Intra_H09_solutionnaire - Dpartement de mathmatiques et de...

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Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Calcul I Intra Hiver 2009 Solutionnaire 1. a) Faux. Prenons par exemple a n = 1 n 2 0 alors n =1 a n = n =1 1 n 2 . Or lim n →∞ a n +1 a n = n’est pas strictement inférieur à un. b) Faux. Prenons u n = ln ( n ) alors lim n →∞ ( u n +1 - u n ) = lim n →∞ ( ln ( n +1) - ln ( n )) = lim n →∞ ln ( n +1 n ) = 0 . Et pourtant u n diverge. c) Vrai. Prenons z 1 = | z 1 | e et z 2 = | z 2 | e . Alors z 1 z 2 = | z 1 | | z 2 | ce qui représente un nombre réel. d) Faux. Une série peut aussi bien converger que diverger. Par exemple, prenons: a n = 1 n 2 avec n =1 1 n 2 qui converge et b n = 1 2 n avec n =1 1 2 n qui diverge. e) Faux. Prenons f ( x ) = e x et g ( x ) = 1 + x + x 2 2 . Les polynômes de Taylor de ces fonctions autour de l’origine sont identiques: 1 + x + x 2 2 et pourtant f ( x ) 6 = g ( x ) . f) Faux. Car
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