplir las igualdades au av ax (xo, Yo) = ay (xo, Yo) av au ax (xo, Yo) = - ay (xo, Yo) Estas se llaman Ecuaciones de Cauchy-Riemann. En el siguiente inciso se establecen de nuevo estas ecuaciones siguiendo la idea de diferenciabilidad de funciones estudiada en esta seccin. k. e ..... e, definida en el conjunto abierto U de e, es diferenciable en zo f(zo+ h) = f(zo) Reconsiderando la definicin establecida en el inciso g, diremos que la funcin f: U ~ E U, si existe un nmero complejo 1'(zo) = a + ib, tal que definiendo r(h) como + 1'(zo)h + r(h) se tiene h-+O lm r(h) h =O Xo + Yo, h h + ih 2 , Poniendo fez) = u(x, y) + iv(x, y), zo = (xo, Yo) r(h) = r(h) + ir2(h), demuestre que podemos separar las partes real e imaginaria de = = la expresin anterior y escribir entonces que u(zo vezo + h) = u(zo) + ah - bh 2 + r(h), , h-+O r (h) donde hm -hh-+O = + h) = vezo) + bh + ah 2 + rlCh), , r2(h) donde hm -h- = Concluya entonces que si la funcin compleja fes diferenciable en Zo, las partes real u(x, y) e imaginaria v(x, y) de f son funciones diferenciables (segn se estudi en esta seccin). Comparando las dos expresiones anteriores (los coeficientes a 'y b que multiplican a las coordenadas de h), concluya que se debe tener au av a == ax (xo, Yo) = ay (xo, Yo) av au b = -(xo, Yo) = --(xo, Yo) ax ay 1 84 Captulo 2 Funciones de varias variables Estas son las ecuaciones de Cauchy-Riemann establecidas en el inciso anterior. 1. Si la funcin f: U <;:;; e .--, e es diferenciable para todo z E U, se dice que es diferenciable (en U), o bien, que es unafuncin holomorfa. El cumplimiento de las ecuaciones de CauchyRiemann en un punto ZO son entonces una condicin necesaria para que la funcin f sea diferenciable en zo. El siguiente ejemplo muestra que el cumplimiento de estas ecuaciones no es suficiente para garantizar la diferenciabilidad de la funcin: sea f: e .--, e la funcin 4 definida como fez) = Z5 /Iz 1, si z f=- O, feO) = O. Demuestre que esta funcin satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en z = 0, pero que no es diferenciable en este punto (es decir, f'(O) no existe). m. Aplique las ecuaciones de Cauchy-Riemann para demostrar que la funcin f(z) = diferenciable en punto alguno. n. o. z no es Demuestre que la funcin fez) = z Re z es diferenciable solamente en el punto z = O. Verifique que las siguientes funciones satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todo punto de su dominio: 01. 02. f(z) = Z2 fez) = Z3 03. ! fez) = - z p. 04. fez) = (4z + i)2 Se puede demostrar que si la funcin f: U <;:;; e .--, e es tal que sus partes real e imaginaria ti, v: U <;:;; ]R2 .--, ]R son funciones de clase Q6J y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en un punto Zo E U Yen una bola abierta con centro en zo contenida en U, entonces la funcin f es diferenciable en Zo. Use este hecho para conc!ur que las funciones de! inciso anterior son diferenciables en todo su dominio (es son funciones holomorfas). (Este ejercicio continuar en el ejercicio 34 de la seccin 12 de este captulo). UUerencl:aln.UC12IC1 y Retomemos la discusin sobre derivadas direccionales que se present en la seccin 2.5. En esa seccin se calcularon las derivadas direccionales de las funciones utilizando solamente la definicin ah presentada de ese.concepto. A partir de esta seccin las funciones con las que vamos a trabajar son (como ya dijimos) diferenciables -a menos que se indique lo contrario--. En tal caso, el clculo de derivadas direccionales es mucho ms amable, sin hacer uso de la definicin. Tomemos la funcin f: U <;:;; ]Rn .--, ]R diferenciable, definida en el conjunto abierto U de ]Rn. Sea "o E U Ysea v E ]Rn el vector (unitario) en cuya direccin queremos calcular la derivada de la funcin f en el punto "o. Siendo f diferenciable en "o se tiene que el residuo r(h) definido por la expresin n Jf f(xo + 11) ...:. f("Ko) = -h; + r(h) Jx; ;=1 tiene la propiedad de que 2.7 Diferenciabilidad y derivadas direccionales 185 Escribamos el vector h = (h 1, h2 , .. , hn ) E lR n como h = ty, t E lR (con t suficientemente pequeo para que ty E U). Entonces h = tv donde v = (Vio V2, ... , vn)' Nos queda entonces que f(xo + tv) - f(xo) = '" -(xo)(tv;) + rUv) L..- ax. =I I n af de donde f(xo + ty) - f(xo) :n af rUv) -------"-- = -("o)v; +-t =l ax t Ntese que decir h -; O equivale a pedir que t -; O. Adems 111111 = Iltvil = Itlllvll = Itl pues el vector v es un vector unitario. Entonces si se toma lmite cuando h -; O (es decir, cuando t -; O) en la ltima expresin, nos queda (teniendo en cuenta que los primeros sumandos del 2 miembro no dependen de h ni de t) lm f(xo hO + tv) - f(xo) = t. t af (xo)v lm r(h? h->O ;=1 aX Ilhl! El lmite que aparece en el 2 miembro es igual a cero, pues la funcin f es diferenciable. En el primer miembro aparece la definicin de la derivada de la funcin f en el punto "o en ladireccin del vector v. Tenemos pues que af iI af -(xo) = av : -(xo)\I ax =1 (D) y as, con esta sencilla frmula, podemos calcular las derivadas direccionales de la funcin f. Ejemplo 1. v = (cos e, Retomemos el ejemplo 1 de la seccin 5. Se quiere calcular la derivada de la funcin + y2 en un punto arbitrario (x, y) E lR2 en la direccin del vector sen ()). Segn la frmula (D) tenemos f:]R2 -; lR, dada por f(x, y) = x 2 - =- af av af af cos e+ - sen () = 2x cos () ax ay + 2 y sen e De igual forma, en el ejemplo 3 de la seccin 5 se consider la funcin f:]R3 -; lR, dada por f(x, y, z) = 2x 3 + 7y2 + 9z 2 y se quera calcular su derivada direccional en un punto arbitrario (x, y, z) E ]R3 en la direccin del vector unitario v = (a, b, c) E lR 3. Se tiene entonces - af av = -a af ax + -b + -c = af ay af az 6x-a + 14yb + 18.::c ) tal como se obtuvo en aqulla ocasin. Se quiere calcular la derivada de la funcin f:]R2 -; lR, f(x, y) = sen(x 2 + y2) en el punto p = (l, 1) en la direccin que va de ste punto al punto q = (3,2). Segn la frmula (D) todo lo que necesitamos son las derivadas parciales de la funcin f calculadas en p y las coordenadas del vector unitario v que marca la direccin en que se quiere calcular la derivada. El Ejemplo 2. 1 86 Captulo 2 Funciones de varias variables vector ti = q - p = (3,2) - (1, 1) ser (normalizando al vector u) = (2, 1) est en la direccin deseada, de modo que el vector v v = M= ti y's(2, 1) = 1 (2 y's 1) y's' - Por otra parte, las derivadas parciales de la funcin son - al ax = 2xcos(x 2 + /), al ay = 2ycos(x 2? + y-) las cuales, evaluadas en p son al (1, 1) = ax 2 cos 2, - al (1, ay 1) = 2 cos 2 Entonces aL 1 al ' 1 " . -\0" 1) = -\0' l)V + av ax = (2COS2)( al -ay (l., l')V2 5s) + (2COS2)( 5s) = -- 6 cos2 y's Ejemplo 3. Consideremos ahora la funcin f: jR2 -; R J(x, y) = + l, y fijemos nuestra atencin en el punto (1, 1, 2) de la superficie que representa (un paraboloide con vrtice en el origen que abre hacia arriba). La curva de nivel de z = + l que "pasa por (corresponde al nivel 2) es la circunferencia x 2 + l = 2. Queremos calcular la derivada de la funcin J en el punto = (1, 1) --el cual pertenece a la curva del nivel 2- en la direccin de la tangente a la curva x 2 + === 2 en ese punto. Es decir, queremos calcular la derivada de la funcin J en el punto p en la direccin de la curva de nivel que contiene a p. y ..--r--." / ' direccin en la cual se quiere calcular la derivada de f en p ------- p = (1, 1) ! x Figura 1. Grfica de la tangente a la curva de nivel en el punto p. 2.7 Diferenciabilidad y derivadas direccionales 187 Un vector unitario en la direccin requerida es v = (-12/2,12/2). (Cmo se obtiene? Fcilmente: la direccin buscada debe ser ortogonal al punto p del crculo x 2 + l = 2; un vector ortogonal a O, 1) es cualquier vector (x, y) que satisfaga que su producto punto con (l, 1) sea cero -condicin de ortogonalidad-, i.e., x + y = O; por ejemplo el (-1, 1). Slo falta entonces hacerlo unitario, y as se obtiene el vector v = 11(-\.1)11 (-1. 1) = (-12/2, 12/2). Por otra parte, las derivadas parciales de la funcin f evaluadas en p son: -O, af ax l) = 2, af O,l)=2 iJy de modo que la derivada de f en la direccin de v es af -'-(J, 1) = -(l, I)v] rJr av ax af + -(l, ay 1)v2 = 2 (12) + 2 (12) = O -2 2 Recapacitemos un poco en el resultado obtenido; si estamos en un punto de alguna montaa (digamos que nuestra superficie z = x2 + y2 "volteada") y caminamos sobre ella en una lnea de nivel levantada al punto en cuestin- por definicin de curva de nivel, los valores de Ja funcin no cambian durante el recorrido. Es decir. yendo por una curva de nivel, los valores de la funcin se mantienen constantes, y, por tanto, se espera que la derivada de la funcin en esa direccin -que mide la velocidad de la variacin de la funcin en ese punto en dicha direccin- sea cero, como ocurri en este ejemplo. Este es un hecho general que se demostrar posteriormente. Z y x Figura 2. Derivada direccional sobre la curva de nivel de un paraboloide. Generalizando este ejemplo, si p = (xo, Yo, e) es un punto cualquiera de la superficie z = x 2 + l (y entonces + = e) por el cual pasa la curva de nivel 2 + y2 = e (levantada a p), un vector ,\'Q, unitario en la direccin de la tangente a la curva en p es v = (- sen 80, cos 80) en donde tan 80 = .to de modo que la derivada de la funcin f en p en la direccin de v es x6 Y6 x 1 88 Captulo 2 Funciones de varias variables -(Xo, Yo) = -(Xo, YO)VI af af av ax + -(xo, YO)V2 ay + 2yo(cos (0) 2xo af = 2xo( - sen (0) = 2xo yo) ve ( ve + (yo) = O 2 2 tal como dijimos anterionnente que tena que ocurrir. Ejemplo 4. Consideremos la funcin f: IR;2 -> IR; dada por f(x, y) = e-(x ~y ). Sea v = (VI, V2) un vector unitario dado en el espacio IR;2. Calculemos la derivada de la funcin f en el origen en la direccin del vector v, las derivadas parciales son iJf ay de modo que en el origen ambas derivadas son nulas. Entonces iJ f (O, O) = Ov + OV2 av =O Es decir, la derivada de la funcin es cero. f en el origen, en cualquier direccin (el vector v fue arbitrario) La fnnula 7.1 se puede leer de manera vectorial si la identificamos como un producto punto de dos vectores: uno de ellos el vector unitario v que marca la direccin en la cual calcularemos la derivada de la funcin y el otro, el vector de IR;n cuya i-sima coordenada es la derivada parcial de la funcin f respecto de su i-sima variable, evaluada en el punto en en el que se est calculando la derivada direccional. Este ltimo vector jugar, a continuacin, un papel fundamental. El objetivo de la prxima seccin es presentarlo de manera formal y estudiar de sus propiedades. En este apndice vamos a estudiar un teorema que establece una relacin sobre cierto tipo de funciones llamadas homogneas, cuya demostracin tiene que ver con las ideas manejadas en esta seccin. Como siempre, nuestras funciones sern diferenciables. Sea f: U ~ IR;n -; IR; una funcin definida en el conjunto abierto U de IR;". Se dice que esta funcin es homognea de grado a (a como nmero real) si se cumple que fUx) = t a f(x), Vx E U, Vt >O Veamos algunos ejemplos. Ejemplo 1. La funcin f: IR; fUx) -> IR;, dada por f(x) = 3x es homognea de grado 1 pues = 3Ux) = t(3x) = tf(x), Vx E IR:, Vt > O Del mismo modo la funcin g: IR; -> IR;, dada por g(x) = IOx 2 es homognea de grado 2, y la funcin h: IR; -> IR;, dada por h(x) = 8x + 1, no es homognea. 11I 2.7 Diferenciabilidad y derivadas direccionales 189 Ejemplo 2. 3 pues La funcin f: JR2 ....... JR, dada por f(x, y) = 8x 3 + 3x 2y +5 y 3 es homognea de grado f(tx, ty) = 8(tx)3 + 3(tx)\ty) + 5(ty)3 = t 3(8x 3 + 3x2y + Sl) = t 3 f(x, y), -+ V(x, y) E IR?, Vt> O La funcin g: JR2 - {(O, O)} lR, dada por g(x, y) = sen -2--2 x 2 _y2 x +y es homognea de grado 0, pues g(tx, ty) = sen (tX)2 - (ty)2 (tx)2 = sen --=--::--;:- = sen -2--2 x +y x2 + (ty)2 -y2 O t 2(X 2 -y2) t 2(x 2 + y2) = t f(x, y), V(x, y) E JR2, Vt > O. La funcin h: JR2 ....... lR, dada por h(x, y) = 8xy + lOx3 + 1 no es homognea. Ejemplo 3. La funcin j: JR3 ....... JR dada por es homognea de grado 4, en tanto que la funcin g: JR3 g(x, y, z) = -+ JR dada por Z5 ijx 5 + 8x4 y + 15 xyz 3 + es homognea de grado 5/3. Las verificaciones son anlogas a los ejemplos anteriores y quedan como ejercicio para el lector. El resultado que queremos establecer en este apndice es el siguiente. Teorema (de Euler sobre funciones homogneas). Sea f: U ~ IRn -+ JR una funcin homognea de grado 01. definida en el conjunto abierto U de JRn. Sea Xo un punto no nulo de U, y sea v = 1T~ el vector unitario en la direccin de Xo. Entonces (si la derivada direccional al ~)v (xo) existe) Demostracin. Directamente de la definicin de derivada direccional: af (Xo) = lm f(xo av + tv) t f(xo) 1--->0 = lm 1-->0 = lm 1--->0 f( llxoll+t Xo )-f(Xo) Ilxoll f(xo f(xo) + t~) t t 1 90 Captulo 2 Funciones de varias variables Siendo homognea de grado O' tenemos que 1Ixoll+t) ( Ilxoll Xo = de modo que (lI xoII xll+ t"o )CX (xo) oll - (xo) t -(Xo) = a av 11m t~O Ilxoll + t )CX ,~-IIXo (xo) ( --"---'-'-.::.."-._~----- 1lxoll + t xo)CX _ l ( II = (xo) Im --'--.. . :.:. 11, _o-'C. _-'---_ t~O t Considere ahora la funcin .-p(x) = x cx Observe que de modo que IIxoll + t)CX 1 ( ,11"011- - - - = hm - - HO l --.-p I (l) t 11"011 O' = _._- Ilxoll y as lo que queramos probar. Corolario Sea : U ~ JRn ---> JR una funcin diferenciable, homognea de grado en el conjunto abierto U de JRn. Entonces Q.E.D. definida 0', a X- +X2~ a~ a + ... +xn - a a~ = O' (las derivadas parciales y la funcin estn evaluadas en un punto arbitrario x E U). 2.7 Diferenciabilidad derivadas direccionales 191 Demostracin. Si x E U, el vector v del teorema anterior lo podemos poner como v (iMf. li~II"'" !Mi), de modo que, segn la frmula (D) se tiene -(x) = uf av = XI uf X2 af X af - - + - - + ... +n- Ilxll UX Ilxll aX2 Ilxll UXn _1_ (XI uf + X2 a f + ... + XII af ) IIxll aXI aX2 UX n y entonces, por el teorema previamente probado se tiene de donde af uf x]- +X2UXI aX2 + ... +x lI - af = af aXn Q.E.D. Ejemplo 4. Con la funcin f del ejemplo 2, f(x. y) = 8x 3 + 3x 2y grado 3 se tiene + Sy3 que es homognea de af xux + y- uf ? 2 2 2 3 = x(24x + 6xy) + y(3x- + lsi) = 24x + 6x y + 3x y + lsi ay = 24x 3 + 9x 2y + lsi = 3(8x 3 + 3x2y + si) = 3f(x, y) tal como aseguraba el corolario anterior. E.leIlnplo5. x La funcin f(x, y) = -- es homognea de grado O. Se tiene y df af x-+y-=x ax ay y (1) ( -+ yX ) y2 como tena que ocurrir (segn el corolario previamente probado con a = O). Ejercicios (Captulo 2, Seccin 7) (*) 1 Sea f: U ~ ]Rn --> ]R una funcin diferenciable en U y sea u = (al. a2, ... , a ll ) E ]R" un vector no nulo (no necesariamente de norma 1). Defina la derivada de f en la direccin de u (en un punto cualquiera x E U), denotada por ~, como - af af = al au aXI + a2 - af aX2 + ... + a n - af aX n Demuestre que rt. ~ a(cu) a(u] = e af donde e es un nmero real no nulo. au =uU b. + U2) uf + -uf donde u], U2 E ]R" (ambos no son nulos). UU2 1 92 Captulo 2 Funciones de varias variables c. Si V = II~II es un vector unitario en la direccin de ti, entonces, segn el inciso a se tiene d. ~~ = TIthr %f. Es decir, la derivada direccional de f en la direccin del vector unitario v se determina "normalizando" (dividiendo entre la norma) la derivada direccional de [ en la direccin del vector ti el cual tiene la misma direccin que v. Por qu, si se trata de calcular la derivada direccional de f, teniendo ti y v la misma direccin, en el libro se ha definido esta derivada con el vector v unitario? La propiedad = 1I~1I %f (que se deduce de lo mostrado en el inciso a, ya haba sido probada en el ejercicio 16 de la seccin 5. Es decir, esta propiedad es vlida an para funciones no diferenciables (con tal de que sus derivadas direccionales existan). Es la propiedad del inciso b igualmente vlida con slo suponer que la funcin posee derivadas direccionales? * En los ejercicios 2-10, calcule la derivada direccional de la funcin dada en la direccin del vector indicado. 2. f(x, y) 3. = ax + by, en un punto p = (xo, Yo), en la direccin del vector ti = f(x, y) = x 2 + y2, en el origen, en la direccin del vector u = (a, b). (2,3). 4. f(x, y) = e-(xJ+y'), en el origen, en la direccin del vector u = (a, b). 5. [(x, y) = x 2 - y2, en el origen, en la direccin del vector u = (a, b). JI=- ti = (-2, 3). y', en el punto p = (1, 1, 1), en la direccin del vector u == (2, 7. f(x, y, z) = x 1). 6. f(x, y) = x sen y, en el punto p = (1, 71), en la direccin del vector 8. f(x, y, z) 9. = 6 - x 2 -y2- z1., en el punto p = (l, 2, O), en la direccin del vector ti =~ (0,0,28). [(x, y, z) = ax+by+cz+d, en el punto p = (xo, Yo, zo), en la direccin del veetan = (a, b, e). en la direccin del vector v 10. f(x. y, z) = X In y+ y In z + zln x, en el punto p = (l, L (a un nmero positivo = a, 11. Calcule la derivada direccional de la funcin f(x, y) = 5x2 y3 en el punto p = (1, 1) a. en la direccin del vector que va de p al punto (3, -2), b. en la direccin del vector que va de p al origen, c. en la direccin del vector tangente al crculo x 2 + y2 = 2 en p, d. en la direccin del vector p. 12. Calcule la derivada direccional de la funcin f(x, y) = x sen y en el punto (3, O), en la direccin del. vector tangente a la parbola y = x 2 en el punto (1, 1). B. Demuestre que la derivada direccional de la funcin f(x, y) = x ~y en los puntos del crculo x 2 + y2- 2y = 0, en la direccin de la normal a este crculo, es igual a cero. 2 2 14. Sea [(x, y) = x 2 + y2. En qu direccin es igual a cero la derivada de esta funcin en el punto (l, 1)?, En qu direccin es igual a cero la derivada de esta funcin en los puntos del crculo unitario x 2 + y2 = l? En cada uno de los ejercicios 15-19, se da una funcin f: U ~ IR. 2 -+ IR y un punto p E U. Compruebe que la derivada direccional de [ en p, en la direccin de (la tangente a) la curva de nivel que pasa por p (es decir, la curva f(x, y) = f(p es igual a cero. 15. [(x, y) = 3x - y, p = (2,5) 16. f(x, y) = 5x2 + 6y2, P = (-1, O) 2.8 Gradiente 193 17. j(x, y) 18. 19. = xy, p = (2, 3) j(x, y) = sen (x + y), p = (O, O) j(x, y) = eY, p = (O, O) 20. Considere la funcin j: R2 -+ lR cuya grfica es la superficie de revolucin z = j( x2 + y2). Sea p = (xo, Yo). Argumente por qu la derivada de j en p en la direccin del vector tI = 2 (- Yo, xo) debe ser igual a cero. Ejemplifique este resultado con la funcin j(x, y) = e-<x +il. (Nota: los clculos explcitos para este problema se podrn hacer cuando se haya estudiado cmo obtener las derivadas parciales de laJuncin j, lo cual se har en el siguiente captulo). Despus de comprobar que las funciones dadas en los ejercicios 21-27 son homogneas, verifique el teorema de Euler para este tipo de funciones, estudiado en el apndice de esta seccin (verifique tanto la frmula del teorema como la de su corolario). 21. j(x, y) =e 2 + by 23. j(x, y) = x + 5xy + l 22. j(x, y) = ax 24. j(x, y) = sen y x 25. j(x, y) = x+ 2 x-y 26. j(x, y, z) = x 3 + y3 + Z3 + xyz xy+ Z2 27. j(x, y, z) = xy In ---:.--x(y + z) 28. Sea j: U ~ lR" -+ JR una funcin diferenciable, homognea de grado Of. Demuestre que las derivadas funcin ~: U ~ JR" -+ i = 1, 2, ... , n, son funciones homogneas de grado Of - l. Verifique este resultado con las funciones de los ejercicios 21 -27. Establezcamos formalmente la siguiente definicin. Definicin. Sea j: U ~ JR" -+ JR una funcin diferenciable definida en el conjunto abierto U de lRn Se define el (vector) gradiente de la funcin j en el punto "o E U, denotado por grad j("o) o \l j("o), como el vector de lRn dado por grad f(Xo) = aj aj aj ) -(Xo), -(Xo), ... , -(xo) ( ax aX2 aXn Con este concepto, la frmula (D) de la seccin anterior, que nos da la derivada direccional de una funcin diferenciable f: U ~ lRn -+ lR en el punto Xo E U en la direccin del vector unitario v E lRn , se ve como aj (A) -("o) = grad j(Xo) . v av (la derivada de j en Xo en la direccin de v es el producto punto del vector gradiente de j en Xo con el vector v). 1 94 Captulo 2 Funciones de varias variables Ejemplo 1. La funcin f: IR3 -. IR dada por f(x, y, z) = x 2 y3 z 4 tiene por derivadas parciales a af ax af ax = 2X},3~4 . <., En el punto (1, L 1) estas derivadas son -(1, 1, 1) = 2, -(1,1,1) = 3, af ay --(1 1 1) = 4 af az " Entonces, el vector gradiente de la funcin f en el punto (1, 1, 1) es grad f(1, 1, 1) = (2,3,4) la derivada direccional de la funcin f en la direccin del vector unitario v = (1/)3, 1/)3, 1/)3) es --(1,1, 1) = grad f(1, 1, 1). v = (2,3, 4) =- af ay ( 1 1) y3 y3 y3 ;}' ;}' ;} 2 vl +- 3 )3 +- 4 vl =- 9 )3 = 3vl Una de las cualidades importantes que tiene la frmula (A) -adems de su simp!icidad--, es que permite descubrir algunos secretos importantes de las derivadas direccionales. En efecto, recordemos que el producto punto del vector x E IRfl con el vector y E IR n tiene que ver con la proyeccin del vector JI: sobre el vector y. En forma ms precisa se tiene que la proyeccin de x sobre Y. denotada por PRx~y es el vector dado por xy I YI Ms an, si y es un vector unitario se tiene (x En el caso de la frmula x = grad f(xa), y = y (que es un vector unitario), podemos concluir que PRJ(~Y = I1 '112 y poniendo PR grad J(J(o)~V = (grad f(xa) . = -;--(xa)Y cJy af Xa de modo que entonces tenemos que la derivada direccional de la funcin diferenciable f en el punto en la direccin de! vector v es la componente del vector f(xa) sobre el vector Y. grad ('Ko) %0 Figura 1. Proyeccin del gradiente sobre el vector v. 2.8 Gradiente 195 Este hecho nos permite obtener la siguiente importante conclusin: el valor de la derivada direccional %f(xo) es mximo cuando el vector v est en la direccin del gradiente de f en Xo y nula cuando v es ortogonal a tal vector gradiente. Es decir, el vector grad f(xo) nos dice en qu direccin se tiene la mayor variacin (el mayor crecimiento) de la funcin f en el punto Xo. Esquemticamente grad (xo) grad (xo) Xo --------~---......;l>_ v Xo I.-.. ~ v f--- -Xo a av --1 -Xo maxlma a av ,. -Xo nula a av Figura 2. Los valores mximo y nulo de la derivada direcciona!. rc.1s an, el valor mximo de esta derivada direccional es -(Xo) af av = 11 grad f(xo)l! donde v = grad f(xo) lo cual se puede deducir, ya sea atendiendo a la figura anterior, o bien del hecho de que el ngulo () entre el vector grad f(xo) y el vector unitario v,es tal que grad f(xo) . v = de modo que cuando 11 grad f(xo)lIllvll cos e= 11 grad f(xo)!! cos e e= o (cuando grad f(xo) y v son vectores en la misma direccin) se tiene 1I -.(xo) =grad f(xo) . v = af av grad f(xo)1I cos 0= 1I grad f(xo)1I y cuando () = 1T/2 (cuando grad f(xo) y v son vectores perpendiculares) se tiene -(xo) = grad f(xo)' v = af av I! grad f(xo) 11 cos 1T/2 = grad f(xo)(O) = O Tambin, retomando la serie de observaciones hechas en el ejemplo 3. de la seccin anterior (que luego sern debidamente demostradas), en cuanto al hecho de que la derivada direccional de una funcin z = f(x, y) en un punto p de alguna de sus curvas de nivel en la direccin de esta curva (de su tangente) es igual a cero, podemos ver que si v es un vector tangente a una curva de nivel de una funcin f: U ~ ~2 --+ ~ en el punto p E U, entonces grad f(p) debe ser un vector ortogonal a v, pues en este caso se ha visto que la derivada direccional es cero. As pues, tenemos que el vector grad f(xo) es un vector ortogonal a la curva de nivel que pasa por xo. Esquemticamente 1 96 Captulo 2 Funciones de varias variables z 1 .... 1 ......... z = f(x,y) 1 I I I I yo I ~. . y ~--_. vector grad (xol marca la direccin de mayor crecimiento de la funcin y es ortogonal a la curva de nivel x Figura 3. Los vectores grad f(x) son ortogonales a las curvas de nivel. .lC,JI,mplO 2. Considere la funcin f: U <;;; ......, IR dada por f(x, y) = x2 La superficie que representa la grfica de esta funcin es la parte superior de la esfera ele centro en el origen y radio )3. Si hacemos f(x, y) = 1, obtenemos la curva de nivel (el nivel!) + i = 2, que es una circunferencia con centro en el origen y radio /"2.. Las derivadas de la funcin f son /3 -- -=-. af r!X --x af 2- estas derivadas son En el punto Xo = (1, 1) --el cual es un punto de la curva de nivel x 2 + l af ay -1 de modo que grad (xc) = (-1, -1). Este vector marca la direccin de mayor crecimiento de la funcin f en Xc. La magnitud de esta derivada direccional mxima es 11 grad f(xo)11 = !I( -1, -1 )11 =;~ Vi. Adems, teniendo en cuenta que lJ =( - 1, 1) es un vector tangente a la curva de nivel en xo, vemos que ti gradf(l, 1) = (-1, 1) (-1, -1) = 1 - I = O; es decir, el vector grad/(l,1) es ortogonal a la curva de nivel en Xo (figura 4). Ejemplo 3. Suponga que la distribucin de la temperatura dentro de una habitacin est dada por T(x. y, z) = 25 + 0.02eO. 1x + 0 .4y+O.Olz2 donde x, y, z se miden a partir de uno de los rincones (dado). A partir de ese rincn (el punto (O, O, O)), se quiere saber en qu direccin aumenta la temperatura con ms rapidez. Segn ya hemos visto, la velocidad de variacin mxima se encuentra en la direccin del vector gradiente de T en (O, 0, O), es decir, en la direccin del vector aT aT aT ) ( -Jx (0,0, O), ~ (O, O, O), -- (0,0, O) dy az Calculando estas derivadas tenemos 2.8 Gradiente 197 z z= ~ )3 - X 2 _ y2 r ~ --~ 1 I 1_ _ _ _ ~ r '1 I , A I I 1 _ _ 1_ _ l' ,. - _ 1 ~ __ _-1 I r I-t' I y x Figura 4. Ejemplo 2. aT = 0.002eO.lx+OAy+OJlI< aX aT = 0.OOSeO. 1X+0 .4y+O.Olz2 aT - = 0.0004zelt+0 .4 >'LOOJ,2 .. ay az 'y", . - Evaluando estas deivadas en (0,0, O) obtenemos el vector grad T(O, O, O) = (0.002, O.OOS, O) que nos marca la direccin de mayor crecimiento de la temperatura partiendo del punto de origen. Jl',JI~HllpW 4. Un cultivo de bacterias ha sido infectado por un contaminante, cuya concentracin, medida con un sistema coordenado xy, est dada por C = 2 + 4sen\x + 3y + 8xy) donde x y y se miden en centmetros y C en centigramos por litro. Una bacteria b se encuentra en el punto de coordenadas (O, 2). El vector grad ceO, 2) = (~~ (O, 2), ~~ (O, 2) = (6S sen 12, 12 sen 12) = 4 sen 12( 17, 3) nos da la direccin de movimiento de la bacteria en la cual sta encontrara la mayor variacin de concentracin de contaminante. Para que la bacteria b se pueda mover en el cultivo sin tener cambio en la concentracin del contaminan~, lo tendr que hacer sobre una curva de nivel de la funcin cex, y) correspondiente al nivel C(O, 2) = 2 + 4 sen 2 6. Las propiedades del vector gradiente ejemplificadas aqu con funciones de 2 variables, valen en general para funciones de n variables f: U ~ lRn -> IR. En particular quisiramos hacer hincapi en la propiedad que establece que el vector grad f(xo) E lRn es un vector "perpendicular" o "normal" a la curva (o ms en general a la superficie) de nivel de la funcin f que pasa por "o. Ejercicios (Captulo 2, Seccin 8) 1. Determine el vector gradiente de las siguientes funciones en los puntos indicados. a. f(x, y) = 3x 2 y + cos(xy) en el punto p = (1,1) b. f(x, y) = x Y en el punto p = (2,2) 198 2 Funciones de varias variables c. d. f(x, y) en el punto (1, O) x-y f(x, y, z) = (sen x)(cos y)(tan z) en el punto p = arctan x+ (7T / 4, 7T/4, 7T / 4) 2. Calcule el ngulo entre los gradientes de la funcin a. b. f(x, y) = 3x 2 +l en los puntos (2,1) Y (1, 2), f(x, y, z) = xlz 3 en los puntos (1,1, 1) Y (1, -1, -1). 3. Calcule el ngulo entre los gradientes de las funciones a. f(x, y) = xy y g(x, y) = x 2 - l en el punto (2,1), b. f(x, y, z) = x 4 + 3lz y g(x, y, z) = x + 3y - 2z en el punto (1, 2,1). En los ejercicios 4-10 se da una funcin, un punto p de su dominio y un vector ti. Escriba en cada caso la descomposicin del vector grad f(p) en sus componentes ortogonales, una de las cuales est en la direccin del vector ti dado. Es decir, determine el escalar a tal que grad f(p) = an + w, donde w es un vector ortogonal a u. 4. f(x, y) = 4x - 16y, p = (2, 1), u = (1, 1) 5. f(x, y) = x 2 + 3xy + l , p = (1,1), u = (0,1) 6. f(x, y) = x sen y + y sen x, p = (O, 7T), ti = (2, 3) 7. f(x, y) = 1 + y2' P = 2 1 +x 2 (O, 0),11 = (1, 1) 8. f(x, y, z) = x 9. f(x, y, z) = 10. (x, y, z) = + y + z, P = (1,1, i), u = (1, 1, 1) x + l + Z2, P = (l, 1, 1), tI = (-1,0,1) ln(2 + + l + Z6), P = (1,2, u :::, (0,0,5) , y sea H. Sea f: U ~ ]R2 ~ ]R una funcin diferenciable definida en el conjunto abierto U de pE U. Suponga que %f(p) = 0, %(p) = 5. a. b. c. d. Calcule la derivada de Calcule la derivada de f f en p en la direccin del vector u en p en la direccin del vector ti = (3, 4). = (7T 2, O). + by + e = O es la Sea e una curva de nivel de f que pasa por p. Demuestre que si ax ecuacin de la recta tangente a e entonces a = O. Demuestre que la funcin f "crece" (en p) en la direccin de cualquier vector en en los cuadrantes primero y segundo, y "decrece" (en p) en la direccin de cualquier Vector en JR2 en los cuadrantes tercero y cuarto. 12. Sea f: U ~ ]R2 ~ JR una funcin diferenciable definida en el conjunto abierto U de ]R2 y sea p E U. Suponga que %f(p) = 3. %f(p) = 4. En qu direccin se tiene que %f(p) = 2?, en qu direccin se tiene %f = O?, en qu direccin se tiene %~(p) = -5? Hay alguna direccin en la que %f(p) = 6? 13. Sea f: U ~ JR2 -> JR una funcin diferenciable definida en el abierto U de JR2 y sea p un punto de U en el que las derivadas parciales de f son iguales a cero. Pruebe que, de hecho, las derivadas de f en p en cualquier direccin son iguales a cero. Es decir, del hecho de que las derivadas de f en p en las direcciones de i = (1, O) Yj = (O, 1) son cero, se puede deducir que las derivadas de f en p en cualquier otra direccin son tambin nulas. Pruebe que esto es falso si no asuminos la diferenciabilidad de f (al menos en p). 2.8 Gradiente 199 14. Sea f: U ~ IR 3 IR una funcin diferenciable definida en el conjunto abierto U de IR3 y sea p E U. Suponga que %f(p) = 6, *(p) = O, *(p) = 8. Demuestre que ~{ (p) = 10 es el mximo valor que puede tomar la derivada direccional de f en p, y que este se logra en la direccin del vector unitario u = (3/5, O, 4/5). Cul es el mnimo valor (absoluto) que puede tomar %G(p)?, en qu direccin se tiene este valor? -jo IR una funcin diferenciable definida en el conjunto abierto U de ]R2 y sea pE U. Suponga que ~(p) = 3, %f(p) = 2, donde u = (l/Vi, -l/Vi), v = (/3/2,1/2). Calcule las derivadas parciales de f en p. 16. Sea f: U ~ ]R2--,+]R una funcin diferenciable definida en el conjunto abierto U de IR2 y sea p E U. Suponga que ~(p) = a, %G(p) = b, donde los vectores unitarios u = (XI, y) y v = (X2, Y2) sonlnealmente independientes. Demuestre que las derivadas parciales de f en p son af bx - aX2 af ) aY2- by , -(p)=----(p = -jo 15. Sea f: U ~ ]R2 ax XI Y2 - x2Y ay X Y2 - X2Y 17. Sea f:]R2 IR la funcin f(x, y) = x 2 + l. a. Determine los puntos (x. y) E ]R2 en que el gradiente de esta funcin forma una ngulo de 'T/4 con el vector u = (1, 1). b. Determine los puntos (x, y) E IR2 dondeel gradiente de esta funcin tiene la misma direccin del vector ti = (-3, -4). c. Determine los puntos (x, y) E ]R2 en que el gradiente de esta funcin es perpendicular al vector u = (-1, 1). 18. Sea f:]R3 ]R la funcin f(x, y. z) = z - x 2 -l. a. Determine los puntos (x. y, z) E ]R3 en que el gradiente de esta funcin forma un ngulo de 'T/3 con el vector u = (2, 1, 1). b. Determine los puntos (x, y, z) ]R3 donde el gradiente de esta funcin est en la direccin del vector u = (1, 1, 1). c. Detem1ine los puntos (x, y, z) E ]R3 en que el gradiente de esta funcin es perpendicular al vector u = (2, -1, 1). -jo -jo E 19. Demuestre que no existe funcin diferenciable alguna f: U ~ ]R" ]R definida en el abierto U de ]R" para la que su derivada direccional en un punto p E U, ~{ (p), tenga signo constante -jo en la direccin de todo vector unitario v E ]R". Puede ocurrir que ~{ (p) sea igual a cero para todo vector unitario v E]R"? 20. Sea f: U ~ ]R" ]R una funcin diferenciable definida en el abierto U de]R" y sea p E U. Si v es un vector unitario en ]Rn, demuestre que -jo a( -v) (p) = - av (p) af af 21. Sean f, g: U ~ ]R" ]R dos funciones diferenciables definidas en el 'conjunto abierto U de ]R" y sea p E U. Demuestre las siguiente frmulas para el gradiente 3. grad(f + g )(p) = grad f (p) + grad g(p) b. grad(fg)(p) = f(p) grad g(p) + g(p) grad f(p) l)()= g(p)gradf(p)-f(p)gradg(p) . ()--I-O c. grad ( g p . g2(p) . , SI g P I ' -jo 2 00 Captulo 2 Funciones de varias variables 22. Pruebe que si f: IR" -----+ IR es una funcin constante, entonces grad f(x) = O (el vector cero de IR") Vx E IR". Ms an, suponga que f: IR" -----+ IR es una funcin definida en todo IR" tal que sus derivadas parciales son nulas en todo punto x E IR". Demuestre que f es constante. 23. Generalizando el resultado del ejercicio anterior: (demuestre que) la funcin f: IR" -, IR es constante si y slo si las derivadas direccionales (p) (existen y) son iguales a cero en todo punto p E IR", en las direcciones de un conjunto de n vectores VI, V2, ... , V" E IR" linealmente independientes. ;t, 24. Considere las funciones f(x, y) = 7ln x+ J3 y. Demuestre que la derivada de la funcin f en el punto p = (1, l) en la direccin del gradiente de la funcin g en p es igual a la derivada de la funcin g en p en la direccin del gradiente de la funcin f en p. Ocurre lo mismo con las funciones f(x, y) = x 2 + y2, g(x, y) = 2x + y, en el punto p = (2, ])'1 = 3x2 + 2y2, g(x, y) 25. Sean f, g: U ~ IR" --., IR dos funciones diferenciables definidas en el conjunto abierto U de IR". Sea p un punto de U. Demuestre que una condicin necesaria y suficiente para que la derivada de f en p en la direccin del gradiente de g en p sea igual a la derivada de g en p en la direccin del gradiente de f en p, es que las normas de los gradientes de f en p y de g en p sean iguales. Es decir, demuestre que . af (p) = , ej grad g(p) dg (p) grad f(p) {=} 1I grad f(p)11 = 1I grad g(p)11 26. (Un ejercicio sobre elipses). Una elipse se define en geometra analtica clsica como el lugar geomtrico de los puntos del plano tales que la suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una magnitud constante. Sean F, = (-e, O) y == (e, O) los focos, y considere las -----+ lR funciones fl' h: fl y) hC),", y) Sea f: IR 2 a. b. --+ = ~ e)2 + y2 = = + h(x, y). distancia del punto y) a F distancia del punto (x, y) a IR, f(x, y) = f, (x, y) 2 Describa las curvas de nivel de la funcin f. Sea Il E IR un vector unitario tangente a una elipse en un punto de ella, digamos p = (x, y), apuntan,do en la direccin contraria a la del recorrido de las manecillas del reloj. D argumentos geomtricos que muestren que ~(p) = O. Deduzca de este hecho que grad fl(X, y) . u + grad h(x, y) . 1I = O c. Considere los vectores VI = -(x + e, y), V2 = -(x - e, y) que unen el punto p = (x, y) de una elipse con los focos F y F2 , respectivamente. Sea 8, el ngulo que forma el vector VI con el vector u del inciso anterior, y sea 82 el ngulo que forma el vector "2 con el vector -u. Demuestre que l cos 8 1 = - f - - V I . U = grad f(x, y). I (x, y) U COS82 = --f- - V 2 ' U = 2(X, y) 1 grad h(x, y). u 2.9 Vectores normales 201 d. Use los resultados de los dos incisos anteriores para conclur que el = e]. Obtenga entonces la conocida propiedad de la elipse: los radios que unen a un punto p de la elipse con los focos F y F] forman ngulos iguales con la recta tangente a la elipse en el punto p. 2.9 Vectores normales Consideremos la grMka de una funcin diferenciable f: U r,: IR2 ---> IR definida en el conjunto abierto U de IR 2. Como sabemos, sta es una superficie S en el espacio IR 3 . Sea p (xo. Yo. f(xo. Yo)) un punto de esta superficie. Queremos obtener una expresin que nos de un vector normal a la superficie S en p. En este momento entenderemos la palabra "normal" "perpendicular" que califica la propiedad del vector procurado, tratando de extender lo que se entiende con este calificativo para grficas de funciones de una sola variable (donde "normal" significa "perpendicular a la recta tangente"), slo que ahora, en el caso de nuestra superficie S, debemos pensar en un "plano tangente a la superficie en p" (lo que buenamente -de modo intuitivo-- podemos pensar acerca de este trmino, que ser objeto de estudio de la prxima seccin). De modo pues que el vector que procuramos--el vector normal a la superficie S en p-, ser un vector perpendicular al plano tangente a la superficie en p. (Veremos luego que, siendo la funcin f diferenciable, la existencia de este plano tangente est garantizada). Llamemos N p = (a. b. e) al vector normal procurado (ciertamente a, b y e dependen de p). Siendo este vector perpendicular al plano tangente a S que pasa por p, debe ser, en particular, perpendicular a cualquier recta tangente a la superficie S en p. Ahora debemos recordar lo estudiado en la seccin 2.5 sobre derivadas parciales: stas nos daban las pendientes de las rectas tangentes --en las direcciones cannicas-- a la superficie en p. Obtengamos dos vectores (en el plano xz y que marquen las direcciones de las rectas tangentes a la superficie S en p (que sean paralelos a tales rectas). Fijemos nuestra atencin en el plano Y = Yo. Este corta a la superficie S y da lugar a una curva --en ese plano--- que en el punto p tiene una recta tangente de pendiente ,*(xo, Yo). Entonces el vector " = (1,0, a~(xo, YO)) \ ax es un vector en la direccin de la recta tangente mencionada (ver ejercicio 39 de la seccin 3). Esquemticamente (Fig. 1) ; a , . NOTA: El vector VI mostrado en la figura es en realidad el vector rgidamente al plano y = Yo. De forma anloga, el vector "2 = V1 \ 1, O. iiX (xo, Yo)) recomdo (o, 1, af(X o. yo )) ay es un vector en la direccin de la recta tangente a la curva z = f(xo. y) en el punto p -la cual se encuentra en el plano x = xo-lver ejercicio 40 de la seccin 3). 2 02 Captulo 2 Funciones de varias variables Plano y = yo (paralelo al plano Xz) Recta de pendiente ;f (xo, yo) >t Curva z = (x, Yo) Xo Figura 1. Grfica de la recta tangente a la curva de interseccin, VI As pues, el vector normal N p procurado debe ser perpendicular a el producto cruz de VI y V2, digamos Np = VI X V2. Tenemos y V2. Lo obtenemos como ( 1) Esta es la expresin que nos permite obtener un vector perpendicular a la superficie dada por la grfica de la funcin z = (x, y) en el punto p = (xo, Yo, (xo, Yo. 1. Considere la funcin (x, y) = . Como sabemos, su grfica es la parte superior de la esfera con centro en el origen y radio . Obtengamos un vector perpendicular en el punto (x, y, z) cualquiera de ella. Todo lo que tenemos que hacer es calcular las derivadas parciales de la funcin, las cuales son Ejl~mplo d dX de modo que el vector normal es x d ay N = (_ d p ax' _ d 1) ay' o bien Ms an, sabiendo que z (x, y, z) es N p = (x, y, Z). JI - x 2 - y2, vemos que un vector normal a tal esfera en el punto I!l NOTA: Se ha venido hablando de un vector normal a una superficie en un punto. Es claro que, teniendo un vector N p de esta naturaleza, se tiene automticamente una infinidad de ellos, a saber ------ 2.9 Vectores normales 203 AN p , con A E IR. As pues, en el ejemplo anterior el vector normal que se obtuvo fue ~(x, y, z), el cual multiplicado por z es N p = (x, y, z). Es interesante notar tambin cmo en este ejemplo se juega la dualidad de papeles de los elementos del espacio 1R 3 que ya se haba comentado en el captulo 1: por una parte, (x, y, z) juega el papel de un punto de la esfera y por otra parte el mismo (x, y, z) juega el papel de un vector normal a la esfera en ese punto (que es l mismo). Por razones "psicolgicas" uno "distingue" estas dos ideas en una figura poniendo z (x, y, z) y x 2. Gnifica de un punto y un vector normal a la esfera Ejemplo 2. Para la funcin f(x, y) = x 2 + l que representa un paraboloide que abre hacia arriba, y. z) es un vector normal en un punto = ( _ af , _ ~f, \ ax ay 1) (-2x, -2y, 1) As por ejemplo, en (O, 0, O) un vector normal es el (O, O. 1). E.il~mplo 3. Panda funcin vector normal al plano es y) = ax + by + c que representa un plano en el espacio, un Np = (-a, -b, 1) Quisiramos ahora llamar la atencin hacia un punto de especial inters que conecta lo discutido en esta seccin con la propiedad del vector gradiente de ser perpendicular a una curva de nivel. Comencemos por tener presente que una curva en el plano que sea la grfica de la funcin y = ~(x), tambin se puede ver como una curva de nivel, correspondiente al nivel cero, de la funcin f(x, y) = y - ~(x). De hecho, los puntos del plano que constituyen la grfica de la funcin y = ~(x) son precisamente aquellos puntos que satisfacen que y - ~(x) = 0, es decir, en los cuales la funcin f(x, y) es constante (igual a cero). As por ejemplo, la recta y = x, grfica de la funcin ~(x) = x, es el nivel cero de la funcin f(x, y) = y - x, que geomtricamente es un plano que pasa por el origen (figura 3). Ntese que al decir "nivel cero", nos estamos refiriendo, geomtricamente, al corte de la superficie z = f(x, y) con el plano xy. Ms an, si tuviramos una curva en el plano, no necesariamente la grfica de una funcin y = ~(x), tambin podremos en ciertas condiciones (la pregunta sera cundo podremos?) verla como el nivel cero de alguna funcin z = f(x, y). es decir, como la manera como 2 04 Captulo 2 Funciones de varias variables ----_. f(x, y) = y --- x y x Recta v = x (en el plano xv) que corresponde al nivel cero de f(x, y) = y x Figura 3. Grfica del plano f(x. y) = y - x, esta superficie corta al plano xy. Esta es una cuestin que ser discutida ampliamente en el prximo captulo (secin 4), Por ejemplo, la curva x 2 + = 1 no es (globalmente) la grfica de funcin y = 'P(x) alguna. Sin embargo, la podemos ver como el nivel cero de la funcin f(x. y) c...-c x 2 + \,2 -- 1 (esta funcin no es nica: para cualquier constante k i O. la funcin f(x. y) = ker 2 + .1'2 __ 1) tiene por nivel cero a x 2 + l = 1; esto significa que existen muchas superficies en que cortan el plano xy en la curva x 2 + l = 1), cuya grfica es un paraboloide que abre hacia arriba y cuyo vrtice est en el punto (O, 0, -1) (figura 4), i Nivel cero: x 2 / =1 y x Figura 4. Grfica del paraboloide z = x2 + / - 1 Ysu nivel cero. Llevando esta idea una dimensin ms arriba, tenemos que la superficie que representa la grfica de la funcin z f(x, y) tambin la podemos ver como el nivel cero de la funcin de tres variables F(x, y, z) = z - f(x, y). Entonces, la superficie z = f(x, y) se puede ver como una supcfjicic de nivel (correspondiente al nivel cero) de la funcin F(x, y, z) = z - f(x, y), o bien, como la manera en que la grfica de la funcin F(x, y, z) = z - f(x, y) (que vive en el espacio IR 4 ) "atraviesa" el espacio IR 3 (identificado como una porcin de IR 4 , correspondiente a aquellos puntos de IR 4 cuya ltima coordenada sea igual a cero). As por ejemplo, la superficie z = x2 + l es la superficie de nivel de 2.9 Vectores normales 205 la funcin F(x, y, z) = z - x 2 - y2, cOIT'espondiente al nivelO de esta funcin . Ms an, podramos tener una superficie en el espacio IR 3 , que no representa (globalmente) la grfica de alguna funcin z = f(x, y) y tambin verla como una superficie de nivel de una funcin u = F(x, y, z) Este es el caso que se presenta con la esfera x 2 + y2 + Z2 = 1, la cual no es la grfica de funcin z = l(x. y) alguna, pero s la podemos ver como el nivel cero de la funcin F(x, y, z) = x 2 + i + Z2 - l. As las cosas, si vemos la superficie z = f(x, y) como el nivel cero de la funcin F(x, y, z) = z - f(x;, y), y recordamos que el gradiente de esta funcin es un vector perpendicular a cualquier superficie de nivel de ella, concluimos que el vector grad F = (aF, aF, aF) ax ay az debe ser normal a la superficie considerada. En efecto, si calculamos estas derivadas parciales obtenemos grad F = (_ al, ax; _ al. ay ,1) resultado que coincide con la frmula (l) establecida anteriormente. Ejemplo 4. Retomemos el ejemplo 1 La superficie z = l(x, y) = x 2 - y2 es un trozo de la esfera x 2 + l + Z2 = I Lo que digamos entonces de la esfera, vale, en particular, para la grfica de z = f(x, y) . Esta esfera la podemos ver como la superficie de nivel (cero) de la funcin F(x, y, z) = x;2 + l + Z2 - I cuyo gradiente es grad F = JI - aF aF aF) ( - . - . -az ax ay = (2x. 2y, 2z) = 2(x, y, z) Este vector debe ser entonces normal a la superficie En particular N p = (x, y. z) 10 es, como ya observamos en el ejemplo l. 11 Ejemplo 5. Consideremos el elipsoide ~ + + f:, = L Para obtener un vector normal en el punto p = (x, y, z) de l, lo podemos ver como superficie de nivel de la funcin F: IR 3 -> R, dada por x2 l Z2 F(x, y, z) = "2 + b 2 + "2 - I a e El vector grad F debe ser entonces normal a esta superficie de niveL Este vector es grad F = 2 V 2 2 aF aF aF) ( ;, ay' az = (2X 2 y 2Z) a2' b2' e2 =2 (x a2' b2' e 2 y z) I 11 En particular entonces, el vector N p en un punto (x;, y, z) de L = (~, p. -!r) es un vector normal al elipsoide ~ + ~ + ~ = Ejercicios (Captulo 2, Seccin 9) Para cada una de las funciones z = l(x, y) dadas en los ejercicios 1-10, determine un vector normal a su grfica en el punto indicado 2 06 Captulo 2 Funciones de varias variables ----------------------------- 1. f(x, y) = I en un punto cualquiera p = (xo, Yo) 2. f(x, y) = -128'172 en un punto cualquiera p = (xo, Yo) 3. f(x, y) = x + 12 en un punto cualquiera p = (xo, Yo) 4. f (x, y) = x - 125 en un punto cualquiera p = (xo, Yo) 5. f(x, y) = xy en un punto cualquiera p = (xo, Yo) 6. f(x, y) = sen x + sen y en el punto p = (O, O) 7. f(x, y) = e Y cosx en el punto p = (0,1) 8. f(x, y) = 2x 2 + 5 y3 en el punto p = (2, -1) 9. f(x, y) = In(2 + x + y) en el punto p = (O, O) 10. f(x, y) = sen(senxcosy) en el punto p = ('17, '17) En cada uno de los ejercicios 11-15, se dan ecuaciones de superficies en IR 3 Con ellas como superficies de nivel de funciones It = F(x, y, z), determine un vector normal a cada una en los puntos indicados, 11. xyz = I en el punto p = (1, 1, 1) 12. xy 13. x 2 + xz + yz- 3 = = en el punto p = (1, 1, 1) 14. + i - Z2 = Oen los puntos p = (3,4,5) Yq = (-3, -4, -5) x 2 y2 + x 2Z2 + y2 Z2 + xyz - 4 = Oen el punto p = (1,1,1) 15. x Y + X Z + ZX - 3xyz en el punto p = (1, 1, 1) 16. Cierto o falso? La grfica de una funcin vector ~n el plano xy. Explique, z= f(x, y) no puede tener por vector normal a un 17. Cierto o falso? Si la grfica de la funcin Z = f(x, y) tiene al vector N E JR3 por vector normal en el punto p = (xo, Yo, f(xo, Yo, entonces N no puede ser normal a la grfica de la funcin en otro punto q de ella, diferente de p" Cambia la respuesta si consideramos una superficie ms general en IR 3 (no necesariamente la grfica de una funcin z = f(x, y)), por ejemplo, una superficie cerrada (como una esfera o un elipsoide)? 18. Sea f: U s:;; IR 2 -> IR una funcin diferenciable definida en el conjunto abierto U de IR2, y sea p = (xo, Yo) E U. Llamemos N p al vector normal a la grfica de f en (xo, Yo, f(xo, Yo. El vector grad f(p) es un vector en IR2, que se puede identificar con un vector en IR 3 con su ltima coordenada nula, Demuestre que el ngulo e entre los vectores N p y grad f(p) est dado por e = arctan I 11 grad f(xo, Yo)11 2 19. Considere la funcin f: IR 2 -> IR, f(x, y) = e-(x +/) Sea e el ngulo del ejercicio anterior, Demuestre que lmll(x.Y)II~oo e = '17/2, Interprete geomtricamente este hecho. 2 10 Planos tangentes 207 En los ejercicios 20-25 se da una funcin z = f(x, y) y un vector N E JR3. Determine el (los) punto(s) de la grfica de la funcin (si los hay) para los que el vector N es un vector normaL 20. f(x, 21. 22. 23. 24. 25. = x 2 + i, N = (O, 0,1) f(x, y) = x + y - 3, N = (I, 1, -1) f(x, y) = 3x - 2y + 4, N = (4,5,1) f(x, y) = 2x 2 + 3xy + 5i, N = (3,2, -3) f(x, y) = ln(l + x + 2y), N = (-1, -3,4) f(x, y) = sen Jx 2 + y2, N = (O, O, -3) y) En los ejercicios 26-30 se da la ecuacin de una superficie S y un vector N E JR3 Determine el (o los) punto(s) de S (si los hay) para los que N es un vector normal a S 26. x 2 + i + Z2 = 4, N = (2, 2, 2) 27. x2 +2l+3z 2 =I,N=(-2,3,6) 28. x 2 + 4y2 - Z2 = 1, N = (0,3,4) 29. 2x 2 + 2y2 - 5z2 + 2xy - 2x - 4y - 4z- 11 = O, N = (5,4,3) + 18 = O, N = (1,0,1) 30. 7x 2 + 6y2 + 5z 2 - 4xy- 4yz - 6x - 24y + 18z 31. Considere la funcin diferenciable f: JR -> IR, z = f(y).. Suponga que sta tiene un mximo local en el punto y = Yo > O, z = Zo > O. Sea z. = f ( Jx 2 + y2) la superficie de revolucin generada al poner a girar la grfica de z = f(y) alrededor del eje z Para qu puntos de la superficie el vector N = (O, O, 1) es un vector normal? Ejemplifique este resultado con la funcin f{y) = y2 e -/ (Nota: la pregunta puede ser contestada en base a consideraciones geomtricas . Para convencerse analticamente de su respuesta, puede hacer uso de las siguientes frmulas de las derivadas parciales de la funcin z = f ( jx 2 + y2), las cuales se entendern despus de estudiar el siguiente captulo az ax donde u x Jx2 + y2 f'(u), y f'(u) Jx 2 +i == v0+-7\ 2.10 Planos tangentes Consideremos la funcin f: U ~ ]R2 -> lR definida en el conjunto abierto U de JR2. Supongamos que es diferenciable en el punto (xQ, Yo) E U Queremos asociar a ella (a su grfica) un plano "tangente" que haga el papel de la recta tangente a la grfica de una funcin de una sola variable. Por supuesto que esto nos llevara a contestar la pregunta: qu se entiende por un plano tangente a una superficie en un punto? La respuesta a esta pregunta est intimamente ligada con la propiedad de diferenciabilidad de la funcin en el punto, como veremos ms adelante. Por lo pronto, pensemos que el plano que buscamos debe poder contener a todas las rectas tangentes a la superficie z = f(x, y) 208 Captulo 2 Funciones de varias variables en el punto (xo, Yo, f(xo, Yo)) Ms an, el plano que se procura es tal que si cortamos a la superficie z = f(x, y) con un plano perpendicular al plano xy que pase por (xo, Yo, O), entonces la recta tangente a la curva de interseccin de la superficie con este plano, en el punto (xo, Yo, f(xo, Yo, debe estar contenida en el "plano tangente" que buscamos. Entonces, en particular, tal plano debe tener por vector normal al vector N p = (-*(xo, va), - ~{ (xo, Yo), 1), segn se discuti en la seccin anterior. Por lo tanto, sabiendo que Np es un vector normal al plano buscado y que ste debe pasar (digamos que debe "tocar") por el punto (xo, Yo, f(xo, Yo, concluimos que su ecuacin debe ser af af - ax (xo, yo)(x - xo) - ay (xo, YoKy -- Yo) o sea + z - f (xo, . )'0) = ( T) z = f(xo. Yo) + -a (xo, Yo)(x - xo) + -a (xo, yo)(y -- Yo) y af x af Observando esta ecuacin con detenimiento nos encontramos con que todo lo que se necesita para construir la ecuacin del plano tangente a la grfica de la funcin z = f(x, y) en el punto p = (to, Yo) son las derivadas parciales de esta funcin calculadas en p . Quiere decir esto que si una funcin j: U ~ IR 2 -> IR posee derivadas parciales en el punto (xo, Yo), ya podemos asociarle un plano tangente a su grfica en el punto (xo, Yo, f(xo, Yo))? Para dar respuesta a esta pregunta nos vemos obligados (de nuevo) a establecer con precisin el concepto de tangencia de un plano con una superficie. De manera "formal" la respuesta a la pregunta sera "sI': hallamos las derivadas parciales y las sustituimos en la ecuacin anteriormente obtenida y ya est! Ese es nuestro plano tangente procurado . Sin embargo, la experiencia vivida en la seccin 4 (ver ejemplo 6) nos dice que la funcin f: IR 2 -> IR xy f(x. y) = { ~2 + y2 si (x, y) si (x, y) =f (O, O) = (O, O) de modo que ~{ (O, O) = ~(O, O) = 0, tendra por plano tangente en el origen a z = (plano XV), aun siendo la grfica de la' funcin discontinua en (O, O) (situacin sumamente desagradable, pues la idea intuitiva de "tangencia" que tenemos exige al menos la continuidad de la grfica en el punto donde el plano toca a la superficie). Acontece que el concepto de tangencia que funciona en matemticas es "el mismo" que el concepto de diferenciabilidad de funciones . De modo ms preciso, si la funcin f: U ~ IR? -> IR es diferenciable en (xo, Yo) entonces diremos que la ecuacin (T) define al plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el punto (xo, Yo, f(xo, Yo)). Es decir, es cuando la funcin fes diferenciable (y slo en este caso) cuando el plano dado por la ecuacin (T) es tangente (en el sentido preciso que se entiende en matemticas) a la grfica de la funcin en el punto considerado. Veamos cul es el sentido geomtrico de la "tangencia" del plano dado por (T). Siendo la funcin f diferenciable en (xo, YO) tenemos que donde 2.10 Planos tangentes 209 Poniendo h I = X - XO, h2 = Y - Yo, nos queda la expresin anterior convertida en f(x, y) af = f(xo, Yo) + -;-(xo, yo)(x ox xo) af + -a (xo, yo)(y y Yo) + r(x Xo, y- Yo) donde (X.Y)~(Xo.Yo) , 11m r(x-xo,y-yo) II(x xo, y - Yo)11 = o Al ver esta expresin nos encontramos con la agradable sorpresa de que la suma de los 3 primeros trminos del segundo miembro nos da precisamente (segn la ecuacin (T la altura, en el punto (x, y), del plano tangente a Z = f(x, y) en (xo, Yo). De modo que el residuo r(x - Xo, y - Yo) se puede ver como r(x -- xo, y - Yo) = (x, y) . - (a + f(xo, Yo) ax(xo, Yo)(x - xo) af + -ay (xo, YO)(y - Yo) ) = diferencia entre la z de la funcin z = (x, y) en el punto (x, y) y la z en el mismo punto del plano tangente a la grfica en (xo, Yo) El hecho de que f sea una funcin diferenciable nos dice que este residuo es muy pequeiio en torno al punto (xo, Yo). Con ms precisin, nos dice que si lo dividimos entre la norma del vector (x - Xo, y - Yo), este cociente va a cero cuando x tiende a xo y y tiende a Yo [Es claro que el puro rcsiduo r(x - xo. y - Yo) tiende a cero cuando (x, y) - t (xo. yo). Sin embargo esta propiedad slo nos dice que la funcin f es continua en (xo, yo), como ya lo habamos advertido anteriormente -por qu?]. Esta propiedad del residuo es precisamente la que le da el carcter de tangencia al plano dado por (T). Es decir, es justamente cuando el residuo r(x - xo, y - Yo) (visto como la diferencia de la z de z = (x, y) y la z del plano dado por (T tiene tal propiedad (que al dividirlo por la norma de (x - Xo, y - Yo) tiende a cero cuando (x, y) - t (xo, Yo, cuando decimos que el plano dado por (T) es tangente a la superficie z = (x, y) en (xo, Yo). z z = f(x, y) Yo Y = Yo + h2 y x Vector (x - Xo, y - Yo) Figura 1. Plano tangente a lagrfica de z = f(x, y)- Como las funciones con las que trabajamos normalmente son diferenciables, entonces podremos hablar con libertad de planos tangentes a sus grficas. Veamos ahora algunos ejemplos. 2 10 Captulo 2 Funciones de varias variables Ejemplo 1. Se quiere hallar la ecuacin del plano tangente a la superficie z = x 2 + l en los puntos (O, 0, O) Y (1,2,5). Todo lo que necesitamos son las derivadas parciales ~ = 2x y ~, = 2y. En x = y = 0, tenemos ~(O, O) O, *(0, O) = 0, de modo que segn la ecuacin (T), el plano tangente es z = 0, es decir, el plano xy (resultado que coincide con la respuesta intuitiva al imaginar el paraboloide z = x2 + cuyo vrtice es justamente el origen). En el punto en que x = 1, Y = 2, tenemos ~(1, 2) = 2, ~(l, 2) = 4, de modo que en este punto el plano tangente es z = 5 + 2(x - 1) + 4(y - 2), o sea 2x + 4y - z = 5. 11 l Consideremos una superficie S, digamos que dada como la grfica de la funcin diferenciable -+ IR. Se define la recta normal a la superficie S en el punto p = (xo, Yo, zo) de ella, como la recta que pasa por p y contiene el (o es paralela al) vector normal a la superficie en p (es decir, la recta perpendicular al plano tangente a la superficie en p). Segn lo discutido en esta seccin y en la anterior, tal recta debe de ser paralela al vector N p = (- *(xo, Yo), - *(xo, Yo), 1) y, como debe tambin pasar por el punto p = (xo, Yo, f(xo, Yo, su ecuacin debe ser f: U ~ IR 2 af x = xo - ax (xo, yo )t . af y = Yo - -(xo, yo)t ay { z = f(xo, yo) + t Ejemplo 2. Z t E IR = x2y + eX +y en el punto en que x 2 Se quiere hallar la ecuacin del plano tangente y de la recta normal a la superficie 2 = 1, y = l. Tenemos que ~ a- ax = 2xy + 2xex'+Y , ' -- = x ay az 2 + 2 .ye X2 +y de modo que con x = 1, Y = I nos queda que z 1+ e2 , y -.- (I. 1) cJy (jz az -( I, I ) - 2 + ') -d ax La ecuacin del plano tangente es entonces 2, = I + 2e" o z = 1 + e2 + (2 + 2e 2 )(x -- 1) + (1 o bien La ecuacin de la recta normal es + 2e 2 )(y -- 1) t E IR Ejemplo 3. de l. Como * Consideremos el paraboloide z = x 2 + y2. Sea p = (xo, Yo, zo) un punto cualquiera = 2x Y ~ = 2y, tenemos que la ecuacin de la recta normal a esta superficie en p es { X = Xo 2xot Y = Yo - 2Yot Z = x5 + Y5 + t t E IR 2.10 Planos tangentes 211 Ntese que si ponemos t =: se tiene x =: y =: O. Esto significa que la recta normal corta al eje z. Como el punto p es arbitrario, tenemos probada la siguiente propiedad geomtrica del paraboloide z x 2 + l: todas sus rectas normales cortan el eje z. En realidad esta es una propiedad vlida para superficies ms generales (superficies de revolucin), hecho que se considera en el ejercicio 42 al final de esta seccin. 11 Ejemplo 4. Consideremos el elipsoide :;-r + ~ + ~ l. Como sabemos, esta funcin no es la grfica de funcin alguna del tipo z = f(x, y). Sin embargo, esto no nos impide obtener la ecuacin del plano tangente a ella en un punto p = (xo, Yo, zo). Todo lo que necesitamos es un vector normal a la superficie enp. En el ejemplo 5 de la seccin anterior, vimos que un vector tal es N p = (~. 7}, ~), de modo que el plano tangente al elipsoide en p es 2 2 2 i. Xo o(X - Xo) a" Yo + -(y 2 b YO) 20 + -(z 2 c 20) = O o bien Xo Yo Zo xij Y6 zij -x+-y+-z=-+-+-=I a2 b2 e2 a2 b2 e2 (la ltima igualdad se justifica por ser p un punto del elipsoide). Es decir, la 2 2 2 tangente al elipsoide :;-r + ~ + ~ 1 en un punto p = (xo. Yo. 20) de l es XoX 1 a- ~cuacin del plano + YoY b' 2 + ZoZ _ I C" 1 -- Ejemplo 5. Tomemos de nuevo el elipsoide :;-r + + ~ = l. Sea ax + j3y + -yz un plano dado en el espacio. Nos preguntamos por el plano tangente al elipsoide que sea paralelo al plano dado. En realidad, hay dos respuestas a esta pregunta, pues localizando un plano tangente al elipsoide (digamos que "por arriba") podemos construir siempre otro tangente a l y paralelo al anterior (digamos que "por abajo"). Ntese que la propiedad de los planos Ax + Bly + Clz = DI Y A 2 x + BY2 + CZ2 = D2 de ser paralelos significa que sus vectores normales son paralelos, es decir que hay una constante k :f Otal que (Al. B I , CI) = k(A 2 B 2 C 2 ). En nuestro caso, debemos hallar en qu puntos del elipsoide sus planos tangentes tienen vectores normales paralelos al vector (a. j3. -y), que es el vector normal al plano dado (y por tanto es un vector normal a los planos tangentes que procuramos). Como ya sabemos, un vector normal al elipsoide en el punto (xo. Yo, zo) viene dado por (~, 7}, ~), de modo que debemos resol ver para Xo, Yo, 20 la ecuacin fi ::! 2 o xo Yo Zo) ( a2' b 2' c 2 = k(a. j3.-y) donde k es alguna constante. Es claro que los valores de Xo, Yo, Zo que satisfacen tal condicin son Xo = kaa 2, Yo = kj3b 2, Zo = k-yc 2. Por otra parte, el punto (xo. Yo. zo) debe ser punto del elipsoide dado, por lo que de donde k 2 12 Captulo 2 Funciones de varias variables / a 2a 2 +f/T;2 + y2 c 2, tenemos que hay dos posibilidades para k, a saber Llamando 7] k = 7]-I. Entonces, uno de los puntos del elipsoide que tiene plano tangente paralelo al dado es (xo, Yo, Zo) = 7]-] (aa 2 , (3h 2 , yc 2 ), en cuyo caso el plano tangente es o sea Se obtiene fcilmente que el otro plano tangente paralelo al plano dado es ax + f3y pues, los planos tangentes al elipsoide ~2 + 2 tr +?- = 2 2 + YZ = -7]. As I que son paralelos al plano ax+ {3y+yz = '5 son La grfica de la funcin de una variable f: IR-{O} -+ IR dada por Y = (una hiprbola con asntotas los ejes coordenados) tiene una propiedad muy interesante: si trazamos la recta tangente en cualquier punto de ella, sta formar con los ejes coordenados un tringulo cuya rea ser constante (es decir, no depende del punto escogido). Ejemplo 6. 'f )' Recta tangente a la curva en p rea = 2a 2 x Figura 2. El tringulo formado por la recta tangente a y = a 2 / x y los ejes coordenados tiene rea constante. Este hecho es fcil de probar y lo dejamos como ejercicio para el lector. En este ejemplo queremos una propiedad anloga de una superficie en el espacio. Si tomamos la funcin f(x, y) = ~ (definida en todo :IR.2 excepto en los puntos (x, y) tales que xy = 0, i.e. en los planos coordenado's xz y yz), se tendr que el plano tangente a la superficie que ella representa formar un tetraedro de volumen constante con los planos coordenados. Demostrar este hecho es el objetivo de este ejemplo. Tomemos entonces un punto cualquiera p = (xo, Yo, zo) de la superficie z ~ y escribamos la ecuacin del plano tangente que pasa por p. Las derivadas parciales son - ay 2.10 Planos tangentes 213 y x Figura 3. Tetraedro del ejemplo 6. de modo que la ecuacin del plano tangente procurado es Z = --,-x -, .1.'(Yo a2 ,? --1 .1.'0 Yo a2 Y + 3-.1.'0 Yo Para hallar el volmen del tetraedro que este plano forma con los planos coordenados, todo lo que necesitamos son las intersecciones que tiene con los ejes coordenados, digamos .t (con el eje x), y (con el eje y) y z (con el eje z). En tal caso el volumen del tetraedro ser V = t.tH (figura 3). Haciendo x = y = 0, obtenemos de la ecuacin del plano tangente Nos queda que z 3a z= -XoYo 2 Anlogamente, haciendo x = z = 0, obtenemos y = Entonces el volumen del tetraedro es 3.1'0, Yhaciendo y = z Oobtenemos X = 3.1.'0 I -( 3xo)(3yo) ( -3a ) 6 \ XoYo 2 = -a2 9, resultado que no depende de las coordenadas del punto p, como queramos que ocurriera. iII Ejemplo 7. Regresando de nuevo al caso de funciones de una variable, recordamos que la familia de curvas en el plano .1.'2 + i = ax, .1.'2 + l = by (a y b son parmetros) se dicen "ortogonales", pues, en los puntos comunes, stas se cortan ortogonalmente, es decir, sus rectas tangentes en tales puntos son perpendiculares entre s. Nuevamente, invitamos al lector a que verifique esta propiedad. Geomtricamente estas curvas se ven como (ambas son familias de circunferencias) En el caso de superficies en el espacio, tambin podemos hablar de "superficies ortogonales", refirindonos con esto a que en los puntos donde las superficies coincidan, sus planos tangentes son ortogonales (o con ms precisin, los vectores normales atales superficies en los puntos comunes, son ortogonales entre s). Por ejemplo, veamos que las familias de esferas (anlogas a las circunferencias del plano) .1.'2 + l + Z2 = ax, y, .1.'2 + i + Z2 = by son ortogonales. Ntese que los puntos comunes de las esferas de ambas familias son puntos (x, y, z) E ]R3 que cumplen con la condicin ax = by (adems, claro est, con las dos ecuaciones de las esferas). Sea p un tal punto. Obtengamos un 2 14 Captulo 2 Funciones de varias variables y x Figura 4. Circunferencias ortogonales x 2 +/ = ax, x 2 +/ = by. vector normal a cada una de las esferas (que comparten a p) en p. Esto lo podemos hacer calculando los gradientes de las funciones F (x, y, z) = x 2 + / + Z2 - ax, cuyo nivel cero son precisamente las esferas de nuestro problema. Tenemos grad F grad F2 (2x - a, 2y, 2z) = (2x, - b, 2z) Queremos ver que en el punto p estos vectores son ortogonales. Esto lo logramos convencindonos que su producto punto es cero. En efecto grad F . grad F2 = (2x - a, 2y, 2z) . (2x, 2y - h, 2z) = 4x 2 - 2ax + 4/ - 2by + 4z 2 2ax - 2by = 4(x 2 + / + Z2) - en el punto p se tiene by = ax, y, x 2 + i + Z2 = ax, de modo que grad F, . grad F2 = 4ax - 2ax - 2(ax) = O como queramos que ocurriera. Ejercicios (Captulo 2, Seccin 10) En los ejercicios 1-5 se da una funcin diferenciable z = (x, y) y un punto p = (xo. Yo) de su dominio; Determine la ecuacin del plano tangente a la grfica de la funcin dada en el punto p. 2.10 Planos tangentes 215 1. f(x, y) 2. f(x, = 3x + 8y - 10, p = (xo, Yo) y) = x 3 + 8y 3, P = (O, O) 3. f(x, y) 4. f(x, y) 5. f(x, = x Y , P = (2, 1) = x arctan(arctan y), p = (1, O) 1 y) = (x 2 + i)e-(x +iJ , p = (O, O) 6. Demuestre que si la superficie S en 1R3 es una superficie de nivel de la funcin diferenciable u = f(x, y, z), y si P = (xo, Yo. zo) E S es un punto en el que las derivadas parciales ~~ (p), ~; (p), ~~ (p) no son simultneamente cero, entonces la ecuacin del plano tangente a S en p vIene dada por aF -(p)(x - xo) ax + -(p)(y - Yo) aF ay aF + _. (p)(z - az zo) =O 7. Considere la funcin f: JR3 -> R f(x, y, z) = x 2 + i - Z2. Ciertamente sta es una funcin diferenciable en todo punto p E 1R3 . En particular en el origen lo es. Su nivel cero es una superficie S determinada. Existe un plano tangente para S en el origen? Discuta ampliamente (por ejemplo, la relacin entre "diferenciabilidad" y "existencia de planos tangentes", el papel que juegan las hiptesis hechas sobre las derivadas parciales de la funcin F en el ejercicio anterior, etc.). 8. Sea f: U <:;;; 1R2 -; JR una funcin diferenciable definida en el conjunto abierto U de JR2. sea p E U Ysea v = (a, b) E JR2 un vector unitario. En el ejercicio 24de la seccin 5 se prob que la curva de interseccin de la superficie z = f(x, y) con un plano perpendicular al plano xy que pasa por p, paralelo al vector v, tiene por recta tangente en p a X = Xo + al y = Yo { af z = f(xo. Yo) + av (xo. yo)t + bt 1E IR Demuestre que, para todos los posibles vectores v E 1R 2, las rectas tangentes anteriores se encuentran en el plano tangente a z = f(x, y) en p. En los ejercicios 9-11 se da la ecuacin de una superficie en el espacio tridimensional y un punto p de ella. Determine la ecuacin del plano tangente a la superficie en el punto p. 9. Z2 + 3z - x2 10. x - i - Z2 + Z2 i - 2 = 0, p = = 0, p = (0.0, O) - (l, 1, 1) 11. x 2 + i 4x - 8y - 16z + 54 = 0, p = (1,2,3) 12. Determine la ecuacin del plano tangente a la superficie z = x2 3x + 8y - 5z = 10. a. El plano tangente procurado debe ser de la forma 3x Explique. +i que sea paralelo al plano 13. El problema anterior puede ser resuelto "algebraicamente" (sin clculo) de la siguiente manera: + 8y - 5z = k, para alguna k E IR. 2 16 Captulo 2 Funciones de varias variables b. Resuelva simultneamente las ecuaciones z = x 2 + y2, 3x -- 8y - 5z = k, para obtener que los puntos comunes del paraboloide y del plano deben satisfacer 5x 2 - 3x+ 5/ -- 8y + k == O. Viendo a la expresin 5x 2 - 3x + 5\,2 - 8y + k = O como una ecuacin cuadrtica para x, imponga la condicin de que el plano tangente procurado debe compartir 1111 S% punto con el paraboloide, para conclur que (_3)2 - 4(5)(5y2 - 8y + k) = O, (l sea 100y2- 160y + 20k - 9 = O. Repita el argumento del inciso anterior con la expresin 100y2 - 160y + 20k - 9 = O para conclur que (-160)2 4( 100)(20k - 9) = O, de donde se obtiene que k == 73 /20. De aqu entonces que el plano tangente procurado es 3x + 8y - 5z = 73/20. - c. d. 14. Halle la ecuacin de los planos tangentes a la superficie 3x 2 + si + 3z 2 - 12x = O que sean paralelos al plano z = O: 2xy + 2xz 2 \i,' a. b. usando las tcnicas del clculo discutidas en esta seccin; usando la tcnica del ejercicio anterior. 15. Verifique que no existen planos tangentes a la superficie 2x 2 + 2i -. 5z 2 + 2xy -- 2x- 4y .... 4z + 2 = O que sean paralelos al plano x = O. 16. Determine la ecuacin del plano tangente a la superficie z = x 2 + xy que sea perpendicular a los planos x + y - Z = 3 Y 2x - y + z = 4. Existe alguna tcnica algebraica anloga a la del ejercicio 13 que permita resolver este problema? 17. Determine la ecuacin del plano tangente a la superficie z = 3.x 2 que la recta normal tenga por vector paralelo a v - 8xy + 5v 2 en el punto en 18. Halle la ecuacin del = (-1, O, 2). plano tangente a la superficie z = x2 + / l+f,tEiR. 4x que sea perpendicular a larectax=3+4f,y=-2f,z 19. Determine las ecuaciones de los planos tangentes al elipsoide x 2 paralelos al plano tangente a la superficie + 3y2 + 5z 2 1 que sean z = x yen el punto p = (l. l. 1), 20. Considere la superficie x 2 + y2 + Z2 - 2x- 2y - 6z + 10 = O. Demuestre que esta superficie tiene una infinidad de planos tangentes perpendiculares a cualquier plano dado ax + by +. ez d. Determine la expresin general de estos planos. Explique geomtricamente su resultado. 21. Dados dos planos perpendiculares (lIX + bly + cz = di, (l2X + b 2 y + C2Z = d 2 , demuestre que la superficie del ejercicio anterior tiene exactamente dos planos tangentes perpendiculares a los planos dados. Determine estos planos tangentes si los planos dados son 3x - y + z 7, x + 8y + 5z = 10. Puede resolverse el problema si los planos dados no son perpendiculares? Explique. 22. Repita los dos ejercicios anteriores con la superficie 7x 2 + 182 + 30 = O. + 6/ + 52 2 - 4xy 4Y2 - 6x - 24y En los ejercicios 23-26 determine los puntos de la superficie dada en los que los planos tangentes sean paralelos a los planos coordenados. 23. x 2 + s i 24. (x - + IOz2 = J 2 2)2 + 5(y - 3)2 + 10(2 + + 2 2 + 4.1." - 6y - 25. x 2 + 3i = ]2, 2z + 7 = O. 1)2 2. 10 Planos tangentes 217 26. 7x 2 + 61 + 5z 2 - 4xy - 4yz _. 6x -. 24y + 18c~- 18 =O + l + 2z 2 = 27. Hallar los puntos del elipsoide + 21 + = en Jos que la recta normal que pasa por ellos es perpendicular al plano 4x -- 6y + 3z = 7. x2 32 2 28. Determine las ecuaciones de Jos planos tangentes al elipsoide x 2 de interseccin de ste con la recta x = 3t, Y = 2t, Z =-- t, tER 2 en los puntos 29. Hallar las ecuaciones de los planos tangentes a la superficie z = x 2 + en los puntos de interseccin de sta con la recta que resulta de la interseccin de los dos planos 2x - y - z = O, x+3y-4z=0. 30. Hallar el volumen del tetraedro que forman los planos coordenados con el plano tangente al elipsoide x 2 + l + 3z 2 = 50 en el punto (1, 5, 2V2) 31. Determine los puntos del elipsoide ~ + ,~ + ~ = 1 en los que los planos tangentes cortan a los ejes coordenados en puntos equidistantes del origen. 32. Demuestre que los planos tangentes a la superficie jX + .y + ,z = ..a cortan los ejes coordenados en puntos cuya suma de distancias al origen es constante. 33. Demuestre que las rectas normales a la superficie z = x 2 + ~ y3 + y, en los puntos (xo, Yo, zo), 3i ! con Xo =1= O, no cortan al eje z. Los ejercicios 34-41 tratan sobre planos tangentes y rectas normales a esferas. Cada uno de ellos puede ser resuelto con tcnicas independientes del clculo y, por supuesto, con tcnicas del clculo como las discutidas en esta seccin. Invitamos al lector a que resuelva cada ejercicio de las dos maneras para que vea en cada caso las ventajas o desventajas que conlleva cada una de estas tcnicas. 34. Demostrar que el plano ax + by + e2 + d solamente si a 2 r 2 + b 2 r 2 + c 2 r 2 = d 2 O es tangente a la esfera x 2 + l + Z2 = r 2 si y 35. Demostrar que el plano 2x- 6y + 3z - 49 = O es tangente a la esfera x 2 + l qu punto? Hallar el otro plano tangente a la esfera que sea paralelo al dado. 36. Hallar las ecuaciones de los planos tangentes a la esfera x 2 + l que sean paralelos a las rectas X { + Z2 = 49. En =O + 2 2 - 1Ox + 2y + 26z - 113 = 2t = 2t { X = 1+ 3t y= -3t 2 Y = -1 - 2t 2 t 37. Los puntos A = (2,5.3) Y B = (-1, -2, -3) son los extremos de un dimetro de una esfera. Hallar las ecuaciones de los planos tangentes a esta esfera en los puntos A y B. 38. Una esfera tiene su centro en el punto (3,4,5) y pasa por el origen de coordenadas. Hallar la ecuacin del plano tangente a la esfera en el origen. Obtenga tambin el otro plano tangente a la esfera que sea paralelo al plano hallado. 39. Determine la esfera que tenga por planos tangentes a los planos paralelos x + Y + x + Y + 2 = -3, sabiendo que el punto (1, 2,2) es uno de los puntos de contacto. 40. Hallar las ecuaciones de los planos tangentes a la esfera con centro en (xo, Yo, sean paralelos al plano ax + by + e2 = d. 20) 2= 5, Yradio r, que 2 18 Captulo 2 Funciones de varias variables 41. Hallar las ecuaciones de los planos tangentes a la esfera x 2 + y2 que contengan: a. b. c. al eje x, al eje y, al eje + Z2 - 4x - 4y - 8z + 20 =O z. 42. Considere la grfica dc la funcin diferenciable z = f(y), dibujada en el primer cuadrantc del plano zy. Sea z f( 2 + y2 ) la superficie de revolucin que se obtiene al girar z = f(y) alrededor del eje z. Ciertamente los puntos PI = (O, YI, f(YI , P2 = (O, -YI, f(YI)), P3 = (Yt, 0, f(YI y P4 = (- Yt, 0, f(YI son puntos de la superficie de revolucin mencionada. Obtenga las ecuaciones de los planos tangentes y de las rectas normales a la superficie en cada uno de estos puntos. Compruebe que los cuatro planos se cortan en un mismo punto en el eje z, y que esto mismo ocurre con las rectas normales. x 43. (Generalizacin del ejercicio anterior). Use las frmulas de las derivadas parciales de la funcin z= f ( x 2 + y2) mencionadas en la nota dcl ejercicio 31 de la seccin anterior, para demostrar que todas los planos tangentes en los puntos de la superficie z = f ( j x2 + y2) cOrrespondientes a un mismo nivel (en los que x 2 + l = cte.), se cortan en un mismo punto sobre el ejc z, y que todaslas rectas normales a la superficie se cortan con el eje z (su eje de revolucin). 44. Considere el cono z = x 2 +. y2. Sea p = (xo, Yo, x 2 + y2) un punto distinto del origcn. .Demuestre que la ecuacin del plano tangente al cono en cl punto P es Demuestre tambin que este plano tangente "sc intersecta" con el cono en los puntos de la recta tE JRi. la cual es una recta que pasa por el origen y tiene a p por vcctor paralelo. Verifique que, dc hecho, todos los puntos de esta recta, excepto el origen, comparten el mismo plano tangente con p. 45. En el ejemplo 4 se obtuvo que el plano tangente al elipsoide ~ + ~ + ~~ = 1 en el punto p = (xo, Yo, zo) es + 2fj + "N- = l. con este resultado demuestre que los planos tangentes al elipsoide en sus puntos de interseccin con el plano z = Zo (-e < Zo < e, zo =1= O) se cortan en un mismo punto sobre el eje z. Ms an, demuestre que stos son los planos tangentes al cono elptico e ;:;--;:; x 2 y2 e2 2 7 Z =-- Zo V e - Z2 a2 + -2 + b Zo (en todos sus puntos excepto en (O, 0, ~). En particular obtenga que la esfera x 2 + l + Z2 = a 2 "est metida tangencialmente" dentro de la parte del cono z = entre su vrtice (O, O, 2a) y el plano z = -a. 46. Demuestre que las esferas x 2 + l cortan entre s ortogonalmente. J3 x2 + y2 + 2a comprendida + Z2 = 2ax, x 2 + l + Z2 = 2by, x 2 + l + Z2 2cz se 2.11 La diferencial 219 2.11 La diferencial Sea f: U ~ IR? x E U tenemos ---t JR una funcin diferenciable en el conjunto abierto U de JR2. Entonces, para cada f(x + 11) = f(x) + af ax hI + af ay h2 + r(h) donde a la parte lineal en h I Y h 2 de esta expresin se le llama diferencial de la funcin f en (x, y) y se denota por df(x, y) o simplemente por dI As df= - h l af + - h af ax ay 2 dx y si f(x, y) Obsrvese que si f(x, y) entonces = x, se obtiene h l df = = y se obtiene h 2 = dy. Se escribe . = -dx+ -dv ax ay . af af Retomando la definicin de diferenciabilidad de la funcin f, podemos escribir f(x + h) = f(x) + df(x) + 1'(11) o bien, como para h pequeo (es decir 111111 pequeo), se tiene 1'(11) ~ O(puesto que lmh~o r(h) = O), se debe tener que f(x + h) - f(x) ~ df(x) Geomtricarnentepodemos interpretar la diferencial de la funcin f: U ~ IR.2 ---t IR. en x E U como sigue (ver la figura 1 de la seccin anterior): El vector x + h est cerca del vector x (con h pequeo); la funcin f sufre un incremento (positiyo, negativo o cero) al pasar su argumento de x a x + 11. Tal incremento est dado por f(x + h) f(x), el cual se puede ver formado por dos sumandos: uno de ellos es el residuo 1'(11) que es la distancia entre el plano tangente a la superficie en x y la superficie misma, en el punto x + 11, y el otro es justamente lo que acabamos de definir como la diferencial de la funcin en x. Pensando en que h es pequeo (en norma), es que podemos decir que tal incremento se puede aproximar por la diferencial de la funcin. Para el caso de funciones de una variable (donde se tienen representaciones geomtricas ms sencillas), estas ideas -que son completamenteanlogas~ se ven geomtricamente como (figura 1). Ejemplo 1. Se quiere hacer un clculo aproximado de (1.08)(3.98). Para esto, podemos usar las ideas anteriores y considerar la funcin f(x, y) = XV en el punto (1,4). Tomando h l = 0.08 Y h 2 = -0.02, vemos que f((1, 4) + (0.08, -0.02)) = (1.08)(3.98) en tanto que f(l, 4) = 14 = l. Como f(( 1, 4) + (0.08, -0.02)) - f(1, 4) ~ df(1, 4) 2 20 Captulo 2 Funciones de varia~ variables y y = f(x) Recta tangente a la grfica de )' = (x) en - I I r(h) ..--- '} I (x. (x)) ____ -1 I I df(x) I x h x+ h x "----v---' Figura 1. La diferencial df para funciones de una variable. tenemos que si calculamos df( 1, 4) obtendremos una estimacin de la cantidad (1.08)<398). af df(l, 4) = -(l, 4)h l ax + - ( l , 4)h 2 + (x1'lnxlx=l)h2 y=4 af ay = (yxy-1Ix=l)h l 1'=4 4(0.08) = 0.32 As (1.08)398 :=o: I + 0.32 = 1.32 (el valor exacto es 1.358396). Ejemplo 2. Supongamos que las funciones f g: U ~ IR2 --+ IR son diferenciables. Entonces (Teorema 2.6.2) la funcin fg: U ~ IR2 -, IR tambin es diferenciable. Obtengamos d(fg). Se tiene d(fg) = a(fg) dx ax + a(fg) dy ay g ag af) af) = ( f - + g - dx+ (a +g- dy fax ax ay ay = f(a g dX + ay ~gdY) ax = fdg+gdf f +g(a dx+ af dX) ax ay De manera anloga podemos obtener sin dificultad las frmulas d(f + g) = = df + dg =1= d({) gdf ~ fdg si g(x) O, x E U Se ve entonces que la diferencial de una funcin de dos variables tiene propiedades anlogas a las de la derivada (y de la diferencial) de una funcin de una variable. 11 2.11 La diferencial 221 En el caso ms general de una funcin de n variables f: U S;;; IR" ...... IR diferenciable, tenemos que la diferencial de f se define como df= af -, dx; ax JI ;=! siendo tambin df una aproximacin del incremento de la funcin f(x +11) - f(x) con h pequeo. Ejemplo 3. Se quiere calcular aproximadamente A = --=,--='= = = = y 15.05 +~0.98 0.05. 0.97 Tornando la funcin f(x. y. z) = xl dz = ~0.02. Tenemos ,Iv +..yz con x = 1, Y = 15, z = 1, dx = -0.03, dy = = f(x, y, z) + df(x, y, z) f(x + dx. y + dy. z + dz) Como f(x, y. z) = f( 1. 15. 1) = .jr~+ I = ~, slo tenemos que calcular la diferencial de la funcin en (1, 15. 1). Se tiene (Jf _ _ _o ax jy+,{'Z' ~L - _~ (v + ay'- 2' vz) ~ -3j2 , af az -2: y+V Z ) x( JI:' -3i21 . 3' af az 1 384 Evaluado con x l , Y = 15, z = 1 obtenemos af ---(1 de modo que ax . 15 1) = -, 4' 1 ____o af (1 ay" 15 dfO, 15, 1)= y as: ( -0.03) ~ ~ _ 3.01 4 1 I1 --ro 05) .---(-0.02) = - 3.01 -128" 384 384 A = 92.99 = 0.242161 384 384 (el valor exacto es 0.2421726) Ejercicios (Captulo 2, Seccin 11) En los ejercicios 1-5, obtenga la diferencial de la funcin dada. 1. f(x) = sen 3 x 2 222 Captulo 2 Funciones de varias variables 2. f(x, y) = xtany 3. f(x, y, z) = ax + by + ez + d 4. f(x, y, z, u) = sen x + cos y + arcsen z + arccos u 5. f(x, y, z, u, w) = xyz + xzw + yuw + zuw 6. Calcule aproximadamente el incremento de la funcin f(x, y) = x Y cuando la variable x pasa de Xl = 3 a X2 3.1, y la variable y pasa de YI = 2 a Y2 = 1.9. 7. Calcule aproximadamente el incremento de la funcin f(x, y) = ~x~fy cuando el punto (x, y) de su dominio pasa de (2, 1) a (2.05, 1.1). cuando su i-sima variable Xi se incrementa en h unidades, i . 2 2 8. Cul es el incremento que sufre la funcin lineal f(XI, X2, ... , x n ) = alxl + a2x2 + ... + anx" = 1, 2, ... , n? En los ejercicios 9-14 aplique diferenciales para calcular aproximadamente el valor de la expresin dada. 9. V(2.13)(1.98) 10. In3.1)2 - 8) 11. In(ATI + V9.08 - 4) 12. arctan( v'o2 + 0.98) 13. 3\/(4.9)2+2.1 14. arcsen( -1,/3.9 + (0.1)292) 15. Calcule la longitud del segmento de la recta x = xo, y = Yo que se encuentra entre la superficie z = x2 + l, y su plano tangente en el origen. (Nota: este problema lo tiene que resolver "a golpe de vista"). 16. Calcule la longitud del segmento de la recta x = 1.2, Y = 0.95, que se encuentra entre el paraboloide z = x2 + sl y su plano tangente en el punto (1, 1,6). 17. Suponga que la superficie z f(x, y), grfica de la funcin diferenciable f, tiene en el punto p = (xo, YO) el plano tangente 2 = 20 = f(xo, Yo) Y que en una bola B con centro en p y radio r > O la grfica de la superficie se encuentra por debajo del plano tangente mencionado. Determine la longitud del segmento de recta x = XI, Y = YI (donde (XI, YI) es un punto de la bola B) que se encuentra entre la superficie 2 = f(x, y) y el plano z = zo. 2.12 Derivadas parciales de ordenes superiores Consideremos la funcin f: U <;;;; IR 2 -+ IR definida en el conjunto abierto U de IR 2 . Si esta funcin es diferenciable, sabemos que existen las derivadas parciales ~~ y en cualquier punto (x, y) E U. Podemos entonces considerar las funciones . * -+ Jf ~:UCIR2-+IR y ax - af: U e IR 2 ay - IR 2.12 Derivadas parciales de ordenes superiores 223 de modo que en cada punto (x, y) E U les asocia las derivadas parciales ~(x, y) y %L(x, y) respectivamente. Puede ocurrir que estas funciones sean a su vez lo suficientemente bien p6rtadas en U como para que podamos obtener de ellas sus derivadas parciales ay f a(aax ) ' ax (aay ) , ay (aay ) af af (en un punto dado de U). Diremos en tal caso que estas son las derivadas parciales de segundo orden de la funcin f y escribiremos ~(af) ax ax ax ay 2 _af - ax 2 - ~ (a f ) _ af ayax 2 NOTA: Usando la notacin fx y fv para denotar a las derivadas parciales respecto de x y respecto de y de la funcin f(x, y) respectivamente, las derivadas parciales de segundo orden de esta funcin se escriben (fx)x = fxx. (fx)Y = fxy, (fy)x = fvx, (fv)y = fyy Con la notacin D, f(x, y) y Dd(x, y), las derivadas parciales de segundo orden se veran corno D, (DI f(x, y) = D II f(x, y), D 2 (Df(x, y) = Dld(x, y), DI (Dd(x, y = D 21 f(x, y), D 2 (Dd(x, y = D 22 f(x, y). Suponiendo. que las derivadas de 2 orden de f(x, y) existan, podemos considerar ahora las funCIOnes iJx 2 ' U t;;; lR-t lR, iJxiJy' U t;;; lR -t lR, iJyiJx' U t;;; lR -t lR, iJy" U t;;; lR -t IR., que a cada punto (x, y) E U le asocian las derivadas parciales de segundo ordenft(x, y), .. la historiapuede continuar. Si estas funciones son lo x, y) y~(x, y) respectivamente. suficientemente bien portadas en U, podemos obtener de ellas sus derivadas parciales, las cuales sern las derivadas parciales de tercer orden de f en U (8 en total). . ifJ. . 2 2 .!!!..L. 2 . iJ2 f . 2 iJ2 f . 2 Mxe 1 ~(x, y), etc. Ejemplo 1. La funcin f: lR 2 -t lR dada por f(x, y) = x 2 + l tiene por derivadas parciales a ~ 2x, = 2y. Las derivadas parciales de segundo orden de f son "* 2 af ax 2 2 =~(af) = ~(2x) = 2, ax ax ax ay ax f) a = ~(2x)=O, ay axay 2 a! = ay2 2 ~(af) = ~(2y) = o ax ay ax ay (a f ) ay (a -a f = ~ ayax af -- = -.a = a -(2v) ay' =2 2 24 Captulo 2 Funciones de varias variables Ejemplo 2. parciales a La funcin f: U s;;: TI{2 -e, TI{, dada por f(x, y) af ax = x2ex'+v'(2x) + 2xex'+v' = X 2e x'+r'(x 3 + x) a ,~-+- f = x"e ay ,2 '.' (2y) . = Leve ,.2 +,\ , ? ,? De estas nuevas funciones podemos obtener sus derivadas parciales y as tener las derivadas parciales de segundo orden de f ' a a -=a - f2 = -- (a f ) = --=- (2xe " ,(x 3 + x) "t'Y X 2 Jx Jx dx 2 ax = 2e x '+y (3x 2 + 1) ') + 4xex'+ y' (x 3 + x) ') ") = 2e t"+v' (2x 4 , ., + 5x 2 + 1) 2 af a -f . - - = --=- (a ) = - a (2xe X "+y (x 3 + x) ' . , 1 (.e'\ = 4ye' n ayax ay ax ay J2f axay + x) _~(af) ax ay _ ~(2x2yexl+y') ax = 2x2yexl+y2 (2x) + 4xye x' +v' = 4ye x1 +/ (x 3 + x) a2.~ = ~(a f.) ay "1 :-.= = ; . (2x2 ye x '+/) ay ay ay ') ., 2ye x '+ Y'(2y) + 2x 2e x '+Y 2 = 2x 2c"+Y'(2/ 2x ., 7 + 1) Enlos dos eJ'emplos anteriores se observa que las derivadas parciales oXdfy (",,'i , llamadas derivadas 2' y W/.( ..... . .. .. .. parciales cruzadas (o mixtas) son iguales. Esta situacin ocun'c en muchas ocasiones (veremos el teorema correspondiente que da condiciones bajo las cuales esto ocurre), pero no es un hecho general, como muestra el ejemplo siguiente, Ejemplo 3. Sea f: TI{2 ......., TI{ la funcin si (x, y) si (x, y) :f (O, O) = (O, O) Si (x, y) :f (O, O) las derivadas parciales de esta funcin son 4 2 af = ~ (x 3y - xl) = x y + 4x i _ y5 ax ax x 2 + y2 (x2 + y2)2 5 3 af = a (x 3y - xi) = x - 4x y2 - xl ay ay x 2 + y2 (x2 + y2)2 Ahora bien, en el punto (O, O) las derivadas parciales de f son h'(O)-h(?)J _ af (O, O) = lm f(h, O) - feO, O) = lm ax h~O h h~O h(o) h (O)'h-Oh) (0)2-+ h' - = a f (O, O) = lm feo, h) - feO, O) ay h-O h = lm h-,O h = o 2.12 Derivadas parciales de ordenes superiores 225 Calculemos fx{y (O. O) Y J#x(0. O), usando directamente la delinicin de derivadas parciales ayax af 2 (O, O) = ~ (a f ). (O. O) = lm %feo, h) - %feo, O) ay ax h~O h (O)'h+4(0)2h 3 -h' = lm h~O 2 (02+h )2 . h -o =lm(-l) =-1 h~O --(O. O) axay a2 f a (a f ) (O, O) = lm 1-(h. O) -1-(0. O) =- y y ax ay h~O h = lm Por lo que h' -4h 3(O)-h(O)' W+0 2)2 - h~O h O = lm(l) = 1 h~O El siguiente teorema nos dice cundo debernos esperar que las derivadas parciales cruzadas de una funcin sean iguales. Teorema 2.12.1 (Teorema de Schwarz) Sea f: U ~ IR 2 ~ IR2 -> IR y abierto Ude IR 2. Si las derivadas ffv:u axay #Ix: U ~ IR -> IR una funcindelinida en el 2 -> IR (existen y) son funciones continuas en U, entonces . a2f ayax Demostracin. (Opcional). Sea (x, y) E U un punto abierto de U,. Para hy para k sulicientemente pequeos (no nulos) los puntos (x+h, y+k), (x+h, y), (x. y+k) siguen perteneciendo a U. Considere la expresin Iv! = f(x + h, y + k) - f(x + h, y) - f(x, y + k) + f(x. y) St:a~(x) = f(x, y + k) - f(x, y). Obsrvese entonces que Iv! = ~(x + h) - ~(x) Aplicando el teorema del valor mt:dio en la funcin 'P en el intervalo [x, x Iv! h] obtenernos = ~(x + h) - ~(x) = 'P1(~)h. x < ~ < x +h Obsrvese que laf . a f 'P (x) = ax (x, y + k) -<ax (x, y) de modo que ~ (~) I = -a (~, y + k) x af af -a (~, y) x 226 Captulo 2 Funciones de varias variables y entonces M se ve M q;(x + h) - q;(x) = q; , (~)h = . (a f -(~, ax y + k) - -(~, f a ax y) ) h Si consideramos ahora la funcin t{;(y) en el intervalo [y, y + k], que t{;(y %f(x, y), tenemos, aplicando el teorema del valor medio + k) t{;(y) = t{;'(71)h, af ax (~, y) y < 71 < y +k o sea af ax (~, y + k) - pues t{;'(y) significa derivar respecto de y a anteriormente para M llegamos a %f. Sustituyendo esta expresin en la obtenida x<~<x+h Y<71<y+k Repitiendo la misma jugada, pero considerando primero la funcin <p(y) obtenemos = f(x + h, y) - f(x, y) M = 'p(y + h) - <p(y) = <p'(f)k = = (~f (x + h, f) ay af (x, f))k ay a2 f -(~. axay 71)hk _ donde x <~<x + h, y < f < y + k de modo que, igualando las dos expresiones para M y simplificando por hk llegamos a Tomado lmite cuando h -+ O y k -+ O y usando la continuidad asumida de las parciales mixtas, vemos que ~, g -+ x, 71, f -+ y, de modo que ayax (x, y) a2 f = axay (x, y) a2 f como se quera. Q.E.D. Muchas de las funciones que aparecen de manera natural en la prctica cumplen con la hiptesis del teorema de Schwarz, de modo que para ellas se tendrn solamente 3 derivadas parciales distintas de segundo orden. Ms an, en muchas funciones sus derivadas parciales cumplen tambin con la hiptesis del Teorema de Schwarz, por lo que 2.12 Derivadas parciales de ordenes superiores 227 y a~:y (~~) = a~:x (~~). Es ?ecir que axayax = ayti'i y W = ayaxay y, como adems (por ser iguales las parciales mixtas) se tIene 2 3 a3 f a (a 2f ) af a .( a f ) 2ay = ax. axay = ax ayax = axayax ax af a (a f ) ayaxay = ay axay 3 2 ~ a)r a)r ~ a( af ) = ay ayax 2 af = ay 2ax 3 se ve que de las 8 derivadas parciales de tercer orden de la funcin f, se tienen slo 4 derivadas distintas, a saber 1. a3 ax 3 ax2ay - axayax - ayax 2 2. 3. 4. a3 f (_ ~_ _ a3 f ) a3f (_ ~ _ a3f ) ay 2ax - ayaxay - axa y 2 a3 f ay 3 y as entonces, para una funcin .1: U IR" -+IR que tenga todas sus derivadas parciales de todos los rdenes continuas en U, se tendrn slo (n + 1) derivadas distintas de orden n (de las 2" que en principio existen). Estas son a" f JI' f an f an f an ax'" ax" __ lay'ox"-2a y 2'"'' axay"-l' ay" Ejemplo 3. Para un~Juncin polinomial f: IR 2 -+ IR, todas sus derivadas parciales son tambin funciones polinomiales y por tanto son continuas. Entonces tendr slo (n + 1) derivadas parciales distintas de orden n. Veamos esto con n = 3 Y f(x, y) = x 3 + 6x 2 + 7 xy 5 + lOx 3 y Las derivadas de primer orden son i Las derivadas de segundo orden son 2 a ; =::a (a f ) = ~(. 3x2 + 12xi ax ax a x a x < ... 2 a f = ~(. af) = ~ (24X 2l + 35xi axay ax ay ax + 30x2y ) = 6x+ 12i + 60xy .. . .. ... . . .. . + IOX 3 ) = 48xl :,- 35i + 30x2 . ... ... = -f - a = -(3x2 + 12xi +71 . 2.= -a (a f ) 30x y) ay . ay ax a fa _.- = - .(a f ) = -a (24x 2 ay2 ay ay . . ay 2 ayax a 2 l +35xl+ IOx 3 ) = 72x 2 i + 140xy 3 2 28 Captulo 2 Funciones de varias variables Las derivadas de tercer orden son Ejemplo 4. Verifiquemos que la funcin f(x, y) = ~ + Y2' satisface la ecuacin x- + y Las derivadas parciales de la funcin af f son l - 2xy x 2 (x2 +y2)2 2x 3 - 2y3 + 6x 2y - 6xl (x2 + y2)3 2 - 2xy-l x ax a 2f ax 2 af ay a2f ay2 - ----"- + y 2)2 2y3 - 2x 3 + 6xl- 6xl (x2 + y2)3 (x2 de modo que como se quera. Por ltimo mencionamos que para una funcin f: U que tenga sus derivadas parciales de segundo orden Schwarz establece que uX ~ x) JRn -> JR definida en el abierto U de JRn /d/" continuas en U, entonces el Teorema de a2 f a2 f axaYj = ByjBx' i, j = 1, ... , n Este es un hecho que se deduce directamente del caso probado anteriormente: lo dejamos como un sencillo ejercicio para que el lector d un argumento que establezca su validez. 2.12 Derivadas parciales de ordenes superiores 229 Apndice 1 Funciones de clase 'P k Al considerar la propiedad de diferenciabilidad de una funcin f: 1 <;;; IR ---> R es natural preguntarse por las propiedades que presenta la funcin derivada t: 1 <;;; IR ---> R Por ejemplo: esta funcin t(x) es continua?, es derivable? La discusin que se presenta a este respecto con funciones de una sola variable se traslada sin gran dificultad, con las debidas adecuaciones en las definiciones --que hemos estudiado en este captulo-, al caso de funciones de varias variables. Es por eso que presentamos al principio .estadiscusign en el caso de funciones reales de una variable real y, hacia el final del apndice, extendemos los conceptos al caso de funciones de varias variables, objetivo de este captulo, Sea I: 1 <;;; IR. --->.IR una funcin diferenciable. Si la funcin derivada f': 1 <;;;.IR ---> IR es continua (en 1), se dice que fes unafuncinde clase 'PI. Si esta funcin t es asu vez una funcin diferenciable, decimos que f es una funcin dos yeces dtferenciable. Entalcaso consideramos la funcin fl!: 1 <;;; IR ---> R Si sta es continua, decimos que fes unafuncin de clase '('2, En general, decimos que lafuncin es una funcin k vece.s diferenciable si la funcin f(k-I) :1<;;; IR ---> IR es diferenciable. Si adems sta es continua, decinos que fes una funcin de clase '(?k Una funcin f que esk veces diferenciable para todo k EN, se dice ser infinitamente diferenciabIe, o bien, de clase re oo . Es claro entonces que se tienen las contenciones fUnCiones) ::::J (funCones de) ::::J(f\lnCiOnes dos . ) ( diferenciables clase veces diferenciables re l. y (funcones de) ::::J ..::::J (funcion.es,de) clase '(?2 clase 0"= ---t Vemos estas contenciones son estrictas, Por ejemplo, la funcin f: IR 1 f(x)" { ~2 sen ~ = IR dadil por si x o O es diferenciable. De hecho f'(O) y, para x =1=. O, se tiene = lm eh) /) ...... 0 f(O) = lm /) ...... 0 2 h sen h * = lm h sen ~ = O h 11 ...... 0 , 1 f(x) = -cos - x + 2xsenx 1 Es decir, la funcin derivada f': IR ---> IR es si x =1= O si x = O la cual es una'funcin discontinua (en x = O, por qu?). Entonces esta funcin, siendo diferenciable, no es de clase 6'1, Por otra parte, la funcin f: IR ---> IR, f(x) = x 5/ 3 es de clase re l , pues la funcin derivada t: IR---> IR, f'(x) = ~x2/3 es continua, Sin embargo, esta ltima funcin no es diferenciable, ya que su derivada (la segunda derivada de f), JI! (x) =~ x- I/3, no existe en x = O, As pues, la 2 30 Captulo 2 Funciones de varias variables ._----------------_._------------- funcin f(x) = x 5j3 es de clase f" : IR --t IR, n E N, dadas por '(ll pero 110 es dos veces diferel1ciable. Generalmente las funciones f,,(x) = x"lx! = { ._xl! ~1 , t"~1 si x 2: O si x < O --t son diferenciables excepto en el caso 11 = O. Su k-sima derivada, l ::; k ::; n, !,;k): IR f~k)(x) IR igual a = (n + I)(n) ... (11 - k + 2)f"-k(X) de modo que en tanto k < 11, las funciones f~kl(X) siguen siendo diferenciables. Sin embargo, con k = n tenemos f~")(x) (n + I)!fo(x) = (n + 1)!lx, funcin que slo es continua, pero no diferenciable (en x = O). As pues, las funciones f,,(x) = x"lx son de clase '(l", pero no son (n + 1) veces diferenciables. En particular, stas son ejemplos de funciones de clase '(l" que no son de clase 1("+1. En el caso de funciones de varias variables, la discusin anterior se presenta como sigue: se dice queJa funcin f: U :;;; JR" --t IR definida en el conjunto abierto U es de clase~,1 (en U) si sus derivadas parciales ;;.{: U c;;:; IR" --t IR, i = 1, .... 11, (existen y) son funciones continuas en U. Con base en el teorema 2.6.3, podemos concluir directamente el corolario siguiente. Corolario (del Teorema 2.6.3) Si la funcin f: U c;;:; IR" diferenciable. --t IR es de clase ~,1 entonces fes 11 Por supuesto, se tiene la misma situacin que en el caso de funciones de una variable: el conjunto de funciones de clase 'i?J est estrictamente contenido en el conjunto de funciones diferenciables. Es decir, la afirmacin recproca del corolario anterior es falsa (ver ejercicio 28 de la seccin 6). Si adems la funcin f: U c;;:; IR" --t IR tiene todas sus derivadas parciales de segundo orden continuas en U, entonces se dice que f es una funcin de clase '(,2 (en U), (ntese que no se defini "funcin dos veces diferenciable"; ver ejercicio 33 al final de la seccin). En general, si en la funcin f: U c;;:; IR" --t IR sus derivadas parciales de k-simo orden son funciones continuas en U, entonces se dice que f es una funcin de clase 'i?k (en U). Si la funcin f tiene sus derivadas parciales de todos los rdenes continuas en U, se dice que f es una funcin de clase '(lx,. Si por el contrario, la funcin f es solamente continua en U (digamos que sus derivadas parciales de primer orden no existen al menos en un punto de U), se dice que la funcin es de clase '(B'o (e cero). Existen ejemplos de funciones f: U c;;:; IR" --t IR que muestran que las contenciones son estrictas. Estos son, como era de esperarse, mucho ms complicados que los que se dieron anteriormente para funciones de una sola variable. Apndice n El teorema de Euler sobre funciones homogneas (versin general para funciones de dos variables). En el apndice de la seccin 7 de este captulo se estableci el resultado conocido como T':orema de Euler para funciones homogneas, cuyo corolario dice que siendo f: IR" --t IR una funcin 2.12 Derivadas parciales de ordenes superiores 231 diferenciable, homognea degrado a, entonces uf uf XI-(X) + X2-(X) aXaX2 + '" + Xn -(x) = af(x) af aXn donde x = (XI, X2,"" x n ). En el ejemplo 4 de ese apndice, se consider la funcin la cual es homognea de grado 3, con derivadas parciales af , - = 24.c ax y entonces + 6xy, -- = 3x- + ay af , JSv . 2 af xax + y- af , = x(24x 2 + 6xy) + y(3x 2 + ISy-) ay = 24x3 + 6x 2y + 3x 2 y + Isi = 24x 3 + 9x 2 y + JSy3 3(8x 3 + 3x 2 y + sl) = 3f(x,.v) tal como tena que ocurrir. Tomemos esta misma funcin para ejemplificar el resultado que queremos establecer en este apndice. Las derivadas parciales de segundo orden .de fson 48x + 6y, Se tiene que = 6x, (2 f ay2 = 30v , a2 f a2 f x - - +2xy-2 ax axay a2 f + l-2 ay = x-(48x 1 + 6y) + 2xy(6x) + y(30y) 18x 2 y + 30y3 1 = 48x 3 + = (3)(2)(8x 3 + 3x 2 y + sl) = (3)(3 - 1)f(x, y) As, siendo f una funci ll homognea de grado 3, hemos verificado que se cumple la relacin Desendolo, podemos identificar el lado izquierdo aplicado a la funcin f. De hecho, si definimos 2 aa ) 2 2a f ( x- + .v- f = x - ax ay ax 2 esta expresin como un binomio al cuadrado + 2xy-- + v--. axay' a 2 y a2 f . 2 a2 f 232 Captulo 2 Funciones de varias variables para una funcin f suficientemente bien portada como para que sus parciales cruzadas sean iguales, hemos verificado que, siendo f homognea de grado 3, se cumplen las relaciones af xax + .y - = 3f ay af aa ) 2 ( x- + Y-o f = 3(3 - l)f ax a.v Ms an, si vamos a las derivadas de tercer orden de la funcin f, se tiene -3 a3 f ax = 48. a f. ay3 a3 f y2 a3 f 3 = 30 y entonces a3 f x3 _ 3 ax + 3x2y -ay + 3 xaxa - + i ay 3 = x 3 (48) + 3x 2y(6) + 3xy"(0) + i(30) /ax 2 = (3)(2)(1)(8x 3 a3 f o + 3x 2y + Si) y) = (3)(2)(1) f(x. Nuevamente, si definimos aa ) 3 ( x- + y- f ax ay hemos probado que a3 f a3 f a3 f a3 f = x 3 _ _ + 3x2v-2-.- + 3xi--- + v3 _-3 ax ' ax ay axa y 2 ' ay 3 (x.f!.- + y~)3 f = (3)(3 ax ay 1)(3-2)f Este ejemplo nos pone en la mira la siguiente conjetura: si f es homognea de grado 11, y es lo suficientemente bien portada (desde el punto de vista de la diferenciabilidad; por ejemplo, que tenga derivadas parciales continuas de "muchos" rdenes), se cumple la relacin aa ( x-+y(]x ay )k f=n(n-I) ... (n-k+l)f = donde el lado izquierdo de esta expresin se define como aa ) k f ( x- + yax ay L k (k) x k.- J.. yJ j J=O .. axk-JayJ l f La relacin anterior es efectivamente cierta, y dar una demostracin de ella es el objetivo de este apndice. De hecho, el resultado vale para funciones de n variables: si f: JRn -+ JR es una funcin definida en el conjunto abierto U de JRn, homognea de grado m, con "buen comportamiento diferenciable", entonces se tiene la relacin aa a ( X-+X2-+",+xn-,aXI a~ a~ )k f=m(m-l)(m-2)(m k+l (e) 2.12 Derivadas parciales de ordenes superiores 233 para cualquier k E N. Las ideas que se expondrn para demostrar el caso n = 2 se pueden generalizar para probar la validez de la frmula (e). Esto, sin embargo, nos obliga a pagar un precio muy alto en el aspecto de la notacin, con el consiguiente peligro de perder las ideas centrales del argumento. Presentaremos entonces solamente la demostracin del caso n = 2 Ydejamos para el lector interesado que ajuste el argumento al caso generilJ. Establezcamos entonces formalmente el resultado que queremos probar. Como siempre, consideraremos funciones bien portadas desde el punto de vista diferenciable. Teorema (pe Euler sobre funciones homogneas). Seaf: 1R2 ble, homognea de grado a. Entonces, para k E N se tiene IR una funcin diferencia- -+ a o)k (x:- + yay j(x, y) = ox a(a - 1) .. (a- k + I)j(x, y) donde el primer miembro de esta expresin se interpreta como Para la demostracin de este teorema vamos a introducir un concepto que llamaremos "derivada euleriana" (o "derivada deEuler") de la funcin j, que denotilremos por qj) j(x, y) (o simplemente como qj)j), y que definimos como qj)j =(x~ + y~) j ax ay Esta derivada tiene un comportamiento lineal ante combinaciones lineales de funciones. Es decir, se tiene que qj)(f + cg) = qj) j + c'2lJg, donde e E R Dejamos al lector que pruebe esta propiedad de la derivada eulerinna (en el ejercicio 31 al final de esta seccin se consideran otras propiedades). Definimos la k-sima derivada euleriana de j, denotadil por qfj, como qj)k j = a. a )k ( x- + y_ j ax ay Por otril parte, definimos la accin de dos veces sobre j, escrita qj)QJ j como QJQJ j = qj)(@f). En general, qj)qj) ... qj) j significa @(qj)( .. . qj)(qj)f) . .. . Debemos hacer notar que qj)k j no significa la accin de qj) k veces sobre f. Es decir, qj)kj no quiere decir qj)qj)qj) . .. qj)f (k veces qj). Por ejemplo, qj)2 f no. quiere decir qj)QJf: En efecto, por una parte se tiene que qj)2 j es 2 34 Captulo 2 Funciones de varias variables y por otra parte @q;f = = @(x~ + y~)f = @(x af + /ay) f ax ay ax (x~ + y~") (x af + /ay) f ax ay ax ax ax ay ay ax ay 2 2 2 af a2 f af af ) (a f af ) =x ( x - + - + - - +y x - - + y - + ax 2 ax axay axay ay 2 ay 2f 2f 2f 2a a 2a af af =x - + 2 x y - - + y - + x - + y q;2f+q;f ax 2 axay ay2 ax ay =x~(xaf + / f ) +y~(xaf + / f ) De hecho, vamos ahora a probar que q;(q;k-l f) = q;k f + (k - l)q;k-I f * para k E N (la hemos verificado para k = 2). En efecto (por induccin sobre k), para k = 1 es clara la relacin (definiendo q;0 f como siendo f). Supongmosla vlida para k y probmosla para k + 1. Se tiene q;(q;k f) a = x-@kf + ya q;k f ax ay k. = xa k ( ) x k ' af . -JyJ ax j dxk-JayJ J=O k + ya ay k ._. k (k) x -JyJ axk-JayJ j J=O k af x~ ~(k\[(k j) -}X ') k-j-l Yaxk-JayJ+ x k-J Yaxk-J+JayJ ] j rif J ak+1f y J-I + k Y~ k (k)[ }X . j k-J x j k- j akf axk-JayJ + x k- J aH1f ] J y axk-Jayj+1 _ - k J=O + k () j ak f y axk-jayJ ~ k (k) [ j aH 1f x k- j +1 j aH 1f +xk-J )+1 y axk- j +1ayJ y axk-JayJ+I ] -kf:ij;k f _ k - kq; f = kq;k f + = k J=O k (k) k-j+lj ak+lf jx y axk- j+1a y J J=O + k (k) k-JJ+I ak+lf jx y axk-jay)+l J=O j_1x H1 + (k) x j H1 k-)+l J aHI f y axk-j+1ayJ + k+I"( J=I k ) k-j+l y J ax a-k+l+1ayJ f kJ + Xk+1a f axH1 +~ (k)xk- j+J yJ a f . L...- j axk-J+1ayJ J=1 2.12 Derivadas parciales de ordenes superiores 235 +L k( k ) k-j+1 j u :>k+lf j_1 x y dXk-j+1dyj aHlf ax + aH1f ayk+1 +y :>k+lf k+1 u dyHI J=I = Mil f + x k +1 _k_ + /+1 __ 1 +f; [(k) + k j = k9ll f k+1 +~ L.., J=O ( k ) ] k '+1 . a I f k+ j - 1 x -J yJdxk-Hldyj =k9llf+x"+IaH1f +/+Idk+lf +~(k+1)x"-j+lyj aH1f dX H1 ayHI!--, j dXk-j+1ayj (k + j 1) x k- j+1 / . J=1 k+lf a . . = kfi} f dXk-J+1dyJ + q;k+1 f As hemos probado que q;(qff) = kqf f + q;HI f, que es la misma expresin (*) con k + 1. Ya estamos ahora en posibilidades de probar nuestro teorema. Se quiere demostrar entonces que siendo f una funcin homognea de grado a se cumple que aa = ( x-+yfJx ay )k f=a(a-l)(a-k+l)f para cllalquier entero positivo k. La prueba se har por induccin sobre k. Para k = 1 ya se ha demostrado el teorema (en el apndice de la seccin 7). Supongamos vlida la relacin anterior para k y probmosla para k + 1. Se tiene, usando la frmula (*) previamente demostrada (con k + 1) ~k I k ~k w+ f = q;(q; f) - kw 1 = hiptesis de induccin 1 = q; ( a(a - 1) ... (a - k linealidad de~ 1 + 1)f) - ka(a - 1) ... (a - k + l)f = a(a - 1) ... (a - k caso k=1 + 1)riJf - ka(a - 1) ... (a k + 1)1 + l)f =---+ <:lJf=af = a(a - 1) = a( a - 1) (a - k (a - + l)af - ka(a k + 1)( a - k) f 1) ... (a - k que es la frmula que el teorema establece con k + l. Ejercicios (Captulo 2, Seccin 2.12) En los ejercicios 1-5 calcule las derivadas parciales de segundo orden de la funcin dada. 1. f(x, y) = xseny + ysenx 2 36 Captulo 2 Funciones de varias variables 2. f(x, y) = xY 3. f(x, y) = arctan(xy) 4. f(x, y) = In(x + y) = (sen x)(sen y) 5. f(x, y) alx 6. Calcule las derivadas parciales de segundo orden de la funcin lineal f(XI, X2, ... , x,,) = + a2X2 + ... + a"x". 7. Sean f, 12, ... , f,,: IR -+ IR funciones de clase 1&2. Calcule las derivadas parciales de segundo orden de la funcin F:]R" -+ ]R dada por 3. F(XI, x2, "', x,,) = f(xI) F(x], x2, "', x,,) + h(x2) + b. c. e. f. = f~(xl) + l(X2) + F(x, x2,"', x,,) = f(x) + f1(X2) + = F(XI, x2,"', x,,) = F(x, x2,"', x,,) ff(XI)f1(X2) f(x)f1(X2) + f,,(x,,) + f;(x,,) + f:(x,,) F(X,X2," o,x,,) = fl(x)h(x2)'" f,,(x,,) f;(x,,) f:(x,,) , x,,) = 8. Sea f: IR" -+ ]R la funcin f(XI, X2, segundo orden de f. L7:/ XX+ l, Calcule las derivadas parciales de DernuestJre que cada una de las funciones dadas en los ejercicios 9-14 satisface la ecuacin = O (llamada "ecuacin de Laplace") 9. f(x, y) = x 3 - 3xy2 10. f(x,y)=(cosy+seny) f(x, y) = (x cos y 2 2 - y cos y) 12. (x, y) = -y (cos 2xy + sen 2xy) 13. (x, y) = In 14. f(x, y) yx2 +y2 b = 2_/ (2xy cas 2xy + (x 2 -y2) sen 2xy) 15. Constate que la funcin z = sen(x2 + y2) satisface la ecuacin 16. Constate que la funcin u = (x - at)2 + (x + at)3 satisface la ecuacin cPu -2 =a2 2 cPu at ax (llamada "ecuacin de calor"). 2.12 Derivadas parciales de ordenes superiores 237 17. En el ejercicio 62 de la seccin 4 se estableci que si g es una funcin real de variable real, diferenciable, y f(x, y) es una funcin con derivadas parciales, entonces la composicin g o f tiene derivadas parciales y stas son a , af ax (g o j)(p) = g (f(p ax (p), a. , af ay (g o j)(p) = g (f(p)) ay (p) donde p = (x, y) es un punto del dominio de f tal que f(x, y) est en el dominio de g. Suponga ahora que tanto g como f tienen derivadas de segundo orden .. Demuestre que 2 2 af (a f a ) ax2 (g o j)(p) = g'(f(p)ax 2 (p) + g"(f(p ax (p) 2 a2 . . . a2f a 2 (goj)(p) =g'(j(p a 2(P) y y axay (g o j)(p) + gfl(f(p (a f )2 ay (p) a2 = g (f(p I a2 f " afaf axay (p) + g (f(p ax (p) ay (p) En los ejercicios 18-21, g es una funcin real de variable real, de clase q2. Tome el resultado del ejercicio anterior para calcular las derivadas de segundo orden de las funciones F(x, y) indicadas. 18. F(x, y) 19. F(x, y) = g(2x+3y) = xg(xy) + g(y 20. F(x, y) = (x 2 + y2)g(X2 + l) 21. F(x. y) = g(g(x) 22. Sea z = g(x 2 +l). donde g es una funcin real de variable real, dos veces derivable. Demuestre que y-- - x - - - - =0 ax 2 ayax ay a2 z a2 z az Ntese que el ejercicio 15 es un caso particular de este ejercicio. 23. Sea u = <jJ(x - at) + ljJ(x + at), donde <jJ y ljJ son dos funciones reales de variable real, dos veces derivables. Demuestre que esta funcin u = f(x, t) es solucin de la ecuacin de calor Obsrvese que el ejercicio 16 es un caso particular de este ejercicio. 24. Sea z = x<jJ(x + y) + yljJ(x derivables. Demuestre que y), donde <jJ y ljJ son funciones reales de variable real, dos veces 2 38 Captulo 2 Funciones de varias variables 25. Demuestre que la funcin del ejemplo 3, f: IR 2 -> IR si (x, y) si (x, y) no satisface las hiptesis del teorema de Schwarz. i (O, O) = (O, O) 26. En el apndice de la seccin 7 se estableci el teorema de Euler sobre funciones homogneas: si f(x. y) es homognea de grado n, entonces af af x-+y-=nf ax ay Ms adelante probaremos que si una funcin f(x, y) satisface la relacin anterior, entonces f debe ser homognea de grado n (ejemplo lOde la seccin 2 del captulo 3). Se tiene entonces que la relacin anterior se satisface si y slo si f es una funcin homognea de grado n. En el apndice n de esta seccin, probamos que siendo f una funcin homognea de grado n, entonces tambin se cumpla que x2_ J ax 2 a2 .. a2 .. a2 f + 2xy-J- + l axay ay2 = n(n - I)f Ser esta condicin tambin suficiente para asegurar que f es homognea de grado n? La respuesta es NO. Demuestre que la funcin f(x, y) xy + -f satisface la relacin anterior con n = 2, a pesar de que tal funcin no es homognea. 27. Demuestre que si cf>(x. y) es una funcin homognea de grado n y jJ(x, y) es una funcin homognea de grado 1 n, entonces la funcin f(x. y) = q>(x, .v) + qf(X, y) (que en general no es homognea) satisface la relacin Vuelva al ejercicio anterior y explique lo ah demostrado a la luz de este ejercicio. 28. Tome el resultado del ejercicio anterior para demostrar que si cf> y jJ son funciones homogneas de grado cero, entonces la funcin f(x, y) = cf>(x, y) + xjJ(x, y) satisface la relacin 29. Sea z = f(x, y) una funcin homognea de grado a. En el ejercicio 28 de la seccin 7 se prob que las derivadas parciales de f, ~, son funciones homogneas de grado a - 1. Use el teorema de Euler sobre funciones homogneas aplicado a estas derivadas parciales para concluir que * f f (aax ) + y~ (aax ) = ay x~ (a f ) + y~ (a f ) ax ay ay ay x~ ax (a _ 1) = (a _ 1) af ax af ay 2.12 Derivadas parciales de ordenes superiores 239 Multiplique por x la primera de estas expresiones y por y la segunda, y luego sume las expresiones resultantes para obtener que Esta es otra demostracin del teorema de Euler sobre funciones homogneas (caso k = 2) estudiado en el apndice n. 30. Considere la funcin f: IR 2 -> IR homognea de grado Demuestre que para k E N, se tiene 0:', suficientemente diferenciable. donde QJ es la derivada de Euler definida en el apndice n. Utilice este hecho para una nueva demostracin del teorema de Euler sobre funciones homogneas. 31. Sean ; g: U <;:;; IR. 2 -> IR. dos funciones diferenciables. Demuestre las siguientes propiedades de la derivada de Euler: a. b. c. QJ(f + cg) = QJf + cQJg, c E IR (fg) = fQJg + gQJf -> '21(f) = g'd-/Qg, (para las (x, y) E U tales que g(x, y) 1=0) 32. Demuestre que las funciones fl!: IR IR, ti E N, dadas por 1 I ~_n sen ~ { six 1= O si x = O son ti veces diferenciables, pero no son de clase '15 11 33. Para funciones de varias variables no se estableci el concepto de "funciones k veces diferenciables", saltando, desde la clase '15 k - 1 hasta la clase '15 k Sugiere el lector alguna causa por la cual no se incluy este concepto?, qu sinificara decir que la funcin f: IR 2 -> IR. es dos veces diferenciable? 34. (Continuacin del ejercicio 31 de la seccin 6: un breve curso "hgalo usted mismo" de funciones de variable compleja. parte (ii): funciones armnicas). q. Un resultado clsico del anlisis complejo, que es consecuencia del teorema de Cauchy que estudiaremos en la cuarta parte de este problema (seccin 4 del captulo 7), en el captulo 7, establece que si la funcin fez) es holomorfa (es decir, existe !,(z) en todo z de su dominio), entonces esta funcin tiene derivadas de todos los rdenes. Es decir, la sola existencia de la primera derivada garantiza la existencia de las derivadas de todos los rdenes. En particular, -> es holomorfa, las funciones u, v: U <;:;; IR 2 -> IR son de (verifique que) si f: U <;:;; 2 clase '15 . Use este hecho, junto con las ecuaciones de Cauchy-Riemann, y el teorema de Schwarz estudiado en esta seccin para demostrar siendo f = u + iv holomorfa, las funciones u y v satisfacen la ecuacin de Laplace re re 2 40 Captulo 2 Funciones de varias variables (ver ejercicios 9-14). A una funcin F(x, y) que satisface esta ecuacin se le llamafimcill armnica. As pues, siendo f = u + iv holomorfa, las funciones u y v son armnicas. T. Considere la funcin holomorfa f(z) = Z3. Identifique sus partes real e imaginaria. Vea con nuevos ojos el ejercicio 9 de esta seccin. (Este ejercicio continuar en el ejercicio 18 seccin 3, del captulo 7.) Captulo Funciones compuestas, inversas e implcitas En este captulo continuaremos con el estudio del aspecto diferencial de las funciones de varias variables, considerando ahora funciones cuya descripcin es, o ms complicada que las del captulo anterior (como sern las funciones compuestas), o bien, cuya descripcin no es "explcita", como lo han sido las funciones estudiadas hasta este momento (las funciones implcitas). Recordemos rpidamente el tipo de resultados que, en estos temas, aparecan en el estudio de funciones de una variable. Si tenemos las funciones g: 1 S;; IR ---7 IR, f: J ~ IR ---7 IR (tales que g(l) ~ J), podamos formar la composicin fa g: 1 ~ IR -> IR., definida como (f o g)(x) = f(g(x. El resultado ms importante de esta parte del curso (la regla de la cadena) nos dice que si g es diferenciable en un punto Xo E 1 Y fes diferenciable en g(xo) E J, entonces la composicin f o g es diferenciable en xo, es decir, que (f o g)'(x) existe, y su valor no es ms que el producto de las derivadas de las funciones f y g. Ms bien (f o g)' (x) = f' (g(x)g' (x) o bien, con la notacin de Leibniz, si y = f(u) y u = g(x) entonces dy dx dy du du dx (la ventaja de esta nocin es obvia: sugiere a la vista que se cancela du y queda una igualdad trivial. Obsrvese sin embargo, que en ella no se hacen explcitos los puntos donde se calculan las derivadas). En el caso de funciones de varias variables, la situacin se har (en principio) ms complicada Tngase en cuenta que, para empezar, no podemos hablar de composicin de dos funciones j; g: U ~ IRn ---7 IR, pues la operacin de composicin entre funciones solamente se puede realizar cuando el rango de una de ellas est contenido en el dominio de la otra (yen nuestro caso ambas funciones I y g tienen rango en IR y dominio en IRn). Nuestro propsito en este captulo ser dejar claro el proceso de composicin de funciones de varias variables y luego estudiar "la regla de la cadena" en el caso general. En el caso de funciones inversas en una variable tenamos que si la funcin f: 1 ~ IR ---7 IR es inyectiva, con rango J ~ IR., se da la funcin f-I: J ~ IR -> IR., llamada inversa de f, tal que f- I (f(x)) = x, x E 1 Y fU- 1(y) = y, y E J Sabiendo que f es una funcin diferenciable tal 241 2 42 Captulo.3 Funciones compuestas, inversas e implcitas que f' (xo) i- O, Xo El, entonces podamos, al menos localmente, invertir diferenciable, cuya derivada se encontraba como f y obtener f- I tambin cr J)' (f(x)) = o con la notacin de Leibniz, si y = f(x), entonces dy dx 1 f'(x) 1 dx dy donde x = f-l(y). En el caso de funciones de varias variables esta situacin tambin se complica, pues se tienen que considerar funciones ms generales con condiciones ms generales (piense: tiene sentido hablar de "inversa" de una funcin f: U ~ IRn --> IR?). Este estudio nos llevar a uno de los clebres teoremas del anlisis, llamado Teorema de la Funcin Inversa, el cual estudiaremos en la seccin 6. Por ltimo, en el clculo de funciones de una variable, se consideraron expresiones del tipo F(x, y) = O, preguntndonos si podamos despejar a y en trminos de x, y dejar establecida una funcin del tipo y = f(x) (por ejemplo si F(x, y) = x 2 + y2- 1 = O no se puede obtener de ella una funcin y = f(x); y de F(x, y) = x 2 - y = Os se puede obtener la funcin y = f(x) = x 2 ) Cuando de F(x, y) = Opodemos despejar la variable y, y escribir y = f(x), decimos que sta ltima funcin est dada implcitamente en F(x, y) = O En realidad, el tema de las funciones implcitas no se puede abordar plenamente en el primer curso de clculo, pues para entender bien las cuestiones que en l se tlatan, se tiene que acudir a resultados ms elaborados (como los de un curso de clculo en IRn). Con la herramienta que hemos desarrollado hasta este momento estaremos en condiciones de llegar a entender bien la problemtica en tomo a las funciones implcitas, estableciendo, en la seccin 5, OtIO de los clebres teoremas del anlisis: el Teorema de la Funcin Implcita. Comencemos pues por estudiar cmo se hace la composicin de funciones de varias variables. 3.1 Composicin de funciones Componer funciones significa "sustituir una funcin en otra". Una manera sencilla de entender esto es la siguiente: si tenemos la funcin y = f(x) que establece la dependencia de y y x, y la funcin x = g(u), que establece la dependencia entre x y u, podemos sustituir esta ltima en la primera y obtener y = f(g(u)). A la funcin as obtenida (que manda u a y) se le llama composicin de f con g y se denota por f o g. En un esquema se ve como en la figura 1. Obsrvese entonces que para obtener la funcin compuesta "se ha sustituido la variable x de la funcin f por la funcin g que conecta a esta variable con otra, a saber, u" . Pasemos al caso de funciones de dos variables z = f(x, y). Siguiendo con la misma idea, para "componer" esta funcin tendremos que sustituir las dos variables x y y por dos funciones, digamos g\ y g2 que conecten a stas con otras variables, digamos otras dos variables u y v. As, si consideramos las funciones x = gl (u, v), Y = g2(U, v) podemos sustituir stas en la funcin f y obtener lafuncin compuesta y = f(gl (u, v), g2(U, v) 31 Composicin de funciones 243 ------ f Figura 1. Composicin de funciones En esta perspectiva, una funcin! de dos variables se compone de dos funciones que conectan cada tina de estas variables con otras variables distintas Ejemplo L Considere la funcin (x. y) = x 2 y + sen(xy). Si x ) = g2(1I, v) = l/V 3, entonces la funcin compuesta de f con g Y g2 es !(g(lI, v). g2(U, v = (g(u, v2 g2 (u, v) + sen(g(u, V)g2(U. v = (11 2 + \,2)2(uv 3 ) + sen((u 2 + v2 )(uv 3 Ntese que sta es una funcin distinta de f, g y g2: aqulla es la composicin de f con g Y g2 11 Ejemplo 2. Sea f(x, y, z) = 2x3 y2z + cos 2 (x + y + z). Sean tambin las funciones Entoces la composicin de f con g, g2 Y g3 es !(g(t), g2(t), g3(t = 2(g(t\g2(t2 g3 (t) ! + cos 2(g(t) + g2(t) + g3(t = 2e 3 (cos 2 t)t 2 + cos 2(e l + cos t + t 2) Una mejor manera de contemplar el proceso de composicin de funciones es pensando en funciones de ]](m en ]](n: la pareja de funciones x = g (u, v), y = g2(1, v) las podemos ver como una funcin g que va de ]](2 en ]](2 de la siguiente manera. A cada punto (u, v) E ]](2 la funcin g le asocia el punto g(u, v) E ]](2 cuyas coordenadas sern (x. y) = (g (u, v). g2(U, v (Figura 2) A las funciones g y g2 se les llama (por razones obvias) lasfnciones coordenadas de la funcin g Escribimos entonces g: JR.2 ----+ IR", g(u, v) = (g (u. v), g2(U, v. Por ejemplo, si g (u. v) = u + v, g2(U, v) = u 2 - v 2, entonces la funcin g:]](2 ----+ JR.2 es g(u, v) = (u + v, u 2 - v 2) Si tuviramos 3 funciones, cada una de ellas de una variable (como el ejemplo 2 anterior), digamos x = g (t), y = g2(t), z = g3(t), podramosjuntar estas tres funciones en una sola funcin g: JR. ----+ JR.3, de modo que g(t) = (g(t), g2(t). g3(t As, las funciones x = el, y = cost, Z = t 2 del ejemplo 2 se pueden ver como las funCIOnes coordenadas de la funcin g(t) = (el, cos t, t 2) 2 44 Captulo 3 Funciones compuestas, inversas e implcitas v y (x.) = (gl(U. v). g2(U. v)) v u u y x .X Figura 2. El punto (x, y) como imagen de gl(U, v) y g2(U. v) En general, los conjuntos de n funciones reales, cada una de ellas dependiendo de m variables, digamos XI =g(U,U2, ... ,U m ) X2=g2(U,U2, .. ,u m ) Xn =g/l(U,U2' ,u m ) se puede ver como una funcin g: ~m --t ~/l que toma al punto (u 1, U2, , u m ) E ~m y le asocia el punto (Xl, X2, , X n ) E ~n, para la cual las funciones dadas son sus funciones coordenadas. Las funciones g: U <;;;; ~m -> ~n definidas en el conjunto abierto U de ~ITI y tomando valores en el espacio ~n son las funciones ms generales que podemos encontrar en nuestro curso de clculo. El caso n = m = 1, es el de las funciones reales de una variable real que se estudiaron en el primer curso Si n = 1 Y m es arbitrario, se tienen las funciones reales de m variables que ya estudiamos en el captulo anterior.. En el caso general, si el codominio es el espacio ]R.n, debemos ver estas funciones como constituidas por n funciones reales de m variables (sus funciones coordenadas) En este punto se ve la importancia de estudiar primero las funciones de m variables g: U :;:; ]R.m --> IR., pues son los eslabones que componen a funciones ms generales g: U :;:; ]R.m --t ]R.n Ejemplo 3. La funcin g: ~2 --t ~3, dada por g(u, v) = (u 2 - 1'2, U + v, u ]R., - v) g3(U, tiene por funciones coordenadas a v) = u- v. g, g2, g3: ~2 --t gl(U, v) u + v, I!I!II Con esta perspectiva podemos ver mejor el proceso de composicin de funciones de varias variables como una sustitucin de unafuncin en otra (es decir, como un proceso entre dos funciones). Supongamos que tenemos la funcin f: ~n ---4 ]R. definida en el espacio]R.n Si consideramos la funcin g: ~m -> ]R.n, cuyo codominio ~n es el dominio de j, podemos formar la composicin f o g: ~m -> IR., definida como (f o g)(u) = f(g(u)) . (Figura 3) Generalmente, si tenemos la funcin f: U :;:; ]R.n --t ]R. definida en el conjunto U de ]R./l y la funcin g: V :;:; ]R.m -> ]R.n definida en el conjunto V de ]R.tIl, cuyo rango est contenido en U 3.1 Composicin de funciones 245 g f Figura 3.. Composicin de funciones (i.e. tal que g(V) ~ U), entonces podemos formar la composicin (f o g)(v) = f(g(v)), v E V. (Figura 4). f o g: V ~ IRm --+ IR, como Ejemplo 4. Considere la funcin f: U ~ IR2 --+ IR del ejemplo 1, {(x, y) = x 2 y + sen(xy). Si componemos esta funcin con la funcin g: IR2 -> IR2 , g(u, v) = (u 2 + v2, uv 3 ), se obtiene f o g: IR2 --+ IR, (f o g)(u, v) = f(g(u, v)) = f(u 2 + v2, uv 3 ) = (u 2 + v2)2(uv3 ) + senu 2 + v2)uv3 ), como se obtuvo en el ejemplo 1 componiendo f con las tres funciones coordenadas de g.. De la misma manera, podemos ver el ejemplo 2 como la composicin de la funcin f: IR 3 --+ IR, dada por f(x, y, z) = 2x 3 y2z + cos 2 (x + y + z), con la funcin g: IR-> IR 3 dada por g(t) = (el, cos t, t 2 ), obtenindose la funcin compuesta f o g: IR -> IR, dada por (f o g)(t) = f(g(t)) = f(, cos t, t 2) = 2e 31 (cos 2 t)t 2 + cos 2 ( el + cos t + t 2 ).. !II Ejemplo 5. Sea f: IR2 -> IR la funcin f(x, y) = 3x 2 + 5xy y sea g: IR3 --+ IR2 la funcin g(u, v; w) = (u 2 + 2uvw, u + v + w)., Podemos formar la composicin f o g: JR3 -> IR, la cual sera (j'og)(u, v, w) = f(g(u, v, w)) = f(u 2+2uvw, u+v+w) = 3(u 2+2uvw)2+5(u 2+2uvw)(u+v+w). Ms an, si consideramos la funcin h: IR2 -> IR3 , dada por h(a, f3) = (a + f3, a - f3, af3), podemos formar la composicin (f o g) o h: IR2 -> IR, que sera j' o g) o h)(a, f3) = (f o g)(h(a, f3)) = g Figura 4. Dominio y codominio de la composicin. 2 46 Capltulo 3 Funciones compuestas, inversas e implcitas ------------------- (f o g)(o: + f3, o: - f3, 0:(3) = 3[(0: + (3)2 + 2(0: + (3)(0: - (3)(o:f3)f + 5[(0: + f3? + 2(0: + (3)(0: (3)(0:f3)][0: + f3 + o: - f3 + o:f3l El lector puede verificar que llegaramos a este mismo resultado haciendo primero la composicin g oh:]K" -+ ]K" y luego componiendo con la funcin f, obteniendo la funcin f o (g oh): R 2 -+ R Es decir que (f o g) o h = f o (g o h) Esta funcin se denota simplemente f o g o h Esquemticamente fa(gah) gah ------'- fag (f a g) a h Figura S. Composicin del ejemplo 5 En general, si tenemos las funciones f: JRn -> JR, g: JRI1l -.; R n y h: RP - t JRI1l, podemos formar las composiciones f o (g oh), (f o g) ah: RP -> R Se puede demostrar que estas funciones son iguales, es decir que U o (g o h(x) = (U o g) a h)(x), \:Ix E RP. Estas funciones se denotan simplemente como f o g o h. Se tiene entonces (f a g o h)(x) = f(g(h(x). 11 Los conceptos de continuidad y diferenciabilidad para funciones f: U ~ JRn -> Rm, m > 1, se establecen en trminos de las funciones coordenadas de la funcin f De modo ms preciso, se dir que la funcin f = UI, h ., 1m) es continua (respectivamente, diferenciable) en el punto Xo E U, si y slo si todas y cada una de las funciones coordenadas k U ~ Rn --> R i = 1,2,.. , m, lo son La funcin f: JR2 -+ R 2, 1(x, y) = (x.lyl) es continua en todo su dominio, pues las funciones coordenadas fl, f2: JR2 -> R, fl (x, y) = x, h(x, y) = Iyl lo son. Esta funcin no es diferenciable en el origen, pues la funcin h(x, y) = Iyl no lo es.. Por otra parte, la funcin f: R 3 -> JR4, f(x, y, z) = (x + y + z, sen x + cos y, eX + z, arctan(xz 2 es diferenciable en todo su dominio, pues las funciones coordenadas f, h 13, 14: JR3 -> JR, fl(x. y, z) x + y + z, fl(x. y. z) = sen x + cos y, f3(x. y, z) = eX +z , f4(X, y, z) = arctan(xz 2 ) lo son. lllI Ejemplo 6. Ejercicios (Captulo 3, Seccin 1) a. Escriba la funcin g: JR2 1. f(x, y) En cada uno de los ejercicios 1-5 se da una funcin f: JR2 -+ JR y dos funciones gl, g2: JR2 -+ R -+ JR2 que tenga por funciones coordenadas a g, y g2 b. Determine la funcin compuesta F(u, v) = U o g)(u. v) = x, gl (u, v) = u, g2(U, v) =v 3 1 Composlclln de funciones 247 2. l(x, y) = senx 3. l(x, y) + seny, gl(lI, v) = u 2v, g2(U, v) = /IV =u = 3x' + 8\'5, gl(U, v) + v, g2(U, v) =u COSII x+v 4. f(x, y) = J ; ,gl(/I, v) = senil, g2(1I, v) = x- + y- + I 5. f(x, y) = arctan 35 (x + y), gl(lI, v) = U - v + n/4, g2(Li, v) = V --> 1l En los ejercicios 6-10 se da una funcin f: lR 2 fU(x, y), y); b. F(x, y) = f(x, f(x, y; c. fU(x, y), f(y, x 2 IR Determine las funciones: a. [(.r, y) F(x, y) = fU(x, y), f(x, y; d. F(x, y) 6. f(x, y) = ax + by 7. f(x, y) 8. f(x, y) =x y = senx + seny = arctan y 9. f(x,)=ln(I+lx[) 10. f(x, y) 11. Sea f: IRn -+ lR la funcin lineal f(xl,x2, x n ) = alx! + a2x2 + + anXI! + b Demuestre , n, la funcin que si componemos esta funcin con n funciones lineales g,: lRl! --> R i = 1.2, compuesta F: lRl! --> IR, F(x) = f(gl(X), g2(X), ,gn(x tambin es lineaL Compruebe que el trmino independiente de Fes F(O) = ;'=I a,g,(O) 12. Sea f: U c;: :R;I! --> IR la funcin f(xl' X2' ,XI!) = J... tI + J... {2 + .+ funcin compuesta F(XI, Xl, ,xn ) (La respuesta NO es "en todo JRI!") = l( +" +" , -t) J... X n Determine la Dnde est definida esta funcin') En los ejercicios 13-20 se dan funciones f, g, h definidas en algn conjunto de lRl! (algn n) y tomando valores en JR'" (algn m) . Identifique en cada caso los espacios JRn y JR'" del dominio y codominio de cada funcin, y, cuando sea posible, determine las funciones compuestas: a. f o g; b. h o g; c. f o g oh. 13. f(x, y) = x + 2y, g(u, v) = (3u, v). h(r, 5) = r + 4\ = .xy, g(u, 2 14. f(x, y) 15. f(x, y) v) = 22 (IIV, 11 V ), he,: s) = I = x + l, g(L/, v) = (11 + v, v = 5x + 3y, g(lI) = sen l/, u), hU) = (t, 2t) 16. {(x, y) 17. he,; s) = (~, ~~) sr (r2, 53, t 4 ) f(t, y, z) I = x + Z, g(lI) = (11, 2u, 3u), h(t) = t 2 UW, 18. f(x, y, z) /-::- xyz, g(u, v, w) = (uv, vw), he,; s, t) = 19. f(x, y, z)~ senx, g(u, v, w) = (u, v 34 , uvarctan 5 W), h(t) = (l, t 3, t + 4) --> 20. f(x, y, z) = 1, g(u, v, w) = (w, v, 11), he,; s, t) = (,2, rst, S5(4) --> 21. Determine funciones f: JR2 como F = g o f R g: lR --> JR de modo que la funcin dada F: JR2 c. lR se vea a. F(x, y) = sen(3xy) _. seny) F(x, y) Fex, y) = JI - x 2 _ y) y2 b. d. = nex - 2 48 Captulo 3 Funciones compuestas, inversas e implfcitas 22. Determine funciones f: 1R2 ---> IR, g: 1R 2 ---> 1R 2 de modo que la funcin dada F: 1R 2 como F = f o g ---+ R se vea a. b. F(x, y) = sen(x + y) F(x, y) = arctan 2 + cos(x - y) (5x + y2) + 3x - c. 2y d. F(x, y) = (3x - y)3 Ftx, y) = In + 4(2x + )4 ---> Ixyl + e-' R se vea 23. Determine funciones f: 1R3 ---> IR, g: 1R 3 ---> 1R 3 de modo que la funcin dada F: 1R 3 como F = f o g a. b. F(x, y, z) = x 2 + i' + Z2 F(x, y, z) c. d. = sen(x + y) + cos(y - z) + sen 2 (x + y + z) F(x, y, z) = (x + y + d + 5(3x - y)4 - IOz F(x, y, z) = In(l + x 2 + y2 + Z2) + x + y + Z ----t 24. Determine funciones f: IR 3 --+ R, gi: IR gl3 o g12 o o g2 o g o f, si R, i 1, 2, . , , 13, de modo que F 25. Considere las funciones f, g: 1R2 ----t 1R2 dadas por f(x, y) = (x + y, 2x + 3y), g(x, y) = (3x - y, -2x + y) a. b. c. Determine f(2, 4) Y g(/(2, 4 Determine g(2, 4) Y f(g(2, 4 Demuestre que las composiciones id: 1R2 ----t 1R2, id(x, y) = (x, y) ----t f y) ogygo f son iguales a la funcin identidad 26. Considere la funcin f: 1R2 F: 1R2 ----t 1R2, F = f o f? 1R2, f(x, = (y, x). A qu es igual la funcin compuesta 27. Sea f: 1R3 ----t 1R3, f(x, y, z) = (2x - 3y - 5z. -x + 4y + 5z. x - 3Y - 4z) . Determine la funcin F: 1R3 ----t 1R3, F = f o f. 28. D ejemplos de funciones f, g: 1R2 ----t 1R2 tales que: a. f o g = g o f; b. f o g i- g o f 29. Sea f: 1R3 -.:. 1R3, f(x, y, z) = (x + y + 3z. 5x + 2y + 6z. - 2x - y --, 3z).. Determine la funcin 1R3, F = f o f o f. 30. Se dice que la funcin f: 1R2 ----t 1R2 es lineal (en JR2), si sus funciones coordenadas fl, F: 1R3 ----t .h: 1R2 ----t IR lo son. Es decir, f es lineal si es de la forma f(x, y) = (ax + b l y + el. a2x + b 2y + e2). Sea f una funcin lineal en 1R2 tal que feO, O) = (O, O). Demuestre que f(p + aq) = f(p) + af(q), donde p, q E 1R2 , a E IR. Compruebe que las funciones de los ejercicios 25 y 26 son de este tipo. 31. Sea g: IR ----t IRn una funcin continua en Xo E IR, Y f: JRn ----t IR una funcin continua en g(xo) E IRn. Demuestre que la funcin f o g: JR ----t JR es continua en xo. (*)32. Sea f: JRn ----t JRm una funcin definida en JRn. Sea Xo E JRn afirmaciones acerca de la funcin f son equivalentes: a. Demuestre que las siguientes f es continua en xo. 32 Regla de la cadena 249 b. dado un E > O existe un 8 > O tal que Ilx - xoll < 8 -t Ilf(x) - j(xo)11 < E c. la imagen inversa de cualquier conjunto abierto (en ~m) que contenga a f(xo) es un conjunto abierto (en ~Il) que contiene a Xo Es decir, si llamamos B j(xo) a un conjunto abierto que contiene a f(xo), entonces (demuestre que) f es continua en Xo si y solamente si es un conjunto abierto (Ver ejercicio 83 de la seccin 3 del captulo 2). 3.2 Regla de la cadena Ahora estudiaremos la relacin entre la diferenciabilidad y las derivadas parciales de una funcin compuesta, con la diferenciabilidad y las derivadas parciales de sus funciones componentes Enunciaremos rigurosamente el teorema que establece la regla de la cadena para la derivacin y presentamos (de manera opcional) una demostracin en un caso concreto Quisiramos advertir, sin embargo, que en este tema, como sucede en algunos otros tpicos del clculo, existen dos aspectos que demandan atencin y esfuerzo por parte del lector para su comprensin: uno de ellos es el aspecto "terico" que est contenido en el teorema que presentamos y , desde luego, su demostracin El otro aspecto es el carcter "prctico": en l no interesar mucho escribir en detalle las frmulas de la regla de la cadena que aparecern en el teorema, sino ms bien adquirir habilidad en su uso para aplicarlas adecuadamente en distintas situaciones Creemos que, en un primer acercamiento a este tema, el segundo aspecto mencionado es sobre el que se debe poner atencin especial y a l se dedicar una buena cantidad de ejemplos en esta seccin. Teorema 3.2.1 (Regla de la cadena). Sea g: V <;;; ~m - t ~Il una funcin definida en el conjunto abierto V de ~1Il, diferenciable en Xo E V (esto significa que las n funciones , n son diferenciables en Xo E V) coordenadas de g, digamos g: V <;;; ~1Il --; IR, i = 1,2, Sea f: U <;;; ~n - t ~ una funcin definida en el conjunto abierto U de IRIl, tal que g( V) <;;; U, diferenciable en el punto g(xo) E U Entonces la composicin f o g: V <;;; IRIIl - t ~ es diferenciable en Xo y sus derivadas parciales son - . (f o g)(xo) = a. ax J" al ag -. (g(xo))-. (Xo), "ay, aX n 1=1 J j = 1, 2" m Demostracin. (OPCIONAL, caso m = n = 2). Se tiene la situacin siguiente (figura 1) en que las dos funciones coordenadas de g, g Z: V <;;; ~z - t IR son diferenciables en Xo y fes diferenciable en g(xo) Los puntos del dominio de g se denotan con coordendas Xi y los del dominio de f con coordenadas y As, Xo = (XI, xz) E V Y g(xo) = (YI, yz). La nocin de diferenciabilidad que manejaremos en la hiptesis de esta demostracin es como sigue: la funcin cp: B <;;; ~z - t ~ se dir diferenciable en el punto Xo del conjunto abierto B de ]Rz, si al escribir 25:J Captulo 3 Funciones compuestas im ersas e implcitas I lag Figura L Las funciones I y g donde H = (h j, h 2 ) es Xo + H E R, la funcin P definida en alguna bola abierta de IR 2 con centro enO, es tal que prO) = OY es continua en O, es decir, lmll~o p(H) = O El lector puede verificar la equivalencia de esta definicin con la dada en el captulo anterior (ver ejercicio 29 de la seccin 6. captulo 2) Nuestra hiptesis en el teorema ser entonces: La funcin g: V r;:: Es decir i{2 .~ IR (la primera funcin coordenada de g) es ditcrenciable en Xo E V gl(xo + H) = g(xo) + -.-(xo)h l + -(xlI)h 2 + IIH:lpl(H) dx cJX2 (ig (jg I donde PI (O) = O YImll __ o PI (J:I) = O 11 La funcin g2 V r;:: L: 2 ~ Es decir E( (la segunda funcin coordenada de g) es diferenciable en Xo le: V donde P2(0) = O Y lmH~o P2(H) = O 111 La funcin f: U r;:: IR 2 ~ IR es c1iferenciable en g(xo). Es decir j(g(xo) + K) = j(g(x())) + -;--(g(xlI))k l + -'-(g(xl))h + IIKllpl(K) rJy (/';'2 al (JI donde P3(0) = O Y lmK~o P3(K) = O. Nuestro trabajo consistir en probar la diferenciabilidad de la funcin la definicin del captulo anterior). Es decir, que si escribimos (f o g)(xo f o g en XII (en el sentido de + H) = (f o g)(xo) -+- Ah I -+- Bh 2 + I(H) * (donde en A y R debern aparecer las derivadas parciales de log respecto de.\ I Y\2. respecti\amcntc), se debe tener que un 1I.!J .' 1(11) [jH ji ~-- = () 3:2 Regla ue la cadena 251 Comencemos: (f o g)(xo + H) = l(g(xo + H = l(g,(xo + H), gl(XO + H usando i Y ji nos queda Llamemos Entonces Al utilizar iii. nos queda (r o g)(Xo + H) = I(g(xo) -+- K) f (IOI,')(xo+H)= l(g(xo + af(g(xo)k + a , Ol, a\2 Haciendo C'\plcit~ls bs coonJenadas de K, k ) k,. nos queda (f o g)\X + H) = (jf (' (;li". ,(j.!? '1' ., /(g(xo + --o (g(xo)-"'-\xo)l1 + -:-.-(xo)!z, + I Hip(H) ) ch', rJx ()x, a+ -'.f . (g(xo ,h:2 = (' -,)-(xo)h, rJg2 C.l, I \ Jg 2 " ) li + -'-(xo)h:2 + fIH!ip:2(H) +' K., [[p3(K) c!x:2 1 l' -;-. (gIXo)-,-(xo) (1 \ , c! X , ,(l I . lg! . f(g(xo', -,.-\g(x o -(Xo) -. eh ,DI . . ' ,l.!?, cJg 2 , ). 11[ --- ,(cJ f --(glx o)--. IX!)) --ay aX:2 Xii , ,cJg, H . --o (g(xo)-:-'---. (X!) Jf \, ) a\, jl12 eI.t, T- , al g ) TI) 11 af + -;- g dV2 Xo I'H" TI' Ji IIP:'(I) + "K't [J) (K) il I Comparando esta ltima expresin con (') podemos escribir que A = cJ.. iif g - ( f o g)(x ) = -,--(g(xo-(xo) cJx ly, ax, cJ. JI agl + -,-(g(xo-,-(xo) eI)2 dx B = -,-( f cJXl . o g)(xo) = - (g(xo-(xo) + a\ , aX2 (H) (J af cJg --(g(xo_':'_(xo) af ag2 aV:2 aX2 iJf . , " lB) == -:)-(g(xoi!,H (l, lf, 1I + -:;--(g(x!))'1 H"P2(H) + 11' K \:2 \() 2 52 Captulo 3 Funciones compuestas, inversas e implcitas en lo que se establecen las frmulas de las derivadas parciales de la composicin f o g respecto de XI y X2. Queda por demostrar que el residuo r(H) cumple con la propIedad requenda Se tiene r(H) al i1HiI = aYI (g(xoPI(H) + dY2 (g(XoP2(H) + ~HITP,(K) JI ilKIi Es un pequeo trabajo tcnico, que dejamos al lector, probar que la cantidad !:~I: se mantiene limitada para H en una bola con centro en el origen de IR 2 Siendo as, al tomar lmite cuando H ---> O, vemos que los dos primeros sumandos tienden a cero pues, PI y P2 tienen dicha propiedad, y el tercer sumando, al mantenerse limitado el factor j:~i: y tender P, a cero (pues si H ---> O tambin K ---> O, y p,(K) tiene la propiedad de ImK~o p,(K) = O) tambin tiende a cero Con esto probamos que , r(H) ." Q,E ,D 1lmH--->O TfHTI - O como quenamos, La frmula del teorema anterior adquiere una apariencia especial si la funcin g depende de una sola variable Ms en concreto, si tenemos la situacin siguiente g j(g(l)) fog Figura 2. Caso especial de la regla de la cadena Vemos que g es una funcin de n funciones coordenadas, cada una de ellas dependiendo de una sola variable, digamos t Al hacer la composicin con l, se obtiene tambin la funcin rea f o g que depende slo de t, Para estas funciones, las derivadas parciales de las frmulas del teorema anterior son derivadas totales, quedndonos como 'd-U t d , o g)(t) = (f o g)'(t) = "JI d L -(-(g(t~(t) dt j=I aX J donde g, i = 1,2, ,n, son las funciones coordendas de g, Antes de empezar a ver algunos ejemplos, veamos la demostracin ya prometida desde la seccin 8 del captulo anterior del hecho de que el gradiente de una funcin di ferenciable f: U ~ IR" ---> IR en un punto Xo E U, es ortogonal a la curva (o superficie) de nivel de f que pasa por xo, hecho que 32 Regla de la cadena 253 foA -E E Figura 3. Grafica del nivel e de f. ya hemos usado en repetidas ocasiones y del que se haba dado un argumento geomtrico que lo validaba Consideremos pues la funcin diferenciable f: U ~ IRn -> IR definida en el conjunto abierto U de IRn y sea Xo E U. Sea e = f(xo) La curva (o superficie) de nivel que pasa por Xo (el nivel e de f) es s = {x E IRnlf(x) = e} Sea X un punto cualquiera de S y sea v E IRn un vector tangencial cualquiera a S en x. Queremos ver que el vector grad f(x) es ortogonal a v . (Como x y v son arbitrarios, esto probara lo que deseamos: que el vector grad f(x) es ortogonal a la curva de superficie de nivel que pasa por x.) Tomemos una funcin A: 1 = (-E, E) ~ IR -> IRn tal que A(O) = x, A/(O) = v, y A(t) E S, \/t E l. Una funcin de este tipo se llama "curva en IRn" . El estudio de estas funciones se efectuar en el captulo 5. Nuestra curva A que estamos considerando es tal que su imagen cae completamente sobre el nivel e de f, pasando en t = O por el punto x y teniendo ah por derivada (la cual, como veremos luego, es un vector tangente a la curva) al vector v.. Consideremos que A es diferenciable, lo que significa que si A = (A[, A2, .. , An ), las funciones coordenadas A: (-E, E) -> IR son funciones diferenciables. Esquemticamente Podemos formar la composicin f o A: (-E. E) -> R Se observa que (f o A)(t) = f(A(t)) = e, por estar A(t) siempre en S. Segn la regla de la cadena tenemos, derivando, que -(f o A)(t) at a. = I: -(x)-(O) = O n af aA, at ;=1 ax Podemos ver el lado izquierdo de esta expresin como el producto punto del vector grad f(x) = llaa (x)" llaa (x) y el vector A'(O) = (A; (O), . ,A~(O)) = v Hemos entonces probado que Xl x" grad f(x) v = O lo que muestra la ortogonalidad de grad f(x) con v, como queramos Veamos ahora algunos ejemplos 2 54 Captulo 3 Funciones compuestas, inversas e implcitas Sea f: U ~ IR2 -> IR la funcin dada por f(x, y) = x 2 + 3 y2, Y sea g: U C;;; R -. IR 2 la funcin g(t) = (el, cos t). Podemos, sin hacer explcita la composicin f o g: IR -> IR, calcular sus derivadas parciales usando la frmula dada en el teorema anterior Ejemplo 1. --(f o g)(t) at a. al a al a = --;:--(g(t-;-(e + --:.-'-(g(t)-;-(cos t) l ) elX dI dy dI = 2Xlg(I)(el) + 6Y!g(l)( - sen t) = - = 2/ el + 6 cos I( - sen 1) = 2e 21 6 cos t sen t Se puede llegar a este mismo resultado haciendo primero la composicin (f o g)(t) = f(g(t) = f(, cos 1) = e 21 + 3 cos 2 1, y derivando directamente en ella, como se comprueba fcilmente 11 Ejemplo 2. Sea f:l1;r.2 -> R una funcin tal que grad f(1.I) = (2,4) Y g:lR'---> R 2 una funcin tal que sus funciones coordenadas g: IR 3 ---> Il:t., i = 1. 2, tienen los siguientes gradientes: gradgJ(l, 1, 1) = (2, -3), gradg 2 (1,I, 1) = (-5,4). Si g(1, 1, 1) = (l, 1), se quiere hallar o g)(l, 1. 1) Segn la regla de la cadena (llamando (x, r, z) a los puntos de IR' y (u, v) a los de IR 2 ) se tiene -I!xu --;-(f o g)(1. 1, 1) i a. = = = aj lg if . ig2 --;-(g(l, 1, ])--(1,1,1) -+- --;-(g(1. 1, 1)--;--(1, 1. 1) du rJx dI <Ix (Jj ig af rJg 2 -(1, 1)-(1, 1, 1) -1- -(1, 1)-,-(1. 1,1) al! rJx lv dx (2)(2) + (4)(-5) = -16. 11 Una vez establecido el teorema importante de esta seccin. con la notacin y rigor adecuados, pasemos a la parte "operativa": ahora nos interesa sacar prO\ echo del teorema para hacer 'el! lo de derivadas de ciertas funciones compuestas La situacin tpica que se presenta en la prtica (donde se suele ser poco riguroso, incluso en la notacin), es la siguiente: si tenernos una funcin z = z(y, Y2, , YIl) ele n \' ariables y cada una de ellas es a su \' ez funcin de OtDS I/J \ ariables, digamos ", = y,(xl X2, ,xm ) (observe que --como es normal en estos tcoremas--- U'::1I110S las mismas letras ";.", "y" para denotar a las funciones z: RTl --> TI<, y: st'" ---> IR as como a sus irngcnes), entonces podemos formar la composicin z(y(X, ,X m ),Y2(X, ,x m ), ')'n(xJ, ,x m ) Xi de la cual nos interesa obtener las derivadas parciales respecto de las variables Atencin: suele ser muy comn denotar esta funcin como z=z(y(X, ,Xm ),Y2(X,. ,x,,j, ,Yn(x x", y escribir i = 1,. . m, para la derivada parcial de ella respecto de Xi. Esto puede ser motivo de confusiones (ver ejercicio 22 al final ele la seccin). Sin embargo, tiene la "ventaja" ele hacer an ms simple la notacin en el proceso del clculo de las derivadas parciales de la funcin compuesta %:' ._------~ 3 .2 Regla de la cadena 255 funciones dadas YI Z = y(x, X2, ,xm ) ,xm ) Y2 = Y2(X, X2, = z(y, h ,Yn) 1 Z se componen x",), . . , Yn(x, .X2, = Z(YI(XI, X2. Xm )Y2(X. X2, XIII)) funcin compuesta Segn la regla de la cadena se tiene entonces j = 1,2, ,1Il No podemos negar la ventajosa simplicidad de la frmula de las derivadas parciales de la funcin compuesta con esta presentacin, respecto de su anloga que apareci en el teorema anterior. Su ventaja es clara: nos permitir una mecanizacin operativa fcil en el clculo de derivadas y nos permitir "ver" claramente el proceso involucrado en el clculo Sin embargo, debemos hacer notar que: 1 no se hacen explcitos los puntos donde estn calculadas las derivadas; 2 se usan letras iguales para denotar cosas distintas, a saber 1 , ~=~ ax) . a Y, 1=1 T , 1 2 3 4 se refiere a la funcin compuesta de variables XI, .X2, , XII J n se refiere a la funcin dada se refiere a la i-sima funcin dada con que se compone la funcin z se refiere a la i-sima variable de la funcin dada Estos hechos se deben poder manejar naturalmente despus de una buena cantidad de ejercicios Ejemplo 3, Si z = x2 + 3i, donde x = az ay + -- = ay at 6 cos t sen t el, y = cos t (ver ejemplo 1), entonces 2e e - rJz rJz. rJx - = -- at ax at - 2.xe - [ 6ysent = [[ 6 costsent = = 2e 21 Ejemplo 4. Si z = x 2e v', donde x = uv, y = u2 - v 3 entonces az az ax az ay - = - - + - - = 2xe v' v + 3x 2 v2 e " (2u) au ax au ayau ' az - - + - - = 2xe v' u + 3x 2 v2 e v' (-3v 2 ) az ax az ay - av JxJv ayJv . 2 56 Captulo 3 Funciones compuestas, inversas e implcitas Ejemplo 5. Si u = 3x 2 lz 2 + 6 sen(xyz), donde Entonces -=--+-.-+--= av ax av ayav az av = (6xiz 2 + 6yz cos(xyz(4w 2) + (6x 2YZ 2 + 6xz cos(xyz(10v) + (6x 2 lz + 6xycos(xyz(3v 2) au au ax au ay au az -' = --- + - - + - = (6xiz 2 + 6yz cos(xyz(8vw) + (6x 2iz au aw ou ax ox aw au oy ay aw au az az aw + (6x 2YZ 2 + 6xz cos(xyz(30w 2) + 6xycos(xyz(0) Ejemplo 6. Consideremos la funcin z = f(x 2 + y3, 2x 2 -l) Obsrvese que sta se presenta ya como la composicin de z = f(u, v) con las funciones u = x 2 + l, v = 2x 2 -.l Se tiene entonces az = ofau + afav =2xaf +4xof ax au ax az = afau ay ou ay av ax + afav au =3lof av ay . au _.2/ f ov av Llamamos la atencin al hecho de que las letras x, y, z, u, v, w no tienen (en estos temas) 'posiciones privilegiadas" para representar las variables de algunas de las funciones que componen (o bien de la funcin compuesta), En este ejemplo, u, v juegan los papeles contrarios a x, y respecto del ejemplo 4" 141 Ejemplo 7. La funcin Z = f (~) se debe interpretar como la composicin de la funcin de una sola variable z = z(u) con la funcin de dos variables u = ; (quedando as la composicin como funcin de las variables x y y). Entonces oz = of au = f/(IJ) ax au ax / ,.. az oy au ay (_,1) Y y2 = af au = f'(u) (_~) 11 Ejemplo 8. Decir que una funcin satisface una ecuacin significa que es solucin de la ecuacin, entendindose "solucin" en el sentido clsico: al sustituir "la solucin" en la ecuacin, sta queda reducida a una identidad. Por ejemplo en la ecuacin algebraica x 3 + 3x 2 - 4x 2 = O, tenemos que x = 1 es una solucin, pues (1)3 + 3(1)2 - 4(1)2 = O es una identidad (otra solucin es x = O), Del mismo modo, en la ecuacin diferencial ordinaria y" - y' - 2y = O, la funcin y = e2t es una solucin, pues al sustituir esta funcin en la ecuacin obtenemos (e 2t )" - (e 2t )/ - 2e 2t = 4e 2t - 2e 2t - 2e 2t = O que es una identidad (otra solucin es y = el, verifique). De la misma manera, podemos comprobar 32 Regla de la cadena 257 que la funcin z = f(x + y, -x -- y) donde f es una funcin diferenciable cualquiera (de IR 2 en IR) es solucin de la ecuacin diferencial parcial az az -----=0 ax ay En efecto, poniendo u = x + y, v = -x - y se tiene az af au af av af af af af - = - - + - - =-(1)+ -(-1) = - - - ax au ax av ax au av au av az af au af av af af af al - = - - + - - = -(1) + -(--1) = - - ay au ay av ay au av au av de modo que al sustituir estas derivadas en la ecuacin se obtiene az az af af a1 af ----=-----+-=0 ax ay au av au av que es una identidad Ejemplo 9. (De nuevo el Teorema de Euler sobre funciones homogneas). En el apndice de la seccin '7 del captulo anterior (en el corolario del teorema ah presentado) vimos que si f: IR" -> lR es una funcin homognea de grado a, digamos z = f(x, X2, ,x,,), entonces sta satisface la relacin af af af XI-O + X2- + +x,,- = af ax aX2 ax" Veremos ahora otro argumento que muestra este hecho, usando las ideas estudiadas en esta seccin. Siendo f una funcin homognea de grado a tenemos que f(tx) = f(tX, tX2", tx,,) = taf(x, X2, ,x,,), t >O ,11,,) La expresin f(tx, tX2,' ,txll ) se puede ver como la composicin de la funcin f(u, U2, con las n funciones Ui = tXi, i = 1,2, , n, que son funciones de las variables t y x,, Derivando ,tx,,) = t a f(x, X2,' ., x n ) respecto de t, obtenemos entonces la igualdad f(tx) = f(tx, tX2, af au af aU2 -_.-+--+ au at aU2 at alau" + - - = at a-f' (X,X2, aUn at o sea (como 0/1, 01 = x-) af xau +Xo- al -aU2 + + Xn -af au" = at a- .f'( x , X2, ' , Xn ) Poniendo t = l obtenemos finalmente af Xax + X2- +'" + X,,- = a~ a~ al al af(x,x2, "x,,) (donde volvemos a llamar X, X2, quedan ya calculadas en (x, X2, establecer ,xn a las variables de la funcin f, Ntese que estas derivadas , XII), como tena que ocurrir), que es relacin que querfamos lIIJlI 258 Captulo 3 Funciones compuestas, imelsas e implcitas Ejemplo 10. (El recproco del Teorema de Euler sobre funciones homogneas) ahora que la funcin f: IR" - t R satisface la relacin Supongamos XI-+Xo-+ ax} lX2 af aj + X,,-,- = aj rJx" lj (con las derivadas y la funcin calculadas en (XI, X2, ,x,, Veamos entonces que esta funcin debe ser homognea de grado a Consideremos la funcin 'P: R+ - t ]K de la variable t dada por 'P(t) n = "--------a f(txI,tx2, t ,(X ) Si derivamos esta funcin obtenemos t a (Xl lj_ 'P1(t) = au} = + X2ar + au, l j '+X,,- ) -at a-I'" j(tXI,(X2, lun , (X,,) t 2a en que llamamos u, = (Xi, i 1,2, ,Il, Podemos reescribir esta ltima expresin como H H) a-I f'( , , [Xn) ( Ul o",+U2 H 0"2+ ,+u"o,," - a t , tX}, 1.x 2, 'P1(t) = - - - - - - ' - - - - - - - - , - 0 - - - ' - . - - - - - - , - 2a t Atendiendo a la relacin que satisface (por hiptesis) la funcin 'PI (t) f tenemos a t = ---'---Xl, tX2, a-} ( j'(t ,(X,, - at a - I f(tx}, (X2, t 2a As que 'P'(t) = O \lt E jR+ Como consecuencia del Teorema del Valor Medio, concluimos que 'P debe ser una funcin constante, De hecho, como 'P(l) = f(xI, X2, ,xn ), tenemos f(txl, tX2, 'P(t) = - - - a t , txll ) = f(xI, X2, ,xll ), \lt> O o sea f(tx, (x2' " txn ) = taf(x}, X2, , x n ), \lt homognea de grado ex, como queramos demostrar.. > O, lo que nos dice que f es una funcin 11 Ejemplo 11. Consideremos la funcin z = z(x, y) que se compone con las funciones x = x(u, v), y = y(u, v) Ya sabemos entonces que las derivadas parciales respecto de u y v de la funcin compuesta son az az ax az ay au ---+-ax au ayau az azax azay -=---+-al' lx al' lyal' Queremos ahora obtener la derivada parcial de segundo orden l l 11 B" Es decir, queremos obtener (az) ;; = lu iJ (az iJx lz ay) a (lZ ax) l (lZ ay) lx a1l + ly lu = lu lx lu + l1l lyau 3.2 Regla de la cadena 259 Debemos ser muy cuidadosos al calcular estas nuevas derivadas parciales indicadas. Es necesario reconocer adecuadamente las nuevas funciones Uunto con sus variables) que vamos a derivar. Por ejemplo, el smbolo ~ que aparece en la expresin anterior representa la derivada parcial de la funcin x = x(u, v) . Derivar esta nueva funcin respecto de u no representa problema alguno, pues (~) = Una situacin similar se presenta con la funcin ~ Un problema menos esto es evidente se presenta con las expresiones ~ y ~.. Estas representan las nuevas funciones que se obtienen al derivar respecto de x y y a la funcin dada z = z(x, y). Sin embargo, no est claro (no se hace explcito en esta notacin) que estas derivadas parciales estn calculadas en x = x(u, v) y y = y(u, v), (sugerimos al lector que revise nuevamente la frmula de las derivadas parciales de la funcin compuesta establecida en el Teorema de esta seccin), es decir, que estas funciones son nuevas funciones compuestas -k B. az ax(x(u, v), y(x, v, az -(x(u, v), y(u, v ay que queremos derivar respecto de u . El esquema que debemos tener siempre presente es el siguiente: si representa una funcin de las variables x, y, en la que x, y son funciones de u y v, entonces O a~L-J = a -- a --ax a --ay axL-.-Jau + ayL-Jau z= z(x, y) y ahora lo tenemos Este hecho ya lo aplicamos al principio del problema con la funcin que aplicar con las funciones -aJe y ~ . As, x vy y ~I(:~)=~(~):~+~(:~):~ =---+-a2 z ax axayau a2 z ay ay2 au Retomando nuestro problema original tenemos a2 z a (az ax) a (az ay) derivadas de productos au 2 = au ax au + a;~ ayau de dos funciones ) az a (ax) ax a faz) az a (ay) = ax au au au au \. ax ay'au au 2 2 2 az a x ax (a z ax a z ay) a? a2 y = ax au 2 au ax 2 au ayax au ayau 2 + + + + ay a + au (az) au ay a z a + + ( dxay ax + z ay) au au ay au ay 2 2 2 o bien, simplificando (y suponiendo que la funcin z es lo suficientemente bien portada para que sus derivadas cruzadas sean iguales) nos queda 2 60 Captulo 3 Funciones compuestas . im ersas e implcitas De manera anloga, el lector puede obtener ias expresiones Ejemplo 12. Obtengamos las derivadas de segundo orden de la funcin compuesta z f (u 2 + v2 , ;). Llamando x = u 2 + v2 , y = ~, tenemos que las derivadas de primer orden son - = - - + - ----'-- = 211- + - - az au az ux az a, i)z 1 az axau ayau ax Va) ll. = al. ax + ll. ay = 2v al. _ ~ (}l. av iJx lv ay av ax v2 ay Obtengamos ~~~ siguiendo las indicaciones del ejemplo anterior az 1 az = 2u -(J (iJl.) + - -(J (2u) + - -a (az) + - -a (1) au ax axau vau a) ayau v a2l. -- + -2z - + 2- + - ( 0_- - + -- ax a- ay) Iz 1 a:'z IX a2z ay) = 2u ( ax 2 au (Jyclx au ax v axayau J,2 au 2 2z iPl. iPz lz az =2u ( --2u+-- +2-+- (a --(2u)-l-- ax 2 ayax v ()x v axay 'a y2 v o (1)) 1 (1)) Obtengamos 2 2az 4u a2z 1 a2 z al. =4u - 2 + - - - + -_o +2ax v iJxay v2 ay2 lx a2 z -auav + a.z (_~) 2 ay v 3.2 Regla de la cadena 261 Ejemplo 13. Una ecuacin muy importante en la Fsica Matemtica es la Ecuacin de Laplace Supongamos que la funcin z = f(x. y) satisface la Ecuacin de Laplace Veamos entonces que la funcin z = f(x - 2)'. 2x + y) tambin la satisface En efecto, llamando u = x - 2)', v = 2x + y, tenemos Entonces y2z y2z y2z az za - 2 + - 2 = 5 - + '5~ = .5 (a ' + - z) = O -2 ax ay au 2 av 2 au av 2 2 2 2 pues, por la hiptesis, la funcin original z satisface la Ecuacin de Laplace . Ejemplo 14. Una situacin que se presenta con cierta frecuencia en las aplicaciones, es efectuar "cambios de variable" en expresiones diferenciales (expresiones que contienen una funcin determinada -de una o varias variables- y sus derivadas). Esto se logra aplicando conectamente la regla de la cadena en las expresiones de cambios de variables Veamos un ejemplo importante. 2 62 Captulo 3 Funciones compuestas, inversas e implcitas Dada la funcin 1: U ~ ]Rn -; ]R (suficientemente diferenciable), se le asocia a ella su laplaciano, denotado por \J21 y definido como \J21 = af +af 2 2 ax 2 az 2 (Obsrvese que la Ecuacin de Laplace del ejemplo anterior es \J2 Z = O). Se pretende ver cul es la expresin dellaplaciano en coordenadas polares. Ms bien, supongamos que en lugar de las coordenadas cartesianas x, y, con las cuales ellaplaciano tiene el aspecto mostrado arriba, trabajamos con las coordenadas polares r, 8 y con la funcin z = F(,; 8) = f(r cos 8, r sen 8). La pregunta es: cul es el aspecto dellaplaciano con esta nueva funcin? (tenga en cuenta que sta no es ms que la composicin de la funcin dada z = f(x, y) con la funcin C(,; 8) = (r cos 8, r sen 8), que establece el cambio de coordenadas de polares a cartesianas). Esquemticamente 8 )' ~' C(,; 8) = (r )' cos 8, r sen 8) 8 --+--_........:.- -+ x x Figura 4. Esquema del paso de coordenadas cartesianas a polares De la funcin z = f(r cos 8, r sen 8) tenemos az afax afay af aj = - - + - - = cos 8 - + sen 8 ar ax ar ay ar ax ay az afax al ay af af - = - - + - - = -rsen8- +rcos8a8 ax a8 ay a8 ax ay - Obtengamos las segundas derivadas -'2 y a2 z -2 z a2 ar a8 ~:~ = :,. ( ~~) = 2f 2f 2f y a a2fay) ax a a = cos 8( -ax 2 -ax + - - - + sen 8 (a - - + - - ) ar ayax ar axaya,. ay2 ai 2 2 2 a2 f2 af ) ( aI af ) = cos 8 -a cos 8 + - - sen 8 + sen 8 - - cos 8 + -.-2 sen 8 = cos 2 8-2 (x a2f ax axay ayax ay + 2 sen ecos e - - + sen 2 8 2 axay Jy a2f a2j 32 Regla de la cadena 263 Tambin 2 a z = !-(az) = -l'seno!-(af) + af !-(-rseno) a0 2 ao ao ao ax ax ao f a+rcosO- (a ) ao ay 2f ax ao af a + - - ( rcosO ) ay ao --- a ax = --rsenO ( -2- + a2fay) af + -(-rcosO) ayax ao ax af a2f ax a2fay) + rcosO ( ._- - + - . - - + -(-l'senO) axayao ay2 ao ay = -r sen O( -2 (-rsen O) + -.-(rcos O) a2f ax a2 f ) af +rcosO ( --o (-rsenO)+-2(l'cosO) -rsenOaxay ay ay a2 f ayax a2f ) af - rcos 0ax af af = l' 2 sen 2 0 - - 2r 2 sen Ocos 0 - 2 2 2 axay 2f a af af + r2 cos 2 0 - - rcos 0- - rsen 0ay2 ax ay ax Buscamos despejar de las expresiones aniba obtenidas, el laplaciano 2 ~+ ffi, Se observa que dividiendo por r la derivada ~ y sumndola con ~ se llega a la expresin buscada, ms un par de trminos fciles de identificar. 1 a2z -, - 2 + - 2 = sen 0 - _. 2 sen Ocos 0 - - + cos 0 axay ay2 r2 a0 al' ax2 - - cos 0- - _. sen 0- + cos2 0 2 a2z 2 a2f a2f 2 a2f 1 r af ax 1 r af ay a2f ax + 2 sen Ocos ( J - - + sen 2 0 2 a2 f a2 f ay axay =- 2 2 a f + - f - - ( cosO- + senOa 1 af a ax 2 ay2 r ax ay v f) j '----v----'" Laplaciano az a,: Entonces a2 f a2 f 1 a2 z a2 z 1 az - + - = - - -2 - 2 - 2 2++ ax ay2 r a0 ar r al' Dejemos pOI' un momento "las cuentas" y regresemos al "detalle" de la teora, que nos permitir comprender de una manera global el teorema demostrado en esta seccin 2 64 Captulo 3 Funciones compuestas, inversas e implcitas Ejercicios (Captulo 3, Seccin 2) En los ejercicios 1-15, identifique la(s) funcion(es) g que se est(n) componiendo con la funcin f (la cual suponemos diferenciable), y obtenga las derivadas parciales de la funcin F indicada, las cuales involucran a la composicin de f con g (ver ejemplo 6) 1. F(x, y) = f(ax + by) 2. F(x. y) = xf(xy) 3. F(x, y) = x 2 f(x sen y) -- yf(2xy) 4. F(x. y) = f(2, xy) 5. F(x, y) = f(Y. x) 6. F(x, y) = f(x, y) + f(l, x 2) z) 7. F(x, y) = f(x - y. x + y) + f(x + y. x - y) 8. F(x, y, z) = f(x + y. y - 9. F(x. y, z) = f(x, xy. xyz) + f(xyz, xy, x) x 2y2 z 2) 3z, 2x 10. F(x, y. z) = f(xlz 3 x 3y2z. 11. F(x. y, z) = f(x + 3 y, 2y - + 7y - 6z. x - y - z) 12. F(x, y, z) 13. F(x, y, = f(l - x. 2 - y. 3 - z) z, u) = fe-x, -y. -z, --u) 14. F(x, y, z, u) = f(sen x, cos y. tan z. cot u) = f(XX2. XIX3, XX4, X2X3. X2 X4. X3 15. F(x, X2, X3. X4) X4) En los ejercicios 16-20 se dan funcumes F(t) que involucran la composicin de una funcin real diferenciable f definida en algn espacio JRn y una funcin g diterenciable definida en IR y que toma valores en JRn En cada caso iden.ti-fique la funcin g y obtenga la derivada F'(I) 16. F(t) 17. F(t) = f(8t 2 + 13t = f(3t + 2. St = tf(t. t, t) 1) 4) 18. F(t)=(t 3 +2)f(l.t) 19. F(t) 20. F(t) = (sen 2 t 3 ) cos f(sen t, cos t) 21. Sea f: JR2 -> JR una funcin diferenciable. Considere la funcin compuesta F(x. y) = f(f(x, y), f(x. y Aplicando la regla de la cadena, obtenemos que la derivada parcial de F respecto de x es . aF = af af + af af = (a f )2 + af af ax axax ayax ax ayax 9y.7x-9y) Por ejemplo, si consideramos la funcin f(x. y) = 7x - 9y, tenemos que F(x. y) = f(7x = 7(7x-9y)-9(7x-9y) = -14x+ 18y,dedonde ~J~ = -14 Paratra 32 Regla de la cadena 265 Parte, ('l,l) ) 2 + U/ 'l)) = (7)2 + (-9)(7) =-14 = iJf Sin embargo, si tomamos la funcin (x (\" r r dx '-' f(x, v) = . \ 2 + 3xy, tenemos F(x, y) = f(x 2 + 3x), .x 2 + 3xy) = (x 2 + 3xd + 3(x 2 + 3x)')(x 2 + 3xy) = 4(x 2 + 3X\)2, de donde %Ex. = 8(x 2 + 3xy)(2x + 3y), y, por otra parte se tiene (%0 2 + %f. %f = (2x + 3d + (3x)(2x+ 3)') = (2x + 3y)(5x + 3y), expresin evidentemente diferente de ~/~. Explique dnde est el error de esta (aparente) contradiccin 22, Considere la funcin z = ,(x, . Al componer sta con la funcin f(x, ,,) = (x + y, x + 3) se obtiene z = ,(x + y, x + 3) Aplicando la regla de la cadena, obtenemos que la derivada parcial de esta ltima funcin respecto de x es Jz Jz J - = --(x+ y) ax Jx Jx de donde, eliminando se obtiene que Explique el enor en este razonamiento 23. Sea F(t) *' * + - - ( x + 3) = a} ax Ji:. a - a::: ax +ay Jz. = 0, lo cual, evidentemente es (en general) falso = f(t sen r, t, t 2 ), donde f es diferenciable. Suponga que grad feO, 0, O) = (2,4,7) Halle FI(O) 24. Sea g: IR 2 ---> IR3, g = (gl, g2' gl) una funcin diferenciable tal que grad gl (O, O) = (1,2), grad g2(O, O) = (O, 10), grad g3(0, O) = (3, 1), Ysea f: IR 3 ---> IR una funcin diferenciable tal que grad f(g(O, O = (3, -4,2) Hallar grad(f o g)(O, O) 25. Sea F: jR>I ---> IR la funcin definida como F(XI' ,12, ,X>l) = f(xl' xlx2, Xlx2x3, ,.Xlx2 X>l) donde f: IR>I grad F(l, 1, 26. Sea F: IRII ---> ---> IR es una funcin diferenciable Si grad j(l, 1, ,1) ,1) = (a 1, a2, , a ll ), halle IR la funcin definida como F(XI, X2, ,XII) = f(xl, XI + X2, ,XI + X2 + + XII) ., Il) donde f: IR>I ---> IR es una funcin diferenciable. Si grad f(1, 2, grad F(l, 1,.,1). = (1,2, ,Il), halle 27. Sea F(x, y) = f(x + 3y, 2x - y), donde f: IR2 ---> IR. es diferenciable Suponga que grad feO, O) = (4, -3) Determine la derivada de la funcin F en el origen en la direccin del vector v=(1,l) 28. Sea F (x, y) = f(x 2 + r\ 5x + 7), 3 x2 y, X 3 ) 7), donde f: IR. ~ --. IR. es diferenciable. Suponga que grad feO, 0, 0, O) = (a, b, e, d) Determine la derivada de la funcin F en el origen en la direccin del vector unitario v = (al, (2) 29. Sea F(x, y) = f(x c + 'r, 3xv), donde f: IR 2 ---> IR es diferenciable Suponga que grad f (2, 3) = (5,4) Hallar la direccin del mayor crecimiento de la funcin F en el punto (1, 1). 30. Sean j, g, h: IR - IR tres funciones diferenciables cuyas grficas pasan por el origen de coordenadas, el cual es un punto crtico para cada una de ellas. Demuestre que el plano tangente a la grfica de la funcin F: R 2 ---> IR, F(x, \) = f(g(x) + he~) es el plano z = Ocurre lo mismo con la funcin F(x, v) = f(g(x)h(v'), y con la funcin F(x, v) = f(g(x), h(\m 2 66 Captulo 3 Funciones compuestas. inversas e implcitas 31. Sea F(x, y) = f(f(x, y), f(x, y. donde f: IR 2 ----> IR es una funcin diferenciable tal que feO, O) origen. 32. a. = O, grad feO, O) = (1, 2) . Hallar la ecuacin del plano tangente a la grfica de F en el Considere las funciones 4>.IjJ: IR 3 ----> IR, 4>(x, y, z) = x 3 - 3xyz 2, ljJ(x, y, z) = xy -+xi -+ Z4 Determine la ecuacin del plano TI en IR3 en el que se encuentran los vectores VI = grad 4>(1, 1, 1), V2 = grad ljJ(1, 1, 1) b. Sea F: IR 2 ----> IR la funcin F(x, y) = 5x -+ 4y - 3xy. Determine la funcin G: IR 3 ----> IR, G(x, y, z) = F(4)(x, y, z), ljJ(x, y, z. Demuestre que el vector grad G(l, 1, 1) se encuentra en el plano TI.. 33. Demuestre que el resultado del ejercicio anterior es un hecho general: si G: IR 3 ----> IR es la funcin G(x, y, z) = F(4)(x, y, z), ljJ(x, y, z, en que F: IR 2 ----> IR, 4>, 1jJ: IR 3 ----> IR son funciones diferenciables, entonces los vectores grad 4>(p), grad ljJ(p) y grad G(p), donde p es un punto dado de IR 3 , se encuentran en un mismo plano . 34. Sea f: IR 2 F(x.y) x IR una funcin diferenciable tal que Considere la funcin F: IR2 _-; IR dada por F(x, y) = -t ** -+ f(;,y) ' = O, f(x, y) =1= O V(x, y) E IR 2 . Demuestre que ~(x, y)-+ ~(x, y) = 35. Demuestre que la funcin F(x, y) = fC2?::y2) donde f es una funcin real diferenciable de variable real, satisface la ecuacin diferencial parcial (x 2 -+ i) ~~ -+ 2xy ~~ = O, 36. Dada la funcin f: IR ----> IR tres veces diferenciable. se define la derivada de Sehwarz de f. denotada por Sf, como Sf( ) a. b. t_ 1"'(t) _ ~ (1"(t))2 ['(t) 2 f'(t) Seag: IR ----> IR una funcin tres veces diferenciable . Considere la composicin gof: IR ----> IR Demuestre que S(g o f)(t) = (Sg(f(t)(f'(t)2 -+ Sf(t), Sea F(t) = ~7gi~~, donde ad - be S(l/f)(t)) = Sf(t), =1= O. Demuestre que SF(t) = Sf(t). Concluya que En los ejercicios 37-48 se da una funcin F que involucra una composicin de una cierta funcin (suficientemente diferenciable) f con otra cierta funcin g. Obtenga las derivadas parciales de segundo orden de la funcin F 37. F(x, y) = f(ax 38. 39. 40. 41. -+ by) F(x, y) = f(ax -+ by, ex -+ dy) F(x, y) = xf(y, y) -+ yf(x, x) F(x, y) = (x 2 -+ y2)f(x, 2y) F(x, y) = f(x, xy, x -+ y) = J!(x. 42. F(x, y) y ) g(t)dt, donde g: IR----> .IR es una funcin continua. 43. F(x, y) = J~(x+y,X-y) g(t)dt 44. F(x, y) = J;f(sen x,ens y.xy g(t) dt 3.2 Regla de la cadena 267 45. F(x, y, z) = f(ax + by + cz) 46. F(x. y. z) = ;.f(xy, xz) 47. F(x. Y. z) = f(xyz. xy, x) 48. F(x, y, z) = fU(x, y, z), y, z) 49. Obtenga las derivadas parciales de tercer orden de la funcin F(x, y) = f(ax donde f: lR2 -> lR es una funcin de clase ~3. (*) SO. Sea F: lR n -> lR la funcin dada por + by, ex + dy), en donde f: lR n -> lR es una funcin de clase ~2 Obtenga las derivadas parciales de segundo orden de la funcin F.. 51. Sea F(x, y) = x a 1>(n, en que 1> es una funcin real dos veces diferenciable, de una variable real, y a es un nmero real. Demuestre que a. x aF' (x, y) + y aF' (x, y) = aF(x, y) ax ay b. x axr(x, y) 2~F' ~F. _ + 2xy axay (x, y) + y 2~F y) ar(x, a(a - I)F(x. y) ~2, 52. Sea F(x. y. z) = x a 1>(?, donde un nmero real. Demuestre que a. xaF' + .yaF' + zaF = aF ax ay az b n, 2 1> es una funcin real de dos variables, de clase y a es x2~ ax- + y2~ + z2a F + 2. . IT + 2xz.IT + 2.yz IT = ayazr xy axay axaz ayaz a(a - I)F 53. Concilie los resultados de los dos ejercicios anteriores con lo establecido en el teorema de Euler sobre funciones homogneas estudiado en el apndice II de la seccin 12 del captulo 2. 54. Sea f: lR n -> lR una funcin diferenciable homognea de grado a (es decir, se tiene que f(tXl.tx2, ... ,txn ) = t a f(X,X2, .... ,xn ), Vt > O. V(X],X2, ..... x n ) E lR n ). Demuestre que esta funcin se puede escribir (para Xl positivo) como f(x!. X2,.'" xn ) = xf1> (X 2, ~'" . . , x n ) XI XI XI af. +xn = aj aXn donde 1> es una funcin real de n - 1 variables. Use este hecho para verificar directamente que XI-- af af +X2ax aX2 +. Obsrvese que el inciso a de los ejercicios 51 y 52 son casos particulares de este ejercicio . 55. (Las funciones que aparecen en este ejercicio se consideran de clase ~2) Se dice que la funcin f: U <:;; lR 2 -> lR satisface la ecuacin de Laplace si L(f(x, y)) = . 2 - 2 (x, y) af ax af + - 2 (X. y) 2 ay =O V(X, y) E U 2 68 Captulo 3 Funciones compuestas, inversas e implcitas a. Sean c/J, Ij;: U ~ R2 ----+ lPi. dos funciones tales que iJlj; iJlj; Ol/ 01' b. Demuestre que c/J y Ij; satisfacen la ecuacin de Laplace Sea f: U ~ R 2 ----+ R una funcin que satisface la ecuacin de Laplace, y sean c/J y Ij; dos funciones como las del inciso anterior.. Demuestre que la funcin F (l/, v) = f(c/J(u, v), Ij;(u, v satisface la ecuacin de Laplace. 56. Con el resultado del ejercicio anterior, demuestre que si la funcin de Laplace, entonces la funcin F(x, y) !Cx, y) satisface la ecuacin =f x\, ) ( -0--." --,-'--2 x- + yx- + v tambin la satisface 57. Demuestre que si la funcin f(x, y) satisface la ecuacin de Laplace, entonces la funcin F(x y) , = f -+ y2' - '+ y2 - x2 , x2 ( x v) ,, + x-.)'-./(x, .c) I tambin la satisface 58. Considere la ecuacin _(x, Y') iJx 2 iJ2 j o iJ f + 2x)'"-(x, ' Jx I e) + 2(y - ... \' )-(x, .V) J Y 3 af =O e donde f: R 2 ----+ IR es una funcin de clase ~2. Diremos que (e) es la "ecuacin asociada a la funcin fex, y)" Demuestre que (e) es tambin la ecuacin asociada a la funcin F(l/, v) = f(l/V, l/v) Es decir, (e) no cambia su forma si en lugar de f(x, y) ponemos F(l/, v) = f(uv, l/v). 59. Considere la ecuacin diferencial ordinaria ax 2 f"(x) + bxf'(x) + ef(x) = O en la que a, b, e son constantes (llamada "Ecuacin de EulerCauchy"), Demuestre que si hacemos el cambio de variable independiente x por t, segn la frmula x = e', la ecuacin se transforma en . exFI/U) + (3F'U) + yF(t) = O donde ex, (3, y son constantes, y FU) = j(e') . Generalice este resultado para ecuaciones del tipo a"x"i")(X) + all_jx"- 1 /,"-I!(X) + . + axf'(x) + aa/ex) = O 60. Sea j: 1R 2 ----+ IR una funcin de clase ~2. Considere la funcin F(l/, v) Demuestre que = j(IIV, ~ (l/2 - 1'2 ( iJF)2 + (~F)2 au dI' 3J Regla de la cadena Perspectiva general 269 3.3 Regla de la cadena. Perspectiva general Cuando se ve el teorema presentado en la seccin anterior (regla de la cadena), una vez apreciada la sencillez del resultado anlogo para funciones de una variable, el lector se puede desconcertar ante la (aparente) complejidad de las frmulas de las derivadas parciales de la funcin compuesta ah establecidas. En esta seccin pretendemos ubicar al lector en el ngulo adecuado para que vea que la regla de la cadena en el caso ms general (aun que en el teorema de la seccin anterior) sigue siendo un resultado de asombrosa sencillez y elegancia, como lo es en el caso de funciones de una variable. Para lograr este objetivo tendremos que utilizar un lenguaje algebraico un poco ms sofisticado que el que hemos venido usando: este es el precio que hay que pagar por ver de manera global a qu se refiere la regla de la cadena. Dicho lenguaje es el del lgebra lineal (matrices y transformaciones lineales) El lector que no est familiarizado con l, debe estudiar primeramente la seccin 7 del captulo 1, en donde se hace una breve exposicin de los conceptos algebraicos que se manejarn en las discusiones que se presentan en esta seccin . Recordemos primeramente lo que, con palabras, establece la regla de la cadena para funciones de una variable: "la composicin de dos funciones diferenciables es diferenciable y su derivada es el producto de las derivadas de cada una de las funciones que se estn componiendo".. Uno de los objetivos de esta seccin ser convencernos de que un enunciado similar vale para el caso de funciones entre espacios de dimensiones mayores a uno Llamamos, sin embargo, la atencin al hecho de que hasta este momento no se ha definido el concepto de derivada de una funcin f: U <;;; IR" -+ IR. Hemos definido a qu se refieren los trminos "derivadas parciales", "derivadas direccionales", "gradiente" y "diferenciales" para funciones de varias \ariables, pero nunca hemos dicho qu es "la derivada" para este tipo de funciones y ste es un buen momento para hacerlo Trabajaremos con funciones f: U <;;; IR" -+ IR'" definidas en el conjunto abierto U de IR" y tomando valores en IR"'. Entonces f = (fl, ./2. . 1",) donde f,: U <;;; IR" -+ IR, i = 1, 2, . m, son las funciones coordenadas de f Para definir la derivada de esta funcin en un punto Xo E U, recordemos que en la seccin 1 se haba dicho que tal funcin es diferenciable en Xo (lo cual querr decir que "la derivada" de la funcin existe en xo) si y slo si todas y cada una de sus funciones componentes f, lo eran En este momento tendremos que establecer esta misma idea de una manera diferente, un poco ms sofisticada, pero de mayor utilidad para nuestras intenciones Definicin. Considere la funcin f: U <;;; IR" -+ IR'" definida en el conjunto abierto U de IR" y sea Xo E U. Se dice que esta funcin es diferenciable en Xo si existe una transformacin lineal f' (xo): IR" -+ IR"', llamada derivada de f en xo, tal que f(xo + h) = f(xo) + f' (xo)h + r(h), donde Imh~o l~' (para h E IR" tal que Xo + h E U) 111 NOTA: Siendo r una funcin que toma valores en IRII/, la interpretacin del lmite anterior sera de que todas sus funciones componentes tendern a cero cuando, al dividirlas por [[h[[, h tiende a cero En esta definicin aparece ya el trmino "transformacin lineal de IR" en IROl", que se estudia en los cursos de lgebra Lineal. Sabemos que estos objetos abstractos (las transformaciones lineales) tienen representaciones concretas por medio de matrices De hecho, la transformacin lineal T: IR" -+ IR'" tiene asociada una matriz de orden m x n que la representa, la cual est construida de la forma siguiente: si {31 = {el. e2. . e,,} y {32 = {el, e2.. . e",} son las bases cannicas de IR" y IR'" respectivamente, entonces el vector T(e = imagen bajo T del j-simo vector de la base cannica de IR", se puede escribir como combinacin lineal de los vectores de {32; es decir, existen constante aij tales que 2 70 Captulo 3 Funciones compuestas, inversas e implcitas A la matriz A = (aij), i = 1, 2, ... , m, j = 1, 2, ... , n, cuya j-sima columna est constituda por las coordenadas de la imagen del j-simo vector e j de base cannica en]Rn respecto de la base cannica de ]Rm, se le llama matriz de transformacin T respecto de las bases f31 y f32 Sea f: U ~ ]Rn - 7 ]Rm una funcin diferenciable en Xo E U. Consideremos el vector h = tej, tER Con t suficientemente pequeo podemos tener Xo + h E U. Entonces f(xo + tej) = = + f'(xo)(tej) + r(h) f(Xo) + tI' (xo)e j + r(h) f(xo) (la ltima igualdad usa la linealidad de f'(xo)). Se observa que escribir h!l = t, Ypor lo tanto podemos Al tomar el lmite cuando t - 7 O (Le . cuando !Ih1 --; O) el segundo sumando del lado derecho tiende a cero (por la definicin de aniba) quedando slo . f '() e = Xo J 1->0 l' .:....:.-=--~~-:: m f(Xo + tej) - f(xo) t Al descomponer f como (f, I2,' ... , f~), y tomando el lmite en cada una de las coordenadas vemos que stas son las derivadas parciales UL(xo), i = 1,2, .... , m. Es decir J Entonces la j-sima columna de la matriz que representa a f'(Xo) est formada por las derivadas parciales de las funciones. componentes respecto de su j-sima variable., De aqu que la matriz que representa a la transformacin P(xo): IR n - 7 ]Rm es af (Xo) ax ah (xo) ax --(xo) -Xo af ( ) aX2 ah(Xo) aX2 ) -Xo af ( ) aXn ah ( -Xo ) Jx n afmo ax - - Xo afm '( iJX2 ---(Xo) afmo iJxn A esta matriz m x n, en cuya i-sima linea y j-sima columna aparece la derivada parcial ~(xo) de la i-sima funcin componente de f respecto de su j-sima variable, evaluada en Xo, se le llama matrizjacobiana de la funcin f en Xo y se denota Jf(xo). Esta es entonces la derivada de la funcin diferenciable f en Xo (identificando, como siempre, a la transformacin lineal f'(xo): IR n - 7 IR.m con la matriz que la representa). Veamos, por ejemplo, el caso en el que m = 1. En este caso la funcin f: U ~ IR.n --; IR. definida en el conjunto abierto U de IR.n ser diferenciable en Xo E U si se da la transformacin lineal f'(xo): IRn - 7 IR. cuya representacin matricial es la matriz 1 x n Jf(xo) af af af = [-a (xo)-(xo) .... -(xo) ] X aX2 aX n 3J Regla de la cadena. Perspectiva general 271 tal que f(xo + h) = f(Xo) + f'(Xo)h + r(h), ., con l~ ~~~~ = O Observe que si h = (h 1, h 2 , h n ) E lR n (tal que Xo +h E U) se tiene af = -(xo)h ax + -(xo)h 2 + . + -(xo)h n aX2 aX n af af Comparando esto con la definicin que habamos dado de diferenciabilidad para funciones de varias variables (captulo 2 seccin 6), vemos que se trata exactamente d~ la misma definicin, slo que en aqulla se hablaba de la existencia de las derivadas parciales y ahora hablamos de la transformacin lineal f'(xo) --la derivada de f en xo- o de modo ms preciso, de la matriz que la representa (es decir, el residuo r(h) queda determinado de la misma manera en ambas definiciones y se le pide que cumpla la misma propiedad). Es posible demostrar (lo dejamos como ejercicio para el lector) que la funcin f: U s:;;; lR n ---> lR m ser diferenciable en Xo E U (segn la definicin dada en esta seccin) si y slo si sus funciones coordenadas ji: U s:;;; lRn ---> lR lo son (con la definicin de diferenciabilidad del captulo 2). Ms an, pensando en que la derivada de la i-sima funcin coordenada ji en Xo es la matriz de orden 1x n tenemos que la derivada de la funcin f: U s:;;; lR n ---> lR m es la matriz que en su i--sima lnea tiene la derivada de su i-sima funcin componente Esquematicamente l/ex,) ~ [~ Jf(xo) Jfl(xo) Obsrvese tambin que la matriz 1 x n, Jfi(XO), derivada de la funcin Ji: U s:;;; lR n ---> lR, se identifica de manera natural con el vector gradiente de ti en Xo (poniendo comas a los espacios en la matriz, y cambiando los corchetes por parntesis normales) Jf(xo) = ~] af _ 1 (xo) [ aXI 1 identificacin al;) al grad f(xo) = ( -(xo)" -(xo) ax aX n tenindose adems que, bajo esta identificacin, J f(xo)h = grad f(xo) . h (producto punto de vectores) . As, el vector gradiente de una funcin de n variables definido en el captulo anterior, es "como la derivada de la funcin" en el sentido establecido anteriormente Veamos un par de ejemplos 2 72 Captulo 3 Funciones compuestas, inversas e implfcitas La funcin f:]R2 -> ]R2 dada por f(x. y) = (x 2 + 3)'2. 5x 3 + 2 y 6) es diferenciable en todo el dominio y su derivada en un punto arbitrario (x. y) est dada por la matriz (aqu 3 2 /1 (x, y) = x + 3 y 2, h(x, y) = 5x + 2y6 Ejemplo 1. 12y 5 6y ] La funcin f:]R2 -> ]R' dada por j(x. y) = (sen(x + y).xe x + v x + y) es diferenciable en todo su dominio (sus funciones coordenadas fl (x. y) = sen(x+ y), hex. y) = xeX+v, h(x, y) = x + y, lo son) y su derivada en el punto (O. O) est dada por la matriz Ejemplo 2. ~fl (O, O) x x lf(O, O) - ' (0,0) af y y = ah (O, O) X ah (O, O) Y [oo'(X + y) e-<+V(x + 1) 1 oo~~:;y)] 1 . x=o 1=0 ~J3 (O, O) ah (O. O) [: ~] Ahora estamos en posibilidades de establecer la regla de la cadena en el caso general. En principio trataremos de entender bien el resultado y dejaremos para el fina! el enunciado riguroso del teorema y su demostracin Consideremos entonces dos funciones diferenciables j y g, como en la figura 1 (f o g)'(xo) = j'(g(xog'(xo) Figura 1. La composici6n de las funciones f yg Supongamos entonces que la funcin g:]Rm -> ]Rn es diferenciable en Xo y la funcin f:]Rn -> ]RP es diferenciable en g(xo) Lo que dice la regla de la cadena es que la funcin compuesta f o g:]Rm -> ]RP ser diferenciable en Xo y que 33 Regla de la cadena. Perspectiva general 273 entendindose el lado derecho de esta expresin como una composicin de transformaciones lineales (la misma frmula que en el caso de una variable!), o bien, en trminos matriciales JU o g)(xo) = J j(g(xo)Jg(xo) entendindose el lado derecho de esta ltima expresin como una multiplicacin de matrices. Es decir, sigue siendo cierto, al igual que en el caso de funciones de una sola variable, que: la (matriz que representa a la) derivada de la composicin es Igual al producto de las (matrices que representan a las) derivadas de lasjilllciones componentes Obsrvese que J g(xo) es una matriz IJ x m y J f(g(xo) una matriz p x n, de modo que el producto Jf(g(xo Jg(xo) est bien determinado y da por resultado una matriz p x m, como debe ser la derivada de J( I o g)(xo) Veamos nuevamente el caso p = l que ya hemos estudiado en la seccin anterior Tenemos entonces la funcin g: IRIII -> ]R" diferenciable en Xo y la funcin 1: IR" -> IR diferenciable en g(xo) Si escribimos g = (g , g2. , g,,) donde g: ]RIII_... ]R, I = 1, 2, , n son las funciones coordenadas de la funcin g. entonces la derivada de g en Xo es la matriz Jg 1 - 0..- (xo) Xo ) 0 ..\ l - o; ,,- ( j Jg(xo) = (Jg, ( ) Jx2 - . - Xo cJx -(xo) (h 2 Jg" en tanto que la derivada de f: IR" -; IR en b = g(xo) es JI Jj -(b) -(b) [ J"I lV2 Jj(b) = (denotamos por (y, Y2, . )'Il) a las variables de la funcin 1) Entonces la derivada de la funcin compuesta f o gen Xo debe ser la matriz J U o g)(xo) de orden 1 x m que se obtiene como el producto de las matrices Jf(b) y Jg(xo) Es decir J J fU o g)(xo) = [ -U o g)(xo) lx - . . (f o g)(xo) ih.2 - J . U JX1 o g)(xo) ] ag -(xo) (JXl l lJI -(g(x o ay Jj -.-(g(xo) rh2 lI -;-(g(xo ] UYIl g> ---..::....:: (xo) a Jx JgI (Xo ) Jxo ag; -(xo) lX2 _C_(xo) Jr; ag> - - (xo) aXIII Jx lII 2 74 Captulo 3 Funciones compuestas, inversas e implcitas de donde podemos ver que, por ejemplo, el j-simo elemento de J(f o g)(xo) (que se obtiene multiplicando la matriz Jf(g(xo por la j-sima columna de Jg(xo es a - ( f o g)(xo) aXj = = -(g(xo-(xo) n al ay ag aXj + -(g(xo-(xo) al aY2 ag2 aXj + 2:= -(g(xo--(xo) ay ax ;= . 1 al ag; . J frmula que ya conocemos de la seccin anterior. Veamos algunos ejemplos. Ejemplo 3. Consideremos las funciones diferenciables g: JR2 ........ JR3 Y f: JR3 ........ JR2, dadas por g(x, y) = (xy, 5x, y3) f(x, y, z) = (3x 2 + l + Z2, 5xyz) La composicin f o g: JR2 ........ ]R2 es diferenciable y su derivada es (donde se denota por (f o g) y (f o gh a las funciones coordenadas de (f o g - ( f o g) a. J(f o g) = ax [ -(fogh ax aI -a (g(x, y x ah [ --(g(x, y ax - ( f o g) a. ay a. ay ] . = Jf(g(x, yJg(x, y) - ( f o g)2 ah -a (g(x, y y aI --a (g(x, y ] z ah '-(g(x, y ay ah -(g(x, y az ag ax ag ax ag ax ag ay ag ay ag ay xy, g2(X, y) 5x, Sustituyendo f (x, y, z) = 3x 2 + y2 g3 (x, y) = y3, nos queda + Z2, h(x, y, z) 2Z 5] xy g(x,y) 2(5x) 5(xy)(y3) 50x 5xyz, g (x, y) 6x - [ 5xy 2y 5xz [.~ 3y2 ~] O 2(y')] 5(xy)(5x) = 6(xy) [ 5(5x)(y3) _ [6Xy2+ 50xy4 6x 2y + 6 y s ] 100x2 y3 Es claro que tambin podemos llegar a este resultado si antes hacemos explcita la composicin (f o g)(x, y) = f(g(x, y 2 = f(xy, 5x, l) = (3(xy)2 = (3x + (5x)2 + (l)2, 5(xy)(5x)(l) l + 25x2 + l, 25x 2 l) y luego derivamos directamente. ._------------------------=----Ejemplo 4. g(x, y, z) = (x 33 Regla de la cadena. Perspectiva general 275 Sea f: JR3 -+ JR2 y g: JR3 + y + z, xyz, x 2 + y3). 2 -+ JR3 las funciones f(x, y, z) = (x + 2, x + l + Z3), Se quiere calcular la derivada de f o g: JR3 -+ JR2 en (1, 1, 1). Segn la regla de la cadena tenemos lU o g)(I, 1, 1) = lf(g(1, 1, 1))lg(l, 1,1) = lf(3, 1, 2)lg(l, 1, 1) Entonces lf(3, 1,2) = [2X I O 2y I 19(1, 1, 1) ~ [), [~ xz 3~2 L.12) = [~ I [1I xy J = O 2 ~2] I I 3 2.x 3y2 O (1,1.1) 2 iJ 6 39 de modo que O 1(1 o g)(1, 1, 1) = 2 I~] I 1 3 iJ ~ [; ~] Terminamos esta seccin estableciendo rigurosamente el teorema que establece la regla de la cadena en el caso general y dando una demostracin opcional de L Teorema 3.3.1 Sea f: U ~ JRn -+ JRP una funcin definida en el abierto U de JRn y g: V ~ JRm -+ JRn una funcin definida en el abierto V de JRm tal que g(V) ~ U. Si g es diferenciable en Xo E V Y f es diferenciable en g(xo) E U entonces la funcin f o g: V ~ JRm-. JRP es diferenciable en Xo y su derivada viene dada por la matriz 1(10 g)(Xo) = lf(g(xo))lg(xo) Demostracin. (opcional). Decir que la funcin g: V ~ JRm -+ JRn es diferenciable en Xo equivale a decir que la funcin PI definida en alguna bola de JRm con centro en el origen y tomando valores en JRn, definida por g(xo + h) = g(xo) + 19(xo)h + Ilhllpl (h) tiene la propiedad de que p (O) Anlogamente, por ser f: U = OY lmh~o PI (h) = O. ~ JRn -+ JRP diferenciable en g(Xo), tenemos f(g(xo) + k) = f(g(xo)) + lf(g(xo))k + Ilk\lP2(k) donde P2(0) = O Y lmk~O P2(k) = O Demostraremos que con estas hiptesis la funcin f o g: V ~ JRm -+ JRP es diferenciable en Xo. Tenemos (f o g)(xo + h)= f(g(xo + h)) = f(g(xo) + 19(xo)h + \Ih\lp (h)) Llamando k = 19(xo)h + Ilhllp(h) tenemos u o g)(xo + h) = f(g(xo) + k) = f(g(xo)) + lf(g(xo))k + l\kllP2(k) IlkllP2(k) = f(g(xo)) + lf(g(xo))(1g(xo)h + Ilh\\PI (h)) + Il k llP2(k) = (f o g)(xo) + ] f(g(xo))lg(xo)h + \Ihll lf(g(xo))p (h) + 2 76 Captulo 3 Funciones compuestas, inversas e implcitas Comparando con la definicin de diferenciabilidad de la funcin f o g, vemos que todo lo que resta probar es que el residuo r(h) = Ilh!IJf(g(xop(h) + IlkllP2(k) tiene la propiedad de que lmh ~O i~l = aTenemos Al observar que si h -; Oentonces k -> O y que \:~:: es una cantidad que se mantiene acotada en una bola del origen de Jl{1Il; vemos que, usando las propiedades de p (h) Y P2 (k), se llega a la propiedad deseada de r(h), concluyendo as la demostracin del teorema Q.ED. Ejercicios (Captulo 3, Seccin 3) En cada uno de los ejercicios 1-10 escriba la matrizjacobiana de la funcin dada en el punto indicado 1. f:Jl{2 -; Jl{, fex, y) = 256, P = (xo, Yo) 2. f: IR. 3 -; JR., f(x, y, z) 3. f:Jl{2 -; IR. 2, f(x, 4. f: JR3 -; JR3, f(x, 5. f: JR2 -; Jl{3, f(x, = ax + by + cz, P = (xo, Yo) y. z) = (ax + bly, a2 x + b 2 y), p = (xo, Yo) y, z) = (x, x + y, x + y + z), p = (xo, Yo, zo) y) = (sen x, sen x cos y, cos y), p = (O, 7T /2) = 6. f: JR3 -; IR. 2, f(x, y, z) (~ ::~, (z + x 2 )(z + i). P = (1,1,1) (1, 1, 1, 1) P = (1) 7. f: JR4 -; JR., f(x, y, z, u) 8, f: JR -> = xy2 z 3 u4, P = JR4, f(l) = (1, 12, 13, 14), 9. f: JR4 -> JR4, f(x, y, z, u) = (y, u. z, x), p = (xo, Yo, Zo, uo) X ), 10. f: JR2 -; JR5, f(x, y) = (x Y , y', (;'y, xe Y, ye p = (1,2) 11. Sea f: JRn -; JRlIl una funcin tal que (x + y) = (x) + f(y), f(cx) = ef(x), para toda x, y E JRn, e E JR Demuestre que f es diferenciable en cualquier punto p E JRn. Halle f' (p).. 12. Sea g: JR2 -; JR3 una funcin diferenciable, que en el punto p E JR2 tiene por matriz jacobiana a Jg(p) ~ [~ ~l] y sea j: JR3 -; Jl{ una funcin diferenciable cuyo gradiente en g(p) E JR3 es grad g(p) = (8,0, --2) Demuestre que la funcin f o g: JR2 -; JR es diferenciable en p Determine el vector gradiente de esta funcin en p 33 Regla de la cadena. Perspectiva general 277 13. Sea g: IR 2 -t IR 2 una funcin diferenciable en el punto p E IR 2, donde tiene por matrizjacobiana a 19(p) = [~ ;] Sea f:]R2 - t IR una funcin diferenciable. Suponga que el gradiente de la funcin compuesta f o g: IR 2 - t ]R en el punto pes grad f o g(p) = (1, 1) Determine el vector gradiente de f en el punto g(p), 14. Sean g' IR ~ IR). r IR) ~ IR dndunoione, difendnbl" g(O) ~ (O. o. O). Ig(O) ~ l lf(O, 0, O) = [1 1 1]. Demuestre que la funcin compuesta f o g:]R - t ]R es creciente en el origen de coordenadas Determine la ecuacin de la recta tangente a la grfica de esta funcin en ese punto, 15. Sea g: IR 3 - t ]R4 una funcin diferenciable en el punto p E ]R3, Y f:]R4 diferenciable en el punto q = g(p) Suponga que -t ]R2 una funcin 19(p) = O1 0 2 0] [7 5 19 8 -1 lf(q) = [ 10 3 -2 2 2 10] -10 Sean g, g2, g3, g4:]R3 - t ]R las funciones coordenadas de g, 11, h:]R4 - t ]R las funciones coordenadas de f, y (f o g) , (f o g)z: IR 3 - t IR las funciones coordenadas de la funcin compuesta f o g: IR 3 - t ]R2 a. b. c. Escriba los vectores gradientes grad g,(p), i = 1,2,3,4, Ygrad fj(q), j = 1,2. Determine la ecuacin del plano tangente a la superficie de nivel (f o g) (x, y, z) pasa por p, en este punto = e que Calcule la derivada direccional de la funcin u = (f o g)zCx, y, z) en el punto p en la direccin del vector v = (1, 0, 2) En los ejercicios 16-23, sea f: IR 2 - t IR 2 una funcin diferenciable de modo que feO, O) Suponga que la matriz jacobiana de f en p = (O, O) es = (O, O), lI(p) = [i ~] Sean f1' h:]R2 ........ ]R las funciones coordenadas de j, Determine la matriz jacobiana de las funciones F:]R2 - t ]R2 indicadas en el origen de coordenadas. 16. F(x, y) = (x, iI (x, y)) 17. F(x, y) = (f2(X, y), y) 18. F(x, y) = (x 2 fI(X, y), lfz(x, y)) 19. F(x, y) = f(f(x, y)) 20. F(x, y) = f(f(f(x, y))) 2 78 Captulo 3 Funciones compuestas, inversas e implcitas 21. F(x, y) = (J2(X, y), fl(X, y 22. F(x, y) = (xfl(x, y) 23. F(x, y) + y h(x, y), y fl(X, y) + xh(x, y = (f1(J2(X, y), h(x, y, hUI (x, y), fl(x, y) En los ejercicios 24-33, sea f: IR 2 -> IR 2 una funcin diferenciable tal que feO, O) = (O, O). Suponga que la matriz jacobiana de f en p = (O, O) es Jf(p) = [~~I] Obtenga las matrices jacobianas de las Seanf, fz: IR 2 -> IR las funciones coordenadas de f. funciones indicadas en el origen de coordenadas 24. F: IR 2 -> IR, F(x, y) = fl (x, y) + h(x, y) 25. F: IR 2 -.... IR, F(x, y) = fl(X, y)h(x, y) 26. F: IR2 ---t IR, F(x, y) = sen f(x, y) + cos h(x, y) 27. F: IR 2 -> IR, F(x, y) = jl(~~) g(t) dt, dondeg: IR 28. F: IR2 ....... IR, F(x, y) = fl (x, y) /,~~~~~) g(t)dt funcin continua tal que g(O) = 2 . -> IR es una funcin continua tal que g(O) = 5. -> J + h(x, y) J /,,(~r~) g(t)dt donde g: IR IR es una 29. F: IR2 -> IR 3 , F(x, y) = (x, y, fl (x, y 30. F: IR2 ....... IR3, F(x, y) 31. F: IR2 -> = (JI (x, y), h(x, y), fl (x, y) + h(x, y 32. F: IR 2 -> IR3, F(x, y) = UI (x, h(x, y, h( f (x, y), y), /1 (x, y) h(x, y IR 3, F(x, y) = ( 3f (x, y) + l !2(x.y) g(t)dt, 9h(x, y) - 7 J3 !,(x.Y) g(t)dt, 1412 y) g(t)dt ) o 2!,(x,y) donde g: IR .--+ IR es una funcin continua tal que g(O) = l. 33. F: IR 2 -> IR4, F(x, y) = (X/I(X, y), yh(x, y),X 2(fI(X, y) + h(x, y, lU,(x, y) _. h(x, y) En los ejercicios 34-40, se piede determinar una funcin diferenciable g: IR2 -> IR2 cuya matriz jacobianaenel puntop E IR 2 sea la matriz dada. Se supone dada la funcin diferenciable f: IR 2 -> IR2, f(x, y) = (fl (x, y), h(x, y que en el punto p E IR2 tiene por matriz jacobiana a J f( P) = [a d e b] 34. Jg(p) = [~ ~] --_._---------_. 35. Jg(p) = 36. Jg(p) = 37. Jg(p) = 33 Regla de la cadena. Perspectiva general 279 [;~ ~~] [~ ~] [~ ] 4b - 12 ] a+c-1O 38. Jg(p) = [ : ~ ~c ~~?:] 39. Jg(p) = [ 4a + 5 a+c+3 40. Jg(p) = h(p)c [fl (p)a fl (P)b] f2(p)d 41. Sea f: IR? -> ]R2 una funcin diferenciable que tiene un punto fijo en p E ]R2, es decir, se tiene f(p) = p. Sea A = J f(p) la matriz jacobiana de f en el punto p . Determine una funcin diferenciable g: ]R2--> ]R2 cuya matrizjacobiana en p sea Jg(p) = A k , k E N. En cada uno de los ejercicios 42-45, ePI, 1/11, eP2, 1/12, eP), 1/13:]R -> ]R son funciones reales diferenciables definidas en la recta. Determine la matriz jacobiana de las funciones indicadas. 42. a. b. c. 43. a. b. c. 44. a. b. c. 45. a. b. c. = (ePI (x), 1/11 (y)) g:]R2 .-; ]R2, g(x. y) = (eP2(X), 1/12(Y)) F:]R2 -> ]R2, F = g o f f:]R2 -> ]R2, f(x, y) = (ePI (x), 1/11 (y) + 1/12(y)) g: ]R2-; ]R2, g(x, y) = (eP2(X)eP3(X), 1/13(Y)) F: ]R2 -> ]R2, F = g o f f:]R3 -> ]R3, f(x, y, z) = (ePI (x), eP2(Y), eP3(Z)) g:]R3 -> ]R3, g(x, y, z) = (1/11 (x). 1/12(Y), 1/13(Z)) F: ]R3 -> ]R3, F = g o f: ]R3 ...... ]R3, (x, y, z) = (XePl (x), YeP2(y), ZeP3(Z)) g: ]R3--; ]R3, g(x, y, z) = (X 21/11 (x), lI/12(Y), z21/13(Z)) F:]R3 -> JR3, F = g o f f: ]R2--> ]R2, f(x, y) 46. Sea F:]Rn -> ]Rn la funcin identidad, F(x) = x, x E ]Rn. Demuestre que la matriz jacobiana de esta funcin en cualquier punto p E ]Rn es la matriz identidad. 47. Describa cmo son las funciones diferenciables F:]Rn punto p E ]Rn es una matriz diagonal. -> ]Rn cuya matriz jacobiana en todo -> 48. Sea f:]R2 -> ]R21a funcin f(x, y) = (ax + by, ex + dy), donde ad - be = 1, Ysea g:]R2 la funcin g(x, y) = (dx - by, -ex + ay). Obtenga la matrizjacobiana de las funciones g o f:]R2 -> ]R2 en un punto cualquiera p E ]R2. ]R2 o g, f 2 80 Captulo 3 Funciones compuestas, inversas e implcitas 49. Sean g: IR 2 --> IR, y f: IR 2 --> IR 2 , f(x, y) = (uex, y), v(x, y dos funciones diferenciables. Considere la funcin g o f: IR 2 --> IR Demuestre que la derivada de Euler de esta funcin (ver apndice II de la seccin 12 del captulo 2) es fiJ(g o n(x, y) = -(f(x, yfiJlI(X, y) + -(f(x, ag . ag ax ay y@v(x, y) o bien, si definimos la derivada de Euler de la funcin f como @f anterior se puede escribir (en trminos del producto punto) como fiJ(g o )(x, y) = (QllI, Qlv), el resultado = grad g(f(x, y f'1Jf(x, y) 50. Diremos que la funcin f: IR 2 --> IR 2 , f(x, y) = (u(x, y), v(x, y es homognea de grado p si las funciones u, v: IR 2 --> IR lo son. Demuestre que el teorema de Euler sobre funciones homogneas (establecido para funciones reales) se escribe igual para la funcin f Es decir, demuestre que si f: IR 2 --> IR 2 es homognea de grado p, entonces QJf(x, y) = pf(x, y). 51. Sean ; g: IR 2 --; IR2 dos funciones diferenciables. Demuestre que la derivada de Euler de la funcin compuesta g o f: IR 2 --> ]R2 se escribe como fZJ(g o n(x, y) = g'(f(x, y@f{x, y) en donde el lado derecho de esta expresin se entiende como la multiplicacin de la matriz jacobiana (2 x 2) de g (evaluada en f(x, y por el vector de ]R2 (o la matriz 2 xl) @f(x, y) = (@lI(X, y), f'1Jv(x, y (en donde f = (lI, v 52. Demuestre que si f:]R2 --> ]R2 es una funcin homognea de grado cero y g: ]R2_-> ]R2 es una funcin diferenciable cualquiera, entonces Q(g o n(x, y) = O (el vector cero de H") (Sugerencia: este es un corolario inmediato de los resultados de los dos problemas anteriores) 53. Tome el resultado del ejercicio anterior (junto con el ejemplo 10 de la seccin anterior) para conclur que para que la composicin g o f de dos funciones g, f:]R2 --> IR 2 diferenciables, sea una funcin homognea de grado cero es necesario y suficiente que la funcin f sea homognea de grado cero.. Sigue siendo vlido este hecho si la funcin f:]R2 --> IR 2 es homognea de grado p i= O? 3.4 Funciones implcitas (1) En el captulo anterior (seccin 9) se llam la atencin acerca del hecho de que una curva en el plano, digamos dada c,omo la grfica de la funcin y = f(x), se puede ver como una curva de nivel, conespondiente al nivel cero, de una funcin z = F(x, y). De h~cho, esta funcin debera ser en este caso Fex, y) = y - f(x), de modo que su nivel cero est constituido por los puntos (x, y) tales que F(x, y) = y - f(x) == O, o sea, de modo que y = f(x). Esta misma observacin la habamos hecho con superficies z = f(x, y), las cuales pueden ser vistas como el nivel cero de la funcin u = F(x, y, z) = z - f(x, y). El punto que llama nuestro inters ante estas consideraciones es el planteamiento recproco de ellas: por ejemplo, dada la funcin z = F(x, y), es su nivel cero una curva que se pueda ver como la grfica de una funcin y = f(x)?, o de otra manera, de la expresin 34 Funciones implcitas (1) 281 F(x. y) = O(que da el nivel cero de F) podemos despejar a y en trminos de x y dejar as establecida la funcin y = j(x)? Que el nivel cero de z = F(x. y) sea una curva en el plano ya ha quedado mostrado en diversas ocasiones que no siempre es cierto (ver, por ejemplo, los ejercicios 11 y 12 de la seccin 2 del captulo 2) Ahora nuestra pregunta es, de hecho, ms especfica: se quiere saber si el nivel cero de z = F(x. y) es la grfica de una funcin y = j(x) Al pensar en la simple funcin F(x. y) = x 2 + l - 1, vemos que la respuesta a la pregunta anterior es NO De la expresin x 2 + l - 1 = O no podemos establecer una funcin y = f (x) despejando y en trminos de x. Es bien sabido que x 2 + l = 1 define dos funciones, a saber, y = f(x) == l1="?y y = h(x) =-~ Consideremos las preguntas anteriores con un poco de ms flexibilidad: dada la funcin z = F(x. y), sea (xo. Yo) un punto para el cual F(xo. Yo) = O De F(x:. y) = O se puede obtener (despejando a y en trminos de x) una funcin y = j(x), definida en una vecindad de xo, tal que Yo = f(xo)? Obsrvese que lo que se ha logrado con este planteamiento es hacer LOCAL la pregunta inicial: dado un punto (xo. Yo) del nivel cero de la funcin z = ,F(x. y) (el cual debe existir para poder empezar la discusin), existe alguna bola de centro (xo. Yo) en la cual, restringiendo a ella el nivel cero de F, este se pueda ver como la grfica de una funcin y = f(x)? Cuando tal (bola y tal) funcin y = j(x) existe, decimos que la funcin y = f(x) est definida implcitamente por la expresin F(x. y) = O. o bien que es una funcin implcita dada en F(x, y) = O Obsrvese que siendo y = j(x) una funcin implcita de F(x. y) = O. se debe tener F(x. jex == O (para toda x en el dominio de f) Ante esta perspectiva, vemos que las funciones y = f(x) = VI=- x 2 , y = h(x) = -JI=X"2 son funciones implcitas definidas en x 2 +l- 1 = O, pues, por ejemplo, el punto (l / J2. 1/ J2) E IR2 es tal que (1/ \12)2 + (1/ J2)2 - 1 = O (es decir, pertenece al nivel cero de F(x. y) = x 2 + l - 1) y, en una bola de l podemos dibujar la grfica de la funcin v = j(x) = JI - x 2 yo -1 Figura 1. La funcin y = ji (x) = JI - ,2 El problema de la existencia de funciones implcitas y = j(x) dadas por F(x, y) = O lo resuelve el Teorema de la Funcin Implcita (TFIm), el cual establece condiciones suficientes (sobre la funcin z = F(x. y para que de F (x, y) = O se pueda obtener alguna funcin implcita y = f(x) A continuacin enunciamos el 1FIm en su primera versin (haremos despus discusiones similares ms generales, y en cada una de ellas aparecer la correspondiente versin del TFIm) Teorema 3.4.1 (De la Funcin Implcita. Primera versin). Considere la funcin z = F(x. y) Sea (xo, Yo) E IR2 un punto tal que F(xo, Yo) = O. Suponga que la funcin F tiene derivadas parciales continuas en alguna bola B con centro en (xo, Yo) Y que ~~. (xo, Yo) eF O Entonces Fex, y) = O se puede resolver para y en trminos de x y definir as una funcin 2 82 Captulo 3 Funciones compuestas, inversas e implcitas y = f(x) con dominio en una vecindad de xo, tal que Yo continuas en V que pueden calcularse como = f(xo), la cual tiene derivadas y'=f'(x)=-g~ y -(x, y) aF , xEV -(x, y) No es intencin de este texto la demostracin de este teorema. El lector interesado puede consultarla en alguno de los excelentes libros de Anlisis Matemtico que hay en el mercado, por ejemplo [ELl] y [el].. Quisiramos en cambio, hacer una serie de observaciones que nos ubiquen en la importancia y contenido del teorema. En principio debemos tener presente que el TFIm es un teorema de existencia: nos habla de que (en ciertas condiciones) existe una funcin y = f(x) definida implcitamente por F(x, y) = 0, con tales caractersticas. Sin embargo, el teorema nada dice de cmo se determina tal funcin (nos dice que F(x, y) = puede resolverse para y en trminos de x, pero no nos dice cmo hacer el despeje). EL hecho de que el teorema no nos diga cmo establecer explcitamente la funcin y = f(x), no es simplemente por capricho matemtico. La cuestin es que las obstrucciones algebraicas de F(x, y) = O podran no permitir hacer el despeje de y en trminos de x, y . .. he aqu la importancia del teorema: aun sin poder ("en la prctica") despejar y en trminos de x de F(x, y) = 0, cumpliendo la funcin F las hiptesis que el teorema establece, ste nos garantiza la existencia de la funcin y = f(x), y an ms, nos dice cmo calcular su derivada. Otra observacin no menos importante que las anteriores, es que el TFIm es un teorema local. Nos asegura la existencia de la funcin y = f(x), o bien, nos asegura la posibilidad del despeje de yen trminos de x a partir de F(x, y) = 0, solamente en las cercanas del punto (xo, Yo). Fuera de la vecindad V de que habla el Teorema, ste no se responsabiliza por la existencia de la funcin f y x Figura 2. Nivel cero de z = F(x, y)., Observemos, por ltimo, que si asumimos la existencia de la funcin implcita y = f(x) del TFIm, la frmula para calcular su derivada se sigue fcilmente de la regla de la cadena. En efecto, para ._------x E V se tiene F(x, f(.x = O 34 Funciones implcitas (1) 283 Siendo F Y f diferenciables en B y en V respectivamente, podemos aplicar la regla de la cadena, y derivando respecto de x: aFax ax ax + aFay =0 ayax de donde, como y = f(x) se obtiene fcilmente aF k , Y - '(x) - _aF ay como lo establece el teorema Ejemplo 1. Consideremos la funcin F(x, y) = x 2 aF =2x ax + l -. l. Las derivadas parciales de sta son aF = 2y ay Estas son continuas siempre . Sea (xo, Yo) un punto del nivel cero de F, es decir, x5 + Y6 = l. Como ~~ (xo, Yo) = 2yo, el TFlm slo puede aplicarse si Yo =1= O. Los puntos del nivel cero de F en los que Yo = O son (-1, O) Y O, O). En estos puntos no podemos concluir del TFIm la existencia de una funcin y = f(x) en una vecindad de ellos . De hecho, la grfica de F(x, y) = O delata el "mal comportamiento" (a la luz de este teorema) de estos puntos. y .--'--+-0--_ x (--1, O) (1. O) Figura 3. Grfica del crculo x 2 +/ =l Para cualquier otro punto (xo, yo) tal que F(x, y) = 0, con Yo =1= O, el TFIm garantiza una vecindad V de Xo en la que se puede definir una funcin Y = f(x) tal que F(x, f(x == O, cuya derivada es , aF ax 2x y =- x y AF = - 2y xEV Ay 2 84 Captulo 3 Funciones compuestas, inversas e implcitas Se puede ver que si Yo > O, tal funcin es f(x) = VI-=7 ~ De aqu se obtiene f y si Yo < O, la funcin es f(x) , (x) = -x x Y vi - x2 = -VI-=7, de donde x x Y -x j'(x) = - -"=1=-=x=2 En cualquier caso, la frmula para la derivada de la funcin y = f(x) est contenida en la dada por el TFlm: 11 Considere la funcin F(x, y) = x 4 - ex)J- 1 El punto (1,1) pertenece al nivel cero de F, pues F(1, 1) = O. Las derivadas parciales de F Ejemplo 2. aF - = 4x 3 - ax Y eXY 3 ) _. 1, son continuas siempre y adems ~~ (1, 1) = -3 i= O. El TFlm nos asegura entonces que en los alrededores de (l, 1), el nivel cero de F se ve como la grfica de una funcin Y = f(x), y que su derivada es 3 4x 3 _ y 3 e<,J - 1 4x - Y3..xy' - 1 I I:" Y = _. )- 1 3 xy 2 exy' - 1 -3 xy 2 ex y Observe que en este caso la funcin F s permite hacer el despeje de y en trminos de x De hecho, de F(x, y) = x4 - exl - l = O, se obtiene y = f(x) = (1 +1; x ) 1/3 La derivada y' podra calcularse de esta frmula explcita y verificar que se llega al mismo resultado obtenido con la frmula del TFlm 4 m Ejemplo 3. Considere la funcin F(x, y) = e2 )+x F(O, O) = O Las derivadas parciales de F son + sen(x 2 + y) - 1 En el punto (O, O) tenemos -- = e2y -rx + 2x cos(x 2 + y), - - = 2e2 )+x + cos(x 2 + .y) ax ay que son siempre continuas. Adems ~~. (O, O) = 3 i- 0, de modo que el TFIm garantiza una vecindad V de x = O en la cual podemos definir una funcin y = f(x) tal que F(x, f(x = O Obsrvese que en este caso las obstrucciones algebraicas de la funcin F no permiten hacer explcita la funcin Y = f(x), sin embargo tal funcin existe (el TFlm lo dice), y ms an, su derivada es aF. aF, , y = - aF = ay a; aF e2y +x + 2x cos(x 2 + y) 2e 2y +x + cos(x 2 + y) Ejemplo 4. Considere la funcin F(x, y) = x 3 + y3 -- 2xy De sta, podramos hacer explcita una expresin del tipo y = f(x) resolviendo la ecuacin cbica para y Sin embargo, eso no es 3.4 Funciones implcitas (1) 285 necesario para investigar la curva F(x, y) = O en los alrededores de un punto concreto, digamos el (1,1) (ya que F(l, 1) = O). Las derivadas parciales de F son - aF ax = 3x - 2y, 2 - aF ay = 3y -2x 2 las cuales, son funciones continuas. Se tiene ~~(l, 1) = l '" O Entonces en los alrededores de (1, 1), la expresin F(x, y) = O define una funcin y = f(x), que no necesitamos conocer explcitamente para conocer su derivada aF - aF ax = 3x 2 3 y2 - 2y 2x ay que cuando x = l vale y/ (1) = -1. Ms an, observamos que y' = f' (x) es una funcin diferenciable cuando x = 1, de modo que podemos calcular yl! derivando respecto de x la expresin de y' recordando que y = f(x). En efecto yI! . a / a 3x - 2Y = -(y) = -- ( -~---=-.) ax ax 3 2_2x y (3y2- 2x)(6x - 2/) - (3x 2 - 2y)(6y/ - 2) 2 (3 y2 - 2X)2 Cuando x = 1, Y = I se tiene y' I! = -1, de modo que y(l)=- (3 - 2)(6 - 2( -1 - (3 - 2)(6( -1) - 2) =-16 (3 - 2)2 (si se quisiera la expresin general de yl! en trminos de x y y, basta sustituir la expresin de y' previamente encontrada en la de yl!). De modo pues que y' (l) = -1 Y yl! (1) = --16. Podemos concluir entonces que en los alrededores del punto (1, 1), la curva F(x, y) = Oes decreciente (y' < O) y tiene su grfica cncava hacia abajo (yl! < O) La curva completa tiene el siguiente aspecto (llamada Folium de Descartes) Y'j'", ~>~ " -1 , "\, recta tangente 1- -----'-,*--"-....... . ~_+_""/~-~--"--- x " ',~ ~ /~ :n~}~}: +2 " / /' " ,, ,, -} , ,, , Figura 4. Folium de Descartes 2 86 Captulo 3 Funciones compuestas. inversas e implcitas Ejemplo 5. Considere la funcin z = F(x, y) y el punto (xo, Yo) E ]R2 tal que F(xo, Yo) = O. Si F satisface las hiptesis del TFlm, sabemos que en los alrededores de (xo, Yo), la curva F(x, y) = O se puede ver como la grfica de una funcin Y = f(x). Cul es la ecuacin de la recta tangente a la curva F(x, y) = Oen (xo, Yo)? Todo lo que necesitamos para responder esta pregunta es la pendiente de la recta, y sta, dada segn el TFlm por Entonces la ecuacin de la recta tangente procurada es aF a-(xo, Yo) Y. .-- Yo = -~--(x - xo) aF -(xo, Yo) ay o sea: aF aF ax (xo, Yo)(x - xo) +ay (xo, Yo)(Y - Yo) = O Otro modo de llegar a este resultado es como sigue: siendo la curva en cuestin el nivel cero de z = F(x, y), sabemos que el vector grad F(xo, Yo) debe ser perpendicular a la recta tangente a la curva en (xo, Yo). El punto (x, y) estar en tal recta tangente si y slo si el vector (x- Xo, y - Yo) es perpendicular a grad F(xo, Yo) = (~~. (xo, Yo), ~~. (xo, yo), es decir, si su producto punto es cero, obteniendo as la ecuacin buscada 0= (x- Xo, y - Yo) grad F(xo, Yo) = aF -(xo, Yo)(x - xo) ax + -(xo, YO)(Y- Yo) ay aF y recta tangente (x - Xo, y -- Yo) F(x, y) =O x Figura 5. Recta tangente a la curva F(x. y) = o. 34 Funciones implcitas (1) 287 El lector puede obtener fcilmente que la ecuacin de la recta normal a la curva F(x, y) = O en (xo, Yo) es aF ay (xo, yo)(x - xo) aF ax (xo, yo)(y - Yo) = O Debemos aclarar que los papeles de las letras x y y en las discusiones anteriores son perfectamente intercambiables . Ms bien, suponga que la funcin z = F(x, y) es tal que en el punto (xo, Yo) vale cero, que en una bola con centro en (xo, Yo) tene derivadas parciales continuas y que su derivada parcial respecto de x es es distinta de cero en (xo. Yo), es decir ~~. (xo, Yo) =f. O. El mismo TFlm garantiza la existencia de una funcin x = g(y) tal que F(g(y), y) = O, para y en una vecindad de Yo. Es decir, garantiza la existencia de una funcin implcita x = g(y) q~e pasa por (xo, Yo), Ycuya derivada es aF ax I ay (xo. Yo) a-(Yo) = g (Yo) = - aF y -{xo, Yo) ax Por ejemplo, para la funcin analizada en el ejemplo 1, F(x, y) las derivadas parciales son -(1,0) ax aF = x 2 + i- 1 tenamos que en (1, O) =2 a-O, O) = O Y aF de modo que del TFlm no se concluye la existencia de una funcin implcita y = f(x), pero s de una funcin x = g(y) en los alrededores de (l. O). De hecho esta funcin es x = g(y) = J1=Y2 y ---t----+-----+ (1, O) x -1 Figura 6. La funcin implcita x = y'I=Y2 Es claro que si en el punto (xo. Yo) se tene aF -(xo. Yo) ax =f. O y el TFlm nos dice que en los alrededores de (xo, )'0), la grfica de la curva F(x, y) = O se puede ver ya sea como la grfica de una funcin y = f(x) o bien como la grfica de una funcin x = g(y) Con esta perspectiva, las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva F(x, y) = O en un punto (xo, Yo) de ella, obtenidas en el ejemplo 5, quedan fuera del compromiso de necesitar que 288 Captulo 3 Funciones compuestas, inversas e implcitas ~~. (xo, Yo) =1 O; segn el TFlm basta que ~~ (xo, Yo) =1 O o bien que ~~ (xo, Yo) =1 O para que tales ecuaciones hagan sentido . Este tipo de consideraciones nos hace fijar nuestra atencin en puntos (xo, Yo) de modo que en una bola con centro en ellos, a partir de F(x, y) = O, podemos despejar a x o y en trminos de yo x respectivamente y establecer una funcin con derivada continua x = g(y) y = f(x). En tal caso el ejemplo 5 nos proporciona las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva en (xo, Yo) Un punto con estas caractersticas se llama punto regular de la curva F(x, y) = O. Entonces el TFlm nos dice que si z = F(x, y) es una funcin tal que F(xo, Yo) = OY en una bola B con centro en (xo, Yo) las parciales ~~. y ~~ son continuas y si ~~(xo, Yo) =1 O ~~(xo, Yo) =1 O (o equivalentemente si (~~. (xo, Yo) 2 + (~~. (xo, Yo) 2 =1 O) entonces (xo, Yo) es un punto regular de la curva F(x, y) = O Ejemplo 6. parciales Considere la funcin F(x. y) = 9x 2 - + 4l - l8x - 8y - 23 que tiene derivadas aF ax = l8x - 18 aF ay = 8y- 8 . las cuales son continuas. Si (xo, Yo) es tal que F(xo, Yo) = O. entonces es claro que (~~ (xo. Yo) 2 + y = f(x) o x = g(y) De cu~lquier punto de la curva se puede ver como la grfica de una funcin hecho F(x, y) = Oes una elipse con semiejes y ~ (~F (xo, Yo) 2 =1 o. Es decir, todos los puntos de la curva F(x, y) = O son regulares: alrededor de y 3 Ycentro en (1, 1) x Figura 7. Elipse del ejemplo 6. Si el punto (xo. Yo) noes un punto regular de F(x, y) = O. sedicequees un punto singular. Pasemos ahora a discutir una generalizacin natural de los asuntos estudiados en esta seccin. Si tomamos ahora una funcin F: IR n + 1 -> IR, digamos z = F(XI, X2, . , x n , y) y consideremos el nivel cero de ella F(xl. X2 .... , x n , y) = O, ahora la pregunta es cundo este nivel se puede ver como la grfica de una funcin y = f(x), X2,. ,xn ) (vea definicin de grfica de una funcin de n variables en la seccin 2 del captulo anterior). Es decir, cundo, de la expresin F(x], X2,' . , x n y) = Ose puede despejar "y" en trminos de las n variables XI, X2, .. x n , y formar as una funcin y = f(x), X2, . . x n ). El caso que ya se discuti exhaustivamente es n = l. La discusin en esta nueva situacin con n arbitraria, se copia casi textualmente del caso n = 1 34 Funciones implfcitas (1) 289 Sea p = (x 1, X2" ,XII' y) E IR 11 + en un punto para el cual F(x ,h ,XII' y) = O Si existe una bola B (en IRIl+) con centro en p, tal que restringiendo a F(XI, X2, ,X"' y) = Oa B, sta se ve como la grfica de una funcin y = f(x, X2," ,XII) (con ji = f(Xt, X2" ,XII))' decimos que esta funcin f es unajimcin implcita dada en F(x, X2," ",XII' y) = O El siguiente TFlm nos dice en qu condiciones se puede esperar la existencia de funciones implcitas, Teorema 3.4.2 Segunda versin). Considere la funcin Sea P := (x, X2,' ,X", ji) E IR 11 + I un punto tal que F(p) = 0, Suponga que la funcin F tiene derivadas parciales ~:.. i = 1,2,., ,n y ~~. continuas en alguna (De la Funcin Implcita. y) z= F(XI, X2, ,XII' bola B con centro en p y que ~~. (p) =1 O, Entonces F(XI, X2, " x", y) = O puede resolverse para y en trminos de X y definir as una vecindad V (de IR") del punto (x 1,X2, , x,,), una funcin y = f(XI' X2, " , x,,) la cual tiene derivadas parciales continuas en V que se pueden calcular con las frmulas -(XI, X2, aF ,x" ) - - _ ax ,X", y) "X", 7 -(XI, X2. a -;OF:-----y) ay Veamos algunos ejemplos, Ejemplo 7. F(p) = Sea la funcin F(x, y, z) = ,x 2 O Las derivadas parciales de F son + y2 + Z2 aF - 3 El punto p = (l. 1, 1) E IR3 es tal que aF - =2x. ax -ay =2y' , - aF az =2z Estas siempre son continuas, En el punto p. se tiene ~~(p) = 2 =1 O El TFlm dice entonces que en los alrededores del punto P. F(x, y, z) = O puede verse como la grfica de una funcin z = f(x, y) que tiene por derivadas parciales a az ax az ay - aF ax - aF -az aF ay -F az -- 2x X 2z z y 2y 2z z De hecho, es claro que tal funcin f es f(x, y) = )3 - x 2 - y2. geomtricamente este ejemplo es equivalente al ejemplo 1, slo que con una dimensin ms: F(x, y, z) = O representa una esfera con centro en el origen y radio )3, la cual globalmente no es la grfica de funcin z, = f (x, y) alguna" Pero alrededor del punto (1, 1. 1) de tal esfera, esto se puede ver como la grfica de la 111 funcin f(x, y) = )3 - x 2 - y2 2 90 Captulo 3 Funciones compuestas, inversas e implcitas ---------------------_. Ejemplo 8. Sea F(x, y, z) = x + y + z - z Las derivadas parciales de esta funcin son -=1. aF ax - aF ay =l . Si el punto p = (xo. Yo, zo) E 1R3 es tal que xo + Yo + Zo - zo o = y z f:. 0, entonces, puesto que ~~(p) f:. 0, el TFIm sugiere que podamos despejar z en trminos de x y y y establecer as una funcin z = f(x, y) (con Zo = f(xo, YO de modo que su grfica en los alrededores de p coincide con F(x, y. z) = O. Las parciales de la funcin f son aj ax aF ax -aF l _. az l-eZ(z+l)' af ay aF ay -- aF = - l l-eZ(z+l) az U Ejemplo 9. Sea F(x, y. z. u, v) Las parciales de F son -=2x = x 2 + 2y2 + 3z 2 + 4u 2 v + e +v -" l. Se tiene F(O. O. 0, O. O) = O. -=6z aF ax aF - =4y ay aF az - aF au = 8uv +e U +v que son funciones continuas. En el origen (de 1R5) la parcial ~~. vale l (f:. O) EL TFlm asegura entonces que alrededor del origen F(x, y, z, u, v) = se puede ver como la grfica de una funcin v = fez, y. z. u) (que no es posible hacer explcita en este caso) cuyas derivadas en el origen son av - (O. 0, 0, 0, O) = - aF -(O, O. 0,0, O) ax tF av -(0.0.0,0,0) =--= 1 Anlogamente -(0,0, O. 0, O) av ay = O. -(0,0,0, O. O) = O. av az - (O. O. O. O, O) = - l av au Ejemplo 10. En el clculo muchas veces se suele ser poco riguroso con las funciones implcitas. Es comn encontrarse con expresiones del tipo " ... la funcin y = f(x) dada implcitamente por F(x, y) = O ... " Sin embargo, habiendo discutido con el debido detalle lo que aqu se ha presentado sobre funciones implcitas, podemos, con un poco de buena voluntad, entender lo que est detrs de esta afirmacin y que nos dice: "como la funcin z = F(x. y) satisface en el punto (xo, yo) las hiptesis del TFIm, es decir, 1. F(xo, yo) O; 2. en una bola con centro en (xo, Yo) las derivadas parciales ~~ y ~F son continuas, y 3. ~~(xo, yo) :f= 0, entonces considere la funcin implcita y = [(x) que el tFlm asegura que existe .. :'. Es claro que esto es muy largo para escribirlo cada vez que nos referimos a alguna funcin implcita dada por F(x, y) = O. Es por eso que, en lo que sigue, tambin nos daremos las libertades pertinentes que nos simplifiquen la comunicacin. Este (nico) prembulo, lo hacemos para que haga sentido el enunciado de este y muchos otros ejercicios y discusiones que aparecern ms adelante en este y otros captulos. = 34 Funciones implcitas (1) 291 Considere, pues, la funcin z = f(x, y) dada implcitamente por F(x, y, z) = xyz - = O. Verifiquemos que sta satisfaga la conclusin del Teorema de Schwarz sobre la igualdad de las derivadas parciales cruzadas en el punto p = (e 2, 4,2) az ax que en el punto p son aF ax - aF - yz _._-xy - eZ' az ay aF ax - aF - xz ---xy -, eZ az az az (4)(2) -2 -;- = - ze2 - e2 = 2e , 1 ux u az ".y Al calcular las derivadas de segundo orden, debemos tener siempre presente que Z = f(x, y) y aplicar entonces la regla de la cadena az a (az) a( yz) ayax = ayax = ay -- xy - eZ Z (xy - e) (az Ya:;; 2 + z) az) -- yz ( x - el ay (xy -- e l )2 que en el punto p es Por otro lado =~_ ( _ xz ) ._ ax xy - el (xy - el) (x az ax = _(xy -: el)z + xyz _ (xy - el)y + yzel az (xy - el? (xy - e z )2 ax z) _xZ (y _ el az) ax que en el punto p es Yas aaya~ (p) = a~taz/p), como queramos comprobar Nuevamente debemos advertir que siendo u = F(x, y, z) una funcin que cumple las hiptesis del TFlm, las letras x, y, z juegan papeles completamente intercambiables al considerar la expresin F(x, y, z) = O. Es decir, de F(x, y, z) = Opodremos despejar una de las variables en trminos de las otras dos restantes siempre que la derivada parcial de F respecto de esa variable sea distinta de cero (localmente).. Entonces, si p = (xo, Yo, Zo) es un punto para el cual alguna de las derivadas parciales ~~', ~~. o ~~. es no nula, el TFIm nos dice que en los alrededores de p podemos ver a F(x, y, z) = O como la grfica de una funcin x = h(y, z), y = g(x, z) o Z = f(x, y), respectivamente 2 2 2 92 Captulo 3 Funciones compuestas, inversas e implcitas Por ejemplo, considere la expresin F(x, y, z) = O donde F(xo, Yo, zo) = O, F tiene derivadas parciales continuas en una bola alrededor de p = (xo, Yo, zo) y alguna de ellas no se anula en p, digamos que ~~. (p) =!= O. El TFIm nos dice entonces que en los alrededores de p podemos ver a F(x, y, z) = O como la grfica de una funcin z = f(x, y) . Cul es la ecuacin del plano tangente a esta grfica en p? Segn lo discutido en la seccin 10 del captulo anterior, todo lo que necesitamos determinar son las derivadas ~~. (xo, Yo) Y ~( (xo, Yo), Ystas las calculamos con la ayuda del TFlm que nos dice que . al -(Xo, Yo) ax = aF _.(p) _..Q_x_ aF(p) az al " ay (xo, _ aF ay(p) Yo) - ----p-(p) az As, la ecuacin requerida del plano tangente es aF( ) aF(p) ap ay z - Zo = _._x_(x - xo) - - - ( y - Yo) aF' aF -(p) -(p) az az o sea aF -(p)(x - Xo) dX + --(p)(y ay aF Yo) + -(p)(z az aF zo) =O Pudimos haber llegado a establecer esta ecuacin haciendo uso de que siendo F(x, y, z) = O una superficie de nivel de la funcin F, el vector grad F(p) = (~~. (p), ~~ (p), ~~. (p)) es el vector ortogonal a dicha superficie en p, y entonces, el vector (x - Xo, y - Yo, z - 20) es ortogonal a grad F(p), o sea, si y slo si el producto de estos dos vectores es cero.. O = (x - Xo, y - Yo, z - zo) aF = -(p)(x - xo) ax aF ay aF aF aF ) ( ax (p), ay (p), ~(p) Yo) + -(p)(y - + -(p)(z az aF Zo) radF(p)~ p Figura 8. Plano tangente de la superficie F(x, y, Z) = O. Observamos tambin que la ecuacin del plano tangente anteriormente planteada hace perfecto sentido aun cuando ~~(p) = O. Lo que se requiere es que no se anulen simultneamente en p las tres derivadas parciales de la funcin F, pues, como dijimos, en tal caso el TFlm nos dice que en los alrededores de p la superficie F(x, y, z) = O se puede ver como la grfica de una funcin (diferenciable) de dos variables, y por lo tanto se le puede asociar un plano tangente, cuya ecuacin es la establecida anteriormente. (Ver ejercicios 6 y 7 de la seccin 10 del captulo 2). 34 Funciones implcitas (I) 293 Ejemplo 11. Considere la superficie en JR3 definida implcitamente por F(x, y, z) = xyz Hallar la ecuacin del plano tangente en p + ln(xyz) - z= O = (1, 1, 1). Se tiene ih = yz +~, de modo que evaluando en p aF 1 = xz ay aF + -', y 1 - aF az = xy+ --1 1 z a~(p) = 2, aF ay(p) = 2, aF --(p) = 1 aF az y as, la ecuacin del plano tangente procurada es 2(x - 1) + 2(y - 1) + (z - 1) = O o sea 2x Ejemplo 12. + 2y + z = 5 Hallar la ecuacin del plano tangente a la superficie dada implcitamente por F(x, y, z) = 36x 2 en el punto p + 9i + 4z 2 - 72x - 36y - 24z + 72 = O = (1,4,3). Se tiene aF - = 72.x-72, ax - aF ay = 18y - 36, . _. = 8z - 24 aF az de modo que en el punto p obtenemos -(p) = 36, ay aF aF (p) ay =O (Obsrvese que en este caso podemos aplicar el TFlm para concluir que la superficie F(x, y, z) = O se ve en los alrededores del punto p como la grfica de una funcin del tipo y = g(x, z)). El plano tangente procurado tiene por ecuacin a O(x - 1) + 4(y - 4) + O(z - 3) =O o sea y=4 2 94 Captulo.3 Funciones compuestas, inversas e implcitas Ejercicios (Captulo 3, Seccin 4) En los ejercicios 1-5 se dan funciones F (x, y). Verifique en cada caso que F satisface las hiptesis del teorema de la funcin implcita (en algn punto p del nivel cero de F), y obtenga la derivada de la funcin y = I(x) definida por el nivel cero de F En cada caso es posible hacer explcita esta ltima funcin. Hgalo y obtenga de nuevo y' derivando directamente la funcin y = f(x) despejada. 1. F(x, y) 2. 3. 4. 5. + 10y -- 2 F(x, y) = 2xy + y - 4 F(x, y) = x Z + 3x 3 + 8 xy 3 - 20 F(x, y) = x- 2 - 5e x + e' F(x, y) = 2x z + 4x - 91n(1 + 4x z + 3 y 3) = 8x En los ejercicios 6-10, se da el nivel cero de una cierta funcin F(x, y). Compruebe que esta funcin satisface las hiptesis del teorema de la [uncin implcita en el punto indicado (perteneciente al nivel cero de F). Obtenga la derivada de la funcin y = f(x) en el punto dado. 6. F(x,y)=x 2 y+3x z -2l-2y=0,p=(I.I) 7. F(x, y) = sen x 8. F(x, y) = 9. F(x, y) 10. F (x, y) + cos y + 2y - 7T = 0, P = (O. 7Tj2) y In(x z + yZ) - 2xy = 0, P = (O, 1) X = xe + ye' = xY - 2x - 2y = 0, P = (O. O) (2. 2) + y< - 2xy = O, P = En los ejercicios 11-15 se da el nivel cero de una cierta funcin F(XI, xz, y). Compruebe que ste define implcitamente una funcin y = I(x, Xz) en una vecindad del punto p dado perteneciente al nivel cero de F. Obtenga las denvadas parciales de la funcin 1 en p 11. F(x, xz, y) = XI 12. F(x, xz, y) 13. F(x], Xz, y) 14. - F(x, Xz, y) 15. F(x], xz, y) + XI - 3xz + y = O, p = (0,0, O) = XI ln( 1 + Xz) + ye 4y = O, p = (0,0, O) = yarctan(l -y2) + 3xI + 5y - 8x~ = 0, p = (1, = x](xz + eY ) + 5y - 2 = 0, P = (1,1, O) = xlxzye' In y _. 3xI + 3xz = O, p = (1,1, 1) sen Xz z ; 1, 1) 16. Demuestre que cualquier nivel constante de una [uncin lineal F: IR n -> R F(XI, X2, , x n) = alxl + azxz + . + anXn + b, donde alaz a n =f. 0, define siempre funciones implcitas !,:IRn--1 -> Rx, =f(XI, .. ,x;_I,x+I"xn),lascualestambinsonfuncioneslineales Determine las derivadas parciales de las funciones f Qu importancia tiene la suposicin de que el producto a az a n sea distinto de cero en el resultado establecido en este ejercicio? 17. Considere la funcin F: IR z . - t IR, F(x, y) = ax z + 2hxy + el + d, en donde d =f. En qu condiciones es posible trazar una recta tangente a la grfica de F(x, y) = O en cualquier punto de ella? 34 Funciones implcitas (l) 295 18. Sea y = f(x) una funcin dos veces diferenciable definida implcitamente por F(x, y) = O Demuestre que la segunda derivada y"(x) viene dada por (todas las derivadas parciales de F calculadas en (x, f(x))). 19. Suponga que la expresin F(x, y) = F(y, x), en que F:]R2 -; ]R es una funcin diterenciable, define implcitamente una funcin diferenciable y = f(x).. Derivando respecto de x, nos queda que - +ax aF aF, ay y = -- y ax aF, + -ay aF de donde y' = 1, lo cual es, en general, falso Encuentre el error en este razonamiento. Determine la expresin correcta para la derivada f' (x) 20. Suponga que la expresin F(x, c/>(x), y) = O, donde F:]R3 -; R y c/>:]R -; ]R son funciones diferenciables, define implcitamente una funcin diferenciabley = f(x) Halle f'(x). (Sugerencia: derive respecto de x la expresin F(x, c/>(x), y) = O, usando adecuadamente la regla de la cadena) 21. Suponga que la expresin F( c/>(x), tf;(x), y3) = O, donde F: ]R3 -; ]R., C/>, tf;: ]R -; ]R son funciones de clase 'ti? 1, define implcitamente una funcin diferenciable y = f(x). Halle f' (x). 22. Sean G, F:]R2 --> ]R funciones diferenciables. Suponga que la expresin G(F(x, y), F(y, x)) = O define implcitamente una funcin diferenciable y = f(x) Determine la expresin para f'(x) En los ejercicios 23-26 se da el nivel cero de una funcin diferenciable F:]R4 -; ]R, IV = F (x, y, z, u), y un punto p perteneciente a este nivel. Diga en cada caso si en los alrededores del punto p es posible ver la grfica de F como la grfica de una funcin diferenciable del tipo: a. u = II(X, y, z), b. z = z(x, y, 11), c. y = y(x, Z, 11), y/o, d. x = x(y, z, u) En cada caso (en el que tal funcin exista), determine sus derivadas parciales en el punto p . 23. x 2 + l 24. 25. 26. + Z2 + 11 2 - 4 = O, P = (1, 1, 1, 1) xyzu + x 3 - 5YZ 2 + 8u - 8z = O, P = (O, O, 1, 1) ln(1 + x 2 + i) + 3z - 8u = O, p = (O, O, O, O) x sen x + y sen y + z sen z + u sen u = O, p = (O, O, O, O) 27. Determine la derivada direccional de la funcin z = f(x, y) definida implcitamente por x tan y - z = Oen el punto p = (O, 1T /4, O) en la direccin del vector 11 = (2, 1).. 28. Determine la derivada direccional de la funcin ti = f(x, y, z) definida implcitamente por u + ye" + x + 3z = O en el origen de coordenadas en la direccin del vector v = (1, - 1, -1) 29. Hallar la direccin de mayor crecimiento de la funcin z = f(x, y) dada implcitamente por arctan(x + y + z) + 3xyz + z. = O en el origen de coordenadas 2 96 Captulo 3 Funciones compuestas, inversas e implcitas 30. Considere la superficie -2x z + 64x - 4y2 + 64y posible trazar un plano tangente? Explique. 31. Repita el ejercicio anterior con la superficie + zZ - 768= O. En qu punto de ella no es _XZ + x(2z + 10) - / + y(2z + 14) + zZ + 8z + 6 = O En los ejercicios 32-34 considere la funcin z = f(x, y) definida implcitamente por la expresin dada F(x, y, z) = O. Calcule las derivadas parciales de segundo orden de la funcin r + 8yz3 = O 33. sen(xy) + z + sen z = O 34 ..Xfr + ye Y + z- 3e = O, en el punto (1, 1, 1) 32. xZy - 3z 35. Suponga que la expresin F(x, y) = Odetermina funciones diferenciables x = f(y), y = g(x) Demuestre que f'(y)g'(x) = L Qu relacin tiene este hecho con el teorema de la funcin inversa del curso de clculo de funciones de una variable? 36. Suponga que la expresin F(x. y, z) = O determina implcitamente funciones diterenciables x = x(y, z), y = y(x, z), z = z(x, y). Demuestre que -_.~_. ax ay az =-1 ay az ax En los ejercicios 37-42, F: JR.3 --+ JR. es una funcin de clase 'lZ1. Suponga que la expresin dada determina implcitamente la funcin de clase 'lZ1 z = f(x. y). Hallar las derivadas parciales de esta funcin. 37. F(y, x, z) 38. F(z, y, x) =O =O O 39. F(x, y, z) + F(x, z, y) + F(z, x, y) = O 40. F(ax 41. + bly + CIZ, azx + bzy + czz, a3X + b3 y + C3Z) = xF(y, y, z) + yF(x, x, z) + zF(x. x, x) = O 42. F(x sen y cos z, y sen z cos y, z sen x cos y) = O 43. F(~,~,~) = O Yzx 44. Sea F: JR.z - t JR. una funcin de clase 'lZz. Suponga que la expresin F(x + z, x) = O define implcitamente una funcin z = f(x, y) de clase 'lZz. Determine las derivadas parciales de segundo orden de esta funcin . 45. Suponga que la expresin j Y+Z xz g(t) dt + JZ2 3x+y h(t) dt = O donde g, h: JR. -+ JR. son funciones continuas, define implcitamente una funcin diferenciable z = f(x, y). Halle sus derivadas parciales. 35 Funciones implcitas (lI) 297 3.5 Funciones implcitas (I1) Vamos a estudiar ahora una generalizacin de los temas analizados en la seccin anterior. Comencemos por considerar una situacin elemental que nos introduzca en el tipo de ideas que manejaremos en esta seccin Tomemos el siguiente sistema lineal de 2 ecuaciones con las variables u, v, x, y atl + bv - klx = cu + dv --'- k2Y = O O donde a, b, c, d, k Yk2 son constantes Nos preguntamos cundo podemos resolver el sistema para u y ven trminos de x y y. Si escribimos el sistema como au+bv=kx cu + dv = k2 y podemos ver ms claro que la pregunta es: cundo tiene este sistema solucin para las incgnitas u y v? La respuesta a esta pregunta simple la sabemos desde hace mucho: cuando En tal caso podemos escribir Esta respuesta no cambiarla si considerramos el sistema au + bv = fl (x, y) cu + dv = h(x, y) donde fl y f2 son funciones dadas de las variables x, y. La posibilidad de despejar las variables ti y V en trminos de x y y recae sobre los coeficientes de estas variables en las ecuaciones dadas . Por supuesto, este problema pasa de su gran simplicidad a una posible gran complejidad si ahora las ecuaciones ya no son lineales en u y v . Es decir, si ahora escribimos el sistema como gl (ti, v) = fl (x, y) g2(U, v) = h(x, y) en que gl y g2 son ciertas funciones de u y v, nos preguntamos cundo de l podemos despejar a u y v en trminos de x y y. Ms generalmente, consideremos el problema siguiente: dadas las funciones F y G de las variables ti, v, x, y, nos preguntamos cundo de las expresiones F(x, y, u, v) = O} G(x, y, ti, v) = O podemos despejar a u y ven trminos de x y y. En el caso de que esto sea posible diremos que las funciones u = 'PI (x, y) y v = 'P2(X, y) son funciones implcitas dadas en el par de ecuaciones (*) 2 98 Captulo 3 Funciones compuestas, inversas e implcitas Por la experiencia de la srccin anterior, no debe resultamos extrao el hecho de que la respuesta a la pregunta planteada tiene slo respuesta local Es decir, si p = (x, y, , v) es un punto tal que F(p) = G(p) = O Y F Y G tienen ciertas propiedades en sus derivadas parciales en los alrededores de p, se podr esperar la existencia de funciones u = 'PI (x, y), v = 'Pl(X, y) tales que = 'PI (x, S'), V = cpz(, v) y F(x, y, 'P(x, y), 'Pl(X, y)) == O G(x, y, 'PI (x, y), 'Pl(X, y)) == O con (x, y) en alguna vecindad V de (x, Si), y con las funciones 'PI y cpz con ciertas propiedades de diferenciabilidad en V. Asumamos por el momento la existencia de las funciones 'PI y 'Pl Y veamos cules tendran que ser sus derivadas parciales . Derivando las expresiones (*) respecto de x, recordando que u = 'PI (x, y) y v = cpz(x, y), se tiene, aplicando la regla de la cadena aF + aF au + aF av = O ax au ax avax aG + aG~1!. + aG av = O ax au ax av ax que se pueden reescribir como aFau aFav au ax avax aG au aG av --- + - au ax av ax aF au au --+--=-= aF ax aG --_. ax y verse como un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas ~ y ~. Se ve entonces que una condicin que debe cumplir F y G es, para que este sistema tenga solucin, que det [ aG aF] =1 O av aG av (en p) . En tal caso, segn la regla de la Cramer, podemos despejar las derivadas que nos interesan quedndonos det au ax det En forma anloga, si derivamos la expresin (*) respecto de y obtenemos l l aF ax ,aG ax aF au aG aF] av aG det [ - .~~ - aG ] ~~ aG au ax av aF] , av aG av = ----:::-'-'--:::---,-='-:::- ax det [:~ :~ au av ] au av aF au aF av aF au ay av ay ay aG au aG av aG --+--=-au ay av ay ay --+--=-- 3 5 Funciones implcitas (II) 299 de donde det au ay [ aF _ ay :~ aF] av aG av [aF _aF] au ay det av -= ay aG au aG ay det [aF a;:; av aF aGr au aG av det [aF aF] av au aG au aG av Introduzcamos la siguiente notacin: Si X, Y son funciones de las variables x, y se llamajacobiano de X y Y respecto de x y y, denotado por J(X, Y) x,y al determinante o a(x, Y) a(x, y) a(x, Y) = det a(x, y) [~~ ~~] aY ax aY ay a(F, G) - Con esta notacin las derivadas parciales de u se ven como au -ax (**) = <PI (x, y), V = <P2(X, y) determinadas anteriormente a(F, G) a(x, v) - a(F, G) a(u, v) a(F, G) a(y, v) - a(F, G) a(u, v) av ax a(u, x) a(F, G) a(u, v) a(F, G) au ay av ay = a(u, y) a(F, G) a(u, v) Obsrvese que la condicin aqu impuesta de que el jacobiano ~\:.~1 sea no nulo (en p), para nuestro sistema lineal que consideramos al comienzo de la seccin F(x, y, u, v) = au + bv - .fJ (x, y) = O + dv - h(x, y) = aF] G(x, y, u, v) = cu O se ve como a(F, G) = det a(u, v) aF au aG [ au :~ = det [~ ~] #O av . como ya lo habamos dicho antes . Enunciamos ahora el TFIm en este caso de dos expresiones en cuatro variables que definen implcitamente a dos de ellas como funciones de las dos restantes 3 00 Captulo 3 Funciones compuestas, inversas e implcitas Teorema 3.5.1 (De la funcin implcita tercera versin). Considere las funciones Z I = F(x, y, u, v), Z2 = G(x, y, u, v) Sea p = (x, y, u, V) E JR4 un punto tal que F(p) = G(p) = O Suponga que en una bola B (en JR4) de centro en p, las funciones F y G tienen (sus cuatro) derivadas parciales continuas. Si eljacobiano ~i~.~l(p) -10, entonces las expresiones F(x, y, u, v) = O Y G(x, y, u, v) = Odefinen funciones (implcitas) u = IfI (x, y), V = 1f2(X,V) definidas en una vecindad V de (x,y), las cuales tienen derivadas parciales continuas en V que se pueden calcular con las frmulas (**). 111 La demostracin de este teorema se basa por completo en el TFIm segunda versin, establecido en la seccin anterior (Teorema 34.2) y resulta un ejercicio ilustrativo cmo se puede usar tal teorema para probar otros resultados De cualquier modo, presentamos como opcional su demostracin Demostracin. (Opcional). Como, por hiptesis, aF ~(F, G) = det a(u, v) -a-;; aG [ au aF] av aG av . -10 p los cuatro elementos ~~ (p), ~(p), ~~ (p), ~~ (p) no pueden ser simultneamente cero.. Sin prdida de generalidad podemos suponer que ~~(p) -10. Entonces, la funcin ZI = G(x, y, u, v) satisface las hiptesis del Teorema 34.2, del cual podemos concluir que en una bola B de JR4 con centro en p, se puede escribir v como funcin de x, y, u Sea v = ljJ(x. y. u) tal funcin y consideremos la funcin H(x, y, u) = F(x, y, u, ljJ(x, y, u)) Tenemos que, derivando esta expresin respecto de u _.=-+-El mismo teorema 3.4.2 nos dice que aH ax aF au aF aljJ av au de modo que aFaG aFaG ----au av av au aG av es decir que la funcin H(x, y, u) en el punto p es tal que a(F, G) (p) a(u, v) aH au -1 O aG -(p) av 35 Funciones implcitas (H) 30 I Nuevamente el teorema 3.4.2 nos permite concluir que de la expresin H(x, y, u) = O, podemos, localmente, ver a u como funcin de x, y.. Sea u = 'PI (x, y) tal funcin Entonces u = 'PI (x, y) y v = If;(x, y, u) = If;(x, y, 'P(x, y = !Pl(X, y) Estas son las funciones cuya existencia asegura el teorema Una vez concluida la existencia de estas funciones es posible obtener las frmulas (**) para sus derivadas parciales procediendo como se hizo en el libro, o bien. haciendo uso repetido (y cuidadoso) de las frmulas del teorema 34..2. Este Q.ED es un bonito ejercicio de "sustitucin" de expresiones con derivadas, para el lector. Ejemplo 1. Considere las expresiones = xe u +v + uv - l = O G(x, y, u, v) = ye 2uv - 1 = O F (x, y, u, v) U V - En el punto p = (1, 1, O, O) se tiene F(p) u+_ = G(p) = O Las derivadas parciales de F y G son aF iJx =e - = 0, ay aF aF - = xe u 'v + v, au T - iJF uH =xe iJv +u - 2u - iJG iJx =0, aG u-v -=e , ay aG - = ye u-v iJu - 2u, iJG av = -ye u-v las cuales siempre son continuas El .J' acobiano a(F:C) a(u, v) es aF a(F, G) = det a(u, v) que en el punto p vale [ aG au ~ aG av aF] _ ~ - det [xe + ye uv . u-_ + u 2v uV + _ye U - V xe + a(F, G) (p) a(u, v) = det [l I I J = -2 -1 of O Entonces el TFlm nos asegura que en los alrededores de p podemos (tericamente) despejar a u y v en trminos de x y y y establecer as funciones implcitas u = u(x, y), v = v(x, y), las cuales, aun sin poder hacerlas explcitas, podemos obtener sus derivadas parciales en una vecindad de (1, 1) Por ejemplo au ax a( F, G) --iJ(x, v) - iJ(F, G) dd f aG aF] ax av av 'F] au faF aG iJlt ~1~ :; ~~ --a(u, v) det 3 02 Captulo 3 Funciones compuestas . im ersas e implcitas det [CU~Y O ll Y .re'h-> +y Y ] -yc"-' - 211 21' \. e"+ Y -le"2llC Il + V det [ . .rC ye"- + Y - + .11 + l' - ] '211 ye 2/1 + 2.ne 2ll + 2(11 - l')xe"~' + (11 + l')\e"-' Ejemplo 2. La funcin z = f(x, y) est dada como z determinadas por el par de expresiones F(.r, Y, 11, = II + v, donde 11 y l' son funciones implcitas v) G(x, y, 11, 1') = 11 + e"~V .- x = O = V + e"- v = O V - Se quiere hallar la ecuacin del plano tangente a:. = f(.\, \) en el punto correspondiente a x = \ = l. 11 = V = O (en el que i;,I(;;~: = - l =1= O Ypor lo tanto. existen tales funciones 11 y 1'). Necesitamos entonces calcular ~(I,I) dx a~ y -.:::. (I, 1) (Jy a.. Se tiene -=_.+(IX Jx Jx' a: all al' -=-+J\ i\ h a: all al' Calculemos entonces ~ ( 1, 1), 1, 1), ~ (1, 1), ~ ( 1, 1). Estas derivadas se pueden calcular usando las frmulas establecidas con los jacobianos, o bien, derivando directamente las expresiones F = O Y G = O Procediendo de esta segunda manera (que en general resulta ser ms prctica cuando se procuran resultados numricos), derivamos respecto de x las expresiones F = OYG = (recordando que 11 y V son funciones de x y \ ) 2( all -+e' Jx ll+\ (all + al') -elX ax --1=0 -+e ax al' ll-\ (ellI - Jx 11 al'.) =0 ax = 0, obtenemos de modo que evaluando estas expresiones en los valores x = y = 1, 2-+-=1 lx lu = V ay ax all = ax = 0, G de donde i!!.!. dt obtenemos o , JI' ilx l. Igualmente, al derivar respecto de y las expresiones F au -+e ll+' ay (al.1 a.v) -+ay (Jy =0 a.v -+e:, __ , (fll.1 - - - 1 =0 ay ay ay de donde, al evaluar con x = } = 1, 11 ay) = Y = Oobtenemos 7f;. = 1, '1 ~ '1 = -2 As pues J::. - = 0+1 = 1, a.X --=1+(-2)=-1 a;: ay , 35 Funciones implcitas (!I) 303 de modo que la ecuacin del plano tangente procurado es z=x-l-(y-l) o sea z=x-y Ejemplo 3. Dado un par de expresiones F(x. y. u. v) = O, G(x. y. u. v) = O que determinan (localmente, alrededor de algn punto p) funciones /{ = !PI (x. )1). V = !PI (x. y), nos podramos preguntar (con F y G suficientemente bien portadas) por derivadas de segundo orden de estas funciones. La discusin general nos llevar a expresiones bastante complicadas para estas derivadas \ no es nuestra intencin obtenerlas Sin embargo. s puede ser un buen ejercicio de derivacin y uso de la regla de la cadena hacer esto en un caso particular. Considere las expresiones F(x, J. 1/. v) G(x. y, 1/, \') = = 1/ - 311' + 2x - 2y = O + \', - 5\" + y' = V O Como aF a(.F. G) _ a(lI. \') det [. d il .'G aF] a\' aG (l' = det I [9u 1 31" -~'I' , all J = 3v 1 + 911 1 = O? U =v =O consideremos los alrededores de cualquier punto (r. y, u. v) E IR-l con 11 y 1 no nulos. por ejemplo. ,2 el punto (1, l. 1, 1) Se quiere calcular ~'i~ en los alrededores de este punto Tenemos al/ ay =_ ~~:.~; a(F, a(lI. v) =_ G) 1 det 3v 2 + 9u 2 [(;: ~G~] aG aya\' (1 _ 1 - - 3\,1 + 9u 2 det l31" ' r- 2 -I 31" 1 _ 61,1 - 3 y" _ 'J - -+- 31 . 2 9u 1 2v1 _ y1 v1 + 3u 1 Ahora a,1 a"u = aya\' , a (all) 1 ( = ay a (2\'l_i) \,2 + 3u 2 (1'+311-) 41--2y)-(2r'-y')(21-+6uay ay ay 2 )2 (v"+3u 2\'(,' + 611')- - (21" - y')611- - (r' + 3u-)2y 1 1 al/ '? e). au) al' 1 1 ()II ) 1 ay a\ 3 04 Captulo 3 Funciones compuestas, inversas e implcitas Calculemos -ay av ay av ~ a(u, v) a(F, G) a(F, G) = - 3v 2 + 9u2 1 d [ aF au et aG au ay aG ay aF] 1 [1 -2] 3i + 18u = - 3v 2 + 9u 2 det 9u2 3i = - 3v2 + 9u2 2v(l 2 =2 i + 6u 2 v2 + 3u2 sustituyendo esta expresin junto con la de ~ en la expresin para ~.:; nos queda finalmente + 6u 2? + 6u(2v2 - l ? (v 2 + 3u 2 )3 - 2y(v 2 + 3u 2)2 Presentamos por ltimo la versin del TFlm ms general que consideramos en este texto: cuando se tienen n expresiones del tipo F,(XI, X2. ,Xm , YI" Y/l) = O, i = 1, 2, , n con m + n variables, las cuales definen a n de ellas, digamos YI, , YIl como funciones implcitas de las m restantes, .XI, .X2, , Xm Teorema 3.5.2 (De la Funcin Implcita. Cuarta versin). Considere las n funciones i = 1,2, ,n ,n Suponga Sea p = (XI, . -t m, JI, , )'Il) E IRm+/l un punto tal que F;(p) = O, i = 1,2, que en una bola B de IRm+1l con centro en p, las funciones Fi tienen (sus m parciales continuas. Si el jacobiano + n) derivadas a(F I , h a(YI, Y2, . . FIl ) aFI aYI -aY2 aF2 aFI - aFI aY/l aF2 aYIl -- . YIl) = det OFi aYI - - aF~ aYI - aY2 uFIl aY2 - aF~ aYIl es no nulo en p, entonces las expresiones F(XI, ... , Xm , YI> ... , Y/l) = O definen funciones (implcitas) Yi = <Pi (x 1, , Xm ), i = 1, 2, . , n definidas en una vecindad V de (x 1,X2'" , xm ), las cuales tiene derivadas parciales continuas en V que se pueden calcular como aYi aXj a(YI, .Yi--I,Xj,YH1,,YIl) a(F,h ... ,FIl ) a(YI.Y2, 'YIl) Ejemplo 4. Considere las expresiones F(x, y, u. v, w) G(x, y. u, v, w) =x +y+u +v+w =O 2v = x 2 -l + u 2 4 H(x, y, u. v. w) = x 3 + y 3 + u - + w2 + 1 = O 4 4 3v + 8w + 2 = O 2 3 5 Funciones implcitas (II) 305 En el punto p = (l. -\, 1, -1, O), se tiene F(p) = G(p) = H(p) = O. Todas las derivadas parciales de F, G Y H son continuas siempre Se tiene adems a(F;G,H) a(ll, v, w) [ - - - - (p) = det 4u 3 I 2u I -4v -12v 3 El Teorema anterior nos asegura entonces que en tomo a p podemos despejar u, v, w en trminos de x, y y establecer as funciones u = u(x, y), v = v(x. y), w = w(x, y), las cuales, aun cuando no se puedan ver explcitamente, sabemos que tienen derivadas continuas en una vecindad de (1, -1) Calculemos, por ejemplo, ~(I. -1). Como a(F. G, H) av ay a(u, y, w) a(F, G. H) a(u, v. w) se tiene aF au a(F, G. H) a(lI, y. w) aG au aH all aF ay aG ay aH ay aF aw aG aw aH aw' = det ~ del [ 2~ 411 1 -2y 31'2 3 1 2w ] 32w 3 Al evaluar en p obtenemos a(F, G, H) a(lI. v, w) = det [~ 4 ] .2 3 00]] = -2 As, av ay(l -1) = -8 = 4 -2 1 Ejercicios (Captulo 3, Seccin 5) 1. El sistema II V = x + y. u +v = x- y define funciones implcitas II = u(x. y), v = v(x. y), x = X(lI. v), y = y(u. v), las cuales se pueden hacer explcitas. Obtenga las derivadas parciales de estas funciones Compruebe que a(u. v) a(x. y) a(x. y) a(lI, v) =] 3 06 Captulo 3 Funciones compuestas, inversas e implcitas 2. Considere las funciones u = u(x, y), v = v(x, y) definidas implcitamente por las expresiones e U + e=x V + ye, ue u + ve = xye v Calcule las derivadas parciales ~, ~, ~, ~, para u = O, v = 1, x = 1, Y = l 3. Considere las expresiones uv- 3x + 2y = O, Habiendo verificado que stas definen funciones u = u(x, y), v = v(x, y) en los alrededores del punto (u, v, x, y) = (l, 1, 1, 1), determine las ecuaciones de los planos tangentes a las superficies u = u(x, y), v = v(x, y) en p. 4. Sean F, G: JR4 -> JR dos funciones de clase '6'1 tales que grad F(l, 1, 1, 1) = (3,2, 1, -1), grad G(l, 1, 1, 1) = (4,-5,2,2). Suponga que las expresiones F(x, y, u, v) = O, G(x, y, u, v) = Odeterminan funciones de clase '6'1, u = u(x, y), v = v(x, y) alrededor del punto p = (l, 1, 1, 1). Demuestre que las expresiones F(x 2 , l, u, v) = 0 1 G(x 3 , u, v) = O determinan tambin funciones de clase '6'1, U = u(x, y), v = v(x, y) en torno a p . Calcule las derivadas parciales de estas funciones para x = y = l . i, 5. Sean F, G: JR3 -> ]R dos funciones de clase '6'1. Considere el sistema F(x, y, z) = O, G(x, y, z) =O Sea p = (xo, Yo, zo) un punto en el que F(p) = G(p) = O. Establezca condiciones bajo las cuales estas expresiones determinen funciones implcitas x = x(z), y = y(z) En tal caso, halle xl(zo), yl(ZO). Por lo general, establezca condiciones bajo las cuales estas expresiones determinen algunas de las funciones implcitas x = x(z), y = y(z), o, .x = x(y), Z = z(y), o, y = y(x), Z = z(x). 6. Como caso particular del ejercicio anterior, considere las funciones F(x, y, z) = ax + by + CZ + dI, G(x, y, z) = azx + bzy + Czz + d 2 . Verifique que las condiciones establecidas en el ejercicio anterior para que de las expresiones F(x, y, z) = O, G(x, y, z) = Ose puedan despejar dos de las variables x, y, Z en trminos de la restante, se ven como (correspondiendo a los casos de existencia de funciones: l. x = x(z), y = y(z); 2. x = x(y), = z(y); 3. Y = y(x), z = z(x), respectivamente). Constate que estas condiciones son equivalentes a la independencia lineal de los vectores VI = (al, b l , c), V2 = (az, b z, cz), que son los vectores normales a los planos que representan F(x, y, z) = 0, G(x, y, z) = Relacione el resultado aqu establecido con las condiciones para que dos planos en JR3 se corten entre s (en una lnea recta). Z 7. Considere las expresiones F(x, y, z) = 0, G(x, y, z) = O. Sea p E JR3 un punto para el que F(p) = G(p) = O. Suponga que estas expresiones determinan, localmente, en una bola B(p) del punto p, funciones x = x(z), y = y(z). En tal caso, el conjunto de puntos (x, y, z) E ]R3 tales que x = x(t), y = y(t), z = t, con t E ]R tal que (x(t), y(t), t) E B(p), puede verse como .3 5 Funciones implcitas <II) 307 el conjunto de puntos (x, y, z) de la curva de intersecCin de las dos sflperjicies F (x, y, z) = O, C (x. \. z) = Observe que esta curva podra ser descrita (en su caso) como c = {(x, y, z)lx = x(t), y = t, Z = z(t)} o c = {(x, y, z)lx = t, Y = y(t), z = z(t)} con t E IR tal que (x(t), t, z(l) E S(p) o (t, x(t), y(t E S(p), respectivamente A qu casos corresponden estas descripciones de la curva C? Considere, por ejemplo, las superficies F(x, y, z) = x2 2 C(r, y, z) = x + i + Z2 + / + Z2 - 2x - 1 =O 2y - 1 = y el punto p = (1. 1, 1) Compruebe que ':J\;~;(p) = -4. Concluya entonces que en los alrededores de p podemos ver la curva de intersccin de estas dos superficies como x = x(t), y = Jet), Z = t. Halle las funciones x(t), y(t) Describa geomtricamente esta situacin 8. Considere las expresiones x sen y + y sen x = u sen v + v sen u x cos y + y cos x = 11 COS v + v COS 11 Compruebe que en los alrededores del punto p = (x, y, 11, v) = (O, 1. O, 1) estas expresiones determinan fnciones de clase 'PI, 11 = u(x, )1), v = v(x, v), x = X(lI, v), y = Y(II, v). Halle las derivadas parciales de estas funciones en el punto p Considere luego las funciones <P, \V: IR 2 -+ ]R2, <P(x, y) = (u(J;, y), v(x, y, 'V(u, v) = (x(u, v), y(u, v. Escriba las matrices jacobianas l<P(O, 1), J'V(O. 1) Determine los productos l<P(O, I )J'V(O, 1) Y l'V(O, I )J<P(O, 1). En los ejercicios 9-15 establezca condiciones bajo las cuales las expresiones dadas determinan funciones de clase 1? I U = u(x, y), v = v(x, y) En cada caso, halle la expresin de la derivada parcial indicada, en trminos de las (derivadas parciales de las) funciones dadas f, g: IR 2 -+ IR. las cuales se suponen de clase 'P I 9. f(x, y) 10. f(x, v) 11. f(x, u) = g(u, v), g(x, y) f(y, x) (u, x) g(x, y) = f(lI, v), = g(u, v), = g(y, v), = = f(u, v), = g(v, u), = g( v,y), = g(u, v), = vg(u, u) --') -=') ax -. av ax -. au ay --') all 12. f(x, y) --') au ay - 13. yf(x, x) ug(v, v), xf(y, .)1) 14. xuf(v, v) = g(u, v), )vg(x, 11) = f(lI, v), au , ax av ax _') -. _') -, 3 08 Captulo 3 Funciones compuestas, inversas e implcitas 15. f(xu, yv) = g(u, v), f(yu, xv) = g(l/, v), dl/ ='1 dX . 16. Considere las expresiones x + y = eU - e', x- 7 + y2 = u + v Demuestre que estas expresiones determinan funciones implcitas I1 = uC'(', y), V = v(x, y) en los alrededores del punto p = (0,0,0, O) Halle las derivadas parciales de segundo orden cruzadas de estas funciones en el origen. 17. Sean fl,h gl, 82: IR --+ IR funciones continuas tales que f1 (1) Considere las expresiones = h( 1) = gl (l) = g2(l) = 1 Ju ["2 fl (t)dt = j)' gl x (t)dl, Demuestre que stas determinan funciones implcitas l/ = u (x, y), v = v(x, y) en los alrededores del punto p = (1, 1, 1, 1) Determine las derivadas parciales ~J" (1, 1), ~J" (1, 1), !'(-J'X (l, ]), :~ (l, 1) v v rJv . ( l; ( 18. Demuestre que las expresiones 3xy + x 2 / + z' + 2uv x' + i + Z3 - 41' 21'2 - 3u = U = determinan funciones implcitas u = u(x, y, z), v = v(x, y, z) en los alrededores del punto p = (1, 1, 1, 1, 1). Halle las derivadas parciales de estas funciones en el punto (l, 1, 1) 19. Sean F, C, H: IR6 --- IR funciones de clase 0: 1 tales que en el punto p E IR 6 tienen por vectores gradientes a grad F(p) = (1, 0, -- 1, 1, 1, 2), grad C (p) = (O, 0,- 2, 0, 1, 1), grad H(p) = (2,-2,0,0,0,1) . Demuestre que las expresiones F(x, y, z, u, v, w) = 0, C(x, y, z, u, v, w) = 0, H(x, v, z, l/, v, w) = definen funciones implcitas u = u(x, y, z), v = v(x, y, z), w punto p. Calcule las derivadas parciales ~, ~, ~ = w(x, y, z) en los alrededores del 20. Demuestre.que las expresiones 3x = u + v + w, x 2 + l = u 2 + 1'2, x' + l + z' = 311' definen funciones implcitas 11 = u(x, y, z), v = v(x, y, z), w = w(x, y, z) alrededor del punto P = (1, 1,1,1, 1, 1) Determine las derivadas parciales i!-J", !Lv, i!}W Demuestre tambin que tales (z (y LX expresiones definen funciones implcitas x = x(u, v, w), y = Y(II, v, w), Z = z(u, v, w) alrededor X 'Z del punto p . Calcule las derivadas parciales iL , 0'J' , E(V (w J J (ji En los ejercicios 21-23, sean f, g, h: IR' --t IR funciones de clase 0: 1, cuyos gradientes en el origen de coordenadas son gradf (O, 0, O) = (l, 0, O), grad gt 0, 0, O) = (O, 1, O), grad h (O, 0, O) = (O, 0, 1). Diga en cada caso si las expresiones dadas determinan funciones implcitas: a. u = lI(x, y, z), V = v(x, y, z), w = w(x, y, z); b. x = x(u, v, w),y = Y(lI, v, w), Z = z(l/, v, w), en los alrededores del punto p = (0,0, O, 0, 0, O) 36 Funciones inversas 309 21. f(x, y, z) 22. 23. = f(lI, v, w), g(x, y, z) = g(lI, v, w), h(x, y, z) = h(lI, v, w) f(x, y, z) = f( v, lI, w), g(x, y, z) = g(lI, v, w), h(x, y, z) = h(lI, v, w) f(x, x, x) = g(lI, lI, w), g(y, y, y) = h(lI, v, v), hez, z, z) = f(v, w, w) 3.6 Funciones inversas En nuestro primer curso de clculo se estudi el problema de "invertir" funciones f: 1 ~ IR --> IR, en el sentido de que siendo f una funcin del tipo y = f(x), se quera, a partir de ella obtener la "regla de asociacin inversa", X = f-I(y} Esquematicamente l Figura 1. La funcin inversa Para que esta funcin f- I exista, es claro que f tiene que ser inyectiva, pues en tal caso cada Yo = f(xo) est determinada por un nico Xo y entonces se puede definir Xo = f- 1(Yo). Adems se ve tambin que f- I debe cumplir con U-lo fXx) = x, para toda x en el dominio de f, y, (f o f- I )(y) = y, para toda y en el rango de f lar i --------....----,..( //~ ./ Figura 2. La composicin de una funcin con su inversa es la funcin identidad El resultado ms importante relacionado con este tema nos deca que, si para algn punto Xo E dominio de f, se tena /,(xo) =1- 0, entonces, localmente (alrededor de xo) se poda esperar la existencia de la funcin f- I la cual era diferenciable y su derivada era "la inversa" (en sentido algebraico) de la derivada de la funcin f Con ms precisin 3 10 Captulo 3 Funciones compuestas, inversas e implcitas m = '(xo) Xo yo -+----;"L-----I---------~ ,to x Figura 3. La derivada de la funcin inversa El problema que vamos a considerar ahora ser el de estudiar las posibilidades de inversin de una funcin F: U <;;; 1R2 -> 1R 2 , definida en algn conjunto abierto U de 1R 2 Por supuesto que este estudi ser en trminos de las propiedades diferenciables de la funcin F, e interesar tambin relacionar tales propiedades con las correspondientes a la inversa, Entendemos, como siempre, por inversa de la funcin F: U <;;; :J;2 '-> Et 2 la funcin F- 1 : V <;;; :J;2 -> :J;2, tal que (F- J o F)(LI, v) = (LI, v), (LI, v) E U (F o F-J)(x, y) = (x, y), (x, y) E rango de F = V escribiremos (u, v) para referimos a los puntos de :J;2 en el dominio de F y (x, y) para los del codominio de F Recordando que la funcin F: U <;;; 1R 2 -> ]R2 tiene dos funciones coordenadas f, g: U <;;; 1R 2 -> R digamos x = f(lI, v), y = g(l/, v), nuestro problema lo podernos ver desde otro punto de vista corno: dadas las funciones x = (lI, v) y = g(u, v) que describen a x' y y como funciones de u y v, se quiere estudiar en qu condiciones es posible establecer "funciones inversas" que describan a u y v como funciones de x y y, digamos l/ = <p(x, y) v = fI(x, y) (estas son las funciones coordenadas de F- 1 ),' (figura 4), Se debe tener entonces que (F-l o F)(u, v) = F-1(F(u, v)) = F-1(x, y) = F-1(f(u, v), g(lI, v)) = (lI, v) y (F o F-1)(x, y) = F(p-I(X, y = F(lI, v) = F(<p(x, y), fI(x, y = (x, y) 3.6 Funciones inversas 311 v x = j(u, v) y y = g(u, v) (u, v) --t7"'--------.... x ------~ 11 F- 1 = p(X, y) v = if(X, y) Figura 4. La inversa de F en trminos de sus funciones coordenadas La ventaja de esta manera de ver el problema es que lo podemos colocar bajo las perspectivas de las funciones implcitas estudiadas en la seccin anterior.. Ms an, si consideramos las expresiones G(x, y, u, v) = x - f(u, v) = H(x, y, u, v) = y - g(u, v) = lo que pretendemos es "despejar" de ellas a u y ven trminos de x y y y establecer as las funciones = cp(x, y), v = J;(x, y) Entonces, el TFIm (Tercera versin), (Teorema 351) nos da las condiciones para que podamos hacer esto En efecto, aplicando a esta situacin el Teorema 3 S 1 tenemos: sea p = (x, y, , v) E JR.1 un punto tal que G(p) = H(p) = O [lo cual se traduce en nuestro problema como: sea (x, y) = F(, v), o bien, sea x = f(, v),y = g(, v)] Supongamos que en una bola B de centro en p las derivadas parciales de G y H son continuas [lo cual se traduce en nuestro problema como: ya que ~~ = 1, H ilG = 0, r1 H = 0, aa = 1 -que siempre son funciones continuas--, suponiendo que en una bola B av {x V _ J ti --en JR.3 _ de centr'o en ( 1 v\) son funciones continuas] jacobiano S el jacobiano las derivadas parciales aG = _ al aG = _ '!.l. aH = _ i!K aH = _ i!K au Du'Jv Dv'Du Du' av av ilJ((G.H)l es roo nulo en p [lo cual se traduce como: si el ( U,V aG r'J(G, H) d - - - = et r'J(u, v) a;; l aH . au - aH av ac] av J ] = det [a] _al] av au -au ag ag av = det [~~. ag au ~ a ag av = au, g) a(u, v) es no nulo en (, v)], entonces es posible despejar u y v en trminos dex y y, y establecer as funciones u = 'P(x, y), v = J;(x, y) definidas en una vecindad V de (x, y) = F(, v), las cuales tienen derivadas parciales continuas en V que se pueden calcular como 3 12 Captulo 3 Funciones compuestas, inversas e impli'citas au ax a(c, H) [ ac a(x, v) = __1_ det ~ a(C, H) a(f, g) aH a(u, v) a(u, v) ax ;}~ c7v ac] = - _(f,1-) det [1 a ,g a(u, v) c7u ~~ - ] ag av a(;f,3g,v _) g a(u, v) [ ac ay aH ay ac ] av aH av ay a(c, H) a(y, v) a(c, H) a(u, v) = __1_ det a(f, g) a(u, v) l =a(f, g) det a(u, v) a(c, H) [0 _~L] 1 - ~; = av _ af a(];) a(u, v) ac ac :: ~ - a~~: ~) ~ - a(;' g) de. [:;, :~] a(u, v) a(u, v) au ax = -a() g) det [- a(u, v) av ay if~] a~;~) au a(u, v) [ ac Bu al~ =_ a(C, H) B(u,-.iL a(c, H) B(u, v) = __1_ det B(f, g) a(u, v) [_af _ au Bu ac] ay aH ay =- a(f, ii det a(u, v) l .~~ 0] l = a(~Ug2 a(u, v) af En resumen tenemos: sean f, g: U s:;; JR2 -> JR funciones definidas en el conjunto abierto U de JR2 Sea X = f(, ii), Si = g(, ii) Suponga que en alguna bola B en JR2 de centro (, ii), las derivadas %f, %5, ~ son continuas., Si el jacobiano ~i{~~ es no nulo en (, ii), entonces existe una parciales vecindad V de x,y donde podemos definir "funciones inversas" u = cp(x, y), v = lf;(x, y) (es decir, tales que = cp(x, y), ii = lf;(x, y), y f(cp(x, y), lf;(x, y)) = x, g(cp(x, y), I/J(X, y)) = y, para (x, y) E V) las cuales tienen derivadas parciales continuas en V que se calculan como '*, au ax ag av c7(f,g)' B(u, v) au ay al av a(f, g)' a(u, v) c7g av _. ax au a(f,g)' a(u, v) av ay af au a(f, g) a(u, v) Quisiramos hacer algunas observaciones sobre este resultado para darle unidad, usando para ello, en lugar de las funciones f y g, la funcin F: U ~ JR2 -> JR2, F = (f, g), 3 6 Funciones inversas 313 Por principio ntese la matriz involucrada en el.J' acobiano (111.\' ~((j.g)). ai i av a(j, g) = det au a ] o(u. v) [ ag og au av Esta matriz no es ms que la derivada de la jimcin F = (f, g) (es decir, la matriz que representa a la transformacin lineal FI(u, v) en relacin a la base cannica de]R2 -ver seccin 3 de este captulo). As entonces, que el jacobiano ~~t:f,~ sea no nulo en (, v), significa que la matriz jacobiana J F(, v) es invenible (pues su determinante es distinto de cero) Hagamos una observacin similar con la funcin inversa F- \r. y). Esta tiene por funciones coordenadas a las funciones u = 'P(x, y), v = lf(x, y) Es decir F - J (x, y) = (u, v) = ('P(x, y). lf(x, y La matrizjacobiana de esta funcin es /F-I= au OX ov [OX 01.1. ] oy ov - oy. El resultado que acabamos de obtener nos dice cmo calcular las derivadas parciales 0!. 0!. il':' il':' dX' ay' dX' ay en una vecindad V de (r. y) Sustituyamos las frmulas correspondientes en 1 F- J, recordando que ,(j.g) = det(J F) . rI(U t') ca ov --.~ ag -~ det( 1 F) IF- 1 det(J F) aj lv af l det(J F) [ 'g l, ag au _al] lv ai au ----.lL_ det(l F) det(l F) Multipliquemos J Fy 1 F~ I Se obtiene (JF)(lF- 1 ) = [ ~~. rJg ~~..] ag av ( 1) det(JF) l_c g au r ~~ - ~~ ] af au ai au au det(lF) [ ag au ~~. ~~ 1[~: - (~~ ] ag - au cfag_aia g au ov O av lu cg av O ] det(J F) [ ----det(JF) -cgcf,cgcj --,-au av lv ou lfag av au lfag lu av As, siendo el producto de la matriz J F por la matriz 1F- 1 igual a la matriz identidad, concluimos que la matriz jacobiana de la funcin inversa de F es justamente la inversa de la matriz jacobiana 3 14 Captulo 3 Funciones compuestas, inversas e implfcitas de F (esto se puede concluir directamente al ver la expresin obtenida para la matrizIF recordando que como A 1 1 = -1 [d -b] ), Es deCIr, se tIene det A -e a SI o I Y A = [a e b d J es una matflz InVerSlbl e, entonces su Inversa se puede encontrar o o o o o De este modo, el resultado que conocamos de nuestro primer curso de clculo sigue siendo cierto en este contexto ms general: la derivada de la funcin inversa F-- 1 es la inversa (en el sentido algebraico -inversa de una matriz) de la derivada de la funcin original Recapitulando: si F: U ~ IR? ---+ lR,2 es una funcin tal que FUi, v) = (1', y en una bola 8 de (u, v) las derivadas parciales - ti, ' )!, (\' f'..-,g de las funciones coordenadas de F son continuas, se (v du tiene que siendo det IF(u, v) i- 0, entonces existe una bola B/ de (i,}) en la que existe la inversa F- l de la funcin F, la cual tiene continuas las derivadas parciales de sus funciones coordenadas en 8/ y su matriz jacobiana es n ':1" , (ji Jr\x, y) = (fF(u, v-I donde (x, y) = (/(u, v), g(u, v)) E 8/ NOTA: Recordemos que si las funciones x = I(u, v), y = g(u, 1) tienen derivada:; rarci~Je:; continuas en una bola B, decimos que son de clase '7-" 1, Siendo stas las funciones coordenadas de F, podemos decir que esta funcin es de clase '7-',1 As, las hiptesis del resultado anterior se pueden establecer como: "si existe una bola 8 de centro en (, v) en la que F es de clase '7-',1 y si la derivada F en (, v) es inversible " Estas mismas observaciones se hacen para la funcin F -- 1 De esta manera el resultado anterior se puede establecer corno: si F: U ~ p2 ---+ pe es tal que F(, v) = (X, y) Y en una bola 8 de (, v), la funcin F es de clase '7-',1, entonces si det I{(ll, v) ;~ 0, existe una bola BI de (i, S') en la cual existe la imersa F--- 1 , que es de clase 'f' J en DI y cuya dcr\ adil es IF-1(x, y) = (JF(u, v-I en donde (x, y) = (/(u, v), g(l/, \) E DI Veamos algunos ejemplos ",..------F(u, v) FI(u, v) Figura S. La funcin su inversa y sus derivadas ------. __. _ - - - - - - Ejemplo 1. 3.6 Funciones inversas 315 Considere la funcin F:]R" -+ ]R" dada por F(u, v) = (u 3 + v 3 , 1/2 + uv). Se tiene Esta funcin es de clase 'PI en]R" Las derivadas parciales de sus funciones coordenadas x = /(u, v) = u 3 + v3 y y = g(u, v) = u" + uv son F( 1,2) = (9,3) (Jj ? - = 3u-, au -= (Ju (Jg 2u + v' - (Jg (Jv =u La matriz jacobiana de F es JF = av [~~. aI1 ag ag 3u" [ 2u + v 3v /1 2 ] . au la cual en el punto (1,2) es inversible pues det fF(l, av 2) = det [~ In = -45 i= o As, podemos concluir que en una bola B' de (9, 3) se da la inversa F-! de F (o bien, que podemos despejar de x = u 3 + v 3 , l = u 2 ..;-. ln, a u y v como funciones de x y \), la cual es de clase 'P I en 13/, Y que su deri \ ada es donde x = u 3 + \.'3, \ = u2 + Il\' Es decir 3? + v, 1(- + uv) ? -(u au 3 Jx = 3u 3 3u 3 -----611>2 - U 31'3 au -3v 2 -(u 3 + v3 , 11'" + uv) = - - - - - ay - 6uv 2 - 3v 3 3 av 3 -(u ax + v ,u + uv) = - 3u 3 - 6? uv 3 2 2u +v - 3v 31'3 av, -(Ir' l l ' + v', u- + uv) = 3? 3u 3 - 3u 2 ? 6uv- - Ejemplo 2. Considere las ecuaciones x = e"+\, }' = e"-V que definen a x y:> como funciones de u y v Se quiere estudiar, a la luz de los resultados estudiados en esta seccin, la posibilidad de despejar de ellas a u y v en trminos de x y y La funcin F:]R2 -+ ]R2 dada por F(u, v) = (e"+I', e"-V) es diferenciable siempre y su derivada es 3 16 Capftulo 3 Funciones compuestas, inversas e implfcitas Como det JF(u, v) = -2e 211 i- O concluimos que siempre (en cualquier punto) es posible despejar a u y ven trminos de x y \ Ms an, como uv eU-' e+ ] 2u -1 2e 2e 2u ~e-U-\ (lF(u, v) = [ e"-' _ e"+ v = 2e 211 2e 2u concluimos que las derivadas parciales de las funciones inversas u = 'Pex, y), v = l~eX, y) son (en el punto (e u +v , e"- V ) [~e-II-v au 1 -II-V - = -e , ax 2 au 1 - =-e -II+V ay 2 ' al' 1 _. == -e -II-V , ax 2 al' 1 - = --e -11+' ay 2 Observe que en este caso es posible hacer explcitas las funciones u = 'P(x, y), v = f;(x, y). En efecto, de las expresiones x = eU + v , y = eU - v , se deduce que u = 4(In x + In y), v = 4(In x - In y). Las derivadas parciales de estas funciones son au ax I1 2 x' au ay 11 2 y' al' ax 11 2~' al' ay 11 2y 1'-1 las cuales coinciden con las obtenidas de la matriz jacobiana (JF(II, y = eU - v . Enunciemos ahora el resultado correspondiente para funciones F: U las discusiones aqu presentadas en el caso Il = 2 . poniendo x e U +\, II!I ~ IR" ~ IR" que generaliza Teorema 3.6.1 (De la Funcin Inversa). Sea F: U ~ IR" -; IR" una funcin definida en el conjunto abierto U de IR" Sea F(p) = q, P = (h I2' ,I,,), q = (S'J,Y2' , y,,) Suponga que en una bola B de IR" con centro en p la funcin F es de clase 'PI y que det J F(p) i- O Entonces hay una bola B' en IR" con centro en q en la que se puede definir la funcin inversa de F, F- 1 : BI - ; B, la cual es de clase '(g'J y donde y = F(x) E B I Ejemplo 3. Considere las ecuaciones x + v + e" y = u + w + e 2v 311 Z = 1'+ w + e = 1I Para p = (, v, ~v) = (O, 0, O) se tiene q = (x, de la funcin F(u, v, w) = (x, y, z) es y, Z) = (1, 1, 1). El determinante de la matriz jacobiana det J F = a(x, y, z) a(u, v, w) = det [ l. 3e 3t1 1 2e 2v e:" ] 3.6 Funciones inversas 317 que en el punto p es Entonces podemos, localmente, invertir la funcin F, en torno al punto q, donde podemos definir funciones de clase 0'1 u = u(x, y, z), v = v(x, y, z), w = w(x, y, z) Como JF-1(q) = (JF(q-1 = 11 l2 [ 31 --~/2 au az(q) az (q) 1/2 ] concluimos que las derivadas parciales de las funciones u, v, w en el punto q -(q) = --, = (1, 1, 1) son au l ax 2 av -(q)=-l, ax 5 au ay (q) = 0, = 2' = o, 1 ay(q) = 1, -(q) = -1, av av aw ax (q) = 2' aw ay lw 1 -(q) = - - a' < '-) Ejercicios (Captulo 3, Seccin 6) En los ejercicios 1-.5, constate que las funciones dadas F: U <;;:; IR.2 -+ IR. 2 tienen inversa en los alrededores del punto p E U dado . En cada caso determine la matrizjacobiana JF-J(F(p 1. F(x, y) = = (x + y, x - y), p = (xo, Yo) 2. F(x, y) 3. F(x, y) = (y, x), p = (xo, Yo) (x Y, y'), P = (\,1) 4. F(x,y)=(xseny,ycosx),p=(l, 1) 5. F(x, y) = (x + arctan y, y + arctanx), p = (1,1) 6. Considere la funcin F: IR.2 -+ IR.\ F(x, y) = (ax, by), donde a y b son reales positivos dados. Demuestre que esta funcin tiene inversa F- 1 : IR.2 -+ IR.2 Hllela. Determine los jacobianos det JF(x, y), det JF-J(ax, by) 7. Repita el ejercicio anterior con la funcin F: IR.2 -+ IR.2, F(x, y) = (e', el") 8. Los dos ejercicios anteriores son casos particulares del siguiente resultado general: sean f, g: IR. -+ IR. funciones de clase :? 1 con derivada siempre positiva. La funcin F: IR.2 -+ IR.2, F(x, y) = (f(x), g(y tiene inversa F- 1: IR. 2 -+ IR. 2, la cual es V- J (u, v) = U- I (u), g-1 (1', donde u = f(x), v = g(y). Demuestre este hecho 9. Sean f, g: IR. -+ IR. dos funciones de clase i('1 Suponga que f no tiene puntos crticos y que g no tiene races Demuestre que la funcin F: IR. 2 -+ IR. 2, F(x, y) = (f(x)g(y), f(y tiene inversa Determine el jacobiano detJF- 1(u, v) 3 18 Capftulo 3 Funciones compuestas, inversas e implcitas 10. Considere la funcin F: IR 2 --; IR 2 , F(x, y) = (x + y, xy). Demuestre que en los alrededores del punto (2, 1) es posible definir una inversa de F, F -1 (u, v) = (x(u, v), y(u, v) Determine la matriz jacobiana J F- I (3, 2) Haga explcitas las funciones x = x(u, v), y = y(u, v) y verifique el resultado de la matriz J F -1 (3, 2) derivando directamente estas funciones 11. Considere la funcin de clase 6'1, F: IR 2 --; IR 2 , F(x, y) = (u, v) = (u(x, y), v(x, y) Suponga que las funciones u, v: IR 2 --; IR tienen por gradientes en el origen a grad u(O, O) = (3, 1), grad veO, O) = (-1, 2). Si F(O, O) = (O, O), demuestre que existen funciones de clase 0;' 1 x, y: B ~ IR 2 --; IR, x = x(u, v), y = y(u, v) definidas en una bola B del origen, de modo que F(x(u, v), y(u, v = (u, v) V(u, v) E B. Calcule gradx(O, O), grad y(O, O). 12. Sea g: IR--> IR una funcin continua tal que g(O) por F(x, y) = ( = I Considere la funcin F: IR 1 --; IR 2 dada y g(t)dt, i (2) g(t)dt Demuestre que esta funcin tiene una inversa F- I definida en una bola B del origen de coordenadas Determine J F-] (O, O) 13. Sea F: IR 3 -..; IR 3 la funcin F(x, y, z) = (x una inversa F- I : IR3 -..; IR 3 Hllela. 14. Sean F(x, y, z) = (x + y + z, y + z, z) Demuestre que esta funcin tiene funcin F: IR' --; IR', invcrsa F- 1 : IR' --; IR' Hllela. Determinc la matriz jacobiana J F- 1(u, v, w), donde (u, v, w) f, g: IR --; IR dos funciones de clase 0;'1 Considere la + I(y) + g(z), }' + g(z), z) Dcmuestre quc F tiene = F(x, y, z). (*) 15. Sea f: U ~ IR" --; IR una funcin de clase 0;'1 definida en el abierto U de IR". En este ejercicio se probar que f no puede ser inyectiva. Sea p E U un punto en el que grad f(p) # O. (Si este punto no existe, ya no hay nada que demostrar. Por qu?) . Digamos que *f(p) # 0, Considerc ,x,,)o Demuestre la funcin F: U ~ IR" -..; IR", F(x) = F(XI,X2, "x,,) = (f(x), X2, X,, que esta funcin tiene una inversa F- I definida en alguna bola B de F(p) E IR" Concluya de aqu que existe una infinidad de puntos x E IR" tales que f(x) = e, e E rango de f Es decir, concluya que f no es inyectiva. 16. Demuestre que la funcin identidad F: IR" -..; IR", F(x) = x es inversible Determine su inversa F- 1: IR" --; IR" Escriba tambin las matrices jacobianas J F(x), J F- I (x) 17. Sea F:IR" -..; IR" la funcin F(XI, Xl, .. o,x,,) = (X",X"_l, ,XI), Demuestre que F tiene inversa F- 1 : IR" -..; IR", Hliela . Escriba tambin las matrices jacobianas J F(x), J F- I (x), 18. Sea F: U ~ IR" -- IR" una funcin de clase ,x,,)= 0;'1, definida en el abierto U de IR", F(UI,Ul, ,."U,,)=(XI,X2," (XI(U],Ul"",U,,),Xl(UI,Ul, ... U,,), ,x,,(U],Ul. ,u,,) tal que el determinantejacobiano ~fX'oX2"'''X,\ es distinto de cero en todo U. Considere la funcin UI.U2., "Un inversa F-1(XI, X2,' ,x,,) = (UI, U2, . , u,,) = (UI(XI, X2,' ,X,,), U2(XI, X2,'" ,x,,), ., U,,(XI, X2, ,x,,)) ------------ ( *) 3 '7 Un interludio numrico: El mtodo de Newton para sistemas no lineales 319 Demuestre que a(XI.X2 . Xn)a(UI.UZ,' a(UI, Uz" '. Un) iJ(XI. Xz., ,un) ,Xn ) (*) 3.7 Un interludio numrico: El mtodo de Newton para sistemas no lineales En esta seccin entraremos en contacto con el mundo de los clculos numricos relacionados con el aparentemente simple problema de "resolver ecuaciones". Los antecedente escolares de este problema se pueden remontar a nuestros estudios del primer curso de lgebra (en la secundaria): se quiere obtener el valor de x que, por ejemplo, satisfaga (sea solucin de) la ecuacin 3x- 2 = Desde ese entonces se nos empez a dar herramientas para resolver este tipo de problemas (en el caso mencionado: "pase el 2 sumando al miembro derecho y el 3 que multiplica a la x dividiendo, obteniendo as x = 2/3) Esta historia, cuyo comienzo ahora se ve "ingenuo", llega a tomar cauces en los que se presentan problemas altamente complicados. Ya con las ecuaciones algebraicas, o, con ms precisin, ecuaciones del tipo anx" + a"_lx"--1 + + alx + ao = 0, sabemos que el gusto de tener de manera explcita las soluciones de ellas con una frmula (que involucra radicales) se termina, en general, con n = 4 . Uno de los grandes legados del matemtico francs Evaristo Galois (1811-1832) fue precisamente este resultado (para n 2': 5 las ecuaciones mencionadas no tienen soluciones explcitas en trminos de radicales) Este es un bellsimo e importante resultado terico que, por otra parte, nos pone en un problema cuando nos enfrentamos con ecuaciones como 3x 7 - 2x 5 - 4x" + x + 2 = O Es el "Anlisis Numrico" quien se encarga de proporcionar mtodos adecuados para obtener, no con una frmula, pero s con una aproximacin numrica, las soluciones de la ecuacin El problema que abordaremos en esta seccin est en la misma lnea de resolver ecuaciones. Se trata de resolver sistemas de ecuaciones, es decir, conjuntos de !l ecuaciones, cada una de las cuales involucra n incgnitas, y se trata de encontrar valores de stas ltimas que satisfagan todas y cada una de las ecuaciones dadas del sistema. Cuando estas ecuaciones son lineales, es decir, del tipo al XI + a2xZ + + a"x n = b, el problema est bien estudiado por el lgebra Lineal (es decir, se sabe en qu condiciones el sistema tiene solucin y se conocen mtodos para calcular tal solucin) Si las ecuaciones del sistema no son lineales, el problema se vuelve mucho ms severo Este es el que queremos abordar en esta seccin, pues con las ideas del clculo en IR" que hemos desalTollado hasta este momento, es posible entender algunos de los mtodos que ofrece el Anlisis Numrico para resolver este tipo de problemas En particular, estudiaremos un mtodo numrico (el mtodo de Newton), el cual es uno de los ms eficaces para obtener soluciones de sistemas de ecuaciones no lineales. El mtodo de Newton (o de Newton-Raphson) paraobtenerraces de ecuaciones del tipo f(x) = 0, con f derivable, se basaen lo siguiente. Se quiere encontrar el punto); E IR donde fex) = Partiendo de un punto XI, como se muestra en la figura 1, trazamos la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto (Xl, f(xl)), la cual es y - f(xl) = I'(XI)(X - XI) Esta recta cOlta el eje de las x en el punto X2 = XI - f'ix) f(XI), el cual, en principio, se encuentra ms cerca del punto x procurado l Trazamos ahora la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto (X2, f(x2)) y localizamos el punto X3 en que esta recta cOlta el eje de las x. Se obtiene que X3 = X2 - f'iX2) f(xz), el cual se supone I El mtodo de Newton tiene algunas condiciones generales que aseguran su buen funcionamiento Este tipo de detalles se estudian en cursos de Anlisis Numrico. En esta seccin no se discutir esto; simplemente decimos que, "si se corre con buena suerte", nuestro punto de arranque en el mtodo nos conducir eventualmente a la raz deseada 3 20 Captulo 3 Funciones compuestas, inversas e implcitas que es una mejor aproximacin del punto x procurado Siguiendo con este proceso, es posible llegar eventualmente (con ciertas condiciones sobre la funcin f y sobre el punto inicial XI) a la raz buscada Se tiene entonces, en general, que la frmula Xn+1 =Xn - 1 f'(xn)f(x ll ) nos va dando los trminos de una sucesin XI, X2, .... la cual converge a la raz x y (xo) x raz buscada Figura 1. El Mtodo de Newton para hallar races de ecuaciones f(x) = O. Veamos un ejemplo. Ejemplo 1. Se quiere hallar una raz de f(x) = x -ln(3x 2 ) - 3 = O La derivada de esta funcin es f'(x) = X~2. En este caso la frmula que nos dar las aproximaciones a la raz es Xn+1 = Xn -- -. Xn - xn --2 ( X n - ln( 3x 2 ) - 3 ) n X4 Partiendo del punto XI = 4, obtenemos los siguientes valores: X2 = 9 . 7424, X3 = 8.36981, = 8.34098, X5 = 834097 = X6 As pues, con una exactitud de 5 cifras decimales, concJumos que la raz buscada es x = 8.34097.. I11III Veamos con detenimiento la filosofa subyacente en el mtodo de Newton anteriormente descrito. Tenemos entonces una curva en el plano, grfica de la funcin y = f(x), y estamos interesados en obtener el punto por donde esta curva corta el eje x . Partimos de un punto PI = (XI, f(xl)) de la curva. Si tal curva pudiera verse en el punto PI como una recta, sta debera ser la recta tangente a la curva en PI Lo que hacemos entonces es "ver" 1:1 curva y = f(x) en PI, como una funcin lineal, la cual queda descrita por la ecuacin de su recta tangente, y localizar el punto donde esta recta corta al eje X (este es un clculo muy simple) . La recta tangente a y = f(x) en PI es ( *) 3 7 Un interludio numrico: El mtodo de Newton para sistemas no lineales 321 que corta el eje x en Xl = XI _. r!xI) [(XI). Localizamos ahora el punto de la grfica de la funcin y = f(x) correspondiente a esta nueva abscisa. Este es Pl = (X2, f(X2. y repetimos la misma idea: aproximamos el comportamiento de la funcin y = f(x) por un comportamiento lineal, descrito por su recta tangente en Pl, la cual es y vemos dnde corta sta el eje x Este punto es X3 = Xl - 1'!X2) f(x]) y as sucesivamente . La idea que hay detrs de este proceso es entonces aproximar el comportamiento de la [uncin y = (x) por un comportamiento lineal y sobre este ltimo ir localizando las races, las cuales se mpone que se irn acercando a la raz procurada de la funcin dada. Qt1eremos abordar ahora un problema ms general: encontrar una raz de una funcin (bien portada desde el punto de vista de la diferenciabilidad) del tipo F: IR 2 -> IR l , es decir, un punto (r, S,) tal que F(x, ji) = (O, O) Del mismo modo, si escribimos F(x, y) = (J(x, y), g(x, y)), con , g: IR l -> S\ (las funciones coordenadas de F), se trata de encontrar un punto (x, y) donde I(x, S') = O, g(x, ji) = O Incluso, de otra manera: se trata de encontrar la solucin (x, y) del sistema de ecuaciones dado por (x, y) = 0, g(x, y) = O Si las funciones que f y g fueran lineales, el problema sera muy simple de resolver En efecto, digamos f(x, y) = ax + by + a, + by + a = O, g(x, y) = ex + dy + {3 Se tratari"a entonces de resolver el sistema de dos ecuaciones lineales con dos indeterminadas ax ex + dy + {3 = O el cual est perfectamente estudiado desde los cursos elementales de lgebra en la secundaria El caso de inters, que consideraremos aqu, es cuando f y g no son lineales Para ello, usamos las mismas ideas del mtodo de Newton que acabamos de recordar: partiendo de un punto PI = (x 1, YI ) -una primera aproximacin a la raz que buscamos-, consideramos que el comportamiento de f y g es lineal Es decir, las funciones f y g se veran (en los alrededores de PI) como f(x, y) g(x, y) = a(x = e(x - XI) XI) + bey + d(y - YI) YI) +a + {3 para ciertos nmeros reales a, b, e, d, a; (3. Si en la primera de estas expresiones ponemos x = XI, Y = YI, obtenemos que a debe ser f(xl' YI) Igualmente, si derivamos esta expresin respecto de X y sustituimos x por XI, Y por YI, obtenemos que a debe ser ~(PI). As mismo, se obtiene que b debe ser ~f (PI) De modo que, si quisiramos ver a f(x, y) como una funcin lineal en los alrededores ov del punto Pi = (XI, Vi)' sta debera ser f(x, y) . = f(PI) . + -(PI)(X - af ax XI) + -(PI)(Y - YI) af ay De manera anloga, si quisiramos ver a g(x, y) como una funcin lineal en los alrededores del punto PI, sta debe ser g(x, y) = g(PI) + -3. (PI)(X -XI) + -:;-(PI)(Y x uy ag ag YI) 322 Captulo 3 Funciones compuestas, inversas e implcitas -------------------------- (observe que lo que estamos diciendo es que si los comportamientos de las superficies z = f{x, y = g(x, y) en los alrededores del punto PI fueran lineales, stos seran los de sus planos tangentes en el punto PI)' En trminos de la funcin F(x, y) = (f(x, y), g(x, y, si en los alrededores del punto PI esta funcin tuviera un comportamiento lineal, ste sera dado por z F(x, y) = = (j(x,)'), g(x, )') -- Yd, g(PI) aj . aj ( j(PI) +-. (PI)(X - XI) + -. (p)(y Jx ay + -(Pl)(X Jx Jg XI) + ag J/PI)(Y = (j(PI), g(PI) )'1) ) aj ~. (PI) + [IX al -a (PI) ] y ag [ [ :;-. (PI) [IX ag . X _. XI ]. -a (PI) y Y -)'1 = F(Pl) + JF(p)(x, y) - PI) donde J F(PI) es la matriz jacobiana de F en el punto PI, Yestamos identificando al vector (a, b) con la matriz [~] Obsrvese la expresin obtenida para F en los alrededores de PI: F(x, y) = F(PI) + fF(PI)((X, y)- PI) y compare con la que habamos establecido para la funcin y = j(x) de nuestra discusin prnia, en los alrededores del punto Pide abscisa XI, la cual es y - j(xI) = f' (x I )(x - XI), o bien j(x) = J(XI) + teXI )(x - Xl) Es claro que se trata de "la misma expresin" que establece la aproximacin del comportamiento lineal de la funcin en los alrededores del punto PI: la derivada de la funcin F es, como ya habfarnos dicho, representada por su matriz jacobiana J F. Entonces, se tiene que la funcin F, si tuviera un comportamiento lineal en los alrededores del punto p, estara dado por F(x, y) = F(PI) + JF(PI)(X, y) - PI) De esta expresin hallarnos la raz P2 = (X2, Y2), la cual nos servir como una nueva aproximacin de la raz que buscamos de F. Se tiene entonces que F(Pl) + JF(PI)(X2. )'2) - PI) =O De aqu queremos despejar el punto (X2. Y2). Ntese que en este CaSO no podemos "pasar dividiendo la derivada de F", como hacamos en el caso del mtodo de Newton para una variable, pues ahora la derivada es una matriz . Lo que s podemos hacer, para quitarla de nuestro carnina (y dejar solo el punto (X2. Y2)), es tomar su inversa (suponiendo que sta existiera) De hecho se tiene JF(PI)(X2' Y2) - PI) = -F(PI) ((X2' Y2) - PI) = [JF(PI)]-I(-F(PI = -[JF(PI)]-I F(PI) ( *) 3.7 Un interludio numrico: El mtodo de Newton para sistemas no lineales 323 de donde (X2, Y2) = (XI, YI) - [JF(XI, y)]-I F(x, y) Siguiendo con este proceso (aproximndose ahora a la funcin F por un comportamiento lineal alrededor del punto P2 y hallando su raz), llegamos finalmente a la frmula del mtodo de Newton (en dos dimensiones) la cual nos da (en determinadas condiciones sobre F y del punto inicial PI) una sucesin de puntos P" = (x"' y,,) en !R2 que se aproximan a la raz (x, y) buscada de F. Obsrvese que en cada paso, para obtener un nuevo punto (X"+I, Y"+I), es necesario calcular la matrizjacobiana de F en el punto anterior (x"' y,,) e invertirla.. Es posible, en este caso de dos dimensiones, dejar explfcitas las cuentas que se encuentran involucradas en este proceso, con ayuda de la frmula [r ~~ oc! ~~ [!c ~b] Se tiene det JF(p,,) de modo que . tn+ ] [ Yll+l [.~,,] }" ag -a (p,,) y det 1 F(p,,) [ ag -ax (p,,) aj -- ay af () a. x p" (P,,)] [f(P")] g(p,,) es decir Ejemplo 2. Se quiere resolver el sistema f(x, y) = 5x2 + 6xy g(x, y) = x 2 + 5i 1= O - 4x + 4y - 4= O +i - Desde el punto de vista geomtrico, se tratan de hallar las intersecciones entre la elipse que representa f (x, y) = O (la cual, en un sistema coordenado con el eje Xl siendo la recta y = -x, y el eje y' siendo 3 24 Captulo 3 Funciones compuestas, inversas e implcitas la recta y = x - 2, se ve como (Xl - 1)2 + 4(y' + 1)2 = 4), .Y el crculo unitario g(x, ) matriz jacobiana de la funcin F (x, y) = U(x, y), g(x, y) es = O La lF(x, y) = [ax ~~. ag al] ay ag = [10X+6 Y --4 2x 6x + 10)' + 4] 2y ay - cuyo determinante es det 1 F = 12l ~ 12x 2 8x - 8y Entonces, los puntos (x"' y,,) de la sucesin que aproximar las races procuradas se calculan como Partiendo del punto PI = (XI, Y1) = (1, 1), se obtienen los siguientes puntos P2 = (1 .25, 0.25) P3 = (0991667, O291667) P4 = (0957506,0290433) Ps = (0956943,0290276) = P As pues, una raz del sistema corresponde al punto (x, y) = (0956943,0290276) Partiendo ahora del punto PI = (-1, -1) se obtienen los siguientes resultados P2 = (-025, -1 25) P3 = (--0291667, -0991667) P4 = (-0290433, -0957506) Ps = (-0290276, -0956943) = PI> Entonces otra raz del sistema es (x, .y) = (-0290276, -()956943) ( *) 3 7 Un interludio numrico: El mtodo de Newton para sistemas no lineales 325 Ejemplo 3. Se quiere resolver el sistema f(X, y) g(x, = l- (x - 1)3 = O y) = In( 1 + l) + e-x ---> 3x + 2y =O La matrizjacobiana de la funcin F: JFt2 JFt2, F(x, y) = U(x, y), g(x, y es af af JF(x, y) = [ :; ax El determinante de esta matriz es det JF(x, y) = . ay] ag ay = [-3(X - 1)2 -e- t -3 ~+2 1 + y2 2y ] 6y(x _ 1)2 1 + y2 -- 6(x - 1)2 + 2ye- t + 6y Entonces las frmulas que dan las nuevas aproximaciones (x n , Yn) a la raz procurada son .n l 2 2 Y/l ,2 +! = X.n - d t JF( .') [( Yn - (,'/1- 1)3) (- 1 e X/I' >/1 + J/I X + 2) - 2Yn (In(l + Yn+=Yn- y~) + exp(-x n) (x n , YIl) 3x/l + 2Yn)] det J/ [-3(Xn-I)2(ln(l+y~)+exP(-X/I)-3XIl+2YIl) +(exp(-xn)+3)(y~ -(Xn _1)3)] Tomando como punto inicial a (xo, yo) = (1, 1) se obtienen los siguientes puntos Pl = (0572736,05) P2 = (O 15438, -0057117) P3 = (0417146,0330259) P4 = (3409549, 4482523) Ps = (3309779, 3607891) P6 = (3419417,3754896) P7 = (3412339,3746734) Ps = (3412304,3746693) = P9 As, una raz del sistema conesponde a los valores x = 3412304, Y = 3746693 Es interesante notar que, aunque se parta de un punto muy alejado de la raz, en este caso el mtodo de Newton conduce rpidamente a las cercanas de ]a raz procurada. Por ejemplo, partiendo del punto 3 26 Captulo 3 Funciones compuestas, inversas e implcitas Po = (Xo, Yo) = (30,45), se obtienen los siguientes puntos en el proceso iterativo PI = (20506144,27344458) Pl = (1422879, 18362055) P3 = (10.050146,12482694) P4 = (7283054, 8.698204) = (5477638,63161) P6 = (4347231,488236) PS P7 = (371613,4109406) PS = (3460018, 3 80308) P9 = (3413773, 3748422) PIO = (3412306,3.746696) PII = (3.412304,3.746693) = Pll Las ideas expuestas anteriormente para obtener la frmula del mtodo de Newton para funciones n 2 ----+ 1R , se extienden fcilmente para el caso de funciones F: IR ----+ Rn, quedando de la siguiente manera: si F(x) = (fl (x), h(x), , /n(x -donde x = (XI, Xl, , X n ) - es una funcin (bien portada desde el punto de vista diferenciable), con funciones coordenadas fl, .12.. ,/~:]Kn ~ R, para la cual se quiere hallar una raz x E Rn (es decir, un vector x E IR" tal que F(x) = O). o, en forma equivalente, se quieren obtener valores XI, Xl, ,xn E JR que satisfagan el sistema de ,i ecuaciones con n indeterminadas F: JR2 !1(XI,Xl, h(XI,Xl. ,xn)=o ,x,,)=O /~(XI, Xl, ., Xn) =O entonces la frmula (del mtodo de Newton) da una sucesin de puntos PI, Pl, . (partiendo de un punto Po inicia!) en JRn que tienden (en determinadas condiciones sobre F y sobre el punto de partida Po) a la raz procurada. En la frmula anterior, JF(Pm) es la matriz (de orden n x n)jacobiana de la funcin F evaludada en el punto Pm Es decir af) a-(Pm) XI -J-(Pm) C Xl af) -')-(Pm) a-(Pm) Xn afl ( Xn -J (Pm) ah C XI -J (Pm) ( Xl ah lh J F(Pm) = _J (Pm) (XI afn' afn' a-(Pm) X2 af~ . -J-(Pm) ( Xn ( *) 3 7 Un interludio numrico: El mtodo de Newton para sistemas no lineales 327 En el caso n = 2, hicimos explcita la frmula de la inversa de esta matriz que est involucrada en la conespondiente frmula del mtodo de Newton. Es claro que en este caso general re~ulta completamente imprctico hacer explcita tal inversa (en trminos de la adjunta y del determinante de la matriz), pues las expresiones que se obtendran seran de manej.o altamente complicado . En este caso general entonces, cada nueva iteracin nos conduce, en principio, a invertir la matriz jacobiana con alguno de los mtodos de eliminacin estudiados en lgebra lineal As pues, partiendo de un punto inicial Po (que se supone debe estar "cerca" de la raz procurada), la frmula del mtodo de Newton establece que para obtener el siguiente punto PI en el proceso de aproximacin a la raz ji se deben hacer los siguientes clculos: l. 2 '3. Evaluar la matriz jacobiana J F en el punto Po. Invertir la matriz obtenida en l. Multiplicar la matriz obtenida en 2 por el vector F(p,J (es decir, por la matriz n x l cuyos elementos son las coordenadas de F(Pn' Hacer la resta Po menos el vector obtenido en el paso anterior, llegando as al punto PI, con el cual se repite el proceso desde el paso I 4 El procedimiento anterior, si bien es claro de entender, involucra una gran cantidad de clculos en cada paso (invertir matrices, multiplicar matrices, restar vectores) Un hecho que es interesante hacer notar, es que en tal proceso no importa el resultado parcial del paso 2, lo que importa es el resultado del paso 3, pues ste se usar en la etapa final 4 . Es decir, no importa en s tener la inversa (1 F(Pm lo que importa es tener el producto (1 F(Pm F(Pm) Veamos cmo podemos sacar provecho de esta situacin "accidental": llamemos V m al vector (J F(Pm F(Pm)' Este es el vector que interesa. Tenemos entonces que -1, -1 -1 o bien, m)tiplicando ambos miembros por J F(Pm), queda como Esta expresin se puede contemplar como un sistema no homogneo de n ecuaciones lineales con n indeterminadas (las coordenadas del vector v m ), siendo JF(Pm) la matriz de coeficientes del sistema y F (Pm) la matriz de trminos independientes. Este sistema puede ser resuelto con alguno de los mtodos de eliminacin estudiados en el lgebra lineal Aunque en apariencia llegamos a una situacin similar a la presentada originahnente, en la que se tuvo que echar mano de procesos de eliminacin Gaussiana (en la situacin original para invertir una matriz, y en esta nueva situacin para resolver un sistema de ecuaciones lineales), resulta que esta nueva manera de ver las cosas tiene, "en la prctica", grandes ventajas sobre la primera. La cuestin es que este proceso puede ser implementado en un programa por computadora, y aqu es donde la nueva visin de la frmula del mtodo de Newton adquiere ventajas.. Ms adelante entramos en detalles sobre la manera de estructurar un programa que haga todos los clculos involucrados en el mtodo de Newton. En resumen, para obtener una raz de F(x) = 0, se procede como sigue: partiendo de un punto Po, hacemos los siguientes pasos para m = 0, 1,2, . 1 2. 3. Resolvemos el sistema J F(Pm )v m = F(Pm) para el vector Hacemos Pm+1 = Pm Vm Vm Regresamos al) con el punto Pm+ l. 3 28 Captulo 3 Funciones compuestas, inversas e implfcitas Ejemplo 4. Consideremos el sistema f(x, y, z) g(x, y, z) h(x, y, z) = x2 + l + tanh z - 3 Z3 - =O 2=O =x + tanh(2y) - = tanh(3x) + i + z - 1= O La matriz jacobiana de la funcin F: IR' ~ IR', F(x, y, z) = (f(x, y, z), g(x, y, z), h(x, y, z)) es J F(x, y, z) = r 2x 1 L3 sech 2 3x 2y 2 sech 2 2y 3/ sech Z] -3z 2 1 2 Partiendo del punto Po sistema = (l, 1, 1), en cada paso se obtiene el vector Vm 2 = (am, f3m, Ym), solucin del 2xm 1 [ 3 sech 2 3xm 2 y2' 2 sech 2Ym 3y; sech im] -3z m 1 [a m ] f3m Vm , [. x; +y;" +.tanh z,~ - 3 ] X m + tanh 2Ym - zm - 2 Ym. tanh 3x m + y~ + z - 1 m = O, l. 2, ,llegando a los siguientes y calculando el siguiente punto Pm+l como Pm - resultados m = 1, Vo = -0.777585 ] 0.634025 , [ O. 115991 0.021336] 0.584239 PI = Po - Vo = 1.77758 ] 0365975 [ 0.884009 I 75624 ] --0.501932 [ 0.29977 m= 2, VI = 0867907 , [ -0.222095 ] .-O .73653 , [ -0.730008 0..228798 ] 0.020467 , [ -0.420724. ~ 0.0211528 ] P2 = PI = P2 - VI = = = m = 3, '"2 = P, - V2 197834 ] 0.234598 [ -0.430237 1.74954 ] 0..214131 [ -0 . 009514 1.72839 -j 0135116 [ 0001113 172717 ] 0.139949 . [ -0 . 002668 172715 ] O. I39965 [ -0.00266914 P7 m =4, V3 =. = = = P4 = P3 - V3 m =5, V4 lO.0790144 , -0 . 010626 0.0012225 ] -0 . 004832 , [ 0.0037808 108104 x Ps = P4 = PS - V4 = = m = 6, Vs P6 Vs m =7, V6 [ -- 162693 x 9.51842 X lO-S] lO-s , 10- 7 P7 = P6 - V6 = La siguiente iteracin arroja un punto que difiere de los elementos de raz del sistema es x = 172715, Y = 0.139965, z = -0.00266914. en orden de 10- 6 As, una l1li ~--~------_. ( *) 3 7 Un interludio numrico: El mtodo de Newton para sistemas no lineales 329 En la siguiente pgina se muestra el diagrama de flujo de un programa de computadora que hace los clculos del mtodo de Newton. La parte importante corresponde a un procedimiento en el que, en cada nueva iteracin, se resuelve el sistema lneal de ecuaciones JF(Pm)v m = F(Pm) para el vector VIII' que servir para calcular la siguiente aproximacin X m + I . Ejemplo 5. Se quiere resolver el sistema fl(x, y, z, u) = x 3 + h(x, y, z, u) l- 2z 2 + u 2 + 3 = zu O = xy - +2 = O /)(x, y, z, u) fiex, y, z, u) La matrizjacobiana de la funcin F: IR 4 = x +l +z+u = O = xz + yu - 2 = O -. IR 4 , F = (ft,J2, h. /4) es -4z -u 2U] -z 1 Y x A continuacin se muestran los resultados de las iteraciones realizadas por el programa mencionado anteriormente, con el punto inicial x = 1, Y = 2, Z = 3, u = 4. iteracin l 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1I 12 13 14 15 x 2..5909774 -56.179657 -18.1669171 -310773581 - 11 .234 I993 -7 . 2376635 -5.068011 -3 . 1995777 -2.3006812 -1 . 7984976 -1.7228517 -1.6899483 - 1.6882143 - 1.6882091 -1.6882091 y Z u -0.937594 48.64028 23.8983283 1L5813421 5..5 159472 2.6570918 0.8643791 , 08058214 0 . 947281 1.2948349 L3961188 14075929 140864 14086429 14086429 12060150 42019976 1..235399 -0.0858966 -0.5424367 -0.5949845 00698393 -0 . 016966 --O .1259898 -03986781 -0.7257321 -0 . 7773826 -07804767 -07804865 -O .7804865 3..8180451 140.7126609 70,8760384 35 . 833477 I 18 1399774 8.9455653 7463245 2.5706599 1.5493405 0.6413719 0.5096946 04861448 04844253 04844206 04844206 As, una de las races del sistema corTesponde a x = -1.6882091, Y -07804865, u = 04844206. Partiendo de los valores x = y = z = u = siguientes resultados que conducen a otra raz del sistema = I 4086429, Z = - 1, se obtienen los o w w ~, n PJ w o '"T1 C" ::l 2' Continuar (l) o" ::l '" n o C n 'O (l) :3 Evaluar el vector B = FU] en el punto P, que es la matnz P[t - 1. el 11 I I Se resuelve el SIstema lineal de N ecuaciones con n incgnitas A X = B, en donde A es la matriz J F[i, jj evaluada en P[t - 1, el y B es el vector FU] evaluado en P[t - l. e], para e = 1, 2..... N. La SolucIn X es el vector V[j] I I .'" ;;; (l) '" ~ 5" -< PJ '" (l) :3 '2.. ~ V' (')' son pelo j] Evaluar la matnz Jacobiana A = J[i. j] enP[t--l.e] "1 I '1 I ,1 Captura de datos I I ProcedimIento de Gauss Impnme resultados " P[t, jj EvaluacIn de la matnz 11 x 1 B Y de la matriz Jacobiana A = J[i. jj. ..................... "--_ ( *) 3.7 ------ Un interludio numrico: El mtodo de Newton para sistemas no lineales 331 iteracin 1 2 3 4 5 I L6 x 0.6666667 0286648 0.2943675 03010535 0301041 0301041 y Z u -1.6666667 -1.48753 - 14977126 --14979912 -14979962 -14979962 0301041, Y -1.8333333 -1 1142345 -1.0030817 - 10074584 -1.0074559 -10074559 -1.4979962, z -1 . 1666667 -1.353069 -15343253 -15375728 -1.5375777 -1.5375777 -L0074559, Entonces otra raz del sistema es x u = -1.5375777 11 Ejercicios (Captulo 3, Seccin 7) 1. Considere el sistema (x 2 + i)e_2+)"2) x 2 -z =O Ay--z=O + i + Z2 - 1 = O Resuelva el sistema para A = 3 Y para A = 1 Verifique en cada caso que se obtienen dos soluciones del tipo (xo, Yo, zo) Para A = Aa = 0391226858, se obtiene una solucin del tipo (O, Yo, Zo) (con exactitud hasta cienmilsimas) Interprete geomtricamente este problema Qu pasa para valores de A menores que Aa? 2. Sea f: IR.' -> IR. la funcin fer, 3. Sea f: IR. 2 -> y, z) = x 2 + y2 + Z2 + xy + xz + yz + 6x + 8y + 7z + 3 Resuelva (para x, y, z) la ecuacin grad f(x, y, z) = f(x, y, z)( 1, 1, 1) -y IR. la funcin f(x, y) = (l ecuacin, para x, y, gradf(x, y) = grad (7 ) (x, y) + i) In cosh x + 2x 2 + 3yl- x + 1 Resuelva la En los ejercicios 4-10 resuelva el sistema dado 4. x 3 + y3 - 2xy = O, 5. 2x 4 6. 2 - + y2 = 1 2x 2 y + l - 2y3 + l = O, x2 3x 2 - 2xy - 6 y2 3x +3 =O y+ 7. 8. 9. 10. + 2y -- 6z = O 5 sen xy + z - 1 = O, x + y - z = O, 3x 1 + 4yl + 6z 1 + xy + xz - yz + x J cos xl + yl - 6z 2 + I = O xyz - 4 = O, e' - e + - 3 = O 2 x 3 + y' + Z3 = O, sen x + sen y + sen z + I = O, 4xy + 3x 2 + 5z = O sen(xy) + z - 1 = O, 2 sen(xz) + v - 2 = O, 3 sen(yz) + x - 3 = O 2 - x +l - z - 2 = O, x l - z= O, z- 5 = O V Captulo Extremos de las funciones de varias variables En este captulo estudiaremos lo referente a los mximos y mnimos de las funciones de varias variables. Antes de empezar recordemos rpidamente el tratamiento de este tema en el caso de funciones de una sola variable, as como los resultados ms importantes del primer curso de clculo Siendo ste uno de los ms importantes temas del curso --por sus aplicaciones, entre otros aspectosesta pequea retrospectiva al caso "simple" de funciones de una variable. nos servir de gua para abordar de la misma manera la problemtica presentada con funciones de varias variables (la cual, como es natural esperar, tiene algunas complicaciones tcnicas adicionales) La funcin f: 1 <;;; lR -+ R definida en el intervalo abierto 1 de R se deca tener un mximo (mnimo) local o relativo en un punto Xo E 1 si en una vecindad V'o de Xo se tena f(xo) 2': f(x) U(xo) ::; f(x). respectivamente) para toda x en V'o En otras palabras. f tiene un mximo (mnimo) local en Xo si f(xo) es el valor ms grande (ms pequeo) de la funcin en torno a Xo y fea) f(b) --j.."L-----r-~-;-----r--7"b~,.-----. x V / Figura 1. Y = l(x) tiene un mximo local en x = a y un mnimo local en x = b Una condicin necesaria para que la funcin f tenga un extremo (mximo o mnimo) local en Xo es que, si f'exo) existe, entonces f'exo) = o. Por ejemplo, la funcin f(x) = Ixl tiene un mnimo local en x = O. pues feO) = 101 = O ::; Ixl = f(x) para toda x en una vecindad de x = O En este caso 1'(0) no existe Tambin la funcin f(x) = _x 2 tiene un mximo local en x = O, 333 3 34 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias variables pues feO) = O 2: _x 2 = f(x) para toda x en una vecindad de x = O En este caso la funcin es diferenciable en x = O Y se tiene t(O) = -2(0) = O. Geomtricamente esta condicin necesaria para la existencia de un extremo local, nos dice que si la grfica de la funcin es suave en xo, su recta tangente en ese punto debe ser horizontal (tal recta tangente podra no existir y la funcin tener extremo en xo, como es el caso de fex) = Ixl en x = O). A un punto Xo E 1 en el que /,(xo) es cero o no existe, se le llama punto crtico de la funcin f Entonces, una condicin necesaria para que la funcin f tenga un extremo local en Xo es que Xo sea un punto crtico de ella. Tal condicin no es suficiente, ya que, por ejemplo, la funcin f(x) = x 3 es tal que t(O) = 3(0)2 = pero no tiene extremo local en x = (pues en cualquier vecindad de x = 0, digamos Vo = {x E ]R, -1: < x < E} se tiene para x < 1: que f(x) = x 3 2: 0= feO), en 3 tanto que para -1: < x ::::: O se tiene f(x) = x ::::: = feO~. Las condiciones suficientes para la existencia de extremo local de una funcin f en un punto xo, son condiciones que garantizan la permanencia del signo de la expresin fex) - f(xo) en los alrededores de Xo. As, si tales condiciones nos aseguran que f(x)- f(xo) es no negativo en los alrededores de Xo podramos concluir que la funcin f tiene un mnimo local en xo, en tanto que si j(x) - f(xo) es no positivo en los alrededores de xo, se puede concluir la existencia de un mximo local para f en Xo Con la ayuda de la frmula de Taylor para la funcin f en Xo se pueden establecer tales condiciones suficientes. Siendo f suficientemente diferenciable en xo, la frmula de Taylor nos dice que podemos escribir, para h pequeas (tal que Xo + h quede en el dominio de f) : : f(xo + h) - f(xo) = j'(xo)h + ~f"(Xo)h2 + r(h) donde el residuo r(h) tiene la propiedad de que Imh~o ~ = O. Es decir, r(h) es ms pequeo que h2 Si Xo es un punto crtico de f la expresin anterior se ve como f(xo + h) - f(xo) = 2: r(xo)h 2 + r(h) I Cuando h es pequeo, Xo + h es un punto en los alrededores de Xo y, como r(h) es muy pequeo en relacin a ~ 1'1 (xo)h 2, el signo del segundo miembro de esta ltima expresin queda determinado por el del trmino ~ 1'1 (xo)h 2 . Ms an, como h 2 2: O, el signo de f (xo + h) - f(xo) queda determinado por el signo de r(xo), tenindose que: a. b. c. si r(xo) > 0, entonces f(xo + h) - I(xo) 2: O para h pequeo (e. f(x) - f(xo) 2: O para x en los alrededores de xo) y por lo tanto f tendr un mnimo local en Xo; sit'(xo) < 0, entonces f(xo mximo local en Xo + h) - f(xo) ::::: para h pequeo, y por lo tanto f tendr un si f"(xo) = 0, la frmula de Taylor anterior no da informacin suficiente para concluir la existencia de extremo local de f en Xo Este es el llamado "criterio de la segunda derivada" para analizar el carcter de puntos crticos de funciones, el cual da condiciones suficientes para la existencia de extremos locales. La forma de estudiar de los extremos locales de funciones de varias variables ser similar a la breve exposicin que acabamos de presentar para funciones de una variable. Por medio de la frmula de Taylor se establecern las condiciones suficientes para que una funcin tenga extremo local en un punto. En la primera seccin se dan las definiciones bsicas y se presentan los primeros 4.1 Definiciones y ejemplos preliminares 335 ejemplos que nos situarn en los problemas especficos que se tienen con los extremos locales de funciones de varias variables. En la segunda seccin se estudia la frmula de Taylor que nos servir para, en la tercera seccin, establecer el teorema que da condiciones suficientes para la existencia de extremos locales En la cuarta seccin presentamos un teorema para el caso concreto de funciones de dos variables, y dedicamos el resto de la seccin a resolver algunos ejemplos tpicos de aplicacin de la teora previamente estudiada. Por ltimo en las quinta y sexta secciones se estudia la importante problemtica de los extremos sujetos a restricciones, en las que se discute el mtodo de los multiplicadores de Lagrange para atacar este tipo de problemas. 4.1 Definiciones y ejemplos preliminares Definicin. Sea f: U ~ IR" -; R una funcin definida en el conjunto abierto U de IR" Se dice que f tiene un mximo (mnimo) local o relativo en el punto Xo E U si f(xo) :2: f (x) (/(xo) S f(x) respectivamente) para toda x en una bola B de centro en Xo 11 Es decir, al igual que en el caso de funciones de una variable, la funcin f tendr un mximo (mnimo) local en Xo E U si f(xo) es el valor ms grande (ms pequeo, respectivamente) de todos los valores de f (x) para x en una bola de centro en Xo z y --+-+-l-+-++-+-+-.-.... x C2 - - el x Figura 1. o < c < (3 < C2 < el Grfica de la funcin z = x2 + i y sus curvas de nivel cerca del origen Ejemplo 1. La funcin f: 1Ft 2 -; R dada por f(x, y) = x 2 +l tiene un mnimo local en Xo = (O, O) pues en una bola B de centro en Xo (de hecho, en cualquier bola B de centro en xo) se tiene feO, O) = 02 + 02 = O S x 2 + l = f(x, y) para toda (x, y) E B Recuerde el aspecto geomtrico de la superficie z = x 2 + l Su grfica cerca del origen muestra el comportamiento tpico que una superficie z = f (x, y) presenta en un punto de 3 36 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias variables mnimo locaL Ms an, observe que las curvas de nivel de esta funcin son x 2 + y2 = e (e > O), cuyo aspecto, a medida que e es ms cercano a cero, es el de un conjunto de crculos concntricos cada vez "ms pegados" (este es el aspecto tpico del conjunto de curvas de nivel de una funcin con un extremo local). 11 Ejemplo 2. La funcin f: IR.2 ---> IR., dada por f(x, y) = I - x 2 - i tiene un mximo local en Xo = (O, O), pues en una bola B de centro en Xo se tiene feO, O) = I 2 I - x 2 - i = f(x, y) para toda (x, y) E B. Nuevamente llamamos la atencin al aspecto geomtrico de la superficie z = f(x, y), as como el de sus curvas de nivel cerca del origen. y --+-i-+-+-+-l--+-il-+-~x CI .x el < C2 < Cl < Cl <I Figura 2. Grfica de la funcin z = I - x 2 - / y sus curvas de nivel. Ejemplo 3. Los dos ejemplos anteriores muestran funciones diferenciables que tienen extremos locales Una funcin puede no ser diferenciable en un punto y tener ah un extremo local (10 mismo que en el caso de funciones de una variable: f(x) = xl enx = O). Por ejemplo la funcin f: IR.2 ---> IR., dada por f(x, y) = Jx 2 + y2 tiene un mnimo local en (0,0) pues feO, O) = : :; Jx 2 + y2 = f(x, y) para toda (x, y) en una bola (cualquiera) B de centro en (O, O). Sin embargo tal funcin no es diferenciable en (O, O) pues sus derivadas parciales no se presentan ah. La superficie z = Jx 2 -+- y2 es un cono abierto hacia arriba con vrtice en el origen . El conjunto de curvas de nivel cerca del origen tiene el mismo aspecto que el de la superficie z = x2 + y2 del ejemplo I llIII Supongamos que la funcin f: U ~ IR.n-t IR. es diferenciable en extremo locaL Digamos que x = (X,.t2, ... ,xn ) Para cada i = 1,2, x E U Y que ah tiene un .,n considere la funcin 4I Definiciones y ejemplos preliminares 337 p,: 1 ~ IR -> R definida en alguna vecindad de Xi, digamos 1 = {x E IRIXi - E < x < Xi + E} (E puede ser el radio de la bola B de la que habla la definicin de extremo local de f), dada por Es claro que teniendo f un extremo local en X, la funcin 'Pi debe tener tambin un extremo local (del mismo tipo) en .x de modo que p;CXi) = O. Es decir que " -(x) = 0, aXi af _ i = 1, 2,. ,n As, una condicin necesaria para que la funcin f: U ~ IRn -> IR diferenciable en ese punto un extremo local es que todas sus derivadas parciales se anulen en x xE U, tenga en Definicin. Al punto x E U en el que todas las derivadas parciales de la funcin f: U -> IR se anulan, se le llama punto crtico (o punto estacionario) de la funcin ~ IRn 11 Considere por ejemplo una funcin de dos variables f: U ~ IR 2 -> lR Suponga que en el punto (ro, Yo) esta funcin tiene un extremo locaL Si fes diferenciable en (Xo, Yo) se debe tener que al ax (xo, Yo) = y -(xo, Yo) ay af = Obsrvese entonces que la ecuacin del plano tangente a z = f(x, y) en (ro, Yo) es z = f(xo, Yo), el cual es un plano horizontal (paralelo al plano xl') Entonces, desde el punto de vista geomtrico, una condicin necesaria para que la funcin f: U ~ JR2 -> iR diferenciable en p E U, tenga ah un extremo local, es que en ese punto su plano tangente sea horizontal. Sin embargo, como era de esperarse, tal condicin est muy lejos de ser suficiente. Ejemplo 4. IR 2 Sea f: IR 2 --> IR la funcin f(x, y) = x 2 - l Esta funcin es diferenciable en todo Los puntos crticos de f se obtienen al resolver el sistema ~ dx (jj = 2x = 0, aj _. =-2v = a . y de donde se ve que (O, O) es el nico punto crtico que existe As, si la funcin f tiene algn extremo local, lo tiene en (O, O). Sea B una bola con centro en el origen, digamos B = {(x, y)lx 2 - i < E}. Los puntos del tipo (r; O) con r 2 < E 2 , estn en B y para ellos se tienen feo, O) = : :; r 2 = f(r, O) B y para ellos se tiene Del mismo modo, los puntos del tipo (O, r) con r 2 < E2 , est en 2 feO, O) = : : _r = feo, r) de modo que la expresin: f(x, y) - feO, O) no mantiene signo constante en ninguna bola con centro en el origen. Es decir, la funcin f no tiene extremo local en (O, O). 11 Los puntos que tienen un comportamiento como el origen en el ejemplo anterior reciben un nombre especial 3 38 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias variables Definicin. Considere la funcin f: U ~ Jl{n ----> Jl{ definida en el conjunto abierto U de Jl{" Sea x E U Si cualquier bola B (de llln) con centro en x contiene puntos x E B tales que f(x) - f(x) es positivo y puntos y E B tales que fey) - f(x) es negativo, se dice que x es un punto de ensilladura (o punto silla) de la funcin f rI El aspecto de la grfica de una funcin f: U ~ R.2 ----> Jl{ cerca de un punto de ensilladura, es justamente como si sta fuera una silla de montar. As lo muestra la funcin f(x, y) = x 2 - l del ejemplo 4, cuya grfica cerca del origen se muestra a continuacin as corno algunas de sus curvas de nivel z y c>o x Figura 3. Grfica y curvas de nivel de la funcin z = x2 - i Ntese que las curvas de nivel delatan el por qu esta funcin no puede tener extremo local en el origen . Cualquier bola con centro en el origen contendr puntos de curvas con c > O (donde la superficie est por encima del plano xy) y puntos de curvas con e < O (donde la superficie est por debajo del plano xy) Un acercamiento natural hacia la obtencin de condiciones suficientes para la existencia de extremo local de una funcin f: U ~ llln ----> III en un punto crtico x de ella, sera estudiar las funciones 'P(x) = f(x, , .Xi-I, x, X+ 1, ,In) mencionadas anteriormente, a las cuales podernos aplicar (con f suficientemente diferenciable) el criterio de la segunda derivada para funciones de una variable. Parecera lgico pensar que si la funcin 'Pi(X) tiene un mximo local (o mnimo local) en x =x, para toda i = 1,2, .... , n, entonces la funcin f deber tener un mximo local (o mnimo local) en el punto x. Para una funcin de dos variables esta situacin se ve as: si f: U ~ Jl{2 ----> IR tiene un punto crtico en (x, y), consideramos las funciones 'PI (x) = f(x,y), 'P2(Y) = f(x, y) Obsrvese que 'P (x) geomtricamente representa la curva de interseccin de la superficie z = f(x, y) con el plano y = y, y 'P2(Y) la curva de interseccin de z = [(x, y) con el plano x = I. Supongamos que estas dos curvas tienen mximos (o mnimos) locales (en x =x y y = y, respectivamente). Se infiere de aqu que la funcin z = f(x, y) tiene un mximo (o mnimo) local en ex, y)? La respuesta a esta pregunta es NO. Ciertamente tal condicin es necesaria, pero no suficiente. Antes de verun ejemplo concreto que muestre lo anterior, veaque la funcin z = f(x, y) = x 2 _ y 2 no cumple con tal condicin necesaria . En efecto, el punto (O, O) es el nico punto crtico La funcin 2 'PI (x) = f (x, O) = .x tiene un mnimo local en x = Oen tanto que la funcin 'P2(Y) = feO, y) = tiene un mximo local en y = O i 4.1 Definiciones y ejemplos preliminares 339 Ejemplo S. Sea f: IR 2 ----> IR la funcin f(x, y) = I - ".-2 - y2 + 3xy. Esta es una funcin diferenciable en todo IR 2 Sus puntos crticos se obtienen al resolver el sistema - = - 2x + 3 .V = 0, ax (jf -- y-2v + 3x = = ' a af Se ve que x = O, Y = es la nica solucin, por lo que (O. O) es el nico punto crtico de f Considere las funciones <PI (x) = f(x, O) = 1 - x 2, <P2(Y) = feo, y) = I - l. Ambas tienen un mximo local enx = y y = (respectivamente). Sin embargo, la funcin f no tiene un mximo local en (O, O) En efecto, basta que veamos que en cualquier bola B con centro en el origen, hay puntos (x, y) E B para los que f(.x. y) :2: feO, O) = l . Sea B una bola cualquiera con centro en (O, O), digamos que . 1 I1 B = {(x, y) E 111>"I"""} Consldere los puntos (t, O E B (con t- < '5 e) . Observe que m.. - x- + y- < Efeto t) = 1 + 3W(t) = 1 + :2: 1 = feO, O) As pues, en la bola B hay puntos (x, }') para los cuales f(x, y) - feO, O) es negativo (los puntos del tipo (x, O) (O, y) x i- y y i- O) Y tambin puntos en los cuales f(x, y) - feO, O) es positivo (los del tipo (x, x) x i- O) Se trata pues de un punto de ensilladura. Desde el punto de vista geomtrico, acontece entonces que la superficie z = 1 - x" - l + 3xy es tal que su interseccin con los planos x = y y = produce curvas con m,ximo local en el origen, pero su interseccin con el plano y = r, produce una curva (z = I + x 2 ) con un mnimo local en el origen II1II e-e e El ejemplo anterior nos invita a considerar, en la misma direccin de "tipo de extremos de las curvas de cone de la superficie z = f(r, y) con planos perpendiculares al plano x y", condiciones ms fuertes a partir de las cuales podamos concluir la existencia de un extremo local para la funcin dada. Sera natural ahora preguntarse lo siguiente: si la funcin f: U s:-; Gt' ~ iR la cual es diferenciable en el punto crtico (xo, Yo) E U es tal que todas las curvas procedentes de la interseccin la superficie z. = f(x, y) con planos perpendiculares al plano xy que pasen por (xc), \0)' tiene el mismo tipo de extremos en (xo, Yo), tiene la funcin f misma un extremo local de la misma naturaleza en ese punto') Ms an, supongamos que al intersectar la superficie z = f(x, y), que tiene un punto crtico en (xo. yo), con el plano Y = k(x - xo) + Yo, se obtiene una curva z = f(x, k(x - Xo) + Yo) la cual tiene un mximo local, digamos, en x = xo. Se concluye de aqu que la funcin misma z = f(x, y) tiene un mximo local en (Xo, Yo)? Nuevamente observamos que tal condicin es ciertamenete necesaria para la existencia del extremo local (1a cual no se satisface por la funcin del ejemplo 5) Y aunque ahora s parecera que la condicin es lo suficientemente fuerte como para garantizar la existencia del extremo local para la funcin f, el siguiente ejemplo nos muestra que con funciones de varias variables pueden ocurrir situaciones extraas en las que la intuicin geomtrica nos falla. Ejemplo 6. Considere la funcin f: IR 2 - - t IR dada por f(x, y) = 2x 2 diferenciable en todo IR 2 Las derivadas parciales de esta funcin son - 3xl + v 4, la cual es - = 4x - 3y-, ax . af 1 - = -6xv+ 4v' ay' . af ' de donde se ve que (O, O) es un punto crtico de f Tomemos los planos y = kx, los cuales pasan por el origen y son perpendiculares al plano xy. La interseccin de la superficie z = 2x 2 - 3xy' + v~ con el plano y = kx es z = <p(x) = 2x 2 - 3x(kx)2 + (kx)4 = 2x 2 - 3k 2 xJ + k~x4. Se tiene <p1(X) = 4x - 9k 2x 2 + 4k~x3, de donde <p1(0) = 0, como tena que ocurrir Ms an, como <pll (x) = 4 - ISex + 12k 4 x 2, se tiene <p'l (O) = 4 > 0, por lo que la curva <p(x) tiene en el origen un m[nimo local Tenemos entonces que nuestra superficie z = f(x, v) es tal que 3 40 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias variables "rebanndola" con planos perpendiculares al plano xy que pasan por el origen, las correspondientes curvas de interseccin tienen un mnimo en x = O Sin embargo, veamos que la funcin f no tiene un mnimo en el origen Si as fuera, se debera de cumplir que f(x, y) ;::: O = feO. O) para toda (x, y) en una bola con centro en (O, O), digamos B = {(x, y) E R 2 ix 2 + \2 < E 2 } Veamos que existen puntos en esta bola para los que f(x, y) :::; O Si escribimos a f(x, y) como f(x, y) = (x -y2)(2x -y2), vemos que (x -y2)(2x - y2) :::; O tiene solucin para x :::; )'2 :::; 2x Tomando puntos suficientemente cerca del origen que satisfagan esta desigualdad, por ejemplo puntos 2 de la forma (~e, g), en donde ~ + E (esto garantiza que todos los puntos estn en la bola B), se tiene f(~e, g) = (~g2_ g2)(H2 - g2) = - H2 :::; O por lo que la funcin f tiene, en realidad, un punto de ensilladura en el origen e e : :; y en toda esta regin se tiene f(x, y) :::; O l =x ----+-+'-t~.,.,..-rl"..,.-r,+_+-f_+r++-'_o+---- x Figura 4. DIagrama de la bola B en la que f(x, y) <O Acontece que las condiciones suficientes que garantizan la existencia de un extremo local de una funcin f en un punto crtico de la misma se tendrn que plantear, al igual que el caso de una variable, con la ayuda de la frmula de Taylor para la funcin f en un punto crtico. En la siguiente seccin estudiaremos lo referente al Teorema de Taylor, que establece la fnnula mencionada Ejercicios (Captulo 4, Seccin 1) 1. Directamente de la definicin, pruebe que la funcin f: R 2 --t R f(x, y) = ax 2 + hy2, donde a y h son reales positivos dados, tiene un mnimo local en el origen (Ver ejemplo 1) 2. Generalizando el ejercicio anterior, pruebe que la funcin f: R" --t R f(x, X2,' . "Xf/) = a(xJ)l + a2(x2)i2 +. + af/(x"in, donde los coeficientes a son reales positivos dados y los exponentes i j son enteros positivos pares, tiene un mnimo local en el origen 3. Pruebe que si la funcin f: U ~ R" --t R definida en el conjunto abierto U de ]R", tiene un mximo local en el punto p E U, entonces la funcin - f: U ~ R" --> R (- f)(x) = -- f(x), tiene un mnimo local en ese punto 4.1 Definiciones y ejemplos preliminares 341 4. Demuestre que si la funcin f: U ~ JRn -; IR, definida en el conjunto abierto U de JRn, tiene un mximo (mnimo) local en el punto p E U, entonces la funcin F: U ~ JRn -; JR, F(x) = f(x) + k, donde k es un nmero real dado, tiene tambin un mximo (mnimo) local en p. Interprete geomtricamente este hecho . (Ver ejercicio 1 de la seccin 2, captulo 2). S. Sean f, g: U ~ JRn -; JR dos funciones definidas en el conjunto abierto U de JRn Suponga que estas funciones tienen un mximo (mnimo) local en el punto pE U. Demuestre que la funcin suma F: U ~ JRn -; IR, F(x) = f(x) + g(x) tiene un mximo (mnimo) local en p. Podemos concluir lo mismo con la funcin producto F(x) = f(x)g(x)? Explique. 6. Demuestre que la funcin f: JRz ---> JR, f(x, y) = ax z + bl, en que a y b son nmeros reales tales que ab < O, tiene un punto de ensilladura en el origen, mostrando que en cualquier bola B = {(x, y)lx z + l < } existen puntos p, q E B, tales que f(p) > Oy f( q) < O. (Sugerencia: procure puntos en los ejes coordenados). 7. Generalizando el ejercicio anterior: demuestre que la funcin f: JRn -; IR, f(x, xZ, ... , x n) = aXT + azx~ + ... + anx~, donde no todos los coeficientes a tienen el mismo signo, tiene un punto de ensilladura en el origen . 8. Demuestre que la funcin f(x, y) = x 3 + y3 tiene un punto de ensilladura en el origen. 9. Demuestre que la funcin f: JRz -; IR, f(x, y) = Ixl + Iyl, tiene un mnimo local en el origen Observe que f no es diferenciable en (O, O) por qu? Haga un esquema mostrando las curvas de nivel de esta funcin cerca del origen. 10. Generalizando el ejercicio anterior: demuestre que la funcin f: JRn -; IR, f(x, X2, a lx1 + azlxzl + local en el origen + an IX n, donde todos los coeficientes a ,xn ) = son positivos, tiene un mnimo 11. Demuestre que la funcin f: JRz -; iR, f(x, y) = x 3 + 3x + y3 + y no tiene extremos locales . (Sugerencia: si los tuviera, stos deberan ser puntos crticos de f ). 12. Demuestre que la funcin f: JR3 -; IR, f(x, y, z) = x 5 + y5 + z 7 + 4x + 2y + 9z + 3 no tiene extremos locales. 13. Demuestre que la funcin f: JR3 -; IR, f(x, y, z) locales. 14. Demuestre que una funcin lineal f: iR n no puede tener extremos locales -; = arctan(x + 2 y + 3z) no tiene extremos , x n) = a Xl JR, f(x, xz, + a2xZ + . + anx n + b 15. Una funcin constante f: JRn -; IR, f(x) = c, tiene extremos locales? 16. Demuestre que si la funcin f: JRz -; IR, f(x, y) = x Z + 3xy + i + 2x - 4y + 210 tiene un extremo local, ste debe de estar en el punto p = (16/ S, -14/5) 17. Considere la funcin f: JRz -; IR, f(x, y) = ax 2 + 2bxy + ci + dx + ey + f Demuestre que esta funcin puede tener a lo ms un extremo local, y que si lo tiene, entonces ac - b2 f= o. Use el ejercicio 6 para probar que la condicin ac - b2 f= O no garantiza la existencia de extremo local de f. 18. Considere la funcin f: JRn -; IR, f(x, Xz, ., Xn) = In(l + XT +x~ + + x~) Demuestre que esta funcin puede tener a lo ms un extremo local, el cual se encontrara en el origen. Bsese en que la funcin logaritmo es creciente en todo su dominio para probar que de hecho existe tal extremo local en el origen . Qu tipo de extremo es? 3 42 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias variables 19. Sea f: R.+ -> R. una funcin diferenciable con derivada siempre positiva, Demuestre que la funcin F: R.2 -> R F(x, y) = f(1 + x 2 + l) tiene un mnimo local en el origen Ms en general, demuestre que la funcin F: lR n -> R F(x, X2," ,xn ) = f(1 + + x~ + + x~) xt tiene un mnimo local en el origen., Ntese que el ejercicio anterior es un caso particular de este ejercicio, 20. Suponga que la funcin f del ejercicio anterior tiene derivada siempre negativa, Demuestre que la funcin F tiene un mximo local en el origen. Use este hecho para probar que la funcin f: lR 2 -> lR, f(x, y) = I+J+ y2 tiene un mximo local en (O, O), Y que lo mismo acune con la 1 -x -y., -> 2 2 funcin g(x, y) = e- 21. Considere la funcin f: R. 2 x 2/3 + i/3 Constate que el origen es un punto crtico de esta funcin Use el hecho de que f(x, y) ;::: Opara todo (x, y) E lR 2 para concluir que R f(x, y) = j tiene un mnimo local en (O, O), 22. Sea f: R. 2 el origen., -> lR la funcin f(x, y) = (x 2 + i)1/3, Demuestre que j tiene un mnimo local en 23. Sea f: lR -> R., z = f(y), un,a funcin par que tiene un 'extremo local en el punto (O, zo) Considere la superficie de revolucin z = f( ~y2). Demuestre que sta tiene, en el origen, el mismo tipo de extremo local que la funcin f. Compruebe que el ejercicio anterior es un caso particular de la situacin expuesta en este ejercicio, 24. Demuestre que la funcin f: lR 2 f(x, y) = (x 2 + i)e-(X'+I') tiene un mnimo local en el origen., (Sugerencia: basta demostrar que la funcin j(x) = x 2 e- x ' tiene un mnimo local para x = O Y usar el resultado del ejercicio anterior). -> R 25. Demuestre que la funcin f: lR 2 -> R f(x, y) = x4 + x 2 y2 + l tiene solamente un extremo local en el origen, el cual es un mnimo, 26. Generalizando el ejercicio anterior, demuestre que si!l = 4k, k E N, entonces la funcin f: lR 2 -> lR, f(x, y) = x n + cxn/2yn / 2 +t, donde c es un nmero positivo dado, tiene solamente un extremo local, el cual es un mnimo 27. Es fcil ver que si la funcin f: lR 2 -> R j(x, y) = xnt, donde n es un nmero natural dado, tiene extremos locales, ste es nico y se debe encontrar en el origen (por qu?)., Discuta la existencia y naturaleza de este extremo en trminos de !l " En los ejercicios 28-40, encuentre Jos puntos cricos de la funcin dada. Recuerde que stos son los puntos en que puede haber extremos locales de la funcin, 28. j(x, 29. 30. 31. 32. 33. 34. + 8y - 2xy + 4 f(x, y) = x + x + i + 1 f(x, y) = x 2 + 2x + i - 4y + 10 [(x, y) = 2x 3 + 3x 2 + 6x + y3 + 3y + 12 f(x, y) = x 2 y - x 2 _ 3xy + 3x + 2y - 2 j(x, y) = x 2 i + x 2 - 5 xy 2 - 5x + 6y2 + 6 j(x, y) = (x - y)e x + 2y y) = 3x 2 42 La frmula de Taylor de segundo orden 343 35. f(x, y) 36. f(x, y) 37. 38. 39. 40. = .x cos y = x cosh Y f(x, y, z) = 3x4 - 8y3 + 134z 23 - 5 j(x, y, z) = xy + xz + yz - 3 f(x, y, z) = x + y + z + xy + xz + yz - 3 f(x, y, z) = xyz - 3xy - 2xz + 6x - yz + 3y + 2z - 6 41. f(x, y, z) = xyz2 + xy + xz 2 + x - 2 yz 2 - 2y - 2z 2 - 2 42. Considere la funcin f: IR 2 --+ IR, f(x, y) = 3x4 -4x 2y+y2. Compruebe que el punto p = (O, O) es un punto crtico de esta funcin Considere las curvas de interseccin de la superficie z = f(x, y) con planos que pasan por el origen, perpendiculares al plano xy. Demuestre que todas estas curvas tienen un mnimo local en el origen y que sin embargo la funcin f tiene un punto de ensilladura en el origen. (Sugerencia: use la mismas ideas del ejemplo 6).. 43. Repita el ejercicio anterior con la funcin f: IR 2 -; IR, f(x, y) = x 6 - x 2 y - x 4 y + y2 Demuestre que, de hecho, tal situacin se repite con la funcin g: IR 2 -; IR, g(x, y) = x"+m _xmy _xny+ l, donde m y n son nmeros pares. 44. Repita el ejercicio 42 con la funcin f: IR 2 -; IR, f(x, y) = l +y -y cosx+yx 2+x2 _x 2 cos x. 45. Los tres ejercicios anteriores son casos particulares de la siguiente situacin ms generaL Sean f, g: IR -; IR dos funciones diferenciables tales que en una bola con centro en el origen la grfica de una de ellas siempre est por encima de la grfica de la otra, y tales que tienen en el origen un mximo o un mnimo local (ambas el mismo tipo de extremo). Considere la funcin F: IR 2 - ; IR, F(x, y) = y2 - ((x) + g(xy + f(x)g(x).. El origen es un punto crtico de F La interseccin de la superficie z = F(x, y) con todos los planos perpendiculares al plano xy que pasan por el origen, son curvas que tienen en el origen el mismo tipo de extremo de f y g. Sin embargo. la funcin F tiene un punto de ensilladura en el origen . Demuestre estos hechos Observe, sin embargo, que la situacin mostrada en el ejemplo 6 es diferente de la aqu descrita . Por qu') 46. Sea f: U <;;; IR n - ; IR una funcin diferenciable definida en el conjunto abierto U de IR n , tal que f (x) i- O't/x E IR n . Sea p un punto de U en el que grad (-7 )(p) = grad f f(p) Demuestre que p es un punto crtico de Es cierta la afirmacin recproca? 4.2 La frmula de Taylor de segundo orden Si la funcin f: 1 <;;; IR -; IR definida en el intervalo abierto 1 de IR es derivable en Xo El. entonces podemos escribir f(xo + x) = f(xo) + /'(xo)x + r(x) 344 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias variables (para x tales que Xo + x E l) en que el residuo r(x) tiene la propiedad de que Imx~o r(~t) = O Una manera geomtrica de leer esta frmula (que no es ms que la definicin de derivada de f en xo) es la siguiente: para valores pequeos de x se tiene la igualdad aproximada f(xo +x) ::::; f(xo) + f' (xo)x o bien f(x) ::::; f(xo) + f' (xo)(x - xo), la cual nos dice que si quisiramos ver la grfica de y = f (x) en los alrededores del punto (xo. f(xo como una recta, sta debera ser y = j(xo) + f'(xo)(x - xo), es decir, la recta que pasa por (xo. f(xo y tiene como pendiente a f'(xo) (que es justamente la recta tangente a y = f(x) para x = xo) Esta informacin resulta muy valiosa cuando investigamos algunos aspectos geomtricos de la grfica de la funcin y = f(x). Por ejemplo, si al ver a y = f(x) como su recta tangente en (xo. f(xo, esta recta tiene pendiente positiva, entonces podemos decir que la funcin y = f (x) es creciente en ese punto . Sin embargo, para otros aspectos esta informacin, que llamaremos "lineal" o "de primer orden", resulta insuficiente. Supongamos que estamos investigando los extremos locales de la funcin y = f(x)'. Hemos detectado que en x = Xo existe un punto crtico para la funcin (que suponemos es derivable). Se debe tener entonces f'(xo) = O Si queremos ver como recta a esta funcin en los alrededores de (xo. f(xo, esta recta sera (su recta tangente en ese punto) y = j(xo)- f'(xo)(x - xo) + f(xo) = f(xo). Esta informacin lineal lo nico que nos dice es que en el punto (xo, f(xo la grfica de y = f(x) tiene una recta tangente horizontal (de ecuacin y = j(xo, pero no nos dice nada acerca de la naturaleza del extremo en cuestin (si es que existe). y . - y = f(a) /. y = I(x) --+--. ~ ~ LY~f(b) a -~b- - - - . . . \ / -4-------- x Figura 1. La recta tangente a y = f(x) en un extremo local. Se necesita entonces una informacin ms fina para y = f(x) en los alrededores de (xo, f(xo o sea: quisiramos ver ya no como recta la grfica de y = f(x) en (xo. f(xo, sino ms bien, como una parbola con su vrtice en ese punto. ("Querer ver como (recta-parbola) la grfica de la funcin y = f(x) en los alrededores de (xo. j(xo" significa que la grfica de la funcin y = f(x) y la (recta-parbola) (las cuales obviamente deben pasar por el punto en cuestin) tengan, localmente, en los alrededores del punto (xo. f(xo, las mismas propiedades geomtricas; por ejemplo, la misma pendiente, concavidad, etc, lo cual se traduce en que en ese punto las derivadas de y = j(x) y las de la (recta-parbola) coincidan)., Si as fuera el caso, digamos, que tal parbola es y = ax 2 + bx + c. Como sta debe pasar por (xo. f(xo la podemos escribir como y = (x - xO)2 + b(x -xo) + f(xo). Adems queremos que su vrtice est en el punto (xo. f(xo; entonces y' (xo) = O, de donde b = O. Por ltimo, queremos que la concavidad de la parbola sea la misma que la concavidad de la curva y = f(x) para x = Xo (sta es la cuestin importante). Entonces y"(xo) = 2a = fl/(xo), Concluimos entonces que si la grfica de la funcin y = f(x) se viera como una parbola con vrtice 42 La frmula de Taylor de segundo orden 345 en (xo, f(xo, sta ser Y 1 ="2 f'// (xo)(X - xo) 2, + f(xo) (p) (recuerde que la funcin tiene un punto crtico en xo) De aqu se puede concluir lo siguiente (criterio de la segunda derivada para la existencia de extremos locales de la funcin y = f(x) en el punto crtico xo) 1. Si f//(xo) > 0, la parbola (p) abre hacia arriba, y por lo tanto la funcin y = f(x) tiene un mnimo local en x = Xo (figura 2) y Xo x Figura 2. Un mnimo local en la funcin y = j(x) 2. Si f"(xo) < 0, la parbola (p) abre hacia abajo, y por lo tanto la funcin y = f(x) tiene un mximo local en x = Xo (figura 3) y y = f(x) -l = f" (xo)(x I ' - - - - - - - x - o - - - - - -.... x '''''''-y ! XO)2 + f(xo) Figura.3. Un mximo local en la funcin y = fet) Vemos pues que esta informacin "cuadrtica" o de "segundo orden" s nos proporciona informacin acerca de la naturaleza de los puntos crticos en cuestin En general, si queremos ver la grfica de y = f(x) como una parbola alrededor del punto (xo, f(xo)) (donde ahora Xo no es necesariamente un punto crtico de y = f(x)), sta debera ser 3 46 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias variables por lo que, para x cerca de Xo podemos escribir la igualdad aproximada f(x) o bien ~ 1 :2 I 11 (xo)(x - xo)"- ) + f (xo)(x - ro) I + I(xo) f(xo + x) ~ f(xo) + j'(xo)x + ~ f"(xo)x 2 Acontece que si f es una funcin con derivadas hasta segundo orden continuas vecinas a '\0, entonces podemos escribir 1 , f (xo + x) = .+ f (xo)x +:2 111 (xo)x- + r(x) (xo) ' f donde el residuo r(x) tiene la propiedad de que lm,_,o r~;) = O Una alternativa es [(xo donde Xo + x) = f(xo) + j'(xo}x + ~ f"(Ox 2 < t; < Xo + x Esta es la frmula de Taylor de segundo orden para la funcin y = f(x) en Xo Una frmula anloga es la que necesitamos para una funcin 1: U C;;; iRll ~ ]R definida en el abierto U de R", para poder describir la naturaleza (como posibles extremos locales) de sus puntos crticos De ella podremos deducir (lo haremos en la prxima seccin) un criterio "ele la segunda derivada" para identificar extremos locales de la funcin. Obtener tal frmula es el objetivo de la presente seccin Por ejemplo, para una funcin de dos variables f: U C;;; lR 2 ---> IR, definida en el abierto U de lR 2 , quisiramos obtener una frmula que nos diga que en los alrededores del punto p = (xo, Yo, f(xo, Yo de su dominio, podemos ver a f (x, v) como una funcin polinomial de grado 2 f(x, )') = ax 2 + b y 2 + ex)' + dx + ey + R (es natural esperar que los coeficientes a, b, e, d, e, g de esta frmula estn de algn modo comprometidos con las derivadas -parciales- de la funcin f en el punto p, como ocurre en el caso de una funcin de una sola variable). Usando luego esta "informacin cuadrtica" para f (x, y) en los alrededores del punto p, podremos establecer (en la siguiente seccin) un criterio que nos permita detectar la existencia de extremos locales en los puntos crticos de esta funcin. Consideremos pues una funcin f: U C;;; lR" ---> ]R definida en el conjunto abierto U de ]R1l, Y sea x = (XI,X2. XII) E U. Supongamos que esta funcin tiene las derivadas parciales de segundo orden "i)2 f (Xii X; continuas en alguna bola B con centro en ---> x Tornemos la funcin g: [-1, 11 ]R, definida como gel) = f(x + IX) donde X es un punto de ]Rn Jo suficientemente cerca de x como para que x x E U. Entonces, g es la composicin de la funcin f con la funcin 'P: [-- J. 1J ---> lR" dada por 'P(t) = x + IX, la cual tiene entonces 11 funciones coordenadas 'Pi: I-l, 1] .~ iR: dadas corno 'Pi(t) = .\", + IX" i = l, 2, ,11 As (f o g)(t) = f(cp(t)) = /(x+ IX) = g(t), lE 1-1, 1I 42 La frmula de Taylor de segundo orden 34 7 Apliquemos la frmula de Taylor de segundo orden a la funcin g, poniendo en la frmula (*) Xo = 0, r = I Nos queda entonces gel) dondc O < ~ < l Observamos quc g( 1) = g(O) + g/(O) + 2gll (g) (x) Calculcmos g/(t) usando la regla de la cadena l = f(x + x), g(O) = = ~(f 01 - . o g)(t) g'(!) = L Il '001 . ~(cp(t))cp:(I) = O'\i 'JI L JI ~(CP(I))X, "x, 'JI i=1 Como (p(O) = x nos queda que g (O) , = ~ af ~ icol -.-. (x)x, dx, Calculcmos ahora gil (t) 11 g (t) = a ,. ~ g (t) al = -;(JI a /l -(cp(I)X, i= 1 al aXi = '" X,- -(cp(I)) ~ ,,~I /l a al al ax, = L -.~. -.' . d.xj(Jx, 1/ 11 )2 f (cp(I)X,.\; i=1 )=1 El punto ~, O < ~ < 1. donde est,} calculada gil, corresponde al punto cp(O = x + ~x donde aparccern calculadas las dcrivadas parciales de 2 orden de la funcin f Nos queda finalmente quc, para x E iR/l tal quc x + x E U _ (x + x) = x + L _ /l i=1 a _ .- (x)x, + -I2 . . I".f-. (x_ + ~X)XiXj ... L --. Il Il (T) rJx, ,=1 j=1 axax, dondc O < ~ < ! Resulta convenientc haccr algunas observaciones con miras a una simplificacin de la notacin involucrada cn csta frmula En principio ntese que la cxpresin aI_ -. (x)x, ax, /l ,=1 sc pucde ver, tanto como cl producto punto del vector grad f(x) por el vcctor x, como el producto dc la matriz jacobiana JF(x) por la matriz Xl (la traspuesta de la matriz de coordenadas de x), o simplemente, tambin, como la accin de la transformacin lineal l' (x) (la derivada de f en x) en el vector x As esta expresin sc pucde escribir como grad f \x) X. JF\x)x l o f(x)x. dcpendiendo dc cmo queramos verla 3 48 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias variables Lo que resultar interesante ser ver de una manera adecuada la expresin " " -a. f-., (x_+ ~X)X,X) ax)ax 2 j=1 j=1 Llamemos, por razones de simplificacin, a,) = (x + ~x) (estos son nmeros reales concretos) Sea A la matriz n x n cuyos elementos son a,), i, j = 1,2, " n Identificando el vector x = (Xl, X2, ,Xn ) con la matriz l x n x = [XI X2' x"], vemos que a;Ji a2" al"] [Xl] X2 Xn a"" n " = LaijXXj j=l j=1 Como sabemos, a una funcin Q: IR" -+ IR, del tipo Q(X) = xAxt, en donde A es una matriz 11 x n, se le llama forma cuadrtica (en IR") A la matriz A se le llama matriz de la forma cuadrtica Q (en relacin con la base cannica de IR") En nuestro caso la matriz A tiene como elementos las derivadas parciales de segundo orden de la funcin f Esta matriz recibe un nombre especial Definicin. Sea f: U <;;; IR" -+ IR una funcin definida en el conjunto abierto U de IRn y sea Suponga que las derivadas parciales de segundo orden (.el'! j existen en x A la matriz XjuX cuadrada de orden n, xE U A = (ai)) = ( '--,,,(x) ax jaX a2 f _) i,j= 1 2 JI se le llama MATRIZ HESSIANA (o simplemente HESSIANO) de la funcin denota por H(x) Defina, para x E IR" (suficientemente cerca de x), la funcin r(x) como r(x) f en xy se 11 = x(H(x + gx) - H(x))x t Entonces la frmula (T) anterior se puede escribir como f(x + x) = f(x) + grad f(x) x + '2XH(x)x' + r(x) l Queremos ver que "el residuo" r(x) tiene la propiedad , r(x) 11m x 11 2 x-~O -11 =O ----------------_. 42 La frmula de Taylor de segundo orden 349 En principio tngase presente que si A = (aj),j=I,2, ,n es una matriz cuadrada de orden n, entonces n n n n Aplicando este hecho a r(x) nos queda Ir(x)1 = Ix(H(x ::; II x l1 + ~x) n H(xxtl 2 2n L L I-a-f( x + ~x) . . axJax; ,=1 J=l - .- (x) axJax, a2 f I de modo que Recuerde que estamos asumiendo como hiptesis que la funcin f tiene derivadas parciales de segundo orden continuas en alguna bola B con centro en x Tomando entonces lmite en ambas partes de la expresin anterior cuando x 2 llXjOX ---> ,a { (x + gx) ---; uXjVX (x), por lo que el segundo miembro de esta desigualdad tiende a cero Esto prueba entonces la propiedad deseada para r(x). En conclusin, hemos probado la frmula de Taylor de segundo orden para la funcin f, resultado que a continuacin enunciamos a modo de resumen t f r O Por la continuidad de a~Jt; vemos que 2 Teorema 4.2.1 (Frmula de Taylor de segundo orden para funciones de varias variables) Sea f: U ~ JR.n ---; JR. una funcin definida en el conjunto abierto U de JR.n, tal que las derivadas parciales de segundo orden ,.a {. son continuas en alguna bola B con centro en x E U (por supuesto B contenida en U) Entonces, para todo x E JR.n tal que x + x E U se tiene la frmula (de Taylor de segundo orden para la funcin f en x) U:(J UX ' 2 f(x donde O < ~ + x) = f(x) + grad f(x) x + "2xH(X 1 + ~x)xt < 1, la cual se puede escribir tambin como f(x + x) = f(x) + grad f(x) x + 1 -xH(x)x l 2 + r(x) en que el residuo r(x) tiene la propiedad , r(x) !1m- =0 X 11 2 X~O ji 3 50 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias variables Observamos que ya que f es una funcin con derivadas parciales de segundo orden continuas en una bola B de centro en X, cumple las hiptesis del teorema de Schwarz y por lo tanto las derivadas parciales mixtas son iguales. Es decir --(x) ax,aYj a2 f' = --(x) axjay a2 f' Este hecho se puede enunciar de otro modo diciendo que la matriz hessiana H(x) es una matriz simtrica Veamos algunos ejemplos . Considere la funcin f: IR 2 --> IR dada por /(x. y) = e2x + 3 }. Ciertamente esta funcin es diferenciable y tiene sus derivadas parciales de todos los rdenes continuas en todo IR 2 La frmula de Taylor de f en el origen se ve como Ejemplo 1. /((0, O) donde + (x, y)) = feO, O) + grad /(0, O) Im (x,y)~(O,O) (x, y) + ~ [x y]H(O, O) [~ ] + r(x. y) r(x, x2 + y2 Y.L = O Hagamos explcita esta frmula . Tenemos gradf = de modo que grad feO. O) Por otra parte f . (aax af) ay -'-. = (2. 3) H(x, y) = de modo que H(O, O) = [: As, la frmula de Taylor se ve como ~] /(x,y)=/(0,0)+(2,3) o sea (X,y)+~[xy][: ~] [~]+r(x,y) e+ 2x 3y =I + 2x + 3y + 2x2 + 6xy + ~l + r(x, y) Insistimos en el signicado de esta frmula: si quisiramos ver la funcin f(x, y) = e 2x + 3y en los alrededores del origen como un polinomio de grado 2, ste sera p(x. y) = 1 + 2x + 3y + 2x 2 + 6xy + ~ y el enor r(x, y) que se estara cometiendo sera menor que x 2 + y2 Por ejemplo, ponga x = 0.01,)' = -0.03 Se tiene p(O . OI, -003) = 093245, en tanto que /(0.01, -O 03) = 09323238 (el enor cometido es de 5.618 x 10-5, que es menor que (001)2 + (-003)2 = 1 x 10-') i, 4.2 La frmula de Taylor de segundo orden 351 Ejemplo 2. Considere la funcin f:]R3 - t ]R dada por u = f(x, y, z) = sen x + sen y + sen z sen(x + y + z). Esta funcin es diferenciable y tiene sus derivadas parciales de todos los rdenes continuas en todo]R3 Tomemos el punto p = (1' l' 1) y escribamos la frmula de Taylor para f en p. Se tiene f ( l' l' 1) = 4. Las derivadas parciales de f son al ax = cos x - cos(x + y + z), az al ay = cos y - cos(x + y + z) al - = cos z -- cos(x + y + z) en el punto p se tiene Zl (p) = Zl (p) = Zl (p) = ax ay az La matriz Hessiana de f es o. a2 f ax 2 a2 j H(x, y, z) = axay a2 j axaz a2 I a2 j ayax azax a2 j a2 I ay2 azay a2 I a2 f ayaz az 2 -sen x + sen.(x + y + z) sen(x + y + z) [ sen (x + y + z) sen(x + y + z) - sen y + sen(x + y sen(x + y + z) + z) sen(x + y + z) ] sen(x + y + z) - sen z + sen(x + y + z) que en el punto p queda como H(p) = [=~ -1 -2 =~ =~] -1 (x, y, z) Entonces la frmula de Taylor se ve como f ( ( ~, ~, ~) + (x, y, Z)) = f ( ~, ~, ~) + gradf ( ~, ~, ~ ) + ~[Xy ZlH(~,~, ~) [;] + r(x, y, z) o sea sen ( ~ + x) + sen ( ~ + Y) = 4+ = + sen -1 -2 ( ~ [x y zJ - [-2 -1 -1] [X] + z -1 -1 -2 -1 y. Z2 - ~ + z) - sen r(x, e; + x+ y + z) y, z) 4 - x2 l- xy - xz - yz + r(x, y, z) , 1 1m r(x, y, z) en donde (x.y.z)->(O.O.O) x2 + y2 + Z2 = O 3 52 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias variables Ejercicios (Captulo 4, Seccin 2) En los ejercicios 1-9, escriba la frmula de Taylor de segundo orden para la funcin dada, en un punto cualquiera x de su dominio, en la forma f(x + x) = f(x) + grad f(x) x + 1 "2XH(x)xl + r(x) Verifique en cada caso la propiedad del residuo ~~ IIxl1 2 = O 1. f(x, y) = , r(x) 5 2. f(x, y) = 5x 3. f(x, y) = 5x + 8y + 4 4. f(x, y) = lol + 7xy + 5i - 2 5. f(x, y) = 3xy 6. f(x, y) = 2x 2 7. f(x, y) = x 3 + y3 8. f(x, y, z) = 3x -- 2y + 15z - 23 9. f(x, y, z) = 2x 2 - 5 y2 + 3z 2 + xy - 6xz + 2yz + 1 10. Escriba la frmula de Taylor de segundo orden en un punto cualquiera p E ]Rn, para una funcin ,xn ) = aXj + a2X2 + .... + anXn + b . lineal f:]Rn -> JR, f(x, X2, 12. Escriba la frmula de Taylor de segundo orden en un punto cualquiera p = (XI, X2, la funcin ("cuadrtica") f:]Rn -> JR, f(xj, X2,' ... , x n ) = :7,j=1 a'jxxj 13. Constate que la frmula de Taylor de segundo orden de una funcin punto p = (x, y) E U, se puede escribir como f(x, y) ,.xn ) para -> f: U ~ ]R2 ]R en un = f(h, k)+grad f(h, k) (x-h, y-k)+ 2. [x-h y-k]H(h, k)[x-h y-kY +r(x-h, y-k) 1 donde el residuo r(x - h, Y - k) tiene la propiedad r(x - h, Y - k) =0 (x.y)~(h.k) II(x - h, y - k)11 2 , bm Vase la frmula anterior como una manera de "expander" la funcin f(x, y) como un polinomio en potencias (hasta segundo orden) de (x - h) Y (y - k) 42 La frmula de Taylor de segundo orden 353 14. Despus de verificar que una funcin polinomial del tipo I(x, y) = Ax 2 + Bl + Cxy + D tiene el residuo de la frmula de Taylor de segundo orden igual a cero, use el resultado del ejercicio anterior para escribir los polinomios en dos variables dados a continuacin en potencias de (x - h) Y (y - k), con h y k dados. a. b. C. 3x 2 5x x2 2 + 4y 2_ 8xy + 5, en potencias de (x -- 1) Y (y - lol + 14, en potencias de (x + 3) y (y - 3) 5) Y (y - 12) 2) + l, en potencias de (x - 15. Despus de verificar que una funcin polinomial del tipo f(x, y, z) = Ax2 + Bi + ez 2 + Dxy + Exz + Fl'z + G, tiene el residuo de la frmula de Taylor de segundo orden igual a cero, tome el resultado del ejercicio 13 para escribir los siguientes polinomios en 3 variables, en potencias de (x - a), (y - (3) y (z - y), con a, {3 y y dados. a. + l + Z2, en potencias de (x - 1), (y - 2) Y (z - 3) b. + 3y2 - 5z 2 + 3xl' + 3, en potencias de x, (y + 1), (z C. x2 - 2y2 + 4z 2 + Xl' + xz - yz + 1, en potencias de (x x2 2x 2 - 1) 1), (y + 1), Z 16. Justifique la frmula aproximada I(x, y) ;:::;: f(h, k) + grad f(h, k) . (x - h, y - k) 1 + 2: [x - h Y - k]H(h, k)[x - h y - k] 1 para valores de (h, k) cercanos a (x, y) Use este hecho para obtener la siguiente frmula aproximada para calcular x' con x y y cerca de 1 XV;:::;: xy - y + Calcule con esta frmula los valores aproximados de (098)095, (1.1027) 91. Compare con los valores exactos 17. Obtenga la frmula aproximada 1o o cos x ;:::;: 1 - - (x-- l'-) 2 cosy para valores de x y y cerca de cero 18. Obtenga la frmula aproximada cos(x + y) ;:::;: 1 - Xl' - -(x- 1 2 o + y-) o para valores pequeos de x y y. Utilice este hecho para justificar los siguientes lmites lm 1 - cos(x (x + y) (x.y)~(O,O) + y)2 1 2' (x, v)~(O,O) , 1 1m _l_-_co_s-.:.-C-_x-+-=y~) -_ O (x + y) 19. Sea 1: U <:;; 1Ft 2 -> 1Ft una funcin definida en el conjunto abierto U (conteniendo al origen) de 1Ft 2 , con derivadas parciales de segundo orden continuas en alguna bola B con centro en el 3 54 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias variables origen Demuestre que para (x, v) E U se tiene f(x, = f(O, ()) + -;-(0, O)x f!x (jf -- -;--(0. O)'. rJ\' . af . ( 2) -- -;-,-(0. O)n' c)xc!\ . + donde l (jl) 7 - -, (O, O)x' 2 (jx' + I a" f ' - -, (O, O)y 2 (jI' . + r(x, . v) (r \)~(OO) , bm r(x, y) -7--7 X" + y' =O f en el origen Esta es la frmula de Taylor de segundo orden para la funcin En cada uno de los ejercicios 20-26. obteng la frmula de Taylor de segundo orden de la funcin dada en el origen 20. f(x, y) 21. f(x, y) = x 3 + y3 = --l+x+y 2 22. f(x, y) = 23. 1 + x + yIn(1 - x) 7 f (x, y) = = = + In( 1- y) 24. f(x, y) 25. f(x, y) 26. f(x, y) = eX sen y eX cos y arctan(x 27. Considere la + y) funcin z f (x, Z3 y) que, en los alrededores del punto (1, 1, 1), est definida y3 Z implfcitamente por + 3x 2 y - +l - 3x - I =O Obtenga la frmula de Taylor de segundo orden de tal funcin en el punto (1, l, 1) Con esta frmula, d estimaciones aproximadas de f (1 1,09) Y f (O 912, 1087) (*) 28. Considere las funciones u (1, l, 1, 1), par = u(x, y), v = v(x, F(x, y) definidas implcitamente, alrededor del punto u 3 - y, l/, v) =x+y- v 3 2 =O G(x, y, u, v) = x - y + 2 v =O Obtenga las frmulas de Taylor de segundo orden de las funciones y ven el punto (1, 1) Use las frmulas obtenidas para calcular aproximadamente los valores de las funciones u = u(x, y), v = v(x, y) en los puntos (x, y) indicados a continuacin. Para comparar, se proporcionan los valores de estas funciones en tales puntos con una exactitud de 10- 9 Qu tan preciso es el clculo de tales valores con la frmula de Taylor a medida que nos alejamos del punto (1, I)? a. b. (x, y) (x, y) c. d. (x, y) (x, y) = (0,9,1.1) = (07, 13) = (05, 15) (Valores exactos u (Valores exactos u (Valores exactos = 1.0476133415, v = 09473614481) = 1 1300288142, v = 08227789016) = I 1970285668, v = 0.6579341834). = (03,1.7) (Valores exactos u = 12469796179, v = 0.3936472628) ------------- 4.3 Condiciones suficientes para la existencia de extremos locales 355 4.3 Condiciones suficientes para la existencia de extremos locales En esta seccin se estudiarn resultados generales que aseguran la existencia de extremos locales de funciones diferenciables f: U ~ IR" --> IR en sus puntos crticos. Esto se lograr con la ayuda de la frmula de Taylor ~e segundo orden estudiada en la seccin anterior. Suponga entonces que la funcin f: U ~ IR" --> IR definida en el conjunto abierto U de IR" tiene en E U un punto crtico, y que en ese punto satisface las hiptesis del teorema 4.2 I En tal caso el vector gradiente de f en x, constituido por las derivadas parciales de f en x, es igual a cero (al vector cero) y por lo tanto la frmula de Taylor en x se ve como x f(x + x)- f(x) = grad I(x) I x + "2XH(x)xl + r(x) I = -xH(x)x l + r(x) 2 ,' r(xl don de 1lmx~O jjXjf! = O Habamos visto, en la seccin 1, que el que la funcin f tenga o no un extremo local en x depende del comportamiento del signo de f(x + x) - f(x) para x en una bola B en IR" con centro en cero. Al ver la frmula anterior y al recordar que r(x) es un residuo "muy pequeo", parecera que el comportamiento de f(x + x) - f(x) est determinado por el de ~x H(x)x l , con x pequeo. De hecho as acune Es justamente la matriz hessiana H(x) la que tiene la informacin que necesitamos del signo de f(x + x) - f(x), con x pequeo. De modo ms preciso, se demostrar que si para x en una bola con centro en O (x -. O) se tiene que xH(x)x l > O (xH(x)x l < O), entonces la funcin f tendr un mnimo local (mximo local respectivamente) en el punto crtico Ahora es cuando usaremos algunos de los resultados estudiados en Algebra Lineal, que se recordaron en la seccin 8 del captulo 1, Y que, por consideracin al lector, enunciaremos aqu brevemente. Dada la matriz cuadrada A de orden n, se dice que A E IR es un valor propioie A si existe un vector x E IR", x -. O tal que Ax = Ax. Al vector x se le llama vector propio asociado a A. El conjunto de vectores x E IR" tales que Ax = Ax, unin con el vector cero, forman un espacio vectorial, subespacio de IR" , llamado espacio propio asociado a A Este espacio propio es el espacio solucin del sistema homogneo de ecuaciones lineales (A - Al)x = O Se sabe que A es un valor propio de A si y slo si es una raz del polinomio caracterstico de A, peA) = det(A - Al), el cual es un polinomio de grado n en A. De aqu se ve que una matriz A de orden n tiene no ms de n valores propios (reales). Si la matriz A = (aij).}=1.2. " es simtrica (es decir, a,] = CIji, i. j = 1,2, ,n) entonces A tiene todos sus valores propios reales Ms an, siendo A simtrica entonces es diagonalizable ortogonalmente, es decir, existe una matriz ortogonal P de orden n (es decir, P es inversible y p- I = Pi) que diagonaliza a A, o sea que pi A P = D, donde D es una matriz diagonal que tiene los valores propios de A en su diagonal principal La forma cuadrtica Q(x) = xAx l , que tiene asociada la matriz A (respecto de la base cannica de iR") se dice ser: a. b. definida positiva, si Q(x) definida negativa, si > O vx E IR", x -. O, Q(x) < O VX E IR", x -. O Se prueba fcilmente que la forma Q(x) = xAx l es definida positiva (definida negativa) si y slo si la matriz A tiene todos sus valores propios positivos (negativos, respectivamente Ver teorema I 9 1, 3.56 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias variables captulo 1, seccin 9). Este es un hecho que usaremos en la discusin que presentamos en esta seccin sobre extremos locales (en la demostracin del siguiente teorema) El resultado principal de esta seccin est contenido en el siguiente teorema. Teorema 4.3.1 (Condiciones suficientes para la existencia de extremos locales). Sea f: U t;;; lR n - 7 lR una funcin definida en el conjunto abierto U de lR n que tiene en x E U un punto critico.. Supongamos que en una bola B de lR n con centro en x las derivadas parciales de f de segundo orden son continuas. Sea H(x) la matriz hessiana de f en x Entonces a. Si la forma cuadrtica Q(x) = xH(x)x l es definida positiva, entonces f tiene un mnimo local en x b. Si la forma cuadrtica Q(x) local en x. = xH(x)x l es definida negativa, entonces f tiene un mximo Demostracin. Como ya se haba dicho, nuestro punto de partida es la frmula de Taylor de la funcin f en x (las hiptesis hechas sobre f en el teorema, garantizan que podemos usar tal frmula), la cual se ve, por ser x un punto crtico de f, como f(x + x) - f(x) = "2XH(x)xl + r(x) I donde lmx~o = O. Demostremos el inciso 3.. Tendremos que demostrar que existe un nmero o> O, radio de una bola B en IR n con centro en O, tal que f(x + x) - f(x) 2' O para toda x en B (o bien, tal que f(x) 2' f(x) para toda x E j(n con I!x - xii < o, lo cual dice que f tiene un mnimo local en x).. Sean , 2, . , k (k ::; n) los valores propios de la matriz H(x). Como sabemos, el que la forma Q(x) = xH(x)x l sea definida positiva es equivalente a que todos los nmeros l , 2,' k sean positivos Sea t un nmero positivo menor que todos los..\., Entonces los nmeros - t, i = 1,2, ,k siguen siendo nmeros positivos, los cuales son los valores propios de la matriz H(x) - tI (en efecto, si x es un vector propio asociado al valor propio ..\. de H(x), entonces (H(x) - tl)x = H(x)x - tx = x _. tx = (; - I)X, lo que muestra que I - 1 es un valor propio de la matriz H (x) - t1) De este modo, que la matriz !J (x) - 1/ tiene todos sus valores propios - 1 positivos Por lo tanto la forma cuadrtica Q/(x) = x(H(x) - II)x l es definida positiva, es decir, x(!J(x) - tl)x l > O para toda x E lR n , x i= O, de donde se obtiene que xH(x)x l > 1 x Xl = Illxli", 'Ix E lR n , x i= O Por otra parte como lmx_~o = O(y segn la definicin de lmite-ver captulo 2, seccin 3), W W dado el nmero t > O, se da o> O de modo que si O < I!xll < decir !,(x)1 < tllxll Z siempre que O < Ilxll < xH(x)x l > tllxll Z > !,(x)l, o bien que xH(x)x l Por ltimo, tenemos f(x o. - o entonces IWI < t; es Juntando toda la informacin, conclumos que Ir(x)! > O para toda x tal que O < Ilxl! < o + x) - f(x) = xH(x)x l + ,(x) > xH(x)x l - I,(x)! >O para toda x en una bola B con centro en O y radio o(x i= O) . Est9 es lo que queremos probar. El inciso b se deduce fcilmente del inciso a, aplicando el resultado probado a la funcin F = 2 - f. Puesto que uXeXj = - (IAjCA) , la matriz hessiana !J F(X) de la funcin F ser la negativa de la matriz /.F ,iJ )[ hessiana de la matriz !J (x) Sabemos que si ..\. es un valor propio de la matriz A entonces _. A es un valor pIOpio de la rnatriz- A (prueba: de Ax = Ax se sigue - Ax = - X). As pues la matriz 43 Condiciones suficientes para la existencia de extremos locales 357 HF(x) tiene todos sus valores propios positivos, y entonces, por el inciso 3, podemos concluir que F(x + x) - F(x) > Oo sea f(x + x)- f(x) < Opara toda x en una bola B. Esta es la conclusin a la que se quera llegar en este inciso.. Q.E.D Con las mismas ideas aplicadas en la demostracin anterior, es posible construir un argumento que pruebe que (en las mismas condiciones del teorema anterior) c. Si la matriz H(x) tiene (todos) sus valores propios positivos y negativos, entonces la funcin f tendr un punto de ensilladura en x. Dejamos como ejercicio para el lector la prueba de este hecho., El punto clave, entonces, para determinar la naturaleza de un punto crtico X, es la forma cuadrtica Q(x) = xH(x)x'. Ms an, el punto clave es la matriz hessiana H(x), pues en ella est contenida la informacin para concluir que la forma cuadrtica es definida positiva o definida negativa., Por ejemplo, investigando los valores propios de H(x) podemos concluir: 3. b. Si todos xH(x)x ' Si todos xH(x)x' los valores propios de H(x) son positivos, entonces (la forma cuadrtica Q(x) es definida positiva y) la funcin f tiene un mnimo local en x los valores propios de H(x) son negativos entonces (la forma cuadrtica Q(x) es definida negativa y) la funcin f tiene un mximo local en x. Hay otro criterio muy til que nos dice cundo la forma Q(x) = xH(x)x ' es definida positiva o definida negativa en trminos de los elementos de la matriz H(x), Dada una matriz cuadrada A = (a]) i, j = 1, ,n se consideran las submatrices angulares Ak> k = 1,2, ,n, definidas como Al = [all], al3 ] Q2] " Q33 Es decir, la matriz Ak est formada por los elementos de la matriz A que estn en su "ngulo superior izquierdo", incluyendo k lneas y k columnas de ella Se define 6. k = det Ak' Se tiene entonces que: la forma cuadrtica Q(x) = xH(x)x' es definida positiva (definida negativa) si y slo si todos los determinantes 6.}, 6. 2 , ' , ,,6.n = det A son nmeros positivos (los determinantes 6. k tienen signos alternados, 6. 1 < O, 6. 2 > O, ..... , respectivamente). Para una demostracin de este hecho vea [Pil], captulo 7, seccin 2, teorema 2.3 (pg . 623**) De esta manera tenemos el siguiente nuevo criterio: 3. Si todas las submatrices angulares de la matriz hessiana H(x) tienen determinantes positivos, entonces la funcin f tiene un mnimo local en x. Si las submatrices angulares de la matriz hessiana H(x) tienen determinantes de signo alternado (comenzando con un valor negativo, o sea fj (x) < O), entonces la funcin f tiene un mximo I local en x. Veamos algunos ejemplos b. Ejemplo 1. Sea f:]R2 -> JR la funcin dada por f(x, y) = 2(x - 1)2 + 3(y - 2)2 Los puntos criticas de f se obtienen de - af ax = 4(x - 1) = O - af ay = 6(y - 2) = O 3 58 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias variables sistema que tiene por solucin a x = 1, Y = 2 Entonces (1,2) es el nico punto crtico de la funcin La matriz hessiana de f es que en (1, 2) es ella misma. Se ve que los valores propios de esta matriz son 4 y 6 (ambos positivos) o bien, que los determinantes de las submatrices angulares son 4 y 24 (tambin ambos positivos) por lo que concluimos que la funcin f tiene en el punto (1, 2) un mnimo local (la grfica de la funcin 11 es un paraboloide elptico que tiene su vrtice en (1, 2) Yabre hacia arriba). Ejemplo 2. Consideremos la funcin f: IR 3 -> IR f(x, y, z) = sen x + sen y + sen z -- sen(x + y + z) = C' I' I) es un punto crtico de (ver ejemplo 2 de la seccin anterior) El punto p punto la matriz hessiana de f es l En ese -2 H(p) = - 1 [ -1 -1 =~ -1 ] -2 =:] -2 Los determinantes de las submatrices angulares son ~I = det[ -2] = -2, ~2 = det -2 [_ l = 3, Ll3 = det H(p) = --4 Puesto que son de signos alternados (con LlI < O), concluimos que la funcin f tiene en un mximo local. (Conclusin a la que se hubiera podido llegar viendo que el polinomio caracterstico H(p) es det(H(p) - Al) = _1.. 3 - 61.. 2 - 9,1. - 4 = -(A + 1)2(1.. + 4) y que por lo tanto los valores propios de H(p) son A = - l Y A = -4, ambos negativos). Este mximo local vale f ( ~) = 4 l!Ill (I' I' I) I' I' Ejemplo 3. Sea f: IR 4 - {(O, 0, 0, O)} -> IR dada por f(x, y, z, u) Los puntos crticos de = x + -- + - + - + x Z y Z y 11 l u f se obtienen de ------------------Este sistema se satisface para x en p = (1, 1, \, 1) 4.3 Condiciones suficientes para la existencia de extremos locales 359 y = z = u = l. Obtengamos la matriz hessiana de f Pf a2 j a2 j a2 f ax2 axay axaz axall a2 j a2 f a2 f a2 f ayax ci y 2 ayaz ayall p f a2 j a2 f a2 f azax azay az 2 azau a2 j a2 f a2 f a2 f auax auay auaz au 2 H(x, y, z, u) = 2y x3 1 O O x2 O O de modo que H(\'I,I,I)= O o 2 -1 [ ~ -1 2 -1 O -1 2 O -1 Las submatrices angulares de esta matriz tienen por determinantes ~I = det[2] = 2, ~2 = det [2 -1] = -1 2 3 , ~ del [~1 ~: ~1] ~ 2 ~~ = det [ t f 2 -1 O O -1 2 -1 O O -1 2 -1 -1 ] 2 ~ = 5 Como son positivos, concluimos entonces que la funcin f(l,I,I,I)=5 Ejemplo 4. Sea f: ~ ]R.3 -> tiene un mnimo local en p, que vale 11 lR la funcin dada por f(x,y,z)=e- x +e- V +z2 2? Las derivadas parciales de - f son = -2xe _x 2 af ax ' a - f = - 2 ye _v.. 2 , ay af az = 2z 3 60 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias variables de donde se ve que el nico punto critico es (O, 0, O). La matriz hessiana es a2 j a2 j ax 2 axay axaz a2 j a2 f a2 j H(x, y, z) = ayax ai ayaz p f p j a2 f azax azay [(4<' que en el origen se ve como -t'-; =[ ~ a2 f az 2' ~] -2 H(O, 0, O) Los valores propios de la matriz son Al = -2 Y A2 = 2, por lo que, segn la observacin hecha despus de la demostracin del teorema 4.3 . 1, la funcin / tiene un punto de ensilladura en el origen. x2 Advertimos que, en este caso, decir que la funcin f(x, y, z) = e- + e- i + Z2 tiene un punto de ensilladura en el origen nada tiene que ver con "la forma de la grfica de / cerca del origen". El nombre "punto de ensilladura" se usa por extensin para funciones de n variables, aunque est inspirado en el caso concreto n = 2 (en la grfica de f(x, y) = x 2 - / cerca del origen). Lo que x2 nos dice tal calificativo para el origen es que f(x, y, z) - /(0,0, O) = e- + e- i + Z2 - 2 tiene 3 con centro en el origen. De hecho, obsrvese signos positivos y negativos en cualquier bola B de IR que para cualquier " los puntos de la forma (r; r; O) son tales en los que f(x, y, z)- feO, 0, O) = r2 2e- - 2 < O, en tanto que para puntos de la forma (O, 0, r) se tiene f(x, y, z) - feo, 0, O) = 2 + ,2 _ 2 = r 2 > O. 111 En los criterios desaITollados en esta seccin nada se ha dicho del caso en que la matriz hessiana H(p), p un punto crtico de la funcin f, tenga algn valor propio igual a cero. Acontece que con este caso los criterios aqu estudiados no dicen nada acerca de la naturaleza del punto crtico p. Se podran establecer resultados para situaciones como sta usando la frmula de Taylor de orden 3 de la funcin f en p . Esto, por supuesto, resulta mucho ms complicado que lo aqu visto y no se expondr en el texto Veamos, sin embargo, un ejemplo conCreto que ilustra esta situacin. Ejemplo 5. Sea f: IR2 -+ IR la funcin dada por f(x, y) = ax2 + bl Tenemos af = 2ax, ax af = 4bl ay de donde se ve que el origen (O, O) es el nico punto critico de la funcin. La matriz hessiana es H(x, y) = a2 f 'ax 2 r.ayax af 2 12~l ] ------------que en el origen se ve como 43 Condiciones suficientes para la existencia de extremos locales 361 H(O, O) = [2; ~] Se tiene entonces que A = es un valor propio de la matriz H(O, O) Como dijimos nada se puede concluir en este caso de la naturaleza del punto crtico (O, O) para la funcin f.. De hecho, puede ocurTir cualquier cosa en ese punto: si a = b = 1, la funcin f(x, y) = x 2 + l tiene un mnimo local en (O, O), pues es claro que para una bola (cualquiera) de 1R2 de centro en (O, O) se tiene f(x, y) = x 2 + l ~ = feO. O), \t'(x. y) E B; si a = b = -1, la funcin f(x, y) = _x 2 - y4 tiene un mximo local en el origen, pues f(x. y) = _x 2 -l ::; = j{O, O), \t'(x, y) E B.. Si a = -1 Y h = 1, la funcin f(x, y) = _x 2 + l tiene un punto de ensilladura en el origen, pues en cualquier bola B de 1R2 con centro en el origen, digamos B = {(x. y) E JR2\X 2 + l < E 2 } se tiene puntos (T; O) Y (O. s) de modo que f(T; O) = ,2 < 0= feO. O) (con ,2 < E2 ) y feO, s) = 54 > = j(O, O) (con 52 < E2 ) 11 Ejercicios (Captulo 4, Seccin 3) En los ejercicios 1-5, suponga que la funcin f: U ~ 1R 2 ---t IR definida en el conjunto abierto U de 1R 2 , tiene en p = (xo, Yo) un punto critico, y tiene derivadas parciales de segundo orden continuas en un.a bola B con centro en p. Dada la matriz hessiana de f en p, determine (cuando concluya) si se trata de un mximo local, mnimo local o un punto de ensilladura 1. Hf(p) = [~ = [ ~2 = n ~] 2. Hf(p) 3. Hf(p) 4. [~ ~] Hf(p) = [~ ~] = _ -9 10 5. Hf(p) r 10 ] -16 En los ejercicios 6-10, suponga que la funcin f: U ~ 1R3 ---t IR definida en el conjunto abierto U de 1R 3 , tiene en p = (xo. Yo, la) un punto critico, y tiene derivadas parciales de segundo orden continuas en una bola B con centro en p. Dada la matriz hessiana de f en p, determine (cuando concluya) si se trata de un mximo local, nnimo local o un punto de ensilladura 6. Hf(p) ~ [i ~ [~ ~] 1 3 3 4 7, i1f(p) :] 362 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias variables 8. Hj(p) ~ ~ P 10 .5 3 -4 10 -4 7J 1 9. Hj(p) U ; -2 3 -2 O 2 5 01 O, l J 10. Hf(p) ~[ -2] -4 5 -4 11. D un ejemplo concreto de una funcin f: jR2 -; JR. Y un punto p = (xo, Yo), tal que p sea un punto crtico de f, y que la matriz hessiana de f en p sea la matriz del ejercicio: a. 1; b. 4 12. D un ejemplo concreto de una funcin f: JR.3 -; JR. Yun punto p = (xo. Yo, zo), tal que p sea un punto crtico de f, y que la matriz hessiana de f en p sea la matriz del ejercicio: a. 6; b. 9 13. Sea f: JR.2 -; JR. la funcin f(x, y) = ax 2 + Habiendo verificado que el origen es un punto crtico de f, clasifique todas las posibilidades que tiene este punto de ser extremo local o punto de ensilladura de f, en trminos de los coeficientes a y b. 14. Sea f: JR.3 -; JR. la funcin f(x, y, z) = ax 2 + + cz 2 Habiendo verificado que el origen es un punto crtico de f, clasifique todas las posibilidades que tiene este punto de ser extremo local o punto de ensilladura de f, en trminos de los coeficientes a, b y e En los ejercicios 15-25, la funcin f tiene un punto crtico en el origen, donde vale O Suponga que f tiene derivadas parciales de segundo orden continuas en una bola con centro en el origen Se da la frmula de Taylor de segundo orden de la funcin f en el punto crtico Determine en cada caso (cuando esto sea posible) la naturaleza del punto crtico p 15. f(x, y) 16. f(x, y) 17. f(x, y) 18. f(x, br. bi = 2x2 + sl- 3xy = x2 + i -3.x2 - t- r(x. y) y) = 3x 2 + 5i + xy + r(x, xy + r(x, y) y) = si + 2xy + r(x, y) 5i 19. f(x, y) = -3x 2 + 7xy + r(x, y) 20. f(x, y, z) = 17x2 + 14i + 14z 2 - 4xy - 4xz - Syz 3xz + r(x, y, z) 21. f(x, y, z) = -6x 2 - sl -- 7z 2 + 3xy + Z2 + r(x, y, z) + r(x, y, z) 22. f(x, y, z) = _x 2 - 2i - 3z 2 + r(x, y, z) 23. f(x, y, z) = x 2 - y2 24. f(x, y, z) = x 2 + 1 25. f(xl, X2. X3. X4) + Z2 + 2xy + 2xz + 2yz + r(x, y, z) = xf + x~ + x~ + x~ + r(xl, X2, X}. X4) ------------------ 43 Condiciones suficientes para la existencia de extremos locales 363 En los ejercicios 26-34, determine (si los hay) los extremos locales y/o puntos de ensilladura de las funciones dadas de dos variables. 26. f(x, y) = x 2 + 4y2 - 3xy +x+y - 1 27. f(x, y) = x 2 -y2 - xy 28. f(x, y) = 2x 2 29. f(x, y) + 2y2 + 12xy + 3.x + 4y - 2 = x 3 y 3 + 3x + 3y + 1 - 30. f(x. y) = x 3 i- 3x + 3y - 1 31. f(x. y) 32. f(x. y) 33. f(x, y) 34. f(x, y) = x -y2 - x2 + 5y - 2 = x In y +x = arctan(x 2) - arctan(y2) = ln( 1 + exp(-x 2) + exp( -y2)) 4 En los ejercicios 35-56, determine (si los hay) los extremos locales y/o puntos de ensilladura de las funciones dadas de tres variables . 35. f (x, y. z) = x 4 36. f(x, y. z) 37. f(x. y, z) + l + Z4 + 4x + 4y + 32z + 1 = -2x 4 -y4 - Z4 + 8x + 4y + 4z - 2 = x 4 + 2y4- Z4 + lOx + 12y + 9z 38. f(x, y, z) = ~x3 - x + 2 -l + 2y + l + 2y Z2 Z2 + 2z 1 39. f(x, y, z) = 3"x 3 + x + 2z + 3 40. f(x, y, z) = x 3 + 3x 2 41. f(x. y. z) 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 2y2 + 4y - 2z 2 + 6z + 2 = 2(x3 + x 2 ) + 3x + y2- 10y + z + 12 f(x. y, z) = 15x 3 + 6x 2 - x + 2y2 + y + 5z2 + 10z - 2 f(x, y. z) = x 3 + y2 + .xy + xz + yz + 4y + z - 3 f(x. y, z) = 2x 3 + 2 y2 + Z2 + 2xy + xz + yz + z - 1 f(x. y. z) = 2x 3 + 2 y2 + Z2 + 2xy + 3yz f(x. y, z) = x 2 + y2 + Z2 + xy + xz. + yz + x + y + z + 2 f(x. y, z) = -2x 2 -y2 - 3z 2 + xy + 2x + 2y + 3z f(x, y. z) = 2x 2 + 3y2 + 2z 2 + 2xy + xz + yz + 2x + 4y + 6z f(x, v. z) = 6x 2 + sy2 + 4z 2 + 3xy + 2xz + yz f(x, y. z) = x 2 + 2y2 + Z2 + 2xy + xz + 2yz + x + 2y + z + 2 - 51. f(x, y. z) = -x 2 52. j(x. \, z) = x 2 21 - Z2 - 2rv - xz - 2yz - x - 2y - z - 2 + 2y2 + 3z 2 + xy + 2xz + 3)z + x + 2y + 3z + 1 3 64 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias variables 53. f(x, y, z) 54. f(x, 55. f(x, 56. f(x, + xz + y y, z) -2x - 3i - Z2 +xy + yz + x + y + z + 2 y, z) = 10x2 -- (i + Z2 + xy + xz + yz + x + y + z + 1) y, z) = x 2 + 3i + 5z 2 + 7xy + 9xz + 11 yz + 13x + 15 y + = = _x 2 - i- Z2 2 112 + 19 57. Sea g: IR -> IR una funcin diferenciable. Suponga que g tiene solamente una raz en el punto Xo y que g' (xo) > O. Estudie la naturaleza de los puntos crticos de las siguientes funciones f: IR2 -> IR a. b. f(x, y) = f(x, y) J: g(t) dt = J~x g(t) dt c. d. f(x, y) = r- y g(t) dt f(x, y) = r~: g(t) dt 58. Sea g: IR .-t IR una funcin diferenciable. Suponga que la grfica de g cruza al eje x solamente en el origen de coordenadas . Estudie la naturaleza de los puntos criticas de la funcin f: IR 2 -> IR (x, y) = 1<-1 g(t)dt + 11 Y - g(t)dt en cada uno de los siguientes casos: a. g'(O) > O, b. g'(O) < g(t)dt 59. Sea g: IR -> IR una funcin diferenciable Suponga que esta funcin no tiene races. Determine la naturaleza de los puntos crticos de la funcin f: IR 2 -> IR <X __ 1)2 r(Y-.l g(t)dt f(x, y) = Jo en cada uno de los siguientes casos: a. g(O) + Jo g(O) > 0, b. X+Y < - .... 60. Sea g: IR -> IR una funcin diferenciab1e tal que g(1) = g(2)" Considere la funcin f: IR 2 IR (x, y) = f g(t)dt xy Demuestre que f tiene un punto critico en (1, 1). Estudie la naturaleza de este punto crtico en cada uno de los siguientes casos: a. b. g(1) = 0, g'(1) = 1, g'(2) = 2 g(l) = 3, g'(1) = 3, g'(2) = 4 61. Sea g: IR -> IR una funcin diferenciable. Suponga que la grfica de g pasa pOi el origen Demuestre que la funcin f: IR3 -> IR f(x, y, z) = Z2 + :x g(t)dt tiene un punto crtico en (O, 0, O) Determine la naturaleza de este punto crtico suponiendo que g' (O) =1= O. 4.4 Casos de dos variables. Ejemplos 365 62. Considere la funcin f(x. y) = In x In y, Compruebe que el punto (1, 1) es el nico punto critico de f y que el criterio desarrollado en esta seccin no permite determinar la naturaleza de este punto (como posible extremo local), D argumentos que muestren que, de hecho, la funcin f tiene en (1, 1) un punto de ensilladura. 63. Demuestre que la funcin f(xl. X2 .... , x n ) = (In XI )(ln X2) (l. 1" .." 1) el cual es un punto de ensilladura. (In x n ) tiene un punto critico en Los ejercicios 64-69. en los que se pide estudiar la naturaleza de los puntos crticos de lasfunciones indicadas. requieren la utilizacin de tcnicas numricas para localizar tales puntos, como el mtodo de Newton estudiado en la seccin 7 del captulo 3. 64. Determine la naturaleza de los puntos criticas de la funcin f(x, y) xy + 3x - 3y = x 4 + y4 - 3x3y - 2xy2 + 65. Determine la naturaleza de los puntos criticas de la funcin f(x, y) = In x In y - 0.25x - OAy., 66. Determine la naturaleza de los puntos criticas de la funcin f(x, y) = (1 +i) In cosh x + 2x 2 + 3y2- x - y + 1 (Ver ejercicio 3 de la seccin 7 del captulo 3, y ejercicio 45 de la seccin 1 de este captulo). 67. Determine la naturaleza de los puntos criticas de la funcin f(x, y) que se encuentran dentro del cuadrado [-3,3] x [-3,3].. = y sen(x+y)+xcos(x- y), 68. Encontrar 10 puntos criticas de la funcin f(x, y) = y In(2 + cos x) [1, 11] x [1, 11], Determine la naturaleza de estos puntos criticas, + x sen y, en el cuadrado + z) exp( x2 _ 69. Determine la naturaleza de los puntos criticas de la funcin f(x, y, z) = (x 3 + l l - Z2) - xy - xz - yz. 4.4 Casos de dos variables. Ejemplos En esta seccin slo vamos a particularizar en el (importante) caso n = 2 los resultados obtenidos en la seccin anterior y tambin presentar'emos algunos ejemplos "prcticos" en cuya solucin interviene la determinacin de extremos locales de funciones de dos variables., Teorema 4.4.1 (Criterio de la segunda derivada para la determinacin de extremos locales par'a funciones de dos variables)" Sea f: U ~ IR2 ---t IR una funcin definida en el conjunto abierto U de IR 2 tal que en una bola B con centro en el punto critico (xo. yo) E U sus derivadas parciales de segundo orden son continuas. Sea a. b. c. d. Si B2 Si B Si B2 Si B2 2 - < O y A > O. entonces la funcin f tiene un mnimo relativo en (xo, Yo). AC < Oy A < O, entonces la funcin f tiene un mximo relativo en (xo, Yo)' AC > O, entonces la funcin f tiene un punto de ensilladura en (xo, Yo). AC AC = O, no se puede afirmar nada acerca de la naturaleza del punto critico (xo, Yo) 11 3 66 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias variables Demostracin. En este caso la matriz hes si ana de f en (xo, Yo) es Los casos a y b se siguen fcilmente del criterio de los signos de los determinantes de las submatrices angulares de H(xo, Yo}. Sin embargo, presentamos un argumento con valores propios de H(xo, Yo) con el que tambin podemos demostrar e y d. El polinomio caracterstico de H(xo, Yo) es peA) = 1.. 2 - (A + C)A + AC - B2 Sabemos que Sean Al Y 1..2 las races de peA) (es decir, los valores propios de H(xo, Yo Si B 2 - A C < (caso a y b), entonces 1.. 11..2 > O por lo que AI Y 1.. 2 tienen el mismo signo . Tambin A y C deben tener el mismo signo (caso contrario se tendra B 2 - AC 2: O). Entonces, como Al + 1..2 = A + C concluimos que los signos de Al, 1..2, A YC deben ser iguales. Entonces, si A >0, se tiene que A1 Y1..2 deben ser positivos y por lo tanto (la matriz hessiana tiene sus dos valores propios positivos) existe un mnimo local en (xo, Yo). Esto prueba el inciso a. Del mismo modo, si A < 0, los dos valores propios de H(xo, Yo), Al Y 1.. 2, son negativos, y por lo tanto existe un mximo local en (xo, Yo) Esto prueba b . Si B 2 - AC > entonces 1.. 11..2 < O y as, los valores propios de H(xo, Yo) tienen signos distintos, de lo cual se concluye que existe un punto de ensilladura en (xo. Yo) Esto prueba c. Por ltimo, si B2 - AC = 0, se tiene 1.. 11..2 = O, de donde uno de los valores propios de H(xo, Yo) debe ser igual a cero, y, como ya se haba dicho en la seccin anterior, en este caso no se Q.ED puede concluir nada con este criterio Ejemplo 1. Considere la funcin f: IR 2 -> IR dada por f(x, y) Obtengamos sus puntos crticos = 2x4 + l - 4x 2 _. 2l - af ax = 8x 3 - 8x = = af ay = 4y 3 - 4y = (1, O), Se ve que existen 9 puntos crticos, a saber PI Ps = (1, 1), P6 = (l, -1), P7 (O, O), P2 (O, 1), P3 = (O, -1), P4 = (-1, O), PS = (--1, 1), P9 = (-1, - 1). Se tiene = _ . = 12 y2 -4 ay 2 . Pf La siguiente tabla resume los resultados a la luz del teorema anterior 44 Casos de dos variables. Ejemplos 367 Punto (xo, Yo) A = a-"(xo, Yo) X' a2 f 8 = --(xo, yo) Dxay a2 f C= -2 (Xo, Yo) a2 f ay 82 - AC Conclusin Mximo local f(O, O) = O Punto de ensilladura feO, 1) =-1 Punto de ensilladura f(O, -1) =-1 Punto de ensilladura f(1, O) = -2 Mnimo local f(l, 1) = -3 Mnimo local f(l,-l) = -3 Punto de ensilladura f(-I,O)=-2 Mnimo local f(-I, 1) =-3 Mnimo local I f(-l, -1) =-3 I (O, O) (O, 1) -8 -8 O O -4 +8 -32 +64 I (O, -1) -8 O +8 +64 (1. O) +16 O -4 +64 I (1, 1) i (1, -1) +16 +16 +16 O O O +8 +8 -4 -128 --128 +64 I I (-1. O) I I (-1. 1) I i I +16 +16 O O +8 +8 I I -128 -128 (-1. -1) I I I I I L lIIiII Ejemplo 2. Sea f: jR2 -+ 1Ft la funcin f(x, y) = (x 2 + y2)e-(I'+,2) Escribamos r = x 2 + i de modo que la funcin considerada se ve como f(r) = re- r , Obtengamos los puntos crticos de f - a= f, (r)f ar ax ax = (1 - r)e- r 2x = O - af ay = ., f (r)- = (1 - r)e r2y = O ar _ ay Estas ecuaciones se satisfacen con x = y = O, o bien con r = 1, Y la ltima condicin se satisface por todos los puntos del crculo unitario x 2 + i = I Tenemos as que esta funcin f posee una infinidad de puntos crticos Obtengamos las derivadas parciales de segundo orden de f -2 af ax 2 = 2- l - r e r -l + 4?( r x 2)] axay af 2 = 4xy(r _ 2)e- r , Para el punto crtico (O, O) se tiene r = O Y A a2 f = - o (O, O) ax = 2, B = -(0,0) a2 j axay = O, y entonces B2 - AC = -4 < O y A = 2 > O, por lo que la funcin f tiene un mnimo local en (O, O) que vale f (O, O) = O Por otra parte, para los puntos r = 1 se tiene a" A= - fI ax"lr=1 = - 8x 2 e -1, 3 68 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias variables de donde B2 - AC = 16x2 y2e- 2 _64X 2 y2 e -2 = -48x 2 y2e- 2 < y A = -8x 2 e- 1 < O. En realidad esta condicin se da si y slo si x =J O. Es decir, en los puntos (O, 1) no podremos concluir nada con este criterio . Sin embargo, aplicando un argumento de continuidad de la funcin f, incluimos tambin estos puntos en nuestras conclusiones. Resulta entonces que en todos los puntos en que r = x 2 + l = 1 existen mximos locales de la funcin f, que valen f(x, y)lr=1 = e- 1 Resulta que nuestra superficie f(x, y) = (x 2 + l)e-(x +/) es en realidad una superficie de x2 revolucin que se obtiene al girar alrededor del eje y la curva y = x 2 e- , la cual tiene el aspecto de la (figura 1). y 2 ~~-~ --'-- . -] '-----2 x2 -- .1.' Figur-a 1. Grfica de la funcin y = x 2 e- x Siendo entonces este el aspecto de la superficie z = (x 2 + y2)e-e +/) Figura 2. La superficie f(x, y) = (x 2 + /)e-e x2 +Y') Ejemplo 3. Sea f: ne - {O, O} -; IR la funcin f(x, y) = 2x - 3y + ~ In(x 2 + l) + 5 arctan ~ 4 .4 Casos de dos variables. Ejemplos 369 Investiguemos sus puntos crticos af ax = 2+ _x_ + 5 _1_ x 2 + y2 1+ ; 2 x (_1'..) = 2(x 2 x ~ x 2 + i) + x-s Y x 2 + y2 =o aj ay 1 = -3 +~. +5_-, (~) x + y2 1+ x 2 =-3(x + i) ~ y + 5 = x 2 + Y 2 o Resolviendo este sistema encontramos el nico punto crtico (1, 1).. Las derivadas parciales de 2 orden de f en (1, 1) son A a2 f 5 = - 2 (1,1) = -, ax 2 B = -(1, axay a2 j 1) = --, 2 1 af e = -(1,1) = ay2 2 -- 5 2 de donde B 2 - A e = (1, ]), el cual vale 1(1, Ejemplo 4. 1) = ! In 2 + 54 -!f > o y entonces, la funcin f tiene un punto de ensilladura en el punto 1T - 1 11 Consideremos la funcin z = f(x, y) dada implcitamente en la expresin F(x, y, z) = x 3 + i + Z3_ 3x- 3y + z+ 4 = O Queremos estudiar sus extremos locales Los puntos crticos se obtienen al resolver el sistema <1; = 0,'-)': =-c O Estas derivadas lils obtenemos con las frmulas establecidas en el teorema 3.4.2 (jt ( \' JF 2 az _ . ax _ 3x Jx - - aF - - 3;:2 +1 - - 3_O az aF ~~=_~=_3y--3=o d} aF 3z2 + ] az Vemos as que existen cuatro puntos criticas, PI = (l, 1), P2 = (l ,--1), P3 = (-1, 1), p~ Obtengamos las derivadas de segundo orden de la funcin z = f(x, y). - ? = (-1, -1) a- j 2 ".. a. ( ..3." 3) x- - 3z 2 + 1 2 (3z =- 2 + l)(6x) (3z2 (3x - 3) 6zax 2 (al) (al) dy ax 2 = ax aI a 3x - - - - ( - --2 axay . ay 3z +1 3) - 3;(2 - - (3z2 + 1)2 36 zaz . ay + 1)2 r,{ =a~ (-~~~~~) .. " (3;:- + 1)(6y) - (3 y 2 - 3) 6z--;:- =- (3z2+ 1)2 3 70 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias variables Investiguemos el punto PI = (1, 1) En este caso, el valor de z = j(1, 1) se obtiene de F(1, 1. z) = 0, o sea de Z3 + Z = O La nica raz (real) de esta ecuacin es z = O Entonces B = -(1,1,0) dXdY a2 f = O, C= 2 j ~2(1.1,0) a rJy =-6 Se tiene que B 2 - A C = -36 < Oy A = -6 < 0, por lo que concluimos que la funcin z = f (x, tiene un mximo local en PI = (1, 1) que vale z = O. Para el punto P2 = (1, -1), la z correspondiente se obtiene de F (1, - 1, z) = Z3 + z + 4 = O Sea 2 la (nica) raz real de esta ecuacin (i ~ -1 378797). Tenemos se tiene que B2 - AC = (3li~l)2 > O, por lo que la funcin z = f(x, y) tiene un punto de ensilladura en el punto P2 = (1, -1) que vale 2 ~ -1378797. Para el punto P3 = (-1, 1), la z correspondiente se obtiene de F(-l, 1, z) = Z3 + z + 4 = Este es el mismo valor de 2 = f( - 1, 1) ~ -1 378797. Tenemos A= - 2 (-1, ()x a2 f 1, z) = _ 6 -2-' 32 +1 B = --(-1, 1, z) = O a2 f _ a.xrly _ 6 C=-(-ll z)=--2+1 ay2 " 32 a2 j Se tiene que B2 - AC = (3i~W > O, por lo que tambin en el punto P3 = (-1, 1) la funcin z = f(x, y) tiene un punto de ensilladura, que vale 2 = -1378797 . Por ltimo, para el punto P4 = (- 1, - 1), la z correspondiente la obtenemos de F( - 1, - 1, = Z3 + z + 8 = O Sea z* la (nica) raz real de esta ecuacin (z* ~-183375) Tenemos n A= a2 f * 6 -a. (- 1, -1, z ) = -*3 2 1' x .z + B= a2 f axa/ -1, -1, z* ) = P f 6 O C=-=--ay2 3z* + 1 B? - A L = - (3z'+I)2 < O y A = 3z'+1 > O,por 1 que 1 f'unclon z = '( X, y, ' ~ 36 6 ., \ tIene un o a l1li mnimo local en el punto P4 = (-1, -1) que vale z' = f( -1, -1) ~ -1.83375. ~. ~e tIene Ejemplo S. Se quiere construir una caja rectangular abierta cuyo volumen sea de 100 cm 3 . Nos preguntamos por las dimensiones de la caja, con cuyo volumen tenga la menor superficie posible (figura 3).. Sean x, y, z las dimensiones de la caja, como se muestra en la figura Su superficie lateral es 2xz + 2yz +xy. Se quiere entonces determinar el mnimo de la superficie g(x, y, z) = 2xz + 2yz +.xy cuando x, y, Z satisfacen la relacin xyz = 100 Esta relacin la incorporamos a la funcin g y obtenemos, por ejemplo, la funcin f(x, y) =- 200 x + -- + Xl' 200 y 44 Casos de dos variables. Ejemplos 371 / / / / y ~--x Figura 3. La caja del ejemplo 5 que describe exactamente la situacin de nuestro problema: nos da el valor de la superficie lateral de la caja de capacidad 100 cm 3 en trminos de las dimensiones de la base (la altura queda determinada por z = I~). Obtengamos el punto crtico de f - = --+y=O, 2 ax De aqu se obtiene el nico punto crtico (~,~) El mismo contexto del problema nos dice que este punto crtico debe ser el mnimo que estamos procurando Sin embargo, podemos verificarlo con el criterio estudiado en esta seccin . Tenemos 400 X aj 200 x 3' 400 y3 de donde, en el punto (~, ~) se obtienen los valores A = 2, B = 1, C = 2.. As, pues, B 2 - AC = -3 < O, y A = 2 > O, por lo que, en efecto, se tiene un mnimo para la funcin f en x = ~, .y = ~ . La altura de la caja debe ser z = (v 200) 2 = ,y2S . Concluimos entonces que j~ la caja de dimensiones x = y = ~ con z = ,y2S, tiene por volumen 100 cm 3 y por superficie, la mnima posible f (~, ~, ,y2S) = 3(200)2/3 cm 2 lA Ejemplo 6. Consideremos el plano x + y + z = 3 Y el punto p = (2,3, 1) (que no se encuentra sobre el plano). Queremos calcular la distancia ms corta que existe entre el punto p y los puntos del plano. A esta distancia se le llama "distancia del punto p al plano" . Sabemos que la distancia de p al punto (x, y, z) viene dada por d = V(x - 2)2 + (y - 3)2 + (z - 1)2 Al incorporar la condicin de que el punto (x, y, z) debe ser un punto del plano x queda la funcin f(x, y) = V(x - 2)2 + (y - 3)2 + (3 - x - y - 1)2 = V(x - 2)2 + y + z = 3, nos + (y - 3)2 + (2 - x - y)2 Esta es la funcin que necesitamos estudiar en nuestro problema; ella nos da el valor de la distancia del punto (x, y, z) en el plano x + y + z = 3 al punto p = (2,3, 1) Queremos obtener el mnimo de esta funcin 3 72 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias variables Los puntos crticos los obtenemos de aj 2(x - 2) - 2(2 - x 2j(x - 2)2 2j(x - 2)2 y) ax aj + (y -3)2 + (2 + (y 3)2 x - y)2 y)2 =0 =0 2(y - 3) -- 2(2 - x - y) ay + (2 -x - Es decir, del sistema 2x + y = 4, x + 2y = 5, el cual tiene la nica solucin x = 1, Y = 2 Por las condiciones del problema, es claro que este punto crtico es un mnimo para la funcin j, el cual adems de ser un mnimo local, es de hecho un mnimo global para la funcin (es decir, en este punto la funcin f toma el valor menor que puede tomar en todos los puntos de su dominio) Sin embargo, podemos convencemos de esta situacin calculando las derivadas parciales de segundo orden de f en O, 2); se obtiene que A = B = ~, C = de donde B 2 - AC = -1 < O y A = > o, lo que confirma nuestra afirmacin . Tenemos pues que el punto del plano x + y + z = 3 que est ms cerca de p conesponde a x = 1, Y = 2, z = 3 _. 1 _. 2 = O. La distancia ms corta es entonces, 1, 1, 1 d = f(l, 2) = J3 hecho que se confirma con la conocida frmula de geometra analtica que establece que la distancia entre el punto p = (xo, Yo, Zo) y el plano Ax + By + Cz = D la dada d= IAxo+BYo+Czo-Di J A2 + B2 + C2 frmula que se puede obtener siguiendo el mismo procedimiento que presentamos en este ejemplo (ver tambin ejemplo 4 de la prxima seccin) 11 Apndice El mtodo de mnimos cuadrados En este apndice expondremos el importante mtodo de mnimos cuadrados, que se aplica para ajustar rectas (en general, la idea del mtodo permite ajustar tambin otro tipo de curvas) a una serie de datos presentagos como puntos del plano. Supongamos que se tienen los siguientes datos para las variables x y y Esta situacin se puede presentar en estudios experimentales, donde se estudia la variacin de cierta magnitud x (por ejemplo, temperatura, etc.) en funcin de otra magnitud y. De manera terica, se espera que la relacin entre estas variables sea lineal, es decir, que haya una expresin del tipo y = mx + b que las relacione. El problema es determinar los valores de m y b que determinaron esta funcionalidad lineal entre x y y Si las mediciones hechas para x y y fueron exactas, todos los datos (Xi, Yi), i = 1, 2,.. ,n obtenidos representaran puntos del plano colocados (todos ellos) sobre una misma lnea recta y, de hecho, bastaran dos de ellos para determinar la pendiente m y la ordenada al origen b ele la recta 44 Casos de dos variables Ejemplos 373 que determina la relacin funcional entre estas variables Sin embargo, en la prctica, resulta muy poco probable que esto OCUlTa. Ciertamente, al colocar todos los puntos (x;, y), i = 1, 2, , n en el plano veramos que estn distribuidos "en los alrededores de alguna recta", la cual se podra trazar sencillamente con una regla, "al tanteo", tratando de que todos quedaran lo "ms cercanos posible" a la recta . El mtodo de mnimos cuadrados nos proporciona un criterio con el cual podremos obtener la mejor recta que representa a los puntos dados . Digamos que y = mx + b es esa recta Como dijimos, seria deseable que se tuviera y = mx + b para todos los puntos (x;, y) de i = 1, 2,. , n. Sin embargo, como, en general, y -:. mx + b, se pide que la suma de los cuadrados de las diferencias (las desviaciones) y -- (mx + b) sea la menor posible. Es decir, se pide que s= (Yl - (mxl n + b2 + (Y2 - (mx2 + b2 + = L(y - (mx; i=1 + b2 sea lo ms pequea posible. Los valores de m y b que cumplan con esta propiedad, determinan la recta y = mx + b que mejor representa el comportamiento lineal de los puntos (Xi, y) y y = mx (X" Y,) Y, - (mx +b + b) {. X Figura 4. Una recta ajustada Consideremos entonces la funcin f de las variables m y b dada por n f(m, b) = L(Yi - (m x; =1 + b))2 los puntos crticos de esta funcin se obtienen al resolver el sistema af am n n = L ;=1 2(y - mx; - b)( -Xi) = -2 LX;(Yi - mXi - b) i=1 =O af n i=1 n ab = L 2 (y; - mx; - b)(-l) = -2 L.(y; - mx - b) i=1 =O 3 74 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias variables De la segunda ecuacin obtenemos i=! 11 Yi - m i=! 11 x, - i=! 11 b = ) de donde b= 1 L."i=1 I LI amemos X = ;; "'11 Xi, Y = ;; respectivamente. Entonces ",11 n 1 11 Y, - m (1 11 i=1 n XI i=1 L."i=! " ' Y" E stas son las me d'las antmetlcas d e los va lores b X, y y" =y - m.x Sustituyendo en la ecuacin ~~ = 0, nos queda que i=1 11 X,(Yi - mXi - (y - m.x)) = de donde se obtiene En resumen, la funcin f(m, b) = ~=I (Yi - mx , _. b)2 tiene un (nico) punto crtico para m ~=I x,(y - y) ="'11 _ , b= L."i=1 Xi(Xi- x) Y - m.x Debe ser claro, por el contexto del problema, que en este punto crtico se tiene un mnimo local para la funcin l, el cual, de hecho, es un mnimo global de f Sin embargo, para liquidar cualquier brizna de escepticismo en el lector, comprobaremos que, efectivamente, se tiene un mnimo, usando el criterio con las segundas derivadas parciales de la funcin f Se tiene A = am 2 = -2 ;2f 11 2 -Xi =2 ".2 Xi i=1 i=1 a2 f B = amab C = -2 i=1 11 11 -Xi = 2 i=1 11 Xi a2 f =- = ab2 B2 - -2 ~(-1) = 2n L-t i=1 Se ve que A > O, Resta verificar que 11 AC < 0, o sea que 11 ) ( 2 ~ Xi )2 (2 ~ x; - (2n) < 4.4 Casos de dos variables Ejemplos 375 Esta desigualdad es equivalente a (Xl, Xl, la cual no es ms que la desigualdad de Cauchy-Schwarz aplicada a los vectores (1, 1,.. ,1) Y ,xn ) de]Rn [Recuerde: si y == (YI, Yl, . . , Yn), x == (Xl, Xl,. ,Xn ) son dos vectores en ]Rn, entonces se tiene que Ix yl S; Ilxllllyll, donde x .y representa el producto punto de los vectores x y y, y Ilxll == j>X2 Esta desigualdad es una igualdad si y slo si los vectores x y y son linealmente dependientes (ver ejercicio 2 de la seccin 2, captulo 1)] En nuestro caso, poniendo y == (1,1, .. ,1), que es linealmente independiente de x == (Xl, Xl,. ,Xn ) (POI' qu?) obtenemos II: Xii S; A > O, lo cual nos dice que la funcin f posee un mnimo local en el punto crtico estudiado. En resumen, la mejor recta (en el sentido de los mnimos cuadrados) que describe el comportamiento lineal de los puntos (x" y,), i == 1,2, ,n es la recta y == mx + b, donde I:~-l x,(y, - VD JI: X, o sea (I: x,)l < n x, como se quera). As pues, B l - AC < O y m == .9) _, ",n b ==y - mi L..,,=1 Xi(X, - x) Veamos un ejemplo. Se obtuvieron experimentalmente los siguientes valores de las variables x y y, los cuales se sabe que guardan entre s una relacin lineal x y 40 0.1 Veamos cul es la mejor recta que ajusta estos datos, segn el mtodo de mnimos cuadrados Tenemos i == 1+2+3+4 4 - = 25 .Y -= 14+11+07+01 =0825 4 Aplicando la frmula obtenida para m y b se obtiene m= I:~-l x,(y, I:~=I Xi(X, .9) -y) 1(1 4 - 0825) + 2(1 l - 0825) + 3(07 - 0825) + 4(0 l - 0825) 1(1 - 25) + 2(2 - 25) + 3(3 - 25) + 4(4 - 25) -215 = - - == -043 5 b = Y - mx == 0825 - (-043)(25) = L9 Entonces, la recta y = -OA3x tabla siguiente + L9 es la que mejor ajusta a los datos proporcionados Vase la 3 76 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias variables x 1 y y calculada con y=-O 43x+19 Desviacin -007 0 . 06 0 . 09 -0.08 2 3 4 lA 11 0.7 0.1 147 104 0.61 O18 0.,09 - 0,08 La suma de las diferencias de la y real con la y predicha por la ecuacin obtenida es -0 . 07 + 0.06 + = O. Es decir, nuestra recta efectivamente compensa los puntos que quedaron por encima de ella con los puntos que quedaron por debajo. Grficamente esto se ve como y L6 r----,--,-----,------,----,-------,---.,-------, lA 12 08 06 04 02 O O 05 1 15 2 2.5 3 x 35 4 4.5 5 Figura 5. La mejor recta que ajusta los datos del ejemplo Ejercicios (Captulo 4, Seccin 4) En los ejercicios 1-27 determine la naturaleza de los puntos crticos de las funciones dadas (si los hay). 1. f(x, y) = 2x 2 2. f(x, y) + 3y2 + xy - 5x + 6y _. 1 27 = xy + x + y + 2 3. f(x, y) = x i + 2x + 2y + 1 4. f(x, y) = x 3 5. f(x, y) = x 6. f(x, y) 7. f(x, y) 4 + l- 3x - 3y - 2 + 3y 3 - 2x2 - 3y - 1 = xy(1 - x - y) = x exp( _x 2 y2) 4.4 Casos de dos variables. Ejemplos 377 8. f(x, y) = y exp( _x 2 - i) 9. f(x,y)=xlny 10. f(x, y) = xlny -- x 11. f(x,y)=3ylnx-4x+2 12. f(x,y)=(i-l)lnx-x 13. f(x, y) = In(1 + x 2 + i) 14. f(x, y) = yarctanx - 2x - y 15. f(x, y) = cosh x 16. f(x, y) = +1 + cosh y cos x + cos y +- + x x y y 17. f(x, y) = sen x cos y 18. f(x, y) = x 19. f(x, y) =x + ~ - osi 2 - 20. f(x, y) = (x 1) exp( - i ) 21. f(x, y) = (x 2 l)exp(-y) - y 22. f(x, y) = arctan(x 2 ) 23. {(x, y) + arctanCl) 1 2 cos x 24. f(x, y) = sech x + sech y = - h - + 1- y 25. f(x, y) = In(1 26. f(x, y) (*) 27. {x, y) = In(1 + Vi + x 2 + y2) + exp( _x 2 - i)) = (ln(1 + exp(-x 2 ) + exp(-i)))-l En cada uno de los ejercicios 28-36 se dan funciones z = f(x, y) en forma implcita. Determine la naturaleza de sus puntos crticos 28. _x 2 + 2i + 3z2 + 4xy + 5xz + 6yz + 7x + 8y + 9z + 115/2 = O 29. -2x 2 +2z 2 +3xy+xz+yz-13/9=0 30. 3x 2 31. 32. 33. 34. 35. 36. + 21 + Z2 + 3xy + 2xz - yz + x + y + 2 = O 2x 2 + 2y2 + Z2 + xz. + 2yz + x + 2y + 3z = O 11x 2 + 9i + 7z 2 + 5xy + 3xz + yz - 530 = O 3x 2 + 4y2 + 5z 2 + xz + 2yz + 3x + 4y + 5z + 7/4 = O -4x 2 -l- 3z 2 + 3yz + 3y + 6z - 36 = O _x 2 + 2z 2 - xy + xz + x + 2y + z = O 2x2 - l - Z2 - 3xy + 2xz + yz + x + y + z + 220 = O 3 78 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias variables 37. Sean g, h: IR -> IR dos funciones diferenciables dos veces . Suponga que g tiene solamente un extremo local en Xa, el cual es un mnimo que vale g(xo) = a, y que h tiene tambin solamente un extremo local en XI, el cual es un mnimo que vale h(x]) = b. Suponga adems que las segundas derivadas de g y h son no nulas en sus puntos crticos, y que las grficas de estas funciones no cruzan al eje x Determine la naturaleza de los puntos crticos de las siguientes funciones f: IR 2 -> IR. a. b. f(x, y) = g(x) + h(y) b2. a > 0, b < < 0, b > 0, b4. a < 0, b < = (g(x))2 + (h(y))2, en los siguientes casos: f(x, y) = g(x)h(y), en los siguientes casos: bl. bl. a > 0, b > 0, a e. f(x, y) el. e2. e3. g y h son funciones positivas . g es positiva y h es negativa. g es negativa y h es positiva e4. g y h son negativas . 38. Determine la naturaleza de los puntos crticos de la funcin f (x, y) = (x 2 + 1)2 + (l - y + 1P = (x 2 + 1)2 + (-e- \ 2 3)2 (Concilie con el resultado del inciso c 1) del ejercicio anterior). 39. Determine la naturaleza de los puntos crticos de la funcin f(x, y) (Concilie con el resultado del inciso c2) del ejercicio anterior) Los ejercicios 40--46 seccin. le refieren al mtodo de mnimos cuadrados estudiado en el apndice de esta En cada uno de los ejercicios 40-42, obtenga la mejor recta, segn el criterio de mnimos cuadrados, que ajusta los datos ah presentados. En cada caso, compare el valor de la variable y, correspondiente a cada valor de x dado, con el obtenido por la recta calculada. 40. 41. xJ 1 I 2 I 2.5 L29~ I 4 I 5.7 Yl 0.9 2.11 2.66 T92l 4 5.5 ;(_l----.. O~ 0.67 I 1.89 I ?33 ~_4~~1 ~41 8 . 78 26.5 0.91 4.50 911Till-- 9 . 62 I 42. 4-=-~ 1 0+~-=-3-:;-:33:-+---:-::-::--+---::-::c-.,----j yI -11 13 7.99T 43. En determinadas condiciones, se puede considerar que la reaccin de oxidacin de tiourea por hexacano feHato (III) en medio alcalino es una reaccin de primer orden, para la cual se cumple que donde C es la concentracin molar de hexaciano a un tiempo t, Ca es la concentracin inicial de este reactivo (concentracin al tiempo t = O). Y k es la llamada constante de velocidad 44 Casos de dos variables. Ejemplos 379 de reaccin, parmetro cuyo conocimiento reporta una gran cantidad de informacin sobre la misma . Obsrvese que la expresin anterior se puede escribir como In C = In Ca - kt 44. (Regresin lineal en tres variables). Supongamos que se tienen n datos de 3 variables x, y, Z, a saber (x" y" z,), i = 1,2, ., n, de las cuales se sabe que deben guardar una relacin lineal del tipo z = Ax + By + c.. Se quieren determinar entonces los coeficientes A, By C que hacen que los valores de z calculados como z = Ax + By + C, ajusten lo mejor posible (en el sentido de los mnimos cuadrados) los datos proporcionados Desde el punto de vista geomtrico, se trata de determinar el plano z = Ax + By + C que mejor ajuste los n puntos dados (x" y, z) E IP:. 3, i = 1, 2,., n Tomando entonces la suma de los cuadrados de las diferencias de z con Ax, + By + C = valor de z en (Xl' y) segn el plano que se quiere determinar, se trata de hallar los valores de A, B Y C que hagan que esta suma sea la menor posible Es decir, se trata de hallar los valores de A, B YC que hagan que S = S(A, B, C) = I: (z j=1 n (AXi + BYi + C))2 = 0, ~~ sea mInlma. Demuestre que, resolviendo el sistema ~~ = 0, ~~ nico punto crtico, A, B, C, donde C= y A Y B son las soluciones del sistema 0X - = 0, se obtiene, como z - AI - By "'\""' 2 nx --2 [ "'\""'xv-nxy ~l.,l .. 3 80 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias variables (x, y, son las medias aritmticas de los valores dados Xi, Yi, Zi, i = 1,2. .n, las sumas son de i = I a i = 11) Es claro que este punto crtico debe tratarse de lIn mnimo para la funcin SeA, B, C) (por qu?). Tome este resultado como base para obtener el mejor ajuste lineal del tipo z = Ax + By + e para cada uno de los siguientes conjuntos de datos X z a. Y z b. X O 0.1 11 0.8 -0.5 I 3 13 4. 2 2. 1 -1 1 -03 3.2 -2.7 -2 2 2 -0.4 3.5 -3.5 3 I 2.5 18 0.5 2 Y z c. . 18 2 d. ~ Y -O . I lA 53 -042 -0.2 0. 8 1.5 32 O 2 .5 23 L7 2 1 -OA O O -16 235 O 3 8.05 z. -O .2 X Y 04 -1 z e. -4.5 lJ 11 09 :z.-~+--:~::-:::-+I _---;~::_A-+---~;_:.5:_+_~ 09 O -4.7---=-ffl 1 45. (Ajuste cuadrtico) Supongamos un conjunto de datos de las variables X, y, a saber (x,. y,), i = 1,2, , n, las cuales se sabe que guardan una relacin cuadrtica del tipo y = ax 2 + hx + ( Se trata de determinar los coeficientes a, b, e que mejor ajustan (segn el criterio de los mnimos cuadrados) tal relacin cuadrtica Desde el punto de vista geomtrico, se trata de determinar la parbola y = ax 2 + hx + e, que mejor ajusta al conjunto de los 11 puntos del plano (x,. y,). Demuestre que este problema se puede reducir al considerado en el ejercicio anterior, calculando la funcin lineal z = Ax + By + C, que mejor ajusta el comportamiento lineal de las variables x, y (= x 2 ), Z = la ordenada de la parbola por determinar Tome esta idea para obtener la parbola que mejor ajusta cada uno de los siguientes conjuntos de datos a. ~ y I l 39 O I -1 6 TU I L~.L}J 9.1TJ8l 6.1 b.~J c. y[ - Ll O 4. 1 I -1195-1 -1 ~ 2 -2 --27 8.95 :JI y 15 L7 I - 7.9 I i 2 2 .2 1~59 L=2..:.UI 46. (Regresin lineal en N + 1 variables). Supongamos un conjunto de m datos de las 11 variables XI, X2, . ,X", y, digamos (Xl i .X2.' .. ,X""Yi) i = 1, 2 .... ,m, las cuales se sabe que deben guardar una relacin del tipo y = A I XI + A2x2 + . + A"x" + B. Se trata de determinar los coeficientes A, y B que mejor ajustan esta relacin (segn el criterio de los mnimos cuadrados) con los datos presentados . Tomando entonces la funcin S = SeA l .... , A", B) = suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores Yi dados y los valores (Alxl, +.. + A"x", + B), es decir m s = S(A} .... A", B) = L(Yi i=l (AIXI, + + A"x", + ) B)- 4.5 Extremos condicionados 381 se trata de determinar los valores de A l. .. A n B que hagan que S sea mnima . Demuestre que . as as . ., e I sistema aA, = O aH = O = I,2 . n, tiene por so IuClon a ,1 . donde Al, . A n son las soluciones del sistema M x = N, siendo x t -- mxf XI,X2 i -'- mh X2 XliXni - mxx n M= [ Xl i X2, - mXIX2 x~, - mx~ X2iXni - mX2Xn Xn,XI, - mXlXn Xn,X2, - mX2Xn x = [~: 1' .A n 3.1 XI,Yi - m.XIY X2iYi- m,'(2Y N= (las sumas son de i = I a i = m, XI, ,'(2. ., xn.y, que son las medias aritmticas de los valores conespondientes de estas variables) Siga estas ideas para obtener la mejor aproximacin lineal del tipo y = Ax + + Anxn + B, para cada uno de los siguientes conjuntos de datos. a. ~ X2 X3 2 1 Y O 4 -0.5 2. 6 17 1.3 2A 4..2 -2 3..2 lA 2.5 67 -3A 5.1 7.5 -5 . 1 4..2 4.8 39 5. 9 7.7 9 67 1.6 56 66 8A 10.1 b. Xl X2 X3 X4 1 2 3 4 3.7 4.9 O 3.7 5..2 6.7 2.5 Y -09 12 4.5 Extremos condicionados Hay un tipo especial de problemas en relacin a encontrar los valores maxmo y mnimo de una funcin de varias variables, muy importante por sus aplicaciones, que tiene que ver con un planteamiento como el siguiente: supongamos que queremos encontrar los extremos de la funcin z = f(x. y), cuando las variables X, y varan en un conjunto determinado de puntos en el plano como podria ser una curva . Es decir, nos interesa obtener cul es el valor ms grande y ms pequeo (localmente) de la funcin z = f(x, y), y en qu puntos se tienen estos valores cuando (x. y) se mueve sobre una curva presentada previamente, digamos que por una ecuacin del tipo g(x. y) = O La diferencia entre este planteamiento del problema de extremos de la funcin z = f(x. y) con el expuesto en la seccin anterior para extremos locales, es que en estos ltimos las variables x, y se movan en todo el dominio funcin f, y se procuraban los puntos (x, y) para los que el valor f(,'(,)') 3 82 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias variables z Zmax Zmin +---z = f(x, y) x ~ --.. y g(x, y) = O Figura 1. Valor mnimo y mximo de z = f(x, y) con (x, y) variand en la curva e fuera el mayor o menor de los valores de f(x, y) con (x, y) variando en una bola con centro en (x, ji). La novedad ahora es que procuramos los puntos (x, y) para los que el valor f (x, Y) es el mayor o menor de los valores de f(x, y), con (x, y) variando en una curva dada g(x, y) = Grficamente (figura 1) Tomemos el siguiente ejemplo concreto que nos servir para entender el planteamiento y la propuesta de solucin para este tipo de problemas en general. Damos la curva en el plano (x- 3) 2 1 + 4(Y - 4) 2 = 1 o bien g(x, y) = 4x 2 + y2- 24x - 8y + 48 = Esta es una elipse con centro en el punto (3,4), semiejes 1 y 2,'y eje mayor paralelo al eje y. Queremos encontrar qu punto de esta elipse se encuentra ms cercano al origen y qu punto se encuentra ms alejado de L Para un punto (x, y) en el plano, 2 + y2. Podemos pensar entonces en la "funcin distancia del la distancia entre l y el origen es 2 +Y2. Esta es una funcin de las variables x, y, de la punto (x, y) al (O, O)", dada por f(x, y) = cual nos interesa obtener el mximo y el mnimo, cuando x, y se mueven sobre la elip.\e g(x, y) = Grficamente (figura 2) Diremos entonces que queremos encontrar el mximo y el mnimo de la funcin z = f(x, y) = /x 2 + y2 sujeta a la restricin g(x, y) = 4x 2 + y2- 24x - 8y + 48 = O. Estos valores extremos de la funcin z = f(x, y) se llaman, en general, extremos condicionados Por supuesto que una manera de resolver nuestro ejemplo es despejar, de g(x, y) = 0, la variable .Y en trminos de la variable x, obteniendo as una funcin del tipo y = rp(x), y sustituir sta en la funcin z = f(x, y), convirtiendo as el problema inicial al de la determinacin de extremos de la funcin z = f(x, rp(x, la cual depende de la nica variable x" En general este procedimiento queda supeditado a que efectivamente se pueda hacer el despeje mencionado. En este momento nuestro objetivo es investigar cmo atacar el problema sin esta limitante. Fijemos nuestra atencin en las curvas de nivel de la funcin f; es decir, las curvas f(x, y) = C. Estas son los crculos x 2 + y2 = e, que tienen su centro en el origen .Y radio C. Sea (x, ji) el 2 +y2 punto en donde se alcanza el mnimo buscado (el cual obviamente existe) y sea (; = 2 + y2 = (; Esta curva debe ser tangente a Observemos con detenimiento la curva de nivel /x la elipse g(x, y) = en el punto (x, y). En cierto sentido la funcin de la recta tangente comn vlx 0 vi /x 4.5 Extremos condicionados 383 y 4 (x, y) 3 .x Figura 2. La elipse del ejemplo es marcar la separacin del punto (x, y) con los dems puntos de la elipse que se encuentran ms alejados del origen que (x, y) (que es el ms cercano al origen) (figura 3), Sabemos que el vector grad f(x,Y) es un vector perpendicular a la curva de nivel que pasa por (x, )i) Entonces ste es un vector perpendicular al crculo x 2 + i = 2 en el punto (x,y), Por otra parte, la elipse g(x, y) = O la podemos ver como una curva de nivel (correspondiente al nivel cero) de la funcin z = g(x, y)" Entonces el vector grad g(x,y) debe ser perpendicular a tal curva en (x, y) En resumen: grad f(x, ji) es perpendicular a f(x, y) = en (x, y); grad g(x,y) es perpendicular a g(x, y) = O en (x, y); las curvas (x, y) = y g(x, y) = O son tangentes en (x, y), Conclusin: grad (x, ji) y grad g(x, ji) son vectores colineales Un r.azonamiento anlogo se aplica para el punto (x*, y*) en el que se alcanza el mximo, e e e g(x, y) = O --+"----'--+-~---x f(x, y) = x2 + y2 = e -------" Figura 3. La recta tangente a la elipse y la curva de nivel 3 84 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias variables y y* gradf(x*, y*) gradg(x*, y*) y gradg(x, y): x x* x Figura 4. Los vectores grad f y grad g donde se alcanzan los extremos Este anlisis nos permite hacer la siguiente importante afirmacin: en el punto (x, y), donde la funcin z = f(x, y) alcance su mximo o mnimo condicionado, debe existir una constante A tal que grad f(x, y) = Agrad g(x, y) Esta es precisamente la condicin de colinealidad de los vectores grad f(x, y) y grad g(x, y) que hemos concluido OCUITe en los puntos del extremo. Busquemos pues en qu puntos OCUITe una relacin como la anterior. Se debe tener entonces que f ( a af) ax' ay o bien Jx2 =A (a g ag) a~' ay o sea - af ax =A- ag ax' - af ay =A- ag ay ~== x + y2 = A(8x -- 24), h+ x2 y2 =A(2y-8) Tenemos as un sistema de tres ecuaciones (las dos anteriores ms la ecuacin g(x, y) = O) con tres indeterminadas x, y, A. Resolviendo este sistema localizamos los puntos (x, y) de la elipse en la que se da la colinealidad de los vectores grad f(x, y) y grad g(x, y). Estos son los puntos donde se encuentran los extremos procurados. Sin entrar en detalles tcnicos (los cuales pueden ser muy complicados, como en este ejemplo que conduce a resolver una ecuacin de cuarto grado) slo diremos que el sistema ~. = A(8x - 24) yx2 + y2 x2 y2 x h+ 4x 2 =A(2y-8) +l - 24x - 8y + 48 = O tiene solucin para x = 2.49, y = 2198 y x = 3..26, y = 5.8765. Viendo que f(2.49, 2198) = 3.3213, f(3..26, 5.8765) = 6.72018, debe ser claro que el punto (2.49, 2198) es el punto de la elipse _._~--------- 4.5 Extremos condicionados 385 ms cercano al origen (a una distancia de 3.3213 unidades), en tanto que el punto (326,58765) es el que se encuentra ms lejos del origen (a una distancia de 672018 unidades). Esta es la solucin de nuestro problema. El valor de A que satisface el sistema no interesa mucho; slo nos dice el factor por el que hay que multiplicar el vector grad g(x, y), para obtener grad f(x, y) en los puntos donde acune el extremo . (En nuestro ejemplo tenemos que en (249, 2.198) el valor de A es -O .1837 Yen (326,58765) su valor es 012886, valores cuyo signo coinciden con lo previsto en la figura 4.) Consideremos ahora, en abstracto, una situacin como la mostrada en el ejemplo anterior Sea la funcin z = f(x, y) de la cual se quieren obtener sus extremos cuando (x, y) se mueve sobre la curva g(x, y) = O Supongamos que en el punto (i,y) OCUlTe uno de los extremos, el mximo. Esto significa que f(i, ji) es el valor ms grande de los valores de f(x, y) cuando (x, y) se encuentra en una vecindad sobre la curva g(x, y) = O de centro en (x, y) (ms an f(x,y) 2:: f(x, y) cuando (x, y) se encuentra en B n e donde B es una bola con centro en (x, y) y e es la curva g(x, y) = O) Consideremos la curva de nivel de z = f(x, y) conespondiente al nivel e = f(i, yl Es decir, consideremos la curva L = {(x, y) E nel f(x, y) = f(X, y)} La CUlva L separa (en general) los puntos del plano en los que f (x, y) > f(x, de los puntos en los que f(x, y) < f(x, y). Cmo es la curva g(x, y) = O respecto de la curva L en los alrededores de (,\',y) --donde coinciden? Observemos que una situacin como la mostrada en la figura 5 no puede ocurrir pues habr puntos de la curva g(x, y) = O vecinos a (x, y) para los que f(x, y) > f (oY:, y) n y _----........ f(x. y) > fU:, y) ......... 1 _L / ; .- [Ix. y) < [Ix. j) t g(x, y) = O x Figura 5. Grfica de las curvas g(x, y) = O Y L Se ve que para que se pueda tener el mximo de f(x, y) en (x, y) toda la curva g(x, y) = O debe quedar en la regin f(x, y) < f(x, y), al menos en una vecindad de (x, y). Slo as garantizamos que f(x, y) ::; f(i, y) para toda (x, y) en la curva g(x, y) = O cerca de (j"y) Entonces, en el punto (j',y) debe haber tangencia entre L y g(x, y) = O. Como L es una curva de nivel de z = f(x, y), se debe tener que el vector grad f(x, y) es perpendicular a L en (x, y) As mismo, la curva g(x, y) = O se puede ver como una curva de nivel de la funcin z. = g(x, y), de modo que tambin grad g(x, y) debe ser perpendicular a g(x, y) = O en (i, Y) Siendo L y g(x, y) = O tangentes en (x, y), concluimos que los vectores grad f(x, y) y grad g(i, y) son colineales (figura 7) 3 86 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias variables y L .___. g(x, y) = O -f-,---------'----------------+ X Figura 7. Grfica que muestra la colinealidad de grad f(x, y) y grad g(i,y) Es decir, debe ocunir A E IR. de modo que grad f(x,y) = A grad g(x,.n En resumen, podemos establecer lo siguiente: una condicin necesaria para que la funcin z = f (x, y) sujeta a la restriccin g(x, y) = O tenga un extremo en el punto (x, y), (donde grad g(x, y) =1= O (una condicin tcnica que garantiza que en los alrededores del extremo buscado, la curva g(x, y) = O se ve como una "curva decente", grfica de alguna funcin y = rp(x) x = fI(l') -lo cual se explica en trminos del teorema de la Funcin Implcita, ver ejemplo 2 de la siguiente seccin es que exista A E IR. tal que grad f(x, y) = Agrad g(x, y) Esta condicin, junto con el hecho de que el punto procurado debe ser un punto de la curva g(x, y) = O, nos proporciona el sistema de 3 ecuaciones 3f = A3g 3x 3x' y -=A-, 3f 3g ay ay g(x,y)=O L r x Figura 6. g(x, y) = o l(x, y) < l(x, .9> x Grfica de la tangencia de las curvas L y g(x, y) = o. 4 .5 Extremos condicionados 387 con tres indeterminadas x, y, A, el cual, resolvindolo, nos dar los (posibles, como veremos) extremos condicionados que se buscan Una vez localizados los puntos (x, y) que cumplen las condiciones establecidas en el prrafo anterior, muchas veces resulta muy sencillo, ya sea por el contexto fsico o geomtrico del problema, o bien, por un anlisis simple alrededor de esos puntos, establecer si en tales puntos se encuentra efectivamente un mximo o un mnimo. Debemos advertir, sin embargo, que en tales puntos podr no haber extremo para la funcin f. En otras palabras, la condicin de colinealidad de los vectores grad f y grad g, es necesaria pero no suficiente para la existencia de un extremo condicionado para la funcin f La siguiente grfica debe explicar este hecho. En la siguiente seccin ahondaremos ms a este respecto. Por el momento, nuestros esfuerzos se concentrarn en entender la estrategia de ataque en general, para el problema de extremos condicionados y gr ad f (r, y) )Jg" "- () ~ O f(t, ,) > f(r, \) -.----..."....-+-.....e -. - . - - - ....(~,;n " 'recta tangente comn ./ ./ / / / " "- / / gradgU,y) "- <' \ L f(x.}) < f(X, v) =O Figura 8. La colinealidad de los vectores grad de extremos condicionados. f y grad g no es suficiente para la existencia Antes de considerar la situacin general, analicemos otro ejemplo concreto Supongamos que se quieren obtener los extremos de la funcin 11 = f(x, y, z) cuando (x, y, z) vara en una curva e del espacio, descrita como la interseccin de dos superficies g (x, v, z) = O Y g2(X, y, z) = O. Ahora tenemos un problema de extremos condicionados donde se buscan los extremos de una funcin de tres variables u = f (x, y, z) sujeta a dos restricciones g (x, y, z) = O Y g2(X, y, z) = O (figura 9) Supongamos que en el punto p = (X, y, z) se logra uno de los extremos condicionados procurado, digamos que el mximo Tomamos una funcin a: 1 <:: JR; - 4 JR;3 cuyas imgenes describen precisamente la curva e (este tipo de funciones son objeto de estudio del prximo captulo) Es decir a(1) E e = {(x, y, z) E JR; 3 Ig(x,), z) = O} n {(x, y, z) E JR;'ic;2(X,V, z) = O} para I E 1 Digamos que f E 1 es tal que a(f) = p = (r, )', Z) Podemos formar la composicin f o a: 1 <:: IR - 4 R, la cual es una funcin real de la variable 1, que alcanza un mximo en I = lo Entonces (f o a)'(to) = O Esta derivada es, segn la regla de la cadena, si a(t) = (x(t), y(t), z(t)), la siguiente (f o a)'(t) = ~(a(t))x/(I) al ax al al + ~(a(I))y'(t) + ~(a(t))Z/(I) ay az = grad f(a(I)) a/(I) 3 88 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias variables f(x, ), ~) f x / ------------Figura 9. -._------------ ---- .. ,--., Grfica de la interseccin de las superficies gl y g2 donde al(t) = (xl(t), yl(t), Zl(t) es el vector derivada de a, que, como veremos en el prximo captulo, es tangente a la curva e. Entonces Siendo el vector al (to) tangente a la curva e en el punto p, y siendo grad f(p) al (to) = O, concluimos que el vector grad f(p) debe ser normal a la curva e en p. Es decir, grad f(p) es un vector que se encuentra en el plano normal a la curva e en p (el plano que es atravesado perpendicularmente por e en p). Por otra parte, las expresiones g(x, y, = O Y g2(X, y, z) = O se pueden ver como superficies de nivel (conespondientes al nivel cero) de las funciones u = g(x, y, z), u = g2Cx, Y, ,) respectivamente.. Siendo as, sabemos que grad g (p) es un vector normal a g (x, y, z') = O en p y grad g2(P) es un vector normal a g2(X, y, z) = O. Por otro lado, grad g (p) Ygrad g2(P) son vectores normales a la curva e en p. Siendo grad f(p) un vector normal a la curva e en p, concluimos que los tres vectores grad f(p), grad g (p), grad g2(P) se encuentran en el mismo plano (el plano normal a e en p) Son, por tanto, linealmente dependientes, Si los vectores gradgl(p) y gradg 2(p) son linealmente independientes, podemos expresar grad f(p) como combinacin lineal de ellos En tales condiciones, deben existir constantes Al y ,12 que z) Concluimos entonces que una condicin necesaria para que la funcin u = f(x, y, z) sujeta a las restricciones g (x, y, z) = O Y g2(X, y, z) = O alcance un extremo en (x, y, z) (donde se supone la independencia lineal de los vectores grad g y grad g2), es que se den constantes Al, A2 E R de modo que grad f = A grad g + A2 grad g2 4.5 Extremos condicionados 389 Esta expresin, junto con las dos g (x, y, z) = OY g2(X, y, z) = O nos proporciona un conjunto de 5 ecuaciones con 5 incgnitas (x, y, Z, t, A, ,12), a saber af agl ag2 - =A-+A 2 - , ax ax ax af ag ag2 - = A- + ,12-, g(x, y, z) az az az = O, g2(X, y, z) = O Supongamos, por ejemplo, que la funcin lt = f(x, y, z) = xy + xz, describe la temperatura en el punto (x, y, z) . Consideremos la curva e interseccin de las dos superficies g (x, y, z) = x 2 +y2- l = OY g2(X, y, z) = y - Z = O. Nos interesa saber cul de los puntos de e est ms caliente y cul ms fro. Se trata entonces de obtener los extremos condicionados de la funcin f(x, y, z) = Xl' + xz, sujeta a las dos restricciones g (x, y, z) = x 2 + y2 - l = OY g2(X, y, z) = y - z = O Observe que la curva e es la interseccin del cilindro x2 + y2 = I con el plano z = y (figura 10) z -- z=y y Figura 10. Grfica de la curva e interseccin del cilindro y el plano La expresin grad f = Al grad g + ,12 grad g2 se convierte en las tres ecuaciones y +z= x 2Ax = 2A Y+ A2 x = -,12 de donde, eliminando Al y ,12 se obtiene simultneamente con x 2 + y2 P34 = ( V;. ::: V;, ::: V;) ( ~2) (::: ) = -1 Concluimos entonces que los puntos p 2 son los ms calientes de C, en tanto que los puntos P3 4 son los ms fros = l Y Y = z, obtenemos los cuatro puntos PI2 = ( V;, V;, V;), Se tienef(pu) = ( ) 2 + ( ) 2 = 1, f(P3A) = ( )(::: ) + l + zy - 2x 2 = O Resolviendo esta expreslOn 3 90 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias variables Vamos ahora a enunciar debidamente el teorema que establece condiciones necesarias para la existencia de extremos condicionados, en el caso general Una vez entendidos los ejemplos presentados en la exposicin previa, esperamos que para el lector sea natural el resultado que presentamos a continuacin, cuya demostracin queda fuera de los alcances de este texto Teorema 4.5.1 Sea f: U c;:; R n --7 R una funcin de clase q;; I definida en el conjunto abierto U de Rn Sean gl, gz, ,gm: U c;:; Rn --7 IR, m funciones de clase q;;1 en U (m < n) Sea s = {x E U!g,(x) = O, = 1,2, . . ,m} Sea Xo E S un punto de extremo condicionado de f, es decir tal que existe una bola B e U con centro en Xo con la propiedad de que f(xo) ::; f(x) f(xo) :::: f(x) para toda x en B n S Suponga que el determinante det (~(xo) =J para un conjunto de m variables Xj, tomadas , x n } de g. Entonces existen m nmeros reales Al, del conjunto de n variables {XI, Xz, Az, , Am tales que se cumple grad f(xo) + 2: Ak grad gk(XO) = k=1 m A los nmeros Ab k = 1, 2,. ., m cuya existencia establece el teorema anterior se les llama MULTIPLICADORES DE LAGRANGE, Y al mtodo que el teorema proporciona para localizar los (posibles) extremos de la funcin f sujeta a las m restricciones gl (x) = 0, , gm (x) = 0, se le llama Mtodo de los Multiplicadores de Lagrange. Para una demostracin de este teorema puede consultarse, por ejemplo, la referencia [Ap), captulo 7, seccin 8 La expresin grad f(xo) + 2: Ak grad gk(XO) = k=1 m 1,2, que establece la dependencia lineal de los vectores grad f(x) y grad gk(X), k punto x, equivale a las n expresiones ,m en el af -.-(x) ux) k + :L Ak-(x) = 111 ag k=1 ax) O, j = 1,2,. ,n que junto con las m ecuaciones gk(X) = O, k = 1,2,. ., m, producen un sistema de m+ n ecuaciones con m + n incgnitas, a saber XI, Xl, .. , X n (las coordenadas de x) y Al, ,12, ... ,Am . Resolviendo este sistema localizamos a los candidatos x E U a extremos condicionados de la funcin f Una manera concreta de obtener este sistema es formar primero la llamada Funcin de Lagrange F(XI, Xl, .. , Xn, Al, Al, ... , Am) = f(XI, Xl, . , Xn) + 2: Akgk(XI, Xl, k=1 m ., Xn ) Obsrvese que 4.5 Extremos condicionados 391 de modo que las m + n ecuaciones que se deben considerar son equivalentes a ~=O, / = aA k 1, 2,." ,n, k=1,2, ... ,m 10 que sugiere que se busca un punto crtico de la funcin de Lagrange F. Por ltimo, una vez localizados los puntos x E U candidatos a extremos condicionados de la funcin f, se requerir de un anlisis adicional, que el mismo contexto del problema suele proporcionar de inmediato para concluir la naturaleza del extremo en cuestin (si es que ste existe). Sin embargo, un resultado que puede ser til tener presente es aqul que nos dice que una funcin continua definida en un conjunto cerrado y acotado siempre alcanza el mximo y el mnimo en puntos de dicho conjunto (hecho que se expondr en el apndice de esta seccin). Esto se aplica en nuestro caso cuando el conjunto S del teorema anterior, dado por las restricciones gk(X) = O, k = 1,2, . , n (que puede ser una curva, como en los dos ejemplos antes estudiados) es acotado ---cenado siempre, pues las funciones gk que lo determinan son "buenas funciones"--. As pues, si el conjunto S que marca la restriccin de las variables de la funcin f, es acotado, podemos estar seguros que dentro de los valores que determinamos por el Mtodo de los multiplicadores de Lagrange, se encontrar un mximo y un mnimo Ejemplo 1. Se quieren determinar los extremos de la funcin f(x, y, z) = x 2 + l + Z2 sujeta a la restriccin Formando la funcin de Lagrange F(x, y, z, A) = x 2 + l + Z2 + A(x 2 + ~l + ~Z2 - 1) Entonces el sistema a resolver es - aF aF 1 ay = 2y + 2Ay = O aF -az = - ax = 2x+2Ax = 1= O 2z 2 2 . + _. 11.7 = O 9~' 1 1 + -y 2 + -z 2 4 9 aF aA =x de donde se obtienen seis puntos que lo satisfacen, a saber ( 1, O, O), (O, 2, O), (O, 0, 3). Obsrvese que en este caso la superficie S que impone las restricciones es el elipsoide 2 + j l + 2 = 1, (una superficie acotada) Entonces entre los puntos encontrados deber haber un mximo y un mnimo. Como f( 1,0, O) = 1, feO, 2, O) = 4, feO, 0, 3) = 9, se tiene que el mnimo (igual a 1) se logra en los puntos ( 1, 0, O) Yel mximo (que vale 9) en los puntos (O, 0, 3). Es interesante darse cuenta de la geometra que hay detrs de este problema. La funcin f(x, y, z) = x 2 + l + Z2 mide (el x bz 3 92 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias variables cuadrado de) la distancia del punto (x, y, z) al origen. La superficie S de la restriccin es un elipsoide con centro en el origen. Lo que hicimos entonces fue obtener los puntos del elipsoide que estaban ms cerca (los puntos (l, O, O) y ms lejos (los puntos (O, O, 3 del origen. iIIII Ejemplo 2. Se quieren hallar los extremos de la funcin f(x, y, z) = xyz sujeta a las restricciones g (x, y, z) = x 2 + l + Z2 - 1 = O Y g2(X, y, z) =x+ y+ z =O Formamos la funcin de Lagrange y consideramos entonces el sistema -=yz+2A l x+A 2 =0 uF -ay = xz + 2,\1 y + A2 = O -=xy+2,\lz+A 2 =0 uF aF ux (l) (2) (3) uz --=x +y +c-l=O aA I -=x+y+z=O JA 2 uF 2 2 ? (4) (S) af De (2) Y (3) se obtiene (z - y)(x - 2,\1) = O. Surgen dos opciones: a) z = y; b) x = 2,\1 Si z = y, de (4) y (5) se obtiene el sistema x 2 + 2l = 1, x + 2y = O, que posee dos soluciones x = =f ~, Y = As, en este caso (z = y) hay dos soluciones a nuestro sistema original, a Regresando a la opcin b), si x = 2AI, de (1) saber Pl = y (2) se obtiene que (y - x)(z - x) = O De donde o y = x o z = x En el primet caso nuevamente las Ji;)' P4 = (Ji;) y ecuaciones (4) y (5) nos dan otras dos soluciones P3 = A (- ~, 76' A)' P2 = (~, - A' - A) A' A)' P6 = (~, De nuevo observamos que el conjunto S que impone las restricciones al dominio f es la interseccin de la esfera x 2 + l + Z2 = 1 con el plano x+y+ Z = l. Entonces es un crculo, el cual es acotado. Debe entonces haber un mximo y un mnimo entre los puntos localizados. Observando que f(p) = f(P3) = f(ps) = del segundo obtenemos Ps = (- ~, (A' A' -A; - A)' A' - A' -"376, !(P2) = f(P4) = f(P6) = 3~' concluimos que la funcin tiene mximos en P2, P4, P6 (iguales a 3~) y mnimos en PI, P3, Ps (iguales a -3-~)' 111 Ejemplo 3. Retomemos el ejemplo 5 de la seccin anterior. Se desea obtener las dimensiones de una caja que, con un volumen V dado, tuviera la menor superficie posible. Siendo x, y, z las dimensiones de la caja, la funcin de la cual queremos obtener el mnimo es f(x, y, z) = 2xz + 2yz + xy = superficie de la caja. Notamos sin embargo, que las dimensiones x, y, z no pueden variar a su antojo: se debe tener xyz = V. As, el problema consiste en localizar el mnimo de la funcim f sujeta a la restriccin g(x, y, z) = xyz - V = O. Formando la funcin de Lagrange F(x, y, z, A) = 2xz + 2yz + xy + A(xyz -- V) --------------------..-:.=--obtenemos de ella el sistema = 2z lx 4.5 Extremos condicionados 393 aF -ay = 2z + x + Axz = aF + "+ az + y + Ayz = = 2x aF (1) (2) (3) 2y Axy = aA = XYZ - aF V = (4) De (1) Y (2) se obtiene (y - x)(Az + 1) = O. de donde y = x (el factor Az + I es no nulo, pues en caso contrario las mismas ecuaciones (1) Y(2) nos conducirfan a z = O. valor imposible para z, pues no podr satisfacer la ecuacin (4). De (3), con y = x, se obtiene A = -~, y entonces de (2), se obtiene l = ~ As pues, de (4) llegamos a x(x)(O = V, de donde x = V2V = y, z = 1V2V El contexto fsico del problema nos dice que en este punto la funcin f debe tener un mnimo que vale f (/2V, /2V. ~ V2V) = 3(2 V)2/3 Este es el mismo resultado al que llegamos de otro modo en el ejemplo 5 de la seccin anterior (con V = 100). lIiI Ejemplo 4; Sea p = (xo. Yo. lo) un punto dado de 1R 3 y Ax + By + Cz = D un plano n.. Se quiere hallar la distancia del punto p al plano TI Esta es la menor distancia que existe entre el punto p y los puntos del plano Sabemos que la distancia entre p y (x, y, z) es resultado de Se quiere hallar entonces el mnimo de esta funcin sujeta a la restriccin Ax + By + Cz = D. Es decir, se quiere hallar el mnimo de la distancia entre p = (xo. Yo, lO) Yel punto (x, y, z). cuando este punto pertenece al plano Ax + By + Cz = D . Por razones de simplicidad en los clculos, en lugar de la funcin anterior podemos considerar mejor la funcin Es claro que f tendr un mnimo en un punto si y solamente si d lo tiene Tomemos entonces la funcin de Lagrange F(x, y. z, A) = (x - xO)2 + (y - YO)2 + (z - zd + A(D - Ax - By - Cz) Tenemos - = 2(x ax - aF xo) - AA =O (1) aF ay al = 2(y - yo) - AB = O (2) (3) - lF = 2(z - lo) - AC =O aF lA = D - Ax - By - ez = O (4) 3 94 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias \ariables De (1), (2) Y (3) (suponiendo por el momento que A, By C no son cero) obtenemos x - Xo A y - Yo B zC Zo de modo que, segn (4) se llega a (dejando todo en trminos de z) D- A( de donde ~ (z z- zo) + xo) - B( ~ (z - zo) + )'0) - Ce: =O zo = C(D - Aro - Byo - CZ o) A2+B2+C2 como x - Xo = ~ (z - zo), y - Yo = ~ (z - zo), obtenemos tambin X-Xo = A(D - Axo - Byo - Cz o) A2 + B2 + C2 y - Yo =- BCD - Aro - B\'o- Cz: o) Al + B2 ~ Cl Al despejar x, y, z obtenemos la solucin al problema, pues siendo sta la nica reportada por el mtodo de los multiplicadores de Lagrange, es claro que se debe tratar del mfnimo procurado para la funcin f., En tal punto se tiene de modo que la distancia mnima buscada es d = vI(x, y, z) d = lAxo + Byo + Cz o VA2 + B2 + C2 DI Esta es, efectivamente, la frmula de la distancia entre el punto p Ax + By + Cz = D, (ro, Vo, lo) Y el plano 11 Ejemplo 5. Una desigualdad muy importante en matemticas, conocida como deligualdad de Holder, establece que si al>, ,an , ,Xl,. ,Xn son nmeros leales no negativos, y los nmeros positivos p, q son exponentes conjugados (lo cual significa que p > 1 y' + ~ = 1), entonces n 2: ai x (n )1/1'(" )1/'1 Lar 2:<' :-:; 1=1 1=1 1=1 Veamos cmo usar el mtodo de los multiplicadores de Lagrange para establecer la validez de esta desigualdad Consideremos la funcin f de las variables XI, ,XII dada por 45 Extremos condicionados 395 Por ahorro en la notacin llamemos K funcin sujeta a la restriccin = (2::;'=1 aI') I/p Se desea encontrar el mnimo de esta A (A es un nmero dado) " = La,xi ;=1 Formamos entonces la funcin de Lagrange de donde lF _ -K lx l lF ll\. = q( + 1 ' 1 ' 1 _1 " 8\ )Iii-1 A= O qx) + 1\. a ) - - o, j = 1. 2, ,/1 " 1=1 a,x, - Tenemos as el sistema de /1 1 ecuaciones con /1 + 1 indeterminadas (XI. X2. , Xli' 1\.) siguiente K ( " LX? ) I '1-- 1 Xj + /la] , = O j = 1. 2. ./1 1=1 La,x, I-~I A =O De la primera y la j-sima ecuacin, 2 ::; j ::; /1, obtenemos, despejando 1\. de ellas e igualando, que (suponiendo, sin perder la generalidad, que 0\ 1= O ya) 1= O) -~ ' ) 1 ~ ] 1<., (,"" (1 )1/(1- ",. L...,\ \ '1-' 1=1 1/-1 , ) - --~ ~q )1 1 K (," L...,x l al ,=1 '1\1 1 de donde se obtiene que o) 1/1'1-1) ) XI, XI = ( ~ j = 1. 2. ,/1 01 De la ltima ecuacin obtenemos, sustituyendo estos valores de XI A= alxl + L 11 Ojx) = 0IXI + L, 11 ( )1!lq~l) a) 1 XI al ]=2 ]=2 J) = __ X_I_ 11 ~ a(!lq- 1/1-1) 1 L..., ) )=1 3 96 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias variables de donde, en virtud de que ~ +~ = XI 1 I/(q-I)A 01 "'" L..,;=l l' o; A - - o 1/('1- 1) KP I y entonces ) _(0;) 1 x; 1/('1- ~ _ XI - A K po; 1/('1- 1) , j = 1, 2, . , 11 Tenemos pues que el mtodo de los multiplicadores de Lagrange nos reporta un nico punto de solucin A 1/('1- 1) x} = K pO j , j = 1, 2, ,n Invitamos al lector a que considere el aspecto geomtrico de nuestro problema en los casos 11 = 2 Y 11 = 3, para que se convenza de que esta solucin debe corresponder de hecho a un mnimo de la funcin f, que vale f(x], KA -Kp/q KI' / = AKp,q+ 1 -1' =A de modo que, siendo A el mnimo condicionado de f se tiene para toda (XI, ,XI!) tal que I:~=I 11 0iXi = A. Es decir, ", o,x,:::; (a;)1/1'(" )1/'1 xi i=1 i=1 i=1 como se quera demostrar. Ejemplo 6. (En un tono menos serio: un problema prctico de economa culinaria) Cuando a doa Gela se le ocurri hacer una sencilla gelatina usando solamente un poco de grenetina, azcar y licor de pltano que unos compadres producan en una industria cerca de su pueblo, nunca imagin que estaba descubriendo la receta que sera la fuente de ingresos con los cuales iba a poder sostener a su familia por largos aos . Durante mucho tiempo doa Gela estuvo surtiendo pequeos pedidos para fiestas: un promedio de cinco gelatinas por semana era su produccin estndar Doa Gela es una persona con un gran gusto por la matemtica, as que en todo ese tiempo, adems de obtener algunos ingresos extras, se dedic tambin a establecer un modelo que le proporcionara el nmero de gelatinas que poda producir en trminos de las cantidades de los ingredientes que usaba en su 4.5 Extremos condicionados 397 elaboracin La frmula a la que lleg es g = xay"z', con a, b y e algunas constantes secretas que doa Gela guarda celosamente en su memoria. x la cantidad en kg de grenetina, y la cantidad en kg de azcar. z la cantidad en litros de licor de pltano y g la cantidad de gelatinas que se pueden hacer con tales cantidades de ingredientes. Ahora le llegaba una oportunidad importante a Doa Gela: un pedido de cuando menos 100 gelatinas mensuales para una cadena de salones de fiestas infantiles. Ante esta nueva etapa de gran produccin de gelatinas. doa Gela se plante el problema de saber qu cantidades de ingredientes tendra que comprar mensualmente para producir una cantidad determinada de gelatinas, de modo que le representara el menor gasto posible en la compra de los ingredientes. Es decir. si N es el nmero de gelatinas que tiene que hacer, quera saber los valores de x, y y z para tal produccin, y cuyo precio en conjunto (conociendo los precios de cada uno de ellos), representaran la menor inversin posible (en la compra de la materia prima) Veamos cmo con el mtodo de los multiplicadores de Lagrange estudiado en esta seccin, es posible resolver el problema de la ptima produccin de gelatinas de doa Gela. Sean A, By C los precios de la grenetina. el azcar y el licor de pltano. respectivamente (A y B en pesos por kilo y e en pesos por litro) . Entonces la funcin f(x. y. z) = Ax + By + Cz nos da el costo invertido al comprar x kg de grenetina, y kg de azcar y z litros de licor de pltano Nos interesa obtener el mnimo de esta funcin, cuando se tiene la restriccin de que el nmero de gelatinas producidas debe ser N; es decir, usando la frmula obtenida por doa Gela; dicha restriccin se ve Consideremos entonces la funcin de Lagrange F(x, y, z. A) = Al.' + By + Cz + A(l.'alz e - N) El sistema a resolver es aF al.' -- = A + Aal.'o--Ilz' = O ay az (1) aF - = B + AbxOy b - I ze = O (2) (3) - = C + Acl."'y z'-' = O aF - =x aA Q aF _ b . 1 y ze - N b =O (4) de (1), (2) Y (3) se obtiene que bA Y = aB l.' , Sustituyendo en (4) se obtiene cA z = ae l.' 398 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias variable:; de donde .-:. y entonces f. hA.,. j .\ )-b (rA)-C N \ aC a+~+', z= a+b+f _ .l y= (:~ ) -b+l G~) -( N bA) (CA) (aB aC -b -c+l 1 N a+b+c Siendo sta la nica solucin reportada por el mtodo de los multiplicadores de Lagrange, es claro As, para poder producir N gelatinas y gastar que debe de tratarse de un mnimo para la funcin lo menos posible en la compra de los ingredientes, habr que comprar .i kg de grenetina,y kg de 11 azcar y Z lt de licor de pltano, r, Apndice Extremos absolutos de funciones en regiones compactas Uno de los resultados clsicos sobre funciones reales de una variable real, definidas en un intervalo cerrado y acotado [a, b], donde la funcin es continua, es que sta alcanza su mximo y mnimo absolutos dentro del intervalo [a, b]. Ms an, si la funcin f: [a, b] --> ]R es continua, entonce? acunen xo, X E [a, b], que M = f(xo) :::: f(x) \Ix E [a, b], m = f(x) :::; f(x) \:Ix E [a, b 1 Al valor M (respectivamente, m) se le llama mximo (m'nimo) absoluto de la funcin f en el intervalo [a, b] Se sabe adems que los puntos Xo, Xl donde f alcanza sus extremos absolutos, son o los extremos del intervalo [a, b] (es decir, los puntos x = a o x = b), o bien, si es un punto del intervalo abierto (a, b), ste debe ser un punto crtico, es decir, un punto en donde la derivada!, es cero o no existe. Las grficas de la figura 11 ilustran estos hechos y A. y M :m ~ b x x Figura 11. Extremos absolutos de una funcin continua f: [a, b] -+ lR. Este resultado sigue siendo cierto para funciones reales continuas de varias variables definidas en cierto tipo de regiones K e ]Rn, con propiedades "anlogas" (desde el punto de vista topolgico) a las de los intervalos cerrados y acotados de R Estas regiones se llaman compactas y se caracterizan por ser conjuntos cerrados y acotados de ]Rn, es decir, conjuntos cuyo complemento ]Rn - K es un conjunto abierto en ]Rn, de modo que se puedan incluir en una bola B con centro en el origen y algn r > O Incluso, se tiene el resultado siguiente,. 4.5 Extremos condicionados 399 Teorema 4.5.2 Sea f: K e IR" -> IR una funcin real definida en el conjunto compacto K de IR". Supongamos que f sea continua . Entonces existen puntos Xo, XI E K tales que M = f(xo) 2: f(x) "Ix E K, m = f(x)) ~ f(x) "Ix E K I11III Al valor M (a m) se le llama mximo (mnimo) absoluto de f en K Entonces lo que establece el teorema anterior (cuya demostracin se puede consultar por ejemplo en [Ap]), es que la funcin continua f definida en el conjunto compacto K alcanza su mximo y mnimo absolutos en puntos de K. Si adems suponemos que la funcin fes diferenciable (por ejemplo en un conjunto abierto U que contenga a K), se puede demostrar que los extremos absolutos de faCUlTen: 1) en la fi:ontera de K; o bien, 2) en puntos interiores de K, donde las derivadas parciales de f se deben anular (es decir, si el (los) extremo(s) absoluto(s) de f se encuentran en puntos del interior de K, estos deben ser puntos crticos de f) En el caso de funciones diferenciables de dos variables, f: K e IR 2 -> IR, definidas en un conjunto compacto K (la funcin f continua en K y diferenciable en un abierto U que contiene a K), limitado por una curva cerrada del plano, digamos que dada por la ecuacin g(x, y) = O, el problema de determinacin de los extremos absolutos de f en K se limita a determinar los puntos crticos de f dentro de K (pues en ellos se podran encontrar los extremos procurados), y luego, determinar los extremos de f en los puntos de la curva dada g(x, y) = O, la cual es la frontera de K, donde tambin se pueden encontrar los extremos absolutos de f Estos ltimos clculos (para determinar los extremos de f en la hntera de K) se pueden realizar resolviendo el problema de extremos condicionados de la funcin f con la restriccin de que sus variables independientes x, y satisfagan la relacin g(x, y) = O Comparando los valores de f en los puntos as encontrados, se puede decidir cul de ellos es el mximo y cul el mnimo absoluto de f en el conjunto compacto K. Veamos algunos ejemplos Ejemplo 1. Se han de determinar los extremos absolutos de la funcin f(x, y) = x 2 + 3y 2, en la regin K = {(x, y)lx 2 - 2x + y2-- 3 ~ O} Obsrvese que la curva g(x, y) = x 2 - 2x + y2 - 3 = (x - 1)2 + y2- 4 = O, que limita a la regin K, es un crculo con centro en (l, O) Y radio 2. Se determinarn entonces los valores mximo y mnimo de f(x, y) con (x, y) E K. En principio, se localizan los puntos crticos de f que estn dentro de K. Resolviendo ~ = 2x = O, = 6y = O, se obtiene el punto Pl = (O, O) dentro de K. Pasamos ahora a determinar los extrems de f en la frontera de K. Para ello, resolvemos el problema de extremos condicionados de f con la restriccin g(x, y) = O Se tiene entonces la funcin de Lagrange * F(x, y) = x 2 + 3l + .\(x2 aF 2x + / - 3) de donde aF - = 2x + .\(2x - 2) = O, ax 7 a) = 6y + 2.\\ = O -3 aF - = x2 - 2x + ya.\ =O de donde se obtienen los puntos P2 = (-1, O), P3 = (3, O). Se tiene entonces f(Pi) = feO, O) = O, f(P2) = f (-1, O) = 1, f(3, O) = 9 . As pues, el mnimo absoluto de f en K se encuentra en el punto PI = (O, O) (dentro de K, en un punto crtico de el cual vale O, y el mximo absoluto de f en K se encuentra en el punto P2 = (3, O) (en la frontera de K), el cual vale 9 Para que se convenza de los resultados obtenidos, invitamos allectOl a imaginar la geometra del problema. 111 n, 400 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias variables Se han de determinar los extremos absolutos de la funcin f (x, y) = x 2 )'3 ( 1 - r - y), en la regin K = {(x, y)llxl + Iyl :::; I} Esta regin corresponde a un cuadrado con vrtices en los puntos ( 1, O) Y(O, 1), el cual est limitado por las rectas: L 1: )' = 1- r, x :::; 1, L 2 : y = 1 +r, -1 :::;x :::; 0, L3: )' = -1 - r, -1 :::; r :::; 0, L 4 :y = -1 + x O:::; x :::; 1 (ver figura 12) Ejemplo 2. : :; y -1 --1 Figura 12. Primero se localizan los puntos crticos de Regin K del ejemplo 2 f en K. Se tiene af = x},3(2 ax 3x -- 2)') = 0, - yx>,2(3 =2 a aj 3x - 4}') . = de donde se obtienen los puntos PI = (1/3, 1/2), P2 = (O, t), P3 = (r, O), -1 < t < 1, que se encuentran en el interior de K. Obtengamos ahora los extremos de f en la frontera dc K Sobre L 1 la funcin f se ve como t:Pl(X) = [(x, 1- x) = x 2(1 - x)3(1 - X - (1 - x = O. Sobrc L 2, f se ve como t:P2 = f(x, 1 + x) = x 2(1 + x)\I- x- (1 + x = -2x3(1 + x)3, con-l :::; x :::; O. Determinamos los extremos absolutos de t:P2(X) en el intervalo [-1, O], encontrando que sc ticnen mnimos absolutos en x = -1, x = 0, donde t:P2 vale 0, y el mximo absoluto cn x = --1/2, donde t:P2 vale 1132 Sobre L 2 se tiene entonces que f alcanza su mnimo absoluto en los puntos (O, 1) Y (-1, O) donde f vale 0, y el mximo absoluto en (-1/2, 1/2) donde f vale 1/32 Para L3, f se ve como t:P3eX) = f(x, -1 - x) = x 2(-1- x)\l - x - (-1 - x = -2x 2(1 + x)3, con - :::; x :::; O. Los extremos absolutos de t:P3(X) en [--1, O] se encuentran en .x =-1, x = 0, mnimos absolutos donde t:P3 vale 0, y x = -2/5, mximo absoluto en que t:P3 vale -216/3125. Es decir, para f en L3 se tienen mnimos absolutos en los puntos (O, -1) Y (-1, O) donde f vale 0, y mximo absoluto en el punto (-2/5, -3/5) donde f vale -216/3125. Finalmente, para f en L4, se tiene t:P4(X) = fex,-I + x) = x 2(-1 + x)3(l - x - (-1 + x = -2x 2(x- 1)4, con x :::; l. Los extremos absolutos de t:P4(X) en [O, 1] se encuentran en .x = 0, x = 1, mnimos absolutos, donde t:P4 vale 0, y x = 1/3, mximo absoluto, donde t:P4 vale -32/729. Se tiene entonces que f en L 4 alcanza su mnimo absoluto en los puntos (O, -1) Y (l, O) apnde f vale 0, y su mximo absoluto en (l/3, --2/3), en que f vale -32/729 En resumen, la fun'cin [alcanza, sobre la frontera de la regin K, su mnimo absoluto en los puntos (x, 1 -- x), O:::; x ~ 1, (-1, O) Y (O, -1) donde f vale 0, y su mximo absoluto en el punto (-1/2, 1/2) donde I vale 1/32. Comparando con los valores de I en los puntos crticos que se hallaron dentro de K, l(r, O) = feO, t) = 0, 1(1/3, 1/2) = 1/432, : :; 4.5 Extremos condicionados 401 vemos que los extremos absolutos de f en K son: el mnimo absoluto en (-2/5, -3/5) donde j vale -216/3125, y el mximo absoluto en el punto (-1/2, 1/2) donde f vale 1/32 111 Las ideas anteriores, establecidas para funciones continuas de dos variables f(x, y) definidas en conjuntos compactos K de ]R.2, se extienden de manera natural para funciones continuas de n variables f(XI, X2,.. ,X/l) definidas en conjuntos compactos K de]R./l Ejemplo 3. Se han de determinar los extremos absolutos de la funcin f(x, y, z) = xy2Z3 en la regin K = {(x, y, z)lx 2 + y2 + Z2 :::; I} = bola unitaria cenada Los puntos crticos de f en K se hallan en el sistema aj - '). 3 ay _ _.tyz - , de donde se obtiene el nico punto crtico (0,0, O), el cual se encuentra en el interior de K Para investigar los extremos de f en la frontera de K, consideramos el problema de extremos condicionados de f con la restriccin g(x, y, z) = x 2 + l + Z2 -- 1 = La funcin de Lagrange es F(x, y, z, A) de donde se obtiene el sistema = xiz 3 + A(x 2 + l + Z2 - 1) aF ax = .,- z3 + 2Ax = 1 O, c7 _. = 2X ./' ' a) . aF 3 + 2A .'v = " l - aF az = 3xy z- 1 . + 2A;: = 0, - -(-. = x 2 + i + Z2 aA . De las primeras tres ecuaciones se tiene (igualando A) ..V7 ~ 3F = XZ ) 3xy 2z 2x de donde se obtiene que (l - 2x 2 )z = 0, 2z" = 3i, expresiones que junto con la restriccin dada, producen los siguientes puntos como candidatos a extremos condicionados: PI 2 = ( l, 0, O), P3' 5675910 = ( 1/)6, 1//3, 1/ Ji) Se tiene entonces feO, 0, O) = 0, f(I//6, 1/v3, 1/V2) = f(-I//6, 1/v3, ~1/V2) = /0//6, 1/v3, -1/V2) = f(-1//6, 1/v3, 1/V2) = - I 12v3 I h 12v3 h de donde se ve que los extremos absolutos de f se encuentran en la frontera de K (en puntos (x, y, z) donde + y2 + ;:2 = 1), estando los mximos absolutos en los cuatro puntos (1/)6, 1//3, 1//2), (~ 1/)6, 1//3, - 1//2), en que f vale 12~:l' Y los mnimos absolutos en los cuatro puntos x" (1/)6, 1//3, ~ 1//2), (--1/,,16, 1//3, 1/V2), donde f vale -12~:l l1lI 402 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias variables Ejercicios (Captulo 4, Seccin 5) 1. Determine los extremos de la funcin f(x, y) 3x 2 + 2)'2 - 33/2 = O 2. Determine los extremos de la funcin 2x 2 + Y" - 38 = O 2x - y, con la restriccin g(x.') 3 y, con la restriccin g(x. \) f (x. y) x + 3. Determine los extremos de la funcin f(x, y) 4x 2 + 3y' - 892/3 = O 4. Halle los extremos de la funcin f(x. y) 3x 2 +1" - 237 = O. 5. Halle los extremos delafuncin (x. y) = 3x - 7y, con la restriccin g(x, y) = -2x - 5y, sujeta a la restriccin g(r, \) = O = x+2y,sujetaalarestriccing(x. y) = X 2+y2 __ 5 = 6. Determine el valor mximo que puede tomar el producto de dos nmeros positivos, si la suma de stos debe ser 20 7. Determine el valor mximo que puede tomar el producto de tres nmeros positivos, si la suma de stos debe ser 20. 8. Determine los extremos de la funcin (x. y) = x 2 \", si (x, y) se encuentra en el Crculo unitario x2 + i = 1 9. Halle los extremos de la funcin f(x, y) 10. Determine los extremos de la funcin x 2 + 4 y2 = 5. = x 2 y, si (x, y) se encuentra en la elipse 2x 2 + " = 3 f(x, y) = x 2 + 8y, si (x, y) se encuentra en la elipse En los ejercicios 11-15 se da una funcin de dos variables z = f(x, \), de la que se han de determinar los extremos cuando sus variables estn sujetas a la restriccin g(x. y) = O Estos se pueden resolver como problemas de extremos condicionados, o bien haciendo explcita una de las variables x o v de la restriccin dada y sustituyendo sta en la funcin f dada, convirtiendo as el problema en la determinacin de extremos locales de una funcin de una sola variable Resuelva estos ejercicios de las dos maneras mencionadas. 11. f(x, y) 12. 13. + y3 + 3x2 y, g(x, y) = x + y - 3 = O f(x, y) = x 2 + 21 + 3xy + 1, g(x, y) = x- y - 1 = (x, )i) = 2x 3 + x 2 y, g(x, y) = x + y - 2 = o. = x3 y) = 3x 3 + O. 14. f (x, y3 + x 2 \" g(x, y) = x + y -- 5 = O 15. f(x, y) = 16x3 + y3 + 3x 2 y, g(x, y) = x + y -- 6 2x 16. Determine los extremos de la funcin f(x, y, z) g(x, y, z) = 4x 2 + 31 + Z2 - 80 = O. + 3y + + z, sujeta a la restriccin 17. Determine los extremos de la funcin (x. y. z) g(x, y, z) = 5.x 2 + + Z2- 1030 = o. i -x - 4y x- 5z, sujeta a la restriccin 18. Halle los extremos de la funcin f(x. y. z) x 2 + 2)" + Z2 = 50. y- Z, SI (x. y. z) est en el elipsoide 4.5 Extremos condicionados 403 19. Halle los extremos de la funcin f(x, y, z) 4x 2 + l + Z2 = 704 = 2x - 3y + z, si (x. y, z) est en el elipsoide 20. Determine los puntos (x, y, z) del elipsoide 2x 2 + 4l + 5z2 = 70 de modo que la suma de su primera y tercera coordenadas sea la mayor y la menor posible 21. Demuestre que la funcin f(x, y, z) = x 3 + x 2 y + OSxl + xz. cuando (x, y, z) satisface x + y + z + I = O, tiene un mximo en el punto PI = (-1,2,-2) Y un mnimo en el punto P2 = (1,0, -2). Resuelva este problema: a. como problema de extremos condicionados; b. despejando una de las variables de la restriccin y sustituyndola en la funcin f, para resolver entonces el problema de determinacin de extremos locales de la funcin de dos variables obtenida 22. Demuestre que la funcin f(x, y, z) = x 3 + x 2 y + xy2 + xz, cuando (x, y, z) satisface x+y+z+ 1 = 0, tiene un mximo en el puntop! = (-5/9,7/9, -11/9) yun mnimoen el punto P2 = (l. 0, --2) Resuelva este prblema: a. como problema de extremos condicionados; b. despejando una de las variables de la restriccin y sustituyndola en la funcin f, para resolver el problema de determinacin de extremos locales de la funcin de dos variables obtenida. 23. Considere la funcin f(x, y, z) = x 3 + 2y2 + 2z 2 + ,,2 y + xy2 -+- xz, con la restriccin g(x, y, z) = x + y + z - 1 = O Siga el mtodo de los multiplicadores de Lagrange presentado en esta seccin, para obtener que los puntos PI = (5/9,2/9,2/9), P2 = (-1,1,1) son los candidatos a extremos condicionados de la funcin dada. Convierta este problema en el de determinacin de extremos locales de una funcin de dos variables, para verificar que la funcin tiene un mnimo en PI, Y que no tiene extremo en P2 Verifiq1Je que f( -1, 1, 1) = 2 . Calcule f( -O 9, I 1,08) Y f( -1 1 l. I 1) Le ayudan estos resultados a confirmar que f no tiene extremo condicionado en P2 ') 24. Considere la funcin f (x, y, z) = x 3 -+- l + Z2 -+- x 2 y + xy2 -+- xz, con la restriccin g(x, y, z) = x +- y +- z - 1 = O Siga el mtodo de los multiplicadores de Lagrange expuesto en esta seccin para obtener que los puntos PI = (1/3, 1/3, 1/3), P2 = (-1/3,2/3,2/3) son los candidatos a extremos condicionados de la funcin dada. Convierta este problema en el de determinacin de extremos locales de una funcin de dos variables, para verificar que la funcin tiene un mnimo en PI, Yque no tiene extremo en P2. Localice puntos (x, y, z), tales que x -+- y + z = 1, cercanos de P2 para los cuales f(x, y, z) > f(P2) Y f(x, y, z) < f(P2) 25. Siga el mtodo de los multiplicadores de la Lagrange para determinar los semiejes de la elipse 5x 2 - 6xy + sl - 32 = O 26. Calcule el rea de la elipse 25x 2 - 14xy +- 25l - 288 = O. (Sugerencia: el rea de una elipse con semiejes a y b es igual a 7mb; determine a y b con el mtodo de los multiplicadores de Lagrange). 27. Determine los puntos ms cercanos y ms alejados del origen de la curva cerradax 2 +i +xy = 4 28. Determine los puntos ms cercanos y ms alejados del origen de la curva (x - 1)2 + (y - 1)2 = 4 Resuelva este problema: a. con el mtodo de los multiplicadores de Lagrange; b. con ideas de geometra analtica 29. Determine los puntos ms cercanos y ms alejados del origen de la superficie (x - 2f +- (y I f +- (z - 2)2 = 16. Resuelva este problema: a. con el mtodo de los multiplicadores de Lagrange; b. con ideas de geometra analtica. 4 04 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias variables 30. En la elipse 4x2 + 9y2 = 36, hallar el punto ms cercano y el punto ms alejado a la recta x + y = 6. (La distancia entre el punto (x, y) y la recta dada se toma perpendicularmente Ver ejercicio 35 de la seccin 3 del captulo 1). 31. En la hiprbola x 2 -y2 = 1, hallar los puntos ms cercanos a la recta y = 3x. 32. En el elipsoide 4x2 + y2 + 4z2 - 16x - 6y - 8z + 25 = 0, hallar el punto ms cercano y el punto ms alejado del plano 2x + 2y + z = O. (Ver ejemplo 4).. 33. En el paraboloide z = (x - 2)2 x + y + z = O. + 0..25(y - 3? + 5. hallar el punto ms cercano al plano 34. En el hiperboloide de una hoja x 2 + ~y2-- tz2 x + y + 20(z - 1) = O. + I = O. hallar los puntos ms cercanos al plano 35. Considere el elipsoide 6x 2 + 3y2 + 2z 2 - 12x - 12y - 8z + 20 = Compruebe que su plano tangente en el punto (1, 3, 0.505 + 2) est dado por 05z + 3y - 12 - 205 = O. Sea I(x, y, z) la funcin que da la distancia del punto (x, y, z) E ]R3 al plano 05z + 3y -- 12 _. 205 = O Determine los extremos de la funcin I(x, y, z) con la restriccin de que (x. y. z) es un punto del elipsoide dado. 36. Determine los semiejes de la elipse que se obtiene al intersectar el cilindro x 2 + y2 = I con el plano x + y + z = 0, determinando los extremos condicionados de la funcin f(x, y. z) = x2 + y2 + Z2 sujeta a las dos restricciones x 2 + l - I = O. y x + y + z = O. 37. Hallar el valor mximo y mnimo del producto de tres nmeros reales .x, y. z, si la suma de stos debe ser cero y la suma de sus cuadrados debe ser uno. (Distancia de un punto a una recta en ]R3) Sea p = (xo. Yo. zo) un punto dado en ]R3, Y sea X~XJ = YI/' = una recta L dada que pasa por (XI, YI. ZI) Y tiene a (a, b, e) por vector paralelo Se define la distancia de p a L, denotada por d(p, L), como la menor distancia que existe entre los puntos de la recta y el punto p. Entonces, para calcular d(p. L) podemos considerar la funcin f(x. y. z) = (x-xo? +(y-yd+(z -ZO)2 = (cuadrado de la) distancia del punto (x. y, z) al punto p, con la restriccin de que (x. y, z) se encuentre sobre L. Constate que esta ltima condicin puede ser manejada como el par de restricciones: 1) bx - ay + ay] _. bXI = O; 2) ex - az + az I - eXI = O Use estas ideas para calcular la distancia de los puntos dados a las rectas dadas en los ejercicios 38-42 7 x-3 38. P = (1,0,1)'--"2- = -3- = z = -=2 = y+1 z+1 -2- y-4 39. P = (-2,3,2), -240. P = (0.0, O), -541. p x-l x-3 = y+4 z-3 -=s = -2 42. = (0,0,1), L es la recta {(x, y, z)lx = y, z = O} P = (-1,-1, 3), L es la recta {(x, y. z)lx = y = z} (Distancia entre dos rectas en ]R3). (Ver ejemplo 9 de la seccin 6, captulo 1). Sean L I Y L 2 dos rectas en]R3 Se define la distancia entre L] Y L2, denotada por d(L 1, L 2), como la menor distancia entre los puntos (x. y, z) de L y los puntos (x, y, z) de L 2 Si L I es la recta x~,xJ = Y-}' = ~ y L 2 l recta XdX = Y~Y2 = ,la distancia d(L 1 L 2 ) se puede obtener como (la raz cuadrada de) el mnimo T 4.5 Extremos condicionados 40S de la funcin h(x, y, z, u, v, w) = (x - u)2 + (y - v)2 + (z - w)2, con las restricciones de que (x, y, z) est en L y (u, v, w) est en L 2. Verifique entonces que d(L, L 2) sea el mnimo condicionado de la funcin de 6 variables h(x, y, z, u, v, w) sujeta a las 4 restricciones 1) bx - ay + ay - bx = O; 2) ex - az + az - eXI = O; 3) eu - dv + dY2 - eX2 = O; 4) fu - dw + dZ 2 - fX2 = o. Use estas ideas para calcular la distancia entre las rectas L y L2 dadas en los ejercicios 43-46 43. -2- = x+4 y-4 -1 = -=2" z+l x+5 -4- y-S -3 z-S -s 44. x = y-lO = z + S, -2- = -3- = -4= -2y+S z+4 x+3 3 ' -4- x+1 y+S z-2 45. -1- x+6 = y+2 S = z+l 6 x+l y-2 z-l 46. .x - y - , -2 - - - - - - - -3 - -4 -. - z 47. Demostrar que el paraleleppedo de mayor volumen que se puede inscribir en una esfera es un cubo 48. Hallar el paraleleppedo de mayor volumen que se puede inscribir en el elipsoide ~ + ~ + ~ 49. Hallar el paraleleppedo de volumen V que tenga la menor superficie lateral posible. 50. Hallar el paraleleppedo de superficie lateral S que tenga el mayor volumen posible 51. Hallar el paraleleppedo, cuya longitud de su diagonal d es dada, que tenga el mayor volumen posible. 52. Hallar el paraleleppedo cuya suma de longitudes de sus aristas sea L, que tenga el mayor volumen posible. 53. Considere la elipse ~ + ~ = l. Determine el tringulo de menor rea que se puede formar (en el primer cuadrante) con la pmte positiva de los ejes coordenados y una recta tangente a la elipse. 54. Considere el elipsoide ~ + ~ + ~ = 1. Demuestre que el volumen del tetraedro formado por el plano tangente a este elipsoide en un punto de l (x, y, z) del primer octante y los planos coordenados, est dado por V(x, y, z) = a~~~2. Minimize la funcin V(x, y, z) sujeta a la restriccin de que el punto (x, y, z) est sobre el elipsoide, para concluir que el mnimo volumen que el tetredro mencionado puede tener es Vmn = abe En qu punto del elipsoide se debe trazar este plano tangente? 2 2 2 2 2 2 = l. 2 2 i 1 (*) 55. Considere el elipsoide en JRn dado por la ecuacin Bsese en el hecho que el volumen de un (n + 1)-edro en JRn formado por los hiperplanos coordenados y un plano que corta a los ejes coordenados en los puntos Xl, X2, .... , xn est dado por J,.XIX2 . . xn (ver ejemplo 2 de la seccin 9 del captulo 6), demuestre que el volumen del n. 4 06 Cpftuio 4 Extremos de las funciones de varias variables (n ~ 1)-edro formado por los hiperplanos coordenados (x, = 0, i = 1,2. tangente al elipsoide est dado por ,n) y un hiperplano v= V(XI, X2. , x,,) = - I aTa~ a~ ---'--"'-----"n! X'X2 , Xn ) Demuestre que el valor mnimo de esta funcin, con la restriccin de que el punto (x ,. .1.2, se encuentre en el elipsoide, es \/m;'n -_ 1 ,,/2 a,a2 n. ,n ,G" NOTA: Los siguientes ejerCicios de determinacin de extremos condicionados conducen a eltablecer sistemas no lineales (del tipo ~; = 0, donde Fes lajilllcin de Lagrange) que 110 son fcilel de resolver "a mano ", para los cuales se deben emplear tcnicas numricas para encontrar su mluc in. como el mtodo de Newton estudiado en la seccin 7 del captulo .3 En los ejercicios 56-62 se dan ecuaciones de curvas cerradas en el plano" Se trata de determinar los puntos de las curvas que estn ms cercanos y ms alejados del origen de las coordenadas Se trata entonces de obtener los extremos de la funcin f(x, y) = x 2 + y2 = cuadrado de la distancia del punto (x, y) al origen, con la restriccin de que el punto (x, y) se encuentre en la curva dada, (Para dar el punto de inicio en el mtodo de Newton, puede ayudar ver las grficas de estas cunas) 56. g(x, y) = x 4 57. g(x, y) + y2 + xy - 4 = O 1= O = In(x 2 + 2x + 2) + In(y2 + 2y + 2) + 2x + 2) +i 2 58. g(x, y) = In(x 2 59. g(x, y) 60. g(x, y) 6y +8= = In(x 2 = exp(x + 5) + y2- 6y + 8 -l) + x 2 - 4x + l- 6y + 4x 5 = 10 =O 61. g(x, y) = x 4 + l + 2x2 + 4y2 + xy + 6y2 + 5z 2 - =O =O + ]8 = O hallar el punto ms 62. g(x, y) = (x 2.+ l)2 - 3x 2 + 4y2- 2xy - 2 63. En el elipsoide 7x 2 4xy - 4yz - 6x - 24y + 18z cercano y ms alejado del origen de coordenadas 64. Hallar las distancias mxima y mnima entre los puntos de interseccin del cilindro x 2 + y2 = con el plano x + y + z = O, Y los puntos de la recta x = 2 + t, y = 3 - t, Z = 6 + 5t, t E IR: 65. Hallar las distancias mxima y mnima entre Jos puntos de interseccin del paraboloide z = x 2 + 21 - 1 con el plano x - y + Z = O, Ylos puntos del plano 2x + 3y - 42 - 10 = 66. Hallar las distancias mxima y mnima entre los puntos del elipsoide x recta x = 3 - t, Y = 4 + t, Z = 6 + t, tER 2 + 2y2 + Z2 = 1, y la 67. Hallar los puntos de la curva x 2 + 4y2 - 4 = O que se encuentre ms cercano y ms alejado de los puntos de la curva x 2 + l + 4x + 2y - 20 = O" 4.6 Extremos condicionados (11) Condiciones suficientes 407 LOI ejercicios 68-74 tratan acerca de extremos absolutos de funciones continuas en regiones compactas, tema estlldiado en el apndice de esta seccin. 68. Hallar los extremos absolutos de la funcin f(x, y) regin K = {(x, y)lx 2: O, Y 2: O, x + y :s; I} 69. Hallat los extremos absolutos de la funcin f(x, x:S;I,-I:s;y:S;l} y) = tx3 - ~x2 + 2x + l = 2y + J. en la = x + y, y) en la regin K {(x, y)1 - l < 70. Determinar los extremos absolutos de la funcin f(x, { (x, y) IO :s; x :s; 1, O :s; Y :s; I} . 3x 2 + 5i, y2 en la regin K = 71. Determinar los extremos absolutos de la funcin f(x, y) K = {(x, y)lx 2 + i:s; I} = x2 +x+ cos x + y, en la regin 72. Determinar los extremos absolutos de la funcin f(x, y) K = {(x, y)I-71":S; x:S; 71", -71":S; y:S; 71"} + cos y en la regin 73. Hallar los extremos absolutos de la funcin f(r, y) {(x, y)l- 71":S;x:S; 71", -71":S; y:S; 71"} 74. Hallar los extremos absolutos de la funcin f(x, y, z) regin K = {(x, y, z)lx 2 + l + Z2 :s; 12} = sen x 1)2 + cos y en la regin K = - 1)2 = (x - + (y + (z - 1)2, en la (*)4.6 Extremos condicionados (H). Condiciones suficientes El objetivo de esta seccin es, por una parte sealar por medio de ejemplos algunos de los detalles finos que tiene el mtodo de los multiplicadores de Lagrange expuesto en la seccin anterior, y , por otra parte, asomamos un poco en la direccin de la obtencin de condiciones suficientes para la existencia de extremos condicionados . El material aqu presentado es opcional (para un primer curso de Clculo Vectorial) y se puede omitir sin alterar en absoluto la secuencia de los temas; lo estudiado en la seccin anterior es la parte estndar del tema de extremos condicionados que debe ser incluido en cualquier curso de esta materia Consideremos en primer lugar la siguiente situacin: si quisiramos obtener los extremos de la funcin z = f(x, y) sujeta a la restriccin g(x, y) = 0, y de alguna manera nos la pudiramos ingeniar para despejar (de esta ltima expresin), a y como funcin de x, dejando as establecida la funcin y = rp(x), la que se sustituye entonces en J, finalmente logramos as convertir nuestro problema inicial en el de la investigacin de extremos ("normales", de los del primer curso de clculo) para la funcin z = f(x, rp(x)) = F(x) que depende slo de la variable x Todo esto suena muy bien, pero podran surgir algunos problemas . Veamos el siguiente ejemplo Ejemplo 1. Se quiere encontrar la distancia ms corta entre los puntos de la parbola =x- I Y el origen Consideramos entonces la funcin fer. y) = x 2 + ,2, que nos da (el cuadrado de) la elistancia del punto (x, y) E JR2 al origen, e imponemos la restriccin ele que este punto pertenezca a la parbola = .x - l. Nuestra restriccin es entonces g(x, y) =l - x + l = O Una sencilla reflexin geomtrica de la siguiente figura nos dice que la solucin debe ser el punto (1, O) Sin embargo, si aplicamos nuestra tcnica de convertir el problema en el de una funcin de una sola variable, vemos que fcilmente de g(x, y) = y2 - X + = Odespejamos y en trminos de r, poniendo y2 = X - 1 Y sustituimos en la funcin f, obteniendo la funcin f(x) = x 2 + r - 1, de la cual, i i 4 08 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias variables y ~ y2=x_1 ~ x Figura 1. La parbola l = x - l del ejemplo 1 nos disponemos a localizar los extremos De F ' (x) = 2x + 1 = O obtenemos x = - ~, y as nos encontramos con la desagradable sorpresa de que no existe punto alguno de la parbola -y2 = X - 1 que tenga esta abscisa (no existe y por tanto y2 = - ~ - 1 = - ~) La explicacin de este conflicto es sencilla: en el punto p = (1, O) en el que se encuentra la solucin del problema no se puede ver a y como funcin de x (en una vecindad de l), Esto es lo que nos indica el Teorema de la funcin Implcita (Teorema 34..1). Obsrvese que ~(1. O) = O, de modo que de g(x, y) = O no podemos poner y = ip(x) para una vecindad de (1, O), Sin embargo, a la luz de este mismo teorema de funciones implcitas, como O) = -1 =1- O, s podemos poner a x como funcin de y en una vecindad de p Dicha funcin es x = l + l., Si sustituimos sta en la funcin f, obtenemos F(y) = (l + 1)2 + l, investigando los extremos de esta funcin tenemos: F'(y) = 2(y2 + 1)2y + 2y = O de donde se obtiene y = 0, y como, x = l + 1, se obtiene x = 1, llegando as a la solucin del problema. La moraleja de este ejemplo es que el mtodo para despejar una variable en trminos de la otra de la restriccin g(x, y) = para luego sustituir en la funcin de la cual se quieren obtener los extremos, resulta riesgoso. peor an: no hay manera de saber a priori si tal despeje es lcito (a la luz del teorema de la funcin implcita) pues para eso tendramos que saber de antemano la solucin del problema, Ante esta desconsoladora situacin, surge el mtodo de los multiplicadores de Lagrange, que lo nico que pide es que grad g(x, )i) =1- O(el vector cero) en el punto (x, y) en el que se encuentra el extremo. Como en nuestro caso grad g(x, y) = (2y, -1) =1- (O. O) V(x, y) E ]R2, se puede proceder sin ningn temor con este mtodo: *0, F(x. y, A) = x 2 + l + Acl - x + 1) de donde - aF ax =2x- A=O, ay = 2y + 2AY = O. aF -=y2- x +l=0 aA ' aF La nica solucin para este sistema es x = 1, Y = O, que es la solucin de nuestro problema 46 Extremos condicionados (II). Condiciones suficientes 409 Al estudiar los extremos de la funcin z = f(x, y) sujeta a la restriccin g(x, y) = O, la hiptesis de que grad g(x, ji) i= (O, O) en el punto (x, y) en donde se encuentra el extremo procurado es importante, como se ve en el ejemplo siguiente. Ejemplo 2. Se desea obtener los extremos de la funcin f(x, y) = x 2 + l sujeta a la restriccin g(x, y) = (x - 1)3 - y2 = O Apliquemos el mtodo de los multiplicadores de Lagrange para resolver nuestro problema. La funcin de Lagrenge en este caso es F(x, y, A) = x 2 + l + A((X - 1)3 --l) de donde -ax = 2x + 3A(X - aF 1) 2 = O, - aF ay = 2y - 2Ay = O aF aA = (x - 1)3 -l = O Este sistema no tiene solucin alguna. Sin embargo, si pensamos en trminos geomtricos, vemos que lo que se intenta es obtener el mnimo y/o el mximo de la funcin distancia de los puntos de la curva g(x, y) = O al origen . Esta curva es l = (x - 1)3 cuya grfica esJa figura 2 de donde se ve claramente que en el punto O, O) se debe tener un mnimo para la funcin f(x, y) = x 2 + y2 El problema es que en ese punto se tiene grad g(l, O) = (3(x - 1)2,-2 y )1 x=1 = (O, O) >,,,,,0 As que en los alrededores del punto (1, O), la curva g(x, y) = Ono tiene un comportamiento "decente", violndose entonces una hiptesis fundamental del mtodo de los multiplicadores de Lagrange y (1, O) x Figura 2. Grfica de la curva / = (x - 1)3 4 10 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias variables Al considerar el problema de estudiar los extremos de la funcin l/ = ((l, " :) sujeta a dos restricciones gl(X, y, z) = O Y g2(X, y, z) = O, se pidi que en el punto p, donde se de el extremo. se tuvieran los vectOtes grad g I (p) Ygrad g} (p) linealmente independientes Esta es en cierto sentido la misma conduccin de que grad g(x, S) i Ocomentada previamente En cada una de las situaciones en las que aparecen tales condiciones, ellas garantizan la existencia de los multiplicadores de Lagrange '\' que es la tesis fundamental en la que se basa el mtodo En el teorema general estas condiciones estn incluidas en la hiptesis de que si X() E :::n en r,,) sujeta a las 111 el punto donde se de el extremo de la funcin de n variables :: = f(xl' X}, restricciones g, (XI, X2, , x,J, i = 1, 2, . m, entonces debe cumplirse que agi det ( -,-(xo) ) dX j para alguna eleccin de entiende que m < n) In i O 1, j = 1,2. 111 variables x j tomadas del conjunto de las variables (x I X2. \,_) (Sl En efecto, si n = 2, m = 1, estamos en el caso de una funcin de dos variables z = I( a una restriccin g(x, y) = O. La hiptesis anterior pide que alguno de los determinantes g \ v) sujeta det (a ) ax = ag ax' ag det ( - ) =ag - al' . i/\ . sea no nulo en el punto (x, y) donde se de el extremo. Esto significa que el vector .... grad ("l = (~S ~I,,) p .... no se anule en (x, y) -que no tenga ambas componentes igual a cero--, la cual es justamente la condicin que conocamos para este caso. (11, ('\ Si 11 = 3, m = 2. estamos en el caso de una funcin de tres variables Ii = f(x,).:') sujeta a dos restricciones g](x, y. z) O, g2(X. y. z) = O La hiptesis general pide que alguno ele los determinantes a.g] det dx iJg] ] ay [ ag2 ax agl :g: l ---J(x. y) a(gl. g2) det r ax l ax ag az az. az ] ag2 ~g2 ag] ] = a(g, g2) -_._- a(x. z) det [~~: ay og2 ~~ a(g.!.: g2) a(y. z) az (que son los jacobianos de gl y g2 respecto a x y y, x y Z y y y z respectivamente) sea no nulo en el punto p donde se da el extremo. Por otra parte, sabemos que los dos vectores VI =, grad gl y \2 = grad,l;} en R' son line<llrnente independientes si y slo si su producto cruz VI x 1'2 es no nulo Tal pmclucto crUl es 46 Extremos condicionados (ll) Condiciones suficientes 411 grad g I X grad g2 = det [ ag2 ~:; ,:~, al] ag2 ag2 ax = ay az + rJ~gl' gJ k d(X, y) a(.:}, g2) _ a~gl' g2)j a( y, z) <J(X, z) el cual es no nulo si y slo si alguno de sus componentes es no nulo. Por lo tanto, la hiptesis del teorema general es, en este caso, justamente la condicin de la independencia lineal de los vectores grad g} y grad g2 que ya conocemos Considcremos el problema de encontrar los extremos dc la funcin sujeta a las dos restricciones gJ (x, y, z) = z - (y - 1)3 = y g2(r, y, ;::) = z = funcin de Lagrange es en este caso Ejemplo 3. 1I = x 2 + y2 + Z2 Tenemos que la de donde - rJF ix = 2x = O =2v- 3'\1(\ -1)- =0 7 (1) ciF a}' (2) (3) - aF a = 2;:: + '\J +,\,- = z' . -=z-(v-I)3=0 ("!Al aF aF (4) (5) ---".-0 ("!A2 - , - Este sistema es incompatible pues de (4) y (5) se sigue que el valor de v debena ser 1, que no satisface (2) Viendo el problema en forma geomtrica, se trata de hallar el mximo y el mnimo (si existen) de la filOcin distancia (al cuadrado) del punto (x, y, z) al origen, f(x, y, 7) = x 2 +}2 + ;::2, con la restriccin de que el punto (x, y, z) se encuentra en la interseccin de las dos superficies g (r, y, z) = z - (y - 1)3 = y g2(X, v, z) = z = Tal interseccin es la recta x = 1, Y = 1, Z = 0, I E IR Geomtricamente es claro que (O, 1, O) es el punto de esta recta que se encuentra ms cerca del origen. Esta debe ser la solucin de nuestro problema que, en este caso, no se detecta por el mtodo de los multiplicadores de Lagrange. El conflicto en este problema est en que en el punto p = (O, 1, O), que es donde se alcanza el mnimo procurado, se tiene I gradgl(O, 1,0) = (O, -3(\,-1)1,1)\ .00 '-= = (0,0, 1) I~ 1 ~=o grad g2(0, 1, O) = (0,0,1) de modo que los dos vectores grad gl y grad g2 son linealmente dependientes en ese punto 4 12 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias variables z 1-------_____.. +----{~:; z=O x y Figura 3. Grfica de la recta x = t, Y = 1, z = O, t E lR Quisiramos ahora pasar a discutir un poco sobre las condiciones suficientes para la existencia de los extremos condicionados. Este es un tema suficientemente complicado como para superar las pretenciones de cualquier libro estndar de Clculo Avanzado. No ser nuestra intencin por lo tanto discutirlo con profundidad. Sin embargo, creemos que siempre es intelectualmente reconfortante, darse cuenta al menos del tipo de dificultades al respecto y hacer algunas cuentas, en un caso particular, para "sentir" tales dificultades. Comencemos por considerar un ejemplo concreto. Tomemos la funcin f(x, y) = y - x 4 sujeta a la restriccin g(x, y) = )' - x 3 = O. La funcin de Lagrange es en este caso de donde aF = -4x3 _ 3A.x2 = O, ax --=I+A=O, ay aF aF 3 - =y-x =0 aA El origen es un punto cuyas coordenadas satisfacen este sistema. Sin embargo, podemos ver que en tal punto no puede existir un extremo de la funcin f. En efecto, consideremos la curva de nivel f(x, y) = feO, O), o sea y = x 4 , la cual separa los puntos del plano en los que f(x, y) > feO, O) de los puntos en los que f(x, y) < feO, O)., Veamos qu ocurre cerca del origen con esta curva y la curva y = x 3 que marca la restriccin del problema Se ve que cualquier bola con centro en el origen contiene puntos de la curva y = x 3 para los que f(x, y) > feO, O) Y puntos de esa curva para los que f(x, y) < feo, O) As pues, el origen es un punto que cumple con las condiciones necesarias para la existencia de un extremo condicionado de la funcin f, en el que se muestra que tales condiciones no son suficientes. Tomemos ahora en general una funcin z = f(x, y) de clase 6'1 (como lo pide el teorema de los multiplicadores de Lagrange) y una funcin z = g(x, y) tambin de clase 6'1, e investiguemos los extremos de la funcin f sujeta a la restriccin g(x, y) = O. Ya sabemos qu hacer para obtener un punto p = (xo, Yo) candidato a extremo condicionado, Haremos ahora algunas operaciones que nos permitan obtener en este caso condiciones suficientes para que en el punto p exista de hecho como extremo. Sabemos que en el punto p el vector grad g 46 Extremos condicionados (H). Condiciones suficientes 413 y Figura 4. Grfica de y == x 4 y y == x 3 es no nulo Supongamos, por ejemplo, que El teorema de la funcin implcita nos dice que, en tal caso, podemos ver la curva g(x, y) = 0, en los alrededores del punto p, como la grfica de una funcin de clase '6'1, Y = ep(x), cuya derivada se puede calcular como ag Y ..,., = m'(x) = _ ax ag ay en estos puntos se tiene f(x. y) >O en estos puntos se tiene f(x. y) <O Figura 5. Grfica de y == x 3 en una bola con centro en el origen 4 14 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias \ ariables para los puntos que estn cerca de p . En tal caso, podemos considerar la funcin z sabemos, tiene un punto crtico para x = Xo En efecto, se tiene = f(x, ',O(x que, d dx = (~j. + rJx (:f',OI(X) cJ} = (:f rJx + ~f dy Jg) _ ( rig ~x_ Jv - ag ay 1 (afo g - - - ) afo g -- oxay oyax de modo que ;t(xo) = O si y solo si -----=0 Jfag ax ay ajJg Jy Jx en el punto (xo, Yo), donde Yo = ',O(xo) Esta relacin es equivalente a la existencia de ;\ E lR tal que grad f + ;\ grad g = O Ms an, la funcin lo cual est expresado por el teorema de los multiplicadores de Lagrange z = f(x, ',O(x tendr un extremo local en x = Xo si y slo si la funcin z = j(x, ) tiene tal extremo (condicionado, con la restriccin g(x, y) = O) en el punto p = (ro, )'0) Invitamos al lector para que tome de la definicin de extremos locales para z = f(x, ',O(x y de extremos condicionados para f(x, y) con la restriccin g(x, y) = O. para que se convenza plenamente de esta afirmacin Lo que pretendemos entonces es usar el criterio de la segunda derivada para identificar extremos locales de la funcin <' = f(x, ',O(x y dejarlo en trminos de las funciones j y g que conocernos en nuestro problema Todo consiste entonces en realizar algunas operaciones haciendo uso intensivo de la regla de la cadena Tenemos .y'a calculada (x Esta es r!-,z z= dz dX dx' -"'"- jag ajag ---,- ay ayax ag ay Cada una de las derivadas que aparecen en el miembro derecho de esta expresin son funciones de las variables x y y, Denotmoslas en general corno eNx, y) Suponemos adems que y = ',O(x) , Tendremos que derivar eNx, y) respecto de x. Entonces, el esquema general ser entonces segn la regla de la cadena --e!)(x, y) ()x a = -.- + (ix ()Cf> -.-',0 (x) aef> cJy 1 = -rlX ae!> g ce!> -f- (Ix a ) ay ( af;.' ay 46 Extremos condicionados (l!) Condiciones suficientes 415 Procedamos entonces a derivar nuevamente '('-fe respecto de x. Tenemos -x ~~=~(az.)=~ a:;ay-ay~ dxax ax ax ( afa g afag) ag ay g [af a (a g) ag a (a f ) 1 {a = (a.g)Z ay ax Jx ay + ayax (Jx ay - :; a~r (~~)] -- - af a (a g) ay Jx a~ (~~. ~~ - ~~. :~) aar (~~) } Aplicando nuestro esquema general, comentado previamente, para calcular las derivadas indicadas obtenemos Todas las derivadas se tienen calculadas en (xo. Yo). Aceptamos tambin que f y g son funciones de clase '{::,Z, de modo que sus parciales cruzadas son iguales. Esta es la expresin que buscbamos para ~:~ en trminos de las derivadas de las funciones conocidas f y g Si esta expresin es positiva en (xo. yo) podemos concluir la existencia de un mnimo condicionado para la funcin f, y si es negativa, de un mximo condicionado. Es posible, con un poco de trabajo adicional, hacer que el aspecto de esta expresin sea menos terrible, si en lugar de las funciones f y g, trabajamos con la funcin f y con la funcin de Lagrange F = f + I\g. En el punto p = (xo. YO) se tiene, para 1\ = valor del multiplicador de Lagrange correspondiente a p aF = af + 1\ ag = o, aF = af + 1\ ag = o. ax ax ax ay ay ay Z Z Z Zf ZF aZ a f ag aF a a g a" F a2f a" g - z = - , + 1\-, - - = - - + 1\--, - o = --::-:) + 1\-0 2 axay axay ax axax axay ay- dyay" de donde se tienen las expresiones - af = - j\\ag. -af = -1\-, ag ax ax ay ay a2f = -2F - 1 \ -g aa2-axay ata, axay' 4 16 Captulo 4 Extremos de las funcones de varas variables Sustituyendo stas en la expresin para ;8 nos queda Observamos que la expresin dentro del corchete es el negativo del desarrollo del determinante o HF = det ag ax ag ay ag ax a2 F a.x 2 a2 F --axay ag ay a2 F -axay a2 F a y2 que llamamos hessiano limitado de la funcin F = f + Ag en el punto p. As pues Como el denominador de esta expresin es siempre positivo, el signo de por el signo de HF(xo, Yo), tenindose que: (*) (*) (*) ;8 (xo) queda determinado Si H F(XO, Yo) > O (en cuyo caso condicionado en (xo, Yo); ;8 (xo) < O), entonces la funcin f tiene un mximo Si HF(xo, Yo) < O (en cuyo caso ;8(xo) > O, entonces la funcin condicionado en (xo, yo)); Si H F(XO, Yo) f tiene un mnimo = O no podemos determinar la naturaleza del punto (xo, Yo). Veamos un ejemplo. Ejemplo 4. Se quieren estudiar los extremos de la funcin f(x, y) = cos 2 x restriccin g(x, y) = x - y - = O. La funcin de Lagrange es + cos2 y sujeta a la F(x. y, A) = cos2 x + cos 2 y + A(x - y- ) 46 Extremos condicionados (1I). Condiciones suficientes 417 de donde - = -- sen 2x + A = O ax aF y ay = - sen 2 . - A = aF 1T -=x-y--=O aA .4 O aF (1) (2) (3) De (1) y (2) se tiene que sen 2x + sen 2y = O. Incorporando la ecuacin (3) obtenemos tan 2x = 1, de donde x = ~ + kl' k E Z, y por lo tanto, de (3), y = - ~ + kl' k E Z. se tienen as una infinidad de posibles extremos. a saber 1T 1T X= - +k8 2 1T 1T Y = -8 +k"2 ag = 1, Obtengamos los elementos del hessiano limitado para la funcin F. Estos son ax ag =-1 ay - 2 = -2cos2x, a2 F ax --=0, a2 F axay Evaluando en los puntos Pk = 2 (i + k l' - i + q) obtenemos 1T) + k1T = -2(-1) k - aF -(Pk) = -2cos ( ax 2 4 a - F (Pk) =-2 cos ay2 2 h 2 ~ = (-1) k+ 1v2 (1T) - - + k1T 4 J2 = (--1)k+ I v~ = -- 2( - 1)k 2 2 de modo que el hessiano limitado H F es o H F = det ag ax ag ay ag ax a2 F lx 2 a2 F -lxay ag ay a2 F -axay a2 F ay2 = det r~1 L1 -1 (_1)k+l J2 o (-li+ 1 J2 ~ ] ~(-1/2J2 Concluimos entonces que si k es par (H F puntos Pb que valen !(Pk) = cos- > O), la funcin! tendr mximos condicionados en los 2(1T +k1T) 8 2 +cos 2 (1T +k1T) -8 2 = 1+- J2 2 pero si k es impar (H F < O), la funcin! tendr mnimos condicionados en los puntos Pk que valen f(pd = 1 - 2 . J2 4 18 Capitulo 4 Extremos de las funciones de varias variables Tomemos ahora el caso de una funcin f(x, v, z) de tres variables x, y, Z', sujeta a la restriccin g(x, y, z) = O. Sea (xo, va, zo) un punto candidato a extremo condicionado de f, obtcnido segn el mtodo de los multiplicadores de Lagrange Sabernos que grad g(p) 1= O Sin perder generalidad podemos suponer que ~(p) 1= () Esto significa entonces que (por el teorema de la funcin implcita) en una vecindad del punto p podemos ver la superficie g(x, y, z) = O como la grfica de una funcin y = 'P(x, z) Sustituyendo sta en la funcin l, obtenemos la funcin de dos vuiables lt = f(x, 'P(x, z), z) Es fcil ver que esta funcin tiene un punto crtico en (xo, zo), pues este hecho equivale a la existencia del multiplicador de Lagrange A de modo que grad f(p) + A grad f(p) = O (E IR) l'vls an, la funcin u = f(x, 'P(x, z), z) tendr un extremo local en (xo. zo) si y solamente si la funcin lt = f(x, y, z) tiene tal tipo de extremo (condicionado Con la restriccin g(x. y) = O) en el punto p = (xo, Yo, lO) El problema original se convierte en el de la determinacin de extremos locales de la funcin lt = fex, 'P(x. z), z) Siendo sta una funcin de dos variablcs, podernos hacer LISO del Teorema 34..1 que nos da condiciones suficientes para la existencia de extremos locales para este tipo de funciones En nuestro caso tal teorema nos dara condiciones suficientes para la existencia de extremos condicionados de la funcin f en trminos de las derivaclas Tal como hicimos en el caso anterior, debemos de tener estas derivadas en trminos de las (derivadas de) las funciones g y f ( g Y F = f + Ag), para que el criterio noS sea de utilidad. Las cuentas que se hacen para obtener A, 8 Y C son muy parecidas a las realizadas en el caso anterior. Se trata simplemente de aplicar de manera correcta la regla de la cadena y los resultados del teorema 342 para la derivacin de las funciones implcitas (al momento de obtener ~, y ''..' en trminos de las derivadas parciales de la funcin g) Damos solamente los resultados, er;"tn~inos de la funcin g y de la funcin de Lagrange F = f + Ag . Se supone tambin que tanto f corno g san funciones de clase re 2 , para simplificar las expresiones resultantes tomando iguales las parciales mixtas correspondientes. Se tiene Se supone que todas las derivadas estn evaluadas en p. Al calcular la expresin 8 2 - AC (la cual debe ser negativa para que pueda existir extremo) nos encontramos con una agradable sorpresa Este 46 Extremos condicionados eH) Condiciones suficientes 419 es justamente el desarrollo del determinante O l ---det G~r ag ax ag ay ag az ag ag ag ay ax az a2 F -2 - -2aF aF ax 2 axay axaz a2 F a2 F -2aF ._ay2 ayaz axay a2 F a2 F a2 F -- -axaz ayaz az 2 O Adems, observamos que el signo de A queda determinado por el signo de ( ag -a-F ax ay2 ?? ) _2agag~+ ax ay axay 2 ()2 a2 =-det ag F ay ax 2 ag a2 F ax ax 2 ag a2 F ay axay ag az a2F axaz a2 F ayaz a2 F az 2 ag ax ag ay a2 j; axay a2 F ay2 que es justamente el negativo del determinante de la submatriz angular 3 x 3 que apareci en B 2 - AC, La clave de este anlisis est entOnces en el determinante O H F = det ag ay ag a2 F -2aF ax ax 2 axay ag -2- a2 F aF ay axay ay2 ag -2- -2aF aF az axaz ayaz ag ax tambin llamado hessiano limitado de la matriz F, teniendo entonces que, si llamamos Cl 3 al detelminante, la submatr1z angular 3 x 3 del determinante H F , entOnces (ver Terorema 34.,1) (*) (*) Si HF < O y Cl3 > O(o sea, si B2 - AC condicionado en el punto p, Si H F < O y Cl3 < O(o sea, si B2 - AC condicionado en el punto p, Si H F > O (o sea, si B2 el punto p, - < Oy A < O) entonces la funcin 1 tendr un mximo < Oy A > O) entonces la funcin 1 tendr un mnimo (*) (*) AC - > O), entOnces la funcin 1 no tiene extremo condicionado en Si H F = O (o sea, si 8 2 punto p, Veamos un ejemplo, AC = O), no se puede concluir nada acerca de la naturaleza del Ejemplo 5. y > O, z > O sujeta a la restriccin g(x, F(x, y, Estudiemos los extremos de la funcin f(x, y, z) = x + y + z definida para x > O, y, z) = ~ + .~ + ~ - l = O, La funcin de Lagrange en este caso z, ) 1 I l = x + y + z + ( -, + - + - - l ) x Y z 4 20 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias variables de donde aF A -=1--=0 ax x2 ' aF A -=1-az Z2' aF A -=1--=0 ay y2' aF 1 1 1 -=-+-+--1=0 aA x y Z La nica solucin de este sistema es x = y = hessiano limitado de la funcin F = f + Ag. z = 3 (y A = 9) Obtengamos los elementos del ag ax 2F a ax 2 x2 2,1 x3 ag ay 2F a ay 2 1 y2 2,1 y3 a2 F -=0 axay a2F -=0 axaz 2,1 Z3 az2 a2F -=0 ayaz .'.,. ag az 2F a Z2 de tal modo que en el punto (3, 3, 3) se tiene I - O 1 9 1 9 9 - - I H F = det 9 2 3 9 9 O 4 = - - <O 243 . ~3 O 2 3 O O 2 3 9 - 9 = det OO O 9 I 9 2 3 O 3 4 = - - <O 243 2 Segn el criterio establecido anteriormente, se tiene un mnimo condicionado de la funcin f en el punto (3,3,3). Obsrvese que lo que hemos establecido en este problema es que la suma de tres nmeros positivs x, y, z, de modo que la suma de sus inversos sea la unidad, es un mnimo cuando iIII los tres nmeros son iguales a 3. El anlisis de las condiciones suficientes para extremos condicionados de funciones en los dos casos particulares anteriores nos presenta, de manera plausible, el siguiente criterio para el caso general de una funcin y = f(x, X2, . , x n ) de n variables sujeta a la restriccin g(XI, X2, ,xn ) = 0, el cual no es ms que la generalizacin natural de las condiciones establecidas en los casos previos . Supongamos que f y g son funciones de clase 'e 2 y que en Xo E U ~ ]Rn (dominio de f), existe A E]R tal que grad f(xo) + Agrad g(xo) =O Consideramos entonces el hessiano limitado de la funcin de Lagrange F = f + Ag 46 Extremos condicionados (II). Condiciones suficientes 42 l o ag aXI Jg aXI a2F aXT a2F aXl aX 2 a2F axlax lI Xo ag aX2 a2 F aX] aX 2 a2F ag aXII a2 F aXlaXII a2 F aX2aXII a2 F H F = det ag aX2 -ax~ a2F aX2aXII g aX II ax~ donde todas las derivadas estn evaluadas en Sea ag aX2 a2F aXl aX 2 a2F aX2aXk Jg aXk a2 F aXI aXk a2 F ax 2 k O ag ag aXI a2 F aX Li k+ I = ejet aXI ----;;- ag aXk a2 F aXI aXk (2 :S k :S a. b. c. n) Entonces Si Li k < Opara k Si Li 3 = 2, 3, .. n la funcin f f tiene un mnimo condicionado en Xo Xo > O, Li 4 < O, Lis > O, , la funcin tiene un mximo condicionado en Si no todos los Li k son cero, pero no se tiene ninguna de las situaciones descritas en los dos incisos anteriores, entonces la funcin f no tiene extremo condicionado en Xo Veamos un ltimo ejemplo. Ejemplo 6. Consideremos la funcin f(XI, X2,. ., XII) = X I Xl positivos, sujeta a la restriccin g(XI, X2,. ,XII) = XI + Xl + . positivo dado) La funcin de Lagrange es F(XI,X2, .. ,xlI,A)=XIX2 XII + XII XII en donde XI, X2. ., XII son - A = O (A un nmero + A(xl + X2 +.. + XII - A) de donde - aF aXI aF aX2 = .X2X3 = XIX3 . XI! XI! +A= O +A= O (1) (2) aF = XIX' Jx" - X,,_I + A= + XI! O -A (n) - = .X + x, + aA - JF =O (n + 1) 4 22 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias variables De las ecuaciones (1) a la (n), se obtiene X = X2 = = X n , y de la (n + 1) se obtiene Xi = ~, i = 1, 2, ,n Por lo tanto slo hay una solucin al sistema, la cual corresponde al punto p = (~, ~" ,~) E JR", Los elementos del hessiano limitado de la funcin F son ax, a2 F --axax j de modo que en el punto p se tiene ~= 1 ' = 1,2" n Xj_.x j + Xn =X Xi_IX+' (n-2 factores) --1 -1 -lOe H F = det -1 e e -1 e e -1 donde e e= (~r-2 Se puede ver fcilmente que y por lo tanto los signos de estos determinates son Ll 3 > 0, Ll4 < 0, Ll5 > 0, " ., de modo que por el criterio establecido anteriormente, la funcin f tiene un mximo condicionado en el punto p (se puede llegar a esta conclusin razonando un poco en el contexto del problema; sin embargo nuestra intencin aqu era obtenerla del criterio estudiado), que vale Veamos la consecuencia de nuestro resultado, Hemos obtenido que (~) n es el valor ms grande de la funcin f(x, Xl', '" x,,) = XIX2 'X n sujeta a la restriccin XI + X2 +, + x" = A, es decir que siempre que X + X2 +,. + X n = XI ( A. Lo que podemos escribir con slo la expresin + X2 +n' ,,+ x,,)n 'x n ::::: XX2 o sea yXIX2 .r::-:--- XI X2 Xn :::; - - - - - - - + + n + donde Xl, X2, "" X n son cualesquiera nmeros positivos As se obtiene la conclusin conocida de 111 que la media geomtrica de n nmeros positivos nunca excede su media aritmtica. 4 6 Extremos condicionados en) Condiciones suficientes 423 Ejercicios (Captulo 4, Seccin 6) En los ejercicios 1-6, compruebe, usando el Hessiano limitado, los resultados bbtenidos sobre los extremos condicionados de las funciones f(x, y) con las restricciones g(x, y) = O consideradas en los ejercicios indicados de la seccin anterior. 1. Ejercicio 1: f(x, y) = 2x - y, g(x, y) = 3x 2 2. Ejercicio 2: f(x, y) = x + 2y2 - 33/2 = O + 3y, g(x, y) = 2x2 + y2 - 38 = O 892/3 = O 3. Ejercicio 3: (x, y) = 3x .- 7y, g(x, y) = 4x 2 + 3l - 4. Ejercicio 4: f(x, y) = -2x - 5y, g(x, y) = 3x2 + l - 237 = O 5. Ejercicio s: f(x, y) = x + 2y, g(x, y) = x2 + y2 - 5= O 6. Ejercicio 8: f(x, y) = x 2 l , g(x, y) = x 2 + y2- 1 = O En los ejercicios 7-11, compruebe, usando el criterio establecido en esta seccin (con los determinantes Ll3 y H F ), los resultados obtenidos sobre los extremos condicionados de las funciones f(x, y, z) con las restricciones g(x, y, z) = O consideradas en los ejercicios indicados de la seccin anterior. 7. Ejercicio 16: (x, y, z) 8. Ejercicio 17: 9. Ejercicio 18: 10. Ejercicio 19: 11. Ejercicio 20: = 2x + 3y + z, g(x, y, z) = 4x2 + 3l + Z2 - 80 = O f(x, y, z) = -x - 4y + 5z, g(x, y, z) = 5x 2 + y2 + Z2 - 1030 = O f(x, y, z) = x - y- z, g(x, y, z) = x 2 + 2y2 + Z2 - SO = O f(x, y, z) = 2x - 3y + z, g(x, y, z) = 4x 2 + y2 + Z2 - 704 = O f(x, y, z) = x + z, g(x, y, z) = 2x2 + 4y2 + SZ2 - 70 = O 12. En el ejercicio 23 de la seccin anterior se obtuvieron los puntos PI = (5/9,2/9,2/9), P2 = (-1, 1, 1) como candidatos a extremos condicionados para la funcin f(x, y, z) = x 3 + 2y2 + 2z 2 + x 2 y + xl + xz, sujeta a la restriccin g(x, y, z) = x + y + z. - 1 = O Aplique los criterios estudiados en esta seccin para conclur que la funcin f tiene en PI un mnimo condicionado, y que en P2 no tiene extremo 13. En el ejercicio 24 de la seccin anterior se obtuvieron los puntos PI = (l/3, 1/3, 1/3), P2 = (-1/3,2/3,2/3) como candidatos a extremos condicionados para la funcin f(x, y, z) = x3 + y2 + Z2 + x 2 y + xy2 + xz, sujeta a la restriccin g(x, y, z) = x + y + z - 1 = O. Aplique los criterios estudiados en esta seccin para concluir que la funcin f tiene en PI un mnimo condicionado, y que en P2 no tiene extremo 14. En el ejercicio 31 de la seccin anterior se consider el problema de hallar la distancia mnima de los puntos de la hiprbola x 2 -l = 1 al origen de coordenadas. Se obtuvieron dos puntos PI = (3/.s, 1/ .s), P2 = (-3/.s, -1/ .s).. Compruebe que estos dos puntos representan efectivamente mnimos para la funcin f(x, y) = x 2 + l = (cuadrado de la) distancia al origen de] punto (x, y), sujeta a la restriccin g(x, y) = x 2 -y2 - 1 = O 4 24 Captulo 4 Extremos de las funciones de varias variables (*) 15. Considere la ecuacin In(x 2 ) + l = 1, la cual representa una curva en el plano Use el mtodo de los multiplicadores de Lagrange para determinar que los extremos condicionados de la funcin (cuadrado de la) distancia de (x, y) al origen, estando (x, y) en la curva dada, se pueden encontrar en los puntos PI = (1, 1), P2 = (1, -1), P3 = (-1, 1), P4 = (-1, -]), Ps = (ve, O), P6 = (-ve, O). Compruebe que, de hecho, en los puntos PI 2.34 hay mnimos condicionados y que en PS,6 se dan mximos condicionados. Al ver la grfica de la curva, es fcil convencerse de que los puntos PUJA son los que en realidad se encuentran ms cercanos al origen de coordenadas, pero que existen puntos de la curva que se encuentran ms alejados del origen que los pIntos PS,6 Hay alguna contradiccin en este hecho? (*) 16. En la discusin presentada en esta seccin de la que se obtuvieron condiciones suficientes para que en el punto P = (xo, Yo) exista un extremo condicionado de la funcin z = f(x, y) sujeta a la restriccin g(x, y) = O, se ananc del hecho de que *(p) i= O. Suponga que esto no ocurre Es ..;.~ decir, suponga que (p) = O. Demuestre entonces que ~ (p) i= O, Yque en una vecindad de p, la grfica de g(x, y) = b puede verse como la grfica de una funcin x = fJ(y). Demuestre que, en tal caso, la funcin z = f (x, y) sujeta a la restriccin g(x, y) = Otiene un extremo condicionado en p si y solamente si la funcin z = f(fJ(y), y) tiene un extremo local para Y = Yo Verifique que la segunda derivada de esta ltima funcin, en el punto y = Yo, se ve como * donde todas las derivadas parciales estn evaluadas en P (se supone que f y g son funciones de clase 'e 2 , de modo que sus derivadas parciales mixtas son iguales) . Demuestre finalmente que esta ltima expresin se escribe, en trminos del Hessiano limitado definido en esta seccin, como Con ella, re0btenga el mismo criterio establecido en esta seccin para conclur la existencia de un extremo condicionado de z = f(x, y) con la restriccin g(x, y) = O, en el punto p, en trminos del Hessiano limitado Hf(XO, Yo) _ _ _ _ _ _ _ _--------'- ~Captulo urvas en el espacio En los tres captulos anteriores hemos dedicado nuestro estudio a las funciones que, tomando valores reales, tienen su dominio en subconjuntos del espacio euclidiano n-dimensional JRn. Estos tres captulos cubren la parte "diferencial" del clculo de estas funciones. La parte "integral" se abordar en el siguiente captulo donde, por as decirlo, comienza la parte "integral" del presente libro. En alguna parte del estudio de funciones de varias variables tuvimos un acercamiento con las funciones ms generales consideradas en este texto, del tipo f: U ~ JRn -+ JRm, cuyo dominio y codominio est en un espacio euclidiano de varias dimensiones. Esto fue simplemente para poner en un contexto global el estudio de la diferenciacin de funciones compuestas. Sin embargo, podemos decir que lo que en realidad hemos estudiado hasta este momento es, como apuntbamos, el clculo diferencial de las funciones f: U ~ JRn -+ JRm en el caso particular m = l. En este captulo estudiaremos dichas funciones en el caso particular n = 1, dejando entonces que ahora el espacio euclidiano de varias dimensiones est en el codominio de la funcin y que su dominio sea un subconjunto de JR 1 = la recta de los reales. Estas sern pues funciones del tipo f: 1 ~ JR -+ JRn, definidas en algn subconjunto 1 de JR (digamos un intervalo) y tomando valores en el espacioJRn. En realidad, concentrar~lllos nuestro estudio en los casos n = 2 Yn = 3 (el caso n= 1 fue estudiado en el primer curso de clculo), ya que es en estos casos donde se cristaliza la riqueza geomtrica del tema con visualizaciones concretas de los tpicos que se abordarn. Por supuesto que, entendiendo estos casos particulares, se llega a las generalizaciones correspondientes de un modo muy natural. Comencemos. 5.1 Introduccin. Lmites y continuidad Una funcin vectorial (o a valores vectoriales) de una variable real, es una funcin del tipo f: 1 ~ JR -+ JRn la cual, a cada nmero real t de algn subconjunto 1 de IR (el dominio de la funcin) le asocia un (y solamente un) valor f(t) en el espacio JRn. (En todo este captulo la variable independiente de f se denotar con la letra t o en algunas ocasiones, a partir de la seccin 4, tambin con la letra s). Puesto que f(t) es un punto del espacio JRn, ste tiene n coordenadas, las cuales son, en general, funciones de la variable t. As, podemos escribir f(t) (Xl (t), X2(t), ... , Xn (t E JRn donde Xi: 1 ~ JR -+ JR, i = 1,2, ... , n son funciones reales de la variable real t, llamadas funciones coordenadas de la funcin f. 425 4 26 Captulo 5 Curvas en el espacio Como siempre, cuando solamente se proporciona la regla de correspondencia (como suele ocurrir) f(t) = (Xl (t), X2(t), ... , xn(t)), y no se hace explcito el dominio 1 de la [uncin, se entiende que ste es el mayor subconjunto de la recta para el cual x(t) hace sentido para toda i = 1, 2, .. . ,11 (el dominio natural de la [uncin f), es decir, el mayor subconjunto l de JR para el cual f(t) hace sentido. Esquemticamente se tiene f(l) Figura 1. Una funcin f: 1 s:; IR --+ IR". Las funciones f: 1 ~ IR -. JRn que nos interesa estudiar son las que son continuas en su dominio f. Para establecer el concepto de continuidad de estas funciones, antes tendremos que referirnos al concepto de lmite. La idea de lmite para funciones f: 1 ~ JR -. JRn es la misma que se estudi tanto en el primer curso de clculo, como en el captulo 2 para funciones de varias variables: si to El, o es un punto frontera de l, se dir que la funcin f tiende al lmite L E JRn cuando t tiende a to, si para valores de t cercanos a to se tienen las correspondientes imgenes de fU) cercanas a L. Para mayor precisin se tiene la definicin siguiente 'o Definicin. Sea f: l ~ JR --+ JR" una funcin definida en un intervalo abierto! de JR y sea to un punto de J o un punto de frontera de l. Se dice que el lmite de la funcin f cuando t tiende a to es L (E JRn), lo cual se escribe como lm f(t) (-'(0 =L si dado cualquier > Oexiste un {) > O tal que t E l. O < It - tol < {) :::} Ilf(t) - LII < donde 1I II es la norma euclideana de vectores de JRn, es decir Ilxll x = (Xl. X2 ... x n ). Esquemticamente (figura 2) El siguiente teorema nos dice que el estudio de los lmites de las funciones f: l ~ JR --+ JR" est ntimamente relacionado con el estudio de los lmites de las funciones coordenadas de f. 5.1 Introduccin. Lmites y continuidad 427 f lo - 8 lo lo +8 IR" 1 Figura 2. El lmite de una funcin f: 1 <;;; IR -t IR". Teorema 5.1.1 lm H10 f(t) Sea f: 1 L ~ (e, (x(t), X2(t), .... XII (t)). = = 6 ..... ell) JR ......, JR" una funcin como en la definicin anterior. Entonces E JR" si y slo si lml~lo X(l) = e, donde f(t) 111 Demostracin. Supongamos primero que lm-do f(t) = L. Esto significa, segn la definicin dada anteriormente, que para cualquier E > Oexiste Ode modo que si t E 1, O < It - tal < entonces Ilf(t) LII < E. Pero como o> o Ilf(t) -- LII = II(x(t) -- el .... , xlI(t) -- ell)11 = (t(X(t) =l se tiene que por lo tanto, dado E > Oexiste o> O tal que 0< It - tal < o => Ix(t) -- e1 < E Lo que significa que lmH10 x(t) = e, como se quera. Supongamos ahora que lm H10 x(t) = e, i = 1,2... , TI. Esto quiere decir que para cualquier E > O hay un o > O. tal que tE 1, O <It -- tal Sea E> < o =>Ix(t) - e; < E. O arbitrario y sea E = )n. Tome 0= mn(ol, 02, ... , ( 11 ), Para talo se tiene t E 1, 0.< It -- tal < o => Ix(t) -- e; <;n I=J Vi 1, 2, ... , TI Entonces IIf(t) -- LII = (t(X(t) - e)2) 1/2 < 1=1 (t (;n) 2) 1/2 =E 4 28 Captulo 5 Curvas en el espacio As se ha probado que para cualquier E tE > Oexiste o > O tal que It .- tal 1, 0< < o=? Ilf(t) - LII < E Q.E.D. Esto significa que lmt->to f(t) Veamos un ejemplo. = L. Ejemplo 1. Sea f: JR -; ]R3 la funcin dada por f(t) = (t 2 + 1, 2t, t). Las funciones coordenadas def sonx(t) = t 2 + 1, X2(t) = 2t,X3(t) = t. Puesto que lmt->tox(t) = lmHto(t2 + 1) = tJ + 1, lmt->to X2(t) = lm Hto (2t) = 2to, lmt->to X3(t) = lmt~to t = to, se tiene que, segn el teorema anterior lm f(t) t-+to = t-+/o (t), X2(t), X3(t lm(x (lm x (t), lm X2(t), lm X3 1-10 t-+to /-+10 (t)) = (tJ + 1, 2to, to) Por ejemplo, si to = 1, se tiene que lm t-> I f(t) = (2, 2, 1). Esto significa que se puede tener a f(t) arbitrariamente cerca del punto (2, 2, 1) E ]R3 con t suficientemente cerca de l. f ---+-+I-l-l- - - - --------f.-_-"\ ~/ . lR (2,2, 1) X2 XI Figura 3. El lmite de f(t) = (t 2 + 1, 2t, t) cuando t -> l. En cierto sentido el comportamiento de la funcin f: 1 <;;; JR -; ]Rn lo determina completamente por el comportamiento de sus funciones coordenadas Xi: 1 <;;; JR -; R Este hecho se empieza a sospecharse con el teorema anterior que nos dice que el lmite de la funcin f est determinado por los lmites de las funciones coordenadas Xi. Una situacin anloga ocurrir con la continuidad de la funcin f; se ver que sta es continua (con la definicin que daremos a continuacin) si y slo si sus funciones coordenadas lo son. Establezcamos la definicin rigurosa de continuidad de este tipo de funciones. Definicin. Sea f: 1 <;;; ]R -; ]Rn una funcin definida en el subconjunto abierto 1 de ]R y sea to E l. Se dice que f es continua en to si lm fU) = f(to) 1-10 5.1 Introduccin. Lmites y continuidad 429 Como siempre, lo que sugiere esta definicin es que la propiedad de continuidad de una funcin f equivale a que movimientos pequeos de t en torno a to producen movimientos pequeos en las imgenes fU) alrededor de fUo); de otro modo, las imgenes cercanos a f(to) no tienen cambios bruscos para cambios pequeos del valor de t. Esto se puede ver mejor si escribimos la definicin de continuidad dada anteriormente usando la definicin de lmite: la funcin f es continua en to si dado E > O existe 8 > de modo que It - tal < 8 t =} en!nm:es est l'erca de 'O en menos que a Ilf(t) - fUo)\I < rl es;! cerca de fUO 1 en mens q\IC~ E (la condicin t i= to que en la definicin de lmite estaba escrita como It - tol eliminada pues la definicin de continuidad requiere que fUo) exista). La cadena de igualdades lm f(t) = lm(x U), X2(t), ... ,xn(t -{-fo /-+(0 > 0, ahora queda = (lm XI (t), lm X2U), ... , lm x,,(t)) 1-10 .. [-+fo 1-+(0 = (XI (to), X2(tO), ... , x"Uo) = feto) junto con algunos comentarios pertinentes por parte del lector, (aplicando desde luego el teorema demostrado previamente y la definicin de continuidad de f y de sus funciones coordenadas), deber sin duda proporcionar el argumento contundente que pruebe la validez del teorema siguiente. Teorema 5.1.2 Sea f: 1 <:;:; JFt -> JFt" una funcin definida en el intervalo abierto 1 de 1Ft, digamos que f(t) = (XI (t), X2(t), ... , xn(t)). Sea to E l. La funcin f es continua en to si y slo si sus funciones coordenadas Xi: 1 <:;:; JFt -> JFt lo son. 11 Una funcin f: 1 <:;:; JFt -> JFtn definida en el intervalo abierto 1 de JI( se dice ser continua en 1 (o simplemente continua) si lo es en todo t E l. Ejemplo 2. La funcin f: JI( -> JFt2 dada por f(t) = UJ + 1, (2 - 2t + 1) es continua, pues sus funciones coordenadas son polinomiales y, por tanto, continuas. Ejemplo 3. La funcin f: JFt -> JFt3 dada por t,t-, -t-. 1 fU)= { sen t) ( si t si t i= es discontinua en t = (0,0,0) = pues t~lo 1 sen lm fU) = lm t, t-, I~O ( t t) = (0,0, 1) i= (0,0, O) = feO) La continuidad de una funcin f: 1 <:;:; JI( -> JFtn definida en el intervalo 1 de JFt es el ingrediente esencial que nos permite definir el tipo de objetos de nuestro estudio en este captulo. 4 30 Captulo 5 Curvas en el espacio Ejercicios (Captulo 5, Seccin 1) 1. Sea f: IR; ---> IR;3 la funcin fU) = U2 , 3t - 1, t 3 - 2). Determine: a. b. e.. c.. f.. f(1); f(3) - f(2); 0.5f( -1); d .. f(1) . f(3); Ilf(2)llf(1); f(1) x f(-1); g.. feO) . f(l) x f(2) 2. Sean /1: 1 ~ IR; ---> IR; y 12: ] ~ IR; ---> IR; dos funciones reales definidas en los subconjuntos J y ] de IR;, Cul es el dominio (natural) U de la funcin f: U ~ IR; ---> IR;2, f(t) = (JI (t), hU))? En general, si /i: Ji ---> IR; es una funcin definida en el subconjunto Ji de IR; , i = 1, 2, ... , k, cul es el dominio U de la funcin f: U ~ IR ---> IR;k, f(t) = (JI U), h(t), ... , hU))? En los ejercicios 3-10 determine el dominio U de las funciones siguientes 3. f: U ~ IR; ---> ~,2, ---> ---> ---> ---> fU) (t, 1) 4. f: U ~ IR; IR;2, f(t) = (.ji, t 2 ) 5. f: U ~ IR; IR 2, f(t) = (Vf+t, IR;2, f(t) = IR;3, f(l) = JI=t) 6. f: U ~ IR; 7. f: U ~ IR O/ t, In t) (l, l2, t 3 ) 8. f: U ~ IR; ---> IR;2, f(t) = (ln(t 2 + 1 + 1), In(t 2 - t + 1), In(t2 + 1)) 9. f: U ~ IR; 10. f: U ~ IR ---> ---> IR;3, f(t) = (t, arcsen t, In t) IR;4, f(t) = (arcsen t, arcsen 2t, arcsen 3t, arcsen 4t) E 11. Se sabe que Im h 2(t, t) = (2,2). Puesto que > O, determine el 8 > O que verifique la validez de este lmite. 12. Repita el ejercicio anterior con el lmite lm r _d3t, -t) = (6, -2). 13. Se dice que la funcin f: J ~ IR; ---> IR;n es una/uncin constante, si f(tl) = f(t2) \lt, t2 E J. Ental caso se escribe f(t) = e (donde e E IRn es igual f(t) para cualquier tEl). Por ejemplo, f(t) = (1, 3) Y f(t) = (2, O, -4) son funciones constantes. Enuncie con precisin y demuestre el resultado siguiente: el lmite de una funcin f: J ~ IR; ---> IR;n cohstante es igual al valor de la constante. En los ejercicios 14-20, calcule los lmites indicados 14. lm h l(3t - 1, t) 5.1 Introduccin. Lmites y continuidad 431 15. lm HI (tt-11, tt+11) 2 2 - 16. lm (sent ' ..... 0 t ' cos t _t_) t3 - l -t 2 - l' 4 t - 1) -t3 - l t2 - 1 18. lm ( - ..... I t - 1' 19. 11m ..... o , (X + t)2 t x 2 (x + t)3 - x 3 (x + t)4 - x , , -'--,-.--t t 4) 20. lm (sen 2t cos 21 sen 4t ) ..... O sen 3t' cos 3t' cos 51 En los ejercicios 21-25, exponga la continuidad de las Junciones 21. f(t) = ( - - , - t- 1 t+l t 2 l t 2 - 1) + 1)) 22. fU) 23. fU) = (t. sgn t) = (sgn(t 1), sgn(t 24. fU) = -{ e (O, 1) se;t) si t:f= si t = o o si t si t 25. fU) = { sen 2t cos 2t sen 4t ) ( sen 3t' cos 3t' cos St (2/3, 1, O) :f= O O l. Demuestre que la funcin 'P: 1 --+ IR, 26. Suponga que la funcin f: 1 <::;; ]R 'P(t) = Ilf(t)1I es continua en l. 27. Si f, g: 1 a. b. <::;; --+]R" es continua en JR ]R" son dos funciones continuas, demuestre que las siguientes funciones son continuas; f + g: 1 <::;; ]R --+ ]R" , (f + g)U) = fU) + gU) c. r g: 1 <::;; ]R --+ ]R", (f . g)(t) = fU) . gU) r x g: 1 <::;; ]R --+ ]R", (f x g)(t) = f(t) x gU) 28. Por medio de ejemplos concretos, muestre que la afirmacin recproca del ejercicio anterior es, en general, falsa. Es decir, d ejemplos de funciones r, g: 1 c;;: ]R ----> ]R" por los que r + g, f . g, r x g son funciones continuas, sin que r y/o g sean continuas. 4 32 Captulo 5 Curvas en el espacio 5.2 Caminos en rrt n Consideraciones y ejemplos preliminares La definicin ms importante del captulo, punto que nos presenta los objetos a estudiar en l, es la siguiente Definicin. Una funcin f: l ~ IR --> IR" continua, definida en el intervalo l de IR., se llama camino o trayectoria en el espacio IR" ... [Antes de completar la definicin haremos un par de comentarios. En ella nada se dice de la naturaleza del intervalo l ~ IR donde est definida f. Si ste es abierto, ya sabemos qu significa que la funcin f sea continua en l. Si no lo es, digamos por ejemplo que sea cerrado 1= [a, b], entonces decimos que f es continua en l si lo es en (a, b) y si lm f(t) t---+Q- = fea) y lm f(t) f---4b+ = f(b) Los caminos de IR" son los objetos matemticos de nuestro estudio en este captulo. Ellos son pues, segn la definicin anterior,funciones continuas f: l ~ IR --> IR" definidas en el intervalo l de IR y tomando valores en el espacio IR".] ... Si la funcin continua f: l ~ IR --> IR" est definida en el intervalo cerrado l = [a, b], diremos que el punto fea) E IR" es el punto inicial del camino o trayectoria r, en tanto que f(b) E IR" es el punto final de l. Si acontece que fea) = f(b), diremos que el camino f es cerrado. Si la funcin r es inyectiva en l (es decir, Vtl, t2 E 1, tI 1= t2 => f(tl) 1= f(t2), diremos que f es un camino simple. Si se tiene que fea) = f(b) Y la funcin f restringida al intervalo [a, b) es inyectiva, diremos que el camino es cerrado simple. lIi Nos inclinaramos ahora a tener una visualizacin geomtrica de este tipo de objetos recin definidos, lo cual nos lleva de manera natural a pensar en "la grfica" de un camino. Ciertamente no hemos definido lo que se debe entender por grfica de una funcin como las que estamos estudiando. Sin embargo, no resultar difcil establecer tal definicin si vemos de nuevo cmo es este concepto en el caso de las funciones reales de una variable real y el caso de funciones de varias variables (ver seccin 2, captulo 2). Haciendo una generalizacin (o adecuacin) natural para el caso de funciones f: l ~ IR --> IR", diremos que la grfica de una funcin como sta es el conjunto f(t) E (abusando un poco de la notacin, hemos puesto en la segunda coordenada de (t, fU, el punto IR"). Sugerimos al lector que intente visualizar este concepto en el caso n = 2 (nico caso en que se puede hacer, para tener as los puntos de la grfica de f en el espacio IR 3 ), para que vea y sienta las dificultades que se presentan. Este es, pues, un concepto que en nada nos ayuda a tener representaciones geomtricas "decentes" de los nuevos objetos estudiados. Sin embargo, s hay una manera de "ver" nuestros caminos f; l ~ IR --> IR", que nos ayudar mucho a entender su comportamiento. La manera correcta deabordar la geometra de estos objetos matemticos es por medio del siguiente concepto. Definicin. Se llama traza del camino f; l las imgenes de f; es decir traza de f ~ IR --> IR", al conjunto (subconjunto de IR") de = {f(t) E IR"lt E I} e IR" 5.2 Caminos en IR". Consideraciones y ejemplos preliminares 433 traza def I I a b Figura 1. Traza de un camino f: 1 <;;; JR -+ JR". As, la traza de un camino f es algo as como la "huella" de las imgenes de f. (Esta huella se deja en el espacio donde viven las imgenes de la funcin). Conviene siempre tener en mente que la variable independiente t recorre de izquierda a derecha el intervalo 1 e imaginar a las imgenes correspondientes movindose en el espacio ID;n, dejando as marcada de manera continua su traza. En realidad, esta visin "mecnica" de los caminos es muy importante para entender adecuadamente algunos puntos en el estudio que emprenderemos en este captulo. An ms, se usar la letra t para designar a la variable independiente de nuestros caminos, y precisamente para que sta sea pensada como tiempo. Ante esta perspectiva, podemos pensar que cada camino f: 1 <;;;; ID; -> ID;n es como "la frmula matemtica de una carretera en el espacio", la cual, como veremos, tiene dos ingredientes importantes que la caracterizan: la forma de la carretera en s y la manera como sta es recorrida. f I )1 ti 1 Figura 2. Diagrama de la traza de una funcin. Designaremos con la palabra curva (en ID;n) la traza de un camino f: 1 ID; -> ID;n. Esta palabra tiene un contenido geomtrico ms fuerte que "camino" o "trayectoria", lo cual resulta muy conveniente para nuestros propsitos, pues en ocasiones debemos distinguir al camino en s, el cual es unafuncin continua f: 1 <;;;; ID; -> ID;n, del aspecto visual que presentan sus imgenes en conjunto, es decir, de 4 34 Captulo 5 Curvas en el espacio la curva asociada a f. Sin embargo, cuando no haya peligro de confusin, nos podremos referir a propiedades del camino f como propiedades de la curva asociada a f. Pensemos por ejemplo en un camino en 1R2 , digamos f: [a, b] --> 1R 2 , f(t) = (x(t), y(t. El punto inicial de l es fea) = (x(a), y(a y el punto final es f(b) = (x(b), y(b. Supongamos que f es una funcin inyectiva. En tal caso, siendo el camino f simple, podremos decir que la curva {f(t) E 1R 2 1t E [a, bJ} es (una curva) simple. Veamos de cerca cul es la implicacin geomtrica de este concepto. Supongamos que la curva pasa por el punto (xo, Yo) (es decir, para algn to E J se tiene feto) = (xo, Yo. El hecho de ser la funcin f inyectiva significa que la curva no vuelve a pasar por (xo, Yo) (si as lo hiciera, existira tI E J tal que f(tl) = (xo. Yo) = f(to), lo que viola la propiedad de inyectividad de f). Por lo tanto, una curva simple es una curva que no tiene autointersecciones. Por ejemplo, los siguientes caminos (las siguientes curvas) en 1R2 no son simples y f fea) o Figura 3. Curvas que no son simpJes. x En el caso de caminos cerrados simples f: [a, b] --> 1R2 (que no equivale a que sean cerrados y simples, -pues de hecho tales caminos ... no existen!- por qu?) el aspecto geomtrico es el siguiente y a 1 b x Figura 4. Curvas cerradas simples. 5.2 Caminos en IR". Consideraciones y ejemplos preliminares 435 z f(b) a b y Figura 5. Curvas simples. Del mismo modo, curvas simples en IR 3 tienen aspectos como los que se muestran en la figura 5. Veamos algunos ejemplos concretos. Ejemplo 1. Consideremos la funcin continua cp: IR -> IR. Esta es una funcin real de una variable real xE /. Como sabemos, la grfica de esta funcin es (por definicin) el conjunto {(x, y)lx E /, Y cp(x)} e IR 2 al cual siempre nos hemos referido como "una curva" en el plano. Es sta una "curva" en el sentido que estamos manejando en el presente captulo?, es decir, es la grfica de la funcin y = cp(x) igual a la traza de una funcin f: / ~ IR IR 2 ? Ntese que si definimos la funcin f: / ~ IR -> IR 2 (l es el mismo intervalo de la recta donde est definida cp) como = (t, cp(t)) tenemos que f es continua (pues sus funciones coordenadas xU) = t, y(t) = cpU) lo son) y adems traza de f = {U, cpU))lt E I} = grfica de cp !p(t) ----------------- r(n = (r, !p(t)) t 1 Figura 6. Grfica de la funcin !p. 4 36 Captulo 5 Curvas en el espacio De este modo tenemos pues que las curvas que son grficas de funciones continuas cp: <:;; IR -+ IR, son "curvas" (en el sentido de este captulo), trazas de caminos f: J <:;; IR -+ IR 2 , f(r) = (r, cp(r. Sin embargo, es claro que nuestro concepto de curva en este captulo abarca situaciones mucho ms generales que sta; es decir, la traza del camino f: J <:;; IR -+ IR 2 no es necesariamente la grfica de una funcin continua cp: J <:;; IR -+ IR. Por ejemplo, la curva asociada al camino f: IR -+ IR 2 , f(t) = (r. ( 2 ) es la grfica de la funcin cp(x) = x 2 , sin embargo, cualquier curva f: [a, b] -+ IR 2 cerrada no puede ser la grfica de una funcin cp: [a, b] -> IR (por qu?). Ejemplo 2. La traza del camino f: IR -+ IR 2, dada por f(l) = (r, mI + b) es una recta en el plano, de pendiente m y ordenada al origen b. Esto se desprende del ejemplo anterior y f x Figura 7. Traza del camino f(r) = (r. mi + !J). Incluso, la traza del camino f: IR -+ IR}, dada por f(l) = (al + xo. bt + Yo, el + 20) es una recta en el espacio que pasa por el punto (xo. Yo. 20) (correspondiente a t = O), Y que es paralea al vector v = (a, b, e). Esto es un hecho que se desprende de las ecuaciones x = al + xo, Y bl + Yo, z = el + 20, que conocemos como ecuaciones paramtricas de una recta en el espacio z y Figura 8. Una recta en JR3, traza del camino f(l) := (al + Xo. !JI + yo. el + zo). 5.2 Caminos en iR". Consideraciones y ejemplos preliminares 437 Ejemplo 3. Consideremos el camino f: [0, 27T] que las funciones coordenadas x(t) = r cost, y(t) (X(t))2 -t ]R2 dado por f(t). = (r cos t, r sen t). Obsrvese = rsen t cumplen con (r sen t)2 = r 2 + (y(t))2 = (r cos t)2 \:It E [0,27Tl de modo que en cualquier instante t E [O, 27T l, el punto f(t) se encuentra en el crculo de centro en el origen y radio r, x 2 + l = r 2 As, la traza del camino f es un crculo de centro en el origen y radio r, cuyo punto inicial es feO) = (r cos 0, r sen O) = (r, O), y cuyo punto final es f(27T) = (r cos 27T, r sen 27T) = (r, O) = feO); es decir, se trata de una curva cerrada simple (por qu?) que se recorre partiendo del punto (r, O), en sentido contrario a las manecillas del reloj (antihorario). y (O, r) = f( 7T/2) x 27T (r, O) = feO) = f(27T) Figura 9. La traza del camino cerrado simple f(t) = (r cos t, r sen t), t E [O, 27T j. De hecho, en este caso podemos ver la variable independiente t como el valor del ngulo (medido en radianes) que forma el vector f(t) con la parte positiva del eje x. f(t) = (r cos t, r sen t) Figura 10. Interpretacin geomtrica de la variable t en el camino f(t) = (r cos t, r sen t). 438 Captulo 5 Curvas en el espacio Ejemplo 4. Considere el camino f: lE. - 7 lE. 2 , dado por fU) = U3 - t, t 2 1). Obsrvese que f( -1) = (O, O) = f(1), de modo que este es un camino que no es simple. Podramos "rastrear" (O, O), feO) = (O, -1), su traza con algunos valores de t, por ejemplo, f( - 2) = (-6,3), f( -1) f(1) = (O, O), f(2) (6,3), ... Estos valores, acompaados de alguna reflexin adicional sobre los posibles valores de x(t), y(t) para diferentes valores de t, nos pueden dar una idea de la forma geomtrica de la curva. f(-2) f(2) -2 -1 O 2 f(l)=/(-I) reo) Figura H. Traza del camino f(t) = (t3 - t, t 2 - j). Ejemplo 5. Una curva muy importante en matemticas es la llamada CICLOIDE, definida como la curva que describe un punto fijo de una circunferencia de radio a, la cual rueda, sin deslizarse, a una velocidad constante sobre el eje x. y p p p x Figura 12. Grfica de la CICLOIDE. Vamos a conseguir expresiones para las funciones coordenadas x, y: lE. - 7 lE., de un camino f: lE. - 7 lE. 2 , f(t) = (."((t), y(t que tenga por traza una cicloide. En un instante dado, el crculo que est rodando se ve como 5.2 Caminos en IR". Consideraciones y ejemplos preliminares 439 y a cos t V a sen t x(t) r t x Figura 13. El crculo que rueda para describir la cicloide. Sea t el ngulo, en radianes, que forma (la lnea que contiene) el radio CP con la parte negativa del eje y, como se muestra en la figura 13. Ntese que la distancia lRI es justamente la longitud del arco de circunferencia RP, que es igual a at, de modo que el punto e tiene por coordenadas (at, a). Si (x(t), y(t)) denotan las coordenadas del punto p, se tienen, atendiendo a la figura 13, las siguientes relaciones y(t) x(t) =a = at - (lCOS! = d(1 = a(t - cost) sen t) a sen t As, el camino f; R -:' R 2 dado por f(t) = (a(t -,. sen t), a( 1 - cos t)) tiene por traza una cicloide. A arco de cicloide B Figura 14.. Un cuerpo cayendo de A a B. La Cicloide .es una curva conocida por .10s rnatemtico.s desde el siglo XVIII. Surgi como respuesta a un famoso problema planteado por Johann Bernoulli en 1691: el "problema de la 4 40 Captulo 5 Curvas en el espacio braquistcrona", que consiste en determinar la curva con la que se deben unir los puntos A y B (como en la figura 14) para que un cuerpo que cae desde A llegue a B, siguiendo la trayectoria de la curva, en el menor tiempo posible (suponiendo que no hay friccin). Esta curva lleva el nombre de "braquistcrona" (del griego brachistos el menor, cronos = tiempo) y fue el mismo Johann Bernoulli (entre otros) quien descubri que la cicloide era la curva que solucionaba al problema. (Para una exposicin ms completa acerca de este interesante problema, se puede consultar por ejemplo, el apndice del captulo 3 de la referencia [PilIl). Ejemplo 6. Consideremos el camino f: IR - t IR 3 dado por f(t) = (r cos t, r sen t, t). Obsrvese cmo las dos primeras funciones coordenadas x(t) r cos t, y(t) = r sen t satisfacen x(t? + y(t)2 = r 2, \lt E IR, de modo que la curva correspondiente debe estar dibujada en el cilindro circular recto x 2 + l = r 2 . Por otra parte, a medida que t avanza, la tercera funcin coordenada de f, z(t) = t, que marca la altura del punto fU), va siendo cada vez ms grande. En base a estas condiciones, se puede ver que la curva que describe r, llamada hlice, tiene el siguiente aspecto geomtrico .. ~ z ..... cilindro x 2 +l = r2 f(37T/2) = (O, -r, 37T/2) J 'f(7T/2) (0,r,7T/2) y x Figura 15. Una hlice. Una terminologa muy usada para las funciones coordenadas de caminos en IR 2 y IR 3 , es llamar a stas como las ecuaciones paramtricas de la curva correspondiente al camino. A la variable t se le llama parmetro. Por ejemplo, las ecuaciones x(t) = r cos t, y(t) = r sen t, O :s; t :s; 21T son las ecuaciones paramtricas de un crculo con centro en el origen y radio r (en el plano) --ver ejemplo 3; las ecuaciones x(t) = a(t - sen t), y(t) = a(l - cos O, t E IR, son las ecuaciones paramtricas de una cicloide -ver ejemplo 5, y las ecuaciones x(t) = r cos t, y(t) = r sen t, z(t) = t, t E IR, son las ecuaciones paramtricas de una hlice. Para adentrarnos en la exposicin que emprenderemos a continuacin, consideremos el ejemplo siguiente. Sea f: [O, 1T) - t IR 2 el camino f(O = (r cos 2t, r sen 2t). Se observa que las funciones coordenadas x(t) = r cos 2t, y(t) = r sen 2t satisfacen x(t)2 + y(t)2 = r 2 \lt E [O, 1T), que el punto inicial es feO) = (r, O) y el punto final es f( 1T) = (r, O) = feO). As que la curva que representa este camino es un crculo con centro en el origen, radio r, que comienza su recorrido en el punto (r, O) y se recorre en sentido antihorario: exactamente la misma curva que representa el camino f: [O, 21T) - t IR 2 , 5.2 Caminos en ]R". Consideraciones y ejemplos preliminares 441 f(t) = (r cos t, r sen t) estudiado en el ejemplo 3. Sin embargo, es claro que los caminos de f y f son distintos: estn definidos en distintos intervalos y las reglas de asociacin de t E 1 con las imgenes correspondientes en ]R2 son distintas. Ambos, sin embargo, tienen la misma traza. La moraleja de este sencillo ejemplo introductorio es enfatizar que un camino no es solamente el conjunto de sus imgenes (i.e. la curva que representa). Habamos ya dicho que podemos pensar en un camino como un objeto matemtico caracterizado por dos aspectos: primero, la traza, curva,o forma geomtrica del conj unto de sus imgenes, y segundo, la manera como el camino recorre tal curva. En el ejemplo anterior, vemos que tanto f como f coinciden en el primer aspecto, pero no en el segundo: al ver los dominios de estas funciones y pensaren su variable independiente como tiempo, vemos que mientras f tarda21T segundos en recorrer el crculo x 2 + y2 = r 2 , af slo le toma la mitad de tiempo, 7T segundos, en efectuar tal recorrido. Esto sugiere que la velocidad de recorrido de fes el doble de la de f.. El trmino "velocidad" aparece entonces de manera natural como el ingrediente que nos dice cmo una funcin f (un camino) recorre la curva de sus imgenes. Esto es precisamente lo que vamos a estudiar en la prxima seccin. Ejerddos (Gaptulo5,.Secdn 2) Describa la traza del camino constante f: JR ]R2, f(t) (a, b). 2. Sea cp: 1 ]R ]Runa funcin continua definida en el intervalo 1 de R Considere el camino f: /....., ]R2, f(t) = (t, cp(!). Demuestre que ste debe ser un camino simple. Puede ser un camino cerrado? 3. Demuestre que todo camino del tipo f: ]R ....., ]R2, fU) no nulos, es simple Describa su traza. Demuestre que el camino = (at + b, et + d), donde a y c son reales _ ....., ]R2, f(t) = ((2 + 1, t 2 --t 1) no es simple. Describa la traza de f. 5. Demuestre que el camino g: [1, (0) compare con el ejercicio anterior. ]R2, gU) = (l, t -- 2) es simple. Describa la traza de g y 1, t 3 6. Demuestre que el camino f: [-2,2] .....,]R2, f(t) = (t 2 cerrado?, es cerrado simple? - + 2t2 = (t 2 - t ~. 2) no es simple. Es 7. Repita el ejercicio anterior con el camino f: [-1, 1] ....., 1R 2, f(t) 8. Considere el camino f: IR ....., 1, t 3 + 2t 2 - t - 2). 1R 2, f(t) = (cosh t, senh t). Describa la traza de f. 9. Considere el camino f:R.....,]R2, f(t) = (a, cp(t)), donde aes un nmero real dado. Describa la traza de f en trminos del rango de la funcin cp:]R ....., R Suponga que sta es una funcin inyectiva. Qu puede decir del camino f?, qu puede decir de f si cp es sobreyectiva?, si cp es biyectiva? 10. Repita el ejercicio anterior con el camino f:]R ....., ]R2, f(t) = (cp(t), a). 11. Sea f: 1 ~ ]R ....., ]R2 un camino, y sea u un vector en ]R2 dado. Considere el camino g: 1 ~ ]R ....., ]R2, g(t) = u + fet)o Describa la traza de g en trminos de la traza de f. 12. Sean Uo y Ul dos vectores en ]R2. Considere el camino f:]R ....., ]R2, f(t) = traza de f. Uo + tUl. Describa la 4 42 Captulo 5 Curvas en el espacio 13. Sean uo, UI Y U2 tres vectores en ]R2. Considere el camino f:]R f(l) = Uo + IUl + 12U2' Describa la traza de f en cada uno de los casos: a. los vectores UI Y U2 son linealmente independientes, b. los vectores u I y U2 son linealmente dependientes. --7 , 14. Describa la traza del camino f: [0, 21T] a. a b, b. a #- b. --> ]R2, f(l) = (a cos 1, b sen t), en cada uno de los casos: 15. Sean uo, UI Y U2 tres vectores en ]R2. Considere el camino f: [O, 21T] --> ]R2, f(l) = Uo + COS IUl + sen IU2. Derrmestre que si UI Y U2 son vectores linealmente independientes, la traza de f es una elipse. Qu pasa si los vectores UI Y U2 son linealmente dependientes? --> 16. Considere el camino f:]R Describa la traza de f. ]R3, f(l) = (1, cp(t), a), donde cp:]R ]R3, g(l) --> ]R es una funcin continua. 17. Repita el ejercicjo anterior con los caminos g, h:]R (cos 1,0, sen 1), h(l) --> = (l, a, cp(t, h(t) = (a, 1, cp(t). 18. Describa la traza de los caminos f, g, h: [0, 21T] --> 1R:3, f(t) = (cos 1, sen 1, O), g(1) = = (O, sen 1, cos 1). 19. Se dice que el camino f: 1 ]R ]R3, f(1) = (J1(t), 12(1), 13(1 se encuentra sobre la esfera S {(x, y, z)ix 2 + l + Z2 ~= R 2 } si f(l) E S 'lit E 1 (es decir, si f2(1) + f1(0+ Jl(t) = 'lit E 1). Demuestre que los caminos f, g, h del ejercicio anterior se encuentran sobre la esfera unitaria. --7 s: 20. Se dice que la curva, imagen del camino f: 1 ]R --> IR\ f(l) = (JI (1),12(1), h(t es una eurva plana, si hay un plano S = {(x, y, z)lax + by + ez = d} tal que f(1) E S VI E 1 (en cuyo caso s: se dice que el camino f --o la curva que describe- se encuentra sobre el plano S). Considere los caminos f, g, h de los ejercicios 16 Y 17. Demuestre que las curvas que stos describen son planas. 2 2 2 , f(t) = (a cos 1, 0.5b sen t, 0.5e sen t) se encuentra sobre 21. Demuestre que el camino f: ]R --> el plano ~ plano z +~+~ = l. --> 22. Demuestre que el camino f:]R ]R3, f(l) = (1 2 + I + 1, t 2 1, t + 2) se encuentra sobre el = x-y. 23. El ejemplo anterior es un caso particular de la siguiente situacin ms general: la curva descrita por el camino f: ]R -> IR 3, f(l) = (al t 2 + b l t + Cl, a2t2 + b 2t + C2, a312 plana. Esta se encuentra sobre el plano cuya ecuacin es XCl + b 3 t + C3) es una curva y - C2 a2 b2 det [ al =0 b Demuestre este hecho. 5.3 Diferenciabilidad. Curvas Regulares. El formalismo en la definicin de la derivada de una funcin f: 1 primer curso de clculo, dado por I ./() = s: ]R -> ]R de las estudiadas en el l' un "-----""---- f(l + h) - f(t) 11--0 h 5.3 Diferenciabilidad. Curvas Regulares. 443 hace perfecto sentido si la funcin J,en lugar de tomar valores reales, toma valores en IR". Nada ms. n"tural entonces que definir, de esta misma manera, la derivada para caminos. Definicin. Sea f: I IR -; IR". un camino definido en el intervalo abierto I de IR. Sea to .E 1. Sedetlne la derivada de fen lo, denotada por fl (to) o 'ff (to), como el lmite _h fl (to) = lm _f(_to_+ __)-_._f_(to_) 11-0 cuando ste existe .. El tal caso se qiceque el caminof es diferenciable en to .. Si f es diferenciable en todos los puntos to de 1, decimos que es diferenciable en 1. 11I La primera observacin que debemos hacer en este nuevo concepto, es que la derivada de un camino f: / ~ IR -; IR" en un punto to E/, es un vector en el e.\pacio IR". De hecho, viendo la siguiente cadena de igualdades, en donde J(n = (x(t), X2(t), j (to) = ltm . 11-0 .1 ... , x,,(t ,lUo+h)-j(to) , (xI(to+h), ... ,x,Jto+h) - (xr(to), ... ,x,,(to) = ltm - ' - - - - - - - - - - - ' - - ' - - - - h h-O h . (X(f O + h) h = 1\~1 x(to) , .. , x,,(to , + h) h xn(to) .. , ]m - . - - - - - - 11_0 x,,(to+h)-x,,(to) h podemos concluir que el camino f esdiferenciable en lo si y slo si sus funciones coordenadas lo son, y, en tal caso, la derivada fl (to) es el vector de IR" cuyas coordenadas son las derivadas x;(to) de las funciones coordenadas de f. NOTA. En el captulo 3 se haba dicho que la derivada de una funcin f: U .~IRn -; IR'" en un punto Xo del abierto Ude IR"esuna transformacin lineal cuya representacin en trminos de las bases cannicas de lR n y IR'" es la matriz jacobiana de f en Xo, la cual es una matriz de orden m x n que en su i-sima lnea y j-esima columna tienela derivada parcial de la i-sima funcin coordenada de f respecto de su j-sima variable. Con esta perspectiva, la derivada de un camino f: / ~ IR -;IR" en to 1, debera estar asociada a una matriz de orden n x 1, la matriz jacobiana de f en to, en cuya i-sima lnea (tiene slo una columna) se encuentra la derivada de la i-esima funcin coordenada de f respecto de su (nica) variableindependiente t. Es decir, la derivada del camino f en to, debe estar representada por su matrizjacobiana lf(to) la cual es lf(to) = .[;W:;I. x;, (to) Hemos establecido, de manera natural, el concepto de derivada del camino f en to como el vector de IR" dado por 4 44 Captulo 5 Curvas en el espacio Por supuesto no hay ningn problema en conciliar estos dos puntos de vista para [' (lo), identificando los vectores de JRn con matrices n x 1, de la manera cannica. Esta identificacin es de hecho un isomorfismo entre el espacio vectorial JRn y el espacio vectorial de las matrices de orden n x l. Un hecho geomtrico relevante acerca del vector [' (lo) de un camino diferenciable f: 1 s;;: JR -; JR", es que ste es tangente a la curva correspondiente en el punto donde se calcula la derivada y que apunta en direccin al recorrido de la curva. Veamos, por ejemplo, el caso de un camino diferenciable en JR2, f: 1 <:;; JR -; JR2. En la siguiente figura estn marcados los puntos de la curva correspondientes a to Y to + h. El vector v = feto + h) - f(lo) es aqul que va de P a Q. Para cualquier h =/= O el vector v = t.(f(lo + h) - feto~ es un vector paralelo a v. Siguiendo la posicin del vector v para / cada vez ms pequeo, resulta plausible que, en la posicin lmite, cuando h -; O, el vector \. sea tangente a la curva en P. ----------'JR lO lo +h Figura 1. El vector tangente e' (to) a la curva en P. Ms an, el vector tangente f'(lo) mide la velocidad a que se trazan las imgenes en la curva, o bien, a qu velocidad se mueve un punto en el espacio siguiendo la trayectoria determinada por la funcin f. La siguiente definicin comprende este importante hecho. Definicin. Sea f: 1 <:;; JR --4 JRn un camino diferenciable. Al vector f'(l) se le llama vector velocidad del camino en el punto f(l) E JRn. 11 De esta manera, la diferenciabilidad de un camino f: 1 <:;; JR -> JRn queda comprometida con el vector velocidad con el que la curva, traza del camino f, es recorrida. Siendo ste tangente a la curva, usaremos indistintamente los nombres "vector velocidad" y "vector tangente". Ejemplo 1. Sea f: [0, 27T] --4 JR2 el camino f(t) = (r cos t. r sen t). Este es un camino diferenciable, I pues sus funciones coordenadas x = r cos t, Y = r sen t, lo son. La derivada de J Se ha definido diferenciabilidad para caminos cuyos dominios son intervalos abiertos de IR. Cuando se consideran caminos definidos en intervalos cerrados, digamos [a, bl. podemos adecuar la definicin de diferenciabilidad poniendo la funcin f definida en algn intervalo abierto un poco ms grande que [a, bl, por ejemplo (a - E. b + E) :> [a, bl cuando la funcin misma lo permite (como en el ejemplo), o bien, se podran definir las derivadas laterales f~(a) y f~ (b) con los lmites laterales correspondientes de la definicin de derivada y decir entonces que el camino f es diferenciable en [a, b] si lo es en (a, b) y existen las derivadas laterales f~(a) y f~(b), 5.3 Diferenciabilidad. Curvas Regulares. 445 fes f' (t) = (x' (t), y' (t)) = (-1' sen t, l' cos t) Ntese que, tomando el producto punto del vector f(t) con el vector f'(t) se tiene f(O' f'(t) = (rcost, rsent) (-1' sen t,rcost) = _1'2 sen t cos t + 1'2 sen t cos t = O de modo que f' (t) es perpendicular a f(t) para todo t. Puesto que la curva que describe f es el crculo x 2 + y2 == 1'2, resulta claro que f' (t) es tangente al crculo en el punto f(t) (el cual es un vector radial del crculo). o Figura 2. El cammo f(l) ""- (r COS 1, r sen 1) y su vector velocidad f' (1)( -r sen t. r cos 1). Ejemplo 2. Consideremos el camino [o. 7T 1 --> JR2 dado por f(O = (r cos 2t, l' sen 2t). En la exposicin con que cerramos la seccin anterior veamos que la curva descrita por es el mismo crculo x 2 + y2 = r 2 descrito por el camino f del ejemplo anterior. Para este camino se tiene e: r r f' (t) = ( - 21' sen 2t, 21' cos 2t) En t = O ambos caminos se encuentran en el punto inicial feO) reO) = (1', O). Sin embargo, obsrvese que f' (O) = (O, r) y (O) = (O, 2r) = 2f' (O), de modo que la velocidad en el arranque de f es el doble de la de f. Esta es una situacin que se mantiene durante todo el recorrido de las curvas correspondientes. En efecto, sea p= (a, b) un punto del crculo x 2 +.l = ,.2, digamos a = l' cos e, b=.r sen e, con O s. e S27T. Elcamino f alcanza al punto p a los t =.e seg. mientras que el camino f llega a palos = ~e seg. (pues f(e) = (a, b) = f(~e)). Se tienef'(e) = (-rsen e, l' cos e) y e' (~e) = ( - 21' sen e, 21' cos e) = 2f' (e), es decir, al pasar por el punto p el punto que se mueve en el camino f va al doble de la velocidad del que va por el camino f. e' 4 46 Captulo 5 Curvas en el espacio "t'(0/2) f' (O) Figura 3. Los vectores velocidad de f y f del ejemplo 2. De esta manera podemos explicamos por qu al camino f le toma solamente 7T segundos recorrer el crculo completo, la mitad del tiempo del que le toma a f(27T seg.). 11 Ejemplo 3. Sea f: IR. -> IR.2 la funcin dada por f(t) = (t, Itl). Este es un camino en ]R2 pues sus dos funciones coordenadas x(t) = t Y y(t) = Itl son continuas. Sin embargo, no se trata de un camino diferenciable, pues la funcin y(t) = Itl no es diferenciable en t = O. La curva descrita por f es la grfica de la funcin y = Ixl (ver ejemplo l de la seccin anterior) f(t) = (r, [ti) ~ (1, Iti) = f(l) Figura 4. Traza de la funcin f(t) = (1, [t\). Obsrvese que es justamente en el valor t = O en el que se presentan los problemas para el vector velocidad f'(t): en f(O) = (O, O) dicho vector no existe. Sin embargo, para t < Ose tiene f(t) (t, - t) de modo que f' (t) = (1, -1) Ypara t > O, se tiene f(t) = (t, t) de modo que f/(t) = (l, 1). As pues 111 el vector velocidad f/(t) est bien determinado, excepto para t = O. 5.3 Dif~renciabilidad. Curvas 447 Ejemplo 4. Consideremos el caminof: JR -> JR 2 dado por f(t) = (t 3, t2It\). Ciertamente la funcin xU) = t 3 es diferenciable; la funcin yU)= t 21tl tambin lo es, pues para t < O se tiene y(t) = -t3 que es diferenciable, parat > Ose tiene y(t) = t 3 que tambin es diferenciable y para t = O tenemos y'(O) = lm y(h) h~O ~y(O) = lm h lhlh 2 hh~O o. = }, ..... o lm hlhl = O As que y'U) existe para todo t E IR. Adems observe cmo IxU)1 = It 3 = It 2tl = It211tl = Pltl = yU), de modo que la. curva descrita por este camino es .la grfica de la fundny. Ixl, misma del ejemplo anterior. Tenemos entonces qu~(es un camino diferenciable (sus funciones coordenadas lo son) y la curva ala que describe es la grfica de la funcin y = Ixl.Este ejemplo nos muestra que la diferenciabilidad de un camino nada tiene que ver con laforma geomtrica de la curva que describe: la grfica de y = Ixl es la curva descrita poretcamino g(t) = .U, Itl) que no es diferenciable y es la misma curva descrita Por el camino f(t) = (t 3 , Pltl) que s lo es. Veamos el comportamiento del vector velocidad f' (t) para la.curva de.nuestro ejemplo. Para t < O tenemosfU) = U3,-.t 3), de dondef'U) = (3t 2, -.3t 2), para t > O tenemos f(t)= (t 3 ,rJ), de donde ('U) = (3t 2, 3t 2) Y parat= O tenemos ('(O) = (x'(O), y'(0 =(0, O), as que el vector velocidad f'U) queda como 1 f'(t) (.312,-3. t ) si t <O . (O, O ) s i t = O { (3t 2, 3t 2 ) si t > O 2 Imaginemos un punto p en ]R2 recorriendo el camino f(t) = (t 3 , t2Itl). Este viene desde el infinito por la recta y = -x con una velocidad f'U) = (3t 2, -3t 2). Al acercarse al origen la velocidad de P. va disminuyendo (p\les a medida quet es ms pequeo, el vector f'(t) decrece en magnitud), de lTlodoque alllegr a (O, O) el punto p se detiene para comenzar, para t>O, su recorrido por la recta y =.x Gon \lna velocidad f'(t) = (3d, 3t 2 ) (la cuaLaumentadcmagnitudconforme aumenta t). Este es entonces un recorrido diferenciable delpuntop por la curva y = Ix\. El hecho de que en el origen esta curva tenga un pico -situacin que en ell ero C\lrso de clculo asocibamos inmediatamente con la ausencia de diferenciabilidad- no afecta a la diferenciabilidad del recorrido. Lo nico que ocurre recorrido no diferenciable de y = Ixl recorrido diferenciable de y== Ixl Figura 5. Los recorridos diferenciable y no diferenciable de y = Ixl. 4 48 Captulo 5 Curvas en el espacio en ese pico, que es una conexin no suave entre las dos "carreteras" y = -x y y = x, donde el punto que viene por la carretera y = -x, se detiene un instante (su velocidad es cero) para luego tomar la carretera y = x. Esta es la manera de "salvar diferenciablemente" los vrtices en las carreteras: a medida que se llega a ellos se disminuye la velocidad, se hace una parada en el vrtice y se arranca despus en la nueva direccin. Esta situacin no ocurre con el camino del ejemplo anterior, el cual representa un recorrido no diferenciable de la curva y = Ixl: el punto viene por la carretera y = -x con la velocidad constante dada por el vector (1, 1) y luego cambia abruptamente a la carretera y = x con la velocidad (1, 1). lIIl Los ejemplos anteriores muestran que la diferenciabiliad de un camino f: 1 <;;; lR -> lR" no detecta picos de la curva que representa. Ntese que en el camino diferenciable del ejemplo 3, f: lR -> lR 2 , f(t) = (t3, Plt!), al pasar por el pico de la curva y = Ixl (en t = O) su velocidad se anula, es decir, en ese punto se tiene f/(O) = (O, O). Por supuesto que este punto representa un problema geomtrico al no poder asociar ah una recta tangente a la curva. La propiedad de las curvas referente a la posibilidad de trazar rectas tangentes a ellas se llama "regularidad". Esta es una propiedad que definiremos para caminos de clase <&1, los cuales, adems de ser diferenciables, tienen continua su funcin derivada f/: 1 -> lR" (que a cada t E 1 asocia el vector tangente f/(t) E lR"); (del mismo modo, las derivadas (t) de las funciones coordenadas de f son continuas; es decir, las funciones Xi(t) son de clase '(51). La razn de hacerlo as es puramente tcnica y no debe inquietar al lector. La mayor parte de los caminos con que trabajaremos no son slo de clase <&1, sino tambin de la clase <&= (con todas sus derivadas continuas). x; Definicin. Sea f: 1 <;;; lR -> lR" un camino de clase yql. Se dice que ste es un camino regular si [' (1) f. O (el vector Ode lR") para todo 1 El. As, el camino del ejemplo 3 es diferenciable (de hecho de clase <& 1) pero no es regular. Otro ejemplo interesante sobre este concepto es la cicloide (ver ejemplo 5 de la seccin anterior), curva asociada con el camino f: lR -> ]R2 dado por f(t) = a(l - sen t, 1 - cos t). No hay duda de que ste es un camino de la clase <&1, pues las funciones coordenadas x = a(l - sen t), y = a(1 - cos t) lo son. El vector velocidad de esta curva es f' (t) = (x' (t), y' (t)) = (a - a cos t, a sen t) Se ve entonces que por cada mltiplo de 27T (cada vez que el crculo que rueda sobre el eje x, cuyo punto en la periferia da origen a la cicloide, da una vuelta completa), se tiene f' (2k7T) = (a - a cos 2k7T, a sen 2k7T) = (O, O) as que la cicloide, siendo una curva de clase <&1, no es regular. El aspecto geomtrico de los vectores velocidad en la cicloide es como el que se muestra en la figura 6. Nuevamente se observa que, a medida que el punto que recorre la cicloide se va acercando a los vrtices, su velocidad va disminuyendo, para llegar a cero en ellos y de nuevo aumentar al dejarlos atrs. De aqu en adelante (y hasta el fin del captulo) nos interesar estudiar solamente caminos que sean regulares. A las curvas que stos representan les podremos asociar siempre rectas tangentes y planos normales (para caminos en lR 3 ) que estudiaremos a continuacin. 5.3 Diferenciabilidad. Curvas Regulares. 449 o Figura 6. Los vectores velocidao en la cicloide. 27T Sea f: ! .~IR -> IR 3 un camino regular. Sea to El. La.recta tangente a la curva correspondiente en fUo) es la recta en IR3 que pasapor feto) y tiene por vector paralelo a fl (to). Entonces, si f(t) = (x(t), y(t), z(t, tenemos que la recta tangente a la curva en f(to) es {~ :~(~:!f,(~;}:, z y s E IR (Obsrvese que tambin podemos .decir que tal recta es la imagen del camino g: IR -> ]R3, g(s) (x(to)+xl(to)s, y(to)+y'(to)s, z(to)+zIUo)s) = f(to)+f/Uo)s). Quitando la ltima coordenada tenemos la correspondiente recta tangente a una curva en el plano (figura 7). recta tangente a la curva en f(lo) feto) recta tangente a la curva en f(lo) y x x Figura 7. La recta tangente a una curva. Para el camino f:.! ~ IR. ->]R3, el plano normal a la curva correspondiente en feto) es el plano en IR3 que pasa por fUo) y tiene ah por vector normal al vector fl (to). As la ecuacin de tal plano (figura 8) es Xl (to)(x - x(to + yl (to)(Y -- yUo + Zl (to)(z - z(to = O 4 50 Captulo 5 Curvas en el espacio plano normal a la curva en f(lo) Figura 8. El plano normal a una curva. Ejemplo 5. Consideremos la hlice f: IR y el plano normal a esta curva en el punto fl (t) (, , 2 -7 IR 3, f(t) = (cos t, sen t, t). Hallemos la recta tangente ) = f (). Tenemos que el vector velocidad (- sen t, cos t, 1) de modo que en t = se tiene f' () = (- 1). As, la recta tangente procurada es x = - - - --s J2 J2 J2 2 y= Z 2 + -2.1' 1T +.1' /2 y el plano normal Ejemplo 6. Consideremos el camino f: IR - t IR3 dado por f(t) = (t, t 2 , 2t 3 ). Se quiere saber en qu punto (si hay) la curva correspondiente atraviesa el plano yz perpendicularmente, o bien, en qu punto de la curva sta tiene al plano yz como plano normal. Para que esto ocurra, el vector tangente fl (t) = (l, 2t, 6t 2 ) debe ser paralelo al vector (l, O, O), el cual es un vector normal al plano yz. Es decir, debe haber una constante k =F de modo que (l, 2t, 6t 2 ) = k(l, 0, O). Esta condicin se cumple con el valor t = (para k = 1). As, la curva atraviesa el plano yz perpendicularmente 111 en el punto feO) = (O, 0, O). La propiedad de que una recta dada (en IR3 o en IR 2) sea tangente a una curva, debe ser una propiedad de la curva en s y no del camino f: J ~ IR - 7 IR 2 (o IR 3) que tiene por traza dicha curva. Este es un hecho que expondremos ampliamente cuando estudiemos las reparametrizaciones de caminos en la seccin 4. Esto mismo se puede decir para un plano normal a una curva en el . espacio IR3. Los dos siguientes ejemplos tienen que ver con este hecho. 5.3 Diferenciabilidad. Curvas Regulares. 451 Ejemplo 7. Consideremos los caminos f,,: [O, 2,,'lT]-+JR2 dados por f,,(r):= (cos nt, sen nt) (n E: N) Todosinician su recorrido enelpuntof(O) . 1,0) Y lo terminan en f(O,~n = (1. O) = feO), siguiendo en sentido antihor~ri() el crculo x 2 + l = .1. Tomemos un punto (a, b) sobredicho crculo, digamos a = cos8,b =.sen8.EI c~minof" pasapor(a,b) cuando t ~. El vector velocidad en este punto es f/() = (-n sen( n), n cos( n) = (-n sen 8, n cos 8) n( - sen 8, c. os 8). Se ve . "" " ... . 2' .. entollces que "esencialmente".el "ectortangente a la circunferencia x + y = 1 en (a, b) es el vector (- sen (J, cos (J) pues todos los dems son l11ltiplqsde l. La propiedad de tangencia de la recta que pasa por (a, b) Ytiene a f' (*) como vector paralelo no depender entonces del valor de n (figura 9). (1, O) \ recta tangente a + y2 = I en (a, b) x2 Figura 9. El vector tangente a x 2 +/ = I en (a, b). lIlI Ejemplo 8. Sea la curva que se obtiene de la interseccin de la esfera x 2 + l + Z2 = I Yel plano z = y. Entonces e es una circunferencia en el espacio. Se quiere obtener la ecuacin de la ~, (figura 10). recta tangente y el plano normal a e en el punto p = e Ciz, t) y Figura 10. Interseccin de la esfera y el plano. 4 52 Captulo 5 Curvas en el espacio Las ecuaciones de la recta tangente y el plano normal a una curva e en el espacio estn planteadas en trminos de las funciones coordenadas de un camino f: 1 S;; JR --t JRn cuya traza sea la curva e, as como de sus derivadas. En este ejemplo se nos da la descripcin geomtrica de la curva e pero no se nos da un camino que la tenga por traza. Sin embargo, como ya sealbamos, lo que nuestro ejemplo pide no deber depender del camino concreto que tomemos que describa la curva e en los alrededores de p. Todo lo que tenemos que hacer es determinar un camino (cualquiera) f: 1 S;; JR ........ JR3 que describa la curva e en los alrededores de p. Esto lo podemos hacer de muchas manerilS. La idea general es resolver simultneamente las ecuaciones x2 + y2 + Z2 = 1, z = y que definen a la curva y declarar alguna de las variables como t -el argumento de la funcin f que queremos hallar. Por ejemplo, poniendo z = y = t, nos queda x 2 + t 2 + t 2 = 1, o sea x 2 = 1 - 2t 2 . En este momento surge el problema de escribir x = \11 - 2t2 o X = -vT=2f2. Al observar que el punto p donde queremos obtener la ecuacin de la recta tangente y el plano normal tiene su primera coordenada positiva, nos decidimos por x = vT=2f2. As, el camino f: 1 --t JR3 definido en alguna vecindad 1 de (y = z =) t = ~ dado por f(t) = (vT=2f2, t. t) describe la traza de la curva que nos interesa. Este es un camino regular en 1 (tomado suficientemente pequeo). Ntese que no lo es globalmente en JR, pues su primera funcin coordenada x(t) = vT=2f2tiene problemas de derivabilidad en t = ~. Cuando t = ~ estamos en el punto p, es decir, fl ( ~) = (~, ~. ~) = p. El vector velocidad es fl(t) = ( ~, 1, 2 v 1-21 1) que para t = ~ se ve como f/U) = (-V2. 1, 1), as que la recta tangente buscada es X =~ V2t t E JR { y=~+t, z = ~ +t y el plano normal es o sea -V2x + y + z = O Al resolver simultneamemnte las ecuaciones de las superficies que al intersectarse determinan la curva e, hubiramos podido proceder de otra manera, por ejemplo, declarando x = t. En tal caso, como y = z, se tendra t 2 + 2y2 = 1, de donde y = z = ~ Jl=t2 (nuevamente optamos por el signo positivo de la raz cuadrada atendiendo al signo de la segunda y tercera coordenadas del punto p). Otro camino que describe la curva e en los alrededores de p es entonces el camino g: J --t JR3, donde g(t) = (t, ~2Jl=t2, ~2Jl=t2). Su vector velocidad es gl(t) = (1, .j2~' .j2~). 2 2 V" V" 2 1-1 2 1-1 El camino gl ( ~) = - ~ veces el vector velocidad (- V2, 1, 1) hallado con el camino f. Puesto que son paralelos, se tendr la misma recta tangente y plano normal a la curva e en el punto p, como esperbamos. 1111 g pasa por p cuando t = .~ pues g(~) (1, - ~, - ~). N6tese que este vector es = (~,~, 4) = p. En ese punto se tiene Sean r, g: 1 S;; JR --t JRn dos caminos diferenciables. Para cada t E 1 podemos formar el producto punto de los vectores f(t) y g(t) en JRn, y definir as la funcin cp: 1 --t IR dada por cp(t) = f(t) . g(t). Si Xi: 1 --t JR son las funciones coordenadas de r y Yi: 1 --t JR son las funciones coordenadas de g, 5.3 Diferencabilidad. Curvas Regulares. 453 i =1,2, .. , n,entonces <p(t) = f(t) . g(t) = ;=1 TI Xi(t)y(t) Ciertamente la funcin <p es una funcin diferenciable y su derivada es d <p' (t) = dt TI TI x(t)y(t) = TI d (X(t)y(t)) t d i=l =l = (Xi(t)y;(t) + YiX;(t)) =I =. x(t)y;(t) + y(t)x;(t) i=1 ;=1 TI TI = f(t) . g' (t) + g(t) . f' (t) es decir que d dt (f(t) . g(t)) = f(t) .g' (t) + g(t) . f'(t) obteninjose .as una sugestiva. frmula para la derivada del producto. punto de dos caminos diferenciables, que nos recuerda la frmula de la derivada del producto de dos funciones reales de una variable real. Como caso particular, poniendo g(t) = f(t), obtenemos dt (f(t) .f(t)) =f(t)f'(t) +f(t) f'(t) =2f(t)f'(t) d es decir :t Ilf(t)11 = 2f(t) . f'(t) 2 Por otra parte, usando la regla de la cadena con la funcin <p(t) = Ilf(t)11 2 , vista como la composicin de la funcin a(t) = t 2 con f3(t) = Ilf(t)11 tenemos :t y entonces Ilf(t)11 =2I1f(t)11 2 :t IIf(t) 11 21If(t)11 :t IIf(t)11 = 2f(t) . f'(t) de donde, si f(t) i- 0, t E 1 (nos referimos a que f(t) no es el vector O de ~TI para t El, lo cual equivale a que Ilf(t)11 i- O; esto significa que la curva que representa el camino f no pasa por el origen), obtenemos la frmula de la derivada dela funcin JI(t) = Ilf(t)1I como d IIf(t)1I = f(t) . f'(t) dt llf(t) I1 Ejemplo 9. En geometra analtica se define una circunferencia concentro en el origen como el lugar geomtrico de todos los puntos del plano que equidistan del origen. Esta distancia comn es 4 54 Captulo 5 Curvas en el espacio el radio r de la circunferencia. Podramos definir la circunferencia, a la luz de lo estudiado en este captulo, como la curva cerrada, imagen del camino regular f: J -> ]R2 de modo que IIf(t) 11 r, \:It E J. Esquemticamente (figura 11) IIf(t) 11 = r 1 Figura 11. Una circunferencia. Al derivar ambos miembros de la ecuacin Ilf(t)11 = r, obtenemos, segun la frmula establecida anteriormente fU)' = O "It E J nt) IlfU)11 de donde fU)' = O"Ir E J. Concluimos entonces que los vectores fU) y f' (1) son ortogonales en todos los puntos de la curva. Este es un hecho geomtrico que ya conocamos para una circunferencia nt) f'(t) Figura 12. Los vectores f(t) y f'(t) en una circunferencia. Ms an, supongamos que el camino regular f: J -> ]R2 describe una curva cerrada definida en el intervalo 1 de ]R, y es tal que f(t) . f/(t) = O \:It E J. Entonces, por la misma frmula anterior tenemos que la funcin diferenciable t{!(t) = IIf(t)lI, definida en el intervalo J, tiene derivada igual a cero para toda t E l. Usando el teorema del valor medio (para funciones reales de una variable 5.3 Diferenciabilidad. Curvas Regulares. 455 real) concluimos que !f(t) = Ilf(t)11 = cte. t E l. Es decir, la curva que describe el camino f es una circunferencia con centro en el origen. As pues, podramos definir una circunferencia como la imagen del camino cerrado regular f: 1 ~ IR ---> 1R2 para el que f(t) . f/(t) = O1ft E l. ll!I Ejemplo 10. Sea f: 1 ---> IR 2 un camino cerrado regular en el plano. De manera intuitiva resulta claro que los vectores velocidad nt) toman todas las direcciones posibles. o Figura 13. Los vectores velocidad en una curva cerrada en ]R2. Este es un hecho que se puede probar rigurosamente. En efecto, sea v = (xo. Yo) un vector no nulo arbitrario (pero fijo) en rre. Sea v = ( - Yo, xo). Este.esun vector ortogonal a v. Considere la funcin g: 1 ---> 1R2 dada por g(t) = v f(t). Siendo f un camino cerrado, la funcin g toma el mismo valor en los extremos del intervalo 1 = [a, b) (puesg(a) = v (a) = v f(b) = g(b. Se verifica fcilmente que las dems hiptesis del Teorema. de Rolle se cumplen tambin para la funcin g. Segn este teorema, debe existir to E 1 de modo que g/(to) = O, es decir, tal que v . (/(to) = O. En tal punto el vector f/(to) es perpendicular a vypor lo tanto paralelo a v. Como fue arbitrario, con esto concluimos que f/(t) toma todas las direcciones posibles, como queramos. 111 Ejemplo 11. Sea f: 1 -; IR 3 un camino regular de modo que f(t) i= O 1ft E l. Supongamos que hay un to E 1 para el quela distancia del punto f(to) E 1R3 al origenalcanza unvalor mnimo. Afirmamos que en ese punto el vector f/(to) es perpendicular a f(to). En efecto, si consideramos la funcin!f(t) = I\f(t)1i = distancia del punto f(to) al origen, puesto que sta alcanza un mnimo en to se tiene que !f/(to) = O. Entonces, segn la frmula de la derivada de 11f(t)1\ tenemos !f/(t ) = f(to) . f/(to) = O Ilf(to)1i de donde f(to) . f'(to) = 0, como queramos ver. Este es un hecho igualmente vlido para curvas en elplano. Esquemticamente (figura 14) 4 56 Captulo 5 Curvas en el espacio Figura 14. Ejemplo 11. Ejercicios (Capitulo 5, Seccin 3) 1. Sean r, g: 1 ~ IR -; IRn dos caminos diferenciables. Demuestre las siguientes frmulas para las derivadas de las funciones suma y producto cruz de los caminos f y g (la derivada de la funcin producto punto de f y g ya se efectu en el texto). a. b. (f + g)'(t) = f'U) + g'U) + f' (t) x g(t) (f X g)' (t) = f(t) X g' (t) En los ejercicios 2-5, hallar la derivada del camino dado en el punto indicado r(t) = (sen 2 t, sen t 2 ), para t = 7T /2 O 7T 3. f(t) = (J3tTI, 1n\t2 + 1)), para t = 4. f(t) = (cos t, cos 2 2t, cos 3 3t), para t = 5. f(t) = (exp(-0.5t 2 ), -0.5t 2 , In(t 2 + 0.5)), para t = l En los ejercicios 6-] O, diga si el camino es: a. diferenciable, b. regular. Justifique su respuesta. 6. f: IR -; IR 2 , f(t) = (3t - 1, 4t + 5) . 7. f: IR -; IR 2 , fU) = (2t 2 + 4, 4t 3 - 2r2 3 8. f: IR -; IR , fU) = (t, t 9. f:IR -; IR 2 , f(t) 10. 2 5 + 3t 4 - 5t + 1) + 9t 2 - !Ot + 23) = (t, t 2/ 3 ) f: IR -; IR, f(O = (t3, t 2) 11. Cierto o falso? Si f, g: 1 ~ IR -; IRn son dos caminos regulares, entonces f es un camino regular. + g: 1 ~ IR -; IRn 12. Cierto o falso? Si f: 1 ~ IR -; IRn es un camino diferenciable tal que fU) I O \:It E /, entonces la funcin p: 1 ~ IR -; IR, pU) = IIf(Oll es diferenciabley IIf'(Oll = 11f(t)1!' (es decir, p(f'(t)) = p'(f(t))). Si es cierto, demustrelo. Caso contrario, d un contraejemplo. 5.3 Diferenciabilidad. Curvas Regulares. 457 13. Cierto o falso? Si f: 1 ~ JR -> JRn es un camino diferenciabletal que f(t)=rf \:ItE 1, entonces f(t) f'(t) = Ilf(t)IIIIf'(t)II. Si es cierto, demustrelo. Caso contrario, d un contraejemplo. 14. Cierto o falso? Si f:1 f(t) . f'(t) = Ilf(t)IIIIf(t)II'. Si es cierto, demustrelo. ~ JR -> JRn es.un caminodiferenciable tal que fU) =rf \:It E 1, entonces Caso. contrario, d un contraejemplo. 15. Sea f:[O, 27T] JR2 elcamino f(t) (a cos t,b sen t), donde a y b son dos reales positivos. Demuestre que f(t) es perpendicular a f'(t) para todo t en [O, 27T] si y slo si a = b. Interprete este hecho geomtricamente (ver ejemplo 9). 16. Hallar el (los)valor(es)de tpara los cuales el vector tangente al camino f: JR -> JR2, f(t) = (2t 2 + 1, 3t -2), sea paralelo al vector v = (2, -1). 17. Considere el camino f: (O, 27T] -> JR2, f(t) ::::: (a cos t, b sen t), en donde a y b son dos nmeros reales positivos. Compruebe que se trata de un camino regular cerrado (cul es su traza?). En el ejemplo 10 se dell10strque el vector tangente f' (t) toma todas las direcciones posibles. Determine el (lo~) valor~sde t E [O, :27T] en los que f'(t) toma las direcciones de los siguientes c. j; d ..-j; e. (1, 1); f. ( __ 1, -1). vectores: a. i; b. 18. Considerandoelcaminoregular f: l~ JR -t JR 2 ,f(t) = (t, 'P(t), demuestre que la ecuacin de la recta tangente a la grfica de la funcin <p: 1 ~ JR -T JR en el punto x = xo El, es y = <p' (xo)(x - xo) + q;(xo) En los ejercicios 19-25, determine la ecuaGiQn.(le la recta tangente y del plano normal a la curva en el punto indicado descrita por el camino f: 1 ~ JR f(t) ::::: (t + 1, 2t, 2t- 5), en ~l puntop = feto) = (t 3 - r2 + 1,3), en el punto p = f(l) 21. f(t) = (cos 3t, sen 3t, 3t), en el punto p = feO) 22. fU) = (e- 2/ , e- I , t), en el puntop = C(O) 23. f(t) = (el sen t, cos t, 5t), en el punto p ::::: feO) 24. fU) = (3 cos t, 1, 2 sen t), en el punto p = f( 7T) cos 2 lOe- o..5/), en el punto p= feO) 26. Determinarlos puntos en que la recta tangente a la curva descrita por el camino f: JR -> JR3, fU) = (3t- t 3 , 3t 2 , 3t+ t 3 ) es paralela al plano 3x + y + z = 5. 27. Hallar el punto en que la recta, imagen deLcamino f: JR ->JR3, f(t) = (t est ms cerca del origen. + 1, 3t - 2, 2t - 1), 28. Demuestre que el punto p en que la recta, imagen delcflmino f: JR -> JR3, f(t) = (at [3, et + y), est ms cerca del origen, es p = feto), donde to = - aa~~~?;;l. + a, bt + 4 58 Captulo 5 Curvas en el espacio 5.4 Reparametrizaciones Sea f: 1 ~ IR - t IR" un camino. En varias ocasiones hemos mencionado el hecho de que un camino se puede ver como un objeto matemtico caracterizado por dos aspectos: la curva que describe en el espacio IR" (su traza), que es como la "carretera" por la que circula el punto f(r) E IR", y, por otro lado, la manera como el punto f(t) recorre tal carretera; ms an, la velocidad a la que el punto realiza el recorrido. Uno de los objetivos fundamentales en el estudio de los caminos f: 1 ~ IR ~ IR" es el de las propiedades geomtricas de las curvas que stas representan. Estas propiedades no dependen generalmente de la velocidad a la que se recorre la curva, sino solamente de la "curva en s", es decir, de la "forma geomtrica" de la imagen del camino f. Sin embargo, es va el camino f que se estudian tales propiedades. De hecho, algunos conceptos geomtricos importantes en el estudio de la geometra de curvas, se definen por medio de un "recorrido con ciertas caractersticas" que se hace en ellas, es decir, por medio de un camino concreto de f que tenga por imagen la curva en consideracin. Enesta seccin estudiaremos lo relacionado al parentesco existente entre los diversos caminos que describen una misma curva. Tal parentesco se llarha "reparametrizacin". De manera poco precisa podemos decir que la reparametrizacin de un camino f: 1 c;:.: IR - t IR" es otro camino f: J c;:.: [1{ - t IR" con la misma imagen que f. De otro modo, el camino f es una reparametrizacin del camino f si la curva descrita por esla misma que la descrita por f. Esta no ser, sin embargo, la definicin de reparametrizacin que aceptaremos. Tendremos que avanzar un poco ms en la teora para afinarle algunos detalles desagradables que admite esta idea general, y establecer as la definicin de este concepto que nos servir. Antes que nada, un comentario para justificar el trmino "reparametrizacin". Ya se haba mencionad que a las funciones coordenadas de un camino f: 1 c;:.: IR - t IR 2 o IR;.3 se les sola llamar "ecuaciones paramtricas" de la curva que describe el camino. Con tal terminologa, a la varibale independiente I se le llama "parmetro". En esta perspectiva entonces, la reparametrizacin de un camino no es ms que un cambio en el parmetro I en las ecuaciones paramtricas de la curva. es decir, un cambio de variable independiente del camino f. Ntese que, viendo el parmetro I como el tiempo en que el punto f(t) recorre la curva, un cambio en la escala del tiempo representar un cambio de velocidad del desplazamiento del punto f(t) por la curva. De esta manera, caemos nuevamente en la cuenta de que siendo f un camino que describe la misma curva que f (una reparametrizacin de f), la diferencia entre ellos debe estar precisamente en la velocidad de recorrido de la curva. Tomemos entonces el camino f: 1 c;:.: IR - t IR;." definido en el intervalo 1 de IR:. La manera de obtener una reparametrizacin de f es simplemente dejar correr el tiempo I en el intervalo 1 de otra manera. Esto lo podemos lograr definiendo una funcin cp: J - t 1 de la variable s. Mientras la variable real s recorre el intervalo J, las imgenes cp(s) recorrern el intervalo 1; estos sern los valores I = cp(s) que tomar f para asignar los puntos f(t) E IR". La primera condicin natural que la funcin cp debe cumplir es que debe ser sobreyectiva, para asegurar que las imgenes cp(s) t{)m~n todos los valores de I enI. Observe entonces que podemos concebir a una reparametrizacin de f como una composicin de f con cp. Ms precisamente, dada la funcin sobreyectiva cp: J - t 1 definida en el intervalo J de IR;. y tomando valores en el intervalo 1 de IR, podemos componerla con el camino f: 1 c;:.: IR - t IR;." para formar as la nueva funcin f o cp: J c;:.: IR;. - t IR;.". Siendo f un camino, esta funcin es continua. Otra condicin natural que surge para la funcin cp es que sea continua, asegurndose as de que la composicin f o cp sea una funcin continua (compuesta de funciones continuas es una funcin continua) y por lo tanto sea un nuevo camino, el cual, es claro, tiene la misma traza que el camino f (figura 1) 5 .4 Reparametrizaciones 459 s J f o ep Figura 1. Reparametrizacin del camino f. Si el camino f es diferenciable (respectivatllentede clase <6' 1), nos gustara que esta propiedad no se perdiera con lareparametrizacin f =f qf{!,de.tal.maneraque tatllbin pediremos que la funcin t = p(s) sea diferenciable(ded<1se <6' 1). En tal caso tenemos 1<1. colllPosicin f = f.o p de funciones diferenciables (de dase<6'I), lacl.lales<entonces diferenci<1ble (de clase <6'1, respectivamente) y, segn la regla de la cadena t"(s) = (f o p)I(S) = fl(p(sepl(S), s E J En lafrmula anterior p1(S) es la derivada dela funcin p: J - t 1 en el punto s E J; por lo tanto es un nmero real, en tanto que f'(p(s es la derivada del camino f en el punto t = pes), el cual es un vector en lR". Siguiendo la tradicin de escribir primero los escalares y luego los vectores en un producto, la frmula la escribimos como fl(s) = pI (s)f l(p(s Esta frmula descubre relacin entre los vectores velocidad del camino f con los correspondientes de su reparametrizacin f: segn ella el camino f se mueve en el punto fes) E lR" a una velocidad igual a pI (s) veces la velocidad que llevara el camino f en ese punto (el cual corresponde al punto t = p(s (figura 2). f(s) = ep' (s)f' (1) s J 1= ep(s) 1 oep Figura 2. Diagrama de la composicin f = f o ep. 4 60 Captulo 5 Curvas en el espacio Consideremos, por ejemplo, el camino f: [-1, 1] -+ lR.2 dado porf(t) = (t, t 2 ). La curva que describe es el arco de parbola y = x 2 comprendido entre -1 y l. Ciertamente este es un camino regular, pues su vector velocidad es f/(t) = (l, 2t) -. (O, O) \it E [-1, 1]. Sea <;o: [O, 27T] -+ [-1, l]la funcin t = <;o(s) = - cos s. Esta cumple la condicin de sobreyectividad y diferenciabilidad que habamos pedido para que la composicin f o <;o: [O, 27T] -+ lR. 2 sea un nuevo camino diferenciable (de hecho, de clase qgl). Esta es entonces la reparametrizacin f de r, dada por fes) = (f o <;o)(s) = f(<;o(s)) = f( - cos s) = (- cos S, cos 2 s), s E [O, 27T] El vector velocidad de es e e'es) = f/(s) (sen s, -2senscoss) el cual, como dijimos, se puede escribir como = (sens)(l, -2coss) = <;o/(s)f/(<;o(s)) Obsrvese que mientras que el camino f recorre una vez el arco de parbola y = x 2 del punto f(..--l) = (-1, 1) al punto f(l) = (1, 1), tomando para tal recorrido 2 segundos, la reparametrizacin (efecta el mismo recorrido de ida y vuelta, comenzando tambin por el punto reO) = (-1, 1), yendo de ste al punto (1, 1) = f(7T) -durante los primeros 7T segundos- y regresando luego al punto (-1, 1) = f(27T) -en los siguientes 7T segundos- (figura 3). -1 [ ;( t = - cos (. O s f=forp ---._~ f(s) x Figura 3. Los recorridos del camino f y de su reparametrizaci6n f En la prxima seccin nuestro objetivo ser calcular la longitud de una curva entre dos puntos dados de ella. Esto se har por medio de un camino f que recorre la curva. Quisiramos que nuestro concepto de reparametrizacin que vamos a establecer vaya en el sentido de "maneras distintas de recorrer una curva en cuanto a la velocidad de recorrido de sta", pero que respete el hecho de que si un arco de curva se recorre de dos maneras distintas, la longitud de ste slo depende del arco mismo. Desde este punto de vista no nos convendr aceptar reparametrizaciones de caminos como la del ejemplo anterior, pues mientras el camino f recorre una sola vez el arco de parbola, el camino f lo hace dos veces (veremos que la longitud de la curva descrita por el camino f es el doble de la correspondiente del camino f). Hay adems un punto importante para el cual tendremos que restringir ms la funcin <;o con la que obtengamos reparametrizaciones de caminos. Supongamos 5.4 Reparametrizaciones 461 que la funcin rp tiene extremos locales en los puntos SI y S2 E J. Entonces rp'(SI) = rp'(S2) Sean tI = rp(SI), t2 = rp(S2) las correspondientes imgenes en l. Entonces tendramos = O. de modo que si nuestro camino f original es regular (f'(t) reparametrizaciones (figura 4). =1= O 'e/tE 1), su reparametrizacin f podra no serlo. La regularidad de un camino es una propiedad importante a conservar en sus f SI S S2 J Figura 4. La regularidad del camino f no la conserva f. =1= Las reparametrizaciones que estaremos interesados en considerar sern aquellas en las que rp' (s) O 'e/s EJ. Cuando.la funcin rp cumple esta condicin adicional es cuando llamamos "reparametri- zacin" a la composicin f = f o rp. Con esta nueva condicin tenemos garantizado el hecho de que mientras f recorre la curva de sus imgenes una sola vez, el camino f lo har tambin una sola vez (posiblemente con otra velocidad), "sin regresos" como ocurra con f en la figura anterior. Con esto, laregularidad det(dada la de f) queda automticamente garantizada. Establezcamos entonces nuestra definicin de reparametrizacin. Definicin. Sea f: l ~ ]R ........ ]Rn un camino regular. Sea cp: J ~.]R -; 1 una funcin de clase .glsobreyectivaque rp'(s) =1= O'e/s E J. Entonces el caminof = f o rp: J ~ ]R -; ]Rn se llama reparametrizacin del camino f (el cual tambin resulta ser regular). 11 La condicinip'(s)=!, OVsETnosdiceque(siendo rpde clase 0(1), o rp'(s) > O Vs E J, o rp'(s) < O'e/s E J. Escribamos 1 = [a, b], J = [e. d] y veamos qu sucede en cada uno de los casos. Sirp'(s) >O'e/sE J,entoncesrp es una funcin creciente en J de modo que qJ(e) == a, rp(d) = b Y as los puntos .inicial y final de f coinciden con los respectivos de f,pues f(e) = (f o rp)(e) = f(rp(e)) = fea) y f(d) = (f o rp)(d) = f(rp(d)) ==f(b). Adems el vector velocidad f'(s) se obtiene de multiplicar el vector velocidad f'(rp(s)) por el escalar positivo rp' (s), s E J, de modo que ambos vectores tienen la misma direccin. En este caso, entonces, el camino f recorre la curva descrita por f, en la misma direccin que lo hace f. Diremos que f es una reparametrizacin de f que eonserva la orientacin. 4 62 Captulo 5 Curvas en el espacio f fl (s) b a --+-+---:......-----+---+s e s d f(b) = f(d) f=forp Figura 5. Una reparametrizacin que conserva la orientacin. Un anlisis similar en el caso de que <p'(s) < Vs E J nos dice que en tal caso el camino f recorre la curva descrita por r, en direccin contraria la de f. En este caso se tiene rp(c) b, <p(d) = a, de modo que el punto inicial de f es f(c) = f(rp(c = f(b) = punto final de r, y el punto final de f es f(d) = f(<p(d) = r(a) = punto inicial de f. En este caso diremos que f es una reparametrizacin que invierte la orientacin. (figura 6) f f(b) = f(d) --+-+---:......-----+---+s e s d f=forp Figura 6. Una reparametrizacin que invierte la orientacin. Ejemplo l. Sea r: [a. b] --", ]Rn un camino regular. Sea kuria constante positiva. Para recorrer la curva descrita por r, k veces ms rpido, podemos tomar la funcin <p: [O, bka] --", [(l' b] dada por rp(s) = ks + a. La reparametrizacin f: [O, bka] --", ]Rn, f(s) = (f o <p)(s) = f(ks + a) tiene por vector velocidad a ('(s) = rp'(s)f'(<p(s)) = kf'(ks + a), sE (o, ~ a) b 5.4 Reparametrizaciones 463 Si quisiramos recorrer la curva descrita por f con una velocidad en mdulo k veces mayor que la correspondiente de f, pero en sentido inverso al de f, podemos considerar la funcin cp: [O, a;b] -> [a, b] dada por cp(s) = ks + b, donde ahora k es una constante negativa. La reparametrizacin f: [O, a;b] -> lR n , fes) = f(ks+ b) tiene por vector velocidad a af'(s) =cp'(s)f'(cp(s)) = kf'(ks + b), s E [ O'--k- b] Un caso partiCular de esta ltima situacin es cuando k = -1. En tal caso el camino f: [0, b-a] -> lRn dado por fes) = f(b - s), recorre la curva descrita por f con la misma velocidad -en mdulode f, pero en sentido inverso arde f. En este caso particular se dice que el camino f es el (camino) inverso de f y se suele denotar como -f. Una manera alternativa de estudiar este camino, dejndolo definido en el mismo intervalo [a, b] en que est definido f, es tomar la funcin cp: [a, b] -> [a, b], cp(s) = a + b - s. As tendramos (figura 7) (-[)(s) = f(cp(s)) = fea +b - s), s E. [a, b] -r'(s) e' a b Figura 7. El inverso del caminar. EjCIllplo2. Sea f: [O,27T] lR 2 el camino f(t) = (cos t, sen t). La curva que describe fes, como sabemos, la circunferencia x 2 + y2 1, a partir del punto O, O) Y en sentido antihorario. Segn el ejercici.o.anterior, tomando k== 5,teneillos que el caillinof: [O, 2;] .-> ~2 dado por f(s)= 5s) = (cos 5s, sen5s) recorre la circunferencia x 2 + y2 = 1,5 veces ms rpido que f, haciendo dicho recorrido igual que f, en sentido antihorario. POi1iendo ahora k =2, tenemos que el camino f: [O, 7T] -> lR2 dado por fes) = f(-2s + 27T) = (cos(-2s + 27T), sen(-2s + 27T)) = (cos2s, __ sen2s), recorrer la CUrva x 2 +y2 1, partiendo de (1,0) y en sentido horario, con un(l velocidaddel doble (en m,agnitud)de f. El camino inverso def ser ~f: [O, 27T] -> lR 2 , (-f)(s)= f(27T (COS(27T -s), sen(27T - s)) = (coss,- sen s). Este camino, como dijimos ya, debe recorrer la curva x 2 + y2 = len 27T segundos (igual que f) pero en sentido contrario al de f (figura 8). 4 64 Captulo 5 Curvas en el espacio O 27T (1, O) Figura 8. El camino inverso de f(t) = Ccos t, sen t). El siguiente resultado, que ya habamos comentado en la seccin anterior, es una consecuencia inmediata de la definicin que hemos dado de reparametrizacin y de la frmula que relaciona al vector velocidad del camino dado con el correspondiente de su reparametrizacin. Dejamos su demostracin como un ejercicio sencillo para el lector. Teorema 5.4.1 Sea f: 1 ~ ]R -; ]R2 (o ]R3) un camino regular y sea [ = f o 'P: J ~ ]R -, ]R2 (o ]R3) una reparametrizacin de l (donde 'P: J -; es la funcin de la definicin). Entonces la recta tangente a la curva e (traza de f) en feto) (to un punto de l) es la misma que la recta tangente a e en [(so), donde to = rp(so). 11 Para el caso de un camino regular en ]R3, digamos f: 1 ~ ]R -; ]R3, el plano normal a la curva correspondiente en el punto feto) est determinado por tal punto y por el vector fl (to) E ]R3. Corno habamos visto, tal plqno es Xl (to)(x - x(to + y' Cto)(y - y(to + z' (to)(z - z(to = donde f(t) = (x(t), y(t), z(t. Sea f = f o rp: J ~ ]R -; ]R3 una reparametrizacin de f. Sea So de modo que rp(so) = too Entoncesfl(so) =rp'(so)f'(rp(so = rp'(so)(x'Cto), l(to), z'(to, de modo que el plano normal a la curva en [(so) = feto) es Como rp' (so) =1= 0, podemos dividir toda la ecuacin por rp' (so) y llegar a la ecuacin del plano obtenida con el camino f; As pues, si una curva e en ]R3 es la imagen de un camino regular f: 1 ~ ]R -; ]R3, las rectas tangentes y planos normales a e se pueden obtener con cualquier reparametrizacin f de f. Ejemplo 3. Retomemos el ejemplo 5 de la seccin anterior. En l obtuvimos las ecuaciones de la recta tangente y el plano normal a la hlice f:]R -; ]R3, f(t) = (cos t, sen t, t) en el punto f( ). Para limitar nuestra atencin slo en un pedazo de la curva alrededor de este punto, restringimos el dominio de f al intervalo [O, ~]. Sea rp: [ 1, e1T/ 2 ] -; [O,~] la funcin rp(s) = In S. Entonces 5.4 Reparametrizaciones 465 IR 3 , (s) = felpes)) = (cos(lns). sen(ln s), In s) es una reparametrizacin del arco de hlice descrito porf. Para s e7T/ 4 tenemos fes) == f (). El vector velocidad de f es fo lp: [1, e7T / 2 ) ---t = f (s) que ens -, = (1 -s sen(lns). - cos(1ns), - s 1 s 1) = e7T / 4 se ve como As que la recta tangente a la curva en f(e 7T / 4 ) tiene por ecuaciones paramtricas a sE IR resultado que coincide con el obtenido enelejempio 5 de la seccin anterior ecuaciones paramtricas de Iarectaque pasa por (xo. yo.zo) y tiene a v = .(a, b. e) por vector paralelo se pueden en general como .x=.xo +.kat .Y = Yo +kbt. 2"" 20 + kct r donde k es cualquier constante no nula, pues al ser v paralelo a la recta, el vector kv = (ka, kb. kc) tambin lo es (k -. O)). El plano normal pasa por V:.) y tiene por vector nonnal a fl (e 1T / 4). es entonces (v:. -e o sea -7T/40.(x - T + e-7T/4 T ( Y - T 0) J2 J2) T 2 1T J2 = - +--(x 1T) + e -7T/4 (2 - =O 4 2 como se obtuvo tambin en el ejemplo 5. 111 Quisiramos ahora llamar la atencin a un detalle importante en la definicin de reparametrizacin de un camino y las conclusiones que de ella hemos obtenido. Hemos visto que si el camino f: J <;;:; JR ---t IRn es una reparametrizacin del camino regular f: 1 <;;:; JR ---t IRn, lo cual significa que existe una funcin lp: J ---t 1 de clase <& I Ysobreyectivasegn la cual lpl (s) i= O 'Vs E J Y f = f o lp, entonces los caminos f y f describen la misma curva, o sea, f(J) = f(l) (igualdad de conjuntos de puntos en IR n). La pregunta que nos haremos ahora .es: . suponga que los canlinos regulares f: 1<;;:; JR. -> IR n. y f.: J<;;:;IR--+ JRn describen la. misma curva en JRn. Es f una reparametrizacin de f? Es decir, existe una funcin lp: J ->.1 de clase <&Isobreyectiva tal que ~/(S)i= O 'Vs E 1 Y f= fo lp?. La respuesta a esta pregunta es NO (necesariamente) y el siguiente par de ejemplos presentan situaciones concretas que la apoyan. 4 66 Captulo 5 Curvas en el espacio Ejemplo 4. Sea f: (-1T, 1T) ----> IR 2 el camino dado por f(l) = (sen 1, sen 21) y f: (O, 21T) ----> IR 2 el camino fes) = (sen s, sen 2s). Ciertamente estos son caminos regulares y ambos describen la misma curva en IR 2 la cual es un "ocho acostado" (recorrido por cada uno de ellos una sola vez) (figura 9). -1T 1T o Figura 9. Traza de los caminos f y C(/) = (sen t, sen 2t). Supongamos, para obtener una contradiccin, que f es una reparametrizacin de f. Entones = f o p donde cp: (0,21T) ----> (-1T, 1T) es una funcin de clase i(?l sobreyectiva tal que cp'(S) =1 Vs E (0,21T). Obsrvese que (O, O) = f(1T) = f(p(1T = feO), de modo que, como f es inyectiva se tiene cp( 71") = O. Adems l'(S) = (cos s, 2 cos 2s) y fl(t) = (cos 1,2 cos 21), de modo que 1T) = (-1,2) Y f'(O) = (1, 2). Como f = f o cp se debera tener que fl(s) = cp'(s)fl(cp(S, s E (O, 21T). Con s = 1T llegamos a 1T) = cp' (1T)f' (cp( 1T = p'( 1T)f ' (O), o sea que (-1, 2) = cp'( 1T)(l, 2). Tal nmero p' ( 1T) no existe. Recapacitando esta situacin, lo que acontece es que los caminos f y pasan por el origen de distintas maneras, como se muestra en la siguiente figura. e e '( e( ' e f' (O) = (1,2) r'(1T) = (-1,2) Figura 10. Grfica de f y f' cerca del origen. Ejemplo 5. Consideremos los caminos f: [0, 21T) ----> IR 2 , Y [O, 41T) ----> IR 2 dados por f(t) = (cos 1, sen t), fes) = (ca s s, sen s). Ambos son caminos regulares que recorren el crculo x 2 + l = 1 en sentido antihorario partiendo del punto (1, O); el camino f lo recorre una sola vez y el camino f lo hace dos veces. Obsrvese que el camino f es inyectivo. Supongamos que f es e: 5.4 Reparametrizaciones 467 una reparametrizacin de f. Entonces f = f o ep. Tenemos (O, 1) = f (i) ==J (ep (i)) = f ( i) . Como f es inyectivo concluimos que ep (I) = Anlogamente f (5;)= f (ep( 5;) = f ( I) de donde ep ( ?f) Entonces ep ( = ep (5;) Aplicando el Te()rema de Rolle a la fl.Incin ep en el intervalo [I' 5;]. concluimos que debe existir al menos un So E (i, S;) tal que epi (.1'0)= 0, lo cual contradice a la propiedad ep'(S) =f Vs E [0,411') requerida para que f = ~ o .ep sea una 11 reparametrizacin de f. =I' I) i. = i. Existen resultados que establecen en qu condicione~ s~ puede concluir que el caminor es una reparametrizaci6n de f cuando estos .caminos describen la misma curva, pero no ahondaremos en este respecto. Simplemente enfatizamos el hecho estudiado en esta seccin de que sires una reparametrizacin de f, entonces ambos caminos recorren la misma CUrva, con distinta velocidad posiblemente, pero que la afirmacin recproca es, en general, falsa. Ejercicios (Captulo 5, Seccin 4) <p: [-1. 1] --> ]R dadas, produce una reparametrizacin En los ejercicios 1-5, considere el camino regular f:. [-1, 1] -->]Rn. Diga cules de las funciones f = f o ep: [-1, 1] --> ]Rn del camino f. 2. ep(s) 3. <pes) ep(s) = -s = 2.1'2 ~ 1 0.5(.1' - 1) ep(s) = .1'3 Sea f: [O, 1] --> IH;2 el camino fU) = U2 + 1, t 3 + 3t + 2). Sea ip: [-1, 1] [O, 1] una funcin de clase 'e' 1, sobreyectiva, tal que q/(s) > Vs E [-1, 1]. Si ep(O) = 1/2, ep' (O) = 2, obtenga el vector velocidad de la reparametrizacin f = f o <p para s = O. 7. Sea f:[-l, 1 ] ] R 2 e l camino f(t)=(t 3 - 3t, P+4t).DeterrniJ;leHna funcinep:. [-2,2] --> [-1,1] sobreyectiva, de clase 'el, talque f o ep:[ __ 2, 2] --> ]R2 sea un camino que empiece en el punto f( -1) = (2, -3), vaya al punto fO) = (-2,5) durante los primeros 2 segundos, y regrese finalmente al punto f(-l) durante los siguientes 2 segundos. Es t = f o ep una reparametrizacin de f? 8. Sea f: [O, 2n'] "'-']R2 el camino fU) == 3 sen t). Dertermineuna funcin ep: [-1, 1] --> [0,2n] sobreyectiva, de clase 'e'1, tal que g = f o ip: [O, 2n] --> ]R2 recorra 2 veces la elipse f([O, 211' D. Es g una reparametrizacin de f? 9. Sea f: [0, 5] --> ]R3 el camino fU) = (sen t,cos t, t). Obteng~ una reparametrizacin f de f, que conserve su orientacin.y que recorra la traza de f en la quinta parte de tiempo en que lo hace f. 10. Sea f: [0,1] --> ]R3 el camino f(t) = (r, t, t). Obtenga uuareparametrizacin.f de f que invierta su orientacin y recorra el segmento de recta f([O, 1Den 5 segundos. 4 68 Captulo 5 Curvas en el espacio Para cada uno de los caminos f dados en los ejercicios 11-15, obtenga una reparametrizacin f que recorra su imagen de la manera indicada 11. f: [O, 2] --> IR 2 , f(t) = (3t + 2, t 3 + 3). Se quiere que f recorra f([O, 2]) en la misma direccin de f, pero con el doble de velocidad. 12. f: [-1, 1] --> IR 2 , f(t) = (3 cos t, 3 sen t). Se quiere que f recorra f([ -1, 1]) en la misma direccin de f, pero a la mitad de velocidad. 13. f: [O, 3] --> IR 2 , f(t) = (t2 + t, 4t - 1). Se quiere que f recorra f([O, 3]) en direccin contraria a y que lo haga en la cuarta parte del tiempo que le toma a f recorrerlo. 14. f: [O, 3] --> IR 3 , f(t) = (te l , e- I , t). Se quiere que f recorra f(O, 3]) en direccin contraria a f, y que lo haga en el mismo tiempo de recorrido de f. 15. f: (1, 4] --> IR3, f(t) = (t, 2t, 3t). Se quiere que f recorra f(l, 4]) en la misma direccin de f. y que le tome 7T veces ms tiempo en efectuar tal recorrido. En los ejercicios 16-23, determine una funcin f: 1 ~ IR --> IR 2 que parametrice la curva indicada 16. El eje x, recorrido de izquierda a derecha. El eje y, recorrido de arriba hacia abajo. 18. La recta y = 2x, recorrida del tercero al primer cuadrante. 19. La cuarta parte del crculo x 2 + sentido antihorario. l = 3 que se encuentra en el segundo curadrante, recorrido en 20. El cuadrado Ixl + Iyl = 1, recorrido en sentido antihorario. 21. El tringulo cuyos vrtices son A A --> B --> e --> A. = (O, O), B = (3, 1), e= (2,5), con el recorrido 22. El segmento de la curva y a derecha. 23. El segmento de la curva y a izquierda. = 11 -Ixll comprendido entre x = - 2 Yx = 2, recorrido de izquierda = Ix2 - 11 comprendido entre x --> - 2 Yx = 2, recorrido de derecha En los ejercicios.24-30, determine una funcin f: 1 ~ IR 24. El eje x, recorrido en su direccin positiva. 25. El eje y , recorrido en su direccin negativa. 26. El eje Z, recorrido en su direccin negativa. 27. La parte de la recta y origen. IR 3 que parametrice la curva indicada. = 2x = 3z que se encuentra en el primer octante, comenzando en el 28. La parte de la recta que resulta de la interseccin de los dos planos.1.'+2y-z correspondiente a Z ~ O, comenzando en el origen. = 0,3.1.'- y+5z = 0, 29. El crculo que resulta de la interseccin del paraboloide z = x2 + l con el plano z = 4, comenzando en el punto (0,2,4), con el sentido de recorrido (0,2,4) --> (-2,0,4) ........ (O, -2,4) --> (2,0,4) --> (0,2,4). 55 Longitud de un camino 469 5.5 Longitud de un camino Sea f: 1 ~ IR -> IRIl un camino de clase ~ l . En el punto fUo) E IR Il , to El, tenemos asociado el vector velocidad f'(to) E IRIl que nos dice en qu direccin se est moviendo el punto fU) sobre la curva cuando ste pasa por f(to), Ycuya magnitud nos da una estimacin numrica de la rapidez con que el punto se mueve. De hecho, en lo subsecuente, llamaremos rapidez del camino f en f(to) al nmero no negativo Ilf'(to)ll, la cual distinguiremos del mismo vector velocidad f'(to). Ejemplo 1. El camino f: [O, 27T] -> IR 2 dado por fU) = (cos t, sen t) que recorre el crculo unitario tiene por vector velocidad a f' (t) = (- sen t, cos t), el cual es distinto en todos los puntos del crculo. Sin embar o, la rapidez a la que se recorTe el crculo es siempre constante, pues 11f'(t)11 = (- sen t)2 + (cos t)2 = 1, '<it E [O,27T] 11 Pensemos el camino f; [a, b] -> IRIl en trminos fsicos, como el punto f(t) movindose por la curva descrita por f con una rapidez 11f'(t)II; si sta fuera constante digamos \lf' (t)\I = k unidades/seg y quisiramos calcular la longitud total del camino recorTido, todo lo que tendriamos que hacer sera multiplicar a k por el tiempo total empleado en efectuar el reconido, el cual es (b - a) seg . As, en este caso la longitud de la curva descrita por f sera k(b - a) unidades . Esta situacin ocurre en el caso del crculo unitario del ejemplo anterior con k = 1, b- a = 27T .- O = 27T, de modo que k(b - a) = 27T es la longitud del crculo x 2 + l = 1 (recorrido una vez) como ya sabamos . Sin embargo, en general la rapidez a la que se recorTe una curva descrita por un camino es una funcin del tiempo . Si pensamos "infinitesimalmente", al multiplicar la rapidez Ilf' (t)11 que lleva el punto f(t) en el instante t, por la diferencial de tiempo dt, tendramos calculada as la longitud infinitesimal del recorrido en ese instante . Sumando estos productos desde t = a hasta t = b tendramos calculada la longitud de todo el recorrido hecho por el camino f: [a, b] -> IRIl Por supuesto que esta suma se hace de manera continua sobre la infinidad de sumandos \lf'(t)\I dt, con t E [a, bl Esta es, como sabemos, la integral Este tipo de consideraciones, ms bien imprecisas, pero con buena intencin, tienen la finalidad de hacer plausible la siguiente definicin formal. Definicin. Sea f; [a, b] -> IRn un camino de clase 15 1 La longitud de f entre t denotada por R(f), se define como = a y t = b, Obsrvese que siendo f un camino de clase 15 1 se tiene que f'(t) es una funcin continua de t, al igual que \lf'(t)11 (composicin de la funcin <p(x) = Ilxll, x E IRIl , con f'(t), continuas ambas) As que la integral de la definicin anterior existe siempre (funciones continuas son integrables) Ejemplo 2. Sea f: [O, 27T] -> IR2 el camino dado por fU) = (a(t - sen t), a(l - cos t)), en donde a es un nmero real positivo dado . La curva que ste describe es el arco de cicloide entre t = O Y t = 27T (ver ejemplo.5 de la seccin 2). \lf'(t)11 Calculemos la longitud de este arco. Se tiene = II(a(1 - cos t), a sen t)\I = via 2(l - cos t)2 + a2 sen 2 t = lalJ2Jl - cos t 4 70 Captulo 5 Curvas en el espacio as que r(f) = rb (rr Ja Ilf'(t)1I dt = Jo ahJl - cos t dt = ha r2rr Jo JI - cos t dt = 2a r~ Jo Vsen 2: dt 2rr 2 (Obsrvese que /sen 2 ~ = Isen il = sen i, pues sen i 2: O \lt E [O, 27T]. En general debemos ser muy cuidadosos en respetar los valores absolutos en este tipo de integrales; de otro modo nos rr podemos llevar sorpresas desagradables como Jsen 2[ dt = grr sen t dt = - cos tl~rr = O!) I: = 2a. 2rr o t t1 sen -dt = --4a cos = 8a 2 2o 2rr Ejemplo 3. Sea f: [O, 27T] -> ]R3 el camino dado por f(t) = (cost, sent, t). La curva que ste describe es la vuelta completa de una hlice, como se muestra en la figura (ver ejemplo 6 de la seccin anterior). Calculemos su longitud, Se tiene as que z f(27T) = (1, O, 27T) O 27T y x Figura 1. Una vuelta completa de hlice Ejemplo 4. Dada una curva e en ]R2 o ]R3 y f: 1 ~ ]R -> ]R2 o ]R3 un camino que tiene por traza a e, no es cierto, en general, que la longitud de e sea la longitud del camino f. Por ejemplo si e es una curva ceITada y f es un camino que recorTe a e dos o ms veces, la longitud de f ser el nmero de veces que f recorre e, multiplicado por la longitud de C. Esta situacin ocuITe con el camino f: [O, 47T] -> ]R2, f(t) = (cos t, sen t) que recorre dos veces el crculo unitario. La longitud de f ser e(o = la cual es dos veces 27T t Jo lr Ilf'(t)1I = t Jo 1T ldt = 47T = longitud del crculo unitario x 2 + y2 = l. 5.5 Longitud de un camino 471 Supongamos que f: [a, b] -> Rn es un camino regular y que f: [e, d] -> Rn es una reparametrizacin de f Segn la discusin presentada en la seccin anterior, es de esperarse que la longitud de f entre 1 = a y t = b sea igual a la de f entre s = e y s = d, pues, "la canetera recorTida por f y f es la misma", slo cambia la manera de recorrerla En efecto, tenemos que f = f o ep, donde ep: [e, d] -> [a, b] es de clase '6'1, sobreyectiva y ep'(s) 1= O Vs E [e, dl Entonces d f(f) = i e Ilf'(s)11 ds = j~ Ilep'(s)f'(ep(s))11 ds e = id e Ilf'(ep(s))lllep'(I)1 ds supongamos que epi (s) > O Vs E [e, d] En tal caso tenemos que f es una reparametrizacin que conserva el sentido de recorrido de f, con ep(e) = a, ep(d) = b. Entonces, si t = ep(s) en la ltima integral obtenemos id e f(f) = IIf'(ep(s))llep'(s)ds = . = dt='I"(r)ds '='I'(s) lb a IIf'(t)lldt = f(f) De la misma forma, si ep' (s) < O, Vs E [e, d], tenemos que la reparametrizacin f invierte el sentido, resultando que ep(e) = b, ep(d) = a . En tal caso lep'(s)1 = -ep'(s) y entonces f(f) = id 1if'(ep(s))II(-ep'(s))ds = -~ = dt='I"(s)ds ,=",(,) a b = -id = Ilf'(ep(s))llep'(s)ds Ilf'(t)11 dt ja rb Ir'(t)!! dt = f(f) como asegurbamos que ocurrira Ejemplo 5. Sea f: [O, 21T] -> R2 el camino f(t) = (sen t, cos t) Hemos visto que, para cualquier n E N, los caminos f: [O, 2,~] -> R 2 dados por f(s) = (cos n s, sen n s) son reparametrizaciones de f Calculemos f(f) hin (1T" ln cf) = Jo = Jo IIl'cs)11 ds = Jo I( -n sen nI, neos ns)11 ds hin J n2 sen 2 ns + n2 COS 2 nsds = n Jo ds = n = permetro del crculo x 2 + l = 1 que describe f (1T"ln (21T) --;; = 21T Ejemplo 6. Consideremos la curva e en IR 3 que se obtiene como interseccin de las superficies 2 y Z = ~xy Queremos calcular la longitud de sta desde el origen (O, O. O) hasta el punto y=x (1, 1, Para usar la frmula establecida en la definicin de la longitud de un camino. debemos disponer de un camino f: [a, b] -> R 3 de clase 6'1 que tenga por imagen a la curva e y que recona sta una sola vez En el ejemplo 8 de la seccin 3 nos encontramos con una situacin similar Ah vimos que resolviendo simultneamente las ecuaciones que definen a las superficies cuya interseccin es la curva e, podemos encontrar parametrizaciones de ella . Por ejemplo, poniendo.x = t, tenemos que y = x 2 = r2 y z = ~xy = ~t(t2) = ~t3 Ciertamente el camino f(t) = (t. 12 , ~t3) es un camino de clase '6'1 que describe a la curva e Para (x =) 1 = O estamos en (O. O. O) y para (x = ) t = 1, O 4 72 Captulo 5 Curvas en el espacio estamos en (1, I,~) As que la logitud buscada es la del camino f: [O, l] --; Tenemos que f'U) = (1, 2t, 2t 2 ) de modo que ]R\ f(l) = (1, (", ~t') . y entonces f(f) = J I o 11f'(t)lldt = JI o (2t 2 2 + l)dt = - + I = 3 S ~ 3 En realidad hubiramos podido poner x = cpU) en la que cp: [a, b] ---; [0, 1] es cualquier funcin sobreyectiva de clase re! tal que cp/U) /:: '<It E [a, b]. En tal caso tendramos V = x" = (cp(t2 y Z = ~xy = ~(cp(t))3 As, el camino f: [a, b] --; IR' dado por f(l) = (cp(t), (cp(t2, ~(cp(t') es un camino de clase i;'1 que describe igualmente a la curva e (en realidad se trata de una reparametrizacin del camino considerado inicialmente). lIIiI Ejemplo 7. Considere el camino f: [O, 21T] --; IR 2 dado por f(t) l es la curva llamada astroide . = (cos' t, sen' t) La imgen de o 21T feO) = f(27T) Figura 2. Astroide. Este no es un camino regular, pero s es de clase 1?1 Calculemos su longitud r2~ r2~ f(f) = Jo 11f'(t) 11 dt = Jo 11(-3 cos 2 t sen t, 3 sen 2 t cos t)1I dt = Jo r2~ /9cos 4 tsen 2 t+9sen 4 tcos 2 tdt = 3 = -(8) 2 o Jo r2~ Icostsentldt 3j2~ =~ I sen 2tl dt 2o 3 1,"/ 4 sen 2t dt = 6(- cos 2t) 1~/4 o =6 5.5 Longitud de un camino 473 Ejemplo 8. Considere una funcin cp: 1 <;:; IR - t IR de clase '(gl. Podemos calcular la longitud de la grfica de cp comprendida entre x = a y x = b, a, b E 1, por medio del camino de clase '(gl f: [a, b] - t 1R 2 , fU) = U, cpU)). Se tiene que Por ejemplo, si cp: IR - t IR es la funcin cp(x) = cosh x, tenemos que la longitud de la grfica (llamada catenaria) entre x = a y x = bes f(cp)= = b l lb a jl+(cp'(t))2dt= lb a 2 jl+senh tdt= b 1 2 jcosh tdt cosh tdt 1 = senh tl~ = senh b = senh a (Recuerde que senh t = l e - e2 y cosh t e'+r ' y se cumple que cosh 2 t - senh 2 t = l, \/t E IR) x=a x=b x Figura 3. Longitud de la catenaria y = cosh x entre x = a y x = b. Sean f: [a, b] - t IRn y g: [e, d] - t IRn dos caminos tales que f(b) = g(c), es decir, el punto donde termina el camino f, es el punto donde comienza el camino g. Podramos pensar en un camino "f seguido de g", que recorre el camino f y contina recorriendo luego el camino g. Para dejar este nuevo camino definido en un intervalo podemos reparametrizar el camino g de modo que ste a b b+d-e e < d )- d-e Figura 4. Arreglo de los intervalos [a, b], [e, d]. 4 74 Captulo 5 Curvas en el espacio quede definido en el intervalo lb, b + d - e] por medio de la funcin 'P: [a, b + d - e] -. [e, d], 'P(s) = s - b + e (figura 4). Denotaremos este nuevo camino como l' + g (advertencia: hemos usado anteriormente esta notacin para la funcin (1' + g)(I) = f(1) + g(I). Esto, sin embargo, no debe provocar confusin, atendiendo al contexto del problema). Este camino es entonces f + g: [a, b + d - e] --> ]R;" (f+ g )(1)= {f(1) g(t b + e) sil E [a,b] SI tE [b. b +d - e] f(h) = g(c) a b e g(d) (f -+- g)(b) f+g ~~ a b b-+-d-e (f -+- g)(b -+- d - e) Figura 5. El camino f -+- g. Si tanto f como g son caminos de clase re l , es claro que el camino f + g puede no serlo. Sin embargo, podemos definir la longitud de este ltimo camino entre t = a y I = b + d - e como R(f Ejemplo 9. l' + g) = R(f) + f(g) = la 111"(1)11 dI + rb id Ilg'(1)1I e dI g(l) = (1, t - J). Se tiene f( 71") + g: [O, 1T Considere los caminosf:[O, 71"] - 7 Jj(2, 1'(1) = (-COSI, senl) y g: [1, 3] _-; Jj(2, = (1, O) = g( 1). Formemos entonces el camio f + g. Este es +2] - 7 1R2 (1' + l)(t) = {~- cos t, sen 1) g. t - 71" + 1, 1- 7T) si I E [O, 1T] si t E [1T, 1T + 2] ---------------- 5.5 Longitud de un camino 475 (3,2) f+g ~ o 7T' (-1, O) (1, O) Figura 6. El camino f + g del ejemplo 9. Ntese que f y g son caminos de clase ~1 , pero f + g no lo es, pues r--+1T~ lm (f + g)' (t) = lm t-1T+ 1--~7T~ f'(t) = lm (sen t, cos t) = (O, -1) t-+'TT+ lm(f+g)'(t)= lm g'(t) = lm(l,I)=(1,l) !-...rr- !-1r-. as que lm H7T - (f + g)'(t) no existe, y entonces la derivada (f + g)'(t) es discontinua en t embargo, podemos calcular la longitud del camino f + g entre I = OY I = 7T' + 2 como e(f + g) = = 17. Sin t(O + (g) = jTf IIf' (t)1I dt + j3 Ilg'(1)11 dt = r II(sen t, cost)11 dt + j3 110 , I)li di = r di + j3 .J2dt Jo Jo 1 1 =17+2.J2 11 Tenemos entonces que el camino f + g obtenido al unir los caminos f y g de clase 15 1 , puede no ser de clase 'el, pero es posible partir el intervalo donde est definido de modo que restringiendo a cada uno de los subintervalos de la particin, quede de clase ~d, De hecho as es como se construye el camino f + g. En trminos ms generales, diremos que un camino f: [a, b] -; ]R.n es seccionalmente de clase ~1 si se da una particin del intervalo [a, b] digamos a = to < t1 < 12 < ... < tn -1 < tn =b de modo que restringiendo el camino a cada subintervalo [ti-I, I] i = 1, 2, ... , n, se obtenga un camino de clase 15 1 En tal caso podemos definir la longitud del camino f entre t = a y t = b como e(f) = t jli i=l 11f'(t) 11 dt tl-~l donde la derivada f' se calcula en la [uncin f restringiendo al subintervalo [ti~ 1, tJ. Es decir, la longitud del camino f es la suma de longitudes de ese camino en los subintervalos en que f "se porta bien" (de clase 1( 1). 4 76 Captulo 5 Curvas en el espacio Ejemplo 10. El camino f: [-a, a] --+ JR2 dado por f(t) = (t, Itl) no es de clase 'PI. Sin embargo podemos partir el intervalo [-a, a] corno -a to < < t2 = a, de modo que f restringido a [-a, O] es fl(t) = (t, -t) que es de clase 'PI, Y restringido a [O, a] es f 2 (t) = (t, t), que tambin es de clase 'lii'1. As entonces f es un carnina seccionalmente 'PI. SU longitud es pues e(o = = = lOa IIf;(OII + a Ilf~(OII lOa 11(1, 1)11 + a 11(1,1)11 lOa + a + dt dt dt dt Vidt Vidt Via Via = 2Via 11 Ejercicios (Captulo 5, Seccin 5) En los ejercicios 1-5, calcule la longitud de la grfica de las funciones y los intervalos indicados (ver ejemplo 8). q;(x), comprendida en 1. Y = 5x 2. Y + 1, : ; x ::; l 3 = In x, 32 X/, 1 ::; x ::; 5 3. y = : ; x ::; ~, 4. Y = 3 cosh 5. Y O ::; x ::; 2 7T/3 = Incosx, O::; x::; En los ejercicios 6-10, calcule la longitud de los carninas dados. 6. f: [0,3] --+ JR2, f(O = (t, 5t + 1) (ver ejercicio - 1) 7. f: (O, )2] 8. f: (O, 27T] 9. f: (O, 1] --+ --+ JR2, f(t) = (8t3, 6t 2 JR2, f(t) 3t 4 ) = (cos4 t, sen4 t) --+ --+ JR2, f(t) = (cosh 2 t, senh 2 t) JR3, f(t) 10. f: (O, 1] = (cosh t, senh t, t) --+ U. Considere el camino A: (O, 27T] la elipse JR2, Aet) = (a cos t, b sen t), cuya imgen es (como sabemos), ~ +~ = 1. Demuestre que la longitud L de esta curva viene dada parla integral L = 4b Jo ("/2 JI - e2 sen 2 tdt donde e = iv'b 2 - a 2 (este nmero es la excentricidad de la elipse). Para obtener el valor de la integral anterior, haciendo uso del teorema fundamental del clculo, habra que determinar primeramente la integral indefinida correspondiente. Sin embargo, sta ltima (puede 5.5 Longitud de un camino 477 demostrarse que) no tiene solucin en trminos de funciones elementales. De hecho, la integral que aparece en la expresin de L es un caso particular de integrales de la forma ("/2 Jo JI~k2sen2tdt donde O < k < 1, llamadas integrales elpticas de segunda clase. Estas integrales juegan un papel muy importante en algunas partes de la matemtica, y se tienen referencias de valores de ellas para diferentes valores de k. 12. Considere el camino f: [to, +00) -; IR 2 dado por f(t) = (e- I cos t, e- I sen t). a. Demuestre que la imagende f cruza una infinidad de veces cada uno de los ejes coordenados. Ms an, (demuestre que) si t, t' E [to, +00) son tales que t > t' y f(t) Yf(t') se encuentran en el eje x (o en el eje y), entonces 11f(t)1I < Ilf(t')II. Interprete va geomtrica este hecho. Demuestre que cuando t tiende a infinito, la imagen de f tiende al origen de coordenadas (de qu manera?). Considere la longitud de f entre t = to Y t = ti. Dentela como L[to.til' Defina la longitud total de f como el lmite lmll~= L[lo.liI' Demuestre que la longitud total de f es finita. Calclela. A la traza de f se le llama espiral logartmica. b. c. 13. Considere los caminos f, g, h: [a, J3] -; IR} dados por fU) = (t, cp(t), a), g(l) = (r. b. cpU)), h(t) = (c. t. cp(t, donde a, b, e son nmeros reales dados y cp: [a, {31 -; IR es una funcin de clase '(:(1. Demuestre que la longitud de los caminos f,g, h es igual a la longitud de la grfica de la funcin cp. Interprete geomtricamente. 14. Cul es la longitud de un camino constante f: IR -; IRn, f(t) n = v? 15. Determine la longitud del camino f; [a. {3] -; IR dadoporf(t) = (at+b l a2t+b2 . ... , Gnt+b n). Demuestre que sta se puede escribir comollf(a) :- f({3)II. Interprete geomtricamente. 16. Sean p y q dos puntos en IR 3 . El objetivo de este ejercicio es probar que la distancia ms corta entre estos dos puntos es IIq - pll = longitud del camino f: [O, 1] -> IR3, fU) = tq + (1 - t)p (es decir, la distancia ms corta entre p y q es la longitud de la recta que une a p con q). Sea f; [a, bl -> IR3 un camino de clase %,1, tal que fea) = p, f(b) = q. a. Sea v E IR 3 un vector unitario. Considere la funcin cp; [a. b] Demuestre que -> IR dada por cp(t) = f' (t) . v. .t cp(t)dt = (q --, p). v b. Use la desigualdad de Cauchy-Schawrz con los vectores f'(t) y v para demostrar que c. Considere el vector unitario v = II~:::~II para demostrar, usando los Ilq - pll : : : d. longitud del camino f Concluya que la distancia ms corta entre p y q es la de la lnea recta que une estos dos puntos. 4 78 Captulo 5 Curvas en el espacio 17. (En un tono menos serio: un problema intergalctico). Era el 19 de diciembre del ao 2015. El capitn Marcello se dispona a realizar su misin nmero 1T 2 x 10 2 . A bordo de su nave "Apolo-Tepepan", escuchaba la cuenta regresiva para dar inicio a su vuelo por el espacio. En esta ocasin el capitn Marcello deba dirigirse a un punto en el espacio ]R3 con coordenadas (50, 70, 100) -las unidades estn medidas en miles de kilmetros-, teniendo el punto de arranque en el origen de coordenadas. Despus de que su equipo de trabajo haba resuelto el ejercicio anterior, y convencidos plenamente de que la distancia ms corta entre el punto de despegue y el punto objetivo es la lnea recta, planearon un viaje descrito matemticamente por el camino f: [O, 1] -> ]R3, f(t) = (50t,70t, 100t), en donde t est medido en cientos de horas de vuelo. La computadora ha indicado el paso por tres "zonas de alta turbulencia", en donde se deben extremar las precauciones de vuelo, como por ejemplo, dejar de tomar caf y no ir al sanitario. Estas zonas estaban registradas en fonna matemtica, con ecuaciones que describan las regiones que stas ocupaban en el espacio. As, bajo el ttulo de "PELIGRO, ZONAS DE ALTA TURBULENCIA", apareci en la pantalla de la computadora de la nave la siguiente informacin: l + Z2 ZONA DOS:{(x, y, z)lx + l + Z2 ZONA TRES:{(x, y, z)lx 2 + l + Z2 ZONA UNO:{(x, y, z)lx 2 + 2 16x -'- 24y - 30z 36x - SOy 60x - 80y - + 424 ~ O} 80z + 2533 ~ O} 1102 + 5489 ~ O} "Es fcil ver que se trata de zonas esfricas", dijo para s mismo el capitn Marcello, segundos despus de ver las ecuaciones en pantalla. Tom papel y lpiz, y se dispuso a hacer los clculos de los tiempos en que entrara y saldra de cada una de las zonas de turbulencia, as como de la cantidad de kilmetros que recorrera en cada una de ellas. Con un gesto de tranquilidad, pudo ver que no pasara ms de 20 horas, de las 100 horas de vuelo, dentro de zonas de turbulencia. Reproduzca los clculos que hizo el capitn Marcello, indicando tiempo de entrada y tiempo de salida a cada una de las tres zonas, as corno la distancia recorrida en cada una de ellas. Despus de 25 horas de vuelo, habiendo dejado atrs la primera zona de turbulencia, apareci en la pantalla una informacin de ltima hora: justo en el momento del despegue, se detect una explosin en el espacio, registrada en el punto de coordenadas (35,50, 80). Este tipo de fenmenos espaciales eran de gran peligro, pues si se entraba en contacto con la regin ele las ondas expansivas de la explosin en menos de 150 horas de que ocurri sta, las probabilidades de que la nave sufriera transtomos serios en las turbinas, eran de alrededor de 0.5e 1/2. Se sabe que las ondas expansivas eran esferas concntricas (con centro en el punto de la explosin) cuyo radio creca de manera proporcional al tiempo transcurrido desde la explosin; es decir, el radio de las esferas de las ondas expansivas era del tipo r = kt, en donde k es una constante positiva. Hasta qu valor de k la nave del capitn Marcello no cruzara la regin de ondas expansivas? 18. Para adornar la entrada al Palacio d~Mathingham (cuya historia se relatar en el ejemplo 14 de la seccin 7 del captulo 7, no se la pierda!), se tiene pensado colocar tres cadenas colgantes. Las cadenas sern de oro macizo y colgarn cada una de ellas de dos postes consecutivos de los cuatro postes que se colocarn al frente del jardn principal. La altura de cada uno de estos postes es de 1 mt y la distancia entre dos postes consecutivos es de 2 mt. Para cada una de las dos cadenas laterales se quiere que la mnima distancia de ellas al piso sea de 0.5 mt, mientras que para la cadena central se quiere que esta distancia sea de 0.25 mt. Se sabe que la curva que forma una cadena colgante es del tipo y = a cosh kx. Poniendo el eje y en el eje de simetra de cada una de las cadenas, demuestre que las dos cadenas laterales pueden ser representadas por la ecuacin 5.6 Reparametrizacin por longitud de arco 479 y = 0.5 cosharccosh 2)x), y la cadena central por la ecuacin y = 0.25 cosharccosh 4)x). Demuestre que la longitud total de cadena de oro que ser necesaria para este fastuoso adorno del Palacio de Mathingham es de (aproximadamente) 7.26 mt.(Use integracin numrica para obtenerel valor de las integrales que le aparecern en el clculo de las longitudes de las catenarias involucradas). 5.6 Reparametrizacin por longitud de arco En esta seccin veremos la posibilidad de reparametrizar un camino f: 1 <;:: ]R -; ]R", digamos que f; [a, b] -; ]R" es la reparamctrizacin, de modo que la rapidez a que f recorre la curva e = imagen de f imagen de r, sea constante e igualala unidad. Es decir, que Ilr'(t)11 = 1, 'it E (a. b]. Obsrvese que en tal caso la longitud del camino entre t == a y t = bes r f(f) = b IIf'(t)11 b dt = 1 dt = b- a as que f ser una reparametrizacin tal que la longitud de la curva que describe es igual al tiempo que emplea en recorrerla. Por ejemplo, el camino f: (O, 27T] -; ]R2, dado por f(t) = (cos t. sen t), que recorre una vez el crculo unitario x 2 + y2 = 1, tiene las caractersticas menicionadas: la rapidez can que se recorre el crculo es \lf'(t)11 = 11(- sen t. cas t)11 = Jsen 2 t + cos 2 t = 1 'it E (O. 21Tl y, consecuentemente. la longitud de la curva descrita por f es 27T = tiempo que-emplea en recorrerla. Consideremos un camino regular f: (a, b] -; ]R" y supongamos un punto p = f(ro) E IR" de la curva que describe (to algn punto en [a, b]). Siendo f de clase i(?,l podemos calcular, para cada t E [a, b], la longitud de f entre t = to Y t. Esta es claramente una funcin de t, designada por fiU). Entonces fi(t) = Jto t Ilf'(u)11 du t E (a, b] (Aceptamos que si t < to (i.e. el punto fU) est antes -en el recorrido de f - que p = f(to. entonces la longitud del camino es negativa). Segn el teorema fundamental del clculo tenemos fi'(t) = IIf'(t)\l. Como nuestro camino f es regular, entonces fi'(t) = Ilf'U)\l =/=- O 'it E (a, b]. De hecho se tiene fi' (t) = IIf' (t)11 > O'it E (a, b]. Adems, es claro que fi es una funcin de clase i(?,1. pues su derivada fi/(t) = \lf/(t)11 es continua. Sea [e, d] e ]R el intervalo en el.que la funcin fi manda las imgenes fi(t). t E (a. b]. Por ejemplo, si hubiramos tomado p = fea), entonces la funcin fi: [a, b] -; IR fi(t) = I Ilf/(u)11 du manda el intervalo (a, b] al intervalo (O, E(O] sobreyectivamente, donde t = a y t = b. e(o es la longitud de f entre 4 80 Captulo 5 Curvas en el espacio Sabemos, de nuestro primer curso de clculo, que siendo f;: [a, b] ......., [e, d] una funcin de clase '6'1 tal que f;/ (t) =1= O 'Vt E [a, b], existe entonces la funcin inversa f;-I: [e, d] ......., [a, b] la cual es tambin de clase '6'1 y adems, como (f;-J)/(f;(t))f;/(t) = 1 'Vt E [a, b], tambin se tiene que (f;-I)/(S) =1= O 'Vs E [e, d]. Ms an, como f;/(t) > O 'Vt E [a, b], tambin se tiene (~J-J)/(s) > O 'Vs E [e, d]. Obsrvese que la funcin cp = f;- J: [e, d] ......., [a, b] tiene entonces todas las caractersticas que se necesitan para que f = f o cp sea una reparametrizacin de f. Estudimosla. t __- - f ( b ) ~ . ~, ( ' ) .) ~ IIr' f (1) ji dI f(a) e s d Figura 1. Grfica de la curva e descrita por f y f. Para s E [e, d] tenemos fes) = (f o cp)(s) = f(cp(s)) (Podemos poner a s como una longitud de una parte de la curva descrita por f). Obsrvese que el vector velocidad l/(s) es eles) = cp'(s)f/(cp(s)) Pero cp (s) = (f; / -1 -1 ) (s) = I (t/J ) (t/J(t)) I I = f;'(t) = donde s = f;(t) = h: Ilf'(u)1I IIf' (t)11 I duo Entonces II f (s)1 = IIf'1 llf (t)1I = 1 (t)ll 1 I De modo que f es una reparametrizacin de f cuya propiedad es recorrer la curva de sus imgenes a una rapidez constante igual a la unidad. Diremos que f es una reparametrizacin de f por longitud de arco, en el sentido de que la nueva variable independiente s de f es justamente la longitud del camino entre to Yt, s = f;(t) = l/o t Ilf'(u)11 du Ntese que el punto to tomado del intervalo [a, bJ no jug papel alguno en la discusin anterior. Podemos entonces, sin prdida de generalidad, tomar siempre to = a. 5.6 Reparametrizacin por longitud de arco 481 Debemos sealar que la reparametrizacin de un camino f por longitud de arco es una construccin de gran importancia terica, pues a travs de ella vamos a establecer nuevos conceptos que estudiaremos en la prximas secciones relacionados con la geomtria de la curva descrita por f. Los clculos tcnicos involucrados al tratar de llevar a cabo una de estas reparametrizaciones con algn camino dado, pueden ser sumamente complicados, o, en ocasiones, con impedimentos algebraicos que no permiten hacer explcita la funcin cp con la cual construimos la reparametrizacin (que es la funcin inversa de s = t/f(s) = IIf'(u)\\ du). Tendremos, sin embargo, algunos ejemplos tomados de situaciones que permiten ver, sin muchas dificultades, cmo se efectan estas reparametrizaciones. J: Ejemplo 1. Sea f: [O, 217'] ....... ]R2 el camino fU) = (r cos t, r sen t). Este es un camino regular que recorre una vez el crculo x 2 + l = r2 Obtengamos la reparametrizacin de f por longitud de arco. Se tiene . s = t/fU) = ir Ilf'(u)1I du = ir II( -r sen u, r cos u)11 du = ir rdu = rt = cp(s) es t de modo que la funcin t 1 = cp(s) = t/f-I(S) = -s r Entonces el camino f: (O, 217'rJ ....... ]R2, dado por es la reparametrizacin por longitud de arco de f. Observe que se tiene para todo s E (O, 217'r], como tena que ocurrir. Ejemplo 2. Sea f: [0, 31 ....... R.2 el camino f(t) = U, cosh t). Se trata de un camino regular que recorre la catenaria y = cosh x del punto (O, 1) al punto (3, cosh 3) con una velocidad dada por el vector f' (t) = O, senh t) t E [O, 31 y una rapidez Ilf'(t)1I = JI + senh 2 t = cosht, tE [0,3] Es decir, la velocidad con que se mueve el punto f(x) en la catenaria y = cosh x en el instante t = X es justamente el valor de la ordenada de la curva correspondiente a esta abscisa. Obtengamos la reparametrizacin de f por longitud de arco, la cual recorrer el mismo arco de catenaria con una rapidez constante igual a uno. Tenemos s = fI(t) = ir IIf'(u)lIdu = senht - senhO = senht (ver ejemplo 8 de la seccin anterior). As que t = cp(s) = fI-I(s) = arcsenhs = ln(s + Vs 2 + 1) 4 82 Captulo 5 Curvas en el La longitud de f entre t= f: [O, senh 3] --> ]R2 dada por fes) Se tiene Y t 3 es senh 3 de modo que la reparametrizacin buscada es = f(<;D(s)) = (ln(s + Vs 2 + 1), cosh(ln(s + Vs 2 + 1))) de modo que If' (s) I! = (~) 2 + s2 + 1 1 (vd-+ + s2 1 senh(ln(s + J~2+1))) 2 (l + s2) = - 2 - - (1 s +1 como tena que ocurrir, + senh 2 (arcsenh s)) = 1 -0-- s +1 Ejemplo 3. Un ejemplo "parecido" al del ejempiu ~"ior es f: [O, 3] -+ ]R2, f(t) = (t, t 2 + 1), pues la curva que ste describe es el arco de paruu; x- + 1 en O s:: x s:: 3, cuyo aspecto tiene cierto parecido con el arco de catenaria y cosh x en s:: x s:: :', (En el siglo XVIII se plante el problema de describir la ecuacin de la curva que formaba una cadena homognea que colgaba libremente de dos puntos fijos de ella [con la misma altura]. Esta curva NO ES UNA PARBOLA. como se lleg a pensar inicialmente, sino una catenaria, nombre dado desde ese tiempo a la curva y = cosh x que es la solucin del problema. Es obvio, sin embargo, el parecido geomtrico de estas curvas). El problema de reparametrizar por longitud de arco el camino f es en este caso sumamente ms complicado que el anterior, no obstante el parecido mencionado de las curvas. Veamos s = J;(t) = Jo t Ilrteu)lldu = Jo 11(1, 2u)11 du = Jo VI +4u r t J 2 du (La integral 1 J va 2 + x 2 dx se puede resolver por la sustitucin trigonomtrica x = a tan u, conducindonos as a la integral a sec 3 u duo Un procedimiento ms sencillo es aplicar la sustitucin hiperblica x = a senh u. En este caso la integral 1se convierte en a2 J cosh 2 u,Au, la cual se resuelve (1 +cosh 2u). Queda como 1 = a 2 J (1 +cosh 2u) du = usando la identidad hiperblica cosh 2 u 1 a (~.. + ~ senh u) = ~ (u + senh u cosh u), expresin que se ve despus de regresar a la variable x, y de hacer alguIJas simplificaciones, como J va 2 + x 2 dx = ln(x +.Va2 + x 2 ).+ ~V a2 + x 2 ) 2 'f Regresando al cl~ulo de s p J;(t), nos queda s= J;(t) = ) ~ In (u ,+ ~ VI + 4U 2 + ~ VI + 4u21: !~) + ':'JI+4tz - 4 In(~) ~2 2 =! ln(t + 4 2 =~ln(2t+~)+~~ 5.6 Reparametrizacin por longitud de arco 483 Cuandot = 3 tenemos a = !/J(3) = ~ In(6+J37)+~J37. Ciertamentelafuncin!/J: [O, 3] -+ (O, a] es sobreyectiva, de clase '6'1, y !/J'U) = v'f+t2 > O'tIt E [O, 3J, de modo que podemos hablar de su inversa 'P = !/J-l: [O, aJ -+ [0,3]. Esta funcin t = 'P(s) es la que necesitamos para construir la reparametrizacin f = f o 'P de fporIongitud de arco. Sin embargo, es evidente que en este caso no es posible hacer explcita la funcin 'P. As pues, nos conformamos con decir que el camino que reparametriza a f por longitud de arco es f: (O, ~ ln(6 + J37) + ~ J37] -+ ~2, fes) = f('P(s = ('P(S), ('P(s2 + 1), donde 'P(s) es la inversa de la funcin s = !/J(t) = . ~ ln(2t +V i + 4t 2) + .~ VI + 4t 2 Ejemplo 4. Sea f:]R -+ ]R3 el camino fU) = (a cos t, a sen t, {3t). La curva que ste describe es una hlice circular (que se dibuja en el cilindro x 2 + l = 0'2). Tomemos como punto base f(lo) el correspondiente en to = O (es decir, el punto (a, O, O)) a partir del cual mediremos la longitud del camino. Se tiene s = !/J(t) =i 1rt(u)1I f du = ir I(-a sen u, a cos u, {3)11 du = ir Va2 +{32du = V + {32t 0'2 t de modo que = 'P(s) = !/J-l(s) =,. 1 S V 0'2 + {32 La reparametrizacin de f por longitud de arco es entonces el camino f: ]R f (s) = f('P(s = -1 -+ ]R3 dado por ( s + {32 ' cos V a 0'2 a sen V 2 ' a + {32 S 3s J 0'2{+ {32) Ejercicios (Captulo 5, Seccin 6) 1. Considere el camino f: [O, 21Tr] -+ ]R2 dado por fes) = (rcos~, rsen;) Este es la parametrizacinpor longitud de arco del crculo x 2 + l = r 2 (ver ejemplo 1). Calcule fll(S). Compruebe que este vector es ortogonal a f' (s)paratoda s en [O, 21Tr J. Interprete geomtricamente este hecho. Calcule.llf"(s)1I 2. Considere el camino f: [O, senh 3] -+ ]R2 dado por fes) = (ln(s + W+1), cosh(ln(s + W+1))) Este es la parametrizacin por longitud de arco de la catenaria y = coshx en el intervalo (0,3] (ver ejemplo 2). Calcule fIles). Compruebe que este vector es ortogonal a f'(s) para toda s en [O, senh 3]. Calcule 1If"(s)ll. 4 84 Captulo 5 Curvas en el espacio 3. Considere el camino f: IR fes) -+ IR} dado por = (O' cos J 0'2 + (32 s , O' sen J 0'2 + (32 J 0'2 + (32 s , /=;;,(3=s=::;c) Este es la parametrizacin por longitud de arco de la hlice circular g(t) = (O' cos 1, O' sen 1, (3r), I E IR (ver ejemplo 4). Calcule f"(s). Constate que este vector es ortogonal a f/(s) para toda s E IR.. Calcule 11f'/(s)ll. 4. Sea f: 1 ~ IR -+ IR" un camino parametrizado por longitud de arco. Demuestre que el vector fIles) es ortogonal al vector f/(s) Vs E J. 5.7 Curvatura En esta seccin estudiaremos uno de los dos conceptos ms importantes en el estudio de las curvas, llamado curvatura; el otro, llamado torsin, ser objeto de estudio de la seccin 10. La idea general que se persigue en el estudio de la curvatura de una curva es la de medir la rapidez con que la curva se aleja de su recta tangente en un punto p dado de ella. En trminos generales, a esta rapidez se le llama "curvatura de la curva en el punto p". La idea intuitiva subyacente en este ejemplo tiene que ver con "qu tanto se curva la curva en el punto p". Por ~ie.!TIplo, al ver las~iguiente0iguras recta tangente a la curva en p recta tangente a la curva en p Figura 1. Dos curvas con diferente curvatura en el punto p. podemos intuir que la curvatura de la primera en p es ms grande que la de la segunda en p. Es claro entonces que el concepto de curvatura es un concepto local: hablamos de la curvatura de una curva en un punlo pde ella. Tambin debe ser claro que para iniciar este estudio, necesitamos trabajar con curvas que sean imgenes de caminos regulares, ya que a ellos son a los que siempre podemos asociar rectas tangentes. En realidad, tendremos que pedir un poco ms a los caminos f: 1 ~ IR -+ IR" con los que trabajaremos en esta seccin. Estos deben ser tales que su segunda derivada f" (l) deba existir para lE!, Si f(l) = (Xl (t), ... , x,,(I)), el vector segunda derivada de fes f"(t) (x~/(t), ... , x;(t)). Sea entonces f: 1 ~ IR --; IR" un camino regular para el que fl/(I) existe, VI E J (diremos que f es un camino dos veces diferenciable en 1). Hemos visto que Ilf/(I)11 nos da informacin de la rapidez con que el punto f(t) se est moviendo sobre la curva de las imgenes del camino f. Obsrvese entonces que el nmero positivo 11f'(t)11 nos da la rapidez de = 5.7 Curvatura 485 variacin de las imgenes del camino f en el punto fet)o Con esta perspectiva en mente, el nmero Iif'/(t)II nos dara informacin sobre la rapidez de variacin del vector velocidad f/{t) en el punto f(t). Al hablar de variacin de un vector, estamos incluyendo en sta la variacin de la magnitud del vector y la variacin de la direccin del vector. Por ejemplo el camino f:]R+ -> ]R2, dado por f(t) = (t3, (3) cuyas imgenes describen la.rectay = x en el primer cuadrante, tiene por vector velocidad a f' (t)= (3t 2 , 3t2 ); ciertamente este vector tiene siempre la misma direccin, pero su magnitud es variable, de modo que 1if"(t)1I = 1I(6t,6t)1I = 6V2t nos da solamente la informacin de la variacin de la magnitud del vector f/(t)enel punto f(t). Por otro lado, el camino f:.]R -> ]R2, dado por f(t) (cos2t, sen2t) tiene por vector velocidad a fl(t) (-2 sen 2t, 2 cos 2t). Ntese que Ilf/(t)H = 2 '<It E ]R, de modo que en este cas()la magnitud del vectorvelocidad f/(t) es constante, no as su direccin. Entonces el nmero 1if"(t)H = H( -4 cos 2t, -4 sen 2t)11 = 4 nos da informacin de la variacin de la direccin del vector f/(t) en el punto f(t). Al estudiar la curvatura de una curva en un punto pde ella nos interesar tener informacin sobre la variacin del vector tangente f' (t) en el punto p. Por supuesto que lo nico que nos debe interesar es la variacin en la direccin de f/(t), y no en su magnitud, de tal manera que, por ejemplo, para el camino f(t) = (1 3, t 3 ) mencionado anteriormente, cuyo vector velocidad no cambia de direccin, podamos decir que "su curvatura es cero", coincidiendo as con la idea intuitiva que sembramos al comienzo de la seccin (una recta no se curva!). Con estas consideraciones previas, resulta entonces claro que para tener una medida de la rapidez de variacin en la direccin del vector velocidad de un camino, debemos tomar un camino que tenga rapidez IIf/(t)11 constante, digamos igual a la unidad, pues en tal caso 1\f"(t)1I sera una medida (la medida que necesitamos!) de cunto est cambiando la direccin del vector f/(t) de la curva en el punto f(t). Luego de este prembulo, no debe resultar extrao que el estudio emprendido en la seccin anterior fue precisamente para resolver esta dificultad tcnica que ahora se nos presenta; para introducir el concepto de curvatura lo haremos por medio de un camino f: l S;;; ]R -> ]Rn reparametrizado por longitud de arco, cuya caracterstica fundamentales precisamente quesu rapidez 1If' (t)1I es constante e igual a 1 para todo t El. Establezcamos rigurosamente entonces el concepto de curvatura. = = Definicin. Sea f: l S;;; IR -> ]Rn un camino dos veces diferenciable parametrizado por 111 longitud de arco. l Al nmero k(s) = 1if"(s)1I se le llama curvatura de f en S. Seguimos respetando el uso de la letra s para denotar a la variable independiente (la longitud de arco) de un camino reparametrizado por longitud de arco, para el cual, adems, usaremos la notacin T(s) para designar al vector f/(s), llamado vector tangente unitario de f en s. Entonces, T(s) es el vector tangente (el vector velocidad) del camino f: l S;;; ]R -> ]Rn parametrizado por longi tud de arco, y as, IIT(s)1I = 1 '<Is E l. Con esta notacin, la curvatura de f en s se ve como k(s) = II T /(s)11 Ejemplo 1. (La curvatura de una recta eS cero). Una recta en ]R3 que pasa por el punto p = (xo, Yo, zo) y tiene a v = (a, b, e) por vector paralelo, se puede ver como la imagen del camino f*:]R -> ]R3, f*(t) = (xo. Yo, zo) + tea, b, c). Es fcil ver que la reparametrizacin de f* por longitud I Este camino f al que se refiere la definicin, es en realidad el camino que manejamos en la seccin anterior, reparametrizacin de un camino por longitud de arco. Por razones de simplicidad en la notacin, pensemos que el camino dado f ya es la reparametrizacin por longitud de arco de un camino previamente dado f*. En tal caso decimos que f est "parametrizado" por longitud de arco. r 4 86 Captulo 5 Curvas en el espacio de arco es el camino f: IR -t IR 3 dado por (xo, Yo, 20) fes) donde u k(s) = + ..j s 2 2 a +b +c 2 (a, b, c) = p + us = u y f"(s) = O (el vector O de IR3), de modo que 11f'/(s)II = 0, Vs E R Es decir, la curvatura de f en cualquier punto es O. 111 II~II' Observe entonces que f/(s) = = Ejelllplo 2. (La curvatura de un crculo es constante). Sea f: [O, 21Tr] - t IR 2 el camino fes) = (r cos ~, r sen ~). Esta es la parametrizacin por longitud de arco del crculo x 2 + y2 = r 2 (ver ejemplo 1 de la seccin anterior). Tenemos T(s) = f/(s) = (sen~, cos ~) r r r f (s) = de modo que la curvatura de f en s es " (1 s 1 s) --cos-,--senr 1 k(s) = 11f'/(s)II = ~ r Vs E [O, 21T] Podemos decir entonces que la curvatura de un crculo de radio r es constante e igual a ~. Esto responde a la idea intuitiva de que en un crculo el vector tangente unitario T(s) tiene la misma rapidez de variacin en su direccin en todos los puntos, o bien, que la curva se aleja de su tangente a la misma rapidez en todos sus puntos. 111 Ejemplo 3. Consideremos el camino f: IR fes) -t 1R 3 dado por = ( a cos va + S sen ,a S 2 2 f32 va + va~) + , {32 2 . {32 Esta es la parametrizacin por longitud de arco de una hlice en IR3 (ver ejemplo 4 de la seccin anterior). Tenemos La segunda derivada es f" s = ( () a+ 2 -a f32 cos va s a+ + 2 f32' 2 -a f32 sen - - - , 2 {32 va s ) + de modo que la curvatura de f en s es 5.7 Curvatura Obsrvese que al igual que sucedi en el ejemplo anteior, la curvatura es constante en todos los puntos de la curva. 111 Si bien es cierto que la definicin que dimos de curvatura muestra con toda claridad y sencillez la esencia del concepto, tambin es cierto que tal definicin resulta imprctica si quisiramos (como de hecho queremos) hacer clculos concretos de curvaturas de curvas, pues para poder hacerlo tendramos que pasar antes por la reparametrizacin por longitud de arco del camino. En otras palabras, elprocesoque.sugiere la definicin de curvatura para hacer clculos con ella es la siguiente: dado el camillO f; 1 ~ IR--+IR2 .qIR3 del cual se quiere calcular su curvatura en cierto punto correspondiente a to E 1, obtenga primero la reparametrizacin por longitud de arco f: J ~ IR --t IR 2 o IR 3 ; con ella, calcule ['/(S); lallorma de este vector evaluado en So = JJ-l(tO), donde JJ(t) = J~ IIf'(u)1I du es la curvatura busca.da. Adems de que ciertamente resulta molesto pensar en que para cada carnino hay que plsar primero por su reparametrizacin por longitud de arco, acontece que ms all de la incomodidad que esto representa se dan curvas tan simples como y = x 2 , imagen del camino f: IR --t IR2, f(t) = (r, t 2 ), para los que no o podramos calcular, con la definicin dada, su curvatura (ver ejemplo 3 de la seccin anterior). Veamos cmo podemos hacer los clculos de la curvatura de un camino sin pasar por la reparametrizacin por longitud de arco; es decir, veamos cmo expresar la segunda derivada f"(s) de la reparametrizacin por longitud de arco de un camino dado f(t) en trminos de la o las derivadas de ste. Haremos este anlisis en el caso concreto de caminos en IR 3 Sea entonces f: 1 ~ IR - t IR 3 un camino regular dado, dos veces diferenciable y sea f: J ~ IR --t 3 su reparametrizacin por longitud de arco. Recuerde el esquema IR t ~ .(,) ~ r'<,) e}~~(I) I Jt -_;_-+---_-Jt s Figura 2. Reparametrizcin de un camino por longitud de arco. Lo que queremos hacer es dejar expresada la norma del vector f"(s) (la curvatura) en trminos de la norma de los vectores f'(t) y f"(t) (que se calculan directamente del camino dado). De la misma definicin de i"(s) = T(s) es claro que f (S) = Ilf'(t)11 f (t) en donde t = cp(s) -, 1, 1 = JJ- (s) 4 88 Captulo 5 Curvas en el espacio q/(s){/(ljO(S. PeroljO'(s)= (r/J-I)/(S) = .,'(~(S = o bien, haciendo directamente los clculos en fes) = {(ljO(s, obtenemos, derivando t'/(s) ''}(I) = 11f'~t)II,demodoque -/ { (s) = Ilf/(t)11 f (t) 1 / Derivando nuevamente respecto de s obtenemos - 11 f (s) = ds d( 1 /) Iif'(t) 11 f (t) / ljO (s) - = dt d( 1 / ) dt Ilf/(t)11 f (t) ds = dt IIf/(t)11 d ( f/(t) ) = (1If/(t)1I ~f/(t) Ilf/(t)11 2 f/(t)~ IIf/(t) 11 ) (_1_) Ilf/(t)1I Recordando que d I g(t) . g/(t) dt IIg(t),1 = Ilg(t)11 (ver pgina 453), nos queda / 11 11 / f'U)' {"(t) 1I f (t) f (t) - f U) IIf/U) 11 (" (s) = ----,..---,..--,---:-,'---'-'-'-'-- IIf/(t) 11 3 = Entonces 11("(s)11 2 = fll(s) f"(s) = _1_ Ilf/(t)11 4 1 (1If/(t)1I 2f ll(t) - (f'(t). fll(tf/(t) .llf/(t)1I 8 Iif'(t) 11 8 1 [llf/(t)11 2fll(t) - (f'(t). fll(t))f'(t)] . [1jf'(t)11 2fll(t) - (f/(t). fll(t))f/(t)] (lIf/(t)114fll(t). f"(t) _ = 2I1 f /(t)1I 2 (f/(t). fll(t))2 + (('(t). fll(t)2 fl (t). f'(t)) = Iif'(t) 11 8 1if'(t)1I 6 1 1 (1If/(t)1141jf"(t)1I2 _ Ilf/(t)1I2(f/(t). fll(t))2) (1If/(t)1I 211f"(t)1I 2 - (f'(t). fll(t)/) = Recuerde que si u, v son dos vectores de IR 3 entonces 5.7 Curvatura 489 Con esta fnnula podemos escribir entonces de donde 11f"(s)1I = lf'U) x fl/U)II Ilf'U)113 As pues, la curvatura del (;amino regular f: 1 ~JR por k(t), es JR3 dos veces diferenciable, que denotaremos kU) = Ilf/(n x fl/(t)1I IIf/(t)11 3 Esta es la fnnula que buscbamos, con la cual podremos calcular la curvatura del camino f trabajando directamente con l. EjeJUplo 4. El camino f: JR ->JR3 dadoporf(t) = (acos t, a sen t, f3t) es el mismo que el considerado en el ejemplo 3, slo que estaba parametrizado por longitud de arco. Tenemos f' U) X fl/ (t) = (-a sen t, a cos t, f3) X (-a cos t, -a sen t, O) k ij = det .[ -asen t (X cos t -a cos t -a sen t de modo que 13] = (af3 sen t, -af3 cos t, ( 2 ) O y como IIf' (t)1I = II( -a sen t, a cos t, 13)11 = tenemos que la curvatura k(t) es J a 2 + 132 resultado que coincide con el obtenido enel ejemplo 3. Ejemplo 5. Considere el camino f: JR -> JR3 dado por fU) = (2 + t, 1 + t 2 , 3t su curvatura k(t). Se tiene f'U) O, 2t, 3 +2t), fl/(t) (0,2,2), de modo que = = + t 2 ). Calculemos f/(t) x fl/(t) = .[~ ~t O 2 . 'k 3 +2t] 2 = (-6, -2,2) Entonces k t _ Ilf/(t) x fl/(t) 11 _ ()Ilf/(t)11 3 - 11(-6, -2,2)11 11(l, 2t. 3 + 3t)li 3 _ - J44 (lO + l2t + 8t 2 )3/2 4 90 Captulo 5 Curvas en el espacio Observe que en este caso la curvatura k(t) s depende de t. k(l) Por ejemplo, k(O) = ( 0). V44 4,4" = {~2 < (1~2 k(O), as que podemos decir que el camino f, o bien, que la curva en 1R3 que este camino describe, se curva ms en el punto feO) = (2, 1, O) que en el punto f(1) = (3,2,4). Ms an, considerando la "funcin curvatura", k: IR -> IR, vemos que donde k' (t) = O {:} t = - ~. En este valor de t se localiza un punto crtico para k(t). Es fcil ver que se trata de un punto de mximo local. Entonces concluimos que el camino f tiene curvatura mxima cuando t = -~, es decir, en el punto f( -~) = (~, ~, -ti,), la cual es k( -~) = fiii. 111 Quisiramos ahora ver que la fm1Ula obtenida para calcular la curvatura de un camino f: <;:; IR -+ 1R 3 (regular, dos veces diferenciable) es invariante por reparametrizaciones del camino. Este hecho nos permite ver a la curvatura como una propiedad geomtrica de la curva en s, imagen del camino f, independientemente de "la manera" como es recorrida. .En efecto, sea g: J <;:; IR -+ 1R3, un camino regular dos veces diferenciable, reparametrizacin del camino f. Entonces g = f o ep, con ep: -+ J la inversa de la funcin tjJ: J -> s Queremos ver que = rjJ(t) ir Ilf/(u)11 du donde t = ep(s). Tenemos = ep'(s)f/(ep(s = ep'(s)f/(t) gl/(s) ( rp'(S2[I/(ep(s + epl/(s)f/(ep(s = (ep'(s2fl/(t) + epl/(S)f/(t) g/(S) Entonces g/(S) X gl/(s) = ep'(s)f/(t) X [(ep'(S2fl/(t) + epl/(S)f/(t)] x f/(t) = (ep'(s3fl(t) x fl/(t) = (ep' (s3fl (t) x fl/ (t) + ep'(s)epl/(s)f/(t) de modo que Ilg/(t) x gl/(t) 11 k(s) = II(ep'(S3f/(t) x fl/(t) I1 Ilepl(S)f /(t)11 3 IIg/(t)113 = lepl(sWllf/(t) x fl/(t)1I lep'(s)1 3 11f'(t)1I 3 IInt) x fl/(t)1I 1\f'(t)!1 3 = k(t), t = ep(s) como queramos comprobar. 5.7 Curvatura 491 Ejemplo 6. Consideremos el cilindro elptico 2x 2 + 3y2 = 1 Y el plano z = 2y. Estas dos superficies se intersectan en una elipse C. Calcularemos la .curvatura de sta en el punto p = (O, Segn lo expuesto anteriormente, podemos tomar cualquier camino f: 1 ~ IR -> IR3 regular dos veces diferenciablecuya imagen sea la elipse C(al menos en los alrededores del punto p) y con l calcular la curvatura deseada. Por ejemplQ, el caminQ f: [O, 27!] -.. IR3 dado por JJ, 3J). f(t)=. ( ,ji cos t,. 0. sen t, y'3sent 1 l 2 ) El punto pcorresponde a (( 1)' Tenemos f I U) 12 =.(1 sen y'3 cos y'3 cos ) -,ji t, t, t f 1/ (t) = (1 -,ji = (- cos t, - y'3 sen t, - y'3 sen t (1/ I 2) 3J). Entonces En t = 1 estos vectores son fl (1) Vz' 0, o), (1) = (o, ~ JJ, j f'(HXf"(i) ~d,,[-1 . 2 1) ( . y'6' y'6 0,.- y'3 de modo que la curvatura de la elipse C en pes La discusin sobre curvatura de curvas planas, imgenes de caminos 1 ~ IR -> IR 2 , se obtiene fcilmente como un caso particular de la presentada previamente para caminos en el espacio JR3. En efecto, una curva plana, imagen del camino f: 1 ~ IR -> ~2, fU):= (x(t), yU)) puede ser considerada como imagen del camino f:l ~ IR -> JR3, f(t) ==(xU), y(t), O), la cual queda dibujada en el plano xy (z = O). Sea entonces f: 1 ~ IR kU). Tenemos y entonces -> IR 2 un camino regular dos veces diferenciable. Calculemos su curvatura f"U) = (x"(t), yl/(t), O) f'(t) = (x' (t), y' U), O) f'(t) X f" (t) = det [XI~t) At) y" (t) x"U) ~O] = (0,0, x' (t)y" U) - xl/ (t)y' (t)) 4 92 Captulo 5 Curvas en el espacio de modo que k(t) = lino x f"(t)11 IIf'(t)311 = Ix/(t)y'/(t) - x"(t)y'(t)1 X (t)2 + (y/(t2)3/2 ' esta la frmula buscada que nos da la curvatura k(t) del camino f. Llamemos la atencin al hecho de que la curvatura de un camino tal como ha sido definida, es siempre un nmero no negativo; sin embargo, en el caso de caminos en JR2, es posible asociar un signo a la curvatura, el cual nos ampliar la informacin geomtrica de la curva que el camino describe. Para ver esto retomaremos la discusin desde la definicin misma de curvatura, para el caso de un camino f: 1 <;:; JR -. JR2, f(t) = (xU), yU -regular dos veces diferenciable-. Si f: J <;:; JR -. JR2 es la reparametrizacin de f por longitud de arco, el vector T(s) = f' (s) es un vector unitario para toda s E J. De Ilf/(s)11 = 1, obtenemos, derivando respecto de s, que d 0= ds IIT(s)1I = IIT(s)11 T(s) T/(s) = T(s) . T (s) / por lo que el vector T' (s) = f" (s) es un vector ortogonal a T(s) para toda s EJ. Por otra parte, consideremos el vector unitario N(s) que se obtiene al girar el vector T(s) un ngulo de en sentido contrario de las manecillas del reloj. Tenemos as que los vectores T/(s) y N(s) son ortogonales a T(s), y por lo tanto colineales, de modo que para cada s E J, existe un nmero k(s) bien definido 1 T' (s) = f" (s) = k(s)N(s) a este nmero k(s) lo llamaremos curvatura de f en s. Ntese que se trata de la misma definicin que la dada anteriomente para un camino en JR3, excepto, posiblemente, por un cambio de signo, pues If'/(s) I = IIk(s)N(s)1I = Ik(s)IIIN(s)11 = Ik(s)1 El nico detalle adicional que tiene nuestra nueva definicin, es, entonces que ahora la curvatura puede ser positiva, cero, o negativa. N(s) TI (s) (k (s) > O) N(s) TI(s) (k(s) < O) Figura 3. Los vectores N(s) y T(s) en una curva plana. 5.7 Curvatura 493 Obtengamos una expresin para la curvatura as definda. Tenemosque T (s) = IIf'(t)llf (t)=.llf'(t)ll(X (t), )'(t)), 1,1" t.= q;(s) de modo que el vector N(s) debe ser N(s) Adems, usando la frmula 11f'(t) 11 (-y (t),x(t 1 " f"(s) ==. IIf'(t)11 4 1 (11f'(t)1I 2f "(t) - (f'(t).C"(tf'(t)) . (obtenida en la discusin general, ver pgina 488), tenemos que, como " = kN, _1_ (1If'(t)1I 2f "(t) - (f'(t). f"(t))f'(t)) = kN IIf'(t) 11 4 Tomando producto punto con el vector N en ambos lados.de esta expresn obtenemos __1_ = (1\f'(t)11 2f"(t) . N - (C'(t). f"(tf'(t) N) Ilf'(t)11 4 2 = kN . N = kllNI1 = k de donde k= IIf' (t) 11 4 1 (1\f'(t)1I 2f"(t) . N - (C'(t) . f"(tf'(t) . N) = IIC'(~)1I4 (lI f '(t)1I 2(X"(t), y"(t) '11f'~t)1I (-y'(t), x'(t) ~(f'(t)f"(t(x'(t), y'(t . lIf'~t)1I (-y' (t), X'(t))) =llf'(t)1I 4 (lIf'(t)lI(x'(t)y"(t) - x"(t)y'(t) ~ -..,:...:...::....--::-::~~:....=.-:-.:.= O) x'(t)y"(t) - x"(t)y'(t) x'(t)y"(t) - x"(t)y'(t) x'(t2 lIf'(t)11 3 + (y'(t2)3/2 frmula que concide (excepto posiblememte por un signo) con la obtenida anteriormente considerando el camno f: r ~ IR --+ IR 2 como un caso particular de un camino en IR 3 . Definicin. Sea f: l .~ IR --+IR2 , f(t) = (x(t), y(t un camino regular dos veces diferenciable. Se define la curvatura (con signo) de f en t Como x'(t)y"(t) - x"(t)y'(t) k(t) - ---=-'-.:.,..-;;-:--.-:....:..:;~ - x'(t)2 + (y'(t))2)3/2 4 94 Captulo 5 Curvas en el espacio Es interesante analizar qu tipo de informacin nos proporciona el signo de la curvtura k(t) as definida para caminos en IR 2 . Desde el punto de vista mecnico, el signo de k(t) tiene que ver con la direccin hacia donde apunta el vector segunda derivada fll(t) = (Xll(t), yll(t)) (llamado "vector aceleracin"). De hecho, si consideramos la curva descrita por f, recorrida por el camino f = reparametrizacin por longitud de arco de f, vemos que en cada punto de la curva, el vector N(s), obtenido al girar el vector unitario T(s) en un ngulo de 90 en sentido antihorario, es un vector paralelo al vector T'(s) = f~'(s). Este es el vector aceleracin del camino e.Entonces, si N (s) y TI (s) coinciden en su direccin, la curvatura ser positiva; en caso contrario ser negativa. En general, el vector aceleracin para el camino f, i.e. el vector fll (t), no ser paralelo al vector N(s); sin embargo, es posible descomponerlo como suma de sus componentes ortogonales en las direcciones de T(s) y N(s), digamos fll(t) = a(t)T(s) + b(t)N(s) donde a = a(t) y b = b(t) son funcjones reales que dependen de t. Esta es una interesante frmula que obtendremos en la seccin 11 en la que abordaremos ms detenidamente la misma mecnica del estudio de los caminos y curvas en IR 2 y IR3. La componente bN(s) de f"(t) en la direccin de N(s) es a la que se aplica la condicin de coincidencia con la direccin de N(s) (si b > O) en cuyo caso la curvatura ser positiva, o, en caso contrario, si bN(s) no apunta en la misma direccin que N(s), (si b < O), ser negativa. T'(s) bN) / ./ 1-]R2. f"(t) bN(s) \ k(t) <O Curvatura con signo para un camino en Figura 4. Desde otro punto de vista, el signo de la curvatura de un camino en IR 2 tiene que ver con la concavidad hacia arriba o hacia abajo .de la curva que el camino describe. Para entender esto, consideremos el camino f: 1 ~.IR -+ IR 2 , dado por f(t) = (t, Ip(t), donde Ip: 1 ~ IR -+ IR. Como sabemos (ver ejemplo 1 de la seccin 2) la curva que describe el camino f es la grfica de y = Ip(x). En este caso tenemos x(t) y(tJ = t, x' (t) = 1, x"(t) = yll(t) O = Ip(t), y' (t) = Ip' (t), = Ipll(t) de modo que la curvatura k(t) es k(t) = x'(t)y"(t) - x"(t)y'(t) x'(t))2 (y'(t))2)3/2 + (l)Ip"(t) - (0)1p'(t) = -(-1--1--(-Ip-'(-t)-=)2-=)3-::/2:- Ip" (t) (l + (lpl (t)2 )3/2 5.7 Curvatura 495 Es decir, que la curvatura de la funcin y = ep(x) en x se calcula como k (x) - epl!{x) ----'----'-'-.:-::-:= - (l + (ep'(x2)3/2 De aqu se ve que el signo de k(x) es el mismo que el de epl/(x), de modo que si k(x) > O entonces la curva es cnCava hacia arriba y si k(x) < O la curva es cncava hacia abajo. En los puntos en que k(x) = epl/(x) = O, podra haber puntos de inflexin (donde la concavidad de la curva cambia). Ejemplo 7. Consideremos el camino f: JR --> JR2 dado por f(t) = (t, t 3 - 6t 2 + 9t). La curva que ste describe es la gJ:ficadelafuncin;: JR --> JR, ep(x) 6x 2 + 9x. Calculemos su curvatura. 2 -12x + 9, epl!(x) = 6x - 12. Entonces Se tiene ep'(x) = 3x k(x) = -(l-+..........;,.(ep-,-(x..:....-:-2)-3/~2 epI! (x) 6x - 12 De aqu se ve que si x < 2, entonces k(x) < O y si x > 2 entonces k(x) es cero. Este punto corresponde a un punto de inflexin. > O. en x = 2 la curvatura 4l--~-----1 2 -----r------------3 k(x) <O - k(x) >O Figura 5. Grfica de y = x 3 6x 2 + 9x mostrando la curvatura. Este tipo de conclusiones acerca de la relacin entre el signo de la curvatura y la concavidad de la curva descrita por el camino, que hemos visto enel caso de que tal curva sea la grfica de una funcin real de una variable, pueden ser falsas en situaciones ms generales. El hecho es que no existe una relacin absoluta .entre laforna (en lo que se refiere a la concavidad) de la curva y el signo de la curvatura del carninoque tiene por imagen ataLcurya. Por ejemplo, si vemo$queelarco de parbola y = x 2 entre los puntos (-1, 1) Y (1, 1), no podemos asegurar que un camino f: 1 .s;:; IR --> JR2 que tenga por imagen a tal arco tendr una curvatura positiva (pues es claro que tal arco es una curva cncava hacia arriba). En efecto, el camino f: [-1, 1]--> JR2, f(t) =.( -t, t 2)tiene por imagen a la curva y = x 2 en -1 ~ x ~ 1, pero en este caso k(t) x' (t) yl! (t) - xl! (t) y' (t) -2 - ---::-::--.:: x'(t2 + (y'(t))l)V2 - _1)2 + (2t)2)3/2 - (l + 4t 2)3/2 ( -1)(2) - (0)(2t) de donde se ve que la curvatura es de hecho negativa para todo t E [-1, 1]. 4 96 Captulo 5 Curvas en el espacio (-1,1) (1, 1) -1 k(t) <O Figura 6. La curvatura del arco de parbola y = x 2 en [-1, 1J. Obsrvese el sentido del recorrido de la curva por el camino f. Hay una manera ms consistente de abordar la relacin entre el signo de la curvatura de un camino f y la geometra de la curva descrita por el camino. Esta consiste en rastrear en los alrededores del punto p = f(l) el cambio en la direccin del vector velocidad f/(t). Si el movimiento del vector f'(t) (siguiendo el recorrido del camino f!) es tal que su direccin cambia en el sentido de las manecillas del reloj, entonces la curvatura ser negativa; si lo hace en sentido contrario de las manecillas del reloj, la curvatura ser positiva k<O Figura 7. k>O La curvatura con signo en relacin del cambio de direccin del vector f/(1). EjemploS. Consideremos el camino f: [O, 271'] -; ]R2 dado por f(t) = (sen t, sen 2t). La curva que ste describe es un "ocho acostado": comienza en el punto f(O) = (O, O), va por el primer cuadrante (durante los primeros I seg), pasa por f(I) = (1, O), Y regresa al origen por el cuarto cuadrante, al cual llega a los 1T seg (f( 1T) = (O, O, pasa al segundo cuadrante y, luego de pasar por f (3;) = (-1, O), va al tercer cuadrante, en el que est los ltimos I seg, cerrando finalmente la curva en f(21T) = (O, O) Tenemos X/ (t) = cos t, xl/(t) = - sen t X(I) = sen t, y(t) = sen 2t, y' (t) = 2 cos 21, yl/ (t) = -4 sen 21 5.7 Curvatura 497 f o 1T /2 1T 37T/2 27T f(31T /2) Figura 8. El camino f(t) = (sen t. sen 2t). Entonces la curvatura es k(t) = x'(t)y"(t) - x"(t)y'(t) = (cos t)( -4 sen 21) - (- sen t)(2 cos 21) x'(t))2 + (y'(t))2)3/2 (cos 2 t + 4cos 2 2t)3/2 - 2 sen t(sen 2 t + 3 cos 2 t) (cos 2 t +-,fcos 27i)3/2 Se ve que k(t) < O para O < t < 7T, y k(t) > O para 7T < t < 27T. En t = 7T tenemos k(1) = O. Es decir, la curvatura del camino es negativa en todo el circuito cerrado derecho del ocho que describe y positiva en todo el izquierdo. Se ve claramente la correspondencia de estos signos con la variacin del vector tangente al recorrer la curva. k(t) >O Figura 9. La curvatura del camino f(t) = (sen t, sen 2t). Pamentenderelporqu de esta relacin entre el signo de la curvatura y la direcdn de variacin de los vectores tangentes a la curva, recordemos que para estas curvas, imgenes de caminos f: 1~]R ]R2, se defini la curvatura como el nmero k(s) para elque T(s) = f' (s) = k(s)N(s), donde f: J ~ ]R - t ]R2 es la reparilmetrizacin por longitud de arco de f y N(s) eS un vector unitario que se obtiene al girar 90 el vector T(s) en sentido antihorario. Escribimos fes) = (l(s), y(s)), donde 4 98 Captulo 5 Curvas en el espacio entonces .;;(s) = x(<;D(s)), y(s) = Y(<;D(s, con t s <;D(s) la inversa de la funcin = fJ(t) = lID t Ilf/(u)lldu Como (1 (s) = T(s) = (Xl (s), y' (s)) es un vector unitario, podemos asociar, para cada s E J un nmero 8(s) E IR tal T(s) = (cas 8(s), sen 8(s)) T(s) T(s) N(s) 8(s) Figura 10. El vector T(s). Se puede demostrar que la hiptesis hecha sobre la diferenciabilidad del camino f garantiza un comportamiento diferenciable para la funcin 8 = e(s), de modo que f" (s) = TI (s) = ((-sen 8(S)81 (s), (cas 8(S))81 (s))) = el (s)( sen 8(s), cos 8(s)) Ntese que el vector (- sen 8U), cos 8(s) es un vector unitario que se obtiene al girar a T(s) (cos 8(s), sen 8(s)) en un ngulo de 90 en sentido antihorario. Este es justamente el vector N(s). Tenemos pues que f" (s) = 81(s)N(s) por lo que comparando con la frmula r"(s) = k(s)N(s), vemos que la curvatura k(s) es justamente la derivada de la funcin 8 = 8(s). Es decir que k(s) = 8 (s) 1 Ahora ya puede entender que si el vector velocidad 1"(t) (que tiene la misma direccin que T(s)) gira de modo que su direccin cambia en el sentido de las manecillas del reloj, entonces la funcin 8(s) es decreciente y por lo tanto su derivada (que es precisamente k(s)) es negativa. Anlogamente, si el vector velocidad 1'1 (t) gira cambiando su direccin en sentido antihorario, entonces la funcin 8(s) es creciente y por tanto su derivada (la curvatura) ser positiva. 5.7 Curvatura 499 8(s) decreciente (81 k(s) = 8'(s) > B2 > B3 ) <O B(s) creciente (B I < B2 < k(s) = B'(s) > O ( 3) Figura 11. Una curva con B(s) creciente y otra decreciente. De este anlisis se descubre nuevamente ante nosotros lo que es la curvatura: la frml.lla k(s) = O/ (s) nos dice (como ya sabamos) queja curvatura es la rapidez de variacin de.laqireccin del vector velocidad de la curva. Adellls,estemislll() anlisis nos asegura elhnportante hecho de que las curvasen el plano estn completamente determinadas por su curvatura. En otras palabras, que ante una funcin curvatura k = k(s) existe "una nica" curva en el plano que tiene curvatura k(s). En efecto, suponga dada una funcin k(s). Afirmamos que hay un caminor: J ~ IR - t JR2 cuya curvatura en s esprecisamentek(s). En efecto, segn el anlisis anterior .tenemos que O(s) = 1 k(s)ds EL vectorT(s) = f/(s) debe ser T(s) = (cos O(s), sen O(s = (.t/ (s), y' (s de donde fes) = (x (s), y(s debe ser tal que .t(s) = )i(s) = En resumen, el camino r: J 1 1 cos O(s)ds sen O(s)ds +a + f3 R-. 1R2 que tiene tiene. en s una curvatura k(s) es fes) = donde (1 cos O(s)ds + a, 1 sen O(s)ds + f3) O(s) = 1 k(s)ds +p siendo a, f3 y p constantes. La aparicin de stas nos dice simplemente que, a menos que haya un movimiento rgido (una traslacin del origen al punto (a, f3) y un giro del sistema coordenado un ngulo p) la curva que describe el camino f es nica. 5 00 Captulo 5 Curvas en el espacio fes) = (a, Ejemplo 9. Si k(s) = O para toda s. tenemos 8 JO ds + P = cte + p = 80 de modo que f3) + (J cos 80 ds, sen 80 ds) = (a, f3) + cos 80 )s, (sen 80 )s) es el camino cuya curvatura es cero. La curva que describe es claramente la recta que pasa por (a. f3) y tiene pendiente tan 80 . 11 J Quisiramos ahora retomar el resultado que apareci en el ejemplo 2 de esta seCClon para introducirnos en la discusin referente a los crculos osculadores. Ah se vi que el camino f: [O, 277] - t JR.2, f(t) = (r cos t, r sen t) que describe un crculo con centro en el origen y radio r tiene curvatura constante e igual a ~. Es decir, la curvatura del crculo x 2 + l = r 2 es igual al inverso del radio del crculo. Consideremos un camino arbitrario f: ! ~ JR --> JR2 (regular. dos veces diferenciable), y digamos que en el punto p = f(t) ste tiene curvatura k(t) =1 O. Si quisiramos ver la curva que describe f en los alrededores p, como un crculo que "se confunde" con la curva, deberamos pedir que, adems de la condicin de tangencia entre el crculo y la curva en el punto p, tanto el crculo como la curva tuvieran en p la misma curvatura. As tendramos un buen contacto entre el crculo y la curva (llamado "contacto de segundo orden"; el "contacto de primer orden" es el que acontece con la recta tangente a la curva en p y la curva misma). El radio de este crculo debe ser (como lo sugiere el ejemplo 2 mencionado anteriormente) igual a is)' Adems es claro que el centro de este crculo se debe encontrar en la direccin del vector fl! (s), donde f es la reparametrizacin porlongitud de arco de r, es decir, se debe encontrar "dentro" de la curva (en torno a p). Establezcamos formalmente las definiciones de los conceptos anteriores. Definicin. Sea f: ! ~ JR. --> JR2 un camino regular dos veces di,ferenciable. Para los puntos p(t) EJR. 2 de la curva que describe f en los cuales la curvatura k(t) es no nula, se define el radio de curvatura de f en p denotado por r(t), como r(t) = I/;nl' Se llama crculo osculador (del latn "osculum" que significa "beso": el crculo osculador "besa" la curva en p) de la curva en p al crculo que pasa por p, tiene radio igual a r(t), y cuyo centro se encuentra en la direccin del vector fl/(s), donde f es la reparametrizacin por longitud de arco de f (es decir. si c(t) E JR2 es el punto donde se encuentra el centro, el vector c(t) - f(t) debe tener la misma direccin que el vector fl/ (s)). Figura 12. El crculo osculador en una curva. Es claro que hay una relacin inversa entre la magnitud de la curvatura k(t) y el radio del crculo osculador r(t), lo cual nos dice que cuanto "ms plana" sea la curva (su curvatura sea menor) tanto mayor ser el crculo osculador. 5.7 Curvatura Obsrvese que el vector c(t) - f(t) es tal que: i. tiene magnitud igual a r(t) = radio de curvatura; ii. si k(t) > O, su direccin coincide con la del vector unitario N(s) = IIf':tlll< -y/(t), x/(t, pues en este caso los vectores fl/(s) y N(s) apuntan a la misma direccin; iii. si k(t) < 0, su direccin es opuesta a la del vector N(s). Estas trescond<;iont:s St: pueden escribir con la nica frmula c(t) - f(t) = . -.-N(s) k(t) I I de donde el centro del crculo osculador (llamado centro de curvatura) debe estar en el punto c(t) = f(t) + -kN(s) ) -(t o mejor an, en el punto y'(t) x/(t) ) ( x(t) - k(t)lIf/(t)II' y(t)+ k(t)llf/(t)1I Ejemplo 10. Si f: [O, 27T] --t Jl~2 es el caminof(t)=(rcost,rsent),entonces k(t)=~,de modo que el centro del crculo osculador en p = f(t) debe ser y'(t) ( x(t) - k(t)llf/(t)II' y(t) + k(t)lIf/(t)1I x/(t) ) .= ( rcos t - rcost r st:nt - rsent) ~r = (O, O) Entonces, el crculo osculador tiene en todos los puntos su centro en el origen y radio igual a = r. Este es el crculo x 2 r 2 que es precisamente la imagen del camino f. Esto nos confi~a lo que era de esperarse: el crculo oseuladorde un crculo es l mismo. I!l r(t) = kil)1 = + Ejemplo 11. Sea f: JR+ --t JR2 el camino f(t) = (t, In t). La curva que este camino describe es la grfica de la funcin y ep(x) In x.c;alculemos Sj.l. curvatura. Se tiene = = epl/(x) k(x) = (1 + (ep/(X2)3/2 x2 = -(-I-+-"'-1-)=3/=2 x2 -x Hallemos el crculo osculador en el punto p = (1, O). Tenemos que k(1) = - 2~' de modo que el radio de curvatura en p es r( 1) = 2 V2. 11f'(t)1I Adems =.II(I,~) ~Jl+~ 11 y entonces IIf/(I)II. ~ V2. Tambin xl(t) = y/(t)= de modo que x/(I) = 1, y'(1) = 1. Entonces el crculo osculador buscado debe tener su centro en yl(t) ( x(t) -k(t)Irt(t)II' y(t) + k(t)Irt(t)1I x/(t).( = I - __ V2' 1 2)2 l. .+ __ 1) 1 V2 = (3, -2) 2)2 y por lo tanto tal crculo es (x - 3)2 + (y + 2)2 =8 502 Captulo 5 Curvas en el espacio y = lnx (x - 3)2 + (y + 2)2=8 3 / 2 Figura 13. El camino del ejemplo 11. Ejercicios (Captulo 5, Seccin 7) En los ejercicios 1-5, determine la curvatura de la curva dada en el punto indicado. 1. A(t) = (cosh t, sen ht, 2t), en el punto p = A(O). 2. A(t) = (e t , e- t , t), en el punto p 3. A(t) = 5. A(t) (t2 = A(O). + 1, t 2 ~ 3t, t 2 1, t), en el punto p = A(I). 4. A(t) = (In t, t, (2 ), en el punto p = A(I). = ((3 - + t, 3t), en el punto p = A( 1). En los ejercicios 6-10, determine la curvatura (con signo) de la curva en el plano. en un punto arbitrario de ella. 6. A(t) 7. ACt) 8. A(t) = (cosh t, senh t). = ((2, t 3 ). = (t3, t 2). 9. (t) = ((3 + P', t 2 t ). t). 10. (() = (e!, e- 11. Calcule la curvatura de la cicloide : IR -; 1R 2 , (t) puntos en los que cos t = I? = (t - sen t, l - cos t). Qu sucede en 12. Calcule la curvatura de la elipse : [0, 21T] -; 1R2 , (t) = (a cos t, b sen t). en donde 0< b < a. En qu puntos la curvatura alcanza sus valores mximo y mnimo? 13. Calcule la curvatura de la parbola y = x 2 En qu punto de ella la curvatura alcanza su valor mximo?, existe algn punto en que la curvatura sea mnima? Explique. 14. Calcule la curvatura de la parbola cbica y obtenida. = x3. Estudie los extremos de la funcin curvatura = X". 15. Determine la curvatura de la parbola de n-simo orden y 5.8 Curvas paralelas 503 En los ejercicios 16-20 determine el crculo osculadorde la curva dada en el (los) punto(s) indicado(s). x2,en el origen de coordenadas. 16. y 17. y = cos x, en el punto (O, 1). 18. Y = x 3 , en el punto (1,1) Y en el punto ( -1, ~ 1). 19. Y = l + ' en el punto (O, x2 , I 1). 20. Y = e- en el punto (O, 1). (~ompare con los resultados de los ejercicios 16 y 19). 21. Sea F: U <;;:; IR 2 --> IR una funcin de clase,??2 tal que grad F(x, y) =J O'v'(x, y) E U. Si e E IR pertenece al rango de F, la expresin F(x, y) = e define una curva en el plano cuya curvatura en un punto (x, y) de ella (demuestre que) es igual a 22. Se llama evoluta de una curva f: f de f. a. b. <;;:; IR --> IR 2 a la curva que describen los centros de curvatura , f(l) (l, [2). Determine la evoluta de la curva f: IR Determine la evoluta de la curva f: IR IR 2 , f(l) = (l, [3). (*) 5.8 Curvas paralelas El contenido de esta seccin es (con algunas modificaciones de estilo) un artculo escrito independientemente del libro (referencia [PiIII]), y motivado por una pregunta "inocente" de un estudiante de ingeniera, cuya respuesta result ser bastante poco inocente (este es el tipo de preguntas interesantes en matemticas: de contenido profundo yde formulacin sencilla). La pregunta fue: "es la curva paralela auna parbola tambin una parbola?". Ms bien, supongamos que en cada punto de la parbola y = x 2 nos alejamos de ella sobre la recta normal una distancia 1 constante. Formamos as una nueva curva "paralela" a y = x 2 . La figura que queda tiene al menos todo el aspecto de una nueva parbola. Esta nueva curva es efectivamente una parbola? Al intentar contestar esta pregunta surgieron una gran cantidad de ideas interesantes que culminaron en lo que ahora se presenta en esta seccin. Lapart~de la matemtica que ms intervino en la respuesta es la que hemos desarrollado en el presente captulo (geometra diferencial de curvas en el plano). En realidad, el problema que abordaremos es ms ambicioso que el planteado inicialmente. Estudiaremos curvas que tienen la propiedad de mantenerse a una distancia c.onstante de una curva dada (medida sobre la normal de esta curva en cada punto), llamadas "curvas paralelas" (a la curva dada). Exploraremos las relaciones que existen'entre algunas propiedades (como la regularidad) y aspectos geomtricos (como curvatura, longitud dela curva y rea encerrada) de la curva dada y las correspondientes de sus curvas paralelas. Se presentan -a manera de ejemplos ilustrativos-, los estudios correspondientes a las curvas paralelas a elipses y a parbolas. Las curvas que aparecen en esta seccin se suponen infinitamente derivables (de clase 0'(0), de modo que "curva regular" significa una curva de clase '(7,00 cuyo vector velocidad nunca es nulo. 5 04 Captulo 5 Curvas en el espacio Consideremos la curva regular a: 1 -+ ]R2, a(t) = (x(t), y(t. Sea n(t) el vector normal unitario obtenido al girar a'(t) (normalizado) un ngulo de 7T/2 en direccin antihoraria. Sea {3: 1 -+ JR 2 la curva definida como {3(t) = a(t) + m(t), donde r es un nmero real no nulo dado. Obsrvese que para cada t E 1 se tiene que 11{3(t) - a(t)ii = Irl, es decir {3, es una curva que se mantiene a una distancia constante -igual a Irl- de a. LLamaremos a {3 "la curva r-paralela a a". Se entiende que r puede ser positivo o negativo, (por razones obvias se descarta el caso r = O). y curva r-paralela a a x Figura 1. Curva paralela a a. Comencemos por hacer explcitas las funciones coordenadas de la curva (x' (t), y' (t, se tiene que el vector n(t) es f3. Como a'(t) n(t) = I lI a '(t)11 (- y "(t), x (t de modo que P(t) = a(t) + m(t) = ( x(t) - ry'(t) Ila'(t)II' y(t) + rx'(t) ) j1a'(t)] (1) Obtengamos una expresin para el vector velocidad {3' (t). Se tiene, derivando, (haciendo uso de que = (p(t) . p'(t/llp(t)11 en donde' denota derivacin respecto de t de la norma del vector p(t lo siguiente (lIp(t)ID' {3'(t) = (11 x '(t)II- lIa'(t)IIy"(t) - y'(t)(a'(t) a"(t/lIa'(t)1I r Ila'(t)1I 2 ' , y (t) +r lIa'(t)llx"(t) - x'(t)(a'(t) a"(t/lla'(t)II) Ila'(t