final_H09_solutionnaire - MTH 1101 Calcul 1 Solutionnaire...

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MTH 1101 Calcul 1 Solutionnaire Examen Final - Hiver 2009 Question 1) [3 points] epondez par VRAI ou FAUX. a) La d´ eriv´ ee de f en ( x 0 ,y 0 ) dans la direction de ~u est un vecteur. b) Si k ∇ f ( x 0 ,y 0 ) k = 99 . 9, il existe une direction pour laquelle la d´ eriv´ e direc- tionnelle de f en ( x 0 ,y 0 ) ´ egale 100. c) Soit Q ( x,y ) le polynˆome de Taylor de degr´ e 2 de f ( x,y ) autour de (1 , 1), et E ( x,y ) = | f ( x,y ) - Q ( x,y ) | son erreur d’approximation. Alors E (1 , 1) = 0. d) La m´ ethode du gradient est un algorithme qui permet de conclure si un point est un maximum local ou un minimum local. e) La matrice des d´ eriv´ ees secondes de la fonction f : R 3 R au point critique ( a,b,c ) est 2 f ( a,b,c ) = - 5 3 6 3 0 1 6 1 5 , et son d´ eterminant est - 4. Le point ( a,b,c ) est un maximum local de la fonc- tion f . f) La fonction de deux variables f ( x,y ) = ± x + y si x 0 0 si x < 0 est continue en ( x,y ) = (0 , 0). eponses : a b c d e f Faux Faux Vrai Faux Faux Vrai 1
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Question 2) [2 points] Les deux cˆ ot´ es de l’angle droit d’un triangle mesurent 5 cm et 12 cm respective- ment, chacun avec une erreur de mesure de ± 0 . 2 cm (erreur absolue). ` A l’aide des diff´ erentielles, estimez l’erreur maximale que cette impr´ ecision entraˆ ıne sur la mesure du p´ erim` etre du triangle. Solution :
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